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Une caméra au fond de la classe de mathématiques

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Aline Robert
, 
Jacqueline Panninck
, 
Marie Lattuati

Troisième partie. Divers compléments théoriques, issus de recherches didactiques et sociologiques

Chapitre 1. Enseignement et technologies numériques : questions d’instrumentation. Exemples

Mariam Haspekian

Texte intégral

1Des logiciels pour l’apprentissage aux Espaces Numériques de Travail, en passant par les outils de gestion et de suivi scolaire, depuis plusieurs années, diverses technologies ont fait leur apparition dans tous les commentaires des programmes, à tous les niveaux de l’enseignement. Les enseignants comme les élèves, sont fortement incités à les utiliser. Cependant cela ne va pas de soi.

2Des questions théoriques et pratiques se posent. Les réponses à ces questions passent par des recherches. Dans ce chapitre, après un bref panorama des recherches en didactique des mathématiques sur ce sujet, nous développons plus particulièrement deux exemples où les questionnements apparaissent, celui des logiciels de géométrie dynamique et celui du tableur en collège (Haspekian, 2005).

3A partir de ces exemples, nous nous plaçons dans une perspective de formation de formateurs pour dégager, au-delà des bénéfices théoriques, les questions qui se posent à l’enseignant et au futur formateur quant à l’usage effectif des technologies et à l’intégration de nouveaux outils dans les pratiques.

4Cependant on ne trouvera pas ici de panorama des technologies actuelles, mettant en jeu d’autres logiciels comme Aplusix, déjà étudiés dans des travaux didactiques, ni de pistes complètes de formation, dépassant les mises en garde sur la difficulté d’intégration – ce pourrait être le propos d’un autre ouvrage.

I. Un bref panorama des travaux de recherche sur les technologies

5La recherche en didactique des mathématiques portant sur les technologies cumule aujourd’hui une quantité conséquente de travaux et constitue un corpus ayant développé ses propres cadres théoriques. En 1985, la Commission internationale pour l’enseignement des mathématiques (ICMI) engageait une première étude sur ce thème donnant lieu à un ouvrage (ICMI, 1985), puis à une seconde étude vingt ans après (Hoyles & Lagrange, 2010). Durant ces décennies, les problématiques traitées ont évolué, allant de travaux portant sur les potentialités offertes par ces nouveaux environnements aux recherches s’intéressant aux difficultés de leur intégration dans les pratiques. Enfin, certaines recherches traitent, quant à elles, directement du développement d’une technologie particulière. En France, on peut citer par exemple, sans chercher à être exhaustif, le fameux Cabri-géomètre pour la géométrie, Aplusix pour l’algèbre, le logiciel Casyopée en analyse, le logiciel TI-Nspire, ou encore les environnements Pépite et Lingot en algèbre. La France n’est pas exception dans ce domaine et d’autres pays ont développé leurs propres outils, comme l’Italie (avec les logiciels AriLab pour l’arithmétique à l’école primaire, ou Alnuset pour l’algèbre élémentaire), la Grèce (avec Cruislet pour l’étude des fonctions) etc.

6Les outils étudiés ont évolué également, allant des premiers micromondes aux tableaux blancs interactifs d’aujourd’hui, en passant par les calculatrices, les logiciels de géométrie, les tableurs… On y trouve ainsi tant des outils conçus pour l’enseignement des mathématiques (calculatrices actuelles et logiciels de géométrie dynamique) que des outils à visée professionnelle, importés dans le monde scolaire et plus ou moins adaptés à cet environnement non originel (tableurs et logiciels de calcul symbolique). Les premiers travaux sont marqués par les micromondes et en particulier LOGO (Papert, 1980). En cohérence avec les théories de l’époque, ces micromondes soutiennent une approche de l’enseignement des mathématiques dans laquelle la part active de l’élève est mise au premier plan. Un autre ensemble également très important de travaux porte ensuite sur les calculatrices, en particulier les potentialités qu’offrent leurs interfaces graphiques en termes de visualisation. En France, les recherches sur les calculatrices symboliques (ou systèmes de calcul formels, appelés CAS), en s’inspirant de travaux d’ergonomie cognitive de Rabardel et Vérillon (Rabardel, 1999), ont permis de développer une approche théorique davantage sensibilisée à la question des pratiques dans lesquelles ces calculatrices sont censées s’insérer. Par exemple, Lagrange met bien en évidence l’irruption dans les pratiques usuelles, de nouvelles techniques instrumentées générées par l’outil (Lagrange, 1999). Pour Artigue, les techniques, dépendantes des artefacts et environnements de travail, et les contenus appris sont intimement liés :

« ce que nous apprenons et non simplement la façon dont nous l’apprenons est étroitement dépendant des artefacts utilisés pour cet apprentissage (ici calculatrices et logiciels notamment). Contenus et pratiques sont donc deux entités en un sens indissociables. » (Artigue, 2007).

7Cette approche a par la suite été appliquée à d’autres outils qui avaient par ailleurs, eux aussi, fait l’objet de nombreuses recherches en didactique, tels que les logiciels de géométrie dynamique ou encore les tableurs. Elle a constitué un renouvellement des questions de recherche qui, dans le passé, voyaient simplement les environnements informatiques comme des outils permettant d’améliorer l’apprentissage des mathématiques, s’intégrant de façon transparente dans les pratiques des enseignants, càd qui ne prenaient pas en compte la question des pratiques instrumentées. En quelque sorte, la question des enseignants et de l’impact de ces technologies sur les pratiques était négligée. Or, comme le soulignait déjà Chevallard, en1992, la question de l’intégration d’objets informatiques dans l’enseignement des mathématiques ne se résoudra pas sans prendre en compte le « facteur » enseignant. Et force est de constater qu’en effet, malgré des décennies de recherches, les environnements technologiques n’ont eu que peu d’impact sur l’enseignement des mathématiques en France comme dans le reste du monde.

8Plus récemment, de nouvelles recherches se tournent vers les ressources (électroniques ou non) et plus généralement vers le travail documentaire, son importance dans les pratiques enseignantes, son évolution avec les changements technologiques (manuels numériques, internet, éclatement des sources) (Gueudet et Trouche, 2010). Par exemple, dans le cas du tableur, les ressources disponibles sont nombreuses mais restent isolées et n’outillent pas suffisamment l’enseignant pour conjuguer l’instrumentation et les apprentissages mathématiques dans la durée. Cela a été mis en évidence dans le travail de Haspekian (2005) en analysant les ressources tableur du site Educnet.

9Nous donnons dans la suite de ce texte deux exemples plus détaillés, le premier illustre quelques apports des recherches menées en géométrie sur l’utilisation de logiciels de géométrie dynamique, le second sur celles traitant de l’utilisation du tableur en classe de mathématiques.

II. L’exemple des logiciels de géométrie dynamique (LGD) pour l’enseignement de la géométrie

10Sans développer ici tout un chapitre sur le relief pour le domaine de la géométrie (les spécificités des notions à enseigner, cf. partie 2, chapitre 1), nous donnons quelques éléments de recherche en didactique, en nous appuyant principalement sur (Laborde, 1990, 1997 et Laborde et Capponi, 1994), qui permettent de comprendre les hypothèses réalisées autour de ces logiciels créés pour l’enseignement de la géométrie et des bénéfices mis en avant pour cet enseignement.

