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Epistémologie & didactique

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Manuel Bächtold
, 
Viviane Durand-Guerrier
, 
Valérie Munier

Partie 1. Épistémologie et recherches didactiques sur les connaissances scientifiques enseignées

Vitesse instantanée, notion mathématique ou physique ? Approche épistémologique et didactique de la question

Michel Roland

Texte intégral

1. Introduction

1Cet article pose la question de l’existence de deux approches associées à deux mondes, l’un mathématique et l’autre physique, servant à la modélisation du monde réel. Une trilogie des mondes déjà présente chez Karl Popper (1979), chez Ennio De Giorgi (1999) et finalement chez Gaston Bachelard (1949). Comme l’écrit ce dernier : « La connaissance scientifique est ici, pour le moins, une connaissance double. Elle est à la fois intuition sensible et intuition intellectuelle ». Sommes-nous face une dualité brunschvicgienne, c’est-à-dire une dualité en opposition apparente mais en réalité complémentaire ?

2Dans sa première partie, nous positionnons le concept de vitesse instantanée dans la phénoménotechnique et sous l’angle de l’action conjointe en didactique. Nous attirons l’attention sur l’intuition intellectuelle des notations de la dérivée, source d’obstacles épistémologiques par une opposition entre l’empirisme et le conventionnalisme. Cette opposition prend-elle sa source à la naissance du calcul différentiel ?

3Dans sa seconde partie, nous réalisons une étude épistémologique et comparatiste des concepts de dérivée ou de différentielle nous fournissant deux approches brunschvicgiennes de ces notions. Nous découvrons ainsi la source des obstacles épistémologiques provenant d’approches différentes qui sont mélangées sans précaution. Renvoyer la vitesse instantanée à un simple rapport algébrique d’infiniment petits, en physique, alors que sa définition renvoie à la dérivée d’une fonction mathématique différente d’un rapport de différentielles, s’avère perturbant pour les étudiants. N’est-il donc pas possible de réconcilier les deux approches ?

4Dans sa troisième partie, nous faisons appel à une interdisciplinarité au regard de l’étude de résolutions de problèmes démontrant la nécessité d’approches au minimum duales des exercices faisant appel au changement de cadre. Une double approche permet à l’apprenant de choisir la méthode adaptée à son profil évitant des répétitions redondantes en cas d’incompréhension et aux scientifiques de comprendre l’autre monde dans sa complémentarité.

2. Vitesse instantanée

2.1. Phénoménotechnique : clef d’une interdisciplinarité

5Depuis l’avènement de la Physique mathématique, décrit par Gaston Bachelard dans Noumène et microphysique, s’instaure une liaison étroite entre physique et mathématique autrement dit une phénoménotechnique. Sous cet angle, le concept de vitesse instantanée, défini comme la limite de la vitesse moyenne lorsque l’intervalle de temps tend vers 0 est d’ordre phénoménotechnique. En effet, cette définition est basée sur la notion de dérivée et donc celle de limite, deux objets mathématiques.

6Sous l’angle de la dialectique outil-objet de Régine Douady (1992), le concept physique (objet) de vitesse instantanée se définit à l’aide d’un outil mathématique (la limite ou la dérivée) appliqué à un autre concept (objet), celui de vitesse moyenne. La limite initialement un outil (de langage ou de calcul) devient alors un objet en physique car elle donne sens au concept d’instantané.

7La vitesse instantanée fournit une valeur de la vitesse à chaque instant sans avoir recours à l’expérience mais par simple modélisation de la cinématique en termes d’équations. Elle permet aussi de construire des instruments techniques fournissant une mesure approximée de sa valeur théorique. Cette technicité est dès lors conforme à la vision du rationalisme appliqué et de la phénoménotechnique de Bachelard (1949).

2.2. Action conjointe

8La définition en termes de limite interroge également sur l’appartenance du concept au monde mathématique ou au monde physique. Cette dualité induit un questionnement sur l’appropriation de cette notion par les élèves en fonction du temps didactique (chronogenèse), du milieu didactique (mésogenèse), ou de la position didactique (topogenèse). Nous entrons ici dans la théorie de l’action conjointe de Gérard Sensevy (2011), caractérisée par une coopération, une coordination et une transaction, au sein du système scolaire, à différents moments, entre différents mondes et différents acteurs. Analysons la trilogie des genèses dans ce contexte physicomathématique. La chronogenèse implique une triple temporalité didactique :

  • celle de la progression du savoir physique : à quel moment la vitesse instantanée est-elle nécessaire pour faire progresser la cinématique ?

  • celle de la progression du savoir mathématique : à quel moment sont étudiés les concepts de limite et de dérivée ?

  • celle de la mise en commun des concepts : à quel moment la vitesse instantanée doit-elle être définie comme une dérivée ?

9La mésogenèse implique une réciprocité des objets de savoir entre le monde mathématique et le monde physique. La notion de vitesse instantanée permet-elle d’éclairer la notion de dérivée ou inversement ? La notion de limite donne-t-elle sens à la notion de vitesse moyenne ou inversement ?

