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Une caméra au fond de la classe de mathématiques

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Aline Robert
, 
Jacqueline Panninck
, 
Marie Lattuati

Troisième partie. Divers compléments théoriques, issus de recherches didactiques et sociologiques

Chapitre 3. Éléments sur la didactique des mathématiques, un champ de recherches

Texte intégral

Introduction

  • 1 Voire qui sont reconnues au sein d’une communauté scientifique bien précise.

1Il s’agit de reprendre de manière synthétique quelques éléments sur la didactique des mathématiques considérée comme un champ de recherches. De notre point de vue en effet, et contrairement à une acception courante du mot, prescriptive ou pédagogique, voire à son acception dans d’autres disciplines comme le français, le mot « didactique des mathématiques » réfère et réfère seulement à un ensemble de recherches, bien délimitées, reliées à l’enseignement et à l’apprentissage des mathématiques, qui s’en réclament1, et qui mettent en œuvre une démarche centrée sur les contenus mathématiques à enseigner. C’est cette centration sur les contenus avec les conséquences sur les démarches mises en œuvre, voire les modèles de référence, qui distingue la didactique de la pédagogie, qui a des visées souvent plus générales, sans nécessairement d’ambition scientifique. Nous allons nous appuyer sur quelques exemples de travaux « emblématiques » et sur les difficultés bien connues des enseignants pour adapter certaines recherches. Cela ne constitue pas un « cours » de didactique, mais vise à donner un éclairage qui peut faciliter une entrée efficace dans le monde des recherches (littérature, exposés, projets...). Si la didactique des mathématiques est un champ de recherches, il n’en reste pas moins en effet que les démarches mises en œuvre, les résultats obtenus, les expérimentations essayées, voire les formations, intéressent les enseignants, peuvent inspirer, enrichir certains de leurs choix, individuels mais aussi collectifs. Ainsi non seulement accéder aux travaux didactiques mais aussi savoir comment apprécier les recherches et qu’en faire est une question qui se pose aux formateurs et aux enseignants : comment transposer les travaux menés en recherche pour en adapter des éléments à l’enseignement, comment les intégrer aux ressources ? Actuellement, les chercheurs sont sensibilisés à cette question et commencent à intervenir pour faciliter ce passage au cœur de leurs travaux. Ils ont aussi à y gagner, du côté de la compréhension des pratiques réelles et des apprentissages. Nous ne reprenons pas ici les travaux directement liés à l’intégration des TICE dans l’enseignement des mathématiques (chapitre 1) ni ceux qui concernent spécifiquement les élèves issus de milieux défavorisés (chapitre 2).

  • 2 De plus, contrairement à ce qui est fait dans d’autres chapitres, compte tenu de la place de leurs (...)

2Devant la complexité de ce chapitre, il nous semble judicieux de rappeler son plan2.

Plan

  1. Préliminaires : les enseignants et la didactique ; quelques exemples de travaux ; premières réflexions sur leur « utilisation ultérieure » ; les précurseurs

    1. Questions habituelles des enseignants sur la didactique

    2. Exemples de recherches françaises emblématiques

      1. L’exemple du puzzle de Guy Brousseau

      2. La thèse de Colette Laborde

      3. L’hypothèse des blocs

      4. Le travail (ancien) de Teresa Assude sur la racine carrée… et le mémoire (récent) de Anne Dumail

      5. La thèse de Aurélie Chesnais

    3. Premiers constats sur la distance entre le travail de l’enseignant et ce qu’offrent certaines recherches en didactique : de l’idéal didactique aux déroulements en classe

      1. L’exemple des problèmes d’introduction

      2. Ce qui se passe en classe : de nombreux obstacles entre l’idéal et le possible

    4. Les précurseurs

      1. Le constructivisme piagétien

      2. Le socio constructivisme de Vygotski

  2. La didactique des mathématiques : un champ de recherches

    1. Préalables communs admis dans les recherches françaises

    2. Différents cadres théoriques en didactique des mathématiques

      1. La théorie des situations didactiques ou TSD

      2. La dialectique outil/objet

      3. La théorie anthropologique du didactique ou TAD

      4. Didactique comparée

      5. Théorie de l’activité, champs conceptuels de Gérard Vergnaud et double approche pour analyser les pratiques

        1. Théorie de l’activité

        2. Les apprentissages mathématiques des élèves : conceptualisation en mathématique, champs conceptuels, tâches et activités des élèves – la référence à Vergnaud.

        3. La double approche didactique et ergonomique des pratiques des enseignants

      6. Autres travaux français,

      7. Recherches internationales (un aperçu plus que sommaire)

Conclusion : Enseignants, chercheurs, formateurs ?

Bibliographie spécifique

I. Préliminaires : les enseignants et la didactique ; quelques exemples de travaux ; premières réflexions sur leur « utilisation ultérieure » ; les précurseurs

1) Questions habituelles des enseignants sur la didactique des mathématiques

3Lorsqu’on interroge des enseignants sur ce qu’est la didactique des mathématiques, les réponses spontanées évoquent souvent quelque chose d’utile pour l’enseignement des mathématiques. Voici un panel de telles réponses : pour certains il s’agit de techniques pour améliorer l’enseignement, ou de techniques pour rendre les élèves actifs dans l’activité mathématique, ou de moyens pour transmettre les connaissances, ou cela fournit la meilleure façon de transmettre une notion, ou encore c’est « quelque chose » qui permet d’être plus professionnel…

4La didactique permet aussi, pour certains, de comprendre ce qui se joue dans les processus apprentissage/enseignement.

5Il y a lieu de rétablir les choses, en expliquant que les recherches en didactiques constituent d’abord un champ de recherches, non prescriptif, ou du moins sans objectifs directement opérationnels. Ce n’est pas une recherche de méthodes d’enseignement qui seraient prouvées comme scientifiquement plus valides… En partie expérimentales, les évaluations sont, de plus, souvent internes : on compare des prévisions (faites à partir des analyses didactiques) et des réalisations en classe par exemple. L’objet principal est ainsi de chercher à comprendre, voire de valider des compréhensions partielles, et non pas de chercher à agir, les moyens d’agir ne découlant pas nécessairement de ce que l’on a compris.

6Autrement dit, les préoccupations des chercheurs ne recouvrent pas celles des enseignants, qui se situent en quelque sorte en aval des premières. En particulier, les échelles de temps sont très différentes, une recherche sur une heure de cours peut durer des années…

7Cela étant, il y a un enjeu dans cet entre-deux, entre les recherches et les préoccupations des enseignants. Une de nos hypothèses déjà évoquée est que c’est une des charges des formateurs, qui se doivent de transposer ce qui a été compris en du « comprendre pour agir ».

8Pour mieux faire comprendre ce que sont et ce que ne sont pas les recherches en didactiques, nous présentons des exemples emblématiques de travaux puis nous allons esquisser quelques différences entre les besoins ressentis par les enseignants, et les travaux de recherches offerts à la lecture.

2) Exemples de recherches françaises emblématiques

9Dans ce paragraphe nous essayons d’illustrer ce que peuvent recouvrir les recherches en didactique en résumant quelques travaux qui en montrent plusieurs aspects. Nous survolerons systématiquement plus loin les cadres théoriques dans lesquels ces travaux s’inscrivent.

a) L’exemple du puzzle de Guy Brousseau

10L’exemple du puzzle de Guy Brousseau est sans doute un des plus connus et des plus utilisés aujourd’hui – mais cela concerne surtout le primaire. Rappelons qu’il s’agit de reproduire en l’agrandissant, dans une feuille de carton à découper, un puzzle donné. L’enseignant donne, pour une mesure initiale, la mesure correspondante du nouveau puzzle. Le choix correspondant s’avère très riche en potentialités diverses, selon que c’est 4→8, ou 4→7 par exemple… Quoi qu’il en soit, les élèves ont à comprendre que c’est une multiplication des mesures qui donne les nouvelles mesures et ont à abandonner le modèle additif qui se présentera peut-être d’abord. Ce sont leurs manipulations sur les pièces découpées qui peuvent leur faire trouver cela, notamment grâce au choix du puzzle, qui a trois pièces sur un côté.

b) La thèse de Colette Laborde (1981)

11Dans ce travail de 1981, qui fait figure de précurseur, l’auteur s’intéresse au langage, mathématique et naturel, utilisé en classe de mathématiques. Un chapitre mérite une attention particulière à nos yeux – c’est celui où l’auteur s’intéresse au codage en géométrie. Elle montre à quel point ce qui est quelquefois considéré comme allant de soi (coder « le point A ») est de fait difficile pour les élèves de collège, s’acquérant sans doute progressivement. Elle utilise, à la fois comme moyen de diagnostic et comme moyen d’enseignement, un dispositif précis qu’elle expérimente et qu’elle analyse. Les élèves, placés en binôme, ont ainsi à rédiger en français un message décrivant une figure géométrique tracée sur un papier, ils le font parvenir à deux autres élèves, qui, à partir de ce texte, doivent reproduire la figure. Les élèves n’ont pas à citer de mesures – on obtient donc des figures semblables. La figure initiale, un rectangle et des segments intérieurs au rectangle qui se coupent, doit être suffisamment compliquée pour que sa description exige un codage – il y a pour cela une triple intersection. L’analyse menée sur les binômes effectifs, révèle à la fois les difficultés – le codage ne vient pas tout de suite, il faut quelquefois une heure de travail pour que certains élèves arrivent à un message satisfaisant. Les premiers éléments codés, après des essais infructueux faisant appel à des éléments liés à la feuille de papier (haut, bas…), peuvent être pour les plus faibles des régions, puis des droites, puis des points. L’auteur montre aussi que trois conditions sont nécessaires à la réussite de l’activité : une certaine complexité de la figure, le travail à deux pour produire un seul texte écrit, le fait que ce texte écrit s’adresse à d’autres élèves qui auront à reproduire la figure.

12Les travaux ultérieurs de l’auteur ont notamment porté sur la géométrie et sur l’utilisation du logiciel de géométrie dynamique « Cabri-géomètre ».

c) L’hypothèse des blocs inspirée de Régine Douady

13Cela fait allusion à des travaux qui ont été surtout publiés dans de la littérature « grise », publications internes de l’IREM notamment (Authier 1990, Boschet & Robert 1984, Josse 1995, Pian 1999) et aussi repris dans quelques thèses (Dorier, 1990).

