1Les études précédentes contribuent à décrire et comprendre les pratiques enseignantes et le processus enseignement-apprentissage en prenant principalement en compte la valence perlocutoire du discours de l’enseignant. Les interactions langagières entre le professeur et les élèves y sont perçues comme un élément central du processus d’enseignement-apprentissage.

2La pluralité des regards portés sur les pratiques des deux enseignants est étroitement liée aux chercheurs qui composent le groupe : elle résulte à la fois de leur sensibilité théorique, qui dépend de leur discipline scientifique et de leurs questions de recherche, et de leur sensibilité à ce corpus.

3La démarche utilisée pour décrire et comprendre la partie des pratiques enseignantes qui concerne l’organisation de la rencontre des élèves avec le savoir dans sa complexité est empirique et ascendante. À partir des cinq études précédentes il s’agit maintenant de reconstruire des aspects de cette complexité. En cela, les questions suivantes ont guidé notre réflexion. Quels aspects des pratiques sont étudiés ? Quelles connaissances sur les pratiques sont produites par chacune de ces approches ? Autrement dit, que saisit-on de la pratique des enseignants avec ces analyses ? Les approches peuvent-elles s’articuler ? Comment ? Le repérage topologique proposé dans la première partie de ce chapitre apporte des éléments de réponse à ces questions et constitue une première entrée dans la complexité des pratiques enseignantes. En effet, la complexité des pratiques génère, nécessairement, des analyses partielles et il convient d’interroger leur complémentarité. Nous nous y employons dans la seconde partie de ce chapitre en travaillant cette complexité différemment, à partir de certains aspects des pratiques qui traversent les contributions et apparaissent comme des points de rencontre des analyses. De façon imagée, nous parlons de « nœuds ». En effet, ces aspects correspondent à des nœuds de l’analyse puisqu’ils sont à l’intersection des cinq études et permettent de les relier. Mais il n’est pas neutre que les recherches se rencontrent à ces endroits. Ces nœuds de l’analyse nous apparaissent donc aussi comme des nœuds des pratiques : situés à l’intersection de contraintes qui pèsent sur l’enseignant et qui influencent l’apprentissage des élèves, ils ont une certaine épaisseur qui masque une complexité à dénouer. Cette entrée thématique ne renvoie donc plus à une topologie de la complexité des pratiques mais à son épaisseur. Dans la dernière partie de ce chapitre, ces repérages – topologique et thématique – étant posés, nous interrogeons un autre aspect de la complexité des pratiques enseignantes : leur genèse. À partir des résultats obtenus concernant les pratiques de Catherine et de Louis nous dégageons des éléments en rapport avec l’expérience des enseignants et posons des questions relatives à la formation des pratiques et à la formation des enseignants. Ce travail sur la genèse des pratiques des enseignants sera largement complété dans la seconde partie de l’ouvrage à partir des analyses intégrant le point de vue des acteurs en tant que professionnels.

Un repérage topologique de la complexité des pratiques en termes d’action, activité, interaction

4Pour situer topologiquement les approches et identifier ce qu’apporte singulièrement chacune d’elles, nous utilisons une métaphore : le professeur (P), la situation mathématique (S) et les élèves (E), apprenants, sont des sous-systèmes d’un système. Les sous-systèmes professeur et élèves sont des humains placés un cadre institutionnel et social particulier – la classe – et soumis aux contraintes de la recherche qui impose en particulier aux enseignants des classes, une situation mathématique et une présence de caméras et de micros dans la classe. Ils sont réflexifs, peuvent interagir entre eux et avec d’autres systèmes. L’interaction de l’élève avec la situation mathématique fait normalement intervenir le savoir mathématique.

5Cette métaphore naïve et réductrice par rapport à la complexité de ce qui se joue dans une classe à propos du savoir et de son apprentissage, est une aide à penser l’articulation des différentes contributions. Elle a un caractère minimaliste. En effet, si l’on veut décrire et comprendre ce qui se joue dans les séances, il faut au moins considérer ces trois pôles pour envisager les dynamiques qui peuvent s’opérer entre les trois sous-systèmes et à l’intérieur de chacun des sous-systèmes.

6Selon cette métaphore, les analyses de cette partie s’attachent à décrire et/ou comprendre des aspects différents du système, laissant dans l’ombre ou la pénombre une autre partie du système. La pratique de l’enseignant est toujours considérée, au moins, comme une action du professeur sur le système (élèves/situation mathématique), c’est-à-dire que le discours de l’enseignant est toujours considéré comme ayant un impact sur l’élève et son savoir ou son rapport au savoir. Cependant, ce qui est mis en lumière, révélé, varie en fonction des questions et objectifs du chercheur qui l’amènent d’une part à considérer des finalités différentes au système et d’autre part à prendre en compte ou négliger certaines contraintes qui agissent sur le système. Cela conduit à des « modélisations » différentes du système qui n’épuisent pas, loin s’en faut, la complexité des pratiques.

L’action du professeur sur les apprentissages des élèves : un système sous influence finalisé par l’apprentissage des élèves

7Patrice Bourdon, Michel Perraudeau et Philippe Briaud considèrent essentiellement les effets de certains facteurs du discours du professeur sur les apprentissages des élèves en référence aux hypothèses d’apprentissage qui sous-tendent les cadres théoriques qu’ils convoquent.

8Patrice Bourdon étudie du point de vue socio-constructiviste l’impact potentiel du discours de l’enseignant sur l’entrée de l’élève dans une activité cognitive ; ce qui constitue un préalable à son entrée dans la situation didactique, c’est-à-dire à sa rencontre avec le savoir. Cette action est donc en quelque sorte pré-didactique. Par ailleurs, elle est considérée comme une action différenciatrice dont les effets sont liés au rapport au savoir des élèves qui émane en partie de ce qu’ils identifient comme relevant de l’apprendre. Le système (professeur/élève/situation mathématique) considéré n’est donc pas tout à fait isolé, puisque les contraintes sociales qui co-déterminent avec le discours de l’enseignant le type d’interaction de l’élève avec la situation (interactions finalisées par des apprentissages ou par d’autres raisons) sont prises en compte.

