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L’idée de révolution : quelle place lui faire au XXIe siècle ?

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Olivier Bloch

Deuxième partie. Sciences, arts, techniques

La crise des fondements des mathématiques fut-elle révolutionnaire ?

Sur l’avènement du paradigme axiomatico-ensembliste

Emmanuel Barot

Texte intégral

Nous n'avons pas à conserver au concept ses prestiges platoniciens ou transcendantaux, mais à calquer son statut sur les directives téléonomiques et instrumentales d’une raison toujours prospective et réflexive.
Noël Mouloud, 1989.

1La « crise des fondements des mathématiques » peut être datée comme suit : ce qui l’inaugure est la lettre de Russell à Frege de 1902, où le premier expose au second l’imprédicativité qui ébranle tout son dispositif. Ce qui la clôt est le théorème d’incomplétude de Gödel de 1931, qui démontre l’impossibilité d’une démonstration finitiste de la consistance absolue de l’arithmétique et de l’analyse, c’est-à-dire le caractère intenable du programme de Hilbert au niveau de sa visée centrale, la réduction du problème de la fondation des mathématiques à une solution technique.

  • 1 Cf. Cavaillès, 1938b, et Ferreiros, 1989, pour l’ensemblisme. Dieudonné, 1978, sera la référence a (...)
  • 2 Je vais ici à l’essentiel, et sous une forme « cumulative » qui n’a évidemment rien à avoir avec l (...)
  • 3 Kuhn, 1962 et 1969.

2La littérature épistémologique et historique sur cette période est foisonnante, mais, qu'elle soit événementielle ou conceptuelle1, elle ne s’intéresse que fort peu à la nature de cette crise, ce sur quoi je me concentre ici. Est-elle une crise révolutionnaire et, si oui, en quel sens ? Les faits ne parlent pas d’eux-mêmes, et la détermination de cette nature est affaire de concepts : essentiellement, c’est le réseau des quatre concepts de crise, révolution, paradigme, progrès, que cette étude m’a donné l’occasion d’affiner. L’ordre de l’exposé2 sera le suivant : sont d’abord présentées les prémisses théoriques générales (I) de la lecture des tendances des mathématiques du xixe ensuite exposées (II-III). Je défendrai (IV) la thèse suivante : la crise des fondements est une crise révolutionnaire (en un sens kuhnien3 explicitement revisité), dans la mesure où les redéploiements conceptuels et méthodologiques qu'elle a induits ont abouti à l’avènement d’un authentique paradigme, le paradigme axiomatico-ensembliste, dont l’emblème furent les Éléments de mathématique de Bourbaki. Si cette crise n’a pas consacré la chute d’un paradigme auparavant constitué, dans la mesure où le xixe siècle a justement été le siècle d'une diversité de révolutions locales, qui n’ont trouvé leurs articulations et entre-expressions mutuelles explicites qu’au début du xxe siècle, elle n’en est pas l’officialisation d’une nouvelle Weltanschauung.

