URL originale : https://books.openedition.org/pub/38543

Analyse didactique des séances et des productions des élèves
p. 31-51
Texte intégral
1Dans ce chapitre, nous présentons d’abord les éléments didactiques nécessaires à la compréhension de la finalité des séances et de leur déroulement (rappel du problème, analyse des savoirs en jeu, objectifs d’apprentissage, prérequis, analyse a priori). Ensuite, nous effectuons une analyse détaillée de l’étude du cas 46 dans chacune des classes. Dans cette dernière partie, nous nous intéressons principalement aux productions des élèves que nous mettons en relation, si besoin, avec les interventions de l’enseignant.
Savoirs en jeu
2Rappelons (cf. « Présentation du corpus ») que le problème choisi (ERMEL, 1999, p. 118-120) a pour objectif de développer la démarche de recherche en mathématiques chez les élèves, notamment leurs capacités à formuler des propositions et des arguments et à les critiquer, dans le cadre de ce que l’on appelle les problèmes pour chercher.
3Le problème général consiste à déterminer l’ensemble des nombres qui peuvent s’écrire comme la somme de trois nombres (entiers) consécutifs et se décline localement par un travail sur des cas particuliers. Il s’agit alors de chercher si un nombre entier n donné peut se décomposer en la somme de trois nombres consécutifs, c’est-à-dire vérifie la propriété P, par exemple : le nombre 15 peut-il se décomposer en la somme de trois nombres qui se suivent ?
469 vérifie la propriété P car il est la somme de 22, 23, 24 : 69 = 22+23+24. Il existe des nombres qui ne vérifient pas P, comme 89. Une condition nécessaire et suffisante pour qu’un nombre vérifie P est qu’il soit divisible par 3.
5Les séances de classe analysées ici portent sur l’étude de problèmes locaux pour 15, 96, 36 et 46, comme introduction au problème général. Toutefois, pour permettre une meilleure compréhension de ce qui se joue dans les séances, nous donnerons parfois des précisions sur le problème général.
6À partir des problèmes locaux, nous souhaitons que les élèves établissent des conjectures, formulent des arguments et débattent pour arriver à une preuve mathématique. Ce sont donc des savoirs relatifs à l’argumentation et à la preuve en mathématiques, des « savoirs transversaux » au sens de Grenier et Payan (2003) qui sont visés (ib., 1993, p. 3) :
C’est-à-dire ceux intervenant dans de nombreux domaines mathématiques et concernant des termes tels qu’expérimentation, conjecture, argumentation, modélisation, définition, preuve, implication, structuration, décomposition/recomposition, induction…
7Toutefois, selon que le nombre donné vérifie P ou pas, les savoirs en jeu diffèrent. Ainsi, lorsque le nombre vérifie la propriété P, exhiber trois nombres qui vérifient les deux contraintes (les nombres se suivent et leur somme est le nombre visé) suffit ; la preuve est assez simple et l’argumentation est réduite à la vérification des contraintes. Elle est plus riche quand le nombre donné ne vérifie pas la propriété P. En effet, montrer l’impossibilité de sa décomposition doit amener les élèves à élaborer des arguments, contre-arguments et preuves dont les principaux éléments sont explicités dans le paragraphe « Analyse a priori de la situation », cf. infra. L’utilisation de contre-exemples va en particulier être intéressante pour invalider des propositions.
8À l’issue du problème, il ne s’agit donc pas d’institutionnaliser une méthode (ou une règle) pour la recherche des problèmes locaux, mais de mettre en évidence, par exemple, qu’un unique contre-exemple permet d’invalider une proposition.
Objectifs d’apprentissages et prérequis
9Le problème vise trois objectifs d’enseignement/apprentissage relatifs à la résolution des problèmes pour chercher :
comprendre et s’approprier le problème et ses contraintes ;
produire des conjectures pour des cas particuliers (de type « oui, ce nombre vérifie la propriété P ») et les prouver (oui/non car…) ;
produire une conjecture relative à l’ensemble des solutions, la prouver.
10L’étude de problèmes locaux correspond principalement aux deux premiers objectifs même s’il n’est pas exclu que certains élèves se posent la question du cas général. En particulier, proposer des nombres qui vérifient la propriété P permet de travailler de façon privilégiée le premier objectif : les élèves doivent bien identifier que deux contraintes sont à respecter. Ce premier objectif constitue d’une certaine façon une nécessité pour permettre un travail sur la preuve mathématique qui dépasse le constat du non-respect des contraintes du problème. Dans le cas où le nombre proposé ne vérifie pas P, le second objectif est plus particulièrement visé.
11Les classes observées sont deux classes de cycle 3 : une classe de CE2-CM1-CM2 (élèves de 9 à 11 ans) et une classe de CM1-CM2 (élèves de 10-11 ans). À ce niveau, la compréhension du problème et la proposition d’une solution exigent des prérequis : savoir ce qu’est une somme et ce que sont trois nombres consécutifs, ce que l’on peut aussi exprimer de la façon suivante « trois nombres qui se suivent ». Au cours de la résolution du problème, les élèves vont avoir à effectuer des additions de trois termes, sans calculatrice : il faut donc qu’ils sachent faire une addition de trois nombres (soit en ligne, soit en colonne). Cela implique qu’ils connaissent leurs tables et aient compris le principe de retenue. Leurs connaissances arithmétiques, en particulier autour des notions de division et multiple vont aussi intervenir, sans pour autant être cruciales : un élève qui a des connaissances solides sur les triples et quelques notions concernant les ordres de grandeurs a des chances d’effectuer moins d’essais pour trouver, lorsqu’elle existe, la décomposition recherchée. Des savoirs « transversaux » (D. Grenier, C. Payan, 2003) sont aussi à mobiliser lors de l’élaboration de la preuve, en particulier l’utilisation d’un contre-exemple pour invalider une proposition. Ainsi, quand un élève affirme « 46 ne se décompose pas en la somme de trois nombres qui se suivent car il est pair », un autre élève peut rétorquer « oui mais 36 aussi est pair, or il se décompose ! ». Toutefois, il est difficile de considérer comme prérequis le savoir suivant : exhiber un contre-exemple suffit à invalider une proposition. C’est en effet, un savoir en construction pour la majorité des élèves de cycle 3. Autrement dit, quand un élève utilise un contre-exemple pour invalider une proposition, il n’est pas évident que pour les autres élèves de la classe cela suffise à rejeter définitivement la proposition.
