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Le livre sur les calculs effectués avec des bâtonnets

 | 
Rémi Anicotte

Traduction commentée du manuscrit

Texte intégral

4‑0. Livre sur les calculs effectués avec des bâtonnets

Figure 4–1. Titre du livre au verso de la lamelle no 6.

Figure 4–1. Titre du livre au verso de la lamelle no 6.

Photographie à partir de Wenwu (2001, 83).

/6 verso/

suàn

shù

shū

calculer

nombre

livre

Livre sur les calculs effectués avec des bâtonnets

1On voit sur la figure 4‑1 les trois caractères du verso de la lamelle no 6. Ils sont précédés d’un rectangle noir qui signale qu’il s’agit du titre du livre. C’était le seul élément textuel visible de ce côté du rouleau quand celui-ci était enroulé sur lui‑même avec le texte tourné vers l’intérieur.

  • 1  Pour une entrée en matière sur les problématiques et la méthodologie de la reconstruction phonolog (...)

2Ce titre est présenté dans les quatre lignes ci‑dessus avec d’abord les trois caractères modernes alignés de gauche à droite, alors que l’original disposait les caractères verticalement de haut en bas. Sur la deuxième ligne vient la transcription pinyin suàn shù shū qui indique la prononciation des caractères en mandarin moderne, il n’entre pas dans notre intention de proposer une reconstruction de la prononciation originale1. Puis on a une ligne de gloses linguistiques qui consiste en un mot à mot des termes lexicaux et une analyse des termes grammaticaux. Finalement la traduction française est donnée sur la dernière ligne. On respecte ainsi la codification des Leipzig Glossing Rules en usage dans les études linguistiques.

  • 2  La distinction entre suàn 算 (calculer avec des bâtonnets de calculs) et suàn 筭 (bâtonnet de calcul (...)

3Sur la lamelle, le premier caractère du titre est placé juste sous le rectangle noir, on reconnaît suàn 算 dans sa variante graphique suàn 筭 plus rare2. Il renvoie aux calculs qui se faisaient en manipulant des bâtonnets qui représentaient les nombres sur une surface plane (section 31). Le deuxième caractère shù 數 veut dire nombre. Nous rendons suàn shù 算數 par « calculs effectués avec des bâtonnets ». Le dernier caractère shū 書 signifie écrire, écrits, livre, compilation, nous le traduisons par « livre ». Nous traduisons finalement Livre sur les calculs effectués avec des bâtonnets, ou plus simplement Livre sur les calculs.

  • 3  Procédures de calcul [Suànshù 算術] (texte de 216 lamelles excavées en 2006 de la tombe no 77 du lie (...)

4En fait, la relation syntaxique entre suàn 算 et shù 數 n’est pas marquée et plusieurs interprétations sont possibles. Joseph W. Dauben (2008) dans son Book on Numbers and Computations sépare suàn 算et shù 數 en « numbers and computation » alors que Christopher Cullen (2004) et Karine Chemla et Guo Shuchun (2004, 3) proposent respectivement les titres Writings on Reckoning et Livre de procédures mathématiques en traduisant respectivement suàn shù 算數 par « reckoning » et « procédures mathématiques ». Nous réservons le terme « procédures » pour traduire shù 術 comme dans les titres de Procédures de calcul [Suànshù 算術] et le Livre des procédures de calcul [Suàn shù shū 算術書]3.

4‑1. Se multiplient entre eux

/1•/

xiāng

chéng

l’un l’autre

multiplier

Se multiplient entre euxa

a.  Ce titre reprend une expression de la procédure générale énoncée à la fin de la section et qui stipule que les numérateurs « se multiplient entre eux ».

5C’est le titre de la première section dont le texte court sur six lamelles. Ce titre est placé en haut de la lamelle no 1 et il est séparé du corps du texte par un espace. La même disposition se retrouve dans toutes les sections du livre qui sont chacune identifiées par leur titre.

6Entre les barres obliques //, nous écrivons les numéros attribués à chaque lamelle par l’équipe de collation des textes de Zhangjiashan, le manuscrit lui-même ne présentant pas de numérotation. /1•/ avec le point • à droite marque le début du texte écrit sur la lamelle no 1, alors que /•1/ avec le point à gauche signale la fin du texte de la lamelle no 1. En général les phrases courent sur plusieurs lamelles et la cohérence des enchaînements aide à déterminer l’ordre des lamelles.

7Vient ci-dessous le début du texte de la section sur la lamelle no 1. Il fait intervenir les unités de longueur cùn et chǐ qui sont liées par le rapport décimal 1 chǐ = 10 cùn. Les produits génèrent des aires qui sont dimensionnées avec les mêmes termes cùn et chǐ sans indication lexicale supplémentaire précisant qu’il s’agit d’aires. Le texte énonce que 1 cùn × 1 cùn = 1 cùn2, 1 cùn × 1 chǐ = 1/10 chǐ2, 1 cùn × 10 chǐ = 1 chǐ2, 1 cùn × 100 chǐ = 10 chǐ2, 1 cùn × 1 000 chǐ = 100 chǐ2. Ces calculs paraissent triviaux avec les notations mathématiques modernes, mais dans le texte, ils sont énoncés en langage naturel ; ils font entendre une table de multiplication de nombres affectés d’unités décimales :

寸,

也;

cùn

ér

chéng

cùn

cùn

cùn

TOPa

multiplier

cùn

cùn

DECLb

cùn fois 1 cùn, cela fait 1 cùn [carré] ;

a.  Sur les usages de ér et sa glose TOP ici, on pourra se reporter à la section 2‑1‑4.
b.  Sur les usages de et sa glose DECL ici, on pourra se reporter à la section 2‑1‑6.

尺,

十分

也;

chéng

chǐ

shí fēn

chǐ

multiplier

chǐ

{10}fēn

chǐ

{1}

DECL

fois 1 chǐ, cela fait 1/10 de chǐ [carré] ;

尺,

也;

chéng

shí

chǐ

chǐ

multiplier

{10}

chǐ

{1}

chǐ

DECL

fois 10 chǐ, cela fait 1 chǐ [carré] ;

尺,

也;

chéng

bǎi

chǐ

shí

chǐ

multiplier

{100}

chǐ

{10}

chǐ

DECL

fois 100, cela fait 10 chǐ [carrés] ;

尺,

也。

chéng

qiān

chǐ

bǎi

chǐ

multiplier

{1 000}

chǐ

{100}

chǐ

DECL

fois 1 000, cela fait 100 chǐ [carrés].

8Le texte continue sur les lamelles nos 1 et 2 avec les produits suivants qui constituent une extension, dans le domaine des fractions unitaires, de la table de multiplication des nombres affectés des unités cùn et chǐ : 1/2 cùn × 1 chǐ = 1/20 chǐ2, 1/3 cùn × 1 chǐ = 1/30 chǐ2, 1/8 cùn × 1 chǐ = 1/80 chǐ2. Ici encore, les calculs transcrits avec les notations mathématiques modernes semblent très simples, mais ils sont énoncés en langage naturel dans le texte :

半... …a

尺,

二十分

也。/•1/

bàn

chéng

chǐ

ér shí fēn

chǐ

{1/2}b

multiplier

chǐ

{2}{10}fēnc

chǐ

{1}d

DECL

1/2 [cùn] fois 1 chǐ, cela fait 1/20 de chǐ [carré].

a.  On voit sur la lamelle un espace d’une taille correspondant à deux caractères qui sont illisibles, il ne s’agit pas d’un espace vide comme celui après le titre.
b.  La fraction 1/2 se dit bàn, une expression qui ne mentionne pas le dénominateur 2 contrairement à notre glose et à notre traduction.
c.  En général, à part 1/2, les fractions unitaires s’expriment selon le modèle « dénominateur + fēn ». Selon le contexte, le morphème fēn peut s’entendre comme le terme mathématique fraction, comme un verbe signifiant partager ou fractionner, comme le nom part ou partie se référant au résultat d’un partage, ou tout simplement comme un morphème figé servant à former les appellations des fractions. On peut se reporter à Chemla & Guo (2004, 923‑924) et Anicotte (2015 b, 2016) pour des discussions détaillées sur cette question.
d.  Le numérateur 1 des fractions unitaires de cette partie est exprimé après l’unité chǐ dans les résultats ce qui donne « dénominateur + fēn + chǐ +  », mais la mention de numérateur 1 n’est pas obligatoire et n’apparaît pas dans le sujet où, à partir de la proposition suivante, on a seulement « numérateur + fēn + cùn ». On pourra consulter Anicotte (2016) pour une analyse des schémas d’expression des fractions dans le Livre sur les calculs.

/2•/

三分

尺,

三十分

也。

sān fēn

cùn

chéng

chǐ

sān shí fēn

chǐ

{3}fēn

cùn

multiplier

chǐ

{3}{10}fēn

chǐ

{1}

DECL

1/3 de cùn fois 1 chǐ, cela fait 1/30 de chǐ [carré].

八分

尺,

八十分

也。/•2/

bā fēn

cùn

chéng

chǐ

bā shí fēn

chǐ

{8}fēn

cùn

multiplier

chǐ

{8}{10}fēn

chǐ

{1}

DECL

1/8 de cùn fois 1 chǐ, cela fait 1/80 de chǐ [carré].

9Le texte interrompt ici cette succession. La série sera prolongée plus bas, mais viennent d’abord des produits qui impliquent des nombres sans unité, sauf le dernier où chǐ resurgit dans le résultat : 1/2 × 1 = 1/2, 1/2 × 1/2 = 1/4, 1/3 × 1 = 1/3, 1/3 × 1/2 = 1/6, 1/3 × 1/3 = 1/9, 1/4 × 1 = 1/4, 1/4 × 1/2 = 1/8 chǐ (on ne sait pas s’il s’agit d’une aire ou d’une longueur).

/3•/

一半

一,

也;

yī bàn

chéng

bàn

{1}{1/2}a

multiplier

{1}

{1/2}

DECL

1/2 fois 1, cela fait 1/2 ;

a.  C’est l’unique occurrence de {1}{1/2} dans le texte, probablement par souci de surprécision, partout ailleurs la fraction 1/2 se dit simplement bàn qui n’est pas accompagné du numéral {1}.

半,

四分

也。

chéng

bàn

sì fēn

multiplier

{1/2}

{4}fēn

{1}

DECL

fois 1/2, cela fait 1/4.

三分

一,

三分

也;

sān fēn

ér

chéng

sān fēn

{3}fēn

TOP

multiplier

{1}

{3}fēn

{1}

DECL

1/3 fois 1, cela fait 1/3 ;

半,

六分

也;

chéng

bàn

liù fēn

multiplier

{1/2}

{6}fēn

{1}

DECL

fois 1/2, cela fait 1/6 ;

三分,

九分

也。

chéng

sān fēn

jiǔ fēn

multiplier

{3}fēn

{9}fēn

{1}

DECL

fois 1/3, cela fait 1/9.

四分

也,/•3//4•/

四分

也;

sì fēn

ér

chéng

sì fēn

{4}fēn

TOP

multiplier

{1}

TOPa

{4}fēn

{1}

DECL

1/4 fois 1, cela fait 1/4 ;

a.  Sur les usages de et sa glose TOP ici, on pourra se reporter à la section 2‑1‑6.

半,

三十分[sic]a

也。

chéng

bàn

sān shí fēn

chǐ

multiplier

{1/2}

{3}{10}fēn

chǐ

{1}

DECL

fois 1/2, cela fait 1/30 [recte : 1/8] de chǐ.

a.  Le texte énonce un résultat 1/30 inexact pour le produit de 1/4 par 1/2, on devrait avoir 1/8. On observe des erreurs dans les données numériques au fil du recueil alors que les situations et méthodes de calculs sont généralement claires. Wenwu (2000, 2001) et Peng Hao (2001) relèvent la plupart des coquilles et des lectures douteuses, un repérage qui se situe à mi-chemin entre l’épigraphie et l’interprétation du texte.
  • 4  Guo Shirong (2001) recompose en déplaçant des segments du texte sur une lamelle pour les rapproche (...)

10Les unités de longueur chǐ et cùn (1 cùn = 1/10 chǐ) reviennent dans les énoncés suivants qui complètent la séquence « 1/2 cùn × 1 chǐ = 1/20 chǐ2 », « 1/3 cùn × 1 chǐ = 1/30 chǐ2», « 1/8 cùn × 1 chǐ = 1/80 chǐ2» brutalement interrompue plus haut4 : 1/4 cùn × 1 chǐ = 1/40 chǐ2, 1/5 cùn × 1 chǐ = 1/50 chǐ2, 1/6 cùn × 1 chǐ = 1/60 chǐ2, 1/7 cùn × 1 chǐ = 1/70 chǐ2.

四分

尺,

四十分

也。

sì fēn

cùn

chéng

chǐ

sì shí fēn

chǐ

{4}fēn

cùn

multiplier

chǐ

{4}{10}fēn

chǐ

{1}

DECL

1/4 de cùn fois 1 chǐ, cela fait 1/40 de chǐ [carré].

五分

尺,

五十分

也。

wǔ fēn

cùn

chéng

chǐ

wǔ shí fēn

chǐ

{5}fēn

cùn

multiplier

chǐ

{5}{10}fēn

chǐ

{1}

DECL

1/5 de cùn fois 1 chǐ, cela fait 1/50 de chǐ [carré].

六分

尺,

六十分

尺/•4//5•/

也。

sì fēn

cùn

chéng

chǐ

liù shí fēn

chǐ

{6}fēn

cùn

multiplier

chǐ

{6}{10}fēn

chǐ

{1}

DECL

1/6 de cùn fois 1 chǐ, cela fait 1/60 de chǐ [carré].

七分

尺,

七十八分[sic]a

也。

qī fēn

chéng

chǐ

qī shí bā fēn

chǐ

{7}fēn

multiplier

chǐ

{7}{10}{8}fēn

chǐ

{1}

DECL

1/7 [de cùn] fois 1 chǐ, cela fait 1/78 [recte : 1/70] de chǐ [carré].

a.  Ici aussi il y a une erreur dans l’énoncé du résultat qui devrait être 1/70 et non 1/78. Remarquons que la partie supérieure du caractère fēn 分 qui sert à exprimer les fractions est justement le caractère  八 {8}, cela explique le risque d’omission ou d’ajout d’un  八 par le copiste avant fēn 分 dans l’enchaînement vertical des caractères.

11La suite du texte donnée ci-dessous énonce les produits 1/4 × 1/3 = 1/12, 1/4 × 1/4 = 1/16, 1/5 × 1/3 = 1/15, 1/5 × 1/4 = 1/20, 1/5 × 1/5 = 1/25 :

三分,

十二分

也;

chéng

sān fēn

shí èr fēn

multiplier

{3}fēn

{10}{2}fēn

{1}

DECL

{1/4}a fois 1/3, cela fait 1/12 ;

a.  Les deux caractères sì fēn 四分 ont été omis au début du passage qui suit, ils expriment 1/4 et la cohérence textuelle commande d’introduire cette valeur dans la traduction.

四分,

十六分

也。

chéng

sì fēn

shí liù fēn

multiplier

{4}fēn

{10}{6}fēn

{1}

DECL

fois 1/4, cela fait 1/16.

五分

一,

五分

也;

wǔ fēn

ér

chéng

wǔ fēn

{5}fēn

TOP

multiplier

{1}

{5}fēn

{1}

DECL

1/5 fois 1, cela fait 1/5 ;

半,

十分

也;/•5/

chéng

bàn

shí fēn

multiplier

{1/2}

{10}fēn

{1}

DECL

fois 1/2, cela fait 1/10 ;

/6•/

三分,

十五分

也;

chéng

sān fēn

shí wǔ fēn

multiplier

{3}fēn

{10}{5}fēn

{1}

DECL

fois 1/3, cela fait 1/15 ;

四分,

二十分

也;

chéng

sì fēn

ér shí fēn

multiplier

{4}fēn

{2}{10}fēn

{1}

DECL

fois 1/4, cela fait 1/20 ;

五分,

二十五分

也。

chéng

wǔ sān fēn

ér shí wǔ fēn

multiplier

{5}fēn

{2}{10}{5}fēn

{1}

DECL

fois 1/5, cela fait 1/25.

12Finalement la section a listé des produits d’entiers et de fractions unitaires que nous réordonnons ici sous forme de tables de multiplication :

×

cùn

10 chǐ

100 chǐ

1 000 chǐ

1 cùn

cùn2

chǐ2

10 chǐ2

100 chǐ2

×

1 cùn

1/2 cùn

1/3 cùn

1/4 cùn

1 chǐ

1/10 chǐ2

1/20 chǐ2 

1/30 chǐ2 

1/40 chǐ2

×

1/5 cùn

1/6 cùn

1/7 cùn

1/8 cùn

1 chǐ

1/50 chǐ2

1/60 chǐ2

1/70 chǐ2

1/80 chǐ2

×

1

1/2

1/3

1/4

1/5

1/2

1/2

1/4

1/3

1/3

1/6

1/9

1/4

1/4

1/8

1/12

1/16

1/5

1/5

1/10

1/15

1/20

1/25

13La section s’achève avec l’énoncé d’une procédure générale pour obtenir le produit de fractions :

曰:

chéng

fēn

zhī

shù

yuē

multiplier

fraction

DETa

procédure

dire

Pour multiplier des fractions on procède comme suit :

a.  Sur les usages de zhī et sa glose DET ici, on pourra se reporter à la section 2‑1‑2.

法,

mǔ

chéng

mǔ

wéi

fǎ

dénominateur

multiplier

dénominateur

faire

diviseur

Les dénominateurs multiplient les dénominateurs faisant le diviseur,

實。/•6/

zǐ

xiāng

chéng

wéi

shí

numérateur

l’un l’autre

multiplier

faire

dividende

les numérateurs se multiplient entre eux faisant le dividende.

144‑2. Multiplication des fractions

/7•/

fēn

chéng

fraction

multiplier

Multiplication des fractionsa

a.  C’est le titre d’une nouvelle section isolée sur la lamelle no 7. Comme toujours, le titre est séparé du corps du texte par un espace qui l’identifie comme titre.

a

曰:

fēn

chéng

fēn

shù

jiē

yuē

fraction

multiplier

fraction

procédure

tout

dire

Pour multiplier des fractions on procède toujours comme suit :

a.  L’adverbe jiē 皆 est ici placé devant le verbe yuē 曰 « dire ». C’est l’un des moyens d’expression du pluriel identifiés par Xu Dan (2009).

法,

mǔ

xiāng

chéng

wéi

fǎ

dénominateur

l’un l’autre

multiplier

faire

diviseur

Les dénominateurs se multiplient entre eux donnant le diviseur,

實。/•7/

zǐ

xiāng

chéng

wéi

shí

numérateur

l’un l’autre

multiplier

faire

dividende

les numérateurs se multiplient entre eux donnant le dividende.

15On constate ici la différenciation lexicale, d’une part, entre mǔ le dénominateur d’une fraction, et fǎ le diviseur et, d’autre part, entre zǐ le numérateur, et shí le dividende. Cela correspond à une distinction entre la fraction vue comme nombre composé de deux entiers et le quotient qui est envisagé comme un calcul potentiellement exécutable. La règle générale est exprimée en termes d’instructions de calculs avec un énoncé presque identique à celui sur la lamelle no 6 de la section précédente.

4−3. Multiplication

/8•/

chéng

multiplier

Multiplication

16C’est l’intitulé de la section qui commence sur la lamelle no 8 et court jusqu’à la fin de la lamelle no 12. On y voit l’énumération de produits exprimés en langue naturelle. Les premiers reviennent à énoncer la table suivante avec les fractions 1/2, 1/3 et 2/3.

×

1/3

1/2

2/3

1/3

1/9

1/2

1/6

1/4

2/3

2/9

17Les expressions respectives bàn, shǎobàn et tàibàn de 1/2, 1/3 et 2/3 ne sont pas formées selon le schéma générique « dénominateur + fēn » et ne mentionnent donc pas les dénominateurs 2 et 3. Les résultats sont en revanche exprimés selon la forme générique. Notons que la forme générique peut servir exprimer 1/3 et 2/3, mais jamais 1/2 qui se dit toujours bàn dans ce corpus.

