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Epistémologie & didactique

 | 
Manuel Bächtold
, 
Viviane Durand-Guerrier
, 
Valérie Munier

Partie 2. Épistémologie et recherches didactiques sur les modes d’enseignement des sciences

Étude de la dévolution du processus de mathématisation aux élèves. Étude épistémologique et didactique

Sonia Yvain

Texte intégral

1. Introduction

1Nous présentons dans ce texte les premiers éléments d’une recherche en cours sur la possibilité de faire la dévolution aux élèves du secondaire du processus de mathématisation. Cette étude se place dans le cadre de situations de résolution de problèmes posés dans un contexte relevant des sciences du vivant et pouvant se résoudre via une modélisation mathématique. Nous entendons par processus de mathématisation la première étape de la modélisation qui consiste à opérer des choix permettant d’envisager un traitement mathématique du problème. Ce questionnement est né des observations conduites depuis plus de dix ans au sein du groupe ResCo (Résolution Collaborative de problèmes), qui vise à mettre les élèves en position de chercheur (Yvain et al., 2014). L’objectif de notre recherche est le développement d’une ingénierie didactique permettant de favoriser ce processus de dévolution. Pour cela, conformément à la méthodologie générale de l’ingénierie didactique (Artigue, 1988), nous conduisons une étude épistémologique visant à identifier précisément ce que l’on va transposer des savoirs savants d’une part, des pratiques de références des experts du domaine d’autre part. Dans une première partie, nous présentons un bref aperçu de travaux concernant les relations entre modélisation et mathématisation en physique et dans les sciences du vivant en appui sur Israël (1996). Dans une deuxième partie, nous mettons en perspective les contenus des instructions officielles avec les éléments dégagés dans la première partie et nous présentons brièvement le dispositif ResCo. La troisième partie est consacrée à la présentation de nos travaux en cours sur les pratiques de références des chercheurs en sciences du vivant dont les recherches relèvent pour partie de la modélisation mathématique.

2. Modélisation et mathématisation : aspects épistémologiques

Nous sommes entrés dans l’ère de la modélisation (Bouleau, 1998).

2.1. Modélisation et mathématisation dans les sciences physiques

2Selon Israël (1996), la modélisation relève tout d’abord dans l’histoire d’un point de vue strictement déterministe et mécaniste : une description mécanique et réductionniste unifiée du monde avec « le recours “spontané” à l’analogie mécanique, car la mécanique a été, tant du point de vue historique que du point de vue conceptuel, le noyau de formation de la physique » (op. cit. p. 11). Le terme de modèle a longtemps désigné ce type de modèle physique. Les mathématiques interviennent dans cette modélisation car « Dans la formation de la mécanique et plus généralement de la physique, les mathématiques ont eu un rôle constitutif. On comprend ainsi non seulement que la physique est liée d’une façon indissoluble aux images mathématiques, mais qu’en outre, dans les descriptions mathématiques des phénomènes, les images physiques sont les images privilégiées et, pour ainsi dire, “naturelles” » (op. cit. p. 11). Vers la fin du 19e siècle, la crise des représentations mécanistiques en électromagnétisme (cf. les travaux en théorie des gaz de Maxwell (1864), les travaux en théorie cinétique des gaz de Boltzmann (1872) ou encore les travaux sur l’électromagnétisme de Hertz (1879)) puis l’application des mathématiques à l’extérieur du cercle de la physique vont conduire vers un nouveau type de mathématisation et faire évoluer la définition du mot modèle (Israël 1996, Bouleau 1999).

Le réalisme ou la ressemblance du modèle avec la réalité physique n’est plus du tout ce qui est recherché : au contraire, le modèle doit être un pur outil mathématique pour être un bon instrument d’interrogation des expérimentations complexes, complexes au sens où elles font intervenir un grand nombre de facteurs interdépendants (Varenne, 2012, p. 6).

3Au début du 20e siècle, on assiste à l’essor du développement de la mathématisation en dehors des sciences physiques, en particulier en sciences du vivant et en économie. Dans ce qui suit, nous présentons un bref aperçu des relations entre mathématisation et modélisation pour ce qui concerne les sciences du vivant.

