Version classiqueVersion mobile

Des mots et des maths

 | 
Danielle Ruelland-Roger

Chapitre 1. Activité des élèves, activité de l’enseignant

Texte intégral

1À la mise en route de l’expérience présentée ici, une question s’est posée : quel dispositif mettre en place pour approcher les réalisations des élèves, au-delà du perçu habituel ?

1.1. Comment en savoir plus sur ce que font réellement les élèves ?

2L’enseignante-chercheuse, également nommée intervenante dans la suite du texte, a proposé un dispositif antérieurement mis en œuvre dans un collège de la banlieue parisienne à l’initiative de la psychologue scolaire C. Remermier qui avait été présenté en atelier lors des Journées Nationales de l’APMEP (Association des professeurs de mathématiques de l’enseignement public) en 2010 sous le titre : Pourquoi n’arrivent-ils pas à comprendre ce qu’on leur enseigne en mathématiques ? Ce qui a été réalisé dans notre groupe métier reprend pour l’essentiel ce qui avait été présenté alors. Deux des professeurs ont demandé à certains élèves de troisième de participer à une activité très particulière sur la séquence du programme en cours à ce moment-là dans leur classe. Les deux autres enseignants du groupe métier ont fait de même avec des élèves de sixième. Il s’agissait pour ces élèves de donner à un “sosie", présenté comme peu au fait des mathématiques, des consignes pour le guider vers une résolution « acceptable » d’un problème ou d’exercices auxquels il était confronté. Problème ou exercices avaient été rapidement abordés en classe peu de temps avant. Contrairement à ce qu’on avait pu voir aux Journées Nationales de l’APMEP, les élèves devaient travailler en l’absence de leurs enseignants et le sosie connaissait bien les mathématiques puisqu’il s’agissait de l’intervenante. Les professeurs ont pris connaissance du déroulé des dialogues entre élèves et avec le “sosie", sur des enregistrements vidéos tournés lors des séances.

3Comme on le verra ci-dessous, la position, adaptée de celle de « sosie » (Clot, 2008, pp. 179-202), n’a pas toujours été, pour l’intervenante, aisée à tenir avec des élèves issus d’une classe de sixième dite « à problèmes ». Certains d’entre eux, à certains moments, sont intervenus sans réfléchir, disant souvent n’importe quoi. Mais finalement le dispositif s’est révélé, même dans ce cas, globalement fructueux.

4Il importe de bien se garder d’identifier une séance de travail dans ce dispositif à ce qui se passe en classe dans un travail de groupe, toujours plus ou moins dirigé par le professeur. L’objectif est autre. Il s’agit, comme on l’a dit précédemment, d’accéder autrement que dans le quotidien du travail aux démarches d’élèves aux prises avec le problème et avec le savoir mathématique qui y intervient. Il ne faut donc pas endiguer leurs paroles et leurs pensées, ou plus exactement ne pas les endiguer de la même façon. Du coup la dynamique dialogique est fort différente de ce qui se passe en classe et cela sera très sensible à la lecture des transcriptions des dialogues entre élèves et intervenante.

5Les élèves ont été choisis plutôt moyens, ni trop en difficultés, ni trop à l’aise. Plus précisément plutôt moyens pour la classe retenue, ce qui ne signifie pas moyens pour un niveau donné.

6Nous avons aussi sélectionné des séquences d’apprentissage où le nouveau savoir est important à la fois en volume (objets, opérations et méthodes de résolution de problèmes) et en ouverture vers une formation mathématique plus approfondie : la proportionnalité en sixième et les fonctions linéaires en troisième.

7Qu’ils aient été en sixième ou en troisième, les élèves se sont mobilisés pour guider l’intervenante vers la résolution des problèmes et des exercices qui avaient été proposés par leur professeur. Il leur a fallu pourtant rester en classe une heure de plus. Mais les élèves ont eu vraiment à cœur d’expliquer à cette adulte, qui « ne savait pas », ce qu’eux savaient et savaient faire. Comme ils avaient étudié le problème avec leur professeur au préalable, ils se sont installés dans cette posture de « guide » avec une certaine sérénité, qui a quand même été mise à mal à plusieurs reprises. Cependant il y en avait toujours un dans le groupe qui relançait la réflexion en proposant une piste de recherche de solution.

8Ce qui a frappé le plus ici c’est la mobilisation inattendue de certains « qui en classe donnent l’impression qu’ils ne font rien, qu’ils sont là, mais pas là, mais qui, sur la vidéo, montrent une vraie envie de faire comprendre des choses à l’intervenante ». Les enseignants vont alors constater que l’activité – la non-activité – apparente en classe n’est qu’une infime part de ce qui, en réalité, est en jeu. « L’activité réalisée n’a pas le monopole du réel de l’activité » (Clot, 1999a, p. 119). Inapparente, tournée vers l’objet mathématique et vers l’enseignement du professeur, leur activité réelle a fourni à ces élèves assez de ressources pour qu’ils participent effectivement à l’instruction de l’intervenante.

9De leur côté, les professeurs, confrontés à l’enregistrement vidéo de ce que disent et font leurs élèves, ont été invités à s’engager dans une activité dialogique d’observation et d’interprétation. Le dispositif retenu a été de leur demander de visionner l’enregistrement des séances de travail de leurs élèves. D’abord individuellement puis en binôme avec la collègue qui avait fait participer, à ces séances, des élèves d’une classe de même niveau, soit un binôme pour les troisième et un autre pour les sixième. L’objectif était à la fois qu’ils réagissent à ce qui les interrogeait et, d’autre part qu’ils sélectionnent quelques moments-clés afin de les proposer à la discussion en groupe de travail.

1.1.1. Un dialogue « intervenante-élèves » sur les fonctions linéaires en troisième

10Pour un groupe d’élèves de classe de troisième standard il s’agissait de faire faire à l’intervenante l’exercice dont l’énoncé est le suivant :

11Soit g la fonction linéaire telle que g : x → – 3x.

  1. Calculer g (7), g (5/6) et g (– 12).

  2. Quel est l’antécédent de 18 par la fonction g ?

  3. Quelle est l’image de – 1 ?

  4. Quel nombre a pour image 8 par cette fonction ?

12On s’arrêtera dans un premier temps sur la résolution de la question 2 car elle a beaucoup surpris la professeure de cette classe comme on le verra plus loin. Le verbatim de cette résolution figure en annexe 2.

13Il y a plusieurs épisodes repérables dans la recherche collective de la solution. La première phase correspond aux 33 premières prises de parole : il s’agit de faire le calcul « 18 divisé par moins 3 » (en 12, 23). C’est l’élève Él. 5 qui fait cette proposition.

10. Intervenante : Comment je vais faire, dites voir.
11. Une autre élève : Ben il va falloir faire des calculs.
12. Él. 5 : Faire 18 divisé par moins 3.
13. Él. 2 : Pourquoi tu fais ça ?
14. Él. 5 : Parce que…
15. Él. 6 : Parce que pour trouver déjà quand on veut calculer la fonction de 7 là, on fait une multiplication donc pour trouver l’antécédent ben on fait une division.
16. Intervenante : Vous êtes tous…
17. Él. 6 : Oui, oui, c’est ça.
18. Intervenante : Mais attends, tu divises quoi par quoi ?
19. Él. 5 : On divise l’image par la fonction, enfin ce que donne la fonction.
20. Intervenante : (L’intervenante écrit sur sa feuille) Donc l’antécédent de 18, c’est ce qui est obtenu…
21. Él. 2 : (très bas) Par un calcul.
22. Intervenante : Par un calcul et ce calcul c’est…
23. Él. 5 : Euh 18 divisé par moins 3.

14On pourrait croire alors que cette question est résolue. Lorsque l’intervenante vérifie que tous les élèves sont d’accord (en 33), cet accord est d’abord déclaré.

33. Intervenante : Tout le monde est d’accord, ça fait moins 6 ?
34. Plusieurs élèves : Oui, oui.

15Mais plusieurs élèves, pour s’en convaincre vraiment, proposent de « reprendre le schéma ». Il se trouve que la place du nombre 18 dans le schéma fait problème pour les élèves parce que ce qui est donné c’est 18, et qu’on fait un calcul portant sur 18.

43. Plusieurs : On peut reprendre le schéma.
44. Intervenante : Ah et puis on peut reprendre le schéma. Alors g
45. Él. 5 : Deux points 18, non,
46. Plusieurs élèves : Si 18.
47. Él. 5 : Si 18.
48. Une élève : Fabrique…
49. Él. 6 : Flèche…
50. Él. 5 : Fabrique plus…
51. Perplexité, rires et silence

16À ce moment-là de leur apprentissage les élèves semblent relier le nombre qui est donné et sur lequel on calcule à ce qui figure à gauche de la flèche. L’intervenante essaie de leur faire relier le schéma avec antécédent et image.

60. Intervenante : Attends parce que dans le dessin, dans l’écriture là avec le petit schéma, c’est quoi l’antécédent, c’est quoi l’image ?

17Il n’y a pas d’écho. Les élèves persistent à chercher du côté d’un schéma de la forme g : 18 → 18 / (– 3)

71. Él. 5 : g de…
72. Soupirs de certaines élèves.
73. Él. 5 : de 18, on met la flèche et après on fait 18 divisé par moins 3

18L’expression de visage de cet élève, visible sur la vidéo, montre qu’il n’est pas pleinement satisfait. Les doutes des autres s’expriment au cours de 39 prises de parole (lignes 43 à 82 du verbatim en annexe 2) sans que l’intervenante ne parvienne à les faire avancer. Quand elle leur montre le schéma qu’elle avait dessiné auparavant et leur fait remarquer que l’opération correspondant à la flèche est une multiplication par moins 3, non pas une division (83, 87), les questions et les propositions des élèves prennent toutefois un autre cours.

83. Intervenante : Mais attends, j’ai un doute que je n’arrive plus à expliquer. C’est un peu compliqué pour moi. Parce que moi je m’étais dit, mais peut-être que je m’étais trompée, je m’étais dit, euh, si celui qui est là, c’est la valeur que j’ai donnée à x, (elle montre la gauche de la flèche sur le schéma)…
84. Él. 5 : Oui
85. Intervenante : Hein puisque c’est au même endroit sur le schéma.
86. Él. 5 : Oui.
87. Intervenante : Voilà. Donc ce n’est pas diviser qu’il faut faire, c’est multiplier.
88. Silence
89. Él. 4 : Ben oui.
90. Él. 5 : Oui.
91. Rires

19Él. 5 suggère alors de commencer le schéma par g : – 6 → .

95. Él. 5 : Ah mais non, je me suis trompé, c’est g de moins 6 flèche

20Et il engage un mini-dialogue avec l’élève Él. 2 pour le convaincre.

100. Él. 5 : Non regarde parce que l’antécédent de 18, c’est bien moins 6.
101. Él. 2 : Oui.
102. Él. 5 : Et l’antécédent, c’est ce qu’on met avant.
103. Él. 4 : Oui, c’est ce qu’il y a entre parenthèses.
104. Él. 5 : Voilà. Donc c’est g de moins 6.
105. Él. 2 : Oui mais toi t’avais dit g de 18.
106. Él. 5 : Oui ben oui, je me suis trompé.

21Il se passe un nouveau rebondissement lorsqu’une élève dit « Attends » et ce faisant réactive le doute sur la place de 18 dans le schéma.

111. Une élève : Attends.
112. Él. 5 : 18, euh non.
113. Intervenante : 18
114. Él. 4 : 18x, non ?
115. Él. 2 : Il n’y a pas de x, il n’y a pas de x.
116. Él. 6 : Non, surtout pas.

22Le collectif peine à faire le lien entre ce début de schéma g : – 6 → et le fait qu’il faut diviser 18 par – 3. Él. 5 suggère à l’intervenante de modifier ce schéma en remplaçant – 6 par 18 : – 3.

142. Él. 5 : ça fera moins 6. (Il montre sur le schéma de l’intervenante à droite de la flèche) Là vous mettez 18 divisé par moins 3
143. Intervenante : (Elle écrit sur le schéma 18 : -3) 18 divisé par…
144. Él. 6 : Moins 3
145. Intervenante : Moins 3.
146. Él. 6 : Et puis c’est tout.

23Évidemment il en résulte une plus grande confusion d’autant que l’intervenante constate qu’on retrouve – 6, on n’a donc pas avancé.

147. Intervenante : On retrouve moins 6.

24Ce qui fait réagir vivement Él. 6.

150. Él. 6 : Mais non, mais ça il ne faut pas le marquer. Il est déjà marqué au début, il ne faut pas le marquer.
151. Silence et perplexité marquée sur les visages.

156. Él. 6 regarde Él. 2 et lui dit que l’intervenante ne comprend rien.

25Ici, l’intervenante revient sur ce début de schéma et le met en regard avec le schéma g : x → – 3x qu’elle avait construit avec les élèves pour la recherche des images demandée en question 1 de l’exercice. Elle attire l’attention sur la multiplication par – 3 qui y figure.

159. Intervenante : Je vous suggère une idée. Je vous dis, tiens, alors moins 6, alors moi je me dis, bon là je vais remplacer x par…
160. Él. 4 : Moins 6
161. Intervenante : moins 6, flèche, après je me dis moins 3
162. Él. 6 : Pourquoi ?
163. Intervenante : (Elle montre un schéma construit précédemment) Parce que là il y a moins 3.
164. Él. 6 : Mais non.
165. Intervenante : Et que moins 3 est lié à la fonction g comme t’as dit tout à l’heure. Je vais mettre moins 3 et je vais multiplier par quelque chose parce que là le moins 3, il est multiplié par quelque chose (Elle montre le même schéma).

26Puis elle montre sur ce schéma à la gauche de la flèche la place de l’antécédent.