14L’idée est la suivante. On s’appuie sur l’hypothèse de Douady, de l’efficacité des changements et jeux de cadres sur les apprentissages des élèves. Seulement cette efficacité est liée au fait que les élèves ont des connaissances, certes déséquilibrées, mais dans les deux cadres concernés. Il faut pouvoir s’appuyer sur des acquis dans un cadre pour les « transférer » dans l’autre, ce qui implique un minimum de travail à faire d’emblée dans le deuxième cadre qui s’enrichira ensuite. Alors, les élèves peuvent plus ou moins bénéficier de ce type d’enseignement, explicite ou non, selon leurs connaissances antérieures et, particulièrement, selon la variété des cadres dans lesquels ils peuvent, au moins un peu, mettre en fonctionnement ces dernières. On a donc testé cette hypothèse sur des populations d’étudiants entrant à l’université et en CAPES – de la manière suivante : on a proposé deux tests permettant d’apprécier des connaissances variées des étudiants sur les réels, et sur les fonctions, mettant en jeu différents cadres où l’on peut travailler ces connaissances (numérique, algébrique, graphique…). Le deuxième test est proposé six mois après la rentrée, le premier dès la rentrée. On constate que les étudiants ayant des connaissances mobilisables dans plusieurs cadres ont des perspectives d’apprentissage meilleures que ceux qui ont des connaissances, éventuellement même « meilleures », mais dans moins de cadres. La manière d’apprécier cela a été de définir des blocs caractérisant des connaissances dans un cadre donné, qui peuvent être pleins (toutes les questions mettant en jeu la connaissance correspondante dans ce cadre sont réussies) vides ou demi-pleins. On a constaté que, pour une même connaissance, obtenir plus de blocs vides serait moins favorable que moins de blocs vides, même s’ils sont seulement « à moitié pleins ».

d) Le travail (ancien) de Teresa Assude sur la racine carrée… et le mémoire (récent) de Anne Dumail

i) Un premier axe de questionnement didactique : quel objet mathématique présente-ton aux élèves ? à quoi peut-il servir ? manque-t-il des éléments ?

15Pour nous aider à comprendre ce qu’est la racine carrée, comment et pourquoi l’utiliser, nous avons recours à l’histoire de la notion pour en dégager la genèse et le développement, et à l’histoire de son inscription dans les programmes scolaires.

16Nous reprenons ici les résultats de Assude (1996). Elle a mis en évidence plusieurs périodes dans l’enseignement de la notion liées aux évolutions des savoirs et des techniques mathématique.

17Elle a étudié ce que nous appelons la transposition didactique (cf. Chevallard 1985) c’est-à-dire la transformation qu’il y a entre le savoir savant et le savoir enseigné.

18Elle a considéré en particulier le statut de cette notion (nombre, fonction, irrationnel, opération...), le calcul (extraction, approximation) et les opérations (algèbre des radicaux). Elle a mis en évidence trois périodes :

  • 1re période : jusqu’en 1970 L’objet “racine carrée” fait partie du domaine arithmétique. C’est une opération utilisant un algorithme. Simplifier, rendre rationnel un dénominateur est utile (pas de calculatrice). La racine carrée est plutôt un outil.

  • 2e période : 1970-1978 La racine carrée est la bijection réciproque sur IR+ de la fonction carrée. L’existence et l’unicité du réel √ a sont assurées par la définition.

  • 3e période : après 1978

19Les nombres réels disparaissent des programmes du collège mais sont supposés préconstruits au lycée. Les racines carrées n’ont plus de statut précis : ce sont des objets sur lesquels on fait des opérations alors même que les calculatrices ne nécessitent plus tous les calculs. La racine carrée n’est plus une opération, ce n’est pas une fonction non plus. On appelle racine carrée du nombre positif a le nombre positif qui a pour carré a. Pourquoi existe-t-il toujours ? Pourquoi est-il unique ? Que représente le carré de cette racine si ce n’est pas un nombre connu ? Comment prolonge-t-on les opérations sur de tels nombres ?

20Assude (1996) avance que le passage du savoir savant au savoir enseigné s’est arrêté « en route ». On peut alors se demander si c’est une gêne pour les élèves, quels sont les choix des enseignants et comment réagissent les élèves, quelles alternatives peuvent être proposées.

ii) La suite du questionnement : une étude d’un enseignement de la racine carrée en troisième et des apprentissages correspondants

21Les documents utilisés sont extraits du DEA de Dumail (2008). Un type d’enseignement y est décrit, qu’on peut trouver dans des classes faibles de troisième, qui porte des fruits à court terme mais dont certaines limites, liées en partie aux programmes, ont été mises en évidence dans ces recherches.

22À partir de la mise en regard de l’enseignement proposé sur le chapitre dans une classe de troisième d’un collège parisien difficile avec les tâches précises qui sont travaillées et la nature de ce travail, et des productions des élèves aux contrôles (un contrôle ordinaire et un brevet blanc), l’auteur dégage un certain nombre de résultats. Elle met en évidence grâce à son analyse des tâches peu variées, nombreuses et donc répétées à l’identique et dégage en fait trois types de tâches largement majoritaires (écrire un nombre comportant une racine sous la forme ab, remplacer dans une expression littérale x par √b, calculer la longueur exacte d’un côté d’un triangle rectangle connaissant les valeurs exactes des longueurs des autres côtés). Les élèves doivent appliquer ce qui a été indiqué pour le traitement de ces tâches, sans adaptations, même si une autre méthode s’avérait plus simple ou différente. Les déroulements sont analogues, avec des corrections sans retours aux erreurs des élèves et sans justifications. Les analyses des productions d’élèves indiquent que si ceux-ci réussissent avant le brevet blanc à refaire les tâches analogues à celles travaillées en classe, d’une part ils échouent dès qu’il y a une adaptation, d’autre part les plus faibles réussissent moins bien ces tâches-là quelques mois plus tard. L’auteur s’interroge sur les choix de l’enseignant, à court, moyen et long terme, sur les répétitions, le manque de justifications et de moyens de contrôle. Ajoutons un nouveau problème, apparu récemment, avec les nouvelles calculatrices, qui font tout cela à la place des élèves.

e) La thèse de Aurélie Chesnais (2009)

23Dans son travail, Chesnais s’intéresse à l’enseignement de la symétrie orthogonale en sixième (cf. partie 2, chapitre 4, section 1). Elle commence par établir des spécificités de la notion à enseigner, en dégageant notamment des aspects dynamiques (liés à la transformation), et statiques (liés à l’existence d’un axe de symétrie), la médiatrice d’un segment permettant de faire le lien entre les deux. Elle dégage la continuité et les ruptures entre ce qui a pu être travaillé dans le primaire et ce qui doit être acquis en sixième – on peut s’appuyer sur certaines propriétés statiques globales de la symétrie (égalité de figures), mais un des objectifs affichés est de faire passer les élèves d’une géométrie perceptive, avec mesures, de l’école primaire, à une géométrie déductive, où on commence à justifier, sans s’arrêter à ce que l’on voit croit voir ou même à ce qu’on mesure. Elle caractérise aussi la différence entre les tâches de construction, encore nombreuses, et les tâches de preuve qui apparaissent. S’appuyant sur des travaux de didactique antérieurs, elle fait aussi un catalogue des erreurs répertoriées des élèves, notamment les théorèmes en acte faux, souvent hérités du primaire. Dans un deuxième temps, elle compare des enseignements dans deux classes de sixième, une ZEP, une non ZEP. Elle reconstitue le scénario suivi dans chaque classe et suggère des différences, liées à la cohérence globale plus ou moins évidente, notamment en relation avec les caractéristiques précédentes (aspects dynamique/statique plus ou moins dégagés successivement, types de géométrie plus ou moins travaillés, erreurs plus ou moins rencontrées et évitées). Cela s’accompagne de l’analyse des déroulements durant tout le chapitre à partir de vidéos tournées par les enseignants dans leur classe. A. Chesnais peut ainsi montrer comment la gestion des enseignants est contrastée, en relation avec leurs élèves certes, mais aussi avec les tâches qu’ils leur proposent. Par exemple, l’enseignant de ZEP, qui a par ailleurs une excellente vie de classe, ne fait pas toujours le lien entre les tâches travaillées et le savoir visé, d’autant plus que le scénario ne s’y prête pas bien. Il délègue beaucoup au travail à la maison, qu’il corrige, en classe, à chaque fois mais pas collectivement. L’autre enseignant donne beaucoup d’importance au travail en classe, individuel puis collectif, préparant un cours, mais ses élèves s’y adaptent sans difficultés. Les productions des élèves à la fin du chapitre indiquent des différences, par exemple en ce qui concerne les tâches de preuve nettement mieux réussies dans la classe où elles ont été davantage travaillées. Enfin, dans un troisième temps, l’auteur propose à l’enseignant de ZEP de travailler sur la symétrie orthogonale l’année suivante dans une nouvelle sixième, en mettant en œuvre à sa manière le scénario de l’autre enseignant, qu’elle lui présente dans ses grandes lignes. Après expérience, on constate qu’en ZEP l’enseignant réussit à adapter le scénario à son mode de déroulement, qui reste spécifique et adapté à sa classe, même si des choix différents se font, sur le travail en classe notamment, qui se rapproche de celui qu’installe l’autre enseignant, grâce aux choix des tâches. Et les productions des élèves, qui sont, eux, tout à fait comparables aux élèves de l’année antérieure, évoluent, notamment avec plus de réussite aux tâches de preuve (sans que ce soit encore très bon) et même d’excellentes performances aux tâches de construction – les comparaisons se font sur des tâches analogues, voire identiques, entre l’année en cours et les contrôles des deux premières classes, ZEP et non ZEP. Toutes les analyses (scénarios, tâches, déroulements) sont menées dans le cadre de la théorie de l’activité et de la double approche, dont nous reparlons plus loin.

3) Premiers constats sur la distance entre le travail de l’enseignant et ce qu’offrent certaines recherches en didactique : de l’idéal didactique aux déroulements en classe3

a) L’exemple des problèmes d’introduction

24Une lecture « opérationnelle » des recherches en didactique des mathématiques apporte apparemment plusieurs pistes pour « enseigner autrement », même si ce n’est pas leur but. En particulier, les ingénieries produites dans ces recherches permettent de diagnostiquer les effets de situations bien précisées à partir de leur expérimentation, souvent en classe, et sont candidates à être empruntées.

