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Epistémologie & didactique

 | 
Manuel Bächtold
, 
Viviane Durand-Guerrier
, 
Valérie Munier

Partie 1. Épistémologie et recherches didactiques sur les connaissances scientifiques enseignées

Le continu entre intuition et formalisation Regards croisés épistémologiques et didactiques

Viviane Durand-Guerrier et Martine Vergnac

Texte intégral

1. Introduction

  • 2 Deux grandeurs sont incommensurables lorsqu’on ne peut pas trouver une unité de mesure commune perm (...)
  • 3 Étant donnée une partie A majorée non vide d’un ensemble ordonné, on peut considérer l’ensemble des (...)

1La question du continu au sens moderne de « continu de l’ensemble des nombres réels » est en germe dès la découverte des grandeurs incommensurables2 dans l’antiquité grecque, en lien avec l’impossibilité de déterminer deux entiers p et q tels que p2 = 2q2. Dans le développement de l’analyse mathématique aux 17e et 18e siècles, le recours à l’intuition géométrique est fréquent dans l’élaboration des preuves. Le théorème des valeurs intermédiaires est emblématique de ce phénomène. En particulier Cauchy donne deux preuves de ce théorème, l’une faisant appel à l’intuition géométrique, l’autre s’appuyant sur l’existence admise de la limite de deux suites adjacentes. Au début du 19e siècle, Bolzano (1817) soutient la nécessité de ne plus faire appel à l’intuition géométrique et propose dans cette perspective une nouvelle preuve du théorème des valeurs intermédiaires. Il considère qu’aucune des preuves existantes à son époque n’est satisfaisante. Il donne une définition précise de la notion de fonction continue, mais dans sa preuve, il utilise le théorème de la borne supérieure3 comme une évidence. Un demi-siècle plus tard, en 1872, Richard Dedekind propose une construction de l’ensemble des nombres réels qui se présente comme une formalisation du contenu intuitif du continu représenté par la droite numérique en introduisant la notion de coupure, tandis que Cantor propose une construction de l’ensemble des réels via les suites fondamentales, appelées aujourd’hui suites de Cauchy. Dans la première partie de ce texte, nous présentons les grandes lignes de ces deux constructions. Dans la seconde partie, nous nous appuyons sur les résultats d’une enquête réalisée auprès d’enseignants et d’élèves de lycée en France pour montrer comment l’étude épistémologique éclaire certaines des questions didactiques posées par l’apprentissage des nombres réels à la transition secondaire – supérieur.

2. De l’intuition géométrique du continu à une construction formelle

2Selon Longo (2002) l’expérience la plus commune du continu est celle du tracé d’une ligne sur une feuille de papier, sans lever le crayon. Les points disparaissent dans la trace obtenue ; ils réapparaissent, comme points isolés, lorsque deux lignes se coupent.

  • 4 Nous donnons en annexe 1 l’énoncé du théorème, son interprétation géométrique et la première preuve (...)

3Cette intuition est mobilisée par Cauchy dans sa première preuve du théorème des valeurs intermédiaires4. Dedekind (1872) estime que ce recours à l’intuition géométrique est utile dans une perspective d’enseignement, mais considère qu’il est nécessaire de trouver « un fondement purement arithmétique et parfaitement rigoureux aux principes du Calcul infinitésimal » (Dedekind, 1872, 2008, p. 59-60). C’est ce qu’il va faire en mettant en œuvre la méthode des coupures.

2.1. La construction de l’ensemble des nombres réels par la méthode des coupures (Dedekind, 1872, 2008)

4Le cœur de la construction de Dedekind est l’appui sur l’idée intuitive du continu porté par la droite numérique dont on a vu qu’elle a été mobilisée par Cauchy et rejetée par Bolzano dans la préface à la démonstration de la propriété de la valeur intermédiaire :

[…] Mais il est tout aussi manifeste qu’il y a là une faute intolérable contre la bonne méthode qui consiste à vouloir déduire les vérités de la mathématique pure ou universelle (c’est-à-dire de l’arithmétique, de l’algèbre ou de l’analyse) de considérations qui appartiennent à une partie appliquée (ou spéciale) seule, à savoir la géométrie (op. cit. p. 210).

