1. Sujet de l’atelier

1Le sujet de la troisième activité mathématique de la journée a été suggéré par Sabine Hausmann et Edith Baeten, conseillères pédagogiques à la FESEC-mathématique. Leur travail quotidien avec les enseignants de mathématiques du secondaire leur a permis d’observer de nombreux questionnaires d’évaluation et a mis en évidence une difficulté que semble éprouver un certain nombre d’enseignants à distinguer l’essentiel de l’accessoire dans les recommandations des programmes et des évaluations. Marielle Cherpion, co-auteur d’un outil (Cherpion & Vitale, 2008) interactif pour les étudiants de Bac 1, et Christiane Hauchart ont collaboré à la préparation de cet atelier.

2Il nous paraissait intéressant de confronter nos points de vue après avoir examiné des exemples de questions d’évaluation : les unes posées lors d’une évaluation certificative pour des élèves de cinquième (4 h/sem.), d’une part, et des questions d’optimisation du type de celles que l’on trouve fréquemment pour des cours de mathématiques de Bac 1, d’autre part. Ces exemples, qui sont loin d’être exhaustifs, sont repris respectivement aux tableaux A et B (le tableau B liste en outre, les expressions des fonctions à « extrémer » lors de la résolution).

3Les problèmes d’optimisation sont réputés difficiles pour les élèves comme pour les étudiants :

Les auteurs de manuels scolaires mais aussi d’ouvrages universitaires confirment la complexité de cette matière, pour laquelle « Il n’y a pas à proprement parler de règles strictes et rapides qui permettent à coup sûr de résoudre des problèmes (Stewart, 2006). Ou encore : « La variété des problèmes d’optimisation est telle qu’il est bien difficile d’établir une méthode précise de résolution » (Swokowski, 1993). La résolution d’un problème d’optimisation relèverait donc plus d’un art que d’une science. Faut-il donc abandonner l’espoir de les voir maitrisés par tous, ou au contraire, y a-t-il des pistes qui peuvent être frayées […] Une piste qui apparait plus prometteuse serait de classifier les problèmes pour pouvoir y reconnaitre quelque chose de familier et se retrouver ainsi en terrain connu, d’identifier des similitudes (Schneider & Henrotay, 2011).

2. Bref résumé des points de vue énoncés

4Le texte ci-dessous reprend quelques points de vues, énoncés ou rappelés par les participants lors de cet échange, et parfois complétés ici par l’une ou l’autre référence.

5Il y a un objectif qui va de soi au niveau des principes, mais qui s’avère difficile dans la pratique : faire en sorte que le cours de mathématiques ne se réduise pas à la seule application de procédures et que la réussite des examens soit aussi une réussite de l’apprentissage. « Apprendre des mathématiques, c’est penser, ce n’est pas apprendre des règles, ce n’est pas chercher l’unique bonne réponse par l’unique bonne méthode » (Rouche, 1989). Nous connaissons tous bon nombre d’élèves ou d’étudiants qui affirment avoir réussi en retenant et appliquant des recettes ‒ qu’ils ont oubliées depuis ‒ et pour qui le nombre considérable d’heures passées au cours de mathématiques reste fondamentalement associé à une absence de sens. Sans parler de ceux qui échouent… Des participants expriment que trop de questions proposées au secondaire relèvent surtout du procédural et sont trop complexes du point de vue de la technicité pour des élèves de cinquième (4 h/sem). Les questions 1, 4 et 5 (tableau A) sont mentionnées à ce propos à l’égard de ce point de programme : « L’évaluation à caractère certificatif doit porter sur l’essentiel […] » (FESeC, 2008). Le temps que beaucoup consacrent à ce type d’exercices pourrait être utilisé plus utilement.

6Les questions 2, 3 et 6 reçoivent un meilleur accueil : les élèves y sont amenés à s’exprimer, à passer d’un registre à un autre. La question 2 interroge sur la notion de décroissance d’une fonction sur un intervalle, mais ne se réduit pas pour l’élève à en fournir telle quelle la définition. Il est amené à s’exprimer dans la langue commune, à inventer un exemple de fonction et à faire le passage entre l’analytique et la représentation graphique. La question 3 évalue aussi la connaissance d’une notion mathématique, tout en demandant d’inventer une fonction et de faire le lien entre l’analytique et la représentation graphique. La question 6 évalue la compréhension de nombre dérivé par le biais de son interprétation graphique.

7De manière plus générale, on mentionne l’intérêt de questions qui amènent l’élève à exprimer sa pensée dans la langue commune, à inventer des exemples ou des contre-exemples, à se positionner tout en argumentant par rapport à des vrai ou faux, à rédiger une synthèse sous forme de récit, etc., ce qui correspond à un point des programmes :

Mais de manière plus spécifique, le travail mathématique apprend à argumenter dans un cadre de pensée et avec un langage qui lui sont propres. […] par exemple lorsque le professeur incite l’élève à dire ce qu’il fait, à énoncer les principes, les règles qu’il applique, à repérer pourquoi il factorise, développe…, mais aussi lorsqu’il structure ses notes, assimile, produit et rédige une démonstration (FESeC, 2008).

8Quant aux questions d’optimisation prises comme exemple de questions de Bac 1, elles exigent de pouvoir lire un énoncé en français. On note que les fonctions qui y sont mobilisées sont d’une complexité bien moindre que certaines qui figurent dans les évaluations du secondaire.

Tableaux reprenant les questions examinées

Tableau 1 – Questions en 5^e (4 périodes/sem.)

Tableau 2 - Problèmes d’optimisation et fonctions à maximiser

3. Conclusion de l’atelier et de la journée

9On peut constater que les deux exposés et l’atelier mettent en évidence, par-delà leurs spécificités propres, un certain nombre de points forts qui se rejoignent.

10Il convient d’adapter au mieux l’enseignement et son évaluation pour que les élèves ou étudiants réussissent non seulement les épreuves d’évaluation, mais aussi leur apprentissage. Cette dernière réussite ne va pas sans une forme d’autonomie par rapport à la matière enseignée et à l’enseignant.

11Il s’agit de faire en sorte que les apprenants comprennent les concepts et théories (ou morceaux de théories) ligne à ligne. Mais il s’agit aussi qu’ils comprennent, au moins partiellement, pourquoi ces derniers sont construits d’une façon plutôt que d’une autre. Cela passe notamment par le développement de la créativité des élèves et des étudiants sur des exemples assez simples en évitant la surenchère à la technicité et à de volumineuses boites à outils, l’adoption d’une rigueur adéquate et le souci que l’augmentation de cette dernière ne se fasse pas au détriment de l’intuition et de la créativité.