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Le contrat didactique et l’organisation de la rencontre des élèves avec le savoir

p. 89-110


Texte intégral

1Ce chapitre constitue une étude didactique de la façon dont l’enseignant organise la rencontre des élèves avec le savoir tout au long de la séance : comment avance le savoir dans la classe ? Comment cette avancée est-elle organisée par l’enseignant ? Qui, du professeur ou des élèves, y participe effectivement ? Chez l’enseignant, quels facteurs déterminent cette organisation ? Ce questionnement nous conduit à analyser les pratiques des enseignants à partir de l’étude, à un niveau micro, des contrats didactiques (G. Brousseau, 1998 ; M. Hersant, 2004) successivement mis en place dans chacune des séances. En effet, nous postulons que, pour un savoir donné, ces contrats caractérisent certains aspects de la pratique d’un enseignant et permettent d’interroger son impact sur les apprentissages des élèves.

2Par ailleurs, le contexte de la recherche nous amène à formuler l’hypothèse suivante sur laquelle nous reviendrons en conclusion : pour un enseignant du premier degré, polyvalent, la capacité à mettre en place un problème pour chercher dépend plus de sa conception des mathématiques et de leur apprentissage, c’est-à-dire de ce que nous appelons son épistémologie, que de son expérience d’enseignement. En effet, les problèmes pour chercher sont des situations singulières qui convoquent des savoirs sur la preuve (cf. Magali Hersant, « Analyse didactique des séances et des productions des élèves ») étroitement liés aux pratiques mathématiques et requièrent un contrat didactique spécifique.

Quelques rappels à propos de contrat didactique

3La notion de contrat didactique trouve son origine dans les années 1980, quand G. Brousseau cherche à expliquer des échecs électifs en mathématiques, c’est-à-dire les cas d’« enfants qui ne réussissent pas bien en mathématiques mais qui ne sont pas mauvais dans les autres disciplines » (G. Brousseau, 1980, p. 179). En 1986, G. Brousseau formule la définition « classique » de cette notion (G. Brousseau, 1998, p. 61) :

Le maître doit donc effectuer non la communication d’une connaissance, mais la dévolution du bon problème […]. Alors se noue une relation qui détermine – explicitement pour une petite part, mais surtout implicitement – ce que chaque partenaire, l’enseignant et l’enseigné, a la responsabilité de gérer et dont il sera d’une manière ou d’une autre, responsable devant l’autre. Ce système d’obligations réciproques ressemble à un contrat. Ce qui nous intéresse ici, c’est la part de ce contrat qui est spécifique du « contenu » : la connaissance mathématique visée.

4Notons que ce contrat correspond à un faux contrat dans la mesure où, le plus souvent, les attentes réciproques ne sont pas explicites. De plus, comme il est didactique, c’est-à-dire en partie spécifique des connaissances enseignées, il évolue au cours de l’enseignement avec le statut didactique du savoir.

5Cette notion de contrat didactique a été utilisée de façon féconde entre 1980 et 1995 pour décrire et comprendre dans le cadre de la théorie des situations didactiques des phénomènes d’enseignement-apprentissage des mathématiques en lien étroit avec les notions de dévolution et de milieu1 (G. Brousseau, 1998). Puis, lors de la 8e École d’été de didactique des mathématiques, G. Brousseau distingue différents types de contrats, qu’il nomme « stratégies didactiques », caractérisés par la répartition des responsabilités entre le système enseignant et le système enseigné (G. Brousseau, 1996). Dans les contrats les plus faiblement didactiques, l’émetteur engage très peu de responsabilités vis-à-vis du récepteur et dans les contrats les plus fortement didactiques, le système enseignant doit rendre compte des apprentissages du système enseigné. Mais que signifie ici « répartition des responsabilités » ? Dans la théorie des situations didactiques, la connaissance se manifeste par les prises de décision spécifiques de la connaissance à maîtriser. Dans ce contexte, l’expression « répartition des responsabilités » entre le professeur et les élèves est donc à comprendre comme la répartition entre ce que l’enseignant assume quant aux décisions mathématiques et ce qu’il laisse à la charge de l’élève. Ainsi, étudier la répartition des responsabilités par rapport aux connaissances mathématiques entre le professeur et les élèves consiste à étudier la part du travail mathématique que l’enseignant laisse à la charge des élèves pour leur permettre de construire, en confrontation avec la situation, leurs connaissances mathématiques.

6La caractérisation des contrats proposée par G. Brousseau s’effectue à un niveau de granularité assez gros. Or, au cours d’une séance, la répartition des responsabilités subit des ajustements fréquents qui permettent à l’enseignant de réguler et maintenir la relation didactique. Par exemple lorsque les élèves restent muets face à ses questions, pour maintenir la relation didactique, le professeur peut assumer une partie de la décision mathématique à prendre. Par ailleurs, la réparation des responsabilités entre le professeur et les élèves correspond à certaines clauses du contrat didactique : en tant qu’élève, qu’attend de moi le professeur pour ce problème de mathématiques en ce moment ? Que prend-il en charge dans la résolution de ce problème ? Nous avons donc précisé la notion de contrat didactique en distinguant quatre composantes du contrat utiles à l’étude des pratiques enseignantes (M.-J. Perrin-Glorian et M. Hersant, 2003, p. 238) :

Les deux premières sont liées au savoir en jeu : le domaine mathématique, le statut didactique du savoir, la troisième composante est liée à la nature et aux caractéristiques de la situation didactique en cours, la dernière à la répartition entre le professeur et les élèves des responsabilités relatives au savoir.

7Le domaine mathématique est par exemple l’algèbre. Le statut didactique du savoir correspond au degré de familiarité du savoir pour les élèves (nouveau, en cours d’acquisition, ancien…). Les quatre composantes distinguées ne sont pas indépendantes. En effet, le partage des responsabilités relatives au savoir est en général lié au statut didactique du savoir et aux caractéristiques de la situation didactique, voire à celles du domaine mathématique.

