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Mesure et histoire médiévale

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Société des historiens médiévistes de l’Enseignement supérieur public

Mesurer l’espace

La géométrie de la mesure en pays d’Islam et ses prolongements en Europe latine (ixe-xiiie siècle)

Marc Moyon

Résumé

La science du mesurage, lec ilm al-misāḥa, est une discipline géométrique significative tant en Orient qu’en Occident musulmans. D’abord dans le prolongement des traditions anciennes et en particulier grecques, elle se développe ensuite grâce à plusieurs contributions originales avec l’éventuelle incursion d’un raisonnement algébrique. Au xiie siècle, plusieurs de ces ouvrages sont disponibles en Andalus et certains d’entre eux sont traduits en latin. Les conditions sont alors réunies pour favoriser le développement d’une littérature scientifique latine : la Practica Geometriae, dont le contenu évolue au contact du corpus arabo-latin. L’ouvrage éponyme de Fibonacci (1220) est ici pris comme illustration des ouvrages médiévaux les plus caractéristiques de l’appropriation par les Latins dudit corpus de géométrie de la mesure.

The Science of Measurement, the c ilm al-misāḥa, was a significant geometric discipline in the Muslim world both of the East and of the West. It was firstly a continuation of the ancient, mainly Greek traditions and then developed further with several original contributions, some of which employed algebraic reasoning. In the 12th century, a number of these works were available in Andalus, some of which were translated into Latin. Favorable conditions were now in place for the development of a Latin scientific literature. Known as Practica Geometriae, its content would evolve through contact with the Arab-Latin corpus. The eponymous work by Fibonacci (1220) is taken here as an illustration of the medieval works that are the most characteristic of the appropriation by Latin scholars of the above-mentioned corpus dealing with the Geometry of Measurement.

Texte intégral

  • 1 L’arabité est ici prise au sens linguistique et non pas en référence à une origine géographique, e (...)

1Les seuls noms d’Euclide, d’Archimède ou même d’Apollonius renvoient à des évocations plus ou moins précises comme figures d’autorité de l’histoire des sciences. Pour al-Khwārizmī, Ibn al-Haytham ou encore Abū Kāmil, c’est bien moins certain même si ces auteurs arabes1 ont joué un rôle non négligeable dans l’histoire des mathématiques pré-classique. Mais, si nous évoquons les noms d’Ibn Ṭahir al-Baghdādī, du qāḍī Abū Bakr pour l’Orient musulman, ou d’Ibn cAbdūn et d’Ibn al-Jayyāb pour l’Occident musulman, nous plaçons notre lecteur devant un monde inconnu. C’est en fait le résultat objectif des recherches en histoire des mathématiques. En effet, un survol de l’historiographie de la discipline montre que jusque dans les années 1980, les historiens ont étudié les mathématiques arabes principalement pour une meilleure connaissance de la tradition mathématique grecque. En corollaire, les historiens se sont alors intéressés plus spécifiquement aux mathématiques spéculatives. Ce n’est que très récemment que le regard de l’historien des mathématiques s’est porté sur d’autres types d’écrits : manuels d’enseignement, textes anonymes ou relevant de la tradition dite « pratique ». Dans ce contexte, la géométrie de la mesure est fascinante car son étude met en lumière la manière avec laquelle les mathématiques ont évolué en pays d’Islam à partir du viiie siècle. D’abord principalement héritière des Grecs, elle se développe ensuite de manière originale avant l’appropriation par les auteurs de langue latine à l’Ouest. Dès lors, les Latins sont prêts à bâtir un nouveau corpus géométrique : la practica geometriae.

La géométrie de la mesure en pays d’Islam

Le cilm al-misāḥa [science du mesurage]2

  • 2 L’expression ṣinācat at-taksīr [art du mesurage] est aussi présente dans la littérature mathématiq (...)
  • 3 Al-Fārābī, Iḥṣā’al-cUlūm. Catalogo de las ciencias, Madrid, 1932, p. 34-36.
  • 4 Ibid., p. 44-46.

2Le corpus qui nous est parvenu n’est quantitativement pas représentatif de l’importance de l’activité de la science du mesurage en pays d’Islam, notamment dans les administrations fiscales et cadastrales. En effet, nous savons grâce aux informations des bibliographes, chroniqueurs ou autres juristes que le c ilm al-misāḥa a revêtu différentes formes et a donné lieu à de nombreuses publications dès le ixe siècle. La géométrie de la mesure se décline alors selon différentes spécialités comme, entre autres, le mesurage, le découpage, la géométrie décorative ou celle des instruments astronomiques. Ces orientations sont confirmées par al-Fārābī lorsqu’il distingue la théorie de la pratique dans son chapitre « Sur la science de la géométrie » de son Énumération des sciences3. En outre, en décrivant la science des procédés ingénieux, il précise les diverses manifestations de la géométrie pratique : « L’art de la construction, l’art du mesurage de portions de solides, l’art de la réalisation d’instruments astronomiques et d’instruments de musique, et de la réalisation d’instruments pour de nombreux autres métiers pratiques4. » Nous désirons ici lever le voile sur quelques-uns des éléments caractéristiques des ouvrages qui nous sont parvenus.