2.2. Modélisation et mathématisation dans les sciences du vivant

4Selon Israël (1996) la mathématisation qui se développe au vingtième siècle dans les sciences du vivant renonce à toute tentative d’aboutir à une image unifiée de la nature. Il la qualifie de modélisation mathématique et définit la notion de modèle mathématique comme « fragment de mathématique appliqué à un fragment de réalité » (p. 11). Il ajoute que « non seulement un seul modèle peut décrire différentes situations réelles, mais le même fragment de réalité peut être représenté à l’aide de modèles différents. » (p. 11). En raison de la complexité de la réalité dans les sciences du vivant, le processus de modélisation mathématique au sens ci-dessus nécessite un découpage de la réalité en plusieurs parties plus petites et plus simples, ce qui peut s’apparenter à une forme de réductionnisme. Depuis le milieu du vingtième siècle, des évolutions sont apparues et, selon Lambert (2007), la mathématisation au sein de la biologie revêt aujourd’hui soit le rôle d’instrument d’analyse (par exemple les statistiques) soit celui de « la traduction, dans un langage concis, de la structure formelle de l’explication biologique. » (op. cit. p. 6) Ce que dit Lambert fait écho aux travaux de Treffers (1978) qui distingue deux aspects de la mathématisation en sciences du vivant : la mathématisation verticale et la mathématisation horizontale. « La mathématisation horizontale qui part du monde de la vie pour arriver au monde des symboles et la mathématisation verticale qui se déplace à l’intérieur de ce monde des symboles. » (Kuzniak et al., 2011)

5Nous nous intéressons pour cette étude à la partie du travail de modélisation mathématique en sciences du vivant qui relève de la mathématisation horizontale, et plus spécifiquement au processus qui conduit à ce que Varenne (2008) qualifie de modèle formel, à savoir :

Type de construit formel (logique ou mathématique), possédant une unité et une homogénéité. Cette unité et cette homogénéité sont choisies de telle manière qu’elles permettent à ce modèle de répondre à certaines questions ou de remplir certaines fonctions précises – de compréhension, d’action, de communication, de gestion ou de décision – en rapport avec un objet, un système, un phénomène ou une situation observable, concevable ou imaginable (op. cit. p. 2).

6Dans la suite de notre article, nous entendrons par modélisation mathématique une démarche de construction d’un modèle mathématique permettant de mettre en relation les éléments choisis d’un fragment de réalité en lien avec la question à étudier.

3. Modélisation et mathématisation en classe de mathématiques

3.1 Les instructions officielles

7En France, dans les instructions officielles, la résolution de problème est au centre de l’activité mathématique et ce dès l’école primaire. Dans le décret relatif au socle commun de connaissances, de compétences et de culture d’avril 2015, il est écrit qu’il importe que l’élève comprenne « que les mathématiques permettent de développer une représentation scientifique des phénomènes, qu’elles offrent des outils de modélisation, qu’elles se nourrissent des questions posées par les autres domaines de connaissance et les nourrissent en retour. »

8Dans l’introduction commune à l’ensemble des disciplines scientifiques et technologique du collège (2008), on peut lire « Les mathématiques aident à structurer la pensée et fournissent des modèles et des outils aux autres disciplines scientifiques et à la technologie » (p. 2).

9Nous interprétons ceci comme une préconisation de proposer aux élèves des situations choisies en dehors du champ des mathématiques afin de leur donner l’occasion de mettre en œuvre une mathématisation horizontale au sens de Treffers.

10La modélisation occupe également une place significative dans les programmes du lycée français, où dès la seconde (programme 2009) on trouve explicitement dans les objectifs généraux : « Modéliser et s’engager dans une activité de recherche ». Dans ceux de première S, ES ou L (2010) ou terminale S, ES ou L (2011), on peut lire (p. 2) « En Analyse, on traite des problèmes relevant de la modélisation de phénomènes continus ou discrets » et plus généralement dans les programmes de mathématiques du lycée de la voie générale, on note l’objectif général « chercher, expérimenter, modéliser ». Dans les instructions officielles, on retrouve des éléments du processus de modélisation essentiellement dans les parties concernant les démarches d’investigation comme on le voit dans l’extrait du décret relatif au socle commun de connaissances, de compétences et de culture d’avril 2015 (MEN, 2015) :

L’élève sait mener une démarche d’investigation. Pour cela, il décrit et questionne ses observations ; il prélève, organise et traite l’information utile ; il formule des hypothèses, les teste et les éprouve ; il manipule, explore plusieurs pistes, procède par essais et erreurs ; il modélise pour représenter une situation.