1. CADRE ÉPISTÉMOLOGIQUE : PRATIQUES THÉORIQUES ET TÉLÉONOMIE DES SAVOIRS POSITIFS

3J’appelle crise une période de transition, préparée mais née sous l’impulsion de facteurs déclenchants précis, où des contradictions (ou « anomalies »), exacerbées jusqu’au paroxysme, accélèrent de façon décisive l’état d’un ou plusieurs problèmes centraux au sein d’un paradigme inapte à les résoudre au moins temporairement, et qui produit des traces durables (habitudes de pensées et de comportements) témoignant de ruptures avec l’antérieur. La fin d’une crise est alors une rentrée dans l’ordre, indiquant soit l’autocorrection d’un paradigme qui se survit à lui-même, soit l’avènement d’un autre cadre théorique et méthodologique qui résout de façon unificatrice ces contradictions et relance un processus stable de recherche. De là, on définira un paradigme comme le cadre global historiquement déterminé de la recherche scientifique, véritable matrice du scientifique, constitué de modèles conceptuels-scientifiques, logiquement normatifs mais aussi ouverts aux heuristiques, c’est-à-dire soumis en même temps à des procédures de validation stricte des énoncés et à la prospection touchant des hypothèses novatrices. L’enchâssement de ces modèles, en association intrinsèque avec des dispositifs méthodologiques et techniques (notamment les applications selon les domaines), compose systématiquement avec un corps symbolique extrascientifique (au sens de non formalisable ou démontrable, mais d’éventuellement justifiable dans un collectif de savants), essentiellement composé par des réseaux de concepts et d’hypothèses non proprement scientifiques (de type métaphysique, ou encore futurulogique), et cela sous la forme variable de croyances, d’espoirs, d’intuitions rationnellement encadrés (ou du moins guidés par autre chose que du simple bon sens commun). Les éléments de ce corps peuvent opérer au sein des processus de sanction des résultats, parfois au niveau des principes du scientifique, mais irriguent de toute façon le procès de la recherche, fonctionnant comme opérateurs de sa stabilisation (voire de sa rigidification) ou de sa stimulation. C’est en ce sens qu’un paradigme opère nécessairement, quoique de façon non statique, une fixation, une discrimination du pensable et de l’inintelligible, du problématique et du résoluble, discrimination renforcée et reproduite par des techniques et instruments variés de légitimation (ouvrages savants ou vulgarisations, manuels d’enseignement, etc.).

  • 4 Terme repris à Mouloud, 1989, sur lequel je reviens plus bas.

4Outre le fait que ces distinctions sont analytiques, et que l’entrelacement des réalités quelles désignent est singulier et diversement révélateur de ces diverses composantes, l’essentiel à retenir, c’est que le paradigme ne doit jamais être pensé comme figé. Il existe en lui des procédures de validation mais aussi, associées, des procédures de prospection, moins codifiées que les premières, qui sont la condition de la possibilité de son autocorrection (c’est la critique essentielle de Lakatos contre Kuhn). C’est cette nature essentiellement téléonomique4 de la connaissance scientifique qui nous semble fondamentale. De là suit, en première approche scolaire, qu’une «révolution scientifique » ne peut être qu’un processus de durée variable consistant (selon la problématique analogie institutionnaliste de Kuhn) en le remplacement d’un paradigme ancien par un paradigme rival, ancré dans la production d’une unification conceptuelle et méthodologique rendue possible voire nécessaire par la mise en crise du paradigme ancien (le nouveau paradigme est partiellement et seulement partiellement incommensurable avec celui qu’il remplace, comme on va le voir plus loin). Le nouveau porte alors nécessairement une puissance théorique d’unification de l’objet du champ disciplinaire qu’il unifie, et par là véhicule une puissance pratique de résolution d’énigmes, aux implications sociales et culturelles variées, qui, si elles existent, peuvent être très indirectes.

5À ce stade, on peut d’emblée se poser la question suivante : indépendamment du fait que la crise des fondements, puisqu’elle a consacré des ruptures fondamentales, est « révolutionnaire » au sens commun et vague du terme, l’est-elle au sens strict ? Si cette crise est révolutionnaire, quel est le paradigme ancien, quel est le nouveau ? L’avènement d'un nouveau paradigme au sortir d’une telle crise suppose-t-il forcément l’existence d’un paradigme à remplacer ?

2. DISTINCTIONS SUR L’ÉMERGENCE DU DISCOURS ENSEMBLISTE AU XIXe SIÈCLE

  • 5 Je reprends ici des suggestions de Ferreiros, 1999.

6Il n’y a pas de paradigme unitaire régnant, méthodologiquement et conceptuellement, sur les mathématiques du xixe siècle, et ce que j’appelle ici la matrice ensembliste, née en ce siècle, n’est pas du tout dominante avant la crise des fondements, alors qu'elle le sera après. La question est alors la suivante : que doit-on entendre derrière cette expression de « matrice ensembliste »5 ?

  • 6 Cavaillès, 1938b.