10La topogenèse implique une bipolarité de position en raison des acteurs de l’apprentissage. Une polarité provient du recours à deux disciplines et impose ainsi une action conjointe entre enseignants de mathématiques et de physique : qui prendra en charge l’introduction du concept permettant à l’autre d’utiliser l’outil-objet au sein de sa propre discipline ? L’autre polarité est commune à tout enseignement et s’intéresse aux positions respectives de l’enseignant et des élèves.

2.3. Notations symboliques

11La définition en termes de limite induit des questions quant à la notation de la dérivée. Pourquoi les physiciens optent-ils pour la notation leibnizienne alors que les mathématiciens optent plutôt pour une notation lagrangienne ? Une enquête en cours auprès d’enseignants de mathématiques et de physique a pour objet de préciser leurs préférences et les raisons de ces dernières. Une analyse plus complète de celle-ci fera l’objet d’un article à venir.

12S’agit-il seulement d’un simple attachement corporatiste ou le reflet d’une approche différente entre mathématiciens et physiciens ?

En 1942, Kac et Randolph attiraient déjà l’attention sur cet obstacle épistémologique : « Granted, then, that we are not going to dispense with differentials, can we not do something to help students understand what they are ? The unsophisticated undergraduate who tries to believe everything he reads and his instructor tells him is hopelessly confused. One day he tries to believe (but does not succeed) that dy/dx is not dy divided by dx. The next day he may have momentary comfort when he learns that it is true after all that dy/dx is dy divided by dx and that.t

13D’autre part, nous constatons que le recours au langage de l’infiniment petit pour expliquer la différentielle est fréquent dans les facultés polytechniques. Cet infiniment petit, non défini, pose question comme ont pu le constater Michèle Artigue et Laurence Viennot lors de recherches menées dans les années 1990.

2.4. Questionnement actuel

14Pourquoi des physiciens souhaitent-ils une notation sous forme de quotient différentiel pour la dérivée ? Sur base de la littérature et d’enquêtes, retenons trois motivations :

  • lien avec la vitesse instantanée par le rappel des unités et le caractère infiniment petit des différentielles

  • le caractère quantitatif et algébrique de la notation

  • le recours à une méthode de séparation des variables (dx et dt placés de part et d’autre de l’égalité) pour la recherche des équations du mouvement rectiligne uniformément accéléré (MRUA), généralisée par certains auteurs aux équations différentielles (Demailly, 1996) ne tenant pas compte des difficultés exposées par Kac et Randolph.

15Nous pouvons résumer ces motivations à partir des schémas suivants (figure 1) :

Figure 1 : recherche des équations du MRUA

Figure 1 : recherche des équations du MRUA

16Pourquoi des mathématiciens souhaitent-ils une notation lagrangienne de la dérivée ? Sur base de la littérature et d’enquêtes, retenons également trois motivations :

  • la différentielle : application linéaire tangente ; lien entre dérivée, tangente et vitesse

  • le caractère d’opérateur et fonctionnel de la notation

  • l’importance du changement de variable et de la composée de fonctions (figure 2).

Figure 2 : explication correcte sans séparation des variables et montrant la validité de la formule finale de la figure 1

Figure 2 : explication correcte sans séparation des variables et montrant la validité de la formule finale de la figure 1

17Résumons les différentes dérives possibles en nous inspirant d’un schéma de Gaston Bachelard (1949) :

Figure 3 : dérives possibles

Figure 3 : dérives possibles

18Nous retrouvons dans ce schéma des clichés classiques : la physique est concrète (empirisme) et les mathématiques sont abstraites (conventionnalisme) ou encore le caractère instantané induit le recours à la limite et la vitesse renvoie à un rapport. S’ensuit également un recours des physiciens à la validation expérimentale et à l’induction tandis que les mathématiciens recourent à la rigueur des notations et à la déduction.

19Face à cette dualité bachelardienne, il semble utile de remonter aux sources et d’analyser l’épistémologie des concepts de dérivée, de différentielle et de vitesse instantanée à des moments clefs du xive au xxe siècle.

3. Approche épistémologique comparatiste

3.1. Merton College et Oresme (1320-1382)

20Comme l’indique Sabine Rommevaux (2010), les calculateurs d’Oxford se sont intéressés à l’utilisation d’outils mathématiques pour la résolution de problèmes physiques, en particulier en mécanique. Leur attention s’est portée sur le concept de rapidité (velocitas). Ainsi, Thomas Bradwardine a tenté de préciser l’approche causale du mouvement par Aristote (la puissance du moteur) en analysant aussi son effet (la distance parcourue). La difficulté de la notion de vitesse provenait des théories des anciens, celle des rapports d’Euclide (rapport homogène) et celle de la physique d’Aristote. Bradwardine et Oresme ont été amenés à proposer des théories sur les rapports. C’est à cette époque qu’apparaissent au Merton College des traces visibles d’une mathématisation du mouvement par l’élaboration de formules de cinématique dont la règle liant la vitesse uniforme à la vitesse uniformément difforme ou accélérée. Ce théorème de la vitesse moyenne s’est répandu rapidement sur le continent et nous le retrouvons chez Oresme qui le démontre géométriquement (Souffrin et Weiss, 1988) en prouvant l’égalité des surfaces du triangle et du rectangle (figure 4).