11Il est donc bien question de proposer des activités de modélisation aux élèves où la mathématisation horizontale permet de traiter la situation et cela suppose la dévolution aux élèves de ce processus pour leur permettre de comprendre le rôle des mathématiques.

L’élève engagé dans la scolarité apprend à réfléchir, à mobiliser des connaissances, à choisir des démarches et des procédures adaptées, pour penser, résoudre un problème, réaliser une tâche complexe ou un projet, en particulier dans une situation nouvelle ou inattendue (MEN, 2015).

12Les programmes français de l’enseignement secondaire accordent donc une place significative aux activités de modélisation, cependant l’élaboration et la mise en œuvre de situations porteuses de cette activité sont des tâches complexes. Bien que des travaux soient conduits depuis plusieurs années pour développer des ressources pour la classe, ces activités sont peu présentes dans les manuels scolaires, ce qui nous amène à douter qu’elles soient très répandues dans les classes. En outre, les activités proposées, lorsqu’il y en a, laissent en général peu de choix aux élèves en ce qui concerne l’élaboration d’un modèle mathématique pertinent ; autrement dit, la phase de mathématisation au sein du processus de modélisation n’est pas, en général, sous la responsabilité des élèves. Or nous faisons l’hypothèse qu’il est possible de concevoir des activités permettant une réelle dévolution du processus de mathématisation, afin de permettre une réelle réflexion sur les relations entre objets mathématiques et objets du monde réel, et de comprendre en quoi la mathématisation d’un problème peut constituer une aide à la décision dans des situations relevant de différents domaines de la connaissance ou de l’activité humaine. Nous nous inscrivons ici dans une tradition de recherche qui envisage de mettre l’élève en position de chercheur pour favoriser une meilleure adéquation des pratiques mathématiques scolaires avec la discipline elle-même.

3.2. Mettre l’élève dans la position de chercheur

13Depuis les années 1990, des dispositifs innovants visent à mettre les élèves en position de chercheur, certains sont proposés en dehors du cours ordinaire de la classe (MATh. en. JEANS, Maths à modeler, Hippocampe), d’autres sont proposés au sein des classes (Problème ouvert en mathématiques, Main à la pâte). Comme nous l’avons souligné, les textes officiels recommandent de faire entrer les élèves dans un processus de modélisation dans une situation de recherche. Prendre ces directives au sérieux suppose de clarifier ce que l’on entend par mettre l’élève dans la position du chercheur. Cette question a été étudiée en didactique des mathématiques en particulier par M.-L. Gardes (2013) qui a mis en perspective les processus de recherche de chercheurs, élèves et étudiants engagés dans l’étude d’un même problème de recherche dans le domaine de la théorie des nombres. Dans nos travaux, nous nous intéressons à un dispositif qui vise à mettre les élèves en position de chercheur : le groupe de recherche ResCo de l’IREM de Montpellier que nous présentons ci-dessous.

14Ce dispositif visant à engager les élèves dans un processus de modélisation mathématique comportant une phase de mathématisation horizontale nous fournit un terrain d’observation pour étudier les conditions de la dévolution de la mathématisation aux élèves.

