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Une caméra au fond de la classe de mathématiques

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Aline Robert
, 
Jacqueline Panninck
, 
Marie Lattuati

Deuxième partie. Des outils pour former le travail de l’enseignant pour la classe et en classe. Analyses de séances de classe et des mathématiques à enseigner

Chapitre 2. De l’importance des analyses des déroulements en classe aux pratiques des enseignants en passant par les activités des élèves…

Texte intégral

1Dans le premier chapitre de cette deuxième partie, en partant d’énoncés d’exercices, nous avons développé la notion d’analyse de tâches à effectuer par les élèves. Puis, à partir de l’analyse du travail que l’enseignant doit effectuer pour la classe et dans la classe, nous avons introduit différents éléments pouvant les aider. Mais en réalité les analyses de tâches, comme on l’a vu précédemment, ne suffisent pas à « comprendre les activités mathématiques que les élèves peuvent faire en classe », qui est notre objectif premier. Il faut aussi analyser les déroulements en classe.

2Dans ce chapitre, nous allons présenter les analyses de quatre extraits de vidéos de séances en classe :

  • la première analyse, détaillée, montre la recherche en classe de troisième d’un exercice mettant en jeu le théorème de Thalès et faisant intervenir une inconnue algébrique ;
  • la seconde, en classe de quatrième, avec la même enseignante, porte sur un exercice sur le théorème de Pythagore ;
  • la troisième analyse est celle du même exercice en quatrième mais avec un autre enseignant ;
  • et enfin la quatrième analyse une vidéo en classe de troisième de ZEP, de nouveau sur un exercice portant sur le théorème de Thalès faisant intervenir du calcul algébrique.

3Ces vidéos sont téléchargeables sur le site des Presses universitaires de Franche-Comté. Les enseignants ont placé eux-mêmes la caméra au fond de la salle, face au tableau… et l’ont oubliée ! Ces vidéos ne servent en aucun cas à juger de l’enseignement qui est présenté mais bien à en apprécier tous les aspects. Aussi nous tenons à remercier chaleureusement ces enseignants de leur aide précieuse : il n’est jamais facile de laisser entrer une caméra dans sa classe sans avoir la possibilité d’expliquer ses choix à ceux qui visionneront la séance ! Il faut insister sur le fait que ces vidéos ne sont en aucun cas des modèles – d’ailleurs certaines sont assez anciennes et ne correspondent pas nécessairement aux programmes actuels, comme ce sera indiqué. Elles servent ici à illustrer les analyses de déroulements que nous mettons en œuvre pour accéder aux activités possibles des élèves et poser les questions d’alternatives, donnant ainsi accès notamment aux points de vue des enseignants et aux contraintes.

4L’étude de la première vidéo (en troisième, exercice utilisant le théorème de Thalès et de l’algèbre) permet d’illustrer ainsi ce qu’ajoute l’étude du déroulement à l’analyse de tâches – se posera ensuite la question de la valeur d’une seule étude de ce genre ! Cette première étude permet aussi de commencer à mettre en place les outils pour analyser ces déroulements. Il s’agit d’indicateurs, liés aux choix de l’enseignant sur le travail des élèves et à son discours. L’analyse amène à les intercaler entre les tâches prévues, elles-mêmes résultant d’une conversion des énoncés en suite de mises en fonctionnement attendues des connaissances, et les activités mathématiques que peuvent développer les élèves. Cette première vidéo (première section du chapitre) se termine par un retour sur les activités possibles des élèves et une discussion sur des alternatives, premier exemple de ce que nous appelons « les remontées » : les généralisations ou autres décontextualisations qui sont indispensables à ce processus de formation « inductif ».

5L’analyse de la deuxième vidéo tournée dans une autre classe du même enseignant (en quatrième, exercice utilisant le théorème de Pythagore) permet de mettre à l’épreuve les outils élaborés pour étudier les déroulements et d’introduire l’idée de la stabilité des pratiques des enseignants expérimentés – en régime de croisière. L’étude d’un questionnaire, élaboré par des formateurs et renseigné par une dizaine d’enseignants, permet de renforcer ces résultats. Cela débouche sur une réflexion sur les différences éventuelles entre pratiques et activités correspondantes des élèves, illustrée par une troisième étude de vidéo, qui permet d’analyser une séance en quatrième d’un autre enseignant sur le même exercice que dans la vidéo précédente. Diversités et régularités commencent à être questionnées !

6La dernière vidéo, tournée en ZEP, amène à réfléchir aux contextes dans lesquels se déroule la classe et à sensibiliser aux contraintes auxquelles l’enseignant doit faire face, y compris en classe.

7Ces vidéos amènent à réfléchir plus généralement aux pratiques des enseignants. Le chapitre suivant, plus théorique, y est consacré, développant l’idée fondamentale suivante : pour comprendre les pratiques des enseignants et en particulier leurs choix en classe et pour la classe, il est nécessaire de prendre en compte l’exercice de leur métier et pas seulement les objectifs d’apprentissage des élèves. On reviendra alors sur le travail de l’enseignant et sa complexité.

8Les raisons des choix qui ont présidé aux analyses de tâches et de déroulements mettent en jeu les théories de l’apprentissage que nous avons adoptées en les spécifiant aux mathématiques scolaires et les hypothèses générales (y compris didactiques) sur les apprentissages qui en sont issues.

Section 1 Une première analyse de vidéo, ou ce qu’ajoute l’étude des déroulements aux analyses de tâches a priori

  • 1 Référence sur le site : vts_01_2.avi

9La vidéo étudiée1 a été filmée pendant une séance d’exercices sur le théorème de Thalès en troisième, dans un collège favorisé, au début des années 2000. Lors du film, le programme précédent le dernier programme de 2008 était en vigueur. C’est le deuxième exercice de la séance qui est étudié ; le premier, qui occupe le premier quart d’heure, correspond à la correction d’un exercice donné à chercher à la maison, mettant en fonctionnement la réciproque du théorème de Thalès.

1) Description de l’exercice : une analyse a priori de la tâche

10Voici l’énoncé que l’enseignante écrit au tableau.

EFG est un triangle tel que
EF= 5, EG = 7, FG = 9 (en cm)
M ∈ [EF] et on pose EM = x
N ∈ [EG] et tel que (MN)// (FG)
1) Exprimer EN et MN en fonction de x
2) Calculer x pour que le périmètre du trapèze MNGF soit égal à 19,8 cm
Dans le même temps elle précise à l’oral que l’unité est le cm, qu’elle écrit avec le formalisme mathématique pour abréger, et elle lit « appartient » et « parallèles » à la place des symboles correspondants.

