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Formation, transformations des savoirs scolaires

 | 
Pierre Kahn
, 
Youenn Michel

Les acteurs des réformes

La Commission royale et le projet de réforme de l’enseignement des mathématiques en Italie (1905-1909). Humanités scientifiques et démocratisation du savoir

Livia Giacardi

Résumé

En 1905, sollicité par divers signaux indiquant la nécessité d’un renouvellement dans l’école secondaire italienne, le ministre Leonardo Bianchi nomma une Commission royale dans le but de suggérer les innovations les plus urgentes et opportunes dans la structure de ces établissements, ainsi que d’élaborer de nouveaux programmes à partir d’une enquête à grande échelle. La Commission royale était formée d’enseignants de l’école secondaire, d’inspecteurs ministériels et de professeurs universitaires, notamment l’historien Gaetano Salvemini et le mathématicien Giovanni Vailati, ce dernier jouant un rôle de tout premier ordre dans l’élaboration des programmes de mathématiques et des indications méthodologiques.
Dans mon article, je me concentre sur les points suivants : le projet général de réforme proposé par la Commission royale, les propositions de Vailati pour le renouvellement de l’enseignement des mathématiques et leurs racines culturelles, les critiques de type didactique et méthodologique qu’elles ont suscitées et les résultats effectivement obtenus.

Texte intégral

1Au début du XXe siècle, quarante ans après l’Unité, l’enseignement secondaire italien présente des carences qui émergent de manière évidente dans les piètres résultats obtenus aux examens finaux et dans les diverses enquêtes promues par le ministère de l’Éducation nationale. Les causes sont à imputer essentiellement à la mauvaise préparation des enseignants, aux méthodes d’enseignement inappropriées, à la forte prédominance des matières littéraires au détriment des disciplines scientifiques, et à la persistance de grosses disparités entre les différentes régions italiennes.

2En plus de ces carences évidentes, d’autres facteurs indiquent de manière manifeste l’urgence d’une réforme : le nouveau contexte historique et social ; la forte augmentation des inscrits dans le secondaire ; l’influence des mouvements de réforme dans les divers pays européens, notamment ceux qui sont promus en Allemagne et en France ; enfin, les pressions des enseignants eux-mêmes qui participent, à travers leurs associations, de plus en plus activement à la politique scolaire.

3Pour faire face à cette situation, le 19 novembre 1905, le ministre de l’Éducation nationale Leonardo Bianchi nomme une Commission royale pour la réforme de l’enseignement secondaire dans le but de promouvoir une enquête à large spectre sur les lycées et de suggérer les innovations les plus urgentes et opportunes. Présidée par Paolo Boselli, ancien ministre de l’Éducation nationale, la commission est composée d’enseignants du secondaire, d’inspecteurs ministériels et de professeurs universitaires, notamment l’historien et homme politique Gaetano Salvemini et le mathématicien Giovanni Vailati.

4Les programmes de mathématiques et les indications méthodologiques correspondantes sont rédigés par Vailati, membre de l’école créée à Turin par le mathématicien Giuseppe Peano. Mathématicien, philosophe et vulgarisateur, Vailati cultive des intérêts qui embrassent divers domaines, tels que la logique, la philosophie, l’histoire des sciences, la psychologie, la sociologie et la pédagogie, et qui lui permettent donc d’affronter sa tâche avec une grande largeur de vue.

5Dans cet article, je me concentrerai sur les points suivants : le projet général de réforme proposé par la Commission royale, les propositions de Vailati pour le renouvellement de l’enseignement des mathématiques et leurs racines culturelles, les critiques de type didactique et méthodologique qu’elles ont suscitées et les résultats effectivement obtenus.

Le projet général de réforme proposé par la Commission royale

  • 1 Istituto centrale di statistica, Sommario di statistiche storiche dell’Italia 1861-1975, Rome, Isti (...)

6Avant d’illustrer le projet de réforme proposé par la Commission royale, il peut être utile de présenter quelques données statistiques sur la population scolaire du début du siècle. La population totale en Italie était de 32 475 200 habitants, dont 3 020 200 étaient des jeunes âgés de 15 à 19 ans : près de 93 000 d’entre eux fréquentaient les différents types d’écoles secondaires publiques (collèges et lycées), 50 000 environ les écoles privées1. L’obligation scolaire avait été prolongée jusqu’à l’âge de douze ans par la loi Orlando en 1904, elle s’arrêtait donc à la fin de l’école élémentaire.

  • 2 Ministero dell’Istruzione, dell’Università e della Ricerca, Commissione reale per l’ordinamento deg (...)
  • 3 La scuola media inferiore unica correspond grosso modo au collège français, tandis que la scuola me (...)

7Dans son discours d’ouverture des travaux, le ministre Bianchi définit les bases de la réforme2 : pour éviter le choix prématuré de l’orientation des études, il propose un premier cycle unique de trois ans, scuola media inferiore unica (école secondaire inférieure unique, de 11 à 13 ans), sans latin et avec une ouverture majeure sur les langues modernes et les sciences, dont il reconnaît ouvertement la valeur formative ; ce cycle inférieur unique devant être suivi de trois branches de scuola media superiore (école secondaire supérieure, de 14 à 18 ans)3, chacune aux caractères bien distincts. Bianchi, neuropsychiatre aux vues politiques de gauche, affirme en effet :

  • 4 Ministero dell’Istruzione, dell’Università e della Ricerca, Commissione reale…, vol. II, p. 8. Tout (...)

L’école secondaire n’épuise pas sa tâche en préparant à des activités techniques et à des professions libérales, [mais elle doit] former les connaissances de ces milliers de jeunes qui devront un jour […] accomplir les destins de l’Italie4.

  • 5 Ministero dell’Istruzione, dell’Università e della Ricerca, Commissione reale…, vol. I, Relazione, (...)
  • 6 Les réponses ont ensuite été recueillies dans le volume II de l’ouvrage (Ministero dell’Istruzione, (...)