3.3. Le dispositif ResCo

15Le dispositif de résolution collaborative de problèmes repose sur des échanges entre des classes, regroupées par groupes de trois, qui travaillent sur le même problème de recherche, pendant cinq semaines. Nous présentons ci-dessous trois spécificités du dispositif, a priori propres à favoriser un réel travail de modélisation et une dévolution de ce travail aux élèves, que nous illustrerons sur le problème mis en œuvre dans le dispositif ResCo en 2013-2014.

a. Des problèmes posés dans un contexte non mathématique

16Les problèmes proposés pour une session de résolution collaborative sont posés en dehors du cadre mathématique ; ce sont soit des adaptations de problèmes issus de la réalité (par exemple le problème des lemmings, voir annexe 1), soit des contextualisations réalistes de problèmes mathématiques (par exemple le problème de l’artiste, voir annexe 2). Dans ce dernier cas, nous parlons de fiction réaliste : le problème mathématique sous-jacent est choisi de sorte qu’il puisse être abordé par des élèves de la sixième à la terminale ; il comporte plusieurs variantes ; il est suffisamment contextualisé pour ne pas être directement identifié par les élèves ; le contexte est en outre suffisamment réaliste pour justifier un questionnement authentique ; enfin le problème est posé sous une forme inédite pour ne pas être repérable sur un moteur de recherche sur internet. De plus, « le champ des possibles pour la mathématisation du problème est suffisamment ouvert pour que le jeu des questions-réponses soit riche et pertinent » (Durand-Guerrier et Aldon, 2014). La phase de modélisation peut renvoyer à l’une ou l’autre des variantes du problème initial selon les choix faits par les élèves. Le problème doit en outre permettre la rédaction d’une relance dont le rôle est expliqué ci-après.

b. La phase des questions-réponses

17Les élèves travaillent par groupes de 3 classes. Lors de la première séance, les élèves découvrent le problème et préparent des questions qu’ils adresseront aux deux classes avec lesquelles leur classe est associée. L’objectif est de faire émerger un questionnement sur les différents choix possibles permettant un traitement mathématique du problème. La place des questions dans le dispositif est significative dans la mesure où elle déclenche le processus de mathématisation. Le fait de « laisser vivre » les questions permet de rendre visibles les interrogations des élèves, et de les traiter collectivement. C’est dans la phase des réponses à rédiger pour les autres classes que, d’une part, les questions pertinentes pour le processus de mathématisation vont se dégager et que, d’autre part, vont apparaître les différents choix possibles de mathématisation. Les élèves expriment d’autant plus librement leur questionnement qu’il est à destination d’autres élèves. À leur tour, ils vont recevoir des questions émanant d’autres classes de leur groupe, souvent communes aux leurs, les amenant à répondre à leurs propres questions. Ces questions similaires leur permettent souvent de mieux identifier les variables pertinentes et, à travers les réponses à rédiger, de débuter le processus de mathématisation.

c. La relance

18Prenant en compte les échanges des élèves, la relance signée par l’enseignant-chercheur du groupe ResCo, fixe les choix et vise à orienter la recherche vers un problème mathématique commun, se basant sur les propositions des élèves pour fixer des choix de mathématisation de certains éléments du problème initial. Elle permet d’expliciter les choix faits parmi ceux envisagés par les élèves lors de la phase des questions-réponses. À l’issue de la relance, les élèves sont amenés à chercher un même problème mathématique, issu des choix de mathématisation fixés par l’équipe ResCo.

d. La dévolution de la mathématisation aux élèves au sein du dispositif ResCo

19Pour illustrer nos propos, nous étayerons nos analyses à partir de la fiction réaliste mise en œuvre dans les classes en 2014 intitulée « Fuites à Fukushima » dont nous donnons ici le texte.

Figure 1 : le problème Resco 2013-2014- Fuites à Fukushima

Sous la piscine de refroidissement du réacteur 4 de la centrale nucléaire de Fukushima, des ingénieurs de Tepco dirigés par Toshio Nishizawa, constatent l’existence de micro-fuites d’eau contaminée par du césium 137 hautement radioactif. Ils décident alors d’envoyer un robot pour aspirer ces gouttes radioactives. Hélas, son module de guidage a été endommagé par la radioactivité présente dans ce lieu, il avance alors par déplacements de 10 cm dans les directions Est, Ouest, Nord ou Sud qu’il choisit au hasard. Les ingénieurs ont seulement la certitude que le robot démarre de sa base de chargement et qu’en raison de son autonomie, il ne pourra faire qu’un nombre limité de déplacements. Quelles sont les zones qui seront nettoyées ?