Figure 3 : Oresme, règle de Merton

Figure 3 : Oresme, règle de Merton
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21Le recours à la méthode de séparation des variables des physiciens devient alors inutile. La vitesse instantanée est définie par l’équation, elle-même obtenue à partir d’une vitesse initiale et d’une vitesse finale. Déjà au début du xviie siècle, les vitesses étaient estimées à partir d’une analogie entre la chute des corps et la transformation de l’énergie potentielle en énergie cinétique. Huygens et Leibniz ont ensuite formalisé cette transformation par la conservation de la vis viva obtenant ainsi une estimation du carré des vitesses en fonction de la hauteur donnée, ce qui était explicable par la physique aristotélicienne, les corps tendant à se rapprocher du centre du monde. De nos jours, nous parlons de conservation de l’énergie mécanique pour des forces conservatives.

3.2. Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)

22Leibniz est l’un des deux inventeurs du calcul différentiel et intégral au xviie siècle, l’autre étant Newton. Analysons les notations proposées par ces deux érudits.

23En 1675 est apparue la notation différentielle (figure 5). Leibniz s’interrogeait alors sur l’égalité possible entre la différentielle du produit et le produit des différentielles. Il en était de même pour les quotients.

Methodi tangentium inversae exempla, 11 November 1675

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Figure 5 : quotient différentiel de Leibniz

Figure 5 : quotient différentiel de Leibniz
  • 1 Traduction française réalisée par Régine Szeftel-Zylberbaum.

24En 1713, durant la querelle de priorité qui l’oppose à Newton, Leibniz a rédigé Historia et Origo Calculi Differentialis1. En prenant connaissance des explications du graphique (figure 6), nous constatons que Leibniz signale le caractère non nécessairement infinitésimal de son calcul : « Notre jeune homme [il s’agit de Leibniz lui-même] (stimulé par ces découvertes), après avoir constaté la fécondité de ses réflexions, et comme il n’avait d’abord considéré que les infiniment petits, … Il semblait toujours possible d’assigner des triangles semblables à ce triangle caractéristique, bien qu’inassignable ou infiniment petit ».

Figure 6 : triangle caractéristique

Figure 6 : triangle caractéristique

25Constatons que le quotient différentiel est bien un rapport, celui des portions de coordonnées et de coabscisses.

  • 2 Présentée par M. Roland en octobre 2014 à Bruxelles lors d’une journée d’étude de l’ARCD.

26Cette méthode2 basée sur les rapports de similitude est toujours utilisée par des physiciens pour démontrer des formules telles que celle de l’accélération centripète. Ces rapports n’étaient pas obligatoirement infinitésimaux comme le souligne Marc Parmentier (1989) : « … par exemple le rapport entre deux quantités différentielles de même ordre, qui n’est plus infinitésimal et, … ».

27Leibniz a donc introduit initialement son quotient différentiel comme un rapport de quantités. Cependant, il a eu un doute sur ce quotient, peut-être en relation avec ses recherches sur le concept de fonction. Il l’a indiqué dans un courrier à Johann Bernoulli en 1698. En voici un extrait traduit : « Souvent aussi, moi, j’utilise des fonctions différentiées, les différentielles ayant été abandonnées, de sorte que si z est la fonction de x lui-même, alors pour moi dz est la quantité ordinaire que produit dz en le divisant par dx soit dz = dz : dx ».

28Une fois découvertes les lois de dérivations, Leibniz fait donc référence à une notation de type fonctionnel qui délaisse le rapport. Malgré la réponse favorable de Johann Bernoulli (1698), Leibniz n’emploiera pas cette notation. La notation fonctionnelle se retrouve chez Lagrange.

29Que retenir pour notre analyse des écrits de Leibniz ? l’apparition de deux approches, l’une géométrico-algébrique et l’autre fonctionnelle ou analytique. L’approche géométrico-algébrique, développée sur la base du triangle caractéristique, s’appuie sur la recherche de tangentes et peu sur la cinématique. La référence à la vitesse est très rare. Comme l’indiquait Cajori (2007), Leibniz était très préoccupé par la rigueur des notations mathématiques : « The leading role played by Leibniz in the development of mathematical notations... Perhaps no mathematician has seen more clearly than Leibniz the importance of good notations in mathematics ». L’approche analytique n’est qu’évoquée dans le courrier de 1698. Aucune raison ne ressort de cette analyse historique pour justifier un attachement à la notation leibnizienne introduite principalement dans un cadre plutôt mathématique. Par contre, nous constatons la proposition d’une notation ne faisant plus référence au rapport de quantités mais bien à une fonction.

30Retenons également que la méthode des fluxions de Newton n’est pas classable selon ces deux approches. Cette méthode s’appuie sur la notion de vitesse dont il est difficile de trouver une définition claire. Cependant, la notation pointée obtient l’assentiment des ouvrages tant mathématiques que physiques, mais elle n’est valable que pour la dérivée par rapport au temps.