8La proposition d’un premier cycle unique, avec ou sans latin, n’était pas une nouveauté ; divers ministres s’en étaient faits les promoteurs sans pour autant réussir à la mettre en œuvre. Toutes les propositions précédentes sont examinées et attentivement soupesées par la Commission royale5, qui en souligne les avantages et les inconvénients pour obtenir des indications afin d’éviter les erreurs faites par le passé. Par ailleurs, une large enquête est menée non seulement auprès des enseignants de toutes les écoles secondaires italiennes, mais aussi dans les facultés universitaires et autres instituts supérieurs, auprès des sociétés d’enseignants, des associations professionnelles et des spécialistes des problèmes didactiques. À cet effet, la Commission royale prépare un questionnaire divisé en plusieurs sections : une série de questions relatives aux critères de base de la réforme est suivie d’autres visant à comprendre auprès des différentes catégories professionnelles si la préparation reçue dans les écoles secondaires est satisfaisante ; un autre groupe de questions à caractère plus didactique vise à mettre en relief les améliorations susceptibles d’être introduites dans l’enseignement des différentes matières en termes de contenu et de méthode ; le dernier groupe de questions concerne l’état de l’école au niveau des structures et des aspects administratifs6.

9Cette enquête soulève un débat très animé auquel contribuent de manière significative notamment les associations d’enseignants, en particulier l’association Mathesis qui réunit des enseignants de mathématiques, et la Federazione Nazionale Insegnanti Scuola Media (FNISM), une association à connotation plus politique.

  • 7 La seule faculté pour laquelle n’était pas prévu l’accès direct depuis le lycée moderne était la Fa (...)
  • 8 Bollettino della Associazione Mathesis, Rome, Tip. Elzeviriana di Adelaide Ved. Pateras, XII, 1-2-3 (...)
  • 9 Ibid., X, 3-4, 1905-1906, p. 49-60.

10La Mathesis, en particulier, se montre favorable à une scuola media inferiore unique donnant l’accès à trois branches du lycée : classique, technique ou moderne, et professionnelle, les deux premières branches offrant les mêmes possibilités de poursuivre les études à l’université7. De plus, elle souligne la valeur formative des sciences, l’utilité d’introduire dans les programmes des éléments de géométrie analytique et de calcul infinitésimal ainsi que l’importance de donner un enseignement « expositif » des mathématiques dans la scuola media inferiore8 et « déductif » dans la scuola media superiore9.

  • 10 Settimo congresso nazionale della Federazione fra gli insegnanti delle scuole medie : Firenze, 25-2 (...)

11De son côté, la FNISM discute largement les critères de la réforme de l’enseignement secondaire au cours de ses congrès nationaux et le débat s’oriente bientôt vers le thème de la scuola media inferiore unica avec ou sans latin. Lors du septième congrès national (Florence, 25-27 septembre 1909), on procède à deux votes bien distincts : le premier pour la scuola media unica sans latin, proposition qui est rejetée par 80 voix contre et 26 pour, et le second pour la scuola media unica avec le latin, proposition également repoussée par 84 voix contre et 20 pour10.

  • 11 Ministero dell’Istruzione, dell’Università e della Ricerca, Commissione reale…, vol. I, p. 228-234.

12Ce thème fait également l’objet d’un débat entre les enseignants dans les divers congrès interrégionaux : Pérouse (1-2 novembre 1908), Padoue (27 décembre 1908), Avellino (21 février 1909), Bari (25-26 avril 1909), Pise (2 mai 1909). Dans tous ces congrès l’emporte l’opinion que parallèlement à l’école classique, ginnasio-liceo, doit naître une école « moderne » sans latin ni grec, de la même durée ; mais, d’autre part, domine la conviction que les deux écoles doivent être séparées dès le début et l’on repousse l’idée d’une scuola media inferiore unica11.

  • 12 A. Galletti, G. Salvemini, La riforma della scuola media. Notizie, osservazioni e proposte, Milan, (...)

13Dès 1906, les contrastes concernant l’unification des scuole medie inferiori, la conviction que le latin ne peut être ni proposé aux masses, ni renvoyé aux cinq années de lycée, mais aussi la difficulté d’accepter un enseignement fondé sur des humanités scientifiques, créent au sein de la Commission royale des oppositions qui mènent aux démissions de certains membres dont Salvemini (bien que laïque et progressiste) lui-même. Il est contre la scuola media inferiore unica pour deux raisons principales. Premièrement, une telle école, qu’il appelle « scuola minestrone » (école fouillis)12, aurait deux âmes qui ne s’entendent pas dans la mesure où elle devrait accueillir à la fois ceux qui souhaitent abandonner leurs études pour se tourner vers une profession, et ceux qui veulent continuer vers le lycée puis vers l’université. Deuxièmement, la scuola media unica retarderait l’enseignement du latin, ce qui affaiblirait ultérieurement l’école classique qui joue le rôle important de former ceux qui assumeront des postes de direction dans l’État et dans la société. Salvemini est également persuadé qu’une réforme d’une telle envergure ne peut pas être mise en œuvre sans une expérimentation préalable et sans une formation appropriée des enseignants. Selon lui, il serait plutôt préférable de réformer l’enseignement professionnel et de renforcer l’école élémentaire.

  • 13 T. Tomasi, La formazione della classe dirigente, Rome, A. Armando, 1964, p. 37.

14Il convient de préciser qu’à l’époque (ère giolittienne, libérale, avec des ouvertures socialistes), du moins en théorie, tout le monde reconnaissait le droit à l’instruction élémentaire des masses, mais la pression de ces dernières sur l’école secondaire était considérée, même par certains progressistes, comme un phénomène socialement dangereux13.

  • 14 Ministero dell’Istruzione, dell’Università e della Ricerca, Commissione reale…, vol. I, p. 588-672.

