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Une caméra au fond de la classe de mathématiques

 | 
Aline Robert
, 
Jacqueline Panninck
, 
Marie Lattuati

Deuxième partie. Des outils pour former le travail de l’enseignant pour la classe et en classe. Analyses de séances de classe et des mathématiques à enseigner

Chapitre 3. Les pratiques des enseignants – travail en classe et pour la classe

Texte intégral

1Pourquoi consacrer un chapitre à ce sujet ? Cela traduit la différence que nous faisons entre apprendre des mathématiques, au collège et au lycée et se former à devenir enseignant de mathématiques, ou encore entre enseigner les mathématiques au collège et au lycée et former à cette activité professionnelle. Certes, une partie de ce qui est nécessaire à cette formation est mathématique et est assurée par des enseignements universitaires classiques, mais nous avons fait l’hypothèse forte qu’il y a aussi toute une partie spécifique, nécessaire, qui peut contribuer à enrichir non seulement les connaissances des futurs enseignants mais encore ce qu’ils en font dans la réalité de la classe (et pour elle) – en un mot, ce qui constitue le cœur de leurs pratiques.

2Nous définissons les pratiques d’un enseignant comme l’ensemble de ce qu’il pense, fait, dit, ne dit pas, en classe, avant et après la classe, hors-classe à propos de son enseignement. Cela inclut donc le travail que l’enseignant développe en classe et pour la classe, qui est la seule visée du type de formations que nous développons.

3Dans la première section du chapitre nous faisons un petit détour pour expliciter la manière dont nous comprenons les pratiques, ce que nous mettons sous ce terme, en présentant les recherches qui ont mené aux analyses actuelles et en résumant des résultats qui ont inspiré nos choix ultérieurs. La deuxième section se polarise sur l’objet des formations envisagées ici, le travail de l’enseignant de mathématiques en classe et pour la classe, précise ce qui en fait la spécificité à nos yeux et en reprend les principales dimensions à partir de tout ce qui précède dans les chapitres 1 et 2.

4Deux annexes complètent ces présentations, la première développe des questions sur le travail autonome des élèves en classe, la deuxième propose un récapitulatif des variables aux mains des enseignants, qui amènent à des choix.

Section 1 Les analyses de pratiques de l’enseignant

I. Historique des recherches sur les pratiques des enseignants de mathématiques en collège/lycée. Une petite histoire en trois temps

  • 1 Avec souvent une répartition du temps différente qui peut amener des inquiétudes sur le suivi des p (...)
  • 2 Conceptions sur les mathématiques, leur enseignement et leur apprentissage.

5Des interrogations sur l’adoption peu fréquente de séquences d’enseignement inspirées de la didactique des mathématiques ont contribué dans les années 1990 à donner davantage de place aux enseignants dans nos travaux. Bien sûr il est difficile d’adopter des modes d’enseignement différents de ceux dont on a l’habitude1, qui plus est, élaborés par quelqu’un d’autre (cf. partie 3, chapitre 3) mais à ce point ? Les premières recherches que nous avons ainsi menées, il y a une vingtaine d’années, sur les pratiques des enseignants étaient centrées sur des résistances attribuées aux représentations2 des enseignants, qui seraient trop différentes de celles des didacticiens – ce qui réduirait notamment leurs choix de tâches et leurs discours en classe.

6Ces premières recherches ont montré, d’une part, la difficulté d’isoler les représentations significatives, c’est-à-dire liées aux pratiques effectives, d’autre part, ont révélé que les représentations un peu formelles exprimées au cours d’entretiens ne discriminaient que partiellement les pratiques des enseignants.

7En un mot, la diversité des représentations et des discours des enseignants ne permettait pas d’interpréter la diversité des pratiques.

8Les recherches qui ont suivi se sont alors centrées sur des caractéristiques plus fines permettant d’identifier et de comprendre les causes des différences entre les pratiques, qui y étaient analysées en relation exclusive avec les apprentissages éventuels des élèves ou au moins leurs activités.

9Ces recherches ont surtout révélé :

  • une grande diversité des discours des enseignants et même des déroulements développés en classe : tant dans la structuration des discours, des commentaires « méta3 » que dans le choix d’exercices et du travail correspondant organisé pour les élèves ;
  • une certaine régularité du travail de l’enseignant qui lui est propre. La comparaison de séances analogues faites par un même enseignant dans des classes différentes plus ou moins favorisées a montré certes des différences liées notamment aux durées du travail dévolu aux élèves, en relation avec leur niveau de scolarité ; mais sur des exercices proposés analogues, on retrouve des phases de travail identiques et des discours semblables, bien que plus ou moins détaillés.

10Mais alors quelles sont les causes des diversités entre enseignants ? Pourquoi et comment s’établissent ces diversités ? Comment peut-on les interpréter ? Quels en sont les effets sur les élèves ? Peut-on envisager des modifications ?

11Pour tenter de répondre à ces questions, les recherches que nous avons menées ont été inscrites dans une approche plurielle prenant davantage en compte, en même temps que les apprentissages visés, le point de vue du métier des enseignants, qui a ses propres règles, inscrites dans la société, et, du même coup, la collectivité des enseignants soumis aux mêmes contraintes. Ces travaux ont permis de mettre en évidence et d’avancer sur des régularités retrouvées chez un grand nombre d’enseignants :

  • choix communs de contenus pour un niveau scolaire donné, en conformité avec les programmes scolaires ;
  • principes communs adoptés pour la gestion de la classe : ne pas laisser une séance sans conclusion, ne pas laisser un chapitre sans évaluation, etc.

12Les enseignants, même s’ils exercent dans des établissements très différents, ont des choix assez proches sur les contenus globaux à mettre dans les chapitres, en termes de cours (définitions, propriétés, exemples, etc.) et de types d’exercices, et leurs différences portent surtout sur les choix fins d’exercices et sur les déroulements.

13L’intérêt de prendre en compte l’influence des contraintes externes à la classe, telles que les programmes, les contraintes sociales, les habitudes dans l’établissement, etc. pour analyser et comprendre les pratiques des enseignants, commence à se dégager et constitue un début de réponse aux questions sur l’intelligibilité des pratiques.

II. Quelques éléments qui peuvent éclairer notre compréhension des pratiques des enseignants

14Alors que les premières recherches étudiaient l’enseignant non pour lui-même mais en relation avec les apprentissages visés des élèves, cette dernière approche prend en compte systématiquement le métier d’enseignant, ses contraintes et sa complexité (élèves/ métier) pour analyser et interpréter les pratiques. Il s’agit bien d’analyser les pratiques des enseignants de mathématiques de collège et lycée comme un objet complexe.

15Cette inscription dans la complexité consiste pour nous à analyser les pratiques d’un enseignant en classe non seulement en relation avec les activités mathématiques possibles des élèves, provoquées en partie par cet enseignant, avec les effets sur les apprentissages, mais aussi en relation avec le métier, et toutes ses contraintes : programmes, horaires, institution, composition de la classe, conditions sociales des élèves, habitudes de l’établissement… Nous prenons aussi en compte la composante personnelle de chaque enseignant : ses représentations (ses conceptions), ses connaissances, son expérience... Il s’agit de comprendre, en relation avec tout ce qui précède, les diversités et les régularités intra et inter-individuelles, et dégager des variabilités, des alternatives dans les activités des enseignants en classe et pour la classe, en s’intéressant aussi au développement de ses pratiques pour un enseignant donné. A terme, notre perspective est celle d’un enrichissement, à l’installation dans le métier ou après, en alimentant la réflexion sur les formations.

16Nous qualifions cette démarche de « double approche » à la fois didactique et ergonomique (développée par Janine Rogalski et Aline Robert).

17Les pratiques des enseignants ont pour but l’apprentissage des élèves (approche didactique) mais elles se déploient dans l’exercice d’un métier et de ses contraintes (approche ergonomique).

18Pour réussir à étudier ainsi les pratiques des enseignants, les chercheurs les ont analysées en partant de séances de classe (si possible filmées). Ils se sont intéressés à diverses composantes, certaines observables directement, comme les choix de tâches et de scénarios, ou les choix de gestion, d’autres plus cachées, à reconstituer. Par exemple des entretiens permettent de préciser les conditions de travail de l’enseignant, la manière dont il les apprécie et contribuent à mieux faire cerner certains choix personnels de l’enseignant, en relation avec ses conceptions de l’enseignement des mathématiques. L’étude des programmes est toujours nécessaire, quelquefois complétée par l’étude de manuels, et éclairée par la mise au point par le chercheur du relief sur les notions concernées (cf. partie 2, chapitre 1). Ce point de vue, qui amène à reconstituer des logiques d’action des enseignants, entremêlant les choix de contenus et de déroulements (cf. exemples en partie 2, chapitre 2), est complété par l’introduction d’une autre organisation des pratiques en « niveaux ». Là encore cela permet de traduire la complexité. Ainsi peut-on distinguer, dans l’organisation interne des pratiques de chaque enseignant, un niveau global, qui concerne les projets de l’enseignant, de tous ordres, le niveau local attaché aux choix en situation, en classe, et le niveau « micro », relevant des décisions quasi-automatiques, et autres routines.

