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Tsunarisque

 | 
Franck Lavigne
, 
Raphaël Paris

Chapitre 1. Reconstitution et modélisation du tsunami

Interpolation spatiale de données circulaires : application au tsunami du 26 décembre 2004

Delphine Grancher, Avner Bar-Hen, Raphaël Paris, Franck Lavigne, Daniel Brunstein e Patrick Wassmer

Abstract

In the framework of prevention, it is necessary to understand the dynamics of a tsunami. In order to develop hydrodynamic model, we used geo-statistical tools to reconstruct the tsunami of December, 24th, 2004 at Banda Aceh (Indonesia). On a area of 20 km2, about 1000 angles were measured, based on impact of the wave. To simplify the modelling, we assume unicity of the wave. Classical spatial statistics cannot be used in this problem since (i) kriging is not invariant by rotation; (ii) the arithmetic mean cannot be used for circular data.
We first review common adaptations of kriging to circular data. Drawbacks of these methods are illustrated on our example.
Finally we extend circular data theory to spatial statistics.

Testo integrale

1. Introduction

1Sur leur passage, les vagues du tsunami ont courbé, couché, renversé et brisé de nombreux éléments verticaux. Les orientations au sol prises par les poteaux, colonnes, structures de bâtiment et arbres indiquent la direction du tsunami, à savoir l’angle par rapport au Nord (voir Lavigne et al., 2006). Ces traces ne sont pas réparties uniformément sur la zone touchée par le tsunami. La mesure systématique de ces éléments a permis de constituer une importante base de données d’orientation. Disposant de données haute résolution sur la direction du tsunami, le but de ces travaux est de mettre au point des méthodes permettant d’interpoler le champ des orientations de la vague sur l’ensemble de la zone affectée. Pour reconstituer le parcours du tsunami sur toute la surface de la base nous avons choisi d’utiliser la géostatistique (statistique appliquée aux données géoréférencées), l’idée principale étant de n’utiliser que les mesures d’angle et leur position géographique. Nous n’utiliserons dans ces méthodes ni d’équations d’écoulement ni la topographie de la zone.

2D’un point de vue mathématique, l’interpolation de données d’orientation, c’est-à-dire de données circulaires, pose des questions théoriques que nous présenterons dans le troisième paragraphe. Les mesures étant des angles, nous devons adapter les méthodes traditionnelles d’interpolation en tenant compte des difficultés de manipulation de ce type de données. En effet la plupart des méthodes d’interpolation sont basées sur un calcul de moyenne arithmétique. Or, dans le cas des mesures d’angle (ici les orientations par rapport au Nord prises par la vague du tsunami), la moyenne arithmétique ne correspond pas toujours à l’angle moyen trouvé intuitivement. Utiliser directement la valeur de l’angle comme mesure à interpoler spatialement n’est donc pas judicieux.

3Après avoir décrit les données dont nous disposons, nous ferons une brève revue des méthodes disponibles pour l’interpolation de données circulaires. Enfin nous testerons ces méthodes afin de déterminer la meilleure.

2. Présentation des données

4La dynamique du tsunami n’est accessible qu’à travers les traces laissées au sol. Les mesures ont été prises sur des arbres penchés ou tombés, des poteaux ou des clôtures pliés ainsi que des sols striés par le passage d’objets lourds (voitures, bateaux, gravats) déplacés par le tsunami. Nous disposons de plus de 1 000 données d’orientation sur la baie de Lhok-Nga (environ 20 km2). Plus de 600 sont des relevés de terrain réalisés au cours de l’année 2005 lors des missions de janvier, août et décembre. Ces orientations ont été relevées à la boussole et leur localisation a été prise au GPS (Fig. 1). Les valeurs des orientations ont été validées par GPS (pour éviter le décalage entre le Nord géographique et le Nord magnétique). Certaines zones de la baie étaient soit inaccessibles, soit déjà déblayées lors des missions de terrain. Nous avons donc ajouté 300 mesures à l’échantillon grâce à l’analyse d’une couverture de photographies aériennes réalisée par le Bakosurtanal (équivalent de l’IGN en Indonésie) en juin 2005. Sur ces photos, on distingue les troncs des palmiers qui ont été renversés. La position de leurs racines permet de mesurer l’orientation des arbres.

