1Ce chapitre examine les relations entre théorie et pratique dans le cas de la géométrie descriptive, « invention » de Gaspard Monge qui l’enseigne pour la première fois à Paris en 1795. Si Monge est le promoteur incontesté de la nouvelle géométrie apparue dans le contexte révolutionnaire, sa théorie systématise des méthodes utilisées depuis longtemps sur les chantiers, en particulier pour la coupe des pierres (ou stéréotomie). Ce chapitre explore ces rapports en comparant les méthodes enseignées par Monge et celles dispensées à l’École du génie de Mézières avant son arrivée. C’est dans cette école, en effet, que Nicolas François Antoine de Chastillon, son fondateur, développa l’enseignement de la stéréotomie dans les années 1760. La géométrie descriptive offre l’exemple-type d’une science géométrique dans laquelle l’activité théorique a été impulsée, non par des demandes, mais par des connaissances pratiques.

Introduction

2Lorsque Gaspard Monge prononce, à Paris, en 1795, les premières Leçons de Géométrie descriptive, personne, à part l’orateur, ne sait ce que recouvre ce titre. Non seulement Monge est arrivé à imposer son introduction, à l’École normale de l’an III, dans la formation des futurs professeurs, mais il en a fait la discipline reine de la première École polytechnique, en lui accordant la moitié du temps des études (Figures 1-3). La discipline est cependant moins nouvelle qu’elle en a l’air. Sortant du premier cours de son collègue de l’École normale, Lagrange s’exclama : « Je ne savais pas que je savais la géométrie descriptive ».

Figure 1. Principe de représentation de l’espace. Monge, Géométrie descriptive, Planche I.

Figure 2. Intersection de deux cônes. Monge, Géométrie descriptive, Planche XI.

Figure 3. Intersection d’un cône et d’un plan oblique. Monge, Géométrie descriptive, Planche XIV.

3À aucun moment, cependant, Monge ne présente la géométrie descriptive comme une science nouvelle dont il serait le père fondateur. Au contraire, il la décrit comme ayant « été pratiquée depuis beaucoup plus longtemps [que l’Algèbre], par un beaucoup plus grand nombre d’hommes ». Monge ajoute même une remarque qui peut surprendre de prime abord puisqu’il précise que la géométrie descriptive ayant été pratiquée « par des hommes dont le temps était précieux, les procédés (graphiques) se sont encore simplifiés et au lieu de la considération de trois plans, on est parvenu, au moyen des projections, à n’avoir plus besoin explicitement que de celle de deux » (Monge, 1795, §5, 312). Bien que le géomètre ne cite ici aucun nom, il est certain qu’il fait allusion aux tracés des appareilleurs et charpentiers. Il faut en tout cas noter que Monge exprime clairement le fait que le caractère « minimal » du mode de représentation de l’espace adopté par la géométrie descriptive, qui lui fut parfois reproché, ne découle pas d’une réflexion théorique élaborée au moment de sa formalisation, mais bel et bien de contraintes matérielles ou économiques rencontrées par ses utilisateurs. L’objectif de Monge est donc simplement d’expliciter un certain nombre de constructions géométriques, de les présenter indépendamment de toutes pratiques, de dégager un petit nombre d’opérations abstraites et élémentaires des procédés graphiques utilisés par diverses corporations d’artisans, « de même, en quelque sorte, que les quatre règles de l’Arithmétique suffisent pour tous les calculs auxquels donnent lieu les sciences mathématiques dans leurs applications » (Chasles, 1880, p. 577).

4La géométrie descriptive est à la fois l’aboutissement d’une longue et lente évolution de méthodes graphiques disparates utilisées pour représenter l’espace et le fruit de l’imagination fertile d’un géomètre de talent, héritier des Lumières, révolutionnaire engagé, enseignant hors pair dont les projets pédagogiques se développent dans le droit-fil de ceux de Condorcet.

5Monge donne de la géométrie descriptive cette définition dans sa première leçon : « Cet art a deux objets principaux. Le premier est de représenter avec exactitude, sur des dessins qui n’ont que deux dimensions, les objets qui en ont trois, et qui sont susceptibles de définition rigoureuse… Le second… est de déduire de la description exacte des corps tout ce qui suit nécessairement de leurs formes et de leurs positions respectives » (Monge 1795, 2).

6Mais pour le lecteur contemporain, que la géométrie descriptive ait pu constituer la colonne vertébrale de la formation des ingénieurs reste surprenant. Pour tenter de comprendre les raisons qui poussèrent Monge à concevoir cette organisation du curriculum de la première École polytechnique, il faut s’arrêter un instant et sur l’expérience de l’enseignement que Monge a acquise à l’École du génie de Mézières, et sur ce qui fait la spécificité de la géométrie descriptive.

1. Monge à l’École du génie de Mézières

7Monge entre en 1764 par la petite porte, et le plus grand des hasards, dans l’une des plus prestigieuses école d’ingénieurs1 de l’Ancien Régime, l’École du génie de Mézières. Il a alors tout juste 18 ans et son palmarès se résume à de brillantes études effectuées à Beaune, sa ville natale, puis à Lyon. Durant l’été 1764, il réalise avec l’un de ses amis un relevé de la ville de Beaune et en dessine le plan. Le capitaine du Vignau, commandant en second de l’École du génie de Mézières, de passage dans la ville, apprécie le travail et engage Monge à venir travailler dans l’atelier de dessin, de coupe des pierres et de moulage de l’école.

1.1. L’École de Mézières avant Monge

8L’École du génie de Mézières a ouvert ses portes en 1748, à l’instigation de Nicolas François Antoine de Chastillon, avec le soutien du comte d’Argenson, alors ministre de la Guerre2. Les élèves partagent leur temps la première année, à parts égales, entre « l’école de théorie » et « l’école de pratique ». L’enseignement théorique comprend l’arithmétique, la géométrie, la mécanique statique et hydraulique ; à partir de 1752 et jusqu’au milieu des années soixante, l’abbé Bossut assure seul l’ensemble de ces cours, dont le niveau reste élémentaire. À « l’école de pratique », dirigée par Chastillon, les élèves s’initient au tracé des épures et à la réalisation de modèles de coupe des pierres et des bois, effectués en salles, et, sur le terrain, aux relevés topographiques et aux exercices de siège ou de défense. L’examinateur de sortie, l’académicien Camus, interroge uniquement sur la partie théorique des enseignements. S’il est admis, le jeune ingénieur reste encore un an à l’École, participe à l’encadrement de la promotion suivante et effectue des stages dans les places fortes de la région ; sinon, il redouble. Contrairement au recrutement des écoles de la marine et de l’artillerie, presque exclusivement réservé aux jeunes d’origine noble, celui de l’École du génie de Mézières est, dans un premier temps, relativement ouvert. Mais l’ordonnance de 1777, renforcée en 1781, va considérablement réduire cette ouverture.