少半

少半,

九分

也。

shǎobàn

chéng

shǎobàn

jiǔ fēn

{1/3}

multiplier

{1/3}

{9}fēn

{1}

DECL

1/3 fois 1/3, cela fait 1/9.

步,

四分

一.

bàn

chéng

bàn

sì fēn

{1/2}

multiplier

{1/2}

{4}fēn

{1}

1/2  fois 1/2 , cela fait 1/4 [de carré].

少半

步,

六分

也。

bàn

chéng

shǎobàn

liù fēn

{1/2}

multiplier

{1/3}

{4}fēn

{1}

DECL

1/2  fois 1/3 de , cela fait 1/6 [de carré].

少半

大半,

九分

也。

shǎobàn

chéng

tàibàn

jiǔ fēn

èr

{1/3}

multiplier

{2/3}

{9}fēn

{2}

DECL

1/3 fois 2/3, cela fait 2/9.

18Suivent des produits qui reviennent à énoncer une table de multiplication avec les fractions 1/4, 1/5, 1/6, 1/7 et 1/8 :

×

1/4

1/5

1/6

1/7

1/8

1/4

1/16

1/20

1/5

1/25

1/30

1/6

1/36

1/42

1/7

1/49

1/56

19Les noms des fractions sont ici formés suivant le schéma générique « dénominateur + fēn » des fractions unitaires et mentionnent donc explicitement les dénominateurs.

五分

五分,

二十/•8//9•/五分

一.

wǔ fēn

chéng

wǔ fēn

ér shí wǔ fēn

{5}fēn

multiplier

{5}fēn

{2}{10}fēn

{1}

1/5 fois 1/5, cela fait 1/25.

四分

四分,

十六分

一.

sì fēn

chéng

sì fēn

shí liù fēn

{4}fēn

multiplier

{4}fēn

{10}{6}fēn

{1}

1/4 fois 1/4, cela fait 1/16.

四[sic]a

五分,

二十分

一.

chéng

wǔ fēn

ér shí fēn

{4}

multiplier

{5}fēn

{2}{10}fēn

{1}

4 [recte : 1/4] fois 1/5, cela fait 1/20.

a.  On devrait avoir la fraction un quart et non l’entier quatre, le copiste a omis le caractère fēn 分.

五分

六分,

三十分

也。

wǔ fēn

chéng

liù fēn

sān shí fēn

{5}fēn

multiplier

{6}fēn

{3}{10}fēn

{1}

DECL

1/5 fois 1/6, cela fait 1/30.

七分

七分,

四十九分

也。

qī fēn

chéng

qī fēn

sì shí jiǔ fēn

{7}fēn

multiplier

{7}fēn

{4}{10}{9}fēn

{1}

DECL

1/7 fois 1/7, cela fait 1/49.

六分

六分,

三十六分

也。

liù fēn

chéng

liù fēn

sān shí liù fēn

{6}fēn

multiplier

{6}fēn

{3}{10}{6}fēn

{1}

DECL

1/6 fois 1/6, cela fait 1/36.

六/•9//10•/分

七[sic]a

四十二分

也。

liù fēn

chéng

sì shí èr fēn

{6}fēn

multiplier

{7}

{4}{10}{2}fēn

{1}

DECL

1/6 fois 7 [recte : 1/7], cela fait 1/42.

a.  On devrait avoir la fraction un septième et non l’entier sept, là encore le copiste a omis un caractère fēn 分.

七分

八分,

五十六分

也。/•10/

qī fēn

chéng

bā fēn

wǔ shí liù fēn

{7}fēn

multiplier

{8}fēn

{5}{10}{6}fēn

{1}

DECL

1/7 fois 1/8, cela fait 1/56.

20Viennent finalement des produits qui peuvent se regrouper dans la table ci−dessous qui n’est pas si simple quand elle est énoncée en langue naturelle sans puissance de dix :

×

10

102

103

104

105

106

1/2

50

500

5 000

1

10

105

106

10

104

105

106

107

102

106

103

107

21La numération en langue chinoise est décimale avec des morphèmes numériques shí (dix), bǎi (cent), qiān (mille) et wàn (dix mille) pour les premiers rangs décimaux, les suivants étant exprimés avec des combinaisons des premiers, par exemple le rang des millions s’énonce bǎi wàn (soit cent fois dix mille qui font bien un million).

/11•/

十,

也。

chéng

shí

shí

{1}

multiplier

{10}

{10}

DECL

1 fois 10 cela fait 10.

萬,

十萬

也。

shí

chéng

wàn

shí wàn

{10}

multiplier

{104}

{10}{104}

DECL

10 fois 10 000 font 100 000.

萬,

千萬。

qiān

chéng

wàn

qiān wàn

{103}

multiplier

{104}

{103}{104}

1 000 fois 10 000 font 10 000 000.

十萬,

十萬

也。

chéng

shí wàn

shí wàn

{1}

multiplier

{10}{104}

{10}{104}

DECL

1 fois 100 000 fait 100 000.

十萬,

百萬。

shí

chéng

shí wàn

bǎiwàn

{10}

multiplier

{10}{104}

{102}{104}

10 fois 100 000 font 1 000 000.

千,

五百.

bàn

chéng

qiān

wǔ bǎi

{1/2}

multiplier

{103}

{5}{102}

1/2 fois 1 000 font 500.

百/•11//12•/萬,

百萬。

chéng

bǎi wàn

bǎi wàn

{1}

multiplier

{102}{104}

{102}{104}

1 fois 1 000 000 fait 1 000 000.

百萬,

千萬。

shí

chéng

bǎi wàn

qiān wàn

{10}

multiplier

{102}{104}

{103}{104}

10 fois 1 000 000 font 10 000 000.

萬,

五千.

bàn

chéng

wàn

wǔ qiān

{1/2}

multiplier

{104}

{5}{103}

1/2 fois 10 000 cela fait 5 000.

千,

也。

shí

chéng

qiān

wàn

{10}

multiplier

{103}

{104}

DECL

10 fois 1 000 font 10 000.

萬,

百萬。

bǎi

chéng

wàn

bǎi wàn

{102}

multiplier

{104}

{102}{104}

100 fois 10 000 font 1 000 000.

百,

五十./•12/

bàn

chéng

bǎi

wǔ shí

{1/2}

multiplier

{102}

{5}{10}

1/2 fois 100 cela fait 50.

4‑4. Variations des fractions

/13•/

zēng

jiǎn

fēn

augmenter

diminuer

fraction

Variations des fractions

者,

子;

zēng

fēn

zhě

zēng

augmenter

fraction

NMLZa

augmenter

3POSS

numérateur

Pour augmenter une fraction, on augmente son numérateur ;

a.  On pourra se reporter à la section 2‑1‑3 pour une présentation de la particule zhě 者.

者,

母。/•13/

jiǎn

fēn

zhě

zēng

diminuer

fraction

NMLZ

augmenter

3POSS

dénominateur

Pour diminuer une fraction, on augmente son dénominateur.

22La section énonce ainsi à l’aide de deux propositions parallèles qu’une fraction augmente si son numérateur augmente et diminue quand c’est le dénominateur qui augmente, cette propriété générale n’étant illustrée par aucun exemple numérique.

23Pour zēng 增 on pourra aussi voir son usage dans le texte de la lamelle n° 166 de la section 4‑66.

4‑5. Si l’on doit prendre 1/2 d’une fraction

/14•/

fēn

dāng

bàn

zhě

fraction

falloir

{1/2}

NMLZ

Si l’on doit prendre 1/2 d’une fractiona

a.  Ici bàn est en position verbale et se rend littéralement par « prendre 1/2 », il n’empêche que ce titre exprime une généralité par métonymie en s’appuyant sur le cas de 1/2, la plus grande fraction unitaire possible.

a

者,

zhū

fēn

zhī

dāng

bàn

zhě

tous les

fraction

TOPb

falloir

{1/2}

NMLZ

Si l’on doit prendre 1/2 de n’importe quelle fraction,

a.  Zhū 諸 est l’un des moyens d’expression du pluriel répertoriés par Xu Dan (2009).
b.  On pourra se reporter à la section 2‑1‑2 pour une explication sur les divers usages de zhī 之 et sur sa glose TOP ici.

母;

bèi

doubler

3POSS

dénominateur

on double le dénominateur ;

少半

者,

母;

dāng

shǎobàn

zhě

sān

falloir

{1/3}

NMLZ

{3}

3POSS

dénominateur

si l’on doit prendre 1/3, on triple le dénominateur ;

四分

者,

母;

dāng

sì fēn

zhě

falloir

{4}fēn

NMLZ

{4}

3POSS

dénominateur

si l’on doit prendre 1/4, on quadruple le dénominateur ;

五分

者,

母;

dāng

wǔ fēn

zhě

falloir

{5}fēn

NMLZ

3POSS

dénominateur

si l’on doit prendre 1/5, [on quintuplea] le numérateur ;

a.  Le texte est ici incomplet, on attend wǔ {5} avant qí mǔ pour exprimer que l’on quintuple.

十、

百分

者,

dāng

shí

bǎi fēn

zhě

zhé

falloir

{10}

{102}fēn

NMLZ

alors

si l’on doit prendre 1/10 ou 1/100, alors

十、/•14//15•/

母;

shí

bǎi

{10}

{102}

3POSS

dénominateur

on décuple ou centuple le dénominateur ;

分。/•15/

suǒ

fēn

comme

souhaiter

ce que

fractionner

ce qui fractionne comme on le souhaite.

24Cette section énumère comment prendre la moitié, le tiers, le quart, le cinquième, le dixième et le centième d’une fraction dont la valeur n’est pas spécifiée. La liste d’exemples revient à la table suivante :

×

1/2

1/3

1/4

1/5

1/10

1/100

a/b

a/2b

a/3b

a/4b

a/5b

a/10b

a/100b

25Se construit ainsi l’énoncé par énumération non exhaustive d’une procédure générale pour multiplier une fraction quelconque par une fraction unitaire. Le texte recourt ici à l’énumération, dans d’autres sections une quantité indéterminée peut être désignée par le terme ruògān (un certain nombre).

26Il nous semble que la règle énoncée ici ne vise pas à faire un constat statique mais plutôt à donner un procédé dynamique, autrement dit un algorithme, qui, partant de la représentation du numérateur et du dénominateur d’une fraction à l’aide de bâtonnets de calculs, permet de passer à la représentation de la moitié (ou du tiers, du quart, etc.) de la fraction initiale. En fait seul le dénominateur est modifié et il l’est en effectuant une multiplication. Par exemple, si on veut la moitié de la fraction 3/7, alors on commence par représenter son numérateur et son dénominateur, puis on remplace le dénominateur 7 par son double 14, soit :

Représentation

initiale

Représentation

finale

𝍢

𝍢

𝍦

–– × 2 →

𝍩

𝍣

4‑6. Moitiés de fractions

/16•/

fēn

bàn

zhě

fraction

{1/2}

NMLZ

Moitiés de fractions

分,

suī

yǒu

bǎi

fēn

même si

avoir

{102}a

fraction

Même s’il y a maintes fractions,

a.  Le numéral {102} réfère ici à une quantité approximative, pas à une quantité exacte.

之。/•16/

yǐ

cǐ

jìn

zhī

aveca

ceci

avancerb

3OBJc

on applique cette procédure.

a.  On pourra se reporter à la section 2‑1‑1 pour une présentation des usages de  以et sur sa glose « avec » ici.
b.  Nous comprenons ce terme jìn 進 avec sa signification ordinaire « avancer » et non dans le sens « passer au rang supérieur » qu’il prend dans les routines de calculs avec un boulier, une acception qui, à notre connaissance, n’est pas contemporaine de notre texte.
c.  On peut se reporter à la section 2‑1‑2 au sujet de la glose 3OBJ attribuée ici à zhī 之.

27Cet énoncé se réfère à la procédure exposée dans la section précédente. Ici encore le terme bàn du titre est en position verbale et peut se rendre par le groupe verbal « prendre 1/2 » ou par le nom « moitié », et le titre s’appuie sur le cas de 1/2 pour exprimer une généralité par métonymie.

4‑7. Simplification de fractions

/17•/

yuē

fēn

simplifier

fraction

Simplification de fractions

曰:

yuē

fēn

shù

yuē

simplifier

fraction

procédure

dire

Pour simplifier une fraction on procède comme suit :

母,

chú

avec

numérateur

retrancher

dénominateur

Le numérateur est retranché du dénominateur,

chú

dénominateur

de même

retrancher

numérateur

le dénominateur est de même retranché du numérateur

者,

shù

jiāo

děng

zhě

numérateur

dénominateur

nombre

mutuellementa

égaler

NMLZ

quand numérateur et dénominateur deviennent égaux entre euxb,

a.  On se réfère ici à Hao Huifang (2008, 235, item 2) qui donne ce sens pour l’usage adverbial et « croiser » pour l’emploi comme verbe.
b.  Les mots mǔ (dénominateur) et zǐ (numérateur) sont ici utilisés comme les variables dynamiques d’un algorithme qui assigne de nouvelles valeurs à chaque pas.

矣。

yuē

zhī

alors

simplifier

3OBJ

CRS

alors on simplifie la fraction.

曰,

yòu

yuē

et

dire

Alternativement,

曰:

yuē

fēn

shù

yuē

simplifier

fraction

procédure

dire

pour simplifier une fraction on procède comme suit :

半,

之,

bàn

bàn

zhī

pouvoir

{1/2}

{1/2}

3OBJ

Si on peut diviser par deux, on divise par deux,

若干

一、

lìng

ruògān

pouvoir

CAUS

un certain nombre

{1}a

si on peut faire qu’un certain nombre divise,

a.  Le morphème numérique  {1} s’entend ici comme un verbe « unifier », ce qui s’opère en divisant par un même nombre.

若干

一.

ruògān

un certain nombre

{1}

on divise par ce nombre.

曰:/•17//18•/

shù

yuē

3POSS

{1}

procédure

dire

Une autre procédure se déroule comme suit :

母,

fēn

chú

avec

fraction

numérateur

retrancher

dénominateur

Le numérateur de la fraction est retranché du dénominateur,

少,

shǎo

moindre

quand il [le dénominateur] devient plus petit [que le numérateur],

子,

chú

avec

dénominateur

retrancher

numérateur

c’est le dénominateur qui est retranché du numérateur,

等,

děng

numérateur

dénominateur

égaler

[jusqu’à] l’égalisation du numérateur et du dénominateura,

a.  C’est un algorithme itératif avec deux variables dynamiques dont les valeurs changent ; la boucle s’arrête quand les deux valeurs des variables deviennent égales.

法,

wéi

poura

faire

diviseur

pour former le diviseur,

a.  On pourra se reporter à la section 2‑1‑1 pour une explication sur les usages de la particule  以 et sur sa glose « pour » ici.

numérateur

dénominateur

chacun

numérateur et dénominateur sont chacun

一。/•18/

ér

chéng

comme

diviseur

TOP

devenir

{1}a

divisés par ce nombre.

a.  Le numéral  {1} réfère ici à une « unification » ou à une « réduction » du numérateur et du dénominateur en divisant par le PGCD. L’expression « rú fǎ ér chéng yī » pourrait se rendre par « unifier selon le diviseur » si l’on tenait à évoquer le champ sémantique de l’unité, mais elle veut simplement dire « effectuer la division par ce diviseur », diviseur qui est ici le PGCD.

/19•/

者,

chú

zhě

NEG

suffisanta

retrancher

NMLZ

Quand il n’est pas nécessaire de soustraire,

a.  Suffisant est le sens premier de zú 足, mais cette proposition aborde un cas où la méthode des soustractions successives peut être évitée, d’où notre traduction.

半,

bàn

pouvoir

{1/2}

si on peut prendre la moitié,

子./•19/

bàn

bàn

{1/2}

dénominateur

de même

{1/2}

numérateur

on prend la moitié du dénominateur et du numérateura.

a.  Le texte ne mentionne explicitement que le cas où numérateur et dénominateur sont tous les deux pairs et où on calcule leurs moitiés. Mais il semble raisonnable de considérer que cette situation des nombres divisibles par 2 signifie par métonymie, comme dans les deux sections précédentes, toutes les situations où l’on repère un diviseur commun au numérateur et au dénominateur.

/20•/

二千一十六分

百六十二,

èr qiān yī shí liù fēn

zhī

bǎi liù shí èr

{2}{103}{1}{10}{6}fēn

zhī

{102}{6}{10}{2}

162/2016

百一十二分

九。/•20/

yuē

zhī

bǎi yī shí èr fēn

zhī

jiǔ

simplifier

3OBJ

{102}{1}{10}{2}fēn

zhī

{9}

se simplifie en 9/112.

28La section s’achève ainsi avec cet exemple de simplification dont le déroulement concret est explicité par nous dans la section 3‑1.

  • 5  Ouvrage transmis des mathématiques grecques, vraisemblablement composé ca. – 300 ; on trouvera une (...)

29L’algorithme présenté ici est semblable à ce que l’on appelle désormais communément l’« algorithme d’Euclide » parce qu’il se trouve dans les propositions 1 et 2 du livre 7 des Éléments5 attribués à Euclide. Mais rien ne permet de supposer que cet algorithme fût original dans le Livre sur les calculs ou les Éléments, les deux ouvrages reprenant certainement des méthodes et des résultats admis de longue date dans leur tradition culturelle respective.

4‑8. Somme de fractions

/21•/

fēn

assembler

fraction

Somme de fractions

曰:

fēn

shù

yuē

assembler

fraction

procédure

dire

Pour additionner des fractions on procède comme suit :

相類a

從。

xiāng lèi

xiāng

cóng

dénominateur

identiques

numérateur

l’un l’autre

ajouter

Quand les dénominateurs sont identiques, les numérateurs s’ajoutent.

a.  L’expression xiāng lèi 相類 est utilisée à plusieurs reprises dans cette section pour exprimer l’égalité. Ailleurs on trouve le terme děng 等.

相類,

xiāng lèi

dénominateur

NEG

identiques

Quand les dénominateurs sont différents,

倍、

倍,

bèi

bèi

pouvoir

doubler

doubler

si on peut doubler, on double,

三、

三,

四、

四,

sān

sān

pouvoir

{3}

{3}

pouvoir

{4}

{4}

si on peut tripler, on triple, si on peut quadrupler, on quadruple,

五、

五,

六、

六,

liù

liù

pouvoir

{5}

{5}

pouvoir

{6}

{6}

si on peut quintupler, on quintuple, si on peut sextupler, on sextuple,

七[sic]a

倍、

倍,

zhé

bèi

bèi

{7}

de même

alors

doubler

doubler

de même on double alors 7 [recte : le numérateur] si on a doublé,

a.  C’est le numérateur qui est doublé. On devrait avoir zǐ 子 numérateur à la place du caractère qī 七 {7} qui se lit sur la lamelle.

三、

四、

母。

sān

zhī

et

{3}

{4}

{5}

3OBJ

comme

dénominateur

voire on le triple, quadruple, quintuple comme le dénominateur.

相類/•21//22•/

者,

xiāng lèi

zhě

dénominateur

identiques

NMLZ

Si des dénominateurs sont égaux entre euxa,

a.  Il s’agit des nouvelles valeurs des dénominateurs obtenues après avoir effectué les multiplications par les facteurs adéquats. Ici, comme dans la section 4‑7, le terme dénominateur désigne une variable dynamique.

從。

xiāng

cóng

numérateur

l’un l’autre

ajouter

on ajoute les numérateurs entre eux.

相類

者,

xiāng lèi

zhě

3POSS

NEG

identiques

NMLZ

S’ilsa sont différents,

a.  Le pronom se réfère aux dénominateurs des fractions.