11Cette analyse permet de lister les tâches que doivent accomplir des élèves de troisième pour résoudre cet exercice, compte tenu des programmes en vigueur et de l’état d’avancement du cours de la classe, énumérant les connaissances à mettre en fonctionnement, avec les adaptations attendues :

  • faire une figure. La technique de tracé n’est pas précisée ; les données numériques n’excluent pas une construction en vraie grandeur, sauf pour le point M, voire un mesurage de contrôle. On reconnaît là une variable didactique implicite de l’énoncé (le choix des longueurs des côtés) ;
  • reconnaître qu’ il faut utiliser le théorème de Thalès dans la figure sous la forme déjà donnée en quatrième, et l’utiliser en adaptant l’énoncé du théorème donné en quatrième ; il faut en effet remplacer la longueur EM par x ;
  • faire une transformation algébrique sur des quotients qui font intervenir des nombres et des lettres, ceci deux fois de suite, de manière indépendante ;
  • exprimer le périmètre d’un trapèze, dont la définition est à retrouver, par une expression algébrique dépendant des résultats précédents. Il y a des calculs intermédiaires pour avoir NG et MF ;
  • mettre en forme et résoudre une équation en x du premier degré ;
  • vérifier que la solution est géométriquement acceptable.

12Les étapes sont à peu près indiquées dans l’énoncé, à l’exclusion de la première et de la dernière. Il n’y a pas d’indépendance complète entre les questions mais il n’y a ni conjecture préalable ni intermédiaire à introduire : le travail peut commencer rapidement. L’utilisation du théorème de Thalès n’est pas « simple », c’est-à-dire que les élèves n’ont pas à seulement remplacer dans une expression de leur cours des données générales par des données issues du contexte. Le fait que les lettres de l’exercice (E, F, G, M, N) ne soient sans doute pas celles du cours, ne pose probablement plus du tout de problème dans cette classe, alors que cela peut encore être une source de difficultés ailleurs. La figure de l’exercice est la même que celle du cours : il n’y a pas de tracé supplémentaire et on peut supposer que les élèves vont orienter le triangle comme dans le cours. En revanche le fait de remplacer une longueur EM par x peut être une difficulté, en raison de la nouveauté de cette démarche. Le coefficient 7/5 qui intervient peut être ou non transformé en décimal, ainsi que 9/5, d’autant que le périmètre est exprimé en décimal. Il n’y a pas à mélanger plusieurs notions au théorème, l’utilisation du théorème est isolée mais suivie d’un travail algébrique.

13La définition du périmètre est supposée mobilisable, et le fait qu’il s’agisse d’un trapèze ne sert à rien ici. Les calculs algébriques nécessaires font intervenir des fractions non numériques dans lesquelles x intervient comme un nombre généralisé (inconnu) et une équation du premier degré où x, cette fois-ci variable (implicitement), est l’inconnue ; cette équation est à établir à partir de résultats précédents, avec un petit travail de mise en forme, la réduction des termes contenant x ; puis il faut résoudre l’équation. Le retour à la géométrie, pour tester la validité du résultat dans le contexte de l’exercice, n’est, répétons-le, pas du tout indiqué.

14Certaines ambiguïtés peuvent apparaître : la figure n’est pas donnée tout à fait dans l’ordre de la construction : on signale que N est sur le côté [EG] avant de dire que les droites (MN) et (FG) sont parallèles ; le mot « exprimer » n’est pas encore beaucoup utilisé à ce niveau scolaire ; aucune précision n’est apportée sur l’usage des décimaux.

2) L’analyse des tâches c’est bien mais cela ne suffit pas ! Analyse du déroulement

15C’est donc la première vidéo étudiée en formation de formateurs, après une séance consacrée à l’analyse des tâches.

16Rappelons que cette vidéo (et les suivantes) sert à sensibiliser les participants à l’importance du déroulement, à introduire les indicateurs utilisés pour inférer les activités possibles des élèves (a minima, a maxima), et de ce fait elle conduit à mettre en évidence la nécessité d’étudier ensemble, et pas séparément, tâches et déroulements ; ce visionnement amorce aussi les questions susceptibles d’être reprises et étendues, ce que nous appelons « remontées ».

17Le dispositif précis de cette séance est le suivant :

  1. l’analyse individuelle des tâches de l’exercice du film ;
  2. une mise en commun des analyses de chacun – aboutissant à peu de choses près à l’analyse a priori ci-dessus (liste de connaissances et adaptations écrites au tableau) ;
  3. donnée de la chronologie.
  4. le visionnement (les 15 premières minutes de l’exercice au moins2) ;
  5. la mise en regard collective de l’analyse a priori et de ce qui s’est passé (quelles activités des élèves) – pour conclure sur le besoin d’une telle prise en compte du déroulement.
Nature de l’épisode/ durée Nature et forme du travail prescrit aux élèves Côté enseignant Discours de l’enseignant
2’20
Énoncé et figure
Écriture de l’énoncé
Faire la figure
Écrit l’énoncé, dessine la figure Demandé par le professeur
5’35
Première question : stratégie
Recherche collective de la stratégie pour la première question, imposée immédiatement Jeu de questions, réponses et reprises – l’utilisation du théorème de Thalès, suggérée par un élève est confirmée Questions : Réfléchir aux hypothèses et à la conclusion, à ce que c’est que x, à une stratégie
1’25
Première question
Recherche individuelle de la solution L’enseignant circule dans les rangs
2’10
Première question : correction
Correction première partie de la première question par un élève désigné Le professeur donne une suite de sous-tâches à remplir – autour de l’utilisation du théorème de Thalès et de la rédaction L’élève interrogé écrit au tableau en partie sous la dictée
40’’ Reprise recherche individuelle Interruption après écriture des rapports Interventions sur x
2’40 Correction de la fin de la première question par un autre élève au tableau Découpage très précis – l’élève remplit des « trous » Discussion sur x puis sur l’écriture de 7x/5
2’30 Deuxième question : stratégie collective
2’ Recherche individuelle

18En regard des tâches prévues, on étudie ce qui s’est passé dans la classe.

19On constate rapidement qu’il y a des différences dans les activités possibles selon les élèves, ce qui amène à distinguer les activités a minima, qui ne semblent s’enclencher qu’après toutes les interventions de l’enseignante sur le sujet, et les autres, a maxima, qui peuvent même précéder le discours de l’enseignante.

20Reprenons les sous-tâches prévues.

