Principes généraux de la photogrammétrie

7Les deux maquettes du pont Grubenmann de Schaffhouse ont été mesurées par photogrammétrie (Stylianidis 2020). Cette méthode de lever utilise plusieurs photographies d’un même objet pour reconstituer celui-ci en 3D. Différentes photos sont prises à partir de points de vue multiples. Dans toutes les images obtenues, des points homologues (représentant la même partie de l’objet) sont reconnus et permettent de déterminer l’orientation relative des photos les unes par rapport aux autres, c’est-à-dire reconstituer la position exacte de l’appareil photo par rapport à l’objet représenté. Dans la mesure où les seules observations ont été effectuées sur les images (aucun point de calage n’a été placé sur les maquettes, cf. section Recalage des deux modèles 3D), le résultat des traitements photogrammétriques est un modèle 3D ayant une échelle arbitraire, une position 3D arbitraire et une orientation 3D arbitraire.

8De manière à disposer d’images de l’objet pour l’ensemble des angles de vue possibles, avec la contrainte supplémentaire que chaque point de l’objet apparaisse sur au moins deux clichés, et idéalement plus : un fort recouvrement est souhaité. Les photographies se situent sur plusieurs cercles positionnés à la surface d’une sphère autour de l’objet à modéliser (Fig. 2). On représente l’objet fixe et les positions des prises de vue autour de cet objet, même si ce n’est qu’une des deux manières de procéder : on peut également laisser l’appareil photographique fixe, et faire tourner l’objet progressivement par petits incréments, on parle alors de prises de vue sur table tournante. Enfin, il n’est pas nécessaire que chaque image représente l’ensemble de l’objet : on peut effectuer des photographies de détail. Les correspondances d’une image à l’autre seront effectuées par l’analyse de caractéristiques des images qui ne sont pas dépendantes des échelles. On peut théoriquement mélanger des photos de détail à des photos d’ensemble. Toutefois l’expérience montre qu’une certaine homogénéité est souhaitable pour obtenir des modèles de bonne qualité.

Fig. 2 : Plan d’acquisition sur table tournante. Au centre de cette image se trouve le modèle final calculé pour la maquette de l’ENPC

9Les photos de détails autour d’un petit élément de la maquette doivent former un bloc photogrammétrique autocohérent, c’est-à-dire qu’il doit y avoir suffisamment de recouvrement entre ces photos pour permettre leurs orientations relatives. Quelques-unes de ces photos de détails doivent avoir un fort recouvrement et une orientation proche d’une des photos d’ensemble. Même si théoriquement, les algorithme de détection et d’appariements de points homologues sont multi- échelles, il vaut mieux éviter une différence d’échelle de plus de 1:2 entre deux photos à appareiller (traduit en pourcentage : les photos de détail doivent couvrir au moins 25 % de la surface d’une photo d’ensemble). Enfin, il faut vérifier qu’il a des photos de détails avec des orientations variés qui soient reliés à des photos d’ensemble pour éviter que le bloc de photo de détail ne forme une antenne.

Difficultés de création de modèles 3D

10Les maquettes du pont de Schaffhausen sont des objets qui présentent plusieurs difficultés importantes pour être modélisés en 3D par photogrammétrie :

• Structure très répétitive qui peut conduire à de faux appariements de points homologues ; les maquettes sont quasiment symétriques, si bien que les deux faces sont relativement difficiles à distinguer ;

• Structures très aériennes, dans laquelle les éléments au premier plan créent des masques sur les éléments en arrière-plan. Par exemple, le plancher du pont est systématiquement masqué par des poutres, et certaines poutres centrales sont très difficiles à voir ;

• Structure composée de très petites poutres dont chacune est potentiellement représentée par peu de pixels sur une image ; des tests préliminaires ont montré que la meilleure stratégie de reconstruction de l’objet supposait de le capturer dans son intégralité sur chaque image, ce qui suppose des photographies de grande résolution, et donc un appareil photo adapté. Notons que ce point est spécifique à la maquette de l’ENPC, du fait de sa taille réduite (moins d’un mètre de longueur) ;

• Structure qui crée des ombres portées sur elle-même, et bois relativement réfléchissant ; la question de l’éclairage doit particulièrement être travaillée ;

• Forme générale du pont très allongée, ce qui rend difficile d’obtenir des photos dans lesquelles l’ensemble du pont est net.