5À ce stade, Dedekind a déjà réalisé une construction de l’ensemble ℚ des nombres rationnels. Il rappelle qu’il existe une analogie entre les points de la droite et les nombres rationnels. Il ajoute que cette analogie devient une corrélation lorsque l’on choisit sur la droite une certaine unité de longueur pour mesurer les distances (Dedekind, 1872, 2008, p. 68). Les nombres rationnels correspondent à des grandeurs commensurables avec l’unité ; or comme on l’a vu plus haut, il existe des longueurs incommensurables, si bien que l’on peut placer sur la droite géométrique des points qui ne sont associés à aucun rationnel (op. cit. p. 69). Par exemple, étant donné une droite numérique et un segment unité, la diagonale du carré construit sur ce segment est incommensurable au côté du carré. Si l’on reporte à partir de l’origine la longueur de cette diagonale, le point obtenu ne sera associé à aucun nombre rationnel. Ce n’est évidemment pas le seul. Les longueurs des hypoténuses des triangles rectangles dont les mesures des côtés de l’angle droit sont des entiers tels que la somme de leurs carrés ne soit pas un carré parfait, sont incommensurables aux longueurs des côtés de l’angle droit. Ceci fait dire à Dedekind que :

  • 5 Il s’agit de l’ensemble que nous notons aujourd’hui ℚ ; la lettre ℝ étant utilisée actuellement pou (...)

[…] il est un fait de la plus haute importance : sur la droite L il existe une infinité de points qui ne correspondent à aucun nombre rationnel. (…) nous pouvons affirmer : la droite L est infiniment plus riche en individus ponctuels que le domaine R5 des nombres rationnels en individus numériques (op. cit. p. 69).

6Il note que dès que l’on place un point sur la droite, on obtient deux parties telles que tout point de la première partie soit à gauche de tout point de la deuxième partie, mais c’est la réciproque qui pour Dedekind caractérise la continuité de la droite géométrique,

Je trouve l’essence de la continuité dans la réciproque, donc dans le principe suivant : Si tous les points de la droite sont répartis en deux classes telles que tout point de la première classe est situé à gauche de tout point de la seconde, alors il existe un et un seul point qui opère (hervorbringt) cette distribution de tous les points en deux classes, cette découpe de la droite en deux portions (op. cit. p. 72).

7De manière analogue à ce que l’on fait en plaçant un point sur la droite, étant donné un rationnel q, on peut définir une partition de l’ensemble des nombres rationnels en considérant tous les éléments inférieurs ou égaux à q et tous ceux supérieurs strictement à q, définissant ainsi ce que Dedekind appelle une coupure.

8Mais contrairement à ce qu’il se passe pour la droite géométrique, on peut définir une partition en deux parties disjointes A1 et A2 de l’ensemble des rationnels telles que tout nombre de la partie A1 soit inférieur strictement à tout nombre de la partie A2sans qu’il n’y ait un rationnel correspondant à cette partition (cette coupure). Ceci est bien sûr étroitement lié au fait mentionné plus haut que « la droite L est infiniment plus riche en individus ponctuels que le domaine R des nombres rationnels en individus numériques » (op. cit. p. 69).

9Dedekind donne comme exemple de coupure qui n’est pas opérée par un rationnel l’analogue du point associé à l’incommensurabilité de la diagonale du carré, à savoir la partition de l’ensemble des nombres rationnels positifs définie par la coupure (A1, A2) telle que :

  • A2 est l’ensemble des nombres rationnels positifs dont le carré est supérieur strictement à 2.

  • A1 est le complémentaire de A2 dans l’ensemble des nombres rationnels.

10Il s’agit bien d’une coupure de l’ensemble des nombres rationnels :

11Chaque élément de ℚ se trouve soit dans A1, soit dans A2 ; l’intersection des deux ensembles est vide.

12Tout élément de A1 est inférieur strictement à tout élément de A2.

13Pour autant, il n’existe pas de rationnel opérant cette coupure dans la mesure où il n’existe pas de nombre rationnel dont le carré est égal à 2.

14Dedekind montre en outre que l’on a un résultat analogue pour tous les entiers qui ne sont pas des carrés parfaits ; autrement dit, étant donné un entier positif a, soit a est le carré d’un entier, soit il n’existe pas de nombre rationnel dont le carré soit a. Ceci lui permet de prouver qu’il y a une infinité de coupures non opérées par un rationnel. Il est donc nécessaire de compléter le domaine discontinu des nombres rationnels ℚ pour obtenir un domaine continu. Pour cela Dedekind est amené à créer de nouveaux nombres :

Maintenant, chaque fois que nous sommes en présence d’une coupure (A1, A2) non opérée par un nombre rationnel, nous créons un nouveau nombre α, un nombre irrationnel que nous considérons comme totalement défini par cette coupure (…) (op. cit. p. 77).

15Dedekind établit ensuite que le nouvel ensemble, qui contient les rationnels et les irrationnels, peut être muni d’un ordre total qui prolonge l’ordre sur ℚ et que l’on peut prolonger les opérations et leurs propriétés. En termes modernes, il établit que ce nouvel ensemble a une structure de corps totalement ordonné ; c’est l’ensemble des nombres réels que nous notons ℝ aujourd’hui.

