1Le seizième siècle a produit une vaste littérature sur les instruments et les procédés d’arpentage. On s’interroge ici sur les notions et les raisonnements géométriques utilisés pour justifier la configuration d’un instrument ou le déroulement d’une opération. En examinant, dans trois traités différents, les procédés de mesure de distance, cet article vise à sonder le champ des possibles qui se présentaient à la fois aux auteurs et aux lecteurs dans la deuxième moitié du seizième siècle. Les écrits de Castriotto, Bartoli et Foullon, tous édités à Venise en l’an 1564, serviront d’exemples pour indiquer cette variété d’approche. De surcroît, cet examen permet de déceler la multiplicité des motifs et des finalités qui conduisirent ces auteurs à tenter de « mathématiser » des opérations dans le monde naturel.

Introduction

2Les écrits traitant des Arts Mécaniques au XVI^e siècle, de l’artillerie à la navigation en passant par l’arpentage et l’architecture militaire, peuvent servir de témoins historiques des usages des mathématiques dans le contexte d’opérations1 portant sur la réalité physique du monde. Les écrits traitant d’instruments d’arpentage en font partie. En l’occurrence, ils recourent aux mathématiques pour formaliser la construction, les objectifs et le maniement de ces instruments. Ces publications semblent participer du phénomène culturel de la « réduction en art », un mouvement très développé durant le XVI^e siècle (Dubourg Glatigny et Vérin 2008). Cependant, ces écrits entretiennent aussi un rapport évident avec les traditions beaucoup plus anciennes des écrits de Géométrie Pratique, des écrits sur l’astrolabe ou d’autres instruments mathématiques. Ce qui est certain, c’est que le genre littéraire n’est pas fixé. Chaque auteur semble articuler savoirs pratiques et apports d’ordre théorique d’une manière qui lui est propre, sans exclure l’expérimentation et l’innovation littéraires. En l’absence d’un genre prépondérant proprement dit, il convient de rappeler ici les différents types d’écrits dans lesquels, au XVI^e siècle, on pouvait trouver des exposés sur des instruments ou machines. Pour ne nommer que les plus connus :

• Le théâtre. Ici, les instruments et machines ne sont représentés que graphiquement. Le lecteur doit comprendre les conventions des figures, les éventuels diagrammes géométriques ou schémas légendés (Dolza et Vérin 2004).
• Le « manuel ». L’auteur joint à la description de l’objet des instructions d’utilisation. Les concepts géométriques (le cas échéant) sont employés dans un but de description (entendu ici par opposition à leur usage argumentatif).
• Le traité « De fabrica et usu ». Un tel ouvrage rassemble le ‘comment’ et le ‘pourquoi’ de la fabrication et de l’usage de l’instrument. Les concepts géométriques permettent d’en décrire et d’en expliquer le principe de fonctionnement (Biagioli 2006).
• Le « compendium ». Il s’agit d’un abrégé de science mathématique, dont le contenu est parfois organisé en fonction d’un ou de plusieurs instruments.
• Le chapitre inséré dans un traité. Les instruments mathématiques peuvent être évoqués dans des contextes divers, comme par exemple dans un commentaire de l’Architecture de Vitruve, ou dans le traité sur les mines et la métallurgie De re metallica de Georgius Agricola.
• La feuille volante. Il s’agit le plus souvent d’une gravure commentée de l’instrument, ayant pour but d’annoncer une idée ainsi qu’une personne susceptible de fournir plus d’explication, voire de fabriquer l’instrument.

3Durant le XVI^e siècle, ces écrits sur les instruments mathématiques se multiplient et se présentent comme un terrain d’expérimentation des diverses façons d’exposer un contenu technique. L’historien assiste à des tentatives d’application de concepts et de raisonnements issus des mathématiques à des objets réels. Ce type d’expérimentation se trouve dans un vaste ensemble de domaines pratiques (pour l’architecture voir par exemple Gessner 2010). Ces productions font partie du même paysage de publications auquel appartiennent, et dans lequel résonnent, des ouvrages souvent cités comme « précurseurs » d’une philosophie naturelle mathématisée (à savoir ceux, pour n’en citer que quelques uns, qui traitent des règles de la perspective picturale, des propriétés des lignes de rhumbs, de l’isochronie du pendule, de la trajectoire des projectiles, des théories du choc, de la loi de Snell, de Boyle-Mariotte ou de Hooke). Ne serait-ce que de ce point de vue, ils méritent d’être scrutés par l’historien des sciences du début de l’ère moderne.

4Dans ce contexte, je me propose d’examiner plus particulièrement l’aspect de la justification mathématique. Dans quelle mesure les auteurs justifient-ils la configuration géométrique des instruments, leur maniement, les procédés de mesure ou de tracé ? Comment des notions et des propriétés géométriques sont-elles choisies et employées ? Comment sont-elles articulées, d’une part à la mise en œuvre des instruments mathématiques, telle que décrite, d’autre part à sa justification géométrique ? Une analyse ainsi ciblée fera apparaître les difficultés intrinsèques d’une telle articulation et les contingences extrinsèques, notamment les connaissances mathématiques limitées, des auteurs ou des lecteurs visés. L’expression « mise en œuvre des instruments » est choisie ici pour traduire ce que les traités originaux désignent habituellement par « operatio » ou l’un des termes dérivés de cette racine, une catégorie de perception courante au XVI^e siècle, qui se revendique comme aristotélicienne. Voir par exemple les commentaires de Daniele Barbaro au De architectura (Vitruve 1567, Livre I ; Gessner 2006). Dans cet ordre d’idées on opposait : opération à spéculation, pratique à théorie, précepte à raison, expérience à science, manuel à mental. Le rapport entre arts mécaniques et arts libéraux s’évaluait en ces termes, et à mesure que les arts mécaniques étaient théorisés, leur prestige augmentait comparativement. Le terme « operatio », comme catégorie, comprend aussi les aspects de la « manipulation » ou des « procédés pratique d’utilisation » des instruments. Afin de la maîtriser, une certaine expérience est requise : il faut connaître les règles du métier, il faut suivre l’ordre usuel des opérations. Par opposition, on considérait que la justification des procédés relevait de la théorie. Pour la théorie, il s’agit de connaître les raisons qui rendent compte de l’ordre à suivre. Anticipons ici un constat que l’on peut faire à propos des écrits sur les instruments : pour bien de praticiens du XVI^e siècle, la justification semble arriver a posteriori. Ils semblent se fier d’avantage à leur expérience qu’au verdict d’un raisonnement abstrait. Vérifiant que dans la pratique « ça marche toujours », ils disposent d’une preuve inductive par expérience. Tant mieux si elle s’accorde avec la preuve rationnelle. Cependant, ce point de vue n’est pas partagé par l’ensemble des acteurs, et la position des praticiens eux-même évoluera sans doute au fur et à mesure que leur apprentissage se formalise.