3.3. De Varignon (1654-1722) à Euler (1707-1783)

31Les travaux de Leibniz ont retenu l’attention de confrères renommés qui ont mis tout en œuvre pour diffuser ce nouveau calcul. Les Bernoulli et le Marquis de l’Hôpital sont attirés par son approche des infiniment petits et la facilité du Calcul pour résoudre de nombreux problèmes. Ils ont développé l’approche géométrico-algébrique des différentielles en suivant Leibniz. Varignon a appliqué le Calcul à la cinématique (figure 7) et a défini ainsi le concept de vitesse instantanée. Cette formulation préfigure ce que font certains physiciens qui expriment le quotient différentiel comme un véritable rapport.

32Dans un procès-verbal de l’académie royale de juillet 1707, Varignon explicite sa notion d’instant et d’infiniment petit : « Par le mot instant nous entendons ici une particule de temps infiniment petit ou (pour parler comme quelques modernes depuis Descartes) indéfiniment petit, c’est-à-dire, moindre que quelque grandeur assignable de temps que ce soit : C’est ce qu’en langage des Anciens l’on appeleroit minor quavis quantitae data ».

Figure 7 : Varignon, 1698

Figure 7 : Varignon, 1698

33Dans ce même document, Varignon revient sur sa définition de la vitesse instantanée : « Il est ici à remarquer que l’espace et le temps étant des grandeurs hétérogènes, ce n’est point proprement elles qu’on compare ensemble dans le rapport qu’on appelle vitesse, mais seulement les grandeurs homogènes qui les expriment, lesquelles sont ici, et seront toujours dans la suite ou deux lignes, ou deux nombres, ou deux telles autres grandeurs homogènes qu’on voudra. ». La difficulté de l’emploi du rapport pour définir la vitesse selon la théorie d’Euclide est ici rappelée. Précisons que, dans sa cinématique, Galilée n’a comparé que des rapports homogènes de temps ou d’espaces sans jamais les mélanger. Pour en revenir aux infiniment petits, citons un extrait de lettre de Pierre Varignon à Johann Bernoulli en date du 6 août 1697 : « M. le Marquis de L’hospital est encore à la Campagne, de sorte que je me trouve seul ici chargé de la défense des infiniment petits, dont je suis le vray martyr tant j’ay des-ja soutenu d’assauts pour eux contre certains mathematiciens du vieux stile, qui chagrins de voir que par ce calcul les Jeunes gens les attrapent & même les passent, font tout ce qu’ils peuvent pour le décrier, sans qu’on puisse obtenir d’eux d’ecrire contre. Il est pourtant vray que depuis la solution que M. le Marquis de L‘hopital a donnée de votre problème de linea celerrimi descensus, ils ne parlent plus tant ny si haut qu’auparavant. ».

34Soulignons encore que Varignon (1725) écrit dans sa supposition II que : « le produit de deux quantités infiniment petites est nul, alors que pour l’Hôpital (1696) : il est infiniment petit par rapport aux autres termes ».

35Égaler à zéro un infiniment petit reste d’actualité dans l’enseignement où il est préférable d’utiliser le terme de quantité négligeable dans le calcul des limites de fonctions ou des formules de dérivées.

36Le rapport 0/0, actuellement toujours une difficulté pour les élèves, causait déjà des problèmes à Johann Bernoulli et chez Euler. Il suffit de lire pour cela ce qu’écrivait Lagrange (1806) à ce sujet : « On connaît les difficultés qu’offre la supposition des infiniment petits, sur laquelle Leibnitz a fondé le calcul différentiel. Pour les éviter, Euler regarde les différentielles comme nulles, ce qui réduit leur rapport à l’expression zéro divisé par zéro, laquelle ne présente aucune idée. ».

3.4. De Lagrange (1736-1813) à Cauchy (1789-1857)

37Lagrange émet des réserves sur la rigueur des travaux de certains de ses prédecesseurs. Il poursuit les travaux de Leibniz et d’Euler en approfondissant le concept de fonction et met en place une théorie fonctionnelle palliant les manquements du nouveau Calcul. Il définit en 1797 les fonctions qui dérivent d’une fonction donnée. « Cette manière de déduire d’une fonction donnée d’autres fonctions dérivées et dépendant essentiellement de la fonction primitive, est de la plus grande importance dans l’analyse. La formation et le calcul de ces différentes fonctions sont à proprement parler le véritable objet des nouveaux calculs, c’est-à-dire du calcul appelé différentiel ou fluxionnel. Les premiers géomètres qui ont employé le calcul différentiel, Leibniz, les Bernoulli, l’Hospital, & c l’ont fondé sur la considération des quantités infiniment petites de différens ordres, et sur la supposition qu’on peut regarder et traiter comme égales les quantités qui ne diffèrent entre elles que par des quantités infiniment petites à leur égard. Contens d’arriver par les procédés de ce calcul d’une manière prompte et sûre à des résultats exacts, ils ne sont point occupés d’en démontrer les principes. Ceux qui les ont suivis, Euler, d’Alembert& c. ont cherché à suppléer à ce défaut, en faisant voir, par des applications particulières, que les différences qu’on suppose infiniment petites, doivent être absolument nulles, et que leurs rapports, seules quantités qui entrent réellement dans le calcul, ne sont autre chose que les limites des rapports des différences finies, ou indéfinies. ».

