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Intellectuels et polémiques

 | 
Valérie Robert

Cinq siècles de polémiques

La controverse mathématique formalisme/intuitionnisme en Allemagne

De la « crise des fondements » de la République de Weimar aux mathématiques racistes du Troisième Reich

Philippe Seguin

Texte intégral

Prologue

  • 1 Hermann Weyl, Philosophie der Mathematik und Naturwissenschaft, 4.. Auflage, München/ Wien, 1976, O (...)

« Les mathématiques sont la science de l’infini. »1

1Cette citation d’un des plus grands mathématiciens de la première moi­tié du 20e siècle, Hermann Weyl (1885-1955), va nous servir de fil direc­teur dans cette controverse. Les raisons de ce choix sont multiples :

  1. La notion d’infini est au cœur de notre controverse.

    • 2 Hermann Weyl, « Über die neue Grundlagenkrise der Mathematik ». In : Mathematische Zeitschrift, Bd. (...)

    Hermann Weyl, l’auteur de cette citation, déclencha cette controverse en publiant en 1921 Über die neue Grundlagenkrise in der Mathematik2, contre le type de mathématiques dites « formalistes » prônées par David Hilbert (1862-1943), le chef de file de l’Institut de mathématiques de l’Université de Göttingen, qui était alors le centre mondial des mathématiques. Weyl adoptait un point de vue dit « intuitionniste ».

  2. En 1930, la polémique s’étant apaisée, Hermann Weyl reprit la chaire de Hilbert. L’Institut de Göttingen était alors au sommet de sa gloire et attirait des étudiants du monde entier.

  3. Dès leur accession au pouvoir, les nazis s’acharnèrent sur ce qui était un des plus beaux fleurons de la science allemande : Weyl, ainsi que la plu­part de ses collègues, fut contraint à l’émigration et l’Institut fut ruiné. Or, les raisons de cet anéantissement étaient politiques, raciales, et mathé­matiques.

2Nous allons donc revivre l’histoire de cette controverse sans faire appel à la rhétorique française (trois parties, trois sous-parties), mais, puisque la scène se passe en Allemagne autour des années 1920-30, en neuf petits tableaux avec ou sans commentaire, suivis d’un épilogue. Les tableaux sont au présent, les commentaires au passé.

3Avant d’entrer dans le déroulement de cette controverse, il convient de souligner que les deux notions d’intuitionnisme et de formalisme n’ont en soi aucune connotation politique. Ce sont des points de vue de philosophie des mathématiques uniquement. La plupart des mathématiciens ne s’y inté­ressaient pas, et tous firent des mathématiques en oubliant consciencieuse­ment ces querelles philosophiques.

Premier tableau : préhistoire (1), l’infini et l’intuitionnisme

4En 1872, plusieurs mathématiciens allemands définissent pour la première fois rigoureusement ce qu’est un nombre irrationnel. Un nombre irra­tionnel, c’est par exemple ce qu’on symbolise par √2. Il est défini par deux suites infinies convergentes de fractions (nombres rationnels), l’une crois­sante, 1 ; 1,4 ; 1,41 ; etc., l’autre décroissante, 2 ; 1,5 ; 1,42 ; etc., qui n’ont pas de dernier élément. Entre ces deux suites actuellement infinies de nom­bres rationnels il y a un trou, que l’on appelle « nombre irrationnel ».

  • 3 Pour tout cela, cf. Herbert Meschkowski, Problemgeschichte der neueren Mathematik (1800-1950), Mann (...)
  • 4 Cf. Herbert Mehrtens, Moderne, Sprache, Mathematik, Frankfurt/Main, 1990, Suhrkamp, pp. 26-42.
  • 5 Cf. Walter Purkert / Hans Joachim Ilgauds, Georg Cantor, Basel/Boston/Stuttgart, 1987, Birkhäuser.
  • 6 Georg Cantor, Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts, Berlin, 1932, Spr (...)

