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Une caméra au fond de la classe de mathématiques

 | 
Aline Robert
, 
Jacqueline Panninck
, 
Marie Lattuati

Deuxième partie. Des outils pour former le travail de l’enseignant pour la classe et en classe. Analyses de séances de classe et des mathématiques à enseigner

Chapitre 1. À propos de mathématiques

Texte intégral

Section 1 Sur l’importance des énoncés proposés aux élèves

1Cette section est rédigée comme une séance de formation. Elle est directement inspirée de nos propres séances.

2L’idée majeure qui sous-tend cette section est de travailler sur les analyses des « contenus » proposés aux élèves, vus comme des tâches mathématiques, en dégageant les connaissances à utiliser et les manières de les mettre en fonctionnement. Cela permet dans un deuxième temps d’étudier, en relation avec ces tâches, les « activités mathématiques des élèves », c’est-à-dire les activités possibles des élèves, en relation directe avec ce qui est prévu en termes de contenus.

3Le point de départ consiste à confronter les enseignants au besoin de comprendre la différence de réussite entre deux énoncés apparemment voisins, et, une fois ce besoin ressenti et identifié comme relevant d’une analyse de tâches, de les motiver à disposer d’outils un peu généraux d’analyses des tâches mathématiques proposées aux élèves. Ces analyses doivent se faire en relation avec les activités que les tâches peuvent provoquer, sans même encore prendre en compte le déroulement en classe, qui sera étudié ultérieurement, lui aussi en relation avec les tâches.

4Un formateur se trouvera souvent en position d’analyser des tâches et des déroulements pour apprécier les activités des élèves. L’idée est donc qu’il dispose d’outils autant pour les analyser en termes de connaissances à mettre en fonctionnement que pour réfléchir aux conséquences pour les enseignants.

I. Pourquoi analyser les tâches – une histoire vraie

  • 1 Les triangles semblables ne sont plus au programme, il suffit de savoir qu’on cherche si les deux t (...)

5Il était une fois… dans une classe de seconde, il y a une dizaine d’années, un enseignant qui corrigeait les deux exercices suivants extraits d’un contrôle sur les triangles semblables1 (assez mal réussi).

6On se demande d’abord s’il y a eu un exercice mieux réussi que l’autre (ou plutôt s’il y a une question mieux réussie que l’autre) et pourquoi. C’est ce que nous faisons réellement dans chaque première séance de formation.

Exercice 1

Image

Montrer que les triangles AOC et OBD sont semblables
[et trouver le rapport de similitude – non traité ici]…

Exercice 2

Image

  • 2 ont deux angles respectivement égaux.

ABCD est un carré, O le point d’intersection des diagonales, (AF) la bissectrice de l’angle Image, E est l’intersection de (AF) et de [OB].
Montrer que les triangles AOE et ABF sont semblables2, [calculer le rapport de similitude [et trouver le rapport des aires de ces triangles – non traité ici].

7Beaucoup de participants sont d’avis a priori que le premier exercice a été mieux réussi. Or, c’est le second qui a été de loin le mieux réussi par les élèves lors du contrôle.

8Pourquoi ? Comment expliquer cela – alors que c’est le même théorème qui doit être utilisé dans les deux cas ?

9Apparaît ainsi la nécessité non seulement d’analyser la tâche demandée dans chacun des deux énoncés en termes de connaissances qu’ils mettent en jeu : on entrevoit le fait qu’énumérer les connaissances à utiliser ne suffit pas, mais aussi d’étudier comment ces connaissances sont à utiliser, à adapter dans chacun des exercices, ce que l’on appellera plus loin les mises en fonctionnement. Et d’apprécier à cette aune les corrections…

Présentation brève des corrigés et du déroulement de la correction

10Rappelons qu’on démontre ici que les deux triangles sont semblables car ils ont deux angles respectivement égaux (l’angle droit et un autre). Compte tenu des programmes, les élèves n’avaient pas d’autres choix.

11Pour cela dans le premier exercice on utilise le fait que :

Image= 180° (1)

DoncImage = 90°

Or Image= 90°, d’où l’égalitéImage

12L’enseignant filmé rend les copies et indique que les résultats ne sont pas bons, surtout en ce qui concerne la démonstration de la similitude des deux triangles, ce qu’il associe à un manque de travail. Il envoie un élève au tableau pour corriger.

13Dans le deuxième exercice, les élèves doivent de nouveau utiliser la caractérisation angulaire des triangles semblables et démontrer que les deux triangles sont semblables car ils ont deux angles respectivement égaux (l’angle droit et un autre). L’angle droit vient de la propriété des diagonales d’un carré, connaissance ancienne supposée disponible mais à utiliser sans adaptation ; l’autre égalité angulaire vient de la définition de la bissectrice (ou d’une propriété caractéristique). Il s’avère que les élèves ont bien su démontrer que les deux triangles sont semblables mais ont échoué à la suite. Le même type de correction que pour le premier exercice, en partie dialoguée, est organisé avec un autre élève au tableau.

1) Vers une interprétation de la différence de réussite entre les deux exercices

14Les élèves ont à utiliser le même théorème dans les deux exercices et pourtant ils n’y arrivent pas de la même façon. L’enseignant filmé le souligne lui-même. Comment se fait-il que le même théorème (deux triangles sont semblables si deux angles respectifs sont égaux) ait été bien appliqué la deuxième fois et très mal la première fois alors même que la figure du deuxième exercice semble plus complexe ?

15L’enseignant filmé, quant à lui, semble n’incriminer que les connaissances anciennes à mobiliser et la différence de mémoire qu’en ont les élèves.

16Ainsi dit-il, pour le premier exercice « Ce qui a cloché dans vos copies, c’est de montrer que ces angles étaient égaux et, histoire d’être désagréable, les angles complémentaires c’est le programme de cinquième ». Et pour le deuxième exercice « et là par contre vous avez bien mieux vu cette démonstration, la bissectrice qui coupe l’angle en deux angles égaux ça marche beaucoup mieux ».

17C’est pour travailler davantage encore cette différence de réussite que s’introduit, explicitement, l’analyse précise, a priori, des tâches des deux exercices : cela consiste non seulement à repérer les connaissances qui sont à mettre en fonctionnement mais aussi la manière dont elles sont mises en fonctionnement, les adaptations à introduire.

2) L’analyse a priori des tâches

18Les élèves ont à reconnaître le théorème à mobiliser, le même dans les deux cas, et sans vraiment de choix. Dans les deux cas les triangles sont rectangles – c’est donné pour le premier exercice et en partie déduit de connaissances sur les diagonales du carré dans le deuxième. Reste à montrer que deux autres angles sont égaux.

19Dans le premier exercice, il y a à faire un calcul intermédiaire sur les données avant de trouver les angles égaux. Il faut introduire une étape (les angles sont égaux parce qu’ils sont complémentaires d’un même angle, ce qu’il faut montrer d’abord). Pour obtenir cette étape, il faut utiliser une égalité intermédiaire : l’angle plat formé par un angle droit donné sur la figure mais en dehors des triangles, et deux angles respectivement dans chaque triangle étudié. Aux connaissances géométriques en jeu, on doit ainsi ajouter des connaissances anciennes, supposées disponibles, sur les angles complémentaires, et aussi une propriété algébrique – sur des mesures de grandeurs inconnues. En effet il faut utiliser la transitivité de l’égalité : à partir de deux égalités à 90° de deux sommes de deux angles, on déduit l’égalité des deux autres angles concernés puisqu’il y a un angle commun dans ces deux égalités. C’est bien une propriété algébrique, et non numérique, dans la mesure où les mesures de ces angles sont inconnues, qui vient s’immiscer dans un exercice géométrique (ici le signe « égal » a un statut algébrique).

20Voici un extrait de dialogue qui témoigne de l’étape ci-dessus, inattendue des élèves, et qui montre la réponse de l’enseignant filmé, concernant davantage le calcul que l’étape :

E. (élève) Moi je comprends pas moi.
P. (professeur) Qu’est-ce qui va pas ?
E. Ben je sais pas pourquoi on montre que des angles sont complémentaires alors qu’on veut montrer qu’ils sont égaux
P. C’est quoi des angles complémentaires ?
E. Qui se complètent
P. Comment ?
E. Qui se complètent. La somme des deux fait 90°
P. La somme des deux fait 90°. Ça [l’enseignant montre l’écriture d’un angle sur le tableau] plus ça, ça fait 90. Ça plus ça, ça fait 90°. Comme là il y a le même angle, c’est nécessairement que ces deux là sont égaux au départ.

21En revanche, dans le deuxième exercice, la reconnaissance des angles égaux se fait directement, à condition de reconnaître que les diagonales d’un carré sont perpendiculaires et de reconnaître une propriété de la bissectrice. Autrement dit, pour appliquer le théorème sur les triangles semblables, n’interviennent que des connaissances anciennes, supposées (à juste titre) disponibles, mais à appliquer directement, sans adaptations, en particulier sans étapes.

Bilan intermédiaire

22Reconnaître qu’on peut ou qu’on doit utiliser tel théorème, telle propriété, telle définition et/ou telle connaissance, indiquée ou non, est la première étape de ce type d’analyse. C’est un premier questionnement préalable sur les connaissances à faire fonctionner dans une question, en cours d’acquisition, anciennes, indiquées ou non. Mais appliquer un théorème dont on a reconnu qu’il doit être utilisé n’est souvent pas un simple remplacement des données générales par des données particulières. Nous appelons « adaptations » des théorèmes ou autres connaissances du cours les transformations et les mises en relation à faire pour réussir à les appliquer. La deuxième étape de l’analyse de tâches est la recherche systématique de ces adaptations.

