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Des mots et des maths

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Danielle Ruelland-Roger

Chapitre 3. Les dilemmes de l’institutionnalisation

Texte intégral

1Avant d’aborder cette troisième partie, il importe de faire la clarté sur sa construction. Y sont rapportés des moments de dialogues entre professeurs provoqués par les instructions au sosie. Ces dialogues sont survenus spontanément à plusieurs reprises, soit immédiatement après chaque épisode d’instruction au sosie, soit à l’occasion du « retour » de chaque enseignant sur ses instructions. L’exposé qui en est fait est organisé par problèmes de métier relatifs à l’institutionnalisation. Il s’agit d’une mise en ordre a posteriori. Les dialogues quant à eux se sont déroulés sans aucun a priori sur ce qu’ils allaient mettre à jour. Le terme de « dilemme », proposé ici, y est très présent car, toujours a posteriori, il semble bien rendre compte de ce qui s’est dit entre les professeurs.

2Dans chaque séquence d’enseignement-apprentissage, l’institutionnalisation a pour finalité de mettre les élèves en contact précis et rigoureux avec un nouveau savoir. Elle se concrétise le plus souvent par une « trace écrite » qui met en évidence les nouveaux objets mathématiques introduits dans la classe et leurs propriétés. Chaque enseignant se débrouille pour faire écrire « le cours » dans le « cahier de leçons », ou pour donner aux élèves une « synthèse » de l’activité mathématique préparatoire proposée dans la situation d’action. Ce qui va ressortir clairement des instructions au sosie est que cette institutionnalisation confronte les enseignants à des dilemmes qui se situent au cœur même de leur action professionnelle. Ce sont les tentatives de cerner ces dilemmes, leurs composantes, leurs évolutions éventuelles qui structurent le flux des échanges entre professeurs, d’autant que les points de vue établis tant dans le milieu professionnel que dans les conceptions personnelles, sont quelque peu déstabilisés par les instructions au sosie. L’observation des séances de travail des élèves qui a mis en évidence les errements inattendus des élèves, va interférer avec ce que les locuteurs vont entendre dire, soit par eux-mêmes soit par les autres.

3Quand, comment, pourquoi instituer dans la classe les mots, les expressions verbales, les symboles, c’est-à-dire tous les signes qui renvoient au nouveau savoir mis en apprentissage ? Comment, dans telle ou telle conjoncture, pour telle ou telle classe, concevoir et concrétiser l’écrit de référence en fonction des savoirs abordés ? Telles sont les situations problématiques que rencontrent les enseignants dans le cours quotidien de leur activité professionnelle portant sur l’institutionnalisation. Face aux dilemmes qui peuplent ces situations problématiques, les analyses, les positionnements sont variés. D’autant que ces dilemmes sont soumis, dans les situations concrètes d’enseignement, à la pression des événements : ce qu’il est possible de faire avec ces élèves-là, avec le temps qui passe toujours trop vite au regard de tout ce qui reste à enseigner.

3.1. L’institutionnalisation : quand ?

4Les dilemmes que soulève la nécessité de nommer et de définir les nouveaux savoirs vont faire l’objet de dialogues dans le collectif des professeurs à partir d’une interrogation de Dominique : « Il y a un moment où je m’autorise à fixer les mots dans des phrases. Mais pourquoi à ce moment-là et pourquoi pas avant ? » Cette remarque fait surgir toute une série d’interrogations sur les conditions, et avec quels effets, de tels mots sont apparus dans le cours de l’activité de la classe. Ainsi, déjà, pour les professeurs repérer à quel moment et par qui ont été employés, pour la première fois, les mots qui désignent le nouveau savoir en jeu n’a rien d’évident.

3.1.1. Lorsque les mots apparaissent dans la classe

3.1.1.1. Quand et par qui ?

5La discussion qui s’instaure entre les professeurs sur ces points va souligner les différentes manières d’affronter le dilemme du moment où doivent être introduits dans le processus d’apprentissage les mots mathématiques pertinents, et par qui.

6Pour sa part, Thérèse fait part de sa perplexité à la relecture de ses instructions au sosie à propos de l’utilisation éventuelle du mot proportionnalité dans son dialogue avec ses élèves dès le travail sur l’activité préparatoire à l’introduction de cette notion. En effet le sosie avait réagi à une de ses remarques : « le mot n’est peut-être pas employé tout de suite » en lui demandant plus de précision.

Thérèse (p-6-2) : Mais il y a quand même un objectif au bout (de la situation d’action initiale). À partir des conditions précises de départ de la situation, il leur faut dire si c’est une situation de proportionnalité ou pas. Enfin le mot n’est peut-être pas employé tout de suite. C’est à eux de faire la démarche dans un premier temps tous seuls, et après avec un camarade pour confronter les deux démarches.
Le sosie : D’accord. Mais je ne vois pas bien comment faire pour que le mot ne soit pas utilisé et en même temps comme ils ne le connaissent pas, je ne vois pas, c’est compliqué pour moi.

7Cette remarque du sosie pousse l’enseignante à se demander comment elle s’y prend et comment le mot proportionnalité s’introduit dans le dialogue entre elle et ses élèves.

Thérèse (p-6-2) : À un moment tu me dis, « je ne vois pas bien comment faire pour que le mot ne soit pas utilisé et en même temps comme ils ne le connaissent pas, je ne vois pas, c’est compliqué pour moi ». C’était le mot proportionnalité. Je me suis posé aussi la même question, c’est-à-dire qu’à partir de là je me suis demandé : finalement en sixième à quel moment précis j’utilisais le mot proportionnalité et comment au niveau des élèves, je le leur expliquais. J’ai eu du mal dans ma mémoire à retrouver à quel moment précis, si c’était moi ou les élèves qui disaient pour la première fois le mot proportionnalité. Alors quelquefois ça venait des élèves, quelquefois ça venait de moi. Mais je ne sais plus exactement situer ce qui m’a fait, enfin dans la situation, pas dans l’institutionnalisation, ce qui m’a fait prononcer ce mot là. Et c’est vrai que c’est difficile d’utiliser un mot dont ils ne connaissent pas le sens et dont on est en train de construire le sens.

8En fait elle ne peut pas exactement dire ce qui s’est passé. Elle n’y a jamais vraiment prêté attention et elle n’a pas vraiment de réponse à apporter à la question du sosie. Elle hésite quant à savoir qui introduit le terme mathématique. Finalement ce serait quelquefois elle, quelquefois les élèves, d’autant que la proportionnalité est déjà envisagée à l’école élémentaire. Elle confirme cependant qu’il est prononcé dès le moment de l’activité préparatoire.

9Cette hésitation est bien compréhensible. Le repérage, a posteriori, d’un tel moment est difficile. Le dialogue que génère la mise au travail des élèves sur un exercice mathématique plonge les professeurs dans le « feu de leur action » pour soutenir et guider les élèves. Ce n’est pas celui de la réflexion consciente sur le jeu des mots et sur la façon dont on s’en sert pour orienter l’activité mathématique des élèves.

10Mais son hésitation renvoie aussi à un enjeu plus décisif : qui, en réalité, du professeur ou des élèves, ou des deux, peut, et va, de fait, introduire les mots mathématiques dans l’activité de la classe ? C’est ce dilemme qui va être à l’origine d’une controverse sur le moment et les conditions de cette introduction de mots qui renvoient aux objets mathématiques, aux opérations, aux relations entre ces objets qui sont au cœur d’une séquence d’apprentissage.

11En témoigne ce dialogue qui s’engage entre Thérèse et Dominique

Thérèse (p-6-2) : Il y a des élèves qui disent le mot comme ça et puis des fois, ça ne sort pas. C’est probablement au moment des synthèses des activités que je le sors.
Dominique (p-6-1) : Là je ne comprends pas trop ce que tu dis. Est-ce que c’est vraiment gênant d’apporter un mot à un certain moment ? C’est une connaissance comme une autre, un mot. Et justement un mot, c’est important de le connaître, dans ce cas-là, c’est important de connaître proportionnel, proportionnalité donc. Pourquoi on imaginerait que d’emblée, dans une situation, prenons par exemple la situation du puzzle de départ, à un moment donné en synthèse de la situation, on ne pourrait pas se permettre de dire, eh bien là vous avez les dimensions du dessin de départ et les dimensions du dessin agrandi qui sont proportionnelles.
Thérèse (p-6-2) : Je n’ai pas voulu dire que ça venait des élèves. Mais je n’étais pas toujours consciente du moment précis où je l’ai donné. Et je l’ai peut-être donné, non pas au moment de la conclusion, mais j’ai peut-être rebondi à un moment donné quand l’élève prononçait le mot et que j’ai développé et tout. Mais si tu veux consciemment je ne me suis pas dit, tac ça y est, c’est en ce moment que tu es en train de le définir, enfin que tu le poses, voilà.
Dominique (p-6-1) : Tu vois ce sur quoi j’ai discuté un peu là, c’est que, dans ce que tu dis, j’ai l’impression que tu penses que tu as vu dans les classes, que les élèves vont à un moment le donner de façon naturelle. De façon spontanée, en discutant sur leurs exercices, en faisant les exercices, ils vont de façon naturelle dire que les choses sont proportionnelles. C’est ça qui m’interroge parce que moi je ne l’ai pas vu. Moi, confrontée à la réalité, je sais que ce n’est pas ça la réalité. La réalité, c’est que le mot, il ne va pas sortir tout seul.

12Pour Dominique il n’y a pas à hésiter quant au moment où les mots mathématiques sont introduits et par qui. Dès l’activité préparatoire, ils doivent être utilisés intentionnellement par le professeur pour qualifier les démarches en cours. Elle n’a jamais, pour sa part, vu de tels mots « sortir tout seuls ». Mais, si Thérèse semble confirmer finalement l’idée que les élèves ne vont pas employer le mot spontanément, elle est plus nuancée en ce qui concerne les modalités de son apparition dans le déroulé du cours.

3.1.1.2. Les voies de l’appropriation

13Quoi qu’il en soit, quelle qu’en soit la provenance, il ne faut donc pas s’étonner qu’en faisant travailler les élèves sur l’activité mathématique choisie pour les confronter à un savoir nouveau, les mots qui renvoient à ce savoir soient utilisés dans le dialogue de la classe. Mais qu’en est-il de leur appropriation par les élèves ?

14Pour Dominique, il se peut bien, après tout, que les élèves connaissent déjà tel ou tel mot, qu’ils l’aient déjà rencontré, en particulier le mot « proportionnel » peut-être déjà présent en CM2. Mais il y a de grandes chances pour qu’ils ne l’introduisent pas eux-mêmes dans la classe parce qu’il n’est pas disponible pour eux en tant qu’outil dans la situation. Quand bien même s’y référeraient-ils, ils n’en connaîtraient, et encore moins n’en maîtriseraient pas la signification. Il lui faut alors le « donner ».

15Pour ce qui la concerne, ce qui importe en réalité, c’est que les mots mathématiques renvoient à une connaissance qui va devenir un outil. C’est donc au moment de l’institutionnalisation, et par le professeur obligatoirement, qu’en quelque sorte les mots vont vraiment apparaître, en tout cas exister comme connaissances et outils, dans leur signification.

Dominique (p-6-1) : On a justement une institutionnalisation à faire là. Peut-être que les élèves le connaissent ce mot. Mais, il y a toutes sortes de chances, et puis l’expérience nous le montre, parce qu’on l’a déjà vu ça, qu’ils ne le connaissent pas trop, que ça ne vienne pas dans la classe. Donc justement c’est un mot à instituer, à un moment donné. Peut-être on choisit cette situation-là, il faut bien le donner le mot, il faut bien que ce soit un mot qui ait besoin de connaissance aussi, une connaissance qui va devenir un outil, qui va devenir disponible, etc. Pourquoi penser qu’il vient forcément des élèves ? Peut-être qu’ils l’ont entendu, c’est sûr, mais il n’est peut-être pas forcément disponible.

16L’institutionnalisation explicite des mots transforme leur statut d’une part dans la pensée du professeur, d’autre part dans celle des élèves. Elle va permettre une utilisation nouvelle du terme.

C’est vrai que pour moi effectivement le moment d’institutionnalisation, c’est important, ce n’est pas anodin, et puis l’instruction au sosie le confirme. J’ai l’impression que c’est un moment un peu solennel. Tout au cours des apprentissages, il y a eu l’utilisation des mots en question mais je ne suis pas sûre que les élèves puissent accéder à l’importance de ces mots, au statut de ces mots.

17Cependant le cours des échanges avec le sosie puis avec ses collègues conduit Dominique à réexaminer cette opposition qu’elle a tendance à faire entre les moments de l’appropriation des mots par les élèves.

18Elle s’aperçoit en effet, en revenant sur la transcription de ses instructions au sosie, qu’elle attend des élèves qu’ils soient en mesure de s’approprier la signification de tous les mots qui renvoient au nouveau savoir dès le moment où ils sont isolés et précisés pour figurer, par écrit, dans le cahier de leçons. Mais est-ce possible compte tenu de la façon dont elle procède lors de l’activité préparatoire qu’elle désigne ici comme phase d’apprentissage ? L’emploi qu’elle fait des mots, au cours de cette phase, ne les noiet-il pas trop dans le contexte particulier de cette activité et du dialogue avec la classe qui en découle ?

Dans l’apprentissage, au cours de l’apprentissage lui-même, à ce moment-là, moi je n’accorde pas aux mots le statut nécessaire. C’est-à-dire que je dis ces mots, mais je n’ai pas encore comme objectif qu’eux les aient intégrés. Et puis… par contre à la fin, quand je fais écrire (sur leur cahier de leçons), je considère qu’à ce moment-là ces mots doivent être intégrés.

19Cette question se pose d’autant plus pour Dominique qu’elle fait écho à l’article de didactique de M.-J. Perrin-Glorian auquel elle a été confrontée antérieurement.

C’est ce qu’a écrit Marie-Jeanne Perrin-Glorian qui m’a fait penser ça. Parce que c’est un petit peu illusoire de penser qu’au moment où, même si le travail était conséquent, même si ces mots-là ont été conséquents avant, de penser que les élèves aient le pouvoir de penser à l’aide de ces mots à partir du moment où on les écrit en phase d’institutionnalisation.

20À partir de là, sa réflexion se développe sur la globalité du processus d’apprentissage et, dans ce cadre, sur l’articulation des moments : « ce moment d’institutionnalisation, se demande-t-elle, est-ce que c’est un but en soi ou est-ce que c’est un travail de retour sur ce qui est fait avant ? Je me dis que c’est vraiment une interrogation à avoir. »

Dominique (p-6-1) : Tout à l’heure, on parlait de travail ou pas quand on institue, et ce que je me disais c’est qu’effectivement même dans la phase d’institutionnalisation, il y a encore de l’apprentissage. Il y en aura tout le temps, mais ça encore, c’est une phase d’apprentissage. C’est une phase d’apprentissage qui va peut-être permettre aux élèves de se dégager un petit peu des exemples qu’on a pu voir tout le temps, enfin jusqu’alors. Et du coup ça les aide à accéder à une espèce de généralité. Et là il y a encore normalement du travail dans la pensée des élèves, enfin ce qu’on attend de la pensée des élèves, parce que pour accéder au sens de ces phrases, il faut bien que sous ces mots, en même temps qu’on les écrit, en même temps qu’on écrit la description générale, ça fasse des liens avec les situations précédentes. Donc là il y a encore du travail qui se fait évidemment. Enfin, moi je pense que c’est important d’avoir une espèce de généralité quelque part qui conclut des situations.

21Certes, elle précise ici qu’il s’agit que les élèves accèdent vraiment au sens des mots et des phrases qu’on énonce au moment de l’institutionnalisation, mais qu’il faut bien qu’ils puissent les relier aux diverses situations mathématiques étudiées précédemment.

22Il s’agit donc bien là, dans le cadre de l’activité dialogique avec le sosie et ses collègues, d’une inflexion assez nette de ses conceptions antérieures où les diverses phases d’apprentissage étaient davantage clivées et le « travail dans la pensée des élèves » envisagé pour l’essentiel comme généré par la situation d’action initiale. Mais reste un dilemme à résoudre : quel doit être précisément l’usage, par le professeur, des mots pour que se réalise effectivement cette articulation des moments entre activité préparatoire et institutionnalisation dans un écrit de référence ?

