1Les situations ouvertes sont des dispositifs pédagogiques qui permettent un enseignement-apprentissage dans un cadre socioconstructiviste et où les élèves sont amenés à exprimer et à confronter leurs points de vue dans des activités langagières d’écrit ou d’oral pour construire des savoirs (C. Orange, 2005 ; P. Briaud, 2007). Les problèmes pour chercher s’inscrivent dans ce cadre.

2L’organisation des situations ouvertes que nous analysons est la suivante :

• Travail des élèves en individuel et en petit groupe pour résoudre un problème ;

• Mise en commun et débat sur les différents points de vue ;

• Institutionnalisation des savoirs construits dans ces interactions langagières.

3L’objectif didactique des séances analysées est l’apprentissage par les élèves de la justification des réponses qu’ils donnent à une question en mathématiques (cf. Magali Hersant, « Analyse didactique des séances et des productions des élèves »).

4Comme nous l’avons dit, les situations ouvertes sont des dispositifs didactiques utilisés par les enseignants pour permettre aux élèves de construire des savoirs. Lorsqu’on se réfère au triangle pédagogique proposé par J. Houssaye, (J. Houssaye, 1993) pour modéliser des situations d’enseignement-apprentissage c’est surtout l’axe savoirs-élèves qui est privilégié dans ces situations ouvertes. Dans ce modèle, la place de l’enseignant est celle « du mort1 », son rôle est celui d’organisateur et d’animateur des activités pour assurer le bon déroulement de la séance et permettre aux élèves de construire des savoirs. Nous pensons que sa gestion de la situation se fait à partir de ses représentations de l’école, de sa discipline, de son enseignement et de son apprentissage.

5L’analyse des prises de parole des différents locuteurs nous renseigne sur le déroulement de ces séances et sur l’apprentissage des élèves. Nous cherchons à caractériser quel problème est traité ? Qui le prend en charge au cours de la séance ? Quelles solutions sont proposées ?

Problématique, cadre d’analyse et méthodologie

6L’épistémologie constructiviste de l’enseignement-apprentissage considère les savoirs comme des réponses à des problèmes. Dans ce cadre, l’acquisition de connaissances ne se fait pas seulement par mémorisation, mais aussi par un changement de représentation. Une pédagogie constructiviste relie le savoir, les activités et les processus d’apprentissage en donnant une place privilégiée au problème dans les situations d’apprentissage (P. Meirieu, 1990 ; M. Fabre, 1999 ; J. Antoine, 2007). « Un problème est une question à laquelle le sujet qui y est confronté n’a pas la solution, sinon ce n’est qu’un rappel de connaissances mémorisées » (A. Dumas-Carré et M. Goffard, 1997, p. 7 et p. 53). En effet, les situations-problèmes proposées aux élèves doivent leur permettre de construire des nouveaux savoirs et pas seulement de leur faire prendre conscience de l’insuffisance de leurs connaissances pour les résoudre (M. Fabre et C. Orange, 1997 ; P. Pastré, 2007).

7Pour qu’une dynamique d’apprentissage par la résolution de problèmes fonctionne il est nécessaire que les élèves utilisent leurs savoirs initiaux pour identifier ce qui leur pose problème, proposer un diagnostic, formuler des hypothèses et les tester pour les valider ou les infirmer (J. Dewey, 2004, p. 99). Dans cette démarche de résolution de problèmes, la réflexion du sujet fonctionne en boucle jusqu’à ce qu’il trouve une solution à son problème. C’est-à-dire lorsque toutes les questions qu’il se pose ont une réponse satisfaisante pour lui. Pour résoudre son problème, le sujet sélectionne des données pour les traiter suivant certaines procédures et obtenir les conditions ou les nécessités que doivent satisfaire les solutions. Il répertorie les savoirs dont il dispose pour décider s’il doit en trouver d’autres ailleurs ou en construire. C’est dans cette activité de sélection des données et de leur traitement que le sujet manipule des savoirs et en acquiert de nouveaux. Identifier un problème c’est définir ce qui ne va pas en fonction de ses connaissances. Chercher à le résoudre c’est miser sur des solutions pour les tester en vue de les confirmer ou de les infirmer. Pour qu’il y ait apprentissage l’élève ne doit pas seulement résoudre le problème mais aussi le poser et le construire. Ce processus d’apprentissage déploie toutes les phases de la problématisation (M. Fabre, 2006).

8Contrairement à la pédagogie traditionnelle où les élèves résolvent des exercices pour s’entraîner à utiliser des notions qu’ils ont apprises ou pour être évalués (J. Antoine, 2007 ; J.-M. Boilevin, 2005), une pédagogie constructiviste relie le problème aux apprentissages. Elle nécessite donc un changement de pratique de la part des enseignants tant du point de vue pédagogique (organisation des séances et activités proposées aux élèves) que du point de vue didactique (épistémologie de la discipline et de son apprentissage) (B. Fleury et M. Fabre, 2005 ; C. Vander Borght, 2006 ; P. Briaud et A. Manceau-Bretecher, 2005).

9En questionnant les élèves, en leur répondant ou en leur donnant des consignes, les enseignants pilotent le déroulement de la situation pédagogique en se référant au fonctionnement de la classe, aux connaissances des élèves et à leurs apprentissages.

10Dans les séances que nous analysons, le problème posé aux élèves est le suivant : « Je vous donne un nombre x. Est-ce qu’on peut l’écrire comme une somme de trois nombres consécutifs (qui se suivent) ? Oui ? Non ? Pourquoi (comment le sais-tu) ? » Dans cette séance, les élèves disposent en principe de toutes les connaissances nécessaires pour répondre au problème posé. Ils ont pour objectif d’avancer des éléments de preuve et de débattre sur les arguments avancés (cf. Magali Hersant, « Analyse didactique des séances et des productions des élèves »).