171. Intervenante : Mais pourtant, réfléchissons. Normalement l’antécédent, il est là. (Elle montre la gauche de la flèche). Vous êtes d’accord avec ça ?
172. Plusieurs acquiescent.
173. Intervenante : Voilà. Donc l’antécédent de 18, on a vu que c’était

27Lorsqu’on regarde la vidéo de ce moment-là, on voit l’élève Él. 5 extrêmement concentré, il ne parle pas. Et tout à coup il s’écrie « J’ai trouvé » puis il s’efforce de convaincre ses pairs.

178. Él. 4 : Lentement cette fois-ci.
179. Intervenante : Vas-y lentement.
Él. 5 : Moins 6, c’est l’antécédent, donc on est obligé de le retrouver avec moins 3 parce que c’est x. Moins 3 x ça fait bien moins 3 fois le nombre x et ce nombre x c’est moins 6, donc il faut faire moins 3 fois moins 6. Ça fait 18. Et ce qu’on cherche c’est l’antécédent de 18.
181. Él. 4 : Donc l’antécédent il est après la flèche.
182. Él. 2 : L’antécédent, c’est x.
183. Él. 5 : (il répond à Él. 4) Non l’antécédent, c’est moins 6.
184. Él. 6 : Si, c’est x parce qu’il faut faire (suite inaudible)
185. Él. 2 : (elle s’adresse à Él. 5) C’est moins 6.
186. Él. 5 : Oui voilà.
187. Intervenante : Tu lui expliques parce qu’elle a dit, l’antécédent c’est après la flèche. Dis-lui doucement.
188. Él. 5 : (Il montre à Él. 4 sur le schéma) Là c’est l’antécédent, ça c’est le calcul, et on donne l’image.

28Pour la professeure de ces élèves, le déroulé de la recherche collective de la résolution de la question 2 a été très déroutant :

« Tout d’abord, je suis étonnée de la rapidité avec laquelle ils donnent la bonne réponse. J’ai du mal à déterminer si c’est plus par intuition ou par réflexion réflexe ou par référence, adaptée à cet exemple, aux exercices du même genre faits précédemment en classe.
Puis je suis très surprise qu’ils n’en restent pas là et que plusieurs élèves fassent référence au schéma de la fonction, à savoir g : x → – 3x.
Dans le débat qui suit, je suis étonnée par le nombre d’idées justes qu’ils ont par rapport aux phrases erronées ; et pourtant ces idées justes mettent un temps fou à prendre le dessus et ils peinent à les organiser ; en fait ce sont les liens entre les différentes facettes de la notion de fonction qu’ils ont du mal à faire.
La ligne 112 est troublante. Ils sont à rien du but quand tout rebascule.
Il semble que c’est la position spatiale de l’antécédent que l’intervenante montre (ligne 171) sur le schéma qui dénoue la situation.
Ligne 143 : J’ai comme l’idée que c’est la division 18 : – 3 qu’ils ne relient pas à l’équation – 3x = 18 qui est bloquante pour eux. »

On va retrouver le même sentiment de surprise chez la professeure de l’autre troisième.

1.1.2. Dans l’autre troisième : un dialogue « intervenante-élèves » à propos des écritures symboliques

29Un groupe d’élèves de l’autre classe de troisième doit donner des instructions à l’intervenante pour lui permettre de résoudre le problème énoncé ci-dessous. Ce problème est extrait d’annales du brevet :

Un groupe d’élèves de l’autre classe de troisième doit donner des instructions à l’intervenante pour lui permettre de résoudre le problème énoncé ci-dessous. Ce problème est extrait d’annales du brevet :
Un disquaire en ligne propose de télécharger légalement de la musique.
Offre A : 1,20 € par morceau téléchargé avec un accès gratuit au site.
Offre B : 0,50 € par morceau téléchargé moyennant un abonnement annuel de 35 €.
Soient f et g les deux fonctions définies par f : x → 1,2x et g : x → 0,5x + 35.
1. Calculer pour chaque offre le prix de 30 morceaux téléchargés par an.
2.
a. Exprimer, en fonction du nombre x de morceaux téléchargés, le prix avec l’offre A.
b. Exprimer, en fonction du nombre x de morceaux téléchargés, le prix avec l’offre B.
3. Soient f et g les deux fonctions définies par f : x → 1,2x et g : x → 0,5x + 35.
a. Calculer g (41).
b. Trouver l’antécédent de 42 par la fonction f.
c. Dans le repère orthonormé fourni en annexe et à rendre avec la copie, la représentation graphique de g a été tracée. Représenter dans ce même repère la représentation graphique de la fonction f.
4.
a. Lire graphiquement le nombre de morceaux pour lequel les prix sont les mêmes. Mettre en évidence cette valeur sur le graphique (pointillés, couleurs).
b. Par le calcul, retrouver le nombre de morceaux pour lequel les prix sont les mêmes.

30(Pour l’essentiel, le verbatim de la résolution du problème se trouve en annexe 1).

31Cette classe de troisième fait partie d’un réseau « Ambition Réussite ». Plusieurs élèves y sont en difficulté. Pendant l’heure de travail, le problème n’a pu être étudié dans son ensemble, il a fallu s’arrêter avant la question 3.c. Il faut toutefois préciser que l’intervenante ne s’est pas engagée tout de suite dans l’élaboration de la réponse aux questions. Elle a d’abord pris le temps de se faire expliquer la signification des représentations symboliques f : x → 1,2x et g : x → 0,5x + 35. Il n’en reste pas moins que, pour répondre aux questions 3.a et 3.b, et surtout à la question 3.b, les élèves ont rencontré de nombreux obstacles.

32D’emblée ils ont associé au schéma f : x → 1,2x l’image et l’antécédent : « La flèche en gros ça représente, ça veut dire l’image » (l.45, l.46). Au moment où ils en sont de leur apprentissage, visiblement, ils n’ont pas encore stabilisé la signification de ces deux mots. Ils savent que d’un côté de la flèche il y a l’image et de l’autre l’antécédent, mais ils ne sont pas encore pleinement sûrs du côté à associer à l’un et l’autre de ces deux mots.

59. Intervenante : Qu’est-ce qui est antécédent, qu’est-ce qui est image ?
60. Él. 4 : C’est le résultat.
61. Él. 1 : L’antécédent c’est le dernier résultat en fait.
62. Él. 2 : Voilà.
63. Intervenante : C’est rigolo parce que ante quand on dit antécédent
64. Él. 1 : Oui c’est avant.
65. Intervenante : C’est avant, non ? Parce que c’est un mot qui veut dire j’sais pas moi quand on dit…
66. Él. 4 : Ah non c’est le x en fait c’est l’antécédent (Il fait le geste de la flèche) parce que c’est de l’autre côté (il fait le geste de la flèche dans l’autre sens). L’image c’est par là (il refait son premier geste) et l’antécédent c’est par là.

33Dès lors les élèves n’ont pas été en mesure, dans un premier temps, de résister à Él. 5 qui était, elle, très sûre, mais se trompait et confondra image et antécédent tout au long de la séance de travail. La tentative d’éclaircissement initiée par l’intervenante dès le début n’a donc pas permis aux élèves de stabiliser la signification correcte de ces deux mots. Ce n’est pas anecdotique, car les échanges dialogiques en ont été perturbés et la progression collective encombrée et ralentie.

38. Intervenante : Soit f et g les deux fonctions définies par f : x → 1,2x et g : x → 0,5x + 35. Alors là il faut me dire ce que ça veut dire parce que là je ne comprends pas du tout. Ce dessin-là, enfin ce schéma-là, moi je le lis f deux points x une flèche 1,2x.
39. Él. 4 : Ben c’est pour chaque morceau téléchargé.
40. Él. 1 : Oui mais c’est…
41. Intervenante : Mais à quoi ils correspondent tous ces…
42. Él. 1 : Par la fonction f
43. Él. 2 : C’est l’image et l’antécédent, c’est ça ?
44. Él. 1 : Par la fonction f, x est l’image de 1,2x en fait.
45. Él. 4 : La flèche en gros ça représente…
46. Él. 1 : ça veut dire l’image
47. Intervenante : Donc l’image, c’est quoi, c’est x ou c’est 1,2x ?
48. Él. 1 : C’est la flèche, c’est x la flèche. (Elle fait un geste de la main).
49. Él. 2 fait un geste analogue en même temps.
50. Él. 2 : C’est x plus votre flèche.
51. Intervenante : Oui
52. Él. 2 : Ensuite…
53. Él. 4 : Il y a le résultat
54. Él. 2 : Et après vous avez…
55. Él. 1 : C’est l’antécédent, c’est ça ?
56. Él. 2 : L’antécédent, c’est ça ?
57. Él. 5 : Oui, c’est l’antécédent.

34Dans les explications que les élèves donnent à l’intervenante, la référence à « la flèche » est très présente, souvent assortie du geste correspondant. Comme on le verra plus loin ce support de leur pensée a gêné leur recherche quand il s’est agi de déterminer l’antécédent de 42 par la fonction f. Ils ont alors eu l’idée d’un schéma construit à partir d’une « flèche à l’envers » qui est apparue dès le début quand le dialogue portait sur la signification du schéma g : x → 0,5x + 35.

91. Intervenante : Avec g donc ?
92. Él. 5 : Oui.
93. Intervenante : Donc j’écrirai x est l’antécédent de quoi ?
94. Él. 4 : 0,5x + 35.
95. Intervenante : Ah oui. D’accord.
96. Él. 2 : Voilà.

99. Él. 5 : Et à chaque fois au lieu d’écrire antécédent on fait la petite flèche. On fait x flèche de 0,5x +

103. Él. 1 : En fait c’est pour simplifier. La flèche c’est pour simplifier image et antécédent. Image c’est la flèche à l’envers et quand c’est normal, la flèche comme ça c’est l’antécédent.

108. Él. 4 : (avec un geste vers la feuille de l’intervenante) Si, là, c’est l’image. Quand la flèche est tournée vers la droite, c’est l’image et dès que c’est de l’autre côté, c’est l’antécédent.

35Ce schéma g : x → 0,5x + 35 avec la flèche revient à nouveau dans les propos des élèves quand ils expliquent à l’intervenante la signification de l’écriture symbolique g (41) qu’ils lui présentent comme une « formule simplifiée » de ce schéma.

118. Intervenante : Alors ensuite on nous demande : calculer g (41). Alors pareil ça je ne sais pas ce que ça veut dire moi.
119. Él. 1 : C’est une formule simplifiée en fait. g (41) c’est pareil sauf que c’est en simplifié en fait.

126. Intervenante : Donc toi tu dis, au lieu d’écrire si je ne simplifiais pas, j’écrirais quoi ?
127. Él. 4 : (Il se lève et montre sur la feuille de l’intervenante) Ce que vous avez écrit avant là, comme ça là.
128. Él. ? : On remplace comme ça x par 41.

131. Intervenante : Si je ne simplifiais pas j’écrirais g deux points
132. Él. 5 : Deux points 41.

138. Intervenante : Je mets la flèche et là ?
139. Él. 5 : fois 0,5
140. Él. 1 : 41 fois 0,5
141. Él. 5 : 41 fois 0,5
142. Él. 2 : + 35
143. Él. 5 : + 35. Et c’est égal à 55,5.

146. Intervenante : Ah d’accord. Bon ça d’accord, mais c’est quoi g (41) ?
147. Él. 4 : Mais en fait c’est les morceaux achetés.
148. Intervenante : Oui mais qu’est-ce que je fais ? On me dit, calculer g (41).
149. Él. 4 : Vous l’avez…
150. Intervenante : Je mets g (41).
151. Él. 4 : égale 55.
152. Intervenante : Ah ! Égale.

36Lorsque l’intervenante propose d’écrire g : 41 → g (41), les élèves précisent leur pensée.

172. Intervenante : Donc je pourrais écrire g deux points 41 flèche g (41) ?
173. Él. 4 : Voilà. C’est la même chose en fait.
174. Él. 1 : C’est la même chose. En fait les calculs là-bas c’est la même chose que g (41) tout seul.

37Mais lorsqu’elle écrit g : xg(x), après une réponse ambiguë de Él. 4, c’est le refus qui s’impose avec des arguments inattendus sur lesquels on reviendra plus loin.

183. Intervenante : Je peux écrire g : xg(x) ? C’est correct ça pour vous ?
184. Él. 4 : Non. C’est en fait c’est deux trucs différents mais ça veut dire la même chose.

186. Intervenante : Ça vous ne l’écririez pas ?
187. Él. 2 : Non il y a juste celui-ci.
188. Intervenante : Ça, mais pas ça. (Elle montre g : 41 → g (41) et g : xg(x)).
189. Él. 2 : Voilà. 41 fois 0,5 plus 35. Voilà c’est l’offre B, c’est la plus simple.
190. Intervenante : Vous écririez g (41), mais ça vous ne l’écrirez pas ? (Elle montre g : xg(x))
191. Él. 2 : Voilà. Parce que g (41) justement on vous demande de le calculer.
192. Intervenante : D’accord.
193. Él. 2 : Avec 41 morceaux téléchargés.
194. Intervenante : D’accord, donc ça je ne l’écris pas.

38Un peu plus tard, au moment de déterminer l’antécédent de 42 par la fonction f, d’emblée les élèves proposent la solution graphique. Il est probable que leur décision provient de la présence du graphe de g qui complète le texte du problème. Il est possible qu’ils soient allés piocher dans le souvenir confus qu’ils gardent de ce qu’ils ont vu en classe et qui ne se rapporte pas nécessairement à cette question.

196. Intervenante : Ok. Ensuite b), on me demande de trouver l’antécédent de 42 par la fonction f.
197. Él. 3 : Ben on va regarder sur le graphique.

39Quand l’intervenante s’informe sur le rapport entre le graphique et la fonction, il n’y a pas de réponse très précise. Certes ils associent, très confusément, les axes à l’antécédent et à l’image. Él. 5 continue à confondre les termes. Él. 2 se réfère, comme il l’a fait à plusieurs reprises, au contexte concret du problème. Il a été le seul à procéder ainsi.

