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Des mots et des maths

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Danielle Ruelland-Roger

Annexes

Texte intégral

Annexe 1. Séance de travail des élèves de la classe de troisième RAR

Énoncé du problème

1Un disquaire en ligne propose de télécharger légalement de la musique.

Offre A : 1,20 € par morceau téléchargé avec un accès gratuit au site.

Offre B : 0,50 € par morceau téléchargé moyennant un abonnement annuel de 35 €.

21. Calculer pour chaque offre le prix de 30 morceaux téléchargés par an.

32.

a. Exprimer, en fonction du nombre x de morceaux téléchargés, le prix avec l’offre A.

b. Exprimer, en fonction du nombre x de morceaux téléchargés, le prix avec l’offre B.

43. Soient f et g les deux fonctions définies par f : x→ 1,2x et g : x→ 0,5x + 35.

a. Calculer g (41).

b. Trouver un antécédent de 42 par la fonction f.

c. Dans le repère orthonormé fourni en annexe et à rendre avec la copie, la représentation graphique de g a été tracée. Représenter dans ce même repère la représentation graphique de la fonction f.

54.

a. Lire graphiquement le nombre de morceaux pour lequel les prix sont les mêmes. Mettre en évidence cette valeur sur le graphique (pointillés, couleurs).

b. Par le calcul, retrouver le nombre de morceaux pour lequel les prix sont les mêmes.

Travail collectif et dialogue concernant la question 2.

61. Intervenante : Deuxième question petit a.

2. Él. 2 : Donc c’est la même chose, vous faites x

3. Intervenante : Alors offre A, je récris offre A

4. Él. 5 : Oui.

5. Él. 2 : Oui.

6. Intervenante : S’il y en a qui ne sont pas d’accord, vous dites.

7. Él. 4 : Oui on va bien le dire.

8. Él. 2 : Vous écrivez x euh

9. Él. 1 : Vous faites pareil en fait que pour les calculs, les premiers calculs

10. Intervenante : Oui.

11. Él. 1 : Sauf que vous remplacez par x en fait.

12. Intervenante : Je remplace quoi par x ?

13. Él. 1 : Par exemple x, le premier ça fait un euro vingt fois

14. Él. 2 : Un euro vingt x non ?

15. Él. 1 : Attends, c’est euh

16. Él. 5 : Si, si c’est un euro vingt x

17. Él. 1 : Un euro vingt fois

18. Él. 5 : Avec

19. Intervenante : Alors un euro vingt

20. Él. 2 : x

21. Intervenante : Fois

22. Él. 2 : Ou fois x c’est pareil, c’est la même chose

23. Intervenante : Et ça c’est donc

24. Él. 4 : (inaudible)

25. Intervenante : Là c’est pour A, c’est ça ? Et pour B, c’est l’offre B ?

26. Él. 4 : Oui. Vous faites 0,50 fois x plus 35.

27. Intervenante : D’accord. Vous me dites alors pourquoi.

28. Él. 1 : Ben en fait x c’est pour remplacer les morceaux téléchargés

29. Él. 2 : Oui.

30. Él. 1 : x en fait c’est un nombre indéfini enfin inconnu

31. Él. 2 : Voilà.

32. Él. 1 : On peut le remplacer par 50, 100 par des nombres, ça dépend du nombre de morceaux qu’il y a.

33. Él. 2 : Voilà.

34. Intervenante : D’accord, d’accord. Donc on met x parce qu’on peut mettre plein d’autres choses.

35. Plusieurs : Oui, voilà.

36. Intervenante : C’est ça ?

37. Él. 3 : Et qu’on connaît pas.

Travail collectif et dialogue concernant la question 3

À Propos de la signification du schéma f : x->1,2x

738. Intervenante : Et qu’on connaît pas. Ok. D’accord, j’ai compris. Troisièmement soit f et g les deux fonctions définies par. Alors là il faut me dire ce que ça veut dire parce que là je ne comprends pas du tout. Ce dessin-là enfin ce schéma-là. Moi je lis f deux points x une flèche 1,2x.

39. Él. 4 : Ben c’est pour chaque morceau téléchargé

40. Él. 1 : Oui mais c’est

41. Intervenante : Mais à quoi ils correspondent tous ces

42. Él. 1 : Par la fonction f

43. Él. 2 : c’est l’image et l’antécédent, c’est ça ?

44. Él. 1 : Par la fonction f, x est l’image de 1,2x en fait.

45. Él. 4 : La flèche en gros ça représente

46. Él. 1 : ça veut dire l’image

47. Intervenante : Donc l’image, c’est quoi, c’est x ou c’est 1,2x ?

48. Él. 1 : C’est la flèche, c’est x la flèche. (Elle fait un geste de la main)

49. Él. 2 fait un geste analogue en même temps.

50. Él. 2 : C’est x plus votre flèche

51. Intervenante : Oui

52. Él. 2 : Ensuite

53. Él. 4 : Il y a le résultat

54. Él. 2 : Et après vous avez

55. Él. 1 : C’est l’antécédent, c’est ça ?

56. Él. 2 : L’antécédent, c’est ça ?

57. Él. 5 : Oui, c’est l’antécédent.

58. Él. 2 : C’est l’antécédent (il garde un doute)

59. Intervenante : Qu’est-ce qui est antécédent, qu’est-ce qui est image ?

60. Él. 4 : C’est le résultat

61. Él. 1 : L’antécédent c’est le dernier résultat en fait.

62. Él. 2 : Voilà.

63. Intervenante : C’est rigolo parce que anté quand on dit antécédent

64. Él. 1 : Oui c’est avant.

65. Intervenante : C’est avant, non ? Parce que c’est un mot qui veut dire j’sais pas moi quand on dit

66. Él. 4 : Ah non c’est le x en fait c’est l’antécédent (Il fait le geste de la flèche) parce que c’est de l’autre côté (il fait le geste de la flèche dans l’autre sens). L’image c’est par là (il refait son premier geste) et l’antécédent c’est par là.

67. Él. 2 : Oh ben d’accord. Vous allez

68. Intervenante : Alors vous dites. Comme ça je le marque. x vous dites que c’est ?

69. Él. 5 : L’image de f.

70. Él. 4 : L’antécédent.

71. Él. 2 : L’antécédent.

72. Intervenante : L’antécédent ?

73. Él. 2 : L’antécédent, voilà.

74. Él. 1 : L’antécédent de 1,2x.

75. Intervenante : L’antécédent de

76. Él. 1 : 1,2x.

77. Intervenante : de 1,2x et là comment elle intervient la, on appelle ça une fonction, f ?

78. Él. 1 et Él. 2 : Oui.

79. Intervenante : ça intervient comment dans ce que vous dites là. x est l’antécédent de 1,2x

80. Él. 4 : Ben on peut mettre x deux points, non f : x → 1,2 x, au lieu d’écrire antécédent, on fait la flèche.

81. Intervenante : D’accord. Donc euh x est l’antécédent de 1,2x mais ça a un rapport avec la fonction f ?

82. Él. 4 : Ben oui.

83. Él. 2 : Oui.

84. Intervenante : Comment on dirait alors, pour la fonction f, par la fonction f ?

85. Plusieurs : Par la fonction f.

86. Intervenante : Par la fonction f.

87. Intervenante : Voilà donc, qu’est-ce qu’on

À propos de la signification du schéma g : x ->0,5x + 35

888. Él. 5 : Et ensuite on doit faire la même chose avec le petit x.

89. Intervenante : Avec, avec euh, avec l’autre fonction, c’est ça ?

90. Él. 5 : Oui.

91. Intervenante : Avec g donc ?

92. Él. 5 : Oui.

93. Intervenante : Donc j’écrirai x est l’antécédent de quoi ?

94. Él. 4 : 0,5x + 35

95. Intervenante : Ah oui. D’accord.

96. Él. 2 : Voilà.

97. Intervenante : ça c’est par la fonction g donc.

98. Él. 4 : Voilà.

99. Él. 5 : Et à chaque fois au lieu d’écrire antécédent on fait la petite flèche. On fait x flèche de 0,5x +

100. Intervenante : Donc on fait g : , c’est ça ?

101. Él. 5 et Él. 2 : Oui.

102. Intervenante : x → 0,5x + 35. C’est donc comme ça.

103. Él. 1 : En fait c’est pour simplifier. La flèche c’est pour simplifier image et antécédent. Image c’est la flèche à l’envers et quand c’est normal, la flèche comme ça c’est l’antécédent.

104. Intervenante : Alors l’image-là, parce que je ne l’ai pas noté, quand c’était f, l’image c’était

105. Él. 5 : (elle montre sur ma feuille) Quand c’est comme ça c’est l’antécédent et quand c’est de l’autre côté c’est l’image.

106. Él. 4 : Non c’est le contraire.

107. Intervenante : Mais là, là il n’y a pas d’image ?

108. Él. 4 : (avec un geste vers la feuille de l’intervenante) Si là, c’est l’image. Quand la flèche est tournée vers la droite, c’est l’image et dès que c’est de l’autre côté, c’est l’antécédent.

109. Intervenante : Donc l’image c’est quoi au fait là ?

110. Él. 4 se lève et montre sur ma feuille.

111. Él. 4 : C’est la flèche et un demi de x.

112. Intervenante : Ah vous dites que c’est la flèche et un demi de x ?

113. Él. 4 : Oui.

114. Él. 5 : Oui pour bien montrer

115. Él. 4 : Et l’antécédent c’est x.

116. Intervenante : Oui ça je l’ai marqué, c’est bon. Et là l’image vous diriez que c’est

117. Él. 5 : Là l’image c’est flèche 0,5x, voilà c’est comme ça.

Travail collectif et dialogue concernant le calcul de g (41)

1re phase. On obtient le résultat sans qu’ils parviennent à dire ce que représente l’écriture g (41)

9118. Intervenante : Alors ensuite on nous demande calculer g (41). Alors pareil ça je ne sais pas ce que ça veut dire moi.

119. Él. 1 : C’est une formule simplifiée en fait. g (41) c’est pareil sauf que c’est en simplifié en fait

120. Él. 4 : C’est pareil que

121. Él. 1 : C’est comme f

122. Él. 2 : 41, c’est 41 morceaux téléchargés, voilà.

123. Intervenante : Oui, oui, ah d’accord.

124. Él. 2 : Parce que au début vous avez 30 et maintenant là c’est marqué 41

125. Él. 1 : En fait c’est fonction x en fait. C’est ça. Enfin c’est en simplifiant.

126. Intervenante : Donc toi tu dis, au lieu d’écrire, si je ne simplifiais pas, j’écrirais quoi ?

127. Él. 4 : (il se lève et montre sur ma feuille) Ce que vous avez écrit avant là, comme ça là.

128. El ? : On remplace comme ça x par 41.

129. Intervenante : Donc si je ne simplifiais pas je

130. Él. 1 : ben c’est ça mon calcul (inaudible)

131. Intervenante : Si je ne simplifiais pas j’écrirais g deux points

132. Él. 5 : Deux points 41

133. Intervenante : 41

134. Él. 1 : c’est ça qu’il demande de faire

135. Él. 2 : Oui c’est ça.

136. Él. 5 : Antécédent de

137. Él. 4 : La flèche

138. Intervenante : Je mets la flèche et là ?

139. Él. 5 : fois 0,5

140. Él. 1 : 41 fois 0,5

141. Él. 5 : 41 fois 0,5

142. Él. 2 : + 35

143. Él. 5 : + 35. Et c’est égal à 55,5.

