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Epistémologie & didactique

 | 
Manuel Bächtold
, 
Viviane Durand-Guerrier
, 
Valérie Munier

Partie 1. Épistémologie et recherches didactiques sur les connaissances scientifiques enseignées

Une étude d’épistémologie contemporaine sur l’activité de recherche mathématique de chercheurs : intérêt pour l’étude didactique

Marie-Line Gardes

Texte intégral

1. Introduction

  • 1 L’énoncé de la conjecture d’Erdős-Straus est le suivant (Erdős, 1963) : pour tout entier naturel n (...)

1De nombreuses recherches en didactique des mathématiques se sont intéressées, depuis près de trente ans, à la construction, la mise en œuvre et l’analyse de dispositifs didactiques permettant aux élèves de pratiquer des activités de recherche mathématique (Schoenfeld, 1985 ; Arsac, Germain, Mante, 1988 ; Duchet, 1996 ; Grenier, Payan, 2003 ; Dias, 2008 ; Giroud, 2011). Ils mettent en évidence l’intérêt des enseignants et des élèves pour ces pratiques de classe (Arsac, Mante, 2007) mais également les difficultés de mise en œuvre et les freins au développement des problèmes de recherche en classe (Aldon et al., 2010). Nos recherches (Gardes, 2013) s’inscrivent dans la continuité de ces travaux en s’intéressant à la question de la transposition de pratiques mathématiques « expertes ». Partageant l’hypothèse soutenue par Tisseron (1998) qu’« il est possible de reproduire chez l’élève certains aspects du travail du chercheur en le mettant dans des situations appropriées », nous nous sommes centrée sur ce que l’on pourrait apprendre du travail mathématique effectif des chercheurs pour développer et enrichir des ingénieries favorisant l’activité de recherche mathématique des élèves et des étudiants dans le cadre de la résolution de problèmes de recherche en classe. Pour cela, nous avons étudié les processus de recherche de chercheurs, élèves et étudiants sur la recherche d’un même problème non résolu : la conjecture d’Erdős-Straus1. Notre méthodologie de recherche s’est appuyée sur l’interaction de trois études : mathématique, épistémologique et didactique. L’étude mathématique consiste à faire l’état de l’art sur les recherches mathématiques de la conjecture. L’étude épistémologique porte sur la nature de l’activité de recherche mathématique professionnelle et la manière dont elle est pratiquée par les chercheurs. L’étude didactique consiste, elle, à l’identification des éléments pour la construction d’un milieu riche favorisant la résolution de problèmes de recherche dans les classes. Dans cet article, nous présentons, dans une première partie, la spécificité de notre étude épistémologique et, dans une seconde partie, nous détaillons ses intérêts pour l’étude didactique.

2. Une étude d’épistémologie contemporaine : suivi des recherches de chercheurs

  • 2 Cette expression est empruntée à Pólya : « [...] on n’a, en effet, jamais présenté tout à fait ains (...)
  • 3 Pour la Science,19, Rubrique Jeux mathématiques, p. 112.

2L’objectif central de l’étude épistémologique est d’identifier des éléments invariants potentiels dans l’activité de recherche mathématique des chercheurs. Pour cela, nous avons choisi de mener une analyse d’épistémologie historique et contemporaine sur l’activité de recherche mathématique d’une part, et une analyse d’épistémologie contemporaine sur la conjecture d’ Erdős-Straus d’autre part. L’étude épistémologique de l’activité de recherche mathématique repose sur la lecture de textes de mathématiciens décrivant les processus de l’invention mathématique (Poincaré, 1908 ; Hadamard, 1993 ; Fehr, 1908 ; Thurston, 1995 ; Nimier, 1989 ; Villani, 2012) et d’autres explicitant l’heuristique de l’activité de recherche (Pólya, 1945, 1989 ; Lakatos, 1976). L’analyse d’épistémologie contemporaine de la conjecture d’Erdős-Straus consiste à suivre des travaux de recherche de chercheurs « in statu nascendi2 » sur le problème. L’adjectif contemporain renvoie ici à la méthodologie particulière de cette étude, où nous avons recueilli et suivi des recherches en cours de chercheurs engagés dans l’étude de la résolution de la conjecture d’Erdős-Straus. Les premiers travaux sont ceux de L. Thépault, un ingénieur chimiste, passionné de mathématiques et amateur de résolution de problèmes mathématiques. Pour analyser ses travaux sur la conjecture d’Erdős-Straus, nous nous sommes appuyée sur ses écrits (un courrier dans le magazine Pour la Science (1979)3 et l’article de son livre (Thépault, 2007, p. 264)), sur nos correspondances électroniques et sur un entretien. Précisons que ce corpus est principalement composé de textes rédigés par L. Thépault, postérieurs à ses recherches et que les propos tenus sur la résolution de la conjecture lors de l’entretien émanent d’une réflexion a posteriori sur les démarches mises en œuvre. Les seconds travaux sont ceux de M. Mizony, enseignant-chercheur de mathématiques de l’Université de Lyon 1, actuellement à la retraite. Pour l’analyse de ses travaux, nous nous sommes appuyée sur le corpus suivant :