11Ces bénéfices cités sont nombreux, nous nous centrons ici sur un petit exemple (mais fondamental), celui de l’apprentissage de la notion de « figure géométrique » dans les débuts de la géométrie au collège.

1) Différentes géométries à l’école : quelques éléments de didactique sur la notion de figure géométrique

12Les débuts de la géométrie au collège font l’objet d’une certaine rupture quant à l’espace géométrique auquel on se réfère.

13Les analyses qu’en faisaient Berthelot et Salin en 1993 (Berthelot et Salin, 1993) se retrouvent explicitement dans les documents d’accompagnement des programmes de 2002 : à l’école, le savoir géométrique renvoie à deux champs de connaissances. Il faut distinguer le travail dans l’espace physique et le travail dans l’espace géométrique :

  • L’espace physique réfère au champ des connaissances spatiales ou physiques (par exemple : se repérer dans l’espace, se déplacer, assembler des objets, ...), il donnera lieu à une géométrie essentiellement perceptive correspondant à une problématique pratique ou pragmatique : le travail porte sur des objets physiques et la validation du travail se réalise dans l’espace sensible, par l’expérience.
  • L’espace géométrique réfère quant à lui au champ des connaissances géométriques :espace propre aux mathématiques, dont une des caractéristiques est de posséder une dimension qui peut être 1, 2 ou 3... Cet espace met en jeu des savoirs théoriques et donnera lieu par la suite à la géométrie déductive étudiée au collège correspondant cette fois à une problématique géométrique : le travail y porte sur des idéalités (les objets géométriques : points, droites, cercles, quadrilatères…), et la validation s’y effectue par un raisonnement en se référant à un savoir théorique.

14Les documents d’application du cycle 2 mentionnent bien ces deux champs :

« À l’école primaire, la géométrie renvoie à deux champs de connaissances : celui des connaissances spatiales qui permettent à chacun de contrôler ses rapports à l’espace environnant et celui des connaissances géométriques qui permettent de résoudre des problèmes portant sur des objets situés dans l’espace physique ou dans l’espace graphique. » (p. 24)

15MAIS... le problème est que pour travailler sur des idéalités, dans une géométrie déductive (le second champ de connaissances), on a néanmoins besoin de représentations c’est à dire de tracés, concrets sur une feuille appartenant à l’espace physique (le premier champ de connaissances). Les tracés sont ainsi des objets concrets, physiques, avec des propriétés spatiales (position par rapport aux bords de la feuille, épaisseur du trait de crayon, etc...) ; de cette nécessité de représenter graphiquement, naît une possible confusion chez les élèves, entre le dessin lui-même (c.-à-d. le tracé concret avec ses propriétés spatiales) et l’idéalité qu’il représente (qui n’a pas toutes les propriétés spatiales vues sur le dessin, mais qui, par contre, peut en avoir d’autres, non visibles sur le dessin statique…).

16Cette « idéalité » est ce qu’on appelle la figure géométrique : comprendre que le tracé représente une idéalité c’est se détacher du dessin et accéder au concept de figure géométrique.

17Ce passage se prépare au Cycle 3 de l’école primaire, où certaines propriétés sont mises en place, et se fait au collège, dès la 6e, le passage entre les deux champs de connaissances s’appuyant fortement sur l’usage des instruments. Aux cycles 1-2 de l’école primaire, la géométrie est perceptive. On dit souvent « est vrai ce que je vois… ». Au cycle 3, la géométrie est instrumentée. Ici, « est vrai ce que je contrôle à l’aide des instruments » (règle, équerre, compas, gabarits d’angles). Au collège, la géométrie est déductive. Est vrai ce que je démontre (propriétés, théorèmes, etc.).

18On passe ainsi d’une structuration de l’espace où les objets sont contrôlés perceptivement à sa géométrisation où ils le sont par recours aux instruments et à la connaissance de certaines propriétés avant d’arriver à la géométrie déductive de collège. A la transition, c.-à-d. à l’entrée en 6e, (et au-delà…), une des grandes difficultés des élèves est de savoir où se situer, suivant le type de problème donné, entre une problématique pratique dans laquelle on travaille sur des dessins d’objets physiques ; la validation restant dans l’espace physique (lecture de dessins complexes… .), et une problématique géométrique dans laquelle on travaille sur des modèles avec des figures, la validation se faisant par un raisonnement (pourquoi les trois médiatrices d’un triangle sont-elles concourantes ?)

19Le fait que les manuels de 6e regorgent d’énoncés où il faut bel et bien lire les informations sur la figure (dessin…), parfois même données en grandeur réelle, au moment où on demande par ailleurs aux élèves d’utiliser les premières propriétés énoncées dans les cours (par exemple sur les droites parallèles et perpendiculaires) pour construire leurs premiers pas déductifs sans les déduire des informations lues et vues sur le dessin… rend les choses encore plus difficile.

20De nombreux didacticiens (voir travaux de Laborde et de Capponi) voient alors dans la notion de figure géométrique un point clé de ce passage de l’apprentissage de la géométrie.

2) Qu’est-ce qu’une figure géométrique ?

21Nous nous référons ici à l’article de Laborde et Capponi (1994). Dans cet article, les auteurs entendent par « figure géométrique » les rapports entre un objet géométrique et les dessins qui lui sont associés. Ils réinterprètent ces trois concepts à l’aide de la triade référant/signifiant/signifié :

22La figure géométrique est ce qui renvoie à l’objet théorique, le dessin est un moyen de le représenter.

23Percevoir une figure géométrique, (un signifié), consiste à associer à un dessin (un signifiant) un objet géométrique (un référent). Dans ce contexte, la définition donnée par les auteurs de la notion de figure géométrique est l’établissement d’une relation entre un objet géométrique et ses représentations possibles.

24Mais justement, établir cette relation est complexe.

3) Complexité de cette relation

25Les rapports objet/dessins sont complexes pour plusieurs raisons. Tout d’abord, l’élève n’interprète pas nécessairement un dessin comme renvoyant à un objet géométrique. Même dans le cas où l’élève cherche une interprétation au dessin, celle-ci ne va pas de soi : à un même objet correspondent plusieurs dessins possibles. Un même dessin a plusieurs interprétations possibles en tant que signifiant d’un objet géométrique.