16Il montre en outre que ce nouvel ensemble possède la propriété de continuité telle qu’il l’a définie, à savoir que toute coupure définie sur ce nouvel ensemble est opérée par un élément de cet ensemble. Ceci montre que l’ensemble des nombres réels est complet vis à vis du processus des coupures. On démontre alors facilement que cet ensemble vérifie la propriété de la borne supérieure, à savoir que toute partie majorée non vide de l’ensemble ℝ des nombres réels possède une borne supérieure, propriété qui comme nous l’avons vu plus haut avait été admise par Bolzano dans sa préface au mémoire sur le théorème des valeurs intermédiaires.

  • 6 Position qu’il soutient dans un échange de correspondances avec Lipschitz traduit par H. Sinaceur d (...)

17La construction de Dedekind est un exemple de l’élaboration d’un concept théorique qui s’appuie sur une intuition empirique ; son innovation consiste en la création de nouveaux nombres, qui permettent en une seule fois de combler toutes les lacunes de l’ensemble des rationnels, considéré comme déjà créé, ceci en évitant le cercle vicieux qui consisterait à opérer sur des nombres non encore créés. Ceci constitue selon Dedekind une différence de fond et pas seulement de forme avec les élaborations des anciens Grecs, en particulier parce que selon lui, il n’est pas possible de prolonger aux irrationnels les opérations sur les rationnels si l’on n’a pas défini rigoureusement ce que sont les irrationnels6.

2.2. La construction de l’ensemble des nombres réels par les suites fondamentales (Cantor, 1872, 1883)

  • 7 On appelle série trigonométrique une série de fonctions (à termes réels ou complexes) dont le terme (...)

18Cantor a créé sa théorie des nombres irrationnels à partir de son travail sur les séries trigonométriques7. En cherchant à répondre à la question suivante : « étant donnée une fonction quelconque, son développement en série trigonométrique est-il unique ? », Cantor éprouve la nécessité de définir ce qu’est une « grandeur numérique » afin de prouver l’unicité du développement en série trigonométrique :

  • 8 Le texte original se trouve dans Cantor (1872).

… Mais dans ce but, je suis obligé de donner des explications préliminaires même si ce ne sont pour la plupart que de simples indications, qui peuvent servir à mettre en lumière les rapports qui existent toujours, dès que des grandeurs numériques, en quantité finie ou infinie, sont données (Boniface, 2002, p. 73-74)8

19Cantor suppose donné au départ l’ensemble des nombres rationnels (noté A). L’idée qui sous-tend sa construction est de considérer l’ensemble des nombres réels comme l’ensemble de toutes les limites de suites de nombres rationnels vérifiant le critère de Cauchy. Intuitivement, une suite (un) de nombres rationnels est dite de Cauchy si et seulement si il existe un rang au-delà duquel la différence entre deux termes de la suite peut être rendue aussi petite que l’on veut ; ceci se traduit formellement par l’énoncé ci-dessous :

∀ε > 0,∃n0 ∈ℕ,∀n∈ℕ ,∀m∈ℕ (n0n<m⇒|umun|≤ε)

20Une idée intuitive c’est que de telles suites devraient être convergentes ; cependant certaines suites de rationnels vérifient le critère de Cauchy, mais ne convergent pas dans ℚ, d’où l’idée de créer dans ce cas un nouveau nombre qui serait la limite de la suite en question. Cantor souligne l’erreur logique qui consisterait à définir le nombre réel comme limite de la suite convergente ce qui présupposerait son existence. Il résout ce problème en appelant suite fondamentale une suite de nombres rationnels vérifiant le critère de Cauchy et en lui attribuant un nombre b qu’elle doit définir :

  • 9 av désigne une suite de nombres rationnels vérifiant le critère de Cauchy.
  • 10 Le texte original se trouve dans Cantor (1883).

… Par notre définition précédente le concept b est considéré à côté des nombres rationnels, avec des propriétés et des relations telles que l’on peut en déduire avec une évidence logique la conclusion : lim a9 existe et est égale à b10 (Boniface, 2002, p. 81). nv

21Il explicite ensuite une relation d’ordre sur les nombres b qu’il vient de construire en « transférant » la relation d’ordre des suites fondamentales de nombres rationnels. Il réitère ensuite le procédé qu’il vient d’utiliser pour l’ensemble des suites convergentes composées d’éléments de A (ensemble des nombres rationnels) et de B formé des nombres « b » qu’il vient de définir. Cantor écrit dans le mémoire de 1872 :

Le domaine B résultait du domaine A ; de manière analogue, uni au domaine A, il donne maintenant naissance à un nouveau domaine C (Belna, 1996, p. 132).