Analyse a priori de la situation
12L’objet de cette analyse est double :
étudier les procédures de résolution possibles pour les élèves ;
déterminer les potentialités adidactiques de la situation (G. Brousseau, 1998 ; M.-.J. Perrin-Glorian et M. Hersant, 2003), c’est-à-dire déterminer si les élèves peuvent produire seuls les arguments et les preuves pour chacune des questions et prévoir les interventions nécessaires de l’enseignant.
13Il est prévu (cf. « Présentation du corpus ») que la séance permette l’étude de 3 (voire 4) problèmes locaux (15, 96, éventuellement 36, 46) et nous nous limiterons ici à l’analyse a priori de ces problèmes. Pour les trois premiers (15 et 96 ou 36), les nombres se décomposent en la somme de trois nombres consécutifs, ce qui n’est pas le cas de 46.
Les cas de 15 et 96
14Le problème pour 15 engage le processus de dévolution ; en particulier, cette étape doit permettre aux élèves d’identifier les deux contraintes à respecter. Il est assez simple de trouver une décomposition correcte en procédant par essais successifs à partir de la suite 1, 2, 3. Pour résoudre le problème les élèves peuvent donc soit :
établir une conjecture de type « oui » et chercher une décomposition par essais successifs ;
chercher une décomposition (par essais successifs) sans véritablement établir de conjecture ;
établir une conjecture de type « non » et en chercher une preuve.
15En général, les élèves sont habitués à ce que les problèmes proposés pendant les séances de mathématiques aient une solution, nous pensons donc qu’ils auront plutôt la seconde démarche.
16Rappelons qu’il est prévu que le cas de 15 soit examiné oralement et collectivement. Si un élève fait une proposition erronée, les réactions des autres élèves de la classe devraient permettre d’invalider sa proposition. Toutefois, les raisons pour lesquelles des propositions sont fausses peuvent être très différentes et appellent des traitements distincts des erreurs en ce début de séance. Un élève peut affirmer que 15 vérifie P car 15 = 5+5+5 ou bien que 15 vérifie P car 15 = 5+6+7. Dans le premier cas, une des contraintes du problème n’est pas respectée. En début de séance, les contraintes n’étant pas encore été bien identifiées par les élèves, des interventions de l’enseignant peuvent être nécessaires pour les rappeler. Cependant nous pensons que dans la classe quelques élèves peuvent identifier l’origine de l’erreur. Dans le second cas, on peut attendre des élèves de cycle 3 qu’ils identifient l’erreur de calcul. Si maintenant, un élève déclare que 15 ne vérifie pas P, il y aura bien un autre élève de la classe pour exhiber la décomposition 15 = 4+5+6 qui prouve l’inverse. Enfin, en cas de proposition correcte, il est aisé pour les élèves de vérifier le respect des contraintes imposées. Il nous semble donc possible que ce problème soit résolu avec peu d’interventions de la part de l’enseignant.
17Pour 96, il devient plus laborieux de procéder par essais successifs. Cependant, on peut penser à trouver la suite correspondante en effectuant une division par 3 de 96, c’est ce que font effectivement certains élèves. Lors du travail individuel et écrit prévu, la validation d’une solution proviendra essentiellement du contrôle du respect des contraintes. Les élèves n’ayant pas à disposition de calculatrice, des erreurs de calcul peuvent subsister. Au moment de la mise en commun, comme pour 15, des réactions peuvent facilement provenir des autres élèves.
18Dans ces deux problèmes locaux, les élèves travaillent déjà sur l’objectif 2 mais pour des cas relativement simples : les nombres vérifient la propriété, la preuve consiste à exhiber une décomposition en indiquant qu’elle respecte bien les contraintes du problème.
Le cas de 46
19Ce problème est plus compliqué que les précédents pour deux raisons. Tout d’abord, la preuve met en jeu le caractère discret de l’ensemble des entiers naturels1 et la croissance de la fonction somme sur les entiers naturels2. Or ces propriétés sont à la fois subtiles, transparentes et intuitives pour les élèves de cycle 3, ce qui peut nuire à leur explicitation par les élèves et donc au débat. Cependant, les élèves pourront prouver que 46 ne vérifie pas P avec les éléments suivants qui sont à leur portée :
14, 15, 16 et 15, 16, 17 sont deux triplets « consécutifs » ;
14+15+16 = 45 ; 15+16+17 = 48 ;
46 est compris entre 45 et 48 ;
on ne peut donc pas l’atteindre.
20Par ailleurs, la preuve consiste non plus à exhiber un triplet correct mais à mettre en relation des arguments. Si un élève conjecture que 46 vérifie P et produit un triplet qui permet, à son avis, de le montrer, il est assez facile pour d’autres élèves de prouver à ce stade que le triplet ne convient pas car il ne respecte pas une des contraintes. Mais si un élève fait la conjecture correcte et produit une argumentation erronée, il sera peut-être plus difficile pour les autres élèves de la classe de réagir. Considérons par exemple le cas où des élèves proposent, comme nous l’avons observé ainsi que J.-C. Aubertin (J.-C. Aubertin et al., 2005) : « 46 ne se décompose pas en la somme de trois nombres consécutifs car il est pair ». Cette proposition a une apparence très mathématique, son invalidité provient du recours à un énoncé tiers invalide : « tout nombre pair vérifie P ». Pour contre-argumenter, les élèves peuvent avoir recours au contre-exemple (« 96 est aussi pair et il vérifie P »). S’ils ne mobilisent pas d’eux-mêmes un contre-exemple, l’enseignant peut les inciter à le faire. Toutefois, il faut noter qu’au cycle 3 le contre-exemple ne représente pas pour tous les élèves un argument de poids. Au contraire, c’est un savoir en cours d’apprentissage qui a pu être rencontré en dehors du contexte scolaire par certains élèves mais pas par tous, loin de là. Ici, l’intervention de l’enseignant est donc cruciale pour mettre en valeur l’intérêt de contre-argument.