8Ces caractéristiques du contrat didactique n’ont pas la même stabilité temporelle. Le domaine mathématique est stable à l’échelle d’une séquence, modulo les changements de cadres2 (R. Douady, 1986) effectués par les enseignants. Le statut didactique du savoir varie au fil d’une séquence. La nature et les caractéristiques, notamment ses potentialités adidactiques, d’une situation sont fixées pour la situation. En revanche, la répartition des responsabilités entre le professeur et les élèves est extrêmement variable au cours d’une séance. Elle est susceptible d’être redéfinie à chaque nouvelle tâche et même modifiée pour une tâche donnée. C’est le cas par exemple, lorsque l’enseignant demande aux élèves individuellement d’effectuer une tâche mathématique et que, devant leur impossibilité à le faire, il donne lui-même la réponse. Ces échelles de stabilité permettent de décrire des niveaux de contrats emboîtés que nous rappelons ici brièvement (pour des précisions et des exemples, voir M.-J. Perrin-Glorian et M. Hersant, 2003) :

  • La répartition des responsabilités entre le professeur et les élèves dans la production et la validation du savoir caractérise les micro-contrats ;
  • Le statut didactique du savoir et les potentialités adidactiques de la situation caractérisent le méso-contrat ;
  • Le domaine mathématique et les hypothèses épistémologiques concernant la transmission des savoirs, considérés comme stables pour une séquence, caractérisent le macro-contrat.

9Plusieurs micro et méso-contrats sont répertoriés (M.-J. Perrin-Glorian et M. Hersant, 2003), nous ne les rappelons pas ici mais nous explicitons au cours de l’analyse ceux que nous utilisons. L’identification des contrats à chacun de ces niveaux permet de décrire et d’analyser des éléments de la pratique d’un enseignant pour interroger son impact sur les apprentissages potentiels des élèves.

10Ici, notre analyse porte essentiellement sur la répartition des responsabilités entre le professeur et les élèves au fil de la séance. Elle se situe donc principalement au niveau du micro-contrat didactique. En effet, les dimensions qui déterminent les méso et macro-contrats sont en partie définies et stabilisées par le cadre de la recherche qui impose le savoir en jeu et la situation mathématique ; l’épistémologie des enseignants reste cependant une variable.

Quel contrat didactique approprié pour la situation étudiée ?

11Les problèmes pour chercher sont définis dans les documents d’accompagnement des programmes (Ministère de l’éducation nationale, 2005) comme des « problèmes centrés sur le développement des capacités à chercher » (p. 7). Ils sont présentés comme une aide à l’entrée dans le raisonnement mathématique, une propédeutique à la démonstration. Au cycle 3, ces problèmes, habituellement réalisés de façon ponctuelle, prennent le plus souvent la forme de débats mathématiques visant un travail sur l’argumentation et la preuve.

12Comme nous l’avons expliqué dans le chapitre « Analyse didactique des séances et des productions des élèves », les savoirs en jeu dans ces situations sont des « savoirs transversaux » au sens de D. Grenier et C. Payan (1993, p. 3), de nature très différente des savoirs curriculaires. Ils renvoient fortement aux pratiques de référence au sein de la communauté des mathématiciens. Ils ont aussi un statut didactique singulier, sources de paradoxes (G. Brousseau, 2004). En effet, ils sont parfois mobilisés pour des raisonnements en dehors du contexte scolaire et ne peuvent pas être complètement ignorés des élèves, mais ne sont pas non plus complètement disponibles. Ils sont en quelque sorte en cours d’apprentissage sans pour autant que l’entrée dans ces apprentissages soit réalisée à l’école. Les situations qui visent à faire travailler et acquérir ces savoirs, tels les problèmes pour chercher, nécessitent donc la mise en place d’un contrat didactique spécifique adapté aux caractéristiques du savoir en jeu que nous nommons « contrat de preuve ».

13A priori, les caractéristiques d’un contrat idéal de preuve émanent d’une analyse didactique et épistémologique des savoirs mathématiques relatifs à la résolution de problèmes et à la preuve en mathématiques comme celle que l’on peut trouver, par exemple, dans un ERMEL de 2001. En particulier, des clauses de ce contrat sont : la validité d’une proposition d’un élève se décide sur des critères mathématiques et non sur des critères subjectifs ; pour prouver une proposition, une opération posée ne suffit pas, il faut dire en quoi cette opération est pertinente ; la production de propositions de solution au problème est principalement à la charge des élèves, tout comme la validation des propositions. Pour préciser ces caractéristiques au niveau micro, nous nous référons cependant aux documents d’accompagnement des programmes (MEN, 2005) qui indiquent comment mettre en œuvre un problème pour chercher dans une classe. Cette démarche est inhabituelle et peut même paraître abusive. En effet, les textes officiels correspondent à des prescriptions institutionnelles, leur objet n’est pas de définir les contrats à mettre en place. Toutefois, dans le cas des problèmes pour chercher, ces textes sont très détaillés, en particulier pour ce qui concerne les responsabilités de l’enseignant et des élèves aux différentes étapes de la séquence, ils mettent en évidence des caractéristiques de la gestion de ces situations qui recoupent celles issues de l’analyse effectuée dans ERMEL (2001). Ainsi, dans ce cas, nous dirons que la réalisation par les enseignants de la tâche prescrite en conformité avec les attentes de l’institution suppose, au niveau micro, la mise en place d’un contrat didactique qui a les caractéristiques d’un « contrat de preuve ».

14La situation type décrite dans les documents d’accompagnement comporte quatre temps : présentation du problème aux élèves ; recherche, d’abord individuelle puis en groupes ; mise en commun avec débat et validation ; synthèse. Dans ces phases, le savoir n’intervient pas de la même façon. La recherche du problème renvoie à la production d’un savoir sur lequel il sera porté un regard critique lors de la mise en commun, du débat et de la validation, puis la synthèse permettra entre autres d’établir une formulation institutionnelle de ce savoir. Les attentes respectives de l’enseignant et des élèves en référence à ce savoir évoluent aussi au cours de la résolution du problème, ce qui explique que, pour chacune de ces phases, il y ait une répartition des responsabilités appropriée.