  • notre correspondance électronique (environ 200 courriels en quatre ans) comprenant des échanges écrits mais également des documents, notamment des fichiers d’algorithmes ;

  • nos échanges lors de nos rencontres (une à deux fois par mois pendant 4 ans) dont certains ont été enregistrés ;

  • différentes versions d’articles présentant ses résultats ;

  • des articles écrits et/ou en préparation (Mizony, 2010 ; Gardes, Mizony, 2012 ; Mizony, Gardes, 2012).

3Ces différents éléments ont été recueillis « en direct ». Les correspondances électroniques rendent compte des avancées de sa recherche « à l’instant t » et non a posteriori. Les documents joints ne sont pas des écrits retraçant, après réflexion, la démarche utilisée, ils sont des produits mêmes de la recherche.

4Ces études épistémologiques nous ont permis, d’une part d’identifier différents aspects du travail du mathématicien en situation de recherche, et d’autre part de développer la notion de « geste » de la recherche pour décrire et analyser le processus de recherche des chercheurs. Dans la suite, nous explicitons en quoi cette notion prend en compte les différents aspects du travail du chercheur et en quoi elle est pertinente pour étudier les processus de recherche effectifs de l’activité de recherche mathématique.

2.1. Gestes de la recherche

5Nous avons emprunté la notion de « geste » à la philosophie des mathématiques (Cavaillès, 1938, 1994 ; Châtelet, 1993 ; Bailly, Longo, 2003) et nous l’avons développée pour analyser l’activité effective de recherche d’un problème mathématique. Ceci nous a permis de prendre en compte différents aspects du travail du mathématicien : la dimension active de la recherche, le rôle central de l’intuition dans le processus de création et les aspects dialectiques entre la mobilisation, l’acquisition des connaissances et le développement d’heuristiques (Gardes, 2013).

6Cavaillès introduit la notion de geste dans sa première thèse en philosophie des mathématiques, Méthode axiomatique et formalisme (1938), pour discuter du fondement des mathématiques mais également des pratiques mathématiques. Il distingue deux facettes dans un geste : la manipulation de signes mathématiques, soumis à des règles d’emploi (geste qualifié de combinatoire par Cassou-Noguès (2001)) et un acte de pensée (geste qualifié d’opératoire par Cassou-Noguès (2001)). Cavaillès définit l’expérience comme un système de gestes et Cassou-Noguès précise alors que « l’expérience mathématique serait un double système de gestes : gestes combinatoires dans les espaces combinatoires, gestes opératoires dans les théories mathématiques » (Cassou-Noguès, 2001, p. 13). Ce ne sont pas deux actes distincts mais un seul acte qui se déploie comme combinatoire et opératoire. Le geste, au sens large, est alors une combinaison de signes, qui, pour qui sait lire, réalise une opération mathématique. Cavaillès reconnaît une certaine unité des gestes combinatoire et opératoire.

La mathématique ne quitte pas le monde sensible mais est analyse sans fin du noyau des gestes sensibles. [...] la pensée est immanente au geste (Cavaillès, 1994, p. 579).

7Enfin, pour Cavaillès, le pouvoir de créer, qui réalise l’« extension » de l’expérience et le développement des théories, semble déterminé comme pouvoir de gestes dans l’expérience, c’est-à-dire comme pouvoir de gestes combinatoires. Cassou-Noguès (2001) reprend cette idée en s’appuyant sur le processus de résolution de problèmes par un mathématicien. Il avance deux éléments pour guider le mathématicien, l’exigence des problèmes posés et une sorte de prémonition du sens. Les notions exigées pour la résolution du problème sont pressenties et reconnues proches, à la limite du champ constitué. Et c’est précisément pour saisir ces notions, qui le hantent, que le mathématicien expérimente et teste des gestes. Le progrès dans la résolution du problème, c’est-à-dire l’extension de l’expérience provient alors d’un geste qui capte ces notions dans l’espace combinatoire initial au moyen d’une combinaison de signes, laquelle bouleverse le champ d’expérience et ouvre un nouvel espace combinatoire. Pour Cassou-Noguès, l’unité des gestes opératoires et combinatoires se réalise dans l’émergence de la pensée dans le geste, déterminée par cette possibilité de capter une notion pressentie dans un champ d’expérience au moyen d’un geste dans l’expérience. Le « geste » permet ainsi de saisir l’intuition puis de la mettre en œuvre afin de faire progresser le développement des mathématiques.

