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    Plan

    Plan détaillé Texte intégral I. Estimation d’une matrice connaissant ses marges II. Généralisation de cette méthode à des cas plus complexes Conclusion Notes de bas de page

    Méthodes de mesure de la mobilité spatiale

    Ce livre est recensé par

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    Table des matières

    Chapitre 10

    Estimations à partir de données incomplètes

    p. 325-338

    Texte intégral I. Estimation d’une matrice connaissant ses marges II. Généralisation de cette méthode à des cas plus complexes 1. Premier cas 2. Deuxième cas 3. Troisième cas Conclusion Notes de bas de page

    Texte intégral

    1Nous supposons dans ce chapitre que nous disposons de données incomplètes, publiées à la suite d’un recensement ou d’une enquête sur des effectifs de migrants, de déplacements temporaires ou de navettes. Nous désirons utiliser cette information au mieux en vue d’estimer l’ensemble des flux non mesurés. Avant d’aborder les hypothèses qui permettent cette estimation, nous présentons un certain nombre d’exemples pratiques où cette estimation est nécessaire.

    2Prenons d’abord le cas où les flux entre chaque couple de zones d’un territoire n’ont pas été calculés et où l’on connaît uniquement le total des immigrants vers chaque zone et le total des émigrants de chacune. Si n est le nombre de zones du territoire, on ne connaît que 2n effectifs, alors que l’on désire en estimer n2. Par exemple, en travaillant sur les 95 départements français, on conçoit que les données d’un sondage puissent nous donner 190 effectifs d’immigrants et d’émigrants, mais qu’il soit trop coûteux de calculer les 9 025 flux entre chaque couple de départements. Si une étude ultérieure nécessite la connaissance de ces 9 025 flux, comment les estimer au mieux à partir des 190 effectifs connus ?

    3Prenons ensuite le cas où l’on dispose, en plus des informations précédentes, de données d’un recensement antérieur qui nous donnent les 9 025 flux entre chaque couple de départements. Cette information peut sans doute apporter une amélioration des flux estimés précédemment à partir des effectifs d’immigrants et d’émigrants. Comment, dans ce cas, utiliser cette nouvelle information ?

    4Prenons enfin le cas où l’on dispose bien de 9 025 flux mesurés lors du sondage, mais où la répartition par âge n’est détaillée que pour les effectifs d’immigrants et d’émigrants de chaque zone. Il s’agit donc d’estimer la répartition par âge de chacun des 9 025 flux entre départements.

    5Le problème que nous cherchons à résoudre peut donc se présenter sous des formes différentes. Nous allons d’abord chercher une solution lorsque ce problème se présente sous sa forme la plus simple, avant de traiter de cas plus complexes.

    I. Estimation d’une matrice connaissant ses marges

    6Nous allons d’abord traiter un cas pratique simple avant d’aborder le problème sous sa forme plus générale. Supposons que l’on connaisse les marges de la matrice représentée dans le tableau 103, où l’on suppose qu’il existe des flux internes et externes aux zones considérées.

    Tableau 103. Matrice des flux entre deux zones

    Image

    7Comme on connaît le total des départs et des arrivées de chaque zone, il n’est pas possible de choisir arbitrairement chacun des flux entre zones. Ainsi, si l’on suppose que Image11 est égal à 3, cela implique, pour que toutes les marges soient vérifiées, que :

    8Image21 = 0 et Image12 = 1 d’où Image22 = 1

    9On voit encore que si l’on suppose Image11 = 2, il y a possibilité d’estimer :

    10Image12 = 2 Image21 = 1 et Image22 = 0

    11Toute autre valeur donnée à Image11 conduit à une impossibilité. Ainsi par exemple si l’on pose Image11 = 1, on voit que Image21 doit être égal à 2, ce qui est une contradiction avec le fait que Image21 + Image22 = 1. On a donc les deux matrices possibles de flux :

    Image

    12Pour choisir entre ces deux matrices, il faut faire une hypothèse supplémentaire. On suppose que chacune de ces matrices correspond à un macro-état qui est lui-même généré par des micro-états induits par les individus migrants eux-mêmes. Si l’on désigne ces cinq individus par m1, m2, m3, m4 et m5, on voit par exemple que les trois individus composant Image11 dans la matrice MA peuvent être choisis de nombreuses façons différentes :

    13(m1, m2, m3) ou (m1, m2, m4) ou (m3, m4, m5) etc.