Le contenu des ouvrages

  • 5 Ici, nous n’opposons pas les démarches algorithmique et algébrique puisqu’avec al-Khwārizmī, toute (...)
  • 6 M. Moyon, « Understanding a Mediæval Algorithm : A Few Examples in Arab and Latin Geometrical Trad (...)

3Deux principaux types de problèmes sont proposés : le mesurage et le découpage avec de fortes interactions entre eux. Les problèmes de mesurage adoptent une présentation standardisée s’adressant, le plus souvent, directement aux lecteurs. Tous les auteurs proposent, avec plus ou moins de détails, des formules d’aires de figures planes rectilignes ou circulaires, ainsi que celles d’aires et de volumes de certains solides. De nombreux autres problèmes présentent des énoncés où il s’agit de trouver une grandeur, étant données certaines autres. Les résolutions proposées sont alors algorithmiques, voire algébriques5. À titre d’exemple, une série de problèmes occupe une place particulièrement importante : déterminer l et L si A + al + bL et L l sont donnés avec a, b ϵ {–2, –1, 0, 1, 2} où A, l et L sont respectivement l’aire, la largeur et la longueur d’un rectangle6. Quant aux problèmes de découpage ou division de figures planes, ils reviennent à partager celles-ci selon des contraintes fixées a priori. Ces contraintes sont relatives aux propriétés géométriques de la (des) transversales(s) ou des figures désirées et sont liées aux grandeurs avec des conditions de rapport sur les parties issues du découpage. Ces problèmes se répartissent selon deux orientations. Les uns se situent dans la filiation des mathématiques spéculatives d’Euclide avec sa contribution Sur les divisions, aujourd’hui perdue dans sa version grecque. Les autres semblent inhérents aux traditions locales en réponse à certaines corporations d’artisans (décorateurs notamment) et à la jurisprudence musulmane. Le partage d’un terrain entre ayants droit à la suite d’une succession ou d’une transaction commerciale en fournit le cadre général. Outre le partage entre amis ou membres d’une même famille, le découpage prend en compte, par exemple, l’aménagement d’un chemin d’accès à toutes les parcelles, l’accès à un puits ou à une mosquée.

Organisation des ouvrages

4L’organisation générale des traités de misāḥa est relativement stable : présentation des unités de mesure (éventuellement avec conversions), classification des figures géométriques, énoncés de problèmes de mesurage et/ou de découpage accompagnés (ou non) des procédures de résolution. Dans certains textes, il est aussi question de mesurer, à l’aide d’instruments, des grandeurs inaccessibles comme la hauteur d’une montagne ou la largeur d’une rivière. Deux types d’ouvrages peuvent être mis en évidence. Le premier, quantitativement le plus important, correspond à ceux qui exposent les procédures utilisées à partir d’exemples détaillés et complets à l’instar d’un manuel d’enseignement. Le second regroupe ceux qui s’apparentent à des recueils de procédures dans lesquels aucun exemple ni aucune donnée numérique n’apparaissent. Ce sont, ni plus ni moins, des vade-mecum ou formulaires.

5De manière générale, les traités les plus complets débutent par une préface dans laquelle, après les louanges à Dieu, l’auteur présente son ouvrage et explique ses intentions. Ainsi, il indique parfois à qui il offre son travail : étudiants, praticiens ou simplement hommes cultivés. C’est aussi dans la préface que l’auteur précise selon une formule stéréotypée qu’il ne démontre pas ses procédures afin de conserver un propos aisément accessible. Suit une introduction dont les objectifs peuvent différer d’un auteur à un autre, mais qui est souvent l’occasion de présenter les unités de mesure usitées dans diverses régions et de soulever les problèmes de conversion. Sont aussi parfois définis les objets élémentaires des géométries plane et solide, et une classification de ceux-ci. La classification des figures planes peut différer d’un texte à un autre. En ce sens, elle est un des marqueurs de la circulation des textes. Deux principaux modèles coexistent. Le premier est basé sur les surfaces : les quadrilatères, puis les triangles et enfin le cercle et ses portions. Les polygones sont alors indifféremment traités soit après les quadrilatères, soit après le cercle. Notons que, dans de rares cas, les triangles sont évoqués avant les quadrilatères. Le second modèle est en fonction du nombre de lignes du périmètre : une seule ligne (cercle), deux lignes (portions de cercle), trois lignes (triangles, secteurs circulaires), quatre lignes (quadrilatères) et ainsi de suite.

Quelques contributions arabes7

  • 7 Pour une étude plus approfondie, voir M. Moyon, Du cilm al-misāḥa à la Practica geometriae : quatr (...)