5Cette définition choqua beaucoup de mathématiciens, parmi lesquels Leopold Kronecker (1823-1891), parce qu’elle ne correspondait pas à une intuition (Anschauung) simple, comme celle de compter 1, 2, 3, etc3. Parmi les « créateurs » du nombre irrationnel4 se trouvait Georg Cantor (1845-1918)5, qui dans les années 1870-80 démontra qu’il existe au moins deux infinis différents, un plus petit, l’ensemble des nombres entiers, un plus grand, l’ensemble des nombres réels (entiers plus rationnels plus irrationnels) et même une infinité d’infinis. Cette conception, qui donna naissance à la théorie des ensembles (infinis), fut âprement combattue par Kronecker, que l’on peut considérer comme le fondateur de l’intuitionnisme. Cantor, quant à lui, considérait sa théorie des ensembles non comme des mathématiques pures, mais comme des mathématiques libres, et il estimait que la liberté est l’essence des mathématiques6.

Deuxième tableau : préhistoire (2), le formalisme

6En 1899, Gottlob Frege (1848-1925) écrit à Hilbert :

  • 7 « Axiome nenne ich Sätze, die wahr sind, die aber nicht bewiesen werden, weil ihre Erkenntnis aus e (...)

« Je nomme axiomes des propositions qui sont vraies mais qu’on ne démontre pas, parce que leur connaissance découle d’une source de connaissance tout à fait différente de la source logique, et que l’on peut appeler intuition spatiale. Il suit de la vérité des axiomes qu’ils ne se contredisent pas. »7

7Hilbert lui répond, en prenant le contre-pied :

  • 8 « Wenn sich die willkürlich gesetzten Axiome nicht einander widersprechen mit sämtlichen Folgen, so (...)

« Si les axiomes posés arbitrairement ne se contredisent pas, de même que tout ce qui en découle, alors ils sont vrais, et les choses définies par ces axiomes sont vraies. Voilà pour moi le critère de la vérité et de l’existence. »8

  • 9 David Hilbert, Grundlagen der Geometrie, Leipzig, 1899, Teubner.

8D’où venait la vérité mathématique ? De l’intuition spatiale (Raum­anschauung), en suivant Kant, ou n’était-elle que la conséquence de la non-contradiction des axiomes ? On appelle cette deuxième conception le forma­lisme. Hilbert peut en être considéré comme le fondateur. La même année, en 1899, il publia les Fondements de la géométrie (Grundlagen der Geo­metrie9) qui peuvent passer pour l’acte de naissance du formalisme. Il n’y partait pas d’objets (points, droites, etc.) mais il définissait ces objets par les relations qu’ils ont entre eux. En plaisantant, il dit un jour que l’on peut rem­placer point, droite, espace par chaise, table, chope de bière. Pour les forma­listes, c’était donc la structure qui faisait les objets mathématiques.

Troisième tableau : Luitzen Egbertus Jan Brouwer et l’intuitionnisme

9En 1912, Brouwer (1881-1966), professeur de mathématiques à l’Univer­sité d’Amsterdam, prononce son discours inaugural intitulé en néerlandais Intuitionisme en formalisme, où il oppose les deux conceptions :

    • 10 Luitzen E. J. Brouwer, « Intuitionism and formalism », in : L.E.J.B., Collected Works, vol. 1, Amst (...)

    Pour les intuitionnistes, l’exactitude mathématique se trouve dans l’intellect humain, pour les formalistes, « sur le papier »10.

    • 11 Ibid., pp. 85-86.

    Il reprend l’idée de Kronecker, selon laquelle il faut fonder les mathématiques sur l’intuition primitive de nombre, de nombre naturel (1, 2, 3, etc.) pour aller jusqu’aux nombres infinis de Cantor11.

Sa conclusion est que les deux points de vue s’excluent.

Quatrième tableau : la guerre de 1914-18 (1)

  • 12 Constance Reid, Hilbert, Berlin/Heidelberg/New York, 1970, Springer, p. 138.

10Le 15 octobre 1914 paraît l’« Appel au monde civilisé » (« Aufruf an die Kulturwelt ») publié par 93 intellectuels, qui proclame notamment que l’Allemagne n’a pas violé la neutralité de la Belgique. Les plus grands noms de la science allemande signent : Paul Ehrlich, Walther Nernst, Max Planck, Roentgen, tous Prix Nobel ou futurs Prix Nobel. Deux signatures éminentes manquent : celle d’Einstein, qui est alors à Berlin à l’Institut de physique Kaiser-Wilhelm, et celle de Hilbert12.

11Hilbert fut considéré par beaucoup comme un traître.

Cinquième tableau : la guerre de 1914-18 (2)

  • 13 Ibid., p. 145.