III. Quelques résultats dégagés des recherches récentes

1) Difficultés des enseignants débutants

  • 4 L’ensemble des cours et exercices à proposer sur une notion, ou pour un chapitre par exemple.

19Les débutants éprouvent une surcharge de travail au niveau local (celui du quotidien de la classe), ils ont souvent des difficultés à concevoir un texte complet du savoir4 inscrit dans une vision globale, ils ne savent pas gérer le temps et ne disposent pas d’automatismes ou de routines ; ils ont du mal à prendre en main les élèves et à en tenir compte. On rencontre deux excès inverses :

  • l’enseignant majorant la prise en compte souvent très individualisée des élèves, obnubilé par les réactions de la classe et le souci des élèves au détriment d’un projet mathématique qui reste très local, dilué et sans inscription dans un ensemble cohérent ;
  • l’enseignant majorant le projet mathématique en oubliant que c’est aux élèves qu’il enseigne.

20Mathématiques et prise en compte des élèves ne sont pas encore imbriquées dans leurs préoccupations et leurs pratiques.

  • 5 Voir introduction du livre.

21Par ailleurs certains débutants ont tellement naturalisé quelques notions mathématiques qu’ils n’en voient plus les difficultés5, négligent les passages intermédiaires et les constructions provisoires en minorant la nécessité du temps nécessaire à la construction du sens.

2) Régularités des choix globaux de contenus des enseignants

22Les choix des enseignants, notamment ceux qui mettent en jeu les choix globaux de contenus mathématiques sur une notion ou un chapitre, se font de manière assez analogue entre enseignants, à partir des contraintes institutionnelles et sociales. Ils sont associés au « champ mathématique » défini par Roditi, 2005, on pourrait évoquer les possibles mathématiques pour un contenu donné à un niveau scolaire donné et dans un type d’établissement.

23Les contraintes institutionnelles sont accessibles à partir des programmes, des instructions, et dans une certaine mesure des manuels, qui tiennent aussi compte implicitement des horaires. Leur prise en compte à un niveau global amène à des choix de progression sur l’année, de volume horaire sur chaque chapitre, et aussi à ce ressenti fréquent de « course constante contre la montre » pour « finir » les programmes.

24Les contraintes sociales, liées en partie à la nécessité que la classe tourne, peuvent être à l’origine de « principes » de gestion partagés que Roditi a mis en évidence chez des enseignants de collège, par ailleurs divers : principe de clôture - traduisant la nécessité d’indiquer aux élèves une fin dans ce qui est travaillé, principe affirmant la nécessité de succès d’étapes par des interrogations régulières, ou encore principe de respect des attentes des élèves.

25Cela contribue aussi à une certaine « unité » professionnelle, au niveau des établissements, éventuellement renforcée par des contrôles communs et un même choix de manuels, avec une cohérence interannuelle, certes relative. A contrario on constate que cette unité est éventuellement rompue par exemple au moment des transitions entre collège et lycée, ce qui peut mettre sur la piste de différents groupes professionnels homogènes mais différents entre cycles.

3) Des différences entre enseignants associées à des choix plus « locaux »

26Les diversités sont davantage constatées dans la manière dont les enseignants mettent au point dans les détails leur scénario à l’intérieur de l’enveloppe prédéterminée, choisissent localement la variété des tâches (énoncés), les évaluations, le travail à la maison, et gèrent leurs classes (déroulement, travail laissé aux élèves et appui sur ce travail) – cela concerne donc le niveau local. Cela n’en réduit pas pour autant les conséquences éventuelles sur les activités des élèves.

27Le travail de Hache, 2000, par exemple montre que chaque enseignant de lycée analysé fait des choix récurrents identiques de types de tâches associés à une gestion analogue (définissant un « univers »). Chacun adopte selon les moments environ trois « univers » parmi les huit mis en évidence allant des gammes associées à un travail individuel rapide à la recherche de tâches complexes en petits groupes. Autrement dit, la diversité est plutôt associée à des investissements différenciés des enseignants des marges de manœuvre « qui leur restent », en termes de tâches précises et de déroulements. Les mêmes différences sont révélées par l’étude du discours fin (questions aux élèves, registres langagiers utilisés, fonctions du discours, marqueurs langagiers) qui renforce cette différence de choix – cf. Chappet Paries, Robert, Rogalski, 2008.

4) Stabilité pour chaque enseignant des choix de gestion de ses séances

28De l’analyse des pratiques d’enseignants expérimentés dans plusieurs classes, il ressort les résultats suivants :

  • dans des conditions sociales et institutionnelles comparables, les pratiques en classe d’un enseignant expérimenté ont une certaine invariance et cette stabilité concerne d’abord les décisions de gestion de l’enseignant, a priori et pendant la séance. Autrement dit, ces choix sont plus stables que les choix précis de contenus préparés avant la séance6. L’équilibre trouvé entre la prise en compte des élèves, la nécessité de dérouler le programme et la conformité professionnelle serait une adaptation stabilisée pour l’enseignant expérimenté et difficilement ébranlable : les modifications liées au choix des contenus pourraient être intégrées dans les préparations sans avoir de répercussion sur les déroulements en classe ;
  • ainsi certains exercices nouveaux peuvent être proposés sans que l’organisation du travail présentée aux élèves ne soit modifiée, ce qui peut avoir des conséquences sur le bénéfice que les élèves pourront tirer de ces exercices au cas où les déroulements proposés ne seraient pas les mieux adaptés aux nouvelles tâches ;
  • on peut aussi se demander si certains élèves ne sont pas de ce fait souvent exclus des activités mathématiques dans une classe donnée : du fait du choix de la gestion de l’enseignant, ils n’auraient jamais l’occasion de développer des connaissances proches des savoirs visés, les aides pourraient ne jamais leur être utiles et rester procédurales en ne leur permettant que d’effectuer la tâche demandée.

5) Relations entre choix d’enseignants et apprentissages

  • 7 Voir aussi partie 3, chapitre 2 et partie 2, chapitre 1, section 4.

29Quelques travaux assez récents mettent en jeu la mise en relation entre des évaluations (contrôles) d’élèves et l’enseignement reçu, attestant d’un certain nombre de régularités (sur l’apprentissage des triangles semblables en seconde, Horoks, 2008, sur l’apprentissage des racines carrées en troisième Dumail, 2007, sur l’apprentissage de la symétrie orthogonale en sixième, Chesnais, 20097). Ces chercheurs ont pu confirmer l’importance de ce qui est fait en classe, collectivement, dans les acquisitions. Cependant, si des répétitions de tâches garantissent un certain succès, elles peuvent aussi empêcher certaines adaptations des connaissances, pourtant indispensables aux acquisitions. De même, des formes de travail comme le travail en petits groupes ne bénéficient pas automatiquement à tous les élèves, la qualité de l’accompagnement de l’enseignant jouant beaucoup.

30Cependant, encore une fois, les variations des choix des enseignants sont limitées par l’inscription des pratiques individuelles dans les contraintes précédentes.

6) Résultats détaillés sur des régularités dans l’organisation du démarrage des exercices (surtout au lycée)

  • 8 Robert (2003), Robert et Rogalski M. (2002).

31Des travaux8 ont pu mettre en évidence des régularités sur le démarrage des exercices, régularités ni universelles, ni exhaustives mais fréquentes dans des classes « moyennes », actuellement plutôt au lycée. Les nouvelles instructions officielles et conditions de travail des enseignants ont sans doute fait évoluer dernièrement ces caractéristiques, notamment au collège et dans les classes difficiles, en valorisant une plus grande centration sur les procédures des élèves, y compris leurs procédures non expertes, et la prise en compte de compétences « élargies ».

a) Une prise en main précise et rapide de l’activité des élèves

  • 9 Par une prise de parole qui suit immédiatement la donnée ou la relecture de l’énoncé.

32Si la tâche proposée n’est ni simple ni isolée, il y a découpage immédiat9 par l’enseignant en sous-tâches grâce à des questions intermédiaires. Elles correspondent en général à proposer des applications isolées puis à les simplifier si les élèves n’y arrivent encore pas. De ce fait il n’y a pas d’hésitation pour les élèves sur le démarrage, la question « quoi faire » est posée par l’enseignant, tout de suite, pas de flou, pas d’incertitude. Mais ainsi une majorité d’élèves peut répondre, peut « faire quelque chose ».

b) Du temps laissé aux élèves mais pour résoudre des tâches simples et isolées

33Le temps laissé aux élèves, car il y en a, sert, au début, à ce que certains élèves répondent brièvement à des questions « bien posées ». Dans ce cas l’enseignant attend souvent autour de dix secondes. Le temps laissé ensuite sert aussi à ce qu’ils fassent, tous si possible, les « derniers » calculs, précisés par ce qui précède. Le silence peut alors dépasser une minute. Quelquefois ce sont les dessins pour lesquels l’enseignant laisse un peu de temps. Il s’agit toujours de tâches devenues simples et isolées.

c) Une orientation univoque de l’activité des élèves

34Quelles sous-tâches sont proposées ?

