2‑1. Les éléments syntaxiques et lexicaux

1La langue du texte est le chinois classique, Alain Peyraube (2016 a) parle aussi de chinois bas archaïque ; les deux appellations sont largement acceptées. C’est la langue chinoise du – vi^e au – ii^e siècle dans laquelle ont été écrits les Analectes de Confucius [Lúnyǔ 論語], la Tradition de Zuo [Zuǒ zhuàn 左傳], le Mencius [Mèngzǐ 孟子], et tous les traités philosophiques des Royaumes combattants (– 475 ~ – 221). C’est la base du wényán 文言 qui fut la langue lettrée jusqu’au début du xx^e siècle.

2Il existe maintes descriptions et maints manuels du chinois classique écrits en chinois comme dans des langues occidentales ; on trouvera dans Maurizio Scarpari (2016) une brève description syntaxique et une liste de références. Le chinois classique se caractérise par une morphologie réduite. Les relations syntaxiques sont marquées par des particules qui assurent diverses fonctions grammaticales. On distingue notamment la nominalisation qui donne une valeur nominale à une proposition, et la thématisation (ou topicalisation) qui marque qu’un terme ou une proposition est le thème du prédicat qui le suit. Nous ne présentons ici que les termes grammaticaux les plus courants dans notre texte avec leurs valeurs dans ce texte. Mais il faut bien comprendre que le chinois classique n’est pas resté figé pendant son histoire. Par exemple il y a de subtiles différences d’usage pour la particule yě 也 entre ce que l’on voit dans les textes excavés et les textes transmis ; on peut sur ce point comparer Robert Gassmann (2016) et Marco Caboara (2016), et se référer à Alain Peyraube (2016 b) sur les processus historiques de grammaticalisation de certains mots. Un autre exemple est donné par Redouane Djamouri (1999) qui, au travers des évolutions du morphème zhī 之, laisse entrevoir une série de changements linguistiques entre le chinois haut archaïque de la dynastie Shang (– xiii^e siècle) et le chinois classique.

2‑1‑1. « Yĭ 以 » : but et moyen

3La particule yĭ 以 intervient un total de 157 fois dans le texte ; ces occurrences se partagent en trois types de constructions :

• la construction « yĭ + nom + verbe » comme dans (3), yĭ introduit le moyen ou l’instrument de l’action qu’implique le verbe ; on la glose « avec » ;
• la structure idiomatique « yĭ + A + wéi + B » qui forme une proposition causative ou putative « faire que A devienne B » ou « considérer A comme B »1, traduite par « on prend A comme B » dans (4) ; on la glose toujours « avec » ;
• la construction « yĭ + verbe » présente dans (5) et (6) : la particule yĭ 以 placée directement devant un verbe indique que ce verbe exprime la finalité de la proposition qui précède ; ici on la glose « pour ».

4L’expression de (6) appartient au jargon mathématique, qui replacée dans le contexte de la section 4‑8 signifie que le nombre 6 est pris comme dénominateur commun. Elle donne à {1} la fonction d’un verbe traduit ici par « unifier », elle ne doit pas être confondue avec la tournure de (4).

2‑1‑2. « Zhī 之 » : pronom, détermination et thème

5Le terme zhī 之 intervient 183 fois dans le texte. Il est 116 ou 117 fois un pronom objet (jamais sujet) de la troisième personne comme dans (7), il est alors glosé 3OBJ. Il marque la détermination nominale comme dans (8) pour 10 ou 11 de ses occurrences, on le glose alors DET2. Il intervient aussi de façon optionnelle dans 54 expressions de fractions comme (9) et (10) où nous avons décidé de ne pas le gloser car nous estimons que ses fonctions grammaticales 3OBJ ou DET y sont neutralisées3.

6Dans une proposition conditionnelle formée avec zhě 者 sur la tige n^o 14, zhī se comprend comme une marque de thématisation et on le glose TOP (pour l’anglais topic).

7Le terme zhī peut finalement être un verbe signifiant « aller à », voire une préposition signifiant « jusqu’à » (une occurrence sur la lamelle n^o 126).

2‑1‑3. « Zhě 者 » : nominalisation

8La particule zhě 者 intervient 62 fois dans le texte. Elle est placée après un terme pour le nominaliser comme dans (11) : on la glose NMLZ.

9Placée en fin de proposition, la particule zhě peut servir à construire une proposition conditionnelle comme dans (12), dans d’autres cas ce sera une proposition exprimant le but (section 4‑4) ; on conserve la glose NMLZ.