21Le tracé de la figure est indiqué tout de suite par l’enseignante, ne laissant pas cette initiative aux élèves qui n’auraient pas commencé très vite. Une discussion sur « vraie grandeur ou pas » est également abordée, peut-être avant que tous les élèves se soient posé la question - ce qu’en dit l’enseignante laisse libres les élèves mais indique tout de même que ce n’est pas la peine. L’enseignante pour sa part ne respecte pas du tout les grandeurs ni même les ordres de grandeur (FG devient la plus petite longueur !). Enfin c’est directement la parallèle (MN) qui est tracée et pas les points M et N successifs.

22La reconnaissance nécessaire de l’utilisation du théorème de Thalès est provoquée par la question explicite immédiate de l’enseignante sur la stratégie – elle n’est pas laissée à l’initiative des élèves. On peut cependant souligner qu’avant même de lancer les élèves sur cette recherche intermédiaire, l’enseignante leur propose une sous-tâche non prévue : préciser les hypothèses et les conclusions de l’exercice. Cela se fait de manière un peu formelle, systématique, sans que ne soit explicitée la relation éventuelle de cette recherche avec une piste de démonstration. Même chose avec x : avant même que le problème ne se pose, l’enseignante interroge sur ce x, reprenant les réponses des élèves et les arrangeant jusqu’à obtenir la réponse attendue (x est une variable).

23Revenons au théorème : son utilisation est reconnue par ceux des élèves qui répondent à la question du choix de stratégie – elle est confirmée et justifiée par l’enseignante, permettant aux autres élèves qui n’auraient pas encore trouvé de bénéficier d’une forme d’aide procédurale (utiliser le théorème de Thalès) ; tous les élèves sont donc prêts à cette utilisation, pour laquelle l’enseignante laisse un petit temps de recherche individuelle (tâche isolée si ce n’est simple, en tout cas sans reconnaissance).

24Cette partie de la résolution est corrigée par un élève envoyé au tableau, qui de fait écrit sous le contrôle de l’enseignante, qui intervient à chaque ligne (compléments de détails). Le format de l’écriture est une sorte de modèle de rédaction, d’emblée, « comme au contrôle » et l’enseignante rappelle au passage la norme qu’elle demande d’utiliser quand on cite le théorème mis en fonctionnement. Il y a amalgame de la correction de la recherche et de la rédaction. L’enseignante ne cherche pas à reprendre des difficultés ou erreurs d’élèves, il n’y a pas d’aide constructive si ce n’est le renvoi à des tâches déjà bien connues.

25Inattendu : l’enseignante interrompt l’élève et relaisse quelques secondes pour que les élèves exploitent les égalités de rapport obtenues – on peut penser que, dans la mesure où la difficulté est justement là, l’enseignante isole sciemment le calcul algébrique qui risque de poser problème.

3) Quels indicateurs pour mettre en regard tâches et déroulement ?

26On découpe selon les tâches listées auparavant (conversion des énoncés en mises en fonctionnement attendues des connaissances) – et on intercale ce que l’enseignant introduit : les questionnements (directs ou indirects), l’orientation (prise en main) au démarrage, le découpage indiqué, notamment pendant la correction, les aides à fonction procédurale (donnant une méthode à suivre) ou constructive (s’appuyant sur le travail fait pour généraliser, justifier…), mais aussi la forme et la nature du travail, les durées, les modes de correction et leur lien avec le travail des élèves, les bilans également en relation avec le travail des élèves.

27Ces indicateurs sont suggérés par les théories de l’apprentissage que nous avons adoptées – ce qui « importe » pour comprendre les activités des élèves tient à la fois à leur travail individuel ou collectif, à leur autonomie pendant ce travail, et à l’exploitation qui en est faite.

4) A-t-on « appris » quelque chose sur les activités des élèves ? En avait-on besoin ?

28Si on compare les tâches et les activités, on constate qu’il y a des compléments importants (en référence à nos théories de l’apprentissage). Nous développons ce point à propos du début du travail sur l’exercice (éléments de transcription joints ici mais pas en formation !).

29Beaucoup des initiatives éventuelles attendues ne sont pas laissées aux élèves – réduisant la part d’adaptations potentielles pour certains élèves. Tracer la figure, utiliser le théorème adéquat, en particulier, sont rapidement indiqués par l’enseignant. Certains commentaires de l’enseignant, de type constructifs, laissent penser que c’est ce qui va se passer – « alors bien sûr premièrement vous faites une figure », et plus loin, « car évidemment on a des droites parallèles ». Est-ce suffisant pour que les élèves qui n’y avaient pas pensé le fassent seuls la prochaine fois ?

30Par ailleurs, les premières interventions de l’enseignant, ajoutées et non prévues dans nos analyses de tâches, ne sont pas amorcées par le travail de élèves – elles sont de type « anticipation » comme la seule nouveauté est x ou de type « mise en place d’habitudes », sans lien direct avec des questions d’élèves, comme « encadrer les hypothèses et la conclusion ». On peut se demander, compte tenu de ce décalage entre les tâches et les compléments, ce que ces interventions produisent chez les élèves qui ne se sont pas encore posé les questions correspondantes.

31En revanche, remplacer par x la longueur EM dans le rapport obtenu par application du théorème, a une place spéciale : les élèves ont un petit temps spécifique pour faire juste cette sous-tâche, certes préparée, mais il leur reste à faire le remplacement. Ainsi, au regard de l’analyse des tâches, l’adaptation essentielle attendue est bien à faire par les élèves, mais de manière isolée pour certains élèves, il y a une certaine séquentialisation (imprévue) des activités provoquée par le découpage introduit par l’enseignant.

32Si on considère les activités possibles des élèves, un des véritables objets de notre préoccupation, il se confirme ainsi qu’on en sait davantage après visionnement qu’avant. Reste à réfléchir à ce qui pourrait changer – c’est le paragraphe suivant.

5) Pourquoi ? Recherches d’alternatives... (le début des « remontées »)

a) Pour l’enseignant filmé : peu d’alternatives

33L’enseignant interrogé sur cette séance (cf. entretien) reconnaît qu’il envisage peu d’alternatives – son projet est de « mélanger » algèbre et géométrie, c’est bien le cas, et en termes de gestion, il a mis au point un optimum, équilibre entre ce qu’il peut déléguer à ces élèves (de collège) et le maintien d’une attention de tous les élèves de la classe, enrôlement et données de modèles à reproduire compris. En particulier le modèle donné au moment de la correction sert à « rattraper » les élèves qui n’auraient pas suivi et qui auront quand même de bonnes traces pour travailler chez eux.