12Le mathématicien français Gaston Darboux meurt en 1917. Hilbert fait immédiatement paraître une notice nécrologique élogieuse dans les Göttin­ger Nachrichten. Des étudiants se rassemblent devant sa maison pour le for­cer à renier son article. Hilbert refuse et en appelle au Recteur de l’Uni­versité, exigeant des excuses pour le comportement des étudiants. En cas de refus, il menace de démissionner. L’Université se plie à ses exigences13.

13Après la guerre, l’Institut, qui n’avait pas été décimé comme le furent les mathématiques françaises, devint le centre mondial des mathématiques. Les plus grands mathématiciens de l’époque, Hilbert, Edmund Landau (1877‑1938), Emmy Noether (1882-1935), Richard Courant (1888-1972), les trois premiers étant les meilleurs représentants des mathématiques dites formalistes, y enseignaient.

14Mais il y avait des ombres au tableau :

    • 14 Norbert Schappacher, « Question politiques dans la vie des mathématiques en Allemagne (1918-1935) » (...)

    Dans la recherche des coupables de la défaite allemande, les Juifs furent très vite accusés d’être des « planqués ». Or sur les six professeurs titu­laires de chaire de l’Institut, deux seulement n’étaient pas juifs, Hilbert et Gustav Herglotz (1881-1953). Courant, qui avait été blessé dans les tran­chées, se présenta plusieurs fois publiquement comme contre-exemple14.

    • 15 Ibid., p. 57.

    Les sympathies politiques de Hilbert, Courant, Emmy Noether, allaient à gauche, et l’Institut eut rapidement la réputation d’être « un haut-lieu du marxisme »15.

Sixième tableau : la crise

  • 16 « Brouwer – das ist die Revolution ! », Hermann Weyl, « Über die neue Grundlagenkrise der Mathemati (...)
  • 17 Ibid., p. 17.
  • 18 Hermann Weyl, « Randbemerkungen zu Hauptproblemen der Mathematik », in : Mathe­matische Zeitschrift(...)

15« […] Brouwer – c’est la révolution ! », s’écrie Hermann Weyl en 1921, dans Über die neue Grundlagenkrise in der Mathematik.16 À cette époque, après les traumatismes de la guerre, de la révolution soviétique et de la défaite, le mot « crise » est omniprésent, mais sous la plume de Weyl, il prend pour les formalistes une connotation particulière. Weyl est en effet, contrairement à Brouwer, un ancien élève de Hilbert, professeur à Zürich, auquel Hilbert a déjà proposé une chaire à Göttingen. Weyl qualifie le for­malisme de « monnaie de papier » (Papiergeld17) et de « jeu avec des for­mules » (Formelspiel18), et il prend position contre la conception de l’infini issue de Cantor et prônée par Hilbert et ses partisans.

  • 19 David Hilbert, Hilbertiana, fünf Aufsätze, Darmstadt, 1965, Wissenschaftliche Buch­gesellschaft, p. (...)
  • 20 « Aus dem Paradies, das uns Cantor geschaffen, soll uns niemand vertreiben können! », ibid., p.88.

16Hilbert prit l’attaque très au sérieux. Il y répondit dans une série d’articles, certains destinés à un public de non-spécialistes, et qualifia l’entreprise de Weyl et Brouwer de « dictature de l’interdiction à la Kronecker » (Verbots­diktatur à la Kronecker19). En 1925, il s’exclama dans un article intitulé Über das Unendliche : « Personne ne doit pouvoir nous chasser du paradis que Cantor nous a créé. »20 Pour Hilbert, le paradis cantorien, c’était la liberté de création.

Septième tableau : l’affrontement politico-mathématique

  • 21 Constance Reid, Hilbert, op. cit., p.188.

17En septembre 1928, l’Allemagne est invitée pour la première fois depuis la fin de la guerre à participer à un congrès international des mathématiques. Deux camps se forment : les mathématiciens de Berlin, regroupés autour de Ludwig Bieberbach (1886-1982), un disciple de Brouwer, refusent de parti­ciper pour raisons politiques, entre autres à cause d’une excursion prévue dans le « Tyrol libéré » et de la présence de Français nationalistes. Finale­ment, la délégation allemande est la plus importante, avec à sa tête, acclamé par tous les participants, Hilbert, qui déclare que les mathématiques ne con­naissent pas de race et que pour les mathématiciens, le monde civilisé (die Kulturwelt !) ne forme qu’un seul pays21.