3.1.1.3. L’usage des mots

23Dès lors, Dominique va développer une interrogation sur l’usage des mots dans la phase préparatoire. En cherchant à y répondre, elle va assigner davantage à la parole de l’enseignant le rôle de guider, dès la situation d’action, les élèves vers le savoir décontextualisé qui doit figurer dans l’écrit de référence.

24Tout d’abord, à ses yeux désormais, contrairement à ce qu’elle s’était entendu dire au sosie et qu’elle avait rapporté à ses collègues, ce qui est dit et écrit au moment de l’écriture dans le cahier de leçons ne « coule pas de source » du fait du travail mathématique qui a été fait dans la situation d’action initiale.

Visiblement je considère, dans l’instruction au sosie, que je ne peux pas instituer quelque chose, c’est-à-dire le faire écrire dans le cahier de cours, s’il n’y a pas eu un assez long travail avant avec les élèves, au cours duquel ils ont eu l’occasion, de mon point de vue, de se construire leur propre représentation de la notion qu’on travaille. Et puis moi dans cette phase, j’ai pu les conduire, toujours de mon point de vue, vers une conception peu éloignée de la bonne représentation, celle qui va être efficace dans les problèmes…
Mais, je crois que je n’explicite pas assez, si tu veux. C’est ça. C’est une histoire d’expliquer comment c’est important de répéter ces mots pour pouvoir avancer dans la connaissance commune… Ce que je veux dire, c’est que dans la phase d’apprentissage, dans tout ce déroulement-là, il me semble qu’il faudrait que je souligne plus, je ne sais pas comment d’ailleurs, pour les élèves, l’importance de saisir ces mots et de les utiliser. Enfin, il faudrait que j’accorde un statut plus important par rapport à eux aux mots quand on les utilise. Je ne sais pas comment dire. Je vois que les mots sont importants et qu’il faut que je leur montre dès le début qu’ils sont importants pour penser.

25Ce dont il est question ici, c’est qu’il ne faut pas s’attendre à ce qu’après la phase préparatoire où les élèves ont été « conduits » par le professeur vers « la bonne représentation », la pensée des élèves soit toute prête à accueillir de manière correcte les mots que l’enseignant fera figurer dans leur cahier de leçons. En réalité, il faut que le professeur accompagne, dès la phase préparatoire, les élèves par la répétition, l’explicitation, l’explication des mots mathématiques, par le fait d’en souligner l’importance, la nécessité de les saisir et de les utiliser. C’est ce qui donnera à ces mots leur statut, celui d’être important pour penser. C’est ce qui permettra de leur donner leur signification exacte lors de la phase d’institutionnalisation. Pour reprendre les analyses de M.-J. Perrin-Glorian, lors du dialogue en classe au cours de la situation d’action, l’usage des mots par le professeur est aussi un moment où commence l’appropriation par les élèves de leur signification, de ce qui est introduit de nouveau en savoir mathématique.

26Pour Dominique il s’agit sans doute là d’un possible développement nouveau de son activité d’enseignement. Mais, ce n’est pas d’une totale évidence. C’est en tout cas ce que laisse penser le « je ne sais pas comment d’ailleurs » que lui inspire le constat qu’elle doit s’attacher à « souligner plus » pour les élèves la maîtrise et l’utilisation, dès le début de l’apprentissage, des mots mathématiques en jeu.

27Brigitte, quant à elle, semble plutôt soucieuse du bon usage des mots à tout moment dans une séquence d’apprentissage. On le constate dans les instructions qu’elle a données pour que le sosie mène à bien l’institutionnalisation des fonctions linéaires et affines. Dans un premier temps, elle incite son interlocutrice à faire parler immédiatement les élèves à l’aide de mots mathématiques. Les mots qu’elle désigne à ce moment-là ne sont certes pas nouveaux, puisqu’ils avaient été introduits dans une séquence précédente consacrée à l’objet fonction en général, étudié en troisième. Mais ils sont indispensables à toute activité consacrée aux nouvelles fonctions mises en apprentissage.

Le sosie : La séance concerne les fonctions linéaires et affines et elle arrive après des séances consacrées aux fonctions de manière générale. Je fais quoi de ces mots pour les fonctions linéaires et affines dans cette séance ?
Brigitte (p-3-rar) : Eh bien tu les utilises le plus possible, ces mots qu’on avait déjà travaillés avec les fonctions, donc même l’expression « f de », l’image, l’antécédent.

28Puis elle renouvelle cette incitation à faire en sorte que les élèves s’entraînent à user à bon escient des mots mathématiques alors qu’une question du sosie aurait pu être interprétée d’une tout autre manière.

Le sosie : Pour les mettre en contact avec les fonctions linéaires, par quoi vais-je commencer ? Par la proportionnalité entre les valeurs de l’antécédent et les valeurs de l’image ? Ou par la propriété de sa représentation graphique ? Ou peut-être ni l’un ni l’autre, peut-être qu’on les met en contact sans commencer par ça ? Je commence comment ?
Brigitte (p-3-rar) : Je t’ai dit que pour démarrer la séquence tu peux partir d’un exemple un peu concret, où l’utilisation de la fonction ne sera pas forcément très utile, mais pour qu’ils reparlent des mots. Tu auras peut-être plus de facilité si dans une situation concrète tu t’appuies sur des choses qu’ils ont déjà rencontrées dans les années précédentes. Dans les années précédentes on utilise les mots en fonction de. On leur demande dès la cinquième, quatrième, d’exprimer telle quantité en fonction d’une autre. Et la proportionnalité ils l’ont toujours vue dans un cadre très concret. Donc je pense, enfin, que tu auras plus de facilité si tu démarres par quelque chose d’assez concret, pour arriver après à étudier les fonctions pour elles-mêmes. Je veux dire les entraîner à manipuler cet objet mathématique.

29Pour Brigitte, les instructions au sosie provoquent un cheminement autre que celui de Dominique, quasi opposé. En écoutant seule les instructions qu’elle avait données au sosie et en en relisant la transcription, elle s’interroge sur la grande importance qu’elle accorde à l’oral dans son enseignement, sur le peu de place qu’elle laisse à l’institutionnalisation des connaissances par la trace écrite et le peu de temps qu’elle lui consacre. Pour elle, ce n’est pas du tout « un moment solennel ».

Dans mes cours il y a beaucoup d’oral et même pour l’institutionnalisation des connaissances. La trace écrite propre, je ne la fais apparaître que dans le cahier de leçons et souvent j’essaie de la synthétiser au maximum en fait. Je n’aime pas trop écrire beaucoup dans le cahier de leçons, je trouve que c’est un moment qui est certes apaisé dans les classes puisqu’ils copient, mais je me demande ce qu’ils font quand ils copient. Est-ce qu’ils ont vraiment toujours la tête à ce qu’ils copient ? Je n’en sais rien. Mais en tous les cas je ne fais pas écrire énormément dans le cahier de leçons.

30Elle a l’impression que le temps consacré à écrire dans le cahier de leçons est un temps mort peu utile à la réflexion mathématique des élèves. Le dialogue qu’elle sollicite dans ses classes est bien à ses yeux le moment et le moyen pour les élèves de « s’imprégner » du savoir contenu dans le nouveau mot, notion qu’elle aime à utiliser, comme on le verra plus loin.

31Cependant, à la lecture de ses instructions, cette professeure se demande ce qu’il advient pour les élèves de tout ce qui est dit à l’oral et qui ne trouve pas place dans l’écrit du cahier de leçons, puisqu’elle a tendance à le réduire au minimum.

Comment en fait les élèves peuvent-ils s’approprier tout ce qui a pu être fait avant l’écriture sur le cahier de leçons, et puis après, tout ce qui est oral ? Je n’en sais rien. Est-ce qu’un élève fait un retour sur ce qui a été vu avant, est-ce qu’il a la possibilité de refaire le chemin jusqu’à l’institutionnalisation vraiment des connaissances. Donc voilà, ça m’a posé pas mal de questions sur l’utilisation de la trace écrite et de la place de l’oral qui peut peut-être bloquer. Je me rends bien compte qu’il y a certains élèves qui n’écoutent pas, enfin qui ne sont pas tout le temps là, et donc ce qui passe à l’oral est perdu peut-être.

32Ce faisant, elle pose et se pose une question sur la façon dont elle procède « est-ce qu’un élève a la possibilité de refaire le chemin jusqu’à l’institutionnalisation vraiment des connaissances ? » Pour elle cette interrogation ouvre peut-être la voie à un développement possible de son activité d’enseignement.

3.1.2. Comment institutionnaliser ?

33Aux interrogations sur le moment et par qui sont introduits les mots mathématiques qui désignent le nouveau savoir en jeu s’ajoutent celles portant sur la façon d’institutionnaliser. Elles vont, quant à elles, se centrer sur le dilemme de la place que doivent prendre – ou non – les élèves dans le processus et plus précisément sur la possibilité, voire la nécessité, de co-construire l’institutionnalisation avec les élèves.

3.1.2.1. Co-construire avec les élèves ?

34Sur ce point, du côté de Dominique, la position est nette : une co-élaboration n’est pas envisageable parce qu’il faut que les élèves disposent des bons mots, de repères communs, de langage commun. C’est la responsabilité de l’enseignant de le leur fournir.

Au cours de cette phase d’institutionnalisation, j’ai l’impression que je trouve que ma parole a plus de légitimité qu’avant dans la phase de travail préparatoire, à mes yeux en tout cas, en ce sens qu’elle est l’aboutissement du travail antérieur et puis qu’elle le synthétise.
J’ai vu aussi au travers de l’instruction au sosie que j’avais un sentiment un peu exacerbé de la responsabilité que je portais dans cette phase. Qu’il ne fallait pas que je me trompe de mots, qu’il fallait que je choisisse les bons, suffisamment compréhensibles pour eux et précis. C’est une responsabilité aussi dans ma tête parce que les élèves devront se servir de cette institutionnalisation comme de repères communs, de langage commun, ils devront y retourner souvent. C’est vrai que de cette façon-là, ma parole, mes mots peuvent et doivent devenir les leurs.

35Dominique prépare soigneusement à l’avance ce qui sera l’écrit de référence pour l’activité mathématique de ses élèves. Elle choisit avec soin les mots pour qu’ils soient « suffisamment compréhensibles et précis ». Et elle attend des élèves qu’ils fassent leurs ces mots.

36À l’entendre cela donne un « statut un peu solennel » à la phase d’institutionnalisation et une rupture dans le mode de dialogue entre elle et les élèves par rapport à la phase préparatoire antérieure. Mais cette manière de faire lui paraît désormais, à la lumière des confrontations avec ses collègues, un peu abrupte. Elle se demande s’« il faudrait peut-être que je pense la transition [avec la phase préparatoire] un peu plus fluide ». D’une certaine façon, à bas bruit, c’est sans doute le dilemme de la place des élèves dans l’institutionnalisation qui, après avoir été tranché dans un certain sens, réapparaît ici.

37Cette façon de procéder lors de l’institutionnalisation surprend Thérèse parce que l’une et l’autre ont beaucoup travaillé ensemble sur leur métier dans le cadre d’un groupe de travail de l’IREM. Ni l’une, ni l’autre n’avaient jamais imaginé que leurs conceptions, mais surtout les manières de faire, soient si différentes.

38En effet, Thérèse, en travaillant sur sa propre instruction au sosie, en est arrivé à la même opinion que celle de Dominique, exprimée plus haut : la phase d’institutionnalisation est encore un moment du processus d’apprentissage des élèves. Mais elle ne procède pas de la même manière.

Thérèse (p-6-2) : Mon instruction au sosie m’a fait prendre conscience que même pendant cette phase de conclusion, il y avait une phase de construction encore, que ce n’était pas abouti. C’est-à-dire que quand j’étais en train d’institutionnaliser, je faisais encore construire des choses avec les élèves. Enfin que les définitions n’étaient pas données toutes faites puisqu’on les construisait ensemble, les phrases et tout. Donc je me suis demandé, est-ce que c’est encore le bon moment ? Est-ce qu’au moment de l’institutionnalisation, on considère que c’est fini et puis qu’on pose les choses, et stop. Ou est-ce encore un moyen de rebondir sur ce qui a été fait avant et puis quand même de poser déjà, j’allais dire, quelques jalons solides ? Il faudrait qu’on en rediscute. J’ai ma réponse, mais elle n’est pas forcément celle de tout le monde. C’est la mienne mais je me remets un petit peu en cause peut-être par rapport à ça. Oui, parce que je considérais que c’était donner encore un but au savoir et que le savoir finalement, il était toujours en construction. Et qu’au moment de cette phase-là, rien n’était encore figé.

39Sa façon de faire est donc de chercher à co-construire la trace écrite puisque les définitions n’étant pas données toutes faites, il faut associer les élèves aux « phrases et tout ». Pour elle c’est le moyen de rebondir sur ce qui a été fait avant tout en posant quelques jalons solides. Il semble qu’elle cherche à installer en classe un dialogue qui doit conduire aux mots, aux phrases qui constitueront l’écrit de référence.

40Pour autant, cette réponse qu’elle apporte au dilemme de la place et du rôle des élèves dans l’institutionnalisation lui semble devoir être discutée avec d’autres qui considèrent, eux, qu’au moment d’institutionnaliser « c’est fini et puis qu’on pose les choses ». D’autant que sa manière de faire est peut-être discutable par elle-même également : dans le cadre des échanges avec ses collègues, elle est amenée à se demander si le moment de l’institutionnalisation est encore un bon moment de construction du savoir, un moment où rien n’est encore figé.

41Ici, le dilemme de la place des élèves dans l’institutionnalisation se manifeste à nouveau. Il le fait aussi chez Brigitte, comme on va le constater ci-dessous, Mais l’interrogation porte davantage sur ce qu’il est possible – ou pas – de co-construire.

3.1.2.2. Co-construire l’écrit de référence : est-ce possible ?

42Le problème surgit quand l’intervenante-sosie interroge Brigitte pour avoir des éclaircissements sur ce qu’elle fera dans la phase d’institutionnalisation, sachant qu’elle prendra sa classe de troisième en main quand la situation d’action initiale sur les fonctions linéaires et affines sera arrivée à son terme.

43À la question du sosie de savoir s’il faut faire figurer dans l’écrit de référence « une phrase disant que les valeurs des images sont proportionnelles aux valeurs de l’antécédent », Brigitte répond que les élèves vont avoir du mal à « donner cette phrase-là ».

Brigitte (p-3-rar) : Alors ce serait bien qu’on arrive jusque-là oui, enfin que tu arrives jusque-là. Après par expérience, ils vont avoir du mal, ils ne vont pas te la donner cette phrase-là.
Le sosie : Est-ce que je la donne, moi, à la fin ?
Brigitte (p-3-rar) : Finalement c’est à cette phrase qu’on veut arriver sur les fonctions linéaires. Avant ils ont fait une séance où on a traité différents problèmes concrets. Ensuite on est arrivé à la forme où il n’y a plus forcément un problème concret derrière. Tu peux avec ces fonctions, là, qui sont détachées de problèmes concrets, les faire manipuler les différentes formes qui renvoient aux fonctions linéaires. Alors ils ont beaucoup été habitués aux tableaux pour la proportionnalité. Même s’ils ne savent pas toujours bien comment remplir un tableau, c’est quand même souvent ancré dans leurs habitudes de proportionnalité, le tableau. Il faut qu’ils aient fait des calculs avec les différentes expressions pour peut-être pouvoir sortir cette phrase à un moment donné. S’ils ont fait le graphique, s’ils ont rempli un tableau de valeurs, s’ils ont fait des calculs, plusieurs calculs d’images, il faut espérer que cette phrase vienne d’eux. Mais ce n’est pas sûr. Si ce n’est pas le cas…
Le sosie : Si elle ne vient pas d’eux, je fais quoi, moi ?
Brigitte (p-3-rar) : Tu la leur donnes. Je ne sais pas, si ça ne vient pas d’eux. Ils vont forcément te parler de choses proportionnelles. Après ce qui va être dur pour eux, c’est de dire les images sont proportionnelles aux antécédents. Donc peut-être qu’il faudra écrire une phrase qui sera accessible pour eux, mais qui sera juste, c’est ça qui est le plus difficile. Ils vont sortir des phrases avec des mots, le mot proportionnel, mais pour arriver à une phrase qui sera correcte ! Bon des fois, des fois, je…, des fois je la leur donne.

