1Nous avons vu, dans le chapitre 3, la diversité des mesures de la migration par les recensements. Or il arrive souvent que plusieurs types de questions soient posées lors d’un même recensement. Dans ce cas, on peut se demander si les diverses informations sont indépendantes ou, au contraire, fortement redondantes. Une combinaison appropriée de ces informations pourrait-elle améliorer l’information recueillie ? Ce travail comparatif pourrait au contraire, dans certains cas, mettre en doute la qualité des réponses à l’un des types de questions. Donnons d’abord quelques exemples montrant les types de questions posées conjointement dans certains recensements.

2Ainsi, le recensement de 1970 en Suisse posait une question sur le lieu de naissance, le lieu de résidence il y a cinq ans et le lieu de résidence il y a un an. On a donc trois questions donnant des effectifs de migrants mesurés sur des périodes différentes. Ces informations sont relativement indépendantes entre elles, car un individu peut avoir vécu en quatre lieux différents à ces diverses dates, la quatrième étant celle du recensement. Certaines de ces informations sont cependant en partie redondantes. Ainsi, les individus dont le lieu de résidence il y a cinq ans est le même que celui à la date du recensement seront – en partie du moins – comptés parmi ceux qui ont le même lieu de résidence un an auparavant. Il est donc utile de formaliser les liens existants entre effectifs de migrants mesurés sur diverses périodes.

3De façon semblable, le recensement de 1977 en Algérie posait une question sur le lieu de naissance, le lieu de résidence en avril 1966, l’année d’installation dans la commune de résidence actuelle et le lieu de résidence antérieure. Il combine donc des informations sur les dernières migrations et sur les migrants entre 1966 et 1977 ou entre la date de naissance et la date de recensement. Chacune des questions peut apporter des renseignements complémentaires à ceux fournis par les autres. Un individu peut ainsi avoir fait une dernière migration entre 1966 et 1977 et avoir un lieu de résidence en 1966 différent du lieu de résidence antérieur. Dans l’autre sens, un individu dont la dernière migration est antérieure à 1966 devrait être compté comme sédentaire au cours de la période 1966-1977. La comparaison des réponses aux deux questions peut dans ce cas permettre d’améliorer la qualité de l’information recueillie.

4Un dernier exemple est fourni par le recensement de 1961 au Royaume-Uni qui combine, de façon différente, les questions sur les migrants et les questions sur les dernières migrations. Ce recensement a en effet posé les questions suivantes :

5(1) Aviez-vous la même adresse il y a un an que maintenant ?

6(2) Si vous avez répondu oui à (1) dites depuis combien de temps vous vivez ici ; Si vous avez répondu non à (1) donnez votre lieu de résidence il y a un an.

7Dans ce cas, on a bien une question sur les migrants un an avant le recensement. Celle sur la durée de séjour devrait permettre de connaître cette durée lorsqu’elle est supérieure à un an. En fait, une part non négligeable de la population (6,2 %) n’a pas pu déclarer sa durée de résidence ou a donné une durée de résidence inférieure à un an (Hollingsworth, 1970, p. 25). Certains individus ayant fait une migration suivie d’un retour au cours de l’année peuvent répondre oui à la question 1 et donner une durée de séjour inférieure à un an. Bien qu'ayant réponducorrectement aux questions, ces individus ont pourtant été classés dans la population n’ayant pu déclarer sa durée de résidence. C’est donc la comparaison des réponses aux deux questions qui permet d’éclairer la mobilité multiple.