15En dépit des difficultés et des contrastes internes, la Commission royale présente en février 1908 un projet de loi14 qui propose une nouvelle organisation des écoles secondaires et de nouveaux programmes. L’enseignement secondaire est articulé comme suit : d’une part, une école technique professionnelle de trois ans avec un accès à l’institut technique, d’autre part, une scuola media unica d’une durée de trois ans, sans latin, donnant l’accès aux trois branches du lycée – classique (avec le latin et le grec), scientifique (avec deux langues modernes et le renforcement de la section scientifique), et moderne (avec le latin et deux langues étrangères). Les trois lycées donnent accès aux facultés universitaires avec quelques examens d’intégration pour le lycée moderne et le scientifique.

  • 15 Il y a plusieurs analogies entre cette proposition de réforme et la réforme française de 1902 dite (...)

16L’un des aspects les plus originaux et innovants concerne les programmes de mathématiques proposés par Vailati et les indications méthodologiques qui les accompagnent15.

Les propositions de Vailati pour le renouvellement de l’enseignement des mathématiques et leurs racines culturelles

  • 16 Né à Crema le 24 avril 1863, Vailati obtient à l’université de Turin une maîtrise en ingénierie en  (...)
  • 17 Ceci résulte aussi bien des documents d’archives (fondo Vailati, bibliothèque de philosophie, unive (...)
  • 18 G. Vailati, compte rendu de C. Laisant, La Mathématique : philosophie, enseignement [1899], in Scri (...)

17Pour affronter les problèmes liés à l’enseignement secondaire et pour élaborer les programmes de mathématiques, Vailati16 examine l’organisation scolaire et les programmes des autres pays européens17. De plus, sa grande expérience dans l’enseignement lui permet de mettre en évidence les défauts de l’organisation scolaire italienne de l’époque. Tout d’abord, l’enseignement est, selon lui, trop souvent basé sur un apprentissage passif, ce qui fait de l’école un gymnase mnémonique, où l’élève est occupé à apprendre (accipere) et trop peu à comprendre (concipere)18 ; l’interaction entre la culture humaniste et la culture scientifique est trop faible, et le nombre exorbitant d’heures consacrées à l’enseignement de la langue et de la littérature italienne relègue la culture scientifique au second plan :

  • 19 G. Vailati, compte rendu de L. De Vincolis, La riforma della Scuola Classica davanti alla scienza e (...)

L’effet final – écrit Vailati – serait celui de favoriser et d’accentuer toujours davantage la division […] des personnes cultivées en deux catégories […], d’une part les artisans de la parole harmonieuse et vide, d’autre part les savants au langage barbare et à l’esprit inculte19.

18En outre, les structures de soutien de l’activité didactique, telles que les bibliothèques et les laboratoires, sont partout insuffisantes ; il manque les bons livres (dictionnaires, encyclopédies, éditions des œuvres classiques, etc.) ; et enfin, le surpeuplement des classes et le grand nombre d’heures que les élèves de dix à dix-huit ans passent « cloués » sur les bancs de l’école, produisent non seulement une baisse de l’attention mais aussi une véritable répugnance pour l’école.

  • 20 Peirce affirme : « The rational meaning of every proposition lies in the future » ; C. S. Peirce, « (...)

19Les propositions de Vailati plongent leurs racines dans une vision originale des mathématiques où convergent des facteurs culturels et des conceptions différentes. Il puise chez Giuseppe Peano la solide maîtrise de la logique mathématique, l’idée de la rigueur, déductive et systématique, la réflexion sur le langage, le tout uni à un intérêt profond pour la didactique et pour l’histoire des mathématiques et à une forte exigence de démocratisation du savoir. Il s’inspire aussi du pragmatisme de Charles Sanders Peirce, vu comme un moyen de lutte contre les problèmes dénués de sens et contre la métaphysique, et accepte le critère opérationnel et fonctionnel pour attribuer une signification aux énoncés20. Au pragmatisme se mêlent les principes positivistes : réaliser des humanités scientifiques, valoriser les applications des sciences, et fonder la didactique sur une connaissance positive de l’homme (à partir de la biologie et de la psychologie) tout en tenant compte du fait que le processus cognitif va des faits aux abstractions.

20Ces vues épistémologiques se traduisent par une façon originale et moderne de concevoir l’enseignement des mathématiques qui repose sur les points suivants : l’école considérée comme laboratoire ; la méthode expérimentale et active ; le caractère unitaire du savoir en général et des mathématiques en particulier ; l’équilibre entre rigueur et intuition ; et enfin l’importance de différencier les programmes des trois types de lycée, aussi bien en termes de méthode que de contenus.

L’école comme laboratoire et la méthode expérimentale opérationnelle

21Ce que Vailati propose est une école laboratoire, non pas dans le sens restreint de laboratoire destiné aux expériences scientifiques, mais de

  • 21 G. Vailati, « Idee pedagogiche di H. G. Wells » [1906], in Scritti, vol. 3, p. 292.

lieu où il est donné à l’élève le moyen de s’exercer, sous la conduite et le conseil de l’enseignant, pour expérimenter et résoudre des problèmes, pour mesurer et surtout « se mesurer », pour se mettre à l’épreuve devant des obstacles et des difficultés visant à provoquer sa sagacité et à cultiver son initiative21.

22Le type de leçon le plus approprié pour atteindre ce but est la leçon socratique qui permet à l’enseignant de mieux amener l’élève à découvrir tout seul les vérités mathématiques et qui engage donc à des questions et à des réflexions.

  • 22 G. Vailati, compte rendu de C. Laisant, La Mathématique : philosophie, enseignement [1899], in Scri (...)
  • 23 Ibid.
  • 24 G. Vailati, compte rendu de M. Begey, Del lavoro manuale educativo [1901], in Scritti, vol. 3, p. 2 (...)