15D’après les textes officiels, la présentation du problème, que nous analysons comme le début du processus de dévolution, doit permettre à chacun des élèves de la classe de se sentir personnellement engagé. Au cours de la recherche individuelle qui prolonge cette présentation, chaque élève doit produire une réponse, mais aussi exercer une vigilance par rapport à cette réponse. Cette vigilance qui porte sur la validité du raisonnement sera ensuite exercée au sein du petit groupe d’élèves pour produire une proposition de solution. Dans cette phase, l’enseignant n’intervient pas pour aider les élèves à élaborer une réponse, ni pour valider les propositions. En revanche, s’il remarque par exemple qu’un élève fait de nombreuses erreurs de calcul, rien ne l’empêche d’intervenir pour lui permettre de les rectifier. Il ne prive pas alors l’élève d’accéder seul à la production du raisonnement souhaité, au contraire. En ce sens, au cours de cette phase, les élèves sont donc responsables, individuellement, de la production et d’une première validation d’une solution. Le travail en groupe des élèves n’affecte pas la prise de responsabilité individuelle dans la mesure où chaque élève du groupe doit pouvoir porter la proposition du groupe, ce qui implique qu’il l’a comprise et qu’il y adhère. Le micro-contrat didactique attendu correspond à ce que nous appelons un contrat de production individuelle.

16Lors de la mise en commun, du débat et de la synthèse, « il est souhaitable que la validation des propositions soit faite par les élèves eux-mêmes » (MEN, 2005, p. 11). Dans ce cas, la responsabilité de la validation des propositions incombe donc essentiellement aux élèves, non plus individuellement mais en groupe classe. Le rôle de l’enseignant consiste alors à répartir la parole dans la classe sans intervenir directement dans l’avancée du savoir en jeu (M. Hersant, 2008). Cette répartition des responsabilités correspond à ce que nous appelons un micro-contrat de production collective. Un tel contrat peut se mettre en place à condition que les élèves n’interprètent pas certaines actions de l’enseignant de la façon habituelle : par exemple, lorsqu’il répète ce que dit un élève, cela ne signifie pas que la proposition est correcte et à retenir mais que l’enseignant la porte au débat.

17Au niveau micro, le contrat didactique de preuve se compose donc de la succession de micro-contrats de production individuelle pour les phases de recherche et de mise au point de la formulation des propositions et de micro-contrats de production collective pour les mises en commun et synthèses.

Précisions méthodologiques

18Notre méthodologie d’analyse comprend trois étapes : le découpage du corpus en unités significatives pour la didactique des mathématiques et fonctionnelles pour l’étude des pratiques, l’identification de micro-contrats didactiques, l’analyse de la succession de ces micro-contrats pour reconstruire le contrat didactique et dégager des caractéristiques des pratiques étudiées.

Découpage des séances

19L’identification des contrats qui se succèdent dans une séance requiert un découpage à des échelles différentes en unités porteuses de sens quant aux savoirs en jeu. Nous procédons donc par zooms successifs pour découper une séance en phases et épisodes (cf. annexe), les phases faisant écho aux méso-contrats et les épisodes aux micro-contrats. Une phase est une unité d’activité pour le professeur et pour les élèves. Elle est définie par une question mathématique et/ou un mode d’organisation du travail des élèves. À l’intérieur d’une phase, un épisode rend compte d’une unité d’objet mathématique d’interaction et d’une certaine stabilité des interactants (M. Hersant, 2004 ; M. Hersant et M.-P. Vannier, 2008). Le plus souvent l’objet de l’interaction est une tâche mathématique ; l’interaction peut être verbalisée (par exemple entre deux interlocuteurs) ou non (entre un élève et la situation mathématique). Dans ce dernier cas, la situation correspond plutôt à une situation d’action au sens de G. Brousseau (1998).

20L’articulation de ces deux niveaux de découpage est riche pour l’analyse des pratiques. En effet, l’étude de la succession des micro-contrats apporte alors des informations sur l’évolution de la répartition des responsabilités au cours de la séance en référence à un statut didactique du savoir et à une organisation du travail dans la classe qui délimitent a priori des possibles. Par exemple, lorsque l’enseignant propose aux élèves un travail individuel, le micro-contrat didactique attendu est un contrat de production individuelle. Or, il peut se trouver que finalement la responsabilité de la production du savoir bascule vers l’enseignant, par exemple s’il observe que les élèves achoppent sur la tâche ou s’il décide d’accélérer le temps didactique. La mise en relation des deux niveaux de découpage et d’analyse permet ainsi d’identifier des phénomènes de contingence ou des caractéristiques de la pratique d’un enseignant.

Identification des micro-contrats

21Au niveau d’un épisode, nous identifions le ou les responsables de la production et de la validation de la proposition. Cette responsabilité peut incomber soit à chaque élève de la classe, soit à un groupe d’élèves, soit au collectif classe, soit entièrement au professeur ou encore être partagée entre le professeur et un ou plusieurs élèves. Cette répartition détermine le micro-contrat. Nous illustrerons par un exemple chacun des micro-contrats identifiés dans les séances.

Caractérisation des pratiques et contrats didactiques

22Lorsque nous avons identifié pour chacun des épisodes d’une séance les micro-contrats successifs, nous les mettons en relation avec les tâches mathématiques associées, le statut didactique du savoir et l’organisation du travail dans la classe. L’analyse de l’ensemble de ces éléments nous permet de comparer les caractéristiques du contrat établi dans la classe avec celles du contrat de preuve institutionnellement visé. Cette première démarche permet de décrire la pratique de l’enseignant et de commencer à la caractériser, mais cela ne suffit pas. Si, par exemple, nous constatons que dans le contrat mis en place les élèves n’ont pas la responsabilité de la validation des propositions, est-ce parce que l’enseignant ne leur en laisse pas la possibilité ou parce que cette validation est hors de leur portée ? Un retour aux interactions observées est nécessaire pour identifier des raisons des différences et conclure sur les caractéristiques des pratiques.

