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Mesure et histoire médiévale

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Société des historiens médiévistes de l’Enseignement supérieur public

Mesurer l’espace

Mesure de distances et arpentage dans le monde musulman médiéval : entre théorie et pratique

Jean-Charles Ducène

Résumé

En terre d’Islam au Moyen Âge, la mesure des distances était avant tout l’estimation d’un itinéraire parcouru, le nombre de jours ou d’étapes était converti en valeurs linéaires. Beaucoup plus rarement, on recourait au calcul d’une ligne droite entre deux points dont les coordonnées géographiques étaient connues, car ce problème de trigonométrie sphérique exigeait une maîtrise de procédés mathématiques peu répandue. Au niveau local cependant, les méthodes d’arpentage montrent la subsistance de pratiques anciennes et de formules approximatives alors que se développe par ailleurs une littérature mathématique savante, mais ignorée des arpenteurs de terrain. Tandis que la géométrie pratique se diffusait dans les milieux savants, une manière de faire traditionnelle continuait à se transmettre au sein des corps de métier.

In the Islamic world of the Middle Ages, distances were measured mainly by estimating a journey by converting the number of days taken or stages covered into linear values. Another method was to calculate a straight line between two points whose geographical coordinates were known. This method was rarely used, as the problem in spherical trigonometry involved required the mastery of mathematical skills that few possessed. On the ground the study of land surveying methods in use shows the persistence of ancient practices and rough estimates at a time when an advanced mathematical science was developing unbeknownst to the land surveyors of the day. While practical geometry was gaining the milieu of the scholars, traditional work methods continued to be handed down within the narrow confines of the trade.

Texte intégral

1La littérature géographique arabe, depuis son apparition au ixe siècle, nous livre des données numériques comme mesures de distances. Parallèlement, la littérature historique nous apprend que l’administration centrale a ordonné périodiquement des arpentages afin de déterminer l’impôt foncier, et ceci dès la fin du viie siècle, bien que nous n’ayons gardé de cadastres qu’à partir du xive siècle. Comment ces nombres ont-ils été obtenus, correspondent-ils à une certaine réalité et finalement quels rapports entretiennent-ils avec l’évolution des sciences mathématiques, géométriques surtout, de leur époque ?

Les mesures de distances : question de longueur

  • 1 A. I. al-Ghabban et al., Routes d’Arabie. Archéologie et histoire du royaume d’Arabie saoudite, Pa (...)
  • 2 A. Sprenger, Die Post und Reiserouten des Orients, Leipzig, 1864 ; M. Forstner, Das Wegenetz des Z (...)
  • 3 W. Hinz, Islamische Masse und Gewichte, Leyde, 1955.

2L’archéologie du Proche-Orient a révélé l’existence de plusieurs bornes milliaires qui ont été dressées sur quelques routes de pèlerinage entre le viiie et le ixe siècle, et plusieurs de ces bornes1 indiquent la distance en milles qui les sépare de la destination. De même, la littérature géographique à partir du ixe siècle énumère toute une série d’itinéraires, allant du Maroc actuel jusqu’au nord de l’Inde en mentionnant les étapes et les distances séparant ces haltes. Ces distances sont généralement données en milles en Occident et en parasanges en Orient2, soit encore simplement mentionnées en nombre d’étapes. Comprenons qu’entre tel et tel lieu, il faut faire autant d’étapes. L’estimation en durée du voyage tient lieu de distance, étant en quelque sorte un espace vécu. Or, dans le dernier cas, on peut se demander d’où viennent ces mesures, car il y a ici un silence complet dans nos sources, d’autant que l’on ignore la valeur réelle des unités de mesure utilisées3. S’il a existé des étalons ou des mesures officielles, ce fut avant tout pour la coudée, soit une petite mesure, mais pas pour les grandes longueurs.

  • 4 E. S. Kennedy, « Géographie mathématique et cartographie », Histoire des sciences arabes, dir. R. (...)
  • 5 D. King, World-Maps for Finding the Direction and Distance to Mecca, Leyde, 1999, p. 56-64.

3Quant à l’origine de ces chiffres, on peut avancer deux hypothèses. La première est la conversion des distances vécues, le nombre d’étapes, en unités de mesure. Cette méthode est mentionnée par Ptolémée (Géographie, Livre I, 12-13). Mais une autre conversion apparaît, c’est celle des écarts de coordonnées terrestres qui sont convertis en milles. En effet, il faut savoir que dès le premier quart du ixe siècle apparaît à Bagdad une version arabe, revue et corrigée de la Géographie de Ptolémée, dont ne subsiste actuellement que le relevé de la carte, connue comme le Kitāb ṣūrat al-arḍ (« Livre de l’image de la terre ») d’al-Ḫwārizmī. C’est le début de la géographie mathématique qui verra se constituer des tables de coordonnées en latitude et longitude de la majorité des villes musulmanes et autres d’ailleurs. Sans en préciser les modalités d’obtention, remarquons que les latitudes étaient faciles à mesurer alors que les longitudes étaient beaucoup plus aléatoires4. Ces coordonnées se sont multipliées non seulement à cause de la curiosité des savants, mais aussi parce qu’elles avaient une application musulmane pratique et ceci dès la fin du ixe siècle, calculer l’angle de la qibla5, l’orientation rituelle. Ce développement pratique n’a pu se faire qu’avec le développement de la trigonométrie sphérique.