44Dans cet échange Brigitte paraît mal à l’aise. Sa réponse « tu la leur donnes » à la question du sosie « si elle [la phrase] ne vient pas d’eux, je fais quoi moi ? », semble la contrarier. Pour autant elle se tient à cette réponse après une relance du sosie.

Le sosie : Donc je leur donne, mais je leur donne quand même. Je ne me dis pas : tant pis !
Brigitte (p-3-rar) : Non. Tu la leur donnes. Des fois je leur dis en fait : « bon je vais vous donner la formulation un peu plus savante » parce qu’ils vont me dire des choses qui ne sont pas rigoureuses. On sent qu’ils ont le sens derrière mais ils n’arrivent pas à le formuler. Donc des fois je me place comme celui, tu te places comme celui qui sait. Tu es quand même là parce que tu en sais plus qu’eux.

45Les hésitations de Brigitte, telles que l’on peut les constater dans les échanges rapportés ici, montrent bien qu’elle s’interroge : certaines phrases incontournables pour préciser les définitions et les propriétés caractéristiques des objets mathématiques et des opérations peuvent-elles être vraiment co-élaborées ? Le professeur n’est-il pas quand même celui qui en sait plus que les élèves ? Son intervention n’est-elle pas nécessaire pour préciser des « choses qui ne sont pas rigoureuses ? » Dans le même temps « on sent qu’ils ont le sens derrière et, comme elle le dit plus haut, il faut espérer que cette phrase vienne d’eux ».

46Dès lors, pour elle, une façon de surmonter ce dilemme de la place que les élèves peuvent et doivent occuper dans l’institutionnalisation est peut-être de leur laisser du temps, de les accompagner et de soutenir leurs efforts.

Brigitte (p-3-rar) : Tu vas leur faire manipuler tous les mots, donc comme je te le disais tout à l’heure en fait. Soit tu arriveras à des phrases correctes, tu auras le temps d’y arriver. Mais je pense que oui tu dois leur laisser du temps pour que les mots…

47Mais le temps est un problème : sans cesse elle répète « si tu as le temps » car pour elle ce temps passe trop vite.

48Cette façon de tenter de se sortir du dilemme en jeu n’est pas partagée par tous ainsi que le montre le dialogue ci-dessous. Pour Françoise, le temps joue d’une tout autre façon, non comme préalable nécessaire, mais comme moyen de la seule assimilation possible et réaliste : une assimilation à long terme.

Brigitte (p-3-rar) : Tu as dit que tu faisais écrire des choses dans le cahier de leçons et des mots alors que tu sais en fait que les élèves n’en connaissent pas bien la signification. Enfin des choses que tu sais être difficile pour eux, comme l’ordonnée à l’origine, ou la phrase : « tous les points de la droite représentative etc. » En fait, moi je pense que les faire écrire alors qu’on sait que dans la classe, il y en a qui ne vont pas bien comprendre ! Tu gères comment en fait si les élèves te disent, « ah je ne comprends rien ».
Françoise (p-3-st) : Je leur dis, c’est normal. Tu leur dis, c’est normal que cette phrase vous perturbe parce qu’il y a beaucoup de lettres. Tu leur dis que, dans les exercices, les lettres a et b, ils vont les connaître. Et tu leur dis aussi qu’ils sont en début d’apprentissage, que ce sont des choses qui vont se mettre petit à petit en place dans leur tête et que cette phrase, ils ne la comprennent pas forcément au moment où ils l’écrivent, mais tu peux leur dire, tu la comprendras peut-être dans deux mois, dans six mois.

49Les enseignants se posent nombre d’interrogations quand ils abordent l’enjeu d’une éventuelle co-construction de l’écrit de référence. C’est sans doute une ambition, plus ou moins partagée, mais jusqu’où peut-on aller dans sa réalisation ?

50Il ne semble pas exister de réponse unanime à ce dilemme du rôle réciproque des élèves et de l’enseignant dans la construction de l’écrit de référence. Chacun y apporte sa façon de traiter le problème, plus ou moins stabilisée, la mieux adaptée à ses conceptions et préoccupations. Mais cette réponse n’est pas quelque chose de figé, de stable. Les dialogues entre collègues le font bien apparaître : face à la complexité du réel les réponses primitivement données se ré-ouvrent, celles de chacun comme celles de tous.

3.1.3. Institutionnaliser par écrit, pour quoi faire ?

51Il en est de même pour une question qui s’est imposée dans les débats qui ont suivi les instructions au sosie à partir d’une remarque de Brigitte : « J’ai un souci avec l’écrit de référence. » Cette remarque va provoquer un échange sur l’utilité, pour les élèves, d’institutionnaliser sous cette forme censée fournir un outil de travail.

3.1.3.1. Fournir un outil de travail

Brigitte (p-3-rar) : J’ai un souci avec cet écrit de référence. Comment l’utilise-t-on après dans le quotidien de la classe. Pour moi, c’est un souci. Parce qu’en fait j’ai fait assez d’aide aux devoirs à un moment donné pour me rendre compte que les élèves n’y trouvaient pas la réponse à la question qu’ils se posaient.
Thérèse (p-6-2) : Mais toutes les réponses ne sont pas non plus sur le cahier de cours.
Brigitte (p-3-rar) : Oui mais c’est une matière difficile justement après à réinvestir. Tout seul comment tu fais ? C’est pour ça que les parents après vont dire à leur enfant, pour la proportionnalité, fais le produit en croix, alors qu’on n’en a pas parlé en classe. Bref c’est plus pour le travail à la maison que je m’interroge. Je n’ai pas la solution en fait. Je fais écrire des choses dans le cahier de leçons et…
Dominique (p-6-1) : Je n’ai pas la solution non plus.
Brigitte (p-3-rar) : Des fois je me demande à quoi ça sert ? Enfin à quoi ça sert, si, je sais que ça sert à quelque chose. Mais comment le réutiliser après ?
Dominique (p-6-1) : À quoi ça sert ? Si, ça sert quand même parce qu’on ne peut pas rester toujours sur des exercices. Je pense que toute activité conséquente d’apprentissage de départ, de démarrage, a besoin d’une certaine synthèse. Je ne me vois pas ne jamais utiliser le cahier de cours.
Brigitte (p-3-rar) : Je suis convaincue puisque je le fais, mais c’est plus après dans son usage que je me dis que cet écrit… mais voilà, c’est tout. Parfois quand un élève dit, je ne comprends pas, je lui réponds, tant que tu n’auras pas ouvert ton cahier de leçons, tu ne comprendras pas.
Dominique (p-6-1) : Donc tu t’en sers, oui.

52La nécessité d’institutionnaliser par un écrit de référence est admise par toutes les participantes au dialogue. Mais, fondamentalement, la question qui se pose est : à quoi ça sert ? Les élèves, comme le suggère Brigitte, ont tendance à ne pas ouvrir spontanément le cahier de cours qui contient l’écrit de référence : « J’ai l’impression que certains élèves en fait ne vont pas avoir le réflexe de se dire qu’il faut aller voir ce qui est écrit. Des fois ils vont regarder dans le cahier de leçons et ça ne les éclaire pas plus. » Quand ils le font, ils n’arrivent pas vraiment à s’en servir pour trouver les réponses aux questions qu’ils se posent, chez eux particulièrement. En réalité, pour Dominique, c’est peut-être davantage du côté de la démarche d’enseignement qu’on le trouve justifié. Il est nécessaire à un moment ou un autre de décontextualiser le savoir : « On ne peut pas rester toujours sur des exercices. Je pense que toute activité conséquente d’apprentissage de départ, de démarrage, a besoin d’une certaine synthèse. » C’est sur cette base là qu’elle ne se voit « pas ne jamais utiliser le cahier de cours ». Mais reste le problème de l’utilisation par les élèves.

53La réflexion progresse quand les professeurs cherchent à cerner ce qui gêne cette utilisation. Brigitte, qui s’appuie sur une expérience ancienne prolongée d’aide aux devoirs, parle d’un blocage des élèves « lorsqu’ils cherchaient dans leur cahier de leçons ». Blocage dû au fait qu’ils ne trouvaient pas d’eux-mêmes les réponses attendues à leurs questions. Cette difficulté est encore plus grande lors du travail à la maison. Cette constatation l’amène à se dire « qu’en tant que professeur en fait on a finalement peut-être raté de leur apprendre à l’utiliser, ce cahier ». Si l’on veut que les élèves puissent l’utiliser il faudrait sans doute s’interroger sur ce qui est fait, en classe, pour qu’ils s’en emparent. Déjà sans doute ne pas le considérer que « comme un écrit qui n’est fait que pour la maison ». Pour Dominique le problème est qu’on ne demande pas aux élèves d’apprendre et de pratiquer suffisamment « le retour à la mémoire collective de la classe » en utilisant ce cahier dans diverses circonstances.

54Visiblement, pour l’une comme pour l’autre, c’est « un outil qui n’est pas forcément facile à utiliser ».

Brigitte (p-3-rar) : Je te parle comme si j’étais ton sosie. Cet écrit de référence, comment je vais faire après dans la classe, pour arriver à ce que les élèves justement l’utilisent comme un réel écrit de référence, que ce soit en classe ou chez eux d’ailleurs. Est-ce que je le fais utiliser en classe ou est-ce vraiment un écrit qui n’est que pour la maison ?
Dominique (p-6-1) : Je ne sais pas si je vais bien pouvoir te répondre parce qu’effectivement il y a, comment, il y a un vide à ce niveau-là. Surtout par rapport à des traces comme ça parce qu’on ne va pas leur demander de les apprendre. (Il s’agit de ce qui est écrit à propos de la proportionnalité en sixième.)
Brigitte (p-3-rar) : Comment on va leur demander de l’utiliser ? Parfois ce n’est pas facile pour les élèves qui travaillent peu et qui sont en difficulté. Je trouve qu’on a un outil qui n’est pas forcément facile à utiliser.
Dominique (p-6-1) : Alors quand ce sont des exemples, je leur dis de regarder les exemples du cours. Ou bien quand ils sont en interro, si tout d’un coup il y a un blocage, je leur dis, « bon eh bien reprends ta partie cours », ou bien « cherche dans ta partie cours ». Mais c’est vrai qu’on n’a pas suffisamment de pratique de retour à la mémoire collective de la classe.

55Ce dilemme sur l’utilisation de l’écrit de référence en classe et/ou à la maison et sur ses modalités reste ouvert. D’autant qu’il y a un sentiment de « vide à ce niveau-là », appréciation qui renvoie en fait au manque de ressources dont disposent les professeurs pour savoir vraiment ce qu’il faudrait faire « dans la classe, pour arriver à ce que les élèves justement l’utilisent comme un réel écrit de référence, que ce soit en classe ou chez eux d’ailleurs ». C’est un point sur lequel ils disent ne pas disposer vraiment de références, institutionnelles ou autres, ni dans les stages de formation, ni dans les diverses publications qui les concernent, ni dans les manuels.

56Dans ce contexte, les dialogues mettent en évidence diverses tentatives des professeurs. Peut-être faut-il attribuer explicitement à ce cahier une fonction d’outil de travail lors des exercices d’entraînement dans la classe ? Il faudrait alors, de diverses façons, habituer les élèves à revenir encore et encore sur l’écrit, à le reprendre. Cela pourrait s’appuyer sur une parole du professeur qui soit une demande de retour au cours plutôt qu’une ré-explication personnelle ou collective ? Est-ce possible sans renoncer à se dire que le cahier de leçons est un outil de travail qui appartient personnellement à l’élève et qu’il a à charge de se l’approprier chez lui en dehors de la classe ?

Brigitte (p-3-rar) : Des fois j’ai l’impression qu’on écrit dans le cahier de leçons et c’est comme un truc final. Après ça leur appartient.
Dominique (p-6-1) : Oui
Brigitte (p-3-rar) : Et j’ai l’impression que pour certains élèves en fait ils ne vont pas avoir le réflexe de se dire qu’il faut aller voir ce qui est écrit. En fait ce n’est pas vrai que je n’arrive pas à m’en servir parce que parfois je les y renvoie. Mais quand on s’entraîne justement après une connaissance nouvelle, s’ils n’y arrivent pas, je vais avoir tendance à leur réexpliquer plutôt que de les renvoyer au cahier de leçon, pour qu’ils prennent ça comme un outil.
Françoise (p-3-st) : Moi de plus en plus je vais leur faire prendre le cahier de cours pendant les séances. Pour qu’ils utilisent cet aboutissement, qu’ils apprennent après à se l’approprier. C’est vrai qu’avant j’avais tendance à me dire, ça ce sont des trucs qu’il faut qu’ils fassent chez eux. Le cahier de cours ça leur appartient chez eux. Mais en fait non. Je me dis que c’est aussi en classe qu’on apprend à utiliser ces moyens d’institutionnalisation, ce qu’on en fait après.

57Ces dialogues révèlent un sentiment d’insatisfaction quant au résultat de ce qui est entrepris et la persistance de doutes sur l’effet de ce qui est tenté dans la classe pour que le cahier de cours et ce qu’il contient deviennent un véritable outil de travail pour les élèves.

3.1.3.2. Écrit de référence et apprentissage

58Ces préoccupations vont conduire les professeurs à s’interroger sur les représentations qu’ils se font du rapport entre l’écrit de référence et les processus d’apprentissage. Un premier dilemme surgit sur ce qu’on doit demander aux élèves : faut-il faire « apprendre » ou doit-on miser sur une « espèce d’imprégnation » ?

Brigitte (p-3-rar) ; Oui parce que c’est quand même particulier un cahier de leçons en mathématiques je trouve.
Françoise (p-3-st) : Moi j’ai vu ça sur un calcul littéral. Je leur ai dit de prendre le cahier de cours, en leur disant de développer. Ils m’ont demandé, où est-ce qu’il faut aller chercher ? En fait ils sont complètement paumés dans ce cahier de cours.
Brigitte (p-3-rar) : Et puis une leçon de mathématiques ça ne s’apprend pas comme une leçon d’histoire. Ça me fait penser à une élève cette année. À un moment donné, ils n’écoutaient pas une correction d’exercice. Je leur ai dit, attention, je peux très bien redonner le même exercice en évaluation. Elle m’a regardé et elle m’a dit : Alors…! Il faut aussi apprendre les exercices !
Thérèse (p-6-2) : Ils ne savent pas ce que c’est. Est-ce qu’on leur apprend ce que signifie apprendre une leçon de mathématiques ? Et puis est-ce qu’on évalue l’apprentissage des leçons ?
Brigitte (p-3-rar) : Mais ce n’est pas évident.
Thérèse (p-6-2) : Oui mais il faut quand même apprendre. Quand même à un moment donné à une évaluation, ils n’ont pas leur cahier de cours. Donc il y a quand même à apprendre.
Brigitte (p-3-rar) : Mais moi je ne sais pas si ça s’apprend les mathématiques. J’ai l’impression que c’est comme une espèce d’imprégnation. Plus on leur fait dire, plus ça rentre.
Françoise (p-3-st) : Moi de plus en plus je leur laisse le cahier de cours pour faire l’interro.

59Pour sa part, Brigitte se demande « si ça s’apprend les mathématiques ». Elle précise, « j’ai l’impression que c’est comme une espèce d’imprégnation ». Et elle s’explique ainsi : « plus on leur fait dire, plus ça rentre ». On retrouve là la priorité, déjà rencontrée, qu’elle donne à l’oral, au dialogue des élèves avec elle ou entre eux, dans le processus d’apprentissage. Par contre, pour Thérèse « il faut quand même apprendre ». Il faut que les élèves enregistrent dans leur mémoire les caractéristiques des savoirs en apprentissage, puisqu’« à un moment donné à une évaluation, ils n’ont pas leur cahier de cours ». Quant à Françoise elle s’aperçoit que « de plus en plus elle leur laisse le cahier de cours pour faire l’interro », même si elle constate « qu’ils sont complètement paumés dans ce cahier de cours ». Quelque part l’apprentissage ne s’est pas fait qui leur permette de se retrouver dans ce qui est écrit. Ce dernier constat, largement partagé, Thérèse l’analyse comme relevant d’un manque dans les pratiques des professeurs : « Est-ce qu’on leur apprend ce que signifie apprendre une leçon de mathématiques ? Et puis est-ce qu’on évalue l’apprentissage des leçons ? »

60Une telle diversité porte sur un dilemme essentiel : que demander aux élèves en matière d’assimilation et d’opérationnalisation de l’écrit de référence ? Mais, il renvoie à un autre : comment élaborer un tel écrit, quel va être son contenu ? C’est sans doute de cela que dépend finalement ce que peuvent en attendre les professeurs quant à son usage par les élèves.