5La présence de justifications dans le traité d’un art pratique peut donc sembler paradoxale. Il est judicieux d’employer l’expression « justification géométrique » au lieu de « démonstration » dans ce contexte, car ce dernier terme désigne plus spécifiquement une partie d’une proposition géométrique obéissant à des critères canoniques. Au XVI^e siècle, la « justification » peut être une démonstration, ou seulement en reprendre quelques traits, ou en assumer les fonctions, mais souvent elle ne se conforme pas au modèle des démonstrations des Éléments d’Euclide – le traité de référence incontournable de cette époque. Le paradoxe apparent doit nous inciter à interroger les raisons, motifs et finalités de la présence (ou de l’absence) des justifications géométriques, et à analyser leurs formes et leur statut. L’examen précis des textes permettra d’établir une typologie selon les facettes suivantes :

1. l’emploi de concepts géométriques ou arithmétiques ;
2. la présence dans le texte d’indications sur les configurations ou propriétés géométriques des instruments ;
3. la mention des difficultés de mise en œuvre, ou des questions de précision ou de justesse ; Diverses facettes que l’on tentera ensuite de mettre en rapport avec les aspects suivants :
4. le statut des auteurs (qui sont-ils ?) ;
5. les finalités déclarées par ces auteurs (qu’annoncent-ils ?) ;
6. le public explicitement visé (tel que mentionné dans le texte).

1. Les sources

6Dans le cadre de cet chapitre, je me restreins à l’examen de trois textes qui mettent en scène trois instruments différents : « lo squadro », « il quadrante » et « il holometro ». J’ai délibérément choisi ces trois textes, de sorte que leur situation linguistique, géographique et temporelle soit identique. En réduisant le contexte à des contingences historiques grosso modo égales, nous pourrons mieux jalonner le champ du possible. Ces trois textes sont écrits en vernaculaire et sortent des presses à Venise la même année 1564. Ils rendent ainsi compte de ce qu’un lecteur pouvait trouver de nouveau chez les libraires cette année-là.2

1. Girolamo Maggi (?-1572), Iacopo Fusti Castriotto (1510-1563), Della fortificatione delle città édité par Rutilio Borgominiero (Castriotto 1564) [ci-après FC].
2. Cosimo Bartoli (1503-1572), Del modo di misurare le distantie édité par Francesco dei Franceschi (Bartoli 1564) [ci-après MMD].
3. Abel Foullon (1513-1563), Descrittione et uso dell’holometro édité par Giordano Ziletti (Foullon 1564) [ci-après DUH].

7Afin de pouvoir mieux comparer ces ouvrages, on analysera les seuls procédés de mesure d’une distance sur un terrain horizontal, problème abordé de façon différente dans ces trois écrits. Il faut reconnaître tout d’abord que sous l’apparente unité de temps et d’espace des textes se cache en réalité une diversité d’origine : l’origine de beaucoup des contenus n’est pas vénitienne, et diverses parties sont antérieures aux années 1560. Reste donc à interpréter la conjoncture qui rend le lieu et l’année propice à leur (re-) publication.

2. « Ogni persona senza cognitione delle mathematiche » : mathématiser selon l’ingénieur Iacopo Fusti Castriotto

8Iacopo Fusti Castriotto, né à Urbino en 1510, était ingénieur militaire. Il entre au service du roi Henri II. Il meurt à Calais en 1563 au cours de la première guerre de religion en France (Dizionario Biografico degli Italiani, s.v. “Fusti”). Sa renommée en tant qu’expert militaire touche toute l’Europe. Il laisse derrière lui les matériaux d’un traité sur les fortifications, qui seront plus tard incorporés et publiés dans un ouvrage édité par Girolamo Maggi. Ce dernier, juriste de formation, est auteur de livres sur les sujets les plus divers.3 Dans le Della fortificatione (1564), parmi des discours théoriques et pratiques sur les fortifications de Maggi et de plusieurs autres auteurs, apparaît un chapitre4 plutôt singulier, signé Castriotto, traitant de méthodes de mesure et de relevé.

« Perche al buono Ingegniero s’acconuien sapere le distantie da luogo à luogo, e l’altezze, e bassezze, per diuersi usi nel mestiero della guerra, e spetialmente per rispetto del pigliare le piante de’ paesi (della qual cosa intendo darne qui un poco d’instruzzione) mi pare che non sia fuor di proposito, scriuere di ciò, quello che con la proua hò in molti luoghi imparato. […] ho posto alcuni instrumenti, che seruiranno à’ soldati & Ingegnieri senza alcuna scienza mathematica. [...] » (FC, 37v°).

9Pour paraphraser : Il convient que l’ingénieur connaisse les distances, les hauteurs, les profondeurs pour divers usages du métier de guerre, surtout par rapport au relevé de plans d’une région (ce que j’enseignerai brièvement). Il vient à propos de transmettre ce que j’ai appris et testé dans plusieurs situations [...] j’y ai ajouté plusieurs instruments qui seront utiles aux militaires ou aux ingénieurs sans la moindre connaissance mathématique, affirme Castriotto.

10On verra que les méthodes présentées pour déterminer la distance d’un objet dans le plan horizontal sont toutes rudimentaires. Elles sont néanmoins expliquées de façon à progresser de l’élémentaire au plus élaboré. Une première partie de l’opération est décrite de façon suivante :

« Il primo sarà questo, che per trouare una distanza, pur che sia ne’ luoghi piani, anchor che siamo impediti da’fossi, da’fiumi, ò da paludi, con una squadra, & una canna, ò Tesa in mano, voglio che si uada nella parte da misurarsi e facciasi una figura in terra, la qual sia fatta à squadro, tante canne ad una banda quant’all’altra. Poi piglisi all’ultimo punto, oue al suo luogo mostra la mano, e guardando uerso il luogo da misurarsi, si farà porre una picca bene à squadro all’incontro del punto segnato, sotto la lettera B. la qual picca sia accommodata giusta nella linea, che tira dall’occhio al luogo da misurarsi, & intorno al calce di essa, ui sia fatto un segno con la lettera C. da esso segno C. al segno B. misurisi et appuntisi come gli altri, e dette misure poi notate in una poliza, faranno che con la riga, e co’l compasso, riportando le in carta, si troueranno tali distantie giustissime, come meglio al suo luogo l’occhio e la scrittura ui mostrerà. » (FC, 37v°).

Figure 1. Maggi et Castriotto 1564. La figure ABC☜ est tracée par terre (FC, f. 35v^°)

11En paraphrasant : Pour trouver une distance au moyen d’une équerre et d’un jalon, pourvu que celle-ci se situe dans une pleine, même si elle est inaccessible. Je demande qu’on s’approche de l’extrémité dont on veut connaître la distance, qu’on trace une figure au sol, rectangulaire, aussi longue que large, [un carré]. Puis on se place au point marqué par une main [visible sur la gravure], et en visant le lieu à mesurer, on fera placer un jalon [sur le segment] à angle droit au point B, exactement dans la ligne de mire. A son pied qu’on marque C, et qu’on note combien mesure CB ainsi que les autres dimensions [à savoir AB] sur une feuille. Et lorsqu’on reportera ces mesures avec règle et compas sur un papier, on trouvera ces distances exactement. Vous le comprendrez plus clairement en le voyant et lisant.

12Les « instruments » qui interviennent sont : une équerre (squadra), un étalon d’une canne (canna) qui mesure environ 2 mètres selon la norme régionale, un jalon (picca), puis, pour la construction sur papier, le compas et la règle (riga e compasso). Dans ce passage, le principe de la mesure est exposé en évitant tout recours à des notions même élémentaires de géométrie ou d’arithmétique, et en employant uniquement des termes communs. Les deux notions qui anticipent les explications géométriques (qui suivront) sont, d’une part celle qui caractérise le terrain (luoghi piani : la méthode s’applique à des mesures dans un même plan), d’autre part, la figure produite (dont on ne sait pas si elle tracée sur le sol ou perpendiculairement à l’horizontale) (fatta à squadro : la figure doit être tracée à angle droit). L’opération de visée requiert un dispositif sans lequel « la linea, che tira dall’occhio al luogo da misurarsi » n’est pas bien définie.

