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Didactiques et formation des enseignants

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Bernard Calmettes
, 
Marie-France Carnus
, 
Claudine Garcia-Debanc
, 
et al.

Chapitre 3. Dispositifs de formation

Former des enseignants par l’analyse des praxéologies

La question de la réalisation des moments de l’étude

Michèle Artaud

Texte intégral

1. Le modèle des moments de l’étude

1Nous présenterons ci-après le modèle des moments didactiques à propos de la mise en place d’une organisation mathématique ponctuelle (OMP) [T/t/q/Q], en ne développant brièvement que certaines des six fonctions de l’étude dont il permet de rendre compte étant donné la place dont nous disposons. On soulignera d’emblée que l’ordre des moments est d’abord un ordre d’exposition et que leur réalisation s’effectue généralement en plusieurs épisodes, un même extrait de corpus pouvant relever de plusieurs moments de l’étude - ce dernier point n’étant pas développé ci-après.

2La première fonction de l’étude est le moment de la première rencontre avec le type de tâches T : il ne s’agit pas à tout coup d’une première rencontre au sens chronologique, mais d’une rencontre qui signe le début d’un processus d’étude de T, c’est-à-dire qui fait voir T (à nouveau) comme type de tâches problématique. Voici un épisode d’un moment de première rencontre avec le type de tâches T1 « construire l’ensemble des points équidistants de deux points donnés » qui a eu lieu dans une classe de sixième.

  • 1 Compte tenu de la place dont nous disposons, nous ne citons pas l’ensemble des épisodes contenus da (...)

Le professeur, P, distribue l’activité ci-dessous (figure 1 ci-après). Il lit le texte de l’activité et explique :
Vous avez le dessin de la planche avec les deux aimants qui sont en A et B. Vous lancez la bille doucement, car il faut lui laisser le temps de rouler, à partir de la zone de départ pour aller jusqu’à la zone d’arrivée. Le problème est donc : comment lancer la bille pour gagner ? Si on est à la même distance des deux aimants, comme l’un n’est pas plus fort que l’autre, la bille continue d’avancer. Par contre si on est plus près d’un aimant, la bille va être attirée. Est-ce que quelqu’un a une idée, un endroit à me proposer sur la planche où il est sûr que la bille va passer ? »1.

3La deuxième fonction de l’étude consiste à explorer le type de tâches, T, à travers certains de ces spécimens, et de construire au moins un embryon de technique, t, permettant d’accomplir T : il s’agit du moment exploratoire. Voici un épisode du moment exploratoire relatif à T1 ayant eu lieu dans la même classe de sixième

La classe réfléchit, des élèves discutent entre eux et P trace au tableau en oralisant le point A, le point B, prend un point M quelconque (voir figure ci-dessous) et demande si ce point M est à égale distance de A et de B.
La classe répond que non, il est plus près de B. Le professeur demande alors comment devrait être le triangle AMB pour que M soit à égale distance de A et de B. Certains élèves disent « rectangle », d’autres « isocèle ».
P « Oui, isocèle ; donc on va en tracer plusieurs, on ne va pas tracer les triangles, ça ne serait pas beau et ça nous servirait à rien ; on va tracer des points qui soient des sommets de triangles isocèles ». Il demande à Li : « comment fait-on pour tracer un triangle isocèle ? », rappelant qu’on a pour base [AB] et qu’il s’agit de construire le sommet, M.

Figure 1 – Texte d’une activité sur la construction de l’ensemble de points équidistants de deux points donnés

Figure 1 – Texte d’une activité sur la construction de l’ensemble de points équidistants de deux points donnés

4La troisième fonction de l’étude, le moment technologico-théorique, a pour objet de constituer l’environnement technologico-théorique relatif à la pratique [T/t], soit de justifier, produire, rendre intelligible la technique en constituant la technologie et que cette technologie soit à son tour justifiée, intelligible, produite par une théorie. La classe de sixième déjà citée verra par exemple la réalisation de l’épisode suivant de ce moment :

P annonce : « Une fois que vous avez tracé cette droite, c’est effectivement le résultat que certains attendaient ; à peu de choses près, vous avez une droite qui est perpendiculaire au segment [AB] et comme cette perpendiculaire passe par le milieu on est à peu près sûrs qu’on vient de tracer la médiatrice » et il fait le tracé au tableau. Puis il poursuit : « En fait, cela va être une propriété de la médiatrice que certains d’entre-vous connaissaient, tous les points de la médiatrice sont tous les points qui sont à la même distance de A et de B. On va aller côté synthèse et on va noter ce résultat-là ».