11Ce dernier point est particulièrement critique dans le cas de photographies sur table tournante, c’est-à-dire avec appareil photo fixe et objet tournant devant l’objectif. Lorsque les photos sont prises perpendiculaires au pont (photos dont l’axe optique est parallèle au fleuve enjambé par le pont), la distance entre les éléments du pont et l’appareil photo est approximativement uniforme. Cependant, lorsque les photos sont prises parallèles au pont (photos dont l’axe optique est parallèle au pont), les différents éléments du pont sont à des distances différentes les unes des autres, ce qui rend difficile d’obtenir des images nettes partout. Il peut donc sembler utile de retoucher la mise au point. Cependant, selon la conception optique des objectifs, principalement des zooms, des modifications de mise au point peuvent faire varier le cadrage, si bien que différentes mises au point dans une série de clichés nécessiteront des modèles de distorsion légèrement différents (ce phénomène est connu chez les photographes et les vidéastes sous le nom de « focus breathing »).

12Ces différentes spécificités sont communes à d’autres objets, tels que les squelettes d’animaux. Les solutions proposées dans la suite de cet article pourront être utiles pour résoudre ces difficultés dans d’autres cas.

Méthode d’acquisition

13Dans la mesure où les deux maquettes relevées par photogrammétrie étaient différentes et dans des environnements différents, les méthodes employées ont été adaptées au contexte et aux spécificités de chaque maquette photographiée.

14Dans les deux cas, il est nécessaire que chaque élément de la maquette soit capté avec suffisamment de détail, pour être modélisé avec fidélité. La maquette de l’ENPC est suffisamment petite pour être placée sur une table tournante. L’appareil photo utilisé est un appareil moyen format à très grande résolution (100 megapixels, cf. Tableau 1). Notre laboratoire d’acquisition possède un fond blanc, et l’éclairage est assuré par deux flashs de studio avec parapluies disposés latéralement de chaque côté, ce qui permet d’utiliser une ouverture suffisamment réduite pour assurer une profondeur de champ suffisante. La très haute résolution permet de relever l’intégralité des détails en une seule photo d’ensemble de la maquette. Cette vue d’ensemble de la maquette permet d’une part de limiter les fautes d’appariement des points homologues, et d’autre part d’optimiser la profondeur de champ, ce qui est difficile lorsque l’axe optique de l’appareil photo est proche de l’axe général du pont.

15La maquette du Zeughaus de Teufen est une grande pièce qu’il n’est pas possible de déplacer, placée dans un musée dans lequel il est difficile de prendre du recul pour prendre des photos. D’autre part, les contraintes logistiques nous ont contraints à utiliser un appareil bas de gamme : l’appareil photo d’un téléphone (cf. Tableau 1), à la résolution raisonnable de 6 mégapixels, mais au capteur de très petite taille présentant probablement une géométrie moyennement bien contrôlée. La résolution limitée de cet appareil oblige de prendre des photos plus rapprochées de l’objet, ce qui nécessite donc d’augmenter le nombre de photos pour relever tous les détails de la structure. Toutefois, en tournant autour de la maquette, la distance entre le capteur et l’objet est restée raisonnablement constante, assurant des conditions de mise au pont comparables d’un cliché à l’autre, et des détails de taille relativement semblables, facilitant le travail d’appariement des points homologues.

16Le nombre très élevé de photos comparé à ce qui est proposé dans l’état de l’art à la date où est écrit cet article permet de détecter les fautes d’appariement des points homologues et de reconstituer finement l’ensemble des détails de la structure. Plutôt que de raisonner en nombre de photos, il est plus pertinent de raisonner en nombre de pixels utiles et pertinents. La maquette de l’ENPC utilise un nombre de photos modeste (moins de 300), mais cela représente environ 29 306 mégapixels. La maquette remplit moins de 20 % des photos, le reste étant l’environnement. A contrario, la maquette du Zeughaus de Teufen est décrite par 5 274 mégapixels dont environ 80 % sont couverts par la maquette, par ailleurs de nettement plus grandes dimensions. Ainsi, le niveau de détail sera-t-il relativement comparable pour les deux modèles.

17Les photos ont été prises avec une ouverture du diaphragme faible, ce qui permet d’augmenter la profondeur de champ (une ouverture trop faible cependant pose des problèmes de diffraction). L’état de l’art en matière de relevé photogrammétrique préconise de garder une mise au point inchangée tout au long de l’acquisition, de manière à éviter d’éventuelles variations d’orientation interne. Des expériences préliminaires nous ont montré que de bonnes photos nettes acquises en retouchant légèrement la mise au point lorsque cela était nécessaire permettaient d’obtenir de meilleurs résultats que des photos légèrement floues, mais respectant les règles de l’état de l’art. Nous avons donc fait l’hypothèse que les variations de focus étaient faibles, et que nous pouvions utiliser le même modèle d’orientation interne pour tous les clichés pris lors d’un même point de vue, malgré les changements de mise au point.