22Il suffit en effet de se donner une suite fondamentale de nombres du domaine B n’appartenant pas tous à A. Avec la même construction, à cette suite fondamentale (bv) correspondra un nombre « c » que cette suite définit. L’ensemble C est alors constitué de toutes les nombres « c » ainsi construits. Le processus ainsi décrit peut être itéré autant de fois que l’on veut. Boniface note que Cantor ne dit pas clairement dans sa construction que l’ensemble des nombres rationnels (A) peut être « plongé » dans l’ensemble B. Cependant Cantor distingue explicitement les ensembles B et C lors de la deuxième version de son article exposant sa théorie en 1883 :

Il apparaît que les nombres b eux-mêmes, qui sont définis sur la base de suites fondamentales (av) (je nomme ces suites fondamentales du premier ordre) […] sont aussi représentables de multiples manières comme limites de suites (b) […] J’appelle par conséquent une telle suite (b), si elle possède la propriété que limvv=(bv+μbv) = 0 (pour μ quelconque), une suite fondamentale du deuxième ordre (Boniface, 2002, p. 82).

23De la même manière, il définit des suites fondamentales du troisième, …, nième ordre et précise que toutes ces suites fondamentales déterminent le nombre b de la même manière que les suites du premier ordre. En revanche, l’ensemble B contient des nombres réels n’appartenant pas à A, ce qui signifie que

(…) toute suite fondamentale de nombres réels converge vers un nombre réel, alors qur toute suite fondamentale de nombre rationnel ne converge pas vers un nombre rationnel, (op. cit. p. 134).

24Dedekind et Cantor ont ainsi tous deux étendu l’ensemble des nombres rationnels, par des procédés certes différents, mais qui produisent un ensemble complet relativement au procédé mis en œuvre. Dans l’ensemble ainsi construit, on peut désormais prouver des théorèmes qui étaient utilisés auparavant par les mathématiciens comme allant de soi (notamment le théorème de la borne supérieure et la convergence des couples de suites adjacentes).

25Nous avons vu dans le paragraphe précédent que la construction des nombres réels de Dedekind trouve son origine dans l’analogie avec les points de la droite ; au contraire avec Cantor, cette analogie vient en conclusion du paragraphe 2 de son article de 1872. Il pose le lien entre la droite et l’ensemble des grandeurs numériques comme un axiome.

  • 11 Le texte original se trouve dans Cantor (1872).

Afin cependant de compléter la concordance, exposée dans ce §, du domaine des grandeurs numériques définies au §1, avec la géométrie de la ligne droite, il n’y a plus qu’à ajouter un axiome, qui consiste simplement en ce que réciproquement à chaque grandeur numérique correspond un point déterminé de la droite, dont la coordonnée est égale à cette grandeur numérique, c’est-à-dire égale au sens exposé dans ce §1. J’appelle cette proposition un axiome parce qu’il est dans sa nature de n’être pas, en général démontrable. On gagne avec lui ensuite aussi, après coup, une certaine objectivité pour les grandeurs numériques, dont elles sont cependant totalement indépendantes (Boniface, 2002, p. 77-78)11.

2.3. Le continu, entre intuition et formalisation

26Le continu est un cas exemplaire de l’élaboration progressive de formalisations mathématiques s’appuyant sur des points de vue intuitifs ayant montré leur fécondité au cours des siècles, et renvoyant à des conceptions variées au sein du savoir académique lui-même.

  • 12 Nous ne disons pas pour autant que Bolzano a eu une influence directe sur Dedekind ou sur Cantor.

27Les constructions de Dedekind et de Cantor, à la fin du dix-neuvième siècle se situent dans un mouvement initié par Bolzano (1817)12 qui avait pour but de fonder les mathématiques et en particulier l’analyse, mouvement qu’à la suite de Félix Klein on nommera arithmétisation de l’analyse. Les théories de Cantor et Dedekind partent du dense non continu pour construire le continu de l’ensemble des nombres réels. La synthèse issue de ces deux modèles a rencontré par la suite des critiques et même des oppositions comme celle de René Thom, qui a défendu toute sa vie le principe du « primat ontologique du continu » :

Il est aisé pour le continu d’accepter des accidents discrets (exemple : une ligne brisée) alors qu’un être discret ne saurait accepter aucun accident continu sans devenir localement un continu (Thom, 1992, p. 138).

28Les objets qui, pour ce mathématicien, réalisent le mieux ce qu’il nomme « l’idéal du continu » sont la droite euclidienne et le plan euclidien. En cela il s’oppose à l’arithmétisation du continu, proposée à la fin du xixe siècle, dans le modèle de Cantor-Dedekind où l’on part des nombres entiers pour construire d’abord les nombres rationnels, puis les nombres réels, car dans cette optique, ce sont les nombres entiers qui sont « ontologiquement » premiers, le continu devenant une construction dérivée. Pour René Thom, une preuve de l’existence immanente du continu nous est donnée par la conscience du temps.