  • 6 Al-Hamdānī, Ṣifat ǧazīrat al-‘Arab, Sana, 1990, p. 40.

4Mais voilà qu’elles apparaissent aussi dans le calcul des distances. En effet, al-Hamdānī, un auteur du xe siècle, nous a laissé une description géographique de l’Arabie où il donne explicitement la conversion en milles et en étapes de distances exprimées en degrés6. Il convertit l’écart entre deux longitudes sur la même latitude ou deux latitudes sur la même longitude en prenant la valeur de 66 milles et 2/3 pour 1 ° et en sachant que 20 milles valent une étape. Il est à remarquer que les valeurs angulaires n’ont évidemment pas la même valeur linéaire partout sur la sphère et qu’une telle conversion n’est valable que sur les méridiens.

  • 7 F. Castello, « El-Dikr al-aqālīm » de Isḥāq ibn al-Ḥasan al-Zayyāṭ, Barcelone, 1989, p. 88 sq.
  • 8 Al-‘Umarī, Masālik al-abṣār fī mamālik al-amṣār, Abu Dhabi, 2006, t. 2, p. 522-533, 537-538.

5Une autre application mathématiquement erronée de ces coordonnées nous est donnée par un géographe andalou du xie siècle, Ibn al-Zayyāṭ7, dans un chapitre particulier intitulé « Distances entre les localités ». L’auteur résout ce problème en appliquant le théorème de Pythagore, alors que nous sommes ici sur la sphère. Nous retrouvons la même réflexion chez un encyclopédiste et fonctionnaire mamelouk du xive siècle, al-‘Umarī8. Est-ce à dire que les auteurs n’avaient pas perçu cette particularité ? Probablement pas, mais elle n’était présente que dans l’esprit des véritables savants mathématiciens.

  • 9 King, World-Maps…, op. cit. n. 5, p. 66-67 ; R. T. Gunther, The Astrolabes of the World, Oxford, 1 (...)
  • 10 E. S. Kennedy, « Applied Mathematics in the Tenth Century : Abu’l-Wafa calculates the Distance Bag (...)
  • 11 J. L. Berggren, « On al-Bīrūnī’s Methode of the zījes for the qibla », Proceedings of the Internat (...)

6Dans le même ordre d’idées que l’angle de la qibla, on a, à partir du milieu du xive siècle, des listes reprenant les distances qui séparent certaines localités de la Mecque9. Il s’agit de l’arc de cercle reliant cette ville à la Mecque. Cependant, ces questions ont déjà été abordées aux ixe et xe siècles comme le prouvent deux traités mathématiques conservés, celui d’Abū l-Wafā’ al-Buzǧānī (934-998)10 et celui de de Ḥabaš al-Ḥāsib. Dans le premier, deux méthodes sont données. L’une, pour connaître la distance entre Bagdad et la Mecque, applique ce qu’al-Bīrūnī nommera plus tard « la méthode des zīǧ11 ». La seconde méthode est plus originale, c’est celle du sinus verse (al-ǧayb al-ma‘kūs), qui provient peut-être de l’astronomie indienne.

  • 12 Al-Bīrūnī, The Determination of the Coordinates of Positions for the Correction of Distances betwe (...)
  • 13 Id., Al-Qānūn al-Mas‘ūdī, Beyrouth, 2002, t. 2, p. 93-98.
  • 14 J. H. Kramers, « Al-Biruni’s Determination of Geographical Longitude by measuring the Distances »,(...)

7Enfin, au xie siècle, al-Bīrūnī se penche à deux reprises sur le problème, d’abord dans son ouvrage intitulé « De la détermination des coordonnées des lieux pour la correction des distances entre les localités12 ». Et il y revient dans un chapitre particulier de sa somme astronomique, le Qānūn al-Mas‘ūdī13. Al-Bīrūnī traite le problème de la distance entre deux points, dont les latitudes sont connues, comme celui des diagonales d’un quadrilatère sphérique. Al-Bīrūnī ramène ce problème sphérique sur un plan en substituant aux lignes d’arcs les cordes qui les tendent, dont la longueur est exprimée en partie sexagésimale d’un radian. Le quadrilatère devient un trapèze auquel il applique le théorème de Ptolémée (le produit des diagonales – ou le carré d’une diagonale – est égal au produit de chaque paire des côtés opposés). Il continue son raisonnement pour trouver la longueur de la diagonale. Lorsqu’il donne des distances entre villes en parasanges, elles sont très proches des distances que l’on peut calculer en utilisant les géographes du temps14. Dans l’esprit d’al-Bīrūnī, l’opération servait aussi à calculer correctement les longitudes.