2‑1‑4. « Ér 而 » : thématisation et conjonction

10On compte 62 occurrences de la particule ér 而 (sans compter la présence de ér dans les 13 occurrences de la locution yīn ér 因而 qui veut dire « multiplier par », section 2‑3‑2). Elle peut marquer la thématisation de ce qui la précède et elle est alors glosée TOP (pour l’anglais topic) comme dans (13), et aussi dans (34) où elle intervient à la fin d’une proposition conditionnelle. Nous choisissons aussi cette glose pour les usages idiomatiques comme dans (14) où il s’agit d’exprimer un rapport, ainsi que dans les expressions de la division ér yī 而一 et ér chéng yī 而成一 présentées dans la section 2‑3‑4.

11Dans certains contextes, ér peut s’interpréter comme une conjonction, glosée CONJ, qui relie généralement deux propositions comme dans (15), ou plus rarement deux noms comme dans (16).

12La proposition qui précède ér peut indiquer le temps de l’action dans (17), le but dans (18) ou une condition dans (19).

2‑1‑5. « Jĭhé 幾何 » : l’interrogatif « combien »

13Quand il s’agit de demander une valeur numérique on trouve le mot interrogatif jĭhé 幾何 (combien)4 comme dans (18), (19), (20) et (21).

14Dans (23), il est accompagné du verbe wèn 問 (interroger) formant la locution « wèn 問 […] jĭhé 幾何 (on demande combien fait) […] ».

2‑1‑6. « Yě 也 » : attribut et thème

15La particule yě 也 survient 61 fois dans le texte. On la trouve après un prédicat nominal et nous la glosons DECL5 comme dans (22), (23), (24) et pour la deuxième occurrence dans (26). Elle intervient aussi après un thème qu’elle marque, nous la glosons alors TOP6 comme dans (25) et pour la première occurrence dans (26).

16Le segment « cùn ér chéng cùn » dans (22) s’analyse en cùn (le thème de la proposition ou le sujet grammatical du verbe chéng), suivi du morphème grammatical ér qui marque ici que ce qui précède est le sujet du verbe, suivi du verbe chéng, puis d’une deuxième occurrence de cùn qui est le complément d’objet du verbe chéng (et le deuxième facteur de la multiplication). La phrase se termine par « cùn yě » où cùn (le résultat 1 cùn de l’opération énoncé par le premier segment de la phrase) est en position d’attribut, ce que l’on sait parce que la particule finale yě marque qu’il s’agit d’une phrase à prédicat nominal, que le mot cùn qui précède en est l’attribut, et que finalement le bloc « cùn ér chéng cùn » placé avant cet attribut est le sujet de l’attribut.

17Quand yě marque un prédicat, il s’agit d’un prédicat nominal dont la traduction française fera souvent apparaître la copule « être » comme dans (22), (23) et (33). Marco Caboara (2016) estime alors que l’on peut considérer que yě est une copule, c’est‑à‑dire qu’il assimile son rôle à celui du verbe « être » des propositions attributives françaises. Mais Maurizio Scarpari (2016) s’oppose à cette analyse qui fait débat à cause de considérations techniques sur la définition de ce qu’est une copule. Les deux auteurs se rejoignent pourtant puisque finalement aucun des deux ne recoure ni au terme « copule » ni au verbe « être » dans leurs gloses du terme yě.

2‑1‑7. « Jí 即 » : « alors »

18Le terme jí 即 intervient 22 fois, il est généralement une conjonction logique que l’on glose et traduit par « alors ». Il peut occasionnellement, en position adverbiale, contribuer à la construction d’une proposition à prédicat nominal comme dans (23) et (24).

2‑1‑8. « Yì 亦 » : « de même »

19Le terme yì 亦 intervient 16 fois, toujours en position adverbiale (devant le verbe), on le glose par « de même » comme dans (27) où il est placé devant la seconde occurrence de bàn {1/2} qui est ici un verbe dont l’objet est zĭ (numérateur).

2−1−9. « Jīn 今 » : actualisation

20Le terme jīn 今 (actuel) intervient 34 fois dans le texte, il signale le passage du générique et de l’hypothétique, d’une part, au spécifique et à l’actuel, d’autre part.

21Typiquement le terme jīn introduit les données numériques d’une situation particulière qui vient illustrer un énoncé général (une règle générale, la valeur d’un taux ou d’un prix unitaire, etc.), on traduit alors par « considérons » comme dans (28) et (29). Le terme jīn 今 est généralement suivi de yǒu 有 (avoir)7 comme dans (28) ou d’un autre verbe comme dans (29).

22Parfois jīn est utilisé au sein d’une proposition pour annoncer un décalage par rapport à la situation présentée initialement (sections 4‑34, 4‑35, 4‑37), nous traduisons alors par « en réalité » comme dans (30).