13Pour cela, Castriotto fait le récit de l’origine de la méthode (recours au béret) et l’invention d’un instrument ad hoc (en papier). Il avait coutume de baisser l’avant de son béret jusqu’à apercevoir juste encore le rivage opposé d’un fleuve, puis se tourner pour que son regard tombe sur un lieu accessible dont la distance pouvait être mesurée. Afin de rendre les visées plus sures, il décrit ensuite comme il a fait construire un instrument en papier (figure 2).5

Figure 2. Le “squadro” proposé par Castriotto afin d’effectuer des visées (FC, f. 35v°)

14Castriotto nomme son instrument « squadro », alors qu’il s’agit d’une espèce de dioptre. C’est bien le caractère de « sûreté » qui justifie le recours à ce dispositif. Castriotto précise que l’utilisation du béret donne une distance assez juste (assai giusta), mais qu’il a voulu construire un instrument plus sûr (più certo). Il en profite pour mentionner au passage un autre concept mathématique, plutôt commun : l’ajustement à la verticale (à piombo sano) du pied de l’instrument. C’est ensuite seulement que l’opération requise par la méthode décrite ci-dessus est explicitée :

« Hauendo fino adhora parlato sopra il modo di questo squadro, qui mi resta solo à mostrare, in che modo egli s’habbia da operare ; e dico che fatto questa sopra disegnata figura, s’ha da notare in una poliza, come sta otto canne da una banda, & otto dall’altra : e tanto è à dire otto, come trenta. Poi mettere le cinque & i due piedi di trauerso della lettere B. alla lettera C. & in casa poi, con la medesima poliza e con il medesimo ordine porlo tutto in carta ridotto à picciole canne, e piedi, facendo dalla lettera A. al B. una linea in infinito, e co’l regolo, poi andando dalla mano alla lettera C. questa linea andando oltre, intersecherà la lunga ; e doue uerrà questa intersecatione, sarà il punto giusto della distanza. però il compasso dalla lettera A. ad esso punto mostra detta distanza. » (FC, 38v°).

15En d’autres termes : Ayant expliqué la fabrication et l’opération du squadro il ne reste plus qu’à montrer comment on procède (operare). Sur un bout de papier on doit noter la figure en marquant qu’on a mesuré 8 (ou 30) canne d’un côté et de l’autre, et l’on marque les 5 et 2 pieds de la BC, en biais. Chez soi, en recourant à la même feuille, on tracera tout selon la même disposition sur une planche de papier à canne et pieds réduits [en miniature], en dessinant d’abord une droite à l’infini passant par A et B, puis avec la règle une droite partant de la petite main [visible sur la gravure ci-dessus], passant par C on prolongera une droite jusqu’à ce qu’elle intersecte la [droite AB] longue. Le point d’intersection indiquera le point exacte de la distance. L’intervalle de A au point d’intersection montrera cette distance.

16Ainsi, nous rencontrons quelques concepts de géométrie lors de la mise en dessin : il faut employer des unités de mesure à l’échelle plus petite (ridotto à picciole canne, e piedi), et prolonger la ligne AB à l’infini (facendo [...] una linea in infinito). Enfin, c’est par intersection (intersecherà) que la ligne passant par C révélera la position de l’objet qu’on mesure. L’absence d’indication sur la fabrication ou la précision de l’instrument de visée, et le fait que tout le procédé est présenté comme dépourvu de difficultés, souligne la perspective fortement pratique de tout ce passage. Aucun doute sur l’efficacité ou la justesse de ce procédé ne semble effleurer l’auteur. Et si la connaissance de « cette astuce » est jugé convenable pour les soldats et ingénieurs, tout est présenté sans la moindre justification. L’habileté de Castriotto consiste à suggérer qu’on ne fait rien d’autre que reproduire à petite échelle la configuration géométrique du terrain. Il se soustrait ainsi au devoir d’exposer des concepts abstraits et dispense le lecteur de presque toute imagination géométrique. Cela lui permet de ne jamais quitter l’environnement familier du terrain tout en produisant un plan à l’échelle.

3. « Secondo le uere regole d’Euclide » : Cosimo Bartoli

17À la différence de Castriotto, Bartoli met l’aspect mathématique en relief. Au moment où est imprimé le livre Del modo di misurare, Cosimo Bartoli, d’origine florentine, habite à Venise. Sa vie et ses oeuvres ont fait l’objet de plusieurs recherches (Vagnetti 1970 ; Bryce 1980, 1983). Après avoir été secrétaire du jeune Cardinal Giovanni de Medici, à partir des années 1550, il est diplomate au service de Cosimo de Medici, à qui il dédie son ouvrage. Les intérêts de cet éminent membre de l’Accademia del Disegno de Florence n’étaient alors nullement restreints aux mathématiques pratiques, mais il est certain qu’il avait commencé par travailler comme peintre et architecte à Rome. Devenu bénédictin, il sera célèbre pour sa traduction des œuvres de Leon Battista Alberti. Son engagement conjugue la diffusion des sciences et la promotion de la langue florentine en tant que langue philosophique, technique et scientifique, ce qui s’est traduit par la publication d’ouvrages variés (Boethius 1551 ; Alberti 1565 ; Bartoli 1567 ; Alberti 1568 ; Finé 1587). Le Del modo di misurare (1564) est une traduction en vernaculaire d’un nombre d’extraits de traités latins, et donc une entreprise en complet accord avec l’une de ses grandes préoccupations. Il y aura deux éditions posthumes du DMM, à Venise, d’abord par Francesco Franceschi, 1589 ; puis par Sebastiano Combi, en 1614, ce qui indique le succès rencontré par l’ouvrage.

18L’ouvrage se structure en six livres, dont chacun est largement basé sur des sources latines : livre I à III (à partir d’Oronce Finé), livre IV (Gemma Frisius), Livre V (Euclide), Livre VI (Table des racines carrées). Sans appeler son ouvrage un travail de « traduction » sur le frontispice, une page indique néanmoins au début de l’ouvrage les noms d’auteurs dont Bartoli se serait servi :

« Nomi delli scrittori, de quali si è seruito lo Autore in questa opera. ORONTIO Fineo, ALBERTO Durero. ARCHIMEDE. EVCLIDE. GEMMA Frisio, GIOVAN Roia. GIOVANNI Stoflerino. LEONBATTI[S]TA Alberti. GEORGIO Perurbachio. [sic], PIETRO Appiano. PROSPETTIVA comune. TOLOMEO. VITVLLIONE. [sic], VITRVVIO. »

Figure 3. Le quadrante de Bartoli, (DMM, I.2, f. 3r^°) et le quadratum geometricum d’Oronce Finé, Liber de geometria practica (Strasbourg : 1544), entre p. 8 et 9. On constate que les gravures sur bois aussi sont fortement inspirées de la source, surtout en considérant que le tirage à partir d’une matrice copiée à l’identique produit un image en miroir

19Dans la dédicace au Grand-Duc Cosimo de Medici, datée du 10 août 1559, Bartoli décrit, quoique d’une manière discrète, son labeur comme celui d’avoir « traduit en cette langue les manières les plus faciles et les plus sures de pouvoir mesurer avec les véritables règles et raisons [...] ».6 Le livre possède un autre préambule, une adresse « A’ benigni lettori » de l’imprimeur siennois Francesco de’ Franceschi. Ce dernier affirme vouloir servir tous ceux qui s’attendent à ce que « les sciences, avec les meilleures règles et avec la plus grande facilité, soient éditées en cette langue », à savoir l’Italien littéraire.7On retient également de ces textes préliminaires l’insistance sur les « raisons » les « vraies règles » ou les « meilleures règles », et donc l’importance explicite accordée à la justification de la « science » présentée. L’auteur s’explique sur son projet au premier livre (Libro primo) où il insiste sur l’importance qu’il y a à fournir non seulement les démonstrations (prove) mais encore les définitions, axiomes et propositions d’Euclide sur lesquels les démonstrations s’appuient.