35Puisqu’il faut apprendre (et vite) à se servir d’une nouvelle notion, l’enseignant va devoir orienter l’activité des élèves, au moins dans les premiers exercices, même si cela ne correspond pas toujours aux premières réponses des élèves, non reprises : l’enseignant incite très vite à un recours systématique au décontextualisé (ce qui est en train d’être appris, à mémoriser) pour résoudre une question. C’est particulièrement vérifié au lycée. Le professeur ne laisse pas les élèves refaire sur un exercice particulier un raisonnement qui serait adapté au cas particulier au lieu d’appliquer les ressources du cours (ni même mélanger les deux, nouvelle méthode et anciennes connaissances). De ce fait, les exemples génériques (porteurs de généralité sans être généraux) sont souvent rapidement éliminés au profit du général.

On a pu observer un exemple caricatural de cela, il y a longtemps, en troisième : pour résoudre – 3x = 7, on fait calquer la résolution de ax = b (l’activité des élèves consiste à évoquer le modèle, voire à l’écrire, puis à remplacer a par – 3 et b par 7 dans x = Image. En seconde, il y a quelques années (la valeur absolue était encore au programme), pour résoudre |x + 2| < 5, on faisait identifier le modèle | x-C| < R, puis remplacer C par – 2 et R par 5 dans le résultat donné en cours, qu’on recopie ainsi.

  • 10 Roditi (2005) a montré qu’il y a là un principe en actes très fort chez tous les enseignants.

36Il est laissé peu d’occasion aux élèves de « tatouiller » en classe, de mélanger leurs connaissances, de les éprouver. D’une certaine manière on ne laisse pas se développer des mathématiques « sales », imparfaites, approximatives, non encore bien formalisées. Mais, au moins on a appris quelque chose aujourd’hui10… peuvent dire les enseignants. On peut noter que cette façon de procéder engage beaucoup la mémorisation.

d) Une gestion de certaines questions d’élèves avec des réponses de type accélérateur, voire « anticipateur »

37L’enseignant anticipe sur ce que l’élève va dire, ou n’a pas compris, ne le laisse pas aller jusqu’au bout, lui coupe la parole ou le double, en terminant la phrase à sa place.

38Il peut y avoir un « effet Jourdain » (cf. Brousseau) : l’enseignant fait comme si l’élève avait découvert ce qu’il attendait.

e) Un usage fréquent d’acquiescements locaux, partiels, collectifs

39Souvent par des questions qui n’attendent pas toujours de réponses (d’accord ? Tout le monde a compris ?) l’enseignant provoque des acquiescements de surface, qui peuvent témoigner d’un certain suivi, mais aussi provenir de l’impossibilité pour les élèves de pointer précisément leurs incompréhensions.

f) Un travail sur le nouveau, peu d’entretien de l’ancien (ou minoré), ni de réorganisation de l’ancien dans le nouveau

40Le fait que peu de connaissances soient sûres pour certains élèves, avec même l’impression de régression au cours de leur scolarité pour certains, peut être mis en relation avec ce constat : les élèves éprouvent peu (mettent peu à l’épreuve) leurs connaissances.

41On constate aussi que les élèves n’essaient pas de mettre en relation leurs résultats numériques et ce qu’ils peuvent voir sur un graphique, lorsqu’il serait possible de comparer, ou n’ont pas l’idée de vérifier leurs résultats algébriques en prenant des valeurs numériques.

g) Peu d’exploration des possibles ; confusion entre expérimentation mathématique et exploration

42Les instructions officielles insistent dans les textes récents sur l’importance de faire expérimenter les élèves. Or cette activité n’est pas nécessairement porteuse de sens, ou du moins du sens attendu : les expériences numériques par exemple ne mettent pas nécessairement sur la voie des démonstrations arithmétiques, le recours à des nombres particuliers peut cacher la généralité des propriétés qui interviennent.

43On peut se demander si l’institution n’entretient pas une certaine confusion entre expérimentation et exploration : ce n’est pas parce qu’un élève expérimente, en menant de nombreux calculs ou en faisant des dessins variés qu’il apprend la richesse des outils correspondants utilisés avec leur formalisme. Au contraire l’expérimentation, souvent initiale, est associée à la construction du nouveau alors que l’exploration consiste à utiliser à bon escient dans des situations variées une notion déjà introduite, quitte à mélanger plusieurs notions.

  • 11 Elles sont toujours évoquées pour justifier ces faits.
  • 12 Qualitative notamment.

44En conclusion, les contraintes de temps11, rendues encore plus lourdes par les restrictions d’horaires actuelles, amènent à privilégier dans un certain nombre de classes « moyennes », surtout au lycée, un travail des élèves sur « le nouveau », mais sans beaucoup d’exploration12, peu d’entretien de l’ancien, pas ou peu de réorganisation entre ancien et nouveau, avec une orientation univoque de l’activité des élèves vers ce nouveau permise par une prise en main précise et rapide (voire immédiate) de ces activités.

7) Des questionnements partagés encore ouverts

  • 13 Certains disent renoncements, surtout lorsque ce sont des qualités des mathématiques auxquelles on (...)

45Cela dit, un certain nombre de questions apparaissent régulièrement, donnant lieu à des choix différents, et nous les avons partagées pendant nos séances d’analyse de vidéo en formation de formateurs. Il nous semble important de les connaître, de les expliciter au regard des régularités dégagées au paragraphe précédent. Cela permet de mesurer à quel point le travail de l’enseignant est fait aussi de choix, d’hésitations, voire de paris et de deuils13, alors même que les élèves n’en voient qu’un aspect assuré et sans faille. Les enseignants ont leurs raisons, que personne ne connait aussi bien qu’eux !

  • 14 La question de l’éducation prioritaire (ex- ZEP) est abordée dans la partie 3, chapitre 2.

46Gérer l’hétérogénéité et obtenir l’engagement des élèves dans le travail occupent une grande place, que ce soit dans des classes difficiles ou non14. La question s’étend au travail hors-classe : quelles tâches réserver à ce travail qui peut être mené de manière différente selon l’environnement des élèves, des gammes ou de l’approfondissement ou des petites recherches ? Peut-on s’en passer, comment le valoriser, le corriger ? Le cadre d’analyse que nous présentons ici amène à aborder ces questions sous l’angle particulier des choix de contenus (et de tâches) et de gestion, qui sont discutés comme des alternatives, avec leurs avantages respectifs et leurs inconvénients (cf. l’exemple du travail en petits groupes en annexe 1). Des positions variées sont défendues, révélant l’importance des composantes personnelles et des représentations qu’ont les enseignants du « niveau » de leur classe et des potentialités de leurs élèves.

  • 15 Et l’introduction du socle a encore accru ces questionnements (cf. partie 3, chapitre 4).

47Plus spécifiques à l’enseignement des mathématiques, les questions de simplification à faire pour s’adapter au niveau des élèves, d’exigences à respecter sur la forme écrite, plus généralement d’interprétation et de suivi des programmes15, amènent à aborder ce qui est prescrit à l’enseignant, ce qu’il en comprend et ce qu’il va en retenir, compte tenu de la spécificité du terrain où il exerce. Ce sont les analyses de tâches qui permettent de préciser ce qui est en jeu, d’abord locales, souvent à relier dans un deuxième temps à des choix plus globaux, par exemple sur l’évolution éventuelle des exigences ou sur la durée des simplifications à respecter.

  • 16 Pour résoudre 3 – 21x = 0, écrire successivement 3 – 3 – 21x = – 3, 0 – 21x = – 21x/-21 = -3/-21, x (...)

48Par exemple, le fait de demander aux élèves jusqu’en troisième de rappeler à chaque ligne, dans les égalités conduisant à la résolution d’une équation16, les opérations explicites effectuées, alourdit un peu l’écriture mais simplifie la tâche des élèves, qui devient une suite de sous-tâches simples et isolées, évitant des erreurs. Mais cela n’évite pas la difficulté de mémorisation du changement de sens des inégalités quand on passe à la résolution des inéquations. Et cela rend peut-être moins nécessaire d’indiquer que chaque égalité est équivalente à la précédente – puisque ça se voit ! Cela retarde peut-être ainsi la mise en place de certaines habitudes de rigueur, avec des répercussions dans la rédaction.

49Les calculs algébriques un peu plus complexes, voire ce qui concerne l’usage implicite puis explicite des quantificateurs, même écrits en français, donnent lieu à une discussion un peu analogue, sur le rôle producteur éventuel de la forme écrite, qui peut être perçue au contraire comme une norme à respecter sans la comprendre.

