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Philosophies de la nature

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Olivier Bloch

Troisième journée

Géométrie et philosophie de la nature : la balance dialectique d’Argand-Hamilton

Gilles Châtelet

Full text

I) INTRODUCTION

  • 1 Michel Foucault, L’archéologie du savoir, Paris, Gallimard, 1969, p. 243-255.

1Trop souvent, parce que la physique et surtout les mathématiques sont censées avoir depuis longtemps franchi ce que Michel Foucault appelle le seuil de formalisation1, la philosophie des sciences déprécie l’intuition physico-géométrique comme naïveté pré-formelle, comme chrysalide encombrante d’une structure maintenant détectée par la lunette parfaite du mathématicien contemporain, se ménageant ainsi une niche soit de rationalité « propre » — celle des problématiques de la vérification et de l’administration de la preuve —, soit de la poursuite de l’origine et du geste fondateur du premier géomètre.

2L’exemple des travaux de géomètres plus ou moins contemporains des philosophies de la Nature de l’Âge romantique semble se prêter à une analyse différente, permettant à la philosophie de ne plus se cantonner à un procès-verbal paraphrasant l’opérativité, de se risquer à une approche concrète et précise de la dignité du « pré-formel » et de l’« intuitif » et de l’articuler — sous un autre mode que celui de l’« influence », de la « matrice d’idées » ou du « contexte culturel et sociologique » — avec la question centrale de l’intuition dans la Natur-philosophie. Il s’agit de montrer comment celle-ci, souvent très dépréciée, a réussi à enfoncer un coin précieux entre la métaphore « purement poétique » et l’opérativité formelle, à dévoiler un monde de « métaphores audacieuses » (comme les appelait Maxwell), bonds de l’esprit susceptibles d’être disciplinés par l’homme de science mais nullement réductibles à des illustrations subsidiaires de fonctions déjà disponibles.

3La Natur-philosophie concerne des traditions aussi éloignées — sinon opposées — que celle de la France, de l’Angleterre ou de l’Allemagne (un exemple pris parmi d’autres : le mathématicien Hamilton n’hésite pas à faire le voyage à Highgate pour rencontrer Coleridge, adepte fervent de la Natur-philosophie).

  • 2 Respectivement : E. Kant, Qu’est-ce que s’orienter dans la pensée, Paris, trad. Vrin, 1972 ; E. Kan (...)

4Dès la fin du XVIIIe siècle, philosophes et savants vont rivaliser, en France, en Angleterre, et en Allemagne, pour dénouer le mystère de la naissance des polarités et découvrir toute une négativité spatiale dont Kant, dans deux articles fondamentaux (Qu’est-ce que s’orienter dans la pensée ? et Le concept de grandeur négative2), avait soupçonné la fécondité.

5Cette négativité spatiale, souvent négligée par les commentateurs (surtout concernés par le travail du négatif dans une perspective de temporalité et d’historicité), joue pourtant un rôle crucial dans l’émergence des dimensions aussi bien dans la Natur-philosophie que dans la découverte de nouveaux rapports entre l’Algèbre et la Géométrie ou dans le développement de théories électromagnétiques.

6Il convenait pourtant de noter que la science du XIXe siècle a su comprendre le négatif comme un rapport de situation pour conduire son offensive redoutable contre la spatialité étendue et ses distances mortes. Nous verrons comment en particulier Argand et Hamilton (avec la géométrisation des nombres complexes et l’invention des quaternions), construisent des dispositifs — que nous appelons stratagèmes allusifs — capables de s’approprier toutes les mobilités latérales impliquées dans la décision d’une orientation et de destituer les forces longitudinales (« naturellement » identifiées à une opérativité qui transite d’un terme à l’autre ou d’un point à un autre) au profit des forces transversales (« latitudinales ») et directement liées à une diffusion de dimension.

7Ces dispositifs permettent de mieux cerner le rôle créateur de la métaphore — ce qui intéresse aussi bien la Philosophie que la Science — et de comprendre enfin un mode d’intervention de la philosophie très différent de celui d’une instance régulatrice.