7On doit d'abord se référer à la théorie abstraite des ensembles infinis ou « transfinis » (TE1 par la suite) au sens strict, qui s’élabore avec Frege, Cantor, Dedekind, à partir des années 1870 : les notions de System, de Menge, l’infinitisme auguré, la détermination de la notion d’application entre regroupements d’éléments, les classes d’équivalence, sont au cœur du développement d’une approche structurale/pré-ensembliste que l’on peut en particulier faire remonter au concept riemannien de « variété » (Mannigfaltigkeit). Cette TE1, d’abord naïve puis axiomatique, est ce à quoi l’on se réfère habituellement quand on évoque la naissance de l’ensemblisme6. Mais le langage-approche ensembliste (TE2 ensuite), qui est le plus ancien, n’est pas la même chose : des conceptions pré-ensemblistes naissent dans plusieurs branches : arithmétique, algèbre, géométrie, via différents concepts, avant les années 1870, mais alors ce langage est utilisé dans le cadre d’études d’ensembles concrets d’objets (nombres, transformations géométriques, etc.), sans que ce langage soit thématisé pour lui-même. Mais, outre ces deux éléments, la matrice ensembliste peut être vue comme un cadre fondationnel des mathématiques : c’est, au contraire de ses deux premières formes, justement ce qu'elle est devenue au cours et au terme de la crise, lors des années 1930, et cela en association intime avec la méthode axiomatique, elle aussi unifiée à partir de tendances formalisantes et axiomatisantes plus ou moins éparses du xixe siècle.

8Les TE1 et TE2 ne sont absolument pas paradigmatiquement dominants avant la crise : le rejet de l’infini actuel (par exemple chez Kronecker), la défiance à l’égard des définitions « verbales » de Cantor/Dedekind/Weierstrass, l'attitude ouverte mais critique des intuitionnistes français, le fait que l’indifférence d’une grande part des travailleurs de la preuve les ait conduits à continuer de travailler sans la matrice ensembliste, et l’absence d’unité de la mathématique (comme en témoignent les révolutions interdisciplinaires que je vais grossièrement rappeler dans la section suivante) sont l’indice du caractère non unifié et non dominant de cette matrice ensembliste avant la crise. C’est dans les années 1930 que la théorie des ensembles va devenir TE1, TE2 et TE3, et constituer alors un authentique paradigme au sens kuhnien.

3. RÉVOLUTIONS ET TENDANCES INTRAMATHÉMATIQUES AU XIXe SIÈCLE

L’arithmétisation de l’analyse

  • 7 Belna, 1996.

9La refondation de l’analyse réelle (théorie des fonctions à variable réelle) au xixe siècle a abouti, au niveau des matrices théoriques, à reconstruire l’infini, l’ensemble des nombres réels, sur le fini7, à partir des entiers naturels (pensés eux le plus souvent comme objets d’un savoir immédiat, sauf, et sa radicalité est sur ce point exemplaire, chez Frege). À la suite de l’algébrisation du calcul infinitésimal par Lagrange, déjà animée par le souci d’assurer les théorèmes d’existence et les démonstrations sur des bases saines, sans appel explicite ou implicite à une forme quelconque d’intuition, la « rigueur » a consisté à engendrer génétiquement et de façon réglée les réels à partir des rationnels (séries de Weierstrass, suites fondamentales de Cantor, dites maintenant « de Cauchy », coupures de Dedekind), eux-mêmes engendrées à partir des entiers naturels. La disparition des infiniment petits qui s’est ainsi progressivement opérée au profit de l’idée de « quantité aussi petite que l’on veut » (la production d’un concept opératoire de limite et l’usage systématique des inégalités en ε/δ reposent sur cette transformation) a rendu possible un déplacement des problématiques fondationnelles : les questions d’analyse vont mener, notamment via les travaux de Cantor sur les ensembles de points de discontinuités des séries trigonométriques, à des questions ensemblistes au sens Tl, sous la forme de la théorie abstraite « naïve » des ensembles, dont les contradictions vont constituer, sous quelques variantes, le détonateur de la crise des fondements. Celle-ci, de ce premier point de vue, apparaît, en ce qui concerne sa naissance, comme une conséquence d’un changement déjà opéré du paradigme analytique.

Transformation de la science géométrique en langage de la mathématique

  • 8 Il ne faut pas confondre le « non euclidien » strict et le « pas euclidien ». Est non euclidien un (...)
  • 9 Gauss, dans sa Dissertation générale sur les surfaces courbes de 1827, montre qu’il est en effet p (...)
  • 10 Bourbaki, 1984, p. 174.