2‑1‑10. « Lìng 令 » : causatif et conditionnel

23Le terme lìng 令 intervient 25 fois dans le Livre sur les calculs.
Xu Dan (2006, 124‑129), se référant à des textes transmis et à un corpus excavé8 des Royaumes combattants, montre que le sens premier de lìng 令 est « ordonner » (un supérieur en direction d’un subordonné)9, puis que le terme s’est grammaticalisé pour intervenir dans des constructions causatives et conditionnelles. On ne trouve pas le sens « ordonner » de façon manifeste dans notre corpus, sauf peut‑être dans (31) et (32) où nous avons pourtant préféré interpréter en constructions causatives. Les constructions causatives se trouvent communément dans des instructions de calculs comme dans (70). Des constructions conditionnelles se voient dans (33) et (34).

24Dans les Neuf Chapitres, d’après Karine Chemla & Guo Shuchun (2004, 955‑956), lìng 令 deviendra un terme mathématique signifiant « effectuer [une opération] », mais ce n’est pas encore le cas dans le Livre sur les calculs.

2‑1‑11. « Qiú 求 » : requêtes, causatif et conversions

25Le terme qiú 求 (requérir) intervient 18 fois dans le texte. On en repère trois usages :

• le verbe « requérir » dans la locution « qiú 求 […] » qui veut dire « requérir [la valeur de…] » comme dans (35) et (65) ;
• une marque de causatif10 comme dans (36) ;
• une tournure idiomatique concernant le change entre deux produits comme dans (37) et (38) où nous le glosons « requérir ».

2‑1‑12. « Wéi 為 » : verbe ou copule

26Le terme wéi 為 intervient 266 fois, comme dans les exemples (4), (5), (6), (16), (18), (20), (25), (31), (32), (36), (42), (53), (55), (57), (67) et (70). Il est toujours glosé « faire » et il est traduit par les verbes « faire » ou « donner ».

27Nous avons préféré ne pas gloser ni traduire par le verbe « être » qui pourrait faire passer wéi 為 pour une copule ; on pourra pourtant se reporter à Alain Peyraube et Thekla Wiebusch (1994) qui ont posé la question du degré de grammaticalisation de ce terme et celle de la pertinence de le considérer comme une copule. Dans la section 2‑1‑6, nous avons évoqué la même problématique au sujet de la particule yě 也.

2‑2. Dire les nombres

2‑2‑1. Nommer les entiers

28Dans le Livre sur les calculs, comme dans les autres ouvrages chinois de la même époque, les nombres entiers et les fractions (ce corpus ne fait intervenir ni nombre négatif, ni nombre décimal) sont écrits avec les mots de la langue, il n’y a aucune notation symbolique. Remarquons aussi que les mathématiques de la Chine ancienne ignorent la notion de « zéro » et n’ont pas de terme pour nommer ce que nous considérons aujourd’hui comme le « nombre zéro »11 ; cette situation persistera même quand les nombres négatifs seront utilisés comme dans les Neuf Chapitres.

29Nous avons décrit ailleurs12 la numération linguistique des corpus excavés Qin‑Han. Disons ici simplement que les 13 morphèmes yī {1}, èr {2}, sān {3}, sì {4}, wǔ {5}, liù {6}, qī {7}, bā {8}, jiǔ {9}, shí {10}, bǎi {100}, qiān {1 000} et wàn{10 000}13 se juxtaposent pour exprimer les nombres entiers : on trouve èr shí bā wàn bā qiān qī bǎi wǔ shí soit {2}{10}{10⁴}{8}{10³}{7}{10²}{5}{10} pour 28 750 dans la section 4‑69, le plus grand entier dans le Livre sur les calculs est dix millions qui se dit qiān wàn{1000}{10 000} (section 4‑3), un million se dit bǎi wàn {100}{10 000} (section 4‑3), l’entier 105 se dit bǎi wǔ {100}{5} (section 4‑66)14.

30Les noms des entiers possèdent la capacité syntaxique de pouvoir fonctionner comme des verbes transitifs signifiant que l’on multiplie par la quantité qu’ils expriment. Voici deux exemples de ce trait grammatical :

2‑2‑2. Les usages particuliers du numéral {1}

31Le numéral yī {1} est généralement sous‑entendu devant un nom d’unité de mesure. Par exemple, en marquant par ∅ la place d’un potentiel {1} :

32Il peut cependant être présent, par exemple devant l’unité de longueur chĭ sur les lamelles n^os 1, 62 et 63 (sections 4‑1 et 4‑24), probablement à cause d’une volonté de surprécision.

33Par ailleurs yī {1} intervient régulièrement dans les expressions de la division présentées dans la section 2‑3‑4, et aussi pour introduire un dénominateur commun comme dans (6) et (42).

34Ici le numéral yī a une fonction prédicative qui peut se rendre par le verbe « unifier » qui renvoie au dénominateur commun qui permet d’homogénéiser les fractions.

2‑2‑3. Les fractions propres et les fractions composées

35Les noms d’entiers sont suivis du morphème fēn 分 pour former des noms de fractions unitaires, par exemple {3} fēn pour un tiers. Ce morphème fēn apparaît aussi comme verbe voulant dire « fractionner, partager » comme dans (48) ou comme un nom signifiant « fraction » comme dans (8).