144. Intervenante : Ah parce que toi tu as ton corrigé.

145. Él. 5 : Je l’ai fait.

2e phase. À propos de la signification de l’écriture g (41)

10146. Intervenante : Ah d’accord. Bon ça d’accord, mais c’est quoi g (41) ?

147. Él. 4 : Mais en fait c’est les morceaux achetés.

148. Intervenante : Oui mais qu’est-ce que je fais ? On me dit, calculer g (41).

149. Él. 4 : Vous l’avez

150. Intervenante : Je mets g (41)

151. Él. 4 : égale 55

152. Intervenante : Ah ! égale

153. Él. 2 : (il montre le graphique de sa feuille) Oui parce que vous avez déjà votre (inaudible) là g donc c’est celle-ci qu’il faut calculer.

154. Él. 4 : Si ce serait mis f eh ben on aurait fait l’autre

155. Él. 5 : Avec l’autre

156. Intervenante : Donc en fait

157. Él. 2 : Il vous demande de calculer le premier.

158. Intervenante : D’accord. Là je comprends. Mais si je regarde le dessin qui est là, voilà. Là j’ai 55,5. Ça marche ça ?

159. Él. 4 : Oui.

160. Él. 2 : ça c’est le résultat oui.

161. Intervenante : Et là j’ai pareil donc

162. Él. 1 : C’est la même chose en fait. g entre parenthèses 41

163. Intervenante : C’est la même chose que ça ?

164. Él. 1 : C’est la fonction de 41 en fait. g est une fonction.

165. Intervenante : Oui.

166. Él. 1 : Sauf que c’est pas la même lettre et 41 en fait c’est la fonction de 41. Après quand on calcule la fonction de g 41 en fait on va l’appeler comme ça ça fait 55,5 et là vous l’avez calculé avant.

167. Él. 2 : Oui.

168. Intervenante : Donc là je pourrais écrire au bout de la flèche je pourrais écrire g de

169. Él. 4 : 41

170. Intervenante : 41 ça va ? C’est ça, c’est bon ?

171. Él. 2 : Oui.

172. Intervenante : Donc je pourrais écrire g deux points 41 flèche g (41) ?

173. Él. 4 : Voilà. C’est la même chose en fait

174. Él. 1 : C’est la même chose. En fait les calculs là-bas c’est la même chose que g (41) tout seul.

175. Intervenante : D’accord. Et là alors ce serait pareil euh, euh

176. Él. 4 : g(x)

177. Intervenante : Ah ben oui donc ça je pourrais l’écrire

178. Él. 4 fait un geste pour indiquer d’écrire.

179. Intervenante : Tu me dis

180. Él. 4 : g entre parenthèses x

181. L’intervenant écrit.

182. Él. 4 : En fait c’est la

183. Intervenante : C’est correct ça pour vous ? Je peux écrire x : → g(x) ?

184. Él. 4 : Non. C’est en fait c’est deux trucs différents mais ça veut dire la même chose.

185. Él. 3 : Aïe, aïe, aïe. Un jour où (inaudible)

186. Intervenante : ça vous ne l’écririez pas ?

187. Él. 2 : Non il y a juste celui-ci.

188. Intervenante : ça mais pas ça.

189. Él. 2 : Voilà. 41 fois 0,5 plus 35. Voilà c’est l’offre B, c’est la plus simple.

190. Intervenante : Vous écririez g (41), mais ça vous ne l’écrirez pas ?

191. Él. 2 : Voilà. Parce que g (41) justement on vous demande de le calculer.

192. Intervenante : D’accord.

193. Él. 2 : Avec 41 morceaux téléchargés.

194. Intervenante : D’accord, donc ça je ne l’écris pas.

195. Él. 2 : Voilà.

Travail collectif et dialogue concernant la détermination de l’antécédent de 42

1re phase. Concernant la signification du graphe d’une fonction et ses relations avec les caractéristiques d’une fonction : antécédent et image

11196. Intervenante : Ok. Ensuite b), on me demande de trouver l’antécédent de 42 par la fonction f.

197. Él. 3 : Ben on va regarder sur le graphique

198. Él. 2 : Donc là vous avez votre graphique.

199. Intervenante : Vous allez déjà m’expliquer

200. Él. 1 : L’antécédent de 42 ?

201. Intervenante : Vous allez déjà m’expliquer le rapport qu’il y a entre le graphique et la fonction parce que pour moi

202. Él. 5 : Ben ici (elle montre l’axe des ordonnées)

203. Intervenante : Ici vous avez des calculs et ici vous avez un dessin. Alors pour moi ça ne veut rien dire. Expliquez moi.

204. Él. 5 : (elle montre à nouveau l’axe des ordonnées) Ben ici normalement c’est les antécédents

205. Él. 4 la regarde sans conviction.

206. Él. 3 : C’est (inaudible) 56

207. Él. 5 : (elle montre l’axe des abscisses) Et ici ce sont les images, c’est ça ?

208. Él. 2 : Oui et puis la droite ils vous ont déjà tracée l’offre B. Donc vous partez de 35 (il montre sur l’axe des ordonnées), c’est l’offre, c’est l’abonnement annuel, elle va jusqu’à

209. Él. 5 : 80

210. Él. 1 : 75

211. Él. 3 : Mais là on nous demande quoi ?

212. Él. 5 : 75

213. Él. 2 : 75

214. Él. 5 : C’est pas 80 non ?

215. Él. 4 : Si c’est 80

216. Él. 2 : Oui 80

217. Él. 3 : L’antécédent de 42

218. Él. 5 : Ah si c’est 80

219. Intervenante : Attendez là parce que ça va vite, vous allez vite. Toi tu viens de me dire, si j’ai bien compris, Là toi tu dis les antécédents

220. Él. 5 : Et ici ce sont les images.

221. Intervenante : Ce sont les images. Donc si je reviens à ce que j’ai fait donc ça c’est g.

222. Él. 5 : Oui ;

223. Él. 1 : Oui.

224. Intervenante : Ce qu’on appelle la représentation graphique de g.

225. Él. 2 : Oui.

226. Intervenante : Donc si je comprends bien, je retourne à ce qu’on a déjà fait comme calcul, le x de g, c’est le nombre de fois, c’est le nombre de morceaux téléchargés ?

227. Él. 2 : Oui.

228. Intervenante : Donc on a fait le calcul pour 41. Alors 41, il est où ?

229. Él. 1 : (elle parcourt l’axe des ordonnées de son doigt) 41 c’est l’antécédent alors il faut chercher ici 41

230. Él. 5 : (Elle montre sur son graphique) le 41 il est là.

231. Intervenante : Oui j’ai vu où c’était.

232. Él. 1 : Le 41 c’est sur 10

233. Él. 2 : Donc justement c’est vous qui devez mettre votre croix à 41.

234. Él. 3 : Non 41 c’est 11, regarde bien 41 c’est à peine au-dessus

235. Él. 5 : Ah oui, si c’est 11.

236. Intervenante : On avait trouvé 55,5 ?

237. Él. 1 : Non, c’est l’inverse ??? c’est maintenant parce que quand tu regardes 41 ici (elle pointe 41 sur l’axe des abscisses) tu montes, tu montes, ça te fait 55,5.

238. Él. 5 : Ah oui.

239. Él. 1 : Les antécédents

240. Intervenante : Donc là on met les antécédents et

241. Él. 3 : L’image c’est en haut.

242. Intervenante : Là on met les images.

243. Él. 3 : Les images.

244. Intervenante : Et donc ça donne un point là-dessus.

245. Él. 2 : Voilà. Vous faites 41 et (il fait monter son doigt parallèlement à l’axe des ordonnées)

246. Él. 1 : Vous montez jusqu’à ce que vous

247. Él. 2 : Jusqu’à 55,5

248. Él. 3 : Jusqu’à ce que vous croisez la droite

249. Intervenante : Ah oui d’accord

250. Él. 3 : Et vous allez à

251. Él. 1 : Et puis après vous allez à la vert à la

252. Él. 3 : à l’horizontale.

253. Él. 1 : à l’horizontale et puis vous retrouverez votre image

254. Intervenante : D’accord

255. Él. 2 : Et là vous pouvez

256. Él. 4 : Elle sera égale à 56

257. Él. 3 : 55,5

258. Él. 1 : 55,5

259. Él. 2 : Et là vous pouvez la tracer, vous passez par l’origine comme ça zéro (avec son doigt il dessine la droite passant par ce point et par l’origine) et puis vous pouvez tracer une droite.

260. Intervenante : Alors si je comprends bien on avait fait un calcul dans la première question avec 30

261. Él. 2 : Oui

262. Intervenante : 30 fois et on avait trouvé que si on téléchargeait 30 fois on payait 50€ dans l’offre B hein ?

263. Él. 2 : Oui.

264. Intervenante : Donc normalement l’antécédent à ce moment-là c’est ?

265. Él. 4 : C’est, c’est

266. Intervenante : C’est Si je télécharge 30 fois et que je paie 50€ l’antécédent c’est quoi ?

267. Él. 4 : Ben, c’est 30

268. Intervenante : C’est 30, c’est le nombre de fois où on télécharge

269. Él. 4 : Où on télécharge

270. Intervenante : Donc si je, donc c’est là, c’est l’antécédent. Voilà. Et si je fais la même chose qu’on vient de faire, donc je remonte verticalement

271. Él. 3 : Vous arrivez à 50

272. Intervenante : Et donc je dois trouver oui 50. Oui effectivement je trouve 50. Donc à chaque fois que je fais ça j’ai un point sur cette droite-là ?

273. Él. 2 : Oui.

274. Intervenante : Ah c’est pour ça qu’on dit que c’est la représentation graphique de la fonction ?

275. Él. 2 : Oui.

276. Intervenante : Ah parce que à chaque fois on est dessus.

277. Él. 2 : Oui.

278. Intervenante : D’accord, d’accord.

2e phase. Construction du graphe de f pour trouver l’antécédent de 42. Il passe par l’origine. Pourquoi ?

12279. Él. 4 : Vous vous trouvez que seulement (inaudible) sur des droites.

280. Él. 2 : Et maintenant vous avez plus qu’à tracer votre droite.

281. Intervenante : Alors qu’est-ce qu’on me demande là ?

282. El ? : ??

283. Intervenante : Trouver l’antécédent de 42 par la fonction f. Ah oui c’est f là, c’est pas g.

284. Él. 1 : Oui.

285. Intervenante : Alors comment je fais ?

286. Él. 1 : Ben il faut trouver déjà le point enfin un point qui fixe je crois. Enfin il faut, j’sais pas expliquer

287. Intervenante : Prends ton temps.

288. Él. 3 : Il va passer par l’origine.

289. Él. 2 : Oui, oui. Normalement il y a 40 là et 55 (il montre sur son graphique)

290. Intervenante : Pourquoi vous me dites, pourquoi que Ah vous voulez si je comprends bien, vous voulez tracer aussi la représentation graphique de cette fonction f, c’est ça que vous voulez faire ?

291. Él. 2 : Oui il faut tracer aussi l’offre A, c’est ça.

292. Él. 1 : Et l’offre A elle commence à combien déjà ?

293. Intervenante : Et pourquoi vous voulez que ça passe par l’origine ?

294. Él. 4 : Parce que c’est proportionnel, enfin à chaque musique que vous téléchargez eh ben vous payez un certain nombre.