26Le choix à faire dans l’établissement d’une relation dessin-objet dépend fortement du niveau (un élève n’ayant pas suffisamment de connaissances théoriques géométriques va rester à une lecture spatiale du dessin) et aussi du contexte ! L’exemple suivant est cité par les auteurs :

27Dans un contexte de mathématiques, un mathématicien reconnaitra un cercle plus volontiers dans la figure de gauche et sera réticent à le faire pour celle de droite. Pourtant, l’ensemble des points de la figure de droite constitue probablement une meilleure approximation du cercle. Mais le choix d’interprétation dépend du contexte, le mathématicien tenant compte du tracé à main levée cherchera à voir un cercle dans le dessin de gauche, il hésitera à le faire pour celle de droite vue l’exactitude apparente du tracé. Enfin, les aspects perceptifs interviennent bien entendu également dans les choix d’interprétation (Laborde et Caponi citent par exemple les travaux de Cordier (1991) qui ont montré que la configuration de Thalès, 2 parallèles coupées par deux sécantes, n’est pas reconnue par des élèves de 3e avec le même degré de facilité selon qu’elle est en configuration « papillon » ou non). D’autres travaux (cf aussi Grenier partie 2, chapitre 4) montrent également l’importance des aspects perceptifs dans la reconnaissance d’axes de symétries (prégnance par exemple de l’horizontale et de la verticale). Nous avons réalisé le petit test suivant avec des élèves de 6e consistant à demander de compléter la figure ci-contre de façon à ce qu’elle présente un axe de symétrie.

28La quasi-totalité des élèves a tracé A, alors qu’on pouvait tout autant tracer B.

29La perception de la verticale serait-elle encore plus prégnante que l’horizontale ? Ainsi, les rapports sont complexes. Et, cependant, selon les auteurs, l’enseignement néglige la possibilité d’une lecture seulement spatiale du dessin, fait comme si l’objet géométrique était le dessin, écrasant toute distance entre les deux, entraînant des difficultés pour de nombreux élèves. Face à un dessin, représentant d’un objet géométrique, nous avons finalement un rapport privilégié qui n’est jamais véritablement explicité. Quel est-il au juste ?

4) Rapport au dessin

30Notre rapport au dessin comprend plusieurs implicites.

31a) Nous savons que le dessin rend compte de certaines propriétés de l’objet mais pas de toutes.

32Par exemple, on ne peut pas voir sur un dessin, parce qu’il est statique, les variations ou dépendances des divers éléments le constituant. Un dessin représentant un point sur un segment lui-même porté par une droite doit-il être interprété comme l’objet « point sur le segment » ou « point sur la droite » ? de même que les appartenances sont parfois ambigües, il en va de même des positions relatives : comment tracer l’objet géométrique « 2 cercles quelconques » ? La figure ci-dessous représente-t-elle 2 cercles sécants ? 2 cercles sécants en exactement 2 points ? ou bien 2 cercles quelconques ?

33Ainsi, le dessin a un certain domaine de fonctionnement au-delà duquel il ne remplit plus son rôle. Pour l’expert, les limites de ce domaine de fonctionnement (l’ensemble des propriétés géométriques qu’on peut représenter avec un dessin) sont claires.

34b) Inversement, le dessin rend compte de certaines propriétés spatiales qui ne doivent pas être renvoyées comme étant des propriétés géométriques de l’objet : position du dessin par rapport aux bords de la feuille, épaisseur du trait de crayon, sens (parfois !), cas particuliers sur lesquels on arrive après une construction, positions prototypiques, etc. Par exemple, pour l’élève de début d’école primaire (mais parfois aussi de 6e) l’orientation par rapport aux bords de la feuille est prise comme propriété pertinente : la figure de gauche est un carré, celle de droite, la même mais orientée différemment, ne l’est plus. Le dessin a ainsi un certain domaine d’interprétation (l’ensemble des propriétés spatiales qu’on peut interpréter comme renvoyant à des propriétés géométriques) dont les contours sont nets là encore pour l’expert, mais qui est un rapport difficile à enseigner aux élèves (pourquoi dans certains cas le sens d’orientation compte et dans d’autres cas non ?…) Face à ces quelques éléments traçant un petit début de relief sur la notion de figure géométrique, qu’apportent les LGD ?

(ce sont aussi sous ces positions (statiques) prototypiques que ces figures sont généralement enseignées).

5) Les logiciels de géométrie dynamique

35La caractéristique primordiale de ces environnements est la coexistences de tracés purs avec des tracés répondant à des propriétés géométriques, tous ces tracés étant manipulables directement avec la différence que, pour qu’un tracé conserve, au cours du déplacement, ses propriétés spatiales, il nécessite d’être produit par des propriétés géométriques, tout tracé « au jugé » est disqualifié immédiatement par le déplacement. Pour Laborde et Capponi, de ces caractéristiques des logiciels de géométrie, on peut tirer un certain nombre de bénéfices, essentiellement dus bien sûr au côté « dynamique » qui n’existe pas en papier-crayon :

  • le mouvement constitue en effet une dimension supplémentaire dans la perception. Il permet de représenter des objets qu’on ne pouvait pas représenter en environnement papier tels l’appartenance, les positions relatives... Le dessin en environnement dynamique présente donc un plus grand domaine de fonctionnement qu’en papier ;
  • lorsque des doutes surgissent face à une figure ambigüe (voir les exemples plus haut des cercles quelconques, cas particuliers, etc.), il suffit de déplacer les points libres et voir si ces propriétés sont conservées lors du déplacement. Tout déplacement étant sous le contrôle de propriétés géométriques, on a alors des limites plus apparentes du domaine d’interprétation ;
  • enfin, l’environnement offre des rétroactions plus riches qu’en papier crayon, et une multitude de représentants d’un même objet par simple déplacement.
  • pour toutes ces raisons, on conclut à un terrain expérimental plus large dans lequel les tracés, de par leur côté dynamique, permettent de mieux comprendre la distinction dessin/figure que ne le fait l’environnement papier qui écrase toute distance entre les deux. Pour marquer la différence, ces tracés sont appelés dans l’article « Cabridessins », en référence au logiciel Cabri-géomètre, conçu dans cet objectif didactique. Autres avantages cités :
  • il s’agit de faire faire et non de faire directement (communiquer à la machine un procédé de construction, distinguer tracé et procédé de tracé…) ;
  • les « classes de dessins » obtenus apprennent aux élèves à utiliser le dessin comme lieu d’expérimentation graphique de l’objet géométrique ;
  • le terrain expérimental est plus large aussi du fait qu’en papier crayon on est plus limité par les imprécisions de tracé, l’impossibilité de rendre temporairement invisible une sous-partie de la figure, la limitation du nombre d’éléments à gérer, le coût en temps d’un tracé un peu complexe.
  • 1 International Commission on Mathematical Instruction, fondée en 1908, pour améliorer la qualité de (...)

36Au lycée ces avantages sont encore renforcés et complétés par l’utilisation de logiciels plus complexes permettant de travailler à la fois sur le tracé géométrique et sur les aspects plus algébriques ou plus liés à l’analyse (comme Géogébra, ou le logiciel d’étude Casyopée ou encore TI-Nspire). En effet, ces logiciels permettent d’explorer des situations, d’émettre ou de vérifier des conjectures, d’articuler différents registres du travail (algébrique, graphique, géométrique). De nouvelles recherches sont nécessaires pour valider la portée et la limite de ce mode d’apprentissage, ainsi que les conditions les plus favorables aux acquisitions attendues ; ainsi l’étude ICMI1 17 a-t-elle pris comme thème d’étude « Mathematical Education and Digital Technologies : Rethinking the terrain » (cf. Hoyles & Lagange, 2010)…

6) Et alors ?

