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Géométrie pratique

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Dominique Raynaud

La construction des polygones réguliers au XVIIe siècle : ingénieurs et mathématiciens

Dominique Raynaud

Texte intégral

Je remercie Guillemette Reviron pour les suggestions faites sur une version préliminaire de cette étude.

1Nous étudions les méthodes de construction des polygones réguliers proposées par quatre auteurs du XVIIe siècle : deux ingénieurs, Ambroise Bachot et Antoine de Ville, un érudit, Scaliger, et un mathématicien, François Viète. Certaines de ces méthodes se distinguent de la recherche de solutions exactes, typiques de la géométrie pure. Elles visent des solutions générales et approchées qui s’avèrent plus utiles aux ingénieurs, moins sensibles à l’exactitude mathématique qu’à des méthodes faciles à mémoriser et rapides à mettre en œuvre. La comparaison montre que les solutions de l’ingénieur et du mathématicien diffèrent quant aux connaissances mobilisées, quant au sens donné à la notion d’approximation et quant à ce que constitue une approximation acceptable. L’art des fortifications a impulsé une nouvelle approche des méthodes de construction des polygones réguliers. Cette approche échappe au canon des mathématiques pures non par ignorance, mais en connaissance des erreurs tolérées dans les constructions géométriques.

Introduction

  • 1 Il s’agit en réalité d’un type de représentation purement conventionnel, qui n’a de perspective que (...)

2En 1576, Jacques Androuet du Cerceau publie ses Leçons de perspective positive. Six ans plus tard, il fait paraître le troisième Livre d’architectvre […] avqvel sont contenves diverses ordonnances de plants et élévations de bastiments (1582). La perspective linéaire y est systématiquement remplacée par des « perspectives sur la vue de côté », connues aujourd’hui sous le nom de perspective parallèle1, avec deux cas principaux : la « perspective cavalière » lorsque la face frontale est vue en vraie grandeur ; la « perspective militaire » lorsque le plan est vu en vraie grandeur.

3Entre 1576 et 1582, Androuet passe de la perspective linéaire à la perspective cavalière pour des raisons purement pratiques. La perspective cavalière est moins réaliste que la perspective linéaire, mais elle présente un avantage que la première n’a pas : elle autorise la lecture en vraie grandeur des figures. Elle est donc très pratique pour établir le toisé d’un bâtiment : on peut alors mesurer les dimensions de l’ouvrage directement sur la vue perspective. Ce type de perspective parallèle (cavalière ou militaire) a été largement diffusé chez les ingénieurs, au point que le choix entre perspective linéaire et cavalière est aujourd’hui devenu une marque distinctive des cultures respectives des architectes vs. des ingénieurs.

4Androuet du Cerceau, qui savait construire la perspective linéaire, a donc choisi de ne pas l’utiliser quand il raisonnait en bâtisseur. Nous touchons à un cas paradigmatique de changement d’approche d’un problème motivé par des considérations pratiques. Cette situation est-elle généralisable ? On peut distinguer deux cas. Certains exemples montrent que le savoir peut parfois se développer et se différencier sans être dénaturé par l’activité pratique. Les lois de la réflexion pour la construction des télescopes, les lois de la résistance de matériaux pour la conception des bâtiments, les lois de la balistique pour le tir des obus illustrent le cas typique des « mathématiques pour l’ingénieur ». Mais il est d’autres situations où le savoir change de nature au contact de la pratique. Cela intervient chaque fois que les motifs utilitaires interfèrent avec le mode de production ou de validation de connaissances vraies. Par symétrie, je baptiserai ces cas « l’ingénierie contre les mathématiques ».

Polygones réguliers et architecture militaire

5Le regain d’intérêt pour les polygones réguliers dans les ouvrages du XVIe siècle et du XVIIe siècle s’explique par l’emploi de la géométrie dans l’art des fortifications – qu’Ambroise Bachot nomme les « guerrieres mathematiques ». En atteste par exemple La Fortification demonstrée et reduicte en art publiée en 1600 par l’ingénieur du Roy Jean Errard (1554-1610). Dans l’introduction du Livre II, consacré aux différents types de places, Errard écrit :

« L’art de Fortification ne consiste en autre chose, qu’à cliner ou decliner les lignes sur lesquelles sont jettez les fondemens du contour & circuit d’vne place, en sorte que l’ennemy l’attaquant en quelque sorte que ce soit, puisse être veu & offencé & au front, & au flanc […] Ceste inclination de lignes ne se peut faire sans Angles, saillans & rentrants » (Errard 1622, 16v).

6Les principes de défense qui ont fixé l’attention sur les polygones réguliers sont que : 1° l’ennemi pouvant attaquer de tous côtés, la place doit être fortifiée à 360° ; 2° l’ennemi étant affaibli par les tirs croisés, la place doit présenter des angles : d’où le choix très fréquent des polygones réguliers étoilés ; 3° les polygones réguliers présentent des faces identiques dans toutes les directions, ce qui contribue à désorienter l’ennemi.

7Cette religion de l’angle conduira Errard à calquer le plan du Livre II sur l’énumération des polygones réguliers, du carré au 24-gone inclus ! La Figure 1 ne les reproduit que jusqu’au dodécagone.

Figure 1. Polygones réguliers, Errard, La Fortification demonstrée et reduicte en art (1600),

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source : BnF Gallica.

8On tirerait la même conclusion à partir de traités italiens contemporains, comme celui de Vincenzo Scamozzi, L’Idea dell’architettura universale paru à Venise quelques années plus tard (Scamozzi 1615). Au chapitre 24 du livre II, Delle forme ad uso delle fortezze reali, e delle rocche, castelli, cittadelle e de’ forti in campagna, il présente les polygones réguliers comme des modèles de places fortes. Que le tracé des polygones ait été pensé en rapport avec la construction d’ouvrages militaires apparaît au fait que Scamozzi donne, à la base de chaque polygone, les « lignes de défense rasantes », qui naissent à la pointe des bastions et meurent à l’angle du flanc, déterminant ainsi l’épure des bastions et des courtines.

9Même conclusion encore, à partir du Premier inventaire des termes et pièces de la fortification (Bourdin 1639). On trouve dans cet ouvrage une planche représentant un réseau de cinq forteresses, dont chacune a pour modèle un polygone différent (par exemple, un pentagone, un hexagone, un heptagone, un octogone et un ennéagone).