10Mais le xixe siècle est aussi, et peut-être même faudrait-il dire, surtout, une ère véritablement révolutionnaire pour la géométrie. La période voit deux transformations majeures s’opérer, qui vont s’entrelacer de façon accrue avec le temps. D’une part l’établissement progressif, à partir de Gauss, d’un point de vue logique, mathématique, et finalement avec les deux théories de la relativité physique, des géométries dites « non euclidiennes8 » ; d’autre part, la généralisation par Riemann aux variétés à n dimensions du programme d’étude intrinsèque9 des surfaces courbes initié par le même Gauss. Le concept d’un espace tridimensionnel unique et homogène, hérité d’Euclide et surtout de la physique mathématique newtonienne, et élevé au rang transcendantal par Kant, est presque totalement déconstruit au terme de ce double processus de déspatialisation du géométrique. La géométrie fait alors face à une multiplicité d’espaces à dimensions, topologies, métriques variables, radicale coupure avec l’intuition de l’espace perceptif, au point que cette déspatialisation est strictement corrélative de son algébrisation, incarnée par le programme d’Erlangen de Klein en 1872. Cette transformation est le noyau rationnel d’un changement, contemporain de celui du paradigme analytique, du paradigme géométrique : la géométrie meurt comme science pour devenir langage, c’est-à-dire disparaît comme ensemble de théories au profit, essentiellement, de l’algèbre, tout en devenant extrêmement présente via la géométrisation sémantique de pans entiers de la mathématique non géométrique, et en particulier de l’analyse. Bourbaki le résume ainsi : « Dépassée en tant que science autonome et vivante, la géométrie classique s’est ainsi transfigurée en un langage universel de la mathématique contemporaine, d’une souplesse et d’une commodité incomparables10. » Cette algébrisation et ce devenir-langage, concomitants, de la géométrie vont induire progressivement, à partir du début du xxe siècle, la matrice ensembliste, non pas comme théorie d’objets cette fois, mais comme langage à vocation universelle au sens T2.

Tendances formalisantes et axiomatisantes

  • 11 Cavaillès, 1938a, sur le lien historique et conceptuel entre la naissance de la méthode axiomatiqu (...)

11En sus de ces transformations des objets et méthodes, il convient d’insister sur des tendances : on a évoqué plus haut déjà le développement d’approches structurales (via l’étude de notions comme celles de lois de composition, d’application, etc., bref la thématisation abstraite de types de relations possibles entre rassemblements d’objets quelconques), mais, bien évidemment, les travaux en logique formelle, l’essai pour mettre en évidence des lois de la pensée non réductibles aux formes héritées de la syllogistique aristotélicienne, l’élaboration conjointe, depuis Boole jusqu’à Russell, de formalismes de plus en plus puissants, sont l’indice d’une tendance à l’abstraction qui a été notamment provoquée par les géométries non euclidiennes. La préoccupation portant, en effet, sur l’indépendance et la compatibilité logiques des axiomes de la géométrie est une source majeure de l’approche hypothético-déductive stricto sensu, c’est-à-dire non pas celle de type euclidio-newtonien, mais celle transformant statutairement et définitivement, avec les Fondements de la géométrie d’Hilbert de 1899, tout axiome en postulat. L’association de cette approche logico-structurale avec la tendance formalisante, que le mouvement partant de Pasch et allant jusqu’à Hilbert accentue, va progressivement insister sur l’indépendance primitive des signes à l’égard du sens, et procéder à une internalisation des objets au discours mathématique alors non plus pensé comme discours d’objets, mais de plus en plus comme calcul réglé11.

  • 12 C’est l’étude, au sens large, des propriétés invariantes par homéomorphisme (application bijective (...)
  • 13 Voir Lautman, 2006, pour de nombreuses indications et examens conceptuels aussi riches que passion (...)

12Je n’évoque, à titre d’illustration (emblématique et déterminante) de l’entrelacement progressif de ces évolutions, qui ont pu se recouvrir, mais en restant distinctes voire totalement séparées, que la naissance de « la » topologie, comme discipline instituée comme telle au début du xxe siècle. La topologie dite générale12 ou ensembliste prend place en analyse réelle, la topologie combinatoire, qui sera plus tard dire algébrique, est, elle, issue de l’analyse complexe. Dans les deux cas se mêlent progressivement de façon intime des considérations structurales sur des types ou ensembles d’objets, dénommés, par analogie avec des espaces de points, des « espaces » de fonctions, etc., comme ce sera systématisé dans les années 1920, selon des présentations de plus en plus axiomatiques13.