法,

xiāng

chéng

wéi

dénominateur

l’un l’autre

multiplier

faire

diviseur

les dénominateurs se multiplient entre eux pour donner le diviseur,

母,

chéng

numérateur

en biais

multiplier

dénominateur

chaque numérateur multiplie les dénominateurs des autres fractions,

實,

bìng

wéi

shí

grouper

pour

faire

dividende

on somme ces produits pour faire le dividende,

一。

chéng

comme

diviseur

devenir

{1}a

on divise par le diviseur.

a.  La locution rú fǎ chéng yī exprime une division par le diviseur fǎ.

五分

二、

六分

三、/•22/

jīn

yǒu

wǔ fēn

èr

liù fēn

sān

actuela

avoir

{5}fēn

{2}

{6}fēn

{3}

Considérons 2/5, 3/6,

a.  On pourra se reporter à la section 2‑1‑6 sur les usages et la traduction de jīn 今.

/23•/

十一[sic]a

八、

十二分

七、

三分

二,

shí yī fēn

shí èr fēn

sān fēn

èr

{10}{1}fēn

{8}

{10}{2}fēn

{7}

{3}fēn

{2}

8/11 [recte : 8/10], 7/12, 2/3.

a.  Un caractère yī 一 {1} superflu a été inséré entre shí 十 et fēn 分.

幾何?

曰:

六十分

五十七。

wéi

jīhé

yuē

èr

qián

liù shí fēn

qián

wǔ shí qī

faire

combien

dire

{2}

qián

{6}{10}fēn

qián

{5}{10}{7}

Combien cela donne‑t‑il ? La réponse est : 2 qián 57/60 de qiána.

a.  L’unité monétaire qián survient ainsi dans le résultat alors qu’elle n’apparaissait pas dans les données. Ce premier exemple considère la somme 2/5 + 3/6 + 8/10 + 7/12 + 2/3 qui se réduit au même dénominateur 60 donnant (24 + 30 + 48 + 35 + 40)/60 = 177/60, soit 2 + 57/60 en séparant la partie entière 2 et la partie décimale 57/60 qui n’est pas exprimée sous sa forme irréductible 19/20.

方。

shù

yòu

fāng

3POSS

procédure

comme

droite

côté

La procédure se déroule comme précédemmenta.

a.  Le texte original parle de la procédure énoncée « à droite » car le texte original court de haut en bas puis de droite à gauche sur les lamelles de bambou, le texte qui précède étant donc effectivement placé à droite sur les lamelles.

少半

錢,

rén

fēn

qián

shǎobàn

bàn

qián

{5}

personne

partager

{7}

qián

{1/3}

{1/2}

qián

5 personnes partagent 7 qián et 1/3 et 1/2 de qián,

三十/•23//24•/分

錢,

十七。

rén

qián

sān shí fēn

qián

shí qī

personne

obtenir

{1}

qián

{3}{10}fēn

qián

{10}{7}

chacune obtient 1 qián et 17/30 de qiána.

a.  Il s’agit d’un deuxième exemple d’application de la procédure. La sommation est ici une étape intermédiaire dans un problème de partage (comme dans la section suivante), la somme comporte cette fois une partie entière 7.

曰:

shù

yuē

procédure

dire

On procède comme suit :

三分,

xià

sān fēn

dessous

{3}fēn

Le plus grand dénominateura étant 3,

a.  Le terme xià (dessous, bas), généralement suivi de yǒu (avoir) est utilisé à plusieurs reprises pour introduire les valeurs de dénominateurs de fraction. Il est aussi utilisé dans la section 4‑30 pour classer des unités de mesure, xià étant celle de plus basse dénomination, c’est pourquoi nous estimons que xià ici se réfère au plus fin découpage (la plus petite part), qui correspond au plus grand dénominateur.

六,

wéi

liù

pour

{1}

faire

{6}

on prend 6 pour unifiera,

a.  Ici le numéral  {1} a un usage décrit dans la section 2‑2‑2 que l’on rend par le verbe « unifier » ; il s’agit d’annoncer le dénominateur commun 6 qui permet d’homogénéiser les fractions.

因而

yīn ér

liù

rén

alors

multiplier par

{6}

personne

alors on multiplie par 6 le nombre des personnesa

a.  Le texte dit simplement « multiplier par 6 les personnes » mais il s’agit bien de multiplier le nombre 5 posé sur la surface de calcul au titre des personnes entre qui s’effectue le partage.

法,

wéi

pour

faire

diviseur

pour former le diviseura,

a.  Le diviseur est donc 6 × 5 = 30.

liù

qián

de même

{6}

qián

de même on multiplie par 6 le nombre de qián

實。

wéi

shí

pour

faire

dividende

pour faire le dividendea.

a.  On effectue (7 + 1/2 + 1/3) × 6 ce qui donne le dividende 47 qui, divisé par 30, donne bien le résultat annoncé 1 qián et 17/30 de qián.

曰:

yòu

yuē

et

dire

On dit aussia :

a.  Le traitement de la situation de partage étant achevé vient ici l’énoncé d’une procédure générale concernant la réduction au même dénominateur d’une somme de fractions : pour former le dénominateur commun, on multiplie entre eux les dénominateurs présents. Le texte reprend quasiment à l’identique ce qui avait déjà été écrit dans le début de la section.

法,

chéng

wéi

dénominateur

multiplier

dénominateur

faire

diviseur

Les dénominateurs se multiplient pour former le diviseur,

母/•24/

xiàn

chéng

dénominateur

en biais

multiplier

dénominateur

chaque numérateur multiplie le dénominateur de l’autre fraction

/25•/

實,

一。

wéi

shí

shí

ér

faire

dividende

dividende

comme

TOP

{1}

pour faire le dividende, qui se divise par le diviseur.

曰:

十、

十,

yuē

shí

shí

3POSS

{1}

dire

pouvoir

{10}

{10}

Un autre énoncé stipulea : Si on peut décupler on décuple,

a.  Vient ici un dernier énoncé général pour la réduction au même dénominateur d’une somme de fractions : on cherche à former des multiples communs des dénominateurs en présence sans les multiplier directement entre eux. Cela reprend ce qui avait déjà été écrit au début de la section.

九、

九,

八、

八,

jiǔ

jiǔ 

bā 

bā 

pouvoir

{9}

{9}

pouvoir

{8}

{8}

si on peut nonupler on nonuple, si on peut octupler on octuple,

七、

七,

六、

六,

liù

liù

pouvoir

{7}

{7}

pouvoir

{6}

{6}

si on peut septupler on septuple, si on peut sextupler on sextuple,

五、

五,

pouvoir

{5}

{5}

si on peut quintupler on quintuple,

四、

四,

pouvoir

{4}

{4}

si on peut quadrupler on quadruple,

三、

三,

倍、

倍。

sān

sān

bèi

bèi

pouvoir

{3}

{3}

pouvoir

doubler

doubler

si on peut tripler on triple, si on peut doubler on double.

相類

止,

xiāng lèi

zhǐ

dénominateur

identiques

arrêter

On s’arrête quand des dénominateurs deviennent égaux,

從。/•25/

xiāng

cóng

numérateur

l’un l’autre

ajouter

les numérateurs s’ajoutent entre eux.

30Le texte de cette section expose comment additionner des fractions. Si les dénominateurs sont égaux, alors on ajoute les numérateurs : a/b/= (b)/c. Mais si les dénominateurs sont différents, alors il faut d’abord réduire à un dénominateur commun. Deux méthodes sont proposées : soit on multiplie entre eux les dénominateurs des fractions, soit on en cherche un multiple commun plus petit que leur produit. Deux formulations quasiment identiques de chacune des deux approches sont données au début et à la fin du texte.

31Deux exemples numériques sont insérés dans le cours du texte : le premier est le calcul de la somme 2/5 + 3/6 + 8/10 + 7/12 + 2/3 de cinq fractions, le deuxième est le calcul de la somme 7 1/3 + 1/2 d’un entier et de deux fractions (cette somme est de plus divisée en 5 parts égales, ce qui anticipe la problématique de la section suivante).

4‑9. Partage en parts égales

/26•/

jìng

fēn

direct

partager

Partage en parts égalesa

a.  Peng Hao (2001, 48, note 1) ainsi que Chemla & Guo (2004, 942) s’accordent pour dire que jìng fēn 徑分 et jīng fēn 經分 désignent une catégorie de problèmes qui conduisent à la division d’une fraction par un nombre donné et correspondent à des partages en parts égales, une problématique connexe de celle du partage pondéré exposé dans la section 4‑11.

jìng

fēn

direct

partager

Un partage en parts égales

實。

rén

mìng

shí

avec

{1}

personne

nommer

3POSS

dividende

affecte 1 personne au dividende [comme diviseur]a.

a.  L’expression « yǐ … mìng qí shí … » (avec … nommer / dividende) est similaire à « yǐ fă mìng fēn » (avec / diviseur / nommer / fraction) qui signifie former une fraction fēn dont le dénominateur est un certain diviseur . Il s’agit donc ici d’affecter 1 personne comme diviseur d’un certain dividende.

曰,

少半,

yuē

rén

fēn

sān

yòu

bàn

shǎobàn

alors

dire

{5}

personne

partager

{3}

et

{1/2}

{1/3}

On affirme par conséquent que si 5 personnes partagent 3 et 1/2 et 1/3,

三十分

二十三。

shòu

sān shí fēn

zhī

èr shí sān

chacun

recevoir

{3}{10}fēn

zhī

{2}{10}{3}

chacune reçoit 23/30.

曰:

shù

yuē

3POSS

procédure

dire

Pour cela on procède comme suit :

少半,

xià

yǒu

shǎobàn

dessous

avoir

{1/3}

Le plus grand dénominateur étant 3,

六,

wéi

liù

pour

{1}

faire

{6}

on prend 6 pour unifier,

一[sic]a

少半

二,/•26/

bàn

wéi

shǎobàn

wéi

èr

avec

{1/2}

faire

{1}

avec

{1/3}

faire

{2}

le demi devient 1 [recte : 3], le tiers devient 2b,

a.  On devrait avoir le caractère sān 三 {3}.
b.  Le texte ne se préoccupe ici que de ce que deviennent les numérateurs des deux fractions initiales.

/27•/

二十三,

bìng

zhī

wéi

èr shí sān

grouper

3OBJ

faire

{2}{10}{3}

on les ajoute et obtient 23a,

a.  C’est la somme de ces numérateurs 3 et 2 avec 6 fois la partie entière 3 du montant qui est partagée.

數,

zhì

shù

alors

poser

{1}a

nombre

on pose alors le nombre qui diviseb,

a.  C’est 5, le nombre de personnes. Le numéral {1} se comprend ici dans son acception figurée d’unificateur qui concrètement désigne un diviseur.
b.  C’est‑à‑dire 5, le nombre de personnes entre qui s’effectue le partage en parts égales.

因而

實。

yīn ér

liù

zhī

mìng

shí

multiplier par

{6}

3OBJ

pour

nommer

3POSS

bien

on le multiplie par 6 pour l’affecter au dividende [comme diviseur]a.

a.  On effectue ainsi le produit 5 × 6 qui donne le dénominateur 30 du montant 23/30 qui revient à chacune des 5 personnes dans le cadre de ce partage égal.

曰,

曰:

yòu

yuē

shù

yuē

et

dire

procédure

dire

On dit aussi que l’on procède comme suita :

a.  La procédure énoncée ci-après est complète si le montant à partager se réduit à la somme d’un entier et de la fraction 1/2 ; pour réduire le montant au même dénominateur il suffit bien de doubler à la fois le numérateur 1 de 1/2 et la partie entière de la somme. Mais la procédure ne donne qu'une étape de calcul dans les deux cas suivants, sauf à supposer qu’il n’y ait respectivement que des tiers et des quarts.

半,

因而

之;

xià

yǒu

bàn

yīn ér

bèi

zhī

dessous

avoir

{1/2}

multiplier par

doubler

3OBJ

Si le plus grand dénominateur est 2, on double tout ;

三分,

因而

之;

xià

yǒu

sān fēn

yīn ér

sān

zhī

dessous

avoir

{3}fēn

multiplier par

{3}

3OBJ

si le plus grand dénominateur est 3, on multiplie tout par 3 ;

四分,

因而

之。/•27/

xià

yǒu

sì fēn

yīn ér

zhī

dessous

avoir

{4}fēn

multiplier par

{4}

3OBJ

si le plus grand dénominateur est 4, on multiplie tout par 4.

  • 6  Le partage en parts égales se distingue du partage pondéré exposé dans la section 4‑11.

32La section commence par expliciter comment calculer le montant qui revient à chaque personne dans un partage en parts égales6. L’explicitation, voire la définition, consiste en une instruction abstraite écrite en jargon mathématique qui stipule d’affecter « une personne » comme diviseur du dividende qui est le résultat du partage ; concrètement il faut diviser le montant à partager par le nombre de personnes entre qui s’effectue ce partage. Le résultat n’est toutefois pas exprimé en en qián/personne, de fait le corpus ne conçoit pas de recourir à une telle unité quotient. La définition est illustrée par le déroulé des calculs pour partager la somme 3 + 1/2 +1/3 entre 5 personnes. Cela inclut la réduction au même dénominateur qui reproduit une partie de la section précédente.

33La section s’achève avec une énumération non exhaustive présentant une méthode de réduction au même dénominateur, une méthode qui n’est cependant pertinente que dans quelques cas particuliers.

4‑10. Retrait d’or

/28•/

chū

jīn

sortir

or

Retrait d’ora

a.  Le titre évoque la situation qui sert de support, la problématique mathématique concerne la soustraction de deux fractions.

九分

五。

yǒu

jīn

sān

zhū

jiǔ fēn

zhū

avoir

or

{3}

zhū

{9}fēn

zhū

{5}

On dispose de 3 zhū et 5/9 de zhū d’or.

七分

六,

jīn

chū

qī fēn

zhū

liù

actuel

souhaiter

sortir

3POSS

{7}fēn

zhū

{6}

Considérons que l’on souhaite en retirer 6/7 de zhū,

幾何。

wèn

jīn

jǐhé

demander

rester

or

combien

on demande combien il reste.

六十三分

四十四。

yuē

jīn

èr

zhū

liù shí sān fēn

zhū

sì shí sì

dire

rester

or

{2}

zhū

{6}{10}{3}fēn

zhū

{4}{10}{4}

On affirme qu’il reste 2 zhū et 44/63 de zhū d’or.

曰:

shù

yuē

3POSS

procédure

dire

Pour cela on procède comme suit :

乘/•28//29•/

法,

xiāng

chéng

wéi

dénominateur

l’un l’autre

multiplier

TOP

faire

diviseur

Les dénominateurs se multiplient entre eux donnant le diviseura

a.  On forme ainsi le diviseur 9 × 7 = 63.

chéng

numérateur

en biais

multiplier

dénominateur

chaque numérateur multiplie le dénominateur de l’autre fraction

實,

wéi

shí

chacun

soi-même

faire

dividende

formant chacun eux-mêmes les dividendesa,

a.  Les numérateurs 5 et 6 des fractions 5/9 et 6/7 donnent ainsi respectivement 5 × 7 = 35 et 6 × 9 = 54 qui sont les numérateurs des fractions réduites au même dénominateur 63.

焉,

也。

chū

chú

yān

avec

sortir

retrancher

de cela

rester

alorsa

différence

DECL

on en soustrait le retrait, ce qui reste est la différenceb.

a.  On pourra se reporter à la section 2‑1‑7 pour une explication sur les usages de l’adverbe  即 en complément de la particule  也 dans les phrases attributives.
b.  On devrait alors effectuer la soustraction 3 + 35/63 − 54/63, et l’on constate que le déroulé des calculs a omis la transformation de la partie entière 3 en fraction. Mais la phrase suivante revient justement sur cette question.

a

九分

銖,

jiǔ fēn

zhū

chéng

sān

zhū

avec

{9}fēn

zhū

multiplier

{3}

zhū

On multiplie les 3 zhū par 1/9 de zhū,

a.  Ce rond ● en début de phrase est une ponctuation qui signale une partie qui vient en commentaire du corps du texte.

除[sic]。/•29/

xiǎo

xiāng

chú

avec

petit

{5}

l’un l’autre

retrancher

ce qui se soustrait du [recte : s’ajoute au] petit 5a.

a.  Cette phrase décrit la transformation de la somme 3 + 5/9 en la fraction (3 × 9 + 5) / 9 = 32/9. L’expression particulière « petit 5 » semble désigner le numérateur 5 de la fraction composée. On peut comparer avec le « petit 10 » sur la lamelle no 166 qui, en revanche, ne désigne pas forcément un numérateur.

/30•/

七分

三,

jīn

yǒu

jīn

qī fēn

zhū

zhī

sān

actuel

avoir

or

{7}fēn

zhū

zhī

{3}

Considérons 3/7 de zhū d’or.

幾何

九分

七?

zhī

jǐhé

ér

wéi

jiǔ fēn

ajouter

3OBJ

combien

CONJa

faire

{9}fēn

{7}

Combien doit-on ajouter pour avoir 7/9 ?

a.  On pourra se reporter à la section 2‑1‑4 pour une explication sur les usages de la particule ér et sur sa glose CONJ.

曰:

六十三分

二十二。

yuē

zhī

liù shí sān fēn

zhū

èr shí èr

dire

ajouter

3OBJ

{6}{10}{3}fēn

zhū

{2}{10}{2}

On affirme qu’il faut lui ajouter 22/63 de zhū.

a

曰:

shù

yuē

procédure

dire

On procède comme suit :

a.  Le déroulé des instructions de calculs est précédé d’un rond ●, ce qui signale un complément par rapport au texte principal comme plus haut sur la lamelle no 29.

法,

xiāng

chéng

wéi

dénominateur

l’un l’autre

multiplier

faire

diviseur

Les dénominateurs se multiplient entre eux donnant le diviseura,

a.  On forme ainsi le même diviseur 9 × 7 = 63 que dans la situation numérique précédente.

chéng

numérateur

en biais

multiplier

dénominateur

les numérateurs multiplient le dénominateur de l’autre fraction

為/•30//31•/

實,

wéi

shí

chacun

soi-même

faire

dividende

formant chacun eux-mêmes les dividendesa,

a. Les numérateurs 3 et 7 des fractions 3/7 et 7/9 donnent ainsi respectivement 3 × 9 = 27 et 7 × 7 = 49 qui sont les numérateurs des fractions réduites au même dénominateur 63.

多,

shǎo

chú

duō

avec

moindre

retrancher

nombreux

on retranche le plus petit du plus granda,

a.  On effectue la soustraction 49 − 27 = 22 ce qui conduit bien au résultat annoncé 22/63.

也。/•31/

rester

alors

ajout

DECL

ce qui reste est ce que l’on doit ajouter.

34Cette section débute par une situation de soustraction de fractions : on doit retrancher 6/7 de 3 5/9. La procédure propose d’abord de réduire les fractions 6/7 et 5/9 au même dénominateur 7 × 9 = 63 puis d’effectuer la soustraction. Mais un ajout textuel précise qu’il faut dans un premier temps réduire 3 5/9 au dénominateur 9 (cela donne le quotient 32/9) avant de passer à la réduction au dénominateur 63. Il est notable que 32/9 ne soit pas énoncé ; de fait le corpus ne mentionne que des fractions qui ont un numérateur inférieur au dénominateur. Les fractions « impropres », comme 32/9, qui interviennent au fil des calculs ne sont pas énoncées, ou seulement inférées en parlant d’une division, ou d’un dividende shí associé à un diviseur fǎ, jamais d’un numérateur zǐ ni d’un dénominateur mǔ.

35La section se poursuit en introduisant une variation dans la problématique. La première situation de soustraction a – b = c supposait connues les quantités a et b et se proposait de déterminer leur différence c. La deuxième situation donne en revanche les valeurs de a et de c et demande celle qu’il faudrait attribuer à b qui ajouté à c donnerait a. Finalement on doit encore effectuer une soustraction puisque les égalités a + c = b et a – b = c sont équivalentes. Ce jeu de permutations évoque les « problèmes avec variations », qui constituent une caractéristique de la didactique chinoise des mathématiques bien décrite par Maria Giuseppina Bartolini Bussi et al. (2011).