34Le travail sur les alternatives est donc plus général, et dépasse cette classe-là.

b) Sur le même énoncé, des alternatives de gestion

35Selon la classe, on pourrait ne pas aider les élèves au démarrage, c’est-à-dire leur déléguer « l’installation » du travail. On pourrait aussi ne pas découper en deux étapes l’écriture de Thalès et l’expression algébrique demandée.

36On pourrait enfin faire travailler d’abord les élèves en petits groupes pendant dix minutes…

37Dans tous les cas, il s’agit de diminuer les aides ou de les déplacer, et de modifier le découpage en sous-tâches données en séance.

38Oui mais cela peut renforcer les différences entre élèves, dès qu’on envisage un travail plus long en autonomie, on peut évoquer un risque de décrochage pour les plus faibles n’ayant rien à faire. Dans le type de gestion précédente, tout le monde sait quoi faire et le fait apparemment, quitte à ne pas bien recoller les morceaux.

c) Changement d’énoncés (sur l’utilisation de l’algèbre et du théorème de Thalès)

39Une première série d’alternatives tient à l’utilisation éventuelle des TICE (tableur ou géométrie dynamique). Nous renvoyons au chapitre sur le sujet.

40Certains changements d’énoncés, tout à fait plausibles, ne nous semblent pas changer vraiment les activités des élèves : par exemple faire varier la position de M sur la droite (EF). Nous avons déjà signalé la variable didactique que représentent les longueurs des côtés, et le fait que toutes les fractions pourraient s’écrire sous forme décimale, nous n’y reviendrons pas. Une autre variable didactique est la valeur qu’on attribue au périmètre : on peut choisir une valeur « impossible » ou fractionnaire non décimale. On peut aussi faire varier la position du triangle EFG de manière à ne pas reconnaître immédiatement la configuration du cours...

41Nous donnons ci-dessous quelques autres exemples d’énoncés dont on peut supposer qu’ils peuvent provoquer des activités des élèves différentes avec les mêmes données.

Des énoncés plus découpés

42Proposer le même énoncé que celui du début mais avec une valeur numérique fixée de x (EM = 2 par exemple) et redonner ensuite le texte initial.

43Ou encore remplacer la première question par « Montrer que EM = 7/5 x »

44On aurait un énoncé plus découpé, voire plus fermé, qui sépare davantage le travail géométrique puis le travail algébrique. On peut peut-être du coup laisser les élèves travailler seuls d’emblée.

Des énoncés moins découpés

45Calculer x (ou placer M) afin que le périmètre du trapèze soit égal à 19,8.

46Ou bien : Exprimer en fonction de x le périmètre du trapèze et calculer x afin qu’il soit égal à 19,8.

47On retrouve la même utilisation de Thalès a priori, mais plus cachée (provoque-ton un travail plus important sur la disponibilité du théorème ?).

48Le calcul algébrique donne d’emblée le statut d’inconnue à x, le passage par l’interprétation « nombre généralisé » peut être moins présent. Reste une ambiguïté introduite par « en fonction de x ».

49Si on remplace « calculer x » par « placer M », on introduit un changement de point de vue qui peut être ignoré tellement il est devenu automatique pour un mathématicien (« naturalisé ») : il met en jeu le passage d’une variable géométrique, le point M variable, à une variable algébrique x, qui représente la longueur de EM, avec la discussion sur l’acceptabilité de la solution.

50Dans cette version, les élèves auront à introduire eux-mêmes les longueurs à calculer et ne s’étonneront pas d’avoir à introduire l’intermédiaire EN pour obtenir NG.

51La seule différence entre les deux énoncés est qu’on travaille sur une expression presque fonctionnelle, le calcul demandé fait jouer sur le passage variable/inconnue.

52L’exercice peut constituer une préparation aux fonctions affines.

53On peut se demander si une gestion analogue à celle de la séance analysée serait bien adaptée aux énoncés moins découpés : en effet les contraintes d’une gestion dialoguée, guidant suffisamment les élèves, amèneraient peut-être l’introduction de trop de sous-tâches intermédiaires en contradiction avec l’ouverture de l’énoncé.

54Ainsi apparaît une idée fondamentale : on ne peut pas séparer l’analyse du déroulement de celle de la tâche… Tel énoncé ne se conçoit pas avec tel déroulement, pourtant adéquat à un énoncé différent du même exercice.

d) Vers le scénario

55Des questions peuvent émerger dès qu’on réfléchit à ces alternatives – à quels élèves a-t-on affaire ? Qu’est-ce qu’ils ont déjà fait ? Quelle est la place de cet exercice dans le scénario ?

56Ces questions appellent ce que nous qualifions de « remontées »- on y répond de plus en plus au fur et à mesure de l’année.

6) Bilan et suite

57Les objectifs de la séance vidéo sont en partie atteints !

58On a dégagé l’importance du déroulement pour apprécier les activités des élèves – il y a des activités imprévues, d’autres réduites, des décalages entre les tâches et les interventions, et des différences entre les activités des élèves.

59On a commencé ainsi à convaincre les participants de l’utilité de l’étudier en relation étroite avec l’analyse de tâches.

60On a commencé à en donner des moyens (grâce à des indicateurs permettant de faire le lien entre tâches et activités possibles des élèves).

61On a commencé à questionner les choix (plus globaux) correspondants.

62Les séances suivantes de la formation reprennent ces objectifs en les approfondissant – mise au travail plus systématique des indicateurs, remontée aux questions liées aux choix des enseignants et aux contraintes correspondantes, aux mathématiques enseignées et aux programmes imposés, aux difficultés des élèves et aux différents types d’établissements. C’est ainsi qu’on espère que la prise de conscience provoquée par les premières études, suite aux questionnements, à la découverte des alternatives, pourra être enrichie par la palette des possibles qui s‘élabore au fur et à mesure.

Section 2 Deux vidéos sur le même exercice par deux enseignants différents : régularités et diversités, contraintes et marges de manœuvre.

63Nous présentons les analyses de deux vidéos sur le même exercice, en classe de quatrième. Dans les deux cas, il s’agit de classes ordinaires, la première appartenant à un établissement « mieux placé géographiquement » que l’autre. Le cours sur le théorème de Pythagore a eu lieu et les professeurs ont proposé des exercices pour mettre en jeu tous les aspects du théorème – partie directe, contraposée, réciproque . À l’époque distinguer théorème et réciproque était encore au programme – l’évolution ultérieure des programmes peut être discutée si on analyse ces vidéos plus récemment.