  • 14 Au sens où il fallait que soit précisée la notion d’ensemble de points, que soit déterminé R, et q (...)

13En résumé : La réforme de l’analyse réelle et complexe, incluant un important processus d’abstraction, accompagnée et en partie nourrie par cette géométrisation littérale du non-géométrique, en même temps que caractérisée par la susdite réorganisation rigoureuse fondamentale, induit un changement progressif de paradigme. Cette réforme amène aussi à l’institution progressive de la topologie comme discipline clé dans sa branche générale du moins (qui n’existait pas comme discipline, malgré les concepts de Riemann et de Weierstrass). Or le langage de la topologie est de type géométrico-ensembliste (et d’abord ensembliste, rapidement présentée à partir de ZF ou ZFC, axiomatisation ensembliste standard, des années 1920 et encore aujourd’hui), laquelle est un produit de cette réforme rigoureuse de l’analyse14 et du devenir-langage de la géométrie, en plus, par ailleurs, d’être l’outil par lequel l’étude de structures algébriques peut s’opérer. Seulement, c’est de la crise des fondements proprement dite que jaillira, après coup, une unification technique et conceptuelle à peine esquissée par cet entrelacs progressif.

4. DE LA CRISE À LA NAISSANCE DU PARADIGME AXIOMATICO-ENSEMBLISTE

  • 15 Lire les pages très profondes de Foucault, 1968, sur ce sujet.

14L’objet de la crise (suscitée initialement par les contradictions de la TEl) est déjà séculaire : ce sont la nature des objets et procédés logico-mathématiques, les présupposés ontophilosophiques des thèses « transcendantes » d’existence, le mode de contrôle de ce que celles-ci instituent (avec en arrière-plan le souci d’éviter des créations tératologiques, comme des ensembles contradictoires...), les propriétés métamathématiques des systèmes formels (consistance, complétude, décidabilité, catégoricité, etc.), et la possibilité de l’existence d’une unité de la mathématique. Autrement dit, des thématiques, des interrogations persistent, malgré les immenses changements de forme et de contenu des théories : l’historicité des savoirs, la contingence qui affecte leurs développements, les crises et ruptures qui scandent cette historicité, ne sont absolument pas incompatibles avec la continuité des problèmes qui polarisent les travaux. L’opposition continuisme/discontinuisme fait partie de ces escroqueries canonisées qu’il serait judicieux de regarder de près si l’on veut en faire à nouveau un instrument épistémologique digne de ce nom15. La particularité de cette crise tient au caractère non Unitaire associé structurellement à cet objet pluriel (notamment le non-dénombrable, qui est mobilisé dans la théorie des réels), autour de la question qui va structurer les disputes : quels sont les critères d’existence des objets idéaux ? La non-contradiction est-elle suffisante ou avons-nous besoin de preuves constructives ? Et qu’est-ce alors qu’une preuve constructive ? Etc. On le voit, dans ce qu'elle remue et déployé, la crise des fondements excède de loin la crise propre à la TE1 stricto sensu.

  • 16 Mouloud, 1989.

15La littérature contemporaine regorge d’exposés factuels sur cette crise : ce qui m’intéresse, c’est de voir que les trois aspects de la matrice ensembliste vont, en assimilant le devenir-langage de la géométrie et l’avènement de la « méthode axiomatique » comme guide de la pensée mathématique (ainsi que la qualifiait Hilbert), se constituer en une unité conceptuelle et méthodologique qui va intégralement reconstruire sur des bases « saines » l’ensemble des champs de la mathématique existante dans les années 1930 : c’est en effet en 1935 que paraît le premier volume « Théorie des ensembles » des Éléments de Bourbaki, apôtre d’une méthode axiomatique exclusiviste et à portée universelle. Cet esprit va, en plus de sa propre productivité dans les décennies qui vont suivre, essaimer bien au-delà, dans l’esprit et même la lettre, de l’Europe franco-allemande (c’est-à-dire en bonne part assez vite franco-américaine, au vu des exils massifs à la veille de la Seconde Guerre mondiale). Ce qui fait de cette réponse bourbachique le cœur d’un nouveau paradigme, c’est donc d’abord cette réorganisation totalisante. Mais c’est aussi l’institution d’une nouvelle période de « science normale » et d’une productivité ahurissante de nouveaux résultats, assortie d’une diversité de procédures de légitimation (des instituts de recherche à la formation, en France par exemple, et à la traduction de cette réponse dans les contenus des programmes de mathématiques de l'enseignement primaire, le tout rendu possible par la typique glorification idéologique d’un passé reconstruit et aplati selon la téléologie la plus avantageuse), caractéristiques de la dimension extrascientifique (ou « épistémique16 ») dont Kuhn faisait un critère de reconnaissance d’un « paradigme ».