50Donner aux élèves le modèle du « je sais que, or, donc » dans les premières démonstrations géométriques, éventuellement même dans une présentation en tableau, peut rassurer les élèves et faciliter leur travail mais cela risque aussi de figer les activités des élèves, de rendre difficile d’aborder les démonstrations en plusieurs étapes ou bien celles où il est intéressant de commencer « par la fin » (cf. Gandit, 2004). Cette simplification, associée à une sorte d’algorithmisation (fictive) des démonstrations, est souvent discutée, certains l’estimant très utile mais à titre transitoire, d’autres la jugent d’emblée trop réductrice. Plus généralement, l’équilibre entre la nécessité, pour arriver à gérer la classe, de permettre à beaucoup d’élèves de s’engager dans un exercice et l’intérêt, pour les apprentissages, de proposer suffisamment de tâches complexes est souvent délicat, discuté, et source d’interrogations ouvertes, qui mêlent choix de contenus et choix de gestion.

51Terminer le programme (trop) rapidement ou rester suffisamment longtemps sur un certain nombre de notions pour en assurer l’apprentissage du plus grand nombre, quitte à ne pas avoir tout « fait » ? Cette question hante les salles de classe, elle est loin d’être simple, et les réponses peuvent varier selon la position institutionnelle de ceux qui y répondent (les inspecteurs exigent de finir le programme). On retrouve cette caractéristique des tâches des enseignants : il leur reste toujours une marge de manœuvre qui ne peut être entièrement prise en compte par des instructions. Il y a sans doute des seuils, liés à la composition des classes, qui amène à telle ou telle décision pratique, vue ici comme une alternative, avec son cortège de conséquences variées.

52La question de la rapidité et de la progressivité des progressions installées sur l’année, en relation avec le sens des notions que les élèves ont à acquérir est du même ordre. Certains arguent de l’efficacité des petits pas, et admettent que le sens peut venir après un certain apprentissage y compris technique, d’autres développent l’intérêt pour les élèves des introductions complexes adaptées ou des expériences cruciales en matière de démonstration (Balacheff, 1982), estimant que c’est l’installation d’un certain sens initial qui permet les apprentissages, y compris techniques. Notre référence aux théories de Piaget et de Vygotski (cf. partie 3, chapitre 3) nous amènent à croiser les spécificités mathématiques des notions et les besoins cognitifs des élèves, en faisant jouer selon les contenus, les classes, les enseignants, plusieurs dynamiques mêlées (cf. chapitre 1, section 2)

53Enfin la difficulté des transitions (CM2/6e, 3e/seconde) n’est un secret pour personne – elle pèse aussi sur les enseignants, et prend souvent la forme de récriminations vis-à-vis de ce qui est fait dans les niveaux antérieurs, jugé toujours insuffisant. Ce décalage s’exprime bien avec nos catégories : les professeurs attendent souvent des élèves des connaissances disponibles alors que seul leur caractère mobilisable a été travaillé.

54Reste que des recherches complémentaires sont nécessaires à mieux comprendre ce qui peut être en jeu à chaque niveau.

55Tous ces résultats et les questions qu’ils soulèvent sont des préalables essentiels à toute réflexion sur les formations des enseignants aussi bien initiales que continues.

Section 2 Un zoom sur le travail de l’enseignant de mathématiques en classe et pour la classe

56Nous récapitulons ici ce qui est au centre de nos préoccupations, notamment de formation. À quelle partie du travail de l’enseignant nous attaquons-nous, quels sont les moyens que nous nous donnons pour y parvenir ?

57Il ne s’agit évidemment pas ici seulement du travail en mathématiques de l’enseignant mais surtout de la partie de ses pratiques qui provoque l’activité mathématique des élèves. Nous soulignons un certain nombre de caractères liés à la complexité déjà évoquée.

58Il s’agit d’un travail :

  • contraint à la fois par l’institution (programmes, horaires, établissement) et socialement (élèves, collègues, parents) ;
  • déterminé en partie par les ressources (expériences, connaissances) et les conceptions propres de chaque enseignant ; intervenant à différents moments qui ne sont ni dépendants ni indépendants (ce qui devra apparaître dans les formations) : travail de préparation (anticipations, préparations, corrections), travail en classe (adaptations, improvisations), et dans différents lieux (travail dans et hors classe, dans l’établissement, en formation...). Ainsi y interfèrent plusieurs niveaux d’activités : un niveau « global » (projets et conceptions), un niveau « local » (gestion en classe, au quotidien), et un niveau « micro » (automatismes, routines), ces trois niveaux étant très imbriqués entre eux.

59Ce travail répond à plusieurs objectifs liés mais en partie indépendants : l’enseignant souhaite que la classe « tourne », que les élèves réussissent, que les élèves apprennent. Enfin l’évaluation du travail de l’enseignant est toujours indirecte et médiatisée – on ne peut pas en mesurer directement l’effet sur les apprentissages de ses élèves.

60Rappelons ici que les formations qui nous occupent se donnent pour objectif de permettre aux enseignants d’enrichir leur palette des possibles et donc de travailler en imbriquant, à la fois : les préparations, compte tenu des déroulements passés et à venir (et des élèves) et des mathématiques à enseigner et le travail de gestion (compte tenu des contenus et des élèves), si possible en transposant les travaux de recherche donnant des outils pour analyser ou élaborer.

  • 17 D’autant que cela est fait dans d’autres formations, personnalisées, sur le terrain.

61Autrement dit, on n’étudie pas séparément la gestion des séances de classe17, liée au terrain et à une personnalisation nécessaire (cf. compagnonnage). On ne se limite pas non plus à la seule analyse des tâches proposées aux élèves. C’est l’étude de l’imbrication, donnée à voir a posteriori dans des séances réelles, qui est centrale dans les recherches à l’origine de ce livre et dans les formations visées (cf. chapitre 5). L’exemple de la discussion sur l’organisation du travail en petits groupes illustre ce point en annexe 1.

62Cependant le travail de préparation de l’enseignant, dont nous avons évoqué la relative indépendance de son travail en classe, nécessite des analyses distinctes, notamment pour envisager ce qui est global. Ce qui est original dans notre démarche de formation, c’est que cette phase du travail de l’enseignant est étudiée après l’étude de ce qui se passe en classe, qui, ainsi, en motive l’accès.

63Pour étudier ce travail, nous privilégions les analyses croisées des déroulements en relation directe avec les exercices qui sont travaillés. Il s’agit d’apprécier dans quelle mesure la gestion choisie par l’enseignant, pour provoquer le travail sur des énoncés choisis, fait développer aux élèves des activités proches de celles qui sont attendues. Cela fait intervenir plusieurs niveaux, liés aux déroulements que l’enseignant organise pour le travail des élèves sur un exercice, qui a été au préalable analysé, à ce que l’enseignant « fait » de ce travail des élèves, à l’insertion de cet exercice dans la séance et, le cas échéant, au scénario dans lequel la séance s’inscrit à différents niveaux.

64– Au niveau local

65À partir d’un énoncé qui a été analysé (analyse a priori de la tâche) et dont nous étudions le déroulement, nous introduisons les variables qui apparaissent comme des outils de travail aux mains de l’enseignant, à repérer par le formateur :

  • la nature, la forme du travail proposé aux élèves et les durées – travail individuel, en petits groupes, collectif, écrit, à la maison, travail de recherche, travail de rédaction –, le temps de silence de l’enseignant ;
  • l’enrôlement dans le travail, avec les transitions (maintien dans l’activité même si celle-ci change) ;
  • le repérage du travail des élèves, les questions, les relances, les aides (intermédiaires, procédurales, constructives) et l’appui sur le travail des élèves ;
  • le jeu des formulations ;
  • l’interprétation et l’exploitation du travail des élèves, avec la mutualisation, la validation et la correction, l’évaluation, les choix et les deuils de l’enseignant.

66– En allant vers le niveau global, s’il y a lieu, en nous détachant du seul exercice ainsi

67analysé, nous repérons dans les déroulements :

  • la généralisation, la réflexion sur des méthodes (les commentaires « méta »), l’organisation des connaissances (la cohérence sur le temps long) ;
  • l’exposition des connaissances, les exemples, la structuration et les liens avec le travail des élèves, le choix de ce qui est dit, répété ou non-dit (deuil de l’exhaustivité ou la décision de reporter à plus tard certains compléments parce que la progression dans le programme le permet), montré, « prouvé » :
  • le recours à l’écrit, l’usage des instruments, du tableau ;
  • éventuellement les implicites, les malentendus, l’explicitation du contrat.