« […] Nel quarto, seguendo Gemma Frisio, & altri mi parue di trattare del modo da descriuere le Prouincie in piano. Et se ben quanto alla pratica della Geometria mi pareua che questi quattro libri fußino a bastanza, conciosia che non poteua occorere cosa alcuna, a qual si uoglia persona, che con queste regole non si potesse, o misurare, o ritrouare. Nondimeno atteso che io mi ero ingegnato seguendo lo ordine de piu lodati scrittori di prouare con ragioni le misure che si descriuono, & nel prouarle allegando gran parte delle dimande, & concetti, & delle proposte di euclide, come che dette misure si siano tutte da lui con fondamento cauate ; mi deliberai di non fuggire la fatica di mettere in questa lingua, quelle parti di loro, che per le pruoue si erano citate : accioche qual si uoleßi curioso ingegno, poteßi mediante questi miei scritti, satisfarsi nel uedere in fonte il uero delle cose trattate. Aggiunsi adunque alli prijmi quattro libri il quinto, doue sono non solamente le dimende, i concetti, & proposte, citate nelle dimostrationi per pruoue, ma quelle ancora che da loro dependono, chiamando spesso l’una l’altra, come ben sanno coloro, che dilettandosi di Euclide, lo hanno spesso per le mani. […] [l’addition de la traduction d’Euclide est nécessaire, pour deux raisons : ] la prima le persuasioni del ualoroso Signore il Capitan Francesco de Medici, non men studioso che affezionato di simili sorte di studij : & la altra la comodità dello uniuersale, [...] » (MMD, 1v°).

20En paraphrasant : Comme les preuves données pour les règles de mesure exposées aux quatre premiers livres renvoient aux postulats, définitions et propositions d’Euclide, Bartoli s’est décidé de traduire en toscan ces passages des Éléments. Ainsi tout esprit curieux pourra voir dans la source le vrai des choses traitées. La motivation d’ajouter cette traduction partielle d’Euclide était double, d’une part Francesco de Médicis l’en aurait convaincu, d’autre part l’idée de rendre facilement accessible une œuvre universelle.

21Suit une remarque à propos de termes techniques ou de néologismes qui semble indiquer que le projet de littérature technique en vernaculaire pouvait se heurter à la réticence de certains lecteurs. Bartoli les avertit qu’il se servira des vocables qui sont entrés en usage dans le milieu des mathématiciens.8 En effet, sa traduction de « quadratum geometricum » par quadrante peut paraître contestable d’un point de vue rétrospectif, mais elle correspond certainement à l’usage des milieux florentins. Bartoli prétend servir l’utilité et la commodité, mais il admet que cela ne satisfait pas nécessairement aux exigences stylistiques littéraires de ceux qui sont plus attentifs à la langue (coloro, che attendendo forse piu alla lingua).

Mathématiser l’opération du « quadrante »

Figure 4. Figure 4. Schéma de Bartoli (DMM, I.2, f. 4v^°) accompagnant un problème de mesure de distance par le carré géométrique

22Comment l’auteur décrit-il et justifie-t-il la mise en œuvre de ce quadrante ? Bartoli, en suivant Oronce Finé sur ce point, fournit une démonstration en règle, en habillant les utilisations de l’instrument en autant de problèmes. Chacun est ensuite traité de façon canonique. Encore une fois, la mesure d’une distance servira de témoin. Il y a dans l’ouvrage deux sections qui concernent l’emploi du quadrante : la première se trouve au premier livre, la deuxième au quatrième livre :

« […] & che il B sia a punto al principio della linea che si harà da misurare ; & l’una, & l’altra faccia del quadrante AB, & CD, stia a piombo sopra il piano. Pongasi dipoi l’occhio al punto A & abaßisi, o alzisi la linda talmente, che passando la ueduta per amendue le mire arriui alla fine della propostaci linea E. Fatto questo notisi doue la linda AF batta nel lato CD : che per modo di essempio diremo che batta nel punto F. Se la intersecatione DF sarà 15. di quelle parti uguali, che tutta la CD uguale ad essa AD, è 60. perche 60. corrisponde per quattro tanti al 15. la propostaci linea BE sará lunga per quattro uolte esso lato AB. Adunque se il lato AB sarà un braccio ; la propostaci linea BE sarà quattro braccia simili.
Per dimostratione delle cose dette, egli è chiaro che i duoi triangoli ABE, ADF sono di angoli uguali ; conciosia che lo angolo AEB è uguale allo altro angolo DAF secondo che si proua per la uentinouesima del primo di Euclide ; conciosia che la linea diritta AE taglia a trauerso le due AD & BE che sono paralelle. Lo angolo BAE ancora è uguale allo angolo AFD secondo la uentinouesima del primo. Peroche la AF pare che di nuouo tagli a trauerso le paralelle AB & CD. Lo altro angolo medesimamente ABE è pure | [f. 5r°] uguale all’altro ADF, conciosia che l’uno, & l’altro è a squadra, o uogliamo dire retto. Et tutti gli angoli a squadra, o uogliamo dire retti, sono infra di loro, secondo la quarta petizione, o uogliasi dire dimanda di Euclide, uguali. Adunque i detti triangoli ABE, & ADF sono di angoli uguali. Et de triangoli di angoli uguali sono proporzionali quei lati, che sono intorno a gli angoli uguali : & quelle corde, o lati, che sono rincontro a gli angoli uguali, o uogliamo dir’ sotto, sono nella medesima proportione secondo la quarta del sesto di Euclide. In quella medesima proportione adunque che corrisponderà la linea AD, alla <DE> [DF], corrisponderà ancora la propostaci linea EB al lato AB. Questa dimostratione è bene, che si noti diligentemente : perche giouerà molto, a farne intendere le altre cose, che si hanno a trattare ; conciosia che hauendo a prouare molte cose, mediante la corrispondentia della ugualità delli angoli, non uorrei esser’ molesto con hauerlo a replicare troppo spesso. » (MMD, 4v°-5r°).

23Pour paraphraser : AB et CD doivent être posés perpendiculairement sur le plan. En regardant à travers les mires montées sur l’alidade (la linda) on vise le point E. On note alors le point F sur CD, c’est le lieu où passe l’alidade. Si DF était 15, et étant donné que AD et CD sont 60, on saurait que BE mesurerait quatre fois la longueur d’un côté du quadrante. Pour le démontrer, on note que les triangles ABE et ADF sont équiangles, car les angles AEB et DAF sont égaux (Éléments I.29), étant donné que AD et BE sont parallèles. Par la même proposition, on a que les angles BAE et AFD sont égaux. L’angle ABE est égal à l’angle ADF comme les deux sont droit (Éléments I, postulat 4). Finalement, les côtés correspondants de triangles équiangles sont proportionnels (Éléments, VI.4). Donc AD est à DF, comme EB à AB, explique Bartoli.