16Autrement dit, la crise des fondements des mathématiques n’est pas une crise interne à un paradigme constitué antérieurement (elle ne serait sinon en rien révolutionnaire, puisque le paradigme se serait autocorrigé, ce qui n’est pas le cas). Pour autant, si l’on peut dire qu'elle consacre l’avènement du paradigme axiomatico-ensembliste, et est en ce sens révolutionnaire, c’est que l’on exclut du concept de révolution le prédicat, ou plutôt l’analogie institutionnaliste qu’établit Kuhn. Une crise peut être révolutionnaire en ce sens sans avoir besoin de rejeter un ordre déjà établi. Cela dit, en élargissant le spectre temporel, c’est-à-dire en décidant de considérer le xixe comme l’ébranlement progressif du paradigme euclidien-newtonien-kantien, et la crise des fondements comme la radicalisation ou l’aboutissement de cet ébranlement, alors on peut retomber sur la définition standard : la crise des fondements des années 1900-1930 consacre bien le passage d’un paradigme à un autre (sans l’assurer par et en elle-même bien sûr), couronne un lent processus de décomposition-recomposition, c’est-à-dire est finalement le symbole et la cause occasionnelle d’actualisation explicite d’une révolution qui s’est en profondeur déjà opérée sur un siècle. Conceptuellement parlant, cela montre cependant le danger de la métaphore institutionnaliste, qui est bien trop réductrice temporellement parlant ; d’autre part distinguer avec soin les lieux de discontinuité entre deux paradigmes ne peut se faire que sur le fond de la continuité variée de ce qui les compose : l’ensemble des champs disciplinaires, les dispositifs conceptuels qui les accompagnent, que ce soient des modèles théoriques déterminés proprement dits ou des tendances et inflexions progressives, et les thématiques fondationnelles sous-jacentes – lesquelles, si elles changent de parures et de maquillage, gardent bien pour l’essentiel le même visage extratechnique, visage qui reste vivant tout en étant marqué par le temps. Epistémologiquement parlant, faire – construire – l’histoire (des mathématiques), c’est aussi faire l’histoire de ce qui perdure et de comment cela perdure par-delà les changements profonds ou de surface.

  • 17 Ibid. Cet ouvrage est magnifique et d’une densité conceptuelle rare. Il serait fort judicieux de l (...)
  • 18 Mouloud, 1989, p. 197.

17Discutant longuement l’opposition, consacrée dans la seconde moitié du xxe siècle, entre logiques de la validation et de la découverte scientifiques, essentiellement l’opposition entre le positivisme logique et le rationalisme critique (Popper, Lakatos, mais aussi Kuhn dans ses motivations foncières supposées), N. Mouloud17 refuse de dire que le mouvement de la « science normale » serait avant tout caractérisé par les premières logiques, et les moments de crises de rationalité comme, au contraire, des périodes où les heuristiques viendraient se subordonner celles-ci de façon dominatrice. Son propos est de rendre compte précisément de l’existence simultanée et de l’enchâssement de ces deux types de procédures. Reformulé dans la problématique telle que je l’ai posée ici, qu’est-ce alors que la téléonomie des savoirs évolutifs ? Ce concept sert à préciser l’exigence de « réinsérer le rationnel dans l’histoire », ce qui est « plus difficile que ne le pense un rationalisme critique programmatique [...] en raison même des assises multiples ou croisées de la conceptualisation, ce qui ne veut pas dire qu’il faille abandonner cette instance rationnelle au profit d’incidences qui se produiraient au hasard18 ».