68– Enfin, le lien entre le niveau local et le niveau global est assuré par le travail de préparation, y compris par la référence aux manuels utilisés de l’enseignant. A ce niveau, l’enjeu est de mettre du relief sur les notions à enseigner (cf. partie 2, chapitre 1). Pour circonscrire le travail mathématique exigible des élèves, rappelons qu’on s’appuie sur l’appréciation du type de notions, des types de problèmes adaptés et possibles, du niveau de rigueur attendu et des modes de raisonnements autorisés

69L’enjeu est aussi d’apprécier les tâches proposées aux élèves : ordre, variété et quantité des tâches, avec notamment les adaptations, sources de déséquilibres qui peuvent être producteurs d’acquisitions pour les élèves. Sur un exercice étudié, il s’agit de comprendre comment l’enseignant tient compte des difficultés répertoriées des élèves, mais aussi de percevoir les éventuelles « naturalisations » dans ses interventions. Cela conduit au travail d’élaboration précise du scénario sur une notion donnée : là encore plusieurs variables sont introduites et déployées, depuis le choix de l’introduction supposée adaptée au type de notion tel qu’il a été repéré, les dynamiques entre les cours et les exercices, entre sens et techniques, entre signes (symbolisme) et sens, l’analyse des différentes tâches, et jusqu’aux évaluations. Dans l’annexe 2 nous reprenons l’ensemble des variables sur lesquelles un enseignant peut jouer dans la mesure où elles influencent les apprentissages.

  • 18 On trouve l’intérêt de cette dimension des apprentissages chez Piaget et chez Vygotski.

70des erreurs et les rectifient en partie par eux-mêmes : cela contribuerait à la construction de leurs propres connaissances. L’enseignant a posé le problème sur lequel travaillent les élèves, il peut répondre à des questions, relancer des élèves, mais ce n’est pas lui qui organise leur travail. Cela peut se passer en laissant les élèves chercher individuellement, ou en acceptant des échanges, non organisés, entre voisins. D’autre part, il semble aussi favorable de laisser des moments où les élèves discutent entre eux des mathématiques sur lesquelles ils sont en train de travailler, partagent des propositions, formulent des arguments pour convaincre les autres élèves18 : c’est ce que le travail en petits groupes peut ajouter au travail individuel en autonomie, s’appuyant sur les bénéfices éventuels des interactions et des échanges entre pairs. On peut aussi souligner que, s’il s’agit de problèmes longs et/ou difficiles, le travail en petits groupes peut favoriser l’émergence de plusieurs pistes, faire avancer la recherche, éviter le découragement et participer à une certaine (re)motivation des élèves.

71Cependant des conditions sont requises pour espérer des effets positifs de tels dispositifs sur les apprentissages des élèves, effets positifs qui ne sont au demeurant jamais garantis. Outre le choix des problèmes proposés et la gestion par l’enseignant de ces phases de recherche, on peut noter l’importance du temps laissé aux élèves : temps suffisamment long pour qu’ils s’investissent dans le problème proposé, mais pas trop long pour éviter qu’ils attendent que le temps passe et que l’enseignant corrige… Il est aussi essentiel que l’enseignant intervienne à la suite du travail autonome des élèves pour fixer les connaissances à retenir, ce que les élèves ne peuvent faire seuls. Il sera aussi parfois nécessaire de donner des éclaircissements sur des connaissances en cours d’acquisition et que les élèves ont (mal) utilisés dans leur travail. Ainsi est-il possible que des corrections d’exercices qui interviennent après une recherche infructueuse mais effective, différente selon les élèves, contribuent à des avancées de connaissances suffisamment proches de ce qui a été travaillé. Le levier du collectif est alors activé.

72Le travail en petits groupes permet aussi à l’enseignant de repérer l’état des connaissances des élèves, en interprétant ce qu’ils disent ou font. Puisque les élèves parlent et que l’enseignant peut entendre, il pourra alors mieux adapter ses propos à ce qui est dans la tête d’un maximum d’élèves, y compris pour les échanges avec chaque petit groupe.

II. Du côté des réticences de certains enseignants

73Pourquoi cependant certains enseignants n’utilisent-t-ils pas ce type de gestion en classe ?

74Pour les uns, le travail en autonomie prend trop de temps, compte-tenu de l’ampleur des programmes et des diminutions d’horaire et pour trop peu d’efficacité « tangible » au niveau des notes par exemple. Notons que les effets positifs sont parfois plus visibles au niveau de la motivation et de la récupération d’élèves en train de décrocher qu’au niveau des notes.

75On pourrait décider, pour ne pas perdre trop de temps, de proposer ce type de travail de temps en temps seulement, mais il apparaît qu’il est important d’habituer les élèves au contrat correspondant, de les convaincre que l’enseignant attendra vraiment qu’ils se mettent à chercher. Cela demande une certaine régularité, et les enseignants le savent. Certains enseignants estiment que, en classe, il faut faire profiter les élèves de la présence de l’enseignant et que les élèves peuvent travailler en autonomie chez eux. Il est souvent ajouté que, dans la mesure où les élèves ne travaillent pas beaucoup chez eux et n’apprennent pas leurs cours, il ne sert à rien de les laisser chercher en classe : ils ont peu de chance de trouver seuls.

76Par ailleurs, le travail en petits groupes peut engendrer du bruit, voire du chahut et être source de perturbation : c’est un obstacle souvent décrit dans les classes très difficiles. On note aussi l’investissement très inégal des élèves, depuis les leaders qui prennent en main toute l’organisation du travail jusqu’aux élèves qui attendent.

77Enfin, il est toujours difficile de savoir à quel moment arrêter les élèves, d’autant qu’ils ne vont pas tous au même rythme, et la reprise en main de la classe après une phase de travail autonome, et surtout en petits groupes, est toujours délicate.

78On sait que ces convictions personnelles des enseignants, qui se forgent souvent lors des premières expériences, sont très importantes et très stables (Robert et Vandebrouck, 2002).

79D’autres contraintes peuvent minorer la possibilité d’installer des temps de recherche autonome : les habitudes de l’établissement, les autres collègues, l’opinion des inspecteurs, des parents, mais aussi les élèves. Les collègues voisins peuvent protester contre le bruit, les parents peuvent se plaindre de la lenteur à laquelle on semble avancer dans le programme, les élèves peuvent trouver que c’est beaucoup plus fatiguant que d’écouter, même si d’autres estiment que c’est plus motivant. A fortiori, dans les classes d’examen ou si des contrôles communs sont organisés, il peut s’avérer délicat de passer davantage de temps que les collègues sur un chapitre.

80De plus le travail des élèves et le bénéfice éventuel en terme d’apprentissage dépend beaucoup de la posture et du niveau de chaque élève : par exemple, si on laisse chercher des élèves sur des bases erronées, on risque de ne provoquer aucune activité, voire d’augmenter encore le découragement de certains qui resteront en retrait dans cette forme de travail. Ainsi, l’hétérogénéité de certaines classes, qui ne dépend pas de l’enseignant, peut l’empêcher de choisir ce type de travail, y compris pour ne pas accentuer certaines différences.

81Les restrictions et difficultés signalées par les enseignants réticents ne peuvent être niées, en particulier la contrainte du temps. Cependant, pour les enseignants estimant qu’ils peuvent laisser chercher leurs élèves, il reste un certain nombre de choix à faire, que nous allons développer maintenant.

III. Quelles marges de manœuvre pour les enseignants ?

82Il y a deux types de variables, très imbriquées l’une dans l’autre, sur lesquelles l’enseignant peut avoir des choix décisifs au moment d’envisager un travail autonome de ses élèves : les contenus choisis et le déroulement des séances. Nous présentons séparément les deux types de variables mais en gardant toujours présente l’idée de l’imbrication forte de ces deux variables.

1) Sur quels contenus laisser chercher les élèves ?

83Il y a là une source importante de « variables » tenant aux notions à enseigner en relation avec l’organisation du travail des élèves pour espérer de véritables apprentissages.

84Certains déroulements s’adaptent bien à certains types d’exercices (et réciproquement, tels types d’exercices se conçoivent bien si on laisse travailler les élèves en autonomie). Ainsi, nous n’envisagerons pas les exercices d’application immédiate du cours, même s’il peut y avoir des exceptions, pour donner confiance à certains élèves par exemple. En revanche, un travail introductif sur une notion ou un problème demandant d’utiliser plusieurs outils pourront gagner à être abordés collectivement. Nous allons donc réfléchir d’une part sur les introductions de notion et d’autre part sur les mises en fonctionnement non immédiates des connaissances.

a) Travail autonome sur les introductions de notion

85L’introduction des notions à enseigner peut a priori « gagner » ou non à être travaillée grâce à un problème, selon la distance de ces notions avec les connaissances des élèves et selon le statut de ces notions.

86L’enseignant peut toujours choisir entre un exposé linéaire allant des définitions aux propriétés et aux applications, ou l’exposé d’un problème précédé d’activités donnant du sens à ce qui est enseigné, ou encore des exposés chronologiques rapportant les phénomènes à leur émergence.