6L’analyse qualitative des traités qui nous sont parvenus les rattache à une même tradition géométrique. Dans un souci pédagogique de description de celle-ci, nous distinguons ici trois familles, principalement en fonction des sources des auteurs et de leurs procédures de résolution. Nous présentons ensuite quelques ouvrages de l’Occident musulman.

Dans la continuité des Anciens

7À Bagdad, au ixe siècle, le corpus mathématique arabe est marqué par les auteurs grecs. Les travaux de misāḥa ne font pas exception. Par exemple, les frères Banū Mūsā, Thābit ibn Qurra ou encore plus tardivement Ibn al-Haytham citent explicitement les auteurs grecs ou leurs œuvres pour reprendre certains résultats et les prolonger.

  • 8 R. Rashed, Thābit ibn Qurra. Science and Philosophy in Ninth-Century Baghdad, Berlin, 2000, p. 173 (...)
  • 9 Il ne cite pas ici une œuvre précise de Ptolémée mais lui attribue une formule de calcul de la hau (...)
  • 10 Ibn an-Nadim, Al-Fihrist, éd. R. Tajadod, Téhéran, 1971, p 326.
  • 11 A. Sayili, « Thābit ibn Qurra’s Generalization of the Pythagorean Theorem », Isis, 51 (1960), p. 3 (...)

8Le cas de Thābit mérite d’être plus largement discuté. Son Kitāb fī misāḥat al-ashkāl al-musaṭṭaḥa wa l-mujjassama [Livre sur la surface des figures planes et solides]8 est un traité didactique structuré du plus simple au plus complexe (des figures planes élémentaires aux figures solides en passant par la mesure des polygones par triangulation). Il n’omet pas, lorsque cela peut être nécessaire, des références à la littérature savante grecque avec les Éléments d’Euclide, le De la Sphère et le Cylindre d’Archimède et Ptolémée9. Il est aussi intéressant de noter la volonté de Thābit de préciser les origines probables, à sa connaissance, de certaines procédures. Il s’inscrit ainsi dans une tradition du mesurage débutée depuis l’Antiquité (au moins). La contribution de Thābit au cilm al-misāḥa ne saurait se restreindre au seul mesurage. En effet, il est aussi l’auteur de travaux sur le découpage de figures planes. On lui doit, d’après le témoignage d’Ibn an-Nadīm, une éventuelle traduction ou révision de Sur les divisions d’Euclide10. Il rédige en outre son épître Fī l-ḥujja al-mansūba ilā Suqrāṭ fī’l-murabbac wa quṭrihī [Sur la preuve attribuée à Socrate au sujet du carré et de sa diagonale]11 dans laquelle il propose deux démonstrations du théorème de l’hypoténuse basées sur le découpage de carrés.

  • 12 R. Rashed, Œuvre mathématique d’al-Sijzī, Louvain, Paris, 2004, t. 1.
  • 13 J. P. Hogendijk, « The Arabic Version of Euclid’s On Divisions », Vestigia Mathematica, éd. M. Fol (...)

9Enfin, nous ne pourrions pas conclure cette partie sans mentionner as-Sijzī dont plusieurs travaux traitent de la division des figures12. L’un des plus importants pour l’histoire des mathématiques est incontestablement l’épitomé qui se rapporte explicitement au Kitāb Uqlīdis fī l-qisma [Livre d’Euclide sur les divisions]13. Il serait une traduction arabe partielle du texte grec Sur les divisions [ des figures], perdu dans sa version originale.

L’algèbre d’al-Khwārizmī

  • 14 R. Rashed, Al-Khwārizmī. Le commencement de l’algèbre, Paris, 2007.

10Lorsqu’al-Khwārizmī rédige son Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa-lmuqābala [Livre abrégé sur le calcul par la restauration et la comparaison], il intègre la géométrie de la mesure comme champ d’application de l’algèbre. En effet, dans le bāb al-misāḥa [chapitre de mesurage]14, court chapitre qui suit la partie théorique de son Mukhtaṣar, al-Khwārizmī propose de résoudre certains problèmes de géométrie avec les objets (shay’[chose] et māl [bien]) et les opérations (al-jabr [la restauration] et al-muqābala [la comparaison]) précédemment définis. Mais, l’incursion du raisonnement algébrique ne saurait être complète puisque seuls deux problèmes sont concernés.

  • 15 M. Yadegari, M. et M. Levey, Abû Kâmil’s “On the Pentagon and Decagon”, Tokyo, 1971.
  • 16 Al-Karaji, Al-Kafī fī l-hisāb, éd. S. Chalhoub, Alep, 1986, p. 128-157, 201-210.
  • 17 Ibid., p. 202-203.