  • 19 Le concept permet de préciser ce que l’expression « dialectique sans téléologie autre qu’humaine e (...)
  • 20 Barot, 2005.

18La téléonomie19 d’un savoir est son caractère « organique », c’est-à-dire sa puissance d’autorégulation différenciée (thème cher à Lakatos), s’effectuant via l’opérativité de normes de cohésion immanentes. Le dégagement et l’articulation en deux groupes de normes ou composantes (essentiellement en logico-pragmatiques et épistémiques, ce qui recoupe grossièrement la distinction opérée plus haut entre scientifique et extra-scientifique – normes que l’on peut étudier pour elles-mêmes, comme structures de tout savoir évolutif) sont au cœur de l’analyse rétrospective d’une théorie au sens large. De ce fait, une telle analyse se fonde sur le dégagement des paramètres (mouvements de modèles, tendances) qui assurent l’évolution des savoirs, elle étudie les niveaux et les lieux d’expression des discontinuités, et doit mettre en évidence la nature des transitions qui jalonnent l’histoire d’une science : c’est dans le cadre de cette conception téléonomique de la rationalité pratique et proprement humaine (qui assure au cœur de son historicité la persistance des questionnements et l’existence de modes sanctionnés collectivement de validation des énoncés) que j’ai abordé l’étude de la nature de cette crise des fondements des mathématiques. Le présent travail synthétise la première partie d’une étude dont la seconde porte sur la persistance (et les subversions ponctuelles qu’il subit) de ce paradigme axiomatico-ensembliste, et questionne donc la façon dont les traces de cette crise affectent encore aujourd’hui de façon massive les questionnements fondationnels des mathématiques contemporaines20.

Sur l’épistémologie

  • 21 P. Macherey, 1999, Retour sur « La philosophie comme opération » (1984), p. 160.

19L’épistémologie des mathématiques est une pratique théorique conceptuelle non scientifique, qui doit se faire historiographie scientifiquement instruite pour prétendre à la légitimité. En particulier, puisque les concepts philosophiques sont parties intégrantes du processus de constitution de l’objectivité mathématique (celle des théories et celle des objets intrathéoriques techniquement étudiés), cette historiographie des mathématiques doit intégrer celle de la philosophie (des) mathématique(s) elle-même, puisqu’elle a toujours été intrinsèquement liée aux mathématiques inprogress. L’épistémologie, travail d’une praxis collective, se constitue, de façon interne ou externe, comme réflexivité du scientifique, sur le fonds social commun à toute pratique : mais elle a aussi à reconnaître que, puisqu’elle est praxis interprétative, elle se constitue toujours comme normative. Elle révèle par là que dans son principe elle est bien plus théorie générale de la connaissance que prudemment (faussement) régionale : elle semble donc incarner en son domaine la « philosophie comme opération », la philosophie, pour reprendre les termes de P. Macherey, comme « participation au processus de la réalité qui passe par l’explicitation raisonnée de ce que la réalité dit d’elle-même en se faisant21 ».

Bibliographie

BIBLIOGRAPHIE

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Notes

1 Cf. Cavaillès, 1938b, et Ferreiros, 1989, pour l’ensemblisme. Dieudonné, 1978, sera la référence adéquate pour qui veut avoir un premier tableau d’ensemble approfondi des mathématiques du xixe siècle, et Le Lionnais, 1948, pour des exposés sur les questions et thématiques essentielles jalonnant cette période. Cf Feferman, 1998, Panza & Salanskis, 1995, Benacerraf & Putnam, 1983, pour des analyses conceptuelles variées.

2 Je vais ici à l’essentiel, et sous une forme « cumulative » qui n’a évidemment rien à avoir avec les va-et-vient entre l’attention aux données de l’histoire des mathématiques et la rectification progressive des concepts. Je fais, de même, l’impasse sur les détails, nuances, et questions locales en suspens, qu’il importe par ailleurs de traiter, mais qui ne portent pas à conséquence sur la thèse globale. Par ailleurs, les interlocuteurs de cette journée d’études et l’échange qui a suivi l’exposé m’ont permis de moduler et d’approfondir certaines thèses : j’en remercie les protagonistes et souhaite ici témoigner de la fécondité de ce genre de rencontres.