23C’est en dégageant les connaissances à utiliser et comment elles sont à adapter dans tel ou tel exercice que l’on va apprécier l’activité possible des élèves.

24En formation réelle, la suite de la séance met en pratique ce premier constat : des exercices sont donnés aux participants qui doivent les analyser en termes de connaissances et d’adaptations des connaissances. Ce premier travail permet de voir si on est tous d’accord et de mettre en place les outils d’analyse pour ce qui concerne les contenus/tâches.

II. L’importance de l’énoncé

  • 3 Cet énoncé n’est pas destiné à des élèves (ou alors en terminale !).

25Proposer ensuite des variantes du même exercice à des petits groupes de participants pendant le même temps, et comparer les activités déclarées, avec la consigne Résoudre l’exercice en notant les activités mises en œuvre permet de prendre conscience de l’importance de l’énoncé3.

26Par exemple :

27On considère l’ensemble W des entiers de la forme p2 + q2 (p et q appartiennent à ℤ). Variante 1 : Montrer que le produit de deux nombres de W appartient à W.

28Variante 2 : Est-ce que le produit de deux nombres de W appartient à W ?

  • 4 (p2+q2) (p2+q2) = (pp’+ qq’)2 – 2ppqq’ + (pq’ – pq)2 + 2 pqpq
    ou |p + iq|2|p’ + iq’|2 = | (pp(...)

29Pour résoudre l’exercice on peut soit adapter les identités remarquables soit adapter la définition des modules des nombres complexes4.

30Les énoncés diffèrent cependant par leur façon de poser la même question : « est-ce que… » ou « démontrer que… ». La deuxième variante amène à faire quelques expériences numériques préliminaires, pour se donner une idée du résultat à démontrer. Dans les questions ouvertes, en général les activités mathématiques de démonstration sont précédées d’une phase exploratoire pour se faire une idée. Cependant la phase exploratoire elle-même peut mettre, ou non, sur la voie de la démonstration ! Ici les expériences numériques préalables n’indiquent rien du tout sur la démonstration…

31En formation, les « rapports » des groupes permettent de fixer l’attention sur la forme de l’énoncé, qui induit ou non une conjecture, des expériences qui ne mettent pas forcément sur la voie des outils à utiliser pour les démonstrations et d’insister sur les différences de temps de travail ou de recherche pour les élèves.

III. Variations sur les analyses de tâches : exemples

1) Connaissances supposées disponibles

32Nous donnons ci-dessous l’énoncé d’un exercice faisant intervenir le théorème de Thalès. Cinq autres suivront dans le deuxième paragraphe après un bilan intermédiaire et un exercice qui complète ce bilan. En formation réelle, les participants sont placés en petits groupes de travail. On distribue à chaque groupe un des énoncés avec la consigne :résoudre l’exercice ci-joint en étant attentif aux activités mathématiques qui sont provoquées. Une dizaine de minutes au moins permet de bien entrer dans l’exercice.

Exercice 1

33Soient ABCD un parallélogramme, M un point quelconque de (AD), N le symétrique de A par rapport à M, P le point d’intersection de (CM) et (BN).

34Montrer que la droite (AP) coupe [DC] en son milieu.

35Le théorème de Thalès n’est pas indiqué – mise en fonctionnement de type « disponible » On peut nommer les points intéressants (intermédiaires), il faut traduire symétrique en milieu (changement de points de vue), reconnaître les modalités d’application du théorème de Thalès et cela dépend de la figure, utiliser un calcul algébrique pour conclure…

Correction succincte

36La droite (AP) coupe (BC) en J et (DC) en I.

On applique le théorème de Thalès dans les triangles APM et PCJ puis PMN et PBC. On obtient les égalités de rapportsImage

37Comme M est le milieu de [AN], l’égalité AM = MN implique l’égalité CJ = BC.

38Il en résulte que J est fixe, C est le milieu de [BJ], de même I est le milieu de [DC].

39Un complément

40Réciproquement, on pourrait montrer que tout point de (AJ), J exclu, est un point P. Le point A convient mais il faut traiter son cas à part.

41Autre complément

42Exploration logicielle : on constate que la droite (AP) est fixe, mais il est difficile d’introduire le point J.

Bilan intermédiaire 1 : disponibilité du théorème de Thalès

43Ce travail en séance de formation permet d’avancer sur plusieurs plans. Il illustre la diversité des activités mathématiques, rappelle les détours éventuels qui accompagnent la recherche. De plus, il montre l’étroite relation entre l’énoncé et ces activités, même si l’exercice est le même.

44Dans cet exercice le théorème de Thalès est utilisé sans avoir été annoncé – l’exercice est proposé hors de tout contexte. Nous qualifions une telle mise en fonctionnement d’un théorème, qui nécessite de trouver d’abord que c’est celui-ci qui est à utiliser, de « disponible ». Cela signifie que ce théorème est disponible pour ceux qui y ont pensé mais cela veut aussi dire que cet exercice permet peut-être de rendre le théorème disponible pour ceux qui sont en cours d’apprentissage : ils auront à chercher le théorème comme un outil adéquat. Nous dirons que le niveau de mise en fonctionnement du théorème dans cet exercice est du type « disponible ».

Exercice 2

45Construire un triangle équilatéral d’aire égale à la somme des aires de deux triangles équilatéraux donnés.

46Le théorème de Pythagore est supposé disponible.

  • 5 On appelle a, b, c les longueurs des côtés des trois triangles. On traduit l’hypothèse par √3/4(a2(...)

47Mais il est nécessaire de transformer le mot « donnés » en introduisant les longueurs des côtés (paramètres), calculer l’aire des triangles équilatéraux, simplifier une égalité algébrique et interpréter le théorème de Pythagore pour proposer une construction. Il y a donc un changement de point de vue5.

2) Travail sur les adaptations du théorème de Thalès

48Dans cette étape, il s’agit de faire fonctionner cette idée d’adaptation dégagée précédemment et d’arriver à un vocabulaire commun que l’on partagera ensuite. On se centre donc sur une connaissance donnée, ici le théorème de Thalès, et on cherche à analyser ses adaptations dans différents exercices.

49En réalité, les participants à la formation devront donc résoudre des exercices utilisant ce théorème et voir, en détaillant finement, comment il est mis en fonctionnement dans chacun des exercices. Par exemple : est-ce une utilisation directe ? Sinon, quelles adaptations sont à faire ?... Bien sûr, chaque analyse est relative à un niveau scolaire donné. Les adaptations peuvent concerner aussi bien les connaissances anciennes que les nouvelles, supposées disponibles ou non ; elles décrivent la manière de mettre ces connaissances en fonctionnement, notamment lorsque ce n’est pas seulement une contextualisation d’un théorème général.

a) Travail sur plusieurs énoncés mettant en jeu le théorème de Thalès

50On distribue aux participants, regroupés en petits groupes de travail, les énoncés suivants, avec la consigne : résoudre l’exercice ci-joint en étant attentif aux modalités d’application du théorème de Thalès ou de sa réciproque. Une demi-heure permet de bien entrer dans les exercices.

51- Applications simples et isolées (immédiates, sans adaptation) ou presque

Exercice 1
  • 6 On ne met pas d’unité de longueurs – si c’était un exercice à proposer effectivement aux élèves act (...)

52Soit OAB un triangle, C un point de [OA], D un point de [OB] tels que les droites (CD) et (AB) sont parallèles. On suppose que OC = 4, OD = 3, CA = 66. Montrer que OB = 15/2. Calculer DB.

53- Tâches complexes – adaptations

Exercice 2

54On donne un triangle ACG, E un point de [CG], B un point de [AC], D un point de [AE]. On appelle F le point d’intersection de (BD) et (AG).

Montrer que si (BD) est parallèle à (CE) alors on aImage

Exercice 3

55ABCD est un quadrilatère. La parallèle à (BC) menée par D coupe (AC) en E. La parallèle à (AD) menée par C coupe (BD) en F. Montrer que les droites (EF) et (AB) sont parallèles.

Exercice 4

56Soit ACE un triangle, B et D deux points appartenant respectivement à [AC] et [AE]. On suppose que (BD) et (CE) sont parallèles. On appelle F le point d’intersection de (BE) et (CD).

57La droite (AF) coupe [BD] en I et [CE] en J. Montrer que I et J sont les milieux de [BD] et [CE].

Exercice 5

Soit ABC un triangle, I le pied de la bissectrice intérieure issue de A sur [BC]. Montrer queImage

58Y a-t-il des prolongements à cet énoncé ?

b) Mise en évidence de diverses adaptations du théorème

59Dans tous les exercices, la figure est à faire. Nous verrons plus loin toutefois que cette première activité change beaucoup selon ce que l’enseignant dit ou non au démarrage.

Dans l’exercice 1, c’est une application immédiate du théorème qui permet d’écrire l’égalité de rapports ImageUn calcul numérico/algébrique permet de calculer OB puis DB par soustraction.

60Notons un implicite : une unité de longueur est supposée donnée, la figure pourrait être tracée en vraie grandeur ce qui permettrait un contrôle a posteriori. Dans ce texte on pourrait indiquer une unité, ce qui enlèverait un changement de cadre caché entre mesure de grandeurs et numérique.