Analyse des productions des élèves pour 46
21Nous visons in fine des apprentissages sur la preuve en mathématiques. La question « 46 peut-il se décomposer en la somme de trois nombres consécutifs ? » constitue à cet égard un enjeu mathématique majeur. En effet, d’abord, avec ce problème, les élèves sont confrontés à un problème « impossible » (c’est-à-dire dont la réponse est « non, on ne peut pas décomposer 46 en la somme de trois nombres qui se suivent »), ce qui est rarement le cas. Ensuite, la preuve nécessite plus que l’exhibition d’une décomposition correcte, elle demande de mettre en relation plusieurs arguments. Enfin, comme nous l’avons indiqué précédemment le traitement de propositions erronées pour 46 peut amener les élèves à utiliser des contre-exemples.
22Autour de cet enjeu, comme nous allons le voir, se nouent trois difficultés pour les élèves dont le dépassement participe à des apprentissages sur la preuve en mathématiques. D’abord, ils sont confrontés à un problème scolaire « impossible », ce qui est en rupture avec leurs habitudes. Ensuite, l’apparente évidence des arguments attendus empêche leur reconnaissance comme preuve au sens de N. Balacheff (N. Balacheff, 1982, p. 263) :
Nous appelons explication un discours visant à rendre intelligible le caractère de vérité, acquis pour le locuteur, d’une proposition ou d’un résultat. Les raisons avancées peuvent être discutées, refusées ou acceptées. Ainsi certaines explications sont reçues pour preuves c’est-à-dire acceptées, d’autres ne le sont pas. Cette décision peut-être l’objet d’un débat dont la signification est l’exigence de déterminer un système de validation commun aux interlocuteurs.
23Enfin, les éléments qui permettent de penser l’impossibilité de la décomposition sont aussi les contraintes du problème : ériger ces éléments en preuve demande donc aux élèves d’opérer un changement de statut sur eux, ce qui crée une résistance chez les élèves de ce niveau. La possibilité de dépassement de ces difficultés est en lien étroit avec les habitudes mathématiques des élèves et en particulier le(s) contrat(s) didactique(s) (G. Brousseau, 1998) qu’ils fréquentent en mathématiques. Le contrat didactique en jeu ici est un contrat de preuve et non un contrat arithmétique où les opérations suffisent à justifier le résultat obtenu3. Comme nous le verrons, l’inscription des élèves dans ce contrat didactique de preuve n’est pas aisée.
24Face à ces difficultés, dans la classe de Catherine, mais aussi dans d’autres classes (J.-C. Aubertin et al., 2005), l’argument « 46 ne se décompose pas en la somme de trois nombres qui se suivent car il est pair » apparaît comme un candidat intéressant et prégnant pour prouver l’impossibilité de la décomposition. En effet, au cycle 3, la plupart des élèves ont déjà rencontré cette notion de nombre pair/impair. Cependant, elle n’est pas intervenue comme un élément clé de la résolution d’un problème. Autrement dit, pour les élèves de cycle 3, la parité est un objet mathématique et non un outil au sens de R. Douady (R. Douady, 1986), ce qui est très rare dans le domaine numérique à l’école élémentaire. D’où une certaine légitimité de la part des élèves à attendre le problème où cette notion sera utilisée comme outil.
25Dans les deux classes la résolution du problème pour 46 débute dans le prolongement du travail commun et oral à propos de 96. Nous retraçons l’évolution des arguments des élèves afin de montrer comment le problème est résolu et quels sont les savoirs mathématiques « transversaux » fréquentés par les élèves.
Dans la séance de Louis
26Au tout début de la séance, Louis indique que certains nombres se décomposent en la somme de trois nombres qui se suivent et d’autres non :
Certains nombres se décomposent en une somme de trois nombres qui se suivent et d’autres pas […], aujourd’hui, on va apprendre à trouver ces nombres, à en trouver certains et surtout expliquer pourquoi ?
27Puis, alors que la consigne pour 96 a été écrite à la craie blanche au tableau, il écrit la question pour 46 en rouge. Ces deux éléments sont des indications qui préparent les élèves à rencontrer une impossibilité avec 46. Un élève dit d’ailleurs « ça ne marche pas parce qu’il est en rouge » et l’enseignant réplique alors : « parce qu’il est en rouge ? Alors je vais l’écrire en bleu ».
Une impossibilité contractuelle ?
28Cependant, au début de la résolution du problème pour 46 (phase 7 du déroulement, cf. annexe) la classe reste partagée. Certains élèves pensent que 46 ne se décompose pas. Par exemple, l’élève S1 indique : « 14+15+16 = 45, c’est le plus proche qu’on peut trouver en nombres qui se suivent, après c’est 48. » Dans cette proposition tout est dit. Pourtant, les autres élèves de la classe n’adhèrent pas massivement à son idée. En particulier, certains continuent de penser qu’il est possible de trouver une décomposition pour 46 et en cherchent une. Par exemple, l’élève G propose 21+22+23 = 46.
29À l’issue du travail en groupes, toutes les affiches indiquent qu’il est impossible de décomposer 46 en la somme de trois nombres consécutifs. Il faut dire que l’enseignant induit cette position depuis le début de la séance, mais tous les élèves sont-ils pour autant convaincus de cette impossibilité ? C’est un des enjeux de la séance : se mettre d’accord sur une preuve qui montre l’impossibilité de décomposer 46 en la somme de trois nombres qui se suivent.
Première affiche : on ne peut pas mais on peut faire 46 = 15+15+164
Non parce qu’on ne peut pas. Nous on a trouvé 46 comme ça :
15+15+16 = 46.
Mais ça ne se peut pas.
Affiche n°1
30L’enseignant désigne la première affiche à étudier (affiche 1). Cette proposition relève d’un registre empirique : c’est impossible car on n’a pas réussi.