8Ces dispositifs peuvent être conçus comme des « balances dialectiques », des équilibres en porte à faux qui ne rompent qu’en emportant un espace plus ample. Ils mettent à jour des centres de pivotement qui commandent un réseau d’opérations de plus en plus étendu.

9Ces centres de pivotement fonctionnent comme les centres d’indifférence (les Wendpunkten, les points solsticiaux) de la Natur-philosophie. Ce sont ces points qui ont inspiré à Schelling sa remarque fameuse : la nature est l’entendement visible et l’entendement la nature invisible. Ces points sont appelés centres d’indifférence ou même points solsticiaux par différents auteurs parce qu’ils révèlent des lieux privilégiés d’unité entre l’intuition et la pensée. Ils permettent de dépasser les oppositions et montrent surtout que ce dépassement se paie de l’émergence d’une singularité.

10Pour la Natur-philosophie, ces points sont cruciaux : ils incarnent l’articulation entre l’individuation des êtres naturels et l’individuation de la connaissance du physicien ou du géomètre. Ce sont des points de ramification, des centres d’ambiguïté qui révèlent crûment la fragilité des choix de paramètre. Cette déroute — et même cet affaissement — de l’entendement fonctionnel est nécessaire pour accéder à un degré d’intuition plus pénétrant. L’immanence dialectique taraude l’entendement grâce aux centres d’indifférence : la dialectique n’est pas la neutralisation synthétique de deux termes préexistants et opposés mais la découverte de l’articulation qui déploie la dimension le long de laquelle ils surgiront comme des « côtés ».

11Ceci explique l’intérêt des diagrammes associés à la conquête de dimension : aimant en fer à cheval, tire-bouchon, hélices, etc. Ils montrent que l’orientation ne se réduit pas à un simple « choix » et possède une effectivité qui concerne aussi bien la géométrie, la physique que la métaphysique. Ils induisent une discipline de gestes et suscitent des expériences de pensée articulées bien avant toute saisie formalisante, permettant aussi un dialogue tout à fait renouvelé entre physique et géométrie.

  • 3 Cf. Goethe, La métamorphose des plantes, Paris, trad. Triades, 1975, p. 105-107.

12Centres d’indifférence et stratagèmes allusifs bouleversent radicalement la distinction classique entre expérience et théorie, entre contemplation et opération, entre pensée discursive et saisie intuitive. Ils disqualifient le concept-instrument commis à l’unification synthétique et « tué par abstraction » de l’intuition sensible d’une chose extérieure. Ils forgent une unité conceptuelle et intuitive, un diagramme qui permet de promouvoir un type de perception où ce que nous percevons n’est plus différent de ce qui nous fait penser le perçu : l’idée est vue en elle-même dans le concept. Rappelons que Goethe voulait une force de jugement intuitive (« anschauende Urteilskraft »)3 pour comprendre une nature organique mais, avec les stratagèmes allusifs, on serait tenté de dire que ce « jugement » est aussi exigé du physicien-expérimentateur... et même du géomètre ou de l’algèbriste.

II) LA MÉTHODE D’ARGAND COMME BALANCE DIALECTIQUE4

  • 4 Nous renvoyons à notre livre Les enjeux du mobile, Paris, Seuil, coll. Travaux, 1993, pour un expos (...)

13En exhibant un « stratagème allusif » pour le négatif, Argand et Hamilton ont employé la géométrie dans certains des thèmes cruciaux de la philosophie de l’Âge romantique :

  1. — La force créatrice associée à l’émergence d’une paire : l’ambiguïté qui permet le déploiement de dimensions nouvelles (à distinguer de l’équivocité qui appelle seulement un choix). Le Deux, ici, n’est pas le cardinal défini comme 1 + 1 mais comme ce qui permet la découpe de la forme couple, la saisie du « surgir ensemble ». (L’« autour » est toujours associé à l’émergence d’une paire).