61Pour en dire plus, il faut connaître davantage le niveau scolaire concerné : pour des élèves de quatrième par exemple, l’application demandée amène à reconnaître les lettres à utiliser, qui ne sont peut-être pas celles du cours. Nous n’y reviendrons pas, mais cela peut se poser à chaque fois. De plus, faire la figure soi-même, avec un renseignement tardif sur le parallélisme à construire, demande des adaptations à certains élèves. Il en est de même pour le calcul, faisant intervenir des écritures fractionnaires, qui n’est pas encore automatique. En revanche, au lycée, un tel exercice représente ce que nous appelons une application simple et isolée d’un théorème : il n’y a qu’à remplacer des données générales par des données du contexte, aucune autre propriété mathématique n’est à utiliser, si ce n’est des connaissances anciennes réputées acquises.

62Dans l’exercice 2, les adaptations tiennent là encore éventuellement à la production de la figure, à l’utilisation des lettres non standard, puis au fait qu’il s’agit de reconnaître une application répétée du théorème (choix des configurations - étapes non indépendantes), et d’effectuer un calcul algébrique sur des longueurs notées géométriquement – ce qui correspond à un mélange de cadres (géométrique puis algébrique).

En effet, on utilise deux fois dans la même configuration le théorème de Thalès : grâce à la transitivité de l’égalité, à partir des deux suites d’égalité de rapports on obtient les égalités suivantes : Image On peut même se demander si l’utilisation de la transitivité de l’égalité (à partir des deux égalités obtenues) n’est pas une adaptation pour les élèves. Enfin, un travail algébrique sur l’égalité entre le premier et le troisième rapport permet de conclure.

63Ici on doit reconnaître une application répétée du théorème, et faire un calcul de type algébrique sur des longueurs considérées comme des nombres généralisés : c’est ce que nous appelons une adaptation du théorème de Thalès.

64L’application n’est pas isolée – du moins si le calcul algébrique n’est pas encore automatique et représente un changement de cadre à considérer pour les élèves. Elle n’est pas simple car on doit appliquer deux fois le théorème et de manière non indépendante.

65Dans l’exercice 3, il y a les mêmes adaptations mais cette fois-ci de la réciproque du théorème, avec des étapes (utilisations répétées du théorème, non indépendantes – transitivité des égalités algébriques). De plus il est commode d’introduire une notation intermédiaire : nommer le point d’intersection de (EA) et de (BF).

66Dans cet exercice, il faut reconnaître les configurations où appliquer le théorème puis sa réciproque : c’est une adaptation que nous mettons sous l’étiquette générale de « reconnaissance des modalités d’application d’un théorème ». Une autre spécificité de l’exercice est la nécessité de nommer un point : quasiment automatique chez les uns, cette activité représente un intermédiaire à prendre en compte chez les autres. Deux applications du théorème dans deux configurations différentes sont à mettre en œuvre, puis un calcul sur des longueurs mettant en jeu la transitivité permet d’appliquer la réciproque du théorème de Thalès. Il y a donc plusieurs étapes à introduire soi-même. Cette adaptation n’est pas simple, et selon les élèves représente une étape isolée ou non (cf. exercice 2).

67Dans l’exercice 4, il y a des étapes à reconstituer, non indépendantes. On utilise deux fois deux utilisations du théorème, dans deux configurations à extraire de la même figure. De plus il y a un calcul algébrique sur des longueurs à interpréter (mélange et résolution de l’équation x2 = 1).

68L’application du théorème de Thalès n’est donc pas simple : des étapes à reconstituer soi-même amènent à l’utiliser finalement quatre fois, dans des configurations différentes qui sont à reconnaître, avec un calcul algébrique qui amène à la résolution de x2 = 1 (x étant un rapport de longueurs, positif) au milieu d’un problème géométrique. Il y a là un changement de cadres qui fait de cet exercice une application non isolée du théorème (et évidemment non simple).

69L’exercice 5 enfin, présente le cas d’une construction intermédiaire à faire seul ainsi que l’utilisation de propriétés plus ou moins anciennes des droites parallèles et bissectrices. Il faut effectuer une construction intermédiaire et il y a là un petit choix de méthodes, puisque quatre constructions intermédiaires sont possibles (mais équivalentes pour la résolution). Cette construction, pour retrouver une configuration où appliquer le théorème de Thalès, amène aussi à utiliser des connaissances anciennes sur l’égalité des angles délimités par des parallèles et sur la caractérisation angulaire d’un triangle isocèle – dont on utilise ensuite l’égalité des longueurs des côtés. Le prolongement vise l’introduction de la propriété analogue pour les bissectrices extérieures.

3) Bilan intermédiaire 2 : les analyses de tâches à partir d’énoncés

70Toutes ces analyses sont relatives à des exercices posés à un niveau scolaire donné, au sein d’un programme donné, voire dans une classe donnée. Elles ont pour ambition de renseigner sur les activités mathématiques possibles des élèves, c’est-à-dire la mise en fonctionnement des connaissances attendue, inférées à partir de l’analyse des tâches. Elles aideront aussi à renseigner sur ce qui se passe en classe, compte tenu du travail des élèves (conditions de production : nature, forme, aides, production finale visée…) et des interventions de l’enseignant.

  • 7 C’est le niveau de conceptualisation qui est ainsi défini.

71Cette mise en relation permettra de saisir des adaptations imprévues et des modifications dues au déroulement. C’est seulement à l’issue de cette phase qu’on est renseigné sur les activités possibles des élèves, en distinguant éventuellement des activités a minima et a maxima, et en introduisant éventuellement de manière complémentaire la distinction entre le travail oral de recherche et de résolution et le travail écrit de rédaction. En conséquence, on peut inférer certains éléments sur les apprentissages ultérieurs, conçus en référence à un niveau de conceptualisation défini à partir du programme. En particulier, globalement, les introductions proposées, puis la nature et la variété des activités (possibles) et leur ordre dans le scénario effectif renseignent sur les dynamiques imbriquées entre cours et exercices, entre travail du sens et des techniques, mais aussi entre travail des élèves et exploitation par l’enseignant. Nous faisons l’hypothèse que ces dynamiques imbriquées influencent de manière cruciale la construction des outils et objets visés, en relation avec les problèmes mathématiques constitutifs du niveau de conceptualisation visé, les raisonnements mis en jeu, le niveau de rigueur attendu, et l’organisation dans le reste des connaissances7.

72Ce qui suit s’applique essentiellement aux énoncés donnés à chercher aux élèves, que ce soit à l’oral, individuellement ou collectivement, à l’écrit, à la maison, avec ou sans instrument… Les analyses sont donc toujours à compléter en aval et à pondérer par les indications sur ce qui se passe dans le temps réel de la classe et par le scénario complet de l’enseignant.

  • 8 Cet enseignant, ou un autre enseignant si la notion a été introduite dans les années précédentes.
  • 9 On peut étendre aux manuels la base de référence des connaissances.

73Qu’appelle-t-on ici « connaissances » ? Cela réfère strictement à ce que l’enseignant introduit (ou a introduit8) dans son cours comme objet ou comme outil9 ; ces objets ou outils peuvent être des définitions, des théorèmes, des propriétés, des formules, mais aussi des méthodes, cela correspond à la fois à ce dont l’élève peut disposer pour résoudre les exercices et à ce que l’enseignant essaie de lui faire acquérir. L’étude des transitions se nourrit de ce type d’analyses.

  • Les énoncés proposés aux élèves portent sur des connaissances qui peuvent être anciennes, ou en cours d’acquisition : c’est une première distinction à prendre en compte vis-à-vis des activités et des apprentissages qu’ils peuvent induire. Nous sommes plus précis sur les notions nouvelles que sur les anciennes.
  • De plus, ces connaissances peuvent être ou non indiquées (directement ou indirectement, par exemple par leur place dans un chapitre) : on parle alors de fonctionnement de type mobilisable (si elles sont indiquées) ou disponible (sinon). Le travail des élèves n’est pas analogue selon qu’ils doivent rechercher les connaissances à utiliser, c’est-à-dire mettre en relation une propriété à démontrer et différents outils (travail du pourquoi ou du quoi) ou mettre en fonctionnement, même en l’adaptant, une propriété (travail du comment). Cela dit chaque exercice est l’occasion pour les élèves de mettre en fonctionnement telle ou telle adaptation de la connaissance et pour l’enseignant d’en tester le développement.
  • De même, la question posée peut être fermée (montrer que…) ou nécessiter des conjectures, plus ou moins larges : Entre « calculer… » et « que peut-on dire de…? » il peut y avoir encore beaucoup de différence de travail. Une question fermée sans aucune indication peut cependant ne pas être abordée immédiatement !

74Dans tous les cas, que ce soit sur des connaissances anciennes ou en cours d’acquisition, et qu’elles doivent être mobilisables ou disponibles, les mises en fonctionnement peuvent varier, avec des conséquences sur les activités et les apprentissages. Un travail sur ces conséquences potentielles nous amène à distinguer ce que nous appelons des types d’adaptations.

75Si le travail consiste à appliquer une propriété sans calcul supplémentaire ni reconnaissance (remplacer les données générales par des données particulières) on parle d’application simple et isolée ou immédiate : est mise en jeu une seule fois une application immédiate d’une propriété du cours, et d’une seule.