3.1.3.3. Quels contenus ?

61À plusieurs reprises, l’une ou l’autre des professeurs s’est aperçue qu’avec certaines classes, elle réduit le contenu de l’institutionnalisation et le temps qu’elle y consacre. Une des enseignantes, en poste depuis peu de temps et toujours avec des classes en difficulté, s’est dite trop empêchée par la faiblesse en mathématiques des élèves pour aller au-delà d’un écrit de référence a minima. D’où vient que pour certains enseignants, la situation dans la classe empêche d’instituer le nouveau savoir de manière substantielle ?

62Tout se noue lors de l’activité mathématique qui initie une séquence d’apprentissage. En effet il n’est pas si facile d’attirer l’attention des élèves sur la visée mathématique de l’exercice ou du problème que les élèves ont à résoudre à ce moment-là. Ces derniers ont tendance à se noyer dans les détails de leur démarche et de leurs opérations. En conséquence ils ont du mal à mettre en relation les objets mathématiques décontextualisés nouveaux et l’exercice qu’ils ont fait. S’appuyer sur la situation d’action de départ pour l’institutionnalisation explicite est alors une tâche ardue pour le professeur. Et pour éviter de perdre un certain nombre d’élèves, ce dernier peut se limiter à faire écrire une rapide conclusion de la situation d’action. Il y rappelle simplement quelques-uns des mots, des symboles, quelques-unes des expressions qui ont été utilisés à l’oral lors du travail sur l’exercice ou le problème de départ.

63Cependant le professeur peut ne pas s’en satisfaire, craignant qu’en procédant ainsi il passe trop vite pour que les élèves prennent suffisamment conscience que désormais ils auront à manipuler d’autres objets mathématiques. Il peut décider, malgré tout, de consacrer le temps qu’il juge nécessaire pour une phase d’institutionnalisation explicite et complète. Parfois, il peut y surseoir pour permettre aux élèves d’avancer dans la découverte des notions en jeu. Il repousse à plus tard, c’est-à-dire le plus souvent à une autre séance de cours. Le moment de l’écrit étant un moment de clôture synthétique de l’activité mathématique, les élèves pourront ainsi tous disposer, finalement, de quelque chose d’assez substantiel à assimiler et utiliser. Mais qu’advient-il pour les élèves les plus fragiles en mathématiques ? Même si l’enseignant a laissé plus de temps que prévu pour aller au bout de l’exercice initial, et pris du temps pour instituer le nouveau savoir dans la classe, ceux-ci risquent d’être perdus face à leur cahier de leçons. Ces situations, tout à fait ordinaires, présentent des aspects contradictoires qui rendent leur issue incomplètement satisfaisante, quelle que soit l’action réalisée par le professeur. En conséquence il est difficile pour celui-ci de stabiliser une routine de travail qui lui assure une traversée efficace de telles situations, même s’il le tente. La tonalité et le contenu des dialogues provoqués par les instructions au sosie en témoignent.

64Ce problème quotidien de l’action professionnelle se complique encore quand le professeur a à faire avec une classe dont la majorité des élèves est en grande difficulté, et pour la plupart depuis longtemps. Ces élèves ont beaucoup de mal à s’engager activement dans la situation d’action, ils y réussissent difficilement. L’enseignant subit une forte pression qui peut le conduire à réduire au maximum le temps consacré à l’institutionnalisation du savoir d’autant qu’il craint que les cahiers de leçons de nombre de ses élèves ne soient, pour le coup, d’aucun usage. Ce qui peut l’inciter à privilégier les échanges dialogiques en classe en comptant sur eux pour que les élèves s’approprient quelque chose du nouveau savoir et n’avoir pas vraiment recours à l’écrit de référence. Mais il arrive que les élèves ne voient alors, dans les façons de faire que le professeur met en avant pour résoudre les exercices, que quelque chose d’arbitraire : « pourquoi ces règles plutôt que d’autres ? », question qui désarçonne toujours un professeur de mathématiques.

65En fin de compte, les diverses façons de trancher le dilemme portant sur le contenu de l’écrit de référence et son usage n’empêchent pas que tous ressentent d’une manière plus ou moins vive, plus ou moins soutenue par leur représentation de ce qu’est l’apprentissage, qu’il y a dans l’usage du cahier de leçons un passage obligé pour l’apprentissage des élèves. Mais cet usage ne leur semble pas à la portée de bien des élèves. Il en résulte des situations très problématiques dans le quotidien de leur activité. Elles provoquent doutes, interrogations et malaise.

3.2. Deux situations problématiques concrètes

66Quand, comment, pourquoi une phase d’institution explicite des mots, expressions verbales et symboles qui renvoient au savoir en apprentissage ? C’est en réalisant que ces mots, ces expressions verbales, ces symboles interviennent souvent, dans le dialogue entre eux et leurs élèves pour mener à bien l’activité mathématique initiale, parfois dite préparatoire, que les professeurs ont exploré ces questions. Et lorsqu’en fin d’exploration ils s’aperçoivent qu’ils ont bien des difficultés à faire en sorte que leurs élèves se servent de ce qu’ils ont finalement institué et fait écrire dans le cahier de leçons, ressurgit cette idée que peut-être, avec certains élèves, il faut plus compter pour faire progresser leur apprentissage sur le dialogue dans le cours qu’attendre un recours au cahier de leçons.

  • 1 Que ce soit dans les textes officiels ou dans les ressources institutionnelles proposées aux profes (...)

67Pourtant, il leur semble important que les élèves accèdent à un savoir « décontextualisé », pour reprendre l’expression fréquemment utilisée en didactique des mathématiques, autrement dit un savoir délié de l’activité initiale, ou plus exactement lié clairement et précisément aux objets du monde mathématique. Ce qui ne peut pas se faire sans une intervention adaptée de leur part pour guider les élèves dans leur cheminement de pensée. Mais un peu pris au dépourvu eux-mêmes par cette conviction, tant le silence est lourd autour d’eux à ce sujet, il leur est difficile de préciser la forme et le contenu d’une telle intervention. Car il ne se dit pas grand-chose là-dessus dans le milieu professionnel de l’enseignement des mathématiques1 et les réformes en cours ne laissent pas beaucoup de place à ce type de questionnements.

68Le dialogue instauré ici entre chaque professeur et le sosie, puis ceux qui se sont noués entre eux, permettent de cerner plus précisément les dilemmes de l’institutionnalisation qu’ils affrontent dans deux situations problématiques concrètes : l’enseignement de la proportionnalité en sixième et celui des fonctions linéaires et affines en troisième. Ces deux apprentissages présentent un point commun : la complexité pour les élèves des notions et des objets mathématiques abordés et la difficulté, pour eux de se les approprier. Ils ont cependant chacun leur spécificité, déjà parce qu’ils ne concernent pas des élèves du même âge et plus profondément parce que la nature de leur complexité n’est pas la même comme on le verra plus loin. Les dilemmes de l’institutionnalisation ont dans chaque cas une configuration particulière.

3.2.1. Institutionnalisation et proportionnalité

69La proportionnalité est une notion complexe même si les opérations que les élèves ont à mettre en œuvre sont à leur portée. En effet, « arithmétique et algèbre s’y côtoient sans se rencontrer réellement » (Comin E., 2002, p. 3). Pour les professeurs, l’enseigner en sixième est difficile du fait que les mots, les signes, ce que Y. Chevallard appelle « les outils sémiotiques du travail mathématique » (Chevallard, 1996), ne sont pas les mêmes en arithmétique et en algèbre. En fait les professeurs font travailler les élèves dans un entre deux qui a fluctué au long des nombreuses réformes de cet enseignement qui se sont succédé durant les dernières décennies. « Depuis 1978, le retour à des situations « concrètes » induit implicitement le retour à la notion de grandeurs proportionnelles. Pour autant, on ne travaille plus vraiment sur les grandeurs proportionnelles mais plutôt sur les suites de mesures de grandeurs proportionnelles, comme on le voit en particulier avec l’usage des tableaux qui n’est possible que si l’on distingue les grandeurs en jeu mais qui conduit plus à l’utilisation de l’expression de “tableau de proportionnalité” qu’à celle de “grandeurs proportionnelles” » (Hersant, 2005, pp. 23-24).

70Les élèves, quant à eux, ont à surmonter deux difficultés. La première consiste à repérer les grandeurs en jeu et les mesures associées, comme on l’a vu lors des séances de travail des élèves de sixième avec l’intervenante. La seconde, celle qui a le plus retenu l’attention de leur professeur, se manifeste lorsque les élèves ont à mener à bien « la tâche de reconnaissance de situations de proportionnalité à partir de différents registres de représentation » (Hersant, id.).

71Pour cet enseignement en sixième de la proportionnalité entre arithmétique et algèbre, un dilemme essentiel est celui de l’usage des mots et des phrases propres au langage mathématique.

3.2.1.1. Faire usage de mots et de phrases mathématiques ?

72Les instructions au sosie font apparaître quelques-unes des difficultés rencontrées quant à l’utilisation du langage mathématique. Comme toujours avec l’instruction au sosie, les problèmes de métier, ses dilemmes, se révèlent de manière inattendue dans les échanges dialogiques. Ainsi en réagissant vivement aux mots, aux phrases du sosie pour parler de la proportionnalité, Thérèse fait part de ses réticences à employer des mots et des phrases qui lui semblent trop compliqués pour les élèves.

Le sosie : Quand on est dans une situation de proportionnalité, il y a trois phénomènes qui se réalisent. Je vais parler en termes de grandeurs, ça va être plus facile pour moi. Si j’ajoute deux mesures de la 1re grandeur et si j’ajoute les mesures correspondantes de la 2e grandeur, je vais obtenir des mesures pour la 1re grandeur et pour la 2e grandeur qui se correspondent. Le 2e phénomène de la proportionnalité c’est que si je multiplie une mesure de la 1re grandeur par un nombre, la mesure correspondante de la 2e grandeur par le même nombre, j’obtiens encore des mesures pour la 1re grandeur et pour la 2e qui se correspondent. Et le troisième phénomène c’est que la mesure d’une des grandeurs et la mesure correspondante de l’autre s’obtiennent par multiplication par le coefficient de proportionnalité. Est-ce que les familles de situation d’action que je leur donne à travailler ont un rapport avec ces trois phénomènes ?
Thérèse (p-6-2) : Oui. Mais elles ne sont pas décrites, elles ne seront pas forcément décrites avec les mots que tu utilises. Déjà le mot grandeur. Il faut un petit peu leur expliquer ce que c’est qu’une grandeur. Il faut déjà qu’ils repèrent bien ces deux grandeurs. Et quand on travaille sur une des grandeurs et qu’on fait fonctionner la 2e grandeur de la même façon que la 1re, c’est quand même assez compliqué. C’est pour ça qu’il faut plutôt s’attacher aux savoir-faire que tout de suite mettre des mots comme tu l’as fait. C’est très difficile à expliciter. Par contre dans un premier temps, c’est peut-être plus facile à faire fonctionner. Et longtemps après, et encore, peut-être, parler uniquement un petit peu comme tu l’as dit. Mais ça sera difficile en sixième.

73L’enseignante met ici le sosie en garde contre un usage prématuré des mots et des phrases mathématiques pour l’apprentissage de la proportionnalité en sixième. Sa réticence va même au-delà puisque, dans la dernière phrase de la citation elle se demande si on peut le faire « longtemps après, et encore, un petit peu ». En ce qui la concerne, elle préfère s’attacher à guider les élèves pour qu’ils opèrent correctement sur les exercices qu’ils ont à travailler, c’est-à-dire qu’ils acquièrent ce qu’elle appelle les « savoir-faire ».

74Mais elle va interroger cette position au moment de sa relecture des instructions qu’elle a données au sosie. Elle s’en explique plus précisément avec ses collègues :

Thérèse (p-6-2) : J’ai insisté sur le rôle des savoir-faire dans cette séquence. Mais par ailleurs tous ces savoir-faire on les explicite quand même par des mots, par des phrases, donc il est quand même intéressant, même si ce ne sont que des savoir-faire de mettre des mots et des phrases sur toutes ces techniques. Voilà des interrogations qui me sont venues à la lecture de mes instructions.

75Certes, pour elle, les mots et les phrases qui permettent d’isoler et de circonscrire ce qu’est la proportionnalité ne sont pas vraiment à la portée des élèves. Mais en faisant retour sur les instructions

qu’elle a données au sosie, elle réalise que « les savoir-faire on les explicite quand même par des mots, par des phrases, donc il est quand même intéressant, même si ce ne sont que des savoir-faire de mettre des mots et des phrases sur toutes ces techniques ».

76Les interrogations que provoque ce dilemme de l’usage – ou non – ou partiellement - d’un langage mathématique en sixième sur cette question complexe de la proportionnalité se retrouvent chez d’autres enseignants. Pour Dominique il ne faut pas « avoir trop souvent recours aux phrases ». Plus exactement elle propose d’user de signes, d’outils visuels comme moyen d’accès à ces phrases.

Le sosie : Sur quels mots, ou bien expressions verbales, je vais insister pour aider les élèves à comprendre comment on peut opérer grâce à la proportionnalité pour transformer ce qui est donné dans un problème ou un exercice et ainsi obtenir le résultat cherché ?
Dominique (p-6-1) : Alors au niveau des mots, si on regarde les différentes procédures, tu peux utiliser le mot « fois plus », « fois moins », cette chose-là est trois fois plus grande que cette chose-là. Après si tu veux tu auras le choix, tu vas avoir le choix. Moi j’ai fait le choix, hormis le cas du retour à l’unité, de ne pas avoir trop souvent recours aux phrases parce que déjà c’est lourd pour leur expliquer. Donc on organise les données dans des tableaux de proportionnalité, et avec des flèches on met en évidence les rapports entre les quantités d’une même grandeur, fois tant, ou divisé par tant, éventuellement, je préfère d’ailleurs qu’on travaille avec la multiplication, mais bon, peu importe, et d’une grandeur à l’autre avec le coefficient de proportionnalité aussi avec une flèche et puis le nombre.
Le sosie : C’est-à-dire que là en quelque sorte tu vas plutôt utiliser des signes ?
Dominique (p-6-1) : Des outils visuels, tout en disant bien sûr oralement. Ça n’est jamais uniquement un outil visuel, ça s’accompagne évidemment de mots, d’explications : là le nombre untel est multiplié par tant pour obtenir celui-là, ou par quoi faut-il multiplier ce nombre-là pour obtenir celui-ci ?
Le sosie : Donc en fait j’utiliserai un mélange d’outils visuels sur le tableau accompagnés de phrases, de mots, d’expressions verbales, pour lire les signes visuels du tableau.
Dominique (p-6-1) : Oui. Bien sûr, oui. Les signes qui restent écrits au tableau, ils sont accompagnés d’oral, oui.

77Comme toute activité mathématique dans la classe exige des mots et des phrases pour expliquer et s’expliquer, cette enseignante propose donc de leur associer une forme graphique classique, le tableau de proportionnalité. Mais elle précise qu’il faut l’enrichir de flèches et autres signes qui « mettent en évidence les rapports entre les quantités d’une même grandeur, fois tant, ou divisé par tant, et d’une grandeur à l’autre avec le coefficient de proportionnalité ».

78Cette proposition déclenche toutefois une controverse sur les risques du recours au tableau de proportionnalité.