29Néanmoins, selon Feferman (2009), le continu comme un donné de notre perception ne s’oppose pas nécessairement au continu de l’ensemble des nombres réels issu des constructions qui ont été initiées au xixe siècle par Cantor ou par Dedekind. Dans ce texte, Feferman remet en cause l’idée d’un concept du continu obéissant à une définition unique issue de la théorie des ensembles, et identifie six conceptions du continu :

  • 13 1) Le continu euclidien, 2) Le continu de Cantor, 3) Le continu de Dedekind, 4) le continu de Hilbe (...)

(i) the Euclidean continuum, (ii) Cantor’s continuum, (iii) Dedekind’s continuum, (iv) the Hilbertian continuum, (v) The set of all paths in the full binary tree and (vi) the set of all subsets of the natural numbers13 (Feferman, 2009, p. 175).

30Pour Feferman, les quatre premières sont des conceptions hybrides d’idées géométriques, arithmétiques et de premières notions de la théorie des ensembles. Feferman place son analyse dans le cadre du structuralisme conceptuel, selon lequel les objets de base des mathématiques existent seulement comme des conceptions abstraites, bien que l’origine de ces conceptions soit issue de la perception du monde ; la compréhension de certaines structures « pré-mathématiques » est nécessaire à la compréhension des mathématiques :

  • 14 Les idées générales d’ordre, de succession, collection, relation, règle et opération sont pré-mathé (...)

The general ideas of order, succession, collection, relation, rule and operation are pre-mathematical14 (op. cit. p. 171).

31Dans nos travaux, nous faisons l’hypothèse que la perception intuitive du continu de la droite ne suffit pas à elle seule à permettre l’appropriation par les élèves du concept de nombre réel, en particulier pour ce qui concerne la distinction entre le dense discontinu et le continu (Durand-Guerrier, 2012, 2016). Cette hypothèse s’appuie sur les travaux de Pontille et al. (1996), repris et développés dans Durand-Guerrier (2016), qui montrent les difficultés rencontrées par des élèves de première scientifique en France (Grade 11) pour représenter la droite décimale et pour envisager que deux droites décimales se croisent sans qu’il n’y ait un point d’intersection à coordonnées décimales.

3. Les nombres réels au lycée en France aujourd’hui : approche didactique

  • 15 Nous utilisons ici le terme conception au sens de Vergnaud à savoir l’analogue du concept pour un s (...)
  • 16 Des résultats plus complets se trouvent dans Vergnac et Durand-Guerrier (2014).

32On observe dans les programmes français actuels des classes de Seconde et des classes de Première et de Terminale scientifiques l’absence de toute construction sur les ensembles de nombres ; en particulier aucun travail explicite sur les nombres irrationnels n’est mentionné. Le programme des classes scientifiques s’appuie sur les notions intuitives de voisinages, de limites, de continu, … toutes notions qui sont approchées par la géométrie de la droite. Afin d’avoir une vision plus précise de ce qu’il se passe effectivement dans les classes nous avons conduit en 2012-2013 des entretiens avec sept enseignants de lycée afin de dégager leurs conceptions15 de l’ensemble des nombres réels. Nous avons mis en perspective les résultats de cette étude avec les conceptions d’élèves de lycée recueillies au moyen de questionnaires complétés par quelques entretiens avec des élèves ayant passé le questionnaire. Un premier questionnaire a été proposé à 252 élèves de seconde des classes de six des sept professeurs interrogés ; un second questionnaire a été proposé à 56 élèves de terminales scientifiques. Nous nous intéressons dans ce qui suit plus particulièrement aux réponses des élèves de seconde et de terminale scientifique à la question « comment peux-tu définir un nombre réel ? », que nous mettons en perspective avec les réponses apportées par les enseignants à la question de leur choix d’introduction des nombres réels en seconde. Notons que pour cette question difficile, le taux de non réponse est de près de 32 % en seconde et de 16 % en terminale. Nous indiquons ci-dessous brièvement les principaux résultats de notre étude16.

3.1. Relation entre réels et droite numérique

33Les entretiens avec les enseignants de seconde ont permis de dégager deux approches dominantes. L’approche consistant à identifier les nombres réels avec les abscisses des points d’une droite graduée est l’une de ces deux approches, illustrée par exemple par les propos du professeur P2 :

Je donne une droite repérée, et je dis aux élèves qu’on peut associer… tout point peut-être repéré par son abscisse et que l’ensemble des abscisses est un ensemble qui s’appelle l’ensemble des nombres réels.