    14Si l’on fait l’hypothèse que chacun de ces micro-états est équiprobable, il devient possible d’estimer les probabilités des macro-états. Ainsi, le nombre de choix possibles des trois individus composant Image11 est égal à :

    Image

    15où le signe ! indique que l’on prend la factorielle du nombre considéré :

    Image

    16Ensuite, comme il ne nous reste plus que deux individus, le nombre de choix possibles devient :

    Image

    17Le dernier individu est forcément compté dans le dernier flux non nul. On voit donc qu’il y a :

    Image

    18soit vingt possibilités de former à partir des cinq individus la matrice MA.

    19De la même façon, il y aura :

    Image

    20soit trente possibilités de former la matrice MB. On voit donc que les deux matrices n’ont pas la même probabilité d’être observées, la matrice MB ayant une fois et demie plus de chance d’être correcte que la matrice MA. Dans ce cas, on prendra comme estimation la plus probable la matrice MB.

    21L’hypothèse d’équiprobabilité de chacun des micro-états est la plus vraisemblable dans le cas où l’on n’a aucune autre information sur les flux préférentiels entre zones.

    22Plaçons-nous maintenant dans le cas le plus général où l’on a n zones et où l’on ne connaît que 2n nombres d’immigrants et d’émigrants de ces zones. À chacune de ces distributions de flux {Imageij} qui vérifient les conditions aux marges :

    Image

    23on peut calculer le nombre de micro-états qui leur correspond :

    Image

    24où Image représente le produit pour toutes les valeurs i et j. Pour trouver la distribution qui conduit au plus grand  nombre de micro-états possible, il est plus simple de travailler sur le logarithme népérien de W. Comme cette fonction est monotone, son maximum correspond à celui de W.

    Image

    25Dans la mesure où les flux Imageij sont suffisamment importants, on peut remplacer ImageImageij ! par son approximation de Stirling :

    Image

    26et l’on peut alors écrire, en éliminant les termes constants :

    Image

    27La solution du problème de maximisation de ImagenW sous les contraintes précédentes conduit à l’utilisation de multiplicateurs de Lagrange :

    Image

    28On montre que L est maximum si les trois systèmes d’équations suivants sont vérifiés :

    Image

    29On vérifie facilement qu’un tel système a une solution très simple :

    Image

    30Le flux de migrants entre i et j le plus probable est égal au produit du nombre d’émigrants de i par le nombre d’immigrants en j, divisé par le total des migrants observés.

    31Notons qu’une telle solution fait intervenir simultanément les migrations internes aux zones  Imageii et les migrations externes Imageij, où i ≠ j. Or on sait que les unes et les autres se produisent avec des probabilités très différentes. Dans ce cas, il est préférable de laisser de côté les migrations internes, ce qui revient à poser Imageii = 0. Le système s’écrit alors :

    Image

    32Ce système est plus complexe à résoudre que le précédent. On peut y parvenir par approximations successives (Tugault, 1970, p. 59-68), en répartissant les effectifs marginaux des arrivées proportionnellement aux totaux marginaux des départs :

    Image

    33Par construction, ces valeurs sont telles que la condition :

    Image

    34soit vérifiée. C’est donc maintenant sur les totaux marginaux des départs que la condition n’est pas assurée. Appelons Image la somme suivante :

    Image

    35Cela conduit pour assurer la cohérence des départs à une seconde itération :

    Image

    36C’est alors sur les arrivées que la cohérence n’est plus assurée. On recommence donc l’opération précédente sur les arrivées :

    Image

    37et ainsi de suite jusqu’à ce que l’on obtienne la convergence au degré de précision désiré.