36Le corpus peut exprimer des fractions de n’importe quel entier, pour autant que le numérateur soit inférieur au dénominateur. Autrement dit seules des fractions inférieures à 1 sont mentionnées, on parle de « fractions propres ». Et quand on est en présence d’un dividende supérieur au diviseur, le quotient en question est envisagé comme un calcul à effectuer, pas comme une fraction. Ainsi dans l’exemple suivant issu de la section 4‑40, un taux de 10 pour 9 n’est pas exprimé comme une fraction. Le contexte laisse entendre que 1/3 est déjà représenté sur la surface de calcul. Ensuite, pour en calculer les « 10/9 », le texte propose soit de multiplier son numérateur 1 par 10 et de multiplier le dénominateur 3 par 9, soit de multiplier la fraction par 10 et de la diviser par 9, les deux approches donnant (1 × 10) / (3 × 9) = 10/27.

37Cependant les termes numérateur et dénominateur sont à l’occasion utilisés sans rapport avec les fractions, mais pour désigner des positions sur la surface de calcul comme celles des numérateurs et dénominateurs des fractions, il en est ainsi dans les sections 4‑52 et 4‑68. On peut alors voir surgir des cas où le nombre en position de numérateur est supérieur à celui en position de dénominateur, mais dans ce cas il ne s’agit pas à proprement parler de fractions.

38La façon de dire les fractions propres est régulière ; voici tous les modèles attestés (que l’on retrouve aussi dans les autres corpus des Qin et des Han occidentaux) :

39Dans les modèles ci-dessus, zhī est un morphème qui apparaît dans certaines appellations de fractions15. Un modèle était préféré à un autre en fonction du contexte syntaxique, cependant le choix n’avait rien d’obligatoire et l’usage restait souple16.

40Il existe trois mots spécifiques pour trois fractions particulières, ce sont bàn {1/2}, shăobàn {1/3} et tàibàn {2/3}. Les fractions 1/3 et 2/3 sont aussi parfois exprimées selon le modèle générique qui fait intervenir {3} fēn ; mais ce n’est pas le cas pour 1/2 qui ne s’exprime qu’avec le mot bàn généralement seul, précédé de {1} seulement sur la lamelle n^o 3 (section 4‑1).

41Le mot bàn {1/2} partage avec les noms des entiers la capacité syntaxique de pouvoir fonctionner comme un verbe transitif signifiant que l’on multiplie par 1/2 ; voici un exemple :

42On convient d’appeler « fraction composée » la somme d’un entier et d’une fraction propre, par exemple 16 + 12/18.

43Le corpus ne laisse apparaître aucune fraction supérieure à 1 dans les données ou les résultats. Par conséquent la partie entière d’un quotient est systématiquement séparée de la partie « fraction propre » formant de la sorte une « fraction composée ».

Figure 2‑2. Fraction composée : somme d’un entier et d’une fraction « propre ».

44L’expression de ces sommes est régulière : d’abord est énoncée la partie entière, puis vient la fraction propre, l’entier et la fraction sont parfois reliés à l’aide de la conjonction yòu, s’il y a un nom d’unité il apparaît une première fois après l’entier puis à nouveau dans le nom de la fraction. Par exemple, avec l’unité de longueur chǐ :

45L’expression « yǐ [diviseur] mìng fēn » est utilisée comme dans (46) et (47) pour annoncer que l’on forme une fraction dont le dénominateur est le diviseur cité, nous traduisons par « on fait une fraction dont le dénominateur est le diviseur ». Typiquement, cela survient quand une division produit un reste qui devient le numérateur d’une fraction, alors que le diviseur sert de dénominateur.

46On trouve aussi la construction « yǐ [quantité] mìng POSS shí », par exemple dans (48) tiré de la section 4‑9. Nous traduisons par « affecter au dividende [quantité] comme diviseur ».

47Quand il s’agit de comparer deux ou plusieurs fractions, le texte utilise xià 下 (dessous), généralement suivi de yǒu (avoir), pour signaler le plus grand des dénominateurs, et donc le découpage en parts les plus petites. Xu Dan (2016) indique d’ailleurs que xià 下, outre son rôle locatif « dessous », peut, dans les corpus des Royaumes combattants et de Qin, se voir assigner le sens de « secondaire », « inférieur ». Voici un exemple encore tiré de la section 4‑9 :

48Il conviendra de rapprocher ce fait de langue de la façon de parler des unités plus petites au sein d’une échelle métrologique (section 2‑4‑1).