24La distance du point E s’obtient par un calcul. Ce calcul n’est pas exprimé de façon générale mais au travers d’un exemple : « si l’intersection est 15 ». Comme l’échelle totale mesure 60, et que 4 fois 15 font 60, alors 4 fois AB donnera BE. Au lecteur, donc, de généraliser la procédure, ce qui n’est pas immédiat lorsque DF n’est pas une partie aliquote de DC (DC n’est pas toujours un multiple de DF). Mise à part cette manière d’exposer la solution du problème (qui s’inscrit dans une longue tradition arithmétique, qui est aussi celle de Diophante), on retrouve ici formellement toutes les parties d’une « proposition » au sens de Proclus commentateur des Éléments d’Euclide. Le lecteur habitué à la littérature mathématique s’y retrouve donc avec aise. Il connaît les concepts (termes savants), qu’évitait Castriotto : a piombo sopra il piano, la intersecatione, angoli uguali, linea diritta, le paralelle, sono proporzionali quei lati, rincontro (en face), in quella medesima proportione. Qui plus est, il se souvient sans doute des énoncés euclidiens auquel Bartoli fait référence pour justifier son raisonnement (Éléments I.29 ; I.4-postulat ; VI.4). L’énoncé général de la solution (distance EB) est réservé à la conclusion qui suit la démonstration : EB est à AB comme AD est à DF. Tandis que la recette pour l’opération se présente sous un cas numérique particulier, la démonstration est générale, une particularité préfigurée dans le texte latin d’Oronce Finé.

25Au quatrième livre Bartoli note encore une méthode (sans instrument cette fois), qui ressemble à celle que nous avons rencontrée chez Castriotto (Libro quarto. Come si truoui una distantia di un luogo e sia quanto si uoglia lontano. Cap. IIII.).

Figure 5. Diagramme de Bartoli (DMM, IV.4, f.103v^°) pour une mesure de longue distance. (Crédit : Bayerische Staatsbibliothek, http://www.digitale-sammlungen.de)

« Ancora che il medesimo si sia insegnato nel terzo cap. et nel quarto del primo libro non mi pare fuor di proposito replicare in questo luogo un modo di trouare le distanze atteso quanto sia necessario per porre le regioni in carta, & che molte volte accaggia non hauer seco instrumento alcuno con che pigliare si poßino dette distantie diritte, però siami concesso il poterlo quasi che replicare in questo luogo ancorche si varij qualche cosa da modi detti. [...]
Quindi presa la veduta del castello accosteremoci per linea diritta ad esso castello dal luogo prima determinato, per 35. paßi & quiui rizzisi in terra fitta a piombo una asta, la quale chiameremo C, il castello da vedersi B, & il nostro primo luogo cue[?] ci ponemmo A. Fatto questo discosteremoci dal C, in su la mano ritta ad angolo a squadra della dirittura AB, per 26. paßi, et in questo luogo porremo una seconda asta, la quale chimaremo D, doueuasi porre per terza asta A se bene non si è detto prima, & partendoci da essa douemmo discostarsi ad angolo a squadra verso la man destra tanto che la veduta dello occhio nostro passando per la seconda asta D, arriui al castello da misurarsi, & quinui poni un 4. termine, o asta che sia E, misurisi dipoi, o con braccia, o con canne quante le fiano infra C & D, prima & secunda asta, & ponghinsi da parte il numero di questa prima lontananza misurisi dipoi quante braccia sono infra C & A, la quale chiamaremo lontantanza seconda |[f. 103v°] & porremo da parte anco questo suo numero, ultimamente misurisi la terza lontananza, cioè infra A & E, & ponghinsi da parte ancora le sue braccia. Traggasi dipoi la prima lontananza dalla terza, & quel che cene resterà diuenterà il nostro partitore. Multiplichisi dipoi la terza lontananza per la seconda, & quel che ce ne resulta partasi per il partitore, & quel che ce ne verrà sarà la dirittißima distantia infra A & B, cioè fra la terza asta & il castello. […] é chiarißimo che questo modo è certißimo ogni uolta che nel discostarsi per lato dalla prima veduta & seconda, ce ne discosteremo ad angoli retti, cosi l’una uolta come l’altra, ma credo bene che senza un quadrante, o altro instrumento simile, difficilißimamente potremo discostarcene ad angoli a squadra, & quanto maggiore fusse detto quadrante, | [f. 104r°] tanta piu giusta sarebbe la operatione, ma mostrisi la figura per maggiore dichiaratione. Non è dubio che chi considererà diligentemente potrà conietturare che questo medesimo si puo fare con il quadrante come si fece nello operare che si insegnò nel primo libro, & che poco di sopra si è allegato, modo insegnato dal Perurbachio [sic], & dallo Orontio & da altri, ma auuertiscasi che quanto maggiori, si pigheranno le distantie fra asta & asta, tanto piu giusta tornera la operatione, la quale non vorrebbe passare però molta gran lontananza si per la Piccolezza della scala altimetra descritta nel quadrante, & si per la acutezza de razi della veduta, che non è poßibile che non uadino in qualche cosa variando, [...] » (MMD, 103r°-104r°).

26En paraphrasant : Bien qu’on ait déjà enseigné un cas similaire (livre I, chap. 3), il ne paraît pas inutile d’ajouter ici une autre méthode, surtout parce qu’il arrive qu’on ne dispose pas d’instruments. À partir du point A, on s’approche en ligne droite du fort (point B, lieu dont on veut connaître la distance) de 35 pas jusqu’au point C, pour y planter un premier jalon. Ensuite on s’éloigne de AB à angle droit, de 26 pas jusqu’au point D où l’on pose un deuxième jalon. En A on avait mis le troisième jalon, et on s’éloigne à angle droit jusqu’à ce qu’on aperçoit le fort (B) derrière le jalon en D, et on y enfonce un quatrième jalon E. On mesure ensuite les distances CD, CA et AE en notant les nombres de braccia ou canne. On soustrait la première distance de la troisième et on aura le diviseur (il nostro partitore). On multiplie la troisième par la deuxième distance et on divise le résultat par le diviseur, et on obtiendra la distance AB. [...] Il est très clair que cette façon est très certaine d’autant plus que nous nous éloignons à angle vraiment droit. Par contre, il semble difficile de le faire sans disposer d’un quadrante ou d’un instrument semblable. Plus l’instrument sera grand, plus l’opération sera juste. Bien sûr, on pourrait faire le même simplement par le quadrante, comme au premier livre, par la méthode enseignée par Peurbach, par Oronce et par d’autres, mais il faut se rendre compte que plus les distances prises entre les jalons seront grandes, plus l’opération sera juste. Encore que sa justesse sera toujours limitée que ce soit par l’échelle de la distance, ou par la petitesse de la graduation sur le quadrante, ou par l’acuité des rayons visuels, de sorte qu’il y aura nécessairement une certaine déviation.