9Chastillon accorde à l’enseignement de stéréotomie3 une place très importante dans le curriculum de l’École du génie de Mézières, place qui va bien au-delà du strict aspect utilitaire d’une technique de construction déjà sur son déclin. L’objectif essentiel de ce cours est une formation à la géométrie et à la vision dans l’espace explicitement formulé : « Indépendamment de l’utilité de la coupe des pierres et des bois pour les différentes constructions que les ouvrages du roi présentent, ces arts ouvrent des connaissances si exactes et si précises sur le dessin des plans et des profils et sur la manière d’exprimer le relief qu’il doit représenter, qu’on peut les regarder comme les Éléments (d’Euclide) »4. Dans l’avant-propos de son Traité des ombres dans le dessin géométral, Chastillon revient également sur cette idée :

On n’a rien trouvé de plus propre pour leur [les ingénieurs] procurer cette connaissance parfaite du dessin que de leur faire suivre des cours de coupe des pierres et des bois… Indépendamment des avantages qui résultent de cette étude, relativement aux constructions dont les officiers du génie ont la direction, on conçoit facilement que, quand on sait développer toutes les faces et connaître tous les angles plans ou solides d’une pierre quelconque employée dans une voûte, une trompe, etc. Ou d’une pièce de charpente employée dans un comble, un dôme, un escalier, etc., qu’on a bien de la facilité à développer un bastion, une demi-lune, un cavalier de tranchée, une batterie, etc., que, quand on sait bien former la représentation de toutes ces choses pour les faire entendre aux autres, on est en état de les représenter comme si elles étaient déjà exécutées, et d’en combiner les différentes constructions pour les rendre autant parfaites qu’elles peuvent l’être5.

10Le fondateur de l’École du génie de Mézières exprime ici parfaitement le rôle pédagogique conféré à la stéréotomie dans cette école, l’apprentissage à la vision dans l’espace que son enseignement permet, cette sorte de gymnastique intellectuelle susceptible de permettre aux futurs ingénieurs de se représenter mentalement des objets — éventuellement complexes d’un point de vue géométrique — non encore réalisés.

11Dans les années 1760, pour faire face au doublement des effectifs des promotions, qui de dix à quinze jusqu’en 1762, passent à environ vingt-cinq à partir de cette date, Chastillon modifie sensiblement l’organisation de l’École, supprime la distinction entre école de théorie et école de pratique, et place en tout début du cursus l’enseignement de stéréotomie qu’il considère comme fondamental. Le glissement de fonction de cet enseignement caractérise, dans une certaine mesure, l’École de Mézières et ne se produit pas à l’École des Ponts et Chaussées où la stéréotomie reste appréhendée en tant que technique de construction. Il s’explique aisément compte tenu de deux facteurs. D’une part l’École du génie de Mézières est beaucoup plus structurée, plus organisée que ne l’est celle des Ponts et Chaussées, qui fonctionne alors, sans professeur permanent, suivant le principe du tutorat, les élèves les plus anciens donnant des cours aux plus jeunes. De ce fait une réflexion plus poussée a été menée à Mézières sur la nature et la valeur formatrice des enseignements assurés. D’autre part, si l’on admet qu’un ingénieur doit recevoir une certaine formation concernant l’apprentissage de « la vision dans l’espace » (ce qui était raisonnable au XVIII^e siècle et le reste sans doute de nos jours), alors le choix de la stéréotomie comme vecteur est certainement judicieux, et les arguments avancés par Chastillon tout à fait pertinents. L’aisance avec laquelle les appareilleurs ou les tailleurs de pierre sont capables de concevoir et de tracer les voussoirs les plus complexes en est la meilleure preuve.

1.2. Monge à Mézières

12Institution annexe à l’école d’officiers, l’École du génie de Mézières est créée en vue de former le personnel technique subalterne dont le corps du génie a besoin. Sorte de centre d’apprentissage gratuit, on y enseigne principalement le dessin et la coupe des pierres et des bois. La géométrie descriptive doit beaucoup à cette « école d’appareilleurs et de conducteurs de travaux des fortifications ». C’est pour les besoins de cette institution que Monge vient à Mézières. C’est également au titre de cette école que Jean Nicolas Pierre Hachette sera élève de Monge, avant de devenir son adjoint à l’École normale et à l’École polytechnique.

13Peu à peu, Monge prend en charge l’ensemble de l’enseignement scientifique de l’École du génie de Mézières : d’abord répétiteur, puis remplaçant du professeur de mathématiques, l’abbé Bossut, il assure également, à partir de 1770, le cours de physique. En outre il enseigne le dessin, la perspective et le tracé des ombres et la coupe des pierres. En 1775, il obtient le titre de « Professeur royal de mathématiques et de physique ».

14À partir de son élection comme correspondant de l’abbé Bossut à l’Académie des Sciences, en 1772, il participe à quelques séances de l’Académie et entre en relation avec Condorcet, Lavoisier, Vandermonde… Entre 1771 et 1780 il présente à l’Académie huit mémoires, cinq d’analyse (essentiellement sur les équations aux dérivées partielles), et trois de géométrie différentielle. Élu en 1780 « associé géomètre » à l’Académie, il quitte l’École de Mézières en 1784 et se fixe à Paris. Il s’intéresse alors plus à la physique et à la chimie qu’aux mathématiques, participe activement aux travaux des chimistes groupés autour de Lavoisier et réalise la synthèse d’une petite quantité d’eau peu après lui.

2. Émergence de la conceptualisation géométrique

15Parmi la liste, impressionnante, des disciplines enseignées par Monge à Mézières ne figure pas la géométrie descriptive en tant que telle. Cependant un certain nombre de documents permettent d’affirmer que Monge conçut, dès les premières années de son activité à l’École du génie de Mézières, si ce n’est la géométrie descriptive sous la forme qu’elle prendra en 1795, du moins les prémices de cette théorie géométrique. Compte tenu des fonctions qu’il occupe à son arrivée à l’École, dans l’atelier de coupe des pierres, et de certaines dispositions personnelles pour la géométrie dont on peut le créditer sans avoir l’impression de déformer l’histoire, on imagine facilement que Monge eût tôt fait de prendre connaissance des différents traités de stéréotomie, de se familiariser avec les méthodes graphiques des appareilleurs, de les maîtriser et de les apprécier à leur juste valeur. Reste à cerner l’usage qu’il a fait de ce savoir. Il faut donc essayer de préciser à la fois quelle est la théorie qui prend corps pendant cette période, son degré de d’aboutissement, et le type de problèmes qui amenèrent Monge à opérer cette conceptualisation.

16La géométrie descriptive a pris corps à partir de trois domaines que sont le problème de défilement (détermination de la position et la hauteur des parapets que l’on doit construire pour protéger une place des tirs des canons ennemis), les fascicules de perspective et des ombres, et le problème de détermination de la distance de deux droites. Limitons-nous à présenter le dernier problème, qui est le plus élémentaire d’entre tous.