76Dans le cas contraire, sept types d’adaptations se dégagent, qui peuvent intervenir simultanément, qui ont chacun un spectre assez large (et encore une fois relatif) :

  • A1. Les reconnaissances (plus ou moins partielles) des connaissances à utiliser et de leurs modalités d’application… : typiquement, dans nos exemples en géométrie, reconnaître la ou les configurations où utiliser le théorème de Thalès. Cela peut aller de conjectures, mettant ou non en jeu des expériences préalables, à des reconnaissances de propriétés, ou de variables, et de notations, y compris suite à une modélisation, ou encore à des reconnaissances de formules ou à retrouver les conditions d’applications de théorèmes.
  • A2. L’introduction d’intermédiaires – notations, points, expressions, calcul, tracé, etc. : par exemple, en géométrie, introduire une parallèle, prolonger un segment, ou nommer un point pour utiliser la propriété de Thalès. On peut aussi introduire des dynamiques expérimentales, suite de calculs, mouvement des figures, notamment en faisant intervenir un logiciel, que ce soit préconisé ou non.
  • A3. Les mélanges de plusieurs cadres10 ou notions…, la modélisation, les changements de points de vue, les changements ou jeux de cadres ou de registres (modes d’écriture), les mises en relation, traductions ou interprétations : ainsi, en géométrie, utiliser du calcul algébrique pour obtenir le résultat (par exemple la résolution d’un exercice de géométrie amène à résoudre l’équation et à choisir la solution positive…). Les énoncés qui jouent sur graphique/expression algébrique de fonction contiennent automatiquement cette adaptation. Des modifications de la formulation de la connaissance à adapter, l’utilisation d’un langage mixte (formule/français), l’introduction de liaisons à expliciter, de précisions ou de compléments, l’introduction d’un ordre, voire de simplifications, l’intérêt de l’écriture explicite peuvent faire partie des adaptations de ce type. Les jeux de cadres sont des changements de cadres non indiqués et donc à la charge des élèves11.
  • A4. L’introduction d’étapes, l’organisation des calculs ou des raisonnements (cela va de l’utilisation répétée d’un même théorème à un raisonnement par l’absurde faisant intervenir le théorème) : typiquement en géométrie, utiliser quatre fois le théorème de Thalès de manière non indépendante puis sa réciproque. Les étapes peuvent être classiques (étude d’une fonction) ou à imaginer. Il y a souvent des énoncés très découpés qui minimisent ce type d’adaptations.
  • A5. L’utilisation de questions précédentes dans un problème, la critique de résultats ou des méthodes mis en relief les uns avec les autres. Il s’agit d’une adaptation intervenant dans des problèmes, qui amène à des mises en relation plus ou moins indiquées, qui nécessitent souvent de ne garder qu’une partie des informations, voire de les modifier avant de les utiliser.
  • A6. L’existence de choix – forcés (un seul convient finalement) ou non. La mise en œuvre d’une méthode à plusieurs pas correspond au choix forcé (étude de fonction).
  • A7. La détection par les élèves d’un manque de connaissances adaptées au problème qu’ils se posent.

4) Application : les évaluations EVAPM, apports et limites des analyses a priori

Image

  • 12 EVAPM : créé en 1987 l’observatoire recueille et analyse, de façon continue, des informations sur l (...)

77Le travail en formation se fait aussi à partir d’exercices tirés d’EVAPM12 : l’objectif est d’interpréter les résultats à la lumière de l’analyse des tâches – il y a une relation incontestable entre les adaptations et les réussites – mais aussi de faire réfléchir à ce qui manque pour aller plus loin, le lien avec l’enseignement réel.

78Pour rester dans le même domaine géométrique que les exercices donnés dans le paragraphe précédent, voici un exemple à propos du théorème de Thalès.

79On peut constater en faisant les quatre analyses de la tâche qu’il y a une certaine analogie entre les adaptations nécessaires à l’utilisation du théorème de Thalès dans les différents exercices et leur réussite.

80ainsi le dernier énoncé demande, et c’est le seul, d’introduire un intermédiaire, et s’avère le moins réussi – alors que les adaptations nécessaires à la résolution des autres énoncés consistent à reconnaître la configuration du théorème, éventuellement dans une figure un peu complexe (n° 3), en particulier à reconnaître des figures et/ou des noms de points peut-être non habituels, à calculer les « bonnes » longueurs, demandant d’adapter les différentes égalités données dans le théorème : elles sont plus proches d’une application simple et isolée que celles demandées dans le dernier exercice.

  • 13 À quel moment, dans la progression du cours sur la notion, les exercices ont été donnés, les exerci (...)

81Cependant, et c’est ce qui doit être discuté ensuite, faute d’informations sur les conditions précises de passation13 par rapport au travail en classe sur le théorème, sur l’enseignement détaillé qui a précédé, notamment sur les exercices qui ont été proposés aux élèves, il est difficile d’en dire plus !

82Cette réflexion prépare la prise en compte des déroulements par la suite.

5) Bilan

  • 14 Nous sommes ici dans le cadre de la théorie de l’activité.

83Nous insistons sur le fait que ces analyses ne sont pas « formelles », elles sont faites pour servir, ou du moins nous faisons l’hypothèse qu’elles peuvent servir ! Elles aident à repérer ce que font les élèves, grâce à la comparaison avec les activités attendues, ou à essayer de faire faire quelque chose aux élèves (choix préalable). Même si on s’est légèrement trompé dans l’analyse a priori, il est plus facile de comparer à ce qu’on avait prévu, tout en rectifiant, que d’étudier directement en séance en classe. En définitive, ce qui compte le plus est d’enclencher chez les enseignants une réflexion sur l’activité mathématique à laquelle peut donner lieu un exercice, et pour cela il nécessaire de disposer d’outils d’analyse et de catégories, qui, ici, ont été choisies en relation avec ce que les élèves « ont à faire » à partir de leurs connaissances14.

84Une hypothèse sous-jacente est que la variété des adaptations proposées est une condition favorable aux apprentissages pour certains élèves : chaque occasion de mettre en fonctionnement la connaissance permet à la fois de le faire effectivement et de tester des variations de la mise en œuvre, qui seront d’ailleurs plus ou moins rencontrées ensuite. Une autre hypothèse, sur un autre plan, est que de la précision de l’analyse de la tâche dépend la qualité du repérage que l’enseignant fait du travail de ses élèves, et de la qualité de ce repérage dépend la qualité de ses interventions, plus ou moins proches de ce travail, donc plus ou moins « efficaces ».

85On n’attend pas une précision extrême dans les analyses, par exemple on peut hésiter entre étapes et intermédiaires. Mais on attend l’habitude de se poser la question de l’utilisation attendue des connaissances par les élèves. Au cours de la préparation au CAPES, les étudiants apprennent déjà à repérer les connaissances à mettre en fonctionnement, mais sans détailler autant.

L’analyse de tâches : en résumé

86Caractériser l’énoncé (ouverture, connaissances anciennes et nouvelles, supposées disponibles ou non, éventuellement implicites ou ambiguïtés)

87Étudier pour chaque tâche (en gros chaque (sous)-question) la manière dont les connaissances sont à mettre en fonctionnement –

88ou bien application immédiate, simple contextualisation de la propriété,

89ou bien adaptations supposées, à déterminer précisément à chaque fois :

  • reconnaissances de modalités d’application (y compris lettres, figure) ;
  • introduction d’intermédiaires (y compris notation, tracé) ;
  • mélanges de plusieurs connaissances, y compris anciennes, de plusieurs cadres ou registres, changements de points de vue, interprétations, mises en relations ;
  • insertion dans un raisonnement, étapes ;
  • utilisation de questions précédentes ;
  • choix (forcé ou non) ;
  • ?

IV. Conclusion : une synthèse et des manques

90Ces analyses de tâches vont être le premier acte systématique des analyses de déroulements des séances à partir des vidéos (cf. partie 2, chapitre 2).

91Elles doivent s’inscrire dans d’autres analyses des contenus mathématiques :

  • programmes et instructions ;
  • manuels, plans de cours, des niveaux de conceptualisation ;
  • notions à enseigner qui dépendent des précédentes ;
  • exercices et problèmes proposés aux élèves également impossibles sans renseigner les étapes précédentes.

92On trouve dans la bibliographie des études à différents niveaux. Elles peuvent être complétées par des évaluations globales renseignant sur les performances des élèves sans tenir directement compte de l’enseignement reçu : EVAPM, évaluations nationales, évaluations internationales.

93Cela amène à préciser :

  • la notion visée : type de notion, place dans les programmes, connaissances éventuelles sur les acquisitions des élèves ;
  • le champ mathématique : programmes, instructions, savoirs à acquérir… ;
  • les textes du cours et les énoncés d’exercices et de problèmes.

94Dans le chapitre 4, section 2 de cette partie nous illustrons cette démarche en prenant l’exemple de l’algèbre.

95En particulier, pour analyser un énoncé question par question, après avoir déterminé les types de connaissances et de cadres mobilisés, de raisonnements, de validations, on prend ainsi en compte la manière dont la question est posée (fermée ou non – montrer que ? est-ce que ?), les indications (en utilisant…), le découpage (donné, à établir, à rétablir…) et le niveau de mise en fonctionnement de différentes connaissances à mettre en jeu compte tenu de ce que les élèves ont à leur disposition.

96On analyse ainsi quelles mises en fonctionnement sont possibles (les théorèmes ou connaissances en cause), si ce sont des connaissances anciennes ou nouvelles, des connaissances supposées disponibles ou non. On établit quelles adaptations sont nécessaires (reconnaitre des modalités d’applications, pouvoir faire des choix, rétablir ou organiser les étapes, introduire des intermédiaires, changer ou mélanger des cadres ou des registres, mélanger des connaissances, utiliser ce qui précède…).

  • 15 Ouvertures : conjectures, modélisation, méthodes, choix.
    Découpages : étapes, (in) dépendances des (...)
  • 16 Même si, rappelons-le encore, d’autres éléments interviennent, liés à l’affectif, au socio-culturel (...)