Brigitte (p-3-rar) : Tu disais au sosie qu’il fallait qu’il ait recours plusieurs fois au tableau pour simplifier un petit peu.
Dominique (p-6-1) : Pour alléger la charge écrite.
Brigitte (p-3-rar) : Ce n’est pas facile après d’expliquer à des élèves, quand ils sont face à un texte qui n’est pas sous forme de tableau, comment ils vont s’y prendre. Parce qu’après ils ont tendance à faire tout avec un tableau, pour n’importe quel problème ils rentrent dans un tableau.
Dominique (p-6-1) : Non, je n’ai jamais vu ça moi.
Françoise (p-3-st) : Là je m’interroge, parce que je trouve que le tableau c’est bloquant aussi.
Thérèse (p-6-2) : On peut leur montrer peut-être que l’intérêt du tableau c’est que, je ne dis pas que ça enlève les phrases, mais, que s’ils le construisent, au niveau lecture, c’est plus simple.

79Brigitte pointe une dérive possible des élèves vers un usage inapproprié du tableau. Françoise semble craindre que le tableau synthétise trop les phénomènes de proportionnalité pour aider vraiment les élèves à s’approprier cette notion. Thérèse suggère alors de prendre appui sur le tableau de proportionnalité et sa lecture pour guider les élèves vers la signification des mots et des phrases dont on a besoin pour s’expliquer.

80Finalement, que les phrases soient difficiles d’accès mais qu’on ne puisse pas s’en passer quand on fait travailler les élèves, les unes et les autres en sont d’accord. Par contre un nouveau dilemme apparaît : réserve-t-on ces phrases au dialogue dans la classe ou les fait-on figurer dans l’écrit de référence ? Et si oui avec quel contenu ?

3.2.1.2. Quelle trace dans le cahier de leçons, savoir ou savoir-faire, exemples ou « généralités » ?

81Quand il s’agit de faire écrire dans le cahier de leçons les éléments nécessaires à l’institutionnalisation des connaissances, la question du contenu partage les professeurs : Certes ce qu’on attend des élèves c’est qu’ils sachent opérer correctement sur des situations mathématiques de proportionnalité. Mais s’agit-il d’un savoir ou d’un savoir-faire ? Peut-on séparer l’un de l’autre ? Faut-il les distinguer ?

Thérèse (p-6-2) : Moi, c’est ce qu’il faut laisser comme trace dans le cahier de leçons et comme trace quand même accessible à la plupart des élèves, qui m’interroge. Définir la médiatrice c’est relativement simple. Définir la proportionnalité en sixième, c’est déjà plus compliqué.
Dominique (p-6-1) : Je ne comprends pas pourquoi tu poses cette question. On n’est même pas obligé de poser les phrases comme si c’était une définition. Tu peux dire, des grandeurs proportionnelles ce sont deux grandeurs etc., c’est une phrase, une phrase qui définit, on est bien d’accord. Mais pourquoi on mettrait définition ? L’institutionnalisation elle est composée d’éléments qui ne servent pas tous aux mêmes choses.
Thérèse (p-6-2) : Il faut qu’elle soit écrite en termes de savoir-faire.
Dominique (p-6-1) : Si on repense à l’exercice où on demandait aux élèves, « les grandeurs sont-elles proportionnelles ? », il y a un élève qui dit, oui elles sont proportionnelles parce que tu vois bien si tu doubles l’une, si tu triples l’une, tu multiplies l’autre par deux, par trois. C’est un savoir-faire, mais c’est aussi une intégration de la description qui aura été mise de façon générale dans une phrase.
Thérèse (p-6-2) : Oui, mais distinguer savoir et savoir-faire c’est important. Il y a quand même des choses qui n’ont pas le même statut. Un savoir, pour moi, c’est le savoir mathématique, le savoir-faire, c’est savoir comment le mettre en œuvre. Voilà la différence que je fais. Donc le savoir, c’est, mettons, une définition, une propriété, le savoir-faire, c’est comment je vais les utiliser. Or dès l’instant où en troisième, en quatrième, il y aura les propriétés, les définitions, et où les élèves commenceront à faire des démonstrations, on ne va pas prendre un savoir-faire pour démontrer, on prendra forcément une propriété, une définition.
Dominique (p-6-1) : Je pense que la différence de statut dont tu parles, elle m’est assez étrangère. Je n’ai pas l’impression d’accorder de l’importance, même au niveau de l’analyse pour moi, à cette distinction entre les savoirs et les savoir-faire. Pour moi, c’est quelque chose qui est indissociable.

82Cette controverse est un symptôme du trouble que provoque l’enseignement de la proportionnalité en sixième. Trouble qui oblige chacun à revenir sur ses conceptions mathématiques mais aussi didactiques et pédagogiques et à les préciser.

83Pour Dominique on ne peut pas dissocier savoir et savoir-faire. Elle rappelle les séances de travail de ses élèves et l’explication de l’un d’eux : « oui les grandeurs sont proportionnelles parce que tu vois bien si tu doubles l’une, si tu triples l’une, tu multiplies l’autre par deux, par trois ». Elle considère que cet élève énonce là « un savoir-faire, mais aussi une intégration de la description qui aura été mise de façon générale dans une phrase ». Ainsi, pour elle il n’est nul besoin de définir à proprement parler, la proportionnalité, il s’agit « qu’on écrive sur le cahier de cours une certaine “description” de deux grandeurs proportionnelles ».

84Pour Thérèse, ce qu’il est possible d’instituer par écrit à propos de la proportionnalité ne peut qu’avoir la forme d’un savoir-faire, c’est-à-dire une présentation des pratiques pour opérer sur les grandeurs proportionnelles et pour identifier les situations de proportionnalité. Pour elle, en effet, une définition mathématique générale de cette notion n’est pas à portée des élèves.

85La réponse que chacun donne à cette question de contenu a des effets sur l’institutionnalisation explicite.

86Thérèse a donné comme consigne au sosie de faire figurer dans le cahier de leçons, plutôt que des phrases générales, des exemples qu’elle appelle « génériques ». Elle emploie ce terme pour désigner des exemples typiques des différentes techniques de résolution de problème : utilisation d’un rapport de linéarité, utilisation de la propriété additive de la linéarité, retour à l’unité, utilisation du coefficient de proportionnalité.

Thérèse (p-6-2) : Par contre on pourra peut-être dire la même chose, mais sur des exemples un peu génériques. On prendra un exemple à propos duquel on écrira, mettons, j’ai multiplié le nombre de kilogrammes par trois, j’ai multiplié le prix par trois, enfin. Le raisonnement est le même sauf qu’au niveau de l’élève, ça sera plus dans le savoir-faire, dans l’acte. Dès l’instant où on aura une situation de proportionnalité, on pourra le transposer à n’importe quelle autre situation.

87Ce qu’elle cherche à développer chez ses élèves, c’est à la fois leur appropriation des opérations qui correspondent à chacune des techniques propres à la proportionnalité, mais aussi le repérage, dans une situation de proportionnalité, des spécificités qui permettent de choisir la technique la plus appropriée. Ainsi « on pourra transposer à n’importe quelle autre situation » ce qui a été choisi pour la situation propre à un exemple générique. Thérèse relie cette consigne à sa conviction qu’on ne peut institutionnaliser qu’en termes de savoir-faire. Cependant, à la lecture de ses instructions, elle réinterroge sa façon de faire. La lecture de ses instructions au sosie a peut-être réactivé une interrogation restée pour elle jusque-là sans réponse pleinement satisfaisante et qui est encore ouverte.

Thérèse (p-6-2) : J’ai constaté que je mettais beaucoup de poids sur le rôle des exemples dans ma façon de conclure, enfin d’institutionnaliser ; je me suis rendu compte qu’en ce qui me concernait le choix des exemples était très important et indispensable pour la compréhension des élèves. Je me suis demandée s’il n’y avait pas un dosage à faire entre ces exemples que j’utilisais et les formes plus formelles de définition, parce qu’il y avait peut-être trop d’exemples. Par ailleurs je me suis dit que pour les élèves de sixième, les définitions trop formelles n’avaient peut-être pas beaucoup de sens. C’est peut-être la raison pour laquelle j’avais pris beaucoup d’exemples, que j’ai appelés à un moment donné génériques, pour cette séquence sur la proportionnalité.

88L’alternative ne serait donc pas d’institutionnaliser sous la forme d’exemples bien choisis, ou de tenter de donner une définition que, pour sa part, Thérèse qualifie de « formelle », tandis que ses collègues parlent, eux, en termes de « généralité ». Il faudrait instaurer, peut-être, un « dosage » entre ces deux modalités.

89Cette proposition, telle qu’elle est posée, provoque une controverse.

Françoise (p-3-st) : En sixième oui, moi je suis vraiment confrontée à ce problème. Quand on veut sortir des exemples pour mettre des généralités, on est coincé au niveau du vocabulaire, des phrases à mettre en œuvre pour qu’elles soient actives et qu’elles ne soient pas au contraire bloquantes.
Thérèse (p-6-2) : C’est vrai que pour toute séquence d’enseignement il y a un degré d’abstraction qui est important, mais si on n’en fait rien...! Les bons en font quelque chose mais les élèves moyens ce n’est pas sûr qu’ils en fassent forcément quelque chose. Il faut que ça soit un peu opérationnel aussi.
Dominique (p-6-1) : Je pense que même pour la proportionnalité c’est important d’avoir une espèce de généralité quelque part qui conclut des situations parce que là il y a encore normalement du travail dans la pensée des élèves pour accéder au sens de ces phrases. Et il faut bien que sous ces mots, en même temps qu’on les écrit, ça fasse des liens entre la description générale et les situations mathématiques précédentes.

90Françoise et Thérèse craignent que phrases et mots d’un trop grand niveau de généralité ou d’abstraction puissent ne pas contribuer vraiment à l’apprentissage des élèves, ou au moins d’une partie d’entre eux. Elles y voient même un surcroît d’obstacle, de blocage pour les moyens et les moins bons.

91Pour sa part, Dominique pense, au contraire, qu’il importe de conclure par « une espèce de généralité ». Elle insiste sur le rôle de ce registre dans l’apprentissage, ce qu’elle avait déjà fait à une autre occasion. C’est pour elle un moyen d’aider les élèves à s’approprier la proportionnalité, à condition de faire en sorte « que sous ces mots, en même temps qu’on les écrit, ça fasse des liens entre la description générale et les situations mathématiques précédentes » c’est à dire la combinaison d’exemples sur lesquels on a fait travailler les élèves. Ce registre de généralité permettra à ceux-ci de poursuivre le travail de pensée nécessaire « pour accéder au sens des phrases ». Obtenir ce résultat, implique de faire travailler les élèves sur des exemples avant d’« instituer, pour essayer que les mots soient opérationnels ».

92Elle revient à ce propos sur un énoncé qu’elle avait déjà évoqué : « deux grandeurs sont proportionnelles si quand on multiplie l’une d’elles par deux, trois, quatre, l’autre est aussi multipliée par deux, trois, quatre ».

Dominique (p-6-1) : Justement à propos des mots. Je ne sais pas comment dire, mais enfin clairement le travail des élèves sur les exercices avec l’intervenante, moi ça m’a fait réfléchir à ce que j’allais instituer pour essayer que les mots soient opérationnels, soient des outils pour agir, et des formes qui puissent donner aux élèves des outils pour agir sur les situations. Il me semble acceptable de mettre comme définition au bout d’un temps de travail dessus, évidemment sur des exemples et sur la situation de départ, il me semble vraiment acceptable de donner comme définition que : deux grandeurs sont proportionnelles si quand on multiplie l’une d’elles par deux, trois, quatre, l’autre est aussi multipliée par deux, trois, quatre. Décrire la linéarité en mots avec le mot multiplier. Et je ne pense pas que ce soit trop décalé de ce qu’ils peuvent comprendre, pas plus décalé de ce qu’ils peuvent comprendre de la définition de la médiatrice, ou du théorème de Pythagore. Ça ne me semble pas plus difficile une fois que tu as, sur des exemples bien sûr, aidé à discerner les grandeurs qui interviennent avec leurs unités pour les mesurer. C’est sûr que là c’est difficile parce que dans la plupart des cas on est dans des situations de grandeurs et mesures, et ce n’est pas facile. Qu’il y ait une phrase qui institue de façon générale les choses, je ne vois pas qu’il y ait impossibilité.

93Dominique propose donc de définir ici la proportionnalité avec le mot « multiplier ». À condition de guider suffisamment les élèves au préalable pour qu’ils repèrent bien qu’on a le plus souvent affaire à deux grandeurs qu’il faut distinguer (exceptionnellement une seule), ce terme leur donnera un outil « pour agir sur les situations ».

94Certes, ce n’est pas immédiat pour eux, mais ce n’est pas trop « décalé de ce qu’ils peuvent comprendre », pas plus en tous cas de ce qu’on leur demande pour d’autres apprentissages. Il n’y a pas là « d’impossibilité », c’est « acceptable ». Un point cependant fait problème : c’est ce qui porte sur les notions de grandeurs et de mesures. À plusieurs reprises ses collègues ont marqué leurs doutes sur la possibilité pour les élèves de saisir à quoi se rapportent les mots qui renvoient à ces notions. Pour elle c’est effectivement une des causes de leurs difficultés à comprendre et à se servir d’une phrase telle que celle qu’elle propose. Mais les élèves peuvent surmonter cet obstacle si le professeur « sur des exemples bien sûr » les aide « à discerner les grandeurs qui interviennent avec leurs unités pour les mesurer ».

3.2.1.3. Écrit de référence : qu’exiger des élèves ?

95Ce qui figure sous forme d’écrit de référence dans le cahier de leçons est destiné à soutenir le processus d’apprentissage des élèves. Il importe donc que l’enseignant accorde à cet écrit et à son usage suffisamment d’importance pour que cela ait des chances de se réaliser, même si, dans la réalité, il n’en sera pas toujours ainsi.

96La manière la plus classique de procéder, tout au moins avec des élèves de sixième, c’est de leur demander de rappeler, quand c’est nécessaire pour le travail en classe, à propos des objets de savoir, les caractéristiques contenues dans cet écrit.

97Que leur demandera-t-on de restituer et comment, lorsqu’on aura affaire à la proportionnalité ? Il est aisé d’exiger des élèves qu’ils connaissent précisément la définition de la médiatrice ou le théorème de Pythagore. Mais est-il possible d’avoir la même exigence pour ce qui généralise ce qu’est la proportionnalité ?

98La réponse à cette question ne fait pas l’unanimité et interfère avec le dilemme portant sur savoir ou savoir-faire, exemples ou généralités discuté ci-dessus.

99Pour appuyer le bien-fondé de la phrase qu’elle préconise d’inscrire dans le cahier de leçons, et pour contrer l’argument de sa collègue consistant à comparer l’enseignement de la médiatrice et celui de la proportionnalité, Dominique aborde la question des exigences à avoir vis-à-vis des élèves.

Dominique (p-6-1) : Quand je dis que j’ai l’impression que ce n’est pas éloigné de leurs possibilités qu’on écrive sur le cahier de cours une certaine description de deux grandeurs proportionnelles, sans même employer le mot définition, je ne dis pas que ces phrases-là, je demande qu’elles soient bien sues, qu’ils soient capables de le redire. Aussi bien je peux leur demander qu’ils me redonnent la phrase quand je leur dis de me préciser ce qu’est la médiatrice d’un segment, de la décrire la médiatrice. Ça, ça me semble une compétence à leur portée. Pour l’institutionnalisation de la proportionnalité, ce qui m’intéresse, c’est qu’ils retiennent le mot multiplier, qu’ils relient le mot proportionnalité à multiplier. Et je crois que ce qui m’a amenée à ça, ce sont les séances de travail des élèves [avec l’intervenante] c’est ce qu’il s’est passé dans ces séances.

100Il n’est pas question pour elle de demander le même effort aux élèves pour l’un et l’autre de ces apprentissages. Ce qui lui importe « c’est qu’ils retiennent le mot multiplier, qu’ils relient le mot proportionnalité à multiplier ».

Dominique (p-6-1) : Effectivement demander aux élèves de sixième, après avoir institué une phrase qui décrive la proportionnalité, de savoir redire cette phrase et qu’en redisant cette phrase, qu’elle porte vraiment du sens, c’est-à-dire qu’ils comprennent ce qu’ils disent et que ce ne soit pas simplement une restitution par cœur, ça, ce n’est pas possible. Enfin j’imagine que ce n’est pas possible. Après c’est sûr qu’il ne s’agit pas que les élèves sachent restituer mot à mot, même sachent restituer toutes les phrases. Dans nos cours, il y a plein de phrases qu’on met et on ne demande pas de les restituer.