11C’est l’apprentissage par les élèves de la justification des solutions qu’ils proposent et non la règle pour trouver les nombres qui s’écrivent comme la somme de trois nombres qui se suivent, qui est visé dans ces situations ouvertes.

12Dans une première partie, nous analysons dans le cadre théorique de la problématisation les tours de paroles de tous les locuteurs pour identifier les problèmes que les élèves prennent en charge. Ensuite nous discutons les résultats de cette analyse aux regards des savoirs qui sont utilisés par les différents locuteurs dans ces deux séances. Puis nous concluons sur les apprentissages des élèves.

13La problématisation est l’activité qui consiste à poser, à construire et à résoudre un problème (M. Fabre, 2006). C’est donc en recherchant ces différentes phases de la problématisation que nous analysons les interactions verbales entre les différents locuteurs au cours de ces deux situations ouvertes.

Poser et construire le problème

14Nous recherchons à travers les interactions langagières des différents locuteurs comment les deux enseignants ont permis aux élèves de poser et de construire le problème qu’ils ont à résoudre. Nous commençons par regarder comment les deux enseignants présentent le problème aux élèves.

15Catherine :

Le problème aujourd’hui, il faudra bien faire attention. Il faudra toujours justifier, dire pourquoi on fait quelque chose. Alors il ne faudra pas répondre au problème en disant seulement oui, non. D’accord ? Il faudra toujours dire oui parce que quelque chose ou alors non parce que quelque chose. D’accord ? Donc aujourd’hui, je vais vraiment vous demander de faire ça. C’est bien, à chaque fois que vous répondez à quelque chose… C’est toujours de faire des phrases en disant parce que quelque chose. D’accord ? Alors notre petit problème aujourd’hui va être… d’écrire alors écoutez bien là ça va être un petit peu compliqué au début… d’écrire des nombres, d’accord ? Comme une somme, une somme c’est comme une addition, de trois nombres qui se suivent.

16Dans ce propos, les justifications que doivent présenter les élèves à chacune de leurs réponses au problème n’apparaissent pas comme la procédure à suivre pour le résoudre mais comme le formalisme à utiliser pour y répondre.

17Sans compter que cette intervention peut être difficile à comprendre par certains élèves qui risquent de penser qu’il y a deux types de problèmes : l’un est une difficulté à justifier sa réponse (« Le problème aujourd’hui, il faudra bien, bien faire attention ») et l’autre est une question mathématique à résoudre (« Alors il ne faudra pas répondre au problème en disant seulement oui, non »). Pour eux aussi, la justification de la réponse ne fait pas partie du problème qui leur est posé.

18L’introduction par Louis avec ses élèves de CM1-CM2 est différente :

Donc vous, votre rôle il est… triple : d’abord, vous allez apprendre quelque chose. Vous savez des choses sur les nombres, vous savez faire des opérations. Et bien aujourd’hui et puis deux autres fois, mais là ce sera avec V. votre maîtresse, vous allez apprendre à résoudre un problème en utilisant ce que vous savez sur les nombres et sur les opérations. Je peux pas vous en dire plus pour l’instant, donc ça c’est… vous allez apprendre quelque chose, je l’espère en tout cas… Voilà aujourd’hui… on va… Certains nombres. Écoutez bien. Certains nombres se décomposent en une somme de trois nombres qui se suivent et d’autres pas. On va expliquer tout ça. Et bien aujourd’hui, on va apprendre à trouver ces nombres, à en trouver certains et surtout expliquer pourquoi.

19Il assure aux élèves qu’ils vont apprendre à résoudre un problème à partir de ce qu’ils savent déjà. Dans ses propos, l’enseignant incite les élèves à trouver certains nombres qui se décomposent en une somme de trois nombres qui se suivent et surtout à expliquer pourquoi. Le terme « expliquer » est vague car à quoi correspond l’explication qui est attendue ? Est-ce à : « Pourquoi certains nombres se décomposent ? », sous entendu et pas d’autres. Ou est-ce à : « Expliquer au sens de montrer que certains nombres se décomposent et d’autres pas ? »

20On voit que les consignes de départ dans les deux classes ne sont pas les mêmes. Dans la classe de Catherine, les élèves ont un problème à résoudre : écrire des nombres comme une somme de trois nombres qui se suivent. Et ils doivent justifier leur réponse. Il n’est pas certain que ces élèves aient compris que la justification de la réponse qu’ils proposent est le savoir mathématique qu’ils ont à acquérir. Dans la classe de Louis, les élèves vont apprendre à résoudre un problème, à trouver certains nombres qui se décomposent en une somme de trois nombres qui se suivent et surtout à expliquer pourquoi.

21Les présentations de l’activité aux élèves faites par les deux professeurs sont aussi différentes. On peut donc s’attendre à ce que le déroulement de ces séances le soit aussi.

22Dans cette phase d’introduction, les élèves ne sont pas sollicités pour expliciter le problème qui leur est proposé. Les deux professeurs considèrent sans doute que c’est lorsqu’ils vont faire, avec eux, l’exemple avec le nombre 15 que les élèves vont se l’approprier. Dans le cadre de la problématisation cette étape correspond aux phases de position et de construction du problème par les élèves.

23Catherine débute l’activité proposée aux élèves pour résoudre l’exemple 15 en leur rappelant la consigne : « … On essaie de l’écrire comme une somme, comme une addition de trois nombres qui se suivent. D’accord ? »

24Des élèves proposent 3x5. D’autres 5+5+5. L’enseignante demande à un élève de donner trois nombres qui se suivent. Il répond 1,2, 3. Elle lui demande combien fait leur somme. L’élève répond 6. La PE2 lui fait constater que 6 est différent de 15.