64Les extraits étudiés ici s’insèrent donc dans les premiers exercices consistants prévus par les deux enseignants. Dans la deuxième classe, l’enseignant n’a pas le temps de faire autre chose que la mise en place de la stratégie.

65Dans les deux classes il s’agit d’étudier si trois points de la figure de l’énoncé sont, ou non, alignés mais les données numériques sont un peu différentes ainsi que les consignes.

I. Première vidéo3

  • 3 Référence sur le site : vts_01_2bis.avi, vts_01_3bis.avi

66Le texte de l’exercice est le suivant :

671) Réaliser la figure suivante avec

68BC = 6,4 cm, AC = CD = 4,8 cm

69AD = 6,8 cm, BA = 8 cm.

702) Les points B, C, D sont-ils alignés ? Justifier.

1) Analyse des tâches

71Le texte fournit une figure montrant des triangles ABC et ACD extérieurs l’un à l’autre pour éviter toute ambiguïté. Sa reconstruction par les élèves, demandée dans le texte, peut les aider à distinguer les données de ce qui est demandé. Cependant l’absence de description de la figure dans l’énoncé oblige à identifier directement sur la figure, les triangles pertinents. Une fois ceux-ci identifiés, il s’agit d’une construction classique de triangles (au compas), relevant de connaissances anciennes.

72Par ailleurs il y a des changements de point de vue puisqu’il faut remplacer « recherche de points alignés » par recherche d’un angle plat, puis par recherche de la nature de deux angles de triangles dont on connaît les longueurs des côtés (droits ou pas, de somme 180° ou pas). De plus, des connaissances nouvelles doivent être mises en jeu : le théorème de Pythagore, sa réciproque, mais les élèves doivent choisir « utilisation du théorème ou de sa réciproque ? ». Ils doivent les intégrer dans un raisonnement comportant trois étapes mais les calculs numériques qui interviennent sont simples. Enfin interviennent des connaissances anciennes : définition et mesure d’un angle plat (supposée disponible), éventuellement unicité de la perpendiculaire à une droite donnée passant par un point donné…

73La figure est donnée mais elle est porteuse d’ambiguïtés. Elle a un double rôle : inspirer la démarche tout en restant porteuse d’un doute. On peut se demander a priori si les élèves vont utiliser celle qui leur est donnée ou s’ils vont la refaire.

2) Visionnement des 15 premières minutes de la vidéo (cf. site)

3) Déroulement et chronologie

Tâches durée déroulement
Description de la figure 2’ Immédiatement ajoutée par l’enseignant – rectification (comprendre l’énoncé, les deux triangles)
Construction individuelle de la figure 4’ Interactions individuelles
Recherche individuelle stratégie 1’+ 3’ Demande immédiate de recherche de stratégie par l’enseignant, prolongée (ajout)
Recherche collective de stratégie (départ ?) 4’30 Mutualisation de réponses partielles, peu nombreuses – de l’alignement aux triangles
Mise au point de la stratégie Le professeur écrit les trois étapes
Recherche individuelle de la « rédaction » 4’30 Étape par étape « conseillé »
Correction – le cas de la contraposée, discuté (et épilogue) 9’ Étape par étape, scandé par le professeur, modèle, pas de retour aux productions individuelles autres que les interrogés

4) Retour aux activités des élèves et à la gestion du professeur

74On peut distinguer plusieurs grandes phases dans le déroulement de l’exercice.

  • Comprendre l’énoncé et faire la figure L’enseignante demande de réaliser la figure mais procure presque immédiatement une aide en demandant à un élève de la décrire oralement. Cette astuce de gestion, liée à l’énoncé précis, lui permet de rappeler le problème posé et d’attirer l’attention des élèves sur le piège éventuel de la figure – sinon cela sous-entendrait le résultat qu’on cherche à démontrer. Les élèves ont ensuite quatre minutes pour le tracé pendant que l’enseignant aide individuellement l’un ou l’autre.
  • Recherche individuelle puis mise au point collective d’une stratégie globale La recherche individuelle est engagée immédiatement par l’enseignante, mais on peut se demander si c’est un « besoin » ressenti par tous les élèves. Certains d’entre eux ne sont pas entrés dans cette recherche. A la fin d’un temps de recherche soutenu par des relances du professeur, celui-ci passe à la mise en commun des idées. Il relève des réponses d’élèves qui ne font pas avancer et relance : « qu’est-ce qu’on pourrait savoir de plus sur ces triangles ? » Cela suffit à faire sortir : « savoir s’ils sont rectangles ». Mais on ne peut pas être sûr, vu le contexte de la leçon, de la relation entre cette réponse et le problème posé, car on ne connaît toujours pas les angles en C (sauf quelques élèves). D’ailleurs l’enseignante a du mal à obtenir d’un élève l’explication du fait que si les deux triangles étaient rectangles en C, cela ferait un angle plat en C. Et c’est encore elle qui complète : « donc des points alignés ». L’enseignante enchaîne immédiatement sur les trois étapes que les élèves vont devoir suivre : on regarde si chaque triangle est rectangle en C et puis on s’intéresse à l’angle somme des angles en C. En sollicitant les élèves et sous leur dictée partielle, elle les écrit au tableau (comme des titres) en laissant en dessous la place pour la rédaction : les élèves ont maintenant trois questions beaucoup plus réduites à traiter, isolées, écrites au tableau.
  • Recherche individuelle de chaque étape. Tous les élèves s’y essaient, incités par les relances de l’enseignant.
  • Rédaction (étapes et recollement de chaque étape du raisonnement) L’enseignante écrit au tableau la correction, sous forme d’un modèle, sous la dictée d’élèves interrogés (à leur place), les deux premières étapes – un triangle est rectangle et l’autre non. En revanche le recollement - alignement, angle plat, deux angles droits, deux triangles dont un rectangle et l’autre pas - ne semble pas encore compris par tous. Les difficultés éventuelles des élèves ne sont pas reprises ici, sauf la confusion théorème/réciproque qui est donnée à voir à tous les élèves et commentée.

II. Deuxième vidéo4

  • 4 Référence sur le site : vidéoCL-45_16_octobre.avi

75L’énoncé est le suivant :

76Construire un segment [AB] mesurant 3 cm puis un point C et un point D tels que AC = 5 cm, BC = 4 cm, AD = 4,1 cm et BD = 2,8 cm.

77Les points B, C, D sont-ils alignés ? Pourquoi ?