25Un des moments particulièrement travaillé en didactique des mathématiques est celui de l’introduction des nouvelles notions, considéré comme porteuse de l’enjeu du sens. Que ce soit par exemple dans la dialectique outil/objet (Douady, 1986) ou dans la théorie des situations (Brousseau, 1998), on retrouve l’idée d’une spécificité du travail à mener en classe pour essayer de donner du sens aux nouveaux objets à enseigner ou à certains d’entre eux en tout cas.

26Dans les deux cas, même si les justifications théoriques et les principes de conceptions diffèrent, on peut présenter rapidement un schéma commun à suivre en classe, en plusieurs étapes.

27Il s’agit en effet de concevoir un problème (une situation problématique) et d’élaborer un énoncé qu’on donnera à chercher en classe, avant le cours proprement dit sur la notion visée (objet) et les exercices plus classiques.

28De fait, le travail préliminaire d’élaboration du problème est très important, souvent difficile, d’autant que ces problèmes font souvent partie de séquences longues, nécessitant des prérequis exigeants, et qui ne prennent sens que grâce à la globalité du travail des élèves. Si ce travail de résolution met en jeu « quelque chose » de nouveau pour les élèves, il doit cependant leur être accessible. Dans le premier cadrage théorique cité (dialectique outil/objet de Douady), c’est grâce à un jeu sur plusieurs cadres d’intervention de la notion mathématique visée que les élèves peuvent aborder le problème ; il est donc nécessaire qu’ils aient déjà quelques connaissances sur la notion dans un des cadres mathématiques au moins, pour s’appuyer sur le travail dans ce cadre et résoudre dans un autre. Par exemple, la résolution d’un système de deux équations du premier degré à deux inconnues peut être visée dans le cadre algébrique, mais on peut penser que l’interprétation graphique (travail dans le cadre graphique) peut contribuer à donner du sens aux résultats algébriques.

29En théorie des situations, la résolution du problème ne peut échapper à l’utilisation des connaissances visées, on évoque une situation fondamentale. Il s’agit même, si possible, que les élèves puissent prendre conscience seuls que leur solution est erronée ou non (contrôle interne au problème) – cf. puzzle, ci-dessus. On qualifie de adidactiques ces moments de travail des élèves qui ne nécessitent pas l’intervention directe de l’enseignant pour que les choses avancent.

30L’enseignant doit ainsi laisser les élèves s’investir dans la recherche du problème, ce qui suppose un texte bien adapté et souvent un dispositif particulier (travail en petits groupes par exemple). Le professeur doit résister aux pressions des élèves, qui demandent des indications, en les relançant sans leur donner d’indications, sans modifier leurs activités. Il doit ensuite (faire) faire une synthèse du travail réalisé et s’appuyer sur cette synthèse pour exposer lui-même les connaissances décontextualisées à retenir, le savoir visé. Une part d’improvisation est nécessaire, puisqu’on ne peut pas prévoir exactement ce que les élèves vont produire.

31Un travail de réinvestissement des nouvelles connaissances est ensuite organisé, souvent seulement évoqué dans les projets de séquences didactiques qui existent.

b) Ce qui se passe en classe : de nombreux obstacles entre l’idéal et le possible

32Plusieurs recherches ont montré que peu de séquences didactiques émanant de ces recherches, pourtant tout à fait séduisantes et validées expérimentalement, sont effectivement utilisées en classe (Bolon, 1996 ; Roditi, 2001). Souvent les séquences disponibles ne s’inscrivent pas dans les programmes tels qu’ils sont, elles sont décalées ou demandent des connaissances sur lesquelles les enseignants ne sont pas entièrement à l’aise, ce qui est une première difficulté. De plus enseigner autrement demande toujours plus de temps, et, très généralement le premier obstacle, évoqué très unanimement par les enseignants, pour refuser par exemple les activités d’introduction, est le temps passé sur une seule séquence, compte tenu de la pression très forte des programmes.

33Mais il y a d’autres difficultés, liées à la nature même de ces séquences.

34En fait, adopter une séquence didactique pour sa classe demande souvent davantage de travail de préparation et de tension pendant les séances, beaucoup de temps passé, sans nécessairement de résultats immédiats.

35L’adoption de la plupart des problèmes d’introduction de type ingénierie demande toujours aux enseignants un double travail, très exigeant : une préparation précise, souvent avec une part de mise au point personnelle des ressources habituelles, compte tenu de la classe et de l’avancement réel du programme, avec une anticipation de ce qui est possible pour les élèves et, d’autre part, une vigilance et une tension permanentes pendant le déroulement des séances. Il s’agit en effet de respecter au maximum le travail des élèves tel qu’il a été prévu, tout en improvisant et en s’adaptant aux réalités et aux contraintes de la classe. Il y a même des classes où la gestion à adopter est problématique – parce que les élèves ont des difficultés à travailler en groupes, soit parce qu’ils ont trop de mal à démarrer tous, soit parce qu’ils sont en concurrence.

36Détaillons ce travail de gestion de l’enseignant et ce qu’il demande. Ne pas répondre directement aux questions (« à vous de travailler »), relancer les élèves sur leurs questions (« que veux-tu dire ? ») sans donner (trop) d’indications, se taire « activement », n’est pas facile. Ainsi cela peut apparaître comme non conforme à la mission de l’enseignant dans les conceptions de certains professeurs ; pour d’autres ce peut être une source d’angoisse, pas nécessairement totalement consciente, liée à une perte du pouvoir total sur la classe, ou au fait de ne pas répondre aux attentes immédiates des élèves.

  • 4 L’autre changement dans le sens « écouter puis travailler » est difficile aussi, mais plus facile à (...)

37Toutefois, s’il est nécessaire de se taire, il faut aussi juger du moment où il faut un peu lâcher des indications bien choisies pour certains groupes qui seraient sinon trop découragés et risqueraient de décrocher du travail, sans que cela diffuse trop. Mais il faut en même temps retenir ce que chaque groupe fait, sans en avoir l’air. Cela demande d’avoir des repères et de bien connaître le problème, pour identifier rapidement ce qui est en jeu. Ainsi il faut organiser à un moment donné, à la fin de cette première phase de recherche, un changement de contrat : les élèves vont arrêter de travailler entre eux, ils vont devoir écouter. Or écouter après avoir travaillé est très difficile : les élèves renoncent mal à penser et à discuter et, une fois qu’ils sont lancés dans une forme de travail, certains s’arrêtent difficilement4. Le problème se pose toujours pour l’enseignant de ce choix du moment précis où prendre l’initiative d’arrêter : ce sera toujours trop tard pour les uns (qui n’ont pas encore fini) et trop tôt pour les autres (qui en sont déjà plus loin dans le problème) – cf. annexe 1 du chapitre 3 de la partie 2.

38Ensuite l’animation et/ou la réalisation de la synthèse ou du bilan de ce qu’ont fait les élèves demandent de gros efforts, pour éviter l’ennui d’une éventuelle répétition par exemple tout en s’appuyant sur ce que tous ont fait.

39Enfin l’institutionnalisation (exposition des connaissances), en partie improvisée, n’est pas non plus chose aisée, d’autant plus qu’il risque d’y avoir des manques sur ce qui avait été prévu et que, à l’inverse, certains enseignants ont du mal à faire le deuil de quelque chose qu’ils avaient envie de dire et qui n’est pas adapté compte tenu de la séance.

40De plus, il n’est pas sûr que tous ces efforts des enseignants et des élèves, qui sont mis au travail peut-être malgré eux, aient des résultats immédiats en termes d’apprentissage (et de notes) qui se remarquent. Même si souvent les élèves sont très satisfaits, notamment du travail en petits groupes, comme c’est l’ensemble du processus, répété, qui intervient, cela prend du temps (temps de chaque séance de ce type, toujours très longue, temps d’apprentissage) et ne porte pas ses fruits immédiatement. En fait, les « bénéfices » ne sont pas toujours évaluables sur des tâches données en contrôles classiques. Et la conception d’autres moyens d’évaluation demande, une fois de plus, beaucoup de travail et risque d’être peu reconnue par les autres enseignants.

41Il n’est pas certain non plus qu’un enseignant puisse emprunter plusieurs séquences du même type, habituant les élèves à ce nouveau genre de travail et rendant alors la gestion plus habituelle, donc plus facile : il n’y a de ressources disponibles que sur un nombre limité de notions, et dans des documents souvent mal diffusés (Roditi, 2001). Les activités de début de chapitre des manuels ne sont que rarement de véritables problèmes d’introduction, comme cela a déjà été montré (Robert, 1998 ; Robert & Rogalski, 2002). On conçoit que les enseignants isolés ne peuvent pas se permettre constamment d’user toute leur énergie ainsi. Nous défendons l’idée que c’est par l’intermédiaire d’un travail collectif, en formation et dans les établissements, que peuvent s’adapter et se diffuser de tels enrichissements de ce que l’on propose aux élèves, inspirés par des ressources travaillées en didactique des mathématiques.

42Cependant même les formations ne garantissent pas automatiquement les résultats escomptés – deux thèses (pour les mathématiques et dans le premier degré) ont ainsi montré des résultats contrastés à partir d’évaluations précises d’un stage de formation continue pour l’une (Vergnes, 2001) et de la formation initiale donnée en IUFM aux futurs PE pour l’autre (Masselot, 2000).

4) Les précurseurs (ce paragraphe est tiré du texte de De Hosson et Pariès, dans le document pour la formation n° 10, édité par l’IREM de Paris Diderot)

a) Le constructivisme piagétien

43L’idée d’une construction autonome que doit réaliser le sujet à partir de ce qui lui est présenté (le milieu) est probablement la représentation dominante du constructivisme piagétien. Piaget exprime le processus du développement à partir de l’action du sujet, qui est fondamentale dans cette perspective, en termes de double régulation : « proactive » (ce qui correspond à une intention ou une anticipation) et « rétroactive » (ajustement pour mieux adapter l’effet observé et attendu).

44Pour Piaget, le sujet n’est pas considéré dans sa singularité mais comme représentant d’une catégorie, avec des caractéristiques partagées par tous les sujets – ici celle des enfants ou des élèves – ce qu’on appelle parfois un sujet « épistémique », qui n’intervient que par son rôle, ou sa fonction, ou ses caractéristiques structurelles. Ce sujet est engagé dans une action sur les objets du monde avec les intentions d’obtenir des résultats ou d’acquérir des connaissances sur ces objets. C’est par exemple un élève engagé dans une résolution de problème. Son activité est déterminée par ses connaissances et les propriétés des objets (ici mathématiques). Cette activité est régulée avant l’action par les connaissances du sujet sur les objets. La comparaison entre les effets attendus concernant les objets et l’impact de l’action sur les objets (la résolution ou son échec) peut conduire à une modification de l’activité pour adapter l’action dans une régulation rétroactive. Cette double régulation a lieu sur le temps court de l’action.