31La phrase-réponse masque une réflexion plus profonde qu’il n’y paraît. En effet, la somme proposée (15+15+16) n’est pas prise au hasard et laisse penser que les élèves ont effectué au moins le calcul 14+15+16 = 45, calcul qu’ils ont ensuite « bricolé » pour obtenir 46. Ces élèves sont conscients que leur proposition 15+15+16 = 46 ne respecte pas les contraintes (« mais ça ne se peut pas »). Veulent-ils prouver que 46 ne vérifie pas P de la façon suivante : on ne peut pas trouver une somme de trois nombres qui se suivent pour faire 46 car 46 = 15+15+16, sous-entendu, on a presque trois nombres qui se suivent et dès qu’on change en trois nombres consécutifs on n’a plus 46 ? Sont-ils enfermés dans les habitudes contractuelles de la résolution d’un problème numérique : quand le maître pose un problème, on peut le résoudre donc il faut quand même qu’on propose une décomposition de 46 même si on sait qu’elle ne respecte pas les contraintes ? Les élèves sont-ils dans un entre-deux, en voie d’accepter l’impossibilité de la décomposition de 46 ? Ou bien simplement fournissent-ils une décomposition additive de 46 car ils ne trouvent pas d’autres arguments ?
32Les interactions entre les élèves du groupe, les autres élèves de la classe et l’enseignant nous donnent à penser que ces élèves, ou certains élèves du groupe, sont plutôt dans un entre-deux. En effet, l’élève J1 qui représente le groupe et commente l’affiche au tableau précise « on a fait 15+15+16 = 46. On a fait avec 46 parce que c’est dur à trouver ». Cela peut s’interpréter de deux façons :
1) il est difficile de trouver une décomposition de 46 en respectant les contraintes, mais c’est peut-être possible, donc on a pris un peu de liberté pour avoir une décomposition à proposer ;
2) d’habitude on nous demande plutôt de justifier avec des opérations et il est difficile de trouver un argument pour ce problème alors on propose une décomposition additive de 46 qui répond presque aux contraintes.
33Il n’y a pas vraiment de discussion sur cette affiche, l’enseignant indique rapidement : « Vous n’avez pas tout à fait respecté la consigne puisqu’il fallait trois nombres qui se suivent et il n’y en a que deux. » Louis s’attache-t-il réellement à une partie seulement de la production des élèves ? Utilise-t-il cette raison car il ne sait pas comment réagir face à cette production ? Veut-il éviter de s’engager dans un processus d’explicitation et de compréhension du raisonnement des élèves qui pourrait prendre du temps ?
Deuxième affiche : on ne peut pas mais on peut faire 45
34Avant de quitter le tableau, un élève, J1, choisit la deuxième affiche.
On ne peut pas trouver 46 parce que les 3 nombres ne se suivent
pas, ça donne un total de 45.
Parce que 14+15+16 = 45
Affiche n°2
35L’argument proposé est proche du précédent : si on choisit des nombres qui se suivent, on peut faire 45 mais on ne peut pas obtenir 46. Les élèves n’indiquent pas que 15+16+17 vaut 48. Leur argument est partiel et, mathématiquement, cette proposition, qui, comme la précédente, relève du registre empirique (c’est impossible car je n’ai pas réussi) ne prouve rien. Pourquoi, ces élèves ne parviennent-ils pas à en dire plus ?
36Leur raisonnement fait appel à des savoirs mathématiques tellement familiers pour eux qu’ils n’identifient pas les propriétés mathématiques à en extraire pour les ériger en véritable explication. En effet, jusqu’au cycle 3 les élèves fréquentent essentiellement les nombres entiers naturels, les propriétés de ces nombres – en particulier leur caractère discret qui garantit l’examen de toutes les possibilités – ne leur apparaissent donc pas essentielles. Ils ne trouvent donc peut-être pas utile de préciser qu’avec le triplet suivant, on dépassera nécessairement 46.
37Mais, nous pensons que les difficultés de ces élèves résident aussi dans leur difficulté à changer de contrat didactique (G. Brousseau, 1998). En effet, habituellement, lors de la résolution d’un problème arithmétique, la justification prend la forme d’une opération et les raisons du choix de l’opération effectuée ne sont pas explicitées. Or, ici, même si le problème est numérique, le contrat didactique n’est pas un contrat arithmétique. Cela induit en particulier une clause différente : une opération ne suffit pas à justifier, il faut aussi expliciter sa raison d’être pour avoir une preuve. Or, cette explicitation fait ici défaut aux propositions des élèves.
38Face à cette affiche, un élève interrogé déclare « Vous avez triché » car la deuxième affiche est identique à une autre (cf. affiche 2bis). Cet élève ne se situe pas non plus dans le registre de la rationalité mathématique. L’enseignant interrompt alors et déclare : « Cette affiche-là et cette affiche-là, c’est la même raison. Le contraire de J1. Là on trouve bien trois nombres qui se suivent mais ça ne fait pas 46. » Ce qui met fin à la discussion.
Non. 14+15+16 = 45
Affiche n 2bis
39La troisième affiche est aussi choisie par l’élève qui quitte le tableau
40Troisième et quatrième affiches : on peut faire 45 et 48, 45 est plus petit que 46 et 48 est plus grand
Non. Parce que 14+15+16 = 45 et 15+16+17 = 48 alors 45 est plus petit et 48 est plus grand. Alors on ne peut pas faire 46.
Affiche n°3
Non, on ne peut pas mais on peut faire 45 et 48.
15+16+17 = 48
14+15+16 = 45
Affiche n°4
41Contrairement aux deux premières affiches, deux opérations sont proposées et des arguments autres que des opérations sont présentés. Ces arguments sont corrects, cependant, les élèves n’indiquent pas explicitement que les triplets choisis sont consécutifs.