Méthodes de construction des polygones réguliers

10On nomme aujourd’hui polygones réguliers ce que l’on appelait jadis « polygones équilatères et équiangles ». L’expression était plus explicite. Un polygone équilatère n’est pas nécessairement équiangle ; ni un polygone équiangle nécessairement équilatère.

  • 2 Un n-gone régulier est constructible à la règle et au compas si n est le produit d’une puissance de (...)
  • 3 Les deux propositions fondamentales sont les propositions 17-18. Prop. 17, Archimède construit une (...)

11Dans les Éléments, Euclide donne la construction (et/ou l’inscription et la circonscription) du triangle, prop. I, 1 et IV, 2-5, du carré, prop. I, 46 et IV, 6-9, du pentagone, prop. IV, 10-14, de l’hexagone, prop. IV, 15, et du pentadécagone, prop. IV, 16, omettant ainsi la construction des polygones d’ordre 7 à 14, dont certains ne sont pas constructibles à la règle et au compas2. D’autres constructions nous sont parvenues. Citons la construction du pentagone régulier par Ptolémée (1813, 27-29) ; la construction approchée de l’heptagone dans laquelle l’apothème est pris égal au côté de l’hexagone inscrit (Schöne 1903, 54-56) ; la construction de l’heptagone régulier par Archimède, connue seulement par la traduction arabe de Thābit b. Qurra (Schoy 1927, 74-84 ; Knorr 1989, 257-271)3.

12Les géomètres arabes ont complété ces recherches en étudiant la construction des polygones non constructibles à la règle et au compas au moyen des sections coniques. En se limitant au cas de l’heptagone régulier, on observe trois directions de recherche, impulsées au fond par trois types de lecture des prop. 17-18 du Livre d’Archimède sur la construction du cercle divisé en sept parties égales (Hogendijk 1984 ; Rashed 1979, 2004).

  1. Certains géomètres, jugeant la prop. 17 inutile, ont voulu résoudre directement la prop. 18 par intersection, soit de deux hyperboles (al-Qūhī), soit d’une hyperbole et d’une parabole (al-Qūhī, Ibn al-Haytham).
  2. D’autres ont tenté de justifier la prop. 17 par intersection, soit de deux hyperboles (al-Ṣaghānī, Kamāl al-Dīn), soit d’une hyperbole et d’une parabole (Abū al-Jūd, al-Sijzī), soit de deux paraboles (Ibn al-Haytham).
  3. D’autres, enfin, ont choisi de remplacer la prop. 17 par une autre construction auxiliaire, et l’ont traitée par intersection, soit de deux hyperboles (Nasr b. ‘Abdallāh, Ibn al-Haytham), soit d’une hyperbole et d’une parabole (Ibn al-Haytham).

13Une toute autre voie a été explorée dans les traités de géométrie pratique. Abū al-Wafā’ (m. 997) consacre les chapitres III à V de son Livre sur les constructions géométriques nécessaires aux artisans/Kitāb fī mā yaḥtāju al-ṣāni‘ min al-a‘māl al-handasiyya, aux problèmes d’inscription, de circonscription ou de construction sur un côté donné des polygones réguliers. L’approche d’Abū al-Wafā’ se caractérise par :

  1. son systématisme (les polygones sont étudiés, du triangle équilatéral au décagone) ;
  2. la présentation de constructions approchées quand les constructions à la règle et au compas sont impossibles ;
  3. la recherche délibérée de variantes constructives.
  • 4 Abū al-Wafā’ étudie le triangle équilatéral (III, 26, IV, 36, V, 52-53, deux méthodes), le carré (I (...)
  • 5 Ce dernier texte a peut-être joué un rôle dans la diffusion des constructions géométriques dans l’O (...)

14On dénombre au total trente méthodes différentes pour construire les huit polygones étudiés (Woepcke 1855 ; Krasnova 1966)4. Ces constructions seront reprises dans le Commentaire sur les constructions géométriques/Sharḥ a‘māl al-handasiyya de Kamāl al-Dīn Ibn Yūnus (m. 1242), qui leur en adjoint d’autres. On notera l’introduction de solutions exactes par les coniques, indice que son livre n’est plus destiné aux artisans comme l’était celui d’Abū al-Wafā’ (Mashhad, Astan Quds, ms. 5357, ff. 38r-39r)5.

15Si l’on excepte quelques auteurs comme Jordanus Nemorarius (1887, 42-43) [heptagone], ce sont principalement les praticiens qui se sont occupés de la construction des polygones réguliers dans l’Europe du Moyen Âge et de la Renaissance : Mathes Roriczer (Shelby 1977, 116-120) [pentagone, heptagone, octogone] ; Hans Hösch (Heideloff 1844, 96-97) [pentagone, heptagone, octogone] ; Léonard de Vinci (1881, fol. 17v, 16v, 12vr) [triangle, carré, pentagone, hexagone, heptagone, octogone] ; Albrecht Dürer (1995, 204-210) [tous les polygones, du carré au 14-gone]. Ces solutions suivent globalement la même tradition, à deux remarques près : 1° elles témoignent d’une érosion théorique, la « justesse visuelle » des constructions venant souvent se substituer à l’exactitude mathématique ; 2° certaines de ces constructions approchées sont originales, comme le pentagone (équilatère, non équiangle) de Roriczer, Hösch et Dürer, qui connaîtra une large diffusion.

16Considérons la façon dont les polygones réguliers ont été envisagés jusqu’au XVIe siècle, dans la période qui précède les travaux que nous allons passer en revue dans ce chapitre. Cette tradition de recherche exhibe deux caractéristiques principales :

  1. Les constructions géométriques sont entreprises au moyen de méthodes variées : constructions platoniciennes à la règle et au compas, neuseis archimédiennes, sections coniques, et dans de rares cas, mise en rapport avec des équations cubiques (Abū al-Jūd, Ibn Nasr b. Irāq, Kamāl al-Dīn).
  2. Les constructions sont, dans l’ensemble, spécifiques : à polygone donné, construction donnée. Les exceptions se limitent à la construction du 2k-gone, obtenue par bissection des côtés du k-gone correspondant (par exemple : pentagone/décagone).

17Comme nous allons le voir, ce sont ces deux règles tacites – variété des méthodes et spécificité des constructions – qui vont être remises en question dans les traités de géométrie pratique des XVIe et XVIIe siècles.