45Ce mécanisme conduit à la restructuration des connaissances. Piaget précise ce mécanisme en termes d’une dialectique entre assimilation (de la nouvelle situation)/ accommodation (de la structure de connaissances) grâce à un processus de déséquilibration (les structures antérieures anticipent un résultat qui est infirmé dans la réalisation de l’action) / rééquilibration (où les structures sont modifiées).

46Une autre boucle de régulation développementale a donc aussi lieu sur le temps long. C’est celle qui concerne l’impact de l’activité et de ses effets sur la structure des connaissances du sujet. Elle concerne aussi les objets et les buts visés puisque les connaissances créent de nouveaux questionnements sur les objets donc de nouveaux buts d’action avec de nouveaux outils.

47La théorie de Piaget ne dit rien sur les processus d’intervention par l’enseignant sur le développement. Elle offre un cadre théorique pour étudier les acquisitions mathématiques ou, plus largement, scientifiques des élèves concernant les relations savoir - élève mais pas pour analyser les interventions de l’enseignant, ni pour prendre en compte les cadres dans lesquels fonctionnent l’élève, qui font intervenir d’autres éléments que la structure conceptuelle de la situation. De ce point de vue, la théorie de Vygotski est une approche complémentaire de celle de Piaget, permettant de considérer le processus “apprentissage / développement” comme une unité du point de vue du sujet.

b) Le socio constructivisme de Vygotski

48D’une part Vygotski prend en compte l’articulation entre « concepts spontanés » (dans le cadre de la vie quotidienne) et « concepts scientifiques » (essentiellement dans le cadre scolaire) qui font l’objet d’une médiation didactique spécifique à l’école. Les concepts quotidiens peuvent être isolés, vivre « en acte » mais ne sont pas nécessairement conscients ou verbalisables, ils sont « gorgés » de contenu empirique. En revanche les concepts scientifiques non spontanés, qui se forment dans le processus de l’apprentissage scolaire, sont toujours liés par des relations mutuelles. Ils sont conscients, avec des mots pour le dire. Donnons un exemple. Le concept de « frère » est un concept quotidien alors que celui de fonction est un concept scientifique. Le premier est « gorgé de contenu empirique » comme le dit Vygotski, le second est lié à la notion de variable et vit à travers des représentations symboliques (langagières, algébriques ou graphiques). Ces deux types de concepts se développent, d’après l’auteur, en interaction, dans un processus de « double germination » (métaphore biologique). D’une part, la germination des concepts quotidiens se fait du bas vers le haut à partir de l’interaction avec les objets du monde de l’action, y compris familière. On va vers une réorganisation des concepts quotidiens. D’autre part, la germination des concepts scientifiques se fait du haut vers le bas avec des mots pour dire le général, en se concrétisant. Les concepts scientifiques doivent arriver à faire sens, en relation avec l’expérience familière (y compris avec d’autres concepts scientifiques bien acquis).

49Ce processus d’interaction suppose des propriétés quant à la dynamique du développement. La zone proximale de développement en est le lieu – illustrant l’inscription de l’auteur dans un constructivisme social, où l’appropriation collective peut favoriser l’appropriation individuelle.

50La zone proximale de développement est « située » entre le niveau présent de développement, attesté par ce que l’enfant est capable de résoudre seul, et ce que l’enfant peut résoudre avec l’aide d’autrui. Cette zone est significative pour la dynamique du développement. Tout se passe comme si lorsque on est « au-delà » de la ZPD, les aides ne produisent pas un apprentissage mais une copie ou une récitation, mécanique verbale sans suite, alors que si on est « en deçà », l’élève n’a rien à apprendre.

51En agissant dans cette zone, l’aide de l’enseignant, en particulier, va permettre aux concepts en développement de se transformer en concepts scientifiques. Cette médiation sociale de l’adulte (ou du « mieux sachant ») offre de nouveaux instruments pour penser. Par exemple l’enfant peut d’abord utiliser des mots imprécis, inspirés de ce qu’il entend en contexte, puis, grâce aux corrections de l’adulte, il en modifie l’emploi et du même coup acquiert l’idée juste derrière le mot. Dans la ZPD, le développement permet l’apprentissage et l’apprentissage agit sur le développement.

52Vygotski a aussi insisté sur l’importance du langage intérieur dans le processus extrêmement complexe de la mise en mot de la pensée, médiateur entre la pensée et les mots du langage extériorisé.

II. La didactique des mathématiques : un champ de recherches

1) Préalables communs admis dans les recherches françaises

53Pour résumer ce que l’on entend par didactique des mathématiques en France, on retiendra, comme définition assez générale et commune à tous les didacticiens, l’étude des relations entre enseignement et apprentissages d’un contenu donné à un niveau donné (par exemple par un enseignant dans une classe, ou par l’intermédiaire d’un manuel, compte tenu des programmes). Aujourd’hui certains élargissent encore le champ, en y ajoutant la production et la diffusion des connaissances mathématiques.

54Autrement dit, tous les chercheurs admettent qu’il ne suffit pas de « bien savoir » les mathématiques pour bien les enseigner, et qu’il y a des régularités dans les relations entre enseignement et apprentissages, qui mettent en jeu les savoirs mathématiques, les connaissances des enseignants, mais pas seulement !

55Ils estiment que les études sur ces relations sont possibles et intéressantes… beaucoup donnant à l’expérimentation une part importante dans ces études, que ce soit pour recueillir des données ou pour tester des dispositifs par exemple. Les recherches en didactique s’appuient le plus souvent sur un travail sur des données, même si l’ambition n’est pas quantitative, ni statistique.

  • 5 Échelles de temps : une séance, une semaine, une année, davantage ; échelles quantitatives : un élè (...)

56Tous ces chercheurs admettent, plus précisément, qu’il est nécessaire de découper (théoriquement) la réalité à étudier (les mathématiques, l’enseignement et les apprentissages) – c’est à dire qu’il est nécessaire de préciser les variables retenues, ce qui est considéré comme paramètres, les hypothèses admises, les échelles adoptées5 – et d’élaborer ou d’adapter, puis de présenter les cadres théoriques légitimant les analyses et leurs interprétations.

  • 6 De seconde main, plus ou moins développées selon les thèmes mathématiques et les auteurs.

57Quels que soient ces choix, les savoirs mathématiques sont au centre des recherches, et leur prise en compte s’accompagne d’investigations sur la nature des notions en jeu (études historiques, épistémologiques6). L’analyse des programmes et de leur évolution permet de compléter les études précédentes – cela peut amener à distinguer plusieurs types de notions, sujettes à des approches didactiques différentes, en relation avec la place dans les programmes et les liens avec ce qui précède. Cela amène à préciser ce que, par exemple, les uns appellent le champ mathématique attaché aux notions étudiées (les objets, les outils, les problèmes qui participent à la conceptualisation attendue) et ce que les autres attrapent à travers la notion d’organisations praxéologiques locale, régionale ou générale (types de tâches, techniques, technologies, théories).

58En revanche les professeurs, les élèves et leurs interactions sont des objets d’étude mais à des titres différents selon les choix – comme occupant des fonctions (place « épistémique »), jouant un rôle analogue pour tous (place « générique »), ou comme individus à part entière (laissant plus ou moins de place à la singularité). Ainsi, selon les choix, ce qui est travaillé peut différer, même si, d’abord, pour tous, c’est bien le savoir mathématique en jeu qui organise l’étude. De plus, les difficultés, erreurs, conceptions ou théorèmes en acte erronés, intéressent tous les didacticiens et sont mis en relation avec l’enseignement et les programmes, là encore de différentes manières, faisant plus ou moins de place à l’étude de ce qui se passe en classe, aux déroulements et aux inflexions apportées aux prévisions, voire aux improvisations.

59Dans notre cas, nous cherchons à mettre en évidence, à dégager, à exploiter, sur des contenus mathématiques à enseigner, des régularités (invariants) sur les pratiques des enseignants et sur les apprentissages des élèves, qui transcendent les personnes mais pas les contenus ; nous cherchons aussi des diversités entre élèves, entre enseignants et des variabilités (ce qui peut « bouger », être modifié, être enrichi). Ce programme est souvent réalisé à partir de deux entrées, une globale, relative aux scénarios adoptés (l’ensemble ordonné des cours, au sens strict d’exposition de connaissances, et exercices), et l’autre locale, à partir de ce qui se passe sur des tâches précises, en situation.

60On pourrait résumer les différences de points de vue théoriques entre chercheurs en évoquant des sensibilités différentes à ce qu’il y a à comprendre, pas toujours exclusives les unes des autres, souvent reliées à des choix théoriques différents. Certains se donnent des moyens pour étudier tout le système éducatif, en mettant en jeu différents niveaux, déterminés par leur cadre théorique, qui interagissent entre eux (comme la société, la culture, les programmes, l’école par exemple). D’autres confrontent diverses entrées, pour accéder à des intelligibilités à croiser permettant une lecture du scolaire (l’action conjointe des élèves et des enseignants en classe par exemple). D’autres encore ont pour ambition actuelle de comprendre l’agir des enseignants, voire de comprendre « pour agir » – c’est notre cas. Cela a évidemment des répercussions sur les méthodologies mises en œuvre mais aussi des conséquences en formation.

61Reste, comme nous l’avons suggéré dans ce qui précède, qu’il y a des problèmes d’enseignants (de mathématiques) non traités par les chercheurs, et que, réciproquement, la manière de traiter les problèmes des chercheurs n’est pas directement utilisable par les enseignants. Dans notre cas, les dimensions psychanalytiques ne sont pas prises en compte, même si tous reconnaissent leur influence – ce sont des paramètres de nos travaux (certains considèrent au contraire essentiels les phénomènes de transfert et contre-transfert entre l’enseignant et l’élève, et cela change la nature des recherches).

  • 7 Publiée grâce à l’association du même nom, qui organise aussi des séminaires nationaux et une école (...)