    38Cette méthode a été appliquée à titre d’exemple aux changements de classe de localité en France pour le groupe d’âges 25-34 ans en 1962. Le tableau 104 présente les effectifs réellement observés.

    Tableau 104. Changements de classe de localité (France entière, 1962)

    Image

    39Avec la méthode présentée ici, on a estimé les flux de migrants entre classes à partir des effectifs marginaux du tableau 104. Le tableau 105 donne le rapport entre les effectifs observés et les effectifs estimés, que l’on appellera « indice de liaison ».

    Tableau 105. Valeurs de l’indice de liaison

    Image

    40L’examen des résultats portés au tableau 104 montre que cette méthode estime le flux avec une bonne précision. L’écart maximal est de 20 % et concerne les flux de l’agglomération parisienne vers les grandes villes, dont l’estimation est plus faible que la valeur réelle, ou les flux de l’agglomération parisienne vers les petites villes, dont l’estimation est plus forte que la valeur réelle.

    II. Généralisation de cette méthode à des cas plus complexes

    1. Premier cas

    41Nous allons d’abord traiter des cas de complexité croissante avant d’aborder le problème dans sa généralité.

    42Supposons d’abord que l’on connaisse la matrice des flux de migrants pour l’ensemble de la population, mais que le recensement ne fournit, par sexe, que les départs et les arrivées dans les diverses zones. Soit Imageijk le flux de migrants que l’on cherche à estimer entre les zones i et j, migrants dont le sexe est k (masculin ou féminin).

    43Utilisant toujours l’hypothèse d’équiprobabilité des différents micro-états correspondant à chaque macro-état possible, un raisonnement identique à celui du paragraphe précédent nous conduit à chercher le maximum de la quantité :

    Image

    44sous les conditions suivantes :

    Image

    45La première condition donne bien les arrivées par sexe dans chaque zone ; la seconde donne les départs par sexe de chaque zone ; la troisième, enfin, fournit la matrice des flux des migrants, tous sexes confondus.

    46L’utilisation des multiplicateurs de Lagrange conduit à la solution suivante :

    Image

    47où Aik, Bjk et Tij sont des paramètres liés aux conditions précédentes. L’application de ces trois conditions conduit aux trois systèmes d’équation suivants, qui relient Aik, Bjk et Tij :

    Image

    48En partant de valeurs arbitraires Image et Image , on peut calculer les valeurs Image qui leur correspondent. On peut, à partir de ces valeurs Image et Image , recalculer une valeurImage . On continue alors l’itération en remplaçant Image et Image par Image et Image .

    49Pour arrêter l’itération, il faut fixer pour chaucn des termes estimés le degré de précision que l’on désire (Willekens, 1977).

    50Nous présentons à titre d’exemple l’estimation des flux de migration par sexe, en 1970, pour la Belgique divisée en grandes régions.

    51Le tableau 106 donne la matrice des flux de migration pour la population totale.

    Tableau 106. Migrations internes en Belgique, 1970. Matrice des flux de migration pour la population totale

    Image

    52Les tableaux 107 et 108 fournissent, respectivement pour les sexes masculin et féminin, les estimations des flux de migration par la méthode donnée ici. On a porté entre parenthèses les valeurs observées de ces flux.

    Tableau 107. Migrations internes par sexe en Belgique, flux estimés et flux observés (entre parenthèses), 1970. Hommes

    Image

    Tableau 108. Migrations internes par sexe en Belgique, flux estimés et flux observés (entre parenthèses), 1970. Femmes

    Image

    53Les erreurs commises sont généralement faibles, comme le montre le tableau 109.

    54On voit que, dans 60 % des cas, l’erreur est inférieure en valeur absolue à 2 % de la valeur observée. Seul un cas entraîne une erreur légèrement supérieure à 6 %.