17Le géomètre ne découvre pas la question de la distance de deux droites en 1795. Bien au contraire, elle fait partie des problèmes dont la recherche d’une solution contribua très certainement à la prise de conscience de la généralité de la méthode graphique utilisée6. La première trace que nous ayons de cette question se trouve dans un texte rédigé par l’un des élèves de Monge à Mézières, Charles Tinseau d’Amondans de Gennes (1749-1822). À sa sortie de l’École de Mézières, en 1771, ce dernier présente deux mémoires à l’Académie (Tinseau, 1780, 593-624 ; 625-642). Le premier porte sur les surface courbes et courbes à double courbure, le second sur des propriétés géométriques des solides inscrits dans des surfaces réglées. Dans ces deux mémoires l’influence de Monge est patente et Tinseau lui rend d’ailleurs explicitement hommage. Le second mémoire de Tinseau contient, en incidente (Tinseau, 1780, §18, 635-638), la détermination de la perpendiculaire commune à deux droites et de leur distance, et, en un sens, la première épure de géométrie descriptive qui nous soit parvenue. Le texte explicatif pâtit à la fois d’une absence d’un énoncé clair des principes de base de la géométrie descriptive et de notations très maladroites. Mais la méthode elle-même n’est pas sans élégance et l’épure est d’une grande clarté (Figure 4). Quoiqu’il n’ait pas été rédigé directement par Monge, ce texte donne une idée de ce que pouvaient être ses enseignements à Mézières. Il montre que, dès les années 1770, les méthodes de la géométrie descriptive y étaient enseignées et utilisées, non seulement pour les applications pratiques, mais également pour la résolution des problèmes géométriques.

18Le problème de la distance de deux droites est également évoqué dans une correspondance entre Lacroix et Monge, durant l’année 1789. « Un [des problèmes] qui m’a fait le plus plaisir est celui de trouver la plus courte distance de deux lignes ; ce que je fais avec la règle et le compas sans y employer aucune considération analytique »7, écrit Lacroix à son ancien professeur de l’École du Louvre. En réponse à une question posée dans cette lettre, Monge donne une solution analytique du problème, assez rapide, qui se ramène à la résolution d’un système de quatre équations à quatre inconnues. Mais la correspondance de Lacroix8 contient également une note manuscrite de Monge, sans date (mais très probablement de 1789), où est donnée une construction géométrique de la distance de deux droites. La méthode exposée dans cette note est identique, dans sa première partie, à celle qu’avait suivie Tinseau. Mais, dans la deuxième partie, Monge évite le rabattement de plan que celui-ci effectue en déduisant la droite cherchée de la connaissance de la direction de la perpendiculaire commune et de la vraie grandeur de la distance des deux droites. Le problème se ramène alors à déterminer deux points appartenant à deux droites données, de distance donnée et définissant une droite de direction donnée. Le texte de cette note étant le première exemple connu de résolution d’un problème de « géométrie descriptive » rédigée par Monge, je le cite intégralement (Figure 5)9 :

« Plus courte distance de deux droites données de position
Étant données les projections horizontales ab, cd des deux droites et leurs projections verticales AB, CD, construire les projections horizontales et verticales de la droite qui est en même temps perpendiculaire à l’une et à l’autre.
Construction
Je conçois deux plans parallèles entre eux et mené l’un par une des droites données et l’autre par l’autre ; il est bien évident que la distance entre ces deux plans est égale à la distance perpendiculaire entre les deux droites ; et je cherche les intersections de ces deux plans avec le plan horizontal. Pour cela, par le point E d’intersection des deux projections verticales j’abbaisse la verticale EEʹ et je la prolonge dans le plan horizontal jusqu’à ce qu’elle coupe les deux projections horizontales en deux points e, eʹ ; par les piés A, C des deux projections verticales, je mène à AC les deux perpendiculaires indéfinies Aa, Cc ; puis par le point e je mène eF parallèle à cd et je la prolonge jusqu’à ce qu’elle coupe Cc en un point F, et de même par le point eʹ je mène eʹG parallèle à ab et je la prolonge jusqu’à ce qu’elle coupe Aa en un point G ; enfin je mène les deux droites aF, Gc qui seront parallèles entre elles, et qui seront les intersections du plan horizontal avec les deux plans demandés. En effet, si par le point de la première droite représenté en E et e on conçoit une droite parallèle à la seconde, le plan mené par cette droite et par la première sera un des plans demandés ; or cette droite parallèle rencontre évidemment le plan horizontal en F ; donc la droite aF sera l’intersection du premier plan demandé avec le plan horizontal. On démontre de même que Gc sera l’intersection du plan horizontal avec le second plan demandé.
Cela fait, je mène une droite HJ perpendiculaire à aF ou Gc, et par cette droite je conçois un plan vertical qui sera perpendiculaire aux deux plans parallèles et sur lequel je fais la projection de ces deux plans qui y seront représentés par deux droites parallèles entre elles. Pour cela, je prolonge les deux droites aF, Gc jusqu’à ce qu’elles coupent HJ en deux points K, L, qui seront les projections des intersections du plan horizontal avec les deux plans parallèles ; par le point e, je mène sur HJ la perpendiculaire indéfinie eN, et je porte sur cette droite de n en N la hauteur verticale EʹE, ce qui détermine le point N, et la droite KN sera la projection du premier plan demandé, et si l’on mène la parallèle LS, on aura la projection du second de ces plans. Il suit de là que si du point L on abbaisse sur KN la perpendiculaire LM, cette perpendiculaire sera la distance des deux plans et par conséquent la plus courte distance entre les droites données.
Actuellement, du point c soit abaissée sur aF la perpendiculaire cO, et par le point M soit menée parallèlement à aF la droite MP qui coupera cO quelque part en P, et HJ quelque part en m ; il est clair que Lm sera la grandeur de la projection horizontale de la distance perpendiculaire des deux droites ; on sait de plus que la projection horizontale de la droite demandée perpendiculaire aux deux lignes données doit être perpendiculaire aux droites aF, Gc ; la question est donc réduite (pour la projection horizontale) à trouver sur ab un point Q et sur cd un point R tels qu’ils soient dans une perpendiculaire à aF, et que leur distance soit égale à Lm ; or je remplis ces deux conditions en menant par le point P une parallèle à cd qui coupera aF au point Q, et en menant par le point Q une perpendiculaire à aF qui coupera cd au point R ; car on aura QR = PC = Lm. Donc la droite QR ainsi construite sera la projection horizontale de la perpendiculaire demandée. Enfin, si l’on projette le point Q en q, et le point R en r, la droite qr sera la projection verticale de la droite demandée.
Cette construction peut être simplifiée par la suppression de quatre lignes : 1° la droite LS est inutile, et je ne l’ai menée que pour éclaircir le procédé ; 2° la droite HJ peut être menée par le point c, ce qui fait que CO coïnciderait avec LK ; 3° on peut supprimer la droite Gc dont la considération a été utile pour la clarté et qui n’est pas nécessaire ; 4° enfin, Geʹ qui n’a été menée que pour construire Gc est pareillement inutile. »

Figure 4. Distance de deux droites. Solution de Tinseau.