9Michel Perraudeau envisage l’action du professeur sur le système (élèves/ situation mathématique) sous l’angle des potentialités qu’elle ouvre pour la résolution du problème et du développement d’un certain rapport au savoir chez l’élève. En effet, dans son approche psychologique, le discours de l’enseignant véhicule, en particulier, deux types de conduite – la médiation et la tutelle – aux effets différents sur le rapport au savoir développé par les élèves et sur leurs apprentissages comme le précisent A. Weil-Barais et A. Dumas-Carré (1998) :

Dans le cadre de la tutelle, c’est l’exécution des tâches qui détermine les interventions du professeur, alors que dans un cadre de médiation, c’est le rapport au savoir qui est travaillé.

10En référence au cadre théorique de la problématisation (C. Orange, 2005), Philippe Briaud étudie dans quelle mesure le discours des enseignants et l’organisation du travail qu’ils mettent en place dans la classe permettent aux élèves de poser et construire un problème qui correspond ou pas au problème mathématique que l’on souhaite qu’ils résolvent. Il étudie donc en quoi l’action de l’enseignant sur le système (élève/savoir) est génératrice de problématisation, c’est-à-dire en quoi elle permet aux élèves de construire un savoir problématisé sur la question posée. Son analyse ne se limite pas aux effets potentiels de cette action sur les élèves ; elle est associée à une analyse des productions, essentiellement verbales, des élèves qui permet d’envisager l’effet de l’action des enseignants sur la problématisation réalisée par les élèves.

11Ainsi, dans ces différentes approches la pratique des enseignants est considérée comme finalisée par les apprentissages des élèves : elle a une action sur les apprentissages des élèves, la réaction des élèves sur la pratique de l’enseignant est négligée (au sens physique du terme). Le résultat de cette action est soit envisagé potentiellement en référence aux hypothèses d’apprentissage posées par le cadre théorique de référence (Michel Perraudeau, Patrice Bourdon), soit effectivement étudié à partir des réponses des élèves (Philippe Briaud). Dans l’étude de Patrice Bourdon, l’effet de cette action dépend du rapport au savoir des élèves, donc d’un facteur « élève » qui agit comme un filtre de l’action langagière de l’enseignant. Dans les études de Michel Perraudeau et de Philippe Briaud, les facteurs sont liés à l’enseignant et à son épistémologie. Ces facteurs sont envisagés comme ayant un effet univoque sur les apprentissages des élèves, effet qui est analysé par Philippe Briaud à partir des productions des élèves. Nous schématisons ces approches par la figure 1.

Figure 1 : Patrice Bourdon, Michel Perraudeau et Philippe Briaud étudient l’action du professeur sur les apprentissages des élèves

Les interactions didactiques entre professeur et élèves : un système quasi isolé aux finalités parfois contradictoires

12Dans l’analyse de Michel Perraudeau, les changements de posture de l’enseignant correspondent à des adaptations du professeur aux réponses des élèves, en ce sens il s’agit bien d’une étude des interactions professeur/élèves. Cependant, l’effet des réactions des élèves sur la conduite du professeur n’est pas analysé, et pour cause car l’enseignant n’est pas considéré comme « lucide » par rapport à ces modifications. Autrement dit, ces adaptations de l’enseignant ne correspondent pas à des tensions ou des enjeux qu’il identifie comme tels.

13La dynamique de régulation interne de certaines tensions du système (professeur/élèves/situation mathématique) perçues par les acteurs est au cœur de l’étude de Magali Hersant. Le système étudié est quasi isolé puisque seule l’injonction institutionnelle à réaliser des problèmes pour chercher est envisagée. La pratique de l’enseignant est considérée comme doublement finalisée par les apprentissages des élèves et l’avancée du temps didactique qu’il souhaite maîtriser. Les acteurs du système peuvent interagir sciemment entre eux : l’enseignant, par son discours agit sur le système (élève/situation mathématique), le système (élèves/situation mathématique) est aussi susceptible d’agir sur le professeur, par exemple, en le conduisant à modifier son projet. Ainsi, le système est régulé et la dissymétrie entre l’enseignant et l’élève est réduite, mais pas complètement inexistante : dans tous les cas, le professeur en sait plus que les élèves. Dans cette approche, la régulation, et donc l’interaction, résulte du postulat d’une nécessaire négociation entre le professeur et les élèves : les systèmes (élèves) et (professeur) ont des finalités qui ne sont qu’en partie commune. L’élève doit apprendre, mais en a-t-il toujours le désir ? Si tel est le cas, il souhaite réaliser cet apprentissage de façon économique, le professeur doit alors permettre des apprentissages sans toutefois enseigner (cf. Théorie des situations didactiques, G. Brousseau, 1998).

14Cette approche interactionniste référée à la théorie des situations didactiques (G. Brousseau, 1998) diffère aussi des études de Michel Perraudeau et de Patrice Bourdon par le fait que la pratique de l’enseignant est envisagée non seulement à partir de son discours mais aussi de l’organisation matérielle qu’il met en place, ces deux éléments étant considérés comme les déterminants de l’interaction potentielle des élèves avec la situation. Par ailleurs, la temporalité est une nécessité pour considérer l’évolution des systèmes en interaction. Ainsi, l’étude en termes de contrats didactiques focalise sur la façon dont l’enseignant organise, régule et négocie le partage de responsabilité, la rencontre de l’élève avec la situation et le savoir. Cette approche interactionniste schématisée par la figure 2 est aussi celle choisie pour l’analyse didactique des séances, l’éclairage portant alors sur l’évolution du système (élève/ situation mathématique) dans ses interactions avec le professeur, les autres élèves et le savoir.