20Lors de la phase des questions, les élèves commencent à choisir des fragments de la réalité fictionnelle sur lesquels ils se questionnent. Dans la phase des réponses, les élèves commencent à faire des choix de mathématisation et par là même choisissent des modèles corrélés à la question posée.

21Voici par exemple certaines questions-réponses recueillies à propos de la fiction « Fuites à Fukushima » :

Figure 2 : exemples de questions réponses au problème Resco 2013-2014 - Fuites à Fukushima

Questions

Réponses

Quelle est la forme de la piscine ? Quelles sont les dimensions ?

On peut supposer que la piscine est de forme rectangulaire, de grande taille et profonde comme on a vu sur Internet (une très grande piscine municipale)

Où se situe la base de chargement par rapport à la forme et à la taille de la zone ?

On considère que la zone est rectangulaire de longueur
30m et de largeur 15m (suite à des recherches sur la taille d’une piscine de refroidissement) et que la base de chargement est située au centre celle-ci : ce choix
nous arrange pour la suite de la recherche. Le robot serait un carré surmonté d’un réservoir permettant le stockage des gouttes.

Les déplacements du robot sont-ils toujours rectilignes ?

On a admis qu’ils étaient toujours rectilignes

Est-ce que cela refuit après son passage et en combien de temps ?

On suppose qu’une zone ne peut pas être contaminée de nouveau après nettoyage : d’ailleurs la question du sujet suggère cela très fortement. Si les zones étaient contaminées de nouveau, la résolution du problème serait impossible.

22Le vocabulaire utilisé par les élèves lors de la rédaction des réponses montre qu’ils font des choix (cf. les mots soulignés dans le tableau). Ils sont rentrés dans un processus de mathématisation horizontale, processus dont la dévolution est visée par la situation. Les différentes expérimentations conduites au sein du groupe ResCo ont ainsi montré que le dispositif de questions-réponses semble de nature à favoriser la prise en charge par les élèves d’une partie de la mathématisation.

23Cette question renvoie pour nous explicitement à la question de la transposition de pratiques de référence des chercheurs dont le travail relève de ce domaine (Perrenoud, 1998). Pour conduire notre étude, nous avons choisi de nous intéresser aux sciences du vivant pour des raisons essentiellement pragmatiques : nécessité de circonscrire un domaine – contacts préexistants avec des chercheurs du domaine.

4. Modélisation et mathématisation : dans le travail des chercheurs - Premières explorations

24Notre méthodologie consiste à s’entretenir avec des chercheurs engagés dans des recherches en mathématiques appliquées aux sciences du vivant en vue de mieux cerner leurs pratiques dans un processus de modélisation, dans le but d’étudier la transposition de ces pratiques effectives dans les classes dans un processus de mathématisation.

4.1. Choix du type d’entretien

25Notre objectif est d’identifier quelques caractéristiques dans les pratiques de modélisation de chercheurs. Toutefois, observer directement des pratiques effectives aurait été trop long et coûteux, si bien que nous avons opté pour des entretiens individuels de chercheurs en biologie et de chercheurs en mathématiques appliqués aux sciences du vivant. Pour atténuer le biais dû au fait qu’un entretien ne permet d’avoir accès qu’à des pratiques déclarées, nous avons fait le choix de l’entretien compréhensif (Matthey, 2005) :

L’entretien de type compréhensif est une configuration où une personne sollicite la parole d’une autre à propos d’un sujet donné, en lui reconnaissant un droit à l’intersubjectivité, c’est-à-dire un droit à une subjectivité autonome. Ce droit à une subjectivité autonome implique une attitude générale du chercheur. Il s’agit de considérer que l’entretien est susceptible de produire un matériau heuristique à la seule condition que celui qui enquête renonce à un statut d’expert, pour se mettre à disposition de celui qui parle. Son rôle est de favoriser une prise de parole. En énonçant une consigne vague. En accompagnant cette parole par des relances, parfois silencieuses, parfois non verbales. La première implication de cette mise à disposition de soi consiste donc dans le renoncement à la directivité des questions (Matthey 2005, p. 3).