4‑11. Achat de bois en commun

/32•/

gòng

mǎi

cái

en commun

acheter

bois

Achat de bois en commun

賈。

sān

rén

gòng

cái

{3}

personne

en communa

bois

pour

acquérir

Trois personnes achètent ensemble un stock de bois.

a.  Nous continuons à gloser « en commun » comme pour l’occurrence dans le titre, mais il est clair que gòng 共 devant le nom cái 材 (bois) a une fonction de verbe transitif : il est donc question de « mettre le bois en commun » pour l’acheter ensemble.

錢,

rén

chū

qián

{1}

personne

sortir

{5}

qián

L’une verse 5 qián,

三,

rén

chū

sān

{1}

personne

sortir

{3}

l’une verse 3,

錢。

rén

chū

èr

qián

{1}

personne

sortir

{2}

qián

l’une verse 2 qián.

jīn

yǒu

yíng

qián

actuel

avoir

excédent

{4}

qián

Considérons un gain de 4 qián que

之。

qián

shù

cuī

fēn

zhī

souhaiter

avec

qián

nombre

réduire

fraction

3OBJ

l’on souhaite partager selon les montants verséesa.

a.  D’après Peng Hao (2001, 51, note 5) le terme cuī 衰 désigne des coefficients de pondération et l’expression cuī fēn 衰分 signifie un partage selon des coefficients de pondération ; cela fait écho au partage en parts égales de la section 4‑9. La problématique des partages pondérés se retrouve dans les Neuf Chapitres, voir par exemple Chemla & Guo (2004, 913‑914).

錢,

chū

zhě

èr

qián

sortir

{5}

NMLZ

obtenir

{2}

qián

Celle qui a versé 5 obtient 2 qián,

者/•32//33•/

五分

一,

chū

sān

zhě

qián

wǔ fēn

qián

sortir

{3}

NMLZ

obtenir

{1}

qián

{5}fēn

qián

{1}

celle qui a versé 3 obtient 1 qián et 1/5 de qián,

五分

四。

chū

èr

zhě

wǔ fēn

qián

sortir

{2}

NMLZ

obtenir

{5}fēn

qián

{4}

celle qui a versé 3 obtient 4/5 de qián.

曰:

shù

yuē

procédure

dire

On procède comme suit :

法,

bìng

sān

rén

chū

qián

shù

wéi

grouper

{3}

personne

sortir

qián

nombre

pour

faire

diviseur

On additionne les montants versés par les trois personnes pour faire le diviseur,

alors

alors

數,

qián

chéng

suǒ

chū

qián

shù

avec

{4}

qián

chacun

multiplier

ce que

sortir

qián

nombre

on multiplie par 4 chacun des montants versés,

錢。/•33/

qián

comme

diviseur

obtenir

{1}a

qiánb

on effectue la division qui donne les nombres de qián.

a.  Ici le numéral {1} appartient à l’expression de la division.
b.  Le terme qián dans cette position précise l’unité affectée au résultat de la division : qián tout court et non « qián par personne ».

36Cette section expose la redistribution d’une plus-value de 4 qián sur la revente d’un stock de bois initialement acheté pour 10 qián par 3 personnes qui avaient déboursé respectivement 5, 3 et 2 qián. Le partage étant proportionnel aux montants investis, on obtient des bénéfices respectifs en qián qui s’élèvent à 4 × 5/10 = 2 ; 4 × 3/10 = 1 + 1/5 ; 4 × 2/10 =4/5.

4‑12. Un renard passe la douane

/34•/

chū

guān

renard

sortir

douane

Un renard passe la douane

狐、

狸、

quǎn

chū

guān

renard

chat sauvage

chien

sortir

douane

Un renard, un chat sauvage et un chien qui passent la douane

百一十一

錢。

bǎi yī shí yī

qián

taxe

{102}{1}{10}{1}

qián

versent une taxe de 111 qián.

狸、

狐、

quǎn

wèi

wèi

chien

dire

chat sauvage

chat sauvage

dire

renard

Le chien dit au chat et le chat dit au renard :

我,

ěr

bèi

2POSSa

peau

doubler

1POSSb

Ta peau valant le double de la mienne,

a.  Il s’agit d’un pronom de la deuxième personne que l’on pourrait coder avec 2. Comme le pronom ici a une valeur de possessif, nous préférons 2POSS simplement pour éviter la confusion avec les numéraux.
b.  De même, il s’agit d’un pronom de la première personne utilisé ici comme possessif.

哉!

chū

guān

dāng

bèi

zāi

sortir

douane

falloir

doubler

DECL

tu dois être taxé deux fois plus !

幾何。

曰:

wèn

chū

jǐhé

yuē

demander

sortir

chacun

combien

obtenir

dire

On demande combien verse chacun. La réponse est :

十五

七分

六,/•34/

quǎn

chū

shí wǔ

qián

qī fēn

liù

chien

sortir

{10}{5}

qián

{7}fēn

{6}

Le chien verse 15 qián et 6/7,

/35•/

三十一

五,

chū

sān shí yī

qián

fēn

chat sauvage

sortir

{3}{10}{1}

qián

parta

{5}

le chat sauvage verse 31 qián et 5/[7],

a.  Le calcul conduit à 31 qián et 5/7 de qián, la fraction 5/7 a le même dénominateur 7 que la fraction incluse dans le montant correspondant à la peau de chien et ce dénominateur n’est pas répété dans le texte.

六十三

三。

chū

liù shí sān

qián

fēn

sān

renard

sortir

{6}{10}{3}

qián

parta

{3}

le renard verse 63 qián et 3/[7].

a.  Ici encore le texte omet de dire le dénominateur 7.

曰:

shù

yuē

procédure

dire

On procède comme suit :

也,

lìng

xiāng

bèi

CAUS

chacun

l’un l’autre

doubler

DECL

On fait que chacun soit respectivement doubléa,

a.  On a 1 qui est doublé donnant 2 qui est à son tour doublé donnant 4.

之,

法,

bìng

zhī

wéi

grouper

3OBJ

{7}

faire

diviseur

a

a.  Les trois nombres 1, 2 et 4.

實,

chéng

zhī

wéi

shí

avec

taxe

chacun

multiplier

3OBJ

faire

dividende

on les multiplie chacun par la taxe ce qui donne les dividendes,

一./•35/

shí

dividende

comme

diviseur

obtenir

{1}

on effectue les divisions.

37Le déroulé établit d’abord que les montants dus pour les peaux de chien, de chat sauvage et de renard sont les trois termes consécutifs 1, 2 et 4 d’une suite géométrique de raison 2. Le texte indique ensuite qu’il faut multiplier la taxe totale de 111 qián respectivement par ces trois entiers, puis diviser ces trois produits par la somme 1 + 2 + 4 = 7. Nous vérifions que cela donne bien les trois résultats annoncés avant la résolution.

4‑13. Peaux de renard

/36•/

renard

peau

Peaux de renard

三十五

裁、

sān shí wǔ

cái

renard

peau

{3}{10}{5}

coupe

35 coupes de peaux de renard,

二十五

裁、

èr shí wǔ

cái

chat sauvage

peau

{2}{10}{5}

coupe

25 coupes de peaux de chat sauvage,

十五

關,

quǎn

shí èr

cái

xié

chū

guān

chien

peau

{10}{2}

coupe

ensemble

sortir

douane

12 coupes de peaux de chien passent ensemble la douane,

二十五

錢,

guān

bìng

èr shí wǔ

qián

douane

grouper

taxe

{2}{10}{5}

qián

la douane taxe globalement 25 qián,

幾何。

曰:

wèn

chū

jǐhé

yuē

demander

chacun

sortir

combien

obtenir

dire

on demande combien chacun verse. La réponse est :

十二

七十二分

十一,

chū

shí èr

qī shí èr fēn

shí yī

renard

sortir

{10}{2}

{7}{10}{2}

{10}{1}

Pour le renard on verse 12 et 11/72,

四十/•36//37•/九,

chū

fēn

sì shí jiǔ

chat sauvage

sortir

{8}

parta

{4}{10}{9}

pour le chat sauvage on verse 8 et 49/[72],

a.  Le dénominateur 72 est le même que dans le montant correspondant au renard et il n’est pas répété.

十二。

quǎn

chū

fēn

shí èr

chien

sortir

{4}

parta

{10}{2}

pour le chien on verse 4 et 12/[72].

a.  Le dénominateur 72 est à nouveau sous-entendu.

術:

法,

shù

bìng

wéi

procédure

grouper

acquérir

faire

diviseur

Procédure : On groupe les acquisitionsa pour faire le diviseur,

a.  On ajoute 35 peaux de renard, 25 peaux de chat sauvage et 12 peaux de chien, ce qui donne 72 peaux.

實。/•37/

chéng

wéi

shí

avec

taxe

chacun

multiplier

acquérir

faire

numérateur

on multiplie chaque acquisition par la taxe pour faire les numérateurs.

38Ce texte présuppose sans l’expliciter que la taxe douanière est la même pour les 72 peaux qu’elles soient de renard (35 coupes), de chat sauvage (25 coupes) ou de chien (12 coupes). La procédure indique d’abord qu’il faut calculer le nombre total 35 + 25 + 12 = 72 de peaux qui est qualifié de diviseur. Ensuite on doit multiplier la taxe de 25 qián respectivement par 35, 25 et 12, ce qui donne trois dividendes. Le texte ne précise pas qu’il faut finalement effectuer les trois divisions qui, nous le vérifions, donnent bien les trois résultats annoncés.

39La section précédente considérait un même nombre de peaux de chaque sorte, mais les valeurs des peaux et les montants de taxation différaient. Ici la valeur est la même, et ce sont les nombres de peaux qui diffèrent. Les deux sections se font ainsi écho formant deux « problèmes avec variations », comme nous l’avions déjà observé dans la section 4‑11.

4‑14. Paiement en millet décortiqué

/38•/

payera

millet décortiqué

Paiement en millet décortiqué

a.  Nous suivons Hong Wann‑Sheng (2006, 9) qui considère que fù 負 indique ici une somme due. Dans d’autres contextes, ce terme signifie « porter sur le dos ».

rén

personne

payer

Quelqu’un paie

zhī

shù

millet décortiqué

NEG

savoir

3POSS

nombre

une quantité inconnue de millet décortiqué

關。

chū

guān

pour

sortir

douane

pour passer des postes de douane.

[三]a

一。

guān

[sān]

sān

shuì

zhī

douane

[{3}]

{3}

imposer

zhī

{1}

Il y a [trois] postes de douane qui imposent au tiersb.

a.  Peng Hao (2001, 55, note 1) explique que le copiste aurait omis un signe de redoublement après le caractère sān 三 {3}. Effectivement la suite montre qu’il faut considérer l’occurrence de sān 三 comme le nombre de postes de douane et aussi comme le dénominateur de la fraction d’imposition.
b.  {3} shuì zhī {1} avec shuì « imposer, impôt » est l’expression d’une fraction, soit « 1/3 d’imposition » ou « imposition au tiers ».

出,

斗。

guān

chū

dǒu

douane

achever

sortir

rester

millet décortiqué

{1}

dǒu

Après le passage des douanes, il reste 1 dǒu de millet décortiqué.

wèn

demander

On demande

幾何。

shǐ

xíng

jǐhé

commencer

avancer

tenir en main

millet décortiqué

combien

combien on possédait de millet décortiqué au début du voyage.

曰:

yuē

obtenir

dire

tenir en main

La réponse s’énonce ainsi : la personne possédait

四分

三。

sān

dǒu

sān

shēng

sì fēn

sān

millet décortiqué

{3}

dǒu

{3}

shēng

{4}fēn

{3}

dǒu et 3 shēng et 3/4 de shēng de millet décortiqué.

曰:/•38//39•/

shù

yuē

zhì

guān

ér

procédure

dire

poser

{1}

douane

CONJ

On procède comme suit : On pose 1 poste de douane que

法,

sān

bèi

wéi

{3}

doubler

faire

diviseur

l’on double trois fois ce qui donne le diviseura,

a.  Le diviseur est donc 1 × 2 × 2 × 2 = 8, mais on le voit plus loin, à ce nombre 8 est affecté postes de douane comme ailleurs on affecte une unité de mesure.

之,

yòu

zhì

dǒu

ér

sān

zhī

et

poser

millet décortiqué

{1}

dǒu

CONJ

{3}

3OBJ

puis on pose 1 dǒu de millet décortiqué et on le triple,

a

之,

yòu

sān

bèi

zhī

et

{3}

doubler

3OBJ

on le triple encore deux foisb,

a.  Le texte original comporte en fait 叁 pour le numéral sān {3} ; cette graphie particulière est utilisée à la place du caractère 三 généralement par volonté de surprécision et pour éliminer un risque de confusion. Cela pourrait être corrélé à la présence de bèi 倍 « double » juste en dessous sur la lamelle.
b.  Le texte demande ainsi d’effectuer 1 dǒ× 3 × 3 × 3 = 27 dǒu qui servira de dividende du nombre de postes de douane.

實。/•39/

ér

guān

shù

yān

wéi

shí

CONJ

douane

nombre

de cela

faire

dividende

ce qui donne le dividende du nombre des douanesa.

a.  Il s’agit du diviseur 8 auquel les auteurs estimaient nécessaire d’affecter une « unité » poste de douane.

40À chaque poste de douane la quantité de millet est réduite du tiers pour régler une taxe de passage, il reste donc 2/3 de ce que l’on transportait avant le passage. Ce qui revient à dire, en inversant l’opération, qu’avant chaque prélèvement, on avait 3/2 de ce qu’il reste après le prélèvement. Le texte considère le passage de 3 postes de douane et propose d’abord de calculer au titre des postes de douane 1 × 2 × 2 × 2 = 8 qui servira de diviseur, puis de calculer 1 dǒ× 3 × 3 × 3 = 27 dǒu qui sera le dividende. Cette section manipule de la sorte une suite géométrique de raison 3/2. On en calcule le troisième terme (la quantité initiale de millet décortiqué) connaissant le premier terme (la quantité restante après le passage de 3 postes de douane).

41Il nous reste à effectuer la division 27 dǒ÷ 8 ce qui donne 3 + 3/8 dǒu, puis à convertir 3/8 de dǒu en 30/8 de shēng, ce qui donne 3 shēng et 3/4 de shēng, pour finalement vérifier le résultat annoncé 3 dǒushēng et 3/4 de shēng.

42La section suivante considère aussi une suite géométrique dont on connaît la raison et la somme de cinq termes consécutifs.

4‑15. Le tissage d’une femme

/40•/

zhī

femme

tisser

Le tissage d’une femme

邻里

也。

lín lǐ

yǒu

voisinage

avoir

femme

craindre

soi-même

réjouir

DECL

Une femme du voisinage se garde de l’autosatisfactiona.

a.  L’interprétation syntaxique et sémantique de la séquence   xǐ ne fait pas l’unanimité. Ce que l’on comprend dans la suite est que la tisserande augmente sa production tous les jours. La phrase d’introduction signifie soit qu’elle est contente de cette augmentation, soit qu’elle serait insatisfaite de ne pas faire chaque jour mieux que la veille : Dauben (2008, 117‑118) traduit par « displeased with herself, but happy that » ; Ōkawa et alii (2006, 57) comprend abhorre l’autosatisfaction (tǎoyàn zì mǎn 討厭自滿), Hu Yitao (2006, 27) comprend exceller à (shàncháng 擅長).

曰:

zhī

yuē

tisser

dire

Son tissage se déroule comme suit :

尺。

zài

zhī

chǐ

soi-même

doubler

{5}

jour

tisser

{5}

chǐ

En doublant sa propre productiona, en cinq jours elle tisse 5 chǐb.

a.  La suite permet de comprendre plus précisément qu’à partir du deuxième jour, la production d’une journée est le double de celle du jour précédent.
b.  Soit environ 1,15 m.

wèn

demander

On demande

幾何。

shǐ

zhī

jǐhé

commencer

tisser

jour

et

3POSS

suivant

chacun

combien

ce qui est tissé respectivement le premier jour et les suivants.

曰:

yuē

dire

La réponse est :

六十二分

三十八,

shǐ

zhī

cùn

liù shí èr fēn

sān shí bā

commencer

tisser

{1}

cùn

{6}{10}{2}fēn

{3}{10}{8}

Le premier jour est tissé 1 cùn et 38/62,

六十/•40//41•/二分

十四,

sān

cùn

liù shí èr fēn

cùn

shí sì

suivant

{3}

cùn

{6}{10}{2}fēn

cùn

{10}{4}

le suivant c’est 3 cùn et 14/62 de cùn,

六十二分

二十八,

liù

cùn

liù shí èr fēn

cùn

èr shí bā

suivant

{6}

cùn

{6}{10}{2}fēn

cùn

{2}{10}{8}

le suivant c’est 6 cùn et 28/62 de cùn,

六十二分

五十六,

chǐ

èr

cùn

shí èr fēn

cùn

wǔ shí liù

suivant

chǐ

{2}

cùn

{6}{10}{2}fēn

cùn

{5}{10}{6}

le suivant c’est 1 chǐ et 2 cùn et 56/62 de cùn,

六十二分

五十。

èr

chǐ

cùn

shí èr fēn

cùn

wǔ shí

suivant

{2}

chǐ

{5}

cùn

{6}{10}{2}fēn

cùn

{5}{10}

le suivant c’est 2 chǐ et 5 cùn et 50/62 de cùn.

曰:

shù

yuē

procédure

dire

On procède comme suit :

二、

四、

八、

十六、/•41/

zhì

èr

zhì

zhì

zhì

shí liù

poser

{2}

poser

{4}

poser

{8}

poser

{10}{6}

On pose 2, on pose 4, on pose 8, on pose 16,

/42•/

三十二,

法,

zhì

sān shí èr

bìng

wéi

poser

{3}{10}{2}

grouper

pour

faire

diviseur

et on pose 32 que l’on ajoute pour faire le diviseura,

a.  On pose sur la surface de calcul des bâtonnets pour représenter la suite 2, 4, 8, 16 et 32. La somme de ces cinq nombres est 62 qui servira de diviseur.

chǐ

biàn

chéng

zhī

avec

{5}

chǐ

partout

multiplier

3OBJ

on les multiplie tous par 5 chǐ

實,

wéi

shí

chacun

soi-même

faire

dividende

ce qui donne les dividendes respectifsa,

a.  La suite représentée sur la surface de calcul devient ainsi 10, 20, 40, 80 et 160, nombres auxquels a été affectée l’unité chǐ.

尺。

shí

chǐ

dividende

comme

diviseur

obtenir

chǐ

on effectue les divisions ce qui donne les chǐ.

者,

之,

yíng

chǐ

zhě

shí

zhī

NEG

excéder

chǐ

NMLZ

{10}

3OBJ

Quand le reste est plus petit que 1 chǐ, on décuple,

寸。

cùn

comme

diviseur

{1}

cùn

et on effectue les divisions pour obtenir les cùna.

a.  Le texte propose ainsi de ne pas s’arrêter à un résultat avec un nombre entier de chǐ et une fraction de chǐ, mais de transformer cette fraction de chǐ en un nombre entier de cùn et une fraction de cùn. Rappelons que 1 chǐ fait 10 cùn.

者,

yíng

cùn

zhě

NEG

excéder

cùn

NMLZ

Quand le reste est plus petit que 1 cùn,

分。/•42/

mìng

fēn

avec

diviseur

nommer

fraction

et on en fait une fraction dont le dénominateur est le diviseura.

a.  C’est‑à‑dire qu’à l’issue de la division, on forme une fraction avec le reste comme numérateur et le diviseur comme dénominateur.

43Pour modéliser la production d’une tisserande qui tous les jours produit le double du jour précédent, le texte introduit la suite de doubles 2, 4, 8, 16, 32 que nous appelons aujourd’hui une suite géométrique de raison 2. La production totale sur 5 jours est connue, elle s’élève à 5 chǐ de tissu (soit environ 1,15 m). On cherche la production de chacun des cinq jours.