Figure 2 : Magali Hersant étudie les interactions didactiques dans un système dynamique avec une régulation interne effectuée par la négociation

L’activité des enseignants : un système contraint par le contrat de recherche où l’enseignant s’est défini des buts à partir de la situation mathématique

15Marie-Paule Vannier étudie aussi l’action de l’enseignant sur le système (élèves/situation mathématique) mais l’éclairage choisi dépasse le système initial dans la temporalité et le lieu puisque l’analyse s’appuie sur une redéfinition de la tâche prescrite par l’enseignant et l’identification des buts qu’il se fixe, en partie avant la séance. Par ailleurs, la pratique du professeur est envisagée comme finalisée par des enjeux d’apprentissage mais ne s’y réduit pas. En effet, le système (professeur/élèves/situation mathématique) est soumis à un autre système qui comprend les conditions de la recherche et d’exercice des enseignants et génère de nouveaux enjeux comme l’adaptation de l’enseignant à une classe qu’il ne connaît pas. Le système n’est donc pas isolé. Cependant, à la différence de l’approche de Patrice Bourdon, les contraintes extérieures qui s’exercent ne concernent pas le système (élèves/situation mathématique) mais l’enseignant. Ainsi, prenant le point de vue de l’activité, Marie-Paule Vannier introduit de l’interaction entre le système (professeur/élèves/situation mathématique) et le système (professeur/tâche prescrite) pour étudier les pratiques des deux enseignants relatives à l’enrôlement et au transfert de responsabilité. L’interaction introduit nécessairement de la régulation et de la temporalité pour que le système se stabilise et fonctionne, au moins momentanément : l’enseignant agit pour être le plus en conformité avec la tâche qu’il a redéfinie et les contraintes de la situation, ce qui correspond en partie à une intention de maîtriser le temps didactique mais ne s’y réduit pas. Cette étude des pratiques sous l’angle de l’activité schématisée par la figure 3 explique que seule Marie-Paule Vannier fasse une distinction a priori entre la stagiaire et le maître-formateur tandis que tous les autres chercheurs étudient de la même façon les deux enseignants (mêmes outils méthodologiques, pas de prise en compte du fait que la stagiaire a assisté à la réalisation de la séance dans la classe du maître-formateur, pas de prise en compte du fait que le maître-formateur n’est pas dans sa classe). Cela explique aussi qu’elle recourt aux entretiens.

Figure 3 : Marie-Paule Vannier étudie l’activité des enseignants dans un système contraint par la recherche et la situation mathématique

Une entrée dans la complexité non exhaustive et non hiérarchique

16Action, interaction, activité : il y a une complexification des systèmes étudiés mais ne nous y trompons pas, cela ne doit pas renvoyer à une hiérarchisation des analyses. Quel serait en effet l’intérêt d’une situation didactique consistante, permettant une problématisation par les/des élèves, menée avec des contrats apparemment adéquats, si la conduite du professeur ne permettait pas préalablement l’enrôlement de la majeure partie des élèves dans une activité cognitive puis une tâche mathématique pour de « bonnes » raisons (apprendre pour savoir réutiliser le savoir à l’extérieur de la classe et non pas pour faire plaisir à l’enseignant) ? Les objectifs des chercheurs sont simplement différents. Patrice Bourdon, Michel Perraudeau, Philippe Briaud caractérisent l’action des enseignants par des aspects de leur discours qui d’après les études socioconstructivsites, psychologiques et didactiques auxquelles ils se réfèrent ont un impact sur les apprentissages des élèves. Marie-Paule Vannier et Magali Hersant cherchent à décrire et comprendre la pratique des enseignants confrontés à la contingence de la classe et à des contraintes extérieures qui pèsent sur eux. Ces différentes démarches empiriques permettent une entrée dans la complexité des pratiques enseignantes mais ne donnent pas accès à une topologie exhaustive des approches possibles.

17Malgré ces différences de questionnement et d’éclairage du système (professeur/élèves/situation mathématique), les études se rencontrent sur certains aspects des pratiques que nous identifions comme des nœuds de complexité des pratiques enseignantes.

Une entrée dans la complexité des pratiques à partir de nœuds de l’analyse

18Notre démarche d’analyse plurielle nous a permis d’identifier des nœuds de l’analyse autour des questions d’enrôlement/dévolution et des différences qu’induisent les pratiques que nous considérons comme des nœuds des pratiques enseignantes. En effet, nous pensons que, si nos approches se rencontrent à ces endroits, c’est qu’ils sont significativement importants dans les pratiques étudiées. Il convient alors de tenter d’articuler les études pour comprendre comment sont organisés ces nœuds, les dénouer et accéder à l’épaisseur de la complexité qu’ils masquent.

Enrôlement et dévolution

19Les études de cette première partie sont orientées par une question : comment l’enseignant permet-il la rencontre de l’élève avec la situation mathématique et les apprentissages ? Cette question qui renvoie en particulier à l’enrôlement (J.-S. Bruner, 1983) et à la dévolution (G. Brousseau, 1998) est incontestablement un point crucial dans tout processus d’enseignement – apprentissage. Ici, les deux enseignants introduisent de façon radicalement différente la séance (cf. « Présentation du corpus »), ce qui ne manque pas de questionner d’emblée ces aspects des pratiques. Par ailleurs, organiser la rencontre des élèves avec la situation mathématique est une préoccupation qui apparaît constante chez les enseignants au cours des séances. Cela s’explique. D’abord, comme l’indique Marie-Paule Vannier, le contrat de recherche induit des conditions particulières d’exercice pour les enseignants et une préoccupation forte de réussir cette rencontre des élèves avec la situation. De plus, les élèves, d’une certaine façon, résistent (cf. Magali Hersant, « Analyse didactique des séances et des productions des élèves »), ce qui rend nécessaire une action quasi-permanente de l’enseignant pour dévoluer le problème et maintenir l’enrôlement des élèves. Le type de situation et de savoirs en jeu a pour nous un rôle déterminant ici.