295. Él. 2 : Parce qu’elle passe par l’origine

296. Intervenante : ça veut dire quoi exactement proportionnel ?

297. Él. 4 : C’est qu’elle passe par l’origine et que ça fait une droite.

298. Él. 1 : L’origine c’est le point en fait c’est le

299. Él. 4 : Le zéro

300. Intervenante : D’accord mais je ne sais pas pourquoi vous me dites que ça passe par l’origine, moi je ne vois pas pourquoi.

301. Él. 4 : ça se voit (inaudible)

302. Intervenante : Dis moi alors ce qu’il faut que je fasse pour m’en apercevoir ?

303. Silence

3e phase. Calcul de l’antécédent de 42 par le calcul

13304. Él. 4 : Il faut le calculer l’antécédent de 42.

305. Él. 2 : La courbe

306. Él. 3 : Mais je crois que ça passera par O, non ?

307. Intervenante : Alors dites voir, comment je fais là ?

308. Él. 4 : Il faut le calculer l’antécédent

309. Él. 3 : Attends je regarde, c’est quelle question ? (il s’adresse à Él. 2)

310. Intervenante : Toi tu dis que pour l’instant en fait il n’y a pas besoin de

311. Él. 3 : Mais puisque c’est 42 (il s’adresse à Él. 2)

312. Él. 4 : Il n’y a pas besoin de regarder sur le graphique il faut juste

313. Intervenante : De regarder sur le graphique, il faut le calculer.

314. Él. 4 : Oui.

315. Intervenante : Bon alors

316. Él. 3 (à Él. 2) : (inaudible)

317. Él. 2 : C’est ce que j’ai dit tout à l’heure.

318. Intervenante : Comment on fait pour calculer ? Vous êtes d’accord avec ce qu’il vient de dire ? Lui il dit, pour l’instant on laisse tomber le graphique, on fait le calcul.

319. Él. 1 : Oui.

320. Él. 2 : Oui allez-y oui.

321. Intervenante : On fait le calcul, alors on fait le calcul comment ?

322. Él. 1 : Ben c’est l’antécédent, c’est l’inverse de ce qu’on a fait tout à l’heure. C’était l’image tout à l’heure qu’on faisait ?

323. Él. 4 : Oui.

324. Él. 1 : Là c’est l’antécédent donc la flèche doit être à l’envers.

325. Intervenante : Donc là qu’est-ce qu’on doit faire comme calcul alors ?

326. Él. 4 : Ben 42

327. Él. 1 : Là et c’est f pour commencer

328. Intervenante : Alors je mets ?

329. Él. 4 : f deux points

330. Él. 1 : f deux points

331. Intervenante : Oui

332. Él. 4 : Vous laissez un petit espace et vous mettez la flèche

333. Él. 1 : Non c’est 42, 42

334. Él. 4 : Vous mettez 42. Après vous la mettez à l’envers

335. Él. 1 : La flèche elle n’est pas comme tout à l’heure, elle est à l’envers

336. Él. 5 : Elle est de l’autre côté la flèche

337. Él. 2 : Vers la gauche.

338. Intervenante : Je mets 42 ici ?

339. Plusieurs : Non.

340. Él. 4 : Juste devant vous écrivez 42

341. Intervenante : Oui.

342. Él. 5 : Et la flèche elle est de l’autre côté

343. Él. 2 : Vers la gauche.

344. Intervenante : Ah comme ça.

345. Plusieurs : Voilà.

346. Intervenante : Ah d’accord, d’accord. Et là qu’est-ce que je vais mettre alors ?

347. Él. 1 : Euh. La fonction f c’est

348. Él. 5 : Ben c’est 1,2x

349. Él. 1 : (Sans conviction) Oui

350. Él. 5 : Non ?

351. Intervenante : C’est ce que vous m’avez dit

352. Él. 5 : C’est 1,2x, si, si.

353. Él. 2 : 1,2x

354. Intervenante : Alors qu’est-ce que je fais maintenant ?

355. Él. 4 : ben on écrit 1,2x

356. Él. 2 : C’est pas 1,20 ?

357. Él. 1 : C’est pareil.

358. Él. 4 : C’est pareil.

359. Él. 2 : C’est pareil

360. Intervenante : Ah mais je mets 1,2x ça ne marche plus puisque j’ai mis la flèche dans l’autre sens.

361. Él. 5 : Après on peut diviser, on peut diviser 42, 42 divisé par 1,2.

362. Intervenante : Ah je suis un peu perdue là. Je suis perdue. Alors f ? Donc 42 c’est l’image, c’est ça ?

363. Él. 5 : Oui.

364. Él. 2 : Oui.

365. Intervenante : Donc je mets la flèche dans l’autre sens. f je l’avais écrit comme ça tout à l’heure.

366. Él. 1 : Oui.

367. Él. 4 : ça c’est l’image.

368. Intervenante : Donc en fait ce que j’ai mis là, c’est ce qui était là.

369. Él. 5 : Oui.

370. Él. 4 : C’est la même chose en fait.

371. Él. 1 : Maintenant on doit l’inverser.

372. Él. 5 : On ne doit pas chercher l’image, on doit chercher l’antécédent.

373. Intervenante : Alors c’est ça qu’on cherche, c’est ça ?

374. Él. 5 : Oui.

375. Él. 1 : Avant on cherchait l’antécédent, maintenant on cherche l’image.

376. Intervenante : Non parce que ils me disent trouver l’antécédent.

377. Él. 1 : Parce que l’image c’est la fin du euh, c’est la fin du calcul en fait.

378. Intervenante : L’image d’après ce que vous m’avez dit, c’était ce bout-là de la flèche.

379. Él. 1 : Voilà l’image c’est ça. Là maintenant on la cherche l’image alors qu’avant on cherchait l’antécédent.

380. Intervenante : Non, non, c’est tout de suite qu’on cherche l’antécédent.

381. Él. 1 : Non, on l’a.

382. Intervenante : Trouver un antécédent de 42 par la fonction f.

383. Él. 1 : Je m’embrouille toute seule là.

384. Él. 4 : Mais non l’image, c’est 42.

385. Intervenante : Mais c’est compliqué il faut dire. Moi j’ai du mal à vous suivre donc on prend son temps et on réfléchit parce que moi je trouve ça très compliqué.

4e phase. Retour au tracé du graphe de f et l’installation progressive d’un dialogue de sourds entre l’intervenante et les élèves

14386. Él. 2 : Mais pourquoi vous n’avez pas fait 41 (il montre avec son doigt sur le graphique en partant de 41 sur l’axe des abscisses et en montant parallèlement à l’axe des ordonnées), vous avez mis votre point et vous tracez (il montre l’intersection de la parallèle à l’axe des ordonnées avec le graphe de la fonction). C’est ça qu’il fallait faire, il me semble.

387. Intervenante : Toi, tu ferais déjà le tracé de f, on va essayer comme ça et on reviendra sur l’autre façon après, hein (elle s’adresse à Él. 4)

388. Él. 4 : Oui.

389. Intervenante : Parce que peut-être si (inaudible) ça marche aussi. Alors si on fait le tracé de f, alors tu m’as dit quoi, je n’ai pas bien compris, 41 ? C’est quoi 41 ?

390. Él. 4 : Non 42

391. Él. 1 : Non c’est 42.

392. Él. 2 : 42.

393. Él. 4 : Ben on trace verticalement comme on l’avait fait l’autre fois

394. Intervenante : Mais pour tracer une droite il faut que j’ai deux points. Je ne peux pas tracer de droite si je n’ai pas deux points.

395. Él. 3 : Mais si elle sera pas parallèle, elle passera par O.

396. Él. 2 : Non elle n’est pas parallèle.

397. Él. 3 : Non, non, non puisqu’elle est proportionnelle, c’est ça ?

398. Él. 1 : Mais on ne le sait pas pour le moment qu’elle est proportionnelle.

399. Él. 2 : Parce que là vous avez votre point sur l’offre B, la droite g

400. Él. 3 : Si elle serait proportionnelle

401. Él. 2 : Et vous passez du point à O (avec son doigt il joint un point de son graphique à l’origine) et vous coupez.

402. Intervenante : Et oui mais où ?

403. Él. 5 : (elle met son doigt sur mon graphique) Elle doit passer par là.

404. Él. 3 : Mais c’est proportionnel.

405. Intervenante : Je ne sais pas pourquoi moi.

406. Él. 3 : (à voix basse pour lui) On sait pas ?

407. Intervenante : Qu’est-ce que j’ai moi pour construire un autre point ? parce que bon on a déjà travaillé sur l’offre A, f c’est l’offre a, hein ? Qu’est-ce qu’on a fait comme calcul déjà ?

408. Él. 2 : On a fait

409. Intervenante : (retourne sa feuille) Ah si, dans la première question.

410. Él. 2 : Oui.

411. Intervenante : On avait fait un calcul.

412. Él. 2 : 1,2 fois 30

413. Intervenante : On avait dit, si je télécharge 30 fois, je paie

414. Él. 4 : 36€

415. Intervenante : 36€ je paie

416. Él. 4 : 36€

417. Intervenante : 36€, voilà

418. Él. 4 : Il faut chercher 36

419. Intervenante : Donc là je peux peut-être avoir un point ?

420. Él. 4 : Oui.

421. Él. 2 : Oui.

422. Intervenante : Alors le point qu’est-ce qui, qu’est-ce que je mettrai en horizontal et qu’est-ce que je mettrai en vertical ?

423. Él. 4 : Dans les antécédents, vous avez déjà le 36, hein c’est ça ou c’est dans l’image ?

424. Él. 5 : Non c’est dans l’antécédent.

425. Él. 1 : Non c’est image.

426. Intervenante : Donc dans les images je cherche ? Est-ce que vous voulez un petit bout de papier pour vous aider ? J’sais pas ? Non vous pouvez le faire oralement ou je vous donne un petit bout de papier ? Je vous donne un petit bout de papier. Comme moi j’ai tout noté, c’est assez facile, mais vous vous n’avez rien noté, c’est plus difficile.

427. Intervenante : Je vais peut-être vous donner les résultats qu’on a déjà. Alors l’offre A la première question, 30 téléchargements ont coûté 36€. L’offre B, 30 téléchargements, ça faisait 50€. Vous m’aviez dit que pour l’offre A on pouvait écrire 1,2x et pour l’offre B on pouvait écrire 0,5x + 35. Je vous redonne tous les résultats qu’on a déjà trouvés ? Vous m’avez dit qu’on pouvait utiliser le schéma f deux points, vous m’avez expliqué ce que voulait dire le schéma f : x-> 1,2x et g : x-> 0,5x + 35. Vous m’avez tout expliqué. Et on avait trouvé que g (41) c’était 55,5. Ça marche ?

428. Él. 2 : Oui.

429. Intervenante : Alors maintenant on est en train de, on va regarder ton idée. On va essayer de tracer la représentation graphique de f. Alors il me faut deux points. Qu’est-ce que je peux avoir comme points ?

430. Él. 4 : Ben il y a 36, on a 36

431. Él. 2 : Oui.

432. Intervenante : Alors 36 à ce moment-là, c’est l’image ou l’antécédent, 36 ?

433. Él. 5 : C’est l’antécédent.

434. Intervenante : Tu es sûre que c’est l’antécédent ?

435. Él. 5 : (elle montre sur son graphique) Oui parce que regardes si tu fais ça t’as 36, t’as le point, là, et puis tu rejoins.

436. Él. 3 : Oui mais ça c’est si c’est proportionnel.