101Mais pour Thérèse, il semble qu’il soit difficile de n’avoir pas la même forme d’exigence pour les divers enseignements. Changer d’exigence c’est rompre le contrat installé entre elle et ses élèves.

Thérèse (p-6-2) : Mais il y a quand même une rupture de contrat par rapport aux élèves parce que par exemple dans la leçon sur la médiatrice ou une autre, on leur demande, même par écrit, la définition, donc ils vont apprendre la définition. Et dans cette leçon-là eh bien rupture de contrat, ah bien non je ne vous demanderai pas, je vous demanderai simplement de retenir…
Françoise (p-3-st) : Le savoir-faire.
Thérèse (p-6-2) : Quelque part, voilà le savoir-faire. On a écrit une phrase générale, mais je ne vous la demanderai pas, enfin on ne vous interrogera jamais sur cette phrase. Donc au niveau du gamin, quand il apprend sa leçon, quand on lui dit d’apprendre sa leçon, il va certainement l’apprendre comme il a appris la définition de la médiatrice. Et puis là, eh bien non, je ne vous demanderai pas mot pour mot ce que ça signifie. Ce n’est pas simple non plus.

102De son côté, Françoise tempère cette difficulté.

Françoise (p-3-st) : Mais moi je marque quand même ce qu’il y a à savoir par cœur. Pour une définition je vais marquer « à savoir par cœur » et pour un savoir-faire je vais marquer « à savoir utiliser ». Au fur et à mesure de l’année, je leur explique la différence entre ce qu’on entend par « à savoir par cœur » et « à savoir utiliser ». Je pense quand même que c’est notre rôle de leur faire comprendre qu’en mathématiques il y a des choses qui s’apprennent par cœur et qu’il y a des choses qu’on apprend à utiliser. Maintenant, j’essaie.

103La vivacité de cette controverse autour de ce que qu’il faut exiger des élèves est révélatrice du dilemme dans lequel l’institutionnalisation explicite concernant la proportionnalité plonge les professeurs.

104Comme on l’a vu, cette institutionnalisation peut en effet prendre des formes diverses. L’enseignant peut instituer en termes d’exemples « génériques » c’est-à-dire un ou plusieurs exemples de situations de non proportionnalité, un ou plusieurs exemples de situations de proportionnalité correspondant aux différentes façons d’opérer, pour que les élèves ne se perdent pas dans des phrases qu’ils peinent à comprendre. Mais seront-ils en mesure de se sortir des exemples pour identifier toute situation de proportionnalité et pour résoudre les problèmes ? Oui pour certains, et peut-être non pour d’autres, car cela exige un développement de la pensée mathématique. Mais on peut pratiquer différemment en mettant l’accent sur un mot, sur une expression verbale, qui oriente la pensée des élèves vers ce qui caractérise le nouveau savoir, comme, on l’a vu, le mot « multiplier ». Ou encore, autre possibilité, on peut instituer en termes de savoir-faire directement opérationnels pour les tâches scolaires à venir des élèves tout en sachant qu’on favorise peut-être ainsi une tendance bien repérable chez un nombre non négligeable d’élèves : se précipiter dans le « faire comme pour un exercice qu’on vient de faire » sans avoir vraiment identifié le nouveau savoir, ses objets et ses opérations.

105Évidemment dans le quotidien de l’activité professionnelle ces alternatives ne se présentent pas sous cette forme. Elles sont ici schématisées, sorties du contexte particulier de chaque classe. Par contre ce qui est la réalité pour le professeur c’est le constat des erreurs de ses élèves et ses conséquences : insatisfaction, doute et interrogation persistante sur une autre manière de faire plus efficace. Or, dans le quotidien de l’action professionnelle, cette interrogation n’est que très rarement, le plus souvent jamais, partagée avec des collègues : « jamais je n’avais discuté avec d’autres de l’institutionnalisation » dit Brigitte. Chacun reste seul sans pouvoir profiter d’une autre expérience professionnelle qui pourrait le rassurer et parfois lui procurer de nouvelles ressources.

3.2.2. Institutionnalisation et fonctions linéaires et affines

106La fonction linéaire est un objet mathématique d’un niveau de généralité tout à fait nouveau pour des élèves de collège. En effet elle, et son extension à la fonction affine, présentent diverses facettes qui peuvent se manifester sous des formes mathématiques très variées : écriture symbolique, tableau, graphique, mots et expressions verbales.

107Pour les professeurs les dilemmes se multiplient quand il s’agit de choisir quelles formes ils vont mettre en jeu pour l’apprentissage et l’institutionnalisation du savoir, et celles qui interviendront uniquement dans le dialogue de la classe lors de résolution de problèmes.

108Comme on va le voir, ces dilemmes s’avèrent source d’interrogations et de doutes car cet objet de savoir ne se laisse pas saisir facilement, d’autant que les réformes successives sont venues troubler les alternatives. En effet depuis quelques années déjà, les programmes, et plus explicitement celui de 2008, « ont relié la notion de fonction à la gestion des données, une façon d’oublier ce qu’est la notion de fonction substituant un point de vue informatique à la notion de dépendance d’une variable par rapport à la variable indépendante. Cette substitution apparaît (dans les derniers programmes) dans la rubrique des connaissances : notion de variable en lien avec l’algorithmique et le calcul littéral » (Bkouche, 2015). D’autre part, les fonctions linéaires et affines prennent leur place dans le projet global du collège concernant l’apprentissage de la proportionnalité.

3.2.2.1. Quelle utilisation du langage symbolique ?

109Une spécificité des fonctions linéaires et affines, c’est qu’on ne peut pas aisément en faire usage et en saisir toute la puissance pour résoudre des problèmes sans maîtriser les symboles qui leur sont associés. Lors des instructions au sosie, inévitablement le recours à l’écriture symbolique a été interrogé. Quels symboles sont incontournables, quels autres secondaires ?

Françoise (p-3-st) : Je trouve que ce qui est important, c’est qu’ils fassent le lien suivant, à savoir que l’ordonnée d’un point qui est sur la représentation graphique est liée à l’image. Ce qui est important qu’ils fassent comme lien c’est que l’ordonnée est liée à l’abscisse par l’expression algébrique de la fonction.
Le sosie : Donc je les fais travailler avec les symboles x et y ?
Françoise (p-3-st) : Alors ce que tu peux faire, c’est déjà choisir plusieurs exemples numériques concrets. Imaginons que ce soit la fonction f(x) = 4x. Tu prends par exemple le point (5, 20). Tu fais une petite flèche par exemple à l’écrit et tu écris que le 20 il est égal à 4 fois 5, et tu fais ça pour plusieurs nombres. Ensuite tu le généralises en mettant par exemple qu’un point qui est sur la représentation graphique, a des coordonnées de la forme (x, 4x). Après j’ai remarqué quand même avec l’expérience que le y = 4x il est très difficile à maîtriser pour eux ou le y = f(x). On peut écrire le long de la droite y = 4x, après, pour que ça prenne du sens chez eux, ce n’est pas gagné.
Le sosie : Est-ce que c’est obligatoire de le dire, cet y = f(x) ?
Françoise (p-3-st) : Moi je pense qu’il ne faut pas que ce soit un objectif prioritaire. C’est mieux qu’ils aient en tête, qu’ils visualisent les coordonnées complètes, c’est-à-dire (x, 4x) par exemple. Mais la forme y = 4x, tu peux la dire, mais si tu sens que ça leur échappe, ce n’est pas si grave. Parce que tu risques d’y passer beaucoup, beaucoup, de temps sans que, de toute façon, ça ait prise sur eux.

110Pour Françoise l’essentiel c’est de guider les élèves pour qu’ils s’approprient la signification du symbole « x ». Par contre, elle accorde moins d’importance à ce qu’ils se saisissent de ce qui est signalé par le symbole « y ». La consigne qu’elle donne au sosie, c’est d’avancer prudemment et progressivement à partir de fonctions particulières jusqu’à l’écriture symbolique générale : « ce que tu peux faire, c’est déjà choisir plusieurs exemples numériques concrets » et de ne pas insister sur l’écriture symbolique complète y = f(x) où intervient le symbole « y » associé aux images.

111Cet échange entre Françoise et le sosie n’a pas eu de suite sans doute parce que là n’est pas ce qui est le plus problématique pour les professeurs. Par contre dans le cours du dialogue ses collègues se sont arrêtées un moment sur les obstacles qu’elles rencontrent lorsqu’elles introduisent l’écriture symbolique « ax » dans leurs classes.

Brigitte (p-3-rar) : Tu peux donner la forme « ax » quand on parle des fonctions ? Moi j’ai du mal.
Thérèse (p-6-2) : Dans le « ax », qu’est-ce qui est fixe, qu’est-ce qui varie ?
Brigitte (p-3-rar) : C’est difficile pour les élèves.
Thérèse (p-6-2) : C’est un travail aussi.

112Dans un premier temps, elles en sont restées là pour le symbole, en revanche elles se sont interrogées sur l’importance qu’elles accordaient au mot « variable », ce qui les a ramenées à l’écriture symbolique.

Thérèse (p-6-2) : Le sosie t’avait posé la question, est-ce que tu mets le mot « variable » ? Moi je l’utilise.
Françoise (p-3-st) : Oui tu l’utilises. J’en suis à me poser des questions. Est-ce que c’est accessible à un élève de troisième aujourd’hui d’utiliser ce langage-là ?
Intervenante : Pourtant quand j’ai travaillé avec tes élèves, je leur ai demandé ce que c’était ce x, ils m’ont expliqué, ils m’ont dit, « on peut lui donner n’importe quelle valeur ».
Françoise (p-3-st) : Oui mais je n’utilisais pas forcément le mot « variable », mais j’expliquais beaucoup qu’on pouvait le remplacer par n’importe quelle valeur.
Thérèse (p-6-2) : Oui mais si ça change, ça varie, on appelle ça une « variable ». Variable, c’est ce qui change, le « x » il change. Il importe de voir ce qui ne bouge pas et ce qui bouge. Dans le « ax+ b », le « a » ne joue pas le même rôle que le « x ». Par contre la difficulté pour moi c’est que dans une équation, il ne varie pas le « x ». Le « x » ne joue pas le même rôle lorsqu’il figure dans l’équation 2x + 3 = 5.
Françoise (p-3-st) : On peut prendre les choses en disant que « x » on peut toujours le remplacer par n’importe quel nombre, mais que l’égalité peut être vraie ou fausse. Si elle est vraie, on va l’appeler solution.
Thérèse (p-6-2) : Il n’a quand même pas le même statut. Dans une équation à résoudre il a le statut d’inconnu, il n’a pas le statut de variable. C’est dans la phase de recherche que tu remplaces « x » par le nombre que tu veux, mais une fois que tu as la solution, « x » est fixé.

113En cherchant à réfléchir ensemble sur ce qu’il s’agit de faire travailler par les élèves pour qu’ils s’approprient la signification du mot « variable » et du symbole « x », les professeurs mentionnent la double signification du « x », inconnue dans les équations et variable lorsqu’il s’agit d’une fonction, ce qui complique leur tâche et les incite à ne pas trop s’attarder là-dessus. Pourtant, ils ne peuvent pas faire l’économie d’un travail avec leurs élèves pour leur permettre de distinguer le statut de variable du « x » et celui de constante du « a » dans l’écriture « ax ».

3.2.2.2. Signes, outils visuels, recours à des notions déjà étudiées ?

114Avec les fonctions linéaires et affines les professeurs ont à trancher entre plusieurs possibilités. La complexité de l’objet mathématique fait que les élèves peuvent être confrontés, en fonction de l’activité mathématique qui leur sera demandée, plutôt à une forme mathématique qu’à une autre, expression algébrique, graphique ou à des notions déjà étudiées comme celle de proportionnalité.

115Le choix de la situation d’action initiale présente plusieurs alternatives. On pourrait être tenté par une activité première faisant intervenir la totalité des propriétés qui caractérisent ces fonctions, mais son ampleur exigerait plus de temps et de possibilité de concentration des élèves que ce qui est concrètement disponible. Les professeurs sont donc amenés à opter pour ce qui, à leurs yeux, est le plus pertinent comme point de départ pour l’apprentissage de leurs élèves.

116Les diverses instructions au sosie ont révélé bien des interrogations à propos de ce choix et la difficulté pour les enseignants de le stabiliser.

117Une première option est de choisir un problème concret qui permet de prendre appui sur les situations de proportionnalité déjà étudiées. C’est ce que propose Brigitte lors de son instruction au sosie.

Le sosie : Pour les mettre en contact avec les fonctions linéaires, par quoi vais-je commencer ? Par la proportionnalité entre les valeurs de l’antécédent et les valeurs de l’image ? Ou par la propriété de sa représentation graphique ? Ou peut-être ni l’un ni l’autre, peut-être qu’on les met en contact sans commencer par ça ? Je commence comment ?
Brigitte (p-3-rar) : Moi je pense que tu peux partir d’un exemple un peu concret où l’utilisation de la fonction ne sera pas forcément très utile mais pour qu’ils reparlent des mots proportionnalité et représentation graphique. Tu auras plus de facilité si tu démarres par quelque chose d’assez concret pour arriver après à étudier les fonctions pour elles-mêmes, et à les entraîner à manipuler cet objet mathématique. Mais au départ si tu parles de proportionnalité à partir d’une expression de fonction, tu auras du mal à les accrocher tous.

118Elle précise qu’en procédant ainsi elle pense « les accrocher tous ». Elle a tendance à privilégier cette manière de les conduire au lien de proportionnalité entre antécédents et images. Elle hésite à partir de l’expression algébrique d’une fonction pour y parvenir. Par la suite, au cours des dialogues avec ses collègues, elle reviendra sur la consigne qu’elle a donnée, en soulignant la difficulté que cela peut entraîner lorsqu’il s’agit pour les élèves d’accéder à partir de leur activité première à l’objet mathématique lui-même : « comment on fait le lien entre les exemples concrets, comment on va étudier les objets mathématiques pour eux-mêmes ? »

119Ses collègues se sont demandé si ce choix n’exigeait pas trop de travail sur l’activité mathématique de départ et ne conduisait pas à des difficultés pour isoler, dans le temps d’une séance de cours, les principaux traits caractéristiques des fonctions. Or pour tous il importe que la première séance de cours aboutisse à la mise en évidence de ce qui est nouveau et qu’elle prépare les élèves à l’institutionnalisation.

120Françoise s’est alors interrogée sur une variante possible qui permettrait de gagner du temps : fournir aux élèves une droite dessinée dans un repère et, à partir de points repérés sur la droite, leur faire faire le lien avec la proportionnalité. Elle n’a pas mentionné si elle avait tenté effectivement de procéder ainsi, mais tout porte à croire que non. C’est dans le vif des échanges avec ses collègues à la suite de l’instruction de Brigitte qu’elle a envisagé cette possibilité.

Françoise (p-3-st) : Pourquoi ne pourrait-on pas présenter les fonctions linéaires en disant linéaire, ligne, quand avez-vous vu un graphique qui est une ligne droite. On leur rappellerait les situations de proportionnalité. On remonterait en fait. On partirait d’un graphique, par exemple celui qui représente f(x) = 3x mais sans leur dire qu’il est le graphe de cette fonction. On leur ferait repérer les points sur la droite, placer les coordonnées dans un tableau pour qu’ils fassent le lien avec la proportionnalité, parce que pour eux c’est quelque chose de lié.
Brigitte (p-3-rar) : L’autre sens alors ? Peut-être. Essayer ça. Parce que je pensais qu’en partant d’une situation concrète, on pouvait les mettre en présence de la fonction linéaire. Mais on risque de passer trop de temps à construire le graphique.
Françoise (p-3-st) : Voilà. Tu as parlé de situation concrète et de graphique et comme des fois on n’a pas le temps de tout faire dans l’heure, justement en partant du graphique ça devient possible. Du coup, pour eux, la fonction linéaire, c’est une fonction qui est représentée par une droite passant par l’origine, ce qui a comme conséquence qu’on a affaire à une situation de proportionnalité.