26Nous avons notamment fait le choix délibéré de ne pas prononcer nous-mêmes ni le mot « modèle » ni le mot « modélisation » dans le début de notre entretien. Nous faisons en effet l’hypothèse que leur introduction par le chercheur lui-même sera plus révélatrice de sa propre conception du sens de ces mots.

4.2. Présentation des questionnaires et motivation des choix

27L’une des questions essentielles sur lesquelles reposent nos entretiens est celle où nous demandons au chercheur de décrire un projet de recherche dans lequel sont intervenues les mathématiques : « Pouvez-vous décrire un projet de recherche (du début à la fin) dans lequel les mathématiques sont intervenues ? » Cela fournit un support à un discours sur ses pratiques. Notre objectif est de réduire la distance entre le discours sur les pratiques et les pratiques effectives sur le terrain.

28Dans le cadre de l’entretien compréhensif, nous avons tout de même prévu des questions intermédiaires pour faire développer certains points de la description ou l’enrichir, mais suffisamment factuelles pour ne pas induire une focalisation sur les aspects qui nous intéressent directement.

29Par exemple :

  • Comment a commencé le projet ? Qu’est ce qui a initié ce projet (à quelle échelle est ce projet ? quelle est la question de départ ?

  • Quels choix (mathématiques et expérimentaux) ont été faits pour mener à bien ce projet ?

  • Comment avez-vous choisi vos outils mathématiques ? Quels outils ? Pour quelles raisons ? Sous quelle forme ?

  • Les renoncements ? La créativité ?

  • En quoi les mathématiques vous ont été indispensables dans ce projet ? Estimer le degré d’intervention des mathématiques.

  • Est ce qu’il y a un texte de dépôt, un article qui relate ce projet ?

4.3. Premiers résultats

30Nous avons réalisé à ce jour quatre entretiens filmés, réalisés entre décembre 2014 et mars 2015 auprès de chercheurs en biologie. Nous présentons ci-dessous nos premiers résultats à partir des analyses des transcriptions de trois d’entre eux : Le chercheur B1, chercheur en biologie de l’évolution au CNRS ; le chercheur B2, ingénieur chercheur en électrophysiologie et le chercheur B4, chercheur en génétique au CNRS.

31Nous avons repéré quelques éléments qui semblent partagés par ces quatre chercheurs et qui pourraient potentiellement constituer des invariants dans les pratiques de modélisation, que nous illustrons par des extraits des propos des chercheurs interrogés.

  • Dans son projet de recherche, le chercheur fait le choix d’une hypothèse à tester pour laquelle il va utiliser un modèle préexistant. (B1) « Le début, l’entrée c’est le modèle dont j’ai besoin pour mes questions de bio, après c’est l’outil, et après, l’outil et les questions se répondent quoi ».

  • Ce choix de modèle donne au chercheur une hypothèse de prédiction qu’il va tester par l’expérience. (B4) « Moi ce que je vais faire c’est juste muter la séquence qui reconnait les ARN car normalement, en mutant juste cette séquence je devrais avoir le même phénotype […] puisque le modèle dit que c’est comme ça que « bantam » exerce son action […], ça c’est une prédiction qu’on va tester. ».

  • Il choisit donc un modèle qui doit lui permettre de recueillir des observables. (B1) « Tout le jeu, c’est de tordre le modèle pour qu’il s’exprime en terme de quantités que je sais mesurer dans mes expériences ». (B4) « Il faut imaginer des expériences qui de toutes façons donnent un résultat qui permette d’avancer. ».

  • En cas d’échec, il modifie le choix des paramètres et/ou change de modèle. (B2) « On remettrait plutôt en cause les modèles. C’est à dire que la question posée n’était pas la bonne ou la molécule n’agit pas là où on pensait ; mais il peut y avoir des tas de raisons, les conditions de l’expérience, les aléas en biologie. ».

  • Chaque résultat expérimental, quel qu’il soit, permet au chercheur de poursuivre ses recherches. (B4) « Quand les prédictions ne se réalisent pas, ça ouvre souvent la voie à des choses nouvelles et excitantes. ».

  • Le chercheur est donc parfois amené à « améliorer un modèle existant ou créer entre guillemets un modèle qui n’existe pas » (B1) mais « pour le créer on va prendre des modèles existants qu’on va raffiner » (B1).