5Aussi bien sur le terrain que lors du traitement des photos aériennes nous avons porté une attention particulière à la représentativité des données. En effet, pour nous assurer de la qualité des mesures, les orientations issues du backwash (flux de retrait de la vague du tsunami) ont été exclues (voir Lavigne et al., 2006). En outre, seules les orientations répétées localement sur plusieurs éléments ont été collectées.

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FIG. 1. Répartition des mesures d’angles sur la baie de Lhok-Nga.

6D’après les témoignages oraux recueillis, 3 vagues principales se sont succédé à Lhok-Nga (voir Lavigne et al., cet ouvrage, p. 27 et Lavigne et al., 2006). Il n’est pas toujours possible de différencier les orientations des 3 vagues. Nous avons considéré que les orientations mesurées montrent la direction du flux d’eau le plus puissant, soit celui correspondant à la deuxième vague.

7La baie de Lhok-Nga présente une configuration topographique particulière ; la dépression est un plan légèrement incliné vers le nord-est, suite à une rupture de pente à environ un kilomètre de la côte, ce qui a permis à la zone de ne pas avoir été fortement affectée par un retrait puissant de l’inondation. En effet, lors du retrait de l’eau, une part de l’écoulement s’est opérée vers le nord de la zone (en direction de la ville de Banda Aceh) et le restant s’est évacué par la rivière Krueng Raba qui contourne par le sud la majeure partie de la plaine de Lhok Nga (voir dans cet ouvrage Lavigne et al, p. 27, et Lavigne et al, 2006). On peut donc considérer que les orientations relevées sont toutes issues directement des vagues du tsunami (runup) et non du retrait de l’eau (backwash).

8Les données analysées dans cet article concernent exclusivement la baie de Lhok-Nga. Conformément à la direction générale du tsunami, les orientations sont essentiellement réparties sur le demi-cercle est. Cependant, quelques mesures sont orientées vers l’ouest, il s’agit parfois de turbulences locales ou, comme au nord de la baie, d’une pénétration du flux d’eau dans des petites vallées. Nous avons interpolé les 1 000 mesures d’orientation relevées sur le terrain et par le biais de photos aériennes sur une grille de 100 m × 100 m sur l’ensemble de la baie. À partir d’observations de terrain et des photographies aériennes, nous avons déterminé les zones inondées par le tsunami. Les calculs d’orientation n’ont été effectués que sur les points de la grille situés dans les secteurs qui ont été touchés par le tsunami.

3. Méthodes et résultats

9Nous verrons dans cette partie l’ensemble des méthodes. Les différents résultats ont été comparés aux témoignages récoltés sur le terrain afin de pouvoir commenter et comparer les cartes obtenues par les différentes méthodes. La première idée est d’ignorer la nature circulaire des angles et de chercher la « meilleure » interpolation spatiale des observations. Cette interpolation est aléatoire car elle dépend des données.

3.1. Le krigeage ordinaire

10Le krigeage porte le nom de son inventeur, l’ingénieur minier sud-africain D.G. Krige. Dans les années 1950, Krige a développé une série de méthodes statistiques empiriques afin de déterminer la distribution spatiale de minerai à partir d’un ensemble de forages. L’idée de base du krigeage est de chercher une moyenne pondérée des observations centrée sur les vraies valeurs (on parlera d’estimateur non biaisé) et de variance minimale. On note Z(xi,yi) la valeur d’une variable mesurée au point de coordonnées (xi,yi) de la zone d’étude. On suppose que l’on a n points. On cherche les poids (coefficients) λi tels que :