8La notion de « geste » chez Châtelet (1993), qui reprend et prolonge celle de Cavaillès, est relativement complexe et semble plutôt se décliner comme un système de gestes :

C’est une propulsion, qui se referme en une impulsion, d’un même geste qui décape une structure et réveille en nous d’autres gestes. (Ibid. p. 32)

9Comme chez Cavaillès, le « geste » chez Châtelet ne se réduit pas à l’acte mais comporte une intentionnalité.

Le geste n’est pas un simple déplacement spatial : il décide, libère et propose une nouvelle modalité du « se mouvoir » ; […] on se pénètre du geste avant de le savoir (Ibid. p. 31).

10Dans le travail mathématique, il ouvre le champ des possibles et permet de progresser dans l’élaboration de nouveaux concepts. Bailly et Longo précisent ainsi qu’il n’est « pas étonnant que les concepts les plus généraux et les plus abstraits, en mathématiques et en physique, s’enracinent “en première instance” dans l’expérience motrice et que ce soit “le geste” qui en permette le développement en même temps qu’il permet, si abstrait soit-il lui-même devenu, l’élaboration de nouveaux concepts » (Bailly, Longo, 2003, p. 13). Ils précisent, en renvoyant à Châtelet et Salanskis, que trois gestes semblent avoir présidé à la naissance des concepts les plus fondamentaux des mathématiques et de la physique : celui des déplacements pour l’espace (et le temps), celui de la caresse pour le continu, celui de l’itération illimitée pour l’infini (et le nombre). Bailly et Longo insistent sur l’action motrice du geste :

Le geste, qui commence par l’action motrice, enracine la signification entre nous et le monde, à l’interface entre les deux (Bailly, Longo, 2003, p. 4).

11Ils montrent alors en quoi cette notion de « geste » est intéressante pour l’enseignement des mathématiques :

Dans ce cas [le concept de nombre réel], l’intuition précède la structure mathématique et, ensuite, elle en est enrichie et précisée. Un mathématicien comprend et communique à l’élève l’appréciation du continu, par le geste, car, derrière le geste, les deux partagent cet acte d’expérience ancien ; par des gestes et des mots, l’enseignant peut (et doit) introduire à « […] tout ce parler dans les mains […] réservé aux initiés » dont parle Châtelet (1993, p. 34). La re-construction conceptuelle rigoureuse est nécessaire, bien évidemment […] mais l’enseignement doit aussi faire vivre à l’élève l’expérience de l’intuition, de ce « voir » qui est au cœur de toute pratique scientifique (Ibid., p. 15).

12Les gestes permettent donc de saisir l’intuition qui précède et suit la construction conceptuelle. On retrouve ici un certain pouvoir de création par les gestes.

13À la lecture de ces textes philosophiques, nous retenons la définition suivante de « geste » de la recherche :

Un geste est un acte de mise en relation d’objets mathématiques dans une intentionnalité. C’est une opération qui s’accomplit en s’incarnant dans une combinaison de signes, soumise aux règles d’emploi de ces signes. Il possède un pouvoir de créer dans sa possibilité d’ouvrir le champ des possibles dans le travail mathématique, en saisissant l’intuition au moyen d’un geste dans l’expérience (Gardes, 2013, p. 155).

14Deux caractéristiques nous semblent essentielles dans cette définition pour notre recherche. La première est la double facette unifiée du geste (geste sur les signes et gestes sur les idéalités) qui lui confère un pouvoir de créer dans le travail mathématique. Il prend en compte le rôle de l’intuition dans la création mathématique décrite par de nombreux mathématiciens. Identifier les gestes dans l’activité d’un mathématicien pourrait permettre ainsi de caractériser les éléments marqueurs de progression dans leur recherche. Notons également que ce pouvoir de créer, de saisir une intuition par un geste sur les signes, se réalise dans un processus dialectique entre organisation, acquisition de connaissances et développement d’heuristiques. La seconde caractéristique du geste est sa dimension active, il s’agit d’une action au cœur du travail mathématique. Dans une perspective socio-constructiviste de l’apprentissage, cette notion nous semble donc pertinente pour décrire et analyser l’activité mathématique effective d’un sujet engagé dans la résolution d’un problème de recherche.