121Cependant la consigne que Françoise a donnée au sosie, quant à elle, propose une tout autre option qui s’appuie sur la notion de fonction que les élèves ont déjà vue dans un cadre général.

Le sosie : Comment je vais m’y prendre pour les mettre en présence des droites qui sont les graphes de ces nouvelles fonctions particulières ? Au moment où je leur fais construire une telle droite, est-ce que, pour les fonctions linéaires, je m’appuie sur la proportionnalité entre antécédents et images ou est-ce que je m’appuie sur autre chose qui est supposé acquis ?
Françoise (p-3-st) : Tu peux toujours faire le lien avec la situation de proportionnalité mais là on est à une étape où on va être plus dans la notion de fonction. Tu peux faire constater que c’est un tableau de proportionnalité mais je dirais qu’il vaut mieux que tu t’appuies sur la notion de fonction, la « machine qui fabrique des nombres ». On constate que oui c’est un tableau de proportionnalité, mais ne pas partir de la proportionnalité, bien partir de la fonction, de l’expression algébrique de la fonction. Après tu peux faire assez vite constater quand même que le coefficient de la fonction, le coefficient de proportionnalité, il se lit sur le graphique.

122Elle reprend ici pour le sosie une expression verbale qu’elle a élaborée pour faire comprendre à ses élèves ce qu’est une fonction, « la machine qui fabrique des nombres ». Elle l’a enrichie pour évoquer les fonctions linéaires : « maintenant les fonctions linéaires je les appelle machines à multiplier ».

123Mais surtout elle souligne le fait que les élèves construisent la droite représentative de la fonction à partir de son expression algébrique et que c’est la relation entre la forme algébrique de la fonction et le tracé de son graphe qui est mise en évidence. D’autres propriétés peuvent être constatées, comme elle le dit, « assez vite ».

124Pour le sosie, elle précise ce qui motive son choix.

Françoise (p-3-st) : C’est important qu’ils aient vu le graphique. Pour moi, ça permet que, ce qu’on fait des antécédents, ça fasse sens pour eux, là où on les met sur le graphique, et ce qu’on fait des images, le lien entre les deux.

125Ce qu’elle considère donc comme le plus important, c’est que, dès le départ, les élèves s’approprient de façon assez solide le rapport qu’il y a entre abscisse et antécédent et puis ordonnée et image.

3.2.2.3. Que mettre dans l’écrit de référence ?

126Les dilemmes que les professeurs ont à surmonter dans l’enseignement des fonctions linéaires et affines semblent se multiplier au moment où il va s’agir d’institutionnaliser le savoir dans un écrit de référence. Dans les instructions au sosie, comme dans l’activité dialogique, ces dilemmes suscitent interrogations, suggestions et, sur certains points, controverses entre participants.

127Un premier dilemme porte sur le coefficient directeur du graphe qui renvoie à la pente de la droite représentative d’une fonction linéaire ou affine : a-t-il sa place dans l’écrit de référence ?

128Une controverse assez vive advient dans le collectif à ce propos lorsque Françoise demande à une de ses collègues si elle fait figurer dans le cahier de leçons des élèves le tracé rapide de la droite. Autrement dit si ses élèves apprennent à construire le graphe directement à partir des constantes qui figurent dans l’expression algébrique de la fonction.

Françoise (p-3-st) : Et au niveau du graphique des fonctions linéaires et affines, est-ce que tu institutionnalises le tracé rapide avec la pente ?
Brigitte (p-3-rar) : Je leur dis, on a vu que c’était une droite, la représentation graphique est une droite, donc il suffit de connaître deux points. On calcule deux points.
Françoise (p-3-st) : Est-ce que tu le fais aussi avec la pente, avec le coefficient directeur ?
Brigitte (p-3-rar) : Non, ils ne comprennent pas.
Françoise (p-3-st) : Moi je ne le fais plus.
Thérèse (p-6-2) : Moi je veux rebondir. Vous parlez de la pente, moi je trouve que c’est intéressant parce que justement ça montre physiquement ce qui se passe quand le coefficient grandit, quand il passe négatif.
Dominique (p-6-1) : Et puis, si on est dans un repère orthonormé, ça met en relation, avec ce qu’ils connaissent, c’est-à-dire la tangente d’un angle. Moi je trouve ça super intéressant de faire des liens

129Comme on le constate, les avis sont partagés en ce qui concerne le recours au coefficient directeur. Pour les uns, c’est peu accessible aux élèves en troisième. Pour les autres, ce serait dommage de s’en passer, car il permet de faire le lien entre l’expression algébrique d’une fonction et le tracé de son graphe.

Brigitte (p-3-rar) : Moi je n’ai pas le temps.
Françoise (p-3-st) : Mais moi je le fais en constat, c’est-à-dire qu’on en construit plusieurs et on voit justement que la droite monte plus ou moins vite ou descend, mais avant j’exigeais qu’ils construisent le graphe sans placer des points.
Thérèse (p-6-2) : Faire une lecture graphique des coefficients directeurs et autres, je trouve aussi que c’est important. C’est dans le programme la lecture des coefficients directeurs pour donner du sens.
Brigitte (p-3-rar) : Moi, ça fait plusieurs années que j’ai une classe de troisième avec un niveau vraiment faible. Concrètement je mets des priorités, si je veux finir le programme en fin d’année. Et du coup, il y a des choses que je n’aborde pas. Après, si j’avais des classes qui…
Dominique (p-6-1) : Mais je ne suis pas sûre, enfin on peut en discuter, mais je pense que ce sont des outils de lecture qui facilitent la compréhension. Ce ne sont pas des outils qui vont prendre du temps sur l’apprentissage, ce sont plutôt des outils qui font que, concrètement, on va se raccrocher à l’image physique. La tangente d’un angle, le rapport du côté, là, à celui-ci, c’est physique.
Brigitte (p-3-rar) : J’ai remarqué que même pour des élèves qui ont des facilités, c’était déjà quelque chose de complexe. J’ai pu le voir l’an dernier en ne donnant pas la même chose à des élèves.

130Ici, la dynamique du dialogue a conduit les échanges concernant la question de l’institutionnalisation à se porter sur la nécessité de mettre à disposition des élèves - ou pas - le coefficient directeur. Les plus anciens dans le métier, comme Dominique, ceux qui ont eu affaire aux programmes tels qu’ils étaient il y a quelques années, ont eu l’occasion d’en disposer pour faire travailler leurs élèves et en ont perçu les effets positifs. La plus nouvelle d’entre eux, Brigitte, est perplexe d’autant qu’elle a eu des classes de troisième qui rassemblaient beaucoup d’élèves en difficulté.

131La controverse va se poursuivre plus directement sur le bien-fondé de définir le coefficient directeur dans l’écrit de référence et d’y mentionner le rapport auquel il renvoie entre l’expression algébrique de la fonction et son graphe.

Dominique (p-6-1) : De toute façon, ça, c’est hors de notre sujet, parce que ça ne fait pas partie des choses institutionnalisées.
Brigitte (p-3-rar) : Oui mais ça joue sur les choix qu’on fait dans l’institutionnalisation.
Françoise (p-3-st) : La lecture du coefficient directeur, ça peut, tu peux. Tu peux le comprendre et l’institutionnaliser.
Thérèse (p-6-2) : Oui mais alors tu mets quoi ? Tu mets un exemple. Tu ne vas pas mettre un cas général.
Dominique (p-6-1) : Dans le cahier de cours, tu vas mettre un exemple ?
Brigitte (p-3-rar) : Moi en numérique je fais beaucoup avec des exemples. De moins en moins je fais écrire des généralisations avec des valeurs littérales.

132On retrouve, à ce propos, un obstacle que rencontrent les professeurs quand ils élaborent ce qui sera écrit dans le cahier de leçons, et qui instituera le nouveau savoir. Là en l’occurrence ils craignent que, s’ils définissent le coefficient directeur avec la forme générale de la fonction, ils ne soient pas compris, mais ils hésitent à n’avoir recours qu’à des exemples. Cela reste une question ouverte qu’il leur faut évidemment trancher dans le cours de leur activité, ce qui est source de malaise et de doute.

133Françoise, lors de son instruction au sosie, avait insisté pour que celui-ci fasse précéder une phrase d’institutionnalisation en termes généraux de plusieurs phrases qui « instituent à partir de fonctions concrètes avec des nombres ».

Françoise (p-3-st) : Quand tu vas instituer les caractéristiques de ces fonctions, tu peux tout à fait déjà faire plusieurs phrases qui les instituent à partir de fonctions concrètes avec des nombres. Et puis ensuite tu peux envisager de faire une phrase de généralisation, par exemple : la représentation graphique d’une fonction f qui à x associe ax + b est l’ensemble des points dont les coordonnées sont de la forme (x ; ax +b). Mais cette phrase-là tu la mets après avoir fait plusieurs exemples numériques parce que cette phrase-là elle ne sera pas digérable par les élèves telle quelle.
Le sosie : Et au moment où je vais l’écrire au tableau, je pense qu’au collège, je vais l’écrire, je ne vais pas insister considérablement sur cette forme générale ?
Françoise (p-3-st) : Non. Avec le « ax +b » ? Non. Ça n’a pas d’intérêt. On peut même se poser la question, est-ce qu’elle a lieu d’être dans le cours ? Je pense quand même qu’il faut que tu la mettes parce que sinon on a quand même un problème de généralisation. Mais ce n’est pas celle-là qui va les aider. Il y a très peu d’élèves qui vont s’appuyer sur celle-là pour après mettre en œuvre la réalisation d’une droite. Ils vont plutôt pour la plupart partir d’un exemple qu’ils ont fait en classe et l’adapter à celui qu’ils auront à faire. Mais tu la mets quand même, c’est une étape vers la généralisation.

134Elle proposait ainsi de décomposer l’accès des élèves à la signification de la phrase en deux moments. Dans un premier temps, il s’agit pour les élèves d’accéder à la forme de la phrase, à ses mots et à sa syntaxe, en la mettant en lien avec une fonction particulière repérable par les élèves. Ensuite il deviendrait plus facile pour eux de se saisir de la forme générale. Mais elle n’en est pas sûre. Elle ne peut pour autant renoncer à cette forme comme « une étape vers la généralisation ».

135Un deuxième dilemme s’est révélé au cours des discussions : Qu’en est-il pour le lien de proportionnalité propre aux fonctions affines ? À la suite de l’instruction au sosie de Françoise, Dominique, se mettant en posture de sosie, l’a interrogée sur l’éventuelle institutionnalisation du lien de proportionnalité pour les fonctions affines.

Dominique (p-6-1) : Ce que j’aurais voulu demander, c’est s’il fallait que j’institue le lien de proportionnalité pour les fonctions affines, à savoir que la différence des images est proportionnelle à la différence des abscisses.
Brigitte (p-3-rar) : L’accroissement fini.
Françoise (p-3-st) : Tu peux faire quand même une activité, celle que je disais avec le pas de un dans un tableau de valeurs pour une fonction affine. Parce que, longtemps moi j’ai fait un exercice concret pour mettre cela en évidence, mais finalement les élèves ne faisaient pas tant le lien que ça et je trouve que le tableau de valeurs avec un pas de un, c’est plus accessible pour eux et on retrouve le pas égal au coefficient directeur. Oui avec cette activité-là, tu peux aboutir à la formule « a » égale différence des images sur différence des antécédents.
Dominique (p-6-1) : Tu l’institues aussi ça ?
Françoise (p-3-st) : Alors ça c’est un grand questionnement parce que je l’ai institué jusqu’à maintenant mais…

136Françoise développe en réponse à ses collègues un cheminement en deux temps qui peut faciliter l’accès des élèves à cette propriété et qui permettrait de l’institutionnaliser, ce qu’elle faisait « jusqu’à maintenant, mais… » Elle ne termine pas sa phrase, révélant par là l’acuité du malaise actuel des professeurs confrontés à des difficultés qu’ils ne connaissaient pas auparavant lorsqu’il s’agissait de produire un écrit rassemblant les caractéristiques fondamentales des fonctions linéaires et affines. Ces empêchements proviennent-ils du « vraiment faible » niveau des élèves, ce que semble dire Brigitte ci-dessous ?

Dominique (p-6-1) : Quand le sosie t’a posé la question, est-ce que je vais faire travailler la classe spécialement sur le fait que la représentation d’une fonction linéaire passe par l’origine du repère, j’ai pensé que ça, en terme d’institutionnalisation, c’est effectivement quelque chose qui est intéressant, qu’il est utile de l’institutionnaliser parce que c’est quand même assez facile de voir que l’image de zéro, c’est zéro. De même pour l’image de 1, qui est a, donc ça permet de
Brigitte (p-3-rar) : Moi, ça fait plusieurs années que j’ai une classe de troisième au niveau vraiment faible. Je suis obligée de renoncer à certaines choses.
Dominique (p-6-1) : Moi je trouve que ça aide les élèves à faire le lien entre le graphique et l’expression algébrique de la fonction. Et puis, si ce n’est plus dans le programme, je pense tant pis, et je le fais parce que je trouve que c’est important.

137Mais pour Dominique, plus ancienne dans le métier, à trop vouloir élaguer ce qu’on institue par écrit, on prive les élèves de moyens de relier entre elles les diverses formes qui renvoient aux fonctions. Les échanges ci-dessus portent sur une des manifestations de proportionnalité propres aux fonctions linéaires et affines. Il s’agit de l’appartenance de l’origine du repère à la droite représentative d’une fonction linéaire. Pour Dominique, le fait qu’on ne soit plus obligé de l’institutionnaliser explicitement est caractéristique de la tendance à la réduction du contenu de l’écrit de référence et ne peut pas être détachée des réformes successives concernant les programmes. Elle ne s’en satisfait pas et parfois passe outre : « et puis, si ce n’est plus dans le programme, je pense tant pis, et je le fais parce que je trouve que c’est important ».

138L’évolution actuelle des attentes portant sur l’enseignement des mathématiques plonge les enseignants dans un troisième dilemme d’une autre nature, plus général. Car elle conduit à une augmentation du nombre de propriétés mathématiques qu’on demande aux élèves d’admettre sans la validation logique propre aux mathématiques, c’est-à-dire la démonstration. Sans prétendre qu’au collège il soit toujours possible de démontrer ce qui est institutionnalisé, les professeurs sont malgré tout réticents à devoir se contenter si souvent de faire écrire à leurs élèves : « propriété admise ». Mais alors, que doit-on, peut-on faire dans l’écrit de référence : propriétés admises ou propriétés démontrées ?

139Françoise, au cours de la passation de ses consignes au sosie, incite celui-ci à faire de la caractéristique de la représentation graphique des fonctions linéaires et affines une propriété admise.

Françoise (p-3-st) : Il faut absolument que tu leur fasses construire un graphe pour que se mette en place le fait qu’on a une droite quand on représente graphiquement une fonction affine ou une fonction linéaire. Tu vas leur faire construire des points. Ils vont constater que ce sont des points alignés. Alors avec le niveau de classe que j’ai, tu vas admettre, leur donner en propriété admise, que la représentation graphique d’une fonction linéaire ou affine c’est une droite, qu’on obtient des points alignés.

140Mais, après avoir écouté chez elle son instruction au sosie, Françoise a désiré partager avec ses collègues le malaise qu’elle ressent lorsqu’elle procède ainsi.

Françoise (p-3-st) : J’ai dit, avec le niveau de classe que j’ai, tu vas admettre en propriété admise que la représentation graphique d’une fonction linéaire c’est une droite. Alors il y a là pour moi un problème : admettre ou démontrer que la représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite. C’est un problème que je rencontre quand même de façon générale maintenant. Il y a une évolution dans les dernières années du rapport entre ce qu’on démontre et ce qu’on admet, d’autant que parfois on oublie même de mettre propriété admise. Et je voudrais savoir ce que ça représente pour un gamin quand on met propriété admise. Et qu’est-ce qu’on fait de ça ? En algèbre, en analyse, je trouve qu’on marche sur des œufs parce qu’on n’arrive pas à l’écrire. En géométrie, je le marque assez facilement, propriété admise, mais là pour « la représentation graphique est une droite » je ne mets pas, on admet que.