23Par ailleurs, l’analyse de l’évolution de ces composantes au cours d’une séance permet de dégager des caractéristiques de la pratique de l’enseignant dans une dimension temporelle. Par exemple (M. Hersant, 2004), dans une forme de cours dialogué lorsque le savoir est nouveau l’enseignant s’appuie sur quelques élèves seulement pour faire avancer son cours, sans solliciter explicitement les autres élèves mais en leur laissant toutefois une part potentielle de responsabilité dans la validation (adhésion) ; puis le savoir devenant plus familier, la responsabilité de la production et de la validation du savoir dans la classe est laissée aux élèves, jusqu’à un micro-contrat de production individuelle où la production et la validation du savoir incombe à chaque élève de la classe.

Analyse des pratiques

24Rappelons que nous cherchons à situer la part de responsabilité effective de l’enseignant et des élèves dans la résolution du problème Les trois nombres qui se suivent en référence au « contrat de preuve » qui serait idéalement à mettre en place dans les classes. Nous présentons donc notre analyse en référence aux temps identifiés dans les textes officiels : recherche du problème et la formulation des propositions, mise en commun qui comprend l’étude et la validation des propositions, synthèse qui concerne la formulation des propositions.

25Nous résumons dans des tableaux le micro-contrat identifié pour chaque épisode : le repérage de l’épisode apparaît dans la première colonne (2a signifie phase 2, épisode a, comme dans l’annexe), le type de micro-contrat est indiqué dans la dernière colonne. Dans notre analyse, nous identifions certains épisodes comme des « pas de côté » lorsque l’objet des interactions concerne les mathématiques mais pas directement le problème en cours de résolution (par exemple s’il s’agit de remarques concernant la façon dont il faut faire pour répondre à un problème). Pour ces épisodes, nous mettons des « ** » dans la dernière colonne. Pour les épisodes qui concernent l’étude d’une proposition d’élève nous précisons l’élève qui émet une proposition et la teneur de cette proposition : oui/non, le nombre se décompose ; éléments de preuve.

26Pour mieux mettre en évidence les évolutions des micro-contrats associés respectivement à la formulation de propositions pour des problèmes locaux et au débat des propositions des élèves, pour chacune des classes, nous analysons d’abord les phases de recherche, puis les phases d’étude des propositions des élèves et, éventuellement, en dernier lieu les phases de synthèse qui permettent la formulation des conclusions. La chronologie des séances présentée dans le chapitre « Présentation du corpus » n’est donc pas respectée ici.

Catherine

Phases de recherche

27Dans les moments de recherche, la stagiaire instaure préférentiellement un micro-contrat de production individuelle (PI)3. En effet, le plus souvent, les élèves ont effectivement la responsabilité de produire une décomposition correcte (cas de 15, 96 et 36) ou de formuler une proposition qui prouve que cette décomposition n’est pas possible (cas de 46). De plus, dans ses interventions auprès des élèves, l’enseignante ne donne pas la réponse et n’évalue pas les propositions des élèves.

28Cependant, Catherine rencontre parfois des difficultés à maintenir ce contrat. Ainsi, au début de la séance, la recherche individuelle d’une solution pour 15 est interrompue.

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29Voyant que les élèves ont des difficultés à entrer dans le problème (certains élèves disent : « c’est dur »), l’enseignante interrompt le travail individuel et propose de donner trois nombres consécutifs et leur somme (2b). Cela lui permet de pointer que, dans ce cas, une seule des contraintes est respectée : les nombres se suivent mais la somme ne fait pas 15. Cette régulation est une forme d’étayage pour aider les élèves à entrer dans le problème. Ensuite lors de l’épisode 2c, l’enseignante ne parvient pas à canaliser la spontanéité des élèves qui s’expriment à haute voix (« moi, je sais », « c’est facile »). Il y a alors un basculement vers une phase de travail collectif (phase 3) et un changement de micro-contrat.

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30Des élèves donnent leur avis spontanément sur les propositions de Ma (3a) puis de N. (3b) en indiquant bien le cas échéant où réside l’erreur. Cette spontanéité traduit la responsabilité dont se sentent investis des élèves de la classe pour la validation des propositions. C’est pourquoi nous associons à ces épisodes une forme de production collective4. Cependant, l’enseignante pose systématiquement des questions permettant de vérifier chacune des contraintes du problème alors que, le plus souvent, plusieurs élèves ont déjà indiqué leur accord avec la proposition ou ont déjà identifié l’erreur. Cette maïeutique permet à l’enseignante de réguler le flot de parole des élèves et de mettre en évidence la nécessité de respecter les deux contraintes ; elle n’empêche pas certains élèves de prendre en charge la validation des propositions. Il y a toutefois un découpage de la tâche mathématique : au lieu de mobiliser d’eux-mêmes les deux contraintes pour argumenter quant à la validité des propositions, d’autres élèves qui ne sont pas encore engagés dans le processus de validation des propositions répondent à deux questions simples. Ces élèves ne sont alors pas pleinement responsables de la validation des propositions. Cette intervention de l’enseignante pour guider la validation des propositions nous amène à distinguer un nouveau micro-contrat que nous nommons production collective à évaluation guidée (PC évaluation guidée).

31La recherche pour 96 ou 36 s’effectue en production individuelle.

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32Plus loin dans la séance, la recherche en groupe pour 46 (phase 7) ne correspond pas à une production individuelle pour tous les élèves.