62Dans la partie suivante, nous présentons très schématiquement quelques approches actuelles françaises avant de revenir à notre propos tout en développant des exemples de recherches en didactique particulièrement difficiles à adopter directement par les enseignants. Des compléments seraient utiles pour mieux entrer dans ce champ de recherches. Signalons l’importance de la revue internationale Recherches en didactique des mathématiques7, dont 2012 est la 32e année de parution, qui publie des articles importants de recherches français et étrangers, complétée par une nouvelle revue Éducation et didactique, non réservée à la seule didactique des mathématiques, publiée depuis quelques années seulement.

2) Différents cadres théoriques en didactique des mathématiques

a) La théorie des situations didactiques ou TSD

63Elle a été élaborée à partir des années 1970 par Guy Brousseau qui a travaillé essentiellement à l’école primaire. Son travail a évolué et il est impossible de le présenter dans sa globalité aussi brièvement que nous allons le faire. Nous avons choisi de donner quelques idées fortes à travers quelques mots clefs.

64Au cœur de la théorie des situations, la notion de situation fondamentale modélise un procédé didactique « forçant » les élèves à utiliser les mathématiques à acquérir. Le problème correspondant est élaboré à partir du sens « profond » de la notion. Les élèves n’ont pas d’autre recours pour le résoudre que celui d’utiliser la connaissance visée (s’ils jouent le jeu) ; de plus c’est au sein du problème qu’ils trouvent des éléments leur permettant de valider seuls leur démarche – dans une phase adidactique (cf puzzle, Brousseau déjà cité). Dans des recherches ultérieures, il a ensuite introduit le milieu pour caractériser les ressources présentes pendant le travail des élèves, ce qui est à la disposition des élèves pour aborder le problème, connaissances antérieures, indications de l’énoncé, instruments.

  • 8 Dévolution : le maître confie la résolution du problème aux élèves.
    Action : les élèves prennent con (...)

65Du point de vue des déroulements, Brousseau a dégagé l’intérêt d’une succession de phases8 : action, formulation, validation encadrées par une phase de dévolution de la tâche aux élèves, qui désigne ce qui est organisé pour que les élèves s’emparent de l’énoncé, le fassent leur, et une phase d’institutionnalisation, où l’enseignant dégage le savoir à retenir, en s’appuyant sur ce que les élèves ont pu produire.

  • 9 Cf. l’histoire du calcul de l’âge du capitaine à partir du nombre de moutons sur le bateau.

66Pour analyser ce qui se passe en classe, il a introduit aussi la notion de contrat didactique qui modélise les attentes (implicites peut-être) du professeur vis-à-vis de ses élèves et réciproquement, et qui peut expliquer certaines réponses d’élèves pas toujours associées aux activités attendues9. Ce qui se passe en classe peut aussi provoquer des effets Topaze (quand l’enseignant indique indirectement mais très clairement ce qu’il faut répondre) ou Jourdain (quand l’enseignant attribue à une acquisition ce qui n’en est peut-être pas vraiment ou pas encore une).

67D’autres chercheurs notamment Margolinas (2002), se sont inspirés de la TSD pour étudier les pratiques des enseignants. Elle modélise le travail de l’enseignant comme une mise en jeu de connaissances de différents niveaux, y compris sur les élèves et sur les mathématiques. Étudier ce travail, c’est donc mettre en évidence ces différents niveaux et leurs liens pour ensuite réfléchir sur les moyens de faire acquérir les connaissances.

b) La dialectique outil/objet

68Initialisées par Régine Douady, à partir de 1970, les recherches de ce cadre théorique ont porté sur l’introduction des notions, surtout dans l’enseignement primaire. Une des hypothèses principales, sur laquelle elle s’appuie, est la suivante : la résolution, par les élèves, d’un problème initial bien choisi, qui leur fait mettre en fonctionnement certains caractères outils - implicites puis explicites - d’une notion à enseigner, contribue à la construction du sens de la notion correspondante. La reprise et l’institutionnalisation des objets à retenir, puis des réinvestissements, avec des boucles plus ou longues et complètes de dialectique outil/objet font partie de cette construction de la notion. Le problème doit amener les élèves à utiliser des outils implicites sur une situation nouvelle. La prise de sens attendue a lieu grâce à des changements de cadres (dans lesquels les connaissances des élèves sont inégales), permettant, par le biais de la mise en fonctionnement dans le problème, de transférer à un nouveau cadre le sens déjà en partie construit et associé aux outils explicites dans un cadre.

c) La théorie anthropologique du didactique ou TAD

69Cette approche, tout aussi impossible à résumer, a été introduite par Yves Chevallard (publications clefs en 1992, 1999). Elle spécifie au champ de la didactique des éléments empruntés à une étude anthropologique « universelle » des œuvres de l’homme dans le monde. Elle se caractérise en termes de praxéologies mathématiques (organisation qui permet de décrire l’ensemble qui va des tâches à résoudre aux théories dans lesquelles elles s’inscrivent, en passant par les démarches disponibles correspondantes) : le modèle met à la disposition des chercheurs des moyens systématiques pour établir une description exhaustive de l’offre mathématique d’une institution concernant une ou plusieurs notions. Les unités d’analyses sont les types de tâches associées à une ou des manières de les résoudre (techniques), à des possibilités de les justifier (technologies) elles-mêmes incluses dans une théorie.

70Ce filtre permet aussi d’étudier les programmes et leurs évolutions, en pointant la présence ou l’absence des différents éléments des praxéologies (techniques mais surtout technologies) – cela peut contribuer à développer une écologie des savoirs, à partir d’une sorte de carte de la distribution et de l’évolution de ces différents savoirs dans un programme donné, ou un manuel par exemple. Ceci est particulièrement adapté à repérer des manques par rapport à la référence théorique complète. Dépassant le niveau de la théorie mathématique, ce modèle met en jeu différents niveaux de co-détermination encore plus globaux qui expliquent certains choix, notamment le niveau de la société (et de la culture). Par exemple, tracer la perpendiculaire à une droite donnée passant par un point donné est un type de tâche. Les techniques pour la résoudre sont l’utilisation de l’équerre et de la règle graduée (géométrie instrumentée, dite G1) ou la construction d’une médiatrice au compas (géométrie déductive, dite G2). Les technologies associées utilisent les propriétés de la médiatrice et l’unicité de la droite cherchée. La théorie est la géométrie plane euclidienne. Les ostensifs qui accompagnent l’étude sont ici, outre la figure, les codages – angle droit et égalité de segments.

71Du côté des déroulements, un découpage systématique est proposé, de la première rencontre à l’exposition des connaissances en passant par le travail de la technique (exploration et émergence) et de la technologie (construction, puis organisation), suivi par l’évaluation. Ceci est présenté indépendamment des classes, des enseignants et des notions.

  • 10 Nous donnons ce vocabulaire pour permettre la lecture de certains articles.

72La topogenèse10 désigne la répartition du travail entre élèves et enseignants, la chronogenèse complète la précédente par l’étude de la répartition du temps entre les différentes activités en classe ; la mésogenèse caractérise l’évolution du milieu, donc des connaissances explicitées, et se relie à l’avancée du temps didactique (temps officiel du savoir dans la classe).

73Du côté des enseignants, c’est l’exhaustivité des tâches à proposer assorties des techniques et technologies qui les accompagnent qui organisent un certain nombre d’analyses de manière générique.

74Une extension récente de la théorie évoque l’importance des médias (comme internet) et la nécessité d’en tenir compte. Ainsi est née l’expression « dialectique milieux/médias » associée à la volonté de transformer des informations neutres trouvables dans les médias en milieux didactiques, pour la classe. Cela inspire notamment les projets d’Activités d’Étude et de Recherche (AER) et les Programmes d’Étude et de Recherche (PER), thèmes de recherche actuels en TAD, dont l’ambition affichée est une nouvelle organisation des études. À partir d’activités supposées riches de sens, éventuellement portées par des médias, ou tirées de la réalité, l’enseignant repère les besoins mathématiques que les élèves expriment au fur et à mesure de leur résolution et les transforme en apports théoriques (locaux). Il organise ainsi un parcours d’étude et de recherche.

75Dans ces deux modèles, il n’y a pas de place pour les sujets singuliers, ni pour les différences, que ce soit entre contenus, entre élèves, entre enseignants, ou entre classes... En TAD, on assimile la position des individus dans un système donné à un rapport institutionnel (à acquérir) et un rapport personnel (peut-être différent).

d) La didactique comparée

76Ce prolongement de la TAD a pour ambition de permettre de développer dans ce cadre des recherches de différents champs disciplinaires. Il s’agit de dégager des outils caractéristiques de ce qui est « de l’ordre du didactique », à la fois pour les contenus, étudiés en termes de praxéologies et pour les déroulements en classe. Ceux-ci sont analysés comme résultant de l’action conjointe de l’enseignant et des élèves, et les travaux mettent en jeu le quadruplet de la structure de l’action de l’enseignant (définir, dévoluer, réguler, institutionnaliser) (cf. Sensevy et al., 2007).

e) Théorie de l’activité, champs conceptuels de Gérard Vergnaud et double approche pour analyser les pratiques

i) Théorie de l’activité

77Cette théorie a été développée par des chercheurs qui se sont intéressés à la psychologie du travail et à la psychologie du développement, suite à Vygotski et al. Elle vise à analyser des processus en jeu chez un sujet agissant et les processus par lesquels son activité évolue et par lesquels il se développe.

  • 11 Au sens banal, des savoir-faire.
  • 12 Ce qui explique que nous y consacrons quelques pages.

78On s’intéresse donc à un sujet individualisé avec des intentions, des compétences11, inséré socialement, en situation de travail – nous avons étendu cette acception de l’activité à la sphère scolaire. Dans le cas des élèves, le développement se traduit par la conceptualisation. C’est ainsi dans cette théorie, spécifiée aux mathématiques et à l’école, que nos recherches s’inscrivent12.

79La distinction entre tâche et activité est donc centrale dans cette théorie. La tâche est ce qui est à faire, elle est décrite en fonction du but à atteindre. Pour les élèves par exemple, une tâche mathématique associée à une question d’un exercice est caractérisée par les mises en fonctionnement des connaissances nécessaires à sa résolution.

  • 13 C’est le mot utilisé dans la théorie.