5Le moment de travail de l’organisation mathématique, quatrième fonction de l’étude, permet quant à lui la mise en main de cette organisation mathématique (OM) - on la travaille -, mais encore son emploi récurrent qui fait travailler l’OM et peut conduire à la retoucher. Cette fonction est généralement réalisée dans les organisations didactiques usuellement mise en place dans l’enseignement secondaire par le biais du dispositif de résolution d’exercices, les techniques de réalisation s’appuyant sur ce dispositif pouvant être diverses.

6Cinquième fonction de l’étude, le moment d’institutionnalisation vient mettre en forme l’OM constituée : en dehors du travail de synthèse et de formulation de l’ensemble de l’OM produite, il comprend l’amalgamation de cette OM aux OM antérieurement étudiées, contribuant ainsi à la constitution d’OM locales, régionales et globales.

7Dernière fonction de l’étude enfin, le moment de l’évaluation qui évalue non seulement la maîtrise acquise de l’OM construite, mais encore l’OM elle-même : c’est ainsi par exemple que, lors d’une évaluation en classe, l’échec des élèves dans l’accomplissement d’un type de tâches révèle généralement un problème dans l’organisation mathématique elle-même, le problème le plus fréquemment rencontré étant le manque d’étapes de contrôle explicitement présentes dans la technique (voir ci-dessous).

8Dans une quatrième travaillant sur le thème du cosinus d’un angle, voici la technique figurant dans le cahier des élèves pour le calcul des mesures des côtés d’un triangle rectangle :

  1. toujours faire un schéma ;

  2. citer les hypothèses : le triangle doit être rectangle ;

  3. écrire le cosinus d’un angle : la longueur cherchée doit apparaître ;

  4. on applique la règle des produits en croix ;

  5. on calcule à l’aide de la calculatrice et de la touche cos.

9Elle est accompagnée de deux bilans qui suivent deux exemples de mise en œuvre de la technique : « pour trouver le côté adjacent, on multiplie la longueur de l’hypoténuse par le cosinus de l’angle » ; « pour trouver l’hypoténuse, on divise la longueur du côté adjacent par le cosinus ».

10On trouvera ci-dessous un extrait d’une copie d’un élève sur le thème du cosinus d’un angle rendue à l’issue du devoir de contrôle sur ce thème.

  • 2 Ce qui ne veut pas dire, bien entendu, que le travail aurait été exempt d’erreurs...

11Les erreurs commises reflètent à l’évidence, en dehors du manque de prise en charge de la gestion de l’ordre des lettres dans la désignation de l’angle, le défaut d’étape de contrôle dans la technique de calcul de distances, ce que le professeur remarque partiellement, comme en témoigne l’appréciation portée dans le dernier cas. Il en aurait été autrement sans doute2 si l’élève avait disposé de la technique suivante pour le calcul de l’hypoténuse d’un triangle ABC rectangle en A :

Le triangle étant rectangle en A, on a l’hypoténuse, AC, égale au côté adjacent à l’angleB , AB, divisé par le cosinus de l’angleB , soit AC = AB÷ cosB ; on contrôle que l’hypoténuse est plus grande que le côté puisqu’on divise par un nombre positif plus petit que 1. On remplace alors les valeurs connues dans l’égalité et on effectue avec la calculatrice. On construit un triangle rectangle en A de longueur AB et d’angleB donnés, et on vérifie que AC a bien la mesure trouvée.

2. Produire des éléments d’infrastructures

12Comme en témoignent les quelques exemples cités précédemment, le modèle des moments de l’étude permet de mettre en place une technique d’analyse des praxéologies professionnelles : elle consiste à examiner les moments de l’étude réalisés, et les techniques de réalisation employées, en élucidant autant que faire se peut l’environnement technologico-théorique qui les justifient, les produit ou les rend intelligibles. La mise en œuvre de cette analyse est au cœur de la formation des élèves professeurs à l’IUFM d’Aix-Marseille pour que les élèves professeurs développent des praxéologies professionnelles raisonnées, conformes aux contraintes fixées par les programmes et qui favorisent l’apprentissage des élèves. Pour cela, la formation prend appui sur le schéma générique suivant.