Ambroise Bachot (1598). Une construction par mesure des angles

18En 1598, Ambroise Bachot (m. après 1600) – capitaine-ingénieur du Roy, à qui Henri IV commanda la restauration des fortifications de Melun – fait paraître Le Gouvernail, un traité essentiellement consacré aux fortifications et aux machines de guerre. On y trouve plusieurs constructions approchées des polygones. La synthèse apparaît dans une planche non paginée, qui présente tous les polygones réguliers – du triangle au décagone – construits sur un côté donné : « Sur la moitié d’un cercle, trouuer infinis angles par le moien dais 180 parties sur yselui marquées, comme il apert sur la figure ». La planche de Bachot n’étant pas davantage commentée (Figure 2), nous reproduisons le texte d’accompagnement que donnent Jean Errard et Antoine de Ville, dans leurs traités respectifs de Fortifications.

« Il sera besoin de trouuer l’Angle du Centre pour former chacun Triangle, & de trouuer le costé. Ce que se fera en diuisant trois cents soixante degrez par le nombre des costez, & le quotient donnera ledit Angle : Comme pour exemple. En l’Heptagone faut diuiser trois cents soixante par sept : le quotient sera cinquante & vn trois septiémes, pour l’ouuerture d’iceluy Angle marqué A » (Errard 1622, 22r).
« On peut encor décrire la Figure par l’angle du costé, ce qui est autant ou plus commode que la diuision du cercle : pour ce faire il faut auoir vn demi cercle diuisé iustement en 180. parties ; et lors qu’on voudra faire vne Figure à tant de costez qu’on voudra, on supputera de combien de degrés est l’angle du costé d’icelle, comme nous auons dit cy-deuant. Par apres on tirera vne ligne de la longueur qu’on veut estre le costé de la Figure, & sur l’extremité d’icelle on fera vn angle d’autant de degrez qu’on a treuué auoir l’angle du costé de la Figure, & de mesme sur l’autre extremité, continuant ainsi iusques que la Figure soit complete » (De Ville 1628, 38).

Figure 2. Construction des polygones, Bachot, Le Gouvernail (1598),

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source : BnF Gallica.

19Soit le côté donné AnA1 (Figure 3). Traçons un demi-cercle de centre A1 et de rayon AnA1 et divisons-le en 180 degrés. Partons de l’identité de l’angle extérieur et de l’angle au centre α = 2π/n. C’est l’angle que fait le côté AnA1 prolongé avec le côté adjacent A1A2 recherché. On trace donc à partir du point A1 une droite d’angle extérieur An’A1A2 = α. Cette droite coupera le cercle en A2, deuxième sommet du polygone régulier. Pour obtenir le polygone complet A1A2A3…An, soit on reproduit n fois la construction précédente à partir de A1, A2, A3… successivement, soit on détermine le centre O du cercle, avant de reporter au compas le côté A1A2 sur la circonférence. Le centre O est le point d’intersection de la médiatrice BnO élevée sur AnA1 et de la médiatrice B1O élevée sur A1A2.

Figure 3. Méthode 1. Reconstruction

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source : dessin de l’auteur.

20Cette méthode, utilisée tour à tour par Errard (1600, 22r), Scamozzi (1615, pl. II), Pomodoro (1624, pl. V), de Ville (1628, 38) et Nicéron (1638, pl. I), pose, en dépit de sa simplicité apparente, plusieurs problèmes.

21Premièrement, c’est une méthode approchée. L’angle au centre prend une valeur entière pour le triangle (120°), le carré (90°), le pentagone (72°) ou l’hexagone (60°), mais une valeur non entière pour certains polygones comme le 7-gone (51,428… °) ou le 11-gone (32,727… °). Les erreurs commises à chaque report se cumulent sur le dernier côté du polygone An-1An. Le polygone n’est donc ni équilatère, ni équiangle.

22Deuxièmement, Bachot élude le problème de construction en le déplaçant sur la mesure de l’angle : le polygone est construit à l’aide d’un rapporteur. Mais comment cet instrument était-il fabriqué à la fin du XVIe siècle ? Autrement dit, Bachot disposait-il d’une méthode exacte – numérique ou géométrique – pour diviser le cercle en 360° ?

231° La première possibilité consiste à fixer le rayon du cercle afin que sa circonférence mesure exactement 360 unités. Elle suppose la connaissance de π. Bachot s’aventure à donner une valeur de π dans une des planches du Gouvernail (Figure 4).

Figure 4. Approximation de π, Bachot, Le Gouvernail (1598),

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source : BnF Gallica.

« Familiere demonssetration de reduire la circonference à vne ligne droicte pour par icelle àvoir la congnoissence de la longueur de la circonference etendue laquelle est notée par I et K. »

24Le cercle de diamètre DC a un rayon de 2 unités. La corde IK est prise sur un cercle IDK de 7 unités de rayon. Dans le triangle rectangle ICH, l’hypoténuse IH = 7, la hauteur CH = 3, donc

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25Bachot affirmant l’égalité de la circonférence du cercle et de la corde IK,

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26Cette valeur témoigne du peu de culture mathématique de Bachot. Son approximation est plus mauvaise que la valeur héronienne 22/7 = 3,142857… Elle ne permet pas donc pas de trouver le rayon d’un cercle de circonférence donnée.

272° La deuxième possibilité consiste à diviser le cercle par des méthodes géométriques. La division du quart de cercle in tres, in binas, in tres, in quinque secato est impossible à la règle et au compas, parce qu’elle demande d’effectuer la trisection et la quintisection de l’angle. La trisection peut s’appuyer sur plusieurs procédés, connus et transmis depuis l’Antiquité (neusis d’Archimède, conchoïde de Nicomède, quadratrice de Dinostrate), mais Bachot n’en connaît aucun. Quant à l’opération in quinque secato, elle est généralement rejetée à la fin des opérations, pour être réalisée par approximation. On peut faire un calcul d’erreur en choisissant la moins mauvaise des méthodes (la deuxième) et en supposant que Bachot connaissait une méthode de trisection (ce qui est douteux). Étant parvenu à découper un angle Ô = 5° sur le cercle unité, il ne reste plus qu’à le diviser en cinq parties égales. Mais, ne disposant pas des méthodes de section de l’angle imaginées ultérieurement – de Viète-Anderson (1615) à Pellet (1888) – Bachot, qui ne voit pas le problème (1598, 6), ne pouvait que diviser la corde AF en cinq parties avant d’en projeter les divisions sur l’arc correspondant AF (Figure 5).

Figure 5ab. Division de l’angle de 5°. Reconstruction,

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source : dessin de l’auteur.