44Le texte propose d’abord de sommer les cinq termes de la suite ce qui donne 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 62 qui servira à diviser les cinq dividendes que sont les produits de la production de 5 chǐ par les cinq termes de la suite. Si nous effectuons les calculs indiqués et les conversions en cùn et fractions de cùn (sachant que 1 chǐ = 10 cùn), alors nous trouvons bien les résultats annoncés :

Production du premier jour :

5 chǐ × 2 ÷ 62 = 10/62 chǐ = 100/62 cùn

= 1 cùn et 38/62 de cùn ;

Production du deuxième jour :

5 chǐ × 4 ÷ 62 = 20/62 chǐ = 200/62 cùn

= 3 cùn et 14/62 de cùn ;

Production du troisième jour :

5 chǐ × 8 ÷ 62 = 40/62 chǐ = 400/62 cùn

= 6 cùn et 28/62 de cùn ;

Production du quatrième jour :

5 chǐ × 16 ÷ 62 = 80/62 chǐ = 1 chǐ et 18/62 chǐ

= 1 chǐ et 180/62 de cùn

= 1 chǐ et 2 cùn et 56/62 de cùn ;

Production du cinquième jour :

5 chǐ × 32 ÷ 62 = 160/62 chǐ = 2 chǐ et 36/62 de chǐ

= 2 chǐ et 360/62 de cùn

= 2 chǐ et 5 cùn et 50/62 de cùn

45C’est la résolution proposée par le texte qui recourt à cinq calculs en parallèle sur la surface de travail. Pour cette même approche, d’autres choix numériques auraient été possibles, on aurait pu s’appuyer par exemple sur les suites de termes 1, 2, 4, 8, 16 ou 4, 8, 16, 32, 64. Une approche alternative aurait consisté à calculer d’abord la production du premier jour puis de la multiplier par 2 pour obtenir celle du deuxième jour et ainsi de suite, voire de calculer la production du cinquième jour puis la diviser par 2 pour avoir celle du quatrième jour et ainsi de suite.

4‑16. Taxe globale

/43•/

bìng

grouper

taxe

Taxe globale

斗,

sān

dǒu

millet non égrené

{3}

{1}

dǒu

[carrés] de millet non égrené sont taxés 1 dǒu,

斗,

mài

dǒu

blé

{4}

{1}

dǒu

[carrés] de blé sont taxés 1 dǒu,

斗。

dǒu

pois rouges

{5}

{1}

dǒu

[carrés] de pois rouges sont taxés 1 dǒu.

石。

jīn

bìng

zhī

shí

actuel

grouper

3OBJ

taxe

{1}

shí

Considérons qu’on les ajoute donnant une taxe de 1 shí.

幾何。

wèn

jǐhé

demander

taxer

combien

On demande à combien s’élèvent les taxes.

曰:

yuē

obtenir

dire

Les résultats sont :

四十七分

十二,

dǒu

sì shí qī fēn

shí èr

millet non égrené

taxer

{4}

dǒu

{4}{10}{7}fēn

{10}{2}

La taxe sur le millet non égrené s’élève à 4 dǒu et 12/47,

九,/•43/

mài

sān

dǒu

fēn

jiǔ

blé

taxer

{3}

dǒu

parta

{9}

la taxe sur le blé s’élève à 3 dǒu et 9/[47],

a.  L’expression de la fraction 9/47 ne mentionne pas le dénominateur 47 qui est le même que celui de la fraction 12/47 qui précède, dans la taxe du millet.

/44•/

二十六。

èr

dǒu

fēn

èr shí liù

pois rouges

taxer

{2}

dǒu

parta

{2}{10}{6}

la taxe sur les pois rouges s’élève à 2 dǒu et 26/[47].

a.  Ici encore, l’expression de la fraction 26/47 omet le dénominateur 47.

曰:

shù

yuē

procédure

dire

On procède comme suit :

步、

zhì

sān

poser

millet non égrené

{3}

On posea [carrés] pour le millet non égrené,

a.  On représente les entiers 3, 4 et 5 sur la surface de calcul avec des bâtonnets, respectivement pour le millet, le blé et les pois rouges.

a

步、

mài

blé

{4}

[carrés] pour le blé,

a.  Wenwu (2000), Wenwu (2001, 255) et Peng Hao (2001, 44, note 7), voyaient une coquille dans l’original avec un caractère lì 吏 (officier) écrit à la place de mài 麥 (blé). Mais Guo Lihua & Zhang Xiancheng (2015) revenant sur les photographies des lamelles constatent que, même si la partie droite du caractère est effacée, il n’y a pourtant pas de coquille et que c’est bien mài 麥 (blé) qui est écrit.

步。

lìng

pois rouges

{5}

CAUS

[carrés] pour les pois rouges. On fait en sorte que

實,

chéng

mài

wéi

shí

millet non égrené

multiplier

blé

faire

pois rouges

dividende

le millet multiplie le blé pour faire le dividende des pois rougesa,

a.  Il s’agit ici d’une instruction pour calculer des numérateurs dans le cadre de la réduction au même dénominateur de trois fractions unitaires (de numérateurs égaux à 1).

實。

chéng

wéi

mài

shí

pois rouges

multiplier

millet non égrené

faire

blé

dividende

les pois rouges multiplient le millet pour faire le dividende du bléa.

a.  On peut se référer à la note précédente. Remarquons que le texte omet l’instruction concernant le dividende du millet.

a/•44//45•/

之。

zhì

zhī

chacun

autre

poser

3OBJ

On pose chacun d’entre eux une nouvelle foisb.

a.  Le caractère est à peine lisible sur la lamelle de bambou, Peng Hao (2001, 59, note 9) propose yì 異 (autre, différent).
b.  Il doit s’agir de poser sur la surface de calcul les dividendes 20, 15 et 12 respectivement pour le millet en panicules, le blé et les pois rouges.

之。

shí

chéng

zhī

bìng

avec

{1}

shí

chacun

multiplier

3OBJ

grouper

On les multiplie chacun par 1 shía.

On ajoute

a.  En d’autres termes on leur affecte l’unité shí.

禾、

荅、

a

mài

shí

millet non égrené

pois rouges

blé

dividende

les dividendes du millet non égrené, des pois rouges et du bléb,

a.  Les cinq caractères bìng hé dá mài shí 并禾荅麥實 se devinent sur la lamelle, et c’est bien ainsi que transcrivent Ōkawa et alii (2006, 60). Pourtant Peng Hao (2001, 58‑59) et Wenwu (2001, 255) écrivent hé dá mài wéi 禾荅麥為實, c’est‑à‑dire que la séquence hé dá mài 禾荅麥 est décalée, que le caractère bìng 并 placé avant est oublié, et qu’un caractère wéi 為 est ajouté après ; il nous semble impossible de suivre cette interprétation.
b.  Le texte parle de « dividende » en anticipant sur l’étape suivante où les trois nombres interviendront comme tels dans des divisions. Les termes « millet non égrené », « pois rouges » et « blé » désignent respectivement les nombres 20, 15 et 12 désormais représentés aux emplacements où se trouvaient initialement 3, 4 et 5 posés respectivement au titre des mêmes trois denrées dans le même ordre.

四十七

斗。/•45/

sì shí qī

wéi

ér

dǒu

{4}{10}{7}

faire

diviseur

TOP

{1}

dǒu

cela donne 47 qui est le diviseur qui divise les dǒu.

46Ce texte repose sur une situation d’imposition de trois produits agricoles : le millet en panicules (non égrené) taxé 1 dǒu pour 3 2, soit 1/3 de dǒu par ; le blé taxé 1 dǒu pour 4 2, soit 1/4 de dǒu par ; les pois rouges taxés 1 dǒu pour 5 2, soit 1/5 de dǒu par 2.

47Une taxe globale de 1 shí = 10 dǒu est prélevée, et on demande ce qui est versé respectivement au titre de chacune des trois denrées.

48Remarquons tout d’abord que les résultats annoncés divisés par les taux d’imposition donnent tous les trois 600/47 2, soit 12 2 et 36/47 de 2, ce qui implique que les trois parcelles taxées ont la même aire. Une aire qui n’est pas demandée et qui n’intervient pas dans les calculs.

49Les trois taux d’imposition peuvent se réduire au dénominateur commun 3 × 4 × 5 = 60 : le millet est taxé 4 × 5/60 = 20/60 de dǒu pour 1 ; le blé est taxé 3 × 5/60 = 15/60 de dǒu pour 1 ; les pois rouges sont taxés 3 × 4/60 = 12/60 de dǒu pour 1 2.

50Le texte demande justement de calculer 3 × 4 = 12 « on multiplie le millet par le blé pour faire le dividende des pois rouges », et 3 × 5 = 15 « les pois rouges multiplient le millet ce qui donne le dividende du blé », mais omet le produit 4 × 5 = 20 qui serait « le blé multiplie les pois rouges pour faire le dividende du millet ». Le taux d’imposition volumique total pour les trois productions est la somme (20 + 15 + 12)/60 = 47/60, la taxe globale de 10 dǒu correspond donc à une production totale en dǒu s’élevant à 10 × 60/47. Les montants des taxes pour chacune des denrées sont :

5120/60 × 10 × 60/47 = 200/47 dǒu pour le millet non égrené ;

5215/60 × 10 × 60/47 = 150/47 dǒu pour le blé ;

5312/60 × 10 × 60/47 = 120/47 dǒu pour les pois rouges.

54Ce sont bien les résultats demandés. Mais le texte du déroulé de la procédure n’est pas si explicite, il énonce simplement la chaîne d’opérations à effectuer en parallèle sur la surface de calcul à partir des trois nombres 3, 4 et 5 qui sont respectivement placés dans des positions attribuées au « millet non égrené », aux « pois rouges » et au « blé », les trois mots jouant le rôle de variables dynamiques :

Millet

Blé

Pois rouges

Poser 3, 4 et 5

3

4

5

Former et poser les dividendes

20

15

12

Affecter l’unité shí

20 shí

15 shí

12 shí

Sommer les « dividendes »

20 + 15 + 12 = 47

Convertir les dividendes en dǒu puis diviser par 47

200 dǒ÷ 47

= 4 dǒu 12/47

150 dǒ÷ 47

= 3 dǒu 9/47

120 dǒ÷ 47

= 2 dǒu 26/47

4‑17. Prix de l’or

/46•/

jīn

jià

or

prix

Prix de l’or

三百一十五

錢,

jīn

jià

liǎng

sān bǎi yī shí wǔ

qián

or

prix

liǎng

{3}{102}{1}{10}{5}

qián

Le prix de 1 liǎng d’or s’élève à 315 qiána,

a.  Liǎng est une unité de masse. Qián est une unité monétaire. Le texte n’utilise pas d’unité quotient, c’est pourquoi nous évitons de traduire « 315 qián par liǎng ».

銖,

jīn

yǒu

zhū

actuel

avoir

{1}

zhū

considérons 1 zhūa [d’or],

a.  Z est une unité de masse et 1 liǎng = 24 zhū.

幾何。

wèn

qián

jǐhé

demander

obtenir

qián

combien

on demande combien on en obtient de qián.

曰:

十三

八分

一。

yuē

shí sān

qián

bā fēn

dire

obtenir

{10}{3}

qián

{8}fēn

{1}

La réponse est : On obtient 13 qián et 1/8.

曰:

shù

yuē

procédure

dire

On procède comme suit :

法,

zhì

liǎng

zhū

shù

wéi

poser

{1}

liǎng

zhū

nombre

pour

faire

diviseur

On pose le nombre de zhū de 1 liǎng pour former le diviseura,

a.  Le nombre que l’on pose sur la surface de calcul est 24 puisque que 1 liǎng = 24 zhū.

實,

qián

shù

wéi

shí

avec

qián

nombre

faire

dividende

le nombre de qián sert de dividendea,

a.  C’est 315 puisque le prix de l’or est de 315 qián pour 1 liǎng.

錢。/•46/

shí

qián

dividende

comme

diviseur

obtenir

{1}a

qián

on divise le dividende par le diviseur pour obtenir les qiánb.

a.  On rappelle que le numéral {1} dans cette position est vidé de son sens numérique et qu’il appartient à l’expression de la division.
b.  Le déroulé des instructions de calculs s’achève ici, ce qui suit est une liste de rapports de conversion entre unités de masse.

/47•/

二十四

兩,

èr shí sì

zhū

liǎng

{2}{10}{4}

zhū

{1}

liǎng

24 zhū pour 1 liǎng,

三百八十四

斤,

sān bǎi bā shí sì 

zhū

jīn

{3}{102}{8}{10}{4}

zhū

{1}

jīn

384 zhū pour 1 jīn,

萬一千五百二十

鈞,

wàn yī qiān wǔ bǎi èr shí

zhū

jūn

{104}{1}{103}{5}{102}{2}{10}

zhū

{1}

jūn

11 520 zhū pour 1 jūn,

四萬六千八十

石。/•47/

sì wàn liù qiān bā shí

zhū

shí

{4}{104}{6}{103}{8}{10}

zhū

{1}

shí

46 080 zhū pour 1 shí.

55Le texte de cette section explicite le calcul de la valeur monétaire d’une certaine quantité d’or connaissant son prix pour une certaine unité de masse. Le calcul repose sur la règle de trois. Vient ensuite l’énoncé d’une liste de rapports entre la plus petite unité de masse zhū et ses multiples liǎng, jīn, jūn et shí.

4‑18. Pilage du millet

/48•/

chōng

piler

millet égrené

Pilage du millet

bǐng

shí

chōng

zhī

octroyer

millet égrené

{1}

shí

piler

3OBJ

On octroie 1 shí [massique]a en millet égrené, on le pile

a.  Zou Dahai (2004) note que shí désigne ici l’unité de masse car l’unité de capacité signifierait que piler 100 shēng de millet égrené donnerait 88 shēng de millet décortiqué et donc une diminution de 12 % du volume alors que l’élimination des glumelles conduit en réalité à une diminution de l’ordre de 40 %. Pourtant quand la section 4‑36 parle de 1 shí massique, c’est pour du millet en panicules ( 和 ou shǔ 黍) et non pour du millet égrené ( 粟). Il semblerait qu’on ait une ellipse avec  粟 pour  和 ou shǔ 黍.

升。

wéi

dǒu

shēng

faire

{8}

dǒu

{8}

shēng

donnant 8 dǒu et 8 shēng [de millet décortiqué]a.

a.  Le pilage est l’action de piler du grain égrené avec un pilon (un gros bâton), le grain est placé dans un mortier (un récipient en bois ou en pierre). Cette opération a pour finalité de produire du grain décortiqué en extirpant les graines de leurs glumelles (les pièces foliacées qui les recouvrent).

幾何?

dāng

hào

jǐhé

devoir

surplus

perdre

millet égrené

combien

Combien de millet égrené faut-il pour compenser la déperditiona ?b

a.  Se référant aux taux d’équivalence dans notre section 3‑6, d’une part 1 shí massique de millet en panicules correspond à 16+2/3 dǒu, soit 500/3 shēng, de millet égrené, d’autre part 88 shēng de millet décortiqué correspondent à 88 shēng × 5/3, soit 440/3 shēng, de millet égrené. Finalement, la déperdition exprimée en volume de millet égrené est la différence 60/3 shēng soit 20 shēng.
b.  Il manque une donnée qui est le volume de millet décortiqué que l’on considère, cette valeur manquante apparaît dans la procédure énoncée après la réponse.

曰:

a

十一分

八。

yuē

èr

dǒu

èr

shēng

shí yī fēn

shēng

dire

{2}

dǒu

{2}

shēng

{10}{1}fēn

shēng

{8}

La réponse est : 2 dǒu 2 shēng et 8/11 de shēngb.

a.  Wenwu (2000), Wenwu (2001, 255) et Peng Hao (2001, 61) écrivaient sān 三 [3], mais Zou Dahai (2004) observe que sur les lamelles on lit plutôt èr 二 [2].
b.  En divisant 22 shēng 8/11 de millet égrené par 20/88, nous trouvons que ce volume correspond à 100 shēng de millet décortiqué, une valeur énoncée plus loin dans la procédure.

曰:

shù

yuē

procédure

dire

On procède comme suit :

zhì

suǒ

shēng

shù

poser

ce que

obtenir

millet décortiqué

shēng

nombre

On pose le nombre de shēng de millet décortiqué obtenua

a.  Il s’agit des 88 shēng de millet décortiqué de la norme.

法,

石/•48/

wéi

yòu

zhì

shí

pour

faire

diviseur

et

poser

{1}

shí

ce qui sert de diviseur, on pose de plus 1 shí [volumique] de

/49•/

粟[sic]

shēng

shù

millet décortiqué

millet égrené

shēng

nombre

millet décortiqué exprimé en shēng de millet égrené

[recte : millet décortiqué exprimé en shēng]a

a.  Nous suivons Zou Dahai (2004) pour qui  粟 est un ajout erroné du copiste.

ér

CONJ

que

之,

hào

shēng

shù

chéng

zhī

avec

perdre

millet décortiqué

shēng

nombre

multiplier

3OBJ

l’on multiplie par la perte de millet décortiqué exprimée en shēnga,

a.  Soit 20 shēng.

升。/•49/

shēng

comme

diviseur

obtenir

{1}

shēng

on effectue la division pour obtenir le résultat en shēnga.

a.  On divise par 88.
  • 7  Une problématique similaire se trouve dans la section « Norme de déperdition » [Hào chéng 耗程] de N (...)

56Le début de la section énonce une norme de déperdition lors de la production de millet décortiqué à partir de 1 shí de millet égrené7. Nous comprenons qu’il s’agit en fait de produire du millet décortiqué à partir de 1 shí massique de millet en panicules, ce qui est cohérent avec la section 4‑36 et les données numériques de la présente section. Cette norme de déperdition (ou de décote, comme dans la section 4‑41) peut servir à calculer la compensation due lorsqu’un volume de 1 shí titré en millet décortiqué est finalement versé en millet égrené.

57Le texte de cette section reste énigmatique s’il est abstrait de ce contexte, et on constate que Joseph W. Dauben (2008, 122‑126) compile cinq tentatives toutes différentes, dont la sienne et celle de Zou Dahai (2004), qui cherchent à reconstruire une situation mathématique sensée au prix de remodelages du texte original ; est par exemple proposé d’altérer le résultat numérique et/ou d’ajouter ou de modifier des éléments textuels. Nous laissons le texte tel qu’il est et suivons pour l’essentiel l’interprétation qu’en fait Zou Dahai (2004).

4‑19. Déperdition du bronze

/50•/

tóng

hào

bronze

perdre

Déperdition du bronze

兩。

zhù

tóng

shí

hào

jīn

liǎng

fondre

bronze

{1}

shí

perdre

{7}

jīn

{8}

liǎng

Quand on fond 1 shía de bronze, on perd 7 jīn et 8 liǎng.

a.  La suite montre que shí désigne ici l’unité de masse.

銖,

jīn

yŏu

tóng

jīn

liǎng

zhū

actuel

avoir

bronze

{1}

jīn

{8}

liǎng

{8}

zhū

Considérons 1 jīn et 8 liǎng et 8 zhū de bronze,

幾何。

wèn

hào

jǐhé

demander

perdre

combien

on demande combien est perdu.

曰:

yuē

obtenir

dire

Le résultat est :

十一

百四十四分

九十一。

liǎng

shí yī

zhū

bǎi sì shí sì fēn

zhū

jiǔ shí yī

{1}

liǎng

{10}{1}

zhū

{102}{4}{10}{4}fēn

zhū

{9}{10}{1}

liǎng 11 zhū et 91/144 de zhūa.

a.  Nous constaterons à l’issue du calcul que le résultat annoncé ici est erroné.

曰:

shù

yuē

procédure

dire

On procède comme suit :

法,

zhì

shí

zhū

shù

wéi

poser

{1}

shí

zhū

nombre

faire

diviseur

On pose comme diviseur le nombre de zhū que fait 1 shía,

a.  Sur la surface de calcul on représente le diviseur 46 080 puisque 1 shí de masse fait 46 080 zhū.