23Plus particulièrement, l’enseignement des mathématiques doit suivre une méthode expérimentale et active, par ailleurs, puisque le processus de l’apprentissage va du concret à l’abstrait, les élèves ne doivent pas être obligés d’« apprendre des théories avant de connaître les faits auxquels elles se réfèrent »22. Bien au contraire, ils doivent démontrer qu’ils savent faire, et pas seulement qu’ils savent dire. En outre, dans une école laboratoire, il faut valoriser dans le processus de l’apprentissage le moment ludique qui, loin d’« amoindrir la dignité des sciences mathématiques »23, en accroît au contraire l’attrait. De plus, le travail manuel, opportunément orienté, peut servir à « exercer […] les différentes facultés d’observation, […] d’attention, de jugement »24 et constitue un excellent antidote contre l’illusion commune de connaître les choses par le seul fait d’avoir appris certains mots.

  • 25 G. Vailati, « L’insegnamento della Matematica nel Primo Triennio della Scuola Secondaria » [1907], (...)

24L’utilité d’un parcours didactique qui va du concret à l’abstrait se perçoit particulièrement dans l’enseignement de la géométrie. Vailati préfère à la dénomination de « méthode intuitive », communément utilisée pour indiquer la méthode à suivre dans la première phase de l’enseignement, celle de « géométrie expérimentale et active » parce qu’elle est plus appropriée pour exprimer la différence de méthode avec la géométrie rationnelle qui doit être développée dans le cycle d’études supérieures. En effet, il affirme que parmi les vérités géométriques que l’élève doit acquérir dans la première phase d’études, peu sont à considérer comme intuitivement évidentes. Le dessin, la construction de figures, le recours au papier millimétré, aux modèles réduits en bois, à la balance, etc. doivent constituer le point de départ du parcours didactique, de manière à faire naître chez l’élève le désir et le besoin de comprendre pourquoi certaines propriétés existent et de « l’encourager à considérer comme intéressante […] la recherche de […] raisonnements qui conduisent à les reconnaître comme des conséquences les unes des autres »25.

25L’idée d’offrir aux élèves des espaces où pouvoir exercer une activité spontanée et constructive, cultiver leur individualité et se socialiser, apparaît fréquemment dans les études de psychologues et d’éducateurs de la fin du XIXe et du début du XXe siècle. Alors que ceux-ci s’intéressaient essentiellement à la formation de l’enfant pendant ses premières années de vie, certains mathématiciens étendent l’idée d’une école laboratoire à l’enseignement secondaire : John Perry, auteur d’une méthode appelée practical mathematics, Émile Borel, créateur avec Jules Tannery du laboratoire d’enseignement mathématique à l’École normale supérieure, Eliakim Hastings Moore, partisan du laboratory method, et Felix Klein.

  • 26 G. Vailati, « L’insegnamento della Matematica nel nuovo ginnasio riformato e nei tre tipi di licei  (...)
  • 27 Pour plus de détails sur la naissance de l’idée du laboratoire de mathématiques, voir L. Giacardi, (...)

26Vailati fait explicitement référence à Perry, Borel, et Klein26 ; pourtant, son idée de laboratoire revêt une signification plus large que l’atelier de menuiserie de Borel, que les practical mathematics de Perry basées sur le problem solving, mais très concentrées sur les procédures, ou encore que le simple emploi de modèles et de parallélogrammes articulés, inverseurs, etc. suggéré par Klein. Il s’agit d’une méthode basée sur le problem solving, les conjectures et les argumentations, mais dont le but ultime est de parvenir à la construction des significations et à une systématisation théorique des mathématiques27.

Le caractère unitaire du savoir et des mathématiques en particulier

  • 28 G. Vailati, « Sugli attuali programmi per l’insegnamento della matematica nelle scuole secondarie i (...)

27D’après Vailati, un bon enseignant doit amener ses élèves à saisir, dès que possible, l’unité des mathématiques, en établissant un lien étroit entre l’arithmétique, l’algèbre et la géométrie. Le décret Coppino (1867) avait fait naître l’opinion que « recourir aux notations de l’algèbre pour exprimer des faits ou des propriétés géométriques constitue presque une contamination ou un attentat à la pureté du traité d’Euclide »28 et cette attitude avait conduit les enseignants à appliquer l’algèbre à la géométrie quand désormais toute la géométrie et la plupart de l’algèbre avaient déjà été traitées. Bien au contraire, Vailati affirme qu’il faut parler dès que possible non seulement d’application de l’algèbre à la géométrie, mais aussi, inversement, d’application de la géométrie à l’algèbre, dans le but de faire comprendre immédiatement aux élèves l’unité profonde des mathématiques ainsi que de les habituer à affronter un même problème par différentes méthodes et à choisir, à chaque fois, la plus appropriée.

  • 29 G. Vailati, « L’insegnamento della Matematica nel nuovo ginnasio riformato… », p. 40.

28De même, le lien que l’on peut établir entre l’arithmétique et l’algèbre est particulièrement utile du point de vue didactique dans la mesure où l’enseignement de la première se prête, dès le début, à préparer à celui de la seconde. Avant même d’affronter l’étude des équations du premier degré, l’élève devra être progressivement conduit à traduire en équations les énoncés des problèmes et à simplifier ces équations en appliquant les règles qu’il connaît déjà, et être ensuite habitué à retraduire en mots les conditions exprimées par les formules obtenues au fur et à mesure. Le but est d’arriver à lui faire concevoir l’algèbre simplement comme une nouvelle forme de langage bien plus précis que le langage ordinaire et de le rendre capable de « réduire des questions ou des problèmes à l’origine compliqués, à une forme si simple qu’elle n’exige presque plus aucun effort mental pour leur résolution »29.

  • 30 G. Vailati à G. Vacca, Bari, 25 mai 1901, in G. Vailati, Epistolario 1891-1909, G. Lanaro (éd.), Tu (...)
  • 31 G. Vailati, « Sull’importanza delle ricerche relative alla Storia delle Scienze » [1897], in Scritt (...)