11Le mathématicien et astronome de Bagdad sera suivi par les algébristes Abū Kāmil ou encore al-Karajī. Dans la partie Fī al-mukhammas wa’l-mucashshar [Sur le pentagone et le décagone]15 de son Kitāb al-kāmil fī l-jabr wa l-muqābala [Livre complet sur la restauration et la comparaison], Abū Kāmil résout vingt problèmes de mesurage de polygones réguliers à n côtés (n = 3, 5, 6, 15). Même si l’auteur se réfère à plusieurs propositions des Éléments d’Euclide (Livres xii-xiii), il donne néanmoins un traitement algébrique explicite à l’ensemble de ces problèmes. Quant à al-Karajī, il expose dans le Kāfī fī l-ḥisāb [Livre suffisant en calcul] deux chapitres consacrés au mesurage et au découpage16 dans lesquels dix problèmes sont résolus par l’algèbre. Al-Karajī se situe alors dans le prolongement d’al-Khwārizmī tout en montrant une certaine connaissance de la tradition locale. Certains de ces problèmes de découpage apparaissent même comme des emprunts à certaines corporations professionnelles17.

En référence à un savoir-faire

12La majorité des ouvrages de misāḥa que nous connaissons est enracinée dans une tradition géométrique basée sur les savoir-faire. La géométrie spéculative, et en particulier euclidienne ou archimédienne, n’en est pas pour autant totalement écartée et son influence est visible dans la résolution des problèmes. Pour certains auteurs, il s’agit de corriger des procédés utilisés dans les pratiques locales. Et pour d’autres, l’objectif est de procurer aux utilisateurs un manuel qui fournit une réponse savante aux règles qu’ils appliquent.

  • 18 Abu l-Wafa’, Kitāb fî mā yahtāju ilayhi as-sanic min a cmāl al-handasa, éd. S. A. cAli, Bagdad, 19 (...)
  • 19 J. P. Hogendijk, « A Medieval Arabic Treatise on Mensuration by Qāḍī Abū Bakr », Zeitschrift für G (...)
  • 20 Ibn Tahir al-Baghdadi, At-takmila fī l-ḥisāb, éd. A. S. Saïdan, Koweit, 1985, p. 355-357.

13Le meilleur représentant de cette famille est sans nul doute le Kitāb fīmā yaḥtāju ilayhi aṣ-ṣanic min acmāl al-handasa [Livre de ce qui est nécessaire à l’artisan en constructions géométriques]18, que l’on doit à Abū l-Wafā’al-Būzajānī. L’auteur y applique la géométrie savante qu’il domine pour résoudre des problèmes de la géométrie des artisans à laquelle il fait explicitement référence comme dans le cas des découpages et assemblages utilisés par les artisans décorateurs ou des problèmes traditionnels de partage de terrains pratiqués par les répartiteurs d’héritage. D’autres problèmes sont, quant à eux, strictement dans le prolongement de la tradition euclidienne de la division des figures. Les deux auteurs suivants permettent de comprendre que la géométrie de la mesure n’est pas exclusivement réservée aux mathématiciens professionnels. Répondant à des problèmes de gestion de la cité, le cilm al-misāḥa est aussi expliqué par des juristes dans leurs ouvrages de mathématiques élémentaires. C’est ainsi que le qāḍī Abū Bakr destine son traité à ses frères19, c’est-à-dire aux juges de sa propre communauté. C’est aussi vraisemblablement la formation des praticiens20 qui guide le juriste et théologien Ibn Ṭāhir al-Baghdādī dans la rédaction de son Kitāb fī-l-misāḥa [Livre sur le mesurage].

Quelques ouvrages de l’Occident musulman

14La continuité avec les travaux de l’Orient musulman est assurée si l’on se concentre sur l’organisation générale des traités ou des chapitres, sur le recours aux mathématiques grecques ou encore sur la nature des procédures (arithmétiques ou algébriques). Une divergence importante avec la tradition orientale est néanmoins repérable au niveau terminologique.

  • 21 A. Djebbar, « ar-risāla fī t-taksīr li Ibn cAbdūn : shāhid cala l-mumārasāt as-sābiqa li-t-taqlīd (...)
  • 22 Ibn Hazm recommande, dans ses Marātib al- culūm [Les degrés des sciences], l’enseignement de la mi (...)
  • 23 Terminologie utilisée en référence à M. Marín, Al-Andalus et les andalusiens, Aix-en-Provence, 200 (...)
  • 24 A. Djebbar, « La géométrie du mesurage et du découpage dans les mathématiques d’al-Andalus (xe -xi (...)
  • 25 M. Khattābī, « Sharḥ al-iksīr fī cilm at-taksīr li Abū cAbd Allah ibn al Qāḍī », Da’wat al-haqq, 2 (...)