者/•50//51•/

數,

zhì

jīn

liǎng

zhě

zhū

shù

de même

poser

{7}

jīn

{8}

liǎng

NMLZ

zhū

nombre

on pose de même le nombre de zhū que font 7 jīn et 8 liǎnga,

a.  On représente donc 2 880 puisque 1 jīn = 384 zhū et 1 liǎng = 24 zhū.

數,

jīn

liǎng

zhū

zhě

zhū

shù

avec

{1}

jīn

{8}

liǎng

{8}

zhū

NMLZ

zhū

nombre

on le multiplie par le nombre de zhū que font 1 jīnliǎng et 8 zhūa,

a.  On multiplie donc 2 880 par 584, ce qui donne 1 681 920.

之,

銖。/•51/

chéng

zhī

zhū

multiplier

3OBJ

comme

diviseur

{1}

zhū

on effectue la division qui donne les zhūa.

a.  On divise 1 681 920 par 46 080, ce qui donne le quotient 36 zhū 1/2 contredisant le résultat que le texte avait annoncé.

58Le calcul de la masse perdue quand on fond le bronze fait intervenir la règle de trois. Les correspondances entre les unités de masse shí, jīn, liǎng et zhū étant connues, le déroulé des calculs est clair. Cependant la réponse annoncée 1 liǎng 11 zhū et 91/144 de zhū est fausse, le calcul aboutissant en fait à 36 zhū et 1/2 de zhū.

4‑20. Chevaux de relais

/52•/

chuán

transmettre

cheval

Chevaux de relais

二[sic]a

chuán

èr

transmettre

cheval

jour

{2}

CLFb

Quotidiennement deux [recte : trois] chevaux de relais

a.  La suite du texte implique que l’on devrait avoir sān 三 {3} à la place de èr 二 {2}.
b.  Pĭ 匹 est le classificateur du nom mă 馬, mă yī pĭ signifie « un cheval », mă èr pĭ signifie « deux chevaux ». Les classificateurs, insérés dans la construction « nom + numéral + CLF », n’en étaient qu’au début de leur développement dans les corpus des Royaumes combattants et des Han, voir par exemple PeyraubeWiebush (1993) et Xu Dan (2009).

gòng

chú

gǎo

èr

shí

ensemble

paille

foin

{2}

shí

partagent 2 shí de paille et de foin

二。

lìng

chú

sān

ér

gǎo

èr

CAUS

paille

{3}

CONJ

foin

{2}

de sorte que l’on ait 3 parts de paille pour 2 parts de foina.

a.  Les proportions de la composition du fourrage sont énoncées sans faire apparaître de fractions ; comparer avec « 3/5 de paille pour 2/5 de foin », une formulation que notre texte ne connaît pas.

到,

jīn

qián

dào

actuel

cheval

{1}

CLF

avant

arriver

Considérons qu’un cheval arrive avant les autres,

幾何。

wèn

chú

gǎo

jǐhé

demander

donner

paille

foin

chacun

combien

on demande combien on lui donne de paille et de foin respectivement.

曰:

yuē

dire

La réponse :

斗、

大半

斗。

chú

dǒu

gǎo

èr

dǒu

tàibàn

dǒu

donner

paille

{4}

dǒu

foin

{2}

dǒu

{2/3}

dǒu

On lui donne 4 dǒu de paille et 2 dǒu et 2/3 de dǒu de foin.

曰:

shù

yuē

procédure

dire

On procède comme suit :

三、

槁/•52//53•/,

之,

zhì

chú

sān

gǎo

èr

bìng

zhī

poser

paille

{3}

foin

{2}

grouper

3OBJ

On pose 3 pour la paille et 2 pour le foin, on les ajoute,

法,

sān

chéng

zhī

wéi

avec

{3}

cheval

multiplier

3OBJ

faire

diviseur

on multiplie cette somme par 3 chevaux pour avoir le diviseur,

èr

shí

biàn

chéng

suǒ

zhì

avec

{2}

shí

partout

multiplier

ce que

poser

on multiplie par 2 shí tous les nombres posés

實。/•53/

wéi

shí

chacun

soi-même

faire

dividende

pour qu’ils forment les dividendes respectifs.

59L’empire Han était maillé par un réseau de routes et de relais qu’évoque cette section au travers d’une question concernant la nourriture des chevaux qui s’y arrêtaient. Le rapport « 3 parts de paille pour 2 parts de foin » est énoncé sans faire apparaître de fraction ; comparer avec « 3/5 de paille pour 2/5 de foin » qui aurait fait apparaître le dénominateur 5, somme de 3 et de 2. La procédure commande justement de d’abord poser les nombres 3 pour la paille et 2 pour le foin puis de former 5 en les additionnant. Ensuite on doit multiplier cette somme 5 par 3 chevaux, ce qui donne le diviseur 15. On revient aux nombres 3 et 2 qui sont toujours représentés sur la surface de calcul et on les multiplie respectivement par 2 shí (de fourrage), ce qui donne les deux nombres 6 et 4 qui sont les deux dividendes correspondant respectivement à la paille et au foin.

60La liste d’instructions de calcul s’arrête là, mais si maintenant nous convertissons en dǒu (avec 1 shí = 10 dǒu) et effectuons les divisions 60 ÷ 15 et 40 ÷ 15, alors nous obtenons bien les résultats 4 dǒu de paille et 2 dǒu 2/3 de foin annoncés par le texte.

4‑21. Tisserandes

/54•/

zhī

femme

tisser

Tisserandes

人,

yǒu

sān

rén

avoir

femme

{3}

personnea

Il y a 3 femmes,

a.  Le terme rén ne fonctionne pas ici comme un nom indépendant, mais joue le rôle grammatical de classificateur du nom (femme) dans une construction « nom + numéral + CLF ».

五十

尺,

zhăng

zhě

zhī

wǔ shí

chǐ

aîné

NMLZ

{1}

jour

tisser

{5}{10}

chǐ

l’aînée tisse 50 chǐ en 1 jour,

五十

尺,

zhōng

zhě

èr

zhī

wǔ shí

chǐ

milieua

NMLZ

{2}

jour

tisser

{5}{10}

chǐ

la cadette tisse 50 chǐ en 2 jours,

a.  Dans le texte de cette section, zhōng 中 est l’élément central d’une succession de trois éléments (l’aînée, la cadette, la benjamine), c’est l’un des usages ordinaires de ce terme relevé par Xu Dan (2016) dans les corpus des Royaumes combattants et de Qin.

五十

尺。

shào

zhě

sān

zhī

wǔ shí

chǐ

jeune

NMLZ

{3}

jour

tisser

{5}{10}

chǐ

la benjamine tisse 50 chǐ en 3 joursa.

a.  Autrement dit, sur trois journées de travail, l’aînée tisserait 3 × 50 chǐ, la cadette tisserait 2 × 50 chǐ et la benjamine tisserait 1 × 50 chǐ, les productions des trois tisserandes formant ainsi la proportion 3 : 2 : 1 comme le précise la dernière proposition de la section.

五十

尺,

jīn

zhī

yǒu

gōng

wǔ shí

chǐ

actuel

tisser

avoir

production

{5}{10}

chǐ

Considérons une production de 50 chǐ,

幾何

尺。

wèn

shòu

jǐhé

chǐ

demander

chacun

obtenir

combien

chǐ

on demande combien revient à chacune.

得/•54//55•/

曰:

yuē

3POSS

obtenir

dire

On obtient les résultats suivants :

二十五

尺,

zhăng

zhě

shòu

èr shí wǔ

chǐ

aîné

NMLZ

obtenir

{2}{10}{5}

chǐ

À l’aînée reviennent 25 chǐ,

十六

zhōng

zhě

shòu

shí liù

chǐ

milieu

NMLZ

obtenir

{10}{6}

chǐ

à la cadette reviennent 16 chǐ

十八分

十二,

yòu

shí bā fēn

chǐ

zhī

shí èr

et

{10}{8}fēn

chǐ

zhī

{10}{2}

et 12/18 de chǐ,

shào

zhě

shòu

chǐ

jeune

NMLZ

obtenir

{8}

chǐ

à la benjamine reviennent 8 chǐ

十八分

六。

yòu

shí bā fēn

chǐ

zhī

liù

et

{10}{8}fēn

chǐ

zhī

{6}

et 6/18 de chǐ.

曰:

shù

yuē

3POSS

procédure

dire

Pour cela on procède comme suit :

一、

二、

zhì

zhì

èr

zhì

sān

ér

poser

{1}

poser

{2}

poser

{3}

CONJ

On pose 1, on pose 2, on pose 3 que l’on

… ... …a/•55//56•/

法,

… … …

wéi

… … …

pour

faire

diviseur

… … … pour former le diviseurb,

a.  Les caractères du bas de la lamelle no 55 sont illisibles.
b.  On voit dans la suite que ce diviseur est probablement 6, la somme de 1, 2 et 3 qui survient quand on réduit 1, 1/2 et 1/3 au même dénominateur.

實,

yòu

shí

ér

zhī

wéi

shí

et

{10}

CONJ

{5}

3OBJ

pour

faire

dividende

et on les multiplie par 10 et par 5 pour en faire les dividendesa,

a.  On a donc représenté sur la surface de calcul la suite des trois entiers 1, 2 et 3 qui modélisent la situation de proportionnalité, on a formé le diviseur 6, et on a aussi formé les trois produits 1 × 50, 2 × 50 et 3 × 50 qui sont qualifiés de dividendes. On peut maintenant effectuer les divisions et c’est ce que demande la suite du texte.

尺。

ér

chǐ

comme

diviseur

TOP

{1}

chǐ

on effectue les divisions donnant les résultats en chǐ.

者,

yíng

chǐ

zhě

NEG

excéder

chǐ

NMLZ

Quand le reste est plus petit que 1 chǐ,

分。

mìng

fēn

avec

diviseur

nommer

fraction

on en fait une fraction dont le dénominateur est le diviseura.

a.  C’est-à-dire que l’on considère une fraction dont le dénominateur est le diviseur et dont le numérateur est le reste de la division. Cette formulation avait déjà été rencontrée dans la section 4‑15. Cette instruction aboutit ici aux fractions de chǐ dans les quantités qui reviennent à la cadette et à la benjamine. Cela signifie aussi que l’on ne descend pas à l’unité cùn plus petite que chǐ.

實,

sān

wéi

zhăng

zhě

shí

{3}

faire

aîné

NMLZ

dividende

3 est le dividende de l’aînée,

者,

者。/•56/

èr

wéi

zhōng

zhě

wéi

shào

zhě

{2}

faire

milieu

NMLZ

{1}

faire

jeune

NMLZ

2 est celui de la cadette, 1 est celui de la benjaminea.

a.  Cette précision arrive en fin de section après un rond ● qui signale un ajout par rapport à l’original.

61Le texte demande ce qui revient à chacune des trois tisserandes pour la production d’une longueur de 50 chǐ. Le texte considère que les productions respectives des trois femmes sont liées par la proportion 1 : 2 : 3 et demande de poser ces trois nombres simultanément sur la surface de calcul, chacun est ensuite multiplié par la longueur 50 chǐ de tissu à partager, puis est divisé par 6. Quand nous effectuons ces calculs nous obtenons bien les résultats annoncés :

623 × 50 ÷ 6 = 25 chǐ de tissu pour l’aînée,

632 × 50 ÷ 6 = 16 chǐ et 4/6 de chǐ pour la cadette,

641 × 50 ÷ 6 = 8 chǐ et 2/6 de chǐ pour la benjamine.

65Remarquons d’abord que le texte comporte deux bizarreries. Premièrement, alors qu’il est explicitement dit que l’on considère 50 chǐ de tissu, pourquoi prendre 10 × 5 comme dividende au lieu de recourir directement à 50 ? Deuxièmement, nous ne nous expliquons pas pourquoi les parties fractionnaires 12/18 et 6/18 ne sont pas réduites, ni même comment a pu survenir un dénominateur 18 alors que le diviseur est 6. Ce diviseur 18 serait en revanche apparu si l’on avait opté pour la suite 3, 6 et 9 au lieu de la suite 1, 2 et 3 que le texte demande de poser. Ces anomalies ne sont pas liées à une composition réalisée à plusieurs puisque Karine Chemla et Daniel Morgan (2016) indiquent justement que la présente section a été écrite d’une seule main.

  • 8  Ce problème avait déjà été signalé par Guo Shirong (2001).
  • 9  Xiao Can (2010 b, 12‑13).
  • 10  Ce sont exactement les résultats numériques que Guo Shirong (2001) avait proposés pour cette secti (...)

66Mais surtout le raisonnement qui sous‑tend la résolution est faux si l’on considère que le partage devrait correspondre à la production de chacune des trois tisserandes dans un temps égal. Or la solution du texte implique que l’aînée et la benjamine auraient chacune mis seulement 1/2 journée pour produire leur part respective, alors que la cadette aurait mis 2/3 d’une journée. L’erreur est due au fait qu’il faudrait en réalité considérer la proportion 1 : 1/2 : 1/3 qui lie les productions en une journée des tisserandes (autrement dit leurs vitesses de production)8. D’ailleurs Nombres [Shù 數]9 comporte une section qui commence par la même phrase qu’ici et pose la même question. La résolution qui n’est pas précisée aboutit aux résultats suivants10 :

6727 chǐ et 3/11 de chǐ, le résultat de 50 × 1 × 6/11, pour l’aînée ;
13 chǐ et 7/11 de chǐ, soit 50 × 1/2 × 6/11, pour la cadette ;
9 chǐ et 1/11 de chǐ, soit 50 × 1/3 × 6/11, pour la benjamine.
(6/11 est l’inverse de la somme 1 + 1/2 + 1/3.)

  • 11  Voir Zou Dahai (2010) qui analyse deux des dix lamelles dont Shuihudi M77 donne une photographie.

68Nous retrouverons la même problématique mathématique dans les sections 4‑49 et 4‑50. Nous venons de voir qu’elle est également présente dans Nombres [Shù 數], elle l’est aussi dans les Procédures de calcul [Suàn shù 算術]11, et dans le chapitre vi des Neuf Chapitres.

4‑22. Flèches empennées

/57•/

yǔ

shǐ

plume

flèche

Flèches empennéesa

a.  Dans le titre de cette section, yǔ 羽 joue le rôle syntaxique d’un nom qui détermine le nom shǐ 矢 placé après. Finalement le groupe nominal yǔ shǐ désigne des flèches qui ont été empennées, d’où notre titre. On peut se reporter à la note concernant le titre de la section 4‑50 qui est identique en chinois mais que l’on décide de traduire autrement.

錢。

yǔ

èr

hóu

wǔ

qián

plume

{2}

hóua

{5}

qián

2 plumes valent 5 qián.

a.  Le terme hóu 翭 est un classificateur inséré dans la construction « nom + numéral + CLF », il est utilisé pour compter les plumes.

五十七分

四十七[sic]a

jīn

yǒu

wǔ shí qī fēn

hóu

sì shí qī

actuel

avoir

{5}{10}{7}fēn

hóu

{4}{10}{7}

Considérons 47/57 [recte : 37/57] de plumes,

a.  Sur la lamelle de bambou on voit la ligature 卌 qui dénote 40 alors que la suite du texte implique que cela devrait être 卅 qui signifie 30.

幾何。

曰:

wèn

jǐ

yuē

demander

obtenir

combien

dire

on demande combien cela fait. La réponse est :

百一十四分

七十一。

qián

bǎi yī shí sì fēn

qián

qī shí yī

obtenir

{1}

qián

{102}{1}{10}{4}fēn

qián

{7}{10}{1}

Cela fait 1 qián et 71/114 de qián.

曰:

shù

yuē

procédure

dire

On procède comme suit :

五十七

法,

èr

chéng

wǔ shí qī

wéi

{2}

multiplier

{5}{10}{7}

faire

diviseur

2 multiplie 57 donnant le diviseur,

三十七

實,

chéng

sān shí qī

wéi

shí

avec

{5}

multiplier

{3}{10}{7}

faire

dividende

on multiplie 37 par 5 ce qui donne le dividende,

實/•57//58•/

錢。

shí

qián

dividende

comme

diviseur

{1}

qián

on effectue la division qui donne le résultat en qián.

盈,

yíng

NEG

excéder

Si le reste est trop petit,

分。/•58/

mìng

fēn

avec

diviseur

nommer

fraction

on en fait une fraction dont le dénominateur est le diviseur.

69Le texte de cette section montre une situation de proportionnalité dans laquelle on applique la règle de trois pour trouver la valeur en qián de 37/57 d’une plume connaissant le prix 5 qián pour 2 plumes :

37/57 plume -------------

?

2 plumes -----------------

qián

70On calcule finalement (5 × 37) ÷ (2 × 57) qián qui donne bien le résultat annoncé par le texte. Cela dit, si le texte de cette section avait un sens pratique, on ne comprend pas ce qu’il pourrait être.

4‑23. Coût de la laque

/59•/

qián

laque

qián

Coût de la laque

三十五

錢。

dǒu

sān shí wǔ

qián

laque

dǒu

{3}{10}{5}

qián

La laque vaut 35 qián le dǒu.

四十分

五,

jīn

yǒu

sì shí fēn

dǒu

actuel

avoir

{4}{10}fēn

dǒu

{5}

Considérons 5/40 de dǒu,

幾何

錢。

曰:

wèn

jǐhé

qián

yuē

demander

obtenir

combien

qián

dire

on demande combien cela fait de qián. La réponse est :

八分

三。

qián

bā fēn

qián

sān

obtenir

{4}

qián

{8}fēn

qián

{3}

Cela fait 4 qián et 3/8 de qián.

曰:

四十

法,

shù

yuē

sì shí

wéi

procédure

dire

avec

{4}{10}

faire

diviseur

On procède comme suit :

40 est le diviseur,

三十五

實,

chéng

sān shí wǔ

wéi

shí

avec

{5}

multiplier

{3}{10}{5}

faire

dividende

on multiplie 35 par 5 donnant le dividende,

法/59•//60•/

錢。/•60/

shí

qián

dividende

comme

diviseur

obtenir

{1}

qián

on effectue la division qui donne le résultat en qián.

71Le texte de cette section montre une situation de proportionnalité où l’on applique la règle de trois pour trouver la valeur en qián des 5/40 de dǒu de laque connaissant le prix 35 qián pour 1 dǒ:

5/40 dǒu ----------------

?

dǒu --------------------

35 qián

72On calcule donc (5 × 35) ÷ (1 × 40) qián qui donne bien le résultat annoncé par le texte.

4‑24. Coupon de soie

/61•/

zēng

soie

coupon

Coupon de soie

二十二

寸。

zēng

guǎng

èr shí èr

cùn

soie

coupon

largeur

{2}{10}{2}

cùn

La largeur d’un coupon de soie est 22 cùn.

寸,

二十三

錢。

mào

shí

cùn

jià

èr shí sān

qián

longueur

{10}

cùn

prix

{2}{10}{3}

qián

Pour une longueur de 10 cùn, le prix s’élève à 23 qián.

縱利

jīn

mǎi

zònglì

actuel

souhaiter

acheter

ruban zongli

Considérons que l’on souhaite acheter un ruban zongli

寸、

六十

寸。

guǎng

sān

cùn

mào

liù shí

cùn

wèn

largeur

{3}

cùn

longueur

{6}{10}

cùn

demander

de 3 cùn de large et de 60 cùn de long.

On demande

幾何。

cùn

jià

qián

jǐhé

aire

cùn

et

prix

qián

chacun

combien

les valeurs respectives des cùn de l’airea et du prix en qián.

a.  La suite permet de comprendre que la brève formulation « jī cùn 積寸 » désigne la longueur en cùn d’une pièce découpée dans un coupon standard de largeur 22 cùn et dont l’aire est la même que celle du ruban zongli acquis.