437. Intervenante : Parce que tout à l’heure vous m’avez dit

438. Él. 3 : (s’adresse à Él. 5) Si, si.

439. Él. 4 : (s’adresse à Él. 3 et Él. 5) Oui je crois que c’est ça.

440. Intervenante : Que si j’ai la fonction f

441. Él. 3 : (s’adresse à Él. 4) Si, c’est proportionnel

442. Int : L’image vous m’avez dit, c’est 1,2x et l’antécédent c’est x.

443. Él. 2 : Oui.

444. Intervenante : Et x vous m’avez dit, par exemple 30 c’est une valeur qu’on peut donner à x.

445. Él. 2 : Oui c’est ça, voilà, c’est ça. C’est complètement ça.

446. Él. 5 : (elle montre son graphique à l’intervenant) On est à 30, on compte 1,2,3,4,5,6, on le trace comme ça et après on passe par le sommet.

447. Él. 3 : ça veut dire que c’est proportionnel.

448. Él. 5 : Voilà

449. Él. 3 : Mais c’est ce qu’il a dit tout à l’heure.

450. Intervenante : Mais je ne comprends pas du tout pourquoi ça passe par 50 là. (elle montre sur le graphique de Él. 5). Je ne comprends pas pourquoi tu as pris ce point là.

451. Él. 5 : Parce que regardez, dans les antécédents on garde le 36 (elle montre l’axe des abscisses)

452. Intervenante : Oui mais ton image elle est où alors ? Si l’antécédent c’est 36, l’image c’est quoi ?

453. Él. 3 : (à voix basse, pour lui) C’est du chinois.

454. Intervenante : Qu’est-ce que tu as dit ?

455. Él. 3 : C’est du chinois.

456. Intervenante : C’est du chinois ?

457. Él. 5 : Ah là là je m’embrouille toute seule là.

5e phase. Tentative de l’intervenante de légitimer le passage du graphe de f par l’origine

15458. Intervenante : Non mais on va bien comprendre au bout du compte. J’ai un peu de mal, moi aussi mais. J’ai une idée, je réfléchis en même temps que je parle. Je me dis la fonction f elle correspond à l’offre A. Et vous m’avez dit que pour l’offre A, si on considère que x ça représente le nombre de fois où on télécharge, c’est ça ?

459. Él. 1 et Él. 2 : Oui.

460. Él ? : Non x c’est les morceaux.

461. Intervenante : C’est les morceaux

462. Él. 2 : Téléchargés.

463. Intervenante : Du coup l’image c’est 1,2 fois x, vous m’avez dit. (elle montre à tous son papier)

464. Él. 4 : Oui, oui, c’est ça.

465. Intervenante : ça marche ?

466. Él. 4 : Oui.

467. Intervenante : Il a déconnecté lui (Él. 3)

468. Él. 2 : Il a disjoncté.

469. Intervenante : Allez, reconnecte toi.

470. Él. 2 : Court-circuit là.

471. Intervenante : Rebranche.

472. Intervenante : Et comme x voilà c’est le nombre de morceaux téléchargés,

473. Él. 2 : Oui.

474. Intervenante : Je me dis, eh ben, si je n’en télécharge aucun de morceaux,

475. (court silence et désarroi)

476. Él. 3 : ça reviendrait à zéro.

477. Él. 1 : ça ne sert à rien.

478. Intervenante : Je ne vais rien payer.

479. Él. 2 : Ben non

480. Intervenante : Pour l’offre A, mais pour l’offre B ?

481. Él. 5 : Si, il y aura comment ça s’appelle ? l’abonnement.

482. Intervenante : Voilà.

483. Él. 4 : Oui mais pour l’offre A

484. Intervenante : ça c’est pour l’offre B, mais pour l’offre A il n’y a pas d’abonnement.

485. Él. 1 : Ah ben oui.

486. Él. 2 : Pour l’offre A tu paieras rien et pour l’offre B tu paieras de toute façon l’abonnement.

487. Intervenante : Si je donne à x, je vais continuer mon raisonnement comme vous me l’avez expliqué,

488. Él. 2 : ça fera 1,20 fois zéro.

489. Intervenante : Voilà. Si je donne à x la valeur zéro, j’ai le droit ?

490. Él. 5 : ben oui.

491. Intervenante : Donc si c’est zéro, c’est l’antécédent, l’image c’est 1,2 fois x, c’est zéro, donc l’image, c’est zéro.

492. Él. 2 : Zéro oui.

493. Intervenante : Si l’antécédent, c’est zéro, l’image c’est zéro, vous êtes d’accord avec ça ?

494. Él. 3 : Oui.

495. Intervenante : Moi c’est ce que je comprends d’après ce que vous m’avez dit. Donc effectivement

496. Él. 4 : Il devrait passer par l’origine.

497. Intervenante : Ce point-là il est sur la représentation de f. Tu suis là aussi.

498. Él. 1 : Non.

499. Él. 2 : Parce que

500. Intervenante : Ben explique lui parce qu’elle ne comprend pas pour qu’on puisse continuer.

501. Él. 1 : Non, non, non. Je vais comprendre après.

502. Él. 2 : (il se lève pour poser son doigt sur le graphique de l’intervenant) moi au départ je l’aurais mis à, vu que celle-là c’est (il montre le point de l’ordonnée à l’origine du graphe de g)

503. Él. 5 : Regarde, l’offre B elle commence par 30€

504. Él. 2 : Là c’est l’abonnement annuel et là il n’y a aucun abonnement, on ne paie pas en plus, donc c’est zéro.

505. Intervenante : Voilà.

506. Él. 5 : Donc ça passe par zéro, d’accord.

6e phase. Le dialogue de sourds est installé

16507. Intervenante : Donc là je me dis ça va, j’ai un point. Maintenant il faut que j’en aie un deuxième. Donc là je me dis, on avait vu quand il y avait 30 morceaux téléchargés et on avait trouvé que ça coûté 36€. Alors je me dis eh bien je peux donner à x la valeur 30 puisque x c’est, ça correspond au nombre de morceaux téléchargés. Vous êtes bien d’accord avec ça ?

508. Él. 2 : Oui.

509. Alors s’engage un dialogue de sourds entre les élèves et l’intervenante qui va durer longtemps (entre 35’31ʺ et 37’52ʺ). Les énoncés des uns seront à nouveau saisis réellement par les autres à partir du moment où l’intervenante arrivera à un acte dont ils se souviennent et qui consiste à lire la valeur de l’antécédent de 42 sur le graphique de f, puis acceptera de faire le calcul qui consiste à diviser 42 par 1,2 sans leur demander la raison d’être à ce calcul.

7e phase. Calcul de l’antécédent de 42 par la fonction f

17510. Intervenante : Donc on va reprendre ton idée, on va calculer l’antécédent de la fonction f sur le graphique donc.

511. Él. 2 : Oui.

512. Intervenante : Voilà. Alors l’antécédent, si je reprends ce que j’avais écrit, c’est ici.

513. Él. 2 : Oui.

514. Intervenante : Et donc 42 c’est là. Donc qu’est-ce que je fais ? Je vais voir 42, c’est ça ?

515. Él. 4 : Après vous allez horizontalement et vous verrez.

516. Intervenante : (elle dessine la parallèle à l’axe des abscisses d’ordonnée 42) Voilà. Et après je redescends verticalement, c’est ça ?

517. Él. 5 : Oui.

518. Intervenante : Je ne suis pas sûre que ça va être d’une grande précision. Moi je ne suis pas très soignée dans mes dessins. D’après mon dessin je trouve 32

519. Él. 2 : Non

520. Intervenante : Non 33 ? C’est pas ça ?

521. Él. 2 : Non parce que normalement on doit trouver cinquante

522. Él. 5 : Mais c’est après qu’on trouve 55.

523. Intervenante : Alors par le tracé de f je trouve. Et si, on peut faire un calcul. On va reprendre ton idée, toi ton idée c’était un calcul. On verra si mon tracé est propre ou pas. Comment on fait par le calcul ?

524. Él. 5 : On fait 42 divisé par 1,2, ça doit faire 32 normalement.

525. Él. 1 : Non

526. Él. 4 : ça fait 35 normalement.

527. Intervenante : Toi tu dis, eh bien ça y est, tu as trouvé le calcul alors.

528. Él. 5 : On a 42

529. Él. 2 : Elle est où la calculette ?

530. Él. 5 : 42 divisé par 1,2 est égal à 32 ou 35 ?

Travail et dialogue pour résoudre la question 4.a.

18531. Intervenante : On en est au d). Lire graphiquement le nombre de morceaux pour lequel les prix sont les mêmes. Alors qu’est-ce qu’on fait là ? Mettre en évidence cette valeur sur le graphique.

532. Él. 2 : (inaudible) vous l’avez fait.

533. Él. 5 : Ben on l’a fait.

534. Él. 2 : (inaudible) vous l’avez fait.

535. Intervenante : D’accord. Alors c’est quoi les points où le

536. Él. 1 : C’est là où elles se croisent en fait.

537. Intervenante : Ah oui, bien sûr, parce que en réalité ici c’est les prix.

538. Él. 2 : Puisque 35 c’est l’abonnement annuel

539. Intervenante : D’accord, d’accord. Donc ce qu’on nous demande sur le graphique, tout le monde est d’accord ?

540. Él. 1 : Oui, oui.

541. Él. 5 : Oui.

542. Intervenante : T’es d’accord ? Tu as reconnecté là ?

543. Él. 3 : Oui.

544. Rires

545. Intervenante : Pas vraiment.

546.…

547.

548. Intervenante : Donc finalement d’après mon graphique qui n’est peut-être pas très précis, je trouve que

549. Él. 2 : 36 non ?

550. Intervenante : Ah non. Moi je trouve qu’il faut qu’il y ait eu 50 morceaux téléchargés et on paie 60€

551. Él. 3 : Encore cinq minutes

552. Intervenante : Qu’est-ce que je mets là, qu’est-ce que je rédige ? Ils sont tous en train de regarder l’heure en se disant ça va bientôt sonner. Alors sur le graphique je trouve, j’ai dit ?

553. Él. 5 : 60 et 35

554. Intervenante : Oui j’ai trouvé

555. Él. 5 : 60 et 35

556. Intervenante : Ah non moi je trouve 50 morceaux.

19557. Él. 4 : Ben ça veut dire que c’est 50 et 60, c’est ça.

Travail et dialogue pour résoudre la question 4.b.

558. Intervenante : Comment on peut le retrouver par le calcul ? Qu’est-ce qu’on peut faire comme calcul ?

559. Él. 4 : Ben les calculs qu’on (inaudible). Ça veut dire 1,2x

560. Intervenante : Alors toi tu proposes donc par le calcul, tu dis on fait 1,2x et après qu’est-ce que tu ferais ?

561. Él. 4 : Ben après on multiplie par, ben non, ben c’est ça, non ?

562. El ? : Ouah

563. Intervenante : On va regarder sur le graphique là hein ? En fait euh la droite qui passe par O c’est donc la représentation graphique de f et donc là l’image f(x) on l’obtient en faisant 1,2 fois x. Vous êtes d’accord avec ça ? D’après ce que vous m’avez dit.

564. Él. 2 : Oui.

565. Él. 4 : Ben c’est ce que je viens de dire.

566. Intervenante : Et g on l’obtient en faisant 0,5x + 35. Vous êtes d’accord ? Voilà. Et nous on voudrait savoir donc, on le voit sur la figure, on voudrait calculer donc à quel moment on est là.