  2. — Le négatif comme torsion apte à déployer de nouvelles dimensions et à provoquer une scission de la positivité en elle-même.

  • 5 Saisie intuitive au sens de saisie par stratagème et non par intuition sensible.

14L’histoire des nombres négatifs montre toute l’insuffisance de protocoles formels de calcul non accompagnés de la saisie intuitive5 du geste qui a découpé le champ d’application de ces opérations.

15Rappelons qu’il faut attendre 1657 pour que John Hudde accepte des coefficients littéraux pour des nombres négatifs. Un certain « malaise » subsistera pourtant... jusque dans la première moitié du XIXe siècle : on restait accroché à l’intuition « évidente » du positif— le caractère « palpable » d’une collection d’objets —, cette prothèse intuitive extérieure détournant malencontreusement de l’expérience de pensée et du dispositif — la balance — impliquant toutes les forces de l’orientation et du couple.

16Une telle expérience de pensée ne se contente pas d’exhiber un objet physique « illustratif » (ce serait simplement accumuler des similitudes plus ou moins convaincantes), mais fait basculer le géomètre dans la dynamique propre de l’intuition, pièce maîtresse de ce que Cavaillès appelait « l’abstraction amplifiante » des mathématiques. Cavaillès dirait que l’intuition « attrape des gestes » : elle ne fonctionne pas comme garantie sensible des calculs ou comme panoplie d’icônes chargées de vivifier des concepts épuisés par l’abstraction. Elle s’immisce dans le mouvement même de la pensée (c’est pourquoi Goethe a pu parler de force de jugement intuitionnant), les centres d’indifférence de la Natur-philosophie étant les lieux d’exercice privilégiés de cette « force ».

17C’est ce qui rend si crucial l’articule de Kant, Pour introduire en philosophie le concept de grandeur négative. Il n’est pas question « d’illustrer » le négatif par une collection d’objets mais de souligner que le négatif est précisément ce qui permet de se dégager de l’intuition de la positivité niaise, de la mettre en balance. Le négatif ne paralyse pas le discours comme une absurdité formelle (affirmer une chose et son contraire) mais concerne ce que Kant appelle « l’opposition réelle », celle qui capte le poser comme tel. Les trois exemples de Kant (les forces opposées, le bilan comptable, le navire) n’impliquent pas une opposition formelle de contraires — ce qui serait une caricature sommaire de la dialectique —, mais un dispositif de mise en équilibre, équilibre qui n’est pas neutralisation mais préparation d’une offensive de l’ambiguïté. Le négatif n’est pas ce qui « manque » au positif mais ce qui lui permet de se ramasser sur lui-même et d’acquérir une nouvelle plasticité.

18C’est dans cette optique qu’il faut comprendre la présentation géométrique que donne Argand pour les nombres complexes. Argand assimile l’addition à une accumulation de poids. Le géomètre est alors pris au piège de l’accumulation indéfinie et, surtout, cette opération n’est pas symétrisable : je ne peux prélever indéfiniment dans une collection d’objets sensibles. Mais, remarque Argand, si je dispose d’un couple de plateaux, je peux, à volonté, mettre des billes d’un côté ou de l’autre : la distinction des « côtés » et la décision d’orientation m’ont donc permis de fendre le geste d’accumulation en deux.

19Les nombres sont alors des couples, le négatif et le positif étant alors liés à un excès de poids du côté gauche ou du côté droit.

20Le point d’appui des couteaux est naturellement stratégique dans le dispositif, comme le zéro qui n’est plus simplement un point origine accroché à l’échelle des positifs mais constituant à lui seul une séquence infinie d’équilibres formés par des plateaux également chargés :

0 = (X,X).