87L’idée force est que, dans certains cas favorables, un travail autonome des élèves peut précéder utilement l’introduction de la notion par l’enseignant, mais à condition de choisir un travail adéquat. Il s’agit de confronter les élèves avec un problème soigneusement élaboré pour permettre de donner du sens à ce qui va être introduit. On suppose que le fait de chercher ce problème, d’essayer de mettre en relation la question à résoudre et un outil de résolution (qui correspond à la connaissance visée), de commencer à mettre en œuvre cet outil, sont autant d’activités qui peuvent, même si elles ne sont qu’esquissées, favoriser les apprentissages ultérieurs de la notion.

88Emblématique à ce sujet est, au niveau de l’enseignement en primaire, le problème du puzzle comme rappelé dans un bulletin de l’APMEP par Brousseau (2005).

89Un autre exemple d’introduction à la propriété multiplicative des racines carrées se trouve dans le travail de Roditi (1996).

90Donnons un autre exemple travaillé en formation de formateurs en 2008. Il porte sur l’introduction des barycentres en première S.

Plusieurs choix peuvent être tentés : introduire le barycentre en généralisant la notion de moyenne, par exemple aux deux coordonnées…, voire à partir d’un problème de physique (équilibre). Autrement dit il y a extension d’une notion unidimensionnelle déjà connue. Cela n’a pas trop de rapport avec les exercices ultérieurs. Ou encore introduire le barycentre en faisant démontrer l’existence et l’unicité du point G tel que… : autrement dit on introduit le barycentre comme objet réponse à un problème donné par le professeur, par exemple pour généraliser des constructions particulières déjà faites. Cela permet de faire travailler la définition vectorielle, utilisée par la suite. Ou bien introduire le barycentre par une propriété « outil » : par exemple on demande d’abord de trouver l’ensemble des points M tels que Image = 2. Un travail des élèves peut les amener, au moins pour certains, à se rendre compte de l’intérêt de remplacer la somme des vecteurs par un seul vecteur, faisant intervenir le milieu (isobarycentre). On élargit ensuite en introduisant des coefficients devant les vecteurs et en s’intéressant à l’ensemble des points M tels que = 2.

91Dans ce cas on a introduit le barycentre comme outil, réponse au problème intermédiaire suivant : simplifier une somme vectorielle en la transformant en un seul vecteur.

92Notons qu’un tel type d’organisation est long à faire vivre en classe et qu’il n’est pas certain qu’il soit possible (souhaitable) de l’envisager pour toutes les notions nouvelles d’un programme donné, même en se restreignant à celles qui sont susceptibles d’être introduites par un problème contribuant à leur donner du sens. L’enseignant aura donc des choix à faire.

93La classification des types de notions que nous utilisons notamment pour les introductions (cf. partie 2, chapitre 1, section 2) résulte du croisement entre les analyses épistémologiques révélant la manière dont les notions ont émergé dans l’histoire, et des analyses des programmes scolaires. Cette réflexion sur chaque notion amène à préciser sa fonction actuelle en mathématiques, les différentes manières de l’utiliser compte-tenu des programmes, et à élaborer, le cas échéant, un problème d’introduction intéressant.

b) Travail autonome sur les mises en fonctionnement des connaissances

  • 19 C’est-à-dire qui utilisent diverses notions et, éventuellement, qui font références à d’autres disc (...)

94Une autre occasion de laisser travailler les élèves, en classe de façon autonome, est fournie par les exercices non immédiats, les problèmes un peu longs ou les problèmes transversaux19. Il s’agit de faire avancer les élèves vers une meilleure utilisation de leurs connaissances en leur proposant de travailler sur des énoncés variés. Sont particulièrement intéressants les énoncés qui ne sont pas entièrement découpés en petites questions ou ont des questions ouvertes, sur lesquelles il reste à faire des conjectures sur le résultat ou sur la méthode à utiliser. Les problèmes transversaux donnent l’occasion aux élèves d’utiliser des connaissances inattendues, non indiquées par la place du problème dans le déroulement du cours. Un tel travail peut contribuer à ce que les élèves construisent une certaine disponibilité de leurs connaissances et réorganisent leurs connaissances nouvelles et anciennes.

95Voici un exemple très classique au lycée, correspondant aux programmes antérieurs : On donne un triangle ADE, B et C des points de [AD] et [AE] respectivement, tels que (BC) et (DE) soient parallèles. On appelle I et J les milieux respectifs de [BC] et [DE]. Il s’agit de démontrer que A, I et J sont alignés.

96Dès la classe de seconde, il y a choix de méthodes : utilisation du théorème de Thalès (un peu longue) ou des vecteurs (plus courte). A partir de la classe de première, on pouvait antérieurement y ajouter la notion d’homothétie. On peut aussi faire vérifier sur un logiciel cette propriété, voire la faire conjecturer…

97Le travail sur ce type d’énoncés ne se réduit pas à remplacer les données d’un théorème par celles de l’exercice à traiter. Les élèves ont à utiliser leurs connaissances en les adaptant à une situation particulière, avec des choix éventuels, des étapes ou intermédiaires à introduire, des reconnaissances de modalités d’application, des mélanges de cadres de travail. Toutes ces adaptations ne sont pas instantanées, elles se dégagent petit à petit, et c’est ce cheminement qui est visé. Si les élèves sont en petits groupes, leurs échanges peuvent les aider à dégager ce qui peut servir et à trouver la solution.

98Le problème de l’enseignant est alors le suivant : comment gérer ces phases de recherche pour que ces exercices, non immédiats, engendrent des activités mathématiques variées ?

2) Comment laisser chercher les élèves ?

99Comment faire pour que les élèves n’attendent pas le « allez-y » du professeur qui a détaillé les étapes au tableau, y compris avec l’aide de certains élèves, et qui n’a plus besoin que de calculs bien balisés ? Comment engager les élèves dans le travail dès le début ? Comment encadrer ces moments de recherche ? Il reste là aussi de nombreux choix, encore une fois en partie liés aux contenus concernés.

  • 20 Nous ne discuterons pas ici de la constitution même des petits groupes – il n’y a pas d’éléments dé (...)

100Bien entendu, le temps de cette recherche est une variable importante, ainsi que les critères retenus pour décider d’arrêter la recherche. L’idée serait de laisser le temps pour que « les élèves », mais en fait une grande partie des élèves, puissent au moins s’approprier l’exercice et en comprendre le questionnement. Se pose alors la question du choix de la modalité de recherche proposée : travail individuel ou travail en petits groupes20. Selon le choix, les élèves sont invités ou non à interagir entre eux, à formuler des questions ou à élaborer des argumentations qui peuvent contribuer à enrichir leurs activités mathématiques. La durée de la recherche effective des élèves en petits groupes doit sans doute être plus longue qu’individuellement.

101Une autre variable tient à l’accompagnement de l’enseignant : dans quelle mesure va-t-il aider ? Faut-il réduire les difficultés pour favoriser le démarrage d’un maximum d’élèves ? Faut-il associer les élèves aux corrections ? Comment prendre en compte les recherches des élèves ? Comment et à quel moment valider ? Toutes ces actions de l’enseignant peuvent influencer les bénéfices que les élèves peuvent tirer de leur travail.

102Nous introduisons la notion d’aides constructives pour nommer ces accompagnements que l’enseignant peut élaborer au fur et à mesure d’une séance, pour que le travail des élèves se transforme en connaissances. Les aides constructives seraient des intermédiaires pouvant contribuer à valoriser pour les élèves ce qu’ils ont fait pendant ces phases de recherche. Elles sont adaptées aux difficultés repérées au démarrage et pendant la résolution, grâce à des interprétations de ce que font les élèves. Elles peuvent permettre, en récapitulant, de préciser ou de dégager ce qui a été efficace, de le compléter, en le justifiant par exemple, de le généraliser ou de le mettre en relation avec d’autres connaissances. A titre d’exemple, nous citons le travail de Tenaud (Robert et Tenaud 1994) qui a montré l’évolution positive apparue sur une année scolaire, chez des élèves de Terminale S travaillant une fois par semaine en petits groupes. Au cours de ces séances, elle leur proposait de résoudre des exercices de géométrie nécessitant un questionnement méthodologique. Un enseignement systématique de méthodes était organisé pour chaque chapitre.

  • 21 Certains dispositifs actuels tentent même d’organiser un travail des élèves sur le cours, voire de (...)

103Un avantage non négligeable des temps de recherche en petits groupes est de donner la possibilité à l’enseignant de connaître ce qu’il y a dans la tête de ses élèves. Cette connaissance, fondamentale pour l’enseignant, est facilitée par une analyse a priori, qui amène à attendre des mises en fonctionnement précises de connaissances. Par exemple, il peut être assez facile pendant la séance de repérer les connaissances supposées disponibles et qui ne le sont pas, ou de détecter des choix d’élèves que l’on n’avait pas prévus, de repérer les adaptations qui posent problème et plus généralement d’évaluer ses propres prévisions d’enseignant. Bien entendu, d’autres occasions, à l’écrit par exemple, permettent de le faire, mais l’écoute des élèves permet d’apprendre beaucoup sur leurs connaissances21. Enfin, selon la coutume installée en classe, selon que la recherche est exceptionnelle ou habituelle, les relations des élèves avec les apprentissages peuvent être différentes. On rencontre aussi des réticences de la part des élèves à s’investir dans un travail demandant des efforts s’ils sont toujours en échec ou si leurs évaluations ne s’améliorent pas… .