97Mais ces renseignements ne sont pas suffisants pour déterminer ce qui nous occupe : les activités des élèves. Les analyses précédentes amènent à repérer un certain nombre de choses, elles permettent de classer les exercices, de repérer les adaptations proposées a priori, voire les initiatives potentielles15. Les activités d’élèves sont cependant largement déterminées, par delà les analyses d’énoncés, par les formes de travail adoptées dans la classe, par le temps qui est laissé pour travailler et par la production attendue, et surtout par les déroulements effectifs, avec tous les accompagnements de l’enseignant, aides, encouragements, évaluations et aussi plus globalement par l’organisation choisie par l’enseignant pour travailler un chapitre complet16 (stratégie d’enseignement).

98C’est ce que nous allons aborder maintenant.

Section 2 Des éléments pour analyser les mathématiques à enseigner et revenir aux activités mathématiques des élèves

99Cette section sert à rassembler des réflexions globales, issues de recherches diverses servant de références à des interventions dispensées tout au long de la formation.

I. Vocabulaire spécifique

100Outil/objet/cadre

101Régine Douady (1986) a introduit les caractères objet et outil des notions à enseigner. Cela permet de distinguer d’une part les propriétés décontextualisées d’une notion (objet) et d’autre part ce qui est à l’œuvre lorsqu’on l’utilise dans un contexte, de manière souvent partielle (outil). Elle a aussi mis en évidence l’intérêt de parler de cadre, qui peut se traduire en « domaine de travail », une notion étant souvent susceptible d’être travaillée dans plusieurs cadres (numérique, graphique, algébrique, géométrique avec mesures, sans mesure…).

Les registres sémiotiques

102Raymond Duval (1995, 2002), travaillant sur les écritures mathématiques et les représentations des objets a proposé la notion de registres pour qualifier différentes écritures des mêmes objets. L’intérêt de cette distinction est de repérer qu’il y a des registres « non congruents », c’est-à-dire que le travail dans l’un d’eux n’est pas isomorphe, en quelque sorte, au travail dans un autre, ce qui est à la source de difficultés si rien n’est fait pour y préparer les élèves.

Différents points de vue

103Plus flous que les cadres ou registres, les points de vue permettent d’indiquer différentes manières d’aborder la même propriété par exemple. Changer de point de vue pour faire une démonstration revient à adopter une certaine flexibilité (cf. littérature anglo-saxonne). Classiquement (Robert, 1995), pour traduire la concourance de trois droites, on peut prendre le point de vue du point appartenant aux trois droites, ou du point d’intersection de deux d’entre elles qui appartient à la troisième, ou reconnaître trois hauteurs ou médianes d’un triangle, ou encore chercher trois droites concourantes dont les droites données sont les images respectives par une transformation.

104Pour démontrer une égalité, on peut commencer par transformer le terme de gauche, ou celui de droite, ou transformer les deux.

105Ainsi symétriser ou dissymétriser un énoncé est une source de changements de point de vue fréquents. Par exemple, selon que l’on énonce les droites (d) et (d’) sont perpendiculaires ou (d) est perpendiculaire à (d’), les théorèmes ou associations d’idées qui viennent spontanément à l’esprit sont différents.

106Certains changements de point de vue peuvent conduire à perdre une partie de l’information, ce qui peut en expliquer aussi la difficulté – par exemple, comme nous l’illustrerons plus loin, passer du point de vue « triangle rectangle » au point de vue « droites perpendiculaires » fait « oublier » pour un temps le troisième côté du triangle…

107Enfin certains changements de point de vue amènent à jouer sur le passage du local au global : ainsi la médiatrice de [AB] est l’ensemble des points équidistants des deux extrémités du segment (point de vue des points) ou la droite perpendiculaire à (AB) et passant par le milieu de [AB] (point de vue de la droite, global).

Local/global/ponctuel

108Dans le même ordre d’idées, une autre distinction, assez délicate (Chappet-Pariès, Pouyanne, Robert, Roditi, Rogalski M., 2008), peut intervenir pour éclairer les différents théorèmes ou énoncés mathématiques : c’est, notamment en analyse, le fait que des propriétés concernent un point (on évoquera une propriété ponctuelle), un voisinage du point (propriété locale) ou un intervalle, voire l’ensemble entier (propriété globale). Un des enjeux de l’analyse est justement le passage entre ces trois aspects – souvent la présence de quantificateurs, implicite ou non, modifie encore la nature des énoncés.

II. « Relief » sur les mathématiques à enseigner

109Osons une image assez simple pour introduire le propos. Un guide de montagne, qui prépare une course, ne se contente pas de déterminer la distance à parcourir et le dénivelé. Il travaille sur la nature de la marche à accomplir, sur les besoins en ravitaillement et en équipements divers, en s’adaptant à chaque fois aux personnes qu’il doit accompagner.

  • 17 Éventuellement avec une incursion dans l’Histoire, pour préciser comment elles ont émergé, suite à (...)
  • 18 Notamment en termes de changements de point de vue, qui sont souvent transparents pour les mathémat (...)

110De même, ce que nous appelons le relief permet de spécifier ce qui est utile à savoir pour l’enseignement d’une ou plusieurs notions des programmes : il comporte la caractérisation mathématique17 de ces notions, ce qui est objet, ce qui est outil (caractères souvent implicites pour les enseignants), leur insertion dans les programmes scolaires et dans les acquis antérieurs supposés des élèves, ainsi que le répertoire des difficultés d’apprentissage connues. Cela permet de préciser le sens que les notions peuvent prendre à tel ou tel moment de la scolarité, leur place dans le paysage des connaissances des élèves. Cela donne accès à la distance entre le nouveau et l’ancien, aux points d’appui éventuels pour l’enseignement – cadres, registres, problèmes… Cela contribue ainsi à faciliter l’élaboration des introductions aux chapitres concernés et à circonscrire le travail mathématique exigible, définitions, théorèmes, types de problèmes adaptés, niveau de rigueur et modes de raisonnements attendus. De plus la recherche des difficultés des élèves enrichit encore la préparation du travail à prévoir sur les notions, et facilite notamment la dénaturalisation des connaissances de l’enseignant18, amenant à une meilleure appréciation des cheminements à installer ou installés chez les élèves. Il s’agit de faire prendre conscience que ce qui est devenu naturel pour un enseignant, qui lui parait évident, ne l’est pas (encore) pour les élèves.

1) Entre les savoirs « savants » et les savoirs à enseigner : traquer et questionner la transposition didactique

111Nous ne faisons pas ici la distinction entre connaissances et savoirs. Nous utilisons plus volontiers le mot connaissances lorsqu’il s’agit des élèves et le mot savoir pour désigner ce qui est écrit dans des textes mathématiques.

112Yves Chevallard (1985) et Guy Brousseau (1986) ont introduit la distinction entre le savoir mathématique, tel qu’il est dans les textes mathématiques, et le savoir à enseigner, découpé et ordonné par les programmes : ils ont repris l’idée de transposition didactique pour qualifier cette « transformation » qui intervient dans l’enseignement, idée dans laquelle nous nous inscrivons.

113Un de nos enjeux est de donner des moyens de repérer certaines formes de transposition didactique, notamment lorsque le savoir à enseigner s’éloigne beaucoup du savoir savant. Par exemple signalons les exercices d’application proposés dans les manuels qui jouent sur des variations systématiques des coefficients numériques, tout à fait artificielles, au lieu d’élargir les adaptations des connaissances mises en œuvre, en proposant des occasions de se servir des notions. On fait par exemple résoudre des équations analogues avec des coefficients entiers, puis décimaux, puis rationnels, mais on ne propose pas d’exercices où ces équations seraient « outils », à établir ou à interpréter.

  • 19 Cf. Différents types de dessin dans les activités d’argumentation en classe de 5ème, Coppé et Dorie (...)

114Une autre source de réflexion tient à l’introduction d’artefacts pédagogiques, qui devraient vraisemblablement être provisoires, et qui restent dans l’enseignement, relevant ainsi d’une transposition très artificielle et très éloignée du savoir savant : ainsi les démonstrations à partir de dessins délibérément faux, qui ont eu leur heure de gloire dans certains manuels, sous le prétexte de dissuader les élèves d’utiliser des arguments du type « on voit sur la figure » au lieu de démontrer19 ; ou encore les tableaux en trois colonnes pour démontrer (je sais que ; d’après... ; donc), présentés comme une méthode systématique de démonstration en quatrième et donnant l’illusion d’une réduction possible des démonstrations à quelque chose qui s’apparente à un procédé algorithmique.

2) Sur le long terme, apprécier le « nouveau » dans les mathématiques à enseigner (collège, lycée) : niveaux de conceptualisation.

a) Les niveaux de conceptualisation, une manière d’interpréter certains gros découpages des programmes dans certains domaines mathématiques.

115Les domaines mathématiques introduits au cours de la scolarité sont parmi d’autres les statistiques, l’algèbre élémentaire, la géométrie analytique, les fonctions à partir de la troisième et l’analyse à partir de la première.

116La notion de cadre introduite par Douady (1986) permet de rendre compte partiellement de différents domaines de travail. Cependant nous proposons d’y ajouter l’idée de niveau de conceptualisation, qui permet de décrire des domaines de travail très gros, ayant une cohérence mathématique, pouvant comporter plusieurs cadres, et qui existent souvent à certaines étapes du développement historique.

117Cette catégorisation permet notamment de réfléchir aux fondements qui sont à l’œuvre, même s’ils sont implicites, aux cohérences nécessaires au développement des notions dans le niveau et aux notions non encore formalisées qui sont utilisées « malgré tout » (cf. ci-dessous). C’est une distinction qui permet de mettre en évidence une certaine relativité en mathématiques – relativité de la rigueur, des démonstrations notamment (cf. Arsac, 1998).