567. Él. 2 : Oui.

568. Intervenante : Donc à quel moment le prix payé est le même hein ?

569. Él. 2 : Oui.

570. Él. 3 : (il montre avec ses mains que les droites se coupent)

571. Intervenante : Bon. Or si j’ai bien compris,

572. Él. 3 : Ben on le connaît, c’est là où ils se croisent.

573. Intervenante : Oui, oui mais on l’a vu sur le graphique. On voudrait le faire par le calcul maintenant pour être sûr parce qu’on dessine mal.

574. Él. 4 : Soixante

575. Él. 3 : Il faut faire une équation.

576. Él. 2 : Oui il faut faire une équation.

577. Intervenante : Oui il faut faire une équation voilà

578. Él. 3 : L’équation c’est l’offre A égale l’offre B.

579. Intervenante : Il faut que le prix correspondant à l’offre A soit égal au prix correspondant à l’offre B. Les prix c’est les images

580. Él. 2 : Ah mais en fait c’est l’offre A est égale à l’offre B.

581. Intervenante : Oui

582. (sonnerie)

583. Intervenante : On se dépêche de finir ça. Alors mon idée c’est que. On a ça qui doit être égal à ça, vous êtes d’accord ?

584. Él. 2 : Oui.

585. Él. 1 : ça veut dire qu’on doit faire

586. Intervenante : Donc moi je dirais. Vas y, dis voir ton idée. Moi je dirais que 1,2x c’est la même chose que

587. Él. 4 : 0,5

588. Él. 2 : 0,5x + 35, oui c’est ça, c’est exactement ça.

589. Él. 3 : C’est ce qu’on a fait.

590. Intervenante : Et puis après

591. Él. 3 : On calcule l’équation.

592. Él. 5 : (Elle fait un calcul sur la calculatrice) 36

593.…

Annexe 2. Séance de travail des élèves de la troisième dite standard

Énoncé de l’exercice

20Soit g la fonction linéaire telle que g : x -> – 3x.

1) Calculer g (7), g (5/6) et g (– 12).

2) Quel est l’antécédent de 18 par la fonction g ?

3) Quelle est l’image de – 1 ?

4) Quel nombre a pour image 8 par cette fonction ?

Préliminaire : Les élèves exposent à l’intervenante la signification du schéma g : x -> – 3x.

211. Intervenante : Vous étiez en train d’essayer de me faire comprendre ce que ça voulait dire ce truc compliqué-là, « g 2 points x une flèche moins trois x point ».

2. Él. 5 : La fonction g quand on lui donne x fabrique moins 3x.

3. Intervenante : Quand on lui donne x, mais on lui donne x, c’est quoi x ? Qu’est-ce qu’on peut donner ?

4. Plusieurs élèves : Un nombre

5. Intervenante : Ah un nombre

6. Él. 5 : ça peut être n’importe quoi.

7. Intervenante : En fait c’est (inaudible)

8. Él. 2 : Oui, qui remplace

9. Intervenante : Qui remplace ?

10. Él. 2 : N’importe quel autre nombre, n’importe quel nombre.

11. Intervenante : N’importe quel nombre ?

12. Él. 2 : Oui.

13. Él. 6 : Comme là par exemple le x eh ben c’est 7.

14. Intervenante : Ah d’accord. Mais pourquoi alors là cette écriture ? Qu’est-ce que ça veut dire cette écriture ?

15. Él. 6 : g facteur de 7

16. Plusieurs élèves : Non.

17. Une élève : ça n’a rien à voir.

18. Él. 2 : La fonction g

19. Él. 5 : Oui.

20. Él. 6 : Non mais ça, ça. (Elle lui montre l’écriture g (7))

21. Intervenante : L’écriture là, « g ouvrez la parenthèse 7 fermez la parenthèse ».

22. Él. 2 : C’est (inaudible) 7 par la fonction g.

23. Él. 5 : Voilà.

24. Intervenante : Et qu’est-ce qui se passe alors ?

25. Él. 2 : Ben on remplace x par 7.

26. Intervenante : Vous êtes tous d’accord avec ça ?

27. Él. 5 : Oui.

28. Intervenante : (s’adressant à Él. 6) Parce que toi tu m’as dit autre chose tout à l’heure

29. Él. 6 : Oui.

30. Intervenante : Et tu es quand même d’accord avec ce qu’ils disent ou ?

31. Él. 6 : Oui

32. Intervenante : Tu as changé d’avis alors ?

33. Él. 6 : Oui.

34. Intervenante : Et c’était quoi que tu disais tout à l’heure ?

35. Él. 6 : Ah ça n’avait rien à voir.

36. Intervenante : Ah d’accord. Mais pourquoi tu y avais pensé, parce que c’était une écriture pareille ?

37. Intervenante : Ah c’est parce que c’était aussi avec des parenthèses, c’est ça ?

38. Él. 6 : Hum

39. Intervenante : Et comment vous faites pour ne pas mélanger alors ?

40. Plusieurs élèves : on sait

41. Él. 5 : On sait reconnaître, enfin on sait

42. Él. 2 : Qu’on est dans le chapitre.

43. Intervenante : Ah parce que là vous savez que vous êtes dans le chapitre

44. Él. 5 : Et puis c’est une fonction de toute façon.

Premier moment de la résolution de la question 2. La solution attendue par le professeur est donnée immédiatement par l’élève Él. 5

221. Intervenante : Je vais peut-être essayer de faire la question 2 ? L’antécédent de 18 ? Comment je vais faire pour…

2. Él. 5 : Ben moins 3 divisé par 18.

3. Él. 6 : (Inaudible) (elle parle à Él. 5)

4. Intervenante : Je vais dire, si j’écris je vais dire l’antécédent

5. Él. 5 : (il s’adresse à Él. 6) Je crois que ça…

6. Él. 6 : Non

7. Intervenante : De 18

8. Él. 6 : (elle s’adresse à Él. 5) Peut-être…

9. Él. 5 : C’est peut-être plus cohérent.

10. Intervenante : Comment je vais faire, dites voir.

11. Une autre élève : Ben il va falloir faire des calculs.

12. Él. 5 : Faire 18 divisé par moins 3.

13. Él. 2 : Pourquoi tu fais ça ?

14. Él. 5 : Parce que…

15. Él. 6 : Parce que pour trouver déjà quand on veut calculer la fonction de 7 là, on fait une multiplication donc pour trouver l’antécédent ben on fait une division.

16. Intervenante : Vous êtes tous…

17. Él. 6 : Oui, oui, c’est ça.

18. Intervenante : Mais attends, tu divises quoi par quoi ?

19. Él. 5 : On divise l’image par la fonction, enfin ce que donne la fonction.

20. Intervenante : (L’intervenante écrit sur sa feuille) Donc l’antécédent de 18, c’est ce qui est obtenu…

21. Él. 2 : (très bas) Par un calcul.

22. Intervenante : Par un calcul et ce calcul c’est…

23. Él. 5 : Euh 18 divisé par moins 3.

24. Intervenante : ça marche ? Je ne me trompe pas ?

25. Plusieurs élèves : Non.

26. Intervenante : Comment vous l’écrivez 18 divisé par moins 3 ?

27. Él. 5 : 18 divisé entre parenthèses moins 3.

28. Intervenante : Divisé vous le faites comment ?

29. Plusieurs élèves : Une barre, un petit point en haut et un petit point en bas.

30. Une élève : Ou juste deux petits points.

31.…

32. Él. 5 : égale moins 6.

33. Intervenante : Tout le monde est d’accord, ça fait moins 6 ?

34. Plusieurs élèves : Oui, oui.

35. Él. 5 : Moins 6 c’est l’antécédent de 18.

36. Intervenante : Donc moins 6 c’est l’antécédent.

37. Él. 5 : De 18 par la fonction g.

38. Intervenante : De 18 par la fonction g.

39. Él. 4 : On peut dire 18 est l’image de moins 6.

40. Intervenante : D’accord. 18 est l’image de moins 6.

41. Él. 5 : Par la fonction g.

42. Intervenante : Par la fonction g.

Deuxième moment de la résolution. La référence au schéma complique la résolution

2343. Plusieurs : On peut reprendre le schéma.

44. Intervenante : Ah et puis on peut reprendre le schéma. Alors g

45. Él. 5 : Deux points 18, non,

46. Plusieurs élèves : Si 18.

47. Él. 5 : Si 18.

48. Une élève : Fabrique…

49. Él. 6 : Flèche…

50. Él. 5 : Fabrique plus…

51. Perplexité, rires et silence

52.…

53. El.1 : On a trouvé moins 6.

54. Él. 5 : Non c’est pas moi.

55. Intervenante : Tu es sûr de ce que tu m’as dit parce que ?

56. Él. 5 : J’ai dit 18 divisé par moins 3

57. Intervenante : Regarde.

58. Él. 1 : (inaudible)

59. Les élèves se regardent mi sourires, mi perplexité.

60. Intervenante : Attends parce que dans le dessin, dans l’écriture là avec le petit schéma, c’est quoi l’antécédent, c’est quoi l’image ?

61. Él. 5 : Non en fait c’est pas ça, c’est 18 divisé par moins 3.

62. Intervenante : C’est 18 divisé par moins 3.

63. Él. 6 : ça fait moins 6.

64. Intervenante : ça fait moins 6.

65. Él. 5 : Oui. Ben il faut mettre ça parce que…

66. Él. 2 : Il faut mettre x égale

67. Él. 5 : On peut.

68. Él. 2 : On ne peut pas faire avec ça.

69. Él. 5 : Mais si, on peut parce que, regarde, on fait comme les autres. g

70. Une élève : Oui on fait comme les autres, mais on inverse quand même.

71. Él. 5 : g de.

72. Soupirs de certaines élèves.

73. Él. 5 : de 18, on met la flèche et après on fait 18 divisé par moins 3

74. Intervenante : Mais si je fais 18 divisé par moins 3, oui, mais ça va faire la même chose.

75. Une élève : (inaudible)

76. Intervenante : Hein. Tu trouves moins 6.

77. Él. 6 : Oui, ben c’est ça.

78. Él. 2 : (inaudible)

79. Intervenante : Oui mais regarde…

80. Él. 1 : (Elle pose son doigt sur la feuille de l’intervenante) C’est comme on avait fait là.

81. Él. 5 : Oui comme on avait fait là.

82. Él. 1 : 3 fois 5/6 égale bien…

Troisième moment de la résolution. Comment, pour le calcul de l’antécédent, faire le lien entre le schéma, et sa flèche qui renvoie à une multiplication, et l’opération de division ? Tentative de réponse à l’aide du symbole g (– 6)

2483. Intervenante : Mais attends, j’ai un doute que je n’arrive plus à expliquer. C’est un peu compliqué pour moi. Parce que moi je m’étais dit, mais peut-être que je m’étais trompée, je m’étais dit, euh, si celui qui est là, c’est la valeur que j’ai donnée à x, (elle montre la gauche de la flèche sur le schéma)…

2584. Él. 5 : Oui

85. Intervenante : Hein puisque c’est au même endroit sur le schéma.

86. Él. 5 : Oui.

87. Intervenante : Voilà. Donc ce n’est pas diviser qu’il faut faire, c’est multiplier.

88. Silence

89. Él. 4 : Ben oui.

90. Él. 5 : Oui.