201. Intervenante : Vous allez déjà m’expliquer le rapport qu’il y a entre le graphique et la fonction parce que pour moi…
202. Él. 5 : Ben ici (elle montre l’axe des ordonnées).
203. Intervenante : Ici vous avez des calculs et ici vous avez un dessin. Alors pour moi ça ne veut rien dire. Expliquez-moi.
204. Él. 5 : (Elle montre à nouveau l’axe des ordonnées) Ben ici normalement c’est les antécédents.
205. Él. 4 la regarde sans conviction.
206. Él. 3 : C’est (inaudible) 56
207. Él. 5 : (Elle montre l’axe des abscisses) Et ici ce sont les images, c’est ça ?
208. Él. 2 : Oui et puis la droite ils vous ont déjà tracé l’offre B. Donc vous partez de 35 (Il montre sur l’axe des ordonnées), c’est l’offre, c’est l’abonnement annuel, elle va jusqu’à…

40Avant de poursuivre et de dessiner le graphe de f, passage obligé pour déterminer graphiquement l’antécédent de 42 par cette fonction f, l’intervenante veut que le rapport entre image, antécédent et axes de coordonnée soit correctement posé dans le groupe. Elle tente d’y parvenir en demandant aux élèves de lui dire que faire de g (41) = 55,5 sur le graphique. Les hésitations sur la signification des mots “antécédent” et “image” font à nouveau obstacle. En effet les élèves placent 41 sur l’axe des ordonnées. Il faut que l’intervenante leur rappelle que le calcul avait conduit à g (41) = 55,5 pour que l’erreur soit corrigée.

226. Intervenante : Donc si je comprends bien, je retourne à ce qu’on a déjà fait comme calcul, le x pour g, c’est le nombre de fois, c’est le nombre de morceaux téléchargés ?
227. Él. 2 : Oui.
228. Intervenante : Donc on a fait le calcul pour 41. Alors 41, il est où ? (Elle montre le graphique de g)
229. Él. 1 : (Elle parcourt l’axe des ordonnées de son doigt) 41 c’est l’antécédent alors il faut chercher ici 41.
230. Él. 5 : (Elle montre sur son graphique) le 41 il est là.
231. Intervenante : Oui j’ai vu où c’était.
232. Él. 1 : Le 41 c’est sur 10 (Elle montre le point d’abscisse 10 sur l’axe des abscisses)
233. Él. 2 : Donc justement c’est vous qui devez mettre votre croix à 41.
234. Él. 3 : Non 41 c’est 11, regarde bien 41 c’est à peine au-dessus.
235. Él. 5 : Ah oui, si c’est 11.
236. Intervenante : On avait trouvé 55,5 ?
237. Él. 1 : Non, c’est l’inverse. C’est maintenant parce que quand tu regardes 41 ici (elle pointe 41 sur l’axe des abscisses) tu montes, tu montes, ça te fait 55,5.

41La tentative de détermination graphique de l’antécédent de 42 par la fonction f n’aboutit pas. Él. 4 oriente la recherche collective vers le calcul.

310. Intervenante : Toi tu dis que pour l’instant en fait il n’y a pas besoin de

312. Él. 4 : Il n’y a pas besoin de regarder sur le graphique il faut juste
313. Intervenante : Il faut le calculer.
314. Él. 4 : Oui.

318. Intervenante : Comment on fait pour calculer ? Vous êtes d’accord avec ce qu’il vient de dire ? Lui il dit, pour l’instant on laisse tomber le graphique, on fait le calcul.
319. Él. 1 : Oui.
320. Él. 2 : Oui allez-y oui.
321. Intervenante : On fait le calcul, alors on fait le calcul comment ?
322. Él. 1 : Ben c’est l’antécédent, c’est l’inverse de ce qu’on a fait tout à l’heure. C’était l’image tout à l’heure qu’on faisait ?

42Les élèves font intervenir alors le schéma construit précédemment pour la fonction f, mais pour dessiner la flèche, l’intervenante est invitée à changer le sens de la flèche après avoir écrit f : 42.

321. Intervenante : On fait le calcul, alors on fait le calcul comment ?
322. Él. 1 : Ben c’est l’antécédent, c’est l’inverse de ce qu’on a fait tout à l’heure.
323. Intervenante : Donc là qu’est-ce qu’on doit faire comme calcul alors ?
324. Él. 4 : Ben 42
325. Él. 1 : Là et c’est f pour commencer
326. Intervenante : Alors je mets ?
327. Él. 4 : f deux points
328. Él. 1 : f deux points
329. Intervenante : Oui
330. Él. 4 : Vous laissez un petit espace et vous mettez la flèche
331. Él. 1 : Non c’est 42, 42
332. Él. 4 : Vous mettez 42. Après vous la mettez à l’envers
333. Él. 1 : La flèche elle n’est pas comme tout à l’heure, elle est à l’envers

43Bien évidemment partir ainsi, comme ils en donnent la consigne, ne peut que créer des difficultés par la suite. D’ailleurs on perçoit déjà un doute qui naît dans la pensée de Él. 1 pourtant la plus décidée à utiliser la flèche à l’envers.

331. Él. 1 : Non c’est 42, 42

44Le dialogue s’enlise un moment. L’intervenante se conforme aux propositions des élèves et complète son schéma en inscrivant 1,2 x à l’extrémité de sa flèche à l’envers.

344. Intervenante : Et là qu’est-ce que je vais mettre alors ?
345. Él. 1 : Euh. La fonction f c’est
346. Él. 5 : Ben c’est 1,2x
347. Él. 1 : (Sans conviction) Oui
348. Él. 5 : Non ?
349. Intervenante : C’est ce que vous m’avez dit

352. Intervenante : Alors qu’est-ce que je fais maintenant ?
353. Él. 4 : Ben on écrit 1,2x
354. Él. 2 : C’est pas 1,20 ?
355. Él. 1 : C’est pareil.
356. Él. 4 : C’est pareil.
357. Él. 2 : C’est pareil.

45Lorsque l’intervenante tente de faire le point sur l’avancée de la démarche engagée dans le groupe, elle est gênée par l’élève Él. 5 qui a devant elle un corrigé du problème dont l’origine est incertaine. Elle est la seule dans cette situation. Cela ne l’a pas empêchée de se tromper souvent. Mais à ce moment-là elle profite de la confusion qui règne pour donner correctement le calcul adéquat sans le relier à tout ce qui précède. Ce qui brise le cours de l’enchaînement précédent et accroît le désarroi de ses pairs.

358. Intervenante : Ah mais je mets 1,2x ça ne marche plus puisque j’ai mis la flèche dans l’autre sens.
359. Él. 5 : Après on peut diviser, on peut diviser 42, 42 divisé par 1,2.

46Comme pour sa collègue de l’autre classe de troisième, les dialogues entre les élèves, ceux avec l’intervenante, ont été source d’étonnement pour la professeure.

« J’ai été surprise de voir que même les élèves les plus en difficulté font le lien entre la notion de fonction et variables. Pour tous, une fonction est bien le lien entre deux grandeurs qui varient. Il semble que le schéma … →… les aide à comprendre ce lien (103) et à accepter cet outil abstrait qu’est la fonction (malgré son peu d’utilité en classe de troisième) (119, 127, 128, 146-151). Pour eux il justifie ces nouvelles écritures comme simplification de quelque chose qu’ils connaissaient avant, en lien avec la proportionnalité. Donc finalement, ils arrivent sans trop de difficulté à expliquer l’écriture 41 → g (41) (172, 173, 174) et même à expliquer ce que cela signifie graphiquement (237).
Cela m’a d’ailleurs étonnée qu’ils fassent spontanément le lien entre ces 3 registres : le graphe, l’écriture symbolique et la situation de départ ancrée dans le réel.
En revanche, ils ne peuvent atteindre le niveau d’abstraction xg(x) (183, 184), cela ne me surprend pas. Ce qui me surprend, c’est une réflexion d’une élève qui dit « c’est 2 trucs différents mais ça veut dire la même chose ». (184)
Cependant, on sent vraiment que le schéma avec la flèche permet aux élèves de donner du sens aux mots image et antécédent (99, 103, 108). Ce schéma semble moteur du développement de leur pensée… jusqu’au calcul de l’antécédent de 42 ! En effet, je ne m’attendais pas à l’emploi d’une flèche à l’envers pour trouver l’antécédent de 42 car je ne me rappelle pas leur avoir présenté ce schéma : f : 42 ← ?
La flèche est à l’envers et au bout on n’a pas de calcul à faire. Il faudrait avoir la forme de la fonction réciproque ! Ils voudraient avoir un calcul mais du coup pour une élève cela revient à chercher une image, elle associe le mot image à un calcul et on ne cherche donc plus un antécédent !
Néanmoins je suis assez surprise qu’ils aient senti l’existence d’une fonction réciproque, ils utilisent même le mot « inverser » ; mais pour eux, ce n’est pas clair que cette fonction réciproque est la division par 1,2. Pour eux, ce n’est ni évident, ni spontané (voire laborieux) que l’inverse de multiplier par 1,2 soit diviser par 1,2. Cela me pose question sur le travail à effectuer en amont avec les élèves sur le sens des opérations.
Une dernière réflexion sur ces vidéos : l’élève le plus en difficulté (il s’agit de Él. 2) se raccroche constamment à la situation concrète et occulte complètement le vocabulaire et l’univers des fonctions. Pour lui g (41), c’est 41 morceaux téléchargés ; c’est 1,20 et non 1,2 car 1,20 est relié à un prix. Pour autant, il n’arrive pas plus à résoudre le problème. Avant ce travail, je pensais que la référence à un « problème concret » pouvait aider à rentrer dans l’abstraction des outils mathématiques, maintenant, j’en doute… »

1.1.3. Le dialogue « intervenante-élèves » sur la proportionnalité en sixième

47Comme l’ont fait les élèves des classes de troisième et dans le même dispositif, un groupe d’élèves de 6e a dû instruire l’intervenante-sosie pour la guider dans la résolution de deux exercices portant sur la proportionnalité, l’un dans le cadre géométrique, l’autre dans le cadre numérique et faisant référence à la vie courante. Rappelons que l’instruction se déroule dans le collège en dehors de l’emploi du temps usuel et sans la présence de l’enseignant de la classe. Le verbatim complet de la résolution des exercices se trouve en annexe 3. Nous rappelons les énoncés et exercices et donnons les temps forts de cette séance.

Exercice n° 1

48Voici un triangle dont les côtés mesurent 3 cm, 4 cm, 5 cm. On agrandit ce triangle à la photocopieuse. Le côté qui mesurait 5 cm mesure 7 cm. Termine le triangle agrandi. (À cet énoncé était joint le tracé du triangle initial.)

Exercice n° 2

49Le prix pour 1 kg de fraises est 4 €, pour 3 kg de fraises, il est 10 €. Le prix est-il proportionnel à la masse ?

Résolution de l’exercice 1

50Pour mettre en route le travail, l’intervenante lit à haute voix l’énoncé de l’exercice puis demande aux élèves ce qu’il lui faut faire. Un élève, Él. 2, très sûr de lui, propose successivement toutes les opérations nécessaires, tout au moins pour lui. Ce faisant il donne les consignes pour construire un triangle dont les mesures des côtés seraient respectivement 3 + 2 = 5, 4 + 2 = 6, et 7 bien sûr. Il explique bien que le nombre 2 provient de la différence 7 – 5 des mesures du plus grand côté de ces triangles.

1. Intervenante : Je lis la consigne. Voici un triangle dont les côtés mesurent 3 cm, 4 cm, 5 cm. On agrandit ce triangle à la photocopieuse. Le côté qui mesurait 5 cm mesure 7 cm. Termine le triangle agrandi. Alors la consigne c’est donc : termine le triangle agrandi, c’est ça ?
2. Él. 8 : Il faut terminer mais en l’agrandissant.
3. Intervenante : C’est bien ça qu’on appelle la consigne.
4. Él. 4 : Il y a un côté qui mesurait 5 cm et qui est passé à 7.
5. Une élève se met à rire.
6. Intervenante : Allez, on se calme. Alors qu’est-ce que… Vous m’écoutez, vous ne dites pas des mots à tort et à travers, parce que moi sinon je n’arrive pas à comprendre ce qu’il faut faire. Alors qu’est-ce que je dois faire ?
7. Deux élèves lèvent le doigt.
8. Intervenante : Qui est-ce qui a une idée ? Qu’est-ce que je dois faire ? Dis voir.
9. Él. 2 : On fait 7 – 5, ça fait 2.
10. Rires
11. Él. 2 : Ensuite…
12. Intervenante : Vous ne rigolez pas, vous le laissez parler et après si vous n’êtes pas d’accord, vous le dites. Bon attends, je le note pendant que tu me dis. Donc on fait 7 – 5, ça fait 2 et après on fait…
13. Él. 2 : Ensuite on fait 4 + 2.
14. Intervenante : 4 + 2.
15. Él.2 : et 3 + 2.
16. Intervenante : 3 + 2. Et puis qu’est-ce qu’on en fait de ça ? 4 + 2 ça fait 6, c’est bien ça ? Et 3 + 2 ça fait 5.
17. Él. 4 : Madame (il lève la main)
18. Intervenante : Attends. Il va finir son idée. Qu’est-ce que j’en fais du 6 et du 5 ? ça me sert à quoi ?
19. Él. 2 : Ben on fait le triangle.
20. Intervenante : Comment tu fais le triangle ?
21. Él. 1 : Mais il ne sert à rien ce…
22. Intervenante : Attends, attendez deux secondes, il va jusqu’au bout.

51Il se trouve qu’un autre élève a levé la main, mais plus timidement. L’intervenante remarque qu’il ne semble pas d’accord avec la proposition de Él. 2. Effectivement, lui propose de passer par la multiplication par 1,5 des mesures des côtés du triangle à agrandir. Il s’explique sur l’origine de ce nombre 1,5, car il lui semble en effet que si on multiplie 5 par 1,5, on devrait obtenir 7. Il faut préciser que les élèves n’ont devant eux que l’énoncé de l’exercice, ils travaillent sans écrire, n’ayant ni papier, ni stylo.