42À propos de l’affiche 3, un élève déclare : « Je n’ai rien compris », ce qui conduit les deux élèves au tableau à formuler autrement leur proposition. Elles précisent : « C’est soit trop petit, soit trop grand » puis « 45 est plus petit que 46 et 48 est plus grand que 46 ». L’utilisation du « soit, soit » marque bien que toutes les possibilités ont été examinées, mais nous ne sommes pas si sûrs que cette expression résonne ainsi chez tous les élèves de la classe. L’enseignant ne reprend pas cet aspect.
43Les autres élèves ne semblent pas adhérer à cette proposition. Ils ne réagissent pas sur le fond et s’attachent de nouveau à des éléments de surface (« Elles n’ont pas écrit si on pouvait faire », « Elles n’ont pas fini leur explication »). Ces réactions, qui ne se situent guère sur le terrain de la rationalité mathématique, sont un peu surprenantes. Pourquoi en est-il ainsi ? Les élèves cherchent-ils ainsi à masquer la difficulté qu’ils rencontrent face à ce problème ? Leurs réactions montrent-elles qu’ils n’identifient pas l’enjeu mathématique de la séance ? Au contraire, la preuve leur semble-t-elle si évidente qu’ils réagissent sur d’autres aspects ? Selon cette dernière éventualité, il faudrait tout de même qu’ils approuvent les propositions faites, ce qui n’est pas le cas.
44L’enseignant choisit lui-même la quatrième affiche et demande aux élèves d’expliquer leur raisonnement. Les élèves précisent : « En fait, on ne peut pas faire 46 parce que si on fait 15+16+17, ça fait 48 et si on fait 14+15+16, ça fait 45. Donc c’est soit trop petit, soit trop grand. » Les différents éléments de la proposition sont bien articulés (utilisation de si, donc, soit) et mathématiquement idoines, mais là encore l’exhaustivité de la démarche n’est pas explicitée.
45L’enseignant ne demande pas aux élèves s’ils sont d’accord avec cet argument mais propose de comparer les deux dernières « explications » (« Est ce que ce sont les mêmes ou pas ? » ; « Qu’est-ce qui est pareil dans les deux explications ? »). Plusieurs élèves répondent : « On trouve le même résultat 48 » ; « C’est 45 et puis eux c’est 45, c’est pareil encore ». Aucune autre réponse n’est faite. De notre point de vue, cela montre que ces élèves attachent une importance plus grande aux calculs effectués qu’aux arguments dont font partie ces calculs. Cela corrobore, pour ces élèves, l’hypothèse d’une difficulté à se situer dans un contrat de preuve.
Une preuve ?
46À ce stade, trois affiches n’ont pas encore été étudiées.
Parce qu’il n’y a pas de nombres qui se suivent
pour faire le nombre 46.
Affiche n°5
Non. Parce que j’ai fait deux calculs les plus proches
et ça ne marche pas.
15+16+17 = 48
14+15+16 = 45
Affiche n°6
13+14+15 = 42
14+15+16 = 45
Affiche n°7
47Deux de ces affiches relèvent du registre empirique (n° 5 et 6). L’autre (n° 7) semble inachevée : les élèves ont effectué les calculs 13+14+15 = 42, 14+15+16 = 45 et probablement 15+16+17 = 48 qu’ils n’ont pas transcrits sur l’affiche et sont restés bloqués à cet endroit. Peut-être ces élèves pensaient-ils pouvoir montrer que 46 vérifie P ?
48Sans interroger les élèves, l’enseignant commente l’affiche 5, typique du registre empirique, et la compare avec les affiches 3 et 4 :
Louis : Il n’y a pas de nombres qui se suivent pour faire le nombre 46 […]. Il n’y a pas mais vous ne le démontrez pas là (affiche 5). Ici (affiches 3 et 4), ils disent « il n’y a pas » mais ils disent : « Mais en fait pour 45 et 48, si je vous avais donné 45 ça marchait, si je vous avais donné 48, ça aurait marché, par contre 46 on ne peut pas ».
Un élève non identifié : En fait c’est…
Élève S1 : C’est la règle.
Louis : Chut, chut. Je suis en train de résumer ce que vous avez expliqué. Élève S1 : Par exemple dans les résultats que t’as trouvés, ça fait de trois en trois. Par exemple…
49Ces propos montrent que le maître-formateur considère les propositions précédentes comme des preuves. Mais sont-elles des preuves pour tous les élèves de la classe ? Sans réaction d’élèves qui indique une adhésion, nous en doutons. De plus, sans intervention de l’enseignant pour montrer ce qui, du point de vue des mathématiques, constitue une preuve, nous pensons que des élèves n’identifient pas la raison avancée comme une preuve. Cet extrait nous laisse penser que c’est effectivement le cas car des élèves cherchent une règle générale qui permettra de prouver pour tout nombre. Nous identifions ici une conception de la preuve mathématique chez certains élèves qui constitue un obstacle pour ce problème : la preuve doit avoir un caractère général, la preuve est une « règle » qui décrit les propriétés des nombres qui vérifient P. Cette conception révèle une confusion entre « règle » et « preuve ». Provient-elle des habitudes mathématiques des élèves dans cette classe : on justifie, on prouve en convoquant la règle ? Est-elle à mettre en relation avec la présentation du problème faite par l’enseignant en début de séance et la gestion de la situation ?
Dans la séance de Catherine
50Au début du problème, les élèves pensent que 46 peut se décomposer en la somme de trois nombres qui se suivent. Ils font des essais pour trouver une décomposition adéquate et trouvent qu’on peut atteindre 42 (13+14+15), 45 (14+15+16) et 48 (15+16+17).
C’est impossible !
51L’idée d’impossibilité de la décomposition pour 46 émerge grâce à deux éléments lors de la phase 6 (cf. annexe). D’une part, une élève, M., pointe clairement que l’on cherche à atteindre le nombre 46. D’autre part, l’enseignante reprend au tableau dans ce qu’elle appelle son coin « brouillon » les différents essais proposés par les élèves.