91. Rires

92. Intervenante : Donc euh, donc euh, j’sais pas ce que vous en pensez mais à mon avis…

93. Él. 6 : Vous voyez que vous savez faire.

94. Intervenante : Non. Mais non parce que je voudrais, je…

95. Él. 5 : Ah mais non, je me suis trompé, c’est g de moins 6 flèche

96. Intervenante : J’écoute ce que vous m’avez dit, ce n’est pas que je sais faire.

97. Él. 5 : Euh.

98. Él. 6 : Là vous sauriez faire.

99. Intervenante : Oui je saurais faire maintenant.

100. Él. 5 : (Il s’adresse à Él. 2 qui a dit quelque chose d’inaudible) Non regarde parce que l’antécédent de 18, c’est bien moins 6.

101. Él. 2 : Oui.

102. Él. 5 : Et l’antécédent, c’est ce qu’on met avant.

103. Él. 4 : Oui, c’est ce qu’il y a entre parenthèses.

104. Él. 5 : Voilà. Donc c’est g de moins 6.

105. Él. 2 : Oui mais toi t’avais dit g de 18.

106. Él. 5 : Oui ben oui, je me suis trompé.

107. Intervenante : Donc alors ça fait g deux points…

108. Plusieurs élèves : Moins 6.

109. Intervenante : Moins 6 flèche.

110. Silence

Quatrième moment de la résolution. Échec de la tentative précédente et émergence plus précise de la question : que faire du – 3 qui intervient pour une multiplication et pour une division ?

26111. Une élève : Attends.

112. Él. 5 : 18, euh non.

113. Intervenante : 18

114. Él. 4 : 18x, non ?

115. Él. 2 : Il n’y a pas de x, il n’y a pas de x.

116. Él. 6 : Non, surtout pas.

117. Intervenante : Non, mais surtout pas, pourquoi ?

118. Plusieurs élèves parlent en même temps faiblement.

119. Intervenante : Parce que 18, c’est, c’est quoi ?

120. Plusieurs élèves parlent en même temps légèrement plus fort.

121. Él. 6 : … moins 3.

122. Intervenante : Il n’y a plus de moins 3, là.

123. Él. 6 : Ben 18 divisé par moins 3.

124. Él. 2 : moins 3, moins 3 c’est la fonction

125. Él. 5 : (Il répond à Él. 6) Non, non, non. Hé si, 18 divisé par moins 3.

126. Intervenante : Oui, je suis un peu d’accord avec toi. Mais pourquoi ?

127. Él. 6 : 18 divisé par moins 3

128. Intervenante : Parce que moins 3 est lié à la fonction g ? Mais euh il n’y a plus moins 3 là (elle montre son schéma).

129. Él. 5 : (inaudible) divisé par moins 3.

130. Él. 4 : En fait moins 3 on l’a utilisé pour avoir18, non ?

131. Intervenante : Ah si, moins 3, on l’a utilisé pour avoir 18.

132. Él. 5 : Alors là on divise, vu qu’on a divisé pour avoir 18

133. Él. 6 : Mais il ne faut pas mettre égale (? car inaudible) par moins 3

134. Él. 5 : On l’a utilisé pour avoir moins 6 en fait.

135. Intervenante : Alors attends, dis voir. J’efface. À la place de ça, non tu avais raison. Comment je peux faire encore ? Parce que moi j’ai envie que ça ressemble à ça. (Elle montre les schémas qu’elle avait dessinés pour le calcul des images dans la première question).

136.…

137. Él. 6 : Ben ça y est.

138. Intervenante : Oui mais qu’il y ait au moins le moins 3 quelque part.

139. Él. 6 : Ben oui, 18 divisé par moins 3.

140. Él. 2 : (Elle montre sur le schéma de l’intervenante avec son doigt) Là madame.

141. Él. 6 : ça va faire 6.

142. Él. 5 : ça fera moins 6. (Il montre sur le schéma de l’intervenante à droite de la flèche) Là vous mettez 18 divisé par moins 3

143. Intervenante : (Elle écrit sur le schéma 18 : -3) 18 divisé par…

144. Él. 6 : Moins 3

145. Intervenante : Moins 3.

146. Él. 6 : Et puis c’est tout.

147. Intervenante : On retrouve moins 6.

148. Él. 6 : Oui.

149. Intervenante : Moins 6.

150. Él. 6 : Mais non, mais ça il ne faut pas le marquer. Il est déjà marqué au début, il ne faut pas le marquer.

151. Silence et perplexité marquée sur les visages.

152. Él. 4 : Ben oui.

153. Intervenante : Mais c’est bizarre quand même

154. Él. 6 et Él. 2 parlent en même temps, mais c’est inaudible

155. Intervenante : Normalement on devrait pouvoir le faire, ça.

156. Él. 6 regarde Él. 2 et lui dit que l’intervenante ne comprend rien.

Cinquième moment de la résolution. L’intervenante intervient pour réorienter la pensée des élèves et les aider à associer à chaque élément du schéma général g : x -> g(x) les nombres en jeu, -6, -3, 18

27157. Intervenante : Pareil avec le moins 6.

158. Silence et perplexité.

159. Intervenante : Je vous suggère une idée. Je vous dis, tiens, alors moins 6, alors moi je me dis, bon là je vais remplacer x par…

160. Él. 4 : Moins 6

161. Intervenante : moins 6, flèche, après je me dis moins 3

162. Él. 6 : Pourquoi ?

163. Intervenante : (Elle montre un schéma construit précédemment) Parce que là il y a moins 3.

164. Él. 6 : Mais non.

165. Intervenante : Et que moins 3 est lié à la fonction g comme t’as dit tout à l’heure. Je vais mettre moins 3 et je vais multiplier par quelque chose parce que là le moins 3, il est multiplié par quelque chose (Elle montre le même schéma construit précédemment)

166. Él. 4 : (inaudible) divisé par 18.

167. Él. 6 : Moins 3, moins 3, mais non, on ne peut pas. Mais non, si vous faites multiplier là (elle montre sur le schéma de l’intervenante) il faut mettre euh 18

168. Intervenante : Où je le mets 18 ?

169. Él. 6 : g deux points 18, si vous voulez faire une multiplication.

170. Silence et perplexité

171. Intervenante : Mais pourtant, réfléchissons. Normalement l’antécédent, il est là. (Elle montre la gauche de la flèche). Vous êtes d’accord avec ça ?

172. Plusieurs acquiescent.

173. Intervenante : Voilà. Donc l’antécédent de 18, on a vu que c’était

Sixième moment de la résolution. L’élève Él. 5 donne la bonne réponse

174. Él. 5 : J’ai trouvé !

175. Intervenante : Dis voir.

176. Él. 5 : Il faut faire g deux points moins 6 flèche moins 6 fois moins 3 parce que en fait c’est ça qui donne 18 et 18 c’est l’image. Et vu que l’image c’est 18, eh bien il faut faire un calcul qui donne 18. Il faut retrouver moins 6 parce que c’est l’antécédent.

177. Intervenante : Alors réexplique parce que

178. Él. 4 : Lentement cette fois-ci

179. Intervenante : Vas-y lentement.

180. Él. 5 : Moins 6, c’est l’antécédent, donc on est obligé de le retrouver avec moins 3 parce que c’est x. Moins 3 x ça fait bien moins 3 fois le nombre x et ce nombre x c’est moins 6, donc il faut faire moins 3 fois moins 6. Ça fait 18. Et ce qu’on cherche c’est l’antécédent de 18.

181. Él. 4 : Donc l’antécédent il est après la flèche.

182. Él. 2 : L’antécédent, c’est x.

183. Él. 5 : (il répond à Él. 4) Non l’antécédent, c’est moins 6.

184. Él. 6 : Si, c’est x parce qu’il faut faire ???

185. Él. 2 : (elle s’adresse à Él. 5) C’est moins 6.

186. Él. 5 : Oui voilà.

187. Intervenante : Tu lui expliques parce qu’elle a dit, l’antécédent c’est après la flèche. Dis-lui doucement.

188. Él. 5 : (Il montre à Él. 4 sur le schéma) Là c’est l’antécédent, ça c’est le calcul, et on donne l’image.

189. Él. 4 : L’image ce sera là ?

190. Él. 5 : Voilà.

191. Él. 4 : (en montrant sur le schéma) ça c’est l’image, toute l’image ?

192. Él. 5 : Oui. Ça c’est l’image.

193. Él. 4 : Ah !

194. Intervenante : Vous êtes d’accord avec ce qu’il a dit là ?

195. Les autres acquiescent.

Annexe 3. Séance de travail des élèves de la classe de sixième

Énoncés des exercices

Exercice n° 1

28Voici un triangle dont les côtés mesurent 3 cm, 4 cm, 5 cm. On agrandit ce triangle à la photocopieuse. Le côté qui mesurait 5 cm mesure 7 cm. Termine le triangle agrandi. (À cet énoncé était joint le tracé du triangle initial.)

Exercice n° 2

29Le prix pour 1 kg de fraises est 4 €, pour 3 kg de fraises, il est 10 €. Le prix est-il proportionnel à la masse ?

Résolution de l’exercice 1

Premier moment. L’élève Él. 2 propose l’addition par 2

301. Intervenante : Je lis la consigne. Voici un triangle dont les côtés mesurent 3 cm, 4 cm, 5 cm. On agrandit ce triangle à la photocopieuse. Le côté qui mesurait 5 cm mesure 7 cm. Termine le triangle agrandi. Alors la consigne c’est donc : termine le triangle agrandi, c’est ça ?

2. Él. 8 : Il faut terminer mais en l’agrandissant.

3. Intervenante : C’est bien ça qu’on appelle la consigne.

4. Él. 4 : Il y a un côté qui mesurait 5 cm et qui est passé à 7.

5. Une élève se met à rire.

6. Intervenante : Allez on se calme. Alors qu’est-ce que… Vous m’écoutez, vous ne dites pas des mots à tort et à travers, parce que moi sinon je n’arrive pas à comprendre ce qu’il faut faire. Alors qu’est-ce que je dois faire ?

7. Deux élèves lèvent le doigt.

8. Intervenante : Qui est-ce qui a une idée ? Qu’est-ce que je dois faire ? Dis voir.

9. Él. 2 : On fait 7 – 5, ça fait 2.

10. Rires

11. Él. 2 : Ensuite…

12. Intervenante : Vous ne rigolez pas, vous le laissez parler et après si vous n’êtes pas d’accord, vous le dites. Bon attends, je le note pendant que tu me dis. Donc on fait 7 – 5, ça fait 2 et après on fait…

13. Él. 2 : Ensuite on fait 4 + 2.

14. Intervenante : 4 + 2

15. Él. 2 : et 3 + 2

16. Intervenante : 3 + 2. Et puis qu’est-ce qu’on en fait de ça ? 4 + 2 ça fait 6, c’est bien ça ? Et 3 + 2 ça fait 5.

17. Él. 4 : Madame (il lève la main)

18. Intervenante : Attends. Il va finir son idée. Qu’est-ce que j’en fais du 6 et du 5 ? ça me sert à quoi ?

19. Él. 2 : Ben on fait le triangle.

20. Intervenante : Comment tu fais le triangle ?

21. Él. 1 : Mais il ne sert à rien ce…

22. Intervenante : Attends, attendez deux secondes, il va jusqu’au bout.

23. Intervenante : Comment tu le dessines le triangle ? Il faut le dessiner, non ? Qu’est-ce que tu as comme instrument ?