1) Analyse des tâches

78Dans cet énoncé, la figure n’est pas donnée, les élèves auront donc à en faire une. Le terme « construire » peut poser problème (à main levée, avec instruments, en vraie grandeur ?). Lors de la construction de la figure, pour placer les points C et D, il suffit de tracer des cercles (ou arcs de cercle) de centre donnés et de rayons donnés. Mais, si les élèves choisissent de tracer des cercles, il y a deux positions possibles pour C ainsi que pour D. Il y a donc plusieurs figures possibles. Faut-il introduire une discussion à ce sujet ? Tous les élèves auront-ils la même figure ?

79Les connaissances anciennes permettent de placer des points connaissant leurs distances à deux points donnés (utilisation du compas). Dans la démonstration, il y aura peut-être le recours à l’unicité de la perpendiculaire à une droite donnée passant par un point donné. Ces connaissances sont supposées disponibles. Les connaissances nouvelles portent sur le théorème de Pythagore ou sur sa réciproque. Mais les élèves doivent choisir entre les deux et les intégrer dans un raisonnement comportant trois étapes. Pour l’étude de l’alignement aucune méthode n’est indiquée. La question est donc ouverte. Plusieurs approches sont possibles, qui supposent des changements de points de vue :

  • remplacer « points alignés » par « angle plat » ou « angle de mesure 180° » ;
  • remplacer « points alignés » par « points appartenant à une même droite » (ou une même demi-droite) en utilisant l’unicité de la perpendiculaire à une droite donnée passant par un point donné.

80Enfin, notons que les calculs numériques qui interviennent sont simples.

2) Visionnement de l’extrait de vidéo (cf. site)

3) Déroulement – chronologie

Tâches Durée Déroulement
Mise en place et recherche individuelle 9’30 Le professeur circule tout en rendant un travail puis en observant ce que font les élèves.
Bilan et stratégie collective 4’ Le professeur intervient pour faire un bilan.
Faire la figure L’enseignant indique comment faire la figure en commentant : tracer le segment [AB] . Il construit le point C, joint les points A et C puis B et C sans commentaires. Il fait de même pour D en signalant qu’il y a deux points possibles et deux triangles ABD possibles. Il insiste sur les deux figures (il trace deux triangles ABD possibles).
Stratégie pour l’alignement Après avoir rappelé la question « les points B, C et D sont-ils alignés ? », le professeur insiste sur le point de départ par les informations – les hypothèses - sur les triangles. Il relance par une nouvelle question : à quoi
peut servir de savoir si les triangles sont rectangles ?

La stratégie initiée par le professeur n’est pas développée davantage faute de temps, mais le professeur signale le cas où D appartient au segment [BC].

III. Questionnement – comparaison à partir des deux vidéos

1) Quelques remarques s’imposent à l’issue du visionnement des deux vidéos

81Il s’agit d’une recherche d’exercices sur le même thème, qui mettent en jeu les mêmes outils mathématiques, mais il y a deux énoncés différents, avec deux départs différents, des choix différents pour les directions de recherche indiquées par les enseignants, des points communs dans l’organisation du travail et pour certains commentaires :

  • figure donnée, à reproduire ou figure à construire, avec ou sans aide ;
  • recherche individuelle d’emblée, ou non, plus ou moins longue – jamais en petits groupes ;
  • démarrage par la recherche d’une stratégie, initiée par une réflexion sur les hypothèses (informations du texte sur les longueurs des côtés des triangles) ou par une réflexion à partir de la conclusion (alignement de 3 points cherché) ;
  • changements de points de vue laissés implicites dans les deux cas.

82Cela dit, il est difficile d’inférer des conséquences sur les apprentissages des élèves à partir des choix, différents ou communs, des enseignants. Même si on dispose de productions d’élèves, il est hasardeux de faire des liens directs

83L’intérêt de ces analyses est de dégager ces choix, voire de les discuter !

2) Quelques élargissements

84La notion mathématique en jeu est le théorème de Pythagore et sa réciproque, utilisés ici comme outil de démonstration. Une fois les premières difficultés tenant aux adaptations du cours surmontées, distinguer s’il s’agit d’appliquer le théorème – quand on sait que le triangle est rectangle ou lorsqu’il n’y a pas égalité entre le carré de la longueur du plus grand côté et la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés – ou la réciproque est une difficulté assez résistante pour les élèves.

  • 5 Il y a plusieurs vidéos de ces deux professeurs. De plus le premier a été interviewé et a confirmé (...)

85Compte tenu de ce que l’on sait de ces deux enseignants5 expérimentés, qui connaissent les difficultés des élèves, on peut dire qu’il y a une certaine stabilité de gestion de tels moments de recherche en classe pour chacun d’entre eux. Par exemple le fait de faire établir une stratégie pour chercher le problème, collectivement, avant que les élèves se lancent « dans les calculs » est très régulier chez les deux. En revanche, le fait d’insister sur le point de départ par les informations données dans l’énoncé est une régularité dans ce que dit le deuxième enseignant à ses élèves pour chaque exercice de géométrie. Ainsi tout se passe comme si le souci de faire réussir suffisamment d’élèves en leur donnant des indications de méthode non directement liées à l’exercice en cours semblait important pour le deuxième enseignant – alors que le premier enseignant, qui a une meilleure classe, peut se permettre de faire réfléchir d’abord à l’alignement, même si on peut penser que pour certains élèves, cela reste lettre morte – d’où l’écriture des étapes au tableau et la suite.

86Le premier enseignant prend la main dès le début, même si c’est pour lancer la recherche, et ne laisse pas les élèves chercher seuls plus de 5 minutes, alors que le deuxième se tait pendant les 9 premières minutes.

87En fait, nous admettons que leurs choix ne dépendent pas seulement des stricts objectifs d’apprentissage – ce qui est bien difficile à définir compte tenu de l’hétérogénéité des classes, mais qu’ils sont aussi liés avec des déterminants liés au métier – des contraintes de programme qui rendent certains exercices incontournables, des habitudes de gestion qui deviennent des appuis pour l’enseignant, mais aussi la nécessité de durer en ayant le sentiment de réaliser des objectifs pour les élèves qui peuvent différer, ou encore l’inscription dans un collectif qui, par le biais des contrôles communs, contraint certaines progressions par exemple.

88Cependant, malgré les contraintes institutionnelles (programmes, horaires…), sociales (élèves, établissement…), personnelles, il y a des marges de manœuvre, par exemple le choix de contenus et de la gestion du déroulement et c’est ce qui est travaillé dans ce type d’analyses. Cela étant, plutôt que de chercher les raisons de tel ou tel pour justifier ses choix, notre parti pris est de les montrer, à titre de possibles !