2‑2‑4. Les rapports, les prix et les taux

49Le texte du Livre sur les calculs tend à exprimer le rapport entre deux types de produits à l’aide de deux nombres entiers placés dans la séquence « Nom₁ + Entier₁ + Nom₂ + Entier₂ » sans recourir à des fractions. C’est le cas dans l’exemple ci‑dessous qui énonce les proportions d’un mélange de 1/3 de millet décortiqué pour 2/3 de millet égrené sans introduire les fractions 1/3 ni 2/3 :

50Dans (51), l’expression d’un prix avec l’unité de masse liǎng et l’unité monétaire qián ne fait pas non plus intervenir de fraction. Remarquons par ailleurs que, comme le texte n’utilise jamais d’unité quotient (voir la section 2‑4‑8), nous évitons de traduire « 315 qián par liǎng » :

51Un taux d’imposition s’exprime également sans fraction dans (52) :

52Pour un taux de valeur d’échange en volume, nous avons l’exemple (53) qui signifie, toujours sans énoncer de fraction, qu’un volume donné de millet décortiqué mǐ vaut les 9/10 de ce volume en millet poli bài :

2‑3. Parler des calculs

2‑3‑1. L’addition

53Le Livre sur les calculs, comme les autres corpus mathématiques des Han, recourt à une taxinomie riche et précise pour parler des quatre opérations et des calculs sur les fractions.

54Pour exprimer l’addition, le corpus recourt aux quatre termes bìng 并 (54), tóng 同 (55), cóng 從 (56) et (57), et jī 積 (58).

55Ce dernier terme jī 積 peut à l’occasion exprimer un produit, qui est peut-être alors envisagé sous l’aspect d’un cumul du nombre d’occurrences voulues de la quantité à multiplier. Il sert dans d’autres contextes à désigner une aire ou un volume. Quitte à paraître anachronique, observons que cette polysémie s’est maintenue en chinois moderne avec par exemple les mots chéngjī 乘積 (produit), miànjī 面積 (aire), tǐjī 體積 (volume), jīlěi 積累 (accumuler, accumulation), jīfēn 積分 (somme de points gagnés ou calcul intégral).

2‑3‑2. La multiplication

56Plusieurs expressions permettent d’exprimer un produit. Le terme le plus productif est chéng 乘. On voit aussi la locution yīn ér 因而 utilisée conjointement au pronom zhī 之. De façon plus rare, il y a jī 積 qui, on vient de le voir, intervient aussi parfois pour parler de l’addition.

57Commençons par chéng 乘 (59) et ses dérivés zì chéng 自乘 (60), xiāng chéng 相乘 (61), hù chéng 互乘 (62), ainsi que xiàn chéng 羡乘 (63) qui a la même signification que hù chéng 互乘.

58La locution zì chéng 自乘 avec zì 自 (soi-même) permet d’exprimer le calcul du carré d’un nombre :

59Le composé xiāng chéng 相乘 avec xiāng 相 (l’un l’autre) permet d’exprimer le produit de nombres comme le fait chéng 乘 seul, mais en symétrisant les rôles des facteurs du produit :

60Pour la locution hù chéng 互乘, nous glosons hù 互 par « en biais », un choix lexical qui doit s’entendre de manière visuelle et en référence au positionnement des données sur la surface de calcul. Voici par exemple l’énoncé suivant extrait de la section 4‑8 qui traite de la réduction au même dénominateur. Il signifie que chacun des numérateurs multiplie les dénominateurs des autres fractions17 :

61Le corpus connaît aussi xiàn chéng 羡乘 qui, selon Peng Hao (2001, 47, note 14), possède le même sens que hù chéng 互乘. Nous glosons xiàn 羡 par « en biais » aussi ce qui est d’ailleurs bien l’un de ses sens recensés par Hao Huifang (2008, 83, 466) ; et à vrai dire, c’est cette glose qui a guidé notre choix pour celle de hù 互. Voici un exemple :

62La locution yīn ér 因而, suivie d’un facteur numérique18, lui-même suivi du pronom zhī 之 qui réfère à une quantité multipliée, exprime également une multiplication :

63Il faut finalement mentionner jī 積 parfois utilisé pour parler d’une multiplication, son sens se laisse comprendre grâce au contexte, alors qu’ailleurs, nous l’avons vu dans la section 2‑3‑1, le même mot peut signifier une addition, une aire ou un volume.

2‑3‑3. La soustraction

64Le corpus indique une soustraction à l’aide de chú 除, par exemple :

65Le même terme apparaît aussi dans certaines locutions qui désignent une division.