25Une élève propose à nouveau la solution 5+5+5 et d’autres élèves interviennent pour dire que ce ne sont pas des nombres qui se suivent. Ensuite des élèves disent les nombres 5, 6, 7 et d’autres enfants donnent 4, 5, 6. Des élèves et l’enseignante répètent que l’addition des nombres doit faire 15. Ensuite l’enseignante interroge une élève qui vient de proposer des nombres : « … N. m’a dit 4, 5, 6. Alors on vérifie, on vérifie les deux choses : est-ce que c’est des nombres qui se suivent ? ». Des élèves répondent « oui » et la PE2 demande : « Oui. Et est-ce que la somme ça fait bien 15 ? » Des élèves disent « oui ».

26Ensuite l’enseignante fait faire le calcul à N. et valide sa réponse : « Bon alors maintenant, on a vu que les nombres se suivent bien, d’accord il faut bien que les nombres se suivent, et en plus, il faut absolument que la somme ça fasse 15. » Un peu plus tard, en questionnant les élèves elle s’assurera qu’ils ont compris la consigne et la leur reformulera : « Oui parce que, non parce que… d’accord ? Tout le temps. Allez on y va. »

27Pour présenter l’activité, Louis précise aux élèves : « 15 se décompose en la somme de trois nombres qui se suivent. » C’est donc sa décomposition qu’ils doivent trouver. Certains d’entre eux proposent des solutions plus ou moins correctes. L’enseignant les questionne à plusieurs reprises pour qu’ils évaluent eux-mêmes leurs réponses : « Est-ce que 15 se décompose en la somme de ces trois nombres-là (5, 10, 15) ? » ; « Et avec un signe somme (pour : 3x5) ? » ; « Est-ce que 5, 5, 5 se suivent ? ». Tout comme c’est lui qui réfute la proposition d’un élève avec des nombres qui ne se suivent pas (5+8+2).

28Ensuite des élèves donnent une solution et l’enseignant les aide à la valider en les questionnant : « 4, 5, 6 pourquoi ? » Les élèves répondent : « Bien parce que 4+5 ça fait 9, plus 6 et bien ça fait 15 » et Louis leur demande alors : « Donc ça fait 15. Et est-ce que 4, 5, 6 se suivent ? » Les élèves disent « oui » et l’enseignant conclut : « Oui bien voilà pour 15 on a réussi… à le décomposer en une somme de trois nombres qui se suivent ». Un élève dit alors avoir compris : « Ah c’est ça qu’on va faire ? »

29Dans le tableau 1 ci-dessous nous donnons les conclusions que les deux enseignants ont proposées aux élèves pour terminer l’exemple 15 :

30Dans sa conclusion, Louis met plutôt en avant la réussite de la décomposition du nombre 15 en trois nombres qui se suivent. Alors que Catherine insiste plus sur la nécessité d’avoir les deux conditions : des nombres qui se suivent et leur somme qui est égale au nombre du départ.

31Dans cette phase d’appropriation du problème posé le travail a été réalisé collectivement. Plusieurs élèves de chacune des deux classes ont participé. Ils ont cherché à décomposer le nombre 15 en trois nombres qui se suivent. Mais ce sont principalement les deux enseignants qui ont pris en charge les phases de justifications de la réponse en questionnant les élèves. Seuls certains d’entre eux dans la classe de Catherine, ont pris l’initiative de réfuter quelques réponses.

32Cependant la plupart des élèves, dans les deux classes, semblent avoir compris, au moins en partie, le problème qui leur est posé.

Résoudre le problème posé

33Les deux séances se poursuivent par l’étude de trois autres nombres donnés par les professeurs. Les deux premiers (96 et 36) se décomposent en une somme de trois nombres qui se suivent. Les élèves les traitent d’abord individuellement puis ils discutent leur solution en classe entière. Le troisième nombre (46) ne se décompose pas. Il est traité d’abord en classe entière puis par les élèves en groupe de trois. Nous y reviendrons après avoir présenté le travail des élèves sur les nombres 96 et 36.

34Pour ces nombres, Louis inscrit au tableau la consigne de travail : « 96 peut-il se décomposer en la somme de trois nombres qui se suivent ? Oui. Non. Pourquoi ? 46 ? » Et il rappelle ce qui est attendu : « On vous pose une question, vous avez une réponse oui ou non. Et surtout pourquoi ? »

35Après un certain temps, l’enseignant demande à une élève qu’elle dise tout haut sa question :

Élève non identifiée : C’est obligé que ce soit possible ?
Louis : C’est obligé que ce soit possible ? Bon, là c’était possible. Si je vous pose une question avec oui ou non ça veut dire que c’est possible ou ce n’est pas possible. En tout cas, ce qui va être intéressant c’est de… trouver si c’est possible ou pas et surtout pourquoi ? Hein… comme tout à l’heure on avait dit que c’était possible puis on s’est dit mais non en fait on s’est trompé c’est pas ces nombres-là. Mais à la fin, on a trouvé que c’était possible et on a démontré pourquoi. Bien là c’est ce qu’on va faire.

36Cette élève pose une bonne question : tous les nombres sont-ils décomposables par trois nombres qui se suivent ? Sa remarque montre qu’elle n’a pas encore construit le problème qu’ils ont à traiter. Puisque c’est la justification de leur réponse qui est attendue des élèves et pas seulement le résultat d’un calcul, comme le répète ensuite l’enseignant à plusieurs reprises à toute la classe pendant le travail individuel des élèves et au début de la mise en commun. Les élèves de la classe de Catherine n’ont pas posé cette question. Il semble donc que leur travail était plutôt focalisé sur la justification de leur résultat que sur son calcul.