118Un niveau de conceptualisation (cf. Robert, 1995, Dorier, 1997, Robert, 1998) se rapporte à un domaine mathématique assez important, relativement auto-consistant, cohérent, enseigné (ou pouvant être enseigné) au moins en partie. Il est spécifié par :

  • des fondements (axiomes, originaux ou empruntés à d’autres champs mathématiques comme le numérique ou l’ensembliste) – fondements qui peuvent rester implicites mais qui peuvent tout de même être dégagés ;
  • un corpus de définitions20 (objets, notions, concepts – avec les cadres et registres de représentations impliqués) ;
  • un corpus de théorèmes, de propositions (c’est ce que nous appellerons l’arsenal du niveau) ;
  • des modes de raisonnements, des démarches et la rigueur correspondante ;
  • un corpus de problèmes que l’on peut résoudre en son sein, qui permettent de dégager l’enjeu du domaine.

Le travail dans un même niveau de conceptualisation peut se faire dans plusieurs cadres par exemple ponctuel, vectoriel, numérique, analytique ou géométrique. Il peut utiliser plusieurs registres : les coordonnées cartésiennes, polaires ou barycentriques, les notations intrinsèquesImageles nombres complexes écrits sous forme algébrique, trigonométrique ou géométrique.

119La cohérence indique qu’on pourrait dérouler les démonstrations nécessaires à établir l’arsenal du domaine en se référant aux seuls fondements et définitions initiales sans qu’il y ait de « trous » (sans pour autant l’expliciter aux élèves !) et qu’on peut résoudre les problèmes du champ avec cet arsenal mis en place.

120Les relations entre niveaux de conceptualisation ne sont pas de simples inclusions : ce sont d’autres organisations des savoirs qui sont en place, et selon les cas, il s’agit de généralisation ou d’un changement des fondements par exemple.

121L’intérêt de ce relief, très global, tient à la mise en évidence pour les enseignants d’une organisation des connaissances et à ses conséquences sur le travail mathématique à proposer aux élèves dans chaque niveau. Cela nous permet de mieux classer les outils disponibles les uns par rapport aux autres, de faire des choix de démarches. Cela nous permet aussi de mieux repérer les changements de domaines, et ne pas les confondre avec les changements de cadres, etc. Enfin, cela nous permet d’approfondir ce qui est « licite » ou non selon le niveau (compte tenu des programmes).

b) L’exemple de la géométrie21

  • 21 Cf. Robert, 2003.

122Deux niveaux de conceptualisation traversent la géométrie enseignée du collège aux premières années d’université : la géométrie « à la Euclide » surtout développée au collège ou la géométrie affine et affine-euclidienne développée en licence et au CAPES, introduite subrepticement au lycée.

123Le qualificatif « à la Euclide » indique que les fondements et les progressions sont ceux d’Euclide mais qu’on a apporté des modifications « modernes » : l’utilisation implicite des nombres réels (et celle des formules d’aires), les transformations (ce qui sous-entend une notion ensembliste d’applications du plan dans lui-même même si on ne fait opérer les transformations que sur des figures).

124Remarquons que ces niveaux sont relativement indépendants, même si le corps des problèmes qu’ils permettent de résoudre est en partie commun ; un certain degré supplémentaire de généralité est acquis au deuxième niveau en géométrie. De plus, la chronologie scolaire entre ces niveaux n’est pas stricte : certains emprunts partiels à un niveau de conceptualisation non encore développé à une étape donnée de la scolarité peuvent être repérés comme nous l’indiquerons (géométrie analytique et vecteurs au collège jusqu’à ces dernières années, juxtaposés à la géométrie à la Euclide).

125Le programme d’Erlangen fournirait un troisième niveau de conceptualisation en géométrie que nous n’évoquerons pas ici.

c) Champs conceptuels

126Par ailleurs, les champs conceptuels de Vergnaud (1991) constituent un découpage du savoir à enseigner en réseaux de concepts proches, à faire travailler ensemble, dans des situations qui caractérisent le réseau. Il s’agit pour l’auteur de fournir un cadre qui « permet de comprendre les filiations et les ruptures entre connaissances chez les enfants et les adolescents » mais ce dernier point ne rentre pas dans notre point de vue. Par exemple, le champ conceptuel des structures additives rencontrées à l’école primaire est constitué de problèmes ou de situations problèmes dont le traitement implique des concepts et des procédures de plusieurs types en étroite connexion, ainsi que des représentations langagières et symboliques susceptibles d’être utilisées pour les représenter. Vergnaud a identifié six types de problèmes de difficultés très inégales pour les enfants, structurant ce champ. Il distingue ainsi six classes de structures additives : deux mesures se composent en une troisième, une transformation opère sur une mesure pour donner une mesure, une comparaison (statique) entre deux mesures, une composition de transformations, une transformation opère sur un état relatif pour donner un état relatif, deux états relatifs (relations) se composent. Un exemple emblématique de la quatrième classe de ces structures (Vergnaud, ibid.) : Mélanie achète un gâteau 8 francs, il lui reste 7 francs, combien avait-elle avant l’achat ?

127Les niveaux de conceptualisation que nous introduisons sont différents des champs conceptuels : ils ne sont liés qu’aux savoirs mathématiques tels qu’ils se sont développés dans l’histoire et qu’ils sont présentés dans les programmes. Cependant, l’utilisation commune du mot conceptualisation indique une préoccupation partagée, celle des apprentissages mathématiques. Dans notre cas, la mise en évidence de ces niveaux donne des moyens à l’enseignant pour organiser transversalement les connaissances mathématiques à transmettre et caractériser le travail attendu à chaque niveau ; la théorie des champs conceptuels permet aux enseignants de mieux concevoir l’organisation cognitive que les élèves doivent atteindre pour un champ conceptuel donné.

3) Notions non encore formalisées

128Le mathématicien « idéal » tel qu’on se le représente parfois ne s’autorise à traiter d’une notion ou à l’utiliser dans un raisonnement que lorsqu’elle a été proprement définie, par lui-même ou par un consensus de la communauté scientifique. Cependant, dans le temps de l’enseignement, il en va bien autrement. Souvent, avant même d’avoir été définies, des notions sont manipulées par le biais de leurs propriétés opératoires. Ainsi par exemple, les longueurs et les aires des polygones ou même de figures courbes (les cercles, par exemple) sont un des objets récurrents des enseignements primaire et secondaire alors qu’aucune définition complète n’est accessible à ces niveaux. Cela n’empêche aucunement d’en parler, d’utiliser leurs propriétés de positivité ou d’additivité et d’établir des théorèmes à leur sujet. Il en va de même pour les nombres réels, jusqu’à la fin du secondaire où l’on admet la propriété de la borne supérieure. Dans une telle situation, on parlera de notion non encore formalisée (Pouyanne, dans Robert et Pouyanne, 2004).

129Il arrive également que plusieurs états formalisés – ou partiellement formalisés - d’une même notion se succèdent dans le cours de l’enseignement, sans s’infirmer les uns les autres, par un processus d’extensions successives. Les vecteurs en sont un exemple : direction-sens-longueur, classe d’équipollence de bipoints (classe d’équivalence), élément d’un espace vectoriel. La distance en est un autre : double-décimètre, formule de la distance euclidienne sur les coordonnées des points, axiomes d’espace métrique. D’autres exemples sont fournis par les angles, les droites du plan, l’aire (des formules de l’école élémentaire aux parties quarrables puis à la théorie de la mesure).

130Certaines notions enfin ont parfois plusieurs formalisations qui co-existent dans des cadres différents. Le même nom donné à l’objet dans les différents cadres constitue souvent une trace de cette co-existence. Le cosinus, par exemple, intervient en géométrie dans le triangle rectangle, dans le produit scalaire de deux vecteurs, et par le biais de la fonction cosinus (celle de la calculatrice). Le nombre π intervient dans la formule de la longueur du cercle, dans celle de l’aire du disque et dans l’égalité exp (iπ) = – 1 et l’on s’assure rarement dans les cursus d’enseignement que c’est bien du même nombre qu’il s’agit dans les trois occurrences. Le même phénomène a lieu par exemple avec les puissances (ap = exp (pln (a)) (si p est rationnel)), les fonctions affines en relation avec les droites du plan, la relation de Chasles et le théorème de Thalès.

131La plupart du temps, on fait opérer des notions non encore formalisées en cachant le fait qu’elles ne le sont pas (ou pas encore). À ce moment de l’enseignement, le choix de ces notions cachées constitue le choix de ce qui ne se discute pas (pas maintenant). Cette démarche est nécessaire – imaginerait-on de construire les nombres entiers à l’école élémentaire avant même de s’en servir ! – et n’est pas en contradiction avec le fonctionnement propre des mathématiques du chercheur. Les mathématiques ont de tout temps une double progression : vers « l’avant » et vers ses fondements. Dans l’enseignement, cette double progression existe aussi, parfois en accord avec le cheminement historique des notions. On définit a posteriori des objets que l’on manipule depuis longtemps – au risque de malentendus. Dans tous les cas, à partir du moment où une notion a été définie (formalisée), on ne fait plus référence à elle que par cette définition du moins en l’attente d’extensions. Si la définition est pertinente (consistante), elle est suivie d’un corpus de théorèmes qui en légitiment le fonctionnement a priori, alors que la notion n’était pas encore formalisée ; on pourrait d’ailleurs comparer cette démarche à celle de la modélisation au sein d’autres sciences. Souvent, les modes opératoires qui posent les exigences d’une formalisation suffisent à caractériser les objets qu’on cherche à définir, par un théorème d’unicité (nombres réels ou mesure de Lebesgue, par exemple) ; mais cela n’est pas toujours aussi limpide, comme le montre la notion de fonction continue (on peut considérer les discontinuités de seconde espèce comme une sorte d’avatar de la formalisation consensuelle de continuité).