8Il faut bien voir que ces questions éclairent d’un jour différent le même phénomène. En essayant de saisir les déplacements de la population sur le territoire national grâce à un petit nombre de questions, on est amené à éclairer certains de ces déplacements pour en laisser d’autres dans l’ombre. Ces divers éclairages d’une même réalité peuvent conduire à des conclusions très différentes, parce qu’on n’a pas clairement présenté l’angle sous lequel on a observé ces migrations. Ces conclusions, qui semblent à première vue contradictoires, seront en fait parfaitement cohérentes entre elles une fois que l’on aura défini avec précision les effectifs mesurés et que l’on aura montré les liens existants entre ces diverses mesures. Pour avancer cette analyse, il sera utile de faire des hypothèses supplémentaires sur le déroulement des migrations. La variété de ces hypothèses et la possibilité de vérifier leur validité à l’aide d’enquêtes rétrospectives vient justifier cette approche. Dans un ouvrage sur les méthodes de mesure, il n’est pas dans notre propos de développer des méthodes d’analyse qui vont prendre place dans un autre volume. Il nous suffit de dire que ces hypothèses peuvent être testées sur des données d’enquêtes qui vont également fournir les estimations des paramètres que nous utiliserons ici (Courgeau, 1980 et 1982b).

9Nous présentons d’abord une comparaison utilisant un temps discret, avant de passer à un temps continu. En revanche, nous supposerons toujours que l’on travaille sur un espace discret découpé en r zones (communes, départements, régions, etc.), en ignorant les migrations internes à chacune de ces zones. En vue de clarifier la présentation, nous supposerons, comme au chapitre 5, que l’on observe au plus deux migrations et qu'en outre la durée d’observation soit de deux ans. Pour effectuer une comparaison, cette durée doit être assez courte. Toutefois, lorsque les résultats se présentent de façon simple pour une durée et un nombre de migrations quelconque, nous donnerons le résultat plus général. De toute façon, bien que les formules soient très longues, il est aisé, une fois que l’on a compris les méthodes utilisées, de les généraliser à une durée quelconque.

10Nous donnerons simultanément l’application à un exemple théorique simple – composé de trois régions – de ces diverses méthodes. 

I. Notations

11Nous travaillons sur les matrices carrées de type (r, r), où r est le nombre de zones considérées. Sur une durée de t années, nous avons les flux suivants entre les zones i et j :

12M_ij (t) = nombre de migrations de i vers j durant la période (0, t)

13_ij (t) = nombre de dernières migrations de i vers j durant la période (0, t)

14_ij (t) = nombre de migrants de i vers j durant la période (0, t)

15Quant i et j sont identiques, nous introduisons les termes M_ii (t) – ou _ii (t), ou _ii (t) – vérifiant la relation suivante :

16le point indiquant que la somme s’étend à toutes les autres zones du territoire. Ce terme mesure donc le négatif de l’ensemble des émigrants de la zone i.

17On voit que l'on peut représenter de façon plus synthétique tous ces nombres sous la forme de matrices : M(t), (t) et (t)

18Ainsi, la matrice M(t) peut s’écrire de la façon suivante :

19Comme nous l’avons indiqué, nous travaillons d’abord en temps discret. Ce qui fait que nous allons estimer une matrice de flux annuels ou une matrice donnant les probabilités annuelles d’émigrer (P_ij(1)) ou, plus simplement, P_ij, c’est-à-dire les probabilités pour qu’un individu présent en i en début de période se trouve en j un an après. Nous appellerons cette dernière matrice P(1).

20Pour des raisons de calcul nous représentons également les populations initiales de chaque zone, sous la forme d’une matrice diagonale N(0) :

21On voit que, dans ce cas, la matrice des flux de migration au cours de la première année M(1) vérifie la condition suivante :

22Avec ces notations, le problème à résoudre peut s’exprimer ainsi : comment calculer P(1) ou M(1) à l’aide d’informations données par le recensement sur (t) ou (t) ? Une fois résolu ce problème, il sera possible d’estimer (t) pour différentes valeurs de t, ou de comparer les valeurs de (t) et de (t) pour une durée t donnée.