Section 3 Une quatrième vidéo6 sur un exercice en classe de troisième : l’importance du contexte social

  • 6 Référence sur le site : vts_01_1ter.avi

89On se trouve ici dans un collège classé ZEP situé en zone prévention violence. La classe de troisième observée compte 23 élèves. Il s’agit de la recherche d’un exercice portant sur la propriété de Thalès.

90Énoncé de l’exercice :

91Le point B appartient au segment [AC], le point D au segment [AE] et les droites (BD) et (CE) sont parallèles. Les longueurs sont exprimées en centimètres.

92On donne AB = x ; BC = 4,5 ; CE = 8 et BD = 5. Calculer x.

93La figure est donnée avec l’énoncé.

1) Analyse des tâches

94Il s’agit de reconnaître une figure « clé » d’application du théorème de Thalès. L’expression des différents rapports égaux est alors une tâche simple et isolée. Remplacer demande l’expression de la longueur AC en fonction de x : c’est la somme de deux nombres n’ayant pas le même statut puisque x doit être conçu et utilisé comme un nombre généralisé et ajouté à un nombre « ordinaire ». Ainsi l’utilisation du théorème de Thalès nécessite une adaptation de type calcul algébrique (mélange).

95Le choix du premier et du dernier rapport pour calculer x fait appel à différents cadres pour aboutir à une équation. La dernière étape consiste à reconnaître une équation déjà étudiée et donc à effectuer les produits en croix pour la transformer. La tâche de résolution (on trouve x = 7,5) est simple et isolée ou non suivant les élèves. L’exercice, qui est complexe, ne propose aucune étape explicite et mélange les cadres algébrique et géométrique, il demande de nombreuses adaptations différentes de plusieurs connaissances : la résolution d’une équation avec des quotients est une nouvelle connaissance, l’application de la propriété de Thalès est une connaissance ancienne.

2) Chronologie

Distribution de sujets et explications 5’
Recherche individuelle 7’
Un état des lieux collectif
Recherche individuelle
Bilan (on utilise le théorème de Thalès). 8’
Correction (une élève) : les égalités de rapports de longueurs.
Recherche individuelle 2’
Suite à un échec de l’expression de AC : aide : 2 à la place de x puis « faire pareil » 2’
Recherche individuelle 4’
Une indication : pourquoi on ne peut pas utiliser le théorème de Pythagore
Recherche individuelle
Correction : écriture par l’enseignant des deux rapports à utiliser. Une aide à la résolution de l’équation corres- 1’
pondante (rappel).
Recherche individuelle 7’
Correction du produit en croix par l’enseignant . 1’
Recherche individuelle 2’30
Correction « muette » par un élève de la résolution de l’équation 1’30
Bilan et commentaire 2’

3) Visionnement de l’extrait de vidéo (voir site)

4) Les aides, le déroulement

Les aides

96Les aides sont procédurales : justification de l’utilisation du théorème de Thalès, conseils de rédaction, remplacement des longueurs par leurs valeurs, calcul avec 2 à la place de x. Une aide constructive est donnée : rappel précis de toutes les étapes de la résolution d’une équation « quotient » ainsi que la manière de supprimer une parenthèse.

Du côté des élèves

97La plupart des élèves ont de grandes difficultés à résoudre l’exercice. Un seul élève est arrivé au bout. Cependant ils cherchent. Certains se sont lancés d’abord dans la résolution d’une équation faisant intervenir les nombres de l’énoncé mais au bout de 10 minutes tous les élèves essaient d’appliquer le théorème de Thalès. Certains y arrivent comme l’élève qui passe alors au tableau. Le remplacement des longueurs par leurs valeurs et l’introduction de x semblent n’être réussis par aucun élève. Enfin un élève résout l’équation « quotient » et recopie sa solution au tableau. A minima les élèves recopient le tableau « modèle ».

Du côté du professeur

98La teneur général du discours de l’enseignant est de rassurer les élèves pour les encourager à s’engager dans l’exercice et à faire des essais. Les tâches qu’il leur propose sont complexes et demandent des adaptations nombreuses et variées. Il n’y a pas de pas de recherche collective de stratégie globale, ni prévision ni explicitation a posteriori (méthode). Il y a peu de mutualisation. Dans le déroulement, on observe un temps de recherche en autonomie long mais peu organisé au départ et peu structuré mathématiquement. Le professeur distrait les élèves le moins possible – les temps de correction sont peu marqués et interviennent à la suite des évaluations individuelles des productions.

Quelques alternatives possibles

  • 7 Cf la pratique instituée et analysée dans les travaux de D. Butlen (2007) sur le calcul mental.

99Recourir à des bilans collectifs pourrait peut-être permettre aux élèves d’avancer7. Introduire un travail spécifique sur les intermédiaires pour aborder des tâches complexes sans les réduire, pourrait peut-être faciliter la gestion des moments collectifs et apporter des aides constructives adaptées.

Bilan - Outils pour analyser les déroulements

100Tous les exemples développés ici concernent des exercices.

101Les déroulements sur un exercice sont analysés à partir de l’analyse des tâches prévues. La chronologie établie à partir du visionnement complet révèle d’abord la forme du travail des élèves : travail individuel ou en petits groupes des élèves, sans intervention collective de l’enseignant… La nature de ce travail est indiquée : recherche, reprises, questions intermédiaires proposées, validations et corrections partielles, etc. En particulier les moments de silence de l’enseignant sont pris en compte comme indice d’un essai de « dévolution » de la tâche aux élèves. Enfin on repère les phases de corrections collectives, bilans, généralisations… On distingue ainsi donc les phases d’enrôlement des élèves, de maintien dans le travail ; on est attentif à ce que l’enseignant repère du travail des élèves et on analyse l’exploitation qu’il en fait. Une attention particulière est portée aux aides de l’enseignant.

102Les aides à fonction procédurale peuvent réduire la tâche à accomplir, mais aussi permettre aux élèves de se mettre au travail, les aides constructives peuvent permettre de faire construire de nouvelles connaissances aux élèves à partir de leur propre travail, cela correspond à l’utilisation par l’enseignant de ce que nous modélisons sous le terme générique « ZPD », mais, selon les élèves, une aide procédurale peut être déjà constructive et une aide constructive, rester procédurale (voir plus loin rapport au savoir des élèves en ZEP). De façon générale tous les commentaires ajoutés par l’enseignant, que ce soit sur les mathématiques en jeu ou sur le travail des élèves, sont des éléments importants de nos analyses de déroulement (cf méta).