37Une fois ces avantages cernés, les difficultés des élèves pointées, reste encore pour l’enseignant qui souhaite tirer bénéfice des potentialités théoriques citées ici à construire un enseignement intégrant l’outil. Cette intégration ne va pas de soi, elle nécessite d’être soigneusement pensée, articulée avec le travail en environnement papier, articulée avec les éventuels autres instruments (calculatrice, autres logiciels…). De nombreux travaux soulignent depuis quelques années l’importance de questionner les pratiques et ne pas négliger les questions d’instrumentations qui peuvent entraver l’intégration des TIC dans ces pratiques.

38Par exemple, Tapan (2006) a montré que les textes officiels présentaient l’intégration de logiciels de géométrie dynamique au collège comme allant de soi (cela peut en être une lecture). Ni la spécificité des logiciels de géométrie, à savoir le déplacement possible des objets, ni l’apprentissage que les élèves doivent faire de cette spécificité, n’y sont pris en compte. Or, les travaux de recherche (voir par exemple Soury-Lavergne, 2006) montrent que l’appropriation de cette fonctionnalité, comme instrument géométrique et de contrôle du travail mathématique dans cet environnement n’est pas aisée et demande un apprentissage loin d’être négligeable. Par ailleurs, l’utilisation, par le professeur, de logiciels couplés avec un vidéoprojecteur ou un tableau numérique peut être pensée comme un moyen d’échapper aux difficultés évoquées plus haut. Mais, d’une part cette utilisation est loin d’être courante et d’autre part, là encore de nouvelles recherches seraient nécessaires pour étudier l’apport en classe de cette forme d’utilisation, par exemple sur la motivation des élèves ou leur appropriation de la question mathématique en jeu.

39De la même façon, nous allons voir, avec notre deuxième exemple, que le tableur et son intégration en classe de mathématiques, soulèvent des questions analogues.

  • 2 Les sigles ont changé plusieurs fois (TICE, TIC…). Nous utilisons ce sigle pour désigner les "Techn (...)

40Il nous semble alors important que le futur formateur soit sensibilisé à ces questions. Les conditions de mise en place d’un enseignement des mathématiques exploitant les potentialités des TICE2 sont des facteurs à prendre en compte aussi bien dans le développement des pratiques que dans les alternatives à proposer. Ces conditions ne sont pas déterminées seulement en termes de besoins de formation ou de matériel ou de temps de préparation, mais aussi en termes de « compatibilité » avec les représentations des enseignants, leur façon de voir les mathématiques, de concevoir leur apprentissage et leur enseignement, la vision qu’ils veulent en offrir à leur élèves. Nous reviendrons sur ces questions avec le second exemple pour lequel elles s’avèrent encore plus importantes.

III. L’exemple du tableur pour l’enseignement de l’algèbre

41C’est vers un tout autre environnement que nous nous tournons à présent, bien différent non seulement par ses fonctionnalités et usages mais avant tout différent parce que, contrairement aux logiciels de géométrie dynamique, il n’a pas été conçu, pensé pour l’enseignement des mathématiques. Cette caractéristique le distingue fondamentalement des autres outils informatiques éducatifs et rend encore plus sensible la question de l’intégration dans les pratiques dont nous parlerons au § IV.

42Dans les travaux de recherche en didactique, les apports du tableur portent essentiellement sur l’apprentissage de l’algèbre élémentaire. Nous en présentons quelques exemples avant d’examiner les questions que soulève l’exploitation didactique de ces apports en classe, avec tous les problèmes liés aux conditions d’application.

1) Le tableur, un outil de calcul ?

43Les potentialités du tableur résident en premier lieu dans ses capacités de calcul, très importantes. Mais quelles sont les caractéristiques du calcul avec tableur par comparaison avec le calcul en environnement papier ? On peut s’interroger sur les savoirs mis en jeu, leur modes de traitement, de contrôle, les techniques de résolution induites par l’usage du tableur.

44Les apports du tableur relèvent à la fois des nouvelles possibilités qu’il offre et de ses contraintes d’utilisation (Capponi, 1999) :

45Les fonctionnalités et nouvelles possibilités de calculs dans l’environnement tableur s’appuient sur l’interactivité, les capacités calculatoires, et les registres de représentation. L’interactivité permet des rétroactions plus riches qu’en papier-crayon (par exemple, le feedback numérique d’une formule permet d’expérimenter, de conjecturer, ou de déceler des erreurs de formule…). Les capacités de calculs, elles, sont intéressantes par la recopie automatique, celle-ci permettant d’appliquer une même formule à un grand nombre de données, et par le fonctionnement dynamique, celui-ci permettant de réactualiser les résultats instantanément. En outre, le tableur est un outil où plusieurs registres de représentation peuvent se trouver présents à l’écran et s’articuler : le registre de la langue naturelle (par la possibilité d’entrer du texte, donc de rester proche du contexte du problème, de garder en tête ce dont on parle et ce qu’on calcule), le registre des formules, le registre numérique et le registre graphique.

46Il y a tout un autre ensemble d’apports liés cette fois aux contraintes d’utilisation du tableur qui vont jouer sur le symbolisme et les démarches de résolution : le tableur contraint à utiliser un certain langage symbolique qui pourrait s’apparenter à l’algèbre, et où l’usage des lettres n’est pas dû à un contrat didactique mais à l’outil lui même. Enfin, le tableur oblige aussi à planifier son travail, organiser sa feuille de calcul, anticiper les feedbacks possibles.

47Comme nous allons le voir, ces possibilités donnent au tableur un côté hybride d’outil arithmético-algébrique qui peut être exploité, selon les recherches en didactique des mathématiques, pour la transition numérique/ algébrique. Face aux difficultés posées par « l’entrée » dans l’algèbre, déjà repérées en papier crayon (voir partie 2, chapitre 1, section 3 « Algèbre »), elles nous disent que le tableur présente des potentialités favorables à l’apprentissage de l’algèbre.

48Le paragraphe suivant précise ces potentialités dans un bref tour d’horizon des travaux didactiques sur le tableur.

2) Le point de vue de travaux didactiques : la problématique arithmétique/algèbre en papier crayon

49Les diverses recherches qui se sont déjà penchées sur le tableur privilégient un moment précis de l’apprentissage des mathématiques : celui de la transition arithmétique-algèbre (par exemple Ainley et al., 2003 ; Arzarello et al. 1994, 2001 ; Capponi, 1999 ; Dettori et al., 2001 ; Rojano et Sutherland, 1997). Par rapport aux difficultés de l’algèbre déjà bien repérées dans divers travaux didactiques, comme les discontinuités/fausses continuités, ou les difficultés liées aux rapports syntaxiques/sémantiques, toutes ces recherches affirment que le tableur peut aider les élèves.