Un exemple simulé

23L’application numérique1 que nous faisons ici va considérer un pays découpé en trois zones dont la population initiale est identique (100 000 individus). Les données de registres fournissent la matrice annuelle que nous désirons estimer (ou la matrice des probabilités annuelles d’émigrer) :

24La matrice observée à l’aide des données de recensement donne les dernières migrations sur une durée de deux ans :

25La matrice observée des migrants sur la même durée est :

26Pour simplifier les calculs, nous supposons que nous travaillons sur une cohorte âgée de plus de 2 ans (ou de t années si l’on travaille sur une durée plus longue), et que cette population n’enregistre aucun décès ni aucune migration internationale au cours de cette période. Il est bien entendu possible, dans un second temps, de lever ces hypothèses et d’introduire des naissances, des décès et des migrations internationales dans les différents modèles. Les données de recensement étant rétrospectives, les décès et l’émigration internationale ne sont pas à prendre en compte et les immigrations internationales peuvent être éliminées de ces données.

II. Cas où il n’y a pas de migrations multiples et où les migrations sont distribuées uniformément au cours de la période

27On approche de cette situation dans les pays où les migrations sont des événements rares et où l’on peut supposer qu’un individu ne fait pas plus d’une migration au cours de son existence. Si cette hypothèse était souvent faite par le passé en l’absence de données longitudinales, on constate qu’elle est désormais très mal vérifiée dans la plupart des pays. Elle conduit alors à une forte sous-estimation des flux annuels.

28Si elle est vérifiée, le flux annuel p_ij(1) N_i(0) devient, durant t années, égal à tP_ij(1) N_i(0). Ce qui peut s’écrire :

29Cela conduit à la relation suivante :

30Les flux de migrations, de dernières migrations et de migrants sont égaux sous cette hypothèse et la solution du problème conduit à :

31Comme la matrice N(0) est diagonale, N(0)^–1 est très facile à calculer, chacun de ses termes diagonaux étant égal à les autres étant nuls.

32Dans l’exemple numérique, l’estimation de P(1) est très facile à calculer, puisqu’il suffit de diviser par 200 000 chaque terme des matrices (2) et (2). Cela conduit, pour les dernières migrations, à l’estimateur :

33qui donne, en comparaison avec les données de registre, la matrice d’erreurs suivante :

34On voit que cette méthode sous-estime tous les flux de migration (hors de la diagonale), comme nous l’avions indiqué.

35On a de la même façon, pour les migrants :

36soit une matrice d’erreurs :

37Dans ce cas, on sous-estime encore plus les flux de migrations observés sur une année.

38Montrons pour terminer qu’il en est ainsi pour les données du recensement de 1970 en Suisse. Le taux quinquennal observé est de 201 ‰, ce qui conduirait à un taux annuel de 40 ‰ si les hypothèses d’uniformité étaient vérifiées. Le taux annuel réellement observé est en réalité de 70 ‰, montrant que ces hypothèses ne tiennent pas. La sous-estimation observée, comme dans l’exemple théorique, montre que des migrations multiples et des retours interviennent fortement. Un tel résultat a été constaté dans de nombreux pays, conduisant à un modèle plus complexe.

III. La migration vue comme un processus markovien

39Si l’on suppose que le comportement migratoire d’un individu suit un processus stochastique, le plus simple à considérer est le processus de Markov. On fait alors l’hypothèse que la probabilité de chaque migration est indépendante de son rang et que la probabilité de migrer est indépendante de la durée de séjour. Elle ne dépend que des deux zones considérées.

40Dans ce cas, un même individu a la possibilité de faire des migrations multiples au cours de la période d’observation. Il lui est également possible d’effectuer un retour vers un lieu précédemment habité. Ces retours s’effectuent cependant avec la même probabilité que des migrations multiples dont les deux dernières étapes sont les mêmes. Voyons en détail l’estimation des divers effectifs introduits dans les formules du chapitre 5, section II. Ainsi :

41En effet, un individu peut d’abord faire une migration de i vers j avec la probabilité p_ij, suivie d’une année sédentaire, avec la probabilité :

42Mais il peut également rester d’abord sédentaire en i, avec la probabilité :

43puis faire une migration de i vers j, avec la probabilité p_ij. On en déduit donc l’effectif indiqué.