  • 15 D. Pingree, « The Fragments of the Work of al-Fazārī », Journal of Near Eastern Studies, 29 (1970) (...)
  • 16 Al-Mas‘ūdī, Les prairies d’or, trad. C. Pellat, Paris, 1965, t. 2, p. 520-521.
  • 17 À vol d’oiseau, Ferghana-Tanger fait 6 555 km et Bakou-Jeddah 2 325 km.

8Dans cette littérature qui s’occupe des distances entre les points sur le globe, on ne rencontre pas d’estimation de surface des régions ou des provinces. Seul l’astronome al-Fazarī (viiie siècle)15 fait exception. Lorsqu’il fournit des surfaces16, en disant que l’empire du calife « depuis le Farghāna et la limite extrême du Khurassan, jusqu’à Tanger au Maghreb, [a une étendue de] 3 700 parasanges (env. 22 144,5 km), et de Derbend à Djedda, de 600 parasanges (env. 3 591 km)17 », il tire sans doute ces valeurs d’estimations routières, car il enchaîne en disant que de Derbend à Bagdad, il y a 300 parasanges (env. 1 735,5 km) et de la Mecque à Djedda, 32 milles. Mais il continue en donnant les longueurs et largeurs d’un certain nombre d’États qui sont extérieurs à l’empire du calife, comme la Chine, qui ferait 31 000 parasanges (env. 185 535 km) sur 11 000 (env. 65 835 km). La critique interne permet de dater cette énumération des années autour de 788.

Les mesures de l’arpentage : questions de longueur et de surface

  • 18 R. Rashed, Al-Khwārizmī. Le commencement de l’algèbre, Paris, 2007, p. 202-231.
  • 19 Nous n’avons pu consulter le texte bien qu’il ait été publié par A. Sa‘īdān, ‘Ilm al-ḥisāb al-‘ara (...)
  • 20 J. Aghayani-Chavoshi, « Abū l-Wafā, innovateur de la géométrie pratique dans le monde islamique »,(...)

9Si l’estimation de ces grandes surfaces était avant tout un jeu de l’esprit, au niveau local celle des parcelles était bien plus importante car d’elle dépendait l’impôt foncier et les divisions liées à l’héritage (‘ilm al– farā’iḍ). On peut diviser les opérations en deux parties, l’obtention des mesures et puis le calcul de la surface, selon une ou des formules données. Cette pratique de l’arpentage (misāḥa) se développe en même temps que la géométrie, ‘ilm al-handasa, cela aboutit à la constitution d’une science du calcul des surfaces, ‘ilm al-misāḥa, dont on a des exemples dès le ixe siècle. Ainsi, al-Ḫwārizmī (ixe siècle), dans son ouvrage sur l’algèbre, al-ǧabr wa-lmuqābala, consacre un chapitre au calcul des surfaces en prenant des exemples dans le calcul de la surface des champs18. Abū l-Wafā’al-Buzǧānī fait passer la géométrie théorique à la géométrie pratique. Il est l’auteur du Kitāb fīmā yahtāǧ ilayh al-‘ummāl wa-l-kuttāb min sinā‘at al-ḥisāb (« Eléments de calcul dont ont besoin les percepteurs et les secrétaires »), connu aussi comme le K. al-manāzil fī mā yahtāǧ ilayh al-‘ummāl wa-l-kuttāb min ṣinā‘at al-ḥisāb19. On lui doit aussi un Kitāb fīmā yaḥtāǧ ilayh al-ṣāni‘min a‘māl al-handasa ou K. al-niǧārat (« Livre du menuisier ») selon Aghayani-Chovashi. L’ouvrage est constitué de onze à treize chapitres selon les manuscrits, et l’un des derniers traite des « problèmes de partage de quadrilatères, dont la division d’un carré, d’un triangle et d’un trapèze en deux ou trois parties, en laissant un “chemin” de largeur donnée menant à ces parties, problème qui se pose à un arpenteur lors du bornage des champs20 ». Cette littérature se développe par la suite, tant en Andalus qu’en Orient.

  • 21 Wadād al-Qāḍī, « Population Census and Land Surveys under the Umayyads (41-132/661-750) », Der Isl (...)
  • 22 Ibid., p. 375.
  • 23 Ibid., p. 371-372.
  • 24 Ibid., p. 404.
  • 25 A. Houtum-Schindler, Eastern Persian Irak, Londres, 1897, p. 70.