29Plus généralement, Vailati estime que l’enseignant doit transmettre une vision unitaire du savoir, en établissant un dialogue constant entre la culture scientifique et la culture humaniste. Selon lui, cet objectif peut être atteint par la méthode historique. Appliquée aussi bien aux sciences qu’à l’étude du latin et du grec, cette méthode assume également, pour Vailati, une fonction didactique parce qu’elle est particulièrement appropriée à « dépédantiser l’exposition »30, à « rendre l’enseignement plus profitable et à la fois plus agréable, plus efficace et plus attrayant »31 ; elle constitue en outre un antidote utile contre toute forme de dogmatisme.

La dialectique entre rigueur et intuition et la valeur heuristique de la déduction

  • 32 G. Vailati, « L’insegnamento della Matematica nel Primo Triennio… », p. 305-306.

30En ce qui concerne la rigueur dans l’enseignement des mathématiques, Vailati observe que l’application à la didactique des nouvelles recherches sur les fondements de la géométrie élémentaire a mis en évidence le fait que « l’exactitude logique d’une démonstration n’est pas quelque chose qui dépend du nombre ou de la qualité des hypothèses, ou des prémisses utilisées, mais elle dépend plutôt de la façon dont celles-ci s’y trouvent employées ». L’important est que « toute hypothèse, ou prémisse, utilisée dans une démonstration soit clairement reconnue et formulée de manière explicite »32. La seule condition absolument nécessaire pour la rigueur des démonstrations est que les postulats soient compatibles les uns avec les autres.

  • 33 G. Vailati, compte rendu de F. Enriques et U. Amaldi, Elementi di Geometria ad uso delle scuole sec (...)
  • 34 G. Vailati, compte rendu de G. B. Halsted, Rational Geometry. A Textbook for the Science of Space, (...)

31Bien loin de décourager l’intuition géométrique, Vailati estime qu’il faut « la discipliner et l’éduquer » afin d’éviter les erreurs que peut faire naître « la confiance irréfléchie et instinctive en elle »33. En revanche, dans sa critique du manuel de géométrie rationnelle d’Halsted, basé sur l’œuvre d’Hilbert sur les fondements de la géométrie, Vailati montre les inconvénients didactiques auxquels peut mener « le souci de garantir la rigueur absolue et la cohérence logique parfaite des démonstrations “en les épurant” de toute suggestion intuitive »34. Dans la démarche didactique, il faut donc équilibrer l’intuition et la rigueur.

  • 35 G. Vailati, « Sugli attuali programmi per l’insegnamento della matematica… », p. 485.

32Par ailleurs, la déduction doit être utilisée « non pas pour démontrer des propositions qui apparaissent déjà assez évidentes aux élèves […], mais plutôt pour déduire, justement de ces dernières, d’autres propositions qu’ils ne connaissent pas encore ». La déduction se présentera ainsi à leurs yeux comme une manière d’« économiser » les expériences et d’arriver sans elles à « prévoir » le résultat, et donc aussi comme un moyen de découverte35.

Différences entre les méthodes et les contenus des programmes pour les trois types de lycée

  • 36 G. Vailati, « L’insegnamento della Matematica nel nuovo ginnasio riformato… », p. 53.

33Vailati affronte aussi le problème de savoir jusqu’à quel point la méthode et les contenus dans les trois lycées – scientifique, classique, moderne – doivent être différents, le premier devant fournir les outils nécessaires pour poursuivre des études scientifiques, et les deux autres devant viser à développer la faculté de raisonner avec précision et rigueur. Convaincu de l’absence de contrastes entre ces deux types de finalité, il propose pour les lycées classique et moderne un programme de mathématiques plus vaste que les programmes en vigueur à l’époque. En effet, pour ceux qui choisissent ces deux types de lycée, « les notions de mathématiques qui y sont apprises représenteront en quelque sorte les colonnes d’Hercule de leur culture scientifique ; alors qu’au contraire, pour les élèves de l’autre type de lycée [scientifique], plus spécifiquement destiné à préparer les jeunes aux Facultés de sciences ou aux Écoles polytechniques, elles ne seront que le point de départ pour acquérir davantage de connaissances »36.

34Se référant à Klein, Vailati observe également que la distinction entre les mathématiques élémentaires et les mathématiques supérieures est souvent due à des raisons d’ordre historique et qu’elle ne correspond à aucun critère d’ordre didactique. En particulier, il introduit dans les trois types de lycée le concept de dérivée en raison de sa grande importance dans les applications aux autres sciences, et celui d’intégrale dans le lycée scientifique.

35Au lycée moderne, où les enseignements tels que la géographie statistique, l’économie et le droit sont particulièrement importants, il faudra, selon lui, renforcer l’emploi de l’algèbre dans les questions de statistique, d’économie, d’administration et de finance.

36En revanche, au lycée classique, il faudra privilégier l’étude des procédés de démonstration propres à la géométrie ancienne, en l’accompagnant de la lecture de passages des œuvres des grands géomètres anciens, en vue d’offrir un tableau plus complet de la civilisation classique, non limité à la littérature et à l’art.

Les critiques des programmes

37À l’époque, la réforme proposée par la Commission royale et surtout l’unification des écoles secondaires est jugée trop radicale, non seulement par les milieux conservateurs, mais aussi, comme nous l’avons vu, par la plupart des membres de la FNISM.

  • 37 L. Berzolari et al., « Relazione sul tema II : I programmi di matematica per la Scuola Media riform (...)

38De même, les programmes de mathématiques proposés par Vailati pour la scuola media inferiore (3 ans) et le lycée (5 ans) ne sont pas exempts de critiques. Ils constituent l’un des principaux sujets de débat proposés par l’association Mathesis lors du congrès qui se tient à Florence du 16 au 23 octobre 1908. Le rapport sur ce thème, préparé par une commission spéciale constituée de mathématiciens dont Luigi Berzolari (université de Pavie), Ettore Bortolotti (université de Modène), Roberto Bonola (école normale de Pavie) et Emilio Veneroni (institut technique de Pavie), propose des critiques dictées notamment par la conviction qu’« encadrer dans un système rationnel […] les connaissances […] que l’on donne aux élèves, […] semble être tout aussi nécessaire que donner le squelette à un organisme »37.