34Comme nous l’avons vu plus haut, cette approche est en accord avec le point de vue intuitif qui a prévalu jusqu’aux constructions explicites de l’ensemble des nombres réels au xixe siècle et permet de faire le lien entre le registre fonctionnel et le registre graphique. Nous nous attendions à ce que cette conception soit présente parmi les réponses au questionnaire proposé aux élèves de seconde, or aucun d’entre eux n’a proposé cette réponse. Nous faisons l’hypothèse que ceci tient à une absence d’explicitation sous forme langagière d’un concept-en-acte au sens de Vergnaud (1990). On trouve cette conception chez 7 % des élèves de terminale, ce qui reste une proportion faible. Une étude plus fine devrait être faite pour interpréter cette évolution.

3.2. L’ensemble des nombres réels comme ensemble de tous les nombres

35Ce point de vue est celui adopté pour l’introduction des réels en seconde par plusieurs des enseignants interrogés ; il est illustré par la réponse ci-dessous du professeur P5 :

  • 17 Notons que ce professeur n’a pas mentionné à ce moment de l’entretien l’ensemble ℚ des nombres rati (...)

Du coup, j’ai introduit les notations ℕ, ℝ dans d’autres chapitres ; on va dire c’est un peu en acte […] quand la variable, elle peut prendre n’importe quelle valeur, alors, on va dire que x appartient à ℝ, c’est l’ensemble des nombres réels, c’est tous les nombres que vous connaissez17.

  • 18 Nous avons attribué cette conception « ensemble de tous les nombres » aux élèves ayant répondu en c (...)
  • 19 Réponse donnée par un élève de Terminale S en 2013 à la question : « Qu’est-ce qu’un nombre réel ?  (...)

36La conception « Les nombres réels sont tous les nombres » est présente dans environ 21 % des réponses au questionnaire de seconde et dans 25 % des réponses au questionnaire aux élèves de terminale scientifique interrogés18. Lorsque l’on met en perspective cette réponse avec les réponses à la première partie du questionnaire dans laquelle est interrogée la nature de quelques nombres particuliers, on peut faire l’hypothèse que seuls quelques nombres emblématiques, tels que √2, π ou e (en Terminale) sont reconnus par les élèves comme étant des nombres réels. ℝ est constitué de tous les nombres étudiés jusque là auxquels ont été adjoints ces quelques nombres emblématiques comme l’illustre par exemple cette réponse d’un élève de Terminale19 :

3.3. Inclusion versus partition

37Comme nous l’avons vu plus haut, l’ensemble des nombres réels est construit au xixe siècle par ajout de nouveaux nombres, ce qui fait apparaître une partition de l’ensemble des nombres réels en deux sous-ensembles : l’ensemble ℚ des rationnels et son complémentaire, les réels non rationnels encore appelés irrationnels. Sous ce point de vue, un rationnel est donc un réel, la construction de ℝ s’inscrivant dans un processus d’extension progressive des ensembles de nombres : un entier naturel est identifié à un entier relatif positif ; un entier relatif est identifié à un nombre décimal dont la partie décimale est nulle ; un nombre décimal est identifié à un rationnel dont le dénominateur est une puissance de 10 ; un nombre rationnel est un nombre réel qui peut s’écrire comme quotient de deux entiers relatifs.

38Les résultats au questionnaire de seconde et de terminale mettent en évidence une conception que nous avons appelée « partition erronée » qui consiste à définir un réel par exclusion : par exemple ; un nombre réel est un nombre qui n’est pas rationnel, ou qui n’est pas décimal. A contrario, dans un peu plus de 22 % des réponses en seconde, on note une identification de l’ensemble ℝ à un de ses sous-ensembles (par exemple : un nombre réel est un nombre entier, ou un nombre décimal). En terminale, on voit apparaître une conception des nombres réels comme nombres complexes non imaginaires, et chez certains élèves la production de la suite des inclusions des ensembles de nombres. Néanmoins, il n’y a en général pas d’autre indication permettant de leur attribuer une conception ensembliste prenant en compte les extensions successives des ensembles de nombres : en effet la plupart des élèves ayant répondu au questionnaire écrivent correctement la série d’inclusions « ℕ⊂ℤ⊂ℚ⊂ℝ » mais sur un échantillon de 55 élèves de terminale scientifique, neuf ont répondu que √13,21 était à la fois un nombre décimal et un nombre irrationnel.

3.4. Un vide didactique

  • 20 Bronner (1997) introduit ce terme pour mettre en avant le fait que l’on peut considérer une partiti (...)

39Ce rapide aperçu met en évidence le fait qu’au vide didactique concernant l’idécimalité20dans l’enseignement de l’objet nombre réel identifié par Alain Bronner dans les années quatre-vingt-dix (Bronner 1997) vient s’ajouter, depuis la dernière réforme des lycées, une quasi-absence du travail sur l’irrationalité. De ce fait, le point de vue adopté dans les programmes de lycée sur les nombres réels est antérieur aux élaborations de Dedekind et de Cantor ; ils suivent en cela le point de vue de Cauchy :

Nous prendrons toujours la dénomination de nombres dans le sens où on l’emploie en Arithmétique en faisant naître les nombres de la mesure absolue des grandeurs (Cauchy, 1821, p. 1, 2).