10Cependant, ces arpentages sont mentionnés très tôt dans la littérature historique, bien avant l’élaboration de cette littérature théorique. Il y aurait eu un arpentage du Sawād (centre de l’Iraq) sous ‘Umar II, et puis l’Iraq aurait été mesuré sous Mu‘āwiya, puis sous Yazīd II21. Par un papyrus grec22 (P. Nessana. 58), on sait que la Syrie l’a été entre 682 et 689 alors que la Haute-Mésopotamie l’a été en 710-711, sous le gouvernorat de Maslama23. Dans ce dernier cas, une source hébraïque atteste que cela a été fait avec des cordes. Le plus ancien de ces arpentages en Égypte24 a eu lieu sous le gouvernorat de ‘Ubayd Allāh b. al-Ḥabḥāb (105/723-24 – 116/734-35). Et le Pseudo-Sévère ajoute que cela été fait également avec des cordes. Plus à l’ouest, les premières attestations remontent à l’époque abbasside, notamment pour Qomm25, dont le premier arpentage date de 189/804-809.

  • 26 F. Nabih Amin, The Antiquities of South Arabia, Princeton, 1938, p. 8.
  • 27 Abū l-ḤasanAlī ibnUtmān al-Maḫzūmī, Kitāb al-minhāǧ fī ‘ilm ḫarāǧ Miṣr, éd. C. Cahen, Y. Rāġib (...)
  • 28 U. Haarmann, Das Pyramidenbuch des Abū Ǧa‘far al-Idrīsī, Beyrout, 1991, p. 67-68.
  • 29 Ibn Rusteh, Les Atours précieux, trad. G. Wiet, Le Caire, 1955, p. 69.

11Si la corde est manifestement utilisée dans les premiers temps, également d’ailleurs pour la délimitation des périmètres des bâtiments à construire26, à partir du xiiie siècle, c’est la perche, qaṣaba, qui s’impose. Cela ressort des manuels pratiques destinés aux fonctionnaires, comme celui d’al-Maḫūmī27. Incidemment, on apprend par un Égyptien curieux28, au xiiie siècle, que les côtés des bases des pyramides étaient mesurés en perches également. Mais déjà au viiie siècle, la mosquée de Médine avait été mesurée à la perche, « selon la méthode de la Syrie29 ».

  • 30 S. D. Goitein, A Mediterranean Society, Berkeley, 1967, t. 1, p. 113 ; D. Behrens-Abouseif, « Muha (...)
  • 31 Ibn Mammāṭī, K. qawānīn al-dawāwīn, Le Caire, 1943, p. 294-295.
  • 32 C’est un recueil où des notions diverses utiles pour la fiscalité sont mentionnées et clarifiées, (...)

12Pour en finir avec l’usage urbain de l’arpentage, il faut se souvenir que l’arpenteur, le muhandis, certainement à partir du xie siècle au Proche-Orient, est aussi celui qui délimite les parcelles lors des constructions ou tout simplement les fondations du bâtiment30. Et lorsque la mesure n’est pas possible, parce que l’objet est trop éloigné ou inaccessible, on utilise un instrument de visée. Dans nos ouvrages, ce cas est prévu pour connaître la largeur d’une rivière ou d’un canal. Nous avons des exemples théoriques en Égypte avec Ibn Mammātī31 (m. 606/1209), puis un manuel administratif mamelouk attribué à un certain Abū ‘Abd Allāh Ahmad ibn al-Ḥusayn al-Šaqqāq, Al-hāwī al-sulṭāniyya wa-rusūm al-ḥisāb al-dīwāniyya32, manuscrit écrit en 734/1333 (BNF, Arabe 2462).

  • 33 F. Sezgin, Geschichte des Arabischen Schrifttums, Leyde, 1974, t. 5, p. 151-154 ; Héron dAlexandr (...)
  • 34 F. Charrette, Mathematical Instrumentation in Fourtheen Century Egypt and Syria. The Illustrated T (...)

13Ces questions sont identiques à celles abordées par Héron d’Alexandrie33 dans Le dioptre, mais rien ne prouve la connaissance expresse de cet ouvrage par les savants musulmans. Il n’y a pas, chez les auteurs musulmans, d’équivalent au groma des agrimensores romains, qui servait à la centuriation. On observe une absence d’instruments de mesure spécifiques tant dans les textes descriptifs médiévaux34 que dans les collections modernes.

Quid de l’astrolabe35 ?

  • 35 D. R. Hill, A History of Engineering in Classical and Medieval Times, Londres, 1996, p. 116-124 ; (...)
  • 36 Gunther, The Astrolabes of the World, op. cit. n. 9, p. 115.

14Le dos de l’astrolabe avait quatre quadrants dont deux avaient des bords gradués de 0 ° à 90°, ce qui permettait de prendre l’altitude d’une étoile avec l’alidade. Les deux quadrants supérieurs montraient aussi les lignes des sinus et des cosinus. Le plus ancien astrolabe conservé, daté de 984, montre déjà un dos analogue36.

15De manière théorique, les arpenteurs musulmans auraient pu utiliser l’astrolabe pour obtenir la hauteur et l’orientation d’objets éloignés. L’alidade servait de viseur et l’objet était vu au travers des pinnules. Placée verticalement, l’alidade donnait un angle par rapport à un triangle rectangle gravé sur le dos de l’astrolabe. En pratique, il ne semble pas que les opérations aient été faites sur le terrain. Aucun manuel médiéval ne fait mention de cet usage.