2‑3‑4. La division

66Dans le Livre sur les calculs, comme dans tous les textes mathématiques Han accessibles, il existe une différenciation lexicale d’une part entre fēnmŭ 分母 (ou simplement mŭ 母) qui désigne le dénominateur d’une fraction, et fǎ 法 qui est le diviseur, et d’autre part entre fēnzĭ 分子 (ou plus souvent simplement zĭ 子) le numérateur, et shí 實 le dividende. Cette dichotomie du vocabulaire reflète une distinction conceptuelle entre, d’une part, la fraction envisagée comme nombre formé et exprimé avec deux entiers et, d’autre part, le quotient compris comme une division potentiellement exécutable. L’expression la plus courante de la division repose alors directement sur les mots fǎ (diviseur) et shí (dividende). En voici un exemple :

67On rencontre souvent des situations où seuls le dividende et le diviseur sont indiqués, alors que l’instruction de division est sous‑entendue. Dans l’exemple précédent, la troisième et dernière ligne propose explicitement d’effectuer la division du dividende par le diviseur. Cette injonction permet d’introduire une information importante : l’unité du quotient, ici qián.

68Dans l’exemple précédent, on voit la formulation « rú fǎ dé {1} unité de mesure » qui illustre un usage particulier du numéral {1} que l’on pourrait rendre par « unifier selon le diviseur » si l’on tenait à évoquer le champ sémantique de « l’unité ». Mais concrètement cela signifie « effectuer la division (par le diviseur) », et c’est simplement ainsi que nous traduisons.

69On trouve aussi chéng 成 (devenir) à la place de dé 得 (obtenir). La mention du diviseur fǎ peut à l’occasion être suivie du morphème de thématisation ér 而 formant « rú fǎ ér dé {1} (unité de mesure) » ou « rú fǎ ér chéng {1} (unité de mesure) ». L’ensemble de l’instruction dénotant une division peut être précédé du terme lìng 令 formant une construction causative (voir la section 3‑1‑10).

70Le terme chú 除 réfère en premier lieu à la soustraction mais apparaît également dans des instructions de division suggérant une routine de division qui reposerait sur la soustraction du diviseur sur le dividende autant de fois qu’il se peut. Dans (68), on le trouve devant 16 qui est le diviseur puisque 16 est suivi de « ér dé yī ». En revanche dans (69), il est placé devant une quantité qui est forcément le dividende puisqu’elle est suivie de la locution « rú fǎ (diviser par le diviseur) » :

71Karine Chemla (2013) observe que ces expressions de la division avec chú 除, qui se rencontrent dans tous les textes excavés des Qin et des Han orientaux, sont également présentes dans le Gnomon des Zhou, mais plus dans les Neuf Chapitres dont la composition (ou plutôt la dernière réécriture) serait donc plus tardive.

2‑4. Maniement des unités de mesure

2‑4‑1. Les échelles métrologiques et les conversions

72Les échelles métrologiques des systèmes d’unités de mesure sont des suites de coefficients multiplicateurs qui font passer d’une unité à la suivante. Par exemple, l’échelle métrologique des unités de longueur du système métrique est donnée ci-dessous :

Figure 2–3. Unités de longueur du système métrique.

73Ce système est une construction savante qui a vu le jour dans la France du xviii^e siècle. Elle fait volontairement correspondre les sous‑unités à des multiples décimaux ou à des fractions décimales de l’unité principale.

74Au début des Han, des échelles décimales sont utilisées pour les capacités avec 1 shí = 10 dǒu = 100 shēng, pour une partie des unités de longueur avec 1 zhàng = 10 chǐ = 100 cùn (mais 1 lǐ = 180 zhàng et 1 bù = 6 chǐ), et pour une partie des unités d’aire avec 1 qǐng = 100 mǔ (mais 1 mǔ = 240 bù² et 100 lĭ² = 375 qǐng).

75L’échelle des unités de masse n’était aucunement décimale et faisait intervenir les coefficients 4, 30, 16, 24. Les concepteurs des échelles métrologiques non décimales semblent avoir privilégié des coefficients qui facilitent les partages d’une unité dans une unité plus petite quand on travaille avec des fractions et non avec des nombres décimaux, ces derniers ayant été conçus bien plus tard. Par exemple, avec les unités de capacité 1 shí = 10 dǒu, on ne compte que trois fractions exactes : 1/2 shí = 5 dǒu, 1/5 shí = 2 dǒu et 1/10 shí = 1 dǒu. Alors qu’avec les unités de masse 1 liǎng = 24 zhū, on en a six : 1/2 liǎng = 12 zhū, 1/3 liǎng = 8 zhū, 1/4 liǎng = 6 zhū, 1/6 liǎng = 4 zhū, 1/12 liǎng = 2 zhū et 1/24 liǎng = 1 zhū.

76Le terme xià 下 (dessous) est utilisé dans la section 4‑30 pour désigner l’unité de plus basse dénomination, le plus fin découpage ou la plus petite part, tandis que shàng 上 (dessus) désigne une unité supérieure. On reproduit dans (70) le passage qui contient ces termes, mais la compréhension sera plus aisée en se reportant au texte complet de la section qui explique le traitement préalable sur une quantité exprimée par une somme où interviennent les unités shí, dǒu, shēng pour les capacités ou shí, jīn, liǎng, zhū pour les masses. La procédure demande de convertir l’ensemble dans la plus petite unité présente. Est demandé également de transformer dans la même unité le dividende qui avait été affecté de l’unité shí ; le texte recourt aussi au terme pò 破 (casser) qui suggère de décomposer en éléments plus petits.