24. Plusieurs élèves : Une règle

25. Él. 2 : Une règle et une équerre.

26. Plusieurs élèves : Un compas.

27. Intervenante : Un compas, d’accord. Parce que moi je ne sais rien, il faut tout m’expliquer.

28. Él. 2 : On écarte le compas de 5 cm, on met la pointe ici (il montre sur son énoncé).

29. Intervenante : Oui.

30. Él. 2 : Et on tourne comme ça.

31. Intervenante : Oui.

32. Él. 2 : Là c’est 4 donc 4, 5, 6. On écarte le compas de 6 cm et on fait tourner.

33. Intervenante : Oui mais attends, c’est là qu’il faut dessiner, non ?

34. Él. 2 : Oui, je prends ça comme exemple.

35. Intervenante : Oui mais dis-moi exactement comment je fais si je veux dessiner moi, dis-moi parce que je comprends mieux.

36. Él. 2 : On prend la fin de la droite, là, enfin ici. On met la pointe du compas.

37. Intervenante : Oui.

38. Él. 2 : On écarte de 5cm.

39. Intervenante : Oui.

40. Él. 2 : On fait un demi-cercle.

41. Intervenante : Oui.

42. Él. 2 : Ensuite on va ici, on met la pointe du compas. 4, 5, 6, on écarte de 6cm et on fait le demi-cercle. Où c’est que ça se croise, on fait un point et avec une règle on trace.

43. Intervenante : D’accord.

44. Des doigts sont levés.

Deuxième moment. Intervention confuse de l’élève Él. 3. On en reste à l’addition

3145. Intervenante : Est-ce que tout le monde est d’accord avec ça ?

46. Plusieurs élèves : Non.

47. Él. 3 : Il y a plus facile.

48. Intervenante : Dis voir.

49. Él. 3 : Eh ben comme on sait qu’il faut ajouter 2 à 3, ça fait 5, donc un côté de 5. Après de 4, 6, donc ça fait 6. Il faut tracer les points et puis on trace.

50. Intervenante : Finalement c’est la même idée que lui, à part que toi tu n’as pas parlé des compas. Autrement c’est pareil.

51. Un élève : Ah oui.

52. Intervenante : Qui est-ce qui a une autre idée ?

53. Les doigts levés se baissent.

54. Un élève : Ah, avec l’équerre.

55. Rires

Troisième moment. L’élève Él. 1 propose la multiplication par 1,5

3256. Intervenante : Toi tu as levé la main tout à l’heure, dis voir. Toi tu as une autre idée, je crois. Tu n’étais pas tout à fait d’accord.

57. Bavardages

58. Él. 1 : (à voix basse) Moi je me dis, c’est peut-être fois 1,5.

59. Intervenante : Alors toi tu dis, c’est peut-être fois 1,5. Pourquoi tu parles de 1,5 ? D’où ça te vient ce 1,5 ?

60. Él. 1 : 5 fois 1,5 je ne sais si ça fait 7, mais je crois bien que si.

61. (Les élèves n’ont que l’énoncé devant eux. Ils n’ont ni feuille, ni stylo, ils travaillent sans écrire)

62. Intervenante : Toi tu dis, alors je note. Toi tu dis, tu parles de 1,5 parce que tu dis que 5 fois 1,5, ça fait 7. Est-ce que ça fait 7, ça ?

63. Él. 8 : Non.

64. Intervenante : ça fait combien 5 fois 1,5 ?

65. Un élève : 5 et demi.

66. Une autre élève : Non.

67. Une élève pose la multiplication avec son doigt sur la table.

68. Silence

69. Él. 2 : Ben on sait pas.

70. Une élève se retourne pour prendre sa calculatrice.

71. Él. 5 : Redites Madame.

72. Intervenante : 5 fois 1,5. On réfléchit, on ne dit pas, on ne sait pas.

73. Un élève : 6

74. Intervenante : Comment tu trouves 6 ?

75. Le même élève : Eh ben parce que déjà…

76. Une autre élève : On peut prendre la calculatrice.

77. Intervenante : Oh vous ne pouvez pas faire ça dans votre tête ?

78. Une élève : Mais non on ne sait pas calculer.

79. Él. 2 : Oh je sais. 6 fois 1, ça fait 6

80. Intervenante : C’est 5 là, c’est 5 fois 1,5. Alors tu dis, 5 fois 1, ça fait 5 et puis après ?

81. Él. 2 : Ben,

82. Une élève : Ah ben 5 + 5, ça fait 5,5

83. L’élève qui a pris sa calculatrice et sa voisine cherchent le résultat sur la calculatrice.

84. Él. 2 : Alors on fait 5 fois 1 et 5 fois 0,5, ça fait, j’sais pas.

85. Él. 6 : (C’est l’élève à la calculatrice) ça fait 7,5 madame.

Quatrième moment. Débats et controverses pour ajuster le multiplicateur

3386. Intervenante : On va continuer son idée, parce que peut-être ça marche.

87. Él. 6 : Je l’ai fait à la calculatrice.

88. Intervenante : Oui mais on va quand même continuer son idée. 5 fois 1, ça fait 5 et 5 fois 0,5, ça fait combien ?

89. Él. 2 : Un instant.

90. Un élève : Alors, 1, 2…

91. Intervenante : Non, laissez le réfléchir. Au contraire, on est là pour réfléchir.

92. Él. 2 : 2,5.

93. Intervenante : Voilà. Alors qu’est-ce que tu fais après avec le 5 et le 2,5 ?

94. Silence

95. Intervenante : Tu as dit, 5 fois 1 ça fait 5, 5 fois 0,5, ça fait 2,5.

96. Él. 2 : Je mets 5 + 2,5

97. Intervenante : Oui et ça fait donc ce que tu as dit ?

98. Él. 2 : 7,5

99. Intervenante : 7,5

100. Intervenante : (s’adressant à Él. 1) Donc ton idée, elle n’était pas tout à fait juste. Mais peut-être n’est-elle pas tout à fait fausse, non plus ? (s’adressant à tous) Lui, il a parlé d’un multiplier, ça vous…

101. Él. 5 : Non il faut diviser.

102. Intervenante : Alors on divise quoi par quoi ?

103. Él. 2 : Ben, je sais pas.

104. Él. 5 : Ben il faut diviser, en fait non. On divise 7 par 5.

105. Intervenante : On divise 7 par 5. Alors si on divise 7 par 5, comment on fait l’opération ?

106. Él. 5 : égale 2.

107. Un élève : Non

108. Él. 5 : Mais si.

109. Él. 6 pose la division avec son doigt sur la table.

110. Intervenante : Comment vous la faites l’opération ? Vous la posez ?

111. Un élève : Ah oui

112. Él. 2 : Non, on la fait de tête.

113. Él. 5 : ça fait 1 madame parce qu’on dit, de 5 pour aller à 7, c’est 1 et puis après voilà.

114. Intervenante : Oui mais il y a un petit reste aussi quand même, si tu fais une fois 5

115. Él. 5 : Il reste 2.

116. Intervenante : Oui.

117. Él. 1 a la main levée depuis quelque temps.

118. Intervenante : Alors qu’est-ce qu’on fait du 2 ?

119. Des élèves : On met un truc à virgule.

120. Intervenante : Oui on met un truc à virgule.

121. Plusieurs élèves parlent ensemble.

122. Intervenante : Alors, ton prénom c’est ?

123. Él. 6 : Alexandra.

124. Intervenante : Alexandra, elle a dit, ça fait 1,4. Qu’est-ce que tu as fait avec le 2 qui restait ?

125. Alexandra : Après j’ai mis 0 et puis après 4 fois 5 ça fait 20.

126. Intervenante : Et donc tu as mis une virgule quelque part ?

127. Alexandra : Oui.

Cinquième moment. Vérification et confirmation du résultat obtenu

34128. Intervenante : Alors elle, elle dit, 7 divisé par 5 égale 1,4. Alors on va vérifier pour voir si elle ne s’est pas trompée. Pour vérifier qu’est-ce qu’on fait ?

129. Él. 6 : On la pose.

130. Intervenante : On la pose ou bien on dit, puisque 7 divisé par 5 on pense que c’est 1,4, comment on peut vérifier ? On n’a pas un truc pour vérifier ?

131. Él. 1 : Eh ben on fait 1,4 fois 5

132. Intervenante : Ah oui, c’est une bonne idée, on fait 1,4 fois 5.

133. Certains élèves s’agitent.

134. Intervenante : Et si on fait 1,4 fois 5, on trouve ?

135. Silence

136. Él. 2 : Je le calcule ?

137. Intervenante : N’importe, tout le monde, 1,4 fois 5 ?

138. Él. 4 : Eh ben il y a pas de solution.

139. Intervenante : Tu dis n’importe quoi, tu ne réfléchis pas et tu dis n’importe quoi.

140. Rires

141. Intervenante : 1,4 fois 5 ?

142. Él. 2 : ça fait 3,3.

143. Intervenante : Ah ben alors tu t’es trompé. Si tu me dis ça c’est que dans ta multiplication tu t’es trompé. Comment vous faites 5 fois 1,4 ?

144. Él. 2 : ça fait 5 fois 1 et 5 fois 0,4.

145. Intervenante : Voilà.

146. Él. 2 : Et ça fait…

147. Intervenante : 5 +

148. Él. 2 : Vous m’avez dit que c’est 2,5, donc ça doit faire euh 2 ?

149. Intervenante : Et donc ça fait 5 + 2.

150. Bavardages

Sixième moment. Construction effective du triangle agrandi

35151. Intervenante : Eh ben voilà, on a trouvé donc c’est bon. Donc on a trouvé 1,4 en faisant 7 divisé par 5. Et est-ce que ça peut nous aider à construire ce triangle, à votre avis ?

152. Un élève : Eh ben oui parce que…

153. Bavardages et réponses au vol.

154. Intervenante : Parle plus fort pour qu’on entende. Chut, taisez-vous les autres parce que sinon on n’entend rien.

155. Él. 7 : Si tu divises 7 par 5, tu trouves 2

156. Intervenante : Non tu trouves 1,4

157. Él. 7 : Oui 1,4. Tu te sers des deux autres nombres là, 4 et 3.

158. Intervenante : Alors quelle opération je fais alors, dis voir ?

159. Él. 1 : Tu fais 4 fois oui plus 1,5.

160. Intervenante : Plus ou fois ?

161. Él. 2 : 1,4 moi je dirais…

162. Intervenante : Toi tu dis fois 1,4.

163. Plusieurs élèves n’écoutent pas.

164. Un élève : 4 fois 1,4 et 3 fois 1,4.

165. Intervenante : Est-ce que quelqu’un a ? Alors on va faire les calculs. Non calmez-vous là-bas… ..

166. Intervenante : Allez 4 fois 1,4, on y va ?

167. Un élève : ça fait 2.

168. Un autre : ça fait 5 et demi

169. Un autre : Oui, 5,6

170. Intervenante : 5,6. Et 3 fois 1,4 ?

171. Un élève : ça fait 4,6

172. Un autre élève : Moi je dirais 4,2.

173. Intervenante : Oui j’ai réfléchi moi, c’est 4,2. Alors qu’est-ce qu’on fait avec 5,6 et 4,2 ? Qui est-ce qui a une idée ?

174. Él. 4 : On calcule.

175. Intervenante : Oui on a calculé. Mais pour le triangle ?

176. Él. 4 : On additionne ensemble.