  • 37 E. Wiedemann, « Beiträge zur Geschichte der Naturwissenschaften. XVIII », dans Id., Aufsätze zur A (...)
  • 38 Wiedemann, « Beiträge zur Geschichte… », loc. cit. n. 37, p. 588-593, à propos notamment du manusc (...)
  • 39 M. Viladrich i Grau, El « Kitāb al-‘amal bi-l-asṭurlāb » (Llibre de l’ús de l’astrolabi) d’Ibn al- (...)
  • 40 Gunther, The Astrolabes of the World, op. cit. n. 9, p. 380.

16Dès le xie siècle, ces questions sont abordées théoriquement quand il est question de l’usage de l’astrolabe. En Orient, al-Bīrūnī37 traite de la détermination de la hauteur d’un mur quand on ne peut atteindre son pied ; de la hauteur d’une montagne et de l’éloignement de son pied, de la largeur d’une vallée quand on ne peut la mesurer avec des cordes, etc. Et en Andalus, Ibn al-Saffār (m. 1035)38 s’intéresse aux mêmes problèmes : comment déterminer la hauteur d’une tour, la profondeur d’un puits, la largeur d’un fleuve ou d’un terrain plat ? Toujours en Andalus, Ibn al-Samḥ (979-1035)39, dans son traité sur l’usage de l’astrolabe, consacre un chapitre à la question de la profondeur d’un puits et un autre à celle de la largeur d’une rivière. La diffusion plus large de ces questions est démontrée par leur apparition dans plusieurs manuels pratiques d’astrolabe (Berlin, Staatsbibliothek, ms. 5809, ms. 5810 et ms. 5812). Horizontalement, l’astrolabe aurait pu servir à prendre plusieurs angles pour faire une « triangulation », en servant en quelque sorte de théodolite. Cet usage n’apparaît toutefois qu’au xvie siècle, dans les Pays-Bas, avec Gemma Frisius40. Il ne semble pas que les auteurs musulmans aient développé cet aspect. Dans ce cas, ce sont des rapports géométriques qui sont appliqués ou l’utilisation de la fonction sinus.

17En outre, un instrument dérivé de l’astrolabe en quelque sorte, le quadrant sinus ou quadrant trigonométrique (rub‘), y trouve un emploi spécifique, à partir du xie siècle, puisque conçu pour prendre l’altitude d’un astre, ou simplement la hauteur d’un objet. Les traités qui les détaillent abordent en particulier les questions de la profondeur d’un puits et de la largeur d’une rivière (Berlin, ms. 5817 et ms. 5823).

Le calcul des surfaces : écart entre les géomètres et les arpenteurs (Égypte)

  • 41 F. Sezgin, Geschichte des Arabischen Schrifttums, Leyde, 1974, t. 5, p. 271-281 ; J. Sesiano, « Le (...)

18L’histoire de l’arpentage en Égypte peut être appréhendée sur le long terme par la multiplicité des témoignages que les cultures qui se sont succédé sur le bord du Nil ont laissés. Le plus ancien texte médiéval nous en parlant est dû à un mathématicien égyptien du ixe siècle, Abū l-Kāmil41, auteur d’un Kitāb al-misāha wa-l-handasan aussi appelé, selon le titre de son premier chapitre, Kitāb misāḥat al-araḍīn (Livre de la mesure des terrains). Le traité est en quatre parties : déterminer les surfaces des figures planes, surface et volumes de certains solides, et de segments de cercles. Abū Kāmil à la fin de son premier chapitre indique que les formules utilisées par les arpenteurs étaient assez primitives, quoique les propriétaires se satisfassent des services des arpenteurs et de leurs méthodes approximatives. Il donne la formule pour les surfaces suivantes : carré, rectangle, cercle, triangles (rectangle, S= 1/2 ab, avec a et b cathètes) ; une formule pour tous les triangles de côtés a, b et c, si P = a + b + c, le périmètre, et s = 1/2 P, le demi-périmètre, alors

19Nous retrouvons ici la formule de Héron. Il continue avec le triangle équilatéral et le triangle isocèle. Il arrive enfin au trapèze. Pour ce dernier, il considère le trapèze comme un rectangle avec deux triangles. Il donne alors les formules utilisées par les arpenteurs :

20– triangle scalène de côtés a<b<c :

21S = 1/2 bc ; ou amélioré en

22S = 1/3 P × 1/2 c ; ou amélioré en

23S = 1/3 P × 1/6 P

24– cercle :

25S = (1/3 P)2 ; ou amélioré en

26S = 1/3 P × 1/4 P

  • 42 Ibn Mammātī, K. qawānīn al-dawāwīn, op. cit. n. 31, p. 279-294 ; E. Wiedemann, « Über Vermessung n (...)