  • Ce choix du modèle de départ chez nos chercheurs interrogés est un modèle mathématique. Leur processus de modélisation commence donc par une mathématisation horizontale. Puis, le chercheur « rentre » ses données recueillies lors d’expériences dans des logiciels informatiques pour obtenir de nouvelles hypothèses de prédiction. (B4) « Je vais choisir des cibles prédites par l’ordinateur et les muter de la manière dont je veux. ».

  • Il y a de véritables allers-retours entre la théorie et l’expérience. (B1) « Je voyais que j’avais pas tous les cas […] donc dans ce cas-là j’ai cherché à nouveau. C’est l’aller-retour. ».

  • Et dans l’idéal, le chercheur espère obtenir un résultat qui se généralise qui deviendrait alors lui-même un nouveau modèle. (B4) « Réussir une expérience c’est toujours sympa […] mais arriver à élaborer un modèle c’est le plus grand accomplissement pour le chercheur en bio, on a réussi à faire plusieurs petites choses qui aboutissent à une construction. ».

5. Conclusion et perspectives

32Les premiers entretiens nous ont permis de dégager des premières idées d’invariants dans les pratiques, qui restent à confirmer. Nous poursuivons nos entretiens auprès des chercheurs en biologie et sont prévus également des entretiens auprès de chercheurs mathématiciens travaillant sur des problématiques de mathématiques appliquées aux sciences du vivant, afin de nous permettre de cerner d’autres aspects du processus de modélisation dans les pratiques de chercheurs. Parallèlement à ce travail épistémologique, nous élaborons par ailleurs une fiction réaliste relevant du domaine des sciences du vivant pour la session collaborative 2016 du groupe ResCo afin d’étudier dans sa mise en œuvre des traces de la transposition des pratiques des chercheurs engagés dans un processus de modélisation et d’analyser la dévolution de la mathématisation aux élèves. Ceci constitue la deuxième étape dans l’élaboration de notre ingénierie didactique qui vise à tester nos hypothèses de recherche sur la dévolution du processus de mathématisation.

Bibliographie

Références

Sites :

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http://mathsamodeler.ujf-grenoble.fr/.

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Annexes

Annexes

Annexe 1 : Le problème des Lemmings

Le lemming est un petit rongeur qui vit dans les régions nordiques (Suède, Finlande, Sibérie, Canada…). C’est un animal extrêmement prolifique : il devient mature quelques semaines à peine après sa naissance, et les femelles peuvent avoir plusieurs portées par an. Il a divers prédateurs naturels : renards, hermines, loups, faucons… Au Canada, le lemming vit en particulier dans l’archipel arctique, constitué d’une centaine d’îles principales (un peu plus de 1km2 chacune) et de milliers d’îles secondaires.

On cherche justement à prévoir l’évolution de la population d’une de ces îles. On sait qu’il y avait, en 2005, 3 000 individus (environ) sur l’île en question, et on a constaté que le lemming a un taux de natalité (nombre de naissances par an divisé par nombre d’individus) égal à 110 % et un taux de mortalité (nombre de décès par an divisé par nombre d’individus) égal à 60 %. Peut-on prévoir la population dans les années futures ? Que peut-on en conclure ? Est-il possible de prévoir la population au milieu (ou au quart, au tiers...) d’une année donnée ? Et si l’on s’intéresse à la même espèce de lemmings qui vivent en Sibérie, le problème change-t-il de nature ?

Annexe 2 : Le problème de l’Artiste

Un artiste contemporain veut réaliser une œuvre sur un support rond, en plantant des clous sur le pourtour et en tendant des fils entre les clous. Il se propose de peindre chaque zone d’une couleur différente. De combien de couleurs aura-t-il besoin ?

Le problème mathématique initial est le problème classique du nombre de régions dans un disque :

On place n points sur un cercle. Combien de régions détermine-t-on à l’intérieur de ce cercle en joignant les points deux à deux ?

Auteur

Université de Montpellier. Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck. UMR 5149.

© Presses universitaires de Franche-Comté, 2018

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