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La contrainte de non-biais impose Image 10000000000000B50000006FAEC5B230.jpgOn peut montrer que les λi sont solutions de système :

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11On suppose en général que la corrélation entre deux points ne dépend que de la distance qui les sépare (hypothèse d’isotropie) et peut se modéliser par une fonction paramétrique. Le lecteur intéressé trouvera un traitement détaillé du krigeage dans Cressie (1993). Le krigeage est une technique classique, implémentée dans de nombreux logiciels. Il est basé sur un calcul de moyenne pondérée mais, employé sur des mesures circulaires, il conduit à des résultats incohérents. En effet, la moyenne (pondérée ou non) de données circulaires n’a que peu de sens. À titre d’exemple, la moyenne arithmétique des angles 10° et 350° devrait valoir 0° mais un calcul direct donne (10 + 350)/2= 180°. Bien évidemment, il n’existe pas de rotation permettant d’éviter ce problème pour l’ensemble des angles.

3.2. Krigeage à deux paramètres (cosinus et sinus)

12Les méthodes de géostatistiques se sont fortement développées récemment avec l’arrivée des données géoréférencées. On peut noter qu’en général les variables étudiées sont continues ou discrètes et ne concernent pas les données périodiques. En effet, les données circulaires se rencontrent plus fréquemment dans un contexte temporel lorsqu’on étudie des dates. Des questions relatives à la distribution de données angulaires sont étudiées mais la dimension spatiale n’est jamais prise en compte (à notre connaissance). Le livre de Mardia (1979) présente les outils de base pour les données circulaires.

13L’approche classique en données circulaires consiste à utiliser deux descriptifs pour un angle. Le choix le plus naturel étant le cosinus et le sinus. Nous allons d’abord présenter le krigeage séparé du cosinus et du sinus. Puis nous présenterons une méthode qui cherche à conserver la meilleure des deux interpolations. Ensuite nous présenterons le cokrigeage qui permet d’utiliser le cosinus (respectivement le sinus) comme variable explicative du sinus (respectivement du cosinus). Le krigeage circulaire sera introduit dans la prochaine section.

– Krigeage séparé du sinus et du cosinus

14La première idée est d’effectuer un krigeage ordinaire du sinus ou du cosinus. La théorie des développements limités montre que :

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15Nous avons donc sin(Z(x,y)) = Z(x,y) si l’angle Z(x,y) est près de 0°. De même le cosinus peut être approché par la valeur de l’angle pour des angles près de π/2 (90°). Le krigeage du sinus est donc pertinent pour les angles plats et le krigeage du cosinus pour les angles droits.

16La carte obtenue avec le krigeage ordinaire des cosinus montre un phénomène de convergence du flux derrière la barrière de corail (ceci est conforme aux hypothèses formulées dans Barthomeuf et al, 2006). Les résultats obtenus au sud de Lam-Lhom sont incohérents. Certaines flèches sont orientées sud-nord ou nord-sud. Dans les vallées au nord de la baie, le flux du tsunami est modélisé dans le sens contraire de la réalité. Les orientations mesurées en un point sont différentes de l’estimation proposée par la modélisation. Ceci est dû au fait que pour une valeur unique de cosinus on dispose de deux valeurs d’angles possibles. En effet, pour une même valeur du cosinus, on a deux angles différents possibles.

17Sur la carte obtenue avec le krigeage des sinus, la zone la plus incohérente se situe autour de la rivière Krueng Raba. En revanche, la zone de rizière à l’est de Lampuuk est tout à fait cohérente. Le flux d’eau ne part pas vers le sud à l’est de la baie, ce qui ne correspond pas aux témoignages (voir Lavigne, 2006). La barrière de corail ne semble avoir eu aucun effet perturbateur pour ce choix de modèle.