27Pour un terrain polygonal, ils ont recours à la formule du cercle, ou ils le divisent en triangles et rectangles. On peut constater que trois siècles plus tard, les choses n’ont pas changé en Égypte car Ibn Mammāṭī critique toujours les arpenteurs pour utiliser des formules très approximatives alors que des formules plus justes existent. L’auteur d’ailleurs, sans le dire expressément, a recours à l’arpentage fractionnaire, c’est-à-dire qu’il divise une surface irrégulière en formes géométriques simples dont il donne les formules « pratiques » pour trouver les surfaces42. Il passe ainsi en revue six types de surfaces : les quadrilatères, les triangles, le cercle, les formes arquées, les formes en « tambour » (muṭabbalat) et les polygones.

  • 43 A. Déléage, « Les cadastres antiques jusqu’à Dioclétien », Études de papyrologie, 2 (1934), p. 73- (...)

28Mais d’où viennent ces formules ? On a la chance de pouvoir répondre en partie à cette question grâce à un papyrus grec43 de la fin du iie siècle ou du début du ier siècle av. J.-C., qui livre la même formule. Les surfaces étaient calculées avec la mesure des quatre longueurs en cordes et on obtenait la surface en cordes carrées. La formule était donc

  • 44 S. Sabri, « Les défauts du système d’arpentage à la kassaba et les corrections à y faire », Bullet (...)

29Ils appliquent à un quadrilatère quelconque la formule du rectangle. La formule aboutissait à un résultat plus grand que la réalité, sauf dans le cas d’un quadrilatère rectangle. L’erreur systématique était favorable au fisc. Les arpenteurs faisaient également de l’arpentage fractionnaire et l’erreur était alors plus petite, car portant sur de plus petits nombres. La même formule était utilisée par les Romains et les Byzantins. Les angles n’étant pas pris en compte, la formule peut se résumer à S = 1/4 (a + c)(b + d). En outre la formule en application pour les quadrilatères est en usage en Égypte du iie siècle avant J.-C. jusqu’au xixe siècle, car Saber Sabri44, en 1891, se plaint encore de son usage. On constate ainsi la coexistence de pratiques traditionnelles, simples, à côté de solutions mathématiques plus justes, mais limitées au monde des géomètres.

  • 45 J.-Y. Guillaumin, « Quels rapports entre les agrimensores romains et la science grecque ? », Trans (...)

30Il apparaît clairement qu’à partir du ixe siècle, c’est-à-dire à partir du moment où le monde savant arabe a eu à sa disposition l’héritage grec pour la géométrie et l’héritage indien pour la trigonométrie, certains savants ont développé des solutions mathématiques pour résoudre des problèmes de mesures. Ces derniers étaient de différents ordres. Ils touchaient à la géodésie, à l’astronomie, voire aux nécessités liées au culte musulman lui-même, entendons par là la direction de la qibla et la question subsidiaire qui sera développée, c’est-à-dire la distance qui sépare telle ville de la Mecque. En parallèle avec ces développements et de manière concomitante, l’astrolabe et le quadrant sont utilisés pour connaître des hauteurs. Autrement dit, ce sont soit les propriétés des triangles homothétiques qui sont utilisées (théorème dit de Thalès), soit les fonctions trigonométriques en trigonométrie plane ou sphérique, au fur et à mesure de leur découverte et de leur développement. Toutefois, en dehors de la littérature savante, quand on peut prendre connaissance de la littérature administrative, on se rend compte que la pratique est éloignée de ces complexités et que les auteurs se contentent de solutions approximatives, faciles à appliquer. Cela tient bien entendu à la structure de la société médiévale où une pratique professionnelle se transmet plus par apprentissage pratique que théorique, alors que les solutions savantes ont du mal à pénétrer les esprits de ceux qui devraient les appliquer. Étonnamment, en Orient, à partir du xiiie siècle, plusieurs traités sont écrits pour résoudre des problèmes d’arpentage, mais leur étude reste à faire. Récemment, Jean-Yves Guillaumin45 s’est interrogé sur les rapports entre les agrimensores romains et la science grecque et il a répondu en disant que les deux savoirs se sont appliqués à des domaines différents et, selon lui, les arpenteurs romains avaient plus de précision que les méthodes de Héron. Comparant les méthodes des mathématiciens et géomètres arabo-musulmans avec les méthodes pratiquées sur le terrain, nous apporterions une réponse inverse, quant à nous, voyant que la science s’est développée chez les uns mais est restée éloignée de la pratique des autres.

Notes

1 A. I. al-Ghabban et al., Routes d’Arabie. Archéologie et histoire du royaume d’Arabie saoudite, Paris, 2010, p. 430-431 ; M. Sharon, Corpus Inscriptionum Arabicorum Palaestinae, t. 3, Leyde, 2004, p. 97-107, p. 104-108, p. 219-224.

2 A. Sprenger, Die Post und Reiserouten des Orients, Leipzig, 1864 ; M. Forstner, Das Wegenetz des Zentralen Maghreb in islamischer Zeit, Ein Vergleich mit dem antiken Wegenetz, Wiesbaden, 1979.