38Il a souhaité rendre le nouveau Calcul plus rigoureux car il manquait les démonstrations des principes.

39Il a relevé l’intérêt de certains pour la méthode de Newton en signalant le problème, cité plus haut, de l’absence de définition de la vitesse : « Cette méthode ou ce calcul s’accorde pour le fond et pour les opérations, avec le calcul différentiel, et n’en diffère que par la métaphysique qui paraît en effet plus claire, parce que tout le monde a ou croit avoir une idée de la vîtesse. Mais d’un côté, introduire le mouvement dans un calcul qui n’a que des quantités algébriques pour objet, c’est y introduire une idée étrangère, et qui oblige à regarder ces quantités comme des lignes parcourues par un mobile ; de l’autre, il faut avouer qu’on n’a pas même une idée bien nette de ce que c’est que la vîtesse d’un point à chaque instant, lorsque cette vîtesse est variable… ».

40Les mathématiciens auraient-ils alors raison de choisir la notation de Lagrange pour sa rigueur ?

41Cauchy, quant à lui, estime en 1822 que, lors de l’élaboration de sa théorie et de sa notation (1797), Lagrange n’a pas fait preuve d’une grande rigueur : « Il n’est donc pas permis de substituer indistinctement les séries aux fonctions, et pour être assuré de ne commettre aucune erreur, on doit borner cette substitution au cas où les fonctions, étant développables en séries convergentes, sont équivalentes aux sommes de ces séries. ». Ajoutons que Lagrange a consacré un paragraphe de sa théorie des fonctions (1797) à la mécanique et plus précisément à la cinématique avec les équations associées. « Donc, en général, dans tout mouvement rectiligne dans lequel l’espace parcouru est une fonction donnée du temps écoulé, la fonction prime de cette fonction représentera la vîtesse, et la fonction seconde représentera la force accélératrice dans un instant quelconque ; car, comme les temps, les espaces, les vîtesses et les forces sont des choses hétérogènes qu’on ne peut comparer ensemble qu’après les avoir réduites en nombres en les rapportant chacune à une unité déterminées dans son espèce, nous pouvons pour plus de simplicité, exprimer immédiatemment la vîtesse et la force par les fonctions primes et secondes, comme nous exprimons l’espace par la fonction primitive. D’où l’on voit que les fonctions primes et secondes se présentent naturellement dans la mécanique, où elles ont une valeur et une signification déterminées : … ».

42Le cadre analytique manquait de rigueur et cette dernière n’est arrivée qu’avec l’avènement du calcul infinitésimal mis en place par Cauchy. Nous trouvons dans le Résumé des leçons données à l’École royale polytechnique sur le calcul infinitésimal, des leçons qui portent sur les limites, les infiniment petits, les dérivées et finalement les différentielles des fonctions d’une seule variable.

3.5. Conclusion

43Cette étude comparative entre le passé et le présent prouve que les difficultés épistémologiques traversent l’histoire et sont toujours d’actualité dans l’enseignement. Aucune justification historique ne ressort quant au choix de l’une des deux notations mais il apparaît que ce choix est dicté par des approches différentes des problèmes, l’une centrée sur les grandeurs inspirées de Leibniz, des Bernoulli, de L’Hôpital, de Varignon, d’Euler, … et l’autre sur les fonctions inspirées de Leibniz, Lagrange, Cauchy, …

44Au regard de la problématique de la notation, il apparaît un mélange des approches engendrant un obstacle épistémologique, la définition en termes de limite renvoyant à Cauchy, approche analytique, et non à un rapport, approche géométrico-algébrique. À la lumière de cette étude historique, analysons les méthodes de résolution de problèmes.

4. Interdisciplinarité et changement de cadre

45Comme signalé au premier paragraphe, il existe un lien étroit entre la vitesse instantanée, objet de la physique, et les dérivées ou la différentielle, objets des mathématiques, ce lien renvoyant au concept de phénoménotechnique, lui-même intrinsèquement interdisciplinaire. Une interdisciplinarité physico-mathématique ne peut que mener, selon nous, les élèves à une meilleure compréhension des problèmes situés à l’intersection de ces deux disciplines. Cette interdisciplinarité inspirée par Astolfi (2008), Lenoir (1998) et Maingain (2002), nous la définissons comme suit :

L’interdisciplinarité scolaire est un instrument curriculaire, pédagogique et didactique visant, au sein d’une discipline, la construction et l’intégration de savoirs, l’appropriation de concepts et une modélisation du réel à partir de connaissances disciplinaires provenant d’au moins une autre discipline.