曰:

十一/•61//62•/分

二,

yuē

cùn

shí yī fēn

cùn

èr

dire

{8}

cùn

{10}{1}fēn

cùn

{2}

La réponse est : 8 cùn et 2/11 de cùn,

十八

十一分

九.

jià

shí bā

qián

shí yī fēn

qián

jiǔ

prix

{10}{8}

qián

{10}{1}

qián

{9}

le prix s’élève à 18 qián et 9/11 de qián.

曰:

shù

yuē

procédure

dire

On procède comme suit :

二十二

法,

èr shí èr

cùn

wéi

avec

{2}{10}{2}

cùn

faire

diviseur

De 22 cùn on fait le diviseur,

實,

guǎng

zòng

xiāng

chéng

wéi

shí

avec

largeur

longueur

l’un l’autre

multiplier

faire

dividende

la largeur et la longueur se multiplient entre elles donnant le dividende,

寸。

shí

cùn

dividende

comme

diviseur

obtenir

{1}

cùn

on effectue la division pour obtenir les cùna.

a.  On calcule donc le dividende 3 × 60 = 180 cùn2 qui est l’aire du ruban zongli acheté, puis on divise par la largeur 22 cùn d’un coupon de soie standard, on obtient le résultat annoncé 8 cùn + 2/11 de cùn qui est donc la longueur en cùn qu’aurait un morceau de soie de 180 cùn2 découpé dans un coupon standard.

法,

chǐ

cùn

shù

wéi

de même

avec

{1}

chǐ

cùn

nombre

faire

diviseur

De même le nombre de cùn de 1 chǐ donne le diviseura,

a.  Le nombre de cùn de 1 chǐ est 10 puisque 1 chǐ = 10 cùn.

以/•62//63•/

suǒ

cùn

shù

chéng

avec

ce que

obtenir

cùn

nombre

multiplier

on multiplie par le nombre de cùn [carrés] obtenu

實,

chǐ

jià

qián

shù

wéi

shí

{1}

chǐ

prix

qián

nombre

faire

dividende

le prix de 1 chǐ donnant le dividendea,

a.  Le nombre de cùn obtenu précédemment est 8 cùn + 2/11 de cùn que l’on multiplie par le prix 23 qián de 1 chǐ du coupon standard, le produit donnant le dividende.

錢。/•63/

shí

qián

dividende

comme

diviseur

obtenir

{1}

qián

on divise pour obtenir le résultat en qiána.

a.  Le produit de 8 + 2/11 par 23 divisé par 10 donne bien le résultat annoncé 18 qián + 9/11 de qián.

73Il serait possible de calculer le prix du ruban zongli acheté avec une règle de trois à partir de son aire 3 × 60 = 180 cùn2 et du prix annoncé de 23 qián pour une longueur de 10 cùn découpée dans un coupon de soie standard (soit une aire de 22 × 10 = 220 cùn2) :

180 cùn2 ----------------

?

220 cùn2 ----------------

23 qián

74On effectuerait donc (180 × 23) ÷ 220 qui tombe bien sur le résultat annoncé 18 qián + 9/11 de qián.

75Mais la procédure du texte propose de passer par le calcul de la longueur d’une pièce de 180 cùn2 (l’aire du ruban acheté) qui serait découpée dans le coupon standard. On doit donc effectuer la division 180 cùn2 ÷ 22 cùn qui donne la longueur annoncée 8 cùn + 2/11 de cùn. Ensuite on applique une règle de trois avec le prix 23 qián pour 1 chǐ = 10 cùn de longueur du coupon standard :

2/11 cùn ---------------

?

10 cùn ---------------------

23 qián

76On calcule donc (8 2/11) × 23 ÷ 10 qián qui est bien égal au résultat annoncé 18 qián + 9/11 de qián.

Figure 4‑2. Ruban découpé dans un coupon de soie.

4‑25. L’argent des intérêts

/64•/

qián

intérêts

qián

L’argent des intérêts

百,

三。

dài

qián

bǎi

yuè

sān

emprunter

qián

{102}

intérêts

mois

{3}

Les intérêts mensuels d’un emprunt de 100 qián s’élèvent à 3 [qián].

六十

錢,

jīn

dài

liù shí

qián

actuel

emprunter

{6}{10}

qián

Considérons que l’on emprunte 60 qián,

十六

歸。

yuè

yíng

shí liù

guī

mois

fin

excéder

{10}{6}

jour

retourner

et rembourse au bout de 16 jours sans attendre la fin du mois.

幾何?

jǐhé

inscrire

intérêts

combien

Combien d’intérêts se voit-on compter ?

曰:

二十五分

二十四。

yuē

èr shí wǔ fēn

qián

èr shí sì

obtenir

dire

{2}{10}{5}fēn

qián

{2}{10}{4}

La réponse est : 24/25 de qián.

曰:

shù

yuē

procédure

dire

On procède comme suit :

月,

bǎi

qián

yuè

inscrire

{102}

qián

{1}

mois

Au titre d’un emprunt de 100 qián pour 1 mois,

積/•64//65•/

法,

qián

shù

wéi

multiplier

qián

nombre

pour

faire

diviseur

[le total de jours]a multiplie le montant en qián pour faire le diviseur,

a.  Le contexte laisse comprendre qu’il s’agit de calculer le diviseur qui est le produit de 30 jours par 100 qián, le texte sous-entend aussi la substitution de 1 mois par 30 jours.

zhì

dài

qián

poser

emprunter

qián

on pose le montant emprunté

之,

yuè

bǎi

qián

chéng

zhī

avec

{1}

mois

{102}

qián

intérêts

multiplier

3OBJ

que l’on multiplie par les intérêts mensuels pour 100 qiána,

a.  On calcule le produit 60 qián × 3 qián.

實,

yòu

shù

chéng

zhī

wéi

shí

et

avec

jour

nombre

multiplier

3OBJ

faire

dividende

puis on le multiplie par le nombre de jours ce qui fait le dividendea,

a.  Le dividende est donc le produit 60 qián × 3qián × 16 jours.

錢。/•65/

qián

comme

obtenir

intérêts

{1}

qián

on effectue la division pour obtenir les intérêts en qiána.

a.  On effectue (30 × 100) ÷ (60 × 3 × 16) soit 3 000 ÷ 2 880 qui vérifie le résultat annoncé.

4‑26. Hydratation de la laque

/66•/

yǐn

boire

laque

Hydratation de la laquea

a.  Un test où on fait « boire » de l’eau à la laque jusqu’à saturation.

斗。

dǒu

laque

{1}

dǒu

On considère 1 dǒu de laquea

a.  Ces trois caractères sont suivis d’un espace. Cette disposition nous conduit à considérer « 1 dǒu de laque » comme le thème commun des deux occurrences de yǐ飲 (boire).

a

yǐn

shuǐ

sān

dǒu

ér

boire

eau

{3}

dǒu

TOP

extrême

L’ajout de 3 dǒu d’eau mène au point de saturationb.

a.  Wenwu (2000, 2001) et Peng Hao (2001, 69) transcrivaient pán 盤 (récipient) ici et à la ligne suivante. Mais Peng Hao (dans son corpus numérique, communiqué par e‑mail en août 2010) transcrit jí 極 (extrême) pour les deux occurrences ; Wu Chaoyang (2011, 57‑58) justifie ce changement en revenant aux graphies sur les lamelles. Ōkawa et alii (2006, 104) et ŌkawaTamura (2007) expliquent que ce terme désigne le point de saturation.
b.  C’est l’énoncé de la norme du procédé de saturation dont l’application permettra de déterminer la part d’eau que contient initialement la laque testée. La particule de thématisation ér 而 permet ici d’exprimer une généralité, ou une virtualité.

極。

yǐn

shuǐ

èr

dǒu

shēng

boire

eau

{2}

dǒu

{7}

shēng

alors

extrême

On ajoute dǒu et 7 shēng d’eau et on atteint la saturationa.

a.  Le terme jí 即 (alors) introduit la conséquence actuelle de l’action. C’est l’énoncé de la situation particulière que cette section étudie, la saturation est atteinte avec seulement 27 shēng d’eau au lieu des 30 shēng prévus par la norme.

wèn

demander

On demande

漆、

幾何。

shuǐ

jǐhé

rester

laque

eau

chacun

combien

les volumes qui restent respectivement pour la laque et pour l’eaua.

a.  Le volume de 37 shēng de mélange saturé (10 shēng de laque et 27 shēng d’eau) est placé dans un récipient d’une capacité de 40 shēng. La question est de savoir quels volumes de laque et d’eau on doit respectivement ajouter pour finir de remplir le récipient sans altérer les proportions du mélange.

曰:

三十七分

三十,

yuē

sān shí qī fēn

shēng

sān shí

dire

rester

laque

{3}{10}{7}fēn

shēng

{3}{10}

La réponse est : Il reste 30/37 de shēng pour la laque,

三十七分/•66//67•/

七。

shuǐ

èr

shēng

sān shí qī fēn

shēng

rester

eau

{2}

shēng

{3}{10}{7}fēn

shēng

{7}

2 shēng et 7/37 de shēng pour l’eau.

曰:

shù

yuē

procédure

dire

On procède comme suit :

斗,

èr

dǒu

shēng

zhě

tóng

dǒu

avec

{2}

dǒu

{7}

shēng

NMLZ

assemblera

{1}

dǒu

On met 2 dǒu et 7 shēng en dǒub,

a.  Selon Hao Huifang (2008, 430), le terme tóng 同 signifie ici « assembler ».
b.  Cette formulation suggère de considérer la somme 2 dǒu et 7/10 de dǒu, pourtant la suite laisse entendre que l’on utilise plutôt simplement l’entier 27 shēng.

三十七

法,

sān shí qī

wéi

{3}{10}{7}

TOP

faire

diviseur

37 sert de diviseur,

二十七、

yòu

zhì

èr shí qī

shí

shēng

zhě

et

poser

{2}{10}{7}

{10}

shēng

NMLZ

puis on pose 27 et 10 shēng que l’on

實,

sān

zhī

wéi

shí

chacun

{3}

3OBJ

faire

dividende

triple chacun pour faire les dividendes,

一。/•67/

shí

ér

dividende

comme

diviseur

TOP

{1}

on effectue les divisions.

77Pour la situation considérée, le point de saturation est atteint après avoir ajouté seulement 27 shēng d’eau à 10 shēng de laque alors que la norme prévoit l’ajout de 30 shēng d’eau, il reste ainsi 3 shēng d’eau non absorbée. Sur la surface de calcul, on effectue en parallèle les calculs qui montrent qu’à la place de ces 3 shēng d’eau non absorbée, on pourrait mettre (3 × 10) / 37 = 30/37 shēng de laque et (3 × 27) / 37 = 2 + 7/37 shēng d’eau remplissant un récipient d’une capacité de 40 shēng sans altérer les proportions initiales du mélange.

  • 12  Shuihudi (1978, 122).

78Pourtant, d’après le texte légal Vérifications [Xiào 效] de Shuihudi12, si après l’ajout de 30 shēng d’eau il reste plus de 1 shēng d’eau non absorbé, alors la laque livrée n’est pas déclarée conforme et les responsables sont sanctionnés. Pourtant notre texte ne se préoccupe que de maintenir la proportion présente et pas de chercher comment la modifier pour éviter une sanction.

4‑27. Champ d’impôt

/68•/

稅田

Shuìtián

champ d’impôta

Champ d’impôt

a.  Nous appuyant sur Xiao Can (2010 b, 35‑37), Peng Hao (2010) et Yu Zhenbo (2003), nous considérons que shuìtián 稅田, tout comme yutian 輿田 dans les sections 4‑38 et 4‑39, est un terme administratif qui désigne la qualification fiscale d'une parcelle allouée à un foyer.

稅田

二十四

步,

shuìtián

èr shí sì

champ d’impôt

{2}{10}{4}

Pour un champ d’impôt de 24  [carrés],

斗,

dǒu

{8}

{1}

dǒu

[on applique un taux de] 1 dǒu pour 8  [carrés],

斗。

sān

dǒu

taxe

{3}

dǒu

cela donne une taxe de 3 dǒu.

升,

jīn

quàn

sān

dǒu

shēng

actuel

erreur

bordereau

{3}

dǒu

{1}

shēng

Considérons qu’un relevé erroné stipule en fait 3 dǒu et 1 shēng,

幾何

斗。

wèn

jǐhé

dǒu

demander

combien

{1}

dǒu

on demande combien cela fait de [carrés] par dǒua.

a.  On cherche le taux d’imposition à quoi correspond ce montant de 3 dǒu et 1 shēng (soit 31 shēng) appliqué pour un champ de 24 2, alors que l’application du taux de 1 dǒu pour 8  aurait dû conduire à une taxe de 3 dǒu.

曰:

yuē

obtenir

dire

La réponse est :

三十七[sic]a

二十三

斗。

sān shí qī fēn

èr shí sān

ér

dǒu

{7}

{3}{10}{7}fēn

{2}{10}{3}

TOP

{1}

dǒu

dǒu pour 7  [carrés] et 23/37 [recte : 23/31] de [carré]b.

a.  Le caractère qī 七 {7} ici est une coquille, on devrait avoir yī 一 {1}.
b.  Le texte énonce ici le taux d’imposition 1 dǒu pour 7 23/31 2 correspondant au relevé erroné.

曰:

shù

yuē

procédure

dire

On procède comme suit :

法,/•68/

sān

dǒu

shēng

zhě

wéi

{3}

dǒu

{1}

shēng

NMLZ

faire

diviseur

On prend 3 dǒu et 1 shēng comme diviseura,

a.  En fait, la suite suggère que 3 dǒu + 1 shēng est multiplié par 10 et que l’on utilise donc 30 dǒu + 1 dǒu = 31 dǒu comme diviseur.

/69•/

稅田,

shí

shuìtián

{10}

champ d’impôt

on décuple [l’aire du] champ d’impôta,

a.  C’est-à-dire que le texte demande de prendre 10 × 24 bù = 240  comme dividende.

法,

步。/•69/

lìng

si

comme

diviseur

{1}

si on effectue la division, on obtient le résultat en .

79Cette section énonce le taux d’imposition de 1 dǒu de la production pour une superficie de 8 2 qui devrait s’appliquer pour calculer la taxe due au titre d’un champ d’impôt de 24 2. Le texte ne précise pas qu’on devrait alors s’acquitter de 3 dǒu, mais demande de calculer le taux 1 dǒu pour 7 23/31 2 qui est réellement appliqué dans le cas d’une surévaluation de 1 shēng du montant de la taxe. Il est notable que dans l’expression d’un taux de prélèvement c’est toujours la quantité prélevée 1 dǒu qui est prise comme constante et que c’est celle de la superficie imposée qui est considérée comme variable, cela est à mettre en relation avec l’absence d’unité quotient dans le texte (voir la section 2‑4‑8).

80On peut imaginer une situation de prélèvement d’une taxe en nature et du calcul d’un réajustement lorsque survenait une dispute sur le montant perçu. Alternativement il pourrait être question de déterminer quelle parcelle supplémentaire il faudrait allouer à un cultivateur pour que le montant de l’impôt à percevoir puisse être augmenté de 1 shēng. On peut même envisager comme le fait Ma Biao (2001) qu’il pourrait s’agir de rectifier le bordereau lui‑même pour le mettre en conformité non à la norme mais au montant perçu. Le système Han de distribution et d’imposition des terres agricoles n’est pas assez bien connu pour vraiment comprendre de quoi il retourne et le texte de cette section ne nous éclaire pas plus.

4‑28. Normalisation du bambou

/70•/

chéng

zhú

normera

bambou

Normalisation du bambou

a.  Hao Huifang (2008, 74‑75) donne deux interprétations pour chéng 程 : 1) mesurer, jauger [liángjì 量計] ; 2) norme [guīgé 規格, biāozhǔ標準]. Dans notre corpus, ce terme n’apparaît que dans des réglementations administratives et situations d’imposition. Nous glosons et traduisons « norme » pour les usages nominaux (à l’exception des sections 4‑34 et 4‑37 où chéng signifie l’application d’un impôt), et nous glosons « normer » et traduisons « normalisation de » lorsque chéng fait fonction de verbe suivi d’un complément d’objet.

曰:

chéng

yuē

norme

dire

La norme stipule :

zhú

cùn

zhě

wéi

bambou

grand

{8}

cùn

NMLZ

faire

Un bambou grand de 8 cùn [de diamètre]a produit

a.  Peng Hao (2001, 72) parle de diamètre. Avec l’estimation 1 cùn≃2,3 cm de Hulsewé (1985, 19), 8 à 9 cùn font 18 à 21 cm. C’est justement le diamètre maximal des bambous aujourd’hui cultivées en Chine, et il serait en revanche impossible d’avoir un rayon aussi grand. Sur la lamelle no 153 (section 4‑61), est associé à une circonférence, mais cela ne conviendrait pas ici car trop petit pour découper 183 lamelles.

百八十三.

sān

chǐ

jiǎn

bǎi bā shí sān

jīn

{3}

chǐ

lamelle

{102}{8}{10}{3}

actuel

183 lamelles de 3 chǐ [de long]a.

Considérons

a.  On découpe 183 lamelles d’environ 70 cm de long sur la surface de la tige de bambou.

簡。

jiǔ

cùn

zhú

wéi

jiǎn

avec

{9}

cùn

bambou

faire

lamelle

une fabrication de lamelles avec un bambou de 9 cùn [de diamètre]a.

a.  Est introduite une situation où le diamètre du bambou n’est pas celui de la norme.

幾何?

曰:

jiǎn

dāng

jǐhé

yuē

lamelle

falloir

combien

dire

Combien aura-t-on de lamelles ? La réponse est :

二百五

八分

七。

wéi

èr bǎi wǔ

jiǎn

bā fēn

jiǎn

faire

{2}{102}{5}

lamelle

{8}fēn

lamelle

{7}

On fait 205 lamelles et 7/8 de lamellea.

a.  C’est le résultat que l’on obtient en appliquant une règle de trois : (9 cùn × 183) ÷ 8 cùn.

曰:

法。/•70/

shù

yuē

cùn

wéi

procédure

dire

avec

{8}

cùn

faire

diviseur

On procède comme suit :

On prend 8 comme diviseura.

a.  L’instruction est lacunaire puisqu’elle omet de parler du dividende 9 cùn × 183.

/71•/

曰:

chéng

yuē

cùn

zhú

norme

dire

{8}

cùn

bambou

{1}

CLF

La norme stipule :

Un bambou de 8 cùn [de diamètre]

三百六十六。

wéi

chǐ

cùn

jiǎn

sān bǎi liù shí liù

faire

chǐ

{5}

cùn

lamelle

{3}{102}{6}{10}{6}

produit 366 lamelles de 1 chǐ et 5 cùna.

a.  Il s’agit de la même norme puisque que cela revient à dire que l’on a deux fois plus de lamelles si on les fait deux fois plus courtes.

jīn

actuel

souhaiter

Considérons que l’on souhaite

簡。

zhú

wéi

chǐ

liù

cùn

jiǎn

avec

ce

bambou

faire

chǐ

{6}

cùn

lamelle

produire des lamelles de 1 chǐ et cùn avec ce bambou.

幾何?

曰:

jiǎn

dāng

jǐhé

yuē

lamelle

falloir

combien

dire

Combien aura-t-on de lamelles ? La réponse est :

三百二十[sic]a三、

八分

一.

wéi

sān bǎi èr shí sān

bā fēn

jiǎn

faire

{3}{102}{2}{10}{3}

{8}fēn

lamelle

{1}

On produit 323 [recte : 343] lamelles et 1/8 de lamelleb.

a.  Sur la lamelle, on voit que la ligature 廿 pour 20 est écrite là où on attendrait 卌 pour 40.
b.  C’est le résultat que l’on obtient en appliquant la règle de trois (15 cùn × 366) ÷ 16 cùn.

曰:

shù

yuē

procédure

dire

On procède comme suit :

十六

法。/•71/

shí liù

cùn

wéi

avec

{10}{6}

cùn

faire

diviseur

On prend 16 cùn comme diviseura.

a.  L’instruction est lacunaire puisqu’elle omet de parler du calcul du dividende 15 cùn × 366.

