Version classiqueVersion mobile

Des mots et des maths

 | 
Danielle Ruelland-Roger

Chapitre 2. La rencontre avec des travaux scientifiques

Texte intégral

1L’observation par les professeurs des dialogues réalisés au cours des séances de travail de l’intervenante avec les élèves a fait apparaître des réussites et des ratages dans l’appropriation de la signification adéquate des mots et écritures symboliques mathématiques. Cela a fait obstacle à la bonne résolution des exercices qu’il fallait traiter.

2Pour mieux comprendre le phénomène et surtout pour accroître le pouvoir d’agir des enseignants sur ces enjeux, il a semblé utile que ceux-ci prennent connaissance de démarches scientifiques traitant de ces questions et, plus précisément, de la place et du rôle des signes – mots et symboles – dans le développement d’une réflexion mathématique.

3On s’est, pour cela, tourné d’abord vers l’œuvre de l’épistémologue G. G. Granger qui a consacré une part importante de son activité scientifique à l’étude des mathématiques et à la fonction des signes, tout particulièrement les symboles, dans cette science. Mais il a semblé nécessaire, également, d’aborder deux autres aspects : la façon dont s’effectue leur appropriation et la place qu’ils prennent dans la formation d’une réflexion mathématique. Ce qui nous a conduit à la théorie du développement du psychologue L. Vygotski où la fonction du signe est centrale, ainsi qu’aux travaux du linguiste M. Bakhtine (1984) sur la structure dialogique du langage.

4Il s’est agi de puiser dans ces écrits scientifiques sans que cela exige un engagement trop important des professeurs participant à l’expérience. Dès lors ont été sélectionnés, par l’intervenante, des extraits assez courts mais susceptibles d’apporter des éclairages fondamentaux sur les phénomènes observés. Il a été possible de procéder ainsi en ce qui concerne l’épistémologie de G. G. Granger. Pour la théorie du développement de L. Vygotski et celle du langage de M. Bakhtine, nous avons finalement procédé différemment. D’une part nous avons choisi des extraits d’un ouvrage de J. Friedrich (2010) consacré aux travaux de L. Vygotski et d’autre part nous avons retenu des parties de la thèse de M. Bournel-Bosson (2005) où la chercheuse s’inspire tant du psychologue que du linguiste pour analyser le dialogisme.

5L’objectif n’a pas été, bien évidemment, d’engager le moins du monde les professeurs concernés dans des débats, voire même de simples échanges scientifiques. Il y a ici rencontre entre deux réalités d’ordre différent : d’un côté ce qui relève de la science, les concepts scientifiques et de l’autre ce qui relève de l’expérience, les concepts « quotidiens » qui sont en quelque sorte des références que se construisent les travailleurs et sont partie prenante de la psychologie pratique qui participe de l’action. Ces deux réalités se réfèrent à deux champs différents dont les finalités, les modes de fonctionnement, les contenus et les rôles ne sont pas de même nature. La question qui est posée est celle du rapport entre, d’une part, la connaissance comme objet et, d’autre part, l’action sur le terrain et le développement du métier.

6La confrontation aux textes scientifiques n’avait pas été prévue au départ de notre expérience. Elle s’est imposée comme ressource nécessaire afin de nourrir, entre professionnels, le dialogue engagé à partir de l’observation de ce que font les élèves dans le cadre qui leur a été proposé. Mais le choix a été fait de ne pas en faire un moment d’échanges organisés. Le but est de fournir aux participants un moyen de nourrir leurs analyses et d’ajuster leur action, à partir de ce qu’ils ont observé dans les dialogues des élèves, sans que cela devienne le centre de l’activité réflexive collective. Chacun des professeurs a donc lu ces textes, seul, quand il l’a voulu.

7Pour autant, comme on le verra, ces textes ont contribué à faire progresser la démarche tant de chacun que du collectif.

2.1. Du symbolisme mathématique et de ses modalités d’appropriation

2.1.1. La fonction du symbolisme dans les mathématiques

8Dans l’ample production de G. G. Granger a été sélectionné ce qui attire l’attention sur l’importance des signes, les mots mais surtout les symboles, pour la pensée scientifique et plus encore pour la pensée mathématique. Tout enseignant de mathématiques, comme tout mathématicien, sait que « l’expérience mathématique est, pour une part, travail sur les symboles » (Sinaceur, 1996, p. 313). Pourtant il semble que cette part incontournable du travail mathématique soit rarement évoquée dans le milieu professionnel, comme dans celui de la formation des enseignants, alors qu’elle est exigeante en termes d’apprentissage pour les élèves.

9Dans son livre Sciences et Réalité, G. G. Granger s’arrête sur ce qu’il appelle la « fonction de renvoi des symboles ». « Penser pour la science, c’est d’abord représenter l’expérience en symboles. Nous entendons par là des figures matérielles mais abstraites de leurs contenus sensibles, susceptibles de renvoyer à des objets ou à des activités. Ces figures sont donc abstraites en ce que le substrat sensible… est totalement ou partiellement neutralisé en tant que tel, au profit de sa fonction de renvoi… ». Il met en évidence ce qui caractérise les symboles dans la pensée scientifique. « Établir des fragments d’expérience sensible comme symboles, et discerner assez clairement les fragments d’expérience auxquels ils renvoient, c’est en cela que consiste d’abord, au sens le plus large et le plus vague, la pensée. Une pensée scientifique exige seulement plus d’abstraction dans la figuration des signes, et une précision plus contrôlée dans la désignation des objets et des actions signifiées » (Granger, 2001, p. 10).

10Dans un autre de ses ouvrages, G. G. Granger précise ce qui distingue cette fonction de renvoi, d’une part dans le langage naturel et, d’autre part, dans le langage scientifique. « Pour les systèmes symboliques généraux [dont le langage naturel. Ndlr], le renvoi au vécu est fonctionnellement essentiel : D’une manière ou d’une autre le symbolisme est fait pour communiquer et la pratique courante de la communication conduit assurément à une désignation de vécus individuels… La nature des systèmes formels [scientifiques. Ndlr]… consiste en une structuration explicite du système, en la fixation rigoureuse des renvois (grâce à la distinction des aspects pertinents et à l’énumération exhaustive du lexique), ce qui rend possible une concentration du travail symbolique sur la manipulation des signes… Le sens, à l’intérieur d’un tel système, n’est plus essentiellement constitué que par des renvois entre signes, puisque les relations elles-mêmes sont alors introduites comme complexes de signes [et nullement extraites du vécu. Ndlr] » (2003, p. 113). L’épistémologue attire ici l’attention sur la spécificité du mode de renvoi des symboles des systèmes formels comme les mathématiques.

11Mais quels rapports entretiennent avec le monde les systèmes symboliques « du double point de vue des langues naturelles et des systèmes formels artificiellement construits en vue d’exprimer divers types de connaissance. Il semble que l’on puisse distinguer à cet effet trois modes, ou si l’on veut trois degrés, que je désignerai, plus ou moins arbitrairement, par les mots définir, décrire, montrer… Je les prendrai dans un ordre allant, pour ainsi dire, du plus concret au plus abstrait, du contact le plus direct et de la moindre charge proprement symbolique au renvoi le plus médiatisé.

12Montrer constitue sans doute la modalité la plus immédiate du renvoi. Toutefois j’ai pris la précaution de parler de renvoi des symbolismes à un monde, et non pas, de façon plus déterminée et plus restrictive, au monde, c’est-à-dire au monde présent, le plus directement éprouvé et construit à partir de l’expérience sensible…

13Décrire c’est rendre présent, en signalant des propriétés, mot qui doit être pris au sens de caractères propres, attaché par un lien étroit, sinon exclusif, à ce qui est décrit.

14Définir, en effet, est le degré le plus abstrait du rapport d’un système de symboles à ses renvois à un monde. C’est l’acte par excellence de renvoi pour les systèmes formels… En mathématiques, définir un objet consiste bien essentiellement à l’introduire explicitement dans un système opératoire, que ce soit en donnant une procédure de construction, ou que ce soit en formulant des énoncés et des règles où entre le nom de l’objet à définir… » (2003, pp. 193-195).

15En pensant l’objet mathématique comme nécessairement partie prenante d’un système construit pour et par des opérations, Granger précise d’où vient la structuration explicite des mathématiques, et comment elle se présente. Il remarque alors que ce qu’il appelle « la voie de la représentation » du langage mathématique diffère de celle des langues ordinaires. En même temps, il ne conçoit pas la première comme isolable de manière étanche de la seconde.

« La distinction que nous avons proposée de trois formes principales, quoique plus ou moins étroitement enchevêtrées, particulièrement dans les langues naturelles, aura permis peut-être de mieux saisir la profonde divergence des deux voies de la représentation. L’une, celle des langues ordinaires, est orientée d’abord vers la communication d’une expérience actuelle, et c’est en maintenant les caractères du concret qu’elle parvient à la représentation du fictif, du virtuel, de l’imaginaire. L’autre est ordonnée d’emblée à la formulation du générique et du virtuel, à la présentation et à la création de formes plutôt qu’à la représentation de contenus. Mais l’une est inséparable de l’autre, à laquelle elle est pourtant irréductible » (2003, p. 204).

2.1.2. Les signes (symboles et mots) moyens d’influence du sujet humain sur lui-même

16Ce système de symboles et de mots qui renvoie à des objets mathématiques objectivement et non subjectivement définis (1979, p. 12), quelle place va-t-il occuper, quel rôle et selon quels processus peut-il jouer dans le développement de la pensée des élèves ? La psychologie historico-culturelle de L. Vygotski permet de saisir sa fonction centrale.

17Dans son ouvrage Lev Vigotski : médiation, apprentissage et développement J. Friedrich (2010) présente la spécificité de l’analyse vygotskienne du développement du sujet humain. Elle insiste sur le fait que, selon lui, il est primordial d’analyser « les instruments ayant comme but de maîtriser et de développer les processus psychiques ». Ce qui conduit à s’intéresser à « l’usage que l’homme fait de ses propres processus naturels et les moyens qu’il utilise et qu’il crée pour accomplir ce but ». J. Friedrich précise : « c’est cette logique d’intervention qui caractérise la psychologie de L. Vygotski et détermine ses questions de recherche : de quelle manière, avec quels moyens l’homme se sert-il des propriétés de son tissu cérébral et contrôle-t-il les processus psychiques que ce dernier produit ?… C’est la maîtrise artificielle des phénomènes psychiques naturels produite et réalisée par l’homme à l’aide d’instruments psychologiques qui se trouve au centre de ses préoccupations et c’est aussi cette maîtrise qui fait, selon lui, l’essence du processus de développement » (2010, p. 65-66).

18Lorsque L. Vygotski analyse les processus de ce développement il distingue l’outil et le signe en tant qu’instruments psychologiques : « L’outil sert de guide à l’homme dans des actions sur l’objet de son activité [c’est-à-dire sur ce que l’activité transforme Ndlr]… Le signe, lui, est un moyen d’action psychologique sur le comportement – le sien propre ou celui d’autrui » (Vygotski, 2014, p. 207). « Cette précision est très importante car elle rend compte du fait que l’instrument psychologique [le signe. Ndlr] est orienté vers les processus psychiques du sujet spontanément déployés dans un premier temps pour résoudre la tâche. Ce sont ces processus qui sont visés par l’introduction [par Vygotski dans sa psychologie] de l’instrument psychologique qui a pour fonction de mieux faire dérouler les phénomènes psychiques nécessaires pour réaliser la tâche. Cet instrument est un moyen d’influence du sujet sur lui-même, un moyen d’autorégulation et d’autocontrôle » (Friedrich, 2010, pp. 58-59).

19Ces processus aboutissent à l’installation et au développement de fonctions psychiques supérieures telle, entre autres, la faculté de raisonner abstraitement, c’est-à-dire d’accéder à ce que G. G. Granger, pour sa part, désigne comme des systèmes formels de renvois au monde mathématique.

20Plus précisément, pour L. Vygotski, chez l’individu, « le processus de formation des concepts implique en tant qu’élément fondamental et central que l’on maîtrise le cours de ses propres processus psychiques grâce à l’emploi fonctionnel… du signe » (Vygotski, 1934-1997, pp. 207-209). Le signe, pour ce qui nous préoccupe symbole et mot mathématiques, va donc être l’instrument de structuration et de développement d’une réflexion mathématique par les élèves.

2.1.3. Pensée, langage, dialogues

21L. Vygotski associe signe et mot dans sa réflexion sur le développement de la pensée conceptuelle. Dans Pensée et langage (1934-1997) il analyse en détail comment, pour leur part, le langage, les mots, influent sur la pensée, la modifient.

22Il bouscule quelque peu ce que l’on conçoit communément comme articulation entre les deux dimensions. Pour lui, le langage n’exprime pas directement « une pensée toute prête. En se transformant en langage, la pensée se réorganise et se modifie » (pp. 430-431). S’appuyant sur divers travaux scientifiques, les siens propres et ceux d’autres psychologues, il met en évidence le mouvement intérieur qui va « du mobile qui donne naissance à la pensée, à la mise en forme de cette pensée elle-même, à sa médiatisation dans les mots du langage intérieur, puis dans les significations de mots du langage extériorisé et enfin dans les paroles » (p. 496). Il précise les caractéristiques de la « médiatisation dans les mots du dialogue intérieur » en ces termes, « tout mot utilisé dans le langage intérieur prend peu à peu d’autres colorations, d’autres nuances de sens, qui en se développant et en s’additionnant finissent par se transformer en une nouvelle signification du mot » (pp. 486-487).