2‑4‑2. Le temps

77On trouve dans le texte rì 日 pour « jour » et yuè 月 pour « mois », ce sont des mots de la langue courante. La section 4‑51 mentionne de plus les « décades » (10 jours) xún 旬 et certains termes formés à partir des 10 tiges célestes et des 12 branches terrestres, qui servent ici à désigner des jours.

78La longueur d’un mois est de 30 jours dans la section 4‑25. On sait que l’année de 12 mois était complétée par des jours intercalaires ou un mois intercalaire pour coïncider avec l’année solaire qui dure environ 365,25 jours. Et c’est la réforme calendaire impulsée par l’empereur Wu des Han (Hàn Wǔ Dì 漢武帝, règne de – 141 à – 87) postérieure à la rédaction de notre corpus qui introduisit une alternance de mois de 29 ou 30 jours, tout en maintenant le principe des mois intercalaires.

2‑4‑3. Les masses

79Les unités de masse sont zhū 銖, liǎng 兩, jīn 斤, jūn 鈞 et shí 石. Ces unités s’inscrivent dans l’échelle métrologique suivante : 1 shí = 4 jūn, 1 jūn = 30 jīn, 1 jīn = 16 liǎng, 1 liǎng = 24 zhū. La fin de la section 4‑17 consiste d’ailleurs en la liste des rapports de conversion entre la plus petite unité zhū et les quatre autres.

Figure 2‑4. Unités de masse des Han occidentaux.

80Anthony Hulsewé (1985, 19), se fondant sur des données archéologiques, estime que 1 jīn ≃ 250 g. Nous en déduisons : 1 zhū ≃ 0,65 g, 1 liǎng ≃ 15,6 g, 1 jūn ≃7,5 kg et 1 shí ≃ 30 kg.

2‑4‑4. Les longueurs

81Les unités de longueur sont cùn 寸, chǐ 尺, bù 步, zhàng 丈 et lǐ 里. On a la série décimale 1 zhàng = 10 chǐ = 100 cùn. Mais 1 bù = 6 chǐ = 60 cùn, et la plus grande unité de longueur lǐ est définie par 1 lǐ = 180 zhàng.

Figure 2‑5. Unités de longueur des Han occidentaux.

82Anthony Hulsewé (1985, 19) donne 1 chǐ ≃ 23 cm en s’appuyant sur des indices textuels et archéologiques ; nous en déduisons : 1 cùn ≃ 2,3 cm, 1 zhàng ≃ 2,3 m, 1 bù ≃ 1,38 m, et 1 lǐ ≃ 414 m.

83On constate que 1 chǐ est du même ordre de grandeur que 1 pied et que 1 cùn vaut approximativement 1 pouce ce qui conduit certains traducteurs à opter pour ces deux noms d’unités occidentales, mais ne perdons pas de vue que l’on passe d’un pouce à un pied avec un coefficient 12 alors qu’il est de 10 entre cùn et chǐ.

84On trouve de plus l’unité de longueur wéi 圍 qui est la circonférence d’un cercle de diamètre 1 chǐ. Cette unité intervient dans des sections où elle est affectée à des circonférences de cercle et où la constante π est, sans commentaire, prise égale à 3. Autrement dit, dans notre texte, 1 wéi = 3 chǐ.

2‑4‑5. Les aires

85Les unités d’aire sont mǔ 畝 et qǐng 頃, 1 mǔ est défini comme valant 240 bù² par la réglementation Han19, et 1 qǐng = 100 mǔ.

86On voit aussi des unités d’aire qui proviennent des unités de longueur bù et lĭ sans spécification équivalente à notre « carré ».

87Ces unités d’aire valent approximativement : 1 bù²≃ 1,9 m² (c’est l’aire d’un carré de 1,38 m sur 1,38 m puisque 1 bù ≃ 1,38 m). On en déduit que 1 mǔ ≃ 457 m² (c’est l’aire d’un carré d’environ 21,4 m de côté), 1 qǐng ≃ 45 706 m² soit environ 4,6 hectares (aire d’un carré de 214 m de côté approximativement) et 1 lǐ ² ≃ 171 396 m² soit environ 17 hectares ou 0,17 km² (l’aire d’un carré de 414 m de côté approximativement).

Figure 2‑6. Unités d’aire des Han occidentaux.

88La valeur 1 lǐ² = 375 mǔ est donnée dans la section 4‑69 sous la forme du produit 3 × 5 × 5 × 5 lors de l’énoncé d’une procédure de conversion.

2‑4‑6. Les capacités et les volumes

89Les unités de capacité sont shēng 升, dǒu 斗 et shí 石 qui entretiennent des rapports décimaux : 1 shí = 10 dǒu = 100 shēng.