50Voici par exemple le point de vue d’Arzarello et de ses collègues qui modélise la complexité de l’usage de l’algèbre en se référant aux notions de Sens, Dénotation, Expression (Frege, 1890) : comme tout langage écrit, l’algèbre a une dualité sémantique et syntaxique : par exemple l’expression « n (n + 1) » :

  • dans son versant sémantique : dénote un certain objet mathématique (c’est la dénotation, le référent) ;
  • dans son versant syntaxique : s’écrit d’une certaine manière, qu’on peut d’ailleurs changer. Par exemple, n (n + 1) peut s’écrire n2 + n.

51Pour changer d’écriture tout en se référant au même objet mathématique, on a utilisé la fonction algorithmique de l’algèbre (figure 1).

52Ces deux expressions sont équivalentes, pourtant à chacune d’elles se rattache un ensemble de sens différents, c.-à-d. qu’elles laissent voir des propriétés mathématiques différentes. On peut par exemple selon le but de l’exercice voir l’expression n (n + 1) :

  • comme l’aire d’un rectangle de côtés entiers consécutifs ;
  • en terme de primalité : comme un nombre qui n’est pas premier ;
  • en terme de parité : comme un nombre pair, etc…

53Ces sens ne sont pas donnés par l’expression n2+n qui embarque à son tour un autre ensemble de sens suivant le contexte à travers lequel on le regarde (figure 2) :

54Lorsqu’on change ainsi de sens tout en se référant à la même expression, c.-à-d. sans changer d’écriture, on fait agir cette fois le levier symbolique de l’algèbre (aucune transformation n’a été effectuée, c’est simplement le sens qui a changé pour la même écriture). Ce modèle sert à expliquer les difficultés des élèves comme étant une difficulté à rentrer dans ce jeu d’interprétation : jeu tantôt symbolique, tantôt algorithmique, (un expert sait quand changer d’écriture va lui permettre d’avancer dans la résolution du problème, ou plutôt quand changer de sens sans surtout changer d’écriture tandis que l’élève a davantage de difficulté, et sans doute a-t-on du mal aussi à lui apprendre ce jeu).

55Selon Arzarello et ses collègues (Arzarello et al., 1994, 2001), les caractéristiques du tableur aideraient les élèves à rentrer dans ce jeu d’interprétation.

56Un autre point de vue est celui de Rojano et Sutherland (1993) pour qui le tableur permet d’effectuer « en douceur » les grandes transitions entre pensée arithmétique et pensée algébrique. Elles ont répertorié ces transitions en quatre grands types :

  • une transition du spécifique au général ;
  • une transition du numérique ou verbal au littéral ;
  • une transition d’un travail sur du connu à un travail utilisant également des inconnues ;
  • enfin une transition dans les démarches de résolution.

57Selon elles, le tableur permet d’aider l’élève à réaliser toutes ces transitions. Par exemple, il permet selon elles de progresser vers une méthode plus algébrique « à partir des méthodes numériques intuitives des élèves ».

58En effet, on peut comparer (voir en annexe) les résolutions différentes qui sont utilisées pour résoudre un même problème avec des méthodes :

  • arithmétiques (analyse/ synthèse, essai/erreur en papier crayon) ;
  • algébriques ;
  • tableur (essai/erreur).

59En environnement papier, la technique de l’essai-erreur peut être considérée comme une technique déjà intermédiaire entre arithmétique et algèbre. Son implémentation dans le tableur la modifie quelque peu, en la faisant « bouger » et se positionner davantage encore du côté algébrique. Il se dégage que le tableur ajoute une organisation algébrique à une démarche de type arithmétique (Haspekian 2005). Rojano & Sutherland affirment que la résolution de problèmes dans le tableur permet ainsi d’aider les élèves à passer de leurs méthodes arithmétiques vers l’algèbre.

  • 3 Avec le tableur on peut aussi imaginer de travailler l’équivalence entre programmes de calculs intr (...)
  • 4 Avec sans doute des effets positifs en termes de motivation.

60Ainsi, les caractéristiques du tableur sont-elles vues par les chercheurs comme des potentialités pour l’enseignement de l’algèbre3. Mais comment « rendre » ces potentialités effectives en classe ? Concrètement, comment s’appuyer par exemple sur la démarche de l’essai/erreur pour aider les élèves à entrer dans une pensée algébrique ? Si le tableur offre des potentialités si intéressantes, la question de sa faible intégration se pose alors avec plus de force encore… En effet, le tableur montre d’emblée par exemple deux constats paradoxaux. En premier lieu, il est prescrit par les programmes depuis maintenant plusieurs années, (officiellement entré dans les programmes, d’abord en 3ème (1998), puis s’est étendu au lycée notamment en 1ère L et dans les séries technologiques4. Plus récemment, avec la place prise dans les programmes par les statistiques et les probabilités à tous les niveaux du lycée, son utilisation est recommandée pour simuler des expériences aléatoires), mais son utilisation reste très faible voire marginale par les enseignants de mathématiques. En second lieu, les ressources tableurs se sont considérablement multipliées sans que ce développement ne fasse progresser l’intégration souhaitée du tableur. On trouve de plus en plus d’activités tableur sur Internet, dans les manuels, dans les publications destinées aux enseignants telles que les publications IREM, CNDP, APMEP, EDUCNET… mais visiblement les difficultés des enseignants demeurent à y trouver une aide réelle pour intégrer le tableur.

61Pourquoi ces contrastes ? On peut soulever des questions tant théoriques que pratiques : le tableur pose-t-il des problèmes d’intégration spécifiques, et si oui lesquels ? Vues toutes ses potentialités pour l’enseignement des mathématiques, quelles sont les conditions nécessaires à l’actualisation de ces potentialités ? En quoi les nombreuses ressources sont-elles ou non susceptibles d’aider l’intégration souhaitée par l’institution ? Comment fonctionnent les enseignants qui intègrent réellement le tableur et comment ont évolué, évoluent leurs pratiques ?

62Ces questions ne sont pas propres au tableur et se posent également, comme nous l’avons vu, pour le cas des logiciels de géométrie dynamique par exemple ou pour les logiciels de calcul formel.

IV. Intégration des technologies, questions d’instrumentation

63Comme le soulignait Chevallard, en 1992 déjà, « En tant que candidats à l’intégration au milieu didactique, en effet, les objets techniques ne sont jamais, ni épistémologiquement, ni didactiquement, neutres ; si les enseignants n’ont aucun souci à intégrer la règle et le compas, ne serait-ce pas parce qu’ils leur confèrent un statut épistémologique assuré, voire d’éléments fondateurs même des mathématiques ? » Qu’en est-il du tableur ? Quel statut épistémologique revêt-il aux yeux des enseignants ? Cette question jouerait-elle un rôle dans son faible emploi en classe par les enseignants des mathématiques ?

64Dans cette partie, nous nous penchons davantage sur ces questions avec l’exemple du tableur en lien avec l’algèbre. Nous prenons le cas du tableur car il montre plus facilement ces questions d’instrumentation que dans le cas des LGD : comment actualiser les potentialités théoriques du tableur ? Comment l’enseignant peut-il profiter du statut intermédiaire du tableur pour « transiter » vers l’algèbre ? Si tous les travaux soulignent chacun à leur façon l’importance des situations, ils en disent peu sur ces situations et sur les caractéristiques qu’elles doivent avoir.