56. Intervenante : Toi tu as levé la main tout à l’heure, dis voir. Toi tu as une autre idée, je crois. Tu n’étais pas tout à fait d’accord.
57. Bavardages
58. Él. 1 : (à voix basse) Moi je me dis, c’est peut-être fois 1,5.
59. Intervenante : Alors toi tu dis, c’est peut-être fois 1,5. Pourquoi tu parles de 1,5 ? D’où ça te vient ce 1,5 ?
60. Él. 1 : 5 fois 1,5 je ne sais si ça fait 7, mais je crois bien que si.
61. (Les élèves n’ont que l’énoncé devant eux. Ils n’ont ni feuille, ni stylo, ils travaillent sans écrire)
62. Intervenante : Toi tu dis, alors je note. Toi tu dis, tu parles de 1,5 parce que tu dis que 5 fois 1,5, ça fait 7. Est-ce que ça fait 7, ça ?
63. Él. 8 : Non.
64. Intervenante : ça fait combien 5 fois 1,5 ?

52Il s’ensuit un assez long dialogue pour obtenir le résultat de la multiplication 5×1,5.

76. Une autre élève : On peut prendre la calculatrice.
77. Intervenante : Oh vous ne pouvez pas faire ça dans votre tête ?
78. Une élève : Mais non on ne sait pas calculer.
79. Él. 2 : Oh je sais. 6 fois 1, ça fait 6
80. Intervenante : C’est 5 là, c’est 5 fois 1,5. Alors tu dis, 5 fois 1, ça fait 5 et puis après ?
81. Él. 2 : Ben,
82. Une élève : Ah ben 5 + 5, ça fait 5,5
83. L’élève qui a pris sa calculatrice et sa voisine cherchent le résultat sur la calculatrice.
84. Él. 2 : Alors on fait 5 fois 1 et 5 fois 0,5, ça fait, j’sais pas.
85. Él. 6 : (C’est l’élève à la calculatrice) ça fait 7,5 madame.

53Évidemment le calcul ne donne pas 7, mais 7,5. L’intervenante intervient alors pour relancer l’idée de la multiplication suggérée par Él. 1. L’élève Él. 5 prend la parole pour proposer de diviser 7 par 5 sans paraître savoir où ça mènera.

100. Intervenante : (s’adressant à Él. 1) Donc ton idée, elle n’était pas tout à fait juste. Mais peut-être n’est-elle pas tout à fait fausse, non plus ? (s’adressant à tous) Lui, il a parlé d’un multiplier, ça vous…
101. Él. 5 : Non il faut diviser.
102. Intervenante : Alors on divise quoi par quoi ?
103. Él. 2 : Ben, je sais pas.
104. Él. 5 : Ben il faut diviser, en fait non. On divise 7 par 5.

54Le calcul prend un certain temps et aboutit grâce à l’élève Él. 6 qui pose l’opération avec son doigt sur la table. À partir de là le calcul des mesures des côtés du triangle agrandi se fait rapidement et les consignes pour le tracé sont rapidement données.

151. Intervenante : Eh ben voilà, on a trouvé donc c’est bon. Donc on a trouvé 1,4 en faisant 7 divisé par 5. Et est-ce que ça peut nous aider à construire ce triangle, à votre avis ?
152. Un élève : Eh ben oui parce que…
153. Bavardages et réponses au vol.
154. Intervenante : Parle plus fort pour qu’on entende. Chut, taisez-vous les autres parce que sinon on n’entend rien.
155. Él. 7 : Si tu divises 7 par 5, tu trouves 2
156. Intervenante : Non tu trouves 1,4
157. Él. 7 : Oui 1,4. Tu te sers des deux autres nombres là, 4 et 3.
158. Intervenante : Alors quelle opération je fais alors, dis voir ?
159. Él. 1 : Tu fais 4 fois oui, plus 1,5.
160. Intervenante : Plus ou fois ?

175. Intervenante : Oui on a calculé. Mais pour le triangle ?
176. Él. 4 : On additionne ensemble.
177. Intervenante : Tu dis n’importe quoi, tu ne réfléchis pas et tu ne regardes même pas ton dessin.
178. Él. 7 : Ben tu fais une longueur avec 4,2
179. Intervenante : Oui
180. Él. 7 : Tu fais l’autre longueur avec 5,6
181. Intervenante : Oui avec le compas ?
182. Él. 7 : Oui avec le compas.
183. Intervenante : Et puis ça se coupe.

Résolution de l’exercice 2

55L’intervenante lance le travail comme pour l’exercice 1. Elle sollicite des consignes pour faire quelque chose avec les données qui la conduisent à la réponse demandée dans l’énoncé. La réponse de Él. 8 la désarçonne.

1. Intervenante : Alors qu’est-ce que je fais avec ça ?
2. Él. 8 : En fait comme il y a 3 kg de fraises et 4 € le kilogramme et 10 €, 3 fois 4 divisé par, non en fait non.
Un silence
3. Él. 8 : 3 fois 4 divisé par 10 ou 10 fois 3 divisé par 4.
4. Intervenante : Alors toi tu dis 10 fois 3 divisé par 4. Mais pourquoi tu me dis ça, parce qu’il faut faire des opérations ou parce que tu as, tu réfléchis à quelque chose là ?
5. Él. 8 : Je réfléchis.
6. Intervenante : Tu réfléchis.
Un silence

56Elle relit à haute voix l’énoncé et aussitôt fuse la question : « C’est quoi proportionnel ? », question qu’elle renvoie aux élèves. Plusieurs d’entre eux optent pour l’adjectif « pareil ».

16. Intervenante : Qu’est-ce que ça veut dire proportionnel ?
17. Él. 2 : Moi je sais.
18. Intervenante : Attends, on va peut-être laisser chercher les autres un peu.
19. Él. 2 : Proportionnel ça veut dire que la taille…
20. Intervenante : Vous pouvez aller chercher vos cahiers les autres.
21. Él. 5 : Non ça veut dire « pareil ».
22. Él. 2 : C’est la taille par rapport au prix euh, attendez, je suis en train de dire n’importe quoi.
23. Intervenante : Alors ? Vous avez le droit d’aller regarder votre cahier.
24. Él. 2 : Le prix il est pareil que la masse.
25. Él. 3 : Le prix est pareil que le poids.
26. Intervenante : Alors ? Le prix est pareil que le poids, tu dirais.
27. Él. 3 : Oui.

57L’intervenante revient alors aux données précises du problème pour que les élèves les relient à leurs phrases générales. Mais cela n’aboutit pas. S’en suit brouhaha et agitation.

33. Intervenante : Et avec les nombres qui sont là, ça veut dire quoi ta phrase ? Que je comprenne parce que tu vois là moi j’ai des nombres 4 € pour 1 kg et 10 € pour 3 kg et je voudrais bien que tu me dises avec ces chiffres-là ce qu’elle veut dire cette phrase. Eh, oh.
34. Él. 3 : Ben je sais pas.
35. Intervenante : Eh bien dis-moi la ; dis-moi autrement ton idée.
Silence
36. Intervenante : Tu ne sais pas dire ?
37. Él. 8 : Moi je dirais que la taille est proportionnelle à la masse, au prix.
38. Intervenante : Oui mais proportionnel, moi je ne sais pas ce que ça veut dire.

58Le calme revient lorsque l’intervenante donne la parole à Él. 1 qui lève la main depuis un moment. Sa réponse porte sur la définition du mot « proportionnel ». Ce qu’il dit est intéressant car il s’appuie sur un exemple, celui d’un véhicule roulant à vitesse constante. Il rappelle que si l’une des deux grandeurs, vitesse et distance parcourue, est multipliée par deux, l’autre l’est aussi nécessairement. Il conclut : « ça veut dire que c’est proportionnel ».

43. Intervenante : Il y en a deux qui savent, ça va aller plus vite. Dis voir. Chut, chut. On se calme.
44. Él. 1 : Proportionnel ça veut dire par exemple si on va à tel nombre de kilomètres à l’heure et qu’on fait tel nombre de kilomètres, ça veut dire que si on multiplie par 2 un des chiffres, eh ben si l’autre chiffre, il est multiplié par 2, ça veut dire que c’est proportionnel.
45. Intervenante : D’accord. Donc là ça voudrait dire quoi pour l’exercice qui est là ?

53. Él. 1 : Je dirais que c’est pas proportionnel parce que le kilogramme c’est 1 kilo, on fait fois 3 pour aller à 3 kg. Alors on ferait 4 € fois 3, ça nous ferait 12 €.
54. Intervenante : Donc toi tu me dis, toi tu répondrais à, tu me dis qu’il faut que je réponde à la question non c’est pas proportionnel parce que comme je dois donner 4 € pour 1 kilo, si c’était proportionnel, comme tu m’as expliqué ce que c’est proportionnel, je devrais donner…
55. Él.1 : 12 €

59Interrogés sur leur accord ou désaccord avec le raisonnement de Él. 1, ses pairs se divisent. L’une des élèves a une réaction quelque peu étonnante. Elle est « d’accord peut-être pas à 100 pour 100 ».

67. Él. 5 : Moi je suis d’accord.
68. Intervenante : Oui mais ça ne me suffit pas. Après, bon. Déjà on répond à la question. Toi tu dis t’es d’accord, toi tu dis t’es d’accord, voilà.
69. Él. 8 : Je suis d’accord peut-être pas à 100 pour 100.
70. Intervenante : Qu’est-ce que ça veut dire d’accord un petit peu et pas à 100 pour 100 ?
71. Él. 7 : ça veut dire qu’on n’est pas trop d’accord avec lui.

60Après bien des hésitations, elle s’explique, confusément. Elle mentionne une façon autre de s’y prendre : « on aurait dû mettre 4 € + 4 € + 4 €, ça nous aurait fait 12 ».

88. Él. 7 : 4€ le kilo, parce que moi si 3 kg, c’est 10 €, on aurait dû mettre 4 € + 4 € + 4 €, ça nous aurait fait 12 donc la masse n’est pas proportionnelle au poids.
89. Intervenante : Oui, donc tu dis la même chose. Non, c’est pas tout à fait pareil, pour toi c’est pas tout à fait pareil ? Parce que toi tu dis, au lieu de dire, lui il a dit 3 fois 4 et toi t’as dit 4 + 4 + 4, c’est pas pareil pour toi.
90. Él. 7 : Oh ben un petit peu.
91. Intervenante : Non mais je ne sais pas, tu me le dis.
92. Él. 7 : C’est (une grimace)…
93. Intervenante : C’est un petit peu pareil, mais pas tout à fait quand même. Toi tu aurais dit plutôt 4 + 4 + 4.
94. Él. 7 : C’est un petit peu compliqué.

61Quand en réunion la professeure parle de la séance de travail de ses élèves avec l’intervenante, elle cherche dans un premier temps à décrire les démarches de ses élèves, à les resituer dans le cadre de l’exercice proposé, en référence avec ce qui a été réalisé en classe, à en évaluer la portée par rapport aux apprentissages nécessaires.

« Dans le premier exercice, les élèves ont eu à faire un agrandissement d’un triangle de côtés 3, 4, 5 cm de sorte que le segment de 5 cm devienne 7 cm sur l’agrandissement : le côté de 7 cm est déjà représenté sur la feuille et les élèves doivent expliquer à l’intervenante comment finir l’agrandissement. Dans la première situation d’apprentissage en classe, ils avaient eu à réaliser l’agrandissement d’un puzzle de sorte qu’un segment de 2 cm devienne un segment de 3 cm : dans cette situation de proportionnalité, la procédure additive qui consiste à ajouter 1 à chaque dimension avait pu être invalidée par la construction effective du puzzle agrandi : les pièces ne joignaient pas. Dans cet entretien avec des élèves qui éprouvent certaines difficultés, on a pu voir que cette procédure ressurgit d’emblée (9) : il faut un certain temps de dialogue, d’interrogations de l’intervenante pour que tous soient un peu convaincus de la bonne méthode : trouver par quel nombre multiplier (58, 60, 100, 101, 104, 159, 160). C’est la confrontation des points de vue, le dialogue qui font preuve et pas la construction effective du triangle agrandi. Il reste à trouver le bon nombre : comme c’est à l’oral, que les élèves réfléchissent sans écrire, l’obtention d’ordre de grandeur est favorisée : « Moi, je me dis que c’est peut-être 1,5 » (58). Pour obtenir la valeur 1,4, c’est long, mais on peut voir que dans la dynamique du dialogue la bonne procédure pour trouver le coefficient arrive : diviser 7 par 5. Dans les lignes 60 à 85 de la transcription, on voit comment les paroles des élèves se font écho entre elles, dans ce cadre sans jugement, pour arriver à retrouver la bonne construction.
Pour le deuxième exercice : « Un kilo de fraises est vendu 4 € le kilo ; 3 kg de ces fraises sont vendus 10 € ; le prix des fraises est-il proportionnel à leur masse ? », on voit comment il est difficile de distinguer, de nommer les deux grandeurs qui interviennent, le prix, la masse, (22, 37), d’expliquer ce que veut dire « proportionnel à » (13, 19, 21, 24, 25). L’élève qui s’explique bien les choses (élève 1) a recours à un exemple qui lui parle : distance parcourue et vitesse, avec ce que j’ai appelé en classe « le test du double » (44). On voit aussi que, dans une situation de problème, ici, à l’oral, quand l’élève réfléchit, elle ne traduit pas le problème comme on l’attend, en faisant la multiplication 3 × 4 : pour elle, (élève 7), on fait 4 + 4 + 4 (88) et ça ne lui semble pas d’emblée la même chose (90, 92, 94). On a l’impression qu’elle imagine la situation réelle : sur la balance 1 kg : 4 €, on remet 1 kg : + 4 €, et on dirait alors qu’il y a une régression dans les apprentissages. »

62Mais, il n’y a pas que les tentatives confuses, erronées ou réussies des élèves qui ont retenu l’attention de la professeure de ces élèves de sixième. Elle a été fortement surprise, et interpellée, par ce qui se révélait du processus de développement de la pensée des élèves dans les paroles qu’ils s’échangeaient et qu’ils échangeaient avec l’intervenante.