141Ce malaise avait déjà été exprimé par Dominique alors qu’elle s’adressait à Brigitte en fin d’instruction au sosie de celle-ci.

Dominique (p-6-1) : Justement au niveau de l’institutionnalisation, tu viens de dire qu’on dit, c’est une droite. Mais justement comment tu prépares cette institutionnalisation ? J’imagine avec ce que tu as dit, que tu la prépares avec plein de représentations graphiques de fonctions particulières. Mais je n’arrive pas encore, j’ai du mal encore, à institutionnaliser quelque chose qui n’est pas démontré. Alors du coup, je suis ennuyée avec ça en ce moment parce que j’ai envie de le montrer avec « x » et l’image de « x » et puis Thalès et puis les coordonnées des points.
Françoise (p-3-st) : Tu as déjà essayé de faire la démonstration pour toi ?
Dominique (p-6-1) : Bien sûr. Ce n’est pas simple. Et puis du coup, justement au niveau de l’institutionnalisation, je me trouve un peu piégée parce que…
Françoise (p-3-st) : C’est vrai, moi aussi. J’ai remarqué qu’instituer quelque chose qu’on n’a pas démontré, ça met mal à l’aise.
Dominique (p-6-1) : Du coup ça n’a plus le statut d’institutionnalisation.
Brigitte (p-3-rar) : On l’admet, on peut dire qu’on l’admet.
Thérèse (p-6-2) : Mais en quatrième, ils reconnaissent déjà la proportionnalité par l’alignement des points avec l’origine. Revenir sur un résultat de quatrième qui était admis ? Je veux dire qu’en troisième la démonstration, elle fait pschitt.
Dominique (p-6-1) : Oui et non, parce que eux, ils ont des bouts supplémentaires de connaissance, c’est-à-dire Thalès en l’occurrence. Thérèse (p-6-2) : Ils l’ont aussi en quatrième.
Dominique (p-6-1) : Oui bien sûr, ils l’ont aussi en quatrième. Ça dépend de l’endroit où tu fais ça. Et puis bon, tu peux aussi penser que c’est aussi une forme de formation scientifique d’utiliser des outils.
Françoise (p-3-st) : En géométrie je ne leur fais plus écrire les démonstrations. Mais je le leur démontre à l’oral. Tu vois Pythagore, je le leur démontre à l’oral. Donc après quand je l’institutionnalise, ça ne me fait pas pareil.
Dominique (p-6-1) : Le problème c’est que si dans l’institutionnalisation on admet plein de trucs, comment peut-on encore demander à des élèves de faire des preuves ?
Thérèse (p-6-2) : Après, où s’arrête la démonstration ?
Dominique (p-6-1) : Et puis le poids d’un moment d’institutionnalisation, c’est justement qu’après avoir observé un phénomène, avoir fait conjecturer une propriété, on l’a démontrée. Après au cahier de cours on institue, donc ça veut dire que là on a quelque chose qui est validé, qu’on va pouvoir réutiliser parce que justement il y a eu toute cette phase de construction scientifique de la chose.

142Peut-être est-il particulièrement compliqué pour cette séquence d’enseignement en troisième de trancher entre propriété admise ou propriété démontrée pour la représentation graphique des fonctions. Mais l’abandon de la démonstration du savoir institutionnalisé est déstabilisante pour les professeurs de mathématiques, au moins certains. Pour eux, cet abandon conduit à un éloignement des élèves de ce que sont vraiment les mathématiques et de la rigueur logique qui caractérise cette science. Ils craignent qu’un excès de recours aux « propriétés admises » rende encore plus obscure pour les élèves la nécessité de prouver leurs résultats de manière précise et logique : « si dans l’institutionnalisation on admet plein de trucs, comment peut-on encore demander à des élèves de faire des preuves ? »

*

143L’institutionnalisation peut être considérée comme un moment stratégique de l’activité professionnelle. D’une certaine façon elle en est le cœur puisque c’est là que se joue en fin de compte la mise en contact des élèves avec un savoir mathématique adapté à leurs possibilités et, dans la mesure du possible, l’appropriation qu’ils vont pouvoir en faire.

144L’activité des enseignants est donc à l’épreuve de l’institutionnalisation. Les dilemmes multiformes auxquels ils sont confrontés et qu’ils doivent trancher dans le cours quotidien de l’action réinterrogent en permanence tant leur propre rapport aux mathématiques que la façon de les enseigner.

145Ainsi, comment préciser et circonscrire la notion de proportionnalité ? Après avoir entendu Dominique donner sa définition de deux grandeurs proportionnelles, « deux grandeurs sont proportionnelles si quand on multiplie l’une d’elle par deux, trois, quatre, l’autre est aussi multipliée par deux, trois, quatre », Françoise l’a interrogée et en même temps s’est interrogée.

Françoise (p-3-st) : Toi tu donnerais ça comme définition, plus que : on passe de l’une à l’autre en multipliant ou en divisant ? Pour moi ce qui définit la proportionnalité, c’est que tu passes de l’une à l’autre des grandeurs en multipliant par un coefficient k, mais je ne le leur dirai pas comme ça. Mais ça veut dire après que si tu en doubles l’une, tu doubles l’autre. En fait on revient quand même aux propriétés de la multiplication. En effet k fois 2 fois x, c’est pareil que 2 fois k fois x. En fait c’est ça qui est sous-tendu. Pour moi c’est vraiment une conséquence de la proportionnalité.
Thérèse (p-6-2) : Oui mais à quel moment tu l’as construite comme ça la proportionnalité, toi ? En sixième tu n’avais peut-être pas la construction que tu dis.
Dominique (p-6-1) : Moi je mettrais les deux phrases. Je mettrais celle que je viens de dire et l’autre concernant le coefficient de proportionnalité. Pour l’autre ce serait, les deux grandeurs sont proportionnelles si on passe des valeurs de la première grandeur aux valeurs correspondantes de la deuxième en multipliant toujours par le même nombre, ce nombre s’appelle coefficient de proportionnalité. Quand on avait vu sur les vidéos les élèves travailler les exercices, on avait remarqué l’élève qui répondait correctement à la question de l’intervenante, « qu’est-ce que ça veut dire proportionnel ? » en disant, « si je roule deux fois plus vite, la distance parcourue est deux fois plus longue ».

146Cette controverse est intéressante car elle met en évidence un travail que l’enseignant doit faire sur les mathématiques elles-mêmes pour préciser et parfois modifier, voire se défaire, de ses points de vue sur les objets étudiés. Comme le dit clairement Dominique, pour circonscrire pleinement la proportionnalité, il y a besoin des deux phrases, celle qu’elle avait données auparavant et celle qu’elle énonce alors : « deux grandeurs sont proportionnelles si on passe des valeurs de la première grandeur aux valeurs correspondantes de la deuxième en multipliant toujours par le même nombre, ce nombre s’appelle coefficient de proportionnalité ». Le point de vue de Françoise c’est que celle-ci doit figurer comme définition tandis que l’autre n’en est qu’une conséquence qui n’a pas à figurer dans l’écrit de référence avec le même statut. Ce à quoi Thérèse rétorque qu’elle n’a eu accès à ce point de vue que bien après la classe de sixième au cours de ses études et Dominique se réfère aux séances de travail des élèves pour souligner que l’élève, qui s’était vraiment approprié la notion de grandeurs proportionnelles, s’appuyait sur la propriété multiplicative de la linéarité.

147Pour l’enseignement-apprentissage des fonctions linéaires et affines, on a retrouvé, et on relève ci-dessous, sous une autre forme, le travail que le professeur de mathématiques est amené à faire sur son propre savoir, construit tout au long de ses études, lorsqu’il doit choisir sa façon d’institutionnaliser les nouveaux objets mathématiques et les nouvelles opérations pour ses élèves.

148Au fur et à mesure que s’est déroulée l’activité dialogique dans le collectif, il est apparu que cette séquence d’enseignement-apprentissage ne cesse de provoquer doutes et interrogations chez les professeurs.

Brigitte (p-3-rar) : Avec les années d’expérience, il y a quand même des notions pour lesquelles je me sens au point. Des activités introductives, des façons de présenter les choses, que je sais bien faire fonctionner, je les ai déjà testées sur plusieurs classes. Donc en fait il y a certaines notions où tout ce travail de réflexion, il n’a même plus besoin d’être écrit. Il est dans ma tête, il est clair, il est net. Donc il n’y a pas de souci. Mais je me rends compte que, pour le thème des fonctions linéaires et affines, je patauge encore. Pour les fonctions en général tout le travail qu’on a fait dans le groupe m’a beaucoup aidé à clarifier les choses. Mais pour les fonctions linéaires et affines, ce n’est pas encore le cas. Par exemple j’ai du mal à savoir quel poids accorder aux exemples concrets, et puis comment on fait le lien entre les exemples concrets et l’étude des objets mathématiques pour eux-mêmes. Enfin ça n’est encore pas très clair.
Françoise (p-3-st) : Je pense que pour cette leçon-là je ressens un peu comme toi. Il y a des leçons pour lesquelles c’est bouclé dans ma tête, je sais que je vais faire comme ça. Celle-là tous les ans je la remets en chantier. Et tous les ans je prends la température de la classe au fur et à mesure pour savoir ce que je vais faire. Ce n’est pas clair dans ma tête comme pour d’autres chapitres, où je sais l’essentiel. Alors que là c’est encore très flou par exemple par rapport aux méthodes graphiques. Il y a des années où je suis allée jusqu’à leur faire tracer le graphe avec le coefficient directeur, et des années où je n’ai pas pu le faire du tout. Et cette année je me dis, avec la classe que j’ai, je ne sais pas encore comment je vais m’y prendre.
Brigitte (p-3-rar) : Autant les fonctions en général, avec le travail qu’on avait fait sur les séances de travail des élèves, maintenant je maîtrise.
Françoise (p-3-st) : Moi aussi je maîtrise. Mais les fonctions linéaires…
Dominique (p-6-1) : Disons qu’on a l’impression que le gros du travail a été fait, sur les fonctions.
Françoise (p-3-st) : Et on se dit que normalement ce sont les fonctions linéaires qui sont les plus faciles, mais je trouve qu’il y a énormément à faire. Il y a beaucoup de choses.

149Ce dialogue attire l’attention sur un paradoxe apparent, qui peut être désarçonnant pour un professeur de mathématiques. Avant d’enseigner, celui-ci conçoit les fonctions linéaires et affines comme les fonctions les plus simples. Il en déduit que ce sont celles qu’on s’approprie le plus facilement et il ne s’attend pas à rencontrer plus d’obstacles que d’ordinaire pour mener à bien son enseignement. Il lui faut du temps pour se souvenir que ces objets mathématiques sont en fait complexes, qu’ils rassemblent beaucoup de propriétés algébriques et graphiques, que leur lien avec la proportionnalité ne facilite pas leur appropriation et « qu’il y a énormément à faire ».

150Les fonctions linéaires et affines peuvent être approchées sous des formes diverses : expression algébrique, lien de proportionnalité entre les antécédents et les images, représentation graphique. Or la façon d’opérer sur les fonctions n’est pas la même suivant la forme choisie ou imposée par un problème. Les élèves ont donc à s’approprier des styles d’opération (numérique/graphique) et des méthodes de raisonnement différents pour le même objet mathématique, ce qui est compliqué et demande du temps. Il n’est pas immédiat de déceler que les élèves peinent à relier entre eux toutes ces diverses caractéristiques du même objet, comme on l’avait diagnostiqué à partir des séances de travail lors de la première phase de l’expérience. Le professeur, particulièrement le jeune professeur, ne réalise pas aisément à quel point il est nécessaire de faire travailler les élèves à la fois sur chacune des formes mais aussi sur les liens entre les différentes formes. Il n’est pas étonnant qu’à un moment ou à un autre il les « perdent en route [les élèves] » tout en cherchant à leur expliquer et que son dialogue avec eux devienne un dialogue de sourds. On avait constaté ce phénomène entre l’intervenante et les élèves au cours des séances de travail.

151Une phase durant laquelle les élèves ne sont pas en capacité de répliquer à la parole de leur enseignant, si ce n’est à voix haute, du moins dans leur tête, est un moment propice à l’agitation dans la classe. Ce qui fait qu’un enseignant peut imputer à l’inattention des élèves les obstacles qu’il rencontre pour atteindre, avec eux, les résultats qu’il attend. En d’autres termes, le problème de métier dont la source est à chercher dans le savoir risque d’être perçu comme s’inscrivant dans la problématique de la gestion de classe. D’autant que bien des discours mettent en avant cette problématique, et qu’il est plus facile, dans les quelques minutes de rencontre entre collègues en salle des professeurs, de parler de l’agitation et du manque de travail des élèves, qui sont d’ailleurs indéniables.

152Mais peut-on dans le cours quotidien de son travail de professeur prendre une mesure plus juste de ce qui conduit aux difficultés à surmonter ? Le contexte actuel ne facilite pas une telle démarche. Dans les préconisations institutionnelles pour le collège, qu’elles soient générales ou qu’elles émanent des hiérarchies proches, la question du savoir est trop souvent masquée par d’autres préoccupations, ou traitée dans des termes schématiques. Dans le même temps, est-il si facile de se désengager suffisamment des impératifs quotidiens pour mener à bien une analyse de sa propre activité, de ses enjeux et de ses dilemmes ? Tout porte à penser que non. Et, quand bien même le pourrait-on, il n’y a pas de vrais lieux, de vraies structures qui le permettraient. Ce qui existe au niveau de la formation continue ou de l’encadrement pédagogique proche est actuellement davantage tourné vers la diffusion des prescriptions officielles et des « bonnes pratiques » que vers la promotion de véritables débats entre pairs.

153Or, on peut penser qu’élèves et professeurs auraient tout à gagner si ces derniers avaient la possibilité réelle de s’extraire un moment de leurs classes pour se consacrer avec quelques collègues à démêler les possibilités d’action susceptibles de favoriser l’apprentissage de leurs élèves. Ce que se disent les professeurs de l’expérience qu’ils ont vécue dans leur collectif vient à l’appui de cette proposition. Toutes confirment ce que dit Brigitte : « les fonctions en général, avec le travail qu’on avait fait sur les séances de travail des élèves, maintenant je maîtrise ». Ces séances de travail ont en effet attiré leur attention sur les difficultés des élèves à s’approprier la signification des mots antécédents et images et le phénomène mathématique auxquels renvoient ces mots, ce que Françoise avait nommé « machine qui fabrique des nombres ».

154Les professeurs ont puisé dans les discussions provoquées par ces séances de nouveaux moyens pour mieux guider leurs élèves au cours de leur apprentissage. Certes la séquence portant sur les fonctions linéaires et affines n’a pas fini de les faire s’interroger, mais ils ont pu confronter, échanger dans une certaine mesure, leurs façons de procéder et leurs points de vue. Ils seront moins pris au dépourvu par les réactions de leurs élèves et surtout ils seront plus à l’aise pour trouver des réponses à leurs interrogations. Il est plus facile de se dire avec sérénité comme le fait Françoise que « cette année, avec la classe que j’ai, je ne sais pas encore comment je vais m’y prendre » quand on a réalisé avec ses collègues que « chaque année, on cherche comment faire ».

155Certes, quand ce travail collectif prend fin, personne ne prétend avoir fait une analyse achevée du moment d’institutionnalisation explicite dans le processus d’apprentissage des élèves. Ce n’est pas l’objectif de ce type d’expérience d’analyse développementale du travail, comme on a déjà eu l’occasion de le dire. Par contre les professeurs y ont acquis des ressources nouvelles pour se sortir au mieux d’empêchements qu’ils doivent surmonter d’une manière ou d’une autre au moment où ils envisagent de faire une institutionnalisation explicite.

Notes

1 Que ce soit dans les textes officiels ou dans les ressources institutionnelles proposées aux professeurs, on ne trouve rien qui se rapporte à cette question de métier. Mais pas seulement là. Ainsi la liste des thèmes retenus pour les colloques de la CORFEM (Commission inter-Irem de Recherche sur la Formation des Enseignants de Mathématiques) est un indicateur de cette réalité.

© Presses universitaires de Franche-Comté, 2019

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