80L’activité est ce que développe le sujet lors de la réalisation de la tâche en situation (ce qu’il fait ou ne fait pas, dit ou ne dit pas, pense, la manière dont il gère son temps, son stress…). Elle est inaccessible mais on peut en observer des traces. Elle est orientée par un motif13, comporte des actions et des opérations, conduisant à l’exécution de la tâche et à une vérification. C’est la situation qui donne les moyens d’apprécier la tâche (par exemple en situation scolaire, les programmes contribuent à appréhender les connaissances qui peuvent être utilisées ou non).

81Le sujet répond ainsi à des tâches qui lui sont proposées, ce sont les tâches prescrites. Mais l’activité du sujet ne répond pas directement à ces tâches prescrites. Le sujet redéfinit la tâche prescrite, s’en fait une représentation : c’est la tâche effective à laquelle va répondre le sujet.

82L’activité est du côté du sujet. Elle est orientée par la tâche à réaliser mais peut intégrer d’autres déterminants, par exemple, lutter contre l’ennui de la répétition.

83L’articulation entre la théorie de l’activité et « les deux constructivismes » présentés ci-dessus offre un outil conceptuel pour une approche unifiée du point de vue de l’activité des sujets concernés : enseignant et élèves. En particulier, la théorie piagétienne permet de transcrire « du côté de l’élève » les analyses épistémologiques des objets mathématiques en jeu, cependant que la théorie vygotskienne permet de rendre compte de l’intervention didactique de l’enseignant, dans sa médiation entre le savoir et l’élève.

84Deux temporalités sont en jeu dans ces théories – celle de l’action, en situation, et celle du développement, à plus long terme. Dans une perspective didactique pour l’élève, on peut rendre compte du rapport entre ces deux temporalités en faisant l’hypothèse que la mise en fonctionnement de concepts – « amorcés » via une « situation fondamentale » (lorsqu’elle existe) ou par un apport explicite de l’enseignant – contribue de manière essentielle à la structuration visée. D’où l’importance méthodologique, d’une part, de l’analyse des tâches mathématiques proposées par l’enseignant du point de vue des activités possibles des élèves lors de la réalisation de ces tâches, et d’autre part, de l’analyse des interventions didactiques sur l’activité des élèves en classe.

85Dans une perspective de formation de l’enseignant, on fait l’hypothèse que l’alternance entre pratique sur le terrain et réflexion sur cette pratique contribue à transformer l’action, nous y revenons plus loin.

ii) Les apprentissages mathématiques des élèves : conceptualisation en mathématiques, champs conceptuels, tâches et activités des élèves – la référence à Vergnaud

86Notre cadre théorique correspond à une spécification des théories précédentes aux mathématiques et à la situation scolaire. Il s’agit de prendre en compte le contenu des connaissances, l’enseignement dispensé dans le cadre scolaire et d’analyser les effets en termes d’apprentissages. Pour cela, il s’agit de reconstituer les activités mathématiques des élèves, considérées comme un intermédiaire de qualité, légitime pour comprendre les apprentissages. Les activités mathématiques des élèves sont assimilées aux mises en fonctionnement des connaissances mathématiques, auxquelles on accède en croisant les tâches proposées (les énoncés) et les déroulements organisés. De ce fait, cela amène à étudier les pratiques et les activités des enseignants, car ce sont elles qui sont à l’origine et donnent accès aux activités des élèves, en tout cas en classe.

  • 14 C’est une des questions de fond que pose le socle, qui peut être lu comme une réduction des acquisi (...)
  • 15 Jusqu’aux derniers programmes non compris.

87Dans ce cadre, c’est la conceptualisation qui sert de référence aux apprentissages, qui sert à en définir les objectifs. Cette conceptualisation est définie à partir des notions visées et résulte de ce que les élèves font en classe, de leurs activités, notamment celles qui sont provoquées par l’enseignant, à partir de tâches mathématiques : nous utilisons une définition opérationnelle de la conceptualisation, en la rapportant à un ensemble de tâches qui circonscrivent les savoirs visés, sur lesquelles on attend des élèves la disponibilité des notions correspondantes, tant objets qu’outils, avec la (ré) organisation incontournable du nouveau dans l’ancien que cela suppose. Avoir acquis « le sens des notions » se traduit pour nous par la possibilité de mettre en fonctionnement à bon escient les outils en référence aux objets : sans cette double référence, objet et outil, nous estimons que les élèves n’ont pas suffisamment de moyens de choix et de contrôle de leurs résolutions. De plus, le développement ultérieur des connaissances s’appuie aussi sur les deux aspects14. En mathématiques en effet, une notion ne se développe pas de manière isolée et son apprentissage met en jeu d’autres connaissances que celles qui lui sont strictement associées. À une notion donnée, peuvent aussi être associés plusieurs niveaux de conceptualisation, souvent imbriqués mais pas toujours : par exemple la conceptualisation associée à la géométrie affine euclidienne, anciennement enseignée subrepticement au lycée15, et celle associée à la géométrie « à la Euclide » du collège ne sont pas imbriquées, même si elles ne sont pas indépendantes. En revanche, les niveaux de conceptualisation visés en fin de collège, seconde, terminale pour les fonctions sont imbriqués, dans la mesure où on enrichit les objets et les outils dont on attend la disponibilité. On pourrait aussi donner l’exemple de l’algèbre élémentaire, et du travail, d’abord non fondé, dans IR(x) puis justifié théoriquement avec l’algèbre ultérieure.

88Pour les élèves, on peut utiliser l’idée de degré de conceptualisation pour traduire un état des connaissances à un moment donné en référence à un niveau de conceptualisation. Vergnaud avance ainsi que c’est à travers des situations et des problèmes à résoudre qu’un concept acquiert du sens pour l’enfant, que celui-ci construit les invariants caractéristiques de l’acquisition du concept. Il considère l’action du sujet en situation et l’organisation de sa conduite.

89La notion de champ conceptuel pose l’existence de systèmes de concepts organisés et contribue à la définition de ce qu’on vise à un moment de la scolarité. Par exemple, quand Vergnaud parle du champ conceptuel des structures additives dans le calcul élémentaire, il entend un ensemble de concepts numériques : nombre, relation d’ordre, addition, soustraction, avec leurs propriétés, et des classes de problèmes impliquant ces opérations. Revenons sur la notion d’invariant, associée aux acquisitions conceptuelles visées : chez Vergnaud, c’est la notion de schème qui est associée à cette idée d’invariant, et qui permet en particulier de rendre compte de la dimension adaptative de la connaissance impliquée par l’invariance. Un schème est une organisation invariante de l’action pour une classe de situations données. Pour prendre un exemple banal, un individu qui a acquis le schème droite-gauche, peut reconnaître ces directions dans n’importe quelle position, assis, couché, la tête en bas, etc. C’est-à-dire que l’organisation de l’action est invariante, mais l’action peut s’adapter à différentes situations de même type. Vergnaud prend l’exemple du dénombrement d’une petite collection par un enfant de cinq ans. Que cette collection soit des bonbons, des assiettes ou des personnes assises, l’organisation en est invariante : coordination des mouvements des yeux, gestes des doigts, énoncé de la suite numérique et cardinalisation de l’ensemble dénombré par répétition du dernier mot-nombre ou soulignement tonique.

90La question est ainsi d’étudier les activités que les élèves développent, par-delà les tâches proposées, en appréciant dans quelle mesure elles leur permettent d’accéder aux concepts visés. On étudie leurs activités possibles, celles qu’il est possible qu’un certain nombre d’entre eux aient faites, que ce soit « a maxima » pour ceux qui s’y engagent d’emblée ou « a minima » pour les plus « lents » à entrer dans le jeu…

  • 16 Exposition des connaissances.

91Cela nécessite d’apprécier plusieurs aspects de ces activités, globaux (souvent a priori) et locaux. L’ensemble des exercices et des cours16 proposés aux élèves sur une notion (scénario) est converti en activités (possibles) – ce qui est alors appréciée est l’organisation interne du scénario, compte tenu des spécificités de la notion nouvelle et des difficultés répertoriées des élèves. Les travaux des didacticiens permettent d’étudier les introductions, en relation avec la nature de la nouvelle notion et sa distance aux notions déjà rencontrées. De même analyse-t-on les dynamiques entre cours et exercices, pour apprécier dans quelle mesure le savoir visé, objet, outil, symboles… est relié aux tâches prévues, voire apparaît dans les tâches prévues. La variété des tâches ainsi que la quantité des tâches analogues interviennent pour apprécier le spectre des adaptations proposées aux élèves et repérer celles qui sont plus développées, en relation avec les difficultés présumées. Y a-t-il des énoncés qui peuvent amener les élèves à utiliser des connaissances non indiquées dans le contexte du travail, ou à introduire des intermédiaires et des étapes, ou encore à mélanger différents domaines ? Les élèves pourront-ils travailler dans différents cadres, graphique, algébrique, ponctuel ou dans différents registres ? Il n’y a pas d’hypothèses précises permettant d’affirmer d’emblée que tel ou tel scénario sera efficace – en revanche on admet par exemple que si certaines adaptations ne sont pas ou peu proposées aux élèves, la majorité d’entre eux ne saura pas y faire face (cf. Dumail, 2008 ; Horoks, 2008).

92Cela étant, activités et tâches ne sont pas réductibles les unes aux autres et prendre en compte les activités nécessite de s’en rapprocher davantage que par l’analyse des tâches prévues ou même effectivement proposées. Ce sont les études de déroulement en classe qui permettent de compléter ce qui précède en nous donnant accès non seulement à ce qui est proposé mais aussi à des éléments sur les activités provoquées par l’enseignant, sur ce qui peut avoir une influence sur le travail effectif des élèves, influencer les mises en fonctionnement de leurs connaissances. Même si cela reste, encore une fois, partiel, puisque les activités sont inaccessibles ! Ces études, locales, mettent en jeu, pour appréhender les activités à partir de ce qui se passe en classe, la nature et la forme du travail organisé en classe (travail individuel ou non, travail de recherche autonome ou non…, échanges, durées de ces phases), les interventions de l’enseignant et notamment le repérage de ce que font les élèves et l’utilisation qui en est faite, aides, indications, relances, questions, commentaires de type méta (sur les mathématiques ou le travail mathématique)… On reconnaît, contextualisées, des dimensions inspirées des théories de Piaget et de Vygotski. Mais… les choix des enseignants en classe ne dépendent pas seulement des apprentissages des élèves, il est nécessaire de faire intervenir le poids du métier, et ses contraintes, pour mieux apprécier ce qui se joue en classe et les alternatives éventuelles : c’est l’objet du paragraphe suivant.

iii) La double approche didactique et ergonomique des pratiques des enseignants17

  • 17 Introduite par Robert et Rogalski (2002, 2005, 2008), à partir de Robert (2001) et Rogalski (2003).