46Pour l’étudier, nous utiliserons la dialectique outil-objet et son changement de cadre. Comme le signale Régine Douady, « le changement de cadre est un moyen d’obtenir des formulations différentes d’un problème qui sans être nécessairement tout à fait équivalentes, permettent un nouvel accès aux difficultés rencontrées et la mise en œuvre d’outils et techniques qui ne s’imposaient pas dans la première formulation ». Considérons les deux cadres apparus lors de nos recherches, le cadre géométrico-algébrique et le cadre analytique. Dans le cadre géométrico-algébrique, plutôt l’apanage de physiciens, on utilise des outils tels que « nombres » et « rapports », pour façonner des objets (concepts) ou résoudre des problèmes (outils de résolution). Dans le cadre analytique, plutôt l’apanage de mathématiciens, on utilise des outils tels que « relations » et « fonctions », pour façonner les mêmes objets ou résoudre les mêmes problèmes.

47Nous situant dans le cadre de l’action conjointe, il convient de déterminer pour l’élaboration d’objets (concepts), qui fait quoi (topogenèse), à quel moment (chronogenèse) et avec quel outil (mésogenèse). Prenons un exemple : la vitesse instantanée, lorsqu’elle a acquis le statut d’objet en physique et que les élèves se sont familiarisés avec elle, peut devenir un outil pour introduire la notion de dérivée en mathématiques, cette dernière devenant ensuite un objet externe au contexte cinématique. Nous pourrions tout aussi bien faire la démarche inverse : partir de la dérivée pour définir la vitesse instantanée. Pour garder une définition en terme de rapport, approche géométrico-algébrique du concept, il faut utiliser le concept de différentielle, qui l’introduit, à quel moment et dans quel cadre ? Intéressons-nous à la résolution de problèmes de cinématique pour repérer, au sein des méthodes, des changements de cadre possibles. Ces méthodes mettent-elles en évidence une approche plus mathématique, approche analytique, ou plus physique, approche géométrico-algébrique ?

48Nous avons soumis trois problèmes de cinématique à 817 étudiants de première année universitaire (physique, mathématiques, chimie, ingénieur de gestion et ingénieur civil) engendrant des résultats de réussite surprenants : 54,2 % pour le premier type de problèmes, 35,5 % pour le second, et pour le troisième 8,3 %. En raison du faible taux de réponses reçues (96 sur 817), le troisième problème a été proposé à l’épreuve qualificative des olympiades de physique, avec un taux de réussite en cinquième secondaire (275 élèves de ± 17ans) de 11,7 % et en sixième secondaire (233 élèves de ± 18 ans) de 22,7 %. Un exercice semblable a ensuite été soumis aux élèves de cinquièmes années finalistes (62 élèves) des épreuves pour une résolution détaillée avec un taux de réussite de 38,7 %.

49Nous réaliserons une analyse approfondie des méthodes employées et des erreurs commises par les élèves finalistes, accompagnée d’une analyse statistique permettant de croiser des informations. Cette analyse fera l’objet d’un chapitre de notre thèse, Analyse systémique d’une interdisciplinarité physico-mathématique au sein du système scolaire, dont le sous-titre est Étude comparatiste, historico-épistémologique et didactique de concepts communs à partir de modélisations en mécanique en lien avec l’analyse (EDO et EDP).

4.1. Premier type de problèmes (rencontre ou poursuite avec temps initial identique dans le cadre de mouvements rectilignes uniformes MRU)

50Deux limaces se mettent en route l’une vers l’autre dès 5h du matin. Elles sont séparées de 8m de distance. La première fait 50 cm chaque demi-heure et la seconde avance de 20 cm en 20 minutes. A quelle heure se rencontrent-elles et à quelle distance du point de départ de la première ?

51Dans le cadre géométrico-algébrique, la résolution s’appuie sur la recherche d’un rapport. La difficulté réside dans la compréhension de la notion de vitesse relative, peu concrète en raison de l’utilisation du repère attaché à l’une des deux limaces. Il n’y a plus deux objets en mouvement mais un seul.

52Dans le cadre analytique, la résolution s’appuie sur la recherche de fonctions représentatives du mouvement des deux limaces. La difficulté réside alors dans le transfert du concept de fonction noté principalement f(x) en mathématiques vers celui de position à chaque instant x(t). Les élèves n’ont pas toujours conscience qu’il s’agit bien d’une fonction affine identique à celles rencontrées au cours de mathématiques comme nous l’avons constaté lors de cours de propédeutique en physique donné à l’université catholique de Louvain-la-Neuve.

53Le danger de l’enseignement dans le cadre géométrico-algébrique est la transformation de celui-ci en simple technique de résolutions appliquée machinalement sans en comprendre le sens. L’élève retient qu’il doit effectuer le rapport entre la différence des positions et la différence des vitesses mais ne sait pas s’il doit additionner ou soustraire les vitesses dans une situation particulière (poursuite ou rencontre).

54Ce constat est établi sur base des résolutions proposées par les élèves qui commettent de nombreuses erreurs provenant de cette dérive mnémotechnique.

4.2. Deuxième type de problèmes (rencontre ou poursuite avec temps initial différent dans le cadre de mouvements rectilignes uniformes MRU)

55Un Eurostar quitte Bruxelles en direction de Paris à12 h15’ à la vitesse moyenne de 240 km/h. Un Thalys quitte Paris à12 h 30’ avec une vitesse moyenne de280 km/h en direction de Bruxelles. La distance Bruxelles-Paris est d’environ 300 km. À quelle heure et à quelle distance de Bruxelles vont-ils se croiser ?