28Le triangle AOF est isocèle, Ô = 5°, donc ∠A = ∠F = 87,5°. OA est le rayon du cercle unité, donc OA = OF = 1. La corde de 5° prise sur le cercle est

29AF = 2 sin 5/2 = 0,087 239

30AB = AF/5 = 0,017 448.

Connaissant les relations : BH = AB sin Â, et Image, on peut calculer l’angle α = arc tan (BH/OH). On calcule de même α+β = arc tan (CH/OH). On procède ensuite par soustraction pour trouver les valeurs de α, β, γ, δ, ε :

31α = ε = arc tan (BH/OH) = 0,999 414°.

32β = δ = α+β – α = 1,000 252°.

33γ = 5 – 2 (α+β) = 1,000 670°.

34Les angles des polygones sont calculés en fonction de ces valeurs (Tableau 1, colonne 3). La comparaison de l’angle vrai α (colonne 2) et de l’angle au centre de Bachot α1 donne l’erreur relative (colonne 4). Mais comme la construction du polygone est faite de proche en proche, l’erreur commise sur un angle unique se cumule et atteint un maximum sur le dernier angle construit. On doit donc encore comparer l’angle restant du polygone αn = 360° – α1 (n – 1) à l’angle vrai, dont on tire l’erreur maximale, ou erreur relative cumulée (colonne 4). Le côté du polygone de Bachot inscrit dans le cercle unité est la corde de l’angle au centre 2 sin α/2 (colonne 6). On en déduit l’erreur relative sur le premier côté A1A2 et l’erreur relative cumulée sur le côté restant AnA1 (colonne 7).

35Le polygone régulier de Bachot n’est ni équiangle, ni équilatéral. Les erreurs angulaires et métriques sont sporadiques (elles ne varient pas en fonction de l’ordre du polygone, mais selon que l’angle au centre vrai est entier ou non ; qu’il est multiple de 5° ou non). Elles peuvent dépasser 5/100 lorsque l’angle au centre du polygone n’est pas entier (cas de l’heptagone ou du 11-gone).

36Remarquons enfin, au-delà des approximations, que le procédé de Bachot présente l’inconvénient de ne pas être une « méthode » au sens strict. C’est tout au plus un objet intermédiaire entre nomographie et mnémotechnique.

  • 6 Par commodité, les valeurs angulaires de ce tableau et des suivants sont indiquées en degrés fracti (...)

Tableau 16

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Antoine de Ville (1628). Une construction par n-section du diamètre

37Cette deuxième méthode est signalée par le mathématicien Jacques Ozanam (1640-1717) dans ses Récréations mathématiques : « On lit dans plusieurs ouvrages de géométrie pratique, une méthode générale pour l’inscription des polygones réguliers au cercle, que voici […] » (Ozanam 1750, 307). Cette construction a été utilisée par Fournier (1643, 486), Manesson Mallet (1702, 219), Saint-Julien (1705, 152-153), Clermont (1755, 40), Orsini (1771, pl. XIX-XII), Zacharie géomètre (1833, fig. 27-28). Elle est encore recommandée par Combette (1882, 275) et par Frede et Altenediker (1973, 21). Il est difficile d’identifier tous les livres de géométrie pratique auxquels Ozanam fait allusion, mais l’un d’entre eux au moins est connu.

38Il s’agit du traité d’Antoine de Ville (1596-1656), ingénieur du Roy qui réalisa la fortification de Montreuil-sur-Mer et celle de Pula, alors sous domination vénitienne. Son traité des Fortifications a été publié à Lyon, chez Barlet en 1628. La méthode à laquelle se réfère Ozanam est exposée au Livre I « De la fortification régulière » (Figure 6).

Figure 6. Construction des polygones, de Ville, Fortifications (1628),

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source : BnF Gallica.

Soit le cercle donné APB […] & son diametre BA, lequel soit diuisé par la premiere ouuerture du compas en cinq parties, comme il est enseigné par Euclide, Propos. 10. du 6. C’est à dire soit menée BH d’autant de parties, faisant l’angle HBA auec le diametre, & soient menées IG, LF, EM, ND paralleles à AH, & sera diuisé le diametre en cinq parties ; sur tout le diametre soit descrit le triangle equilateral ABC, & sur le point C, & sur la diuision D du diametre AB, on mettra la regle, & marquera l’intersection d’icelle, P, sur le demi cercle BPA. Si on prend le double de BP, qui est PR, ce sera la partie demandée de tout le cercle, laquelle reiterant cinq fois, le cercle sera diuisé, selon le requis en cinq parties (De Ville 1628, 38).

39L’intérêt de cette méthode réside dans sa simplicité opératoire. On peut en suivre les étapes sur la Figure 7, qui illustre la construction de l’heptagone régulier. Antoine de Ville divise tout d’abord le diamètre AB du cercle d’inscription par l’ordre du polygone régulier, soit 7 ici, ce qui produit les divisions D, E, F, G, H, I sur AB (cette étape de construction est la seule à être justifiée par une référence aux Éléments VI, 9). De Ville trace ensuite le triangle équilatéral ABC, dont la base est confondue avec le diamètre du cercle. Le sommet C du triangle équilatéral est alors joint à une division sur deux du diamètre, soient les points E, G, I. Ces droites couperont le cercle aux sommets du polygone : CE en K1, CG en K2, et CI en K3. Le sommet K7 est confondu avec le point B du diamètre. Les sommets restants K1 et K6, K2 et K5, K3 et K4 sont symétriques par rapport à la droite AB.

40Ozanam n’épargne pas ses critiques à l’auteur de cette méthode :

« [Je] ne parle ici de cette prétendue méthode que pour dire qu’elle est défectueuse, et n’a jamais pu être l’ouvrage que d’un ignorant en géométrie, car il est aisé de démontrer qu’elle est fausse » (Ozanam 1750, 307).

41La méthode présente en effet le double défaut d’être empirique (elle n’est pas démontrable) et d’être approchée (elle est inexacte). Un petit exercice de géométrie analytique permet de faire le calcul d’erreur (Figure 7).

Figure 7. Méthode 2. Reconstruction, source : reconstruction de l’auteur.