93Nous analysons les pratiques des enseignants comme un ensemble d’activités, en situations (en classe ou non), en tenant compte de la spécificité des tâches prescrites : elles sont inscrites dans l’exercice d’un métier. À cet effet nous mettons en œuvre un cadrage théorique, inscrit dans la théorie de l’activité, croisant didactique et ergonomie qui permet de tenir compte de cette complexité des pratiques.

94La cohérence des pratiques au travail est depuis longtemps décrite par les ergonomes (de Montmollin, 1984). Elle est jugée constitutive de la professionnalité et implique des mises en relation des dimensions utilisées dans les analyses. L’inscription dans la complexité consiste ainsi pour nous à ne pas isoler l’analyse des choix quotidiens d’un enseignant en classe, même si on peut les décrire en référence aux apprentissages visés, du reste des facteurs qui peuvent y contribuer ; il s’agit de se donner les moyens d’inclure cette analyse dans des choix plus vastes de l’enseignant, rapportés à son métier et de les interpréter à la lumière de déterminants globaux des pratiques (Robert & Rogalski J., 2002).

95L’accès aux pratiques que nous utilisons contribue à la fois à démêler différentes dimensions imbriquées dans l’exercice du métier et à mettre en lumière leurs combinaisons, pour comprendre ce qui nous intéresse. Cela permet d’interpréter les régularités constatées, en les rapportant aux contraintes, communes à tous les enseignants ou à un groupe d’enseignants, liées aux programmes scolaires et aux habitudes partagées dans un établissement par exemple ; cela conduit à inscrire les variabilités dans les marges de manœuvre individuelles qui restent.

96Pour arriver à l’intelligibilité recherchée, nous imbriquons ainsi des analyses en termes de composantes et de niveaux, à recomposer ensemble.

  • 18 Ainsi baptisée car elle traite des médiations…

97Ainsi, nous étudions les activités que l’enseignant développe en classe à partir d’observables que nous pouvons recueillir en classe. Nous distinguons deux composantes décrivant les activités proposées aux élèves, qui servent à les décoder, reliées aux apprentissages, en termes de contenus mathématiques et de gestion de classe. La composante cognitive permet de décrire les choix de contenus, souvent en partie faits a priori, pendant la préparation, la composante « médiative »18 est associée aux choix de gestion, y compris improvisés, tels qu’on peut les observer pendant les déroulements, en relation avec la manière dont l’enseignant gère le travail des élèves sur les tâches prévues. Mais ces descriptions ne suffisent pas à renseigner sur les pratiques : nous ajoutons la composante institutionnelle, qui prend en compte la manière dont les choix, globaux et locaux, de l’enseignant s’inscrivent dans les différentes contraintes, programmes, horaires, etc. ; la composante sociale, associée aux choix qui relèvent de déterminants sociaux (origine des élèves, type d’établissements, collègues…), et la composante personnelle qui traduit les adaptations individuelles de l’enseignant, en relation avec son expérience, ses connaissances, ses représentations…

98D’un autre point de vue, nous distinguons, pour prendre en compte la complexité des pratiques individuelles, trois niveaux d’organisation de ces pratiques (Masselot & Robert, 2007) : un niveau global, celui des projets et des conceptions, qui traduit les manières individuelles de s’inscrire dans les contraintes externes globales ; un niveau local, celui du quotidien de la classe, de l’incertitude et de l’imprévu, où se jouent les improvisations et la mise en acte des préparations ; et un niveau micro, celui des routines et des automatismes. La cohérence citée plus haut relie ces différents niveaux d’organisation qui interagissent les uns sur les autres.

99Enfin, nos hypothèses admises sur les formations des enseignants mettent en jeu des hypothèses générales sur le développement des activités, inscrites dans le cadre de la théorie de l’activité. En effet, nous admettons que, pour former des pratiques enseignantes, il est nécessaire d’organiser des séquences de formation professionnelle spécifiques plaçant les formés, collectivement, dans une posture d’enseignant (très proche de celle-ci). Il s’agit de partir des pratiques pour les former, et pas seulement de travailler des connaissances, également spécifiques, sur les mathématiques à enseigner par exemple. L’alternance avec le terrain est un moyen, souvent très motivant, de réaliser partiellement cette condition mais cette seule modalité ne suffit pas car cela ne permet pas suffisamment de dépasser le cadre individuel, de la classe concernée et du formateur impliqué notamment. La dimension « constructive » de la formation n’est pas développée au maximum. De manière complémentaire, la proximité « collective » avec les pratiques, par exemple à partir d’analyses de classe réelle en séance collective, ajoute des éléments liés à cette dimension constructive, grâce aux échanges, aux discussions, aux généralisations apportées par le formateur à partir de ce qui s’est dit dans la séance. On reconnaît un travail dans ce qu’on pourrait appeler la Zone Proximale de Développement des pratiques des participants, dont on s’inspire directement ici.

100Les premiers résultats pour le secondaire ont ainsi révélé des régularités dans les pratiques individuelles – en terme de champ mathématique abordé, qui est souvent bien circonscrit par les programmes (Roditi, 2005 ; Horoks, 2008), ce qui indique l’importance de ce type de contraintes : on a vu que les marges de manœuvre investies par les enseignants concernaient des choix plus fins de contenus et de gestion (Horoks, 2008 ; Chesnais, 2009) ; on a aussi commencé à illustrer la stabilité des pratiques des enseignants expérimentés (en « régime de croisière »), qui semble concerner d’abord la gestion de la classe, en termes d’automatismes, de routines, de choix et de décisions avant la classe et surtout en classe (Robert, 2007). Il serait ainsi plus facile, pour un enseignant donné, de changer les contenus à enseigner que les modes de gestion. Cela permet d’interpréter aussi certaines difficultés de diffusion des travaux issus de recherches en didactique, qui demandent des gestions particulières, pas nécessairement habituelles aux enseignants qui s’y réfèrent (d’où leurs réticences), ou encore des difficultés d’installation de pratiques régulières intégrant les TICE, devant être associées à des déroulements (usages) inhabituels (Abbout-Blanchard et al, 2008 ; Haspekian, 2005 ; Lagrange et al, 2003). Cela peut majorer l’importance des formations initiales.

101Enfin les difficultés des débutants peuvent se lire comme traduisant une surcharge du niveau local, non relayée par des connaissances ou représentations globales ni par des routines automatiques, au niveau micro.

102Des recherches s’appuyant sur le même cadre théorique général dans le primaire se sont développées depuis longtemps (Butlen, Charles-Pezard, Masselot, 2008) – elles figurent dans le chapitre sur l’enseignement aux élèves défavorisés (partie 3, chapitre 2), dans la mesure où beaucoup de ces travaux y sont consacrés.

f) Autres travaux français

103Il existe d’autres travaux didactiques en France, qui s’inscrivent plus ou moins directement dans tel ou tel cadre théorique, mais dont le label d’entrée est différent. On ne peut pas les citer tous, nous avons choisi de citer ceux qui peuvent nourrir la réflexion d’enseignants du secondaire qui ne seraient pas rebutés par une écriture pas toujours adaptée à ce public.

104Citons, entre autres, ceux du GECO, à Nice (Faire l’expérience des mathématiques, Maurel & Sackur). Ces chercheurs ont travaillé notamment sur divers types de connaissances, locales (contextualisées), ou moins limitées, en montrant, par exemple, que les élèves ont besoin de concevoir que les connaissances mathématiques ont un caractère nécessaire lié à la vérité épistémique, et en décrivant des dispositifs qu’ils ont mis en place pour intervenir dans les classes et contribuer à la construction de connaissances dépassant les connaissances locales – l’entretien « faire-faux » par exemple, où on demande aux élèves de produire un résultat sûrement faux.

  • 19 Ses recherches ultérieures se sont situées à l’interface informatique/didactique, avec l’élaboratio (...)

105Un certain nombre de recherches se sont organisées autour de questions de preuves et démonstrations en mathématiques, avec une extension aux questions de logique et de symbolisme. Balacheff (1988) a ainsi classé les preuves que peuvent « vivre » les élèves, entre argumentation, cherchant à convaincre, et démonstration rigoureuse mais n’expliquant pas19. Arsac, pour sa part, a travaillé sur l’histoire des démonstrations, mettant en évidence, dans des textes à destination des enseignants, la relativité de l’écriture même des démonstrations et leur « non-complétude ». Par exemple dans un article extrêmement clair de Petit x (1998), sur les limites du raisonnement en géométrie déductive, il illustre sur un exercice de géométrie de quatrième ce que l’enseignant fait admettre sans même le dire (est-ce naturalisé pour lui ?), fait admettre en le signalant et démontre (fait démontrer), sans admettre que les élèves sautent cette démonstration !

106Durrand-Guerrier (2005), quant à elle, étudie les fondements logiques des démonstrations et travaille sur les éléments théoriques nécessaires à un emploi cohérent de la logique. Signalons aussi ici les travaux spécifiques à l’enseignement supérieur et à la transition entre lycée et université dans lesquels est aussi interrogée, prolongeant ce qui précède, la question du symbolisme, initialisée avec les recherches de Dorier, Robert, Robinet, Rogalski M., notamment sur l’enseignement de l’algèbre linéaire (Dorier, 1998).

107On peut faire une mention spéciale aux travaux autour de Blanchard-Laville (2000, 2001, 2003), entre didactique des mathématiques et psychanalyse, un chercheur qui a toujours développé une forme particulière de travail inter-disciplinaire avec des didacticiens et s’est particulièrement intéressée aux enseignants.

g) Recherches internationales (un aperçu plus que sommaire)

  • 20 Il s’agit de ce qui peut être inscrit dans le corps de l’élève et participer à l’apprentissage (en (...)

108À l’international, de nombreuses recherches se sont développées, souvent plus explicitement qu’en France référées à des dimensions psychologiques ou affectives, plus récemment liées à l’embodiement20 par exemple, mais on ne peut pas les citer toutes, car elles sont trop variées. On ne peut vraiment pas être exhaustif – et on ne peut donc pas citer tous les auteurs qui mériteraient pourtant une mention ici ! Peut-être serait-il utile cependant de signaler que la définition même du mot « didactique » peut être différente d’une communauté de chercheurs à l’autre, plus ou moins référée à des cadres théoriques précis, notamment en ce qui concerne les recherches sur le terrain, souvent pragmatiques. Cela étant, beaucoup de théories générales ont été élaborées, plus ou moins directement inspirées du constructivisme piagétien et plus récemment des théories de Vygotski (socio-constructivisme).