23Dans sa thèse, M. Bournel-Bosson (2005) reprend à son compte le refus fondamental de L. Vygotski de considérer le langage comme un simple véhicule servant de moyen inerte pour la pensée. Elle explore ce qu’elle appelle « la centralité du langage intérieur dans le rapport de la pensée au mot ». Elle s’intéresse plus particulièrement au mouvement intérieur transformateur de la signification des mots et des signes que L. Vygotski nomme le drame vivant de la pensée verbale, vif conflit psychique, tel par exemple celui que vit l’écolier lorsqu’il doit renoncer à une arithmétique naturelle pour passer à l’arithmétique de l’adulte (Vygotski, 2014, p. 64).

24Ici la dimension sociale est essentielle. M. Bournel-Bosson s’appuie sur la richesse de la pensée développée par M. Bakhtine « sur la vie des mots » (1984). Pour lui, nous dit-elle « nous vivons dans l’univers des mots d’autrui, notre parole en est remplie ». Ce qui rend nécessaire un « effort incessant déployé par les hommes, tout au long de leur vie pour se diriger dans cet univers autre et y réagir » (Bournel-Bosson, p. 77-78) : « Ces mots d’autrui introduisent leur propre expression, leur tonalité, des valeurs, que nous assimilons, retravaillons, infléchissons » (Bakhtine, 1984, p. 296). Il s’agit là d’un phénomène de « suture qui s’opère du discours extérieur au discours intérieur » (Peytard, 1995, p. 38).

25Cette psychologue s’intéresse tout particulièrement au langage intérieur terme auquel elle préfère celui de « dialogue intérieur » qui, pour elle, renvoie avec plus de précision à sa fonction dans le processus de développement de la pensée. « C’est au dialogue intérieur que revient cette fonction d’intégration transformatrice. Le mot de l’autre entre en contact avec le mot intérieur et la réplique s’établit dans cet écart. En effet celui qui appréhende l’énonciation d’autrui n’est pas un être muet, privé de la parole, c’est au contraire un être rempli de paroles intérieures. Dans la parole intérieure est « encodée » l’expérience du sujet. C’est sous cette forme qu’elle arrive au contact du discours venu de l’extérieur. Le dialogue intérieur est donc indissociable du dialogue avec autrui, il en est même une condition » (Bournel-Bosson p. 77-78).

26La rencontre avec les mots d’autrui se produit dans l’espace des mots intérieurs engendrant des mots que Bakhtine appelle mots bi-vocaux. « Les mots bi-vocaux contiennent « une référence voulue à un mot d’autrui ». Même lorsque le locuteur utilise le mot d’autrui à des fins personnelles « en le dotant d’une nouvelle orientation interprétative », ce mot possède toujours son orientation propre, il ne la perd pas ; il continue à être perçu comme mot d’autrui. ». Dans le mot bi-vocal, « le mot d’autrui se transforme en mien-étranger (ou en étranger-mien) » (p. 80).

27M. Bournel-Bosson attire l’attention sur les aléas de ce processus. « Ces interpénétrations des significations dans le mot, aboutissant à la réalisation par le locuteur de ses pensées propres dans les mots d’autrui, n’a rien d’automatique… »« Le langage n’est pas un milieu neutre. Il ne devient pas aisément la propriété du locuteur. Il est peuplé et surpeuplé d’intentions étrangères. Les dominer, les soumettre à ses intentions et accents, c’est un processus ardu et complexe » (Bakhtine, 1984, p. 115 cité par Bournel-Bosson p. 80). « Le dialogue intérieur chez Bakhtine n’est pas une copie du dialogue extérieur, une intériorisation. Il est source de développement. La richesse du dialogue intérieur ne résulte pas, directement, d’un progrès du dialogue extérieur mais de la possibilité de s’en affranchir, de le faire sien » (p. 87).

28Certes cette psychologue n’explore pas dans sa thèse le développement des fonctions psychiques supérieures des élèves, c’est-à-dire celles que l’école a pour mission de développer. Mais son analyse du processus de développement de la « pensée verbale » vaut pour tout être humain et donc pour tout élève.

2.2. Les professeurs face aux textes des scientifiques

29Chez les enseignants, la confrontation aux textes scientifiques proposés est marquée par une certaine ambiguïté. D’un côté se manifeste la sensation d’être plongé dans un univers étrange et étranger, à l’utilité pas toujours évidente. Mais, d’un autre côté apparaît un sentiment plus ou moins diffus d’écho avec les notions et les concepts présentés.

30L’équilibre entre ces deux dimensions est différent selon les domaines abordés. Les textes psychologiques sont ressentis comme plus accessibles. Mais une certaine réticence se manifeste vis-à-vis des textes de G. G. Granger.

2.2.1. La confrontation aux textes de l’épistémologue G. G. Granger

31La lecture des textes de cet épistémologue des mathématiques a, en effet, été difficile pour les professeurs. C’est ce qu’ils expriment, avec une certaine vivacité, lorsque l’intervenante leur demande quel effet leur fait leur contenu. Comme le dit Dominique « Tu nous plonges dans un univers de signes illisibles » tandis que surenchérit Thérèse « C’est vrai. On est plongé dans un univers de signes et de mots, comme les élèves, un petit peu. On se demande à quoi ça sert ! »

32Ces réactions révèlent la différence entre l’expérience mathématique des praticiens quels qu’ils soient, mathématiciens chercheurs, professeurs, étudiants, et l’expérience de pensée des philosophes des mathématiques. Il s’ensuit un malaise allant parfois jusqu’au sentiment de culpabilité, comme le dit une des enseignantes : « Eh bien voilà, il y a des gens qui sont des scientifiques et théoriciens, enfin des gens qui écrivent sur ce qu’on est censé comprendre aussi, puisque c’est sur les mathématiques. Eh bien non. On n’est pas au niveau puisqu’on ne comprend pas. » Cette différence de rapport aux mathématiques a fait que la « suture » entre les mots de G. G. Granger et le dialogue intérieur des professeurs ne s’est pas spontanément réalisée, ce qu’une autre enseignante a expliqué ainsi : « et puis il y a aussi qu’on sait se confronter à des idées mathématiques et à des idées sur le concret, mais à des idées tout court je n’ai pas cette habitude. Mais après, il faudrait les relire, il faudrait aussi repréciser le contexte et du coup je pense que je n’aurais pas la même approche ».

33Effectivement « le contexte » d’écriture de ces textes épistémologiques joue un grand rôle. Non seulement il s’agit d’une expérience des mathématiques autre que celle des mathématiciens, mais plus encore, bien différente de celle des enseignants dont le rapport aux mathématiques est étroitement relié à l’activité professionnelle. Les professeurs ne voient pas ce que ces textes viennent faire : « On n’a pas vu de lien avec ce qu’on faisait. Au départ de la lecture, on n’a pas de fil conducteur pour s’accrocher. On ne peut pas s’en emparer… ces textes servent à rien. »

34Mais, dans le même temps, les conclusions auxquelles parvient G.G. Granger à propos de la fonction du symbolisme mathématique sont ressenties par les professeurs comme allant de soi, tant tout praticien des mathématiques a fait l’expérience que son activité mathématique s’effectue dans un milieu propre au travail mathématique que J. Cavaillès appelle “espace combinatoire” (cité par Cassou-Noguès, 2001). Quel mathématicien n’est pas familier du « rôle des signes dans le travail mathématique » et du fait que sa pensée « s’appuie sur une combinaison de signes » (p. 12) ? Il sait que le “point” et la “proposition” – qui ont bien entendu des références intuitives – « sont en réalité des symboles renvoyant aux règles de combinaison qu’explicitent les axiomatiques » (Granger, 2003, p. 120). Paradoxalement, ce sentiment d’évidence paraît avoir contribué à rendre les propositions épistémologiques de G. G. Granger peu audibles pour les professeurs et sans lien avec leurs préoccupations. Les mots employés par l’épistémologue ne leur parlent pas, ne les affectent pas. Mais ce qu’il dit est intuitivement ressenti. À quoi bon alors se donner la peine, au risque de trop prendre sur un temps déjà rare, de démêler dans le détail les termes et les notions.

  • 1 Cette citation est extraite du paragraphe suivant : « Pour la didactique des mathématiques aujourd’ (...)

35Un autre phénomène semble avoir joué de manière convergente. Il contribue, pour sa part, à démunir les enseignants des ressources nécessaires pour se confronter à des analyses épistémologiques. Lorsqu’on porte un regard sur les instructions et les préconisations ou recommandations destinées aux enseignants ces dernières années, on constate que l’on ne traite pas, et, davantage, que l’on ne parle même pas de cette caractéristique qu’ont les mathématiques d’être un système d’objets formels. On fait comme si cela ne concernait pas les élèves, ni par conséquent leurs enseignants. Dans de nombreux ouvrages destinés aux professeurs et à leurs formateurs, la tendance est de présenter les mathématiques comme « une connaissance issue de l’expérience des situations dans lesquelles on a besoin de mesurer, de combiner et dé-combiner des mesures, d’identifier des figures et d’analyser leurs propriétés, de repérer des positions et des changements de position…1 » (Vergnaud, 2001-2002, p. 121). On insiste sur ce que G. G. Granger appelle les « références intuitives », qui sont certes des points d’appui utiles à la résolution des problèmes, mais qui ne suffisent pas. Car sans appropriation des règles de combinaison entre des symboles, qui peuvent être tout simplement les nombres ou les figures géométriques élémentaires, il est impossible de résoudre exercices et problèmes.

2.2.2. La confrontation aux textes de psychologie

36Pour leur part, les textes des psychologues font l’objet d’un meilleur accueil. Il est vrai que la confrontation à ces textes s’est effectuée d’une autre manière. L’analyse des dialogues des élèves avait alerté au sujet de ce qui se joue dans la pensée verbale, celle qui se réalise et se transforme par le langage. Du coup, comme le dit une des enseignantes : « on peut articuler les textes avec ce qu’on fait, ça fait plus écho sur le réel de ce qu’on fait tout le temps ».

  • 2 C’est en tant que membre du groupe « métier » de l’IREM de Besançon qu’elles ont animé un atelier a (...)

37Pour tenter de préciser comment se produit un tel écho entre les textes des psychologues et la vie professionnelle, nous nous appuierons sur ce que certaines enseignantes du collectif ont présenté à des collègues lors des Journées Nationales de l’APMEP qui se sont déroulées au moment où s’achevaient les deux premières phases de l’expérience2. Comme on peut le constater c’est sur la place de l’activité dialogique inter et intra individuelle et le rôle des mots et des symboles dans le développement de la pensée que la lecture des textes psychologiques a le plus apporté.

38L’une des professeurs insiste sur la « nouvelle connaissance » qu’elle a acquise « celle de savoir que, quand je fais cours, quand je m’adresse au groupe classe, les élèves nouent, à l’intérieur de leur tête des liens de signification, de sens, à l’aide des dialogues des autres, avec moi. » Puis elle ajoute : « Du côté du métier, ces dialogues sont aussi pour moi des nouvelles données : c’est une fenêtre ouverte sur des fonctionnements des élèves, sans bien sûr tout dire sur ces fonctionnements. Et puis, ces dialogues me le montrent : le temps d’appropriation des connaissances est très différent de celui que j’imagine. »

39L’affirmation : « j’ai une nouvelle connaissance » se réfère à ce que les textes des psychologues ont apporté à cette professeure comme ressources pour comprendre ce qu’il s’était passé au cours de la séance de travail de ses élèves, qui l’avait tant affectée lorsqu’elle en avait regardé la vidéo : la possibilité de percevoir différemment les cheminements réels des élèves et leurs rythmes, l’importance décisive de l’activité dialogique entre élèves ou avec le professeur et celle du dialogue intérieur qui permet de faire les « liens de signification » nécessaires à la réflexion mathématique.

40Cependant le rapport aux éléments de psychologie proposés est diversifié. Une autre enseignante, quant à elle, cadre différemment sa présentation. Elle fait part des consignes nouvelles qu’à la suite de l’expérience, elle se donne à elle-même pour la séquence d’enseignement sur les fonctions linéaires : « Toujours préciser et écrire les mots images et antécédents dans les différentes formes de définition d’une fonction, qu’elle soit donnée sous forme de “flèche", de tableau de valeurs ou de représentation graphique. Insister plus sur le lien qui existe entre image et antécédent dans la situation de fonction linéaire, le rattacher plus clairement à la notion de proportionnalité et au mot multiplier pour passer de l’un à l’autre. » Si elle insiste bien sur le rôle des mots et des symboles dans la saisie par les élèves de ce que sont les fonctions linéaires, elle ne mentionne pas explicitement, comme l’a fait l’autre enseignante à propos du dialogue intérieur, que les mots qui s’échangent dans le dialogue de la classe orientent la pensée des élèves vers une connaissance plus correcte des objets mathématiques nouveaux. Peut-être est-ce parce que cette thèse, exposée par J. Friedrich, garde alors pour elle une étrangeté difficile à apprivoiser ? Ou est-ce plus simplement parce qu’elle ne voit pas ce que ses collègues pourraient en faire dans leur pratique quotidienne ? Sans doute tout cela à la fois.