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42J’expose la démarche sur le cas de l’heptagone (la démarche étant similaire pour un polygone régulier d’ordre n). Pour déterminer le côté du polygone, partons de l’équation du cercle unité et de celle de la droite CE :

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43Le point K1, intersection de la droite CE et du cercle unité, satisfait le système d’équations (1, 2). Il a pour coordonnées (x1, y1) (Tableau 2, colonne 2). Le premier côté du polygone est la distance KnK1. Pour un polygone régulier d’ordre impair, le côté qui s’écarte le plus de la vraie valeur du côté est le côté K(n–1)/2K(n+1)/2 (colonne 4). En comparant ces deux valeurs au côté vrai (colonne 3), on détermine l’erreur relative sur le premier côté KnK1 et sur le côté le plus faux K(n–1)/2K(n+1)/2 (colonne 5). L’angle au centre du polygone est α1 = arc sin (KnK1/2) et α(n+1)/2 = 2 arc sin (K(n–1)/2K(n+1)/2/2) (colonne 7). Comparés à l’angle au centre vrai (colonne 6), ces valeurs fournissent les erreurs angulaires commises sur premier côté et sur le côté le plus faux de la construction (colonne 8).

Tableau 2

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44Le polygone régulier d’Antoine de Ville n’est ni équilatère, ni équiangle. Les erreurs métriques et angulaires ne paraissent pas fonction de l’ordre n du polygone. L’approximation est à peine acceptable sur les premiers polygones (erreur maximale inférieure à 5/100).

Viète contre Scaliger (1595). Trigonométrie et solution numérique

45François Viète (1540-1603), maître des requêtes au parlement de Paris et conseiller privé d’Henri IV, présente une autre construction dans les chapitres ajoutés au Pseudo mesolabum, paru à Paris, chez Mettayer, en 1595, et repris dans l’édition de Frans van Schooten publiée à Leyde, chez les frères Elzévir (Viète 1646, 275-285). Cette construction est empruntée à Joseph Juste Scaliger érudit philologue, mais piètre mathématicien. Ses « solutions pitoyables » furent dénoncées par plusieurs de ses contemporains (Viète, van Roomen, Clavius, van Ceulen), auxquels Scaliger ne manqua jamais de répliquer avec sa morgue habituelle. C’est dans cette période tourangelle (1589-1594) marqué par les disputes avec Scaliger, que Viète fut conduit à examiner cette construction. Elle est appliquée au cas du pentagone, de l’heptagone et de l’ennéagone, avec des indications pour les polygones réguliers d’ordre supérieur (Scaliger 1594, 45-62 ; Viète 1646, 283-285).

46L’algorithme suppose que les 2n-gones d’ordre pair sont constructibles par bissection des côtés du n-gone, et que seuls les polygones d’ordre impair posent un problème de construction. Le côté d’un polygone impair d’ordre n est obtenu au moyen d’un encadrement par les polygones pairs d’ordre n – 1 et n+1. Voyons l’exposé que Viète donne de l’heptagone régulier (Figure 8).

Figure 8. Viète, Capitula adjuncta (1595),

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source : BnF Gallica.

  • 7 « Mechanice methodus inveniendi latera polygonorum quorumcumque. Canon mathematicus vere lydius est (...)

« Méthode pour trouver mécaniquement les côtés de polygones quelconques. Le Canon mathematicus est vraiment une pierre de touche pour mettre à l’épreuve les nouvelles découvertes. En effet, il dévoile aussitôt la construction fausse des côtés ou des angles, qu’un mécanicien exposerait ainsi : […]
Trouver le côté d’un heptagone à inscrire dans un cercle. Du centre A de l’intervalle, que soit partout décrit le cercle. Il faut trouver le côté de l’heptagone inscrit en lui. Mais l’heptagone étant placé entre l’hexagone et l’octogone, je le compte à égale distance des angles homologues de ceux-ci. Or les côtés de l’hexagone et de l’octogone sont convenablement donnés. Aussi, que le cercle BDCE soit divisé en quatre par les deux droites BC et DE, qui se coupent normalement au centre. Que soit pris le côté DF de l’hexagone, et que soient prolongées DF et AB se rencontrant en G. Que soit pris aussi le côté de l’octogone DK, qui va à la rencontre de L sur la même droite AB. Maintenant, que soit trouvé le côté de l’heptagone demandé, placé entre DK et DF, et que le prolongement de DM intercepte GL en N. Mécanicien, je dis que les droites LN, NG sont égales [Dico Mechanicus rectas LN, NG esse aequales]. C’est pourquoi, dans la synthèse [i.e. la construction], GL étant donnée [du fait que DK, DF sont données], je bissecterai GL en N [GL secabo bifariam in N], et étant tirée ND, coupant le cercle en M, je présenterai DM comme côté de l’heptagone. […]
Même s’il ne faut pas se fier à celui qui ne démontre pas ou démontre par paralogismes, qu’il plaise cependant d’examiner cette méthode qui s’écarte du vrai. Le Canon mathematicus le permettra aussitôt. » (Viète 1646, 283-284)7.

47J’ai distingué trois paragraphes : le premier et le troisième donnent le jugement de Viète sur la construction ; le paragraphe central reproduit la construction de Scaliger.

48Scaliger. – On construit le cercle d’inscription BCDE et trace le diamètre horizontal indéfini CL. Les côtés DF (hexagone) et DK (octogone) sont portés à partir du sommet D et prolongés jusqu’à ce qu’ils touchent le diamètre horizontal CL en G et L. Estimant les droites LN et NG égales (Dico Mechanicus rectas LN, NG esse aequales), Scaliger fait la construction en bissectant GL en N (GL secabo bifariam in N). La droite DN coupe le cercle en M, et DM est le côté de l’heptagone régulier. Il suffit alors de reporter DM au compas le long de la circonférence pour compléter la figure.

49Viète 1. – Viète estime que Scaliger fait une démonstration paralogistique (paralogistice demonstranti). Suivant une méthode qui s’écarte du vrai (methodus aberret à vero) il parvient à une construction fausse (pseudographia). Van Schooten insiste davantage encore sur l’erreur de la construction. Prenant pour base le rayon AD = 100 du cercle BCDE, il calcule le côté du polygone et écrit : « De même, dans le second exemple mécanique […] NG vaut 34,447, LN 33,769. Donc les droites NG et LN ne sont pas égales, mais celle-là plus grande, celle-ci plus petite ». La construction sera ultérieurement discutée par van Ceulen (1596, 65r), Marolois (1628, 42) et le chevalier de Saint-Julien (1707, pl. 19). On peut faire le calcul d’erreur comme précédemment (Figure 9).

Figure 9. Méthode 3. Reconstruction,

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source : reconstruction de l’auteur.

50Partons de θ = arc tan ABn (Tableau 3, colonne 2). L’angle θ est aussi le demi-angle intérieur du polygone approché, β = 2θ. On en déduit l’angle au centre α1 = 2β / (n – 2), puis l’angle au centre restant αn (colonne 5). En comparant ces angles à l’angle vrai α (colonne 4), on trouve l’erreur relative et l’erreur cumulée (colonne 6).