132Pour conclure, en quelque sorte, à quelque moment du cursus scolaire, on révèle la notion cachée par une formalisation et des énoncés qui en découlent. Dans le cas de la co-existence de plusieurs formalisations appartenant à des cadres distincts, révéler les relations entre elles relève de l’organisation des connaissances. La conscience des mécanismes de formalisation, de l’existence de notions cachées et de leur détection influe sur l’organisation et la cohérence des notions sur le long terme et permet de prendre en compte la dualité entre intuition et rigueur qui lie l’objet « vraiment pensé » (conceptualisé ?) à son statut logique.

4) « Valeur ajoutée » des notions nouvelles en relation avec l’ancien et le travail des élèves

133Un des enjeux ici est de comprendre, au niveau des notions à enseigner, le rapport entre ce qui est nouveau et ce que les élèves ont déjà travaillé et, en particulier, d’en inférer des modes d’introduction de ce nouveau adaptés aux caractéristiques analysées, évidemment compte tenu des programmes scolaires. Une notion peut relever de plusieurs introductions.

134Un cadre par exemple est un domaine de travail qui se caractérise, comme un niveau de conceptualisation, par certains fondements (admis, implicites ou non) – un certain nombre d’objets, des théorèmes et un corps de problèmes.

135Par exemple le cadre de l’algèbre élémentaire suppose les propriétés des réels (implicitement admises), introduit des objets comme les expressions algébriques, les équations, les inéquations. Un certain nombre de propriétés sont travaillées : ce sont les propriétés de IR(x), sans que ce soit dit, et il y a un corpus de problèmes travaillés en algèbre élémentaire : transformation d’expressions, résolution d’équations, preuve par généralisation, etc. (cf. partie 2, chapitre 4).

136Ici nous nous centrons sur un certain nombre de caractères que les nouvelles notions (ou nouveaux objets, ou nouveaux cadres, etc.) présentent par rapport aux anciennes et qui vont amener un travail spécifique des élèves, tout en analysant la fonction que la notion remplit dans le paysage mathématique dans lequel elle est introduite. C’est la combinaison de plusieurs de ces caractères qui va permettre de définir ces types de notions dont nous allons faire l’hypothèse qu’ils sont susceptibles d’être introduits de manière différente et spécifique.

137Le caractère généralisateur apparaît quand ce qui est nouveau a une portée plus grande que ce que les élèves ont déjà à leur disposition : le nouveau étend l’ancien, que ce soit par extension du domaine d’application ou autrement, en introduisant de la généralité là où il y avait du particulier notamment.

138Par exemple le produit scalaire, le barycentre dans l’espace généralisent le produit scalaire, le barycentre dans le plan. La notion de corps généralise les structures des nombres réels et complexes.

139Le caractère formalisateur se signale par l’introduction d’un formalisme nouveau – qui peut être ou non déjà utilisé mais de manière alors réduite.

140Par exemple le formalisme du cadre de l’algèbre élémentaire est nouveau, à cause du x, mais il comprend les signes anciens comme « = », « + », etc. dont l’utilisation n’est pas la même en algèbre et en arithmétique élémentaire. Il y a « accident », rupture, fausse continuité, faux-amis...

141Le rapport entre intégrales et primitives peut être introduit comme formalisant ce qui permet de calculer l’aire sous une courbe – il y a aussi dans la notion d’intégrale un caractère unificateur, même s’il n’est pas toujours mis en évidence (cf. Robert et Rogalski, 2004).

142Le caractère unificateur indique en effet que ce qui est nouveau remplace plusieurs éléments anciens, traités jusqu’ici « chacun pour soi ».

143Quant aux fonctions des notions introduites, elles correspondent souvent soit à un nouvel objet dont on va avoir besoin (caractère outil) soit à une propriété générale, nouvelle.

5) Différents types de notions

144Dans nos travaux, nous avons distingué très généralement trois types de notions : les extensions de concepts, sans ou avec « accidents », les notions RAP (réponses à un problème) et les notions FUG (formalisatrices, unificatrices, généralisatrices), et nous allons discuter de leurs introductions respectives.

145Précisons cela.

146Certaines notions (objets, théorèmes, etc.) sont des extensions de notions anciennes, que ce soit parce qu’elles ont un caractère généralisateur ou qu’elles se traduisent par un formalisme qui étend un formalisme antérieur.

147Mais il y a des extensions sans « accidents », où il y a congruence du travail entre le nouveau et l’ancien, et des extensions avec « accidents », où quelque chose change dans le travail à faire dans le nouveau et dans l’ancien.

148Par exemple l’addition des décimaux est une extension de celle des entiers, sans accidents au niveau du sens, mais qui peut être jugée différente au niveau de l’algorithme opératoire. Le produit scalaire dans l’espace est une extension sans accidents de celui dans le plan. En revanche passer, pour la relation d’ordre, des nombres entiers aux nombres rationnels comporte un accident, alors même que c’est une extension : on perd l’existence d’un « successeur ».

149D’autres notions, plutôt objet, ont deux caractères, généralisateur et unificateur par exemple, ou unificateur et formalisateur.

150Ainsi, le théorème de Pythagore permet de donner une relation générale entre les longueurs des côtés d’un triangle rectangle, unifiant des situations particulières où les élèves peuvent vérifier ou infirmer la relation caractéristique.

151On peut l’introduire comme réponse à un problème : caractériser les côtés d’un triangle rectangle. C’est une notion que nous appelons RAP.

152Il en est de même du théorème de Thalès, qui permet de donner une relation générale caractérisant le parallélisme de droites coupant deux droites données, voire même des lignes trigonométriques d’un angle.

153Il en est de même de l’intégrale, vue comme aire sous la courbe (cf. Robert et Rogalski, 2004).

154Enfin certaines notions ont les trois caractères à la fois : ce sont les FUG (elles permettent d’introduire plus de généralité en unifiant différents objets antérieurs grâce à un nouveau formalisme). Souvent ces notions simplifient la résolution des problèmes, apportent une certaine économie, le prix à payer étant d’adopter le nouveau formalisme.

  • 22 Dans le cahier bleu n° 8 (Cissé, 2006), on trouve une étude résumée assez complète sur cette notion (...)

155L’étude de la racine carrée initiée par Assude22 a dévoilé un statut qui a évolué entre une extension de notions connues (division remplacée par algorithme d’extraction), avec accidents (pour l’addition), une réponse à un problème général – fonction inverse de la fonction carrée. Aujourd’hui elle a un statut assez flou, plutôt du côté des nombres (généralisateur), avec une définition comme réponse unificatrice à un même petit problème variable (le nombre positif dont le carré vaut…). De plus, cette notion est évidemment assortie d’un nouveau formalisme.

III. Relief sur les activités à organiser pour les élèves

1) Situations fondamentales, adidactiques, les connaissances-obstacles

156On ne peut pas résumer en un paragraphe l’œuvre de Guy Brousseau, dont une grande partie a porté sur une modélisation des activités à proposer aux élèves.

157Brousseau a ainsi distingué des grandes dialectiques, action, formulation, validation, à organiser dans des situations si possibles adidactiques (où le maître n’introduit pas lui-même de connaissances ni de méthodes), puis institutionnalisation, à partir de synthèses du travail des élèves. Il a produit, pour les mettre en œuvre, une grande quantité d’ingénieries didactiques, basées sur des situations fondamentales (problèmes mettant en jeu de manière incontournable la notion visée), essentiellement dans le primaire : nous ne pouvons que renvoyer à la bibliographie.

158Il a notamment introduit en mathématiques la notion d’obstacle, inspirée de Bachelard. Pour lui, un obstacle est une connaissance qui doit être dépassée lors de la construction des connaissances nouvelles à acquérir : il élabore pour cela ces situations fondamentales où la nouvelle connaissance visée fonctionne et elle seule ; elle est néanmoins abordable par les élèves. Mais si les élèves en restent à leurs connaissances précédentes, ils rencontrent une contradiction dans le problème lui-même, qui comporte ainsi des moyens de contrôle internes aux mathématiques. Le problème du puzzle est un exemple type d’un tel problème, qui amène les élèves à utiliser la multiplication et non l’addition pour traiter des situations d’agrandissement « dans toutes les directions ». On voit qu’il s’agit d’une extension des connaissances des élèves mais avec une rupture dans le choix de l’opération convenable.

2) Dialectique outil/objet

159Régine Douady, pour sa part, a mis au point des séquences, notamment d’introduction de notions fondamentales en primaire, basées sur une dialectique à faire vivre aux élèves, à partir d’un problème soigneusement mis au point. Dans ce problème, les élèves peuvent utiliser de manière nouvelle une connaissance déjà enseignée dans un contexte moins général, comme un outil encore implicite en quelque sorte, grâce à un jeu sur les cadres mélangeant connu et inconnu. Charge est ensuite laissée à l’enseignant de s’appuyer sur ce travail pour dégager la notion nouvelle comme objet. Ces introductions, appelées « dialectique outil/objet » doivent être suivies de réinvestissement, et semblent très adaptées à certaines notions généralisant les connaissances anciennes sans ruptures, de manière à ce que les élèves aient l’idée de « faire pareil » et que cette intuition soit correcte. Le jeu de cible (Douady, 1986) en est un exemple typique, qui amène les élèves à la division euclidienne à partir d’un jeu matériel.