20Comment peuvent s’articuler enrôlement et dévolution ? Quelles explorations des pratiques autorisent ces deux concepts si l’on s’intéresse à la façon dont l’enseignant permet à l’élève de rencontrer la situation mathématique ? Telles sont les questions auxquelles nous nous intéressons dans ce paragraphe.

21Patrice Bourdon et Marie-Paule Vannier étudient explicitement l’enrôlement dans les pratiques des deux professeurs en référence à J.-S. Bruner, avec des finalités différentes. Dans ces études, l’enrôlement s’effectue selon plusieurs dimensions qui peuvent renvoyer à des moments différents des séances. Patrice Bourdon s’intéresse à l’enrôlement de l’élève dans une tâche cognitive, c’est-à-dire finalisée par des apprentissages scolaires qui ne peuvent se réaliser que si l’élève accepte de s’engager pour les « bonnes » raisons (apprendre pour réutiliser le savoir à l’extérieur de la classe et non pas pour faire plaisir à l’enseignant). Dès le début de la séance, en amont des spécificités du problème, il s’agit pour l’enseignant d’installer un cadre de travail qui favorise l’engagement des élèves dans l’activité et de leur permettre d’identifier clairement les enjeux cognitifs et scolaires de celle-ci, en particulier le fait qu’elle relève d’une activité à visée d’apprentissage. Il s’intéresse aux lectures que les élèves peuvent faire de cet enrôlement en fonction du rapport à l’École et aux savoirs qu’ils ont construits dans leur milieu social notamment. Marie-Paule Vannier étudie, quant à elle, la façon dont les enseignants permettent aux élèves de s’engager dans le problème convenu, c’est-à-dire organisent les conditions du transfert de responsabilité de l’inter à l’intra. Elle identifie à cet effet différents aspects de l’enrôlement au cours de la séance :

• négociation d’une intervention, à visée d’apprentissage, ponctuelle dans la classe qui facilite l’installation de la légitimité de l’enseignant ;
• présentation du problème aux élèves qui leur permette de situer la tâche comme une tâche réalisable ;
• négociation des conditions matérielles de réalisation de la tâche favorisant l’installation des conditions matérielles de l’activité ;
• production d’une solution, négociation du niveau d’exigence de la tâche, appropriation des contraintes du problème autorisant une activité de production et de validation autonome chez les élèves ainsi qu’un ajustement de la représentation de la tâche à partir de cas simples.

22L’enrôlement consiste alors à préparer la rencontre avec le « vrai » problème, pour 46. Dans ces deux études, la dimension de l’enrôlement liée au positionnement de l’enseignant comme professeur dans la classe est présente mais de façon différente : quand Marie-Paule Vannier analyse la façon dont les enseignants négocient leur légitimité auprès des élèves, il s’agit plus précisément d’une légitimité à leur faire apprendre quelque chose, alors que Patrice Bourdon s’intéresse à la façon dont ils installent leur autorité.

23Le concept de dévolution est présent dans les études de Magali Hersant et Marie-Paule Vannier mais les temporalités associées sont différentes. Ce processus est défini par G. Brousseau (G. Brousseau, 1998) à propos de situations adidactiques comme le processus par lequel l’enseignant place l’élève en interaction avec la situation didactique. Il est étroitement lié à celui de contrat didactique. En effet, la réussite de la dévolution est l’enjeu de la négociation de micro-contrats de type « production individuelle » ou « production collective ». L’analyse des moments de recherche et de mise en commun effectuée par Magali Hersant peut donc se relire comme une étude chronologique du processus de dévolution du problème local pour 46 aux élèves. Les micro-contrats repérés au fil de la séance marquent la négociation et l’évolution du processus face à la contingence. Les problèmes locaux pour 15 et 96/36 correspondent à des étapes qui permettent d’installer le milieu (G. Brousseau, 1998) du problème pour 46. Les processus de dévolution se succèdent dans le temps et s’emboîtent : la dévolution du problème pour 15 permet l’appropriation des contraintes à respecter pour les problèmes locaux, conditions nécessaires à un contrôle des productions ; la résolution du problème pour 96/36 permet la dévolution d’un premier problème local, fournit des contre-exemples potentiels et un type de preuve. Les modifications de répartition des responsabilités entre le professeur et les élèves correspondent soit à un transfert ou une tentative de transfert de responsabilités vers l’élève, soit à un recul dans ce transfert. En d’autres termes, ce sont les ruptures de transfert de responsabilité qui apparaissent alors que Marie-Paule Vannier étudie la mise en place des conditions de la réalisation de ce transfert pour le problème 46. Des degrés de partage de responsabilité sont distingués relativement à la production et à la validation des propositions, mais ils ne sont pas spécifiés par une organisation chronologique anticipée par l’enseignant comme le propose Marie-Paule Vannier. La temporalité apparaît seulement dans les emboîtements de situations, du point de vue du chercheur, sans être reliée explicitement au sens que l’enseignant peut donner à la situation.

24Les analyses de Michel Perraudeau et Philippe Briaud traitent aussi de la façon dont l’enseignant organise la rencontre de l’élève avec la situation : favorise-t-il l’émergence de la parole de l’élève ? Quelles sont les fonctions cognitives qu’il sollicite ? Est-il dans la tutelle ou la médiation ? Permet-il aux élèves de poser et résoudre le problème souhaité ? On peut analyser les conduites de tutelle et de médiation et le degré de problématisation que la pratique de l’enseignant permet comme des niveaux de dévolutionn du problème : soit, l’enseignant permet une dévolution « conséquente » (au sens de la problématisation) du problème aux élèves, il est alors médiateur entre l’élève et la situation didactique, soit il permet seulement une exécution de la tâche, il est alors tuteur.

25Dans ces études, l’enrôlement correspond à ce que fait l’enseignant pour organiser la rencontre de l’élève avec la situation en amont du « vrai » problème, tandis que le processus de dévolution court encore lors de la résolution du problème pour 46. Ces aspects chronologiques permettent une première articulation temporelle des concepts.