37Un premier élève propose une réponse au reste de la classe « 31+32+33 égal 96 ». Louis dit qu’il n’a pas répondu à la question posée. L’élève dit que « oui ». Sa discussion avec l’enseignant (« Pourquoi t’as réussi ? ») montre que pour lui c’est le résultat seul qui compte : « Bien parce que j’ai fait le calcul. » Le professeur essaie de lui en faire dire plus : « Tu as juste, tu as raison. Nous, on veut comprendre vraiment, on veut que tu démontres que c’est juste. Pourquoi tu as pris 31, 32 et 33 ? » Mais ce sont deux autres élèves qui répondent : « Parce que ça se suit. » L’enseignant conclut alors cet échange sur la décomposition du nombre 96 : « Tu es d’accord et comme tu as expliqué la somme fait 96 ».

38Au cours de cette phase du travail des élèves, on voit que certains d’entre eux se sont appropriés entièrement le problème, d’autres savent trouver la solution mais pas la justifier. D’autres encore ne participent pas ou peu.

39Un second nombre a été donné à une élève qui ne trouvait pas de solution pour 96. L’enseignant lui demande de venir au tableau : « Je t’en ai donné un plus petit. Est-ce que tu veux expliquer. Il marche aussi celui-ci. Il peut se décomposer en la somme de trois nombres qui se suivent. Est-ce que tu peux nous expliquer pourquoi ? » L’élève se déplace au tableau. Elle écrit et dit : « 11+12+13 = 36 ». Ensuite c’est l’enseignant qui la questionne étape par étape, pour qu’elle justifie sa réponse :

Louis : Est-ce que 36 peut se décomposer en la somme de trois nombres qui se suivent ?
Élève A : Bien oui.
Louis : Oui. Pourquoi ?
Élève A : Ça fait 3 à la suite.
Louis : Lesquels sont à la suite ?
Élève A : Bien 11, 12, 13.
Louis : 11, 12, 13 se suivent et…
Élève A : ça fait 36.
Louis : Leur somme fait 36.

40Ce passage montre que cette élève a su résoudre le problème posé mais qu’elle ne prend pas en charge la tâche de justification. Nous ne pouvons dire si elle réagit ainsi parce qu’elle n’a pas compris la nature de la tâche ou parce qu’elle fait « son métier d’élève » et qu’elle ne répond qu’aux questions de l’enseignant (P. Perrenoud, 1996).

41Regardons maintenant la séance que conduit Catherine. Après avoir noté au tableau les nombres 96 et 46, elle précise aux élèves qu’ils doivent commencer par 96. Ils cherchent individuellement sur une feuille de brouillon puis l’enseignante envoie une élève au tableau. Celle-ci donne une réponse fausse « 11, 12 et 13 » car elle a cherché la solution pour le nombre 36 comme le lui avait demandé l’enseignante. Cette dernière ne s’en souvient pas semble-t-il puisqu’elle considère que « pour l’instant, la réponse de (élève S3) on a vu que ça marche pas ».

42Un autre élève va au tableau et répond : « 31+32+32 ». Les remarques d’autres élèves et de l’enseignante l’amènent à rectifier sa réponse. L’enseignante le questionne :

Alors est-ce que c’est bien des nombres qui se suivent ?
Oui. Est-ce que la somme fait bien 96 ?

43Comme l’élève n’a pas répondu à la dernière question, elle lui fait calculer la somme des trois nombres. Il ajoute les dizaines mais il ne fait pas le calcul en entier. L’enseignante s’adresse donc à un autre élève pour terminer le calcul. Elle demande ensuite à une élève ce qu’il faut faire pour conclure : « Comment on va l’organiser [notre solution] ? » L’élève répond : « 96… 31+32+33 ». Et Catherine reprend : « Voilà. Donc oui, on peut l’écrire parce que ? » Les élèves répondent : « Les nombres se suivent […] ».

44Ensuite la PE2 questionne les élèves pour savoir qui a fait le problème avec le nombre 36. Un élève se désigne, va au tableau et ne donne pas de réponse. Il ne semble pas avoir fait cette décomposition. Ou bien, s’il l’a faite il ne l’a pas rédigée sur sa feuille. Dans le brouhaha, des élèves proposent une solution « 11, 12, 13 ». L’enseignante demande à un élève si ces nombres se suivent et c’est un autre qui lui répond. Ensuite elle leur demande, en susurrant un début de réponse fausse, de faire la somme de ces nombres. Ce qui doit induire les élèves en erreur puisqu’ils répondent 45 ou 46. Finalement la réponse correcte est donnée. En même temps, l’élève du début propose aussi sa solution. Catherine le questionne et demande aux autres élèves d’écouter. Il donne une réponse correcte car il a additionné les 3 nombres et a précisé « ils se suivent ». L’enseignante reprend : « D’accord on a bien la somme et on a bien qui se suivent ».

45Nous donnons dans le tableau 2 ci-dessous les conclusions proposées aux élèves par les deux enseignants pour les nombres 96 et 36 :

46Pour ces deux nombres les conclusions retenues par les deux enseignants sont semblables et indiquent clairement aux élèves la forme de la réponse qui est attendue.

47Les échanges entre les différents locuteurs (enseignant, élèves) montrent que dans le cas des nombres qui se décomposent, les élèves se sont appropriés le problème. Ils savent trouver les trois nombres qui se suivent et faire leur somme. Cependant, lorsqu’ils présentent leur réponse, ils donnent spontanément le résultat du calcul mais ils ne précisent pas sa justification. Ils le font à la demande des enseignants. On note toutefois qu’un plus grand nombre d’élèves dans la classe de Catherine prend en charge toute la solution du problème posé.

48Nous analysons maintenant le travail réalisé par les élèves avec le nombre 46 qu’on ne peut pas décomposer en trois nombres qui se suivent.