15Prenons comme illustration la risāla fī t-taksīr [Épître sur le mesurage]21 d’Ibn cAbdūn al-Jabalī. Ce manuel du xe siècle est le plus ancien texte de l’Occident musulman actuellement retrouvé et confirmerait la présence du cilm al-misāḥa dans les programmes curriculaires d’Andalus22. Il se compose de 128 problèmes dont la majorité concerne les figures planes et s’achève avec l’étude de trois solides dont la terminologie ne se trouve, à notre connaissance, dans aucun texte de l’Orient musulman. Celle-ci semble caractéristique des pratiques andalousiennes23 du mesurage. Le premier est la curmat aṭ-ṭa cām [tas de froment]. Il correspond en fait au cône. Le second, appelé ḥūt aṭ-ṭacām [poisson de froment], est un prisme dont le sommet est nommé shawka [arête] dans le premier sens du terme. Le troisième est un ḥūt aṭ-ṭacām tronqué, et Ibn cAbdūn le nomme fanīqa. Toujours du point de vue terminologique, le manuel d’Ibn cAbdūn se distingue avec deux figures planes qui témoigneraient d’une tradition peu ou pas représentée en Orient : le rectangle, murabba cmustaṭīl [quadrilatère oblong], et le trapèze, carīḍat ar-ra’s [<figure> à large sommet]. Ces marqueurs terminologiques perdurent dans de nombreux textes andalousiens au xiiie siècle et même après. Nous pouvons citer les ouvrages d’al-Mursī, d’Ibn al-Jayyab24, ou encore le poème d’Ibn Liyyūn et ses commentaires du xvie siècle25.

Quelques prolongements en Europe latine

  • 26 Abraham Bar Hiyya, Chibbur ha-Meschicha we ha-Tischboreth, éd. M. Guttman, Berlin, 1912.
  • 27 M. Curtze, « Der Liber Embadorum des Savasorda in der Übersetzung des Plato von Tivoli », Urkunden (...)
  • 28 T. Lévy, T. et C. Burnett, « Sefer ha-Middot : A Mid-Twelfth-Century Text on Arithmetic and Geomet (...)

16Avant de nous intéresser aux prolongements latins stricto sensu, précisons que des ouvrages rédigés en hébreu sont des témoins directs des pratiques de misāḥa. Deux de ces traités nous sont parvenus et ont joué un rôle dans la découverte du corpus arabe au-delà des Pyrénées grâce à leur version latine : le Ḥibbur ha-Mešiḥah we-ha-Tišboret [Livre sur le mesurage et le calcul]26 d’Abraham Bar Ḥiyya avec le Liber embadorum de Platon de Tivoli27 et le Sefer ha-Middot [Livre des mesures], qui peut être attribué à Abraham ibn Ezra28 avec sa traduction latine qui nous est parvenue dans une version acéphale.

Les traductions arabo-latines

  • 29 Les quatre textes de cette partie sont édités, traduits en français et analysés dans Moyon, Du cil (...)

17Sans revenir sur le contexte de réalisation de ces traductions, nous présentons ici quatre textes qui vont permettre aux Latins médiévaux de s’approprier les principaux éléments du c ilm al-misāḥa29. Plusieurs points communs entre ces textes méritent d’être relevés. Tout d’abord, nous ne possédons aucune version arabe originale. Ensuite, l’ensemble de ces traductions réalisées au xiie siècle serait à rapprocher de l’immense travail de Gérard de Crémone. Enfin, les auteurs ne sont connus que très partiellement : seules les transcriptions latines d’une partie de leur patronyme sont connues. Les trois premiers textes, toujours réunis dans les codices exhumés, ne s’intéressent qu’au mesurage sans découpage. Le quatrième, quant à lui, ne propose que des problèmes de découpage.

  • 30 Id., « Algèbre et Pratica geometriæ en Occident médiéval latin : Abū Bakr, Fibonacci et Jean de Mu (...)

18Le premier est le Liber Mensurationum d’un certain Abū Bakr. Il s’agit d’un ouvrage élémentaire dans lequel sont proposés 158 problèmes de mesurage de figures planes et solides. Plusieurs éléments situent ce manuel dans la tradition andalousienne. En particulier, nous retrouvons les éléments linguistiques déjà repérés : le corpus simile faneche [solide semblable à la faniqā], le corpus simile chaburi [solide semblable au quburī] et le corpus simile cumulo frumenti [solide semblable au tas de froment] dont la terminologie est clairement une transcription latine directe du vocabulaire arabe (au moins pour les deux premiers). Une particularité importante d’Abū Bakr réside dans les résolutions qu’il propose. En effet, en accompagnant de nombreux algorithmes de résolution traditionnels de procédures alternatives « par l’algèbre », il concilie l’approche canonique du problème de misāḥa avec les démarches d’al-Khwārizmī30.

19Les deux textes suivants sont de moins grande importance tant quantitative que qualitative. D’abord, le Liber Aderameti [Livre de cAbd ar-Raḥmān] est construit comme un vade-mecum de formules énoncées à partir de problèmes généraux sans traitement numérique. Ce texte montre une forte similarité, dans son organisation et sa terminologie, avec la tradition andalousienne, et notamment avec le texte d’Abū Bakr. Ensuite, le Liber Saydi Abuothmi [Livre de Sacīd Abū cUthmān], quant à lui, nous est d’un moindre secours pour notre étude tellement il se révèle altéré par rapport à la leçon originale.

  • 31 F. Commandino, J. Dee, De superficierum divisionibus liber Machometo Bagdedino ascriptus, 1570, Pe (...)