3 W. Hinz, Islamische Masse und Gewichte, Leyde, 1955.

4 E. S. Kennedy, « Géographie mathématique et cartographie », Histoire des sciences arabes, dir. R. Rashed, Paris, 1997, t. 1, p. 217-232, ici p. 218-223.

5 D. King, World-Maps for Finding the Direction and Distance to Mecca, Leyde, 1999, p. 56-64.

6 Al-Hamdānī, Ṣifat ǧazīrat al-‘Arab, Sana, 1990, p. 40.

7 F. Castello, « El-Dikr al-aqālīm » de Isḥāq ibn al-Ḥasan al-Zayyāṭ, Barcelone, 1989, p. 88 sq.

8 Al-‘Umarī, Masālik al-abṣār fī mamālik al-amṣār, Abu Dhabi, 2006, t. 2, p. 522-533, 537-538.

9 King, World-Maps…, op. cit. n. 5, p. 66-67 ; R. T. Gunther, The Astrolabes of the World, Oxford, 1932, t. 1, p. 23 ; J. J. Sedillot, Traité sur les instruments arabes, Paris, 1834, t. 1, p. 324.

10 E. S. Kennedy, « Applied Mathematics in the Tenth Century : Abu’l-Wafa calculates the Distance Baghdad-Mecca », Historia mathematica, 11 (1984), no 2, p. 193-206 ; A. Moussa, « Mathematical Methods in Abū al-Wafā’s Almagest and the qibla Determinations », Arabic Sciences and Philosophy, 21 (2011), no 1, p. 1-56, ici p. 43-48.

11 J. L. Berggren, « On al-Bīrūnī’s Methode of the zījes for the qibla », Proceedings of the International Congress of the History of Science, Bucarest, 1981, p. 237-245.

12 Al-Bīrūnī, The Determination of the Coordinates of Positions for the Correction of Distances between Cities, trad. J. Ali, Beyrouth, 1967, p. 92-102.

13 Id., Al-Qānūn al-Mas‘ūdī, Beyrouth, 2002, t. 2, p. 93-98.

14 J. H. Kramers, « Al-Biruni’s Determination of Geographical Longitude by measuring the Distances », Analecta Orientalia, I (1954), p. 205-222 ; F. Sezgin, Mathematical Geography and Cartography in Islam and their Continuation in the Occident, Francfort, 2005, p. 153-160.

15 D. Pingree, « The Fragments of the Work of al-Fazārī », Journal of Near Eastern Studies, 29 (1970), p. 103-123, ici p. 116-117.

16 Al-Mas‘ūdī, Les prairies d’or, trad. C. Pellat, Paris, 1965, t. 2, p. 520-521.

17 À vol d’oiseau, Ferghana-Tanger fait 6 555 km et Bakou-Jeddah 2 325 km.

18 R. Rashed, Al-Khwārizmī. Le commencement de l’algèbre, Paris, 2007, p. 202-231.

19 Nous n’avons pu consulter le texte bien qu’il ait été publié par A. Sa‘īdān, ‘Ilm al-ḥisāb al-‘arabī, ‘Ammān, 1971, et réédité par Sāliḥ Aḥmad al-‘Alī à Bagdad en 1979.

20 J. Aghayani-Chavoshi, « Abū l-Wafā, innovateur de la géométrie pratique dans le monde islamique », La science dans le monde iranien, éd. Ž. Vezel, H. Beikbaghban, B. Thierry de Crussol des Epesse, Téhéran, 1998, p. 95-116, ici p. 103. L’ouvrage a été analysé par Woepcke à partir d’une traduction persane de l’ouvrage, voir F. Woepcke, « Analyse et extraits d’un recueil de constructions géométriques par Aboû Wafa », Journal Asiatique, 5 (1855), p. 218-256 et p. 309-359, mais aucun de ces passages n’aborde l’arpentage.

21 Wadād al-Qāḍī, « Population Census and Land Surveys under the Umayyads (41-132/661-750) », Der Islam, 83 (2008), p. 341-416, ici p. 359 et p. 365.

22 Ibid., p. 375.

23 Ibid., p. 371-372.

24 Ibid., p. 404.

25 A. Houtum-Schindler, Eastern Persian Irak, Londres, 1897, p. 70.

26 F. Nabih Amin, The Antiquities of South Arabia, Princeton, 1938, p. 8.

27 Abū l-ḤasanAlī ibnUtmān al-Maḫzūmī, Kitāb al-minhāǧ fī ‘ilm ḫarāǧ Miṣr, éd. C. Cahen, Y. Rāġib, Le Caire, 1986, p. 61.

28 U. Haarmann, Das Pyramidenbuch des Abū Ǧa‘far al-Idrīsī, Beyrout, 1991, p. 67-68.

29 Ibn Rusteh, Les Atours précieux, trad. G. Wiet, Le Caire, 1955, p. 69.

30 S. D. Goitein, A Mediterranean Society, Berkeley, 1967, t. 1, p. 113 ; D. Behrens-Abouseif, « Muhandis, Shād, Mu‘allim – Notion on the Building Craft in the Mamluk Period », Der Islam, 72 (1995), no 2, p. 293-309.