15D’un point de vue didactique, nos travaux s’inscrivent dans la lignée de ceux de Dias (2008) qui a déjà repris cette notion de geste. Épistémologiquement, cet auteur a choisi de parler d’expérimentation en mathématiques à la lumière de Cavaillès comme d’un double système de gestes (combinatoire et opératoire) en les envisageant dans une dialectique qui les associe. Il considère en effet que l’intersection des espaces opératoire (où se situent la théorie mathématique et les opérations produits de la pensée) et combinatoire (où se construisent les signes sensibles et leurs règles d’emploi) se réalise par le sujet lui-même : « c’est en effet le sujet lui-même, celui qui écrit et qui pense, l’auteur unique de ces gestes » (Dias, 2008, p. 38). Cette représentation permet de faire apparaître l’expérience mathématique comme un dialogue du sujet avec les objets, où ces objets ne sont rendus visibles et accessibles que par les actes portant sur eux. En important ce modèle dans le champ didactique, l’auteur montre l’importance de créer un milieu propice à ce dialogue pour « faire faire des mathématiques » (au sens de Conne, 1999). Dias montre aussi que le modèle de « geste » peut rendre compte de l’aspect actif de l’activité mathématique ainsi que du processus dialectique de mobilisation, acquisition des connaissances et développement d’heuristiques (notamment dans la dialectique objets sensibles/objets théoriques). Cependant il ne l’utilise pas pour l’analyse de l’activité des sujets. Dans notre travail, nous voulons utiliser cette notion de « geste » à une autre échelle : celle de l’analyse du travail effectif d’un sujet engagé dans la résolution d’un problème de recherche.

16Dans notre étude, la notion de « geste » de la recherche est un outil pour décrire et analyser le travail mathématique effectif d’un sujet (chercheur, élève, étudiant) dans la recherche d’un problème de mathématique. D’une part, elle permet de mettre en évidence certains aspects du travail du chercheur que nos analyses épistémologiques ont identifiés : le rôle de l’intuition, le rôle de la dimension expérimentale des mathématiques et l’importance d’un travail dialectique entre la mobilisation, l’acquisition de connaissances mathématiques et le développement d’heuristiques. D’autre part, la notion de « geste » de la recherche permet de mettre en évidence la manière dont un sujet agit sur le problème afin d’avancer dans son étude. Nous identifions deux marqueurs d’avancement dans l’étude d’un problème de recherche. Nous empruntons le premier à Giroud (2011) qui considère que :

Il y a avancée dans la recherche lorsque la conception des élèves sur le problème est modifiée. Par exemple, lorsqu’un nouveau problème est formulé, une nouvelle relation entre deux problèmes établie, un nouvel exemple produit, une nouvelle représentation utilisée, etc (Giroud, 2011, p. 118).

17Pour la recherche sur la conjecture d’Erdős-Straus, résoudre un problème auxiliaire en lien avec la conjecture, simplifier la conjecture, réduire ou limiter la recherche, le poser dans un autre cadre, etc., seront des indices de progression de la recherche. Le second marqueur d’avancée de la recherche est la production de résultats partiels sur la conjecture d’Erdős-Straus. Par exemple, trouver des nombres entiers solutions de l’équation d’Erdős-Straus, trouver des identités assurant l’existence de décompositions pour des classes de nombres entiers ou trouver des conditions suffisantes ou nécessaires d’existence de solutions.

  • 4 Voir la note de bas de page 2 pour l’énoncé de la conjecture.

18En appui sur l’analyse mathématique de la conjecture d’Erdős-Straus4, sur les études épistémologiques de l’activité de recherche mathématique et sur les premières expérimentations en classe de terminale scientifique (Gardes, 2010), nous avons identifié sept gestes permettant d’analyser les processus de recherche mis en œuvre par les différents sujets cherchant cette conjecture :

  • réduire le problème aux nombres premiers : c’est ramener l’étude du problème (pour tout entier n) à une forme équivalente (étudier la conjecture pour tout n premier) ;

  • désigner des objets : c’est représenter cet objet par le langage ou un signe. Cela permet d’indiquer précisément la nature de ces objets. Par exemple, étant donné un entier pair n, désigner par k l’unique entier tel que n = 2k ;

    • 5 Ce geste apparaît dans l’exemple de la page suivante, dans les recherches de M. Mizony.

    introduire un paramètre : c’est l’introduction d’un signe, dans une modification des écritures mathématiques, sans renvoi explicite aux objets qu’il désigne5 ;

    • 6 Ce geste est détaillé dans toute la suite de l’article.

    construire et questionner des exemples : c’est la détermination d’une méthode de construction des exemples à partir de manipulations des objets mathématiques naturalisés en jeu dans le problème et un questionnement de ces différents exemples dans le but d’en dégager des informations6 ;

  • effectuer des contrôles locaux : c’est vérifier les différentes étapes des manipulations et combinaisons de signes dans les écritures mathématiques. Il s’agit par exemple de contrôler la nature des nombres en jeu (ici que les nombres x, y et z soient des entiers naturels non nuls) ;
    transformer l’équation initiale : c’est une transformation qui s’effectue par équivalence de jeux d’écriture. Par exemple 4/n=1/x+1/y+1/z ⬄ 4xyz = (yz + xz + xy) ;

  • implémenter un algorithme : traduire un algorithme dans un langage de programmation. Dans le paragraphe suivant, à partir de l’étude du geste construire et questionner des exemples dans la recherche d’un des deux chercheurs (M. Mizony), nous montrons comment cette notion de geste de la recherche permet de décrire et analyser des processus de recherche.

