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Il benessere, un percorso multidisciplinare

 | 
Riccardo Bonato
, 
Marianna Nobile

Strutture matematiche per il benessere: il teorema di arrow

Simone Camosso

Résumé

Con il termine benessere, letteralmente “stare bene” o “esistere bene”, denotiamo uno stato personale che caratterizza la qualità della vita della persona. Tale definizione, troppo generica da rendere operativa, verrà sostituita con la nozione di benessere sociale, più familiare in campo economico. Alla nozione di benessere sociale assoceremo poi una funzione (o relazione) detta di benessere sociale e dipendente dalle utilità dei singoli individui. Esistono tantissime tipologie di funzioni di benessere sociale, la prima è stata coniata da A. Bergson nel 1938 e si presentava non unicamente come funzione, ma come funzionale (per intenderci funzione di funzioni) di funzioni di utilità dei singoli individui. E’ chiaro che dal punto di vista filosofico il concetto di benessere sociale è strettamente correlato a quello di scelta, per tale ragione si parlerà anche di funzione di scelta associata tipicamente a problemi di votazione elettorali. Parleremo in seguito delle proprietà caratterizzanti queste funzioni di scelta e benessere sociale, richiamando brevemente alcuni risultati classici della microeconomia e dell’economia politica soffermandoci ad analizzare più in dettaglio il risultato fondamentale di Arrow, che ha influenzato e influenza ancora recentemente la ricerca. Come è noto, il teorema di Arrow, detto anche teorema dell’impossibilità di scelta, afferma che, sotto ipotesi opportune, non può esistere una funzione di scelta sociale come realizzazione di un modello democratico di scelta. Con metodo, utilizzando nozioni di logica comune, analizzeremo la prova del teorema fornita da Amartya Sen ed in seguito, introducendo brevi nozioni di analisi booleana, vedremo la versione quantitativa dello stesso teorema.

Texte intégral

I Teoremi di benessere sociale

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Una funzione di benessere sociale è una funzione Image 1000000000000070000000123C543FED.jpgcon u1,…,u2 le utilità, tale per cui viene soddisfatta la condizione di Pareto, vedi nota2, e la cosiddetta avversione alla disuguaglianza, in nota3. Esempi sono la funzione utilitaristica Image 1000000000000065000000113D9BAE35.jpg, la funzione Rawlsiana Image 10000000000000900000001181A75934.jpg e la funzione di Cobb-Douglas . Ipotizziamo di avere una situazione di scambio molto semplice: Adamo ed Eva che si scambiano beni, ognuno per massimizzare la propria utilità. Tale situazione può essere rappresentata utilizzando la scatola di Edgeworth. Ai due vertici opposti della scatola troviamo Adamo ed Eva mentre dentro abbiamo le curve di indifferenza. Un esempio è illustrato in figura.

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1Questo è un esempio classico di come un problema economico può essere trasformato in un problema analitico geometrico. L’esistenza di un punto di equilibrio nel mercato può essere dedotto matematicamente da teoremi di punto fisso e dal punto di vista grafico, questi punti corrispondono ai punti delle due curve di indifferenza con uguale tangente. Unendo questi punti si ottiene la curva di contratto e si arriva alla formulazione dei primi due teoremi del benessere economico. Il primo teorema di benessere afferma che, in un sistema economico di libero mercato, con concorrenza perfetta e completezza dei mercati, le risorse vengono collocate in maniera pareto efficiente. A questo risultato di efficienza segue poi il secondo teorema del benessere che garantisce l’equità. Esso afferma, infatti, che l’allocazione Pareto ottimale può essere raggiunta da un’economia di libero scambio, a patto di ridistribuire appropriatamente le dotazioni iniziali.

Gli studi empirici di Riker e il paradosso di Condorcet

2Nel 1982 William Riker ricostruì le preferenze dei 172 membri della casa dei rappresentanti su un voto del 1846 riguardante la riserva di Wilmot. L’oggetto della votazione riguardava l’appropriazione di 2.000.000 dollari per facilitare la negoziazione di un insediamento territoriale con il Messico alla fine della guerra, abolendo la schiavitù da tali territori. Le scelte erano tre: la scelta A prevedeva l’appropriazione del denaro senza la clausola sull’abolizione della schiavitù, la scelta B l’appropriazione del denaro con la clausola e la scelta C in cui non si adotta nessuna azione per entrambe le cose. I risultati sono rappresentati nella tabella che segue.