3) En guise de bilan

104Revenons à la réticence des enseignants au travail de recherche autonome des élèves en classe et qui tient souvent à l’interrogation suivante : « dans quelle mesure est-il utile de laisser chercher les élèves pour leur faire utiliser des propriétés du cours qu’ils n’ont pas du tout apprises ? »

  • 22 Tout comme on peut penser que le travail à la maison dépend de celui fait en classe : si un élève n (...)

105On peut apporter une réponse, partielle, à savoir associer les élèves à l’introduction de certaines notions (cela peut changer cette donne). On peut aussi se demander pour quelles raisons les élèves ne savent pas leur cours. Là encore la relation entre le cours et le travail des élèves se pose. On peut aussi poser la question à l’envers, en suggérant que l’apprentissage n’est pas seulement l’apprentissage du texte du savoir mais bien ce qui provient du travail sur les applications, quitte, pour certains élèves, à faire dépendre le travail sur le cours de celui sur les exercices22.

106Mais pour obtenir cet apprentissage, on peut supposer qu’il est nécessaire de proposer des exercices qui demandent davantage qu’une simple restitution de chaque connaissance isolée, qui amènent à adapter les connaissances et à les mélanger.

107Un des moyens pour que les élèves entrent dans une telle visée peut être justement de les laisser chercher, en petits groupes ou non, de favoriser ainsi une entrée dans une démarche de questionnement, d’incertitude, sans attendre d’ailleurs nécessairement qu’ils résolvent tous entièrement les exercices.

108De plus, si on ne laisse pas les élèves chercher un certain temps des exercices non immédiats, on peut se demander ce qu’ils perçoivent des différences entre les adaptations des connaissances à mettre en œuvre, qui participent de leur apprentissage et qui peuvent être proposées aux contrôles. On peut se demander ce qu’ils peuvent appréhender des corrections, et même des commentaires qui sont faits sur ce qui a servi effectivement. On peut se demander ce qu’ils vont gagner aux récapitulations, aux liens et aux généralisations éventuelles énoncées par l’enseignant.

109Une hypothèse complémentaire est que ce type de travail est une bonne occasion de transmettre aux élèves un certain « relief » sur les mathématiques, à partir de leur travail et non abstraitement. Ce relief est souvent véhiculé par des commentaires sur les mathématiques (on parle de « méta »). Cela peut porter sur le sens des notions, les liens entre elles, mais aussi sur la manière de chercher, les méthodes à utiliser, les différents domaines de travail (cadres) et modes d’écritures (registres) qui interviennent, les moyens de contrôle, ou encore la rédaction.

110En allant un peu plus loin, peut-être faut-il évoquer la possibilité de mettre en jeu l’intelligence des élèves sur le travail attendu : par exemple, laisser chercher les élèves aux bons moments, interpréter et compléter leurs réponses, commenter les corrections en revenant sur les méthodes par exemple, introduire des éléments d’histoire des mathématiques : n’est-ce pas un moyen de faire entrer leur intelligence « ordinaire », critique, voire sociale, dans l’exercice d’une discipline scientifique et en retour de les aider à apprendre ?

IV. Conclusions : la nécessité de l’expérience et le double travail de l’enseignant

1) La nécessité de l’expérience

111Même si tous les ingrédients sont présents pour construire une bonne séance de travail autonome, le recours à l’expérience reste indispensable pour finaliser les décisions et les adaptations de l’enseignant.

112Chaque classe, chaque année, est une nouvelle histoire, dans une nouvelle conjoncture, et nécessite de nouveaux arrangements, même si les projets globaux essentiels de l’enseignant restent analogues. Cela nous amène à revenir sur le travail de l’enseignant, dans la mesure où aucun automatisme ne peut régler ses décisions. Rien ne peut être décidé complètement à l’avance et des choix restent ouverts sur les deux dimensions, contenus et déroulements.

2) Le double travail de l’enseignant

113Finalement le simple fait de « laisser chercher les élèves en classe » ne suffit pas à la transformation espérée de leurs activités en classe en apprentissage : y contribuent, comme on l’a déjà dit, la spécificité des contenus sur lesquels ils travaillent ainsi que la manière dont ils travaillent et aussi tout ce que l’enseignant ajoute par ses propos aux divers moments du travail.

114Ainsi les enseignants sont amenés à faire un double travail (cf. Robert et Rogalski M., 2002). C’est d’abord un travail de prévisions, à adapter chaque année : le choix des exercices, de leur ordre dans le déroulement, des modalités de mise en place pendant le cours. Ensuite, et c’est le deuxième travail de l’enseignant, pendant les séances, l’enseignant doit enrôler les élèves pour les faire entrer dans le travail qu’il a prévu de leur faire faire (ce que Brousseau appelle la dévolution) ; il doit les accompagner tout au long du travail, éventuellement en aidant certains à démarrer, les encourager, puis interpréter ce qu’ils font, récapituler, corriger les exercices proposés. Selon les cas il peut assortir ou non des corrections d’aides « constructives » en relation avec le travail fait par les élèves. C’est tout ce délicat travail qui consiste à aider sans tout dire d’une part (aides intermédiaires) puis d’autre part à faire profiter au maximum les différents élèves de ce que tous ont fait, même s’ils ont été aidés, même si le travail n’a pas été terminé, pour faire avancer les connaissances de tous. C’est un travail très spécifique, qui doit s’adapter à la fois à la classe et aux élèves ; de plus il est en partie improvisé, l’idée étant cependant que la préparation (et les connaissances diverses accumulées au fil des ans, qui garantissent une certaine disponibilité aux enseignants) contribue à aider cette improvisation.

Annexes

Annexe 1 Le travail autonome des élèves en classe

Dans cette annexe, directement inspirée de l’article paru dans l’Ouvert23 n° 117 (Laisser chercher les élèves ? les faire travailler en petits groupes ? Robert, 2008) nous allons apporter des éléments de réponse à une question que se posent tous les enseignants de mathématiques, qu’ils soient débutants ou expérimentés lorsqu’ils cherchent à améliorer l’apprentissage de leurs élèves.

Quels sont les inconvénients et les avantages éventuels du travail autonome des élèves en classe de mathématiques et en particulier de la modalité « travail en petits groupes » ? Nous allons développer successivement les points suivants : pourquoi laisser chercher les élèves en autonomie en classe ? Si oui, sur quels contenus et avec quelle gestion ? Quels bénéfices en termes d’apprentissage des élèves peut-on en espérer ? Et quel en est le prix à payer pour l’enseignant ?

I. Laisser les élèves chercher seuls et/ou les faire travailler en petits groupes ?

Il existe peu de travaux de didacticiens uniquement sur le travail autonome des élèves en classe et les quelques références existantes ne font pas intervenir les mathématiques et les spécificités de leurs contenus mais sont plutôt des articles de pédagogie générale24. Différentes théories de l’apprentissage permettent cependant de faire des hypothèses sur les effets positifs, sur les acquisitions éventuelles des élèves, des moments de recherche autonome qui leur sont proposés en classe, moyennant des conditions sur lesquelles nous reviendrons.

D’une part, il semble favorable aux apprentissages25 de laisser des moments où les élèves travaillent « sans » enseignant26, se posent des questions, font des essais, commettent

Annexe 2 Récapitulatif des variables en jeu dans les choix de contenus et de gestion des enseignants

Toutes les variables que nous listons sont aux mains de l’enseignant et doivent être adaptées à la classe, au contenu et à son propre projet. Il manque, rappelons-le, la prise en compte d’aspects sociaux et affectifs, voire psychanalytiques. Il manque aussi le passage des élèves à chaque élève.

1) Variables liées aux choix sur les contenus

a) Pour introduire une notion

Selon le type de notion, il peut exister ou non des problèmes favorisant la prise de sens. S’il s’agit d’une extension de concept déjà introduit ou d’une notion « réponse à un problème », il peut être efficace d’introduire le cours par la recherche d’un problème adéquat.

Si c’est une FUG (notion formalisatrice, unificatrice, généralisatrice – comme la notion de limite formalisée), la présentation est plus délicate.

b) Pour travailler une notion

On fait l’hypothèse que si on veut installer une certaine conceptualisation et une certaine organisation des connaissances, il peut être efficace de varier les activités proposées aux élèves. En particulier, ne pas se limiter à des tâches simples et isolées mais introduire les aspects outils et objets et proposer des adaptations : changements de cadres, intermédiaires à introduire, étapes à retrouver. En somme explorer le champ ouvert par l’utilisation de la notion et l’intégrer dans ce qui est déjà en cours d’acquisition (mélanger ancien et nouveau).