Figure 5. Distance de deux droites. Solution de Monge adressée à Lacroix.

19Quoique beaucoup plus tardif que les autres textes dont il est question dans cette partie, la note de Monge, rédigée avant les leçons données durant l’an III, témoigne néanmoins du haut degré d’élaboration de la théorie avant la Révolution.

3. Rapport de la géométrie descriptive à la coupe des pierres

20La résolution du problème de défilement, les traités de perspective et des ombres, la détermination de la distance de deux droites, tout ceci prouve que Monge eut très tôt une idée claire d’un mode de représentation de l’espace commun à associer à diverses situations, mais n’explique pas comment cette idée lui est venue. Je voudrais montrer, dans le paragraphe suivant, comme les liens spécifiques qui existent entre la géométrie descriptive et les méthodes de taille des pierres, ont joué un rôle clé dans la genèse de cette conceptualisation.

21La première étape vers une conceptualisation des techniques graphiques est très certainement l’usage par Monge des méthodes de la taille des pierres dans d’autres domaines pratiques ou théoriques. Le premier exemple esst naturellement donné par le problème du défilement : à une méthode utilisant le calcul, il substitue une méthode géométrique. Jean-Baptiste Meusnier (1754-1793), sans doute le plus brillant élève de Monge à l’École de Mézières, rédige en 1777 un mémoire sur ce sujet, où il expose la méthode de Monge10. Il y écrit : « Nous ne nous sommes point appesantis sur les détails de la stéréotomie, nos lecteurs versés dans cette partie y suppléeront aisément en se rappelant qu’ils ont fait souvent usage des mêmes principes dans plus épures de la coupe des pierres ».

22Monge utilise explicitement une expression similaire dans son traité sur les ombres. Lorsqu’il expose la construction de la séparatrice d’ombre propre d’un corps, il écrit : « si par les règles de la stéréotomie on projette cette section en AMIN etc. ». Les « règles de la stéréotomie » désignent, à cet endroit, l’usage de la double projection et d’un plan auxiliaire de bout. Enfin, Tinseau, avant de donner la construction de la distance de deux droites, précise qu’il « va donner la construction de ce problème par une méthode usitée dans la coupe des pierres et qui, par son utilité, mériterait d’être plus connue » (Tinseau, 1780, 635). Et Tinseau donne une véritable épure de géométrie descriptive utilisant changement de plan et rabattement.

23Est-ce Monge qui eut l’idée de ce « transfert de technologie » ou doit-on voir dans le Traité des ombres de Chastillon, rédigé avant l’arrivée du fondateur de la géométrie descriptive à Mézières, la première marque de l’usage des procédés de taille des pierres dans un autre domaine technique ? Certes Chastillon n’utilise pas une expression explicite comme celle de Meusnier et de Tinseau. Mais il donne « des pratiques puisées dans la géométrie, commodes et expéditives » (Chastillon in Olivier, 1847, 12), pour tracer les ombres et cite plusieurs fois en modèle les cours de coupe des pierres et des bois. Que Monge n’ait pas eu seul, ni même forcément le premier, l’idée d’un usage de ces procédés pour d’autres pratiques est très vraisemblable. D’ailleurs, Hachette, dans la préface de son traité de 1822, déclare que « c’est aux chefs, aux professeurs [de l’école de Mézières] qu’appartient véritablement l’honneur d’avoir amené la science des projections au degré de perfection où elle se trouvait en 1794 » (Hachette, 1822, VI). S’il met ensuite en valeur le rôle spécifique de Monge, il associe assez largement les enseignements de l’école de Mézières à la genèse de la géométrie descriptive, et nomme explicitement Chastillon11.

24À Mézières « les méthodes de la coupe des pierres » désignent donc l’ensemble des méthodes géométriques constituées par la double projection et les méthodes de changement de plan, rabattement et utilisation de plans auxiliaires. Cette expression n’est pas cantonnée au vocabulaire scientifique mais est également utilisée dans le vocabulaire administratif. Dans une lettre adressée au ministre de la guerre à propos d’une répartition d’appointements disponobles par suite du départ de l’ingénieur géographe, Ramsault, alors directeur de l’École, fait remarquer que Monge « tient lieu de professeur de mathématique, de physique, de répétiteur, démontre la théorie de la coupe des pierres (c’est moi qui souligne) et dirigerait les levées »12.

25Sous quelle forme est enseignée cette « théorie de la coupe des pierres » à Mézières ? Si les cours du tracé des ombres ou la perspective nous sont parvenus, il n’en est malheureusement pas de même de la coupe des pierres, bien qu’un Discours de l’instruction de la stéréotomie et de la coupe des pierres soit signalé à l’inventaire des mémoires de l’École13. Les registres-journaux des élèves14 montrent néanmoins que l’essentiel du travail des élèves est constitué par le tracé des épures, dont les sujets, dans les années 1780, en coupe des pierres comme en charpenterie, restent pratiquement les mêmes que ceux traités par Vigoureux en 1767, Monge conservant le corpus d’exercices défini par Chastillon.

26Il reste à préciser ce qui distingue cette « théorie de la coupe des pierres » de la géométrie descriptive. À la fois rien et l’essentiel : la diffusion. De nombreux témoignages attestent que la technique graphique élaborée à l’École du génie du Mézières, quasiment classée « confidentiel défense » et considérée comme propriété de l’École, ne devait pas être dévoilée hors de ses murs. Le secret qui l’entourait n’avait sans doute pas pour objectif d’empêcher les corps savants des armées étrangères de s’emparer d’une arme aussi redoutable, mais bien davantage d’assurer aux officiers de Mézières une certaine supériorité sur leurs confrères français. Selon Dupin, lorsque Monge enseignait au Louvre, dans les années 1780, il aurait déclaré : « Tout ce que je fais par le calcul, je pourrais l’exécuter avec la règle et le compas, mais il ne m’est pas permis de révéler ces secrets » (Dupin, 1819, 20-21). Cette phrase aurait excité la curiosité du jeune Lacroix, qui aurait alors retrouvé seul les principes de base de la géométrie descriptive (Belhoste, 1992, 565-568). Une autre anecdote, rapportée par Olivier, est, elle aussi, révélatrice du « mystère » qui entourait alors les méthodes géométriques enseignées à Mézières :

« Un officier du génie vint en congé à Besançon, où était une école d’artillerie ; Lacroix y était professeur. Cet officier laissa dans sa chambre la collection de ses épures, ce que l’on appelait, en terme d’école, la gâche, et s’absenta pour quelques mois. Les officiers d’artillerie, qui avaient sur le coeur quelques plaisanteires, fort innocentes sans doute, sur leur ignorance des travaux de l’école de Mézières, résolurent de s’emparer du trésor de l’officier du génie. Le complot fut exécuté ; les épures enlevées furent calquées, et puis les originaux remis en place. Mais grand fut l’étonnement, lorsque le travail fini, on voulut se mettre à déchiffrer les hiéroglyphes de l’école de Mézières : personne n’y comprenait rien » (Olivier, 1843, VII).