2.2. Analyse de processus de recherche à partir d’un geste

19Le geste construire et questionner des exemples se décompose en deux actions. La première est la détermination d’une méthode de construction des exemples à partir de manipulations des objets mathématiques naturalisés en jeu dans le problème. La seconde est un questionnement de ces différents exemples dans le but d’en dégager des informations. Nous avons regroupé ces deux actions car nous faisons l’hypothèse qu’elles sont liées et en interaction : la construction des exemples favorise un questionnement, et en retour le questionnement des exemples permet d’affiner leur méthode de construction. Il n’est pas exclu que l’une des actions puisse être faite sans l’autre, cependant nous considérons que, dans ce cas, l’avancée provoquée serait moindre, voire inexistante. L’étude d’exemples en tant que « produit fini » semble moins productive si elle n’est pas précédée d’une phase de construction des exemples. De même, si la construction des exemples n’est pas suivie d’une phase de questionnement de ces exemples, les informations qu’on peut en dégager ne seront pas formalisées, voire identifiées. Selon nous, ce travail sur les exemples se réalise donc dans un processus dialectique qui peut aboutir à différentes avancées dans la recherche du problème : un approfondissement des connaissances sur le problème et en particulier sur les difficultés liées à sa résolution, une élaboration de résultats mais également des améliorations de résultats ou de preuves.

20Dans les recherches de M. Mizony, ce geste a été prépondérant et central. Ses expériences se sont appuyées sur la construction d’exemples, c’est-à-dire la construction de décompositions de 4/n en somme de trois fractions unitaires pour certaines valeurs de n puis sur l’étude de ces différents exemples. Le rôle de ces expériences dans ses recherches est double : d’une part l’exploitation de nombreux cas particuliers permet d’envisager des généralisations et d’autre part, l’analyse fine d’exemples clés permet de mieux comprendre les difficultés liées à la preuve de la conjecture. La construction et l’étude des exemples se sont effectuées à l’aide d’algorithmes qu’il a implémentés. Ce recours à l’informatique lui permet de construire de nombreux exemples en temps limité. Or disposer de nombreux exemples est un avantage, en particulier pour la recherche de régularités, comme l’illustre l’exemple suivant.

Exemple : Dans ses premiers algorithmes de construction de décompositions, il pose Image 100000000000009D0000003D73C9D421EBB101DD.jpget Image 10000000000000CC0000005F21DA4FDC8365F683.jpg. L’étude des exemples obtenus met en évidence que les nombres n congrus à 1 modulo 24 ne sont pas décomposés avec cette méthode. Cela le conduit alors à modifier les valeurs de x et y en introduisant les paramètres a et b dans leurs expressions respectives, ce qui donne Image 10000000000000960000003801AA77738B89369B.jpget Image 10000000000000EA0000005DD32FA1E808E47828.jpg.

  • 7 4/25=1/10+1/17+1/850 et 4/25=1/7+1/60+1/2100

21Il construit alors un programme de balayage en faisant varier a et b pour trouver de nombreuses décompositions de 4/n en somme de trois fractions unitaires pour n congru à 1 modulo 24. Il étudie ensuite quelques exemples particuliers, pour n = 25, 49, 73 et 97. Dans ce programme (figure 1), il regroupe les différentes décompositions obtenues pour un n donné. Par exemple, pour n = 25, il obtient deux décompositions7 : l’une avec a = 4 et b = 1 et l’autre avec a = 1 et b = 2. La période exprime une congruence pour le nombre n. Par exemple, pour tout n congru à 25 modulo 120, a = 4 et b = 1 donne une décomposition de 4/n. L’étude et le questionnement de ces différents exemples lui permet de déterminer des régularités, sur les valeurs de a et b et sur les périodes. Par exemple, il a pu repérer trois périodes pour n = 25. Tout nombre n congru à 25 modulo 120 ou 25 modulo 60 ou 5 modulo 20 admet ainsi une décomposition. De plus, il repère que certains nombres ont les mêmes valeurs de a et b pour la même période (comme 25 et 97 pour une période 120). Cela le conduit dans un premier temps à modifier l’algorithme, en regroupant les périodes identiques pour certaines classes de nombres. Puis, dans un second temps, il détermine une caractéristique du paramètre a (figure 2).