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3Come è possibile osservare, abbiamo che A vince su C (120-41), C vince su B (103-58) e B vince su A (90-71) (per maggiori informazioni si veda D in Bibliografia). Tale situazione paradossale era già stata notata nel diciottesimo secolo dal Marchese Nicolas de Condorcet, che osservò come le preferenze collettive possono essere cicliche. Cerchiamo di tradurre questo in un linguaggio più formale. Indichiamo con x,y,z,… i candidati ad una votazione e definiamo un ordine su tale insieme. Diremo che x > y se e solo se il candidato x sconfigge il candidato y. Ricordiamo che la relazione di ordine gode di tre proprietà: deve essere riflessiva x > x, antisimmetrica: se x > y e y > x allora x = y e transitiva: se x > y e y > z allora x > z. Da queste elementari definizioni il paradosso di Condorcet può essere riformulato dicendo che le preferenze di maggioranza possono essere irrazionali (intransitive) anche quando le preferenze individuali sono razionali (transitive). In pratica si sta utilizzando la proprietà transitiva per esprimere un concetto di razionalità. Intransitività o irrazionalità, nel caso precedente, corrisponde all’avere ciclicità senza un vincitore.

Gli assiomi di Arrow e il Teorema di Arrow

4Prima di enunciare il teorema di Arrow vediamo quali sono gli assiomi postulati da Kenneth Arrow. Li elenchiamo nel seguente modo: U (Non restrizione del dominio), per ogni insieme logicamente possibile di preferenze individuali c’è un ordine sociale ; I (Indipendenza dalle alternative irrilevanti), la classifica sociale di ogni paio {x,y} dipenderà solamente sulle classifiche individuali di x e y; P (Principio di Pareto), se ognuno preferisce x a y allora x è socialmente preferito a y; D (Non dittatorialità), non c’è nessuna persona tale per cui, se questa preferisce x a y, allora x è socialmente preferito a y, senza il parere degli altri. Assumendo la validità di tali assiomi enunciamo il teorema di Arrow nel modo seguente: se ci sono almeno tre distinti stati sociali e un numero finito di individui, allora nessuna funzione di benessere sociale può soddisfare U,I,D e P.

5Prima di fornire una prova introduciamo alcune definizioni che saranno utili in seguito. Diremo che un insieme G di elettori è “localmente decisivo” su un qualche paio di alternative {x,y} se x è socialmente preferito a y. Analogamente diremo che un insieme G di elettori è “globalmente decisivo” se è localmente decisivo per ogni paio di candidati {x,y}. Dimostriamo ora un lemma detto anche lemma di “diffusione”. Esso recita nel seguente modo: se G è localmente decisivo su {x,y} allora G è globalmente decisivo. Infatti sia {a,b} ≠ {x,y} e supponiamo che per G si ha a > x, x > y e y > b e che per gli altri a > x e y > b. Per P, a è socialmente preferito a x e y è socialmente preferito a b. Per la decisività di G si ha che x è socialmente preferito a y. Per transitività a è socialmente preferito a b. Per I il fatto è relativo per le preferenze individuali su {a,b}. Infine solo le preferenze di G sono state specificate quindi G è decisivo per {a,b}. Ora per l’arbitrarietà di {a,b} segue il lemma. Prima di vedere la dimostrazione del teorema di Arrow abbiamo bisogno di un secondo lemma, detto, questa volta, lemma di “contrazione”. Questo lemma afferma che se G è decisivo, allora qualche sottoinsieme proprio è decisivo allo stesso modo di G. Per dimostrarlo sia G dato dall’unione di G1,G2 tale per cui ognuno in G1 preferisce x > y e x > z (gli altri non specificati) e ognuno in G2 preferisce x > y e z >y. Per ipotesi di decisionalità di G si ha che x > y e ci sono due casi. Nel primo z è allo stesso livello di x allora z > y e per la decisionalità di G2 su {z,y} si ha che G2 è globalmente decisivo. Nel secondo z è allo stesso livello di y allora x > z e per la decisionalità di G1 su {z,x} si ha che è globalmente decisivo. Abbiamo tutti gli elementi necessari per la dimostrazione del teorema di Arrow. Infatti, per P applicato su tutti gli elettori abbiamo che tutti gli elettori sono decisivi. Per il lemma di contrazione qualche sottoinsieme proprio di questi elettori è decisivo ma, il lemma di contrazione può essere applicato tante volte fino a quando una persona sola risulta decisiva e questo viola D. Osserviamo, inoltre, come, togliendo l’assioma di non dittatorialità, sia effettivamente possibile trovare una funzione che soddisfi gli altri assiomi che è per l’appunto la funzione dittatoriale (per maggiori informazioni si veda A in Bibliografia).

Formulazione quantitativa del Teorema di Arrow

  • 4 Troviamo un’espansione in serie di Fourier della funzione (...)