49Dans sa classe, Louis demande aux élèves ce qu’ils ont trouvé pour le nombre 46. Un élève va au tableau et écrit sa solution : « 14+15+16 = 45 ». Des élèves font remarquer que c’est 46 que l’on doit trouver. Le maître-formateur questionne donc l’élève : « Tu fais 45 et moi je t’ai demandé 46. ». Celui-ci répond : « oui c’est le plus proche de 46 qu’on peut trouver… en… nombres qui se suivent. »

50L’enseignant demande ensuite à la classe s’il y a une autre solution. Un élève propose trois nombres qui se suivent. Mais il s’est trompé car leur somme fait « 66 ». Louis lui fait remarquer que ce n’est pas grave puisqu’il a trouvé un autre nombre que l’on peut décomposer en la somme de trois nombres qui se suivent. Ensuite il rappelle que, d’après le premier élève, le nombre 46 ne marche pas et il questionne les élèves pour savoir si « certains ont trouvé que 46 marchait ou ne marchait pas » et « s’ils ont une autre raison que celle écrite au tableau ? ». Le premier élève complète sa réponse : « C’est le plus proche… après c’est 48. »

51L’enseignant propose alors aux élèves de travailler en groupe : « Ce que je vais vous proposer là, pour réfléchir un petit peu. Je vais vous donner une feuille par groupe et vous allez essayer de trouver la réponse. C’est-à-dire 46. Est-ce qu’il peut se décomposer en une somme de trois nombres qui se suivent ? Oui ou non ? Et pourquoi ? ». Et il résume les solutions trouvées par les élèves pour les nombres précédents : « Avec 96 ça va vite. Avec 36 ça va vite. Avec 66 ç’aurait été vite. Avec 15 ça va vite. Avec 46… on n’a pas 46. » Puis peu après il précise encore : « Alors je réécris. Le petit problème, c’est 46. Aucun élève n’a trouvé que c’était oui. Donc si c’est non, pourquoi ? »

52Pendant ce temps, les élèves sont en groupe pour se mettre d’accord sur une réponse et la rédiger sur une affiche pour la présenter au reste de la classe.

53Au début de la mise en commun des travaux de groupe, un élève expose la solution de son groupe : « On a fait 15+15+16. On a fait avec 46 parce que c’est dur à trouver. » La solution qu’il a présentée n’est pas recevable car les nombres ne se suivent pas. Louis lui demande : « Pourquoi as-tu pris 15, 15 et 16 ? » L’élève lui répond : « Parce que c’est des nombres qui se suivent pas. » Les autres élèves de la classe ne contestent pas ces propos. Et c’est l’enseignant qui fait un commentaire pour valider cette réponse : « C’est non quand même. Ca c’est bien de l’avoir écrit. Et votre raison c’est parce qu’on trouve 46 avec ces nombres-là et pas par trois nombres qui se suivent. »

54Il est étonnant que l’enseignant retienne cette raison sans y revenir par la suite car elle n’est pas recevable comme justification du résultat proposé. En effet tous les nombres peuvent se décomposer en la somme de trois nombres quelconques même ceux pour lesquels on peut trouver trois nombres qui se suivent.

55Ensuite, d’autres groupes viennent exposer leur solution. Tous répondent que c’est impossible et donnent tous les mêmes raisons : « En fait on ne peut pas faire 46 parce que si on fait 15+16+17 et bien ça fait 48. Si on fait 14+15+16 ça fait 45. Donc c’est soit trop petit ou c’est soit trop grand. »

56Finalement Louis conclut le travail en groupe et leur présentation collective par : « En fait pour 45 et 48, si je vous avais donné 45 ça marchait, si je vous avais donné 48, ça aurait marché. Par contre 46 on ne peut pas. »

57Puis il questionne l’élève qui a proposé la procédure permettant de trouver les nombres qui se décomposent en trois nombres qui se suivent : « Donc, toi, ta raison ce serait que ça marche si le nombre que l’on trouve il peut se diviser par trois ? » Et il termine la séance en privilégiant le dialogue avec cet élève pour faire chercher à la classe si des nombres se divisent ou non par 3. Pour certains de ces nombres, les élèves doivent aussi vérifier s’ils se décomposent en 3 nombres qui se suivent.

58Dans sa classe, Catherine résume les réponses données par les élèves : « Bon, on a trouvé pour 96. Notre réponse était oui. On a trouvé pour 36. Notre réponse était oui », puis les questionne : « On va essayer de trouver pour 46. Qui a cherché pour 46 ? »

59Un élève répond et propose les nombres « 17, 18, 19 ». Des élèves font remarquer : « C’est pas bon, c’est trop. » L’enseignante demande à l’élève si ces nombres se suivent. Il confirme que les nombres se suivent et s’aperçoit de son erreur. Il propose alors 15+16+17. L’enseignante s’assure auprès des élèves que les nombres se suivent et elle guide l’élève au tableau pour lui faire faire l’addition : « Maintenant on va essayer de faire l’addition, d’accord ? On additionne les unités d’abord. » L’élève arrive au résultat 48. Pendant ce temps d’autres élèves ont proposé la solution « 14, 15 et 16 ». L’enseignante leur demande de les ajouter. Et une élève répond : « ça fait 45 ».

60Des élèves commencent à dire que l’on ne peut pas y arriver pour 46. Certains pensent que c’est parce que c’est un nombre impair. L’enseignante propose donc à la classe de travailler en groupe : « Alors on a plusieurs solutions. Ce que je vous propose. On va essayer de rechercher pour le nombre 46, là qui nous pose problème. On va se mettre par groupe de 3. Je vais vous donner une petite affiche, d’accord ? Et vous allez donner votre solution pour le nombre 46. Ce que vous en pensez. »

61Après le travail de groupe, au début de la mise en commun de leur travail, l’enseignante fait préciser aux élèves ce que c’est que résoudre un problème : « Ce qui compte c’est d’expliquer. Alors comme je vous ai dit résoudre un problème c’est… Ce n’est pas seulement dire oui non, mais c’est aussi d’autre ? Élève A. ? » L’élève ne sait pas répondre et c’est un autre qui le fait à sa place : « Il faut une question », « parce que ». L’enseignante valide cette réponse.