Figure 1 : extrait d’un programme des recherches de M. Mizony (document personnel)

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22Ce travail de construction de nombreux exemples puis de questionnement lui a permis, d’une part de mieux comprendre les nombres exceptions (les nombres premiers congrus à 1 modulo 24) et d’essayer de les traiter (en déterminant notamment une caractérisation de a) et d’autre part d’améliorer les premiers algorithmes de décomposition grâce à différentes généralisations. Ainsi, au sein de la résolution de la conjecture, ce geste de construction et questionnement des exemples conduit à de nombreuses avancées : approfondissement des connaissances sur le problème et en particulier des difficultés pour sa preuve, amélioration des algorithmes de décompositions et élaboration de résultats partiels sur la conjecture.

  • 8 Une démarche de type expérimental se caractérise par des allers et retours entre la manipulation de (...)

23L’étude du processus de recherche de M. Mizony par l’analyse des gestes a mis en évidence la nature expérimentale de sa démarche8. Il a travaillé en appui sur la manipulation et le questionnement des objets mathématiques en jeu dans le problème. Le fait que ses principaux gestes (implémenter un algorithme, désigner des objets, construire et questionner des exemples) identifiés comme moteurs dans ses recherches soient liés et s’appellent les uns les autres dans leur réalisation montre que ce travail sur les objets a favorisé la mise en œuvre d’une démarche expérimentale, processus non linéaire mais au contraire dialectique entre expérience et théorie.

Figure 2 : extrait d’un algorithme des recherches de M. Mizony (document personnel)

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3. Intérêts pour l’étude didactique

24L’étude d’épistémologie contemporaine nous a permis d’introduire la notion de geste de la recherche et de construire une grille d’analyse des processus de recherche mis en œuvre dans une recherche de problème à partir de cette notion. Les résultats montrent que cette notion de geste de la recherche est pertinente pour analyser les processus de recherche effectifs des chercheurs engagés dans l’étude de la conjecture d’Erdős-Straus. Elle permet de caractériser la nature des processus de recherche et elle met en évidence le recours aux connaissances mathématiques disponibles et mobilisables, le rôle des objets mathématiques en jeu, les heuristiques développées, la complexité des raisonnements mis en œuvre et les origines et la nature des avancées de la recherche. D’autre part, les études mathématique et épistémologique menées dans nos recherches (Gardes, 2013) ont permis de confirmer le potentiel de la conjecture d’Erdős-Straus pour l’objectif didactique principal que nous nous sommes fixé, à savoir mettre les élèves dans une situation de recherche de problèmes, en contexte scolaire, proche de celle du mathématicien. Nos résultats (Gardes, 2013) montrent, d’une part la possibilité d’implémenter une situation de recherche autour de la conjecture d’Erdős-Straus en classe (à partir du lycée) en prenant en compte différents aspects du travail du chercheur, et d’autre part les potentialités de ce problème pour analyser les processus de recherche mis en œuvre dans une étude de résolution de problème de recherche. Dans la partie suivante, après avoir présenté la méthodologie de nos études didactiques, nous analysons quelques travaux d’élèves sur la conjecture à partir de l’étude d’un geste puis nous les mettons en perspective avec ceux des chercheurs.

3.1. Présentation et méthodologie des études didactiques

  • 9 Pour plus de détail sur ce scénario, consulter (Gardes, 2013), p. 296-313.

25À partir des études mathématiques et épistémologiques et des pré-expérimentations en classe de terminale scientifique (Gardes, 2010), nous avons construit une situation didactique de recherche autour de la conjecture d’Erdős-Straus. Afin d’observer et d’analyser précisément l’activité de recherche effective des élèves en résolution de problèmes, nous avons choisi de mener une expérimentation de type laboratoire, c’est-à-dire hors-classe. Le contexte de laboratoire permet de neutraliser le paramètre « classe » et ses conséquences (temps limité, insertion dans le cours de l’enseignant, nombre d’élèves) et de se focaliser sur d’autres paramètres qui méritent d’être étudiés plus en détail pour notre questionnement tels que l’influence du bagage mathématique sur la recherche, l’influence de la recherche individuelle sur la recherche collective et l’observation de l’évolution du milieu objectif des élèves. Nous avons ainsi construit un protocole expérimental long (sur sept semaines) pour dix élèves de terminale scientifique9. Le scénario de cette expérimentation de type laboratoire s’est construit par des va-et-vient entre les élaborations théoriques mathématique et épistémologique et l’analyse didactique a priori qui s’est réalisée dans la mise à l’épreuve de pré-expérimentations. Dans la suite, nous présentons une analyse de processus de recherches de quelques élèves à partir de l’étude du geste construire et questionner des exemples afin de mettre en évidence l’apport de cette notion pour les questions de transposition des pratiques « expertes ».