210 est désormais un point de pivotement entre le positif et le négatif, une pièce centrale d’articulation d’un dispositif, et c’est tout le génie d’Argand d’avoir compris ce qui virtuellement se jouait en ce point d’indifférence, cœur d’équilibres appelant d’autres équilibres plus amples. Le point 0 peut servir de « milieu », de centre d’équilibre « additif » entre le positif et le négatif mais le dispositif qu’il commande peut aussi conduire à l’idée d’un milieu multiplicatif, d’une moyenne géométrique mettant en proportion +1 et-1 : les nombres « imaginaires » i et -i dirigent un axe d’équilibre entre le côté positif et le côté négatif, axe « naturel » qui permet de créer des analogies, de trouver le X qui sera tel que « 1 est à X ce que X est à-1 ».

22De simple point-origine, 0 devient ce qui fait charnière entre deux côtés : il possède le pouvoir d’intriquer en géométrie l’intuitif et le calculatoire et, comme centre d’indifférence, un pouvoir de « se creuser lui-même », d’assurer une coordination entre l’amplification de domaines d’opérateurs et la saisie de similitudes plus pénétrantes.

  • 6 Cf. l’introduction des Lectures on quaternions, Dublin, 1853.

23Amplification et intensification des équilibres : cette « méthode d’Argand » n’a pas échappé à Hamilton qui l’utilise pour diriger ses recherches sur les quaternions6. Cette méthode se nourrit du caractère problématique des analogies : pour Hamilton, ce n’est pas la multiplication qui est importante mais la mise en rapport de similitude de direction. Les quaternions spatiaux de base, e1, e2, e3, doivent être conçus comme moyennes géométriques entre l’unité positive +1 et l’unité négative-1. Chaque unité spatiale est l’axe d’une balance qui établit un équilibre entre ce que Hamilton appelle lui-même les unités temporelles -1 et +1. Hamilton reprend au vol l’intuition centrale d’Argand et lui donne toute son ampleur : le point 0 est devenu l’Espace tout entier et l’Espace est ce qui permet de mettre en proportion, l’Avant - 1 et l’Après +1 !

24Ce que nous devrions appeler balance d’Argand-Hamilton, fait émerger un « trièdre » e1, e2, e3 (et son opposé -e1, -e2, -e3) déployant un Espace qui n’est plus séparé du Temps mais qui se donne comme moratoire suspendu entre l’Avant (t=-1) et l’Après (t=+1). Le point 0 (t=0) n’est plus un instant quelconque noyé dans le paramétrique (le temps universel de la Mécanique) mais un trépied articulé de rotations infinitésimales. C’est peut-être l’aspect le plus important de la découverte de Hamilton : donner des articulations au trièdre cartésien (formé de la triple équerre de e1, e2, e3 fixés rigidement en position d’orthogonalité réciproque) et donc déplacer le champ intuitif du géomètre encore captif de la transitivité (aller d’un point à un autre, transvaser, transporter, changer) vers la latéralité et plus exactement l’axialité — le germe du « tourner sur soi », le « spinning », du mouvement sur place sans déplacement local mais incomparablement plus déroutant, plus désorientant.

III) CONCLUSION : PRATIQUES INTUITIVES ET STRATAGÈMES ALLUSIFS

25Nous avons pu observer, avec Argand, Hamilton et Grassmann comment le point 0 fonctionne comme un centre d’indifférence capable de promouvoir de véritables expériences de pensée géométriques, suscitant à leur tour d’autres expériences de pensée. Le point-origine comme joyau cinématique concentre les virtualités, entretient avec le géomètre un rapport déterminé : voir 0 comme pivotement ou éclatement n’est pas seulement affaire de définition mais suppose l’adoption d’une stratégie de l’allusion (ce qui justifie la terminologie).

26Les stratagèmes esquissent un champ, un « référentiel », une discipline de gestes accompagnant la formalisation mais nullement subsidiaire par rapport à elle. Les stratagèmes possèdent une épaisseur matérielle : aimant, balance (et comme nous aurions pu le montrer pour l’électromagnétisme : hélices ou solénoïdes...), mais cette matérialité ne fonctionne pas comme référent. Comme le montre parfaitement l’exemple des lignes de forces de Faraday, que nous analyserons brièvement un peu plus tard, ils ne se donnent pas comme à interpréter et encore moins comme une panoplie de règles à appliquer. Ils appellent et imposent l’évidence ; ils ne conçoivent pas l’expérience comme associée à une vérification et une prédiction. Ils se situent plutôt au niveau de la « métaphore », comprise non pas comme remplacement expéditif de la puissance opérative mais comme machine apte à créer de la similitude.