81Le texte introduit une norme relative à la fabrication de lamelles découpées dans une tige de bambou de 8 cùn (environ 20 cm) de diamètre : on compte 183 lamelles longues de 3 chǐ (environ 70 cm) d’après la première formulation de la norme, ou 366 (le double de 183) de longueur 1 chǐ et 5 cùn (la moitié de 3 chǐ) d’après la seconde formulation. Notons que la norme ne mentionne pas la longueur de la tige de bambou utilisée.

82Il s’agit des lamelles sur lesquelles on écrivait à l’encre et que l’on reliait avec des ficelles pour former des livres comme le Livre sur les calculs qui, comme Peng Hao (2001, 2) l’explique, était écrit sur des lamelles de 29 à 30 cm de long et de 6 à 7 mm de large. Cette norme devait instituer une valeur réglementaire pour tous les acteurs de la « filière lamelles de bambou », notamment les travailleurs salariés ou corvéables chargés de la découpe.

  • 13  Il est impossible de produire 183 lamelles sur une seule section de 3 chǐ car les lamelles étaient (...)

83Certains bambous du genre Phyllostachys aujourd’hui cultivés dans le centre de la Chine peuvent atteindre 30 m de haut pour un diamètre de 18 cm. On pourrait trancher une telle tige en quatre sections13 de 3 chǐ sur la surface extérieure de chacune desquelles on découperait environ 45 lamelles pour finalement se conformer à l’exigence administrative de produire un total de 183 lamelles.

84Les lamelles étaient découpées sur la circonférence extérieure des troncs cylindriques. Comme cette circonférence est directement proportionnelle au rayon (circonférence = π × diamètre), alors on peut bien appliquer une règle de trois pour un diamètre qui diffère de celui de la norme. C’est ce que propose le texte quand est considéré un tronc de 9 cùn de diamètre.

85Le second calcul fait varier la longueur des lamelles. On veut ici produire des lamelles de 16 cùn. Si la tige de bambou est assez longue pour être coupées en 8 sections de 16 cùn alors oui on pourrait produire 366 lamelles comme dans la version de la norme énoncée pour des lamelles de 15 cùn. Si la tige ne donne que 7 sections de 16 cùn alors on ne produira qu’environ 366 × 7 ÷ 8 ≃ 320 lamelles. C’est ce que nous comprenons du processus de découpe, mais le texte se contente d’appliquer la règle de trois et exige 323 lamelles et 1/8 d’une lamelle. Ce résultat non entier montre à lui seul qu’il ne faudrait pas envisager le texte comme une recherche d’optimisation de l’utilisation de la matière première ou de la productivité. Le texte énonce une norme administrative qui fait abstraction de plusieurs aspects de la découpe concrète, et il montre comment appliquer cette norme quand on fait varier soit la longueur des lamelles à produire, soit le diamètre de la tige de bambou, seules ces deux variables sont envisagées, pas la longueur de la tige.

4‑29. Médecin

/72•/

médecin

Médecin

曰:

chéng

yuē

norme

dire

La norme stipule :

六十

zhì

bìng

zhě

liù shí

suàn

médecin

soigne

malade

NMLZ

obtenir

{6}{10}

suàn

Un médecin qui soigne ses patients perçoit 60 suàn

… … …

二十

… … …

… … …

èr shí

suàn

… … …

… … …

payer

{2}{10}

suàn

… … …

[… … …] paye 20 suàn [… … …]

… … …

… … …/•72/

… … …

chéng

… … …

… … …

norme

NEG

… … …

[… … …] la norme […] n’est pas [… … …]

/73•/

六十

幾何?

曰:

liù shí

ér

jǐhé

yuē

obtenir

{6}{10}

TOP

payer

combien

dire

Combien paye-t-on quand on reçoit 60 ? La réponse est :

十七

二百六十九分

十一。

shí qī

suàn

èr bǎi liù shí jiǔ fēn

suàn

shí yī

payer

{10}{7}

suàn

{2}{102}{6}{10}{9}fēn

suàn

{10}{1}

On paye 17 suàn et 11/269 de suàn.

曰:

shù

yuē

3POSS

procédure

dire

Pour cela on procède comme suit :

法,

jīn

suàn

wéi

avec

actuel

obtenir

suàn

faire

diviseur

On prend les suàn réellementa perçus comme diviseur,

a.  On pourra se reporter à la section 2‑1‑6 pour cette traduction de jīn 今 ici.

六十

實。/•73/

lìng

liù shí

chéng

suàn

wéi

shí

CAUS

{6}{10}

multiplier

payer

suàn

faire

dividende

on fait que 60 multiplie les suàn payés pour faire le dividende.

  • 14  Jiangling Fenghuangshan 江陵鳳凰山 dans la commune de Jingzhou 荊州, province du Hubei. Qiu Xigui (1974) (...)

86Le mot suàn 算 désigne souvent le montant d’un impôt qui porte sur un individu, son montant exact en qián (pièces) variait d’une campagne d’imposition à une autre ; c’est ce que l’on constate par exemple avec le texte de la lamelle de bois no 5 excavée de la tombe Han no 10 datée d’environ – 141 et située à Fenghuangshan dans l’ancien district de Jiangling de la ville de Jingzhou14. Un suàn désignait aussi une ligature (suànmín 算緡) constituée par des pièces de monnaie enfilées sur une cordelette ou un fil, et on conjecture que que l'impôt éponyme devait être versé sous cette forme matérielle. Dans cette section du Livre sur les calculs, suàn pourrait désigner les honoraires perçus au titre de chaque malade.

87Mais la lamelle no 72 qui porte le début du texte de cette section est noircie au-delà des capacités actuelles de rénovation, le texte visible est donc lacunaire. Dauben (2008, 133) conjecture qu’il s’agit d’une situation où l’on applique la règle de trois pour calculer ce qui serait dû pour des honoraires de 60 suàn, la partie illisible du texte devait mentionner 5 + 183/269 suàn comme somme qui aurait été payée pour des honoraires de 20 suàn ; la règle de trois permettant alors de calculer (5 + 183/269 suàn) × 60 ÷ 20 qui fait bien 17 suàn + 11/269 de suàn. Le montant 5 + 183/269 suàn est obtenu en menant le calcul à l’envers. Cette reconstruction fait sens et elle guide notre traduction de ces bribes de texte.

4‑30. Taux pour un « shí »

/74•/

shí

shí

taux

Taux pour un shía

a.   Le texte propose une méthode pour déterminer le prix de 1 shí de n’importe quel produit, et on voit dans la suite que shí désigne à la fois l’unité de masse et celle de capacité.

曰:

shí

zhī

shù

yuē

shí

taux

DET

procédure

dire

Pour déterminer un taux pour un shí on procède comme suit :

買賣a

法,

suǒ

mǎimài

wéi

avec

ce que

acheter-vendre

faire

diviseur

On prend comme diviseur ce qui a été vendu ou acheté,

a.  C’est ainsi que Wenwu (2001) interprète très raisonnablement le texte sur lamelle no 74 qui écrit en fait un caractère suivi d’un signe de redoublement. Ce caractère est une forme sigillaire de mài 賣 (vendre) qui ressemble fort à măi 買 (acheter) et se distingue mal aussi de gŭ 賈 (acheter).

qián

chéng

shí

shù

avec

obtenir

qián

multiplier

{1}

shí

nombre

on multiplie 1 shí par les qián obtenusa

a.  Le montant payé en qián multiplié par 1 reste inchangé sur la surface de calcul, mais l’unité qu’on lui affecte est devenue shí, c’est une instruction concernant l’affectation des unités. La division par la quantité achetée donnera alors un nombre sans unité. On comprend alors qu’un taux lǜ n’est pas tout à fait conçu comme notre prix par kilogramme ou par litre, la différence n’est pas numérique, elle concerne les unités affectées au nombre.

實,

wéi

shí

pour

faire

dividende

formant le dividende,

之,

xià

yǒu

bàn

zhě

bèi

zhī

3POSS

dessous

avoir

{1/2}

NMLZ

double

3OBJ

si le plus grand dénominateur est 2, alors on double tout,

少半

之,

shǎobàn

zhě

sān

zhī

{1/3}

NMLZ

{3}

3OBJ

si le plus grand dénominateur est 3, alors on multiplie tout par 3a,

a.  On voit une illustration de cette multiplication par 3 dans la section suivante où cela permet de faire disparaître un quotient de dénominateur 3.

斗、

升、

斤、

兩、

者,

yǒu

dǒu

shēng

jīn

liǎng

zhū

zhě

avoir

dǒu

shēng

jīn

liǎng

zhū

NMLZ

s’il y a des dǒu, des shēng, des jīn, des liǎng ou des zhūa,

a.  Le même terme shí peut désigner une unité de capacité et une unité de masse, le texte règle les deux cas en même temps : dǒu et shēng sont des sous-unités de l’unité de capacité shí, et jīn, liǎng et zhū sont des sous-unités de l’unité de masse shí.

皆/•74//75•/

上,

jiē

shàng

de même

tout

casser

3POSS

dessus

on convertit en la même petite unité toutes les unités supérieuresa,

a.  On convertit dans la plus petite unité présente tout ce qui est dans des unités plus grandes.

lìng

xià

cóng

zhī

CAUS

dessous

ajouter

3OBJ

et l’on y ajoute que ce qui était dans l’unité la plus petite

法。

wéi

pour

faire

diviseur

formant le diviseura.

a.  On ajoute la quantité qui était déjà dans l’unité la plus petite, on forme ainsi le diviseur.

此。/•75/

qián

suǒ

chéng

qián

ce que

multiplier

de même

casser

comme

ceci

Ce qui multiplie les qiána se convertit de la même façonb.

a.  On « affecte » l’unité shí au nombre de qián, le texte dit « multiplier ».
b.  L’unité shí affectée aux qián est convertie dans la même sous‑unité que le diviseur.

88La présente section décrit une procédure générale pour calculer un « taux pour un shí » qui est le prix d’une quantité de 1 shí de n’importe quel produit. C’est le quotient :

89montant payé (exprimé en qián) ×1 shí / quantité (exprimée en shí).

90En multipliant le montant payé par 1 shí, la procédure fait en sorte que le prix (ou ce taux) ne soit pas exprimé en qián/shí, mais en qián. Une telle instruction qui demande la « multiplication par 1 » révèle une préoccupation conceptuelle (l’homogénéisation des unités) et ne relève pas du calcul numérique. Cette façon d’opérer révèle une volonté d’éviter les unités quotients qui est omniprésente dans le Livre sur les calculs.

91La procédure stipule d’abord le quotient que l’on considère. Puis, pour éliminer les fractions dans le diviseur et le dividende, on multiplie par le plus petit dénominateur présent. Ensuite, pour la quantité négociée qui est une somme de shí, dǒu, shēng pour les capacités ou de shí, jīn, liǎng, zhū pour les masses, il est demandé de convertir dans la plus petite unité présente. Avant de pouvoir effectuer la division de deux entiers, il faut encore convertir dans la même unité le dividende à qui l’on venait d’affecter l’unité shí.

92La section suivante fournit un exemple d’application.

4‑31. Acquisition de sel

/76•/

yán

acquérir

sel

Acquisition de sel

jīn

yǒu

actuel

avoir

Considérons

少半

升,

yán

shí

dǒu

shēng

shǎobàn

shēng

sel

{1}

shí

{4}

dǒu

{5}

shēng

{1/3}

shēng

shídǒushēng et 1/3 de shēng de sela,

a.  La quantité de sel est mesurée en unités de capacité ; c’est encore le cas dans les textes du iiie siècle excavés à Zoumalou présentés par Hou Xudong (2004).

百五十,

qián

bǎi wǔ shí

marchanta

prendre

qián

{102}{5}{10}

le marchant gagne 150 qián dont

a.  Nous suivons ici l’interprétation de Peng Hao (2001, 74, note 1) : l’occurrence de gǔ 賈 dans le titre de la section a fonction de verbe suivi d’un complément d’objet, mais ici gǔ 賈 signifie un négociant.

之,

shí

zhī

souhaiter

shí

taux

3OBJ

on souhaite déterminer le taux pour 1 shía.

a.  L’expression shí lǜ de la section précédente est ici utilisée comme un verbe.

幾何?

曰:

wéi

qián

jǐhé

yuē

faire

qián

combien

dire

Combien de qián cela fait-il ? La réponse est :

百三

四百三十六分

九十五[sic]a

bǎi sān

qián

sì bǎi sān shí liù fēn

qián

jiǔ shí wǔ

{102}{3}

qián

{4}{102}{3}{10}{6}fēn

qián

{9}{102}{5}

103 qián et 95/436 [recte : 92/436] de qián.

a.  La cohérence des calculs suggère qu’il faudrait avoir èr 二 {2} au lieu de wǔ 五 {5}.

術/•76//77•/

曰:

shù

yuē

procédure

dire

On procède comme suit :

法,

sān

yán

zhī

shù

wéi

{3}

sel

DET

nombre

pour

faire

diviseur

On triple la quantité de sel pour faire le diviseura,

a.  En multipliant par 3, on élimine le dénominateur 3 de « 1/3 de shēng », et on travaille désormais avec 3 shí 12 dǒu 16 shēng de sel, que l’on convertit en 436 shēng de sel, puisque 1 shí = 10 dǒ= 100 shēng.

數,

sān

shí

zhī

shēng

shù

de même

{3}

{1}

shí

DET

shēng

nombre

de même on triple le nombre de shēng de 1 shía,

a.  Comme le stipule la procédure dans la section 4‑30, le nombre de qián est multiplié par 1 shí pour que le dividende soit de l’unité shí comme l’est le diviseur, mais comme ce diviseur est converti en shēng et triplé, alors on opère les mêmes opérations (changement d’unité et multiplication par 3) sur le dividende.

實。/•77/

qián

chéng

zhī

wéi

shí

avec

qián

multiplier

3OBJ

faire

dividende

que l’on multiplie par les qián pour faire le dividendea.

a.  Le dividende est donc 3 × 150 × 100 shēng.

93Cette section applique à une situation d’achat de sel la procédure de calcul d’un « taux pour 1 shí » que la section précédente énonçait de façon générale.

94Le diviseur est le triple de la quantité de sel acheté convertie en shēng (la plus petite unité présente) :

953 × (1 shí + 4 dǒ+ 5 shēng + 1/3 shēng) = 436 shēng.

96La multiplication par 3 permet d’éliminer le dénominateur 3 de la fraction 1/3, une méthode de formatage en nombres entier qui est mentionnée dans la section précédente. Le dividende est le nombre de qián qui est de même multiplié par 3, et qui est multiplié par 100 shēng (la valeur en shēng de 1 shí) pour qu’il soit affecté de la même unité que le diviseur, on effectue finalement la division 45 000 ÷ 436 qui donne le taux (103 + 92/436) qián sans unité quotient.

4‑32. Soie écrue et soie décreusée

/78•/

liàn

soie écrue

soie décreusée

Soie écrue et soie décreusée

絡絲

練,

luò sī

qiú

liàn

avec

soie écrue

requérir

soie décreusée

Pour le change de la soie écrue en soie décreusée,

因而

十二

yīn ér

shí èr

zhī

multiplier par

{10}{2}

3OBJ

on la multiplie par 12

十六

一。/•78/

chú

shí liù

ér

retrancher

{10}{6}

TOP

obtenir

{1}

et divise par 16.

97La soie écrue est filée à partir des cocons des vers à soie. Elle est couverte de séricine que l’on élimine en la faisant bouillir donnant la soie décreusée qui peut recevoir une teinture.

98Le décreusage conduit à une diminution d’environ 1/4 de la masse d’après Maillot et Lambert (1906, 284). Le rapport indiqué par le texte rend compte de cette situation : la fraction 12/16 se simplifiant en 3/4, cela signifie que la masse de la soie décreusée est 3/4 de celle de la soie écrue, autrement dit que 1/4 de la masse initiale a été perdue. Mais la formulation avec qiú 求 (requérir, section 2‑1‑11) est la même qui est employée pour les questions de change entre produits agricoles, par exemple dans les sections 4‑43 à 4‑45, il est donc fort possible que cette section traite d'une norme d’échange plutôt qu’un point technique dans la chaîne de production de la soie.

4‑33. Préparation à base de gras

/79•/

zhī

mélanger

gras

Préparation à base de grasa

a.  Le morphème rú 挐 s’interprète ici comme un verbe (mélanger) dont le complément d’objet est zhī 脂 (gras) ; ailleurs dans le texte, il assumera une fonction nominale (un mélange, une préparation à base d’ingrédients divers). La juxtaposition rú zhī 挐脂 est une construction prédicative que l’on traduit directement « mélanger du gras » ou avec la forme nominale « préparation à base de gras » selon ce qui convient dans la phrase française.

斗,

yǒu

sān

dǒu

wèn

avoir

grain décortiqué

{3}

dǒu

demander

On dispose de 3 dǒu de graina, on demande

a.  Mǐ 米 désigne un grain décortiqué, rien n’indique s’il s’agit de millet ou de riz et nous traduisons simplement par grain.

脂、

幾何,

yòng

zhī

jǐhé

utiliser

gras

grain

chacun

combien

combien on utilise respectivement de gras et de grain

幾何。

曰:

wéi

jǐhé

yuē

faire

mélange

combien

dire

pour produire quelle quantité de la préparation. La réponse est :

斤、

二[sic]a

升,

yòng

zhī

liù

jīn

shuǐ

èr

shēng

bàn

shēng

utiliser

graisse

{6}

jīn

eau

{2}

shēng

{1/2}

shēng

On utilise 6 jīn de gras, 2 [recte : 4] shēng et demi d’eau,

a.  La cohérence des calculs implique qu’il faudrait sì 四 {4} et non èr 二 {2}.

wéi

zhī

faire

mélanger

gras

pour produire la préparation à base de gras en quantité de

十二

十九

五分

一.

shí

jīn

shí èr

liǎng

shí jiǔ

zhū

wǔ fēn

zhū

{10}

jīn

{10}{2}

liǎng

{10}{9}

zhū

{5}fēn

zhū

{1}

10 jīn 12 liǎng 19 zhū et 1/5 de zhūa.

a.  Ici les termes canoniques 15 : 20 : 10 : 36 pour respectivement l’eau, le gras, le grain et la préparation (ils ont énoncés plus loin) ont tous été multipliés par 6 et divisés par 20. Le lecteur qui souhaite vérifier les calculs pourra commencer par convertir 36 jīn en 13 824 zhū, et 10 jīn 12 liǎng 19 zhū et 1/5 de zhū en 4 147 zhū et 1/5 de zhū.

挐,

米/•79//80•/

斗、

wéi

dǒu

faire

mélange

grain

{1}

dǒu

La production de la préparation nécessite 1 dǒu de grain,

升[sic]a

二十

斤,

shuǐ

dǒu

bàn

shēng

zhī

èr shí

jīn

eau

{1}

dǒu

{1/2}

shēng

gras

{2}{10}

jīn

dǒu et 1/2 shēng [recte : dǒu] d’eau, 20 jīn de gras ,

a.  La cohérence des calculs impose d’avoir ici l’unité dǒ斗 à la place de shēng .

三十六

斤。

wéi

zhī

sān shí liù

jīn

faire

mélanger

gras

{3}{10}{6}

jīn

pour produire 36 jīn de préparation à base de grasa.

a.  Le texte énonce ici les termes canoniques de la proportion : 15 : 20 : 10 : 36 respectivement pour l’eau, le gras, le grain et la préparation.

斤,

jīn

yǒu

zhī

jīn

wèn

actuel

avoir

gras

{5}

jīn

demander

Considérons 5 jīn de gras , on demande

米、

幾何。

yòng

shuǐ

wéi

jǐhé

utiliser

grain

eau

faire

mélange

chacun

combien

les quantités respectives de grain et d’eau utilisées et de préparation.

曰:

斗[sic]a

升,

yuē

yòng

èr

dǒu

bàn

shēng

obtenir

dire