3.2. Analyse de processus de recherche d’élèves à partir d’un geste

  • 10 L’énoncé proposé aux élèves était le suivant : Pour tout entier naturel n ≥ 2, on peut trouver troi (...)
  • 11 La méthode de décomposition de cas est la recherche explicite des valeurs de a, b, et c pour décomp (...)

Le geste de construction et questionnement des exemples émerge dans la majorité des travaux de recherche des élèves sur la conjecture d’Erdős-Straus10. Dans les recherches individuelles, nous l’avons relevé dans 8 recherches sur 10. Il émerge, soit comme premier geste de la recherche dans le but de déterminer des régularités à partir de plusieurs exemples, soit à la suite de l’abandon d’une piste de recherche algébrique ou pour vérifier des manipulations algébriques. Dans les recherches collectives, ce geste a particulièrement été porteur dans la construction des méthodes de décomposition et d’élimination de cas au sein de deux groupes11. Dans le premier groupe, les élèves ont élaboré une méthode d’élimination des cas à partir de la valeur de la fraction unitaire inférieure la plus proche de 4/n (à savoirImage 100000000000009800000042A9916B0E9BE68761.jpg+ 1), à partir du questionnement de trois exemples (donnés par le second groupe lors de la mise en commun : n = 23 ; n = 29 et n = 457) et à partir de la construction et de l’étude de deux exemples (n = 461 et l’exemple crucial n = 4513). Le geste de construction et questionnement des exemples joue un rôle central dans leur démarche de recherche : il favorise les allers et retours entre la manipulation des exemples, la recherche de régularités et l’écriture des expressions littérales pour rendre compte des propriétés de ces objets. Notons que l’étude des exemples comme produits finis (ceux donnés par le second groupe) ne suffit pas aux élèves pour élaborer les éléments théoriques de leur méthode. Un recours au geste de construction et questionnement de nouveaux exemples (dont un exemple crucial) semble nécessaire. Dans le second groupe, les élèves ont construit leur méthode de décomposition à partir de la construction, puis de l’étude des décompositions de 4/n pour tout nombre n premier inférieur à 300.

Figure 3 : Extrait des travaux des élèves du second groupe

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26Sur la partie gauche (figure 3), l’élève construit des décompositions pour n premier inférieur à 300 et à droite, il cherche des liens entre les valeurs de n pour lesquelles il n’a pas trouvé de décomposition. Ce geste de la recherche a émergé pour deux raisons : d’une part les élèves cherchent à déterminer des régularités pour généraliser leurs procédés de décomposition et d’autre part ils veulent étudier en détail les cas problématiques.

Un élève (du second groupe) : Déjà ça permet de voir s’il y a des nouveaux cas, la preuve [le cas n = 41] [...] Et voir s’il n’y a pas un rythme en fait.

27Il favorise alors la mise en œuvre d’une démarche de type expérimental entre la manipulation de nombreux exemples, l’étude de cas particuliers, la recherche de régularités et la détermination de règles générales pour décomposer certaines classes de nombres. Leur utilisation de ce geste est similaire à celle de M. Mizony dans ses recherches sur la conjecture. La différence est dans la construction des exemples, « à la main » pour les élèves et à l’aide d’algorithmes pour le chercheur. Nous noterons également que ce geste de la recherche s’effectue en lien avec les gestes de désignation des objets et de contrôles locaux, favorisant également les interactions entre les expériences et l’élaboration d’éléments théoriques, comme nous l’avions relevé dans les recherches de M. Mizony. Ces analyses des processus de recherche à partir des gestes de la recherche mettent en évidence la pertinence de cet outil pour étudier la question de la transposition du travail des chercheurs : les gestes de la recherche effectués par les élèves dans l’étude de la conjecture d’ Erdős-Straus sont similaires à ceux des mathématiciens, ils émergent au sein de démarches de même nature, en appui sur les connaissances mathématiques sous-jacentes, et permettent des avancées, notamment en termes de production de résultats partiels.