20Le dernier texte est l’œuvre d’un certain Muḥammad al-Baghdādī : le De superficierum divisionibus. Il contient 22 propositions sur le découpage de figures planes, organisées selon les figures et en fonction de leur difficulté. Ce texte est très nettement dans la filiation de l’ouvrage perdu d’Euclide. Il s’agit d’un exposé systématique de division d’une figure selon un rapport quelconque en respectant des contraintes géométriques sur la transversale mais sans référence à des contraintes de nature pratique. Toutes les propositions sont démontrées à l’aide d’un raisonnement explicitement fondé sur les Éléments d’Euclide. Ce texte a une influence attestée dans le paysage latin au moins au xvie siècle. En effet, il bénéficie d’une édition imprimée réalisée par Federico Commandino, mathématicien d’Urbino, avec l’aide de l’érudit anglais John Dee31.

La naissance de la tradition latine de la practica geometriae

  • 32 Voir S. K. Victor, Practical Geometry in the High Middle Ages : Artis cuiuslibet consummatio and t (...)
  • 33 Hugues de Saint-Victor, L’art de lire, Didascalicon, trad. M. Lemoine, Paris, 1991.
  • 34 Hugues de Saint-Victor, Opera propedeutica, Practica geometriae. De grammatica, Epitome Dindimi in (...)

21À partir du xiie siècle, les auteurs latins usent de l’expression « practica geometriae » dans les traités géométriques eux-mêmes ou dans les classifications des sciences32. Rappelons brièvement le cadre intellectuel de sa genèse. À notre connaissance, le couple théorie/pratique associé à la géométrie se trouve, pour la première fois dans le monde latin, dans l’œuvre de Hugues de Saint-Victor. Il est présent dans son ouvrage de méthode et de pédagogie, le Didascalicon33, et est illustré dans sa Practica geometriae34. Dans celle-ci, le chanoine introduit clairement une dichotomie entre la géométrie théorique et la géométrie pratique. Les deux sont alors considérées dans leurs complémentarités, rendant inséparable l’utilisation des instruments (astrolabe, équerre, miroir ou gnomon) de celle des rapports. Mais les connaissances géométriques de Saint-Victor sont alors relativement restreintes. En particulier, il ne connaît pas a priori les Éléments dans une version complète, et les apports des géométries arabes.

22Le premier auteur latin en contact avec la tradition scientifique arabe à s’intéresser au couple théorie/pratique en relation avec la géométrie semble être Dominicus Gundissalvo. Avec son De Divisione Philosophiae, il doit intégrer dans les champs disciplinaires de l’Occident latin les nouvelles connaissances philosophiques et scientifiques des pays d’Islam. Gundissalvo est alors amené à distinguer la géométrie du mesureur, seule reconnue jusque-là dans la tradition latine des agrimensores, et celle de l’artisan qui utilise la géométrie pratique dans l’exercice de son métier.

  • 35 N. L. Hahn, Medieval Mensuration : Quadrans vetus and Geometrie due sunt partes principales, Phila (...)

23L’auteur (probablement du xiie siècle) du texte dont l’incipit est Geometrie due sunt partes principales35 apporte une nouvelle nuance. Pour lui, à l’instar de Saint-Victor, les outils de la géométrie pratique sont de deux types : les instruments matériels et les méthodes de calcul. Cette distinction illustre deux sens de « mesurer » : acte matériel avec instruments ou calcul sur des grandeurs. Dans ce dernier cas, « mesurer » est synonyme de comparer. La « géométrie pratique », dans sa dimension non instrumentale, peut se détacher complètement de l’utilisation d’un quelconque instrument. Elle nécessite alors une importante connaissance des calculs sur les nombres et sur les rapports.

La Practica Geometriae de Fibonacci (1220)

  • 36 B. Boncompagni, Scritti di Leonardo Pisano matematico del secolo decimoterzo, t. 2, Practica geome (...)

24À l’exception de deux chapitres techniques sur l’extraction des racines carrée et cubique, la composition de l’ouvrage36 reflète celle des traités arabes de misāḥa. Fibonacci débute avec une préface qui contient ses intentions, les premières définitions et des propriétés euclidiennes utiles à la suite de son exposé. Il introduit ensuite les unités de mesures pisanes avec diverses conversions. Il continue avec le mesurage des figures planes, puis avec le découpage de figures (planes et solides), et avec le mesurage des figures solides. Il termine son ouvrage avec un chapitre sur la détermination de grandeurs à l’aide d’instruments, et un chapitre sur divers problèmes d’inscriptions et de circonscriptions de figures. Les chapitres sur le mesurage et le découpage présentent de fortes ressemblances avec plusieurs traités de misāḥa de l’Occident musulman.

  • 37 Moyon, « Algèbre… », loc. cit. n. 30.
  • 38 R. Lorch, « Abū Kāmil on the Pentagon and the Decagon », Vestigia Mathematica, op. cit. n. 13, p.  (...)