18La faible ouverture du diaphragme nécessite un bon éclairage de l’objet photographié ainsi qu’une sensibilité (ISO) élevée et un long temps de pose. Un éclairage artificiel de lumière blanche a permis de limiter l’impact des ombres portées. Dans le cas de la maquette de l’ENPC, un fond blanc a été placé derrière la maquette. L’utilisation d’une charte a permis de calibrer la balance des blancs adaptée à nos conditions d’éclairage. Les photos n’ont pas subi de retraitement après le dématriçage, même si les boîtiers photo modernes appliquent probablement des corrections géométriques aux images brutes de capteur (fichiers dits RAW) impossibles à désactiver.

Méthode de traitement pour la création du modèle 3D

19La technique classique de reconstruction 3D par photogrammétrie repose sur les cinq étapes suivantes 1, 2, 3, 4, 5.

1. Alignement des images, c’est-à-dire la détermination de l’Orientation Externe des images (position et orientation) conjointement avec l’Orientation Interne (relation entre les angles d’un rayon lumineux qui entre dans l’appareil et l’image résultante). Cette première étape se base sur des points homologues qui sont déterminés en 3D et créent un premier nuage de points homologues. Les points homologues sont situés à des endroits de l’objet présentant des caractéristiques nettes dans les images (bords, angles). Leur identification dans les images est généralement effectuée par l’algorithme SIFT (Scale Invariant Feature Transform) : il est donc indispensable pour cela que l’image présente des angles ou des bords. Le travail d’éclairage avec les flashs a été effectué de manière à obtenir des images contrastées présentant ces caractéristiques, tout en évitant des ombres portées trop prononcées, des zones surexposées (réflexions) ou sous-exposées. Ajoutons qu’à cette étape, la plupart des photogrammètres suggèrent de nettoyer le nuage des points homologues en supprimant ceux qui sont de moins bonne qualité du fait d’incertitudes de calcul, d’intersections en sifflet ou de problèmes de projection (Over et al., 2021). Ces techniques sont pertinentes pour de la photogrammétrie aérienne, où les rayons perspectifs sont relativement semblables, mais pas pour notre configuration. Divers essais ont montré que le nettoyage du nuage de points homologues ne permettait pas d’obtenir de meilleurs modèles, au contraire.

2. Corrélation entre les images de manière à créer des cartes de profondeur (Fig. 3) : pour chaque pixel de l’image, distance entre l’appareil photo et le point mesuré par ce pixel à la surface de l’objet. Notons que souvent on calcule plutôt une distance pour groupe de 4 pixels, ou une pour groupe de 16 pixels, ou une pour groupe de 64 pixels : pour la maquette de l’ENPC, il a été nécessaire d’effectuer ce calcul pixel par pixel, car on était aux limites de la résolution des images ; pour la maquette du Zeughaus de Teufen, le calcul a été effectué par groupes de 4 pixels de manière à obtenir des résultats plus robustes, du fait de la moins bonne géométrie du capteur de l’appareil photo du smartphone, et du fait que les photos sont des photos de détail.

3. Création d’un nuage de point dense (Fig. 4) : les distances des cartes de profondeurs permettent de reconstituer les points projetés dans les images.

4. Création d’un maillage 3D en reliant les points entre eux (Fig. 5).

5. Texturation de ce maillage : reprojection des images sur les facettes du maillage.

20Cependant, lorsqu’un objet est visible au premier plan sur une image, et qu’il y a un arrière-plan, la limite de l’objet sur l’image crée des artefacts dans la carte de profondeur qui conduit à des effets de bord (aussi appelés voiles de mariés : ensemble de points faux derrière une arête vive d’un objet). Les maquettes du pont de Schaffhouse étant composée de très nombreuses petites poutres, cela génère de très nombreux points faux.

21Ainsi, nous avons utilisé la méthode proposée dans (Poliarnyi 2021) qui permet d’éviter ces problèmes d’effets de bords. Les deux premières étapes 1, 2 (ainsi que la texturation 5) restent similaires, les deux suivantes 3bis et 4bis sont basés sur un paradigme fondamentalement différent, mais aboutissent à un maillage final plus fidèle à la réalité.

1. = 3bis    Création d’une carte 3D des pleins et des vides. Chaque distance de la carte de profondeur indique qu’il y a du vide entre l’appareil photo et l’objet qui a arrêté le rayon lumineux (situé à la distance calculée), puis du plein (sur une épaisseur indéterminée). Toutes les distances des cartes de profondeur permettent de générer une carte des vides (dans lesquels les rayons lumineux peuvent passer) et de pleins (dans lesquels les rayons lumineux sont arrêtés) sous forme de voxels.