62Le premier groupe pense que 46 est un nombre impair et c’est la raison pour laquelle il ne peut être décomposé en la somme de 3 nombres qui se suivent. Il s’ensuit une discussion sur les nombres impairs. L’enseignante se trompe : « Un nombre impair… c’est… Un nombre qu’on peut diviser par 2. D’accord ? Et en général et enfin même tout le temps ça se termine par 0, 2, 4, 6… ». Plus tard, elle rectifie son erreur sans s’en rendre compte : « Exactement. 46 c’est un nombre pair. D’accord ? » Cet incident a peut-être mis de la confusion dans le raisonnement de certains élèves car, à de nombreuses reprises, ils ont discuté pour savoir si tel nombre ou tel autre était pair ou impair. C’est alors qu’une élève rappelle la consigne pour contester que pair ou impair soit la raison pour laquelle 46 ne se décompose pas : « C’est pas pareil parce que là on doit faire trois nombres à la suite », « Comme 16, 17, 18 ».

63L’enseignante alors, met fin à cette discussion et rappelle le problème posé : « 46 est un nombre impossible. Oui mais pourquoi ? Parce que moi ce qui m’intéresse ce n’est pas qu’on me dise non ou oui. C’est ce que j’ai dit tout à l’heure. Je veux savoir pourquoi. » Un groupe propose une solution : « On peut pas car les nombres se suivent pas. Exemple… », « 15+16+17 est égale 48 », « ce nombre est trop grand », « 14+15+16 est égale à 45 », « Ce nombre est trop petit. »

64L’enseignante demande si des élèves ont des questions. Une élève dit que la réponse n’est pas bonne car elles n’ont pas dit « non parce que ». Cette élève avait été questionnée auparavant par l’enseignante sur la forme que devait avoir la réponse. Il avait alors été convenu que l’on devait justifier sa réponse par « parce que ». Ce que l’élève rappelle ici.

65Ensuite, un élève reparle de pair ou impair. Finalement une élève dit : « Parce qu’en fait, le nombre il est soit trop petit soit trop grand. » L’enseignante valide cette réponse et fait passer un autre groupe qui propose la même solution. Un élève dit encore que c’est un nombre impair. Et l’enseignante demande à un élève si cela joue un rôle : « Ça marche pas parce qu’on l’avait déjà fait… 36 déjà c’est un nombre impair et il marche. » L’enseignante rectifie ses dires : « D’accord, alors c’est pas impair. On a vu que c’était pair, 36 c’était pair, ça se finit par 6, oui ? Et comme c’est pair 46 est pair, d’accord ? 36 et 46. Alors que 36 il marche. »

66Plusieurs groupes ont justifié leur réponse par le fait que 46 est « un nombre impair ». La discussion porte donc, encore, sur le fait de savoir si 46 est pair ou impair et si cela joue un rôle ou pas. Certains élèves donnent de bons arguments : « Pourquoi on a réussi avec 15 alors ? » car « C’est impair. »

67Finalement, à la question de l’enseignante « Alors de dire c’est pair ou impair qu’est-ce que ça nous permet ? », c’est une élève qui répond « ça change rien si on fait, si c’est impair ou pair ». La PE2 en profite pour mettre en avant l’autre réponse proposée par un groupe : « Cette affiche qui disait : non parce que 15+16+17 ça fait 48, un petit peu trop grand… 14+15+16 ça fait 45 c’est un petit peu trop petit. Alors est-ce qu’on peut trouver quelque chose pour 46 ? »

68Certains élèves n’adhèrent pas à cette conclusion car ils n’ont pas construit le problème et comme ils veulent, nous semble-t-il, absolument trouver un résultat ils proposent de justifier par « les nombres ne se suivent pas » ou par « une multiplication plus une soustraction ». L’enseignante refuse ces réponses et propose encore la conclusion précédente. Une élève confirme alors par : « C’est impossible c’est tout. »

69Pour conclure ce travail, Catherine a écrit au tableau, avec la participation d’élèves, une conclusion assez détaillée qui reprend les justifications utilisées pour les nombres précédents (somme de nombres qui se suivent) et donne les raisons pour lesquelles on ne peut pas décomposer le nombre 46 (cf. Magali Hersant, « Analyse didactique des séances et des productions des élèves »). Puis elle termine la séance sur le travail que les élèves feront la semaine d’après avec leur enseignant, Louis.

70Dans le tableau 3 ci-dessous nous avons reporté les conclusions proposées à leur classe par les deux enseignants. Ces conclusions diffèrent. Louis a noté que 48 et 45 peuvent être décomposés en trois nombres qui se suivent mais pas 46. Il n’a pas détaillé la décomposition de ces deux nombres pour montrer qu’il n’y a pas de solution pour 46. Il ne justifie donc pas cette impossibilité. Ensuite il rappelle la procédure proposée par un élève pour trouver les nombres qui se décomposent en la somme de trois nombres qui se suivent. Comme nous l’avons dit précédemment sa séance s’est terminée par la recherche de nombres qui se décomposent ou pas. À la fin, il leur indique qu’ils vont poursuivre ce travail avec leur enseignante.

71La conclusion écrite collectivement dans la classe de Catherine précise qu’on ne peut pas trouver une décomposition pour le nombre 46 et donne la justification. Il est regrettable que, pour conclure, l’enseignante dise « pour 46 il n’y a pas de réponse possible » car ce n’est pas un résultat positif à la décomposition des nombres qui est la réponse attendue du problème mais la justification du résultat d’un calcul. Que celui-ci soit égal ou pas au nombre initial.