27Selon Bartoli, cet énoncé est lié à une proposition du livre premier (cf. avant-dernière citation). Il n’expose plus, cette fois, de démonstration formelle. Il présente un exemple numérique qui est plus facilement généralisable que le précédent, à savoir l’exemple d’un rapport. L’auteur ajoute quelques considérations à propos des conditions de précision du résultat : l’exactitude des angles droits en A et en C, l’importance des distances en jeu AE, AC et CD. Une fois établies les désignations suivantes : CD prima lontananza ; CA, seconda lontananza ; AE, terza lontananza ; AE – CD, partitore, Cosimo Bartoli peut énoncer la règle de manière générale : la distance AB est trouvée en multipliant la terza lontananza par la seconda lontananza divisées par le partitore. Cette description arithmétique l’éloigne quelque peu du langage géométrique et en termes de rapports qui rapprochait la règle du livre I de sa propre démonstration. Le lecteur est supposé accepter la règle directement, ou comprendre par lui-même la correspondance qu’il y a entre l’égalité des rapports (proportionnalité) AB : AE : : AC : (AE – CD), démontrée au livre I, et l’algorithme présenté ici, qui suppose l’équation

4. « Senza far alcuna ragione Arithmetica sapere le distantie » : Abel Foullon et l’holomètre

28Le cas de l’holomètre de Foullon est remarquable, parce que son auteur, qui n’appartient à aucune corporation, obtient du Roi ce qu’on appellerait aujourd’hui un brevet d’exclusivité de dix ans pour fabriquer son instrument et imprimer sa description. Comme l’a déjà noté Hauser, il reçoit son privilège au Châtelet le 5 décembre 1551.9

29En France, le livre de Foullon connaîtra plusieurs éditions avec des gravures en bois (Foullon 1555, 1561, 1567). Il y aura également une édition latine à Bâle (Foullon 1577). La version italienne (1564) du livret présente la même structure que la version française, le tout étant précédé par une dédicace de Ziletti. Suit la dédicace au Roi [Henri II] par Foullon, puis un « Avis aux lecteurs ». Enfin, l’introduction (qui contient la présentation et la description de l’instrument). Les trois chapitres qui composent le corps de l’ouvrage sont consacrés respectivement à la mesure des distances, des largeurs, et des hauteurs. Le nom du traducteur n’est pas mentionné.

30La préface du livre nous informe que les recherches concernant ce type d’instrument auraient été entreprises à la demande du Maréchal de Brissac (1505-1563). L’instrument aurait reçu son nom d’« holomètre » de Mellin de Saint-Gelais (1491-1558), poète et bibliothécaire du roi à Fontainebleau. Les gravures (sur bois) sont attribuées à Jean Cousin (1501-1590). Foullon et ses associés auraient procédé à l’impression dans leur propre atelier. Cette préface, reprise dans la traduction italienne, mentionne le sujet qui nous intéresse : il y est question des démonstrations, notamment de l’individu qui les aurait suppléées, car apparemment, Foullon lui-même n’en avait pas l’expertise. Les démonstrations proviendraient, écrit donc Foullon, de Jean Magnien (m. 1556), docteur ès médecine et nommé lecteur et professeur du Roi pour les mathématiques en 1555 (Sédillot 1869, 61-62), « (dal qual solo io ho appreso i principij delle mathemátice [sic]) ha accresciuto di demostrattione la descrittion, che io ne ho fatto. » (DUH, [12]).

31La présence de ces démonstrations, dont nous verrons un exemple plus loin, témoigne d’un livre conçu à deux niveaux de lectures (et de lecteurs). Dans le titre, d’une part, nous trouvons la précision : « Necessario a quelli, che vogliono prontamente, & senza far alcuna ragione Arithmetica sapere le distantie de’ luoghi », donc l’évocation d’un public qui vise une mise en œuvre pratique, réalisable par ceux qui n’ont pas de formation arithmétique ou qui ne calculent que péniblement. D’autre part, le fait d’intégrer des parties démonstratives dans l’ouvrage atteste du souci de voir sanctionné ces procédures par des raisons mathématiques (essentiellement géométriques). Quant au public visé à Venise, une décennie après l’édition originale, nous en trouvons un indice dans la dédicace datée du 11 juin 1564. L’éditeur vénitien, Giordano Ziletti, y explique à Sforza Pallavicini (1519-1585), governatore generale, c’est à dire général de l’armée de Venise, que la mesure de distances ne seyait pas seulement aux généraux mais aussi à tout capitaine.10 La connaissance des procédés de triangulation était censé apporter tout à la fois avantage pratique et ornement au capitaine d’artillerie. Cependant, ce qui rend ce type d’instrument particulièrement adapté, c’est qu’il évite – Ziletti est d’accord avec Foullon sur ce point – les « profonde speculationi delle misure ».11

Figure 6. Vue de l’ensemble de l’holomètre dans la version italienne (DUH, p. 9)

32Les pages de Foullon ne sont cependant pas destinées à ceux justement qui devront utiliser l’instrument sans recourir au calcul ou aux raisonnements mathématiques (speccolazioni). Dès la première présentation de l’instrument, la démonstration de sa composition implique des considérations d’ordre géométrique. Par exemple, Foullon donne une preuve explicite du fait que l’instrument est horizontal dès que les fils à plomb des “recteurs” sont alignés :

« perche essendo il fil del piombo sopra il perpendicolo del Rettore, egli ne segue, che la Tauola dell’instrumento sia similmente a liuello. La proua è per la 14 dell’11 d’Euclide p[er] che tutte le cose graui (come piombo) cadeno p[er]pendicolarmente sopra l’orizonte ; et se il medesimo piombo cade sul perpendicolo del rettore egli fa il simile sopra la Tauola (perche cosi è fatto l’instrumento onde la Tauola e equidistante dal orizonte, ch’io chiamo que esser a liuello secondo i uulgari.) » (DUH, 3).

33Autrement dit : Lorsque le fil à plomb s’aligne avec la verticale du recteur, il s’en suit que la base de l’instrument est à niveau (Éléments XI.14), c’est-à-dire équidistant à l’horizon, car l’instrument est ainsi construit.

Figure 7. L’holomètre est équipé de deux “recteurs” (rettori). Foullon se trompe dans le texte, le graveur dans la figure, quant à la graduation du limbe du recteur. La subdivision devrait correspondre à la projection d’un carré d’ombre sur la circonférence, ce qui produirait une partition à angles inégaux. (DUH, p. 4)

34On a recours ici à des concepts physiques (choses pesantes, de niveau), géométriques (perpendiculaire, équidistant, parallèle, référence aux Éléments XI.14) et – si l’on veut – cosmographiques (l’horizon). De la même manière, voire même plus formellement, les opérations décrites dans chacun des chapitres sont suivies d’une démonstration. Ainsi, au chapitre I, on détermine une distance (lunghezza) par « triangulation », en positionnant l’instrument successivement à deux stations différentes dont on connaît la distance. La procédure – transcrite partiellement ci-dessous – est suivie d’une preuve (Il modo di prendere la misura delle lunghezze, cio è a dire, dal luogo, doue si è, alla cosa lontana. Capitolo Primo) :

« [...] sia messo l’Holometro giustamente a liuello sopra il suo piede. […] egli riconoscerà qualche segno nel luogo, doue egli delibera di | [p. 12] trasportar piu commodamente il suo Holometro, per valersene di seconda veduta ; & verso quel segno riconosciuto, egli drizzerà la Base del detto Holometro [...] Se il segno è alla destra del misuratore, egli congiongerà la Verga sinistra dell’instrumento verso la Base, & vederà il detto segno per li traguardi [...] perche essendo l’una, o l’altra Verga gionta con la detta Base, il Rettor di sopra è commun alla Base, & alla Verga ; & per conseguente le drizza, & gouerna ambedue insieme. [...] il misuratore ritirerà dolcemente [...] la istessa Verga [...] & per le pinule del Rettore [...] riguarderà la cosa lontana, […] Resta hora a trasportar l’Holometro sopra il segno di seconda veduta ; al che fare egli bisogna osseruar il ponto, al quale è la aguglia del detto Ho- | [p. 13] lometro. Cio è a dire sopra quale de’ venti, & segni del circuito è la punta della detta aguglia.