2.2.3. Analyses savantes et expérience professionnelle : un phénomène de résonance

41Un constat peut être fait au vu de ce qui est exposé ci-dessus. C’est au prisme de leur expérience professionnelle, et non en elles-mêmes, que les professeurs perçoivent les propositions savantes qui leur sont présentées, aussi bien celles qui relèvent de l’épistémologie que de la psychologie. Pour autant la sensation d’évidence ressentie vis-à-vis de la fonction du symbolisme mathématique ou celle d’utilité des analyses des psychologues n’épuisent pas les rapports qui s’établissent entre les professeurs et les notions exposées dans ces textes. Un examen plus poussé des données dont nous disposons fait apparaître un phénomène plus fondamental et qui concerne autant les données épistémologiques que psychologiques.

  • 3 Ces cours ont fourni la matière originelle aux séances de dialogue entre les élèves et l’intervenan (...)

42Deux cours filmés dans les classes de troisième permettent de saisir ce phénomène3. Ce que l’on constate c’est que tout s’y passe comme si s’établissait une sorte de résonance entre, d’un côté, les façons qu’ont les enseignants, de solliciter et de soutenir les efforts des élèves pour préciser et corriger leurs mots et, de l’autre côté, les propositions théoriques épistémologiques et psychologiques évoquées plus haut. Cette résonance peut, comme on le verra ci-dessous, jouer dans plusieurs enjeux du processus d’apprentissage.

43Avant de les examiner il faut préciser brièvement la forme choisie pour cette séance par l’une et l’autre des professeures. En dépit des différences, on relève quelque chose de commun dans leur choix. Elles ont, l’une et l’autre, conçu cette première heure de cours de la séquence consacrée aux fonctions linéaires et affines, avec l’objectif de plonger les élèves dans une « situation d’action qui permette de donner du sens aux concepts mathématiques enseignés » (Perrin, 1997, p. 49).

44La « situation d’action » adoptée par l’une conduit les élèves à calculer le volume d’eau contenu dans divers prismes en fonction des valeurs de la hauteur d’eau versée et à construire ainsi des tableaux de proportionnalité associés à chacun des prismes. Les élèves doivent remarquer que pour un même prisme le rapport de la hauteur d’eau au volume est constant, et que ce rapport change d’un prisme à l’autre. Par l’intermédiaire de ce dispositif expérimental, ils sont confrontés à des fonctions linéaires et au rapport de proportionnalité entre variable indépendante et variable dépendante qu’elles établissent.

45Pour l’autre enseignante, il s’est agi d’étudier la longueur, puis l’allongement d’un ressort soumis à une masse variable. Les données du problème posé à la classe ont consisté en deux tableaux à deux lignes, le premier correspondant au rapport masse/longueur et le deuxième au rapport masse/allongement. La 1re ligne de chaque tableau correspondait aux valeurs numériques de la masse et la deuxième à celle soit de la longueur, soit de l’allongement. Le 1er tableau a été donné rempli avec quelques valeurs pour la masse et les valeurs correspondantes pour la longueur du ressort. Le 2e était à remplir en soustrayant, pour chaque valeur de la masse, la longueur du ressort au repos à la longueur totale du ressort. Les élèves devaient conjecturer que, pour chacun des tableaux, les points du graphique associé étaient alignés et que lorsqu’on s’intéressait au tableau concernant les allongements, la droite qui portait les points du graphique passait par l’origine du repère. Ce faisant, ils étaient confrontés à la spécificité des fonctions linéaires et affines pour lesquelles le rapport de dépendance entre les variables fait intervenir un rapport de proportionnalité.

46Ce que les enseignants attendent le plus souvent de la situation d’action par laquelle ils démarrent une séquence d’enseignement-apprentissage, c’est qu’elle aide leurs élèves à « donner du sens » aux objets de savoir qu’ils précisent par la suite. Nous reprenons ici la formule en usage dans le milieu professionnel de l’enseignement des mathématiques. Peut-être pourrait-on dire autrement : donner consistance au nouveau « monde » mathématique que les élèves vont devoir s’approprier.

47Quoi qu’il en soit, lorsqu’on s’arrête sur les paroles échangées dans la classe lors d’une telle séance de démarrage, on s’aperçoit qu’il s’y passe bien autre chose : y joue pleinement, sous plusieurs angles, la résonance entre pratiques professionnelles et analyses scientifiques épistémologiques comme psychologiques. Quatre points retiendront particulièrement notre intérêt.

2.2.3.1. L’attention portée à la structure de l’objet mathématique

48Si l’on s’intéresse au contenu mathématique des paroles qui s’échangent entre professeur et élèves, on relève déjà que, lors de cette première séance sur les fonctions linéaires et affines, les enseignantes ont le souci d’aider les élèves à relier correctement et précisément les divers éléments qui constituent les nouveaux objets de savoir.

49Nous avons examiné de ce point de vue le dialogue entre les élèves et l’enseignante de classe de troisième qui démarre sa séquence d’apprentissage par le travail sur le rapport entre la hauteur d’eau dans un prisme et le volume correspondant.

50Les éléments qui constituent cet objet de pensée qu’est la « fonction linéaire », sont les variables, qui se différencient en deux types, la variable indépendante et la variable fonction de la variable indépendante. Ce qui relie ces deux variables, c’est l’opération qui permet de calculer la valeur que prend la deuxième quand on choisit une valeur de la première. Cette opération est une multiplication par un nombre réel constant. C’est cela que l’enseignante a en vue dans l’orientation qu’elle donne aux échanges entre elle et ses élèves.

L’enseignante : Alors le volume ? Quand x varie, qu’est-ce qu’il fait le volume ?
Un élève : Il augmente ou il diminue.
L’enseignante : Alors soit il augmente, soit il diminue, il varie, voilà. Alors s’il varie, il varie en fonction de quoi ?

51Et un peu plus tard,

L’enseignante : Eh bien parce que, qu’est-ce qu’elles font quand on leur donne un nombre ? Celle-là, elle le multiplie par 6, toujours. Celle-là, quand on lui donne un nombre, qu’est-ce qu’elle lui fait ? Elle le multiplie par…
Un élève : Par 16.
L’enseignante : Par 16, toujours. Celle-là quand on lui donne un nombre… Celle-là quand on lui donne un nombre, elle le multiplie par…
Un élève : π de x.
L’enseignante : Non pas π de x.
Des élèves : π.
L’enseignante : Quand on lui donne un nombre x, elle le multiplie, elle fait x fois π… Quand on leur donne un nombre, elles le multiplient par un nombre fixe ; fois 6 pour la fonction v…

52La première séance d’une séquence d’enseignement-apprentissage n’est pas l’aboutissement du travail de l’enseignant concernant cet apprentissage. Au cours de cette première séance, on ne peut pas attendre autre chose que l’amorce du déplacement de la pensée des élèves vers l’objet nouveau et sa structure. Si l’on reprend la distinction que fait G.G. Granger entre décrire et définir, on peut faire l’hypothèse qu’il s’agit à ce moment-là, pour le professeur, davantage de décrire que de définir, c’est-à-dire selon cet épistémologue, de procéder à un « début d’insertion de l’objet décrit dans un système opératoire qui en prépare la manipulation formelle » (2003, p. 193). Les séances qui suivent permettent d’instituer plus précisément dans la classe les caractéristiques de l’objet en apprentissage et des opérations qui lui sont liées.

2.2.3.2. Le souci que les élèves s’approprient correctement la signification des mots

53Si l’on s’arrête maintenant sur quelques passages d’un échange dialogique d’une des classes, ce qui frappe c’est le souci qu’a l’enseignante que les mots jouent correctement et pleinement leur rôle pour l’apprentissage des élèves. Un tel souci fait résonance avec l’énoncé de L. Vygotski sur ce point : « Ignorer le rôle du mot, le rôle du signe dans la formation des concepts [conduit] à une simplification extrême du processus d’abstraction lui-même car on en exclut le rapport spécifique, caractéristique justement de la formation des concepts, c’est-à-dire le rapport avec le mot, qui est la marque distinctive centrale du processus dans son ensemble. » (1997, p. 191).

54Ici, il s’agit pour l’enseignante de faire en sorte que les élèves affrontent le mot variable, en s’en appropriant la signification et en même temps en l’associant au symbole x indispensable pour l’écriture symbolique d’une fonction. Dans un premier temps, l’objectif est d’établir les termes et les données avec précision.

L’enseignante : Alors vous avez vu que dans le tableau, je n’ai pas mis beaucoup de valeurs, 1 cm, 3 cm, 0,7. Mais si je fais ça (elle verse de l’eau dans le prisme) qu’est-ce qu’elle fait la hauteur d’eau ?
Élève 1 : Elle augmente.
L’enseignante : Elle augmente.
Élève 2 : Elle prend du volume.
L’enseignante : Elle prend du volume, donc la hauteur d’eau, qu’est-ce qu’elle fait ? Vous me dites, elle augmente. Qu’est-ce qu’on peut dire aussi comme…?

Élève 5 : Le volume grandit.
L’enseignante : Le volume grandit. (Elle vide un peu) Et puis là qu’est-ce qu’elle fait la hauteur d’eau ?
Des élèves : Elle diminue.
L’enseignante : Alors soit elle monte, soit elle diminue. Quel est le mot en français pour dire, elle peut augmenter ? (Elle fait de son bras le geste de monter, descendre)
Des élèves : Elle varie.
L’enseignante : Voilà. Comme elle varie, on va appeler x cette hauteur d’eau. Bien on appelle x la hauteur d’eau. Donc en effet la hauteur d’eau, comme ce n’est pas toujours la même, que je peux la faire monter, ou la faire diminuer, donc elle varie. Pour dire qu’elle varie, il faut que je donne une lettre qui représente un nombre, mais pas un nombre fixe. Donc je l’ai appelée x, comme d’habitude.

55Puis, dans le dialogue ci-dessous, ce qui mobilise la professeure, c’est que le sens que les élèves donnent aux mots et aux symboles soit conforme à leur signification dans le champ mathématique, autrement dit que les élèves puissent les faire fonctionner correctement dans leur pensée.

1. L’enseignante : Alors on va exprimer en fonction de x le volume d’eau contenu dans ce solide. Alors qu’est-ce que tu proposes ? (Elle interpelle une élève)
2. L’élève interpellée : 3 fois 4 sur 2x.
3.
4. L’enseignante : Alors le volume ? Quand x varie, qu’est-ce qu’il fait le volume ?
5. Un élève : Il augmente ou il diminue.
6. L’enseignante : Alors soit il augmente, soit il diminue, il varie, voilà. Alors s’il varie, il varie en fonction de quoi ?
7. Un élève : De x. Si x est grand, le volume…
8. L’enseignante : Si x est grand, le volume, il sera…
9. L’élève : Grand.
10. Un élève : C’est proportionnel.
11. L’enseignante : Et il varie de façon proportionnelle. Alors comme le volume varie en fonction de x, on peut l’appeler comment ? Avec quelle lettre ? Le volume ?
12. Des élèves : x, v.
13. L’enseignante : Alors comment on peut noter ça : v ?
14. Un élève : v(x)
15. L’enseignante : v(x), comme on avait fait pour les fonctions. Le volume, il dépend de x. Alors v(x) égale (elle écrit v(x) =) et puis après on le fera avec la flèche.
16. Un élève : 6x
17. L’enseignante : (Elle écrit v(x) = 6x). En effet on peut l’écrire, v deux points avec la flèche (Elle écrit v : x →). Quand on lui donne x.
18. Un élève : Elle fait fois 6.
19. L’enseignante : Elle fait fois 6, donc (elle achève le schéma v : x → 6x). Voilà les deux notations qu’on peut avoir pour exprimer le volume en fonction de x.
20. Un élève : Madame, mais v avec x, ça veut dire quoi ? v fois x ?
21. L’enseignante : Ça ne veut pas dire qu’on fait v fois x, ça veut dire que, quand on veut calculer le volume en fonction de x, on va faire 6 fois x. Alors dans le tableau, (elle interpelle un élève) pour x égale 1, on va trouver combien ?
22. L’élève interpellé : 6.
23.
24. L’enseignante : Alors comment on peut exprimer ça avec ces notations-là ? (Elle montre v(x) = 6x, v : x → 6x) v de 1 égale 6. On peut écrire ça comme ça ? (Elle écrit v (1) = 6). Si on prend une autre colonne du tableau (elle montre le tableau à 2 lignes, hauteur/volume puis s’adresse à un élève) D. choisis d’autres colonnes du tableau. Pour x égale…
25. L’enseignante : D.?
26. L’enseignante : Oui alors, comment ça peut s’écrire ? Comment ça s’écrit ?
27. D. : v de x (Puis inaudible).
28. L’enseignante : (Elle a écrit v ()) Est-ce que c’est v de x ?
29. D. : Ah non, v de 0,5.
30. L’enseignante : Oui, v de 0,5 (Elle complète au tableau v (0,5)).
31. D. : Égale 3.
32. L’enseignante : Égale (Elle complète au tableau v (0,5) =3)
Elle poursuit en faisant calculer v (10).