39En effet, dans les programmes proposés par Vailati, la séparation entre mathématiques pratiques et mathématiques rationnelles est abolie et les deux aspects se mêlent à chacun des stades de l’enseignement ; mais alors qu’une réorganisation rationnelle est réalisée pour la géométrie en cinquième année, il n’en est pas de même pour l’arithmétique. D’autres critiques avancées par la commission sont les suivantes : un morcellement excessif de certaines parties du programme (en particulier, le calcul des fractions est « disséminé » le long des trois premières années du cours) ; l’absence d’un développement de la théorie des proportions ; l’abolition de toute référence aux nombres irrationnels, excepté pour un aperçu marginal au lycée classique ; et la suppression de la géométrie descriptive. En revanche, en ce qui concerne l’introduction des concepts de dérivée et d’intégrale, la commission est tout à fait d’accord avec Vailati, les jugeant riches en applications intéressantes aux autres sciences, et elle partage l’approche méthodologique qu’il donne aux programmes des trois types de lycée.

40Plus particulièrement, la proposition de Vailati d’un enseignement de la géométrie de type expérimental et actif fait naître un débat méthodologique intéressant impliquant deux illustres géomètres : Giuseppe Veronese et Beppo Levi. Ces derniers soutiennent que l’enseignement de la géométrie à un premier niveau doit être essentiellement de nature intuitive. Les enseignements expérimentaux, affirme Levi, sont exclusivement des enseignements « d’information » et ils peuvent donc présenter « un danger très grave par rapport à l’éducation de l’esprit ». Il cite à titre d’exemple la mesure de l’hypoténuse d’un triangle rectangle ayant des côtés de 3 et 4 cm et celle de la diagonale d’un carré faisant 1 dm de côté :

  • 38 B. Levi, « Esperienza e intuizione in rapporto alla propedeutica matematica. Lettera aperta al prof (...)

De quel droit imposerez-vous à l’élève – écrit-il – de ne pas attribuer aux deux expériences la même valeur de certitude et voudrez-vous obtenir de la première le théorème de Pythagore […] alors que de la seconde […] vous ne permettrez de conclure rien de précis : vous affirmerez arbitrairement que cette mesure n’est qu’approchée38 ?

  • 39 G. Veronese à G. Vailati, 8 septembre 1907, in P. Cantù, « L’insegnamento della geometria nelle scu (...)

41Tout comme Levi, Veronese est convaincu qu’au collège, l’enseignant doit « faire un effort sur lui-même pour ne pas donner des notions qui ne sont pas intuitives » et il reproche à Vailati de ne se soucier que de la méthode et de ne pas indiquer assez clairement les notions que les élèves doivent acquérir39.

Les résultats obtenus

  • 40 G. Castelnuovo, « Sui lavori della Commissione Internazionale pel Congresso di Cambridge », Atti de (...)

42En 1909, le projet de réforme de la Commission royale est publié et, la même année, Vailati meurt. Quelques mois plus tard, lors d’un congrès de la Mathesis qui se tient à Padoue du 20 au 23 septembre 1909, Guido Castelnuovo, membre éminent de l’école italienne de géométrie algébrique, présente son rapport sur les travaux de la Commission internationale de l’enseignement des mathématiques (CIEM), qui vient d’être créée pour effectuer un examen comparé des méthodes et des programmes d’enseignement dans le secondaire. Il y fait l’éloge des propositions de réforme élaborées par l’« esprit vaste et sans préjugés » de Vailati et, « vu la lenteur avec laquelle les réformes se font en Italie », il propose aux enseignants d’en mettre en œuvre les lignes générales dès que possible dans leurs classes40.

43À l’étranger aussi, le projet de Vailati est vu comme un projet innovant dans le sillage des propositions réformistes de Klein. En 1910, l’historien des mathématiques et futur président de la Mathematical Association of America, Florian Cajori, écrit :

  • 41 F. Cajori, « Attempts Made during the Eighteenth and Nineteenth Centuries to Reform the Teaching of (...)

Under the leadership of Loria and Vailati a movement is on foot favoring greater emphasis upon intuition, the introduction of some modern geometrical notions, the fusion of geometry with arithmetic, and the concession to the demands for practical applications made by this age of industrial development. In fact, Italy is entering upon a reform much like that of Germany and France41.

44Quoi qu’il en soit, la réforme élaborée par la Commission royale n’est pas approuvée. Une partie des propositions de Vailati sont mises en œuvre en 1911 via la création du lycée moderne où le grec y est remplacé par une langue moderne et où les disciplines scientifiques sont davantage valorisées. Le programme de mathématiques, qui diffère de celui du lycée classique à partir de la deuxième année, et les instructions méthodologiques sont rédigés par Castelnuovo. En tant que président de l’association Mathesis et délégué italien de la CIEM, il essaie de promouvoir une façon d’enseigner les mathématiques qui tienne compte des mouvements de réforme européens, notamment celui de Klein, dont Vailati aussi avait accueilli les principales conceptions ; en particulier, il introduit le concept de fonction et des éléments de calcul différentiel et intégral dans le curriculum.

45Le lycée moderne rencontre toutefois quelques difficultés dans sa mise en œuvre : il manque de professeurs préparés, les enseignants du lycée classique sont hostiles et déroutent les élèves moins doués vers le lycée moderne, des carences de fonds entravent la réalisation des laboratoires scientifiques.

46Bref, l’expérience du lycée moderne est éphémère : la réorganisation de l’enseignement secondaire sera introduite dans des termes complètement différents avec la réforme Gentile de 1923. La culture positiviste, libérale démocratique sera vaincue par les nouveaux courants politiques et par le triomphe du néo-idéalisme : la culture humaniste classique deviendra le pilier de la nation et surtout de l’école.

  • 42 Voir par exemple Matematica 2003. La matematica per il cittadino. Attività didattiche e prove di ve (...)