26Une autre façon d’articuler ces concepts consiste à questionner la place donnée aux savoirs dans les études. Sur l’ensemble de la séance, Michel Perraudeau repère des variables du discours de l’enseignant qui affectent l’interaction que l’élève aura avec la situation. Indépendamment du contenu en jeu, ces éléments sont considérés comme importants pour les apprentissages des élèves, mais la place laissée à la parole explicative de l’élève et aux essais/erreurs prime. Patrice Bourdon considère aussi des éléments génériques de l’enrôlement (permettre que les élèves situent l’action dans le registre des apprentissages et identifient la tâche à réaliser comme cognitive) tandis que Marie-Paule Vannier spécifie une organisation de l’enrôlement en fonction de la situation mathématique proposée et des conditions d’exercice des deux enseignants (négocier les aspects matériels à respecter, aider les élèves à se représenter la tâche par une appropriation des contraintes du problème et en maintenant l’exigence de justification, leur permettre d’ajuster leur représentation de la tâche en leur demandant de résoudre les problèmes locaux pour des cas simples 15, 96 ou 3). Cette organisation qui vise à permettre le transfert de responsabilités de l’inter à l’intra est spécifiée par le savoir en jeu, ou tout au moins par le problème posé, et instanciée par le cadre de la recherche. Dans la contribution de Philippe Briaud, la façon dont l’enseignant permet ou pas aux élèves de problématiser, interprétée en termes de dévolution, se situe à un niveau intermédiaire de généricité/spécificité : l’étude est d’une part spécifiée par le savoir en jeu (l’apprentissage de la résolution de problème et de l’argumentation) mais d’autre part, elle revêt aussi un caractère générique dans la mesure où les spécificités de la situation traitée en classe ne sont pas prises en compte. On retrouve ce niveau intermédiaire de généricité/spécificité de la dévolution chez Magali Hersant lorsqu’elle définit au niveau macro le contrat de preuve qu’il s’agit pour l’enseignant de réussir à négocier. La spécification de la dévolution se fait alors dans l’analyse de la répartition des responsabilités pour la production et la validation de propositions à partir du moment où l’enseignant lance le travail sur le premier exemple, 15. Le travail effectué pour 15, 96 et 36 fait l’objet de dévolutions qui participent à la dévolution du problème pour 46. Il permet l’installation du milieu de la situation ou l’organisation des conditions d’interactions de l’élève avec la situation pour produire le savoir visé. La dévolution est donc spécifiée à la fois par le type de savoir en jeu (apprentissages sur la résolution de problème) et par la situation elle-même.

27Par ailleurs, les finalités de l’enrôlement et de la dévolution présentes dans les études de Marie-Paule Vannier et de Magali Hersant nous apparaissent comme complémentaires. Les aspects de l’enrôlement identifiés et étudiés par Marie-Paule Vannier visent à installer les conditions du transfert de responsabilités de l’interpsychique à l’intrapsychique, ce qui comprend la phase d’introduction du problème. Magali Hersant analyse la répartition des responsabilités pour la production et la validation de propositions à partir du moment où l’enseignant lance le travail sur le premier exemple, 15. Le travail d’installation du milieu effectué permet l’organisation de conditions d’interaction de l’élève avec la situation mathématique et la production de savoir dans la classe, donc in fine le passage de l’intra à l’inter. Ainsi, ces études qui se réfèrent à des cadres théoriques de l’apprentissage différents (respectivement L.-S. Vygotsky et J. Piaget) se rejoignent et se complètent.

28Nous organisons donc les différents aspects des processus d’enrôlement et de dévolution présents dans les analyses selon trois dimensions. La dimension chronologique renvoie à la temporalité de l’enrôlement et de la dévolution dans le déroulement de la séance. L’organisation temporelle des différentes dimensions de l’enrôlement distinguées par Patrice Bourdon et Marie-Paule Vannier restait en partie implicite dans leur contribution. Le « feuilletage » de l’enrôlement et de la dévolution signifie l’épaisseur des deux concepts à un instant donné. Autrement dit, à un instant donné, le discours de l’enseignant revêt plusieurs aspects qui se superposent et contribuent différemment à l’enrôlement et/ou la dévolution. Le mot « feuilletage » renvoie à l’image du feuilleté : au moment où vous croquez, vous rencontrez plusieurs feuilles. Cette articulation en termes de temporalité et de feuilletage est présentée dans le tableau 1 où le feuilletage de la dévolution et de l’enrôlement apparaît dans une lecture horizontale du tableau tandis que la temporalité de ces processus apparaît dans une lecture verticale. Le degré de spécificité de l’enrôlement et de la dévolution par rapport au savoir est une autre dimension de l’enrôlement et de la dévolution qui n’apparaît pas dans le tableau.

Des pratiques différenciatrices

29Les questions d’enrôlement et de dévolution ne sont pas indépendantes de celles posées par le caractère différenciateur des pratiques : si les pratiques des enseignants délimitent des possibles, c’est la lecture de la situation (au sens large) par l’élève qui détermine son activité et son apprentissage. Or, selon les élèves (leur passé scolaire, leur rapport aux savoirs socialement construit, leur représentation des mathématiques…) cette lecture varie.

Tableau 1 : Les aspects de l’enrôlement et de la dévolution considérés dans l’étude : temporalité et feuilletage

30L’étude de Patrice Bourdon est centrée sur les différences induites par les pratiques des enseignants. Son cadre théorique est conçu pour étudier l’effet différenciateur des pratiques, il n’en est pas de même pour les cadres des autres chercheurs qui reposent sur des hypothèses d’apprentissage pour un élève générique. Toutefois cette question apparaît aussi en filigrane dans d’autres contributions. Ainsi, lorsque Philippe Briaud analyse les réponses apportées par certains élèves, il interroge la possibilité donnée par les enseignants à tous les élèves de problématiser. Par ailleurs, Magali Hersant identifie, à certains moments, des dédoublements possibles de micro-contrats didactiques qui génèrent des conditions d’apprentissage différentes pour les élèves et donc de la différence entre les élèves. C’est alors, non plus la rencontre naturelle des analyses, mais la controverse entre chercheurs qui permet d’identifier un nœud de complexité des pratiques sous forme de tensions autour des deux facteurs générateurs de différences entre les élèves.