4. Conclusion

28Dans cet article, nous avons voulu mettre en évidence la richesse d’une méthodologie fondée sur l’articulation de trois pôles (mathématique, épistémologique et didactique), notamment à travers la notion de geste de la recherche. Les analyses mathématiques et épistémologiques de notre recherche se sont attachées à identifier les différents aspects du travail du mathématicien et les éléments moteurs dans l’avancée de leurs recherches. L’étude du suivi des travaux de deux mathématiciens s’est révélée être un élément crucial dans notre démarche de recherche, dans la mesure où nous avons pu avoir accès à des recherches « en train de se faire ». Le cheminement des idées, les processus de recherche mis en œuvre, les éléments moteurs dans les avancées des recherches sont des éléments difficilement perceptibles dans les publications ou les communications des mathématiciens. Par le suivi des recherches en cours, nous avons pu avoir accès à certains de ces éléments. Pour décrire, analyser et mettre en perspectives les processus de recherche des chercheurs, nous avons développé la notion de « geste » de la recherche. Cet outil s’est révélé pertinent dans la mesure où il permet de produire des analyses détaillées des processus de recherche. Il met en évidence le rôle des objets mathématiques en jeu, le recours aux connaissances mathématiques disponibles et mobilisables, les heuristiques développées, les origines et la nature des avancées de la recherche. Il contribue ainsi à l’analyse de la complexité des raisonnements mis en œuvre dans une recherche de problèmes. Nous avons ensuite exploité la notion de « geste » de la recherche dans l’analyse des travaux de recherche des élèves dans le cadre d’une expérimentation en laboratoire, en particulier pour les mettre en perspective avec ceux des chercheurs. Nous avons ainsi mis évidence la pertinence de cet outil pour étudier la question de la transposition du travail des mathématiciens. Les gestes identifiés dans les recherches des mathématiciens sont également relevés dans les recherches des élèves, quand ces derniers disposent des connaissances mathématiques favorisant leur émergence. Leurs origines et conséquences sont similaires : ils apparaissent au sein du même type de démarches, en appui sur les connaissances mathématiques sous-jacentes ; leur réalisation se produit au sein d’un système de gestes et ils provoquent des avancées dans la recherche, notamment l’élaboration de résultats partiels. Ils permettent d’approfondir les connaissances mathématiques mobilisées et de développer des heuristiques de recherche. La notion de « geste » de la recherche prend ainsi en compte l’aspect dialectique de l’activité de recherche experte, entre mobilisation, acquisition de connaissances mathématiques et développement d’heuristiques. Pour conclure, la notion de « geste » de la recherche que nous avons développée se révèle pertinente et intéressante, d’une part pour analyser la complexité des processus de recherche mis en œuvre dans une recherche de problème et le travail mathématique effectif produit, et d’autre part pour étudier la question de la transposition du travail du chercheur en situation de recherche. Cependant, il convient de préciser qu’elle a été développée et éprouvée dans un domaine particulier des mathématiques, celui de la théorie des nombres. Une perspective de recherche serait donc de réutiliser cet outil pour conduire des analyses similaires sur les processus de recherche mis en œuvre dans la recherche de problème issu d’autres domaines.

Bibliographie

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Notes

1 L’énoncé de la conjecture d’Erdős-Straus est le suivant (Erdős, 1963) : pour tout entier naturel n supérieur à 1, il 4 111 . existe trois entiers naturels non nuls x, y, z tels que = + y +

2 Cette expression est empruntée à Pólya : « [...] on n’a, en effet, jamais présenté tout à fait ainsi les mathématiques “in statu nascendi” (c’est-à-dire telles qu’elles sont lorsqu’on est en train de les inventer) [...] ». (Pólya, 1989, p. xv)

3 Pour la Science,19, Rubrique Jeux mathématiques, p. 112.

4 Voir la note de bas de page 2 pour l’énoncé de la conjecture.

5 Ce geste apparaît dans l’exemple de la page suivante, dans les recherches de M. Mizony.

6 Ce geste est détaillé dans toute la suite de l’article.

7 4/25=1/10+1/17+1/850 et 4/25=1/7+1/60+1/2100

8 Une démarche de type expérimental se caractérise par des allers et retours entre la manipulation des objets mathématiques en jeu dans le problème (des expériences) et des élaborations théoriques sur ces objets (la théorie).

9 Pour plus de détail sur ce scénario, consulter (Gardes, 2013), p. 296-313.

10 L’énoncé proposé aux élèves était le suivant : Pour tout entier naturel n ≥ 2, on peut trouver trois entiers naturels non nuls a, b et c tels que 4/n = 1/a+ 1/b1/c .

11 La méthode de décomposition de cas est la recherche explicite des valeurs de a, b, et c pour décomposer 4/n pour une valeur de n donnée et la méthode d’élimination des cas est la recherche des valeurs de n pour lesquelles 4/n se décompose en somme de trois fractions unitaires.

Auteur

Institut des Sciences Cognitives – Marc Jeannerod. UMR5304. CNRS. Université Lyon 1. ESPE de l’Académie de Lyon. Université Lyon 1.

© Presses universitaires de Franche-Comté, 2018

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