56Ce qui est en jeu ci-dessus, c’est l’appropriation par les élèves de la signification de l’expression varie en fonction de. La professeure l’introduit en 1, elle la reprend en 11, elle l’associe au symbole v(x). Ce n’est pas nouveau pour les élèves car ils ont déjà été confrontés à ces mots et à ce symbole lors de la séquence d’apprentissage sur les fonctions en général. Mais elle insiste car elle sait d’expérience que l’appropriation de cette expression et de ce symbole par les élèves demande du temps. En 20, en effet, on constate qu’il reste encore de l’incertitude chez certains élèves à propos du symbole v(x). En 24, 26, 28, 30, 32, elle sollicite les élèves pour exprimer le rapport constaté entre la hauteur et le volume à l’aide de l’écriture symbolique des fonctions. En 24, elle leur demande : « Alors comment on peut exprimer ça avec ces notations-là ? »

57La même préoccupation que les élèves s’approprient la signification des mots apparaît dans la transcription du dialogue qui s’est déroulé dans le cours de sa collègue.

1. L’enseignante : Derrière tout ça il y a des fonctions. Et il y a dans le texte une phrase où on vous demande, est-ce qu’on peut trouver les fonctions qui sont derrière tout ça ?
2. Une élève : Elle est où la phrase ?
3. L’enseignante : La phrase, c’est : peux-tu exprimer l’allongement a en fonction de la masse m ?…
4. Un élève : Ah je sais moi. On fait f de, f de 15 une flèche et 20, non ?
5. L’enseignante : Pourquoi tu parles de l’image de 15 ?
6. L’élève : Eh ben parce que c’est la fonction.
7. Une autre élève : C’est l’image là.
8. L’enseignante : Je vais répéter ma question. (Elle s’arrête un instant pour récupérer la classe) Je vais répéter la question à toute la classe et on va finir là-dessus. Cette situation concrète qui existe vraiment, un ressort avec une masse, on peut la modéliser par une fonction. La question c’est : est-ce que quelqu’un est capable de me dire comment on passe de la masse à l’allongement ?
9. Un élève : On divise.
10. L’enseignante : Toi tu me dis, on divise.
11. L’élève : Si on a 15 pour l’image de 50, on a 15 divisé par 50.

12. L’enseignante : Moi ce que je voudrais c’est que vous essayez de trouver plutôt avec le vocabulaire des fonctions. Est-ce que quelqu’un se rappelle comment on note une fonction ? On note un nombre de départ ? Comment on l’a appelée la masse ?
13. Une élève : g, ah non, la masse m.
14. L’enseignante : m. Donc j’ai masse m flèche, quelle opération je fais sur cette masse m ? Qu’est-ce que je fais pour trouver l’allongement ? Est-ce que quelqu’un voit ce qu’on est en train de faire sur cette masse m pour trouver l’allongement ?
15. Un élève : inaudible
16. L’enseignante : Oui, on multiplie ?

17. L’enseignante : Alors est-ce que quelqu’un est capable maintenant de m’exprimer la fonction ? Comment on va l’écrire ? …

58Ici, c’est l’énoncé même du problème qui requiert une appropriation correcte de la signification des mots et des symboles relatifs à l’objet mathématique fonction : « peux-tu exprimer l’allongement a en fonction de la masse m ? » (3). Les élèves, qui viennent de faire des calculs pour construire le tableau de proportionnalité entre la mesure de la masse et celle de l’allongement du ressort, peinent à comprendre ce qu’on attend d’eux. Leur professeur le précise en insistant sur le rapport qui existe entre ces calculs, les mots et les symboles qu’ils ont étudiés précédemment quand ils ont eu à apprendre ce que sont les fonctions en général : « je voudrais que vous essayiez de trouver plutôt avec le vocabulaire des fonctions » (12, 17). Certains élèves l’avaient compris, puisqu’ils avaient parlé de flèche, d’image (6, 9). Mais comme on l’a vu précédemment lors de l’étude des séances de travail des élèves, ces mots ne fonctionnent pas de manière très précise et efficace dans la pensée des élèves à ce moment-là de leur apprentissage.

2.2.3.3. La prise en charge de la « suture »

59L’analyse de séquences d’enseignement portant sur les fonctions linéaires et affines permet de constater que l’on a bien un effet de résonance, entre les pratiques professionnelles en situation et les propositions de L. Vygotski énoncées ci-dessus à propos du rôle du mot dans la formation des concepts.

60Il en est de même pour ce que M. Bournel-Bosson développe, à la suite de M. Bakthine (1984) et J. Peytard (1995), en ce qui concerne la suture entre l’interne et l’externe dans le processus d’appropriation de la signification d’un mot nouveau.

61Elle précise que la suture s’opère quand « le mot de l’autre entre en contact avec le mot intérieur » et provoque la réplique, qui, cependant, ne s’extériorise pas nécessairement. C’est par cette réplique que se réalise la possibilité pour celui qui est confronté au mot de l’autre, de « l’assimiler, de le retravailler, de l’infléchir » pour en faire un instrument psychologique pour lui-même et aboutir ainsi à l’installation et au développement de fonctions psychiques supérieures telle, entre autres, la faculté de raisonner abstraitement.

62La pratique quotidienne des professeurs fait écho à ces analyses. On y observe en effet des façons de dire et de faire qui visent à ce que leurs mots se transforment, dans le dialogue intérieur de l’élève, en mots pour soi. C’est, par exemple, ce que l’on constate dans le dialogue qui se déroule à la fin de la même séance du cours sur les fonctions linéaires et affines d’une des classes de troisième.

1. L’enseignante : Les deux mots sont assez corrects sauf que parallèle, proportionnel, il faut savoir de quoi on parle. Un élève commence à parler.
2. L’enseignante : Attends deux secondes.
Elle essaie de faire que les élèves lèvent la tête pour écouter.

3. L’enseignante : Vous m’avez dit un mot, le mot proportionnel. Qui est proportionnel ? De quoi on parle ?
4. L’enseignante : P., on parle de quoi
P. ne répond pas. L’élève précédent reprend la parole.
5. L’élève : Elle est proportionnelle parce qu’elle passe par le zéro déjà.
6. L’enseignante : Tu mélanges (inaudible). Qui est proportionnel à qui ? Quand on parle de quelque chose de proportionnel, ce sont deux choses qui sont proportionnelles.
Quelques élèves lèvent la main.
7. L’enseignante : A ?
8. A. : La longueur du ressort est proportionnelle.
9. L’enseignante : Non.
Un élève parle fort pour répondre.
10. L’enseignante : Chut, chut. Tu lèves la main, tu parles quand tu auras la parole.
11. Cet élève : La masse est proportionnelle à la longueur.
12. L’enseignante : Non. S.?
13. S. : La masse m en gramme elle est proportionnelle à l’allongement a.
14. L’enseignante : Tu es sûre que c’est la masse qui est proportionnelle à l’allongement ?
15. S. : Ben ça ou le contraire, mais…
16. L’enseignante : Ah ça ou le contraire ? A. tu veux essayer ?
17. A. : L’allongement du ressort est proportionnel à la masse.
18. L’enseignante : Ça c’est correct. L’allongement du ressort est proportionnel à la masse.

63Dans ce dialogue l’enjeu de la suture, c’est la signification du mot proportionnel. À cette fin, l’enseignante sollicite de 1 à 6 la réplique des élèves et tente ainsi de transformer en eux le sens qu’ils donnent à ce mot. Puis les répliques se succèdent en 8, 11, 13, jusqu’à ce qu’en 17, la réponse donnée par l’une des élèves soit exacte. Il n’est évidemment pas possible d’en déduire que la grande majorité des élèves est parvenue à passer du sens erroné à la signification correcte et précise. Comme elle le dira en commentant cette séquence, l’enseignante en a bien eu conscience, mais elle savait aussi que le temps passait et qu’il valait mieux rester sur une réponse correcte.

64Si l’enseignante s’est arrêtée un moment, en fin de séance, sur ce mot de proportionnel c’est qu’elle a décelé préalablement qu’il y avait de l’incompréhension sur la propriété à laquelle renvoie ce mot. Quand, pendant le cours, elle est passée auprès des uns et des autres et a dialogué avec eux pour réorienter leur démarche, elle a été surprise de l’usage que certains élèves faisaient de ce terme.

65Elle leur avait demandé de faire une conjecture sur la position des points du graphique associés à l’un ou à l’autre des deux tableaux (l’un relatif à la longueur du ressort en fonction de la masse, l’autre relatif à l’allongement). Ce qui était attendu, c’était, comme on l’a dit ci-dessus, qu’ils constatent que ces points étaient situés sur une même droite et que lorsqu’on s’intéressait au tableau concernant les allongements, la droite passait par l’origine du repère. Mais des élèves, d’eux-mêmes, avaient introduit le mot proportionnel.

1. Un élève : Comment ça s’écrit proportionnel ?
2. L’enseignante (elle regarde ce qui a été écrit par l’élève) : C’est quoi qui n’est pas proportionnel ?
3. L’élève : Ça ne passe pas par l’origine.
4. L’enseignante : Mets ce que tu penses, après on en discutera.
5. Un autre élève : La droite n’est pas proportionnelle. (Il parle de la ligne qu’il a construite pour relier les points qu’il avait à construire et qu’il a construits, points ayant pour abscisse la mesure de la masse et pour ordonnée la longueur du ressort. Il a identifié cette ligne à une droite à partir de son expérience visuelle.)
6. L’enseignante (s’adressant à la classe) : Est-ce que quelqu’un essaie une phrase ?
7. L’élève : La courbe…
8. L’enseignante : La courbe quoi ?
9. L’élève : La courbe elle n’est pas proportionnelle parce que (inaudible).
10. L’enseignante : Stop, on va déjà aller voir ce que remarque…
11. L’élève désigné par l’enseignante : ça ne passe pas par zéro.
12. L’enseignante : Déjà, stop, vous allez me dire ce que vous avez vu comme représentation graphique.

66À ce moment du cours l’usage impropre du terme interroge l’enseignante. Fortement surprise elle demande à un élève : « C’est quoi qui n’est pas proportionnel ? » (3). Pour certains élèves ce mot qualifie une droite (6), conception provenant d’un travail réalisé en physique, peu de temps avant, qui portait sur l’effet d’une masse dans l’allongement d’un ressort, et au cours duquel ils avaient utilisé le mot proportionnel.

67Mais la professeure avait fait le choix alors de surseoir au travail sur ce mot (12), car elle s’était rendu compte que dans la pensée des élèves la signification inexacte du mot était bien installée (10, 12). Elle avait repoussé ce travail avec la classe pour le reprendre en fin de séance et ne pas bloquer les élèves en cours de réalisation de la tâche précisée dans les consignes du problème.

68Le souci de ce qui est, dans le champ scientifique, désigné comme un problème de « suture » est bien, ici, pris spécifiquement en charge par l’enseignante. La résonance entre théorie et pratique professionnelle est effective.

2.2.3.4. L’usage de mots métaphoriques pour orienter la pensée

69Nous avons vu plus haut que les mots sont des « moyens d’influence du sujet sur lui-même, des moyens d’autorégulation et d’autocontrôle. » (Friedrich, 2010, pp. 58-59).

70On trouve une résonance de cette analyse, portant sur le rôle des mots dans le développement de la pensée, dans le cours de l’autre enseignante. Ce phénomène est repérable en fin de la première séquence d’enseignement destinée à l’apprentissage des fonctions linéaires. La professeure se sert du dialogue avec ses élèves pour leur faire prendre plus clairement conscience qu’ils ont affaire à un nouvel objet mathématique qu’ils ne connaissaient pas avant. Ils avaient déjà été confrontés à l’objet fonction de manière générale, mais là il leur fallait réaliser qu’on était en présence d’une fonction particulière ayant des spécificités.

71Elle procède ici par l’usage de mots métaphoriques qui lui semblent pouvoir aider ses élèves à comprendre en quoi consiste une fonction numérique, à savoir un procédé de calcul qui associe à un nombre un autre nombre. On trouve de tels mots dans l’échange ci-dessous :

1. L’enseignante : (Elle écrit au tableau v(x) = 6x, v1 (x) = 16x, v2 (x) = 16,8x, v3 (x) = πx). Voilà les quatre fonctions qu’on a rencontrées dans notre activité. Alors en fait, vous avez vu les fonctions v, v1,v2,v3. Ce sont les fonctions les plus simples qu’on peut vous proposer.
2. Un élève : Pourquoi ?
3. L’enseignante : Eh bien parce que, qu’est-ce qu’elles font quand on leur donne un nombre ? Celle-là, elle le multiplie par 6, toujours. Celle-là, quand on lui donne un nombre, qu’est-ce qu’elle lui fait ? Elle le multiplie par…
4. Un élève : Par 16
5. L’enseignante : Par 16, toujours. Celle-là quand on lui donne un nombre… Celle-là quand on lui donne un nombre, elle le multiplie par…
6. Un élève : π de x
7. L’enseignante : Non pas π de x
8. Des élèves : π
9. L’enseignante : Quand on lui donne un nombre x, elle le multiplie, elle fait x fois π. Qu’est-ce que c’est que ces machines-là ? Ce sont des machines qui multiplient toujours par la même chose. Ce sont les plus simples. C’est ce qu’on va écrire. Ce sont des fonctions (elle écrit : ces fonctions sont des fonctions très simples) très simples. Quand on leur donne un nombre, elles font une multiplication, c’est tout. (Elle écrit ce qu’elle dit ensuite) Quand on leur donne un nombre, elles le multiplient par un nombre fixe ; fois 6 pour la fonction v. Qu’est-ce qu’elle fait la suivante ?