Le coin brouillon « avant » : les essais des élèves sont en bas du tableau, peu visibles

52À partir de ce moment, les élèves vont petit à petit se rallier à l’impossibilité de la décomposition, après quelques explorations supplémentaires. Ainsi, comme 14+15+16 = 45 = 46-1 et comme on ne peut pas ajouter 1 à un seul des nombres sinon ils ne seraient plus consécutifs, un élève propose de commencer par 15 sans s’apercevoir qu’alors on a un écart de 3 sur le résultat de la somme.
L’enseignante a réécrit de façon visible les essais des élèves

53À ce stade de la séance, les éléments 13+14+15 = 42, 14+15+16 = 45 et 15+16+17 = 48 ont donc le statut d’éléments d’exploration pour établir une conjecture et non un statut de preuve. Négocier ce changement de statut pour accéder à la preuve est un des enjeux de la suite de la séance. Un autre enjeu consiste à montrer l’invalidité de l’argument de parité qui apparaît de façon concomitante avec l’impossibilité de la décomposition.
54Les affiches produites lors du travail en groupes reprennent les deux types d’arguments : « 46 ne se décompose pas car il est pair/impair » (des élèves se trompent) et « on peut faire 45, on peut faire 48, on n’a pas 46 ». L’enseignante n’effectue pas de classement des affiches mais propose de s’intéresser d’abord à l’argument « Non, car 46 est un nombre pair » (cf. phase 8, annexe I).
55Première affiche : 46 est un nombre impair
NON car 46 c’est un nombre impair ça veut dire qu’on ne peut pas faire trois nombres à la suite pour faire le résultat 46.
Affiche n°1
56L’élève M. réagit et indique que l’argument n’est pas recevable car 36 est pair et se décompose alors que 15 est impair et se décompose aussi. Elle ne donne donc pas seulement un contre-exemple (36 est pair et vérifie P, il y a donc des nombres pairs qui vérifient P) ; elle envisage tous les cas (un nombre entier qu’il soit pair ou impair peut se décomposer) pour montrer que l’argument de parité n’est pas un bon argument. L’enseignante ne retient que l’idée de contre-exemple et reprend oralement : « 36, on avait trouvé, c’est un nombre pair ». Mathématiquement, le contre-exemple suffit effectivement, mais l’intervention de l’élève M. laisse penser que pour les élèves cela n’est pas construit.
Deuxième et troisième affiches : 15+16+17 = 48, 14+15+16 = 45
On ne peut pas car les nombres ne se suivent pas. Par exemple :
15+16+17 = 48, ce nombre est trop grand ;
14+15+16 = 45, ce nombre est trop petit.
Affiche n°2
Non parce que 15+16+17 = 48 et 14+15+16 = 45. Ce n’est pas 46…
Affiche n°3
57Tous les éléments de la preuve figurent sur l’affiche 2, en particulier on y trouve, sans que ce soit explicité par les élèves, un balayage exhaustif des possibilités. Cette affiche exprime aussi l’idée que les additions de triplets successifs ne permettent pas d’atteindre tous les entiers naturels (« les nombres [NDL : sous-entendu : les résultats obtenus] ne se suivent pas »), d’où l’impossibilité d’atteindre 46 alors qu’il est possible de trouver 45. L’enjeu est de leur faire prendre un statut de preuve partagée par la classe (N. Balacheff, 1982).
58Pour les élèves, l’affiche 2 ne convient pas formellement car il n’est pas indiqué « non, parce que… ». L’enseignante ne précise pas que cet argument qui n’appartient pas à la rationalité mathématique n’est pas recevable, elle propose de modifier l’affiche pour qu’elle convienne formellement. L’élève Y. suggère d’ajouter « Non, parce que c’est un nombre pair » tandis que M. et T. indiquent « Soit le nombre est trop petit, soit le nombre est trop grand ». Il n’y a pas véritablement de travail mathématique. En particulier les élèves ne reprennent pas l’argument de non-succession des nombres et un élément important reste implicite : il n’y a pas d’autre triplet de nombres entiers possible entre (14, 15, 16) et (15, 16, 17). L’évidence de la preuve nuit-elle ici à son explication ? L’enseignante n’incite pas les élèves à aller plus loin dans leur raisonnement. Visiblement elle a prévu de passer en revue toutes les affiches, elle pense donc probablement que ce travail peut attendre puisque d’autres affiches le permettront. Il n’empêche que de notre point de vue, l’enseignante manque ici une occasion de rappeler que le travail concerne la rationalité mathématique, ce qui permettrait aux élèves de mieux comprendre les règles de la situation proposée.
59Pour la troisième affiche, comme le remarque d’emblée l’enseignante, les arguments proposés sont très proches des précédents. Toutefois il est précisé que 46 n’est pas atteint. Est-ce que le dernier élément de la proposition « ce n’est pas 46 » signifie « en balayant les possibilités on ne peut pas faire 46 » ?
60Catherine cherche à utiliser ces deux affiches pour constituer une justification complète, mais tous les élèves ne sont visiblement pas prêts à la considérer comme une preuve. En effet, l’élève S4 propose d’écrire « non, parce que 46 est impair ». Cette réaction montre combien le critère de parité est prégnant pour les élèves face à l’évidence des éléments valables. Certains élèves ont cependant acquis à ce moment que la parité ne constitue pas la raison mathématique de l’impossibilité et sont capables de réutiliser 36 comme contre-exemple. En effet, l’élève H. indique : « Ça ne marche pas parce qu’on l’a déjà fait mais 36 c’est déjà un nombre impair et il marche. »
Intervention de l’enseignante : « On a 14, 1,5 16, et 15, 16, 17, qu’est-ce qu’on peut prendre d’autre ? »
61Pour nous, l’enjeu à ce stade de la séance est d’expliciter le fait qu’entre 14, 15, 16 et 15, 16,17 il n’y a pas d’autres possibilités, cela permettrait de dépasser l’évidence des arguments pour les élèves.