109On peut faire référence, parmi d’autres, aux travaux canadiens (assez proches des nôtres pour une part, avec Sierpinska (1995), ou Bednarz (2001), par exemple), à l’école italienne, très marquée par l’utilisation des théories de la médiation et le lien étroit avec le terrain (Boero, 1998 ; Bartolini-Bussi, 1996), aux recherches allemandes, très marquées par la dimension épistémologique, et aux très nombreux didacticiens étrangers, anglo-saxons et israéliens notamment, intervenant au colloque annuel Psychological Mathematical Education dont les Actes (Proceedings) peuvent illustrer la richesse et la variété tout comme les articles publiés dans la revue internationale de didactique Educational Studies of Mathematics, fondée par Freudhental, un des premiers « didacticiens » (Pays-Bas). D’autres revues marquent ce paysage, notamment JRME et JMTE ainsi que ZDM.

110Quelques différences à signaler en rapport avec ce qui est présenté ici : les « analyses de tâche » des élèves sont souvent organisées autour du type de travail mathématique attendu et non des connaissances à mettre en œuvre et à adapter : calculer, appliquer, chercher… Autrement dit les contenus mathématiques n’ont pas tout à fait la même place dans les analyses, tout en restant centraux.

111La référence aux théories de la médiation, aux aspects sémiotiques des mathématiques (dont les apports des instruments, des figures, du langage) est aussi souvent plus grande que dans les travaux français ainsi que la référence aux aspects socio-culturels des mathématiques (cf. Radford, 2010 par exemple).

112Il y a bien entendu tout un pan de recherches sur l’intégration des TICE dont nous ne reparlons pas ici (cf. chapitre 1 de la partie 3) – idem pour les recherches sur les apprentissages d’élèves défavorisés (chapitre 2).

113En ce qui concerne les formations, les travaux de Schulman (1986) et Ball (2009) sur les types de savoir nécessaires aux enseignants sont très répandus ainsi que les travaux qui font écho à la thèse de Wenger (2005) sur les communautés de pratiques (Jaworski, 2006 par exemple).

  • 21 National Council of Teachers of Mathematics (USA).
  • 22 Comme les nôtres.

114Finalement, en guise de bilan devant cette diversité des recherches, on pourrait schématiser de grandes dimensions qui permettent de distinguer les différents choix des chercheurs. Une première grande source de diversité tient aux rapports que les travaux didactiques entretiennent à la conjoncture (le temps présent et les problèmes qui se posent) et au terrain (l’école actuelle, les élèves, les enseignants) : il s’agit du positionnement qui est adopté concernant les liens entre les recherches et l’enseignement tel qu’il est prescrit dans un lieu donné, les programmes, les instructions, mais aussi les habitudes culturelles ou sociales. Certains s’inscrivent directement dans un système donné. Citons notamment toutes les recherches anglo-saxonnes (et autres) pour essayer de rendre plus effectives les normes du NCTM21 établies dans les années 2000 pour améliorer l’enseignement des mathématiques aux USA. Les analyses de tâche qui sont alors produites, par exemple, ne cherchent pas à traduire des caractéristiques des mathématiques à enseigner22 mais des compétences recherchées chez les élèves, à provoquer (chercher, conjecturer, rédiger...). D’autres chercheurs travaillent en direction de, voire avec, les enseignants, avec des objectifs analogues mais plus réalistes peut-être. D’autres travaux cherchent à retrouver dans les mathématiques enseignées les sources culturelles ou sociales pour les groupes concernés (Radford, 2010). En revanche certains chercheurs cherchent davantage à caractériser des formes universelles qui seraient nécessaires pour l’enseignement des mathématiques, liées aux seuls contenus (situations fondamentales) ou à comprendre comment les savoirs évoluent, diffusent, établissant une écologie des savoirs par exemple. Enfin, d’autres encore cherchent comment se passent l’enseignement et l’apprentissage, quels en sont les ressorts, les invariants, par-delà la conjoncture.

115Une autre distinction, qui n’est pas sans rapport avec la précédente, tient à ce qui est pris en compte dans les recherches – et les variables correspondantes dans les travaux : est-ce un sujet épistémique (étudié en relation avec les invariants qui caractérisent son évolution ou en relation avec sa seule fonction – élève ou enseignant), un sujet cognitif (étudié dans son développement en tenant compte de ses potentialités d’apprentissage), institutionnel (étudié dans ses « assujettissements »), affectif (étudié en tenant compte de ses émotions, de sa confiance en soi…), psychique ? D’ailleurs, selon la place donnée à la conjoncture dans les travaux, certaines variables s’imposent plus ou moins. Ainsi l’analyse de tâches en termes de types de tâches, techniques, technologies, théories (cf. TAD) est plus adaptée à une analyse globale des savoirs à enseigner ou enseignés, qui peut même critiquer et s’évader des programmes, que nos analyses a priori qui sont plus adaptées à comprendre les activités possibles des élèves au sein d’un programme donné, qui peut être contesté, mais de l’intérieur.

116Une dernière dimension est liée à la prise en compte du quantitatif dans les travaux et à la place donnée aux évaluations – travaille-t-on sur des individus, sur quelques classes, sur une grande quantité de classes ?

117Quel type de validation prévoit-on ? Les recherches en France sont plutôt cliniques pour l’instant (qualitatives, à partir de cas) mais beaucoup envisagent de changer d’échelle… Là encore c’est en lien avec les objectifs – les recherches très liées à des objectifs à atteindre ne peuvent se passer d’évaluations quantitatives, même si on en connait les limites importantes – incertitudes sur les causes des apprentissages, sur le moment où évaluer, sur les tâches à proposer (pas trop proches, pas trop éloignées de ce qui a été appris), etc.

Conclusion : Enseignants, chercheurs, formateurs ?

118Les recherches en didactique des mathématiques permettent de réfléchir aux mathématiques à enseigner – tant du point de vue des contenus que des modalités de l’enseignement. Elles n’ont pas vocation à donner des moyens « tout faits » pour enseigner – il n’y en a pas, tant la diversité des programmes, des classes et des enseignants, entre autres, oblige à des adaptations permanentes des acteurs, qui ne peuvent être prévues dans les recherches.

119Le passage entre travaux didactiques et enseignement en classe est certes un sujet de recherche à lui tout seul, ainsi la collaboration entre formateurs, enseignants, chercheurs, nous semble nécessaire pour aborder efficacement ce sujet, en lui gardant sa polymorphie et son dynamisme. Collaboration certainement aidée par des formations rapprochant les uns des autres – c’est l’objet de ce livre !

120Insistons, pour terminer sur ce point, sur le fait qu’un certain nombre de ressources peuvent alimenter cette collaboration, cette transposition, que ce soit des commissions déjà créées, souvent inter-IREM, ou des documents – brochures IREM, littérature professionnelle (bulletin vert de l’APMEP, Petit x, revue Repères-IREM). Des recherches récentes ont même comme objet l’analyse, l’utilisation et l’élaboration de ressources, y compris informatiques et via l’internet.

121Que dire des autres disciplines ? Diverses didactiques se sont développées, avec des histoires différentes – certaines venant des formateurs (français), d’autres venant d’universitaires (mathématiques, physique). Un certain nombre de recherches entre disciplines ayant des proximités scientifiques (mathématiques-physique notamment) commencent à être menées, ce qui permet d’élargir utilement le spectre des questions posées.

122Une bibliographie spécifique est jointe à la bibliographie générale.

Notes

1 Voire qui sont reconnues au sein d’une communauté scientifique bien précise.

2 De plus, contrairement à ce qui est fait dans d’autres chapitres, compte tenu de la place de leurs travaux dans le récit, nous nous sommes permis de laisser certains prénoms.

3 Ce texte est en partie tiré d’un article de Robert (2002).

4 L’autre changement dans le sens « écouter puis travailler » est difficile aussi, mais plus facile à obtenir malgré tout, si on attend un petit peu (Legrand, 1995, évoque le fait de se remettre à « penser à la première personne »).

5 Échelles de temps : une séance, une semaine, une année, davantage ; échelles quantitatives : un élève, une classe, beaucoup de classes…

6 De seconde main, plus ou moins développées selon les thèmes mathématiques et les auteurs.

7 Publiée grâce à l’association du même nom, qui organise aussi des séminaires nationaux et une école d’été tous les deux ans.

8 Dévolution : le maître confie la résolution du problème aux élèves.
Action : les élèves prennent conscience de l’insuffisance de leurs connaissances. Ils mettent en place des procédures de résolution en utilisant leurs connaissances anciennes.
Formulation : les élèves explicitent par écrit ou oralement les procédures utilisées et les solutions trouvées.
Validation : les différentes procédures sont exposées à la classe entière. La confrontation des différentes procédures doit permettre de faire émerger la procédure attendue.
Institutionnalisation : le maître identifie et met en place les nouveaux savoirs.

9 Cf. l’histoire du calcul de l’âge du capitaine à partir du nombre de moutons sur le bateau.

10 Nous donnons ce vocabulaire pour permettre la lecture de certains articles.

11 Au sens banal, des savoir-faire.

12 Ce qui explique que nous y consacrons quelques pages.

13 C’est le mot utilisé dans la théorie.

14 C’est une des questions de fond que pose le socle, qui peut être lu comme une réduction des acquisitions objets qui pourrait mettre en péril toute acquisition ultérieure.

15 Jusqu’aux derniers programmes non compris.

16 Exposition des connaissances.

17 Introduite par Robert et Rogalski (2002, 2005, 2008), à partir de Robert (2001) et Rogalski (2003).

18 Ainsi baptisée car elle traite des médiations…

19 Ses recherches ultérieures se sont situées à l’interface informatique/didactique, avec l’élaboration d’un modèle d’acquisition de connaissances portant sur l’évolution des conceptions, à la suite de Vergnaud.

20 Il s’agit de ce qui peut être inscrit dans le corps de l’élève et participer à l’apprentissage (en termes de mouvement par exemple).

21 National Council of Teachers of Mathematics (USA).

22 Comme les nôtres.

© Presses universitaires de Franche-Comté, 2012

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