« La vision de ces élèves avec l’intervenante m’a interrogée, m’a même un peu déstabilisée. Mais ça m’a permis de réfléchir à propos de façons de faire parce que c’est vrai que moi je n’avais pas forcément cette idée du développement de l’activité des élèves. Enfin je veux dire que je n’avais pas comme objectif qu’ils sachent expliquer les liens qu’ils faisaient d’une chose à l’autre et je me suis dit que c’était ça qu’il fallait que je fasse, que je fasse des liens dans la tête des élèves, que j’arrive à créer des liens dans la pensée des élèves. Avec cette vision des dialogues, quand j’ai vu comment se faisaient les liens par rapport aux questions, je pense que ça m’a donné des billes. C’est-à-dire que je peux penser que ce n’est pas tout de suite que ça va se faire. Je peux penser qu’il faut du temps, je peux penser que mon explication, ce n’est pas la seule explication, que l’explication du camarade dans la classe peut peut-être apporter plus avec ses mots à lui, des choses comme ça. Au niveau du langage, au niveau du vocabulaire, je fais bien plus attention aux mots qu’utilisent les élèves et j’essaie de les réutiliser. J’essaie d’analyser ce qu’ils veulent dire pour voir si je peux en faire quelque chose, et comment je peux arriver des mots qu’ils disent aux bons mots, enfin aux bons mots, à des mots que moi je trouverais plus efficaces. »

63Les professeurs, confrontés à ce que réalisent leurs élèves, dans le cadre inhabituel qui leur est proposé, expriment leur étonnement, leur surprise, chacun à sa manière.

64Mais ce qui sous-tend ces réactions est un autre registre dont l’importance est essentielle car c’est là que va se structurer, dans l’intimité, la nécessité, ou non, ou partiellement, d’aller y voir de plus près, d’envisager éventuellement une ou des actions. Ce registre est celui des affects. Sous une forme ou une autre, aucun des participants n’y échappe.

65À la différence de ce qui se passe habituellement en clinique de l’activité où le commentaire s’organise sur la base de sa propre activité ou de celle d’un pair, l’activité personnelle apparaît ici en miroir, à travers ce que les élèves font de ce l’on a fait avec eux. D’une certaine façon, les professeurs peuvent ressentir cela comme une sorte d’évaluation de ce qu’ils font avec les élèves, de ce qu’ils parviennent, ou pas, ou incomplètement, à réaliser avec eux. Ce dévoilement, à ses propres yeux, comme à ceux des collègues est producteur d’affects auxquels les participants réagissent.

66Dès les premières réunions où ont été projetés les enregistrements des séances élèves-intervenante, se manifeste une diversité de comportements parmi les enseignants sollicités.

67Les uns ne veulent pas s’engager plus avant dans une démarche dont ils ne saisissent pas, disent-ils, la validité. L’argument est que, de toutes façons, on ne peut pas saisir ce que font vraiment les élèves : « ils ne sont pas tous pareils »« même avec les vidéos, on ne sait pas complètement ce qui leur passe par la tête » et comme le dit l’un d’eux « j’ai presque envie de ne pas trop savoir. Je fais les choses et puis… » C’est ainsi que deux des participants à la première expérience vont se retirer. Ils vont néanmoins poursuivre, avec efficacité, leur implication dans un travail sur le travail au sein d’autres groupes.

68Pour les enseignants qui restent, ce registre des affects va jouer de façon diversifiée. Il sera parfois marqué et affirmé : « Ça fait quand même quelques années que j’enseigne. Je pensais avoir pris conscience d’un certain nombre de choses. Mais les dialogues des élèves avec l’intervenante que l’on vient de voir créent une grande surprise. Ils me donnent d’abord un certain vertige, celui provoqué par la distance avec ce que je pense savoir de l’activité des élèves dans le cadre de la classe, c’est-à-dire les réponses ou les explications de quelques élèves seulement, portées par mes remarques, mes questions, et ce que je peux entr’apercevoir ici de leur pensée réelle, de leur cheminement intérieur. Peu à peu, ce vertige s’efface ». Pour cette collègue ce sera l’occasion d’une remise en cause approfondie de ses conceptions et modalités d’action. Pour d’autres les affects jouent de façon différente. À certains moments ils vont alimenter une distanciation vis à vis de la démarche entreprise, ressentie sans doute comme trop décalée par rapport aux difficultés qu’ils vivent dans leurs classes à ce moment-là : « Oui, moi je me demande, par rapport à notre pratique, ça déclenche des questions. Mais est-ce que ce sont les questions les plus essentielles et les plus urgentes au niveau de notre métier ? »« Oui après je me demande, enfin je ne sais pas dans quel sens ça va. Est-ce que pour pouvoir accéder à l’activité des élèves, est-ce qu’il ne faut pas déjà qu’on soit débarrassé de tous nos parasites de l’activité de professeur ? Est-ce qu’on a la disponibilité d’avoir accès à l’activité de l’élève quand on est déjà complètement noyé dans tous les problèmes de gestion de classe, etc.? Il y a un problème d’urgence ».

69Dans l’ensemble, parmi les participants, le jeu des affects va, le plus souvent, avoir un rôle de déstabilisateur de ce qui est installé. La surprise ressentie par les professeurs devant les réalisations des élèves dans leurs dialogues avec l’intervenante en est une première manifestation. Mais c’est par un retour, dans la durée, sur ce que font les élèves, qu’au-delà des blocages et des esquives qui peuvent survenir, vont être interrogés les possibilités, les empêchements, les contradictions, les conflits, les dilemmes qui constituent la substance de l’activité professionnelle dans le cours quotidien de l’action. C’est dans ce cadre qu’ont pu se développer d’autres façons de penser et de s’y prendre avec son métier.

1.2. Interprétation et prise en compte des dialogues élèves-intervenante

70Les réactions de surprise et d’étonnement des professeurs, telles que nous les avons vues plus haut, renvoient d’abord à des questions sur les démarches à l’œuvre, les manières de réfléchir et d’opérer des élèves. Mais cet examen de l’activité des élèves, telle qu’elle se manifeste dans leurs dialogues avec l’intervenante interroge, en retour, l’activité professorale telle que chacun la pratique.

1.2.1. Comment s’y prendre avec les mathématiques et avec les élèves ?

71En ce qui concerne les élèves, les professeurs découvrent (voir § 1.1.1, § 1.1.2) des façons de procéder qu’ils cherchent à identifier (§ 1.1.1), l’établissement de rapports inattendus entre notions (§ 1.1.2), l’usage fait de supports à la réflexion, tels les schémas (§ 1.1.2), des hésitations et des limites à la réflexion (§ 1.1.2), des moments de blocage, d’erreur ou d’échec mais aussi d’intuition (§ 1.1.1, § 1.1.2). Ils cernent également, à travers ce que disent et font les élèves, des enjeux, des étapes dans le cheminement de la pensée, décisifs pour la compréhension et l’acquisition de ce qui est en apprentissage (§ 1.1.1, § 1.1.2).

72Cette perception nouvelle des réalisations des élèves et de leurs enjeux perturbe et amène les professeurs à ré-envisager certaines de leurs manières de concevoir leur enseignement. Ainsi on peut noter une réaction de doute sur le postulat qu’il faut s’appuyer sur du concret pour favoriser les apprentissages (§ 1.1.2). Dans certains cas ce peut même être facteur de régression de l’élève (§ 1.1.3). Mais c’est sur la mise en œuvre de l’enseignement que se notent les questionnements les plus notables. Par exemple quant à la nécessité de percevoir le contenu des obstacles que rencontrent les élèves ou certains d’entre eux pour en saisir la difficulté (§ 1.1.3) et que le professeur s’implique dans la construction des liens que les élèves doivent établir entre les diverses connaissances et notions abordées. Cette dernière dimension, essentielle de l’exercice professionnel, est une découverte issue de l’expérience vécue ici (§ 1.1.3).

73Ce que l’on vient de relever semble montrer que la confrontation à des réalisations de l’activité réelle des élèves, différentes de celles habituellement observables en classe, peut nourrir les discordances de l’activité réelle propre des enseignants concernés. Pour chacun d’entre eux, et sans que l’on puisse en saisir par définition les cheminements, il en a résulté une transformation, un développement de la façon d’envisager et de réaliser l’action professionnelle.

74Ici, un point va retenir particulièrement l’attention. C’est l’importance qu’ont les mots utilisés par les élèves comme celle du langage qu’eux-mêmes enseignants emploient. La façon d’en tenir compte dans son cours devient alors une préoccupation (§ 1.1.3). Dans la proximité de ce problème est travaillée la question de l’activité dialogique entre élèves et en classe, celui de sa pertinence, de son efficacité pour que les élèves comprennent ce qui est en jeu (§ 1.1.3).

75Dans le domaine de l’enseignement des mathématiques l’activité dialogique présente des caractères spécifiques. Il s’agit de parvenir à ce que, pour les élèves, prennent sens des significations précises et intangibles du savoir scientifique – définitions, etc. – (Granger, 2003, p. 113). Dans ce cadre les controverses dialogiques, entre professeurs et élèves et entre élèves, se structurent autour de la justesse des termes employés, des notions et des significations avancées.

  • 1 L’expression « instituer dans la classe » a été préférée au terme « institutionnaliser ». La signif (...)

76Or, ici, un usage surprenant est assez souvent fait par les élèves des mots des professeurs. Certains sont des mots à visée évocatrice, tels que celui de « fabrique » pour parler des fonctions : « La fonction g quand on lui donne x fabrique moins 3x ». Ce mot de l’enseignante a été repris à sa grande surprise, elle qui n’avait pas envisagé de l’instituer1 comme mot mathématique. D’autres mots, mathématiques cette fois, comme graphe ou proportionnel ont, pour leur part, été associés par les élèves de façon erronée dans un processus de pensée à première vue mystérieux : par exemple à propos de la droite, graphe d’une fonction linéaire, qui serait « proportionnelle parce qu’elle passe par le zéro ». L’écriture symbolique, quant à elle, est mal appropriée et du coup sous-employée.

77Dans le groupe de travail sur le travail il semble alors que ce qui freine l’élaboration d’une façon correcte de répondre aux questions posées par les problèmes et exercices est à rechercher dans l’insuffisante maîtrise des termes propres au nouveau savoir exposé en cours. Le choix est fait de tenter, entre professeurs, un véritable dialogue d’interprétation, en vue d’analyser les propos échangés lors des séances de travail des groupes d’élèves en s’attachant aux rapports entre le langage – les mots mais aussi les symboles – et les objets mathématiques auxquels ils renvoient. En quelque sorte ce qui devrait contribuer à une plus juste maîtrise de la signification des problèmes et exercices.

78Dans un premier temps, les professeurs ont été quelque peu désarçonnés. En effet, ils se sont trouvés en présence d’un dialogue touffu, un enchevêtrement de mini-dialogues, de répliques imprévues qui s’entrecroisent, se rejoignent, se re-séparent. Certaines interventions, hors de propos, hachent parfois les échanges. Elles n’ont pas toujours été reprises dans les transcriptions présentées ici. La dynamique dialogique des séances de travail avec les élèves est déconcertante. Comme ces séances visent à favoriser les controverses à la fois entre les élèves, entre l’intervenante et le collectif, entre l’intervenante et un ou plusieurs élèves, les caractéristiques de la dynamique dialogique y sont autres que dans le dialogue de la classe. Avec leurs élèves, les professeurs organisent et structurent, certes plus ou moins suivant les moments, le flux des questions-réponses de la classe. Ici, on est loin de ce qu’ils entendent et retiennent des paroles de leurs élèves lorsqu’ils sont eux-mêmes plongés dans l’activité.

79Néanmoins l’analyse a permis de dégager certains aspects de cette question d’usage du langage, et tout d’abord de formuler une première hypothèse.

1.2.2. Une hypothèse : les mots et les symboles fonctionnent comme des moteurs du développement de la pensée des élèves

1.2.2.1. Image et antécédent en séance de travail avec les élèves de la classe de troisième appartenant à un Réseau Ambition Réussite

80Après avoir lu à haute voix l’énoncé du problème, l’intervenante demande aux élèves quelle est la signification de l’écriture symbolique f : x → 1,2x.

38. Intervenante : Soit f et g les deux fonctions définies par f : x → 1,2x et g : x → 0,5x + 35. Alors là il faut me dire ce que ça veut dire parce que là je ne comprends pas du tout. Ce dessin-là, enfin ce schéma-là, moi je le lis f deux points x une flèche 1,2x.

81D’emblée les élèves répondent en mentionnant l’image et l’antécédent.

43. Él. 2 : C’est l’image et l’antécédent, c’est ça ?
44. Él. 1 : Par la fonction f, x est l’image de 1,2x en fait.
45. Él. 4 : La flèche en gros ça représente…
46. Él. 1 : ça veut dire l’image

82Puis le dialogue se déroule autour de ces deux mots dont la signification n’est pas vraiment stabilisée au moment où les élèves « instruisent » l’intervenante. Au début, ils ont tendance à prendre l’un des mots pour l’autre et vice-versa. À partir de l’énoncé 66, lorsque l’élève Él. 4 précise avec exactitude où se trouvent l’antécédent et l’image sur le schéma, les mots sont à peu près correctement associés à ce qu’ils désignent. À ce moment-là cet élève s’aide de gestes destinés, sans doute autant pour lui-même que pour les autres, à en consolider le contenu.