Figure 2‑7. Unités de capacité des Han occidentaux.

90La seule unité de volume que l’on trouve dans le texte20 est chǐ 尺 [au cube], soit approximativement 12 dm³. Cette unité dérive de l’unité de longueur chǐ. Elle est utilisée sans indication équivalente à notre « cube ».

91Le terme cùn intervient une fois (section 4‑57, lamelle n^o 146) dans l’expression « {2} chǐ {7} cùn » qui désigne en fait un volume de 2,7 chĭ³ soit 2 700 cùn³. Ainsi le terme cùn signifie ici un dixième de chǐ³ et non 1 cùn³.

92Anthony Hulsewé (1985, 19) donne 1 shēng ≃ 200 cm³ soit 1/5 l à partir de données archéologiques. Nous en déduisons que 1 dǒu ≃ 2 l et 1 shí ≃20 l.

2‑4‑7. Le cas de « shí 石 »

93Un même terme shí 石 désigne la plus grande unité de capacité (1 shí = 10 dǒu), et renvoie également à la plus grande unité de masse (1 shí = 4 jūn). Le texte de la section 4‑30 (Taux pour un shí [Shí lǜ 石率]) prouve qu’il ne s’agissait pas de deux mots indépendants fortuitement écrits avec un même caractère, mais bel et bien d’un même terme utilisable aussi bien dans la série des unités de capacité que dans celle des unités de masse. Dans le Livre sur les calculs, le contexte élimine à chaque fois tout risque d’ambiguïté ; on notera en particulier la section 4‑36 où les deux sens sont employés conjointement avec la précision « 1 shí qui fait 10 dǒu » pour préciser qu’à un certain point l’on ne parle plus du shí de masse mais du shí volumique.

94L’élimination du terme shí 石 comme plus grande unité de capacité et son remplacement par hú 斛 serait survenue au plus tard en l’an 9 d’après Loewe (1961).

95De nos jours, l’usage comme unité de masse s’est perdu, il existe en revanche une unité de capacité dàn 石 désormais étalonnée à 100 litres. Le Xiàndài hànyǔ guīfàn cídiǎn21 recommande la lecture shí pour l’unité dans les textes anciens et réserve la lecture dàn à l’unité de capacité moderne. Mais, dans les textes mathématiques d’avant la réforme qui introduisit hú 斛, il s’agissait d’un seul et même terme, il convient donc d’adopter toujours la même prononciation et nous transcrivons shí systématiquement. La dichotomie shí/dàn est moderne puisque les anciens dictionnaires Shuō wén jiě zì 說文解字 (ii^e siècle) et Guăng yùn 廣韻 (xi^e siècle) ne mentionnent qu’une seule prononciation. Aujourd’hui, s’agissant de l’unité de mesure dans les textes excavés, certains spécialistes chinois optent pour shí (c’est le cas de Xiao Can), d’autres préfèrent la lecture dàn (c’est le cas de Peng Hao), et aucun n’accorde vraiment d’importance à cette question qui n'est qu'un cas parmi bien d’autres de lecture en chinois moderne d’un mot du chinois ancien dont l’usage ne s’est pas transmis tel quel.

2‑4‑8. L’évitement des unités quotients

96On ne rencontre aucune unité quotient dans le Livre sur les calculs. Par exemple, les taux d’imposition agricoles sont toujours énoncés avec la superficie qui donne 1 dǒu de prélèvement ; par exemple « 1 dǒu pour 3 bù² » dans (52), « 1 dǒu pour 10 bù² » dans (71). Un prix est exprimé également sans unité quotient dans (51).

97Nous sommes habitués à exprimer cela sous la forme 1/10 dǒu/bù², mais ce n’est pas le choix du corpus qui n’envisage aucun quotient d’unité.

98La section 4‑30 présente une procédure générale pour calculer un « taux pour un shí » qui est le prix d’une quantité de 1 shí de n’importe quel produit. Un tel taux est calculé dans la section 4‑31 pour un achat de sel. Un point remarquable est que la procédure fait en sorte que ce prix ne soit pas exprimé en qián/shí, mais en qián. On y parvient grâce à une instruction de calcul qui demande explicitement de multiplier le prix considéré par 1 shí, ce qui ne modifie pas la valeur numérique, mais change l’unité qui lui est affectée.

99On peut voir aussi la section 4‑9 qui concerne un partage en parts égales entre plusieurs personnes et qui recourt à une formulation particulière pour parler de la somme attribuée à une personne là où nous nous exprimerions en qián/personne.

100Cet évitement pourrait expliquer l’expression canonique d’un taux d’imposition en termes de ce que nous convenons d’appeler la « parcelle unitaire » qui est la superficie imposée donnant un impôt de 1 dŏu de la récolte considérée (section 3‑3‑11).