13Une question Q étant mise à l’étude - par exemple Q1 : comment mettre en place une organisation mathématique relative au type de tâches T1 -, il s’agit d’observer des réponses existantes Rà (des séances de classes dans lesquelles T1 est enjeu de l’étude, des manuels, les programmes, les archives de la formation, etc.), d’analyser et d’évaluer ces réponses avant de les développer sur des aspects qui paraissent défaillant de façon à obtenir une réponse R© à défendre et diffuser.

14Considérons ainsi la question Q1. La séance en classe que nous avons citée correspond à un Rà qu’il s’agit donc d’abord d’analyser et d’évaluer. On pourra par exemple expliciter que cette séance réalise des épisodes du moment de première rencontre, du moment exploratoire, du moment technologico-théorique et du moment d’institutionnalisation concernant la praxéologie ponctuelle relative à T1, puis analyser la réalisation de chacun de ces moments avant de l’évaluer. C’est ce que nous ferons ici rapidement pour les épisodes des moments exploratoires et technologico-théoriques qui ont eu lieu dans l’extrait du processus d’étude proposé, en prenant en charge pour l’essentiel ici les éléments techniques.

2.1. Analyser et évaluer un moment exploratoire et un moment technologico-théorique

15On notera d’abord que les épisodes considérés du moment exploratoire (qui durent approximativement onze minutes) sont réalisés à partir du spécimen fourni par la feuille d’activité, à savoir deux points A et B tels que la droite (AB) est, à l’œil, parallèle au bord de la feuille et AB = 7 cm. Il est coopératif, puisqu’il articule des épisodes où c’est P qui fait avancer le temps de l’étude et d’autres où ce sont les élèves. Plus précisément, une fois dégagé le type de tâches T1, P pose la question « est-ce que quelqu’un a une idée, un endroit à me proposer sur la planche où il est sûr que la bille va passer ? » et c’est un élève qui propose de placer un point au milieu du segment [AB], les élèves ayant ensuite à construire le point en suivant la technique donnée par P (on mesure le segment, on doit trouver 7 cm, et on place le point à 3,5 cm). Puis P demande un autre point, en propose un qui ne convient pas au tableau, ce qui suscite de la part des élèves des points qui vont convenir : les sommets des triangles isocèles. C’est P qui suggère de ne tracer que les sommets, pas les triangles complets ; il suscite le rappel par un élève d’une technique de construction d’un triangle isocèle de base [AB] à la règle et au compas (« On prend le compas, on prend une longueur, on écarte le compas, on trace un arc à partir de A et à partir de B ») et effectue la construction au tableau. Les élèves construisent sur leur feuille plusieurs points. En passant dans les rangs, P est amené à répéter qu’il ne s’agit que de tracer les sommets de triangles isocèles, puis à préciser « ce que je veux, c’est qu’avec le compas, vous traciez plusieurs points ; essayez d’en tracer un qui soit entre la ligne d’arrivée et le segment [AB], un près du départ, un près de l’arrivée, trois ou quatre entre. » Puis il annonce « une fois qu’on a tous les points, on peut tracer la ligne qui les rejoint », les élèves effectuant le tracé sur leur feuille. La réalisation de cet épisode du moment exploratoire prend appui sur des OM antérieurement étudiées : les OM autour de la construction du milieu d’un segment à la règle graduée et la construction d’un triangle isocèle de base donnée à la règle et au compas font parties du milieu (même si tel élève peut avoir encore des difficultés). À cet égard, la description de la technique de construction donnée par l’élève interrogé et validée par le professeur est significative : elle comporte quelques imprécisions qui ne posent aucun problème à la classe : c’est « bien connu » et on s’entend à demi-mots.

16Les épisodes du moment technologico-théorique prenant place dans l’étude de l’activité sont quant à eux fort brefs et ils sont réalisés par le professeur. D’abord quand celui-ci annonce à un élève qui propose de tracer la perpendiculaire à [AB] passant par le milieu pendant le travail de tracé des sommets des triangles « oui, mais on va d’abord tracer point par point et quand on rejoindra les points on verra que effectivement c’est la perpendiculaire passant par le milieu », dégageant ainsi au moins que l’ensemble cherché est une droite qui a certaines propriétés. Puis, en fin de travail, quand il annonce que l’ensemble cherché est la médiatrice de [AB] et qu’il formule la propriété dégagée (voir la citation dans la partie 1).