27On les rencontre beaucoup dans les sciences ayant atteint le « stade de la formalisation ». Ceci peut sembler paradoxal mais ceci s’éclaircit si l’on remarque que ces sciences ne redoutent plus depuis longtemps la séduction des clichés sensibles et surtout disposent — notamment la physique — d’une solide tradition d’expériences de pensée — et donc d’une maîtrise des degrés d’intuition qui leur donnent la force de ne pas assimiler mécaniquement rigueur et formalisme mathématique.

28Les stratagèmes allusifs conduisent ce qu’on pourrait appeler des pratiques intuitives à rapprocher des pratiques discursives définies par Michel Foucault dans L’archéologie du savoir et irréductibles à une analyse formelle, à une investigation sémantique ou à une vérification. L’étude de ces pratiques, conduite par la Science romantique, permet de mieux comprendre les expériences de pensée des Sciences contemporaines et les diagrammes qui leur sont associés.

29Mais il y a plus important : ces stratagèmes permettent de saisir « l’empirie » sous un jour nouveau : non pas ancrée sur une évidence ultime du sens commun et autorisant une ratiocination à partir d’éléments dont la transparence, la clarté et la consistance semblent aller de soi — disponibles « sous la main » et donc « naturels » — mais d’exhiber des dispositifs et des pratiques qui sécrètent de la « naturalité » et de l’évidence (y compris dans les sciences ayant dépassé depuis longtemps leur seuil de formalisation). Cette « naturalité » ne prétend pas atteindre le socle où palpite l’expérience vécue — le sol des arpenteurs ou le ciel étoilé des astronomes — mais se donner à travers un dispositif technique d’extraction de gestes (la plupart du temps un diagramme). Dans un stratagème allusif le geste se fait « chose », cette chose faisant allusion à d’autres gestes.

30On comprend maintenant la prédilection de certains géomètres ou de certains physiciens anglo-saxons pour les « devices » (machine à fumer de Thomson, dessins et moteurs de Faraday...) qui dépasse le folklore de l’illustration et donne accès à une consistance mobile qui n’est pas donnée dans un exposé traditionnel de résultats (Dirac considérera avoir « vraiment » compris le spin — c’est-à-dire vivre dans le monde du « spinning » et des « doubles rotations » —,seulement après avoir construit un « device » à l’aide d’une paire de ciseaux et d’une ceinture).

31L’exemple des lignes de force de Faraday est particulièrement instructif pour comprendre ce que l’empirisme souhaite atteindre — la « vividness » — et qui ne se réduit pas à un « illustratif » subsidiaire. Depuis le XVIIe siècle, les « lignes de force » étaient vues avant Faraday comme des illustrations censées rendre « visibles et palpables » les actions magnétiques. Faraday comprend qu’elles ne « matérialisent » pas maladroitement des forces invisibles, qu’elles ne doivent pas fonctionner comme figures sensibles mais doivent être vues « avec les yeux de l’esprit » comme diagrammes aptes à forger une nouvelle discipline de l’attention et inciter en pointillé à de nouvelles expériences.

32Paradoxalement, ces lignes de force ont souvent été perçues comme « obscures » par certains contemporains, en tout cas bien plus bizarres que l’interaction à distance (Rappelons qu’Argand avait été victime d’un malentendu analogue : le fameux « plan d’Argand » n’était qu’une simple notation... qui ne simplifiait rien...). Ces critiques manquent leur but : l’effectivité physico-géométrique des lignes de forces n’est pas celle de l’interaction à distance (la première induit des expériences en pointillé alors que la deuxième fonctionne surtout — comme en électrostatique — comme illustration de calculs mécaniques). Cette effectivité serait plutôt celle d’une « icône » qui aurait le pouvoir d’établir pour le physicien-connaisseur un rapport d’intimité avec les virtualités d’un champ, avec toute une topologie qui palpite de pressions et de tensions obtenues — dans les cas les plus intéressants — par les seuls rapports d’entrelacements.