31La place et le rôle de l’essai dans ces séances constituent un premier facteur de tension quant à la différenciation. Pour Michel Perraudeau, l’essai et l’erreur, ainsi que leur traitement en classe sont constitutifs des apprentissages. Pour Philippe Briaud et Magali Hersant, l’essai est aussi essentiel : l’apprentissage d’une démarche scientifique nécessite de faire des essais pour poser le problème et émettre des conjectures. Mais Patrice Bourdon nous alerte sur le fait que certains élèves attribuent à l’essai en lui-même une finalité alors que bien entendu l’essai n’est intéressant que par ce qu’il permet de produire ensuite. À cet égard, la gestion du tableau par l’enseignant nous semble importante. Ainsi lorsque Catherine organise au tableau un coin « brouillon » où figurent les essais et un autre au coin « propre » où figurent les solutions justifiées (cf. Magali Hersant, « Analyse didactique des séances et des productions des élèves »), elle permet justement d’identifier le rôle de l’essai dans le travail demandé.

32Le couple « certitude/incertitude » des élèves par rapport au problème est le second facteur de différenciation que nous identifions ; il va de pair avec le degré d’ouverture du problème proposé par les enseignants. Dans ces séances, l’incertitude peut concerner la possibilité de décomposer ou pas un nombre en la somme de trois nombres consécutifs et la valeur logique (vrai/faux) d’une proposition. Pour Philippe Briaud et Magali Hersant, ces deux types d’incertitude constituent une nécessité de l’entrée dans le processus de problématisation et l’apprentissage d’une démarche scientifique : établir une conjecture, délimiter les possibles ne peut se faire que s’il y a un doute ; travailler sur la valeur logique d’une proposition est constitutif de l’activité mathématique. Cette position est fortement reliée avec une position épistémologique et les hypothèses constructivistes qui sous-tendent les cadres théoriques de référence : comment amener les élèves à problématiser et à mobiliser leurs connaissances mathématiques pour argumenter si on réduit les tâches à des tâches techniques et isolées. Au contraire, pour Patrice Bourdon, une incertitude trop forte sur le but de l’activité peut dérouter certains élèves, surtout si, comme c’est le cas pour la PE2, elle se situe dans un ici et maintenant associé à un rabattement sur des tâches (faire, écrire…). Dans l’entretien, le maître-formateur justifie par les mêmes arguments la fermeture du problème pour 15 (cf. Marie-Paule Vannier). Mais on peut aussi se demander si cette réussite « locale » de tous (ou presque tous) les élèves sur l’exemple 15 ne risque pas de les leurrer sur la finalité de la séance. L’analyse qu’effectue Marie-Paule Vannier permet d’éclairer la controverse. Elle pointe la nécessité d’appropriation par les élèves des deux contraintes et identifie deux niveaux d’activité, et donc de buts, emboîtés. Au « niveau local », la tâche correspond à la recherche de décompositions d’un nombre en respectant deux contraintes, au « niveau général » la tâche vise l’élaboration d’une argumentation. Avec ces éléments, il nous semble que c’est dans une organisation temporelle délicate de ces deux buts, agencée avec la négociation de micro-contrats qui permettent de moduler les exigences par rapport à la tâche en fonction des valeurs numériques et de l’avancée du temps didactique, que réside la clé de cette controverse.

33Les enseignants ont donc des équilibres délicats à trouver pour gérer ces tensions qui peuvent générer des différences entre les élèves : il s’agit de ménager un intérêt mathématique à la séance tout en permettant à tous les élèves des apprentissages.

La complexité des pratiques du point de vue la dualité « expert-novice »

34Nous avons montré comment les différentes approches permettent d’éclairer certains aspects de la complexité des pratiques relatifs à l’organisation de la rencontre des élèves avec les savoirs. Il convient maintenant de confronter les résultats des analyses pour questionner la complexité des pratiques dans son rapport à « l’expertise », mettre en perspective des éléments qui dépendent de l’expérience des enseignants et générer des questions sur la formation des pratiques des enseignants du premier degré.

Les principaux aspects des pratiques qui se dégagent

35La stagiaire est préoccupée par l’installation de son autorité dans la classe (Patrice Bourdon) et la gestion des aspects matériels de la séance (Marie-Paule Vannier). Son discours en début de séance est contextualisé dans le temps et dans l’espace, centré sur la tâche (le faire), soucieux d’aspects matériels. Ainsi, certains élèves de la classe risquent de ne pas entrer dans l’activité pour des raisons cognitives (Patrice Bourdon). Cependant, la stagiaire montre dans la suite du déroulement de la séance, une capacité à inscrire les élèves dans une activité consistante et adéquate du point de vue des mathématiques. En effet, de façon générale, la PE2 permet une écoute et un échange entre les élèves et montre une capacité à mettre en œuvre à la fois des interventions qui relèvent de la tutelle et de la médiation, ce « qui révèle une certaine maîtrise de l’interaction maître-élève » (Michel Perraudeau). Cette posture qui constitue un cadre pédagogique privilégié pour les élèves est accompagnée d’une action didactique bien adaptée au savoir en jeu (Magali Hersant). En effet, la PE2 :

• laisse une ouverture dans le problème cherché,
• pose le degré d’exigence de la tâche (Marie-Paule Vannier),
• cherche à installer dans la classe un contrat de recherche qui laisse a priori à chacun des élèves de la classe la possibilité de produire des propositions et de les valider,
• a des interventions décisives pour l’avancée des connaissances des élèves et l’avancée du débat,
• structure l’avancée des savoirs dans la classe et du débat en utilisant le tableau noir (ce dont on est sûr, ce qui est en discussion) et en énonçant des conclusions à la fin de chacun des problèmes locaux.