17Bien évidemment, cette analyse de la réalisation de ces épisodes demanderait à être développée, notamment en la confrontant à d’autres techniques possibles de façon à faire surgir les points positifs et les points négatifs, et cela spécialement du point de vue des topos respectifs du professeur et de l’élève. Nous sauterons cette étape ici, en en donnant les principales conclusions évaluatives du point de vue de la réalisation des épisodes des deux moments analysés.

18On notera d’abord positivement que le travail mené est pour l’essentiel conforme au programme de la classe, que le problème posé motive effectivement l’OM enjeu de l’étude et n’apparaît pas découpé en sous questions, mais que la problématisation émerge du travail effectué par la classe. Cependant, dans ce travail de problématisation, le professeur est très présent : on le voit, par exemple, empiéter plusieurs fois sur le topo des élèves dans les épisodes du moment exploratoire, où il livre des éléments au lieu de les faire surgir par confrontation et/ou mise à l’épreuve des travaux des élèves. Après la proposition du milieu du segment faite par un élève, le professeur aurait pu, par exemple, laisser les élèves travailler quelques minutes sur la détermination d’autres points avant de recueillir quelques propositions et de les soumettre à la classe pour évaluer leur pertinence par rapport au problème posé, ou encore de demander les propositions qui n’aboutissent pas pour analyser pourquoi il en est ainsi et ce qu’il faudrait faire comme modifications pour aboutir. On le voit également anticiper sur la technique détermination de l’ensemble, en fixant le nombre de points à tracer et leur position par rapport au segment [AB] : là encore, le recueil de quelques propositions et leur soumission à la classe pour évaluer leur pertinence et faire émerger la nature de l’ensemble aurait permis que la classe ait davantage de prise sur le travail effectué. On peut également noter que la technique de construction de l’ensemble n’a pas été dégagée ou encore que le type de tâches n’a été exploré que sur un seul spécimen - il n’aurait pas été beaucoup plus coûteux de prévoir plusieurs « planches de jeu » et de la répartir dans la classe.

19Les épisodes du moment technologico-théorique s’avèrent, quant à eux, réduits ici au strict minimum, à savoir l’identification d’une propriété qui a émergé de l’étude du spécimen proposé : c’est le professeur qui assure que cette propriété est vraie, sans qu’une étude expérimentale ait été effectuée et/ou que l’on ait posé le problème de sa déduction de la théorie géométrique disponible - alors qu’il aurait été possible à peu de frais de réaliser une justification expérimentale.

2.2. Éléments d’infrastructure didactique

20Ce type de travail, effectué ici sur un spécimen, mais qu’il convient bien évidemment de développer et systématiser, permet de mettre en place des infrastructures relatives, d’un côté, à la prise en charge des moments didactique dans la réalisation d’un processus d’étude et, d’un autre côté, à des techniques de réalisation des moments didactiques permettant d’accroître le topos des élèves - injonction officielle qui découle sans doute des recherches en éducation.

21Du point de vue des moments exploratoires et technologico-théoriques sur lesquels nous avons centré notre communication, on voit émerger, d’une part, que l’exploration d’un type de tâches ne saurait généralement se faire sur un seul spécimen ; qu’elle suppose notamment la mise en place d’une dialectique des médias et des milieux et d’une dialectique du collectif et de l’individu qui fasse produire à la classe des réponses Rà, réponses qu’il s’agira alors d’évaluer et de confronter pour faire surgir les ingrédients d’une réponse R© ; que la mise en place de ces dialectiques suppose que l’on pose systématiquement le problème de la validité des propositions faites par les élèves, ce qui permettra de faire advenir les épisodes du moment technologico-théorique quand ces propositions seront des assertions technologiques. D’autre part, il apparaît que la prise en charge d’un moment technologico-théorique suppose l’examen de véracité des assertions technologiques à l’aide d’un dispositif expérimental qui peut prendre appui sur l’utilisation d’un logiciel ou d’une calculatrice et, dès que cela est possible, la déductibilité de ces assertions de la théorie disponible.