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33En effet, dans la continuité de la recherche pour 96 et 36, l’enseignante temporise en proposant aux élèves qui ont terminé de chercher pour 46 (4e). Puis, lorsqu’une mise en commun a permis d’établir que 96 et 36 vérifient la propriété, elle continue assez naturellement en demandant : « qui a cherché pour 46 ? », des mains se lèvent et l’enseignante interroge les élèves avant de renvoyer la classe à des travaux de groupes.

34Le travail de groupe s’effectue alors que plusieurs propositions ont été énoncées (cf. phase 6 ci-après). Certains élèves ont indiqué que la décomposition est impossible. Par exemple, M. a précisé que 14+15+16 donnent 45 et 15+16+17 donnent 48, donc si on veut 46, il faut prendre des nombres qui ne se suivent pas. Pour l’élève V., c’est impossible car 46 est impair. Ces propositions n’ont pas été véritablement mises en débat et l’enseignante n’a pris parti pour aucune d’elles. Cependant, le renvoi à une formulation d’une proposition au sujet de 46 se fait dans un contexte différent des travaux individuels réalisés précédemment. Certains élèves peuvent comprendre le travail de groupe comme une demande d’adhésion à l’une des propositions, pour eux le micro-contrat est alors un contrat d’adhésion5. En revanche, pour les élèves qui ne se sentent pas contraints par les propositions précédentes, il s’agit d’un micro-contrat de production individuelle.

Phases de mise en commun

35En ce qui concerne l’étude des propositions des élèves lors des mises en commun, nous observons une évolution de la répartition des responsabilités au cours de la séance.

36Lors des premières mises en commun (phase 5), le plus souvent l’enseignante intervient, comme dans le travail concernant le nombre 15, pour guider l’étude des propositions et vérifier systématiquement le respect des contraintes. Certains élèves ne mobilisent donc pas d’eux-mêmes ces contraintes et n’ont pas la pleine responsabilité de la production d’arguments critiques. C’est de nouveau une production collective à évaluation guidée.

37Cependant, en 5a, nous identifions un micro-contrat d’ostension6 où l’enseignante assume entièrement l’évaluation de la proposition de l’élève S3, mais pour des raisons non didactiques. En effet, cette proposition donne lieu à des critiques personnelles de l’élève. Les élèves exercent leur responsabilité concernant la validation de la proposition de l’élève S3, ils ont visiblement identifié son erreur mais n’usent pas d’arguments mathématiques. L’enseignante coupe court et invalide alors la proposition sans explication mathématique : « Pour l’instant, la réponse de l’élève S3, on a vu que ça ne marchait pas. »

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38Puis, pour l’étude des propositions concernant 46, il y a une oscillation entre production collective et production collective à évaluation guidée.

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39Tout se passe comme si l’enseignante essayait de laisser entièrement aux élèves la responsabilité de la validation au moment où le « vrai » problème commence. En effet, la phase 6 débute par l’étude la proposition de J3 qui est abandonnée suite aux réactions des élèves, sans formulation claire des arguments mathématiques mais sans intervention significative de l’enseignant (production collective). Puis, l’enseignante guide l’étude de la seconde proposition de J3 avant de redonner aux élèves la responsabilité de la validation pour l’étude de la proposition de l’élève N. :

Catherine : Alors on fait 14, 15 16. Allez tu essaies.
Élève N : 14 15 16, je l’ai fait, ça fait 45.
Catherine : Tu l’as fait ? L’élève N. a trouvé la réponse, vas-y, note 14 +15+16…
Un élève non identifié : 43
Un élève non identifié : 45. C’est tout, c’est facile.
Catherine : Et il nous dit que ça fait 45. Tu fais des essais.
Élève M. : Ouais mais c’est 46 !
Catherine : Ah ! Élève M…
Un élève non identifié : Non, c’est 45.
Catherine : Élève M, qu’est-ce qu’elle nous dit ?…
Élève M. : Ouais c’est 46
Catherine : Il faut qu’on trouve…
Élève J3 : Je me suis trompé
Un élève non identifié : Non tu ne t’es pas trompé c’est…
Catherine : Il faut qu’on trouve 46.

40Pour la seconde mise en commun pour 46 (phase 8), l’enseignante ne parvient pas à maintenir un contrat de production collective pourtant initialement installé.

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41Comme nous l’avons vu précédemment, Catherine se heurte à la prégnance de l’argument de parité, ce qui l’amène à effectuer plusieurs « pas de côté ». En 8b, les élèves ne parviennent pas à conclure car beaucoup ne savent pas ce qu’est un nombre impair, l’enseignante organise donc deux rappels (8c, 8d) qui fournissent aux élèves les connaissances nécessaires à l’exercice de la responsabilité qu’elle leur assigne. Mais cela ne suffit pas. En effet, lorsque l’étude est reprise (à partir de 8e) tous les élèves ne sont pas au clair sur la parité de 46 (cf. 8k). L’élève M. qui s’appuie sur un contre-exemple indique bien que la parité ne peut être un critère mais les autres n’adhèrent pas à cet argument :

Catherine : 46 dans tous les cas, c’est pair. Élève M. lève la main M, vas-y.
Élève M. : Ouais mais… parce que 36 c’est pareil… on peut faire avec 15.
Catherine : 36. 36 c’est quoi ?
Élève M. : C’est un nombre pair aussi.
Catherine : C’est un nombre pair aussi. M. nous dit : « 36 c’est un nombre pair. » Et 36 est-ce que, est-ce qu’on avait trouvé les trois nombres ?
Plusieurs élèves : Oui
Un élève non identifié : On a fait 36, c’est…
Catherine : 36 on avait trouvé, c’est un nombre pair.
Un élève non identifié : C’est un… c’est un nombre impossible.
Catherine : Alors…
Un élève non identifié : Quarante… quarante-six.
Catherine : 46 est un nombre impossible. Oui, mais pourquoi ? Parce que moi ce qui m’intéresse ce n’est pas qu’on me dise « non » ou « oui ». C’est ce que j’ai dit tout à l’heure. Je veux savoir pourquoi.