40Les résultats qui se dégagent des réponses aux questionnaires nous conduisent à faire l’hypothèse que les élèves quittant le lycée disposent d’invariants opératoires, en particulier en ce qui concerne les lectures graphiques, et de certaines connaissances formelles d’autre part, sans que les liens entre les deux ne soient construits. Les élèves de terminales scientifiques ne sont donc a priori pas préparés à saisir la signification de la complétude de l’ensemble des nombres réels qui sera posé comme axiome en début d’université.

3.5. Du lycée à l’université : perspectives à la lumière de notre étude épistémologique

41Les travaux de Bolzano puis de Dedekind montrent l’importance de l’articulation de la notion de continuité des fonctions et celle de nombre réel qui est au cœur du théorème des valeurs intermédiaires au programme de la classe de terminale scientifique. Les travaux de Cantor, quant à eux, nous incitent à considérer les limites de suites de nombres rationnels ou de décimaux vérifiant le critère de Cauchy. Comme le souligne I. Ghedamsi pour la Tunisie (mais le constat vaut aussi pour la France) :

… les attentes institutionnelles du secondaire ne suffisent pas pour permettre aux étudiants de comprendre le statut théorique des nombres, dont les propriétés sont déterminées par la nature de la structure de l’ensemble (Ghedamsi, 2008, p. 157).

42Afin de favoriser l’appropriation du concept de nombre réel, elle fait une proposition d’ingénierie didactique en début d’université en Tunisie pour travailler sur la notion d’approximation décimale des nombres réels autour du point fixe de la fonction cosinus, mettant en avant le point de vue du nombre réel comme limite d’une suite convergente de décimaux (Gonzales-Martin, et al., 2014).

43S’il n’est pas possible d’étudier théoriquement de telles suites dans le cadre des programmes de lycée, l’accent mis actuellement dans les programmes français sur l’algorithmique permet d’avoir en première et terminale scientifique une approche expérimentale de l’approximation d’un nombre comme limite d’une suite de rationnels, notamment en s’appuyant sur le théorème des valeurs intermédiaires. Néanmoins, compte tenu de l’évidence perceptive de ce théorème, nous faisons l’hypothèse qu’il ne permet pas de problématiser la distinction entre le dense discontinu et le continu, sauf à travailler avec des fonctions dont les domaines de définition sont des sous-ensembles de ℚ et de ⅅ pour lesquels l’existence d’une valeur intermédiaire élément du domaine de définition de la fonction n’est pas garantie (pour un exemple de tels problèmes, voir Pontille et al. 1996 ou Durand-Guerrier 2016).

4. Conclusion

44Dans ce texte, nous avons montré dans le cas du concept de continu de l’ensemble des nombres réels l’importance de l’étude épistémologique pour nourrir les études didactiques (Artigue, 1990). L’analyse épistémologique de la construction des nombres réels au dix-neuvième siècle nous a permis d’appréhender en quoi l’intuition de la droite fut une étape capitale dans la construction du corps des nombres réels. L’étude didactique que nous avons conduite nous amène à conclure que pour les élèves de lycée en France, l’ensemble des nombres réels est une extension de l’ensemble des nombres décimaux, par adjonction de quelques nombres particuliers dont la nature n’est pas clairement définie tels π, √2, e… L’approche proposée par l’institution consiste à mettre en bijection l’ensemble des nombres réels et la droite numérique : elle repose sur l’intuition géométrique qui est en partie à l’origine de la construction de Dedekind. Les enseignants interrogés dans le cadre de notre étude semblent avoir du mal à adopter une position didactique claire vis-à-vis des nombres réels. S’ils sont tous conscients du vide institutionnel engendré par les programmes en vigueur des années 80 à aujourd’hui, ils sont partagés quant aux exigences éventuelles à adopter au lycée, en particulier face à la problématique rationnel/irrationnel. L’ensemble des nombres réels est présenté comme l’ensemble de tous les nombres connus, mais les propriétés topologiques de R ne sont jamais questionnées. Dans nos travaux de recherche en cours, nous faisons l’hypothèse qu’une construction du concept de nombre réel peut être amorcée dès le lycée mais elle ne peut se faire que dans le long terme et ne peut faire l’économie de moments d’institutionnalisation. Comme le souligne G. Vergnaud (1990), la conceptualisation est un processus nécessitant le développement d’invariants opératoires (concepts en acte, théorèmes en acte) et l’institutionnalisation des connaissances explicites (concepts, théorèmes, théories). Nos résultats empiriques montrent que les activités mathématiques proposées dans l’enseignement secondaire français actuel ne suffisent pas pour construire cette articulation entre invariants opératoires et connaissances explicites ; ceci constitue un défi à relever pour la transition lycée-université.