27Hachette et Brisson, tous deux très proches de Monge, confirment également cette atmosphère de secret qui régnait autour des procédés géométriques développés à Mézières15, et qui était à l’opposé de l’état d’esprit de Monge, et des scientifiques de son époque.

28Que Monge ait eu très tôt une idée assez précise d’un certain nombre de principes géométriques fondamentaux qu’il regroupera ultérieurement sous le nom de géométrie descriptive n’est pas douteux. Faut-il pour autant parler d’un cours de « géométrie descriptive » à l’École du génie de Mézières ? Je ne le pense pas. Mis à part le désir constant de tout lecteur moderne de vouloir brusquer l’histoire, il n’y a aucune raison de ne pas respecter les intitulés de l’époque qui décrivent, autant que nous puissions en juger, de la façon la plus précise possible, l’état d’avancement de la théorie géométrique.

29Existe-t-elle pour autant dans la tête de Monge dès 1768, 1772 ou 1779 ? Faut-il avancer sa date de naissance de 1779 à 1768 parce que l’on a trouvé une version plus ancienne du fascicule des Ombres ? Ces questions ne me semblent pas pertinentes. Une discipline qui n’a pas de nom, pas de support écrit, qui n’est ni enseignée, ni diffusée n’a pas d’existence propre. Si, d’un point de vue scientifique, toutes les pièces du puzzle sont bien réunies à l’École de Mézières, il manque encore les conditions institutionnelles qui permettront d’en achever l’assemblage.

30Les liens privilégiés que la géométrie descriptive entretient avec diverses techniques graphiques s’expriment par la multiplicité des exemples d’application choisis par Monge. Le cours est constamment émaillé de différents exemples pratiques, de références aux diverses techniques susceptibles d’utiliser la géométrie descriptive, exemples qui donnent aux leçon leur chair, leur consistance. Avant d’entreprendre toute construction géométrique concernant le plan tangent à une surface, il montre (rapidement) que « la décomposition d’une voûte en voussoirs exige absolument la considération des plans tangents et des normales à la surface » (Monge, 1795, §24, 340) ou que « tout ce qui a rapport à la couleur de la teinte [d’un point d’une surface] et à son éclat dépend de la position du plan tangent en ce point à l’égard de ces corps éclairants et de l’œil du spectateur » (Monge, 1795, §25, 341). La détermination du point brillant d’une surface polie, tout comme le problème du défilement, donnent « quelques exemples de la nécessité où l’on peut être de mener des plans tangents à des surfaces courbes par des points pris au dehors d’elles » (Monge, 1795, §33, 349). Les problèmes de cartographie et de relevé de points sont résolus comme application des intersections de surfaces de révolution. Les engrenages sont évoqués au moment de l’introduction de la définition de la développante d’une courbe. Pour transmettre dans les meilleures conditions le mouvement tournant d’un arbre à cames en un mouvement de va-et-vient d’un pilon, il faut en effet que les cames soient découpées selon des développantes de cercle.

31Pour illustrer les notions de ligne de courbure d’une surface, Monge donne l’exemple des hachures d’une gravure qui devraient être dessinées selon les lignes de courbure de la surface hachurée. Mais surtout il développe à cette occasion une véritable « théorie de l’appareillage ». Il montre en effet que le mode d’appareillage d’une voûte est totalement déterminé par la surface adoptée pour son intrados, si l’on veut que les voussoirs satisfassent quatre conditions, selon lui indispensables à la bonne réalisation d’un ouvrage clavé (Monge 1795, §130, 418-420) :

1. L’orthogonalité des joints du voussoir avec la surface de la voûte. Cette condition s’impose pour des raisons statiques, sinon « dans l’action que deux voussoirs consécutifs exercent l’un sur l’autre, l’angle plus petit que l’angle droit serait exposé à éclater ».
2. L’orthogonalité des joints d’un même voussoir. Cette demande répond au même problème statique que le point précédent mais présente aussi un avantage d’ordre esthétique puisqu’ainsi « les lignes qui divisent la voûte en assise sont perpendiculaires à celles qui divisent une même assise en voussoir ».
3. Les surfaces des joints des voussoirs doivent être développables. Cette considération est d’ordre pratique : si une telle surface n’était pas réglée elle ne serait réalisable ni assez rapidement pour que l’ouvrage soit économiquement viable, ni assez précisément pour assurer un bon contact entre les voussoirs. Que cette surface soit de plus développable permet, par l’utilisation de panneaux pour le tracé, une plus grande précision.
4. Les lignes de division de la surface « doivent aussi porter le caractère de la surface ». Cette exigence, purement esthétique, semble s’imposer au géomètre avec autant de force que les précédentes. Si l’appareillage est laissé nu, les lignes de joint redessinent sur la voûte, la surface elle-même et « les convenances », – pour reprendre la terminologie de Monge, – exigent une harmonie parfaite entre le dessin et la limite physique de l’intrados.

32« Or, il n’existe pas de ligne sur la surface courbe qui puisse remplir en même temps toutes ces conditions, que les deux suites de ligne de courbures, et elles les remplissent complètement ». Comme Monge le remarque immédiatement après sa démonstration, dans le cas des surfaces simples (surfaces de révolution, cylindres…) les appareilleurs s’étaient spontanément conformés à cette loi. Il n’en va plus de même, naturellement, dans le cas de surfaces plus complexes.

33Les conditions 1 et 3 énoncées ci-dessus, suffisent à elles seules, à imposer de suivre les lignes de courbure ; si bien que l’on peut y voir un exposé des propriétés remarquables des lignes de courbures, aussi bien qu’une théorie de l’appareillage. Chaque fois que Monge introduit une notion nouvelle il prend soin, dans le corps même du cours, de décrire des situations concrètes où ces notions interviennent. Il suggère des applications possibles de la géométrie descriptive et, inversement, permet à son auditoire de mieux saisir les notions abstraites.

4. L’enseignement de la géométrie descriptive

34Monge, qui avait certainement souffert à Mézières du mépris aristocratique que lui valaient ses origines modestes, s’engage corps et âme dans la Révolution. Patriote dès le printemps 1789, enthousiaste au lendemain de la prise de la Bastille, ses positions politiques vont se radicaliser durant la Révolution. Élu par l’Assemblée législative au poste de ministre de la marine, le lendemain du 10 août 1792, il démissionne huit mois plus tard.