65La position de Capponi (1999) offre un premier regard plus nuancé. En examinant par exemple les fonctionnalités de l’outil (l’affichage, l’édition des formules, …), Capponi (1999) souligne que puisque l’outil occupe une place intermédiaire entre arithmétique et algèbre, l’élève peut justement très bien rester entièrement du côté arithmétique et passer à côté des aspects algébriques du tableur.

66Donnons deux exemples.

67L’affichage du tableur présente un double aspect algébrique et arithmétique mais l’aspect algébrique n’est que temporaire : s’il est vrai qu’on peut saisir une formule, utiliser des symboles et être proche de l’algèbre, celles-ci disparaissent derrière les résultats calculés. Il y a le niveau des tableaux de valeurs obtenues (résultat des formules, niveau apparent) et le niveau de la feuille de calculs (celui des formules et concepts algébriques sous-jacents), mais qui n’est que temporairement apparent.

68Pour éditer une formule, on doit désigner des cellules par un symbolisme propre au tableur (A3, B2…) qui pourrait s’apparenter à de l’algèbre, mais produire une telle référence peut se faire de façon « transparente » en cliquant sur la cellule en question (et ce faisant, en désignant un nombre). Ainsi l’édition d’une formule centre elle aussi l’attention sur les aspects numériques de l’outil (résultats de calculs) et non algébriques (l’effectuation des opérations peut résulter directement de la structure même de la formule…).

69Alors comment faire pour que l’élève construise des connaissances algébriques tout en utilisant un tableur ? Quel enseignement construire pour que les potentialités didactiques du tableur s’actualisent et ne restent pas au stade d’« idéal didactique » ?

70Ces questions résonnent avec un cadre théorique qui a déjà sensibilisé aux questions d’instrumentation dans le cas des CAS (calculatrices symboliques), autres outils qui, comme le tableur, n’ont pas été initialement créés pour l’enseignement. Ce cadre, que nous pouvons dénommer l’approche instrumentale en didactique, repose sur une double approche anthropologique et ergonomique. Pour Rabardel (1999), un instrument présente deux aspects :

  • l’artefact (dispositif matériel) ;
  • et ce que lui appelle véritablement « instrument » : c.-à-d., pour le sujet, une part seulement de l’artefact auquel s’ajoutent des schèmes d’utilisation.

71L’instrument se constitue progressivement pour un sujet donné, et on comprend donc qu’un même outil, un même artefact, peut conduire à différents instruments pour différents sujets ce qui complexifie le travail de l’enseignant.

72Pour penser et analyser le rôle non neutre des instruments sur les conceptualisations, Rabardel utilise entre autre la notion de « genèse instrumentale ». La genèse instrumentale renvoie justement à ce processus progressif d’appropriation de l’outil, d’évolution des représentations construites.

73Cette approche, dans le cas du tableur, dévoile une complexité dans l’articulation entre connaissances algébriques et connaissances tableur, lorsque celui-ci se constitue en instrument au fil d’une genèse instrumentale (Haspekian, 2005). Nous avons pu ainsi mettre en évidence :

  • des changements dans les démarches de résolution / dans les objets usuels ;
  • des nouveaux objets (introduits par le tableur lui-même), complexifiant les tâches ;
  • des implicites dans les ressources proposées aux enseignants ainsi que dans les articles de recherche au niveau de l’instrumentation (fonctionnalités utilisées).

74Au final, nous retrouvons l’idée d’une certaine distance, déjà évoquée ci-dessus, entre les objets/techniques dans le tableur et les objets/techniques de l’algèbre usuels. L’outil, sans éliminer les difficultés repérées en papier- crayon, génère de la complexité, malgré une apparente facilité d’utilisation : des objets nouveaux apparaissent, des objets usuels et des modalités d’action usuels sont modifiés, ces changements doivent être pris en compte dans les genèses instrumentales. Cette complexité s’ajoute aux difficultés usuelles : symbolisme, écriture, décodage de formules, et interfère avec les conceptualisations attendues (et qui le sont en référence à l’environnement papier-crayon !) Comment l’enseignant va-t-il / peut-il gérer cette complexité ? Les nombreuses ressources proposées aux enseignants prennent-elles en charge cette complexité, et si oui, comment ? Dans une autre partie de notre travail (Haspekian 2005), nous avons montré que ces questions n’étaient que très peu prises en compte dans les ressources professionnelles. A l’aide d’une grille qui reprend ces questions d’instrumentation et tient compte non seulement des éléments mathématiques mais aussi de l’instrumentation propre au tableur, nous avions analysé toutes les ressources provenant de la base Educnet du Ministère de l’Education Nationale, (dans l’année 2004) et montré que celles-ci faisaient comme si les questions d’instrumentation allaient de soi. Les implicites au niveau des fonctionnalités utilisées demeurent, les changements au niveau des mathématiques demeurent, et l’articulation entre les mathématiques dans le tableur et les mathématiques telles qu’on les vise dans l’environnement traditionnel sont passés sous silence, n’aidant pas l’enseignant à les prendre en charge, sans évoquer l’intérêt éventuel d’une intervention interdisciplinaire sur l’usage de l’instrument.

75La difficulté d’organiser un enseignement en fonction des potentialités théoriques du tableur mais aussi des difficultés qu’il ne manquera pas de poser aux élèves et aux enseignants eux-mêmes est une réalité professionnelle dont il faut sans doute tenir compte dans une formation aux TICE pour les enseignants de mathématiques.

76Nous n’avons pas de solution miracle à proposer, néanmoins nous pouvons dégager quelques incontournables à avoir en tête en ce sens :

  • prendre en compte la question des connaissances instrumentales et de leur élaboration par les élèves sans les négliger ;
  • prendre en compte la dimension temporelle : les genèses instrumentales s’inscrivent dans le temps long, cela permet de mettre l’accent sur le fait qu’une intégration réussie se construit en articulant soigneusement les fonctionnalités de l’outil et les mathématiques visées dans la durée ;
  • prendre en compte la dimension « systèmes » d’instrument peut être une aide également : on peut initier les élèves à la salle informatique avec un outil moins distant que le tableur (comme les LGD) et poursuivre avec le tableur une fois qu’ils sont familiarisés avec les manipulations de base dans chaque séance en salle informatique ;
  • avoir également en tête la question des « institutionnalisations » qui ne manqueront pas de se poser : par exemple pour le tableur, quel vocabulaire employer ? cellule ? variable ? au lycée, lors de la simulation d’expériences aléatoires5, quels sont les modèles implicites « embarqués » dans le logiciel ?
  • prendre en compte également la question des écarts et de la non neutralité de l’outil sur la discipline : pour construire un chemin raisonnable articulant connaissances papier et connaissances « outil » en toute conscience des changements et nouveautés en jeu, aussi bien au niveau des techniques mathématiques que l’outil fait « bouger » que des concepts et des symbolismes associés générés par l’outil.
  • prendre en compte enfin la question des ressources : être conscient de leur caractère « ponctuel » et de leurs implicites.