La recherche de problèmes transversaux semble apporter des possibilités de construction de disponibilité et d’organisation ou de structuration des connaissances grâce aux mélanges des connaissances anciennes et nouvelles.

Les problèmes comportant des moyens de contrôle « internes » sont aussi supposés efficaces.

c) Le passage à l’écrit

Le passage à l’écrit serait indispensable à bien des titres : travail sur des représentations, travail de précision et de rigueur, voire entrée dans une dynamique de l’écrit, liée à l’importance des écritures dans le travail mathématique.

Ainsi apprendre aux élèves qu’une démonstration peut être, une fois écrite, systématiquement précisée (par exemple en citant correctement les théorèmes utilisés), ordonnée (en oubliant l’élaboration de la démarche), complétée (en vérifiant les hypothèses utilisées, en cherchant les cas particuliers), simplifiée (en enlevant ce qui ne sert pas) peut en aider certains à améliorer leur rédaction.

d) L’exposition des connaissances par l’enseignant

Dans tous les cas, les moments d’exposition des connaissances, même (surtout ?) préparées par un travail des élèves, sont indispensables pour formaliser et fixer ce que tous les élèves ont à savoir. En revanche, s’il n’y a que des moments d’exposition des connaissances, on peut supposer que certains élèves vont décrocher.

2) Hypothèses sur les choix de gestion

a) Des tâches variées, pas seulement simples et isolées, donnant l’occasion d’échanges riches avec les élèves

Donner à travailler aux élèves davantage que l’application simple et isolée des notions : formuler, valider, corriger, mais aussi questionner, chercher des tâches complexes et mettre au point une démarche globale sont autant de types d’activités qui peuvent contribuer à installer un apprentissage. Brousseau (1998) a introduit la notion de « dévolution27 d’un problème aux élèves » pour caractériser ces phases où l’enseignant, grâce aux choix qu’il a faits, délègue au problème et au travail collectif l’appropriation du problème et l’avancée vers la solution, y compris nouvelle.

Sont en jeu la construction de connaissances, plus ou moins autonomes et les déséquilibres/rééquilibrations entre connaissances acquises, assurées, et adaptations de ces connaissances à un spectre élargi d’utilisation.

b) Un temps de travail autonome effectif en classe

Cela suppose de laisser les élèves travailler sur des durées de quelques minutes au moins sans le professeur (moments adidactiques), et/ou échanger entre eux.

Ce qui est en jeu est la possibilité de construction collective (pouvant précéder les appropriations individuelles) et la portée des conflits (socio-cognitifs) entre pairs, ou au moins des échanges.

c) Des habitudes

L’exercice de l’autonomie ou des prises d’initiative s’apprend : peuvent y contribuer l’établissement d’habitudes, des répétitions du type de travail visé, etc. Tout ce qui a trait au contrat, aux coutumes et à la mémoire de la classe (portée et limites) s’inscrit ici.

d) Un travail en petits groupes sur certaines tâches

Faire travailler les élèves en petits groupes peut permettre d’installer un travail autonome mais à certaines conditions et sur certaines tâches (Voir annexe 1).

e) Un travail à la maison à la portée des élèves faibles

Il serait important de s’assurer que les élèves faibles puissent s’engager dans le travail à la maison demandé qui souvent est très difficile à obtenir et s’avère rarement correct.

f) Des aides appropriées

Les aides à dispenser aux élèves peuvent aussi être variées : avant la tâche, pendant, après… Elles peuvent être directes ou méta, ce peuvent être des indications, des informations, des explications, des explicitations du jeu auquel on joue dans une séance donnée, voire en mathématiques.

On distingue les aides à fonction procédurale, qui donnent aux élèves des indications, éventuellement sous forme de questions, pour avancer.

Les aides à fonction constructive s’appuient sur un travail de l’élève pour le valider, le justifier, le généraliser, introduire du « méta ».

Certains auteurs distinguent des « niveaux » de méta : un premier niveau correspondant à des généralités sur le travail à mener, un deuxième niveau correspondant aux méthodes générales adaptées à un type de problème mathématique donné et un troisième niveau pour qualifier des méthodes contextualisées à un problème précis (Robert et Tenaud, 1994).

Dans les aides constructives, sont en jeu les « vertus » de l’imitation (dans la Zone de Proche Développement) et les médiations (questions et réponses, relances, reprises, collectif).

Mais, même localement, contenus et gestion ne sont pas indépendants et de plus l’organisation globale est aussi en cause ! L’inscription dans un scénario global conditionne le bénéfice de tel ou tel énoncé, notamment selon la place par rapport à l’exposition des connaissances (dynamiques entre cours et exercices, mises en relation entre connaissances). Cela dit, tout énoncé ou presque peut encore être découpé, cela modifie les activités des élèves en proposant des tâches plus petites. Et un énoncé très découpé peut être travaillé de manière autonome par les élèves : il y a une relative indépendance entre le type d’énoncé et la gestion.

Enfin la diversité des élèves est aussi à prendre en compte : tel élève va de lui-même tirer une conclusion constructive d’une aide procédurale, alors que pour tel autre une aide pourtant voulue constructive reste procédurale.

Notes

1 Avec souvent une répartition du temps différente qui peut amener des inquiétudes sur le suivi des programmes, et des tâches complexes peu habituelles à proposer d’emblée aux élèves.

2 Conceptions sur les mathématiques, leur enseignement et leur apprentissage.

3 On réserve ce qualificatif aux explications sur les mathématiques qui, par exemple, en éclairent les usages.

4 L’ensemble des cours et exercices à proposer sur une notion, ou pour un chapitre par exemple.

5 Voir introduction du livre.

6 Cela a été vérifié sur l’utilisation du tableau noir (Vandebrouck F. (2002)).
Des résultats analogues ont été mis en évidence dans le premier degré :
Maurice, J.-J., and Allègre, E. (2002), « Invariance temporelle des pratiques enseignantes : le temps donné aux élèves pour chercher », Revue Française de Pédagogie 138, 115-124.
Crahay M. (1989) Contraintes de situation et interaction maître-élève, changer sa façon d’enseigner est-ce possible Revue Française de Pédagogie 88.

7 Voir aussi partie 3, chapitre 2 et partie 2, chapitre 1, section 4.

8 Robert (2003), Robert et Rogalski M. (2002).

9 Par une prise de parole qui suit immédiatement la donnée ou la relecture de l’énoncé.

10 Roditi (2005) a montré qu’il y a là un principe en actes très fort chez tous les enseignants.

11 Elles sont toujours évoquées pour justifier ces faits.

12 Qualitative notamment.

13 Certains disent renoncements, surtout lorsque ce sont des qualités des mathématiques auxquelles on tient et qu’il faut abandonner (en matière de démonstrations notamment).

14 La question de l’éducation prioritaire (ex- ZEP) est abordée dans la partie 3, chapitre 2.

15 Et l’introduction du socle a encore accru ces questionnements (cf. partie 3, chapitre 4).

16 Pour résoudre 3 – 21x = 0, écrire successivement 3 – 3 – 21x = – 3, 0 – 21x = – 21x/-21 = -3/-21, x = 1/7.

17 D’autant que cela est fait dans d’autres formations, personnalisées, sur le terrain.

18 On trouve l’intérêt de cette dimension des apprentissages chez Piaget et chez Vygotski.

19 C’est-à-dire qui utilisent diverses notions et, éventuellement, qui font références à d’autres disciplines.

20 Nous ne discuterons pas ici de la constitution même des petits groupes – il n’y a pas d’éléments déterminants dans nos expériences à ce sujet. La mise en place de groupes de tables permettant un repérage géographique des petits groupes semble faciliter la prise de conscience du contrat par les élèves.

21 Certains dispositifs actuels tentent même d’organiser un travail des élèves sur le cours, voire de mettre un enjeu de note à l’apprentissage du cours pour le revaloriser.

22 Tout comme on peut penser que le travail à la maison dépend de celui fait en classe : si un élève n’a vraiment pas assez compris en classe, il n’y a pas trop de raison pour qu’il arrive à surmonter cela seul à la maison !

23 Journal de l’APMEP d’Alsace et de l’IREM de Strasbourg.

24 Par exemple les ouvrages de Meirieu sur le travail en groupes, qui ne fait pas intervenir les contenus mathématiques et leurs spécificités (Meirieu, P. (1996), Outils pour travailler en groupe. Lyon : Chroniques Sociales).

25 On s’inspire ici des théories de Piaget.

26 C’est ce qu’indique notamment le mot « adidactique » utilisé par Brousseau.

27 Le mot est utilisé plus largement pour signifier « déléguer à, mettre sous la responsabilité de ».

© Presses universitaires de Franche-Comté, 2012

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