Figure 8. Gravure illustrant la première proposition de l’utilisation du holomètre (DUH, p. 17)

[…] egli conterà in andando, quanti piedi, passi, o pertiche saranno dal luogo della primiera veduta fin al luogo della seconda. [...] egli auuicinerà la Verga all’altra in modo, che il numero dei piedi, passi, o pertiche, ch’egli haurà trouato [...] sia giustamente compreso sopra la Base tra i nodi delle dette Verghe. perche la Base è diuisa per numeri, & gradi, che rappresentano tutte le misure, che vi si vorrà accommodare ; [...] egli bisogna mirar per le pinule del Rettor dell’ultima Verga la medesima cosa lontana [...] il punto, nel qual si incroccieranno, & taglieranno le dette due Verghe, mostrerà senza fallire, quanti piedi, o passi sono dal luogo della primiera, & seconda veduta, fin alla detta cosa lontana. » (DUH, 11-14).

35En paraphrasant : Qu’on mette l’holomètre à niveau et qu’on se ravise de la position du jalon posé là où l’on fera la deuxième visée. L’arpenteur alignera la base de l’holomètre selon cette direction, en regardant par les pinnules (traguardi) d’un recteur posé au-dessus de la base. Il retirera doucement le recteur pour viser la chose lointaine. Avant de transporter l’holomètre à la deuxième station, l’arpenteur notera la position de l’aiguille [aimantée]. En transportant l’instrument jusqu’à la deuxième position, il comptera le nombre de pieds, pas ou toises. Ce nombre sera reporté sur l’échelle marquée sur la base, et le deuxième recteur fixé au point correspondant. L’arpenteur devra maintenant viser la chose lointaine à travers ce deuxième recteur. Le point d’intersection des deux réglettes sur la table de base montrera la distance en pieds ou pas prise de la première et de la deuxième station jusqu’à la chose lointaine.

36La procédure, entièrement décrite en langage « naturel », est suivie par l’exposé des mêmes instructions à peine abrégées, grâce à l’emploi des lettres pour désigner les trois points A, B et C. Foullon discute ensuite les cas qui nécessitent certains calculs pour adapter l’échelle de l’instrument. Il consacre à ce cas trois articoli, avant de se tourner vers la démonstration du procédé général :

Figure 9. Diagramme de la démonstration de Jean Magnien de l’usage du holomètre (DUH, p. 29)

« Se ne segue la proua, & dimostratione del presente Capitolo. A. è la cosa misurabile ; b il primo luogo, ouer positione, doue la detta cosa è stata ueduta. c, l’ultimo luogo, doue si fa la seconda ueduta. b, c, la distantia tra le dette uedute, o positioni : & B, c. la medesima distantia tra le uedute disegnate per certi gradi sopra la Base dell’Holometro. Tanto è, che la quantità della linea, bA. è cercata ; la quale si troua in questo modo. Quando B. (Verga sinistra dell’Holometro) sarà sopra b. prima positione, si uede A, per BD. Rettor della detta Verga.
Ma hora l’Holometro è trasportato sopra la seconda positione c. in modo, che la Base, Bc. è sempre nella medesima linea dritta, bc. (il che si fa per l’aiuto dell’agu-| [p. 30] glia dell’Holometro, o de i traguardi del Rettore) l’Holometro (dico io) è trasportato sopra c. senza esser l’angolo Dbc. cangiato altrimenti. perche la Verga oue è il Rettore DB. è portata con la Base sopra c. nel medesimo sito, & dritto, ch’ella era sopra b. Onde l’angolo Dbc. è eguale all’angolo Abc. (perche questo è un’istesso angolo, che non ha cangiato, se non il luogo) percio Ab, & DB, sono parallele per la 29. del primo de gli elementi di Euclide ; et per conseguente i triangoli Dbc ; & Abc. sono equiangoli ; eßendo c. angolo commune all’uno, & all’altro triangolo. Or auiene, che per la 4. del 6. de detti elementi, tutti i triangoli equiangoli hanno le linee, che sono attorno de gli angoli eguali, proportionali. Adunque per definitione i detti triangoli sono simili ; dalla similitudine de’ quali ne segue, che tal ragion è tra cB. et cb ; qual è tra BD. et bA (il qual bA. è la distantia, che si cerca). Ma, cB. et cb. sono eguali in numero, et moltitudine di parti, o di gradi ; percioche tra B, & c. (che è la Base) sono tante parti, et gradi certi, quanti sono paßi, o piedi tra le due positioni bc. Onde egli ui ha tanti piedi, o paßi da b. fin ad A. quanti sono gradi da B. D. et tanti paßi, o piedi tra c, & A, quanti sono gradi tra c. & D. » (DUH, 29-30).

37La preuve et démonstration est la suivante : A est ce qu’il faut mesurer, b la première station et c la deuxième, bc la distance entre les stations, mais Bc cette même distance représentée sur la graduation de la base de l’holomètre. On cherche la quantité de la ligne bA. Lorsque B (la position du recteur gauche) sera à b (première station), on vise A par BD. Puis, l’holomètre est transporté sur la station c de manière à garantir que Bc se trouve toujours alignée avec bc. et sans changer l’angle Dbc (et donc restera égal à l’angle Abc). Donc Ab et DB sont parallèles (Éléments I.29) et donc les triangles Dbc et Abc sont équiangles. Dans ce cas les côtés correspondants sont proportionnels (Éléments VI.4), ce qui signifie que cB est à cb et comme BD à bA. Mais cB et cb sont numériquement égaux : il y a tant de parties graduées en cB comme il y a de pieds ou pas de b à c. D’où, de b à A il y a autant de pas ou pieds que de parties graduées entre B e D, et de c à A il y a autant de pas ou pieds que de parties graduées entre c e D.

38Jean Magnien connaissait visiblement sa géométrie. A part les références aux Éléments (29. del primo de gli elementi di Euclide ; 4. del 6. de’ detti elementi ; per definitione), on observe qu’ici les références aux manipulations de l’instrument et de ses parties (base, verga, rettore) s’insèrent dans un tissu parfaitement développé de concepts et d’arguments géométriques. Tout se passe donc comme si le livre de Foullon, avec ses démonstrations soigneuses, n’était pas écrit pour ceux-là mêmes qui devraient employer l’instrument, mais plutôt pour des instructeurs ou des surintendants de l’armée, qu’il s’agissait de convaincre à la fois de la fiabilité mathématique et de la simplicité pratique de l’instrument.