77Une formation pleinement consciente de ces points est déjà un premier pas pour surmonter les obstacles qui se posent aux enseignants, et proposer des alternatives qui viendront enrichir leurs pratiques, en respectant les évolutions propres à chacun, dans une réflexion qui ne néglige pas l’impact des outils sur les mathématiques elles-mêmes, ni la difficulté qui en découle de les intégrer dans des progressions.

Annexes

Annexe 1 Situer la méthode tableur par rapport aux autres méthodes

Pour situer la méthode tableur par rapport aux autres méthodes, nous prenons l’exemple du problème des chocolats (Rojano, 1997) ci-dessous en lui appliquant tout à tour les trois méthodes : arithmétique, algébrique, « tableur ».

Le problème des chocolats (Rojano, 1997)

Trois groupes d’enfants se partagent 100 chocolats. Le deuxième groupe reçoit 4 fois le nombre de chocolats du premier. Le troisième groupe reçoit 10 chocolats de plus que le deuxième groupe. Combien de chocolats chacun des 3 groupes reçoit-il ?

1. Résolution par la méthode arithmétique

Les auteurs constatent que la démarche par analyse synthèse n’aboutit pas. Néanmoins, les élèves peuvent appliquer d’autres démarches arithmétiques telles que celle de procéder par essai/erreur, en partant soit d’une valeur arbitraire, soit d’un partage égal à partir du nombre total de chocolats (partager 100 en trois et ajuster). Le tâtonnement peut se faire sur les trois groupes ou bien sur un seul, mais il est guidé toujours par deux contraintes : les relations données dans l’énoncé entre les nombres de chocolats des groupes doivent être vérifiées, et le nombre total de chocolats obtenus doit être 100. Sans écrire un système, on peut ainsi raisonner en représentant la part du 1er groupe puis celle du 2e… 9 fois la part du 1er groupe vaut 90… puis on vérifie.

2. Résolution par la méthode algébrique

La solution algébrique conduit à un système de 3 équations à 3 inconnues6 :

x, y, z sont les nombres de chocolats respectifs des 3 groupes.

On arrive ici, par exemple par substitution, à l’équation, dont la résolution (phase de synthèse) donne la solution : x = 10, y = 40 et z = 50.

3. Résolution par la méthode tableur

Voici une feuille de calculs correspondant à une résolution possible en environnement tableur :

A B C D
1 groupe 1 groupe 2 groupe 3 total
2 =4*A2 =B2+10 =A2+B2+C2

On notera que les trois inconnues sont bien explicitement présentes. L’élève teste des valeurs en A2, les formules réactualisent alors les résultats des formules de B2, C2 et D2. Il fait des « essais » jusqu’à obtenir 100 en D2.

Nous constatons que « groupe2=4*A2 » ressemble fortement à y = 4x de la méthode algébrique. De même pour le groupe3. Ainsi, la résolution tableur met-elle en jeu les équations intermédiaires intervenant dans la résolution algébrique. L’équation finale n’est pas obtenue, mais déjà, toutes les relations intermédiaires entre les données sont présentes. D’autre part, la méthode ressemble fortement à celle intuitive de l’essai/erreur, avec la particularité qu’ici les calculs sont automatisés, et organisés.

Remarquons que la donnée 100 n’existe pas nécessairement dans le tableau (elle pourrait être rajoutée mais ce n’est pas nécessaire puisqu’elle n’est impliquée dans aucun calcul), par contre l’élève doit la garder en mémoire pendant sa résolution, c’est elle qui va piloter les essais successifs, alors qu’en algèbre, 100 intervient directement dans les calculs, rien n’a à être mémorisé.

Comparaison des trois méthodes

Les calculs de la méthode tableur sont arithmétiques, à partir d’expressions, on opère sur des données numériques. En papier crayon, l’élève ferait les mêmes calculs arithmétiques s’il procédait par essai/erreur. Ainsi, la démarche globale se rapproche de l’essai/erreur, cependant, certains aspects de la résolution tableur sont aussi proches de la méthode cartésienne (par calcul algébrique).

En effet, toutes les relations élémentaires entre les données du problème (connues et/ou inconnues) sont symbolisées par des cellules distinctes mais liées. Ces relations sont finalement synthétisées en une expression qui sert de test lors de la variation de l’une des inconnues. La formule finale n’est pas l’équation à laquelle on aurait abouti algébriquement : x + 4x + (4x + 10) = 100, ni même son membre de gauche mais elle est un très bon reflet du système (le passage à une expression dépendant d’une seule variable restant en revanche invisible). L’expression en D2 n’est pas l’expression synthétique, mais elle revient bien à calculer, en prenant x + 4x + (4x + 10), pour variable x, la cellule A2. On est donc plus près des mathématisations algébriques, tout en gardant les démarches spontanées des élèves.

De plus, lorsque les élèves établissent ces formules intermédiaires utilisant des quantités inconnues, ils réalisent en fait la partie « analyse » de la méthode cartésienne au sens où pour produire l’équation x + 4x + (4x + 10) = 100, il faut au préalable produire les relations partielles (les autres équations du système, même si le passage de plusieurs à une seule inconnue – qui, par la suite, pose problème aux élèves – reste ici totalement implicite) afin d’avoir tous les antécédents nécessaires pour déterminer l’inconnue.

Enfin, contrairement à la démarche par analyse/synthèse, on ne calcule pas directement l’inconnue. On y accède de façon indirecte et l’expression obtenue dans la formule finale ici va dans le même « sens » (les mêmes opérations) que l’expression obtenue dans l’équation par la méthode algébrique, tandis que les opérations sont généralement inversées dans la méthode arithmétique comme le rappelle Grugeon, (1995, p. 43).

Conclusion

La résolution d’un problème peut utiliser l’une des trois méthodes ci-dessus. Donnons des caractéristiques pour mettre en évidence leurs similarités et leurs différences.

La résolution par la méthode arithmétique utilise le calcul numérique grâce à des expressions numériques qui portent sur des données connues. Les données sont utilisées dans le sens « direct », dans la mesure où l’on obtient directement la solution à partir des données, c’est-à-dire que la procédure écrite EST celle qui donne la solution.

La résolution par la méthode cartésienne ou par calcul algébrique utilise une mise en équation. Cette équation est composée d’expressions traduisant les relations entre les données connues et inconnues, dans le sens « indirect ». « Indirect », car pour arriver à la procédure de calcul qui donne la solution, il faut passer par la résolution algébrique d’équation. Non seulement, les opérations initiales utilisées dans la mise en équation sont, comme nous l’avons rappelé, souvent « inverses de celles utilisées en arithmétique », mais cognitivement, la démarche algébrique est en effet différente de l’arithmétique : on ne cherche plus une expression qui donne la solution directement mais deux expressions équivalentes afin d’obtenir d’abord une équation, tout en sachant que cette équation va fournir ensuite la solution. Même dans le cas où les opérations vont dans le même sens, la méthode reste indirecte. En effet, écrire par exemple, x = 8 + 3 puis x = 11 reste une démarche indirecte par rapport à celle qui consiste à écrire 8 + 3 =11.