47. Intervenante : Donc l’image, c’est quoi, c’est x ou c’est 1,2x ?
48. Él. 1 : C’est la flèche, c’est x la flèche. (Elle fait un geste de la main).

52. Él. 2 : Ensuite…
53. Él. 4 : Il y a le résultat

55. Él. 1 : C’est l’antécédent, c’est ça ?

9. Intervenante : Qu’est-ce qui est antécédent, qu’est-ce qui est image ?
60. Él. 4 : C’est le résultat.
61. Él. 1 : L’antécédent c’est le dernier résultat en fait.

66. Él. 4 : Ah non c’est le x en fait c’est l’antécédent (Il fait le geste de la flèche) parce que c’est de l’autre côté (il fait le geste de la flèche dans l’autre sens). L’image c’est par là (il refait son premier geste) et l’antécédent c’est par là.

83Mis à part au tout début (44), les élèves n’utilisent pas le mot fonction, et même quand l’intervenante le rappelle (77), ils réagissent a minima et de façon très formelle. Ce mot ne semble pas avoir beaucoup de sens pour les élèves à ce stade de leur apprentissage contrairement aux mots antécédent et image.

77. Intervenante : Et là comment elle intervient la, on appelle ça une fonction, f ?
78. Él. 1 et Él. 2 : Oui.
79. Intervenante : Ça intervient comment dans ce que vous dites là. x est l’antécédent de 1,2x ?
80. Él. 4 : Ben on peut mettre x deux points, non f : x → 1,2 x, au lieu d’écrire antécédent, on fait la flèche.
81. Intervenante : D’accord. Donc euh x est l’antécédent de 1,2x mais ça a un rapport avec la fonction f ?
82. Él. 4 : Ben oui.
83. Él. 2 : Oui.
84. Intervenante : Comment on dirait alors, pour la fonction f, par la fonction f ?
85. Plusieurs : Par la fonction f.

84Par contre les élèves se réfèrent à maintes reprises au terme flèche, associé à l’écriture symbolique f : x → 1,2x, pour corriger et consolider le sens des mots image et antécédent. Ce terme qui n’est pas un mot mathématique, ce qui va leur jouer des tours ultérieurement, a dans ce début de travail une fonction motrice dans le développement de leur pensée.

1.2.2.2. Le mot flèche et son lien avec les mots image et antécédent

85Ainsi, tout au long de la séance de travail les mots image et antécédent sont très présents dans la pensée des élèves et d’emblée le terme flèche est relié à ces deux mots. C’est très fortement repérable lorsqu’ils donnent leurs consignes concernant la fonction définie par le schéma g : x → 0,5 x + 35. Él. 1 expose clairement la fonction de la flèche dans leur pensée (103) : « La flèche c’est pour simplifier image et antécédent ».

93. Intervenante : Donc j’écrirai x est l’antécédent de quoi ?
94. Él. 4 : 0,5x + 35

99. Él. 5 : Et à chaque fois au lieu d’écrire antécédent on fait la petite flèche. On fait x flèche de 0,5x +
100. Intervenante : Donc on fait g : x → 0,5x + 35. C’est donc comme ça.

103. Él. 1 : En fait c’est pour simplifier. La flèche c’est pour simplifier image et antécédent. Image c’est la flèche à l’envers et quand c’est normal, la flèche comme ça c’est l’antécédent.

108. Él. 4 : (avec un geste vers la feuille de l’intervenante) Si là, c’est l’image. Quand la flèche est tournée vers la droite, c’est l’image et dès que c’est de l’autre côté, c’est l’antécédent.

86À ce moment-là (103, 108) s’installe dans les énoncés des élèves un objet bizarre : la flèche à l’envers qui aurait la même relation avec l’image que celle qui existe entre la flèche normale, c’est-à-dire la flèche dirigée de gauche à droite, avec l’antécédent ou vice versa.

87La flèche normale et la flèche à l’envers ne sont évidemment pas des objets mathématiques. Mais comme ça leur parle, ils cherchent à les faire intervenir pour déterminer l’antécédent de 42 par la fonction f.

321. Intervenante : On fait le calcul, alors on fait le calcul comment ?
322. Él. 1 : Ben c’est l’antécédent, c’est l’inverse de ce qu’on a fait tout à l’heure. C’était l’image tout à l’heure qu’on faisait.
323. Él. 4 : Oui.
324. Él. 1 : Là c’est l’antécédent donc la flèche doit être à l’envers.
325. Intervenante : Donc là qu’est-ce qu’on doit faire comme calcul alors ?

327. Él. 1 : Là et c’est f pour commencer
328. Intervenante : Alors je mets ?
329. Él. 4 : f deux points
330. Él. 1 : f deux points
331. Intervenante : Oui
332. Él. 4 : Vous laissez un petit espace et vous mettez la flèche
333. Él. 1 : Non c’est 42, 42
334. Él. 4 : Vous mettez 42. Après vous la mettez à l’envers.

346. Intervenante : Ah d’accord, d’accord. Et là qu’est-ce que je vais mettre alors ? (l’intervenante montre l’extrémité droite de la flèche orientée vers la gauche)
347. Él. 1 : Euh. La fonction f c’est
348. Él. 5 : Ben c’est 1,2x

360. Intervenante : Ah mais je mets 1,2x. ça ne marche plus puisque j’ai mis la flèche dans l’autre sens.

88Alors que l’intervenante leur demande (321) quel calcul elle doit faire et que la première réponse est, « c’est l’inverse de tout à l’heure, c’était l’image tout à l’heure qu’on faisait. » (322), on pourrait s’attendre à ce que l’élève Él. 1 poursuive sa pensée en donnant comme consigne de diviser 42 par 1,2. Mais ce n’est pas ce qu’il se passe, Él. 1 fait tracer la flèche à l’envers et elle entraîne le groupe avec elle. Ensuite quand l’intervenante cherche à dessiner un schéma (328), les élèves donnent des instructions (329-334) qui conduisent à un schéma qui débute par f : 42 ←. Certains sont tentés de le compléter ainsi f : 42 ← 1,2x (346-348). L’intervenante fait part de ses interrogations (360) avec pour conséquence un grand trouble dans le groupe et la réapparition de la confusion initiale entre image et antécédent.

375. Él. 1 : Avant on cherchait l’antécédent, maintenant on cherche l’image.
376. Intervenante : Non parce que ils me disent trouver l’antécédent.
377. Él. 1 : Parce que l’image c’est la fin du euh, c’est la fin du calcul en fait.
378. Intervenante : L’image d’après ce que vous m’avez dit, c’était ce bout-là de la flèche.
379. Él. 1 : Voilà l’image c’est ça. Là maintenant on la cherche l’image alors qu’avant on cherchait l’antécédent.
380. Intervenante : Non, non, c’est tout de suite qu’on cherche l’antécédent.
381. Él. 1 : Non, on l’a.
382. Intervenante : Trouver un antécédent de 42 par la fonction f.
383. Él. 1 : Je m’embrouille toute seule là.

89La flèche, à laquelle les élèves donnent une autonomie par rapport au schéma complet symbolisant une fonction, devient un obstacle pour déterminer l’antécédent de 42 par f. L’absence du mot fonction dans les façons de parler de l’antécédent de 42 va de pair avec la référence à la flèche à l’envers que les élèves n’ont nul besoin d’associer à une fonction. Ils s’appuient sur le mot flèche qui, dans un premier temps, a favorisé leur appropriation de l’objet mathématique nouveau qu’est pour eux la fonction, mais qui ensuite au contraire fait obstacle à leur progression.

90Il est intéressant de mettre en parallèle les dialogues des deux classes de troisième confrontées l’une et l’autre à la même question :

« Trouver l’antécédent de 42 (pour l’une), de 18 (pour l’autre) par la fonction définie par : x →1,2 x (pour l’une), par x → – 3x (pour l’autre) »

91Alors que leurs professeurs sont différents, que les établissements auxquelles appartiennent ces classes n’ont pas les mêmes caractéristiques, on retrouve des démarches et des obstacles comparables. Certes la progression vers la solution est beaucoup plus laborieuse, plus erratique avec les élèves de la troisième appartenant à un Réseau Ambition Réussite. Mais quelque chose de fort et de commun est repérable dans les tâtonnements des élèves de l’une et de l’autre classe. C’est le recours explicite au schéma avec la flèche qui semble être un moyen que privilégient les élèves pour autoréguler le flux de leur pensée et les aider à comprendre ce que disent les autres et à leur répliquer.

92Les élèves de la troisième, dite standard, n’ont pas été convaincus par la réponse juste de l’un d’entre eux qui consistait à diviser 18 par -3. Plusieurs ont voulu poursuivre l’investigation de la question posée, ils ont demandé de « reprendre le schéma ». Mais ce schéma ne suffit pas en lui-même. Pour que les élèves y trouvent un moyen fiable et efficace, il leur faut le compléter par les mots antécédent et image et stabiliser le lien entre ces deux mots et le schéma avec la flèche. C’est ce qu’a fait l’élève Él. 5 de cette classe pour clore la résolution de la question.

187. Intervenante : Tu lui expliques parce qu’elle a dit, l’antécédent c’est après la flèche. Dis-lui doucement.
188. Él. 5 : (Il montre à Él. 4 sur le schéma) Là c’est l’antécédent, ça c’est le calcul, et on donne l’image.

93Tout au long des dialogues rapportés ci-dessus entre les élèves de l’autre troisième, les uns et les autres se trompent souvent à propos de ce lien, s’efforcent de rectifier ce qu’ils en disent et de se l’approprier correctement sans vraiment y parvenir pendant la séance de travail. Malgré tout ils ne renoncent pas à se servir du schéma avec la flèche et sont même très créatifs avec la flèche à l’envers qui les conduit à l’échec.

1.2.2.3. La fonction de l’écriture symbolique dans le développement de la pensée des élèves : moteur/obstacle

94Le calcul de g (41) pour la question 3a introduit dans le dialogue entre les élèves et l’intervenante une autre écriture symbolique, différente de celle qui définit les fonctions dans le texte du problème. Il s’agit de g(x) = 0,5 x + 35. Certes on peut s’en passer pour calculer g (41), mais c’est advenu dans le cours des dialogues qui, dans le dispositif que nous avons mis en place, ne sont pas prévisibles.

95Entre les énoncés 118 à 195, dont certains sont rapportés ci-dessous, ce qui est en jeu c’est le rapport entre les deux écritures symboliques g : x → 0,5 x + 35 et g(x) = 0,5 x + 35.

96En étudiant ce dialogue, on constate que les deux écritures symboliques g : x → 0,5 x + 35 et g(x) = 0,5 x + 35 n’ont pas la même fonction dans le développement de la pensée des élèves. Le schéma avec la flèche dynamise leur activité mathématique. Ils y viennent tout de suite comme on peut le constater en 119 où l’élève Él. 1 le fait intervenir à propos de g (41), puis en 127 où l’élève Él. 4 montre le schéma avec la flèche sur la feuille de l’intervenante en lui disant « comme ça là ».

118. Intervenante : Alors ensuite on nous demande calculer g (41). Alors pareil ça je ne sais pas ce que ça veut dire moi.
119. Él. 1 : C’est une formule simplifiée en fait. g (41) c’est pareil sauf que c’est en simplifié en fait.

125. Él. 1 : En fait c’est fonction x en fait. C’est ça. Enfin c’est en simplifiant.
126. Intervenante : Donc toi tu dis, au lieu d’écrire g (41), si je ne simplifiais pas, j’écrirais quoi ?
127. Él. 4 : (Il se lève et montre sur la feuille de l’intervenante) Ce que vous avez écrit avant là, comme ça là.

97Puis en 137, 140, 142, les élèves donnent les instructions complémentaires et font écrire à l’intervenante, g : 41 → 0,5 × 41 + 35 .

129. Intervenante : Si je ne simplifiais pas j’écrirais g deux points

137. Él. 4 : La flèche
138. Intervenante : Je mets la flèche et là ?
140. Él. 1 : 41 fois 0,5.
142. Él. 2 : + 35.

98L’intervenante reprend la première question qu’elle leur a posée et attend une réponse, qui n’est pas venue : c’est l’image de 41 par la fonction g. Par contre, Él. 4 lui donne le résultat du calcul fait précédemment et lui signifie par là que g (41) est le résultat d’un calcul numérique.

146. Intervenante : Ah d’accord. Bon ça d’accord, mais c’est quoi g (41) ?
149. Él. 4 : Vous l’avez.
150. Intervenante : Je mets g (41)
151. Él. 4 : égale 55
152. Intervenante : Ah ! Égale

99Il est difficile de déceler le sens que les élèves donnent au symbole g (41) tout au long du dialogue qui suit. Les élèves ne saisissent pas de manière stable que cette écriture symbolique renvoie à l’image de 41 par la fonction g. L’énoncé de Él. 1 en 166 en est un symptôme.

158. Intervenante : D’accord. Là je comprends. Mais si je regarde le dessin qui est là (il s’agit du schéma g : 41 → 41 × 0,5 + 35), voilà. Là j’ai 55,5. Ça marche ça ?
159. Él. 4 : Oui.
161. Intervenante : Et là j’ai pareil donc (elle montre ce qu’elle vient d’écrire, à savoir g (41) = 55,5).
162. Él. 1 : C’est la même chose en fait. g entre parenthèses 41.
163. Intervenante : C’est la même chose que ça ? (elle montre à nouveau le schéma)
164. Él. 1 : C’est la fonction de 41 en fait. g est une fonction.
165. Intervenante : Oui.
166. Él. 1 : Sauf que c’est pas la même lettre et 41 en fait c’est la fonction de 41. Après quand on calcule la fonction de g 41, en fait on va l’appeler comme ça, ça fait 55,5 et là vous l’avez calculé avant.