18Le krigeage des sinus et le krigeage des cosinus ne fournissent pas les mêmes cartes. Chacune des cartes présente des zones où la vague semble correctement modélisée et d’autres complètement incohérentes. Le krigeage des sinus et des cosinus montre les mêmes lacunes méthodologiques. Le principal problème est le passage de la valeur du sinus au cosinus à la valeur de l’angle qui n’est pas bijectif (une même valeur de sinus ou de cosinus correspond à deux angles différents). D’autre part, on constate nettement les capacités différentes des deux méthodes suivant la valeur des angles interpolés et donc suivant les secteurs touchés par le tsunami.

– Meilleur krigeage entre le cosinus et le sinus

19Il est donc tentant de ne conserver que la meilleure interpolation entre le sinus et le cosinus. Les approximations fonctionnent bien pour des angles proches de π/2 (90°) ou proches de π (180°). On a donc envie de donner un poids faible pour les cosinus proches de π/2 et un poids faible pour les sinus proches de π :

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20On peut noter que les angles proches de 45° et 135° seront mal interpolés. De plus, les valeurs interpolées des cosinus et des sinus peuvent ne pas être dans l’intervalle [– 1, 1], ce qui rend leur interprétation pour le moins délicate. La carte obtenue par choix de la meilleure estimation (par krigeage des cosinus ou des sinus) permet de corriger certaines erreurs surtout autour de la rivière et dans les rizières de Lam Lhom. On observe une convergence du flux derrière la barrière de corail. Mais il reste encore quelques données absurdes.

– Cokrigeage

21Notons que les approches précédentes ne prennent pas en compte les liens entre le cosinus et le sinus. Plusieurs propositions ont été faites mais elles reposent en général sur le cokrigeage (voir Cressie, 1993). À la différence du krigeage ordinaire qui n’utilise que la localisation spatiale pour interpoler les données, le cokrigeage permet d’incorporer des variables auxiliaires dans la prédiction. Même si les rôles de la variable auxiliaire (supposée non aléatoire) et de la variable interpolée (aléatoire) ne sont pas échangeables, il est donc tentant d’utiliser le cosinus comme variable auxiliaire de l’interpolation spatiale du sinus et le cosinus comme variable auxiliaire pour le krigeage du cosinus. On cherche donc :

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22On veut évidemment des estimateurs non biaisés de variance minimale. Les prédictions du cokrigeage peuvent encore être en dehors de l’intervalle de définition [– 1, 1]. De plus, la propriété fondamentale des mesures trigonométriques cos(Z(x,y))2 + sin(Z(x,y))2 = 1 n’a aucune raison d’être respectée. Les valeurs trouvées pour le cosinus et le sinus ne correspondent pas au même angle.

23Les cartes obtenues par le cokrigeage (le cosinus avec le sinus comme covariable et le sinus avec le cosinus comme covariable) sont toutes les deux différentes. Il faut donc choisir la variable (sinus ou cosinus) la plus pertinente. On peut voir le sinus et le cosinus comme la partie réelle et imaginaire d’un nombre complexe. Nous avons donc décidé de choisir l’argument de ce nombre complexe. Les cartes obtenues ressemblent fortement à celles du krigeage ordinaire avec beaucoup moins d’erreurs. Cependant, il reste des incohérences. Sur la carte basée sur le cosinus, par exemple, il y a toujours des orientations inversées dans les vallées du nord de la baie. Le tsunami modélisé par le cokrigeage du sinus avec pour co-variable le cosinus est plus orienté vers le nord que sur l’autre carte.

3.3. Krigeage complexe

24Par analogie avec les nombres complexes, certains auteurs ont proposé de renormaliser les prédictions des cosinus et des sinus obtenues par les équations précédentes par :

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25Ceci permet d’avoir une interpolation conjointe du cosinus et du sinus (voir Monestiez et al, 2002).