72Ici l’enseignante a recours à des mots non mathématiques mais qu’elle pense devoir être évocateurs pour les élèves afin que leur pensée s’oriente vers une appropriation correcte de ce que sont les fonctions linéaires. Par exemple le terme « machine » que l’on trouve en 9 : « Qu’est-ce que c’est que ces machines-là ? »… « ce sont des machines qui multiplient toujours par la même chose. » En 3 et plus loin en 9 la métaphore des « machines » se développe par la présentation des fonctions comme opérant une transformation d’un matériau donné en un autre, l’outil étant, en quelque sorte la multiplication : « Quand on leur donne un nombre, elles le multiplient par un nombre fixe ; fois 6 pour la fonction v », « les fonctions, quand on leur donne un nombre, elles font une multiplication ».

2.3. Des résonances à l’« institutionnalisation »

73Les quatre points que nous venons d’étudier montrent bien que l’expérience professionnelle, née de la traversée renouvelée des mêmes situations bien concrètes de travail, produit des manières de faire qui entrent, de fait et en actes, en résonance avec des analyses théoriques épistémologiques ou psychologiques, telles celles qui ont été abordées dans le cadre de cette démarche.

2.3.1. Résonances et psychologie pratique

74Pour autant le constat doit être fait que, pour si présentes soient-elles dans la pratique professionnelle quotidienne, les résonances constatées ne sont pas, pour les premiers intéressés, spontanément perceptibles, et encore moins énonçables. En l’état actuel des choses, elles ne nourrissent pas explicitement la psychologie pratique que se construisent les travailleurs pour comprendre et interpréter leurs situations professionnelles tout autant que pour effectuer au jour le jour, ce qu’il y a à faire. Et ce d’autant plus que certaines façons de faire ont un tel caractère d’évidence pour les professionnels, qu’ils ne les voient même pas quand ils regardent des vidéos de séances d’enseignement, comme on peut le constater dans les diverses interventions que nous avons réalisées ces dernières années à partir de confrontations des enseignants aux images de leurs cours et de ceux de leurs pairs. Ils ne remarquent pas qu’ils guident les cheminements de pensée et de langage de leurs élèves, qu’ils interviennent pour que ceux-ci s’approprient avec suffisamment de précision et d’exactitude la signification des mots et des symboles.

75Il en était ainsi dans ce qu’il s’est passé en tout début de l’expérience. Avant que se déroulent les séances de travail de l’intervenante avec les élèves, les professeurs avaient regardé la vidéo de leur cours, d’abord seuls puis en binôme avec le collègue filmé dans la classe de même niveau. Nous n’insisterons pas sur ce dispositif largement étudié lors d’une étude précédente (Roger, 2007). Étant donné l’objectif de l’analyse développementale du travail dans laquelle le collectif était engagé, les professeurs s’étaient interrogés sur le contenu mathématique de leurs cours et sur ses effets sur l’apprentissage de leurs élèves. Mais leurs réflexions s’étaient centrées sur la situation mathématique dans laquelle ils avaient plongé les élèves et non pas sur ce qu’ils se voyaient faire pour guider ceux-ci vers une plus grande maîtrise des mots et symboles mathématiques en apprentissage. Peut-être est-ce dû, au moins en partie, à ce que, dans l’institution, l’accent est mis sur le rôle primordial de la situation d’action initiale pour le succès de l’apprentissage d’un savoir nouveau. Telle est la doxa tant dans les instituts de formation professionnelle, que dans les instructions données pour la pratique professionnelle et les diverses modalités de travail lors des rencontres organisées par l’institution de l’éducation nationale pour son personnel (Rousset-Bert, 2001, BO n° 6, 28/08/2008). Dans le même temps on peut noter une quasi absence d’attention et de préconisations concernant ce que contient comme enjeu d’apprentissage l’activité dialogique portant sur le symbolisme et plus largement le langage mathématique.

76Ces orientations sont, au moins pour une part, les conséquences de ce que G. Vergnaud relève dans l’œuvre de Piaget : « Piaget a eu le mérite de débusquer les connaissances implicites de l’action. Ce faisant il s’est probablement désintéressé un peu trop du langage et du symbolisme… C’est donc un chantier qui reste très ouvert, tant il est vrai que la mise en mots et en symboles occupe une large place de l’activité humaine, dans l’éducation et le travail » (Vergnaud, 2001-2002).

77Les travaux scientifiques du psychologue suisse, en particulier son ouvrage L’épistémologie génétique (Piaget, 1970), ont eu en effet beaucoup d’influence sur la didactique française des mathématiques. Un de ses représentants les plus marquants, G. Brousseau, l’a rappelé récemment à propos de ses propres travaux et de sa théorie des « situations didactiques » (Brousseau, 2012). Cette théorie a fortement influencé les démarches des chercheurs et des formateurs dans notre pays, et les responsables institutionnels ont largement puisé, dans les publications de ceux-ci, des modèles de pratiques à diffuser dans le monde enseignant.

78Si la rencontre de ce didacticien avec « L’épistémologie génétique » l’a amené « à utiliser puis à transformer les dispositifs d’observation [exposés dans cet ouvrage] » (Brousseau, 2012), c’est que J. Piaget a extrapolé hors de la psychologie de l’enfant son concept d’« assimilation-accommodation » et ses notions d’« équilibre » et d’« équilibration », pour en faire les éléments essentiels de son analyse de l’activité intellectuelle et les leviers de la création de nouvelles théories scientifiques

79Piaget et Granger travaillant l’un et l’autre sur les processus de création et de renouvellement des théories scientifiques, il est naturel qu’il y ait eu une confrontation entre leurs analyses et leurs conclusions qui sont profondément divergentes. Alors que « pour Jean Piaget, le fondement du symbolisme logico-mathématique est dans l’expérience sensible, parce que selon lui, le jeu logico-mathématique a déjà commencé au cours du développement de l’intelligence dans les manipulations concrètes de l’objet », pour Granger au contraire, le symbolisme constitue « un système d’objets intéressants en eux-mêmes et susceptibles de réagir sur le comportement à leur tour » (Granger, 1979 ; p. 62). S’appuyant sur ses propres travaux sur « les langages en tant que formes d’une connaissance objective… le pluriel « langages » visant à désigner des systèmes symboliques », Granger pense (1979, p. 9) que « la rupture décisive de la pensée mathématique avec l’expérience sensible réalisée par l’apparition des structures logico-mathématiques, qu’il [Piaget] qualifie de formelles, est par Piaget minimisée » et que le psychologue dans la mesure où il « ramène le fondement des mathématiques à l’organisation des rapports d’assimilation-accommodation des sujets concrets et de leur milieu, occulte ainsi de façon assez radicale les problèmes soulevés par l’existence des symbolismes ». Plus profondément l’épistémologue critique la conception des mathématiques du psychologue suisse qui fait de cette science « essentiellement une activité, et non pas la théorie descriptive des objets d’un univers » (1979 ; p. 62). Or, écrit-il, « le travail effectif du mathématicien vise un univers d’objets dont l’« existence » est sans doute une nécessité opératoire » (Granger, 1979, p. 59). Autrement dit, on ne peut résoudre les problèmes mathématiques sans connaître les objets mathématiques sur lesquels on opère et les règles des opérations adéquates pour les structures dans lesquelles ces objets s’insèrent, donc les symboles et les mots qui y renvoient.

2.3.2. L’émergence de la question de « l’institutionnalisation »

80C’est à cette question du rôle des symboles et des signes dans le développement de la pensée mathématique des élèves que se trouvent confrontés les enseignants au cours de cette expérience d’analyse de leur travail. Dans le contexte institutionnel et professionnel dominant, ces questions ne sont jamais abordées ni avec leurs collègues, ni à l’occasion d’un stage ou autre, encore moins lors d’une rencontre avec leur hiérarchie.

81Cependant ce qui résonne entre énoncés épistémologiques ou psychologiques et leurs pratiques professionnelles attire ici leur attention. Comme l’exprime avec humour l’une des enseignantes : « On est comme Monsieur Jourdain qui fait de la prose sans le savoir. » Dès lors, plus ou moins rapidement et avec plus ou moins de surprise chez les uns et les autres, un lien va être plus précisément établi entre, d’une part, certaines des facettes de leur action enseignante et, d’autre part ce qui leur fait écho dans les analyses savantes. Ils réalisent l’intérêt qu’il peut y avoir à examiner les usages qu’ils font du langage quand ils interviennent dans leurs classes pour guider leurs élèves vers une appropriation correcte des mots et des symboles mathématiques.

82Un moment précis du processus d’apprentissage va, sur cette question, apparaître comme décisif. En repensant aux séances de travail des élèves avec l’intervenante, les professeurs perçoivent un rapport entre les enjeux du langage et ce qui est identifié dans le milieu professionnel sous le terme d’« institutionnalisation ». Selon Brousseau, l’institutionnalisation est ce processus par lequel s’opère un changement de statut des connaissances et des savoirs mis en œuvre et construits dans des situations d’action, en connaissances et savoirs formalisés, transférables et exigibles dans d’autres situations, en particulier les situations d’évaluation. Ce processus est sous la responsabilité du professeur, qui organise ce changement de formes, indique et formalise ce qu’il y a à retenir et situe les savoirs nouveaux par rapport aux savoirs anciens. (Brousseau, 1990 et 1998). Dans un tel processus ce que fait le professeur pour que ses élèves s’approprient les mots et les symboles mathématiques est essentiel. C’est bien ce qu’exprime à sa façon une enseignante : « C’est vrai qu’on pouvait penser que dans les productions orales des élèves, on pouvait retrouver des points de repère d’institutionnalisation qu’on y avait mis. Est-ce que le cours qu’on avait fait les aide à expliquer ? Est-ce que les mots qu’on avait mis dans les cours les aidaient à expliquer ? Est-ce qu’on les retrouve ou pas ? »

83Le thème de l’institutionnalisation, en résonance avec les thèmes scientifiques évoqués par les textes proposés aux enseignants, ne s’est pas imposé spontanément. Pour les plus jeunes le mot même n’avait pas grand sens dans la mesure où il n’est plus guère présent dans les préconisations institutionnelles. Mais cette réinscription de l’analyse du travail dans le cadre de l’exercice professionnel est apparue non seulement pertinente mais pleine de sens. Elle a semblé de nature à permettre le développement, non seulement des façons de faire ce qu’il y a faire, mais également des façons de comprendre et interpréter l’action professionnelle, en d’autres termes ce que nous désignons sous le terme de psychologie pratique.

84Le choix a donc été fait, à ce moment-là, de mettre en place une nouvelle étape d’analyse du travail focalisée sur ce que les uns et les autres font pour instituer dans la classe le nouveau savoir, les nouveaux mots et symboles. Cette analyse s’est effectuée sous la forme de « l’instruction au sosie », méthode familière en Clinique de l’activité (Clot, 2008, pp. 179-202).

2.4. L’institutionnalisation comme enjeu : les analyses didactiques existantes

85Dans un premier temps, il a été jugé nécessaire de situer les enjeux. L’intervenante a proposé l’étude de deux textes produits dans le cadre de la didactique des mathématiques et portant sur l’institutionnalisation. Il s’agissait de prendre en considération et de se situer par rapport à certaines des conceptions existantes du problème.

86Tous les professeurs ne se sont pas approprié ces textes immédiatement. Pour certains peu familiers de la didactique, les textes ont gardé un moment leur opacité : « Moi, l’histoire de la dévolution je n’y ai rien compris la première fois. C’est à la troisième ou quatrième lecture que j’ai compris ». [La dévolution est définie comme un « acte par lequel l’enseignant fait accepter à l’élève la responsabilité d’une situation d’apprentissage (…) et accepte lui-même les conséquences de ce transfert » Brousseau, 1990]. Mais cet obstacle a pu être surmonté car il y a dans ces écrits des références aux situations concrètes du métier, « il y a des points d’appui » qui permettent une compréhension plus rapide des enjeux professionnels. à la différence des analyses épistémologiques et psychologiques examinées précédemment, les analyses didactiques ont été ressenties par les professeurs comme leur étant plus directement adressées, même si les destinataires visés par les didacticiennes sont plutôt les formateurs et les chercheurs.

2.4.1. Situation d’action et décontextualisation

87Nous nous sommes d’abord intéressés à un article de M.-J. Perrin-Glorian paru dans la revue Repères des IREM (Perrin, 1997). Mais cet article est copieux et les enseignants ne disposent que de peu de temps pour prendre connaissance de sources trop abondantes. Aussi lui a-t-il été associé une note de synthèse de la Revue Française de Pédagogie (Rochex., Kherroubi, 2004), présentant, entre autres, les analyses que développait cette didacticienne.

