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Jeux, sports et sociétés

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Pierre Parlebas

Lexique

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Texte intégral

GESTÈME

1 ■ Classe d’attitudes, de mimiques, de gestes, de comportements moteurs accomplis dans le but de transmettre soit une demande, soit une indication, soit une injonction tactique ou relationnelle par simple substitution à la parole.

2Les gestèmes (le suffixe « ème » indique qu’il s’agit d’un signe* faisant partie d’un code), sont des signes conventionnels souvent empruntés à un répertoire commun appris spontanément sur le tas ; par exemple : lever et agiter le bras pour « appeler » la balle, désigner de la main un lieu à occuper, faire un signe discret avec les doigts ou taper du pied sur le sol pour faire déclencher un démarrage de permutation... Les gestèmes sont des éléments de la communication praxique indirecte*.

3Le gestème n’est pas un acte constitutif de la tâche motrice* elle-même ; il s’y surajoute comme le ferait une communication verbale qui, ici, serait trop compromettante ou moins efficace.

4 ► Communication praxique indirecte, praxème, code sémioteur, kinésique, signe.

GRAPHE

5 ■ Terme mathématique qui, dans le cas le plus simple que nous retiendrons ici, désigne un couple de deux ensembles (X, U) où X est un ensemble d’éléments appelés sommets du graphe et U un sous-ensemble du carré cartésien X x X ; ce sous-ensemble de X x X est constitué de couples de sommets appelés arcs du graphe. L’ensemble U définit ainsi une relation binaire sur X.

6Tout graphe peut être illustré par une représentation géométrique constituée de points reliés par des flèches (si le graphe n’est pas orienté, les liaisons sont appelées des arêtes) ; cette représentation n’est pas seulement une illustration commode : elle possède un statut mathématique précis et se prête à un traitement rigoureux.

7La théorie des graphes est un outil d’une grande utilité pour l’étude des situations motrices*. Les sommets peuvent figurer des objets, des espaces, des individus mais aussi des comportements, des opérations, des actions. Les arcs peuvent symboliser une relation unissant ces sommets : relation affective, relation de transmission (d’information, d’une balle), relation de transition d’un état à l’autre... Un graphe peut donc représenter non seulement des états mais aussi des transformations ; il peut rendre compte d’une dynamique, ce qui est précieux pour modéliser des situations motrices, notamment des jeux sportifs*.

8Illustrons ces propos par le graphe des changements de rôles sociomoteurs* du volley-ball (figure 16). L’analyse de ce jeu sportif* permet d’identifier trois rôles qu’on représente ici par les trois sommets a (avant), b (serveur) et c (arrière).

G = (X, U)
X = {sommets du graphe} = {a, b, c}
U = {relation binaire sur X : arcs du graphe} = {(a, a) (a, b) (b, b) (b, c) (c, c) (c, a)}
Figure 16
Graphe des changements de rôles sociomoteurs du volley-ball.

9Chaque sommet de ce graphe très simple symbolise un rôle sociomoteur (et non un joueur) et la relation U représente la relation de passage d’un rôle à l’autre telle que l’autorise la règle du jeu. Si l’on considère deux coups* successifs, un joueur quelconque peut soit garder le même rôle (« boucle » à chaque sommet de type (a, a)), soit changer de rôle (arc de type (a, b)). Ce graphe est fortement connexe, réflexif, anti-symétrique, complet, hamiltonien, eulérien... Ces propriétés peuvent être traduites en termes de déroulement du jeu et de cheminement de chaque joueur dans le jeu.

10On peut « valuer » les arcs du graphe, c’est-à-dire associer une mesure à chacun d’eux, une valeur de probabilité par exemple. A tout graphe donné correspond une matrice qui se prêtera bien entendu au calcul matriciel.

11Les universaux* du jeu sportif ont tous reçu une formulation mathématique élémentaire dont l’analyse en termes de graphes est une des présentations importantes (réseau des communications motrices*, réseau des changements de rôles sociomoteurs, système des scores*...).

12L’interprétation d’une situation motrice, selon cette démarche, permet d’évaluer le degré d’organisation du graphe correspondant. On peut par exemple se demander dans quelle mesure un sommet est privilégié par rapport à tous les autres quant aux liaisons qui les unissent : on calculera alors un indice de centralité du graphe (relation de dominance, présence d’un joueur-charnière...) ; ou encore dans quelle mesure l’accessibilité de chaque sommet par tous les autres est répartie de façon homogène : dans ce cas, on calculera un indice de compacité (cohésion affective d’une équipe, distribution plus ou moins régulière des interactions motrices*...). La définition précise de chaque propriété est alors donnée par la formule de calcul.