Consideriamo ora il caso di una votazione di tre votanti e la funzione Image 10000000000000DB00000012F910CD27.jpg detta funzione maggioranza (dove sign è la funzione segno) e definita su {-1,+1}3 in {–1,0,1} (ricordiamo che in generale è possibile considerare il caso di n votanti). Adesso osserviamo che la funzione precedente può essere scritta come Image 1000000000000120000000268D75E06E.jpg. Quello che si è precedentemente utilizzato è un’espansione di Fourier di una funzione Booleana (funzione con dominio +1 o -1 a valore reale). Data una funzione Image 100000000000006C00000011D02118F7.jpg si definisce l’espansione di Fourier associata ad f la serie Image 10000000000000790000003028823CAF.jpg dove Image 100000000000007F0000002AA7AC60BB.jpg definita da {-1,1}n a valori in {-1,+1} è detta funzione parità che vale 1 se c’è un numero pari di -1 nel vettore x e -1 altrimenti. Vediamo un esempio calcolando l’ espansione di Fourier della funzione Image 10000000000000B100000012D74244E9.jpg. Il trucco è di utilizzare i polinomi multilineari (di Newton) (vedi nota*). Allo stesso modo si ricava l’espressione nel caso 3 dimensionale solo che in questo caso dovremo dividere per 23 =8 anziché 4. Veniamo ora a qualche definizione. Un vettore Image 100000000000007A00000015ED844DDF.jpg è razionale se e solo se le componenti non sono tutte uguali. Data f una funzione booleana come sopra si definisce k-esimo peso di f e la stabilità del rumore come riportato nella nota**, dove Image 100000000000003C0000001172B46756.jpg. Definiamo la funzione Image 10000000000000A4000000149390EA73.jpg che restituisce 1 se e solo se le componenti del vettore x non sono tutti uguali, cioè se e solo se x è razionale. Proviamo ora un fatto importante che ci servirà in seguito (dovuto a Kalai) e che riguarda l’espansione in serie di Fourier della funzione NAE, tutto è riportato in nota3. Vediamo ora in questo nuovo linguaggio come viene riformulato il teorema di Arrow. Definiamo f una funzione dittatoriale e la indichiamo con Image 100000000000004B0000000D80B68157.jpg, una funzione tale che f(1,1,1) = 1 e f(1,-1,-1) = -1. Enunciamo ora il teorema di Arrow: sia f una funzione che produce vettori razionali, se tutti i votanti sono razionali allora Image 100000000000004B0000000D80B68157.jpg.4

* Image 10000000000001DE000000479653F8FF.jpg

ora poiché Image 10000000000000A40000000D141C2606.jpgrimangono solo il primo e l’ultimo termine, ottenendo così Image 10000000000000730000001B86992AD1.jpg

** Si definisce k-esimo peso di f e lo si indica come Wk(f) come Image 100000000000003600000024AF93E808.jpg e la stabilità del rumore come Image 100000000000015300000029126D2C5D.jpg

Dimostrazione del Teorema di Arrow (versione quantitativa)

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La dimostrazione si articola come segue: supponiamo che la speranza di avere un vincitore di Condorcet sia 1, cioè E[NAE(f(x),f(y),f(z))]=1 allora per la nota5 e la nota6, l’uguaglianza si ha se e solo se Image 100000000000004100000011CAEAFC10.jpg cioè se e solo se Image 100000000000002B0000000FB1FF51B4.jpg per qualche Image 10000000000000200000000F5E42E7BB.jpg cioè Image 100000000000004B0000000D80B68157.jpg. Per maggiori dettagli matematici sulla dimostrazione si veda B in Bibliografia.

Conclusioni

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6La versione quantitativa del Teorema di Arrow ci permette inoltre di avere stime quantitative su misure di probabilità riguardo a situazioni di votazioni elettorali. Ad esempio, se si considera una elezione, in cui il numero di votanti cresce tendendo all’infinito, la probabilità che la votazione sia “razionale” è circa 0,192 (o più precisamente vedi nota7). Di recente, oltre ai metodi dell’analisi booleana e ai metodi logici, si stanno sviluppando anche metodi geometrici per dimostrare questi tipi di risultati. E’ il caso, ad esempio, di un recente Teorema di Sen nell’ambito della teoria delle scelte sociali, dove viene analizzata l’impossibilità di un “Libero Paretiano”, ovvero dove viene dimostrato un conflitto tra il concetto di benessere standard e le diverse forme minimali di liberismo. La dimostrazione di tale risultato si fonda essenzialmente nella rappresentazione geometrica delle possibili classifiche su cubi. Ad esempio se si considerano tre alternative A,B,C, e un ordinamento, allora è possibile associare ad ogni tripla di preferenze un vertice del cubo dove nel vertice (0,0,0) e in (1,1,1) vediamo chiaramente il paradosso di Condorcet.