72Dans le cadre de la problématisation, nous avons cherché à qualifier les phases de position, de construction et de résolution du problème par les élèves. Notre analyse montre que, dans les deux classes, des élèves ont construit le problème qui leur était posé et ont proposé des solutions. Leur travail en classe montre qu’ils ont su dire si un nombre peut se décomposer en trois nombres qui se suivent et justifier leur réponse. Cependant, il apparaît dans notre étude que Catherine a davantage fait travailler ses élèves sur la justification de leur réponse, comme il était dit dans la consigne de départ, que ne l’a fait Louis.

73En vue de conforter ce résultat de notre analyse, nous avons répertorié dans le tableau 4 ci-dessous, le numéro des tours de paroles qui utilisent les termes propres à la résolution du problème. Ce recensement des tours de parole des différents locuteurs nous permet de mesurer la part de prise en charge de la résolution du problème par les enseignants et par les élèves dans les deux séances.

74On remarque que, dans les deux séances, ce sont exclusivement les enseignants qui utilisent les termes de la consigne (somme de trois nombres qui se suivent) pour répondre au problème posé. Louis y fait cinq fois plus référence que Catherine. En revanche, elle pose l’addition de trois nombres qui se suivent, dix fois plus que Louis et presque autant de fois que ses élèves (15 fois pour eux et 20 fois pour elle). C’est dans sa classe que ceux-ci participent le plus et que l’interaction professeur élèves se produit le plus (cf. « Présentation du corpus » en ce qui concerne le nombre de tours de parole dans les deux classes). Ce sont aussi ses élèves qui ont le plus répondu au problème en « posant l’addition de trois nombres qui se suivent » (15 fois pour les élèves de Catherine et 12 fois pour ceux de Louis) et en utilisant les expressions « trois nombres qui se suivent » ou « se suivent » (39 fois pour les élèves de Catherine et 12 fois pour ceux de Louis), pour justifier leur réponse.

Tableau 4 : Tours de paroles qui utilisent les termes propres à la résolution du problème

75Catherine utilise dix-huit fois les termes « somme ou addition » (Louis sept fois) pour inviter les élèvent à ajouter les nombres qu’ils proposent. Elle emploie deux fois le mot « unité » et quatre fois « dizaine » pour aider des élèves à faire un calcul : « Élève A, on fait les unités 1+2 ». Cette façon de procéder avec les élèves les encourage à prendre la parole pour justifier leur réponse.

76Louis le fait peu, seulement six fois, car comme il l’a dit dans sa présentation de l’activité, il considère que les élèves de CM maîtrisent les savoirs en mathématiques dont ils ont besoin pour résoudre ce problème. Ce qui ne semble pas les aider à prendre en charge toute la solution au problème posé car ils justifient peu leur réponse.

77Nous rappelons que l’objectif des séances que nous analysons est d’apprendre aux élèves à donner la preuve des réponses avancées et non pas à trouver la procédure pour calculer les nombres que l’on peut écrire comme la somme de trois nombres qui se suivent.

78Le problème posé aux élèves dans une pédagogie constructiviste doit leur permettre de construire des savoirs et pas seulement d’utiliser leurs connaissances pour le résoudre. L’organisation des activités dans les situations ouvertes (travail en individuel, par petit groupe puis en classe entière) favorise les échanges langagiers entre les élèves et parfois avec l’enseignant, pour leur permettre d’apprendre des savoirs problématisés (Orange, 2005).

79Le travail en groupe était prévu pour faire échanger les élèves à partir de leurs réflexions personnelles sur le nombre 46. Dans les deux séances, les enseignants ont pris connaissance de ces réflexions avant le travail de groupe. Ils disposaient donc d’éléments leur permettant de composer les groupes de manière non aléatoire.

80Bien que nous ne connaissions pas les critères qu’utilise Catherine pour faire les groupes, il nous semble qu’elle le fait en tenant compte du travail des élèves et des réponses qu’ils ont proposées : « Si j’ai décidé de faire ça, c’est parce que je pense que vous allez mieux travailler ensemble si vous êtes untel avec untel qu’autrement. D’accord ? » Tandis que Louis constitue les groupes en tenant compte de la proximité spatiale des élèves et non de leur travail personnel : « Par contre au niveau des groupes… Allez voilà un groupe, hop, viens. Allez, hop, ici là les gars… un groupe ici. » Il donne donc peu d’importance aux conflits sociocognitifs attendus de l’activité de groupe.

81Dans les deux séances, la réponse pour 46 est apparemment consensuelle, le travail de groupe consiste donc à justifier cette réponse pour la communiquer au reste de la classe. La mise en commun fait apparaître des solutions différentes que les élèves discutent et que nous donnons dans le tableau 5 ci-dessous.

Tableau 5 : Justifications proposées par des élèves pour 46

82Ces deux tableaux montrent que la justification « on trouve un nombre soit plus petit soit plus grand que 46 » a été proposée dans les deux classes. Mais seule Catherine l’institutionnalise. Et c’est dans sa classe que certains élèves font référence à la consigne de travail en exigeant que les solutions contiennent le terme « non parce que ». La solution « divisible par trois » a été évoquée dans les deux classes. Mais seul Louis a fait travailler les élèves sur ce résultat. La solution « nombre pair versus nombre impair » a été proposée, discutée et réfutée dans la classe de Catherine. Dans l’autre classe un seul élève fait référence à « nombre impair » à la fin de la séance lorsque les élèves cherchent les nombres que l’on peut décomposer.

83C’est dans la classe de Catherine que les élèves prennent le plus en charge la totalité de la réponse, somme et justification, au problème posé. Ils réfutent ou valident certaines des réponses des autres élèves et participent à l’institutionnalisation des conclusions.