  • 22 Norbert Schappacher, « Question politiques … », op. cit., p. 76.

18L’Institut de Göttingen est représenté par Hilbert, Courant et Landau. Aucun professeur de Berlin n’est présent. Un mois plus tard, Hilbert réussit à évincer Brouwer de la rédaction de la revue allemande de mathématiques la plus prestigieuse, les Mathematische Annalen. La raison qu’il invoque offi­ciellement est une « incompatibilité de […] conceptions sur des questions fondamentales »22. En fait, Brouwer, bien que Hollandais et professeur à Amsterdam, est un partisan virulent du nationalisme allemand, et c’est pour raisons politiques que Hilbert le remercie.

19Les équations formalisme=internationalisme=judaïsme et intuitionnisme= nationalisme commençaient à se mettre en place.

Huitième tableau : l’apogée de Göttingen

20En 1930, on peut assister, dans le tout nouveau bâtiment de la Bunsen­straße, construit, grâce aux relations et à l’habileté de Courant, avec une très importante subvention de la fondation Rockefeller, à un cours magistral de Landau sur les fondements de l’analyse dans le plus pur « Landaustil », c’est-à-dire parfaitement formaliste. Hilbert part en retraite, mais il réussit à convaincre Hermann Weyl de reprendre la direction de l’Institut. Les querelles de philosophie mathématique sont mises de côté.

21L’Institut était au sommet de sa gloire. Les mathématiciens de tous les pays, états-Unis, U.R.S.S., France, etc. venaient à Göttingen pour assister aux cours de Landau et d’Emmy Noether. C’est leur conception des mathé­matiques qui présida à la naissance en 1935 du mathématicien polycéphale Nicolas Bourbaki.

Neuvième tableau : l’effondrement

22Le 2 novembre 1933, Edmund Landau ne peut assurer son premier cours magistral du semestre d’hiver : des étudiants en uniforme de S.A., parmi les­quels le très prometteur Oswald Teichmüller, interdisent l’entrée de l’amphi­théâtre. Landau demande, et obtient, sa mise à la retraite immédiate.

23Entre temps, tous les mathématiciens juifs de Göttingen avaient été rele­vés de leurs fonctions, d’autres, comme Hermann Weyl, qui avait épousé une juive, démissionnèrent, certains en renonçant à leurs droits à la retraite. La plupart émigrèrent et plusieurs contribuèrent, par exemple Weyl, au rapide succès du tout nouveau Institute for Advanced Study de Princeton.

24L’Institut de mathématiques de Göttingen était ruiné. Sa réputation de gauche et le nombre considéré depuis longtemps comme excessif de profes­seurs juifs en avait fait une des premières victimes des persécutions nazies. Les mathématiques formalistes étaient devenues des mathématiques juives.

épilogue : quelque part dans les marais du Dniepr

  • 23 Helmut Lindner, « “Deutsche” und “gegentypische” Mathematik – zur Begründung einer arteigenen Mathe (...)

25Une fois l’Institut de Göttingen éliminé, la voie est libre pour l’établisse­ment de vraies « mathématiques allemandes » (deutsche Mathematik), et c’est à quoi s’emploie Bieberbach, en reprenant la typologie de Erich Rudolph Jaensch, auteur notamment de Der Gegentypus : psychologisch-anthropologische Grundlagen deutscher Kulturphilosophie, ausgehend von dem, was wir überwinden wollen (1938). Selon Bieberbach, les mathéma­ticiens allemands se caractérisent par leur ancrage dans l’intuition, les mathé­maticiens français, juifs, etc. ne font que jongler avec des formules vides de sens23. Cependant, les mathématiciens restés en Allemagne, Bieberbach y compris, continuent à faire des mathématiques sans tenir compte de la « deutsche Mathematik ».

26Il n’y eut qu’un très grand mathématicien allemand pendant le Troisième Reich, Oswald Teichmüller, né en 1913, qui était un nazi fanatique. Bien qu’il eût dirigé le boykott de Landau, il avait beaucoup d’estime pour celui-ci en tant que mathématicien, mais il était d’avis que ses cours pour les pre­miers semestres étaient néfastes à la jeunesse allemande. Bieberbach fit venir Teichmüller à Berlin en 1936.

  • 24 Norbert Schappacher, « Questions politiques … », op. cit., p. 66.

27En 1943, Teichmüller se porte volontaire pour le front. On perd sa trace la même année, « quelque part dans les marais du Dniepr »24.