    Tableau 109. Fréquences absolues et relatives des erreurs inférieures à n %

    Image

    55Cette méthode peut être sans peine étendue à d’autres caractéristiques des migrants, telles l’âge, la catégorie socioprofessionnelle, la nationalité, etc.

    2. Deuxième cas

    56Supposons maintenant que nous ayons une estimation antérieure (par exemple, par les données de recensements précédents) de la matrice des flux que nous désirons estimer. On dispose en outre d’informations sur les totaux marginaux d’une telle matrice. Dans ce cas, on peut utiliser plusieurs méthodes.

    57La méthode d’ajustement biproportionnel1 constitue une généralisation de celle utilisée précédemment. Si l’on appelle Image les flux estimés antérieurement, la distance entre les deux matrices peut se définir comme :

    Image

    58On voit que lorsqu’on n’a aucune information sur la matrice antérieure, on peut prendre Image pour tout i et j, ce qui est équivalent à Image , et l’on retombe alors sur la quantité précédente [équation (6)] :

    Image

    59En introduisant l’information sur les totaux marginaux, on doit donc minimiser cette distance, sous les contraintes suivantes :

    Image

    60La résolution d’un tel système s’opère de façon toujours identique, en utilisant la méthode des multiplicateurs de Lagrange.

    61Cette méthode d’ajustement biproportionnel n’est pas la seule que l’on puisse utiliser. On peut en effet définir d’autres types de distance entre les deux matrices. Parmi ces dernières, celle du χ2 est souvent choisie :

    Image

    62Elle présente cependant l’inconvénient de ne pas fournir nécessairement une matrice Image dont tous les termes soient positifs en partant d’une matrice Image0vérifiant cette propriété2. Nous ne la développerons donc pas plus avant ici.

    3. Troisième cas

    63Nous sommes maintenant en mesure de traiter le problème sous sa forme la plus générale, en utilisant la méthode d’ajustement biproportionnel. Il nous faut, dans ce cas, distinguer toutes les conditions possibles correspondant à des types de données différents.

    64Nous cherchons à estimer les flux de migrants  Imageijk entre les zones i et j du territoire, issus d’une catégorie k (groupe d’âges, catégorie sociale, etc.) et connaissant une estimation antérieure de ces flux Image, ainsi que certaines conditions marginales vérifiées par ces flux. Ces conditions marginales dépendent du type de données publiées dans le pays sur lequel on travaille. Le problème se formule alors de la façon suivante : chercher à minimiser la distance

    Image

    65sous l’une ou plusieurs des conditions suivantes ;

    Image

    66On peut montrer que, s’il existe une solution strictement positive, celle-ci est de la forme suivante3 :

    Image

    67où Image et Image peuvent être estimés à l’aide de la procédure d’itération suivante dans les cas où l’on connaît Image et Image .

    68On part des valeurs initiales suivantes :

    Image

    69Pour i = j = 1, on pose Image , sinon on a :

    Image

    70puis :

    Image

    71et enfin :

    Image

    72Si les valeurs obtenues de Image , Image et Image diffèrent de Image , Image etImage d’une valeur inférieure au seuil que l’on s’est donné, on peut arrêter l’estimation. Sinon, on reprend l’estimation en faisant une deuxième itération en estimant d’abord :

    Image

    73puis les paramètres suivants, jusqu’à ce que l’on arrive à un niveau de convergence convenable.

    74À titre d’exemple d’une telle estimation, nous examinerons le cas des données traitées par Nair (1982). Partons de la matrice Image des flux des non-natifs entre cinq grandes régions de l’Inde obtenus au recensement de 1971 (tableau 110).

    Tableau 110. Flux des non-natifs (échantillon 10 %) en Inde, 1971

    Image

    75Nous allons essayer de voir si l’utilisation d’une telle matrice, avec la connaissance des totaux marginaux de migrants sur une période de dix ans antérieure à 1971, permet de retrouver les flux de migrants observés.