36Cette action didactique que déploie la stagiaire dans la suite de la séance est-elle suffisante pour ramener dans l’activité attendue les élèves qui se sont mépris dès le début de la séance sur les finalités de la situation ? Seule une étude élargie (entretien avec des élèves, observations de certains élèves susceptibles de…) permettrait de le savoir. Par ailleurs, un autre aspect de sa pratique met en tension des approches à propos des phases de mises en commun pour les problèmes 15 et 96 : quand Marie-Paule Vannier s’interroge sur l’appropriation possible des contraintes du problème par les élèves lorsque l’enseignante garde une bonne partie de la formulation des réponses, Magali Hersant considère que ses interventions qui correspondent à une forme de négociation permettant de maintenir la relation didactique et de dégager les contraintes à respecter et constituent une aide à la formulation.

37Le maître-formateur ne rencontre pas de difficultés dans la gestion matérielle de la séance (Marie-Paule Vannier), ni dans l’installation de son autorité dans la classe (Patrice Bourdon). Il inscrit rapidement et clairement la séance dans la perspective d’une activité cognitive qui répond à des finalités et à une temporalité dépassant l’action immédiate dans la classe (Patrice Bourdon) et ayant un certain niveau d’exigence (Marie-Paule Vannier). Cependant, son action se révèle moins adaptée d’un point de vue didactique au savoir en jeu. En effet (Philippe Briaud, Magali Hersant), il :

• propose aux élèves de résoudre un problème mathématique plus fermé,
• réduit l’incertitude des élèves en intervenant par rapport à l’évaluation des propositions,
• organise la répartition des responsabilités dans la classe de façon à réduire son incertitude et à permettre une avancée rapide du temps didactique sans donner la possibilité à tous les élèves de la classe de se confronter au travail mathématique ; certains risquent donc d’être spectateurs.

38Ici, les questions que l’on peut se poser sont en quelque sorte inversées par rapport à la stagiaire. L’action d’enrôlement effectuée par l’enseignant au tout début de la séance suffit-elle à maintenir pour tous les élèves une activité mathématique en rapport avec le débat ? Même s’ils sont mis dans des conditions favorables aux apprentissages en début de séance, les élèves « spectateurs » du débat vont-ils maintenir au cours de la séance cette disposition ? Là encore, des données complémentaires seraient nécessaires pour répondre.

39Il ressort nettement deux éléments : d’abord, les pratiques de ces deux enseignants dans ces séances sont pour le moins différentes, ensuite l’expérience en matière d’enseignement ne peut expliquer à elle seule les différences mises en évidence.

Discussion sur la place de l’expérience professionnelle dans les pratiques étudiées

40Les différences de pratiques constatées chez les deux professeurs relatives à l’installation de l’autorité de l’enseignant et à l’organisation des aspects matériels du travail des élèves relèvent indéniablement de l’expérience d’enseignement des professeurs. D’autres aspects des pratiques étudiées entretiennent avec l’expérience un rapport plus complexe.

41Commençons par la question de la temporalité dans les séances qui renvoie finalement à l’enrôlement des élèves et la dévolution du problème aux élèves. Dans la pratique du maître-formateur la temporalité des apprentissages semble bien identifiée, ce qui n’est pas le cas chez la stagiaire. Cela se comprend aisément si l’on rappelle qu’à l’époque la formation n’incluait pas de stage filé à l’année : toutes les interventions de la stagiaire s’inscrivent dans des stages qui n’excèdent pas trois semaines ; ce qui ne facilite pas la réflexion sur la temporalité des apprentissages (leur inscription dans la durée, leur articulation). Dans le même ordre d’idée, il faut souligner que le plus souvent, lors de leur stage en responsabilités, les stagiaires n’ont pas le choix des contenus : ils s’insèrent dans la progression de l’enseignant titulaire ou du manuel de référence. Ajouté au contrat de recherche, cela contribue certainement au fait que la stagiaire propose aux élèves une activité hic et nunc. La temporalité de la séance est bien anticipée par le maître-formateur (Marie-Paule Vannier), mais peut-être trop. En effet, l’avancée du temps didactique qui est une de ses préoccupations dès le début de la séance se constitue finalement en un obstacle à une dévolution du débat : le maître-formateur avance rapidement dans la séance en s’appuyant sur des élèves qui ont réussi, au détriment d’une mise en débat de la classe et d’un travail sur les savoirs transversaux. Notre hypothèse est qu’ici l’expérience du maître-formateur dessert le déroulement de la séance car elle est fondée principalement en référence à l’enseignant-apprentissage de savoirs curriculaires qui ne requièrent pas la même gestion. Autrement dit, le maître-formateur n’adapte pas suffisamment sa gestion aux singularités du savoir en jeu : il s’est redéfini la tâche prescrite de débat comme une tâche de correction d’exercice (Marie-Paule Vannier). Au contraire, la stagiaire prend le temps du débat, elle ne force pas les décisions et sait revenir en arrière si cela s’avère utile (Magali Hersant). Est-ce son rapport aux mathématiques (rappelons qu’elle est licenciée de mathématiques) qui joue ici ? Le contrat de recherche avec sa formatrice de mathématiques ? La formation mathématique reçue à l’IUFM, et entre autres un travail sur la résolution de problème, la preuve, l’argumentation, l’erreur et le débat dans l’enseignement des mathématiques à partir de la situation « la vache et le paysan » (H. Péault, 1991) effectuée lors de la première séance de formation ?