35Il continue néanmoins à participer activement au mouvement révolutionnaire et à l’effort de guerre engagé par le Comité de salut public. Mais son activité « révolutionnaire » la plus marquante, concerne sa participation aux débats pédagogiques de l’époque et aux réalisations qui en résultent. Fort de la confiance du Comité de salut public et d’une expérience d’enseignant qu’aucun des autres grands mathématiciens de l’époque ne possèdent, il se trouve souvent en position d’imposer ses vues. Indépendamment de sa participation à l’École des armes, il fut, à des degrés divers, impliqué dans deux des grandes institutions créées sous la Révolution, l’éphémère École normale de l’an III et l’École centrale des travaux publics — qui devait prendre le nom d’École polytechnique un an plus tard. Et c’est à travers ces projets, réalisés ou non, que va prendre corps la géométrie descriptive.

4.1. Un projet pour les écoles secondaires

36À la suite du texte de Condorcet sur l’enseignement présenté à l’Assemblée législative en avril 1792, différentes propositions concernant l’enseignement technique avaient été élaborées. En septembre 1793 Monge rédige un projet d’organisation d’écoles secondaires, pour le département de la Seine, destinées « aux artistes et ouvriers »16. C’est dans ce document qu’apparaît pour la première fois l’expression « géométrie descriptive ».

L’ordre de connaissance dont il s’agit ici est fondé sur une géométrie particulière des trois dimensions dont il n’existe pas de traité bien fait ; sur une géométrie purement descriptive, mais rigoureuse, et dont l’objet est de représenter par des dessins qui n’ont que deux dimensions des objets qui en ont trois. Cet art est pour ainsi dire une langue commune nécessaire au chef d’ateliers qui dirige des travaux, et aux ouvriers qui doivent les exécuter ; il réunit pour l’éducation deux avantages précieux ; 1° par la rigueur dont il est susceptible, il présente aux bons esprits une certitude avec laquelle il est sans contredit très important que soient familiarisés les individus d’une grande nation qui ne veut pas être le jouet du premier imposteur ; 2° par la généralité de ses procédés, il fournit aux jeunes gens même qui ont le plus de sagacité le moyen d’exercer leurs facultés et de développer leur intelligence (Monge, 1992, 579).

37Sur les soixante-dix professeurs qu’il estime nécessaires pour faire fonctionner ces écoles, cinquante doivent enseigner la géométrie descriptive, ce qui donne une idée de l’importance relative qu’il accorde à cet enseignement.

38Adopté le 15 septembre 1793 par la Convention, le projet est néanmoins remis en discussion le lendemain. Ajourné, il ne sera jamais à nouveau discuté. Cet échec toucha certainement Monge, mais il reprit l’idée d’une large diffusion de la géométrie descriptive par l’intermédiaire de l’École normale de l’an III.

4.2. L’École normale de l’an III

39Lorsque l’École normale ouvre ses portes, le premier pluviôse an III (20 janvier 1795), aux 1400 élèves recrutés dans toute la France sur des critères autant patriotiques que scientifiques, l’objectif est de former les futurs professeurs des écoles secondaires. En inscrivant dans le cursus des étudiants de l’École normale un cours de géométrie descriptive qui ne s’imposait pas avec la même évidence que pour les élèves-ingénieurs, Monge reprenait, d’une manière détournée, son projet pour les écoles secondaires qui n’avait pas abouti. Ces futurs enseignants devaient assurer la diffusion de la nouvelle discipline à travers tout le pays et lui conférer un rôle majeur dans la formation générale de l’ensemble de la population.

40L’importance de l’effectif, le niveau inégal — et généralement bas en mathématiques — des étudiants, la brièveté des cours (quarante-cinq minutes), amenèrent très vraisemblablement l’orateur à ne pas rentrer dans le détail technique des démonstrations et les sténographies, largement complétées a posteriori (comme pour les autres cours de l’École normale), ne donnent sans doute qu’une idée très approximative des leçons effectivement prononcées.

41Monge adjoignit à ces leçons des séances de travaux graphiques qui eurent lieu dans l’église de la Sorbonne et pour lesquels Hachette et Lacroix le secondèrent. La fermeture prématurée de l’École, après quatre mois de fonctionnement seulement, ne laissa à Monge que le temps de prononcer treize leçons dans l’amphithéâtre du Muséum d’histoire naturelle, déséquilibrant largement l’économie générale du cours. Si le cours de Monge qui nous est resté est celui de l’École normale, c’est à travers l’organisation de son enseignement à l’École Polytechnique que l’on peut le mieux lire ses intentions concernant la géométrie descriptive.

4.3. L’École polytechnique

42Monge fut le principal architecte de l’École Polytechnique et la création de cette école constitue sa participation la plus marquante aux projets pédagogiques de la Révolution. Installée dans les dépendances du Palais-Bourbon à sa fondation, elle est destinée à devenir le lieu unique de formation des ingénieurs, tant civils que militaires, et se substitue à la fois à l’École du génie de Mézières et à l’École des ponts et chaussées dont elle s’inspire largement17. Par contre les effectifs de l’École révolutionnaire sont sans commune mesure avec ceux de ses ancêtres de l’Ancien Régime : près de 400 élèves sont recrutés la première année.

43Entre le 1er germinal (21 mars 1795) et le 7 prairial (26 mai), Monge donne 34 leçons qu’il interrompt brutalement en Prairial. Le 8 thermidor (26 juillet), il reprend ses cours et poursuit jusqu’au début de l’an IV (fin octobre 1795), les leçons d’application à la coupe des pierres et des bois, au tracé des ombres et à la perspective, toujours sur le rythme soutenu de six séances par décade. Mais après cette date, il confie à son adjoint Hachette la responsabilité pleine et entière de l’enseignement de la géométrie descriptive.

44Monge reprend donc de l’École royale du Génie de Mézières, l’idée selon laquelle la formation des ingénieurs doit comprendre un apprentissage de la représentation de l’espace, des volumes, des surfaces et de leurs intersections. Comme nous l’avons vu, cette formation était assurée, à Mézières, par la stéréotomie. À l’École polytechnique, Monge confère ce rôle à la géométrie descriptive. Ainsi une théorie géométrique, cohérente et abstraite, devient le véhicule de cette formation toujours considérée comme primordiale.

5. La géométrie descriptive et les idéaux de la Révolution

45La géométrie descriptive apparaît ainsi comme une discipline emblématique des idéaux pédagogiques portés par les Encyclopédistes et repris sous la Révolution, et ce d’au moins quatre façons : elle étend la sphère de la science, elle constitue une discipline au cœur de l’articulation théorie/pratiques, elle permet de créer un langage universel scientifique et de répondre à un problème de scolarisation.

La géométrie descriptive étend la sphère de la science

46Pour comprendre le rôle imparti à la géométrie descriptive dans la formation polytechnicienne, il faut avoir en mémoire l’importance que revêt, durant tout le XVIII^e siècle, mais encore au XIX^e, le dessin et son apprentissage nécessaire à la figuration de tout projet d’ingénieur. Dessin de représentation, mais aussi dessin explicatif du procédé de fonctionnement ou de fabrication des objets, l’essentiel de l’information passe par ce langage universel.