    76Le tableau 111 donne la comparaison des flux estimés grâce à la méthode proposée ici avec les flux réellement observés.

    Tableau 111. Flux de migrants estimés et observés sur une période de 10 ans, Inde, 1971

    Image

    77La proximité de ces flux est montrée dans le tableau 112 qui donne les rapports des flux observés avec cette méthode. Dans près de la moitié des cas, l’écart entre flux estimés et flux observés dépasse 20 %. On observe une sous-estimation des flux entre régions différentes et une surestimation des flux intra-régionaux. On pourrait dans ce cas réduire les erreurs en ne travaillant que sur la matrice des flux inter-régionaux, comme nous l’avons fait précédemment dans le cas de la France.

    Tableau 112. Rapport des flux de migrants observés sur les flux estimés sur une période de 10 ans, Inde, 1971

    Image

    Conclusion

    78Les méthodes d’estimation à partir des données incomplètes ont connu un développement important. Elles sont essentiellement fondées sur des modèles log-linéaires4qui permettent d’estimer les effectifs de migrants inconnus entre couples de zones à l’aide de paramètres représentant divers effets liés à la structure du tableau complet. Dans ce cas, le logarithme d’une des cellules du tableau, correspondant aux migrants entre couples de zones que l’on cherche à estimer, s’évalue sous la forme d’une somme d’effets. Ces divers effets sont estimés à partir des informations dont on dispose et de certaines hypothèses. Par exemple, si certains paramètres ne peuvent être estimés à partir des données dont on dispose, leur valeur est posée comme nulle et leur effet d’interaction est supposé absent. Ainsi, lorsqu’on ne dispose pas d’une estimation des flux Image, on les pose tous égaux à l’unité, ce qui, dans le modèle log-linéaire, revient à poser Imagen Image .

    79Si dans certains cas il est possible de formuler explicitement la solution, dans d’autres il est nécessaire d’utiliser une procédure d’itérations pour arriver à une solution, dans chaque cas particulier.

    80D’autres méthodes, basées sur des critères différents (minimiser un χ2 par exemple) sont également utilisables, mais elles sont généralement plus lourdes de calculs5.

    Notes de bas de page

    1 Cette méthode a été proposée par Léontief (1941) et par Stone (1983).

    2 Voir d’autres approches évitant cet inconvénient dans Willekens et al. (1979).

    3 Voir note 2..

    4 Voir Bishop, Fienberg et Holland, 1965 et pour une applications aux données migratoires, voir Willekens, 1982a.

    5 Voir note 2.

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    1 Cette méthode a été proposée par Léontief (1941) et par Stone (1983).

    2 Voir d’autres approches évitant cet inconvénient dans Willekens et al. (1979).

    3 Voir note 2..

    4 Voir Bishop, Fienberg et Holland, 1965 et pour une applications aux données migratoires, voir Willekens, 1982a.

    5 Voir note 2.

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    Courgeau, D. (2021). Estimations à partir de données incomplètes. In Méthodes de mesure de la mobilité spatiale. Paris: Ined Éditions. https://doi.org/10.4000/books.ined.15850
    Courgeau, Daniel. « Estimations à partir de données incomplètes ». In Méthodes de mesure de la mobilité spatiale. Paris: Ined Éditions, 2021. doi:10.4000/books.ined.15850.
    Courgeau, Daniel. « Estimations à partir de données incomplètes ». Méthodes de mesure de la mobilité spatiale, Ined Éditions, 2021, https://doi.org/10.4000/books.ined.15850.

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    Courgeau, D. (2021). Méthodes de mesure de la mobilité spatiale. Paris: Ined Éditions. https://doi.org/10.4000/books.ined.15730
    Courgeau, Daniel. Méthodes de mesure de la mobilité spatiale. Paris: Ined Éditions, 2021. doi:10.4000/books.ined.15730.
    Courgeau, Daniel. Méthodes de mesure de la mobilité spatiale. Ined Éditions, 2021, https://doi.org/10.4000/books.ined.15730.
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