88Selon cette note, M.-J. Perrin-Glorian s’est intéressée à mieux comprendre ce qui différencie, dans la vie de la classe, les élèves qui n’apprennent pas de ceux qui apprennent. Elle observe qu’« il y a chez les élèves en difficulté beaucoup plus massivement que chez les autres, un divorce net entre les situations d’action visant à donner du sens aux notions enseignées et l’institutionnalisation qui est faite ensuite par le maître ». Elle a observé qu’il n’y avait pas vraiment de différence dans les procédures mises en œuvre par les élèves au cours des situations d’action tant que l’on se situe au niveau de compétences de base, avant que les lacunes ne se cumulent, et pourvu que le problème permette réellement leur investissement. Pour leur part J.-Y. Rochex et M. Kherroubi résument ainsi sa thèse. « Il semble que, pour les élèves en difficulté, il n’y ait aucun rapport entre ces situations et le savoir mathématique institutionnalisé et décontextualisé à partir de ces situations qui visent à lui donner sens, et que ce savoir se situe dans un registre étanche par rapport aux connaissances utilisées dans la situation » (Rochex, Kherroubi, 2004). Une des principales explications avancées par M.-J. Perrin-Glorian est que « les élèves qui ne rencontrent pas ce genre de difficulté ont en quelque sorte un projet, le plus souvent implicite, de décontextualisation dès le moment où ils travaillent sur la situation d’action. Ils savent qu’il y aura peut-être lieu de réutiliser l’expérience acquise et ils cherchent à comprendre ce que la démarche qu’ils mettent au point sur un problème particulier a de généralisable. Ils se créent des représentations mentales non seulement pour résoudre le problème posé mais pour pouvoir en rappeler et en réutiliser des éléments dans d’autres occasions, ce qui leur permet de réinvestir partiellement une connaissance, même si elle n’est pas totalement identifiée. Pour d’autres enfants, cela ne se fait pas parce qu’ils ne font que résoudre le problème posé, dans les termes où il est posé, sans avoir de projet d’accéder à un savoir réutilisable. Il n’y a pas de création de représentations mentales qui ont déjà valeur symbolique, sur lesquelles on pourra travailler ensuite, à l’occasion d’autres situations. » (Perrin, 1997, p. 50). La note de synthèse se poursuit ainsi. « Cette absence de travail de décontextualisation et de représentation mentale au cours même de l’action obère la possibilité de mettre le nouveau en relation avec l’ancien, pour le renforcer ou le remettre en question. Chaque expérience est dès lors nouvelle, seul son contexte et ses traits de surface sont reconnus, et il n’y a guère de possibilités d’organisation et d’intégration des savoirs nouveaux. » (Rochex, Kherroubi, 2004)

89J.-Y. Rochex et M. Kherroubi exposent les conséquences pour l’action que la didacticienne tire de son analyse. « Elle plaide pour une imbrication des deux processus (celui de l’action des élèves pour résoudre exercices et problèmes et celui de l’organisation et de l’intégration des savoirs nouveaux) et pour qu’ils soient, dans une certaine mesure, contemporains plutôt que successifs, tout au long de l’avancée du temps didactique (soit de l’avancée d’une séquence d’enseignement). Les liens entre ces deux processus apparaissent donc comme un des points les plus critiques et des problèmes les plus ardus du travail du maître et de l’activité des élèves. Son importance est d’autant plus grande que les élèves sont souvent issus de familles et milieux sociaux moins familiarisés avec les réquisits implicites de l’univers scolaire… Ces élèves ont, plus que d’autres, besoin de construire ces liens au travers des activités que leur proposent leurs enseignants, ce qui devrait contraindre ceux-ci à avoir, plus que d’autres, le souci de faire de cette construction un de leurs objectifs de travail, explicites, voire une de leurs priorités. Plus qu’ailleurs, l’enseignement à destination des élèves les moins familiers de l’univers scolaire requiert de savoir et de pouvoir instaurer une dialectique entre (…) souci de donner du sens aux situations d’apprentissage et souci de permettre aux élèves d’y construire des significations socialement validées et partagées. » (Rochex, J.-Y., Kherroubi, M., 2004)

2.4.2. Action enseignante et institutionnalisation

90Le second texte de didactique auquel a été confronté le groupe métier a été co-écrit par C. Margolinas et M. Laparra (Margolinas C., & Laparra M., 2008). Il concerne la place donnée à l’institutionnalisation par les enseignants et par les instructions officielles qui leur sont destinées. Les recherches de ces deux auteurs ont porté sur l’enseignement du premier degré. Leur article est appuyé sur l’exemple d’un cours de mathématiques réalisé dans une classe de l’enseignement primaire. Mais c’est pour elles un exemple en quelque sorte représentatif de ce qu’elles ont constaté de manière plus générale. « Tout se passe comme si le professeur offrait à l’élève des possibilités de rencontre avec certains objets sans que les conditions de construction des connaissances et des savoirs relèvent de sa responsabilité ». Ce qu’elles appellent « un dysfonctionnement conduit à privilégier l’activité, le “faire", les attitudes, aussi bien des élèves que du professeur, ce qui conduit à reléguer à l’arrière-plan les connaissances et les savoirs ».

91Mais elles ont le souci de prendre en compte les conditions concrètes de l’activité des professeurs et de mettre en rapport les façons de faire des enseignants et les demandes de l’institution. « Le professeur exerce la profession d’enseignant, il y consacre du temps qui, même s’il n’est pas aussi strictement déterminé que dans d’autres situations professionnelles, est essentiellement limité. Il est donc inéluctable qu’il ne connaisse pas tous les aspects des situations qu’il installe en classe. Il est important de garder cette considération en tête, en effet, les contraintes les plus visibles, les ressources les plus accessibles sont sans doute, au final, dans la situation qu’il a, les seules qui jouent un rôle effectif. »

92Leur analyse porte alors sur les « injonctions institutionnelles les plus fortes, celles qui pèsent de la manière la plus certaine sur le professeur ». Elles attirent l’attention sur ce que « les institutions forgent comme image d’une pratique idéale ». En 2005, moment de l’observation et de la recherche qui sont les socles de leur article, « cette pratique idéale fait une grande part à l’activité de l’élève, ce qui prend une forme concrète : les élèves doivent manifester dans leurs attitudes et leurs réponses qu’ils participent activement au processus qui s’élabore en classe, notamment, ils doivent (certains d’entre eux, au moins) donner des réponses qui constituent des manifestations effectives de cette adhésion ».

93Elles analysent les effets de cette « pratique idéale à laquelle le professeur cherche à se conformer ». Nous faisons le choix de leur laisser la parole tant leur exposé est clair.

« Il s’agit d’une contrainte forte pour le professeur qui doit, dans les phases collectives, attendre que les élèves donnent les réponses qu’il attend pour pouvoir progresser. Dans les phases individuelles, la réalisation de la tâche par l’élève peut suffire à remplir le contrat (entre le professeur et les élèves)… L’activité propre et autonome de l’élève dans cette résolution est extrêmement valorisée.
Par ailleurs, dans cette pratique idéale, chaque élève doit pouvoir être considéré dans sa différence, le professeur s’adressant à chacun plutôt qu’à tous. L’idéal serait un professeur qui pourrait s’adapter à la demande de chacun en n’imposant pas abruptement son point de vue. Bien entendu, aucun enseignant ne peut se conformer parfaitement à cette pratique idéale, mais il tend à s’y conformer, ce qui constitue une forte contrainte.
En regard, les autres demandes institutionnelles apparaissent plus faibles. Bien entendu, le rôle du professeur est de transmettre des connaissances, mais également des capacités et des attitudes. Dans ce contexte, pour des professeurs polyvalents, comme le sont les professeurs des écoles, la transmission des savoirs apparaît comme un des éléments parmi d’autres du travail attendu par la société, mais pas nécessairement le plus central. »

94Elles se sont interrogées sur les ressources dont les enseignants disposaient.

« Étant donné les contraintes qui pèsent sur son travail, quelles sont les ressources à la disposition de ce professeur ? Si nous considérons les contraintes les plus saillantes concernant l’activité des élèves et les attitudes à avoir, les caractéristiques des bonnes « situations-problèmes » le professeur a accès à de nombreuses ressources qui lui permettent de régler sa conduite en classe et de choisir parmi les problèmes qui sont à sa disposition, nous avons déjà noté qu’il (le professeur qui intervenait sur le terrain de leur recherche) réussit parfaitement sur ce point. Par contre, d’une façon plus générale, même si de nombreux manuels scolaires existent, dont certains présentent de grandes qualités, les professeurs ne disposent pas, en mathématiques en tout cas, d’ouvrages leur donnant des points de repères épistémologiques…
Néanmoins, si de telles ressources ne sont pas disponibles, elles ne sont pas non plus réclamées publiquement par les professeurs, sans quoi les éditeurs se seraient sans doute emparés de ce “créneau” de publication… Nous l’avons vu, les contraintes qui pèsent socialement sur le professeur ne sont pas principalement de nature épistémologique, alors que son travail est extrêmement contraint et normé par ailleurs.
Ainsi, le professeur devrait faire lui-même le chemin qui lui permettrait de construire, non seulement une programmation des notions rencontrées mais, lourde tâche, une programmation des connaissances et des savoirs construits et articulés. »

95Ces textes ont été choisis par l’intervenante parce que critiques vis-à-vis des modèles de pratiques proposés par l’institution et donc aptes à mettre en évidence que la question de l’institutionnalisation du savoir demeure sans réponse indiscutable et mérite une investigation par les professeurs eux-mêmes.

2.4.3. Des analyses didactiques aux effets diversifiés

96Ces textes produits dans le cadre de la didactique ne répondent pas directement à la question soulevée : l’institutionnalisation constitue-t-elle un moment privilégié pour l’enseignement-apprentissage de la signification des mots et symboles associés aux objets de savoir ? Mais ils ont l’intérêt d’attirer l’attention sur l’importance qu’il y a à faire en sorte que les élèves puissent construire, dans ce moment-là, « des significations socialement validées et partagées », ce qui en mathématiques renvoie aux objets, et donc aux mots et symboles qui leur sont associés.

2.4.3.1. Des écrits qui affectent

97Sur cet enjeu de l’appropriation par les élèves des mots et symboles mathématiques, ce qui a particulièrement provoqué l’intérêt des professeurs est l’étude menée par Perrin-Glorian sur les élèves en difficulté. Elle porte sur les réactions de ces élèves au sortir d’une situation d’action destinée à introduire une notion nouvelle c’est-à-dire, comme on l’a déjà vu, une résolution d’un problème mathématique choisi pour « donner du sens aux nouvelles notions enseignées ». L’analyse faite ici a d’autant interpellé les professeurs qu’elle renvoie aux errements de leurs élèves lors des séances de travail avec l’intervenante.

98Ainsi, lors d’un des exercices donnés dans un groupe d’élèves de sixième, les élèves avaient eu beaucoup de mal à relier la proportionnalité à la multiplication et non à l’addition. « Dans la première situation d’apprentissage, ils avaient eu à réaliser l’agrandissement d’un puzzle de sorte qu’un segment de 2 cm devienne un segment de 3 cm : et dans cette situation de proportionnalité, la procédure additive qui consiste à ajouter 1 à chaque dimension avait pu être invalidée par la construction effective du puzzle agrandi car les pièces ne joignaient pas. » Avant de voir les enregistrements vidéos du travail effectué par ses élèves avec l’intervenante, leur enseignante avait anticipé que la situation d’action dans laquelle elle avait plongé ses élèves serait décisive pour vraiment les faire renoncer à faire appel à l’addition. Ce qui ne s’est pas réalisé, les élèves n’ayant pas relié l’activité d’agrandissement du puzzle faite en classe à la signification de la proportionnalité.

99Pour cette enseignante, l’analyse de Perrin-Glorian, aussi surprenante qu’elle ait pu lui paraître dans un premier temps, révèle un aspect important du processus d’apprentissage ou plus exactement du ratage de ce processus. Elle résume ainsi ce qui l’a touchée. « Voilà, il y a là un phénomène, à savoir que ces gamins avec les activités de la première situation d’action, ils sont complètement perdus parce qu’ils ne voient pas les liens entre les choses. » En constatant, « il y a là un phénomène à s’expliquer », l’enseignante signifie qu’il lui faut prendre en compte cette réalité qui, en général, est rarement énoncée explicitement. Comme le dit un autre des professeurs, « oui, c’est tout à fait ça, pour ces élèves le savoir se situe dans un registre étanche par rapport aux connaissances utilisées dans la situation. »

100Ce constat a été suivi d’un moment de sidération et de découragement, plus ou moins vif pour les uns et les autres. Car il ne s’agit pas simplement de prendre conscience de l’absence du travail de décontextualisation dans l’action décelable chez les élèves en difficulté. Il s’agit, pour les professeurs, d’en faire quelque chose, au quotidien, dans leurs classes. Comment solliciter et soutenir le mouvement de pensée des élèves vers la décontextualisation des nouveaux savoirs mis en jeu dans la situation d’action ? Comment s’y prendre concrètement ?

2.4.3.2. Confrontations à des textes scientifiques et/ou controverses professionnelles entre pairs ?

101Des réponses à ces questions peuvent-elles être cherchées dans les propositions de Perrin-Glorian et d’autresdidacticiens ? Nousavonsconstatéprécédemmentquelaconfrontationauxécritsépistémologiques et psychologiques, produits dans un cadre scientifique, ne favorise pas directement l’activité réflexive des enseignants sur leur propre activité professionnelle et donc l’analyse développementale du travail dans laquelle ils sont engagés. C’est sur le mode de la résonance et au prisme de l’expérience professionnelle que leur apport peut être pris en compte. En fait ces « voix » scientifiques ont trop de « poids », trop d’autorité, pour qu’on s’autorise à leur « répliquer », ne serait-ce que dans son dialogue intérieur. On les tient à distance sauf quand « on se retrouve dans ce qui s’y dit ».