47Cependant, la plupart des thèses pédagogiques de Vailati, et notamment l’école-laboratoire qu’il préconise, dont les fondements sont le rôle actif de l’élève ainsi que les humanités scientifiques, peuvent constituer encore à présent un point de référence stimulant et, en effet, elles ont assumé une nouvelle portée dans la recherche actuelle en didactique des mathématiques42.

Bibliographie

Giacardi L., « From Euclid as Textbook to the Giovanni Gentile Reform (1867-1923). Problems, Methods and Debates in Mathematics Teaching in Italy », Paedagogica Historica. International Journal of the History of Education, vol. 42, no 4-5, 2006, p. 587-613.

Giacardi L., « The School as “Laboratory”. Giovanni Vailati and the Project to Reform Mathematics Teaching in Italy », International Journal for the History of Mathematics Education, 4, 2009, p. 5-28.

Giacardi L., Documenti per la storia dell’insegnamento della matematica in Italia, 2006-2014, en ligne à l’adresse suivante : http://www.mathesistorino.it/?page_id=25. Tous les programmes cités dans l’article sont consultables sur ce site [désormais inaccessible].

Ministero dell’Istruzione, dell’Università e della Ricerca, Commissione reale per l’ordinamento degli studi secondari in Italia, Rome, Cecchini, 1909, vol. I, Relazione et vol. II, Risposte al questionario diffuso con circolare 27 marzo 1906.

Les sciences au lycée. Un siècle de réformes des mathématiques et de la physique en France et à l’étranger, B. Belhoste, H. Gispert, N. Hulin (dir.), Paris, Vuibert – INRP, 1996.

Vailati G., Epistolario 1891-1909, G. Lanaro (éd.), Turin, G. Einaudi, 1971.

Vailati G., Scritti, M. Quaranta (éd.), Bologne, A. Forni, 1987, 3 vol.

Notes

1 Istituto centrale di statistica, Sommario di statistiche storiche dell’Italia 1861-1975, Rome, Istituto centrale di statistica, 1976, p. 12.

2 Ministero dell’Istruzione, dell’Università e della Ricerca, Commissione reale per l’ordinamento degli studi secondari in Italia, Rome, Cecchini, 1909, vol. II, Risposte al questionario diffuso con circolare 27 marzo 1906, p. 9-11.

3 La scuola media inferiore unica correspond grosso modo au collège français, tandis que la scuola media superiore correspond au lycée.

4 Ministero dell’Istruzione, dell’Università e della Ricerca, Commissione reale…, vol. II, p. 8. Toutes les citations de cet article extraites de textes en italien ou dans une autre langue étrangère ont été traduites en français par mes soins.

5 Ministero dell’Istruzione, dell’Università e della Ricerca, Commissione reale…, vol. I, Relazione, p. 22-152.

6 Les réponses ont ensuite été recueillies dans le volume II de l’ouvrage (Ministero dell’Istruzione, dell’Università e della Ricerca, Commissione reale…, vol. II).

7 La seule faculté pour laquelle n’était pas prévu l’accès direct depuis le lycée moderne était la Faculté de philologie classique.

8 Bollettino della Associazione Mathesis, Rome, Tip. Elzeviriana di Adelaide Ved. Pateras, XII, 1-2-3, 1907-1908, p. 1-21.

9 Ibid., X, 3-4, 1905-1906, p. 49-60.

10 Settimo congresso nazionale della Federazione fra gli insegnanti delle scuole medie : Firenze, 25-27 settembre 1909, Assisi, Metastasio, 1910, p. 309.

11 Ministero dell’Istruzione, dell’Università e della Ricerca, Commissione reale…, vol. I, p. 228-234.

12 A. Galletti, G. Salvemini, La riforma della scuola media. Notizie, osservazioni e proposte, Milan, R. Sandron, 1908, p. 66.

13 T. Tomasi, La formazione della classe dirigente, Rome, A. Armando, 1964, p. 37.

14 Ministero dell’Istruzione, dell’Università e della Ricerca, Commissione reale…, vol. I, p. 588-672.

15 Il y a plusieurs analogies entre cette proposition de réforme et la réforme française de 1902 dite « des humanités scientifiques » : voir l’article de B. Belhoste, « Réformer ou conserver ? La place des sciences dans les transformations de l’enseignement secondaire en France (1900-1970) », in Les sciences au lycée. Un siècle de réformes des mathématiques et de la physique en France et à l’étranger, B. Belhoste, H. Gispert, N. Hulin (dir.), Paris, Vuibert – Institut national de recherche pédagogique (INRP), 1996, p. 27-38.

16 Né à Crema le 24 avril 1863, Vailati obtient à l’université de Turin une maîtrise en ingénierie en 1884 et en mathématiques en 1888. De 1892 à 1895, il est l’assistant de Giuseppe Peano au cours de calcul infinitésimal et, de 1896 à 1899, il donne des leçons d’histoire de la mécanique pour le cours de Vito Volterra, venu à Turin en 1893 pour tenir la chaire de mécanique rationnelle. En 1899, n’ayant aucun espoir de poursuivre sa carrière universitaire, il quitte la ville de Turin et ses fonctions à l’université pour enseigner dans le secondaire. C’est ainsi que commencent ses pérégrinations dans les établissements secondaires de la péninsule : Pignerol, Syracuse, Bari, Côme et Florence. En 1905, le ministre de l’Éducation nationale, Leonardo Bianchi, l’appelle pour faire partie de la Commission royale pour la réforme de l’enseignement secondaire, une fonction qu’il occupe jusqu’à sa mort survenue à Rome le 14 mai 1909.