42Les groupes 2 et 3 (8f, 8g) ont produit une justification qui est discutée dans un contrat de production collective. L’enseignante organise les échanges entre les élèves mais la distinction des arguments pertinents demeure difficile. En particulier, certains élèves critiquent les propositions car elles sont mal formulées (il n’y a pas le mot « parce que »).

43Cette autre résistance amène Catherine à effectuer un classement des propositions (8i) avant de redonner aux élèves la responsabilité de la validation. Ils reviennent sur le rôle de la parité dans le problème, M. redonne son argument, Q. indique que 15 se décompose et est impair. Avec l’aide de l’enseignante, les élèves classent les nombres 15, 96, 36 en pair/impair et indiquent si une décomposition est possible. Finalement, alors que les élèves ont échangé longuement, l’enseignante se saisit de l’intervention de N. qui reconsidère son argument pour invalider la proposition (8k) :

Élève N. : Ça ne fait rien du tout parce que c’est soit pair, soit impair… Tu peux…
Catherine : Exactement. N., répète bien fort ce que tu viens de nous dire.
Élève N. : ça ne change rien si on fait, si c’est pair ou impair…
Catherine : Voilà.

44Ainsi, après plusieurs tentatives de négociation d’un contrat de production collective, alors que la séance dure depuis près d’une heure, Catherine s’appuie finalement sur un élève pour clore la question, nous parlons alors de micro-contrat d’ostension déguisée (l’enseignante n’indique pas elle-même la réponse attendue mais s’appuie sur des élèves « sûrs » pour l’obtenir). Elle utilise le même procédé pour conclure sur l’argument des groupes 2 et 3 (8l). Pour nous, la résistance de l’argument de parité et la pression du temps qui se conjuguent expliquent la négociation à la baisse du contrat didactique.

Phases de synthèses

45Catherine effectue deux phases de synthèses qui permettent une formulation des conclusions. Ainsi, le travail sur le nombre 15 s’achève par une mise en évidence des contraintes à respecter sans formulation complète de la justification (3c). Les élèves ne participent pas du tout, c’est une ostension assumée :

Je vais écrire cette solution, elle marche, là on va avoir nos solutions qui marchent, qui fonctionnent bien. 4 plus… 5 plus 6. Elle a noté en même temps : 15 = 4+5+6. Ça marche pour tout le monde ? […] On a vu que les nombres se suivent bien, d’accord il faut bien que les nombres se suivent, et en plus, il faut absolument que la somme ça fasse 15… Oui ?

46Puis, elle donne plus de responsabilité aux élèves pour la formulation finale des arguments (5c, 5f, production collective). Cependant, la production collective ne fonctionne que pour les nombres qui vérifient la propriété ; devant la difficulté des élèves à formuler les arguments pour 46, l’enseignante produit elle-même la formulation (8m, ostension).

Louis

47Le maître-formateur ne fait pas travailler les élèves sur la formulation des arguments.

Phases de recherche

48Les phases de recherche du problème ne s’effectuent pas sous des micro-contrats de production individuelle pour plusieurs raisons.

49Dans la première partie de la séance (pour 15, 96 et 36), de façon récurrente Louis choisit de prendre en charge une partie de la validation sans que cela nous apparaisse nécessaire. Pour 15, il choisit de résoudre collectivement le problème. D’emblée, il précise que 15 se décompose en la somme de trois nombres qui se suivent. Il élimine ainsi l’incertitude sur la possibilité de décomposition, ce qui constitue une prise en charge d’une partie des responsabilités pour la production d’une réponse. Puis, lors de la résolution collective (2a à 2d), il intervient sur la validation. Par exemple, dans l’extrait ci-dessous (2b), il valide le respect de la contrainte somme et induit fortement l’évaluation de l’autre contrainte :

Élève C. : 5+5+5
Louis : 5+5+5. En effet, 15… alors pourquoi ?
Élève C : 3 fois 5 ça fait 15.
Louis : En effet, 15 se décompose en la somme de trois nombres, mais est-ce que 5, 5, 5 se suivent ?

50Ici, nous ne parlons pas de production collective à évaluation guidée car l’enseignant prend explicitement en charge une partie de l’évaluation. Les micro-contrats instaurés correspondent donc à une forme de production collective où l’enseignant intervient explicitement dans l’évaluation, laissant la responsabilité de la production aux élèves. Nous parlons de production collective évaluée (PC évaluée).

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51Ensuite, Louis demande aux élèves de chercher individuellement le problème pour 96 (ou 36) et 46 mais, lorsqu’il circule dans la classe, il évalue leurs réponses (par exemple : « ce que vous mettez ça ne marche pas. Le nombre que tu veux c’est 96. »). Ces interventions génèrent un glissement vers un micro-contrat de tutorat7 : les élèves vont produire individuellement des propositions mais peuvent attendre de l’enseignant qu’il les évalue.

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52Comme dans l’autre classe, le travail de groupes pour 46 s’effectue alors qu’une première discussion a eu lieu (phase 5). Une proposition a été formulée avant le travail en groupe (« on peut faire 45 mais pas 46 »), comme dans la classe de Catherine pour certains élèves, le contrat sera un contrat d’adhésion.

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53Puis, alors que l’enseignant effectue la synthèse des propositions des groupes pour 46, l’élève S1 intervient sur le problème général (recherche de tous les nombres qui vérifient la propriété P) sans y être invité. L’enseignant se saisit alors de cette intervention pour effectuer la recherche du problème général.