42L’aide de l’enseignant à la formulation des arguments par les élèves est un aspect de la pratique où l’expérience de l’enseignant ne joue pas dans le cas présent. Pour les problèmes de 15 et 96, le maître-formateur pose toujours la question du « pourquoi ? » mais, la formulation même des justifications est difficile pour les élèves. Si ses questions ont le mérite de maintenir l’exigence de justification, elles n’aident en rien les élèves à formuler. Pour cela, la stagiaire procède autrement : elle décompose les étapes de la justification (« est-ce que les nombres se suivent ? », « est-ce que la somme fait 15 ? »), ce qui constitue une aide importante qu’elle essaie ensuite d’abandonner. Est-elle pour autant plus consciente des difficultés des élèves à formuler ces propositions ? Si oui, son passé mathématique joue-t-il un rôle ici ?

43Le déroulement d’un débat permettant des apprentissages nécessite une conduite didactique spécifique avec, à la fois, des interventions déterminantes et une gestion souple des interactions. On retrouve ces gestes chez la stagiaire et pas chez le maître-formateur (Magali Hersant). Là encore la façon dont les deux enseignants ont redéfini la tâche est déterminante. Mais, nous pouvons questionner à la fois l’origine de la capacité de la stagiaire à redéfinir ainsi la tâche et ensuite à opérer ces interventions didactiques fortes à des moments cruciaux du déroulement des séances. Ce qui est sûr, c’est que la formation mathématique dispensée à l’IUFM n’est pas allée jusqu’à l’explicitation fine de cette gestion des débats : nous avons fait vivre une situation de débat aux stagiaires au cours de laquelle nous avons soigneusement organisé le tableau ; en nous appuyant sur les travaux de A. Robert et F. Vandebrouck (2003), nous avons donné quelques indications sur l’utilisation du tableau en mathématiques et dans ces séances en particulier. Par ailleurs, le maître-formateur indique dans l’entretien qu’il n’a pas vraiment d’expérience en matière de débat en mathématiques mais qu’en revanche il pratique régulièrement des débats dans les autres disciplines. Nous ne savons pas comment l’enseignant organise ces débats, mais dans l’entretien il exprime qu’il y aurait une spécificité au débat en mathématiques. Notre hypothèse est que cette spécificité est étroitement liée à l’épistémologie des mathématiques et particulièrement aux relations qu’entretiennent le doute, la formulation de conjecture, la certitude et le rôle des exemples « bien choisis » (D. Perrin, 2007) dans l’activité mathématique.

44Ainsi les analyses montrent une tension entre le rôle de l’expérience et celui du rapport au savoir dans les pratiques de débat en mathématiques qui n’est pas sans questionner la formation.

Questions à la formation des professeurs des écoles

45Nous avons articulé dans la première partie de ce chapitre les différents regards portés sur les pratiques. Cette recherche d’articulation nous a aussi conduits à identifier des nœuds des pratiques qui prennent la forme d’organisations complexes de divers aspects des pratiques parfois en tension. Tous les chercheurs qui ont analysé les pratiques des deux enseignants sont aussi formateurs à l’IUFM des Pays de la Loire et le regard qu’ils portent sur les pratiques des enseignants, leurs cadres théoriques de référence constituent les soubassements de leurs actions de formation. Supposons qu’un stagiaire ait tous ces formateurs-chercheurs en formation : comment peut-on espérer qu’il articule les discours pour reconstruire une complexité de la pratique ? Par exemple, à propos d’enrôlement et de dévolution, lui donne-t-on les moyens d’accéder au feuilletage et à la temporalité construits ? Lui précise-t-on suffisamment le domaine d’application des éléments mis en évidence ? Est-ce souhaitable de chercher à lui faire accéder d’emblée à cette complexité ? Est-il préférable de chercher une organisation temporelle de la formation qui lui permette de traiter séparément certains aspects ? Par exemple, commencer par l’aider à gérer les aspects d’autorité et matériel, puis à faire une « bonne » introduction, puis à s’intéresser aux aspects plus didactiques de la gestion ? Cela nous semble néanmoins difficile car ces éléments sont liés et les apprentissages des élèves risqueraient d’en pâtir. Par ailleurs, il y a dans ces études des points de rencontre en creux (par exemple, le processus d’institutionnalisation ou le déroulement des séances dans une ZEP). Or, les stagiaires ont déjà tendance à lire en creux la formation, et c’est bien compréhensible d’ailleurs : ce qui n’est pas dit n’existe pas. Cela interroge sur les parcours de formation fréquentés par les stagiaires. Enfin, certaines dissonances apparaissent. Si nous avons identifié l’origine, il reste que nous n’avons pas d’éléments tangibles pour les résoudre. Comment les stagiaires règlent-ils ces incohérences de la formation ? D’autres questions à ce sujet seront développées dans la partie suivante. En effet, il ne faut pas réduire la formation des professeurs des écoles aux aspects traités avec des formateurs permanents de l’IUFM : elle repose aussi sur les interactions avec les maîtres-formateurs. Or, ici, la pratique du maître-formateur qui a, d’une certaine façon valeur d’exemple puisqu’il réalise une séance identique avant la stagiaire et sous son regard, est en opposition forte avec la formation dispensée à la stagiaire à propos de résolution de problème, preuve, argumentation, erreur et débat dans l’enseignement des mathématiques.

46Enfin, la tension entre le rôle de l’expérience et celui du rapport au savoir dans les pratiques de débat en mathématiques interroge sur la place du savoir et du développement d’une épistémologie de chaque discipline dans la formation des enseignants polyvalents que sont les professeurs des écoles. Qu’est-ce qui a été déterminant dans la pratique de la stagiaire et sa reconstruction de la tâche : sa formation initiale en mathématique ? Son analyse de la situation de formation ? Son analyse de la gestion de la situation par Louis ? Quoiqu’il en soit, cette recherche montre qu’en mathématiques les situations de problèmes pour chercher peuvent être de bons révélateurs du rapport au savoir qu’entretient l’enseignant avec la discipline. Sont-elles pour autant de bonnes situations pour développer, en formation initiale ou continue, un rapport au savoir mathématique plus en phase avec l’épistémologie de cette discipline ? Là encore, des précautions sont à prendre : on ne peut pas enseigner la technique opératoire de la soustraction comme les problèmes pour chercher.