31 Ibn Mammāṭī, K. qawānīn al-dawāwīn, Le Caire, 1943, p. 294-295.

32 C’est un recueil où des notions diverses utiles pour la fiscalité sont mentionnées et clarifiées, différents types d’obligation, de ventes et d’achats, l’achat de la soie, les redevances en nature du ḫarāǧ, etc., voir U. Rebstock, « Réhabilitation d’un texte mathématique inconnu », Zeitschrift für Geschichte der arabisch-islamichen Wissenschaften, 15 (2002/2003), p. 175-184 ; Id., Kitāb al-Hāwī li-l-a’māl as-sulṭānīya wa-rusūm al-ḥisāb ad-dīwānīya (Das umfassende Buch über die herrschaftlichen Tätigkeiten und Rechenvorschriften in der Staatsverwaltung) von Abū ‘Abdallāh as-Saqqāq (st. 511/1118), Francfort, 2008.

33 F. Sezgin, Geschichte des Arabischen Schrifttums, Leyde, 1974, t. 5, p. 151-154 ; Héron dAlexandrie, Dioptre, trad. V. Prou, Notices et extraits des manuscrits de la bibliothèque impériale, Paris, 1858, t. 19, p. 157-337, § 9 mesurer la largeur d’une rivière ; § 14 mesurer la profondeur d’un fossé ; § 30 formule héronienne de la surface du triangle.

34 F. Charrette, Mathematical Instrumentation in Fourtheen Century Egypt and Syria. The Illustrated Treatise of Najm al-Dīn al-Misrī, Leyde, 2003 ; J. J. Sédillot, Traité des instruments astronomiques des arabes, composé au treizième siècle par Aboul Hhassan Ali, de Maroc, intitulé Jami’almabadi’wa-al-ghaat (collection des commencements et des fins), Paris, 1834.

35 D. R. Hill, A History of Engineering in Classical and Medieval Times, Londres, 1996, p. 116-124 ; A. Y. Al-Hassan, Id., Sciences et techniques en islam, Paris, 1991, p. 90. La majorité des traités médiévaux qui traitent de l’usage de l’astrolabe abordent essentiellement son emploi astronomique, E. Saenz-Diez, « Al-Kūfī : Kitāb al-‘amal bi-l-asṭurlab. Livre sur l’utilisation de l’astrolabe », Annales islamologiques, 34 (2000), p. 437-365.

36 Gunther, The Astrolabes of the World, op. cit. n. 9, p. 115.

37 E. Wiedemann, « Beiträge zur Geschichte der Naturwissenschaften. XVIII », dans Id., Aufsätze zur Arabischen Wissenschaftsgeschichte, New York, 1970, t. 1, p. 544-596, ici p. 578-588 ; les passages d’al-Bīrūnī sont extraits du Tafhīm. Al-Bīrūnī, The Book of Instruction in the Elements of the art of astrology, Londres, 1934, p. 207.

38 Wiedemann, « Beiträge zur Geschichte… », loc. cit. n. 37, p. 588-593, à propos notamment du manuscrit de Berlin, 5805.

39 M. Viladrich i Grau, El « Kitāb al-‘amal bi-l-asṭurlāb » (Llibre de l’ús de l’astrolabi) d’Ibn al-Samḥ, Barcelone, 1986, p. 88-89. Ces problèmes sont résolus par la tangente ou la cotangente.

40 Gunther, The Astrolabes of the World, op. cit. n. 9, p. 380.

41 F. Sezgin, Geschichte des Arabischen Schrifttums, Leyde, 1974, t. 5, p. 271-281 ; J. Sesiano, « Le Kitāb al-misāḥa d’Abū Kāmil », Centaurus, 38 (1996), p. 1-21. La seule copie connue est à Téhéran (2672, Maǧlis-i Sanā, copié en 758/1357).

42 Ibn Mammātī, K. qawānīn al-dawāwīn, op. cit. n. 31, p. 279-294 ; E. Wiedemann, « Über Vermessung nach Ibn Mammâtî », dans Id., Aufsätze…, op. cit. n. 37, p. 666-668.

43 A. Déléage, « Les cadastres antiques jusqu’à Dioclétien », Études de papyrologie, 2 (1934), p. 73-228, ici p. 95-99.

44 S. Sabri, « Les défauts du système d’arpentage à la kassaba et les corrections à y faire », Bulletin de l’Institut égyptien, 3e série, 1 (1891), p. 96-124, 131-135 et 150-155.

45 J.-Y. Guillaumin, « Quels rapports entre les agrimensores romains et la science grecque ? », Transmettre les savoirs dans les mondes hellénistique et romain, éd. F. Le Blay, Rennes, 2009, p. 119-132.

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