177. Intervenante : Tu dis n’importe quoi, tu ne réfléchis pas et tu ne regardes même pas ton dessin.

178. Él. 7 : Ben tu fais une longueur avec 4,2

179. Intervenante : Oui

180. Él. 7 : Tu fais l’autre longueur avec 5,6

181. Intervenante : Oui avec le compas ?

182. Él. 7 : Oui avec le compas.

183. Intervenante : Et puis ça se coupe.

184. Intervenante : Et puis le 5,6, je pique le point à quel endroit ?

185. Une élève : Ben au début.

186. Él. 2 : Je peux dire, montrer ?

187. Intervenante : Ben j’aime mieux que vous me disiez, tu me dis.

188. Él. 2 : Ben on plante la mine, c’est combien l’écart ?

189. Intervenante : 5,6 et l’autre, c’est 4,2.

190. Él. 2 : Ben à l’extrémité du côté droit, comme ça.

191. L’intervenante dessine.

192. Intervenante : Et de l’autre côté ?

193. Él. 2 : Et à l’extrémité du côté gauche. 194. Intervenante : 4,2

195. Él. 2 : Oui 4,2. On fait un demi-cercle.

Résolution de l’exercice 2

361. Intervenante : Alors qu’est-ce que je fais avec ça ?

2. Él. 8 : En fait comme il y a 3 kg de fraises et 4 € le kilogramme et 10 €, 3 fois 4 divisé par, non en fait non.

Un silence

3. Él. 8 : 3fois 4 divisé par 10 ou 10 fois 3 divisé par 4.

4. Intervenante : Alors toi tu dis 10 fois 3 divisé par 4. Mais pourquoi tu me dis ça, parce qu’il faut faire des opérations ou parce que tu as, tu réfléchis à quelque chose là ?

5. Él. 8 : Je réfléchis.

6. Intervenante : Tu réfléchis.

Un silence

7. Intervenante : Tu n’as encore rien répondu toi.

8. Él. 4 : C’est normal elle ne comprend pas.

9. Él. 8 : Elle a un tout petit cerveau.

10. Intervenante : Chut, chut, chut. Les fraises d’une même espèce sont vendues 4 € le kg ou bien sont vendues 10 € les 3 kg.

11. Él. 4 : Moi je pense…

12. Intervenante : Le prix des fraises est-il proportionnel à la masse des fraises ?

13. Él. ? : C’est quoi proportionnel ?

14. Intervenante : Ah mais moi je ne sais pas, c’est vous qui me dites hein. C’est un mot que vous avez appris en mathématiques.

15. Él. 4 : Je dis que le prix est pro

16. Intervenante : Qu’est-ce que ça veut dire proportionnel ?

17. Él. 2 : Moi je sais.

18. Intervenante : Attends, on va peut-être laisser chercher les autres un peu.

19. Él. 2 : Proportionnel ça veut dire que la taille…

20. Intervenante : Vous pouvez aller chercher vos cahiers les autres.

21. Él. 5 : Non ça veut dire « pareil ».

22. Él. 2 : C’est la taille par rapport au prix euh, attendez, je suis en train de dire n’importe quoi.

23. Intervenante : Alors ? Vous avez le droit d’aller regarder votre cahier.

24. Él. 2 : Le prix il est pareil que la masse.

25. Él. 3 : Le prix est pareil que le poids.

26. Intervenante : Alors ? Le prix est pareil que le poids, tu dirais.

27. Él. 3 : Oui.

28. Intervenante : ça veut dire quoi « le prix est pareil que le poids » ?

Pas de réponse

29. Intervenante : Mais dis-moi car tu as une idée quand tu me dis cette phrase-là.

30. Él. ? : Pareil

31. Intervenante : Laisse-la aller jusqu’au bout de son idée.

32. Él. ? : C’est égal.

33. Intervenante : Et avec les nombres qui sont là, ça veut dire quoi ta phrase ? Que je comprenne parce que tu vois là moi j’ai des nombres 4 € pour 1 kg et 10 € pour 3 kg et je voudrais bien que tu me dises avec ces chiffres-là ce qu’elle veut dire cette phrase. Eh, oh.

34. Él. 3 : Ben je sais pas.

35. Intervenante : Eh bien dis-moi la ; dis-moi autrement ton idée.

Un silence

36. Intervenante : Tu ne sais pas dire ?

37. Él. 8 : Moi je dirais que la taille est proportionnelle à la masse, au prix.

38. Intervenante : Oui mais proportionnel, moi je ne sais pas ce que ça veut dire.

39. Él. ? : Pareil

40. Él. ? : Égal

41. Intervenante : Attendez, il y en a qui sont allés chercher leur cahier. Dis voir alors. Qu’est-ce qu’il y a d’écrit dans le cahier ? Brouhaha

42. Él. 9 : Vous cherchez quoi là ?

43. Intervenante : Il y en a deux qui savent, ça va aller plus vite. Dis voir. Chut, chut. On se calme.

44. Él. 1 : Proportionnel ça veut dire par exemple si on va à tel nombre de kilomètres à l’heure et qu’on fait tel nombre de kilomètres, ça veut dire que si on multiplie par 2 un des chiffres, eh ben si l’autre chiffre, il est multiplié par 2, ça veut dire que c’est proportionnel.

45. Intervenante : D’accord. Donc là ça voudrait dire quoi pour l’exercice qui est là ?

46. Él. 3 : Eh ben que 4 kilos devraient être vendus

47. Intervenante : Les kilos c’est 3.

48. Él. 3 : Oui.

49. Intervenante : 3 kilos

50. Intervenante : Dis voir alors. Elle va continuer parce que ça lui donne une idée pour dire sa phrase. Dis voir alors. 3 kilos ça devrait

51. Él. 3 : 4€ le kilo multiplié devrait faire pareil que 3 kilos multiplié par quelque chose.

52. Intervenante : Dis voir. Continue ton idée.

53. Él. 1 : Je dirais que c’est pas proportionnel parce que le kilogramme c’est 1 kilo, on fait fois 3 pour aller à 3 kilos. Alors on ferait 4 € fois 3, ça nous ferait 12 €.

54. Intervenante : Donc toi tu me dis, toi tu répondrais à, tu me dis qu’il faut que je réponde à la question non c’est pas proportionnel parce que comme je dois donner 4 € pour 1 kilo, si c’était proportionnel, comme tu m’as expliqué ce que c’est proportionnel, je devrais donner…

55. Él. 1 : 12 €

56. Intervenante : 4 fois 3, c’est-à-dire 12 € pour 3 kilos. Est-ce que ça vous paraît…

57. Él. 9 : Il dit que c’est pas proportionnel

58. Intervenante : Il dit que ce n’est pas proportionnel.

59. Él. 9 : Moi je suis d’accord.

60. Intervenante : Toi tu es d’accord.

61. Intervenante : Voilà. Est-ce que quelqu’un…

62. Él. 8 : Je suis d’accord.

63. Intervenante : T’es vraiment d’accord ou t’es d’accord comme ça ?

64. Él. ? : Vous disez un truc et puis après...

65. Él. ? : Je peux dire pourquoi ?

66. Intervenante : Attends on va déjà…

67. Él. 5 : Moi je suis d’accord.

68. Intervenante : Oui mais ça ne me suffit pas. Après, bon. Déjà on répond à la question. Toi tu dis t’es d’accord, toi tu dis t’es d’accord, voilà.

69. Él. 8 : Je suis d’accord peut-être pas à 100 pour 100.

70. Intervenante : Qu’est-ce que ça veut dire d’accord un petit peu et pas à 100 pour 100 ?

71. Él. 7 : ça veut dire qu’on n’est pas trop d’accord avec lui.

72. Intervenante : Qu’est-ce qui te gêne dans ce qu’il a dit ? Sur quoi, tu n’es pas d’accord ?

73. Él. 7 : Les kilos

74. Intervenante : Les kilos, qu’est-ce qu’ils ont les kilos ? Pourquoi tu n’es pas d’accord ?

75. Él. 7 : Il s’est trompé.

76. Intervenante : Ah si tu me dis qu’il s’est trompé, il faut que tu me dises toi comment tu aurais dit à sa place, parce qu’il ne suffit pas de dire, il s’est trompé.

77. Él. 7 : Ah !

78. Intervenante : Il faut dire pourquoi. Tu n’aurais pas dit pareil. Qu’est-ce que tu aurais dit ?

79. Intervenante : Et toi alors. Toi tu réfléchis, tu m’as dit que tu n’es pas d’accord à 100 pour 100. Un silence

80. Intervenante : C’est quoi ce qui t’embête ? Que tu n’aurais pas dit comme lui ?

Un silence

81. Él. 8 : Je ne sais pas.

82. Intervenante : Tu ne sais pas. Toi aussi tu m’as dit que tu n’es pas tout à fait d’accord. Qu’est-ce qui t’embête dans ce qu’il a dit, que tu n’aurais pas dit comme lui ?

83. Él. 7 : Non parce que la consigne, je ne sais pas, elle n’est pas claire.

84. Él. 6 : Mais si elle est très claire.

85. Intervenante : Qu’est-ce qui n’est pas clair dans la consigne pour toi ?

86. Él. 7 : Je ne comprends pas. Moi je trouve que la, le prix, comment dire ? 4 kilos le kilo Rires

87. Intervenante : On se calme.

88. Él. 7 : 4 € le kilo, parce que moi si 3 kilos, c’est 10 €, on aurait dû mettre 4 € + 4 € + 4 €, ça nous aurait fait 12 donc la masse n’est pas proportionnelle au poids.

89. Intervenante : Oui, donc tu dis la même chose. Non, c’est pas tout à fait pareil, pour toi c’est pas tout à fait pareil ? Parce que toi tu dis, au lieu de dire, lui il a dit 3 fois 4 et toi t’as dit 4 + 4 + 4, c’est pas pareil pour toi.

90. Él. 7 : Oh ben un petit peu.

91. Intervenante : Non mais je ne sais pas, tu me le dis.

92. Él. 7 : C’est (une grimace)…

93. Intervenante : C’est un petit peu pareil, mais pas tout à fait quand même. Toi tu aurais dit plutôt 4 + 4 + 4.

94. Él. 7 : C’est un petit peu compliqué.

95. Intervenante : D’accord.

Brouhaha

96. Intervenante : Dis voir alors.

97. Él. 6 (elle lève la main depuis le début) : Pour expliquer on peut mettre, parce que si on fait 4+ 4+ 4 ça fait 12, ça serait proportionnel eh ben ça ferait 10

98. Él. 2 : Ce serait proportionnel ça ferait 10 ?

99. Intervenante : Si c’était ? Refais ta phrase, parce que là je ne comprends pas. Tu penses que c’est proportionnel ou pas ?

100. Él. 6 : Non.

101. Intervenante : Non. Alors refais ta phrase parce que je n’ai pas bien compris.

102. Él. 6 : C’est pas proportionnel parce que si on fait 4 + 4 + 4 eh ben ça fait 12 et normalement ils ont dit si c’est proportionnel ça fait 10 et donc là ça ne fait pas 10 et donc ce n’est pas proportionnel.

103. Intervenante : T’es d’accord avec ce qu’elle vient de dire ?

Pas de réponse

104. Intervenante : Tu n’as pas écouté.

105. Él. ? : C’est la même chose.

106. Intervenante : Toi tu dis que c’est la même chose ?

107. Intervenante : Pour moi c’est aussi un peu la même chose. Bon on arrête celui-là ?

© Presses universitaires de Franche-Comté, 2019

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