47L’apprentissage du dessin a des vertus pédagogiques certaines ; apprendre à dessiner c’est aussi apprendre à observer, à analyser, à choisir, et ces facultés sont essentielles dans la formation de l’ingénieur. Par nécessité, l’ingénieur du XVIII^e siècle doit être un « ingénieur-artiste », pour reprendre l’expression de Picon et Yvon (1989). La géométrie descriptive peut être vue comme l’une des branches « des arts du dessin (d’ingénieur) », ce qui justifierait déjà son enseignement à l’École polytechnique. Mais elle prend une dimension supplémentaire dans le projet pédagogique de Monge car elle lui permet de réunifier le dessin et les mathématiques, les deux branches principales de la formation des ingénieurs au XVIII^e siècle.

48Cette volonté se reflète très bien dans l’Organisation de l’École centrale des travaux publics (Langin, 1980) où Monge distingue « deux genres [de connaissances] : les unes relatives aux mathématiques ; les autres à la physique ». Les connaissances mathématiques comprennent « l’analyse et la description graphique des objets », cette dernière étant elle-même subdivisée entre « la géométrie descriptive et l’art du dessin ». On voit, dans ce schéma arborescent des enseignements, non seulement la place attribuée à la géométrie descriptive, mais aussi son rôle charnière qui permet à Monge de classer toute la partie relative à « la description graphique des objets », et donc le dessin, comme une sous-partie des mathématiques. La géométrie descriptive contribue ainsi à étendre la sphère de la science et participe de sa marche conquérante dans des domaines qui, jusqu’alors, lui étaient restés extérieurs.

49Langage universel, langage commun à « l’homme de génie qui conçoit un projet, à ceux qui doivent en diriger l’exécution, et aux artistes qui doivent eux-mêmes en exécuter les différentes parties » (Monge, 1992, 305), mais aussi langage commun aux différentes spécialités d’ingénieur et aux différentes corporations civiles ou militaires, la géométrie descriptive ourdit entre les acteurs de production un moyen de communication à la fois dans sens de la chaîne et dans le sens de la trame, susceptible de favoriser l’éclatement des corporations de l’Ancien Régime.

La géométrie descriptive répond au problème de scolarisation

50Nous avons vu l’importance accordée à l’École du génie de Mézières à l’enseignement de stéréotomie et sa fonction pédagogique d’apprentissage de la « vision dans l’espace » qui lui était attribuée. Ce choix était doublement révélateur. Révélateur d’abord d’une reconnaissance de la richesse formatrice des savoir-faire des métiers. Cette reconnaissance n’allait pas de soi au XVIII^e siècle, compte tenu du mépris qu’inspirait encore le travail manuel dans la société française. Mais ce choix est également révélateur du fonctionnement de l’École du génie de Mézières et d’un enseignement qui tient encore beaucoup de l’apprentissage, d’une formation sur le tas praticable uniquement en petits groupes.

51Le transfert, sur une discipline abstraite et scolaire, de la fonction formatrice réservée à la stéréotomie à l’École du génie de Mézières, n’est possible que parce que la géométrie descriptive parvient également à théoriser et à déplacer d’une pratique vers une construction abstraite, l’étape essentielle qui permet la découverte de nouveaux volumes, de « formes inconnues, qui résultent nécessairement des formes primitives données » (Hachette, 1822, xj). Dans ce rôle, l’analogie avec la méthode de taille des pierres dite « par équarrissement » est totale. Cette technique de taille permet en effet d’obtenir un voussoir à partir de ses projections sur deux faces d’un bloc équarri, sans que le volume ait été conçu préalablement dans sa totalité18.

52Au moment de la taille d’une pierre par équarrissement, le volume apparaît, dévoile ses formes peu à peu, sans qu’il ait été nécessairement prédéterminé géométriquement ; d’où l’expression, extrêmement suggestive, de taille par « dérobement » utilisé par Frézier. Or il y a dans la construction de l’épure un processus du même ordre, quoique entièrement graphique. La géométrie descriptive permet, en effet, de progresser pas à pas dans la recherche du volume, à l’aide de quelques principes simples, de deux algorithmes propres, selon Charles Dupin, ceux de projection et de rabattement.

53La force de la géométrie descriptive dans cette activité de recherche, vient de ces moyens algorithmiques et systématiques qui permettent d’avancer de façon sûre et progressive. Il n’est pas nécessaire de « voir » l’objet dans l’espace avant d’en faire l’épure ; grâce à la géométrie descriptive on peut découvrir une forme que l’on n’arrivait pas à imaginer. La géométrie descriptive permet de représenter sur une feuille de papier des objets tridimensionnels, mais pour la représentation d’objets aux formes simples, elle reste un moyen très abstrait et difficile à saisir, par rapport à d’autres modes de représentation de l’espace et en particulier à l’axonométrie. Pour s’en convaincre il suffit de constater que toutes les notices d’assemblage ou de montage de meubles, jeux ou autres objets livrés en kit utilisent toujours des représentations axonométriques. La géométrie descriptive ne devient irremplaçable qu’à partir du moment où l’on doit représenter un objet complexe qui ne peut pas être imaginé d’une manière immédiate, comme par exemple l’intersection de deux surfaces quelconques. Le problème est alors de représenter cette intersection sur la feuille de papier sans en avoir une « représentation mentale » préalable. C’est cette étape que la géométrie descriptive permet de franchir.

54La géométrie descriptive devient une méthode graphique universelle, applicable à toutes les techniques particulières, parce qu’elle théorise les deux phases essentielles de la représentation des objets : la découverte des formes et la représentation des surfaces. Elle permet ainsi de progresser dans la résolution d’un problème pratique (tracé des ombres, gnomonique, défilement, …) par un va-et-vient entre ces deux pôles. Or ces deux phases sont directement issues de la géométrie pratique des appareilleurs. Mais là s’arrête la comparaison avec la formation sur le tas des tailleurs de pierres. À la « routine aveugle » transmise par la tradition, Monge substitue l’enseignement d’une technique graphique universelle et aux « pratiques tatonneuses » que dénonçait déjà Desargues (Sakarovitch, 1994, 359), l’exposé de quelques méthodes simples.