5. Discussion

39Les textes présentés font apparaître la diversité de la culture mathématique de l’époque, que ce soit directement, par le contenu mathématique exposé, ou indirectement, dans la mesure où les auteurs présupposent de la part du lecteur certaines connaissances. Or quel sont effectivement les apports des mathématiques dans chacun des cas ? Pour quels motifs les textes ont-ils recours au raisonnement géométrique ? Et à quelle fin est-il employé ? Je me suis proposé d’appliquer cette série de questions à trois textes, tous parus à Venise la même année 1564. Deux autres traits rapprochent ces ouvrages :

1. Leurs auteurs ne se dédient pas exclusivement au métier de fabricant d’instrument, ni à celui d’arpenteur. Maggi est juriste, rédacteur éditeur de traités aux sujets divers ; Bartoli est diplomate au service du Grand-Duc de Toscane ; Foullon est valet de chambre du Roi, préposé à la monnaie. L’initiative de rédiger ces ouvrages ne vient donc pas de la part de purs praticiens, mais d’écrivains, qu’on n’ose appeler « mathématiciens », mais dont deux manifestent toutefois certaines connaissances en mathématiques.
2. Les trois ouvrages, curieusement, ont des racines en France plus ou moins évidentes, et plus particulièrement dans l’entourage du Roi : Castriotto serait le successeur de Leonard de Vinci ; Bartoli traduit Oronce Finé, professeur de mathématique du Roi et du Collège Royal ; enfin, le livre édité par Ziletti est la traduction d’un ouvrage français de Foullon dont la publication avait été initialement encouragée par un héros militaire, le Maréchal de Brissac. L’année 1564 appartient à l’ère des violences religieuses. Sous Catherine de Médicis, l’armée royale mène un certain nombre de campagnes et assiège formellement, avec succès, Blois, Bourges et Rouen lors de la Première Guerre de religion (1562-1563) (Wood 1996).

40D’autre part, nous ne pouvons comparer ces textes sans tenir compte de la position différente qu’y occupent ces passages apparemment si similaires :

1. Le Della fortificazione delle città aborde la mesure des distances dans un seul de ses chapitres, le dernier du livre I, précédé d’un chapitre présentant les différentes unités de mesure : la paume romaine antique, le pied de France (12 pouces), et le pied d’Urbino. Le livre II, qui suit immédiatement, s’ouvre par deux chapitres proposant des instruments pour mesurer la pente des bastions ou murailles. Dans l’ensemble de l’ouvrage, ces sujets « mathématiques » occupent une place mineure et marginale.
2. Le Del modo di misurare est au contraire entièrement consacré – du moins pour les quatre premiers livres – à la mesure de distances, à l’arpentage et à la cartographie. Le livre présente en outre plusieurs types d’instrument.
3. La Descrittione et uso dell’holometro est un livre du genre De fabrica et usu, traitant d’un seul instrument (nouveau en l’occurrence), dont les différents usages sont détaillés dans une grande variété de conditions de mise en œuvre. Les procédures y sont systématiquement justifiées.

41On se demande alors dans quelle mesure ces différences sont corrélatives du statut donné aux aspects mathématiques et du degré de leur intégration dans chacun des écrits. Distinguons trois niveaux : (i) utilisation de concepts ou emploi de figures à des fins descriptives ; argumentation géométrique en vue de justifier (ii) la composition de l’instrument ou (iii) le procédé de mesure. On constate alors la chose suivante :

42Chez Castriotto il n’y a pas de justification géométrique des procédés, seulement des listes d’instructions. Leur justification passe par le récit de campagne qui semble leur conférer la validité de procédés passés (littéralement) au baptême de feu. On peut néanmoins y déceler une certaine « mathématisation » primitive, ou plutôt un parfum de géométrie formelle : Castriotto recourt à une figure lettrée, et à certains concepts de géométrie élémentaire, encore que l’usage en soit pénible, car Castriotto ne suit pas l’ordre canonique d’exposition. L’explication est donnée en deux temps, entre lesquels sont intercalés des récits sur l’invention et les occasions dans lesquelles l’instrument peut être employé.

43Dans l’ouvrage de Bartoli, on observe une structure semblable à celle des traités de géométrie : ses chapitres sont structurés comme des propositions, et – du moins au livre I – chacun se termine par un paragraphe démonstratif dûment complété par des références aux Éléments (suivant en cela l’original d’Oronce Finé). Cette justification constitue une manière d’appréhender le principe de fonctionnement de l’instrument d’une façon abstraite, ce que Bartoli dénomme les « uere ragioni ». Néanmoins, elle se distingue encore d’une démonstration suivant les règles de la géométrie érudite. Par contre, on devine que Bartoli n’a guère manipulé les instruments dont il parle : il omet, tout comme son modèle Oronce Finé, de décrire le dispositif qui permettrait de s’assurer de la verticalité de l’instrument.

44Foullon, quant à lui, donne l’impression d’avoir une maîtrise pratique de son instrument. Il donne d’ailleurs des indications à propos de l’ajustement des règles/tiges et recteurs qui doit se faire avec délicatesse (dolcemente, suavemente). A l’inverse, il se débat avec quelques incohérences géométriques (l’égale division du recteur ne signifiant pas l’équipartition de l’angle de 90°, c’est le côté du carré d’ombre qui devrait être divisé en parties égales). Il fait ajouter les démonstrations par son professeur de mathématiques, personnage de prestige, comme si les mathématiques n’étaient pas constitutives de l’instrument et des procédés de mesure, mais un complément dispensable.

Conclusion

45La justification géométrique n’est qu’une variante parmi d’autres de la « mathématisation » des écrits sur les instruments d’arpentage. Et si elle est présente chez beaucoup d’auteurs qui traitent d’instruments, elle n’est pas réalisée de façon homogène. Justement – en revenant aux questions initiales concernant les motifs, les finalités et le statut de la justification géométrique – nous pouvons maintenant, à la lumière des exemples discutés, énumérer un faisceau de réponses possibles :

1. ces justifications visent à satisfaire la demande des curieux, à rendre évidente « la vérité » des affirmations et, au delà, des opérations indiquées (cf. DUH, Ziletti, Foullon) ;
2. elles permettent d’élucider le principe de fonctionnement de l’instrument (cf. Bartoli, Finé) ;
3. elles placent le texte (par l’héritage de l’approche géométrique) dans le cadre de la tradition plus ou moins bien définie des livres De usu et fabrica (cf. MMD, Finé, Bartoli ; DUH, Ziletti, Foullon) ;
4. elles entendent donner un air plus savant à l’ouvrage, quand elles ne sont pas constitutives de l’argument – c’est l’historien qui peut éventuellement le supposer, dès lors qu’il note, comme le fait Biagioli (1989), que le statut des mathématiques est en ascension pendant le XVI^e siècle (cf. DUH, Ziletti, Foullon) ;
5. ou encore, elles constituent un exercice afin de prouver ou renforcer la malléabilité de la langue vernaculaire (le motif est plusieurs fois mentionné par Bartoli) (cf. MMD, Bartoli, Finé).

46L’usage des instruments mathématiques, ceux d’arpentage en particulier, remonte à l’antiquité. Les principes sous-jacents de leur fonctionnement sont évidemment géométriques et ils ont été connus de tous temps par les géomètres. Ce qui change au XVI^e siècle, c’est la façon d’en rendre compte, évolution liée à la multiplicité des approches alors proposées. Comme dans le cas de la perspective des peintres, les traités inspirés par le savoir faire pratique seront ensuite critiqués par des auteurs plus érudits. Commandino (1558) ou Benedetti (1585) traitent de la perspective selon le standard mathématique le plus élevé. De même pour l’arpentage, certains mathématiciens absorberont les propositions des praticiens – par exemple Giovanni Antonio Magini, dans son De planis triangulis (1592). Ainsi, il faudra se demander ce que – dans les trois approches que nous avons étudiées – a retenu l’attention de ces auteurs postérieurs. Le cas de la traduction latine12 du traité sur l’holomètre par Johannes Nicolaus Stupanus (1542-1621), en particulier, devrait retenir notre attention lors d’une étude future qui examinerait ces ouvrages postérieurs, érudits et en latin pour certains.