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7Il discorso viene poi generalizzato da Sen al caso di n alternative, utilizzando dei cubi n-dimensionali. Il risultato di impossibilità di Arrow sta al centro della moderna teoria della scelta sociale e nel corso di questi anni sono stati dati molti metodi di prova di questo risultato fondamentale. Citiamo come ultimo caso quello che utilizza un approccio topologico fornito da Baryshnikov del dipartimento di matematica della Osnabrück University, in Germania. L’approccio utilizzato da quest’ultimo è una rivisitazione del risultato ottenuto prima di Chichilnisky, dove però il risultato non era solo di tipo topologico. Al contrario, le funzioni di preferenza utilizzate erano lisce su uno spazio Euclideo e non banalmente lineari. Inoltre, le regole di aggregazione erano assunte continue in qualche topologia. Questa teoria sembra comunque avere più connessioni con la teoria dell’equilibrio, invece che con la classica teoria della scelta sociale. Diamo un’idea del lavoro svolto senza entrare nel dettaglio dell’argomentazione. In questo caso abbiamo come preferenze dei funzionali lineari definiti su un qualche spazio Euclideo di dimensione n aventi lunghezza 1.

Per quanto riguarda la regola di aggregazione, questa si presenta come una mappa f da uno spazio dei profili dato allo spazio delle preferenze che è una sfera con una dimensione in meno dello spazio Euclideo originario. Tale funzione deve essere continua e rispettare l’unanimità binaria, ovvero se una alternativa x è preferita ad una alternativa y da tutti i votanti, allora l’aggregato f(x) è maggiore di f(y). In questo contesto un manipolatore è un votante che da un vettore di preferenze qualsiasi utilizza unicamente la sua presenza per produrre un funzionale che rappresenti l’aggregato finale. Il teorema di Chichilnisky dice che se n> 1 (numero di votanti) allora esiste sempre un manipolatore. La dimostrazione del risultato si articola in due parti e richiede la conoscenza di strumenti matematici di topologia algebrica come il gruppo di omologia e i simplessi simpliciali. Nella prima parte si dimostra che, se il votante l è un manipolatore, allora l’operatore in Omologia (n-1) dimensionale associato ad f mappa l-esimo vettore base di Image 100000000000006C00000012B30EE406.jpg nel generatore Image 100000000000008600000012DBFDAE28.jpg di altrimenti in zero. Mentre la seconda parte è un semplice calcolo che prova che uno e soltanto uno dei vettori della base va nel generatore di Image 100000000000008600000012DBFDAE28.jpg e questo prova il teorema. Siamo arrivati alla fine del nostro percorso e, sperando di non essere stato troppo pedante, spero di avere reso l’idea dell’importanza del concetto di impossibilità che dal punto di vista filosofico interessa non solo i sistemi economici o sociali, ma molti altri campi della conoscenza.

Bibliographie

Arrow J.K., Arrow’s theorem, Edizioni Steven N.Durlauf and Lawrence E. Blume, Palgrave Macmillan, 2008

Baryshnikov Y. M., Unifyng Impossibility Theorems: A Topological Approach, Editore: Advanced in applied Mathematics 14 (Università di Osnabrück), Germania, 1993

De Finetti B., Un matematico e l’economia, Milano, FrancoAngeli, 1969.

Gehrlein W.V., Condorcet’s Paradox, Springer, Vienna, 2006

Li L. e Saari D.G., Social Choice and Welfare, Springer, Berlino, 2008

O’Donnel R., Some Topics in Analysis of Boolean Function, presentazione al 40th ACM STOC Conference , Canada, 2008

Sen A., The Impossibility of a Paretian Liberal, Editore: Journal of Political Economy n°78, Chicago, 1970

Notes

2 Image 100000000000003A00000025CF65EE86.jpg

3 Image 100000000000003700000023C4F716CF.jpg

4 Troviamo un’espansione in serie di Fourier della funzione Image 100000000000008C0000001188F0E454.jpg definita prima. Tale espansione risulta Image 10000000000000AC0000001BAD74CBEF.jpg e si ha Image 10000000000000CA0000001F7DAEC96B.jpg. Infatti, poichè le variabili aleatorie x, y e y, z prese a coppie hanno la stessa distribuzione e per linearità di E si ha Image 10000000000001CD0000001E3CCFC2B2.jpg ma Image 10000000000000990000001ECA3CBFD5.jpg così Image 100000000000007700000019EAD21A01.jpg.

5 Image 100000000000007E000000275858C506.jpg

6 Image 10000000000000D300000024D7B7F084.jpg

7 Image 10000000000000880000001DC46971D1.jpg

Auteur

Dottorando in Matematica Pura e Applicata – Dipartimento di Matematica e Applicazione dell’Università degli studi di Milano-Bicocca

© Ledizioni, 2014

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