2. = 4bis    Le maillage 3D est calculé comme la limite entre les pleins et les vides de cette carte 3D (Fig. 6).

22Cette nouvelle chaîne de traitement 1, 2, 3bis, 4bis, 5 nous permet de mieux déterminer la position 3D des poutres des maquettes, comme le révèle la comparaison des figures 5 et 6.

Fig. 3 : Carte de Profondeur calculée sur une image. Orange : proche, Bleu : loin

Fig. 4 : Nuage de points dense

Fig. 5 : Maillage obtenu à partir du nuage de point dense

Fig. 6 : Maillage obtenu à partir des cartes de profondeur

23Les modèles 3D obtenus, qui présentent un très grand nombre de faces, sont ensuite simplifiés, éventuellement recalculés avec une topologie plus adaptée, et texturés : chaque facette du modèle (triangle) se voit attribuer des extraits des photos initiales, de manière à obtenir un rendu photoréaliste. Techniquement, les modèles 3D peuvent également contenir des informations sur l’orientation des faces (les normales). Cette information est utilisée par les logiciels de visualisation de modèles 3D pour calculer un éclairage réaliste. Il est utile de calculer ces normales sur le maillage le plus détaillé, et de les transférer sur le maillage simplifié, pour améliorer le rendu visuel. Enfin, il est utile d’ajouter sur le même principe une carte d’occlusions, qui contient les informations sur les ombres portées par un rétroéclairage de l’objet. Ajoutons sur le plan technique que l’établissement d’une correspondance entre la 3D du modèle et les textures, normales et occlusions qui sont des images 2D, appelée cartographie UV, est une étape cruciale pour un résultat de qualité.

24La stratégie adoptée dans ce projet a consisté à créer des modèles avec un nombre de faces relativement restreint, autour de 300 000, mais des textures de très grande dimension (photos, normales et occlusions), ce qui est rendu possible par le nombre de photos utilisé.

Recalage des deux modèles 3D

25À l’issue des étapes précédentes, nous avons deux modèles 3D de deux maquettes du même pont. Ces deux maquettes ont des échelles différentes et ont été manufacturées à des époques différentes avec des styles différents. Nous ne savons pas par ailleurs si ces maquettes ont été réalisées à partir de plans ou in situ, et quel est leur degré de fidélité à l’ouvrage détruit depuis longtemps.

26Notre but a été d’aligner ces deux modèles 3D de manière à les comparer. Le premier réflexe de photogrammètre consiste à déterminer des points de calages permettant de déterminer une transformation à sept paramètres (un facteur d’échelle, trois translations et trois rotations). En théorie, trois points de calages en 3D suffisent pour déterminer cette transformation, mais plus de points de calages permettent d’augmenter la redondance, et donc de mieux détecter et localiser les fautes, et mieux répartir les erreurs.

27Cependant, cette méthode n’est pas adaptée à notre problème. En effet, notre pont étant un objet quasi linéaire, les points de calages sont nécessairement très proches de la droite moyenne passant par l’axe principal du pont, et donc la rotation autour de cet axe n’est pas bien définie. D’autre part, utiliser cette méthode ne permet pas de tirer parti du fait que le socle de la maquette est horizontal.

28Nous proposons donc une approche dite 2.5D (qui sépare les deux dimensions planimétriques et la dimension verticale) plus pragmatique et plus en phase avec le domaine de la construction. Elle consiste à séparer la détermination des sept paramètres de la transformation en plusieurs étapes.

1. Verticalisation des deux maquettes, de manière à les rendre perpendiculaires au plan de leurs socles. Pour cela, le plan moyen des points (théoriquement coplanaires) mesurés sur le socle a été ajusté par moindres carrés. La distance des points mesurés au plan théorique montre une erreur de planéité de l’ordre de 1/1 000 de l’étendue du socle. La normale à ce plan constitue la verticale et permet ainsi de déterminer deux angles de rotations.

2. Des points de calages permettent de déterminer les 4 paramètres d’une transformation en 2D : le facteur d’échelle, la translation XY et la rotation suivant l’axe Z. Ces points correspondent aux coins des poutres verticales. Ainsi, ces points sont mal définis en altimétrie Z, mais très bien définis en planimétrie XY.

3. Enfin, des points choisis sur le tablier du pont, et sur la faîtière du toit permettent de déterminer le dernier paramètre : la différence d’altitude entre les deux modèles 3D. Une translation suivante l’axe Z permet de terminer l’alignement de ces deux modèles.