17 Ceci résulte aussi bien des documents d’archives (fondo Vailati, bibliothèque de philosophie, université de Milan : dossier 41, fasc. 346 et dossier 31, fasc. 272), que du travail réalisé par Vailati avec G. Loria pour organiser la section didactique du IVe congrès international des Mathématiciens à Rome (fonds Vailati : dossier 11, fasc. 182, D. E. Smith à G. Loria, 12 janvier 1906 et D. E. Smith à G. Vailati, 27 mai 1907 ; dossier 2, fasc. 36, G. Castelnuovo à G. Vailati, 16 février 1907 ; dossier 3, fasc. 87, A. Gutzmer à G. Vailati, 17 juillet 1907). En ce qui concerne la situation européenne, voir Les sciences au lycée…

18 G. Vailati, compte rendu de C. Laisant, La Mathématique : philosophie, enseignement [1899], in Scritti, M. Quaranta (éd.), Bologne, A. Forni, 1987, vol. 3, p. 261.

19 G. Vailati, compte rendu de L. De Vincolis, La riforma della Scuola Classica davanti alla scienza e alla civiltà [1900], in Scritti, vol. 3, p. 263.

20 Peirce affirme : « The rational meaning of every proposition lies in the future » ; C. S. Peirce, « What Pragmatism Is » [1905], in Collected Papers of Charles Sanders Peirce, P. Weiss et C. Hartshorne (éd.), Cambridge – Londres, The Belknap Press of Harvard University Press, 1960, p. 284.

21 G. Vailati, « Idee pedagogiche di H. G. Wells » [1906], in Scritti, vol. 3, p. 292.

22 G. Vailati, compte rendu de C. Laisant, La Mathématique : philosophie, enseignement [1899], in Scritti, vol. 3, p. 261.

23 Ibid.

24 G. Vailati, compte rendu de M. Begey, Del lavoro manuale educativo [1901], in Scritti, vol. 3, p. 265.

25 G. Vailati, « L’insegnamento della Matematica nel Primo Triennio della Scuola Secondaria » [1907], in Scritti, vol. 3, p. 305.

26 G. Vailati, « L’insegnamento della Matematica nel nuovo ginnasio riformato e nei tre tipi di licei », Il Bollettino di Matematica, IX, 1910, p. 50.

27 Pour plus de détails sur la naissance de l’idée du laboratoire de mathématiques, voir L. Giacardi, « The Emergence of the Idea of the Mathematics Laboratory in the Early Twentieth Century », in Proceeedings of the Second International Conference on the History of Mathematics Education, K. Bjarnadóttir et al. (dir.), Lisbonne, UIED, 2011, p. 203-225.

28 G. Vailati, « Sugli attuali programmi per l’insegnamento della matematica nelle scuole secondarie italiane », in Atti del IV Congresso Internazionale dei Matematici, 6-11 aprile 1908, G. Castelnuovo (dir.), Rome, Tip. Accademia dei Lincei, 1909, p. 487.

29 G. Vailati, « L’insegnamento della Matematica nel nuovo ginnasio riformato… », p. 40.

30 G. Vailati à G. Vacca, Bari, 25 mai 1901, in G. Vailati, Epistolario 1891-1909, G. Lanaro (éd.), Turin, G. Einaudi, 1971, p. 187.

31 G. Vailati, « Sull’importanza delle ricerche relative alla Storia delle Scienze » [1897], in Scritti, vol. 2, p. 10.

32 G. Vailati, « L’insegnamento della Matematica nel Primo Triennio… », p. 305-306.

33 G. Vailati, compte rendu de F. Enriques et U. Amaldi, Elementi di Geometria ad uso delle scuole secondarie superiori [1904], in Scritti, vol. 3, p. 268.

34 G. Vailati, compte rendu de G. B. Halsted, Rational Geometry. A Textbook for the Science of Space, Based on Hilbert’s Foundations [1905], in Scritti, vol. 3, p. 289.

35 G. Vailati, « Sugli attuali programmi per l’insegnamento della matematica… », p. 485.

36 G. Vailati, « L’insegnamento della Matematica nel nuovo ginnasio riformato… », p. 53.

37 L. Berzolari et al., « Relazione sul tema II : I programmi di matematica per la Scuola Media riformata », in Atti del I Congresso della “Mathesis” (Firenze, 16-23 Ottobre 1908), Padoue, Società Cooperativa Tipografica, 1908, p. 27.

38 B. Levi, « Esperienza e intuizione in rapporto alla propedeutica matematica. Lettera aperta al prof. Giovanni Vailati », Il Bollettino di Matematica, VI, 1907, p. 182.

39 G. Veronese à G. Vailati, 8 septembre 1907, in P. Cantù, « L’insegnamento della geometria nelle scuole medie inferiori. Una lettera inedita di Giuseppe Veronese a Giovanni Vailati », Il Voltaire, 5, 2000, p. 109-118 (citation p. 118).

40 G. Castelnuovo, « Sui lavori della Commissione Internazionale pel Congresso di Cambridge », Atti del II Congresso della “Mathesis” (Padova, 20-23 Settembre 1909), Padoue, Società Cooperativa Tipografica, 1909, p. 3.

41 F. Cajori, « Attempts Made during the Eighteenth and Nineteenth Centuries to Reform the Teaching of Geometry », The American Mathematical Monthly, vol. 17, no 10, 1910, p. 192.

42 Voir par exemple Matematica 2003. La matematica per il cittadino. Attività didattiche e prove di verifica per un nuovo curricolo di matematica. Ciclo secondario, G. Anichini et al. (dir.), Lucques, Liceo Scientifico Statale A. Vallisneri, 2003, p. 28.

Table des illustrations

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Auteur

Département de mathématiques
Université de Turin

Livia Giacardi est professeur d’histoire des mathématiques à l’université de Turin. Elle est l’auteur d’essais et de livres dans le domaine de l’histoire des mathématiques. Membre du comité scientifique de l’édition nationale des œuvres de Ruggiero Boscovich, elle fait partie de l’International Group for Research on the History of Mathematics Education et elle est l’un des éditeurs de la revue de l’Union mathématique italienne La Matematica nella Società e nella Cultura [Les mathématiques dans la société et dans la culture]. Elle a été secrétaire de la Société italienne d’histoire des mathématiques, dont elle est actuellement membre du conseil de direction. Elle est membre de la commission scientifique de l’Union mathématique italienne.

© Presses universitaires de Caen, 2016

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