25Tous les problèmes de mesurage, s’adressant directement au lecteur dans un style injonctif, sont énoncés et construits à partir d’exemples numériques mais ils sont génériques et servent donc de règle à suivre dans le cas général. Apparaissent ainsi des problèmes algorithmiques de la même nature que ceux d’Ibn cAbdūn ou Abū Bakr, par exemple. Chez Fibonacci, l’algèbre devient un procédé à part entière pour résoudre les problèmes de mesurage à l’instar d’Abū Bakr et dans la continuité d’al-Khwārizmī37. Enfin, comment ne pas mentionner l’important rôle joué par Abū Kāmil sur le traité de Fibonacci. En effet, la quasi-totalité du texte sur le pentagone et le décagone de l’Égyptien (dont une traduction latine38 est réalisée au xiie siècle) est reprise dans le huitième chapitre de la Practica geometriae.

  • 39 M. Moyon, « Le De Superficierum Divisionibus Liber d’al-Baghdādī et ses prolongements en Europe »,(...)

26Comme pour le mesurage, Fibonacci rédige un chapitre sur le découpage logiquement construit à partir de la nature des figures des triangles jusqu’aux figures circulaires. Pour chacune d’entre elles, il décline, à nouveau de manière logique et systématique, les contraintes sur la transversale : parallèle à une direction, passant par un sommet, par un point intérieur ou extérieur à la figure, placé sur un côté, sur le prolongement d’un côté. Tous ces éléments font de la Practica geometriae un ouvrage à caractère didactique. Les termes « terrain » et « copropriétaire » que l’on trouve dans le livre de Fibonacci montrent que l’auteur connaît certaines des origines des pratiques de découpage. Par ailleurs, l’analyse comparative de ce chapitre avec le traité de Muḥammad al-Baghdādī montre que, même s’il ne s’en est pas nécessairement inspiré, le mathématicien pisan en a vraisemblablement eu connaissance39. Enfin, les démonstrations de ces problèmes sont fondées sur ses connaissances savantes et en particulier celles des Éléments d’Euclide, qu’il emprunte explicitement dans la version arabo-latine de Campanus. En conclusion, Fibonacci n’a de cesse ici de concilier géométrie des grandeurs arithmétisées du cilm al misāḥa et celle des grandeurs et des propriétés euclidiennes.

27Cette présentation de la géométrie de la mesure en pays d’Islam, avec un corpus en partie récemment étudié, dévoile une forte continuité dans la tradition même si les ouvrages de l’Orient et de l’Occident musulmans se distinguent notamment d’un point de vue terminologique. Nous y voyons là la persistance des traditions locales. Elle a aussi révélé l’appropriation par les Latins dans un contexte d’adoption simultanée de la géométrie euclidienne et de la géométrie de la mesure. Les textes spéculatifs et pratiques se côtoient pour s’enrichir les uns les autres au-delà de la traditionnelle opposition théorie/pratique. Enfin, nous ne devons pas non plus oublier le rôle de l’algèbre dont le destin croise celui de la géométrie de la mesure tout au long de son développement arabe et latin.

Notes

1 L’arabité est ici prise au sens linguistique et non pas en référence à une origine géographique, ethnique ou cultuelle.

2 L’expression ṣinācat at-taksīr [art du mesurage] est aussi présente dans la littérature mathématique arabe.

3 Al-Fārābī, Iḥṣā’al-cUlūm. Catalogo de las ciencias, Madrid, 1932, p. 34-36.

4 Ibid., p. 44-46.

5 Ici, nous n’opposons pas les démarches algorithmique et algébrique puisqu’avec al-Khwārizmī, toutes les résolutions algébriques sont en partie algorithmiques (avec une succession d’opérations, plus ou moins complexes, à réaliser), mais l’inverse n’est évidemment pas vrai.

6 M. Moyon, « Understanding a Mediæval Algorithm : A Few Examples in Arab and Latin Geometrical Traditions of Measurement », Oberwolfach Reports, 4 (2012), p. 27-31.

7 Pour une étude plus approfondie, voir M. Moyon, Du cilm al-misāḥa à la Practica geometriae : quatre traités de la géométrie de la mesure dans la tradition médiévale arabo-latine, Turnhout, 2013.

8 R. Rashed, Thābit ibn Qurra. Science and Philosophy in Ninth-Century Baghdad, Berlin, 2000, p. 173-209.

9 Il ne cite pas ici une œuvre précise de Ptolémée mais lui attribue une formule de calcul de la hauteur d’un triangle isocèle : ibid., p. 184-185.

10 Ibn an-Nadim, Al-Fihrist, éd. R. Tajadod, Téhéran, 1971, p 326.

11 A. Sayili, « Thābit ibn Qurra’s Generalization of the Pythagorean Theorem », Isis, 51 (1960), p. 35-37.

12 R. Rashed, Œuvre mathématique d’al-Sijzī, Louvain, Paris, 2004, t. 1.

13 J. P. Hogendijk, « The Arabic Version of Euclid’s On Divisions », Vestigia Mathematica, éd. M. Folkerts, J. P. Hogendijk, Amsterdam, 1993, p. 143-162.