56Cet exercice rajoute une difficulté, le temps initial des deux trains est différent. Cela implique soit une décomposition du mouvement (faire avancer le premier train pendant 15 minutes) soit un changement de variable qui pose problème aux élèves. En effet, lors de la recherche de l’équation du deuxième train, ils indiquent qu’il part avec un retard de 15 minutes qu’ils traduisent x (t+15) au lieu de x (t-15). La solution x (t+15) devrait être appliquée à l’équation du premier train. Cela engendre également une difficulté de repère pour le train, le temps trouvé s’ajoute-t-il à 12h15 ou à 12h30. La difficulté réside dans le choix du repère.

57Deux nouvelles fenêtres conceptuelles apparaissent lors de l’analyse des résolutions de ces problèmes : la relation algébrique dans le cadre géométrico-algébrique et la relation numérique dans le cadre analytique. Ces deux fenêtres conceptuelles rencontrées sont les prémices des deux fenêtres précédentes.

58Avant d’aborder le concept de fonctions (fonction affine), il existe le stade non formalisé de la représentation de la relation sous forme de tableau ou de graphique, relation numérique. Cette solution ne fonctionne qu’avec un résultat qui tombe « juste ».

  • 3 Contenu présenté par M. Roland dans un poster en octobre 2014 à Bruxelles dans le cadre de deux jou (...)

59Pour éviter la difficulté de l’addition ou la soustraction des vitesses (vitesse relative), la solution est obtenue en additionnant les distances parcourues durant l’intervalle de temps comme décrit par la représentation de la fenêtre conceptuelle relation algébrique D1+ D2 = D avec D1= v1.t et D2 = v2.t. Il s’agit donc d’avoir recours aux seules valeurs numériques des vitesses. Le problème de la soustraction-addition ou du signe des vitesses n’est plus présent. Cet ajout fera l’objet d’un article à paraître3.

4.3. Troisième type de problèmes (passage au MRUA)

60Le conducteur d’un train roulant à100 km/h aperçoit, à 80 m, sur la même voie, le fourgon d’un train roulant dans le même sens que lui, à28 km/h. Il bloque aussitôt les freins, ce qui provoque une décélération de2 m/s2. Y aura-t-il collision ? Justifier.

61A quelle distance minimale doit être aperçu le fourgon afin d’éviter la collision ?

62Ce dernier problème est certainement le plus intéressant du point de vue de la dynamique interdisciplinaire qui pourrait être mise en place dans le cadre sa résolution.

63Intérêt de l’exercice :

  • Recherche graphique de la tangente.

  • Compréhension de la limite pour la recherche de la tangente.

  • Information sur la vitesse identique lors de la collision.

  • Explication du théorème des accroissements finis de Lagrange.

  • Utilité de la règle de Merton.

  • Interprétation de l’erreur commise par de nombreux élèves de la recherche du temps d’arrêt pour la distance minimale.

  • Interprétation du réalisant (ρ) aussi appelé discriminant (∆).

5. Conclusion

64Cet article met l’accent sur l’apport de l’épistémologie à la didactique des sciences (physique et mathématiques). Il est conforme au prescrit proposé par Ricardo Karam (2015) :

65« Since their beginnings in the ancient world, physics (natural philosophy) and mathematics have been deeply interrelated, and this mutual influence has played an essential role in both their developments... However, the image typically found in educational contexts is often quite different. In physics education, it is usual to find mathematics being seen as a mere tool to describe and calculate, whereas in mathematics education, physics is commonly viewed as a possible context for the application of mathematical concepts that were previously defined abstractly. This dichotomy creates significant learning problems for the students… This problem demands a systematic research effort from experts in different fields, especially the ones who aim at informing educational practices by reflecting on historical, philosophical and sociological aspects of scientific knowledge ».

66Par l’étude de la construction de savoirs mathématiques et physique au cours des siècles, nous avons individualisé deux cadres didactiques mis en évidence par les difficultés des calculs rencontrées lors de la recherche de tangentes à des courbes et lors de la résolution de problèmes physico-mathématiques. Le nouveau Calcul est un exemple de rupture épistémologique décrite par Bachelard (1993) dans son paragraphe sur les obstacles de la connaissance quantitative : « Le principe de négligeabilité est, de toute évidence, à la base du calcul différentiel ». Ce principe de négligeabilité, Bachelard l’explique par une citation de Wilhelm Ostwald : « Quel que soit le phénomène considéré, il y a toujours un nombre extrêmement considérable de circonstances qui sont sans influence mesurable sur lui ».

67L’analyse de la naissance des concepts et de leur évolution au cours du temps a mis en évidence certains problèmes liés à la compréhension des modèles qui se situent à la frontière de deux disciplines, problèmes toujours d’actualité. Cette frontière a évolué au cours des époques comme le prouve l’arbre des savoirs de l’Encyclopédie de Diderot et D’Alembert (1751).