100Elle dit : « après quand on calcule la fonction g 41, en fait on va l’appeler comme ça, ça fait 55,5 et là vous l’avez calculé avant ». Elle invente un symbole, à savoir g 41 et ne réalise pas qu’il s’agit de ce qu’on représente par le symbole g (41).

101L’intervenante prend l’initiative de dire (172), g : 41 → g (41) et de l’écrire, ce qui provoque cette réplique de la même élève (174), « en fait les calculs là-bas (sur la feuille de l’intervenante, il s’agit du calcul 0,5 × 41 + 35 qui a été fait peu de temps avant) c’est la même chose que g (41) tout seul ».

172. Intervenante : Donc je pourrais écrire g deux points 41 flèche g (41) ?
173. Él. 4 : Voilà. C’est la même chose en fait
174. Él. 1 : C’est la même chose. En fait les calculs là-bas (elle montre sur la feuille de l’intervenante le calcul 41 × 0,5 + 35, fait précédemment), c’est la même chose que g (41) tout seul.

102Dans chacune de ses explications, Él. 1, comme Él. 4 précédemment, associe le symbole g (41) à un calcul numérique effectif. Ce qui n’attire pas l’attention dans un premier temps. Mais ce phénomène prend du relief quand on entend les élèves se cabrer (184, 185, 187) devant l’écriture symbolique que leur propose l’intervenante à deux reprises (175, 183).

174. Él. 1 : C’est la même chose. En fait les calculs là-bas (elle montre sur la feuille de l’intervenante le calcul 41 × 0,5 + 35), c’est la même chose que g (41) tout seul.
175. Intervenante : D’accord. Et là alors ce serait pareil euh, euh (Elle montre le schéma g : xqu’elle a complété en écrivant g(x) à l’extrémité de la flèche).
176. Él. 4 : g(x).
177. Intervenante : Ah ben oui donc ça je pourrais l’écrire ?
178. Él. 4 fait un geste pour indiquer d’écrire.
179. Intervenante : Tu me dis…
180. Él. 4 : g entre parenthèses x
L’intervenante écrit.
183. Intervenante : C’est correct ça pour vous ? Je peux écrire g : xg(x) ?
184. Él. 4 : Non. C’est en fait c’est deux trucs différents mais ça veut dire la même chose.
185. Él. 3 : Aïe, aïe, aïe.
186. Intervenante : Ça vous ne l’écririez pas ? (elle montre g : 41 → g (41))
187. Él. 2 : Il y a juste celui-ci.
188. Intervenante : Ça mais pas ça. (Elle montre g : xg(x))

103Il semble que l’écriture symbolique g : 41 → g (41) a un sens pour eux parce qu’elle renvoie au calcul sur le nombre 41, g (41) = 41 × 0,5 + 35. Ce n’est plus le cas lorsqu’on a affaire à g : xg(x) qui, de ce fait, n’étant pas opératoire au stade d’apprentissage atteint par les élèves, ne signifie rien pour eux.

1.2.2.4. Le mot « multiplier » et la signification du mot « proportionnel » en sixième.

104Le mot « proportionnel » figure dans les consignes données aux élèves pour l’exercice concernant le prix de vente des fraises dont on rappelle l’énoncé :

105Le prix pour 1 kg de fraises est 4 €, pour 3 kg de fraises, il est 10 €. Le prix est-il proportionnel à la masse ?

106Or s’approprier sa signification est un processus complexe et au stade d’apprentissage des élèves de sixième ce mot garde beaucoup de mystère. C’est d’ailleurs par la question d’un des élèves : « C’est quoi proportionnel ? » que démarre le travail comme nous l’avons vu ci-dessus.

13. Él. ? : C’est quoi proportionnel ?
14. Intervenante : Ah mais moi je ne sais pas, c’est vous qui me dites. C’est un mot que vous avez appris en mathématiques.

107Les premières tentatives de réponses sont vagues, « le prix est pareil que la masse ». Et lorsque l’intervenante demande aux élèves de relier leurs explications aux données précises du problème, ils ne répondent pas à l’exception de l’un d’entre eux qui discrètement lève la main et attend qu’on lui donne la parole.

24. Él. 2 : Le prix il est pareil que la masse.
25. Él. 3 : Le prix est pareil que le poids.
28. Intervenante : ça veut dire quoi, le prix est pareil que le poids ? …
33. Intervenante : Et avec les nombres qui sont là, ça veut dire quoi ta phrase ? Que je comprenne parce que tu vois là moi j’ai des nombres 4 € pour 1 kg et 10 € pour 3 kg et je voudrais bien que tu me dises avec ces chiffres-là ce qu’elle veut dire cette phrase.
34. Él. 3 : Ben je sais pas.

108Él. 1 est le seul élève qui dit correctement ce que signifie le mot « proportionnel ».

44. Él. 1 : Proportionnel ça veut dire par exemple si on va à tel nombre de kilomètres à l’heure et qu’on fait tel nombre de kilomètres, ça veut dire que si on multiplie par 2 un des chiffres, eh ben si l’autre chiffre, il est multiplié par 2, ça veut dire que c’est proportionnel.

109Il en précise la signification de manière décontextualisée à sa manière. Comme nous l’avons remarqué ci-dessus, il s’appuie sur un exemple qui lui sert de point de repère, ce qui lui permet de répondre correctement à la question posée.

45. Intervenante : D’accord. Donc là ça voudrait dire quoi pour l’exercice qui est là ?

53. Él. 1 : Je dirais que c’est pas proportionnel parce que le kilogramme c’est 1 kilo, on fait fois 3 pour aller à 3 kilos. Alors on ferait 4 € fois 3, ça nous ferait 12 €.

110Cet élève s’est déjà distingué des autres lors de la résolution de l’exercice portant sur l’agrandissement d’un triangle qui transforme un côté de 5 cm en un côté de 7 cm. Il a proposé à l’intervenante de se servir du nombre par lequel on doit multiplier 5 pour obtenir 7 alors que les autres optaient pour ajouter 2, nombre qu’on doit ajouter à 5 pour atteindre 7. Il semble que ce qui lui assure cette appropriation correcte du mot proportionnel est le lien qu’il a construit entre ce terme et le mot multiplier.

111L’élève Él. 6, « pas tout à fait d’accord » avec Él. 1, propose une démarche acceptable à condition bien sûr de refaire sa phrase.

« Pour expliquer on peut mettre, parce que si on fait 4 + 4 + 4 ça fait 12, ça serait proportionnel eh ben ça ferait 10. »

112La syntaxe incorrecte de la phrase conduit à une conclusion inexacte alors que l’élève suggère un raisonnement qui pourrait aboutir et que cherche à obtenir l’intervenante.

99. Intervenante : Si c’était ? Refais ta phrase, parce que là je ne comprends pas. Tu penses que c’est proportionnel ou pas ?
100. Él. 6 : Non.
101. Intervenante : Non. Alors refais ta phrase parce que je n’ai pas bien compris.
102. Él. 6 : C’est pas proportionnel parce que si on fait 4 + 4 + 4 eh ben ça fait 12 et normalement ils ont dit si c’est proportionnel ça fait 10 et donc là ça ne fait pas 10 et donc ce n’est pas proportionnel.

113Alors que l’élève Él. 1 expose avec exactitude et clarté ce qui prouve qu’il n’y a pas proportionnalité, Él. 6 n’y parvient pas. Plus même si on « prend aux mots » son explication, celle-ci est erronée puisqu’elle dit « ça serait proportionnel, ça ferait 10 ». Or Él. 1 relie avec précision proportionnalité entre deux grandeurs et conservation de la multiplication par un nombre donné, ce qui n’est pas le cas de Él. 6. Même si les propos de celle-ci laissent deviner une preuve acceptable, il n’empêche qu’on y décèle une pensée confuse. Il nous semble que ce lien important que l’un des élèves s’est approprié au contraire de l’autre, a fait la différence. Savoir et pouvoir dire que « si on multiplie par 2 un des chiffres, eh ben si l’autre chiffre, il est multiplié par 2, ça veut dire que c’est proportionnel. » et « que c’est pas proportionnel parce que le kilogramme c’est 1 kilo, on fait fois 3 pour aller à 3 kg. Alors on ferait 4 € fois 3, ça nous ferait 12 € » c’est posséder un moyen de mieux maîtriser sa pensée quant aux grandeurs proportionnelles et de progresser dans le traitement de la proportionnalité, c’est avoir trouvé un « moteur » pour le développement de sa réflexion mathématique.

1.2.3. Le mystère de la « droite proportionnelle »

114La proportionnalité est au cœur de l’apprentissage des fonctions linéaires et affines. Il n’est donc pas étonnant qu’elle ait été mise en jeu lors de la séance de travail des élèves de troisième. C’est la détermination de l’antécédent de 42 par la fonction f qui provoque l’apparition du mot « proportionnel ». L’intervenante travaille alors avec les élèves de la classe de troisième qui appartient à un réseau dit ambition-réussite. Elle tente de résoudre la question 3 b du problème proposé à l’aide des consignes des élèves.

1.2.3.1. Un dialogue de sourds entre élèves et intervenante ?

115Les premières instructions que les élèves donnent à l’intervenante pour déterminer l’antécédent de 42, consistent à tracer le graphe de f pour lire sur ce tracé la valeur numérique cherchée.

283. Intervenante : Trouver l’antécédent de 42 par la fonction f.
285. Intervenante : Alors comment je fais ?
286. Él. 1 : Ben il faut trouver déjà le point enfin un point qui fixe je crois. Enfin il faut, j’sais pas expliquer !
287. Intervenante : Prends ton temps.
288. Él. 3 : Il va passer par l’origine.
290. Intervenante : Pourquoi vous me dites, pourquoi Ah vous voulez si je comprends bien, vous voulez tracer aussi la représentation graphique de cette fonction f, c’est ça que vous voulez faire ?
291. Él. 2 : Oui il faut tracer aussi l’offre A, c’est ça.

116Alors que personne dans le groupe n’a précisé que la représentation graphique de f est une droite, un des élèves, Él. 3, affirme que le graphe cherché passe par l’origine. Lorsque l’intervenante cherche à se faire expliquer pourquoi, un autre élève, Él. 4, lui répond « parce que c’est proportionnel » poussant celle-ci à l’interroger sur la signification de ce mot « proportionnel ».

293. Intervenante : Et pourquoi vous voulez que ça passe par l’origine ?
294. Él. 4 : Parce que c’est proportionnel, enfin à chaque musique que vous téléchargez eh ben vous payez un certain nombre
296. Intervenante : ça veut dire quoi exactement proportionnel ?

117C’est alors qu’advient cette explication étrange qui désarçonne l’intervenante. « C’est qu’elle passe par l’origine et que ça fait une droite ». Elle ne réalise pas vraiment que, pour l’élève, c’est à cette réalité mathématique, une droite passant par l’origine, que renvoie le mot « proportionnel », ce qui provoquera des malentendus par la suite. Elle en reste à l’attente d’une preuve, qu’elle n’aura pas, légitimant le passage de la droite représentative de la fonction f par l’origine.

296. Intervenante : ça veut dire quoi exactement proportionnel ?
297. Él. 4 : C’est qu’elle passe par l’origine et que ça fait une droite.
300. Intervenante : D’accord mais je ne sais pas pourquoi vous me dites que ça passe par l’origine, moi je ne vois pas pourquoi.
301. Él. 4 : ça se voit !
302. Intervenante : Dis-moi alors ce qu’il faut que je fasse pour m’en apercevoir ?

118Les élèves restent muets face à la demande insistante de l’intervenante « Dis-moi alors ce qu’il faut que je fasse pour m’en apercevoir ? » Et l’un d’entre eux réoriente le dialogue en suggérant de calculer l’antécédent de 42. Cette tentative n’aboutit pas et le même élève revient de lui-même à la détermination graphique de cet antécédent en proposant de placer 42 sur un des axes de coordonnées, qu’il choisit mal puisqu’il pose son doigt sur l’axe des abscisses du schéma de l’intervenante, puis le fait remonter parallèlement à l’axe des ordonnées. De plus, il reste sans réponse quand se pose la question du tracé du graphe de f.

119Ressurgit alors le mot « proportionnel » à propos de la droite représentative de la fonction linéaire f.

387. Intervenante : Toi, tu ferais déjà le tracé de f, on va essayer comme ça.

394. Intervenante : Mais pour tracer une droite il faut que j’ai deux points. Je ne peux pas tracer de droite si je n’ai pas deux points.
395. Él. 3 : Mais si, elle sera pas parallèle (à un des axes de coordonnées), elle passera par O.

120Plus précisément il s’agit de l’expression « elle est proportionnelle » et cette expression stimule fortement la pensée des élèves comme on le voit ci-dessous. La controverse est vive et concerne presque tout le groupe.

396. Él. 2 : Non elle n’est pas parallèle.
397. Él. 3 : Non, non, non puisqu’elle est proportionnelle, c’est ça ?
398. Él. 1 : Mais on ne le sait pas pour le moment qu’elle est proportionnelle.
400. Él. 3 : Si, elle serait proportionnelle.
401. Él. 2 : Et vous passez du point à O (avec son doigt il joint un point de son graphique à l’origine) et vous coupez.
402. Intervenante : Et oui mais où ?
403. Él. 5 : (Elle met son doigt sur le graphique de l’intervenante) Elle doit passer par là.
404. Él. 3 : Mais c’est proportionnel.

121Él. 3 est très offensif. Pour lui « c’est proportionnel ». Lorsque l’intervenante demande pourquoi, il s’interroge juste un court instant avant d’affirmer qu’on le sait. Pour lui il n’y a pas à chercher pourquoi.