Bibliographie

Références

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Annexes

Annexe

Le théorème des valeurs intermédiaires

Énoncé : Si une fonction f de la variable x est continue sur un intervalle [a, b], alors pour toute valeur u comprise entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f(c) = u.

Interprétation géométrique

Extrait de la première preuve du théorème des valeurs intermédiaires par Cauchy

Extrait de la première preuve du théorème des valeurs intermédiaires par Cauchy

« (…) la fonction f(x) étant continue entre les limites x = x, et x = X, la courbe qui a pour équation y = f(x) et qui passe 1° par le point correspondant aux coordonnées x0, f (x0), 2° par le point correspondant aux coordonnées X, f (X) sera continue entre ces deux points : et comme l’ordonnée constante b de la droite qui a pour équation y = b se trouve comprise entre les ordonnées f (x0) et f (X) des deux points que l’on considère, la droite passera nécessairement entre ces deux points, ce qu’elle ne peut faire sans rencontrer dans l’intervalle la courbe ci-dessus mentionnée » (Cauchy, 1821, ch 2, p. 43).

Notes

2 Deux grandeurs sont incommensurables lorsqu’on ne peut pas trouver une unité de mesure commune permettant d’attribuer à chacune des grandeurs une mesure entière. C’est le cas de la diagonale du carré et du côté du carré.

3 Étant donnée une partie A majorée non vide d’un ensemble ordonné, on peut considérer l’ensemble des majorants de A. Cet ensemble est non vide ; lorsqu’il admet un plus petit élément, cet ensemble est appelé borne supérieure de la partie A. Dans ℝ, toute partie majorée non vide admet une borne supérieure. Cet énoncé est faux dans l’ensemble ⅅ des nombres décimaux et dans l’ensemble ℚ des nombres rationnels.

4 Nous donnons en annexe 1 l’énoncé du théorème, son interprétation géométrique et la première preuve de Cauchy faisant appel à l’intuition géométrique.

5 Il s’agit de l’ensemble que nous notons aujourd’hui ℚ ; la lettre ℝ étant utilisée actuellement pour désigner l’ensemble des nombres réels. Dans la suite du texte, nous utilisons ces notations.

6 Position qu’il soutient dans un échange de correspondances avec Lipschitz traduit par H. Sinaceur dans Dedekind (2008).

7 On appelle série trigonométrique une série de fonctions (à termes réels ou complexes) dont le terme général un(x) s’écrit : un(x) = an cos (nx) + bn sin (nx)

8 Le texte original se trouve dans Cantor (1872).

9 av désigne une suite de nombres rationnels vérifiant le critère de Cauchy.

10 Le texte original se trouve dans Cantor (1883).

11 Le texte original se trouve dans Cantor (1872).

12 Nous ne disons pas pour autant que Bolzano a eu une influence directe sur Dedekind ou sur Cantor.

13 1) Le continu euclidien, 2) Le continu de Cantor, 3) Le continu de Dedekind, 4) le continu de Hilbert, 5) L’ensemble de tous les chemins dans un arbre binaire complet, 6) L’ensemble de toutes les parties de l’ensemble des nombres naturels.

14 Les idées générales d’ordre, de succession, collection, relation, règle et opération sont pré-mathématiques (traduction des auteurs).

15 Nous utilisons ici le terme conception au sens de Vergnaud à savoir l’analogue du concept pour un sujet à un moment donné (pour une discussion sur la notion de conception en Didactique des mathématiques, voir Artigue (1990)). Comme le souligne Margolinas (1989, p. 87) « (…) le mot conception décrit un modèle de comportement cognitif du sujet en situation, construit par le chercheur ».

16 Des résultats plus complets se trouvent dans Vergnac et Durand-Guerrier (2014).

17 Notons que ce professeur n’a pas mentionné à ce moment de l’entretien l’ensemble ℚ des nombres rationnels.

18 Nous avons attribué cette conception « ensemble de tous les nombres » aux élèves ayant répondu en citant l’intervalle ]- ∞, + ∞[.

19 Réponse donnée par un élève de Terminale S en 2013 à la question : « Qu’est-ce qu’un nombre réel ? ».

20 Bronner (1997) introduit ce terme pour mettre en avant le fait que l’on peut considérer une partition de l’ensemble des nombres réels en nombres décimaux (pouvant s’écrire avec un nombre fini de chiffres non nuls à droite de la virgule) et nombre idécimaux pour lesquels ce n’est pas possible.

Table des illustrations

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Titre Extrait de la première preuve du théorème des valeurs intermédiaires par Cauchy
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