33Les lignes de forces, comme stratagèmes allusifs, ne sont ni des artifices rhétoriques, ni des unités formelles. Ce sont des expériences de pensées qui esquissent un programme cohérent d’expériences de laboratoire au sens habituel (associées à l’investigation, à la prédiction et à la vérification). Elles fournissent un exemple crucial de pratiques intuitives qui ne prétendent pas délivrer une panoplie d’énoncés formels, mais affirmer résolument la dignité d’un « champ préformel » à l’intérieur même de sciences « mures » ayant franchi le seuil de formalisation.

34Ce champ est à associer avec le « parler avec les mains » si précieux pour le physicien et... le géomètre. Ce champ ne saurait pourtant être confondu avec l’étude « sociologique » de pratiques de laboratoire. Il ne fait pas l’inventaire d’une série de gestes déjà disponibles dans un rituel scientifique (ou même de nouvelles combinaisons de tels gestes). Il y a bien une épaisseur matérielle des stratagèmes allusifs mais celle-ci ne relève pas de la boîte à outils disponibles sous la main, mais bien plus de celle des pratiques discursives de Foucault, qui renvoient à la force du fragment, à la matérialité réactivable du diagramme, à la possibilité de capter la puissance enveloppante d’un champ.

35Les stratagèmes allusifs ont l’ambition de définir un nouveau type de systématicité — telle que la souhaitait le géomètre Grassmann —, celle d’une contemplation opérative non close par des médiations logiques ni ouverte aux « interprétations » mais dont l’épaisseur matérielle renverrait à la nécessité de se pénétrer d’un monde de gestes et surtout de solliciter le travail de la main. En ce sens, le travail du physicien ou du géomètre est un travail manuel (Maxwell voulait connaître parfaitement ce « travail manuel » avant d’étudier les mathématiques, persuadé que tout physicien, tout géomètre... et même tout algébriste, doivent se convaincre d’une certaine plasticité de leurs objets).

36Maxwell avait compris que les stratagèmes allusifs donnaient accès à un espace précieux où s’entrelacent la singularité, le diagramme et la métaphore, pour pénétrer plus avant dans l’intuition physico-mathématique et la discipline des gestes qui précèdent et accompagnent la « formalisation ». Cet entrelacement est un dispositif où chaque composante s’adosse aux deux autres pour découper et fixer les paramètrages. Sans le diagramme, la métaphore ne serait qu’une fulguration splendide mais sans lendemain parce qu’incapable d’opérer ; sans la métaphore, le diagramme ne serait qu’une icône gelée, incapable de sauter par-dessus ses traits gras qui retiennent les images d’un savoir déjà acquis ; sans la subversion du fonctionnel par le singulier, rien ne pourrait retentir, rien ne viendrait bousculer l’évidence pesante des paramètrages et aucune chance ne serait donnée aux connivences profondes de la Nature qui sort des gonds de l’objectivité et de l’Esprit qui se risque à une contemplation plus audacieuse.

Notes

1 Michel Foucault, L’archéologie du savoir, Paris, Gallimard, 1969, p. 243-255.

2 Respectivement : E. Kant, Qu’est-ce que s’orienter dans la pensée, Paris, trad. Vrin, 1972 ; E. Kant, Essai pour introduire en philosophie le concept de grandeur négative, Paris, trad. Vrin, 1980.

3 Cf. Goethe, La métamorphose des plantes, Paris, trad. Triades, 1975, p. 105-107.

4 Nous renvoyons à notre livre Les enjeux du mobile, Paris, Seuil, coll. Travaux, 1993, pour un exposé détaillé de la méthode.

5 Saisie intuitive au sens de saisie par stratagème et non par intuition sensible.

6 Cf. l’introduction des Lectures on quaternions, Dublin, 1853.

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