405. Intervenante : Je ne sais pas pourquoi moi.
406. Él. 3 : (à voix basse pour lui) On sait pas ?

436. Él. 3 : Oui mais si, c’est proportionnel.
437. Intervenante : Parce que tout à l’heure vous m’avez dit… Un dialogue parallèle se déroule entre les élèves à l’initiative de l’élève Él. 3, en dehors de l’intervenante.
438. Él. 3 : (s’adresse à Él. 5) Si, si.
439. Él. 4 : (s’adresse à Él. 3 et Él. 5) Oui je crois que c’est ça.
L’intervenante poursuit sa propre démarche.
440. Intervenante : Que si j’ai la fonction f
441. Él. 3 : (s’adresse à Él. 4) Si, c’est proportionnel
442. Intervenante : L’image vous m’avez dit, c’est 1,2x et l’antécédent c’est x.
443. Él. 2 : Oui.

122Malgré tout, les élèves sont un peu perturbés par la demande d’explication et discutent entre eux. Él. 4, qui jusqu’alors s’était tu, intervient prudemment pour conforter les propos de Él. 3, « Oui, je crois que c’est ça ».

123Il s’ensuit un dialogue où se côtoient deux démarches de pensée qui ne s’interpénètrent pas. L’intervenante persévère et tente d’orienter les élèves vers la démonstration mathématique qui lui semble à la fois simple et adéquate, à savoir que f (0) = 0. Elle espère y parvenir en évoquant la source concrète du problème, à savoir le téléchargement.

474. Intervenante : Je me dis, eh ben, si je n’en télécharge aucun de morceaux, (Court silence et désarroi)
476. Él. 3 : Ça reviendrait à zéro.
477. Él. 1 : Ça ne sert à rien.

124Elle échoue car cette référence à la vie concrète vient ajouter du trouble. Il ne peut venir à l’idée de personne de procéder à un téléchargement ne concernant aucun morceau. Comme le dit Él. 1, « ça ne sert à rien ».

125Elle choisit alors de rester strictement dans le champ mathématique en avançant progressivement et en sollicitant l’accord du groupe à chaque mini-étape de son raisonnement.

487. Intervenante : Si je donne à x, je vais continuer mon raisonnement comme vous me l’avez expliqué,
488. Él. 2 : Ça fera 1,20 fois zéro.
489. Intervenante : Voilà. Si je donne à x la valeur zéro, j’ai le droit ?
490. Él. 5 : Ben oui.
491. Intervenante : Donc si c’est zéro, c’est l’antécédent, l’image c’est 1,2 fois x, c’est donc zéro. Donc l’image, c’est zéro.
492. Él. 2 : Zéro oui.
493. Intervenante : Si l’antécédent, c’est zéro, l’image c’est zéro, vous êtes d’accord avec ça ?
494. Él. 3 : Oui.
495. Intervenante : Moi c’est ce que je comprends d’après ce que vous m’avez dit. Donc effectivement
496. Él. 4 : Il devrait passer par l’origine.
497. Intervenante : Ce point-là il est sur la représentation graphique de f. Tu suis là ? (Elle s’adresse à une élève)
498. Él. 1 : Non.

126Cette tentative est vaine car les élèves n’éprouvent nul besoin de justifier que le graphe de f passe par l’origine du repère. Même s’ils acquiescent pour chaque détail de l’argumentation, en fait ils ne répliquent pas véritablement à l’intervenante. C’est un dialogue qui n’en est pas vraiment un, c’est un dialogue de sourds où les paroles échangées n’ont aucun effet sur la pensée des uns et des autres. Le verdict est donné par l’élève Él. 1 qui répond « Non » quand l’intervenante, pour s’assurer qu’elle suit, lui pose la question : « Tu suis là ? »

1.2.3.2. Un ajustement non spontané des termes et des contenus

127Ce qui semble au fondement de ce “faux” dialogue, c’est l’écart entre le niveau de généralité des mathématiques auquel opèrent les élèves, celui des nombres, et celui où se meut la pensée de l’intervenante. Cet écart est particulièrement important quand il s’agit d’élèves de troisième qui ont affaire aux fonctions pour la première fois.

128En effet, les élèves ont à s’approprier ce qui caractérise les fonctions linéaires et affines à partir de ce qu’ils connaissent, à savoir les nombres sur lesquels ils ont opéré jusque-là, éventuellement en calcul littéral. L’objectif de leur travail sur le problème proposé par leur professeur, c’est qu’ils s’approprient un objet nouveau : la fonction, ici fonction linéaire et fonction affine. Or cette appropriation transforme le « monde » mathématique préexistant et les objets mathématiques connus jusque-là, c’est-à-dire les nombres et plus précisément les nombres réels. Les nombres sont en quelque sorte « détrônés » pour servir d’ingrédients, de briques, pour la construction d’un objet beaucoup plus général, la fonction.

129De son côté, l’intervenante est une mathématicienne. C’est donc munie du concept de fonction qu’elle se confronte au problème qu’elle aura à résoudre en se servant des consignes des élèves. Elle n’a pas pris connaissance du problème avant. Au cours de la séance de travail, il lui faut parvenir à faire ce que proposent les élèves, à comprendre ce qu’ils disent et à se faire comprendre d’eux. Il lui faut repérer où en sont les élèves dans le processus d’apprentissage-développement qui devrait leur permettre d’aller des objets et opérations de l’algèbre jusqu’à l’appropriation des objets fonction linéaire et fonction affine. Il lui faut donc d’une certaine manière faire le parcours inverse de celui des élèves, aller du plus général au moins général. Ce n’est pas gagné d’avance, car même si un objet mathématique garde toujours des traces de ce qui l’a fait advenir (Cavaillès, 1962), ce n’est pas pour autant que ce sont celles qui aideront l’intervenante. Et même si c’est le cas, il n’est jamais assuré qu’elles reviennent en mémoire dans la dynamique des questions-réponses lors de la séance de travail.

130Les professeurs ont reconnu ici, pour leur part, une situation fréquente, sinon habituelle mais qu’ils ont du mal, en cours d’action, à identifier. Celle où, pris, dans le déroulement de la démarche qui structure leur cours, ils ne saisissent pas, en tout cas n’arrivent pas à identifier la démarche qui est celle des élèves. Ils en perçoivent alors souvent les manifestations sous forme d’erreurs à reprendre ou faire reprendre.

131Pour autant on peut se demander si, dans le cas présent, ils n’auraient pas disposé de davantage de ressources que l’intervenante pour faire face à ce genre de problèmes. Peut-être, s’ils s’étaient retrouvés à sa place, auraient-ils pu faire autre chose de cette « droite proportionnelle ». La trace manquante, dont ils disposent quant à eux, c’est le rapport entre situation de proportionnalité et fonction linéaire. En classe de quatrième, les élèves ont en effet eu affaire à la représentation graphique de situations de proportionnalité. Les professeurs auraient peut-être repéré dans les paroles des élèves les traces de cet apprentissage de quatrième, ce qui leur aurait permis d’orienter différemment les controverses dans le collectif vers une signification correcte des mots.

132Quoi qu’il en soit ici, il s’agit là d’une composante de l’exercice professionnel enseignant dont la prise en compte par les acteurs n’est pas chose aisée. En situation la percevoir et la traiter en tant que telle est difficile, le cadre du cours, la logique de son déroulement, les impératifs de temps et de programme ne s’y prêtant pas beaucoup. Le traitement est alors généralement implicite et empirique.

*

133Dans le cadre de l’expérience présentée ici, la confrontation à des réalisations de l’activité réelle des élèves, différentes de celles habituellement observables en classe, a nourri les discordances de l’activité réelle des enseignants concernés. Il en a résulté une transformation, un développement des diverses façons d’envisager et de réaliser l’action professionnelle.

134C’est du côté d’une réflexion sur l’usage des mots et des symboles mathématiques que se sont orientées les interrogations, dans le prolongement des étonnements suscités par la première vision des dialogues des élèves. L’observation dialogique entre enseignants des séances de travail des élèves avec l’intervenante s’est fixée ensuite comme objectif de s’attacher aux rapports entre le langage et les objets mathématiques auxquels il renvoie.

  • 2 Brigitte est le prénom qui a été donné à l’enseignante de la classe de troisième appartenant à un r (...)

135Que, comme l’a montré l’analyse des dialogues des élèves, les mots et symboles fonctionnent comme des moteurs du développement de la pensée des élèves, que l’ajustement de l’usage des termes et des contenus entre professeur et élèves n’ait rien de spontané, va interroger les professeurs et faire rejouer leurs pratiques. Ils deviennent plus attentifs au langage, et plus précisément encore, aux mots qu’utilisent leurs élèves en classe : « Au niveau du langage, au niveau du vocabulaire, je fais bien plus attention aux mots qu’ils utilisent ». Pas seulement aux mots de leurs élèves d’ailleurs, mais également à leurs propres mots. En témoigne cet échange entre Brigitte2 : « Oui ça m’a apporté des choses. » et Thérèse : « Oui ça t’a apporté ? Tu modifieras des mots dans ce que tu mettras en place en cours ? » Brigitte : « Oui bien sûr. »

136Ces échanges entre collègues montrent que la question du langage, de son usage par l’enseignant, de son rapport avec les modalités de réflexion et d’apprentissage des élèves, entre de façon nouvelle dans le champ des préoccupations professionnelles. Ainsi en est-il, par exemple, pour Dominique : « Quand Françoise dit la fonction « fabrique », c’est un mot qui m’a drôlement intéressée ça, que j’ai réutilisé et je m’aperçois qu’il a de l’impact dans la classe. Toute cette discussion sur les mots, ça m’a beaucoup parlé. » Et elle ajoute : « là j’ai l’impression qu’on avance, qu’on accède un peu mieux aux façons de penser de tous les élèves. »

137Cependant, une remarque s’impose. Malgré les résultats exposés ci-dessus, le déroulement de la démarche n’a pas entièrement satisfait les enseignants. Ceux d’entre eux qui ont participé à la phase précédente n’ont pas retrouvé ici le même dynamisme que dans la confrontation directe à leur propre activité et celle de leurs pairs lors des autoconfrontations simples ou croisées et des débats qui ont suivi : « moi, dans le premier travail qu’on a fait… on attendait avec impatience les réunions suivantes tellement ça nous apportait. Alors que là je dirais que moi j’ai moins d’enthousiasme, enfin j’ai l’impression que ça m’apporte moins au quot idien et que je trouve moins de ressources dans ce travail-là que dans le précédent… Pour avoir eu une troisième difficile cette année, oui le travail qu’on fait là ne fait pas assez ressource. Ce qui me ressource c’est le travail qu’on a fait avant. Ça me ressource encore aujourd’hui. »

138C’est autour de la fonction des images que semble se situer le problème. Celles de l’activité professionnelle de chacun, réalisées lors de l’expérience précédente et les débats qui ont suivi, marquent durablement les participants : « les images qu’on a faites lors de la première expérience, à partir desquelles on a discuté, restent encore dans nos têtes quand on est en classe. Quand on les revoie, même longtemps après, elles font naître encore des questions ». Ce n’est pas, au même degré, le cas des images de l’activité des élèves réalisées lors de leurs échanges avec l’intervenante. Certes, comme nous l’avons vu, ces images ont permis aux enseignants de remettre en jeu les discordances de leur activité, de reconsidérer certaines façons d’envisager leur métier, d’ajuster des pratiques. Mais elles ont tendance à s’épuiser avec le temps, à montrer leurs limites : « avant, je n’avais pas eu l’impression de tourner en rond comme quelquefois là, quand on regarde et qu’on a l’impression qu’on arrive aux limites des images ». Et ce n’est pas en « regardant encore et encore » ni en se demandant s’il ne faut pas refaire des nouveaux enregistrements que les choses se sont arrangées.

139Il est donc apparu qu’une confrontation à des traces de l’action d’autres, en l’occurrence d’élèves, fussent-elles surprenantes et fructueuses, ne permet pas de remettre en jeu, à un niveau suffisant, les discordances de l’activité réelle. Beaucoup plus efficace et utile aux protagonistes est la confrontation réglée avec sa propre action et celle de ses pairs.

140Ce qui contribue aussi à l’insatisfaction relative des participants est la difficulté à s’approprier pleinement les enjeux auxquels renvoient les problèmes soulevés. Ce sont des questions complexes que les mots, le langage, leurs rapports aux objets mathématiques. Les professeurs peinent à maîtriser vraiment de tels objets ainsi que la place et le rôle qu’ils jouent dans l’enseignement. Comme le dit Dominique à sa façon, à la fin de cette étape de confrontation à l’action des élèves, « je n’ai pas encore intégré l’histoire des mots et de la valeur des mots ». Tout se passe comme si les réflexions et les savoirs issus des expériences et des acquis disponibles des uns et des autres atteignaient ici leurs limites. Les ressources nécessaires manquent pour permettre de saisir plus à fond ce que l’on voit, dire quelque chose de plus analysé, élaboré, et, surtout, faire quelque chose d’utile de ce que l’on pourrait dire.

141Pour surmonter ces obstacles, rencontrés à ce moment de la démarche, et fournir les ressources nécessaires à une mise en jeu plus approfondie des discordances de l’activité deux voies vont être successivement empruntées : la première consiste en ce que les participants soient mis en contact avec certains écrits, certaines analyses scientifiques portant sur les objets rencontrés. La seconde permet de revenir, sous la forme d’instruction au sosie, à une confrontation des participants à leur propre activité sur une question d’enseignement qui synthétise les enjeux soulevés.

Notes

1 L’expression « instituer dans la classe » a été préférée au terme « institutionnaliser ». La signification de cette expression aurait pu être rendue par cette autre expression « établir de manière durable dans la classe ».

2 Brigitte est le prénom qui a été donné à l’enseignante de la classe de troisième appartenant à un réseau ambition réussite ou RAR. Françoise est celui qui correspond à l’enseignante de la classe de troisième standard. Le prénom Dominique a été choisi pour la professeure des sixième dont on a étudié les dialogues avec l’intervenante et Thérèse pour celle de l’autre classe de sixième.

© Presses universitaires de Franche-Comté, 2019

Conditions d’utilisation : http://www.openedition.org/6540

Rechercher dans OpenEdition Search

Vous allez être redirigé vers OpenEdition Search