68Suite à l’apparition du calcul différentiel, la cinématique et la mécanique ont vu leur développement théorique progresser de manière rapide. Le nouveau Calcul s’est heurté à la rigidité des rapports définis par Euclide et à la physique aristotélicienne. Dès sa naissance, les savants de l’époque ont eu à cœur de transmettre cette découverte de manière pédagogique. De nombreux ouvrages ont vu le jour et ont été rédigés en prenant conscience du rôle de son apprentissage par des pairs d’abord mais aussi par de futurs apprenants. Cette attention pédagogique permet une interrogation sur les obstacles rencontrés à l’époque et leur mise en parallèle avec leurs pendants actuels. Nous sommes ainsi invité à suivre de telles démarches par la création d’ingénieries didactiques innovantes (Michèle Artigue, 1996).

69Le texte qui précède étudie trois concepts physico-mathématiques, la vitesse instantanée, la dérivée et la différentielle. La vitesse instantanée est intrinsèquement un concept physique qui peut se décliner mathématiquement de deux manières : au moyen de la dérivée ou de la différentielle. Cette dualité engendre un changement de cadre possible qui indique bien une différence entre des approches. Il faut éviter de les mélanger. La définition en termes de limite renvoie à Cauchy et ne permet pas une interprétation de la dérivée comme un rapport dans la notation leibnizienne. Ce rapport ne peut être conservé qu’en utilisant le concept de différentielle. Mais il faut alors, comme le prévoit la TACD (théorie de l’action conjointe en didactique), une action conjointe et réfléchie entre enseignants des deux disciplines, mathématiques et physique, basée sur les trois questionnements : « comment quoi ?, comment quand ? et comment qui ? », Sensevy (2011).

70Au début du xxe, Poincaré et Hadamard ont attiré l’attention des enseignants sur le danger de l’emploi de la différentielle sans une explication complète et invitaient à ne pas recourir à son utilisation trop tôt dans l’apprentissage. Par la suite, l’article de Kac et Randolph en 1942 prouve que la problématique n’est toujours pas résolue, mais il indique qu’il est possible de réconcilier les deux points de vue, l’approche géométrico-algébrique et l’approche analytique. Dans les années 90, des recherches sont menées, par exemple, par des équipes interdisciplinaires de didacticiens des mathématiques et de la physique, dans le cadre du GRECO « Didactique et Acquisition des Connaissances Scientifiques » du CNRS. Sur la difficulté de relations entre mathématique et physique, nous souhaitons attirer l’attention des lecteurs sur l’article de Lévy-Leblond (1991) intitulé Mathématique de mathématiciens et mathématiques de physiciens ainsi que sur la thématique étudiée dans la revue Science & Education (July 2015).

71En août 2011, lors d’un congrès des sciences organisé à Namur (Belgique) durant une intervention intitulée Outils mathématiques dans les cours de physique, nous avons constaté que le choix de la notation posait toujours problème. Il s’ensuivit un débat entre la vision des physiciens et des mathématiciens. Ce débat initié par des notations symboliques a débouché, comme le montre cet article, sur des approches différentes mais que nous souhaitons complémentaires. Ce n’est pas la notation qui pose problème, elles ont toutes les deux la même valeur, mais son utilisation qui pose question.

Bibliographie

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Notes

1 Traduction française réalisée par Régine Szeftel-Zylberbaum.

2 Présentée par M. Roland en octobre 2014 à Bruxelles lors d’une journée d’étude de l’ARCD.

3 Contenu présenté par M. Roland dans un poster en octobre 2014 à Bruxelles dans le cadre de deux journées d’étude de l’ARCD.

Table des illustrations

URL http://books.openedition.org/pufc/docannexe/image/11347/img-1.jpg
Fichier image/jpeg, 2,0k
URL http://books.openedition.org/pufc/docannexe/image/11347/img-2.jpg
Fichier image/jpeg, 949 octets
Titre Figure 1 : recherche des équations du MRUA
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Fichier image/jpeg, 10k
Titre Figure 2 : explication correcte sans séparation des variables et montrant la validité de la formule finale de la figure 1
URL http://books.openedition.org/pufc/docannexe/image/11347/img-4.jpg
Fichier image/jpeg, 2,6k
Titre Figure 3 : dérives possibles
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Fichier image/jpeg, 11k
Titre Figure 3 : Oresme, règle de Merton
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URL http://books.openedition.org/pufc/docannexe/image/11347/img-11.jpg
Fichier image/jpeg, 1,1k
Titre Figure 5 : quotient différentiel de Leibniz
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Titre Figure 6 : triangle caractéristique
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Fichier image/jpeg, 11k
Titre Figure 7 : Varignon, 1698
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URL http://books.openedition.org/pufc/docannexe/image/11347/img-15.jpg
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Auteur

Doctorant Université Catholique de Louvain-la-Neuve (UCL), IRMP (Institut de Recherche en Mathématique et en Physique) et CRIPEDIS (Centre de Recherche Interdisciplinaire sur les Pratiques Enseignantes et les Disciplines Scolaires).

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