62Après avoir constaté avec les élèves que les autres affiches n’apportent pas d’arguments nouveaux, l’enseignante, qui pense probablement avoir définitivement écarté le critère de parité, cherche à faire expliciter l’exhaustivité des recherches et indique « on a déjà 14, 15, 16 et 15, 16, 17, qu’est-ce qu’on peut prendre d’autre ? » Les élèves font alors des propositions qui ne respectent pas les contraintes initiales et permettent de contourner l’impossibilité. Leurs réactions signifient-elles qu’ils ne sont pas tous convaincus de l’impossibilité mathématique du problème ? Mettent-elles en évidence une résistance face à la rencontre d’un problème « impossible » dans une séance de mathématiques ? Signifient-elles que l’évidence fait obstacle à l’avancée vers la preuve ? Un élève déclare « on peut faire de trois en trois ». Il a probablement observé cette régularité qui donne un argument fort pour montrer que 46 ne vérifie pas P. L’enseignante redirige cette idée vers la classe mais les autres élèves ne réagissent pas.
Le retour de la parité
63L’enseignante (démunie face aux réactions des élèves ou constatant qu’ils ne sont pas prêts ?) revient aux affiches et interroge l’élève M. qui oriente de nouveau la discussion vers la parité. Les interactions montrent deux choses. D’abord, des élèves pensent encore que 46 ne vérifie pas P pour des raisons de parité. Ensuite, les élèves ne sont pas tout à fait sûrs du fait que 46 est pair. En effet, certains pensent qu’il est impair et d’autres pensent alternativement (comme l’élève M.) qu’il est pair ou impair. Mais, quoi qu’il en soit, pour eux, la justification réside dans une propriété du nombre en rapport avec la parité. Cette confusion montre que la prégnance de l’argument de parité chez les élèves trouve son origine ailleurs que dans la rationalité mathématique, c’est en quelque sorte une conjecture qui s’impose fortement à eux.
La parité ne sert à rien
64Deux éléments vont permettre de sortir de cette confusion : une intervention de l’élève Q. et la structuration effectuée par l’enseignante et notée au tableau.
65L’enseignante qui a perçu la confusion chez les élèves clarifie : 46 est pair. Il vient d’être redit que 46 est pair et 45 impair lorsque l’élève Q. indique : « Pourquoi on a réussi avec 15 alors ? », sous-entendu, vu le contexte : si 46 ne vérifie pas P car il est impair, alors pourquoi 15 qui est aussi impair vérifierait-il P ? Cette intervention semble faire écho chez certains élèves, en particulier l’un d’eux dit alors « parce que ça se termine par 6 » que nous comprenons comme une nouvelle proposition d’une justification non reprise par l’enseignante : 46 ne vérifie pas P car il se termine par 6.
66À partir de l’intervention de l’élève Q., l’enseignante structure ce qui est connu depuis le début de la recherche en accompagnant l’oral d’un écrit au tableau :
Catherine : [46] Il est pair. Pourquoi ? On dit toujours pourquoi, ce qui nous intéresse c’est pourquoi. Pourquoi ? […] Alors on lève la main. Élève V.
Élève V. : Parce qu’autrement ce serait 40, autrement parce que si c’était un nombre impair, y’aurait toujours un 0 à la fin.
Catherine : Alors, est-ce qu’un nombre impair…
Un élève non identifié : Un nombre impair c’est 45.
Catherine : Toujours un 0.
Un élève non identifié : Impair ce serait 45.
Catherine : « Impair ce serait 45 ». Alors comment… comment on sait les nombres impairs ?
Un élève non identifié : Impair c’est 1 3…
Élève Q. : Pourquoi on a réussi avec 15 alors ?
Catherine : Ah, voilà ! Qu’est-ce qu’il nous dit Q. ? On a réussi avec 15… Un élève non identifié : Parce que ça finit par 6.
Catherine : Chut… avec 15. On a réussi, ça se termine par quoi 15 ?
Un élève non identifié : 5.
Catherine : 5. Alors c’est un nombre pair ou impair ?
Un élève non identifié : c’est impair.
Plusieurs élèves : impair.
Catherine : Impair. 15 il est impair, alors je vais l’écrire en… en bleu pour qu’on voie bien. D’ailleurs je ne sais pas si on voit très bien en bleu. 15 il est impair…
Un élève non identifié : Sinon on fait 40…
Catherine : Et, on a réussi avec 15 qui est impair, on a aussi réussi avec quoi ?
Un élève non identifié : 46 est pair.
Un élève non identifié : Est impair.
Catherine : 46 ça finit par 6, donc c’est… pair. 46 il est pair, je vais écrire ça ici.
Un élève non identifié : En fait, c’est dans l’autre sens 30 15. S’il est pair dans l’autre sens…
Catherine : Chut, chut, chut. On lève la main. On lève la main.
Un élève non identifié : Il est pair dans…
Catherine : 15 on a réussi, il est impair. 46 il est pair. Qu’est-ce qu’on a d’autre ? Impair… Q.?
Élève Q. : 36 il est pair aussi.
Catherine : 36 il est pair.
Élève M. : Et 96 est pair parce que ça se finit par 6.
Un élève non identifié : Il est impair.
Catherine : Et 96. M. je préférerai que tu lèves la main, mais je suis d’accord.
Plusieurs élèves non identifiés : 96 est pair.
Catherine : Donc qu’est-ce qu’on peut dire ? […] 15 il est impair et on a réussi. 96 il est pair et on a réussi. Alors dire « c’est pair ou impair », qu’est-ce que ça nous permet ?
Élève N. : Rien, rien parce que…
Catherine : chut, chut, chut… N.?
Élève N. : Ça ne fait rien du tout parce que c’est soit impair ou pair… Tu peux…
Catherine : Exactement, N., répète bien fort ce que tu viens de me… ce que tu viens de nous dire.
Élève N. : Ça ne change rien si on fait, si c’est impair ou pair…
Catherine : Voilà.
Élève N. : On peut… on peut toujours chercher…
Catherine : Bon, alors ce que vient de vous dire N.
Un élève non identifié : c’est impossible.
Catherine : On a vu que : 15 était impair, 96 c’est pair ça marchait. Donc que ce soit pair ou impair ça ne change rien du tout.
Un élève non identifié : Ça sert à quoi sinon ?