Notes

1 Hermann Weyl, Philosophie der Mathematik und Naturwissenschaft, 4.. Auflage, München/ Wien, 1976, Oldenbourg, p. 89.

2 Hermann Weyl, « Über die neue Grundlagenkrise der Mathematik ». In : Mathematische Zeitschrift, Bd. 10, 1921, pp. 39-79. Reprint, Darmstadt, 1965.

3 Pour tout cela, cf. Herbert Meschkowski, Problemgeschichte der neueren Mathematik (1800-1950), Mannheim/Wien/Zürich, 1978, Bibliographisches Institut.

4 Cf. Herbert Mehrtens, Moderne, Sprache, Mathematik, Frankfurt/Main, 1990, Suhrkamp, pp. 26-42.

5 Cf. Walter Purkert / Hans Joachim Ilgauds, Georg Cantor, Basel/Boston/Stuttgart, 1987, Birkhäuser.

6 Georg Cantor, Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts, Berlin, 1932, Springer, p. 182.

7 « Axiome nenne ich Sätze, die wahr sind, die aber nicht bewiesen werden, weil ihre Erkenntnis aus einer von der logischen ganz verschiedenen Erkenntnisquelle fliesst, die man Raumanschauung nennen kann. Aus der Wahrheit der Axiome folgt, dass sie einander nicht widersprechen », Gottlob Frege, Gottlob Freges Briefwechsel mit D. Hilbert, E. Husserl, B. Russell, sowie ausgewählte Einzelbriefe Freges, Hamburg, 1980, Meiner, p. 9.

8 « Wenn sich die willkürlich gesetzten Axiome nicht einander widersprechen mit sämtlichen Folgen, so sind sie wahr, so existieren die durch die Axiome definirten Dinge. Das ist für mich das Criterium der Wahrheit und der Existenz », ibid., p. 12.

9 David Hilbert, Grundlagen der Geometrie, Leipzig, 1899, Teubner.

10 Luitzen E. J. Brouwer, « Intuitionism and formalism », in : L.E.J.B., Collected Works, vol. 1, Amsterdam, Oxford/North-Holland/New York, 1975, American Elsevier, p. 83. C’est une traduction parue en 1913 dans le Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 20, pp. 81-96, de l’article en néerlandais paru en 1912.

11 Ibid., pp. 85-86.

12 Constance Reid, Hilbert, Berlin/Heidelberg/New York, 1970, Springer, p. 138.

13 Ibid., p. 145.

14 Norbert Schappacher, « Question politiques dans la vie des mathématiques en Allemagne (1918-1935) », in : Josiane Olff-Nathan (Ed.), La science sous le Troisième Reich, Paris, 1993, Seuil, pp. 51-89, ici p. 59 / cf. également Constance Reid, Courant in Göttingen und New York. The Story of an Improbable Mathematician, New York/Heidelberg/Berlin, 1976, Springer.

15 Ibid., p. 57.

16 « Brouwer – das ist die Revolution ! », Hermann Weyl, « Über die neue Grundlagenkrise der Mathematik », op. cit., p. 18.

17 Ibid., p. 17.

18 Hermann Weyl, « Randbemerkungen zu Hauptproblemen der Mathematik », in : Mathe­matische Zeitschrift, Bd. 20, 1924, p. 147.

19 David Hilbert, Hilbertiana, fünf Aufsätze, Darmstadt, 1965, Wissenschaftliche Buch­gesellschaft, p. 14.

20 « Aus dem Paradies, das uns Cantor geschaffen, soll uns niemand vertreiben können! », ibid., p.88.

21 Constance Reid, Hilbert, op. cit., p.188.

22 Norbert Schappacher, « Question politiques … », op. cit., p. 76.

23 Helmut Lindner, « “Deutsche” und “gegentypische” Mathematik – zur Begründung einer arteigenen Mathematik im Dritten Reich durch Ludwig Bieberbach », in : Herbert Mehrtens / Steffen Richter (Hrsg.), Naturwissenschaft, Technik und NS-Ideologie, Frankfurt am Main, 1980, Suhrkamp, p. 94 ; Norbert Schappacher, « Questions poli­tiques … », op. cit., p. 68.

24 Norbert Schappacher, « Questions politiques … », op. cit., p. 66.

Auteur

© Presses Sorbonne Nouvelle, 2003

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