14 R. Rashed, Al-Khwārizmī. Le commencement de l’algèbre, Paris, 2007.

15 M. Yadegari, M. et M. Levey, Abû Kâmil’s “On the Pentagon and Decagon”, Tokyo, 1971.

16 Al-Karaji, Al-Kafī fī l-hisāb, éd. S. Chalhoub, Alep, 1986, p. 128-157, 201-210.

17 Ibid., p. 202-203.

18 Abu l-Wafa’, Kitāb fî mā yahtāju ilayhi as-sanic min a cmāl al-handasa, éd. S. A. cAli, Bagdad, 1979.

19 J. P. Hogendijk, « A Medieval Arabic Treatise on Mensuration by Qāḍī Abū Bakr », Zeitschrift für Geschichte der Arabisch-Islamischen Wissenschaften, 6 (1990), p. 130-150, ici p. 144.

20 Ibn Tahir al-Baghdadi, At-takmila fī l-ḥisāb, éd. A. S. Saïdan, Koweit, 1985, p. 355-357.

21 A. Djebbar, « ar-risāla fī t-taksīr li Ibn cAbdūn : shāhid cala l-mumārasāt as-sābiqa li-t-taqlīd al-jabrī al- carabī », Suhayl, 5 (2005), p. 7-68.

22 Ibn Hazm recommande, dans ses Marātib al- culūm [Les degrés des sciences], l’enseignement de la misāḥa dans le cursus habituel des élèves qui dépassent le stade élémentaire d’apprentissage de la lecture et de l’écriture à côté de la science des nombres, des quatre opérations, des rapports, de la géométrie.

23 Terminologie utilisée en référence à M. Marín, Al-Andalus et les andalusiens, Aix-en-Provence, 2000, p. 29-39.

24 A. Djebbar, « La géométrie du mesurage et du découpage dans les mathématiques d’al-Andalus (xe -xiiie siècle) », Liber Amicorum Jean Dhombres, éd. P. Radelet-de Grave, Louvain-la-Neuve, 2007, p. 113-147.

25 M. Khattābī, « Sharḥ al-iksīr fī cilm at-taksīr li Abū cAbd Allah ibn al Qāḍī », Da’wat al-haqq, 258 (1987), p. 77-87.

26 Abraham Bar Hiyya, Chibbur ha-Meschicha we ha-Tischboreth, éd. M. Guttman, Berlin, 1912.

27 M. Curtze, « Der Liber Embadorum des Savasorda in der Übersetzung des Plato von Tivoli », Urkunden zur Geschichte der Mathematik im Mittelalter und der Renaissance, 12 (1902), p. 1-183.

28 T. Lévy, T. et C. Burnett, « Sefer ha-Middot : A Mid-Twelfth-Century Text on Arithmetic and Geometry Attributed to Abraham Ibn Ezra », Aleph, 6 (2006), p. 57-238.

29 Les quatre textes de cette partie sont édités, traduits en français et analysés dans Moyon, Du cilm al-misāḥa…, op. cit. n. 7.

30 Id., « Algèbre et Pratica geometriæ en Occident médiéval latin : Abū Bakr, Fibonacci et Jean de Murs », Pluralité de l’algèbre à la Renaissance, éd. S. Rommevaux et al., Paris, 2012, p. 33-65.

31 F. Commandino, J. Dee, De superficierum divisionibus liber Machometo Bagdedino ascriptus, 1570, Pesaro.

32 Voir S. K. Victor, Practical Geometry in the High Middle Ages : Artis cuiuslibet consummatio and the Pratike de geometrie, Philadelphie, 1979.

33 Hugues de Saint-Victor, L’art de lire, Didascalicon, trad. M. Lemoine, Paris, 1991.

34 Hugues de Saint-Victor, Opera propedeutica, Practica geometriae. De grammatica, Epitome Dindimi in philosophiam, éd. R. Baron, Notre Dame, 1966.

35 N. L. Hahn, Medieval Mensuration : Quadrans vetus and Geometrie due sunt partes principales, Philadelphie, 1982.

36 B. Boncompagni, Scritti di Leonardo Pisano matematico del secolo decimoterzo, t. 2, Practica geometriae et opusculi, Rome, 1862.

37 Moyon, « Algèbre… », loc. cit. n. 30.

38 R. Lorch, « Abū Kāmil on the Pentagon and the Decagon », Vestigia Mathematica, op. cit. n. 13, p. 215-252.

39 M. Moyon, « Le De Superficierum Divisionibus Liber d’al-Baghdādī et ses prolongements en Europe », Actes du 9e colloque maghrébin sur l’histoire des mathématiques arabes, éd. A. Bouzari, Y. Guergour, Alger, 2011, p. 159-201.

Auteur

Université de Limoges FRED (EA 6311)

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