84Dans les deux classes, ce sont souvent les mêmes élèves qui participent. Ce qui indique qu’ils ne suivent pas tous, que certains ont des difficultés et que d’autres ont pu décrocher pour diverses raisons. Des élèves ont produit les mêmes erreurs. Ils ont donné par exemple, les nombres « 5, 5, 5 » pour le nombre 15 ou des nombres qui se suivent par dizaine : « 10, 20, 30 ». Ces erreurs sont peu nombreuses et apparaissent surtout au début des séances. Elles ont été relevées par les deux enseignants et rectifiées par les élèves. L’atténuation du nombre de ces erreurs au cours de la séance indique que, dans l’ensemble, les élèves se sont appropriés le problème.

85La confusion entre le nombre à décomposer (46) et la suite (46, 47, 48) s’est produite dans les deux classes mais elle a été ignorée par les deux enseignants. On y voit une limite au travail en situation ouverte. Lorsque la réponse d’un élève n’est pas celle attendue l’enseignant peut ne pas savoir l’interpréter pour réguler l’apprentissage. Mais ce peut-être aussi un indicateur de sa posture épistémologique de l’apprentissage. En effet dans une pédagogie traditionnelle les enseignants questionnent les élèves et relèvent seulement leurs bonnes réponses pour faire avancer la séance (M. Develay, 1994). Au contraire dans une pédagogie constructiviste les enseignants font expliciter leurs erreurs aux élèves pour leur permettre de construire les savoirs à acquérir (J.P. Astolfi, 1997, p. 15).

86L’organisation des séances et l’apprentissage visé appartiennent à une épistémologie socioconstructiviste des mathématiques et de leur apprentissage. Dans cette pédagogie les élèves sont confrontés aux savoirs à travers des activités que l’enseignant organise et anime tout en se mettant en retrait. L’enregistrement audio des séances montre que les enseignants questionnent les élèves de manière quasi systématique, sauf pendant le temps, relativement court, où ils travaillent en petits groupes pour réaliser leurs affiches. Notre étude dans le cadre de la problématisation, montre une différence entre la conduite de ces séances par les deux enseignants. La pratique de Catherine se situant plutôt du côté socioconstructiviste dans le modèle d’une situation pédagogique tandis que celle de Louis est plutôt du côté de la transmission. Toutefois, le déroulement de ces deux séances a permis aux élèves de résoudre en partie le problème qui leur était posé. Mais ce sont les élèves de la classe de Catherine qui ont le mieux problématisé les savoirs à acquérir.

87Les différences de conduite de classe entre ces deux enseignants ont aussi été pointées par une analyse de la gestion d’un point de vue pédagogique et didactique de la conduite de la séance (P. Briaud, 2006) et dans une analyse didactique des interventions des deux enseignants (M. Hersant, 2005 et M. Hersant, 2008).

88Dans les deux séances analysées, les enseignants ont fait travailler les élèves suivant le protocole proposé par le chercheur. Le déroulement des deux séances est assez similaire : les élèves travaillent individuellement, en petits groupes ou en classe entière suivant l’activité proposée par l’enseignant. Ils participent aux débats, parfois spontanément, mais le plus souvent en répondant aux demandes et aux questions de l’enseignant. Ils s’adressent peu d’un élève à l’autre, toutefois ce fait augmente au cours de la séance lorsque les élèves prennent en charge la résolution du problème.

89Cependant, on remarque une différence entre les conduites de la classe par ces deux enseignants. Catherine limite le travail des élèves de sa classe à la consigne de départ. Elle s’attache à favoriser la prise de parole des élèves pour qu’ils traitent le problème posé en les amenant à justifier les réponses qu’ils proposent c’est-à-dire en leur faisant préciser le résultat de leur calcul et la condition sur les nombres qu’ils ont utilisés pour effectuer ce calcul. Par cette démarche elle a su amener des élèves à problématiser car ils justifiaient d’eux-mêmes leur résultat et, ou savaient critiquer ceux proposés par d’autres élèves.

90Louis a fait travailler ses élèves dans les mêmes conditions et de manière quasi similaire. Toutefois par rapport à Catherine, il les a moins fait expliquer leur démarche de résolution du problème et s’est moins attaché à leur faire justifier les résultats qu’ils proposaient notamment pour le nombre 46 qui ne s’écrit pas comme la somme de trois nombres qui se suivent. Il a terminé sa séance en demandant aux élèves si tel ou tel nombre se divise par trois en privilégiant la discussion avec l’élève qui a trouvé la règle pour déterminer les nombres qui vérifient P.

91Les différences pointées par notre étude, entre le déroulement des deux séances et l’apprentissage des élèves, révèlent une différence entre l’épistémologie de ces deux enseignants sur les mathématiques, leur enseignement et leur apprentissage, leur rapport aux savoirs (B. Charlot, 1997, p. 93) scolaires et professionnels, plutôt qu’elles ne s’expliquent par une différence d’expérience professionnelle entre eux. Car étant donné la complexité pour gérer des situations ouvertes, a fortiori dans des classes de ZEP, et l’inexpérience de Catherine comparée à celle de Louis, notre analyse aurait dû conduire à une conclusion opposée.

92Les conditions de réalisation de cette recherche (cycle 3 dans une classe et CM1-CM2 dans l’autre, rapport entre le formateur titulaire d’une des classes et la formée) influencent certainement le déroulement des séances et n’ont pas été prises en compte dans notre travail.

93Des confrontations avec des résultats d’autres analyses de ce corpus ainsi que des entretiens d’auto-confrontation effectués avec ces enseignants et une chercheuse en didactique des mathématiques, réalisées avec des cadres théoriques différents compléteraient cette étude.