102Les textes didactiques occupent une position semblable quoique légèrement décalée dans la mesure où les références aux situations concrètes du métier sont plus proches. Il n’en reste pas moins malaisé d’y répliquer. Comme l’a dit une des enseignantes, « Face à ces textes scientifiques-là, je me sens un peu mal. Ça devrait me rassurer de voir que ça correspond à mes façons de voir, que je me retrouve dans ce qui s’y dit. En fait, c’est plus ça qui va m’intéresser en premier. Mais dans les échanges entre nous sur nos pratiques, ça va être plus facile pour moi de prendre quelque chose qui est différent de ce que je fais. » à quoi une de ses collègues ajoute : « Je trouve que travailler sur les textes scientifiques, ça ne nous demande pas la même chose que réfléchir à notre pratique entre nous. Quand on parle de notre pratique, on a moins de mal à écouter ce qui n’est pas la même chose que ce que nous pensons ou que nous faisons. »

103Davantage que les textes didactiques, les paroles des pairs vont provoquer plus aisément la réplique nécessaire, pas forcément immédiatement extériorisée, mais au moins dans le dialogue intérieur. Et cette réplique, qu’elle soit reprise, modification, ou critique de la parole de l’autre, fait qu’« on a moins de mal à écouter ce qui n’est pas la même chose que ce que nous pensons ou que nous faisons. » Comme nous l’avons vu en nous intéressant à la thèse de M. Bournel-Bosson, c’est par cette réplique que se réalise la compréhension des paroles de l’autre, c’est cette réplique qui donne la possibilité à celui qui est confronté au mot de l’autre de « l’assimiler, de le retravailler, de l’infléchir » pour en faire un instrument psychologique pour lui-même. En effet, « une compréhension authentique, active, contient déjà l’ébauche d’une réponse… Comprendre, c’est opposer à la parole du locuteur une contre-parole » (Volochinov, 1977, p. 146).

104Durant cette nouvelle phase de l’expérience, nous nous sommes donc concentrés, au moyen de la méthode de l’instruction au sosie, sur les débats entre pairs que suscitent les processus par lesquels ils institutionnalisent le nouveau savoir ou tentent de le faire en guidant leurs élèves vers l’appropriation des mots et des symboles qui y renvoient.

2.5. L’institutionnalisation comme objet d’une analyse du travail : « l’instruction au sosie »

105L’instruction au sosie est une méthode façonnée et utilisée pour la première fois dans les années 70 dans un domaine spécifique d’activité ; le travail ouvrier dans la construction automobile, et reprise et développée en clinique de l’activité (Clot, 2008, pp. 180-186).

2.5.1. Les caractéristiques de l’instruction au sosie

106Il s’agit d’un dispositif d’analyse où un professionnel donne à un « sosie » des instructions sur ses propres manières de travailler. Ce qui est demandé au départ par le sosie à cet « instructeur » est d’imaginer « que je suis en tout point semblable à toi. Demain je dois te remplacer à ton poste de travail : dis-moi ce que je dois dire et faire pour que personne ne s’aperçoive de la substitution ». La « passation des consignes » que la méthode encourage, pousse les interlocuteurs à mettre au centre de leur échange une description concrète et précise, détaillée, de l’action à venir du sosie. « L’instructeur doit projeter dans un futur proche (“demain”) une situation passée revécue au cours de l’exercice d’instruction et retraversée avec le sosie ». Celui-ci ne guide pas « le sujet dans l’exploration de son activité initiale », celle qu’il a réalisée ou qu’il pense avoir réalisée. Il s’appuie sur sa supposée action à venir pour amener l’enseignant « instructeur » à « dégager l’activité réelle (ce qu’on ne fait pas, ce qu’on n’arrive pas à faire, ce qu’on voudrait ou pourrait faire, ce qu’on est empêché ou que l’on s’empêche de faire, etc.) dans l’activité réalisée ». (Saujat, 2005)

107L’instructeur, celui qui donne les consignes concernant son propre travail, est poussé par les demandes de précision, de complément, du sosie à expliciter son action afin qu’un autre que lui-même puisse l’appréhender. Inévitablement, il se trouve confronté à lui-même. À un moment ou un autre, de façon inattendue, surprenante, une façon de faire, un obstacle, ou au contraire une ressource apparaissent, qu’il n’avait pas mis à jour, qu’il n’avait pas réalisés jusqu’alors.

108Cependant, il importe que l’instructeur puisse prendre appui sur ce qu’il dit pour développer son activité. Pour ce faire il lui est demandé de travailler sur l’enregistrement audio réalisé lors de la séance. En ce qui concerne l’expérience menée ici, il a été demandé aux professeurs de faire retour sur leur instruction en trois temps. Le premier a consisté en une écoute flottante du dialogue réalisé. C’est un moment surprenant car l’instructeur entend cet autre qui parle, autre à la fois familier puisqu’il s’agit de lui-même, mais aussi étranger dans la mesure où il est engagé dans une action tout à fait inhabituelle, bien différente de ce qui l’anime d’ordinaire. Dans un deuxième temps il leur a été demandé de noter celles des répliques qui retiennent plus particulièrement leur attention avec les commentaires s’y rapportant (étonnement, autres manières d’agir, de dire possibles, autres façons de mener à bien le travail dans lequel on est engagé). Le troisième temps a été celui du choix des points de commentaire et d’ébauche d’analyse à mettre en discussion avec le groupe de collègues, lors d’une prochaine séance de travail.

109L’objectif privilégié est de favoriser la mise à jour de problèmes communs, et l’émergence de ressources pour y faire face. C’est à cette fin que les instructions au sosie ont été réalisées en présence du collectif des enseignants et qu’elles ont été suivies de questions des pairs qui cherchaient à en savoir plus, à mieux comprendre. Parfois en vue de reprendre à en leur compte certaines manières de faire de leur collègue, d’autres fois parce qu’ils s’étonnent et ne voient pas comment ce qu’ils entendent peut fonctionner.

110Les deux premières séances d’instruction au sosie ont porté sur l’enseignement-apprentissage des fonctions linéaires et affines. C’est en ces termes que l’intervenante, qui est le sosie à « instruire », a installé chacun des deux professeurs dans son activité d’instructeur : « Je viens d’apprendre que je dois te remplacer pour cette séance de travail grâce à laquelle tu vas instituer avec tes élèves ce que sont les fonctions linéaires et affines. Tu as déjà institué avec ces mêmes élèves ce que sont les fonctions plus généralement. Tu me dis ce qu’il faut que je fasse en tant que sosie pour qu’aucune différence, même minime, n’existe entre ce que je vais faire et ce que tu aurais fait. Je vais te poser des questions pour obtenir des réponses qui m’éclairent assez pour qu’il en soit ainsi. »

111Ont suivi deux séances relatives à l’enseignement-apprentissage de la proportionnalité en sixième. La première de ces séances a été introduite de manière identique. Pour la deuxième, l’intervenante a fait un autre choix, introduisant dans l’action visée non seulement ce qui se passe dans la classe, mais aussi ce que fait le professeur pour préparer son action dans la classe. « Tu m’as dit que demain quand je te remplacerai, il me faudra procéder pour cette classe de sixième à l’institutionnalisation de savoirs mathématiques concernant la proportionnalité. Dis-moi comment, pour me préparer à ce moment-là avec les élèves, je dois m’y prendre avant, pour que cela se passe exactement et dans les plus petits détails comme pour toi, compte tenu des empêchements habituels du quotidien de la vie. »

112Les questions du sosie diffèrent d’une séance d’instruction à une autre, car tous les professeurs sont présents à chaque fois et il importe que la spontanéité des instructeurs soit préservée pour chacun d’eux. C’est cette spontanéité des paroles des uns et des autres qui fait que les séances d’instruction au sosie peuvent devenir pour chacun une source de pensée sur sa propre activité et faire ressource pour agir en donnant à entendre d’autres manières de faire. Si on reste dans un processus du « déjà dit », où les paroles, en quelque sorte, tournent en rond, et qui a tendance à conduire à l’enfermement et à la répétition, on abandonne le cadre de l’analyse du travail choisi. Lorsqu’au contraire on s’aventure dans ce qui n’est « pas encore dit », hors des vérités catégoriques desquelles on ne déroge pas pour ne pas se mettre à découvert, quand on se met en situation de risque, alors il peut advenir que les professionnels se posent de nouvelles questions sur leurs actions et renouvellent au travail leurs façons de faire. Le dialogue hésite continuellement entre ces deux tendances, mais il importe de créer des conditions qui favorisent l’effort des professeurs pour attraper dans leurs paroles ce qu’on se représente avec difficulté, ce qui est difficile à dire. C’est en cela qu’il importe que l’instructeur ne puisse pas préparer à l’avance ce qu’il dira au sosie.

2.5.2. La position de sosie

113Lorsqu’il s’était agi du dispositif d’analyse du travail par les autoconfrontations simples et croisées tel qu’on l’avait fait fonctionner dans l’expérience précédente, la posture de l’intervenant avait été posée en ces termes. « L’intervenant ne cherche pas à faire comme s’il n’était pas là, il ne cherche pas à se tenir à distance. Il participe activement, mais à la place qui est la sienne par rapport à l’élucidation des conflits que tranchent les professionnels en activité dans leur métier. Il n’hésite pas à relancer des controverses qui pourraient peut-être contribuer à rendre plus intelligibles ce qui se joue dans certaines situations de travail vécues par les uns et les autres comme problématiques. Il est lui-même « affecté » par ce qu’il découvre et analyse dans les dialogues auxquels il participe, même s’il l’est très différemment des professionnels. Tout au long de l’intervention, ce sont les mêmes moments qui sont les plus fructueux pour lui et pour les professionnels, ce sont ceux où la parole hésite, où l’on n’arrive plus à comprendre, où l’on cherche à comprendre et où peu à peu le dialogue reprend en même temps qu’on fait de nouvelles interprétations dans le vif de l’activité dialogique » (Ruelland-Roger, 2007).

114Pour l’instruction au sosie, il en est fondamentalement de même. L’intervenant qui, dans ce dispositif, est le sosie qui sollicite les instructions des professeurs, n’est pas dans une posture « neutre » de recueil des pratiques. Sa recherche d’élucidation des conflits de l’activité et des manières de les trancher l’affecte par ce qu’il découvre et analyse dans les dialogues auxquels il participe. C’est ce qui lui permet d’alimenter la démarche réflexive des professionnels. L’une d’entre eux présente ce qu’elle a ressenti ainsi : « Ce que j’ai pensé c’est que ça faisait ressortir certains points dont j’avais, moi, connaissance mais à propos desquels je ne pensais pas qu’ils avaient tellement d’importance à mes yeux. » Elle poursuit, en exposant ce qui l’a vraiment interpellée : « J’ai vu aussi au travers de l’instruction que j’avais un sentiment un peu exacerbé de la responsabilité que je portais dans cette phase d’institutionnalisation. » Et elle ajoute : « Ce sont aussi tes questions (celles de l’intervenante-sosie) qui m’ont forcée à, enfin poussée à me montrer qu’il était important que je choisisse les bons mots… » Lors de son retour sur son instruction au sosie, une de ses collègues s’adresse à l’intervenante en ces termes : « À un moment tu me dis “je ne vois pas bien comment faire pour que le mot ne soit pas utilisé et en même temps comme ils ne le connaissent pas, je ne vois pas, c’est compliqué pour moi”. C’était le mot proportionnalité. Et je me suis posé aussi la même question, c’est-à-dire qu’à partir de là je me suis demandé finalement en sixième à quel moment précis, j’utilisais le mot proportionnalité et comment au niveau des élèves, je le leur expliquais. »

115Pour cette instruction au sosie portant sur l’institutionnalisation du savoir, l’intervenante s’est appuyée sur la vision la plus large, la moins réductrice, de ce qui s’y joue, quitte à ce que cette vision soit bousculée par ce qu’il adviendra au cours même des instructions et lors de l’activité dialogique qui s’ensuivra. Elle a retenu la définition qu’en donne M.-J. Perrin. « L’institutionnalisation est ce processus par lequel va s’opérer ce changement de statut de certaines connaissances (mises en jeu dans la situation d’action initiale) pour en faire des savoirs qu’on pourra ensuite exiger dans les évaluations. Une de ses fonctions est d’articuler les connaissances que les élèves mettent en jeu dans les résolutions de problèmes, connaissances qu’il a éventuellement fallu adapter pour traiter une situation nouvelle et qui ont trouvé une nouvelle occasion d’emploi. Il est sous la responsabilité du professeur qui indique ce qu’il y a à retenir, situe les savoirs nouveaux par rapport aux anciens. » (1997, p. 54). Pour cette didacticienne des mathématiques, l’institutionnalisation n’est pas envisagée comme une situation didactique telle que l’a définie Brousseau, mais comme un processus. À la question : « l’institutionnalisation vient-elle toujours après l’activité des élèves ? » elle répond « sûrement pas… N’y a-t-il pas une forme d’institutionnalisation dans le choix d’une activité préparatoire à l’introduction d’une notion nouvelle ? » Elle précise : « le cours est le moment le plus visible de l’institutionnalisation mais ce n’est pas la seule forme qu’elle prend. Au cours de correction de problèmes, du bilan après une activité des élèves, le professeur insiste sur certains points, met en valeur des résultats, des méthodes… et contribue ainsi à institutionnaliser les connaissances. Les choix qu’il fait pour l’évaluation vont y contribuer fortement… Le maître tend à l’institutionnalisation tout au long du processus » (1997, p. 55).