55Car en conceptualisant et théorisant les étapes parcourues pour arriver à la découverte des formes, la géométrie descriptive permet de décrire les opérations géométriques qui ont été nécessaires pour la détermination de cet objet. Elle « rend sensibles toutes ses conceptions, toutes ses opérations et les grandeurs graphiques sont pour elle un moyen de peindre dans l’espace, et sa marche et ses résultats » (Dupin, 1813, 237). C’est là une des différences essentielles entre la géométrie descriptive et les techniques graphiques utilisées antérieurement, aussi proches semblent-elles au vu de certaines épures du chapitre précédent. La géométrie descriptive ne se contente pas de représenter les objets, elle représente également les constructions géométriques qui ont été nécessaires à l’obtention du résultat. C’est en cela que la géométrie descriptive relève de l’esprit analytique tant magnifié dans les cours de mathématique de l’École normale. Une épure de géométrie descriptive est de ce fait quasi « self-contained » et devient ainsi un incomparable outil pédagogique. L’auteur de l’épure peut se relire, revenir sur ses pas, reprendre éventuellement une construction erronée, comme lorsque l’on écrit une démonstration ou lorsque l’on argumente une idée on est amené à relire des paragraphes antérieurs. En un mot, elle permet d’apprendre et non de répéter des gestes. « Il est nécessaire d’écrire au fur et mesure les découvertes faites [pour pouvoir] revenir avec certitude sur ses pas… la géométrie nouvelle sert en même temps, et à décrire ce que l’esprit voit, et à écrire, et ainsi à fixer de manière invariable, ce que l’esprit a vu » (Olivier, 1843, VIII). De plus, comme à tout moment quand il y a théorisation, on accroît la généralisation des procédés. Les traités de stéréotomie « n’éclairent point sur la manière dont il faudrait s’y prendre pour résoudre des questions qui n’y sont pas traitées » (Lacroix, 1795, III). Ou, pour parodier la maxime taoïste, les traités de taille des pierres donnent des poissons à manger, la géométrie descriptive apprend à pêcher.

56Discipline scolaire qui naît dans l’école, par l’école et pour l’école19 (mais peut-être faudrait-il dire « dans l’École polytechnique, par l’École polytechnique et pour l’École polytechnique »), la géométrie descriptive permet de passer d’un processus de formation par apprentissage en petits groupes, qui caractérise l’École du génie de Mézières, à un enseignement en amphithéâtre, avec cours magistraux, travaux pratiques et exercices, de passer de vingt à quatre cents étudiants. Discipline scolaire au sens usuel du terme, elle relève aussi de « la méthode révolutionnaire ». Moyen « d’enseigner l’espace » de manière accélérée par rapport à l’enseignement ancien de la stéréotomie, langage abstrait, minimal, rapide, de l’ordre de la sténographie, la géométrie descriptive permet de répondre à la situation d’urgence quant à la formation des élites, qui était celle de la France au moment de la création de l’École polytechnique.

La géométrie descriptive au cœur de l’articulation théorie/pratique

57La géométrie descriptive peut être vue de multiples façons comme un lieu de l’articulation théorie/pratique. Tout d’abord, elle fait partie des mathématiques appliquées, au sens usuel du terme, par la pluralité des divers champs pratiques qu’elle théorise et dont elle peut, par là-même, favoriser le progrès. Considérée plus avant dans l’arbre des connaissances de Monge, la géométrie descriptive se décompose elle-même en trois parties : la stéréotomie, l’architecture et la fortification, chacune de ces parties donnant son nom à une promotion de l’École. Monge donne le détail ces trois enseignements :

La stéréotomie donnera les règles générales et les méthodes de la géométrie descriptive. Elle en fera successivement l’application : à la coupe des pierres, à la charpenterie, aux ombres des corps, à la perspective linéaire et aérienne, aux cartes et plans, au nivellement, aux machines simples, aux principales machines composées.
Relativement à l’architecture, on enseignera tout ce qui concerne : le tracé, la construction et l’entretien des chaussées, des ponts, des canaux et des ports, la conduite des travaux des mines, la construction, la distribution et la décoration des édifices particuliers ou nationaux, l’ordonnance des fêtes publiques. On exposera les principes généraux de ces différents genres d’architecture.
La fortification sera considérée sous les rapports les plus étendus. On apprendra à fortifier : les postes, les places et les frontières ; à les attaquer et à les défendre (Langin, 1980).

58Ce schéma d’organisation place donc la géométrie descriptive « à la tête d’un vaste empire » et nombre des applications se trouvent donc présentées à travers cette branche de la géométrie.

59Mais la spécificité de la géométrie descriptive ne tient pas tant à l’étendue, réelle ou supposée, de ses applications potentielles, qu’à certaines caractéristiques propres qui lui confèrent une place privilégiée au cœur de l’articulation théorie/pratique.

60Partie de la géométrie savante directement issue de diverses géométries pratiques — et principalement celle mise en œuvre chez les tailleurs de pierre — elle ne se comprend, ou du moins ne se maîtrise elle-même en retour que par une certaine pratique des différentes techniques qu’elle théorise et qui, de ce fait, sont intégrées au programme de l’École.

61De plus, la géométrie descriptive exige une certaine habileté dans l’art du dessin et, en l’étudiant, « l’élève aura en même temps exercé son intelligence et l’adresse de ses mains »20. Partie intégrante des mathématiques, elle ne se réduit pas pour autant à l’expression de raisonnements abstraits, elle nécessite de manière intrinsèque, la production d’un document graphique concret, à la qualité duquel concourent de façon inséparable la justesse du raisonnement et la précision du trait. Par l’usage de l’encre, des couleurs, du lavis, des hachures, du rendu, l’épure de géométrie descriptive est un dessin à part entière. Au plaisir de trouver la solution d’un problème de géométrie s’ajoute, pour l’auteur d’une épure, le plaisir de la production d’une image, parfois inattendue, possédant une esthétique propre. Or cette situation est, dans le champ des mathématiques, spécifique de la géométrie descriptive.

62Enfin insistant à plusieurs reprises sur le parallélisme entre géométrie descriptive et analyse, Monge enseigne ces deux disciplines simultanément et présente la géométrie descriptive comme la discipline qui vient concrétiser, qui permet de visualiser une autre branche des mathématiques, plus abstraite qu’elle, l’analyse. Dans le couple abstrait/concret, la géométrie descriptive occupe alors le pôle inverse de celui qu’elle occupait précédemment. La géométrie descriptive apparaît ainsi comme une discipline emblématique de l’articulation entre une théorie et ses applications et plus largement de l’articulation théorie/pratique qui est au cœur de la formation des ingénieurs.

Conclusion

63La géométrie descriptive présente ainsi, dès sa création, un double visage. Elle est à la fois une discipline entièrement nouvelle, « révolutionnaire », qui trouve son nom, son objet, sa place dans les mathématiques avec les cours de Monge. Manière tout à fait inédite d’aborder la géométrie à trois dimensions ou plus exactement de relier géométrie plane et géométrie dans l’espace, elle est encore révolutionnaire par la position à laquelle elle peut prétendre dans le système scolaire, dans la formation des élites comme dans la formation technique générale. Mais simultanément elle apparaît comme le stade ultime d’une tradition qui s’épuise, comme un dernier perfectionnement des techniques graphiques antérieures et à ce titre elle signe l’aboutissement d’un processus d’évolution autant que l’acte de naissance d’une nouvelle branche de la géométrie. À ce titre également on peut la lire comme une discipline de transition qui permet de passer, en douceur, de « l’ingénieur artiste » de l’Ancien Régime dont la formation s’appuie plus sur la pratique du dessin que sur l’apprentissage des disciplines scientifiques, à « l’ingénieur savant » du XIX^e siècle pour lequel les mathématiques — et plus particulièrement l’analyse — vont devenir le pilier central de la formation.