51Pour déterminer la longueur du côté du polygone on peut, au choix, utiliser la relation angle au centre-corde ou les équations du cercle unité et de la droite BnD :

52x2 + y2 = 1

53y = x/ABn + 1.

Le point En , intersection de la droite et du cercle, de coordonnées (xn, yn), satisfait le système d’équations (3, 4) (colonne 2). Le premier côté du polygone A1 A2 est la distance Image ; le côté restant est AnA1= 2 sin α/2 (corde de l’angle restant sur le cercle d’inscription, colonne 8). On en déduit les erreurs relative et cumulée (colonne 9).

Tableau 3

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Le polygone n’est ni équiangle, ni équilatère. Il s’agit toutefois d’une approximation meilleure que les précédentes, d’autant que les erreurs diminuent avec l’ordre n du polygone (mais Scaliger, qui tenait Image pour la valeur exacte de π, n’en avait aucunement conscience). Un autre problème – laissé dans l’ombre par Viète et par van Schooten – est que cette méthode présuppose la constructibilité des polygones d’encadrement. Or l’encadrement est impossible dans le cas de deux ou plusieurs polygones inconstructibles consécutifs (13-14 ; 18-19 ; 21-22- 23…). Cette méthode n’est donc ni exacte, ni applicable dans tous les cas.

54Viète 2. – Le texte de Viète, que nous venons de lire comme critique de Scaliger, peut également être interprété comme correction de la pseudographie au moyen des lignes trigonométriques. La même construction (Figures 8-9) est alors la base d’une solution trigonométrique tirée du Canon mathematicus (1579). Viète écrit :

  • 8 « Id per Canonem Mathematicum statim licebit. Constituta enim AC sinu toto, latera AB, AG, AI, AL, (...)

« […] Le Canon mathematicus le permettra aussitôt. En effet, AC étant pris comme sinus entier, les côtés AB, AG, AI, AL, AN, AP, AR deviennent les tangentes, nombres issus des angles qui forment BDA, GDA, IDA, LDA, NDA, PDA, RDA au point D des triangles rectangles. Or, ces angles sont donnés du fait que les circonférences, prises sur le demi-périmètre DE du cercle, sont données. Par conséquent, les tangentes elles-mêmes seront données. » (Viète 1648, 284)8.

55Dans le cercle unité de centre D et de rayon DA = AC = 1, on a ABn = tan θ (Figure 9). Considérons le cas de l’heptagone régulier. L’angle au centre est γ = 2π/7 = 51°42857… Sachant que 2 θ = π – γ, on a θ = 64°28571… (° fractionné) ou 64° 17´08˝571… (sexagésimal). On cherche la valeur de tan θ dans le Canon mathematicus (1579), qui donne les valeurs des côtés d’un triangle rectangle de base 100, l’angle variant de minute en minute de 0 à 90°. Sur la planche lxiiii (64), la ligne des minutes xvii (17) donne tan θxvii = 207,630 ; la ligne xviii (18) tan θxviii= 207,785. L’écart des deux nombres est ∆ = 0,155. La valeur de tan θ est interpolée :

56tan θ = 100 (tan θxvii + (8,571444/60) ∆) = 2,076 521 429.

57La vraie valeur étant 2,076 521 397… le résultat de Viète est exact jusqu’à la septième décimale, soit une erreur de 15×10–9. Une fois la tangente connue, il suffit de reprendre la construction (Figure 8). On détermine le point M, et on reporte alors l’ouverture du compas DM sur la circonférence du cercle BDCE pour obtenir l’heptagone régulier.

58Viète conclut :

  • 9 « Quam autem teneant latera polygonorum accuratam inter se rationem mysterium est, quod aperui in a (...)

« Que les côtés des polygones réguliers soient tenus entre eux à un certain rapport, c’est un secret que j’ai exposé au grand jour à partir de l’analyse des sections angulaires, et que j’ai consigné en marge du Huitième livre des Réponses variées de mathématiques. » (Viète 1646, 285)9.

  • 10 Prop. XVI, Viète jette un pont entre algèbre et géométrie : il montre que résoudre une équation cub (...)
  • 11 La somme des angles d’un triangle est égale à π. Tracer un angle α = π/5 revient à construire un tr (...)

59Viète se contente de renvoyer à ses travaux antérieurs de 1593 traitant de la construction de l’heptagone régulier : le Supplementum Geometriae et les Variorum de Rebus Mathematicis Responsorum, Liber VIII (Viète 1646, 248-256, 359-354). Dans le premier essai10, prop. XVI-XXIV, Viète construit l’heptagone régulier par analogie avec Euclide. Il construit d’abord le triangle isocèle (α, 3α, 3α), duquel il tire l’heptagone régulier11.

Comparaison des méthodes

60Les méthodes proposées par Bachot, de Ville, (Scaliger) et Viète offrent des caractéristiques propres qui permettent de les distinguer ensemble de l’approche traditionnelle de la construction des polygones réguliers, et de les distinguer entre elles :

  1. Elles ont été érigées en méthodes générales applicables à la construction de tous les polygones réguliers. En ce sens, elles ont remis en question les principes de variété et de spécificité des constructions qui prévalaient jusque-là, et ont uniformisé le traitement des problèmes, en occultant la partie qui fait précisément l’intérêt de ces problèmes géométriques.
  2. Elles ont tenté de surmonter l’inconstructibilité de certains polygones à la règle et au compas en recourant à des constructions approchées. On peut distinguer trois grands types d’approximation : approximation métrique (lorsque l’erreur tolérée résulte d’une mesure), graphique (lorsqu’elle résulte du tracé géométrique), numérique (lorsqu’elle résulte du calcul). La solution de Viète est une approximation numérique. La solution d’Antoine de Ville est une approximation graphique. Les approximations étant soumises à un principe mélioratif, et la valeur π = √10 ayant été dépassée depuis l’Antiquité, la solution de Bachot n’est pas une approximation mais une faute. Enfin, la solution de Scaliger est objectivement une approximation acceptable, mais comme Scaliger la tenait pour une solution exacte, elle n’a pas le statut d’une approximation mais d’une erreur de jugement.
  3. Ces méthodes se distinguent entre elles par les erreurs respectives qu’elles produisent. La construction de l’heptagone régulier est assortie d’une erreur de 5×10 – 2 (Bachot) > 2×10 – 2 (de Ville) > 3×10 – 3 (Scaliger) > 15×10 – 9 (Viète). On notera que la valeur de Viète est absorbée par l’erreur graphique au moment du tracé de l’heptagone (détermination du point M et report de l’ouverture DM sur la circonférence).
  4. Ces méthodes se distinguent par le type de savoir mathématique mobilisé : connaissances rudimentaires du praticien Bachot ; références éparses à Euclide chez Antoine de Ville ; prétentions de Scaliger ; maîtrise et inventivité de Viète.