54L’élève S1 indique d’abord : « de trois en trois ça marche » puis assez rapidement : « si le nombre se termine par 2, 5, 8 ça marche », sans que sa première proposition ait été étudiée. Dans ces épisodes (8a, 8b), l’enseignant s’appuie exclusivement sur S1 pour faire avancer la résolution du problème, il lui laisse une part de responsabilité dans la validation mais, lorsque l’élève S1 ne sait pas, Louis prend en charge l’évaluation sans la soumettre aux autres élèves. Il s’agit donc d’un contrat d’ostension déguisée où l’enseignant s’appuie sur un seul élève pour faire avancer le savoir dans la classe et, si besoin, intervient lui-même quelques fois. Voici un extrait de l’interaction entre Louis et l’élève S1 (8a et 8b) qui illustre ce contrat :

Élève S1 : Par exemple dans les résultats que tu as trouvés, ça fait de trois en trois. Par exemple… 3
Louis : (Aux autres) Chut, chut. […] (à S1) Attends. Je vais te poser une autre question, attends. Tu dis de trois en trois, ça veut dire… j’avais donné 45 et que 45 ça marche, 48 ça marche, ça voudrait dire que 51 ça marche ?
Élève S1 : 51 ? Ah, ça ne marche pas.
Louis : Alors donc, de trois en trois ça ne marche pas.
Élève S1 : Mais 52 ça marcherait.
Louis : Pourquoi ?
Élève S1 : 52 parce que…
Louis (aux autres) : Chut, chut, chut.
Élève S1 : rien
Louis : […] Moi, j’écris seulement ce que l’élève S1 vient de dire. Il a dit…
Élève S1 : Tu peux trouver un raisonnement avec 2, 5 et 8… à la fin.
Louis : un résultat… ah, oui, il faut que le nombre se termine par 2… par 5 ou par 8.
Élève S1 : Ouais, mais aussi ça peut être par 6.
Louis : alors… donc, toi tu dis, ça se termine par 2, par 5, par 8, par 6. Pourquoi ? […] Donc ça voudrait dire que… 46 ça marche parce que ça se termine par un 6.
Élève S1 : non, mais…
Louis : ah ! Bah alors non !

55À la suite de cette interaction, l’enseignant propose une étude dirigée de la première proposition. Il sollicite les élèves pour savoir si les nombres 96, 66, 36, 15 qui vérifient la propriété P sont multiples de 3, puis si un multiple de trois pris au hasard (99) vérifie la propriété P et si un nombre non divisible par 3 (100 ou 101) vérifie P. Il y a une production collective mais sur une tâche connexe à l’étude de la proposition de l’élève S1.

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Phases de mise en commun

56En ce qui concerne les mises en commun pour valider les propositions, comme dans l’autre classe, nous observons une évolution des micro-contrats au cours de la séance avec une tentative de laisser une part croissante de responsabilité aux élèves.

57La correction des problèmes pour 96 et 36 (4a et 4b) s’effectue par une interaction duale entre l’enseignant et l’élève qui a produit la proposition : l’enseignant peut valider en partie ou totalement la proposition de l’élève ou demander à l’élève de valider sa proposition, mais en aucun cas cette proposition n’est soumise à l’ensemble de la classe. L’enseignant instaure un micro-contrat d’ostension déguisée.

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58Puis, lors de la première mise en commun au sujet de 46, il n’y a pas vraiment de validation des propositions par l’enseignant mais l’interaction reste duale, le contrat est le même.

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59Pour la mise en commun des travaux de groupes, nous identifions une recherche de micro-contrat de production collective qui se heurte aux difficultés des élèves (manque de clarté des propositions, critiques qui ne sont pas d’ordre mathématique) et à la pression temporelle. L’enseignant évalue la proposition peu explicite (7a) ou clôt quand les élèves formulent des raisons qui ne sont pas d’ordre mathématique (7b) :

Louis : Expliquez pourquoi vous avez dit que vous ne pouviez pas.
Une élève du groupe : Parce que 14+15+16 ça fait 45 et ça fait pas 46.
Louis : Et les autres, qu’est-ce qu’ils pensent de ça ? […]
Élève S1 : Vous avez triché.
L’élève du groupe : Hein ?
Un élève non identifié : Vous avez recopié.
Un autre élève non identifié : Ouais.
L’élève du groupe : Sur quoi ?
Un élève non identifié : Si.
Louis : Alors non, on va dire ça S1, on n’en sait rien. Mais en tout cas, c’est le même argument. Il veut dire c’est le même.

60Dans l’épisode suivant, l’enseignant instaure un contrat de production collective, mais il n’y a pas vraiment de conclusion sur la proposition étudiée. Ensuite, pour maintenir une production collective l’enseignant négocie un changement de tâche : il demande de comparer deux propositions. La phase se clôt sur l’étude d’une proposition peu explicite que l’enseignant traite seul (retour à l’ostension).

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Conclusion

61Dans aucune des classes, le contrat didactique établi ne correspond au « contrat de preuve ». La difficulté de gestion de la situation explique en partie cela. Cependant, l’étude des micro-contrats fait apparaître des différences entre les deux enseignants dont l’origine se situe, de notre point de vue, dans l’épistémologie des professeurs.