13Les ressources abondent ; il apparaît que l’étude des situations motrices, notamment sous l’aspect des réseaux d’échange ou de dominance, sous l’aspect des structures de communication, de rôles et de scores gagne beaucoup dans certains cas à utiliser la théorie des graphes. En effet, la situation motrice étant modélisée avec pertinence*, l’acquis de cette théorie (théorèmes, résultats, algorithmes) peut alors être utilisé et interprété avec profit.

14À plusieurs reprises, dans ce lexique, sont précisément évoquées les propriétés de certains graphes servant à modéliser les jeux sportifs. Aussi allons-nous rappeler au lecteur les définitions succinctes des termes spécialisés qui ont été utilisés.

15Précisons que les termes : arc, chemin, circuit prennent en compte l’orientation des liaisons alors que leurs correspondants : arête, chaîne, cycle la négligent.

16 Chemin (respectivement chaîne) : succession ordonnée d’arcs (respectivement d’arêtes).

17Exemple : le ludogramme de la figure 20 est un chemin issu du graphe des sous-rôles de la figure 23.

18 Circuit (respectivement cycle) : chemin (respectivement chaîne) dont le sommet de départ est confondu avec le sommet d’arrivée ; une « boucle » est un circuit composé d’un seul arc.

19Exemples : le circuit (a, b, c, a) de longueur 3 et le circuit (a, a) de longeur 1 du graphe des changements de rôles du volley-ball de la figure 16.

20 Chemin eulérien : chemin qui passe une fois et une seule par chaque arc du graphe.

21 Chemin hamiltonien : chemin qui passe une fois et une seule par chaque sommet du graphe.

22 Graphe partiel (de G) : graphe dont on a gardé tous les sommets, initiaux et dont on a supprimé quelques arcs.

23 Sous-graphe (de G) : graphe dont on a supprimé quelques sommets mais dont on a conservé tous les arcs correspondants.

24 Graphe simplement-connexe : graphe dont toute paire de sommets est reliée par une chaîne.

25Exemples : les deux graphes de la figure 23 ; contre-exemples : les deux graphes de la figure 22.

26 Graphe fortement-connexe : graphe dont toute paire de sommets est située sur un circuit.

27Exemples : le graphe de la figure 16 et les deux graphes de la figure 23.

28Dans le cas d’une partition*, les composantes (sous-graphes) fortement connexes constituent les classes d’équivalence de la classification* ainsi définie.

29 Graphe équilibré : graphe dont chaque arête est affectée d’un signe plus (+) ou moins (-) et tel que le produit des signes de tout cycle est positif ; dans ce cas, le graphe est en réalité un bigraphe complet possédant deux relations : l’une, de coopération, réputée positive (+) et l’autre, d’opposition, réputée négative (-).

30Exemples : le bigraphe du réseau de communication du basket de la figure 21 est équilibré alors que celui du réseau des Trois camps de la figure 13 est non équilibré (jeu paradoxal* à effet pervers*).

31 Sommet d’articulation : sommet dont la suppression rendrait non-connexe un graphe connexe.

32Exemple : le sommet « chasseur » du graphe des rôles du jeu d’Accroche-décroche de la figure 23.

33 Arbre : graphe connexe dénué de cycle.

34Exemples : le schéma de la figure 1 ; l’échelle de la figure 14 (cas trivial de l’ordre total).

35 Treillis : graphe ordonné tel que toute paire de sommets possède un plus petit de leurs majorants communs et un plus grand de leurs minorants communs.

36Exemples : le support de marque d’un set de volley-ball de la figure 30 : le simplexe S3 de la figure 2 ; les échelles de la figure 15 (cas trivial de l’ordre total).

37La théorie des graphes ne s’est développée que de façon toute récente bien que ses premières manifestations soient anciennes et puissent être repérées par exemple vers le XVIIIe siècle avec Euler. En France, le mathématicien Claude Berge s’est illustré par ses travaux de pointe dans cette branche de la recherche.

38 ►Modèle, universaux, réseau des communications motrices, réseau des scores, réseau des changements de sous-rôles sociomoteurs.

Bibliographie

BIBLIOGRAPHIE

(1) Berge (C.).- Théorie des graphes et ses applications. Paris : Dunod, 1967.

(2) Roy (B.).- Algèbre moderne et théorie des graphes. Tomes I et II. Paris : Dunod, 1970.

(3) Sache (A.).- La théorie des graphes. Paris : PUF, 1974.

Table des illustrations

Légende G = (X, U)X = {sommets du graphe} = {a, b, c}U = {relation binaire sur X : arcs du graphe} = {(a, a) (a, b) (b, b) (b, c) (c, c) (c, a)}Figure 16Graphe des changements de rôles sociomoteurs du volley-ball.
URL http://books.openedition.org/insep/docannexe/image/1080/img-1.jpg
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© INSEP-Éditions, 1999

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