61Il reste maintenant à savoir ce qui a motivé l’intérêt des hommes du XVIIe siècle pour ces méthodes générales et approchées, et par là, clarifier leur position vis-à-vis de la norme mathématique de l’exactitude (Rostand 1960 ; Zarca 2009).

Intérêt pour les méthodes approchées

62Les méthodes de construction des polygones imaginées par Bachot, de Ville et Scaliger sont approchées. Elles justifient pleinement les critiques que Viète, van Schooten ou Ozanam leur ont adressées. Mais le partage entre ingénieurs d’un côté, mathématicien de l’autre ne doit pas être forcé artificiellement.

63Dans le commentaire qu’il donne de la troisième construction, van Schooten raisonne en mathématicien pur. Il ignore que Viète, tout en repoussant les prétentions de Scaliger, a une attitude assez tolérante à l’égard de cette pseudographie. Elle lui donne l’occasion de montrer que le philologue est dans l’erreur, mais aussi de montrer que son Canon mathematicus résout le problème posé facilement, et avec une erreur extrêmement réduite pour l’époque.

  • 12 Quel est le sens des mots mechanicus, mechanice ? Peyroux élude la question en traduisant littérale (...)

64Cette complaisance apparaît dans l’intitulé même du chapitre qui ne met pas en avant la critique de la méthode, mais la méthode elle-même : Mechanice methodus inveniendi latera polygonorum quorumcumque : « Méthode pour trouver mécaniquement les côtés de tous les polygones ». C’est dans le texte qu’apparaît la critique, et Viète suit assez volontiers le mécanicien dans son raisonnement : Dico mechanicus… (Viète 1646, 283)12.

  • 13 Viète, qui était parvenu à déchiffrer les dépêches de la Cour d’Espagne et de Venise pour le compte (...)

65Pourquoi Viète reproduit-il si complaisamment cette pseudographie ? La réponse tient peut être au fait que Viète était sensible à l’intérêt pratique de cette méthode. Une fois corrigée par les tangentes du Canon mathematicus, elle pouvait fournir aux ingénieurs une approximation tout à fait acceptable. Cela indique une certaine perméabilité de la pratique et de la théorie, qui est sans doute à rapprocher de son implication constante dans les affaires politiques (lorsqu’il écrit des pamphlets), militaires (lorsqu’il casse le chiffre des Espagnols13) et même patrimoniales (lorsqu’il défend les intérêts de Françoise de Rohan). La critique s’est radicalisée avec van Schooten.

66En critiquant la méthode d’Antoine de Ville, Ozanam se prononce, comme van Schooten, en mathématicien pur. Il refuse de suivre l’ingénieur sur son terrain. Ce faisant, il ne tient pas compte de l’avertissement par lequel Antoine de Ville introduit sa méthode :

« Ce Probleme ne se demontre point ; & au calcul il ne reuient pas tout à fait precisément iuste, principalement aux Figures qui ont grand nombre de costez […] Mais quant au sens & à l’operation il est fort exact, & quelque grand cercle qu’on diuise, on n’y sçauroit reconoistre faute sensible » (De Ville 1628, 38).

67L’ingénieur militaire n’ignore donc pas les problèmes posés par sa construction géométrique. Il reconnaît explicitement qu’elle n’est ni juste, ni démontrable.

68Il nous semble devoir en tirer la leçon que deux de ces constructions des polygones réguliers constituent des cas de transgression consciente de la norme d’exactitude. Et c’est une caractéristique de nombreux traités pratiques du XVIIe siècle, dont on trouve l’archétype dans La Fortification de Jean Errard. Au moment d’achever sa construction de l’heptagone, il écrit : « Ie ne chercheray autre supputation plus exacte, puis que les parties deffaillantes de celle-cy sont insensibles » (Errard 1622, fol. 23r). Ce n’est pas une mise en garde ponctuelle. On lit également dans l’adresse au lecteur :

« Vous serez adverty que […] je n’y propose rien qui ne soit, ou qui ne puisse estre demonstré par les principes des Sciences de Mathematiques. Que si en quelque lieu je prononce le mot de Science ientends pourtant une Science Practique, qui equipole au mot d’Art, & s’oppose à la Science Speculative, qui n’a autre fin que la cognoissance : Bien vous soit » (Errard 1622, préface).

69Les hommes du XVIIe siècle se sont donc intéressés aux constructions approchées pour différentes raisons. L’absence de culture mathématique peut expliquer les écarts de Bachot ou de Scaliger ; sûrement pas le choix d’un Viète, qui a étudié en profondeur le problème de construction de l’heptagone régulier. Une autre observation permet, je crois, de comprendre l’intérêt de ces méthodes approchées. Les trois procédés étant présentés comme des « règles », la question qui se pose est celle de leur apprentissage. Or, elles sont très simples à mémoriser. Par conséquent, elles présentent des avantages qui compensent largement, pour le praticien, le fait qu’elles soient des approximations.

Conclusion

70Si nous avons attiré l’attention sur cette figure de l’ingénierie contre les mathématiques, c’est parce qu’elle diffère en nature du cas, mieux connu, où les mathématiques impulsent le développement technique : arpentage, cartographie, architecture navale, navigation, etc. (Struik 1948 ; Brioist, 2005). Les cas étudiés ici ne sont pas moins intéressants. Ils témoignent d’un régime de compétition entre des normes de comportement (exactitude, simplicité, rapidité, etc.) qui est souvent ignoré dans l’étude des activités scientifiques, notamment mathématiques. En général, l’arbitrage s’opère en fonction des buts de l’activité engagée. De Ville, qui était ingénieur, a choisi la rapidité. Viète, qui était à la fois mathématicien et homme de terrain, a arbitré selon le cas. C’est au fond ce qui explique la différence d’approche entre le Supplementum geometriae, entièrement guidé par une intention théorique, et les Capitula adjuncta, où se mêlent considérations théoriques et pratiques.