22Bien entendu, les éléments techniques précédents reposent sur des éléments technologico-théoriques que l’on voit affleurer dans les analyses précédentes et, notamment, ceux relatifs à la notion de topos, aux dialectiques des médias et des milieux et de l’individu et du collectif.

3. Mettre au jour des phénomènes didactiques

  • 3 Pour un second exemple, on pourra consulter la communication de l’auteure au IIIe congrès internati (...)

23Ce modèle s’avère ainsi être, dans la configuration de formation évoquée, producteur d’éléments d’infrastructure (Chevallard, 2011) efficaces pour la construction de praxéologies professionnelles, principalement parce qu’il part des fonctions que doit remplir une organisation de l’étude vis à vis du savoir à enseigner. En outre, il constitue pour le chercheur un outil puissant permettant de mettre au jour des phénomènes didactiques, et notamment pour révéler les influences des organisations de l’étude sur la constitution de l’organisation mathématique (Artaud, 2010). Nous illustrerons ce point, trop rapidement sans doute, à partir d’un exemple touchant un phénomène générique relatif à la constitution des organisations de savoirs3.

24Un certain nombre d’analyses mettent en évidence ce que l’on peut appeler une diffraction des organisations mathématiques (Artaud, 2007). Ce phénomène se caractérise par le fait qu’une organisation mathématique se donne à voir comme comprenant de nombreux types de tâches, ces types de tâches n’étant pas articulés entre eux et certains d’entre eux pouvant faire l’objet de « plusieurs techniques ». Cette diffraction n’est pas un donné des organisations mathématiques, au sens où il n’y a pas de nécessité mathématique que les organisations mathématiques soient ainsi, mais un construit dont l’analyse met en évidence, dans un premier temps, des conséquences de techniques de réalisation du moment d’institutionnalisation - qui sont certes dialectiquement liées à la constitution de l’OM.

25D’une part, en effet, les épisodes d’institutionnalisation arrivent souvent « trop tôt », au sens où l’on va institutionnaliser les ingrédients de l’OM sitôt qu’ils ont émergé - et parfois même en anticipant l’émergence des techniques, comme cela sera le cas dans la séance de sixième que nous avons analysée et où le professeur fera la synthèse de la technique de construction de la médiatrice à la règle et au compas sitôt l’énoncé de la propriété enregistré alors que les élèves n’avaient pas identifié qu’elle avait été produite dans le travail exploratoire - ce qui créera, on s’en doute, quelques difficultés de gestion de la classe.

26D’autre part, les techniques de réalisation de ce moment comportent très rarement le travail d’amalgamation des organisations mathématiques, ce dernier étant dès lors souterrain et, au mieux, implicitement réalisé à partir de remarques orales ou encore de commentaires de correction des copies. Il est donc nécessaire de fabriquer des infrastructures permettant la réalisation de cet aspect du moment de l’institutionnalisation, notamment en donnant des moyens d’agréger des types de tâches et des techniques (Artaud, 2010, 2011). Cela passe le plus souvent par, d’un côté, l’agrégation des techniques suivant leur portée, les techniques graphiques notamment venant s’insérer dans des techniques de portée plus grande comme étapes de contrôle ou de conjecture ; d’un autre côté, par l’organisation des types de tâches selon une relation du type Ti est un sur type de tâches de Tj si l’accomplissement de Ti peut mobiliser Tj et par une sélection des types de tâches à véritablement inscrire dans l’organisation mathématique - certains types de tâches n’étant opportuns à distinguer que d’un point de vue didactique.

Notes

1 Compte tenu de la place dont nous disposons, nous ne citons pas l’ensemble des épisodes contenus dans la séance pour chacun des moments illustrés.

2 Ce qui ne veut pas dire, bien entendu, que le travail aurait été exempt d’erreurs...

3 Pour un second exemple, on pourra consulter la communication de l’auteure au IIIe congrès international sur la TAD (Artaud, 2010).

Table des illustrations

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Titre Figure 1 – Texte d’une activité sur la construction de l’ensemble de points équidistants de deux points donnés
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Auteur

UMR P3 ADEF, Université de Provence (IUFM), France.

© Presses universitaires de Louvain, 2016

Conditions d’utilisation : http://www.openedition.org/6540

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