62En ce qui concerne le déroulement régulier de la séance, c’est-à-dire les épisodes où il n’y a pas de résistance chez les élèves et donc pas de régulation à effectuer, globalement, chez Catherine, il y a une recherche de contrat de preuve tandis que Louis effectue d’emblée des choix qui l’en écartent. En effet, dans les moments de recherche, la stagiaire essaie d’instaurer un micro-contrat de production individuelle auquel elle renonce parfois pour s’adapter aux difficultés formulées par les élèves tandis que le maître-formateur essaie plutôt d’instaurer un micro-contrat de tutorat. En particulier, au début des séances, nous avons observé des différences essentielles relatives à la validation. Quand Catherine instaure un micro-contrat de production collective à évaluation guidée, elle accompagne les élèves dans la prise en charge de la validation, elle leur indique qu’il faut vérifier le respect des deux contraintes et qu’ils doivent prendre en charge cette vérification. Ce micro-contrat participe du processus de dévolution du problème aux élèves. Mais quand Louis intervient directement pour évaluer le respect de l’une des contraintes (micro-contrat de production collective évaluée), il signifie aux élèves qu’il n’attend pas d’eux cette validation, ce qui est en contradiction avec l’idée de problème pour chercher. Pour les mises en commun, les pratiques des deux enseignants sont plus proches : il y a une évolution au cours de la séance vers une tentative d’instaurer des micro-contrats de production collective pour le travail sur 46 qui constitue le « vrai » problème. Cependant, en fin de séance, pressés par l’horaire, les deux enseignants usent finalement de l’ostension : Catherine se heurte à la prégnance de l’argument de parité ; Louis achoppe sur contrat didactique arithmétique dont les élèves ne se détachent pas et le manque d’explicitation de leurs propositions. Le travail sur la formulation des propositions dans la classe de la stagiaire et l’absence de ce travail dans la classe du maître-formateur constituent une autre différence importante dans les contrats que cherchent à installer les deux enseignants. Ces différences de micro-contrats didactiques sont significatives de la pratique des deux enseignants, de leur représentation des mathématiques et de leur rapport à cette discipline. Nous pensons, en effet, que l’ouverture dans la recherche et la validation que laisse Catherine est reliée d’une part, avec une certaine confiance en sa capacité à analyser et gérer les propositions des élèves, et d’autre part avec la dimension expérimentale des mathématiques qu’elle a pu rencontrer dans ses études. En particulier, au cours de la résolution du problème pour 46, elle laisse une place au doute, élément qu’il faut accepter et dépasser pour arriver à une preuve. Dans l’entretien, elle l’indique d’ailleurs. Au contraire, les micro-contrats instaurés par Louis réduisent son incertitude et celle des élèves. Ils permettent à l’enseignant de gérer plus facilement des propositions d’élèves quelquefois difficiles à interpréter et correspondent probablement à sa représentation des mathématiques et de leur enseignement. Ces contrats constituent un frein à l’entrée des élèves dans une activité de justification et de preuve et participent de la difficulté des élèves à s’émanciper d’un contrat arithmétique. On assiste en effet à une forme de cours dialogué avec appui sur un nombre très restreint d’élèves qui permet à l’enseignant de faire avancer rapidement les élèves vers les réponses aux questions posées, mais écarte aussi une part non négligeable des élèves du jeu d’argumentation/contre-argumentation. Il faut cependant noter que ces contrats ont probablement fait leur preuve pour le maître-formateur dans le cadre de l’enseignement des savoirs curriculaires. L’expérience serait-elle ici une limite à l’instauration d’un contrat de preuve ?

63Par ailleurs, les deux enseignants ne régulent pas le contrat didactique et l’avancée du temps didactique de la même façon. Dans les phases de mises en commun pour 46, vers la fin de la séance, la stagiaire choisit d’enrichir le milieu (G. Brousseau, 1998) en organisant un rappel sur ce qu’est un nombre impair pour donner aux élèves les moyens d’éliminer la proposition de l’élève N. alors que dans une situation analogue, pour éliminer la seconde proposition de l’élève S1, Louis évalue lui-même la proposition. Ces deux réactions sont cohérentes avec les éléments précédents et sont pour nous significatives des pratiques des enseignants et de leur représentation des mathématiques.

64À l’issue de cette analyse, il convient d’envisager l’effet de ces pratiques sur les apprentissages des élèves. Le savoir en jeu est un savoir aux caractéristiques singulières : il s’agit de faire pratiquer l’argumentation et la preuve aux élèves. Le contrat de recherche qui est attendu par l’institution permet à notre avis cette pratique. Ainsi, le contrat didactique installé par la stagiaire est plus propice à l’expérimentation d’une situation mathématique de preuve. Toutefois dans les deux classes, lorsque les élèves ont produit des arguments non mathématiques, aucun des enseignants n’a explicité les raisons de leur irrecevabilité. Par ailleurs, dans aucune des classes il n’y a eu d’institutionnalisation des « savoirs transversaux » rencontrés, le cas échéant, au cours de la séance. Ces constats interrogent sur ce que les élèves peuvent retenir de ces séances.

Bibliographie

Références bibliographiques

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Notes de bas de page

1 Dans la théorie des situations didactiques, l’enseignement consiste à provoquer chez l’élève les apprentissages projetés en le plaçant dans des situations appropriées auxquelles il va répondre « spontanément par des adaptations » (Brousseau, 1998, p. 301). Il est donc nécessaire que l’enseignant amène l’élève à interagir avec la situation par un transfert de responsabilité appelé processus de dévolution. Une fois ce transfert opéré, le système antagoniste de l’élève dans sa relation à la situation est le milieu.

2 Selon Douady (1986, p. 10-11) « un cadre est constitué des objets d’une branche des mathématiques, des relations entre les objets, de leurs formulations éventuellement diverses et images mentales associées à ces relations et ces objets ». Par exemple, on parle de cadre arithmétique. Les jeux de cadres sont les changements de cadres organisés par le maître à des fins d’apprentissage.

3 Dans un contrat de production individuelle, les élèves travaillent individuellement ou en groupes, sans que le professeur intervienne. Chaque élève assume une part de responsabilité effective dans la production de la connaissance et dans sa validation.

4 Dans un micro-contrat de production collective, le professeur laisse au groupe classe la responsabilité de la production de la connaissance et une part de responsabilité dans la validation des réponses. Dans un contrat de production collective strict, le rôle du professeur est souvent réduit à la gestion des prises de parole dans la classe et à la retransmission à l’ensemble de la classe, sans déformation, des informations données par les élèves.

5 Dans un contrat d’adhésion, le professeur s’appuie sur quelques élèves de la classe pour produire des connaissances et faire avancer le savoir, sans réellement évaluer les réponses, en laissant aux autres élèves la responsabilité d’intervenir lorsqu’ils ne sont pas d’accord avec ce qui est dit.

6 Dans ce micro-contrat, le professeur garde toute la responsabilité.

7 Dans ce micro-contrat, le professeur intervient pour aider un élève ou un groupe d’élèves, sans entrer dans un micro-contrat d’ostension.

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