3 Kuhn, 1962 et 1969.

4 Terme repris à Mouloud, 1989, sur lequel je reviens plus bas.

5 Je reprends ici des suggestions de Ferreiros, 1999.

6 Cavaillès, 1938b.

7 Belna, 1996.

8 Il ne faut pas confondre le « non euclidien » strict et le « pas euclidien ». Est non euclidien un système axiomatique qui nie seulement le postulat des parallèles, « pas euclidien », ce qui peut nier beaucoup plus des axiomes et postulats de la géométrie euclidienne plane. La géométrie de la sphère n’est « pas euclidienne » en ce sens (elle nie trois des cinq demandes du livre I des Eléments d’Euclide), mais cela n’a jamais choqué qui que ce soit, cette géométrie possédant son autonomie par rapport à celle du plan.

9 Gauss, dans sa Dissertation générale sur les surfaces courbes de 1827, montre qu’il est en effet possible de poursuivre toutes les études souhaitées en dégageant le travail sur une surface bidimensionnelle de son plongement dans un espace-réceptacle ambiant (lequel plongement illustre l’approche extrinsèque), en construisant sur elfe localement des coordonnées « curvilignes », permettant de généraliser la notion de distance euclidienne. Il reformule ainsi la notion de courbure d’une surface que Riemann généralisera aux variétés n-dimensionnelles en 1854 dans Sur les hypothèses qui servent de fondement à la géométrie. La classification des courbures en constantes et non constantes, négatives, positives ou nulles, et la généralisation de la notion de distance entre deux points quelconques d’une surface quelconque à dimensions quelconques, permettent notamment d’organiser de façon systématique les géométries non euclidiennes.

10 Bourbaki, 1984, p. 174.

11 Cavaillès, 1938a, sur le lien historique et conceptuel entre la naissance de la méthode axiomatique et le formalisme.

12 C’est l’étude, au sens large, des propriétés invariantes par homéomorphisme (application bijective et bicontinue), précisant les notions d’espace topologique, métrique, compact, connexe, etc., et travaillant autant « globalement », sur un espace entier qu’au voisinage de ses points, c’est-à-dire « localement ». Riemann, Weierstrass en sont les véritables initiateurs.

13 Voir Lautman, 2006, pour de nombreuses indications et examens conceptuels aussi riches que passionnants. Cf. Dieudonné, 1978, ch. VI, VII et X.

14 Au sens où il fallait que soit précisée la notion d’ensemble de points, que soit déterminé R, et que soient généralisées aux fonctions les propriétés possibles des points ou des nombres (essentiellement les notions d’analyse évoquées plus haut de convergence et de limite d’une suite, de distance entre deux fonctions) : ce sont ainsi les espaces métriques de fonctions, systématiquement étudiés par la topologie générale, c’est-à-dire ceux sur lesquels la notion de distance entre deux fonctions est définie, qui vont être le cadre naturel le plus souvent utilisé pour l’étude desdites fonctions. Cf. Bourbaki, 1984, Le Lionnais, 1948, sur l’analyse fonctionnelle (et sa systématisation conceptuelle) qui généralise ainsi définitivement ces notions à des ensembles d’éléments déjà complexes et non géométriques, d’un niveau d’abstraction supérieur, munis de structures algébriques particulières (celle d’espace vectoriel tout particulièrement), et souvent étudiés du point de vue de ces dernières.

15 Lire les pages très profondes de Foucault, 1968, sur ce sujet.

16 Mouloud, 1989.

17 Ibid. Cet ouvrage est magnifique et d’une densité conceptuelle rare. Il serait fort judicieux de le sortir des tiroirs.

18 Mouloud, 1989, p. 197.

19 Le concept permet de préciser ce que l’expression « dialectique sans téléologie autre qu’humaine et ponctuelle » pourrait, avec son imprécision, désigner.

20 Barot, 2005.

21 P. Macherey, 1999, Retour sur « La philosophie comme opération » (1984), p. 160.

Auteur

Université de Toulouse II-Le Mirail

© Éditions de la Sorbonne, 2009

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