À tous les enseignants ayant suivi le DU ou le master pro de Paris 7 !

1Il était une fois… un professeur de mathématiques, dans une classe faible de seconde d’un lycée très défavorisé, qui voulait que ses élèves étudient les aires des rectangles de périmètre 20 (en cm) et trouvent qu’il y en a un d’aire maximale (et lequel)… Après les avoir fait discuter du problème et prendre conscience que tous ces rectangles ont des aires différentes, il leur demande d’en tracer quelques-uns.

2Les élèves, en demi-classe, travaillant seuls, tracent des rectangles de dimensions entières ou décimales simples. L’enseignant réunit les résultats dans un tableau et fait compléter par le calcul des aires correspondantes (en cm²). Devant le silence des élèves, une fois cela acquis, il leur rappelle les cours précédents (sur les fonctions) et obtient qu’un élève propose une piste : tracer une fonction, pour obtenir un maximum… Oui, mais quelle fonction ? Qu’est-ce qui est variable ? Notre professeur introduit alors dans le tableau un « rectangle prof », de longueur1 (première dimension) x. Il s’agit maintenant d’exprimer l’autre dimension (largeur), puis l’aire, en fonction de x. Sans se laisser décourager par le nouveau silence des élèves, l’enseignant reprend en demandant aux élèves de rappeler comment ils avaient calculé les dimensions des rectangles tracés – et arrive à faire formuler l’expression (1) « longueur + largeur = 10 » qu’il écrit au tableau. Et… rien ne vient… Finalement le professeur écrit « l + x = 10 » (2), et alors, un élève propose « l = 10 – x ». L’expression algébrique de l’aire est ensuite assez facilement donnée et le tracé de la fonction, grâce à un logiciel, peut être commencé.

3 L’enseignant qui a présenté cet épisode lors d’une séance de formation insiste sur la difficulté pour ses élèves de changer de cadre – du cadre numérique (dimensions des côtés) au cadre algébrique. Il soulève d’autres questions qui sont débattues à partir de cet exemple, sur le choix des étapes qu’il a choisies, le mode de travail des élèves (individuel, en petits groupes)…

4Nous complétons cette analyse des difficultés des élèves du point de vue mathématique en suggérant qu’un changement de cadres « peut en cacher un autre » : en effet il se peut que des élèves restent dans le cadre des mesures géométriques (associé aux grandeurs) avant de travailler dans le cadre algébrique, interprétant l’expression (1) comme un calcul numérique sur ces mesures, et non comme une formule algébrique. L’enseignant est intéressé par cet enrichissement et va le tester en proposant à ses élèves un peu plus tard le même type de problèmes en partant de recherche du périmètre de rectangles ayant une aire constante. Pour nous (experts, enseignants, mathématiciens), ce passage à l’algèbre, du calcul sur des mesures de grandeurs à une expression algébrique, dont témoigne l’expression (2), est immédiat, comme transparent, à peine remarqué ; pourtant, c’est peut-être une cause de difficulté pour les élèves, par-delà le changement de cadres, déjà problématique, numérique → algèbre. Ce qui, pour nous, semble immédiat peut mettre en jeu des éléments de ce que nous appelons la rupture entre l’arithmétique et l’algèbre, devenue invisible tellement elle est automatisée aux yeux de l’expert : les élèves restent dans le cadre des nombres ou des mesures et ne réalisent pas que le signe égal a changé de nature, que x désigne aussi bien une inconnue qu’une variable pouvant prendre une infinité de valeurs, que le travail sur les expressions algébriques est régi par des règles différentes de celui sur les nombres alors même que les opérations ont le même sens, prolongeant les précédentes et s’indiquant la plupart du temps par des signes analogues. Or cette « dénaturalisation » des connaissances pour l’enseignant, ce détour pour traquer ce qui est invisible à ses yeux et opaque aux yeux des élèves, ne s’improvisent pas : avec cette analyse on peut penser ici qu’un travail avec des tableaux de nombres, voire un tableur ou une fonction table de calculatrice ne pourrait pas favoriser ce passage.

5Pas plus que ne s’improvisent ces gestes professionnels de l’enseignant pour repérer ce que font les élèves, l’exploiter, choisir des étapes, et plus généralement, improviser, se taire, questionner, relancer « au bon moment », renoncer à bon escient à une partie de ce qui avait été préparé pour la séance en cours…

6Enseigner ne s’improvise pas et peut donc être l’objet de formations. Mais quelles formations proposer ? A quel moment ? Avec quelles modalités ? Comment et pourquoi compléter les formations sur le terrain ?

7 Pour répondre à ces questions nous présentons, dans ce livre, des éléments pouvant intervenir dans des formations complétant les formations sur le terrain, que nous estimons insuffisantes – et néanmoins indispensables.

8Ces éléments sont à lire à la fois pour eux-mêmes et en vue de réutilisations dans de nouvelles situations.

9Nous développons dans la première partie de ce livre des généralités sur les formations d’enseignants2 et de formateurs, et notamment sur l’importance que prend à nos yeux la formation des formateurs, après le rappel de notre définition de quelques mots clés, utiles tout au long de la lecture.

10C’est d’ailleurs une formation de formateurs (validée par un master « professionnel ») qui est à l’origine de ce livre : nous la présentons dans le chapitre 3 de cette partie, dont la lecture n’est donc pas indispensable.

11 La deuxième partie, directement inspirée de nos séances en formation de formateurs, est découpée en cinq grands chapitres, présentant des éléments utiles aux enseignants et qui, nous l’espérons, peuvent être réinvestis : sur les analyses d’exercices et les mathématiques à enseigner, sur les analyses de déroulements de séances en classe à partir d’extraits de vidéo tournées en classe3, sur les pratiques et les formations d’enseignants.

12 La troisième partie est consacrée à des compléments sur les TICE4, sur l’enseignement dans les classes relevant de l’éducation prioritaire5 et sur les recherches en didactique des mathématiques qui sont aux fondements de ce livre, avec un aperçu des théories générales de l’apprentissage et du développement6 (inscrites dans le cadre de la théorie de l’activité) dont nous nous inspirons. Nous abordons enfin dans un dernier chapitre des questions d’actualité autour de l’évaluation, des compétences et du socle commun. Enfin, nous avons fait le choix de permettre au lecteur de lire les différents chapitres dans le désordre. De ce fait, certaines idées essentielles sont reprises plusieurs fois pour rendre autonome chacun des chapitres.

13Une bibliographie générale classée est jointe à la fin de l’ouvrage – comprenant des bibliographies « spécialisées » spécifiques à chaque chapitre de la troisième partie et une bibliographie commune à tout le reste de l’ouvrage. Quelques références qui ne sont utilisées qu’une fois et qui sont marginales par rapport au contenu du livre sont aussi données en note, ici ou là.

14Un index permet de retrouver les mots clés.