160Là encore un renvoi à la bibliographie est indispensable.

3) Les moments de l’étude

161Yves Chevallard, quant à lui, a mis au point des organisations didactiques de l’étude, en distinguant des grands moments – première rencontre etc. (voir partie 3, chapitre 3). La généralité des définitions ne permet pas cependant d’affiner selon les concepts. Depuis quelques années, il a aussi proposé une refonte générale des programmes en Programmes d’Étude et de Recherches (PER), déclinés à partir d’Activités d’Étude et de Recherche (AER), qui constituent une autre réponse que la nôtre à nos questions initiales.

4) Encore les introductions de notions

162Les introductions de notions nous semblent pouvoir être abordées un peu plus largement encore que précédemment grâce au type de classification introduit ci-dessus.

163En effet, l’introduction d’une extension peut être abordée par l’intermédiaire d’un problème, fabriqué avec de l’ancien, accessible puisqu’il s’agit d’une extension, mais où ce qui est nouveau est outil de résolution.

164Les problèmes issus des travaux sur la dialectique outil/objet nous paraissent exactement de ce type, notamment s’il y a extension sans accidents, ils permettent de prolonger le sens de ce qui est nouveau et même la technique en associant les élèves à une première utilisation en outil implicite de ce qui est visé.

165S’il y a accident, on peut encore introduire de la même manière le nouveau, mais l’accident peut donner lieu à erreur et c’est la qualité du problème, notamment les moyens de contrôle internes prévus si possible, qui permettront de dépasser l’obstacle.

166Les notions correspondant à une réponse à un problème insoluble sans elles peuvent quelquefois être abordées en proposant justement aux élèves un problème qu’ils peuvent s’approprier mais pas résoudre. C’est l’enseignant qui va introduire le nouveau (notamment l’objet nouveau avec son formalisme) mais les élèves ont pu éprouver, partiellement bien sûr, ce à quoi le nouveau apporte une réponse. Même s’ils ne peuvent pas du tout imaginer le problème initial. On conçoit que ces introductions portent davantage sur le sens des notions que sur les techniques nouvelles, surtout s’il y a un nouveau formalisme à la clef…

167Quant aux notions FUG, nous faisons l’hypothèse qu’il n’existe pas de problème adapté à les introduire avec tout leur sens, mais seulement partiellement, le travail de la technique restant là encore à introduire « autrement ».

168On peut se demander si les « sauts informationnels » introduits par Brousseau ne sont pas très utiles à l’introduction de cette technique qu’il faut forcer les élèves à apprendre, même par effet de contrat. Des exemples sont donnés en algèbre élémentaire (cf. partie 2, chapitre 4, section 2).

5) Démonstrations : travail externe ou interne ?

169Plusieurs autres travaux s’attachent davantage aux aspects liés à l’apprentissage de la démonstration (au collège) : certains insistent sur le sens de cette démarche (pour convaincre), d’autres sur la technique (Duval).

6) Le rôle de l’écrit

170L’écrit a toujours un rôle particulier dans la communication avec les lecteurs puisqu’il doit être compris en l’absence même de celui qui écrit, qu’il doit se suffire à lui-même pourrait-on dire.

171En mathématiques, le passage à l’écrit peut amener à se poser de nouvelles questions, systématiques, à partir des ébauches de démonstration qui le précèdent : il y a lieu, à ce moment là du travail, de préciser les arguments mis en œuvre, en vérifiant précisément les hypothèses par exemple, d’ordonner ces arguments en essayant de simplifier (et d’abandonner des arguments superflus), et de compléter, par exemple en prenant en compte les cas particuliers. Toutes ces « opérations » sont caractéristiques de l’écrit en mathématiques.

172Un autre rôle a été attribué au passage à l’écrit, qui lui donne plutôt un rôle de témoin qu’un rôle d’interlocuteur exigeant. Des enseignants ont cherché à valoriser l’entrée des élèves dans une recherche, même infructueuse : à cet effet, ils ont engagé les élèves dans l’écriture de leur démarche, même incomplète – ce sont les narrations de recherches.

En guise de bilan : l’exemple des trames

173Les programmes indiquent un découpage en chapitres, organisés selon les notions à introduire, elles-mêmes regroupées en grands domaines.

174On peut réorganiser certaines parties des programmes en dégageant ce que nous avons appelé une trame (Robert, 1992) : c’est une organisation mathématique globale, qui met en évidence en les plaçant sur quelques colonnes juxtaposées, les différents concepts visés, avec les cadres et registres impliqués, les différentes méthodes et questions pouvant être abordées, les différents types de problèmes.

175La construction d’une telle trame est un travail permettant d’avoir une vision plus unifiée du domaine concerné que ne le permet le seul programme.

Annexes

Annexe Et du côté des démonstrations ? Le travail de G. Arsac

Gilbert Arsac a déjà fait un travail de synthèse tout à fait remarquable sur la question dont nous donnons les grandes lignes.23

Une des thèses fortes qu’il développe tient à la mise en évidence d’une certaine relativité des pratiques de démonstrations et de leur rédaction, visible notamment au cours de l’histoire (cf. « Que peuvent retirer les enseignants des travaux didactiques sur la démonstration ? », article paru dans le numéro spécial 22-23 de la revue du centre de recherche en Éducation de l’Université de St Étienne, 2002, 203-234).

a) Relativité liée aux connaissances mises en œuvre

On a déjà signalé le fait que dans certaines théories les fondements mêmes sont en partie implicites ou admis.

Arsac (1998) prend l’exemple d’un triangle et de son triangle des milieux. On demande de comparer périmètre et aire des deux triangles. Pour cela on admet en le disant que le grand triangle est formé de 4 triangles, on admet que l’aire du grand triangle est égale à la somme des aires des 4 triangles qui le composent (sans même le dire !), on doit enfin absolument démontrer que les aires de ces 4 petits triangles sont égales…

b) Relativité des domaines mathématiques concernés

Antibi avait montré qu’en probabilité et en combinatoire on ne peut pas « tout écrire » sauf à couvrir des pages de calcul (1988).

Arsac ajoute une réflexion sur les différences entre les démonstrations en algèbre, en géométrie, en analyse (Formes et variables de la démonstration mathématique, une étude élémentaire, paru dans The journal of proof 12/01/2004).

Notes

1 Les triangles semblables ne sont plus au programme, il suffit de savoir qu’on cherche si les deux triangles ont deux angles respectivement égaux.

2 ont deux angles respectivement égaux.

3 Cet énoncé n’est pas destiné à des élèves (ou alors en terminale !).

4 (p2+q2) (p2+q2) = (pp’+ qq’)2 – 2ppqq’ + (pq’ – pq)2 + 2 pqpq
ou |p + iq|2|p’ + iq’|2 = | (pp’+ qq’) + i (pq’ – pq) |2.

5 On appelle a, b, c les longueurs des côtés des trois triangles. On traduit l’hypothèse par √3/4(a2 + b2) = √3c2/4.

6 On ne met pas d’unité de longueurs – si c’était un exercice à proposer effectivement aux élèves actuels, il faudrait ajouter une unité – cela ne modifierait pas l’analyse de tâches que nous proposons, dans la mesure où l’énoncé du théorème serait donné avec des mesures avec une unité.

7 C’est le niveau de conceptualisation qui est ainsi défini.

8 Cet enseignant, ou un autre enseignant si la notion a été introduite dans les années précédentes.

9 On peut étendre aux manuels la base de référence des connaissances.

10 Les définitions précises des termes spécifiques seront reprises au chapitre suivant.

11 Cf. Douady : les cadres sont des domaines de travail comme l’algébrique, le vectoriel, le graphique…

12 EVAPM : créé en 1987 l’observatoire recueille et analyse, de façon continue, des informations sur les conditions d’enseignement et sur l’état des acquis des élèves.

13 À quel moment, dans la progression du cours sur la notion, les exercices ont été donnés, les exercices sont-ils notés ? etc.

14 Nous sommes ici dans le cadre de la théorie de l’activité.

15 Ouvertures : conjectures, modélisation, méthodes, choix.
Découpages : étapes, (in) dépendances des questions.
Types de connaissances : anciennes, nouvelles, mélanges.
Validations : auto-contrôles, vérifications partielles.
Initiatives : formulation, découverte, traduction, intermédiaires (inconnue, notation, éléments géométriques, calcul, cadre différent), mise en relation, interprétation, généralisation.

16 Même si, rappelons-le encore, d’autres éléments interviennent, liés à l’affectif, au socio-culturel, etc.

17 Éventuellement avec une incursion dans l’Histoire, pour préciser comment elles ont émergé, suite à quels problèmes et à quels errements…, bien entendu sans qu’il soit question de faire suivre l’itinéraire historique.

18 Notamment en termes de changements de point de vue, qui sont souvent transparents pour les mathématiciens.

19 Cf. Différents types de dessin dans les activités d’argumentation en classe de 5ème, Coppé et Dorier, 2005.

20 Même si les définitions d’Euclide ne sont pas correctes à nos yeux.

21 Cf. Robert, 2003.

22 Dans le cahier bleu n° 8 (Cissé, 2006), on trouve une étude résumée assez complète sur cette notion, les erreurs d’élèves, et son enseignement. Nous développons l’exemple dans le chapitre 3 de la partie 3.

23 D’autres chercheurs, plus épistémologues ou historiens, ont contribué à la réflexion.

© Presses universitaires de Franche-Comté, 2012

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