2.5.3. Être sosie : poser des questions

116Ce qui est au cœur des instructions que donnent les professeurs au sosie, c’est ce que le sosie aura à faire pour institutionnaliser le nouveau savoir apporté par la séquence d’enseignement sur la proportionnalité en sixième ou sur les fonctions linéaires et affines en troisième. Il ne s’agit pas de travailler sur l’institutionnalisation de manière générale. Il importe que l’intervenante-sosie mentionne clairement dans ses questions qu’on a affaire à ces savoirs particuliers. Elle connaît les mathématiques, elle peut de ce fait parler des objets et des opérations en jeu. Cependant, les mots qu’elle utilise ne sont pas forcément ceux que disent et écrivent habituellement les professeurs. Cela produit un effet d’étrangeté sur des modalités d’action routinisées qui prennent alors du relief et peuvent être réinterrogées par chaque enseignant.

  • 4 On complète les prénoms donnés aux professeures par les symboles suivants : (p-6-2) pour la profess (...)

117Il en est ainsi pour l’instruction au sosie de la professeure d’une des classes de sixième4. Le dialogue rapporté ci-dessous en est le début.

Le sosie : Il y a plusieurs entrées dans la proportionnalité. Moi j’en vois trois, les grandeurs proportionnelles, la suite des nombres proportionnels, les figures géométriques agrandies. Je choisis laquelle ou lesquelles pour la confrontation des élèves avec la proportionnalité ?
Thérèse (p-6-2) : Eh bien déjà l’introduire par un contre exemple, ne pas faire fonctionner tout de suite la proportionnalité mais plutôt dans sa reconnaissance, comment on reconnaîtra qu’on a une situation de proportionnalité ou pas. Le domaine, à la limite euh, tu m’as dit géométrique ?
Le sosie : grandeurs proportionnelles,
Thérèse (p-6-2) : grandeurs proportionnelles
Le sosie : Ou suites de nombres proportionnels
Thérèse (p-6-2) : Peut-être pas les suites de nombres, mais peut-être de préférence dans le domaine géométrique puisqu’il y aura un support quand même concret peut-être plus abordable pour les élèves, pour mettre à défaut leur raisonnement qui n’ira pas, alors qu’avec les nombres, ce sera peut-être plus difficile pour eux. Et les grandeurs, peut-être pas se contenter de ne faire qu’un exemple ou un contre-exemple. Je ne sais pas si j’ai répondu à ta question assez précisément, je ne sais pas.
Le sosie : Je fais un exemple, ça veut dire que je fais faire un exercice ?
Thérèse (p-6-2) : Oui ou une situation qui les confronte à la notion, qui la fait fonctionner ou pas, à juste titre ou pas à juste titre, où les élèves peuvent faire fonctionner la proportionnalité alors qu’elle ne devrait pas fonctionner et vice-versa.
Le sosie : Une situation, c’est un exercice quand même ?
Thérèse (p-6-2) : Oui, mais un exercice quand même assez riche où les questions ne sont pas trop décomposées, où il n’y a pas toutes les étapes de raisonnement. Il y a une question à la fin de la situation et les questions intermédiaires eh bien c’est éventuellement eux.

118Le début de l’instruction au sosie est l’occasion pour l’enseignante de raconter ce qu’elle a l’habitude de faire quand elle démarre la séquence sur la proportionnalité et elle utilise à cette fin les mots qui sont les siens. C’est le mot « situation » qui va quelque peu bousculer le cours tranquille des répliques. Pas tout de suite pourtant. Le dialogue reste un moment axé sur le thème que la professeure résume ainsi : « un exercice quand même assez riche où les questions ne sont pas trop décomposées, où il n’y a pas toutes les étapes de raisonnement », jusqu’à ce que le sosie relance sa question.

Le sosie : D’accord donc attends. J’arrive, j’ai préparé avant
Thérèse (p-6-2) : La situation
Le sosie : Une situation, mais bon dans ma tête à moi ça veut dire quelque chose à faire.
Thérèse (p-6-2) : Oui. C’est par eux Oui.
Le sosie : Une situation c’est quelque chose à faire ?
Thérèse (p-6-2) : Mais il y a quand même un objectif au bout.
Le sosie : Oui bien sûr.
Thérèse (p-6-2) : Ils ont la situation à la… Des conditions précisent le départ de la situation, ils ont le but, savoir si c’est une situa… enfin une question situation proportionnelle ou pas, enfin le mot n’est peut-être pas employé tout de suite…

119Le rythme du dialogue s’accélère, les phrases deviennent courtes, elles ne se terminent pas toujours et une interrogation surgit : « enfin le mot n’est peut-être pas employé tout de suite ». Comme on le verra plus loin, ces quelques mots ouvriront un accès à une véritable et difficile question de métier. De façon inattendue et imprévisible, perce dans le discours serein de la professeure le problème de l’intervention du langage dans l’acte d’enseigner, qui vient bousculer quelque peu ce qu’elle a conscience de faire avec et pour ses élèves.

120Comme l’instruction au sosie vient après les deux premières phases de l’expérience, il importe pour l’intervenante de favoriser la saisie par les professeurs du rapport entre ce qui est apparu lors des séances de travail des élèves, ce qu’ils ont lu dans les textes scientifiques, et ce qu’ils font, ce qu’ils cherchent à faire, pour l’institutionnalisation du savoir nouveau. Aussi certaines de ses questions aux instructeurs mentionnent-elles explicitement les mots, les expressions verbales, et les symboles, qui renvoient au savoir mathématique. Ci-dessous figurent deux exemples de cette modalité de questionnement.

Le sosie : En classe, quels sont les mots et les expressions verbales sur lesquels je vais insister pour aider les élèves à comprendre quand ils ont affaire à la proportionnalité dans une situation, un problème ou un exercice, pour les aider à comprendre s’il y a ou non proportionnalité ?
Dominique (p-6-1) : Alors il y a un mot sur lequel tu vas insister beaucoup, c’est multiplier. Bon, ça, ce mot là il faudra qu’il soit dans ta synthèse, ton institutionnalisation. Alors multiplier, il n’y a pas besoin de dire ce que ça veut dire. Il y a un mot que tu vas employer aussi, c’est grandeur. Et ce mot-là, tu l’auras suffisamment expliqué avant par des exemples…
Le sosie : D’accord. Sur quels mots, ou bien expressions verbales, je vais insister cette fois pour aider les élèves à comprendre comment on peut opérer grâce à la proportionnalité pour transformer ce qui est donné dans un problème ou un exercice et ainsi obtenir le résultat cherché ?
Dominique (p-6-1) : Alors au niveau des mots, si on regarde les différents procédés, procédures, tu peux utiliser le mot fois plus, fois moins, cette chose-là est trois fois plus grande que cette chose-là, donc…

Le sosie : Avec les fonctions, l’écriture symbolique est un instrument performant pour l’activité mathématique. Soit il s’agit du schéma avec la flèche, soit il s’agit de l’égalité avec le symbole f(x) égale l’écriture algébrique des opérations numériques à effectuer pour une valeur numérique donnée à x. Est-ce que je considère que ces écritures symboliques sont connues des élèves parce que dévoilées au cours des séances précédentes sur les fonctions en général et donc que je peux m’en servir tranquillement pour les fonctions linéaires et affines ?
Brigitte (p-3-rar) : Non, tu devras quand même dans cette partie-là retravailler ces différentes écritures. Donc dans les exemples de fonctions linéaires par exemple ou de fonctions affines que tu feras intervenir dans la leçon, tu pourras re-noter avec eux les différentes écritures. C’est important parce que ce sera justement un moyen de re-manipuler tout ça, non ce n’est pas acquis encore.
Le sosie : Je remets ces écritures, d’accord, et je les fais dire ? Je les fais lire ces écritures ? Je fais comment ?
Brigitte (p-3-rar) : Eh bien tu vas les écrire. Ils vont les écrire. Mais il y aura une partie d’oral aussi, de reformulation des choses qui sont écrites au tableau, oui.

121Les questions du sosie ont amené les professeurs-instructeurs à relier ce qu’ils font, ce qu’ils voudraient faire, ce qu’ils sont parfois empêchés de faire, aux dialogues de leurs élèves filmés lors des séances de travail avec l’intervenante. Comme on le verra, dans leurs échanges et leurs controverses, ont fait retour des interrogations sur ce qu’ont dit leurs élèves et ce qu’ils ont fait. Chacun à sa manière est revenu plus ou moins explicitement sur les ébauches d’analyse des errements des élèves, mais cette fois d’un autre point de vue qui a l’avantage d’être moins personnel et intime que lors de la confrontation aux réalisations verbales difficiles et confuses de leurs propres élèves. Cette dernière affirmation peut paraître étonnante dans la mesure où pour l’instruction au sosie chacun, d’une certaine manière, informe les autres de ce qu’il fait pour instituer le nouveau savoir et donc expose ses façons personnelles de procéder. Mais le dispositif global de l’instruction au sosie, qui génère de manière essentielle l’activité dialogique des professionnels, agit pour renforcer chez eux le sentiment de participer à une expérience commune. Ce que pratique l’un ou l’autre devient une source de pensée et de développement de l’action pour chacun qui se retrouve dans les situations de travail auxquelles répondent les actions exposées. Quelque chose de collectif s’ajoute aux caractéristiques des façons singulières d’agir propres à chacun. Il est alors plus facile de se confronter aux difficultés, aux erreurs et errements de ses propres élèves. Ce sont des réalités, à analyser, qui échappent non seulement à soi-même mais tout autant aux collègues, au milieu professionnel.

122Par ailleurs les tâtonnements des élèves s’inscrivent dans les situations que les enseignants vivent au travail avec toutes leurs incommodités. Il importe qu’ils puissent examiner ensemble ce, qu’en situation, ils font, ce qu’ils voudraient faire, sans toujours y parvenir, pour mieux prendre en compte, dans leur propre activité, ces difficultés. Le nouveau cadre d’analyse de leur travail, qui a l’avantage de mettre au cœur de ce qui est examiné et discuté ces situations bien concrètes qu’ils connaissent, peut leur permettre de reprendre la main, autant que faire se peut.

123Nous nous étions déjà posé, au cours de l’expérience précédant celle-ci, la question de la manière dont il faut organiser l’« explication » entre ce qui relève de la démarche scientifique et ce qui relève de l’activité quotidienne des professionnels. Nous avions constaté que lorsque les professeurs parlaient de leur rapport aux concepts scientifiques, à la « théorie » comme ils disent souvent, ce qui était frappant c’était la façon dont ils liaient l’intérêt éventuel que peut avoir ce rapport à un dialogue collectif se réalisant entre collègues. Nous avions conclu que « c’est en « s’expliquant » entre eux, de pratique à pratique, sur leurs problèmes de métier que les enseignants peuvent s’expliquer utilement avec les savoirs scientifiques ». L’expérience présente le confirme. : « si l’on veut que des professionnels puissent « s’expliquer » avec la théorie, avec ce qu’elle a de plus exigeant, les concepts scientifiques, il faut qu’ils fassent l’expérience de l’étonnement sur leur propre activité, sur celle de leurs collègues. Autrement dit dans le va-et-vient théorie/pratique, si souvent évoqué, ce qui semble très important c’est d’abord le va-et-vient entre la pratique et la pratique » (Ruelland-Roger, Moro, Matos, 2011). S’expliquer entre eux de « pratique à pratique » sur leurs problèmes de métier est donc, à nos yeux, une condition incontournable pour que les enseignants puissent utilement s’expliquer avec les savoirs scientifiques.

124Encore faut-il mettre en place le dispositif adéquat pour approfondir les controverses professionnelles, poursuivre l’analyse développementale du travail et peut-être permettre aux professeurs d’élaborer et de penser « quelque chose de différent de ce qu’ils font jusqu’alors ». Ce qui en est attendu également c’est que, dans ce cadre, les professeurs puissent utilement « répliquer » aux analyses scientifiques rencontrées.

Notes

1 Cette citation est extraite du paragraphe suivant : « Pour la didactique des mathématiques aujourd’hui, il est bien difficile de se priver de l’idée que les mathématiques sont en leur début une connaissance pragmatique, comme les autres sciences. Les mathématiques sont alors, pour les élèves une connaissance issue de l’expérience des situations dans lesquelles on a besoin de mesurer, de combiner et dé-combiner des mesures, d’identifier des figures et d’analyser leurs propriétés, de repérer des positions et des changements de position, de comprendre dans les transformations géométriques et numériques, ce qui est modifié et ce qui est conservé. C’est seulement dans une phase relativement tardive de leur développement que les structures mathématiques deviennent des systèmes axiomatisables et formalisables. Il ne faut donc pas confondre l’après et l’avant. »

2 C’est en tant que membre du groupe « métier » de l’IREM de Besançon qu’elles ont animé un atelier aux journées de l’APMEP (2012).

3 Ces cours ont fourni la matière originelle aux séances de dialogue entre les élèves et l’intervenante, les élèves ayant participé aux séances de travail avec l’intervenante appartenant à ces classes. Mais dans les verbatim exposés ci-dessous, les élèves qui interviennent ne sont pas nécessairement ceux-là.

4 On complète les prénoms donnés aux professeures par les symboles suivants : (p-6-2) pour la professeure des élèves de sixième dont la séance de travail avec l’intervenante n’est pas mentionnée dans la première partie, (p-6-1) pour la professeure des élèves de l’autre sixième, (p-3-st) et (p-3-rar) pour les professeures des élèves de troisième qui ont travaillé avec l’intervenante, « st » pour la troisième dite standart et « rar » pour la troisième insérée dans un Réseau Ambition Réussite.

© Presses universitaires de Franche-Comté, 2019

Conditions d’utilisation : http://www.openedition.org/6540

Rechercher dans OpenEdition Search

Vous allez être redirigé vers OpenEdition Search