29Les deux maquettes du pont de Schaffhouse que nous avons modélisé en 3D représentent les deux volées du pont, s’appuyant sur une pile commune au milieu du fleuve. L’angle entre ces deux volées droites du pont n’est pas le même entre les deux maquettes. Sur la maquette de l’ENPC, cet angle de 177.5° est quasiment plat. La maquette du Zeughaus de Teufen (très certainement plus conforme à la réalité quand on se réfère aux plans d’époque) présente un angle de 173.2°. Ainsi, il serait imprécis de recaler ces deux modèles de manière globale. Nous avons préféré recaler séparément la première volée, puis la seconde volée. L’étape 2 présentée ci-dessus a été répétée pour les deux volées prises séparément.

Fig. 7 : Superposition des deux modèles 3D des deux maquettes vues de dessus. Le maillage en couleur représente la maquette de l’ENPC le nuage de point coloré entre vert et rouge représente la maquette du Zeughaus de Teufen. Ce code couleur représente la distance entre la maquette du Zeughaus de Teufen et la maquette de l’ENPC, du vert (distance la plus faible) au rouge (distance la plus grande)

30Une fois les deux modèles superposés l’un à l’autre, il est possible de les comparer. La solution retenue pour comparer deux maillages a été d’échantillonner des points à la surface du maillage représentant la maquette du Zeughaus de Teufen et de calculer la distance la plus courte entre chacun de ces points et le maillage représentant la maquette de l’ENPC. Ces opérations ont été effectuées avec le logiciel libre CloudCompare.

31Le résultat (Fig. 7 et 8) montre un accord général très bon (mis à part l’écart d’angle entre les deux volées relevé précédemment), ce qui est remarquable pour deux maquettes aussi éloignées dans le temps et de dimensions très différentes, mais attendu du fait que c’est le même ouvrage qui est représenté.

Résultats de la comparaison

32La différence la plus notable entre ces deux maquettes est l’absence du clocheton et de l’oriel sur la maquette de l’ENPC (une simple observation rapide des maquettes ou de leurs photos suffisait à remarquer ces différences). Ces détails d’habillement ont soit été cassés et perdus, soit n’ont pas intéressé les maquettistes qui devaient reproduire la structure. Notons que l’habillage du pont (toiture et parois verticales) n’est présent dans aucune des maquettes connues de cet ouvrage. Le pont reliait deux bâtiments, qui n’ont pas été reproduits dans la maquette. La maquette de l’ENPC fait toutefois figurer ces ancrages à travers une représentation de la maçonnerie.

33L’angle entre les deux volées du pont n’est pas le même sur les deux maquettes. Il est suffisamment présent pour qu’on soit certain de son caractère historique. D’après (Mechel, 1803), cet angle est dû à la réutilisation d’une des piles d’un ancien pont en pierre détruit par le courant.

34Un faisceau de poutres (remarquables par quelques points orangés sur la première volée du pont, Fig. 8) est absent sur la maquette de l’ENPC. Cette absence est étrange compte-tenue de l’intérêt par les artisans de l’équipe de Jean-Rodolphe Perronet pour la structure.

35La maçonnerie des bâtiments au départ et à l’arrivée du pont est présente dans la maquette de l’ENPC, mais pas dans la maquette du Zeughaus de Teufen.

36La maquette de l’ENPC ne présente aucune flèche (la faîtière est parfaitement rectiligne). En revanche, la maquette du Zeughaus de Teufen présente une légère flèche positive (la faîtière n’est pas parfaitement rectiligne, mais forme une arche dont le milieu est légèrement surélevé).

Fig. 8 : Superposition des deux modèles 3D des deux maquettes vues à 45°. Le maillage en couleur représente la maquette de l’ENPC, le nuage de point coloré entre vert et rouge représente la maquette du Zeughaus de Teufen. Ce code couleur représente la distance entre la maquette du Zeughaus de Teufen et la maquette de l’ENPC, du vert (distance la plus faible) au rouge (distance la plus grande)

37Les points représentés en vert au niveau du socle de la maquette montrent les limites de la comparaison nuage-maillage avec un code couleur de ce type : les points de la pile du pont apparaissent en vert, car ils sont proches du socle de l’autre maquette. Cependant, cette pile de ponts à une position différente dans les deux maquettes. Un examen plus approfondi des différences entre les deux modèles laisse apparaître une petite différence de structure interne des poutres, avec encore une fois une plus grande fidélité au plan dans la maquette du Zeughaus de Teufen.