La résolution par la méthode « essai/erreur » en papier crayon utilise du calcul numérique sur les données connues et inconnues, en donnant à ces dernières des valeurs arbitraires à tester dans des expressions dans un sens « indirect ». « Indirect », car pour arriver à la solution, on passe par un test. Des valeurs « arbitraires », ou plus ou moins organisées, les choix étant plus ou moins pilotés, sont prises pour écrire des calculs qui donnent un résultat. Ce faisant, l’objectif n’est pas l’obtention de ce résultat mais de tester si ce résultat correspond à une des données de l’énoncé qui est la donnée cible. Ainsi, là encore on prend un détour pour arriver à la solution : on passe par un test.

En conclusion, la méthode est intermédiaire : elle est « arithmétique » car on fait des calculs à partir d’expressions numériques, comme dans la démarche arithmétique. De plus, on attribue des valeurs arbitraires aux inconnues, toutes les données sont donc numériques, connues comme en arithmétique. Mais elle est aussi algébrique, car on sait que les résultats de ces calculs ne sont pas directement les inconnues recherchées. La méthode est, comme en algèbre, indirecte. Cognitivement, on passe bien à une démarche où l’on utilise les données inconnues (même si c’est de manière numérique) pour résoudre le problème. Nous résumons ces comparaisons dans le tableau suivant à travers cinq caractéristiques (type de calcul, de résolution, de données utilisées, nature des objets et démarche de résolution) qui montre que certaines des caractéristiques de l’essai erreur sont celles de l’arithmétiques, d’autres celles de l’algèbre (en gras dans le tableau 1) :

Tableau 1. Analyse des trois méthodes selon leurs caractéristiques.

Tableau 1. Analyse des trois méthodes selon leurs caractéristiques.

Spécificités apportées par le tableur

Ce qui précède est valable aussi bien en papier crayon qu’en environnement tableur. Cependant, le tableur va apporter ses propres spécificités qui rapprochent la méthode « essai/erreur » de la méthode algébrique. En effet, comme nous l’avons vu dans l’exemple, le tableur aide à l’établissement des relations intermédiaires par lesquelles on passe pour arriver à l’équation. C’est-à-dire qu’il facilite la gestion des données lors de la phase « analyse » de l’énoncé grâce à l’organisation qu’il permet en cellules distinctes avec des formules intermédiaires, imbriquées, et dont on peut à tout moment calculer la valeur pour des valeurs arbitraires de leurs variables. De plus, le tableur enregistre donc toutes les étapes de l’analyse, et cet « enregistrement » se fait selon un triple système de représentation ou d’ostensifs :

  • langage naturel (noms des colonnes) ;
  • langage numérique (valeurs attribuées et résultats calculés) ;
  • langage symbolique s’approchant de l’algèbre (formules du tableur).

Ainsi, le fait d’attribuer des valeurs spécifiques à l’une des inconnues permet de prendre en charge les processus d’analyse et de symbolisation à travers un aspect numérique au lieu de le faire directement sur des quantités inconnues. Tout en s’appuyant sur ce numérique, la formule éditée est, quant à elle, symbolique : = A2+B2+C2. Enfin, la méthode « essai/erreur », fréquemment utilisée par les élèves (Rojano, 1997) et dont on a vu qu’elle était intermédiaire en papier-crayon, est ici permise et, qui plus est, automatisée par les fonctionnalités du tableur (cellules liées, résultats actualisés). C’est au cours de cette automatisation que se dégagent :

  • une formule impliquant une variable même si celle-ci est « matérialisée » par une valeur numérique (transition numérique/symbolique) ;
  • la notion de variable par l’action de changer les valeurs numériques dans la cellule attribuée à l’une des données (inconnue) du problème. (transition spécifique/général) ;
  • enfin, les formules intervenant dans la résolution se rapprochent des équations auxquelles aurait mené la méthode algébrique.

En conclusion, la méthode « tableur » n’est pas algébrique, c’est toujours la méthode « essai/erreur » intermédiaire, mais les nécessités de l’organisation de la feuille de calcul en font un objet hybride. On peut dire que le tableur donne une organisation algébrique à une résolution de type arithmétique.

Le tableau 2 résume les caractéristiques de l’essai/ erreur dans le tableur.

Tableau 2. Le tableur rapproche davantage encore l’essai/erreur de l’algèbre en rendant plus algébriques certaines des caractéristiques arithmétiques de la méthode.

Type de calcul Type de résolution Nature des objets mis en jeu Démarche de résolution Types de données utilisées
Numérique indirect expressions algébriques attribution de valeurs à des cellules : peut être vu comme une « substitution » de valeurs à des variables connues (dont une est la cible) et inconnues sous forme de valeurs arbitraires

Rojano et Sutherland soulignent par ailleurs l’accessibilité à la méthode de l’essai/ erreur à tous les élèves, y compris ceux qui se trouvent habituellement en difficulté ; en revanche, elles relèvent que la résolution peut être mise en défaut lorsqu’on n’est plus en présence de solutions entières. La présence de décimaux, du zéro, ou de négatifs continue à entraîner des performances pauvres comme c’est déjà le cas en papier crayon. Enfin, elles ajoutent que le problème donné doit bien sûr être un problème que l’élève ne peut résoudre par une stratégie purement arithmétique.

Une bibliographie spécifique est jointe à la bibliographie générale.

Notes

1 International Commission on Mathematical Instruction, fondée en 1908, pour améliorer la qualité de l’enseignement et de l’apprentissage des mathématiques dans le monde.

2 Les sigles ont changé plusieurs fois (TICE, TIC…). Nous utilisons ce sigle pour désigner les "Technologies de l’Information et de la Communication pour l’Enseignement", y compris le tableur, même s’il n’a pas été créé pour l’enseignement, et n’est pas éducatif a priori.

3 Avec le tableur on peut aussi imaginer de travailler l’équivalence entre programmes de calculs introduits dans les programmes du collège.

4 Avec sans doute des effets positifs en termes de motivation.

5 Mais que veut dire aléatoire ?

6 Dans l’enseignement, vu l’organisation des progressions institutionnelles, on tend à éviter, dans un tel cas, l’écriture d’un système, en choisissant une quantité inconnue et en exprimant directement les autres quantités en jeu en fonction de celle-ci. Mais divers travaux montrent bien la force du contrat didactique dans une telle mathématisation, s’opposant aux tendances spontanées des élèves consistant à introduire autant d’inconnues que de quantités inconnues.

Table des illustrations

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Légende (ce sont aussi sous ces positions (statiques) prototypiques que ces figures sont généralement enseignées).
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Titre Figure 1.
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Titre Figure 2.
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Titre Tableau 1. Analyse des trois méthodes selon leurs caractéristiques.
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Auteur

Mariam Haspekian, maître de conférences à l’Université Paris-Descartes, effectue ses recherches en didactique des mathématiques au sein du laboratoire EDA (Éducation, Discours, Apprentissages), notamment sur les pratiques enseignantes et sur l’utilisation des technologies dans l’enseignement et dans l’apprentissage des mathématiques.

© Presses universitaires de Franche-Comté, 2012

Conditions d’utilisation : http://www.openedition.org/6540

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