Catherine : Alors il faut qu’on trouve autre chose. Est-ce que certaines affiches ne nous ont pas donné autre chose ?
Le coin « propre » du tableau avant et après la structuration

67Il nous semble que cette structuration et principalement les annotations portées au tableau permettent d’en finir avec la parité. Du coup, comme l’indique l’enseignante, il faut trouver autre chose.
68Dans l’extrait précédent, un élève déclare « ça sert à quoi sinon ? » Peut-être nous indique-t-il ici qu’il recherche une utilité au concept de parité ?
Une preuve ?
69Quelle justification alors ? L’enseignante indique : on ne peut pas parce quand on fait 14+15+16 c’est un petit peu trop petit et quand on fait 15+16+17 c’est un petit peu trop grand. Finalement, l’impossibilité de trouver un triplet de nombres entiers entre 14, 15, 16 et 15, 16, 17 ne sera donc pas explicitée. Or, nous pensons que cet élément de rupture avec l’évidence joue un rôle crucial pour que les élèves associent aux égalités 14+15+16 = 45 et 15+16+17 = 48 un statut de preuve et non, comme c’est le cas au début de la séance, un statut d’éléments de l’exploration. Pour nous, à la fin de la séance, les éléments avancés en conclusion par l’enseignante ne constituent pas une preuve du problème pour la majorité des élèves. Certaines de leurs interventions vont dans ce sens. En effet, un élève indique « non, parce qu’on ne peut pas » et un autre « c’est impossible, c’est tout », ce qui montre que ces élèves restent dans un registre empirique (si je n’y arrive pas, c’est impossible, c’est tout).
Conclusion
70La situation a été choisie par les enseignants et nous-mêmes dans un ouvrage de référence pour la formation des enseignants en mathématiques. L’analyse a posteriori montre qu’il est particulièrement difficile de faire avancer les connaissances des élèves dans le domaine de la preuve pour des raisons d’ordres différents.
71La situation mathématique n’est pas idéale car les arguments nécessaires à la preuve sont trop subtils pour les élèves. En particulier, l’explicitation de la non-existence d’un triplet entre (14, 15, 16) et (15, 16, 17) qui n’a pas été évoquée lors de la préparation de la séance s’avère un élément crucial pour dépasser le caractère évident d’arguments tels que « 14+15+16 = 45 c’est trop petit et 15+16+17 = 48, c’est trop grand ». De plus, les propositions des élèves ne sont pas toujours exprimées de façon claire, elles sont quelquefois partielles, il est donc difficile pour l’enseignant d’en comprendre tout le sens et de permettre une exploitation des éléments intéressants pour le débat en classe. Par ailleurs, les propositions des élèves renvoient à des savoirs mathématiques singuliers, souvent mal maîtrisés par les professeurs des écoles polyvalents. De ce point de vue, la stagiaire qui a un parcours universitaire en mathématiques est probablement mieux préparée que le maître-formateur. Enfin, la gestion d’un débat et l’enseignement de ces savoirs mathématiques requièrent un contrat didactique et des techniques spécifiques (M. Hersant, 2008a, 2008b) pour permettre de façon conjointe une avancée dans la résolution du problème et la fréquentation de ces savoirs. En particulier, comme nous l’avons vu à propos de la stagiaire, une structuration des propositions des élèves accompagnée de notes au tableau et certaines relances sont déterminantes. Or, les enseignants ne disposent pas forcément de ces techniques singulières.
Bibliographie
Références bibliographiques
Aubertin J.-C. et al., « Réflexion sur la conduite en classe d’une situation de recherche », Repères IREM, n° 59, 2005, p. 43-53.
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Brousseau G., Théorie des situations didactiques, Grenoble, La pensée Sauvage, 1998.
Douady R., « Jeux de cadres et dialectique outil-objet », Recherche en didactique des mathématiques, n° 7.2, 1986, p. 5-31.
ERMEL, Vrai ? Faux ? On en débat ! De l’argumentation vers la preuve au cycle 3, Paris, INRP, 1999.
Grenier D., Payan C., « Situations de recherche en “classe” essai de caractérisation et proposition de modélisation », Cahiers du Laboratoire Leibniz, Grenoble, n° 92, 2003.
Hersant M., « Une pratique de débat et sa genèse », in Vinatier I. et Altet M. (sous la dir. de) Analyser et comprendre la pratique enseignante, Rennes, Presses Universitaires de Rennes, coll. « Didact Education », 2008a, p. 135-151.
Hersant M., « Problèmes pour chercher : des conduites de classes spécifiques », Grand N, n° 81, Grenoble, IREM de Grenoble, 2008b, p. 57-75.
Perrin-Glorian M.-J., Hersant M, « Milieu et contrat didactique, outils pour l’analyse de séquences ordinaires », Recherches en didactique des mathématiques, n° 23. 2, 2003, p. 217-276.
Vergnaud G., « La théorie des champs conceptuels », Recherche en didactique des mathématiques, n° 2.3, 1991, p. 133-169.
Notes de bas de page
1 C’est-à-dire qu’il n’y a un nombre dénombrable d’entiers, ce qui implique en particulier que tout entier a un successeur et un prédécesseur. Ainsi, une étude systématique des triplets, et sans erreur de calcul, garantit la possibilité ou l’impossibilité d’obtenir 46 en effectuant la somme de trois nombres consécutifs.
2 En particulier, la croissance de la fonction somme sur les entiers naturels est un véritable théorème-en-actes (G. Vergnaud, 1991) pour les élèves : une somme de trois termes augmente quand on augmente la valeur d’au moins un des termes.
3 Dans un contrat arithmétique, la solution du problème est numérique et obtenue par une opération ou une suite d’opérations. L’enseignant attend des élèves qu’ils effectuent et présentent cette ou ces opérations. Dans un contrat de preuve, la solution est quelquefois obtenue sans effectuer d’opérations sur des nombres. L’enseignant attend principalement des élèves un raisonnement mathématique, éventuellement justifié par des opérations.
4 Ce que nous appelons « affiche » correspond au texte écrit par les élèves.
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Pratiques enseignantes des mathématiques
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