Notes

1 Il s’agit en réalité d’un type de représentation purement conventionnel, qui n’a de perspective que le nom.

2 Un n-gone régulier est constructible à la règle et au compas si n est le produit d’une puissance de 2 et de k nombres premiers de Fermat 22n+1 différents (Gauss 1801 ; Wanzel 1837). Les polygones d’ordre n = 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19, 21, 22, 23… ne sont pas constructibles, mais le polygone d’ordre 17 l’est ! (Erchinger 1825 ; Reich 2000). Pour tracer les polygones non constructibles à la règle et au compas, les anciens ont utilisé des neuseis, procédés mécaniques jugés impurs par Euclide, consistant à ajuster un segment de longueur fixée sur deux courbes données ; les mathématiciens arabes ont abondamment utilisé les sections coniques.

3 Les deux propositions fondamentales sont les propositions 17-18. Prop. 17, Archimède construit une droite AGDB telle que AD×GD = DB2 et GB×DB = AG2 sans justification. Prop. 18, il utilise la droite segmentée AGDB pour construire l’heptagone régulier.

4 Abū al-Wafā’ étudie le triangle équilatéral (III, 26, IV, 36, V, 52-53, deux méthodes), le carré (III, 27, IV, 38-42, cinq méthodes, V, 54), le pentagone régulier (III, 28, deux méthodes, IV, 43-45, trois méthodes, V, 55), l’hexagone (III.29, IV.46, V.56), l’heptagone (III.30, IV.47), l’octogone (III, 31-32, deux méthodes, IV, 48), l’ennéagone (III, 33, IV, 49), le décagone (III, 34-35, deux méthodes, IV, 50-51, deux méthodes).

5 Ce dernier texte a peut-être joué un rôle dans la diffusion des constructions géométriques dans l’Occident latin. Ibn Yūnus était en effet en contact avec la cour de Frédéric II de Sicile : 1° par l’intermédiaire de Théodore d’Antioche, qui étudia les mathématiques sous sa direction avant d’entrer au service de l’Empereur entre 1233 et 1250 ; 2° par les questions mathématiques que Frédéric II envoya en Orient, et dont certaines solutions furent données par Ibn Yûnus lui-même et renvoyées à la cour de Sicile vers 1236-1238. On dispose pour l’instant d’indices contradictoires sur l’éventualité de cette transmission (Raynaud 2007, 2012).

6 Par commodité, les valeurs angulaires de ce tableau et des suivants sont indiquées en degrés fractionnés.

7 « Mechanice methodus inveniendi latera polygonorum quorumcumque. Canon mathematicus vere lydius est lapis ad nova probandum inventa. […] Latus heptagoni circulo inscribendi invenire. Sub A centro intervallo quocumque describatur circulus. Oportet latus heptagoni in eo inscribendi invenire. At vero inter hexagonum & octogonum heptagonum consistit, aequidistans ab iis pari angulorum numero. Dantur autem commode latera hexagoni & octogoni. Quare secetur circulus BDCE quadrifariam à duabus rectis BC, DE sese ideo normaliter secantibus in centro, & sumatur DF latus hexagoni, & productae DF, AB conveniant in G. Sumatur quoque latus octogoni DK, cui producto ipsa AB occurrat in L. Jam autem inventum sit latus heptagoni quod quaeritur, consistens inter DK, DF, & sit DM, quod productum intercipiat GL in N. Dico Mechanicus rectas LN, NG esse aequales. Itaque in synthesi datam GL (propter datas DK, DF) secabo bifariam in N, & ducta ND secante circulum in M, exhibuero DM ut latus heptagoni. […] Etsi vero non demonstranti vel paralogistice demonstranti fides adhibenda non est, placeat tamen quam ea methodus aberret à vero expendere. Id per Canonem Mathematicum statim licebit. » Je ne suis pas la traduction fautive de Peyroux (1992). Je n’ai pas consulté Ritter (1890).

8 « Id per Canonem Mathematicum statim licebit. Constituta enim AC sinu toto, latera AB, AG, AI, AL, AN, AP, AR fiunt prosinus, numerive foecundi angulorum qui ad D in triangulis rectangulis BDA, GDA, IDA, LDA, NDA, PDA, RDA consistunt. Anguli autem illi dantur propter datas absumptas ex dimidio circuli ambitu DE circumferentias. Itaque dabuntur quoque prosinus ipsi. »

9 « Quam autem teneant latera polygonorum accuratam inter se rationem mysterium est, quod aperui in analyticis angularium sectionum, & adnovati παρέργως in libro Variorum de rebus Mathematicis responsorum octavo. »

10 Prop. XVI, Viète jette un pont entre algèbre et géométrie : il montre que résoudre une équation cubique de la forme x3 – 3x = b équivaut à trisecter l’angle d’un triangle isocèle de côtés 1 et b. La base du triangle trisecté est x (Hartshorne 1998).

11 La somme des angles d’un triangle est égale à π. Tracer un angle α = π/5 revient à construire un triangle isocèle (a, 2a, 2a). C’est le « triangle du pentagone » présenté dans les Éléments IV, 10. Pour obtenir α = π/7, il suffit de construire le « triangle de l’heptagone », triangle isocèle (α, 3α, 3α). Cette construction auxiliaire a été utilisée par Abū al-Jūd et par al-Sijzī. Mais Viète ne recourt pas aux sections coniques comme eux (Hartshorne 1998 ; Bos 2001). On ne sait pas si Viète a emprunté ou redécouvert indépendamment ce « triangle de l’heptagone ». Il n’apparaît pas dans l’édition des Éléments préférée de Viète, celle de François de Foix Candale (1578).

12 Quel est le sens des mots mechanicus, mechanice ? Peyroux élude la question en traduisant littéralement : « mécanicien, mécaniquement » (1992, 37). Le spectre de signification est très large chez Viète. Dans certains textes, mechanica ratione signifie une construction géométrique par neusis (Viète 1646, 360). Ailleurs, le terme évoque la division générale des problèmes entre ceux qu’on peut résoudre à la règle et au compas (geometrice) et les autres, qui peuvent être étudiés instrumentalement (mechanice) ou algébriquement (analytice). Toutes ces traductions sont ici inadéquates parce que Viète n’y utilise aucune neusis, ni aucun instrument mathématique.

13 Viète, qui était parvenu à déchiffrer les dépêches de la Cour d’Espagne et de Venise pour le compte d’Henri IV, jettera les bases de la cryptologie moderne dans un mémoire rédigé peu de temps avant sa mort.

© Presses universitaires de Franche-Comté, 2015

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