26Sur la carte obtenue par le krigeage complexe, on observe une convergence du flux derrière la barrière de corail comme sur la carte proposée par le krigeage des cosinus. Il n’y a aucune zone où les estimations sont fortement perturbées comme on a pu le voir sur les précédentes cartes. Le flux suit entièrement le relief et est conforme aux témoignages recueillis sur le terrain lors des missions de janvier et août 2005. Le tsunami arrive sur terre exactement à la perpendiculaire de la ligne du littoral. On voit nettement au nord-est de la baie la rencontre entre la vague venant de Lhok-Nga et celle venant de la ville de Banda Aceh.

3.4. Krigeage circulaire

27Les approches présentées dans ce chapitre ne prennent pas en compte la nature directionnelle et périodique des données. Ce domaine a généré de nombreuses recherches et nous allons montrer comment adapter la théorie du krigeage aux données circulaires.

– Statistiques descriptives pour les données circulaires

28Le krigeage est basé sur l’espérance et la variance des angles. Il convient donc de commencer par définir la moyenne et la variance de données circulaires.

29Soit (Z1, Z2, …, Z) un échantillon de n directions avec :

30Zi = (cos(θ),sin(θ)) (0 ≤ θ ≤ π).

31La moyenne empirique s’écrit naturellement :

Image 10000000000000D80000007C5BE9A487.jpget la direction moyenne de Image 100000000000002E00000032A778D322.jpg s’écrit :

Image 10000000000002A10000016219CD4280.jpg

Cette définition de Z0 a deux propriétés intéressantes : (i) Tout d’abord une rotation des Zi induit la même rotation de Z0 ; ce qui est une propriété de base de la moyenne empirique mais qui n’est pas remplie par Image 100000000000002E00000032A778D322.jpg, (ii) De plus, la définition de Z0 a une propriété de minimisation. Si on note S(a) la distance de corde (i.e. la distance directe) entre les points Zi et un point a du cercle, alors Image 10000000000001570000008A402467E4.jpg et on peut montrer que min Image 10000000000001150000004A3C500E8A.jpg Notons que si Image 100000000000007000000036020A08F6.jpg les points sont répartis uniformément sur le cercle et qu’au contraire Image 100000000000002B000000412D162E70.jpg proche de l’indique une concentration des points. La quantité Image 100000000000008E00000042CE9A53FF.jpg est donc souvent appelée variance sphérique.

– Définition du krigeage circulaire

32Au vu de ces définitions, il est tentant d’interpoler les angles sous la condition de non biais en termes de direction moyenne et de variance sphérique minimum. L’idée serait donc de chercher une interpolation des directions moyennes qui soit centrée sur les vraies valeurs et de variance sphérique minimale.

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Dans ce cas la contrainte de non biais ne se résume pas à Image 100000000000009600000070E46F1E47.jpg et la résolution analytique difficile. Il y a donc deux possibilités : soit on résout les équations de manière numériques, soit on « krige » les sinus et les cosinus et on recalcule la direction moyenne et la variance sphérique à l’aide des interpolations des sinus et des cosinus. Cette seconde approche est très proche du krigeage complexe.

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FIG. 2. Krigeage complexe

4. Conclusion

33Les différentes méthodes testées pour interpoler les données d’orientation fournissent des cartes différentes. La seule qui respecte une certaine logique et conforte les témoignages obtenus sur le terrain est celle obtenue par le krigeage complexe. Cette carte peut donc être utilisée en référence dans toutes les problématiques du projet Tsunarisque utilisant les données d’orientation. C’est ce modèle qui est nommé FlowDGeos model (Flow Direction Geostatistical model) dans l’ensemble de l’ouvrage.

34Cependant l’ensemble de ces méthodes ne prend pas en compte la topographie du terrain. Le flux modélisé ne prend donc pas en compte les obstacles. Il n’y a pas d’angle calculé sur les petites collines par exemple parce que nous avons enlevé ces points dans l’interpolation. Le tsunami a la même direction avant et après la butte de Lampissang. Ce problème devrait être évité en utilisant des modèles de déformation spatiale.

Autori

© Éditions de la Sorbonne, 2011

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