103Il est important de revenir aux activités possibles des élèves sur les tâches attendues – a minima, a maxima. Cela permet de commencer à reconstituer des logiques d’actions de l’enseignant et de réfléchir à la mise en œuvre des différentes tâches.

  • 8 Notamment les effets pointés par Brousseau (1998), effet Jourdain : l’enseignant croit déceler une (...)

104Souvent les enseignants ne disent pas, ne font pas tout ce qu’ils avaient prévu, ce qui alimente une double discussion, celle de la nécessité de tels choix et de tels deuils, et celle des alternatives. On peut se demander plus généralement si les tâches analysées sont « robustes », au sens où plusieurs déroulements peuvent assurer (globalement) les activités attendues des élèves ou si ce sont des tâches « sensibles », dont le potentiel, en terme d’activités élèves, dépend davantage du déroulement (même si les modifications ne changent pas fondamentalement ce qu’on attend des activités). La dernière catégorie, les tâches « fragiles » sont celles pour lesquelles quasiment un seul type de déroulement assure la « fidélité » activités-tâches, les autres pouvant même avoir des contre-effets8. Par exemple, dans les exercices de seconde où les élèves doivent chercher à optimiser une aire variable (rectangle inscrit dans un trapèze ou autre), on change beaucoup l’activité recherchée sur les fonctions selon qu’on laisse les élèves chercher l’aire ou non : cette activité peut se dérouler pendant un temps plus ou moins long pendant la séance, voire même n’être pas encore abordée dans le temps de la séance !

105Ce qui est visionné amène à se poser d’autres questions élargies, qui portent sur les autres exercices éventuels, les cours, le programme, la classe, l’enseignant particulier, l’établissement. Il s’agit de favoriser ces interrogations qui permettent de « remonter » au global. En ce qui concerne les phases d’exposition des connaissances (« cours » à proprement parler), les analyses sont un peu plus difficiles à faire, surtout si les élèves restent silencieux. De plus il serait nécessaire de prendre connaissance à la fois de ce qui précède la leçon et de ce qui la suit immédiatement et souvent l’illustre par des exemples simples ou des applications immédiates. C’est pourquoi nous n’avons pas donné ici de tels extraits, ce qui n’empêche pas d’y avoir recours dans certaines séances.

106Parmi les variables à prendre en compte on peut citer :

  • le lien éventuel réel ou artificiel entre des activités avant la séance et cette séance ;
  • la présence dans le cours de la mise en évidence des aspects objets et outils d’une même connaissance (théorème / méthode correspondante) ;
  • la présence de démonstrations ou du fait qu’on admet une propriété ou encore l’implicite total (on ne dit pas que cela pourrait être démontré, on passe sous silence le statut de la propriété) ;
  • le lien entre ce qui est dans le cours et les tâches proposées, applications immédiates ou avec adaptation et avec la quantité de chaque type de tâche.

107Les commentaires de l’enseignant sont là aussi déterminants.

108Une autre variable tient aux interactions avec les élèves pendant les cours, plus ou moins dialogués, avec plus ou moins de questions venant des élèves, plus ou moins longs… Il faut se garder d’interpréter trop vite ces diversités

109Enfin il est intéressant d’analyser comment l’enseignant demande aux élèves d’utiliser ce cours (et de le travailler), et de noter la qualité des références qu’il en fait. Tout se passe comme si pour certains le cours tenait lieu à la fois de mémoire de la classe et de catalogue des connaissances à utiliser.

110La comparaison des manuels et du cours des enseignants peut être intéressante, ainsi que l’utilisation préconisée pour les élèves.

Conclusion : vers le temps long ?

111Mais… ces analyses de déroulements, à partir des analyses de tâches (exercices, cours), restent essentiellement locales et ne renseignent pas complètement sur ce qui se passe sur le temps long, alors que les apprentissages se jouent aussi sur ce temps long. Il manque ainsi encore un « cran » pour apprécier mieux les activités des élèves et ce que provoquent les enseignants.

112Certes l’étude des scénarios révèle en partie les mathématiques que peuvent fréquenter les élèves, en termes de dynamiques, dans le projet, entre les cours et les exercices, entre le sens et la technique, par l’intermédiaire de l’ordre dans lequel sont présentées les différentes parties, des durées prévues pour les différentes phases, et aussi de la quantité et de la variété des tâches. Mais la différence entre ce qui est prévu et ce qui se passe, telle que ce chapitre l’a mis en lumière, est trop importante pour que cela soit suffisant. Certes l’étude des productions des élèves après un chapitre donné, quand on peut la faire, permet de mettre en relation ce qui s’est passé et des traces des apprentissages, mais c’est très couteux en temps dans la mesure où il faut étudier tout ce qui s’est passé en relation avec le contrôle ; certaines recherches commencent à donner de telles ressources, toutefois limitées dans la mesure où de nombreux paramètres interviennent, hors de portée des observateurs.

113Un autre accès indirect à cette temporalité « longue », qui justifie notre démarche, est l’étude plus générale des pratiques des enseignants, car celles-ci s’avèrent relativement stables, pour chaque enseignant, ce qui permet de penser que ce qui a été étudié à l’échelle d’une séance se répète plus ou moins, et toutes proportions gardées, sur l’année. De plus, on constate des régularités dans les choix globaux des enseignants, liés aux contraintes fortes dues aux programmes et aux horaires, qui renforcent le caractère générique de nos analyses et de séances et de scénario.

114Cette étude des pratiques est l’objet du chapitre suivant.

Notes

1 Référence sur le site : vts_01_2.avi

2 Attention, sur le site l’extrait de vidéo présenté ne dure que 8 minutes, pour préserver le respect du droit à l’image des élèves.

3 Référence sur le site : vts_01_2bis.avi, vts_01_3bis.avi

4 Référence sur le site : vidéoCL-45_16_octobre.avi

5 Il y a plusieurs vidéos de ces deux professeurs. De plus le premier a été interviewé et a confirmé la stabilité de ses choix.

6 Référence sur le site : vts_01_1ter.avi

7 Cf la pratique instituée et analysée dans les travaux de D. Butlen (2007) sur le calcul mental.

8 Notamment les effets pointés par Brousseau (1998), effet Jourdain : l’enseignant croit déceler une connaissance qui n’y est pas, effet Topaze : l’enseignant souffle le résultat aux élèves qui sont privés de la recherche.

© Presses universitaires de Franche-Comté, 2012

Conditions d’utilisation : http://www.openedition.org/6540

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