44De la même façon on peut écrire :

45On voit en particulier que certains de ces effectifs font intervenir des populations différentes, car les individus peuvent être originaires d’une autre zone que i, avant d’émigrer de i.

46Enfin, les effectifs de migrants font intervenir les individus ayant suivi le trajet i, a, j :

47À partir de ces divers effectifs, nous pouvons calculer le nombre de migrations entre i et j au cours de la période de deux ans :

48Après simplification et regroupement de termes semblables, il en résulte :

49Le nombre de dernières migrations peut s’écrire :

50soit encore :

51La différence entre migrations et dernières migrations se trouve dans le nombre des individus ayant fait une migration de i vers j et qui ne sont pas restés en j.

52Enfin le nombre de migrants s’écrit :

53soit encore :

54On voit que le flux de migrants ne dépend, dans ce cas, que de la population de la zone i. Cela permet d’étendre la dernière formule à une durée quelconque, sous forme matricielle :

55où I est la matrice identité dont tous les termes diagonaux sont égaux à l’unité, les autres étant nuls.

56On peut vérifier que pour t = 2, cette formule donne un résultat identique au précédent.

57Il est possible de résoudre cette équation pour calculer la matrice P(1) en fonction de (t). Cela nous donne la matrice suivante :

58Pour estimer la matrice correspondant au nombre de dernières migrations, la solution dans le cas général est plus complexe et nécessite un algorithme pour trouver

59Ce modèle est plus satisfaisant que le précédent, car il permet de tenir compte des migrations multiples et des retours.

Application à l’exemple simulé

60Voyons son application à l’exemple que nous traitons ici. Nous devons calculer la racine carrée de la matrice suivante en partant des effectifs de migrants, mesurés sur une période de deux ans :

61qui est égale à :

62Ce qui nous donne comme estimation de P(1) :

63On obtient aussi une matrice d’erreurs :

64Si une telle méthode sous-estime toujours les termes non diagonaux de la matrice P(1), elle fournit cependant des résultats beaucoup plus proches de cette matrice que précédemment.

a. Le cas de la Suisse

65Si l’on ne tient pas compte des retours, on peut vérifier sur les données suisses la validité d’un tel modèle. En travaillant sur l’ensemble des migrants du pays, on montre que la probabilité de déménager au moins une fois au cours d’une période de cinq ans est égale à :

66Notons qu’ici (5), (1) et N(0) ne représentent plus des matrices mais des effectifs totaux. En partant d’un taux annuel observé de 70 ‰, cela conduirait à un taux quinquennal de 304 ‰. Comparée au taux observé de 201 ‰, on constate que l’hypothèse markovienne n’est pas non plus vérifiée en Suisse. Cependant, cette estimation est plus satisfaisante que celle obtenue sous l’hypothèse d’uniformité : dans ce dernier cas, on observait un taux quinquennal de 350 ‰. Il serait toutefois préférable de tenir compte des retours, ce qui diminuerait encore ce taux. Les données publiées pour la Suisse ne le permettent pas.

b. Le cas de l'Angleterre

67Prenons un autre exemple où nous disposons d’une matrice annuelle et d’une matrice quinquennale de flux entre les régions (Kitsul et Philipov, 1981). En regroupant les régions de l'Angleterre en trois grandes zones : Est-Anglie (1), Sud-Est (2) et reste de l'Angleterre (3) on obtient, pour le groupe d’âges 20-24 ans en 1971, la matrice annuelle suivante :

68On dispose par ailleurs d’une mesure des flux de migrants sur cinq ans :

69En utilisant le modèle markovien, on aboutit à l’estimation suivante de P(1) :

70On voit à nouveau combien l’application d’un modèle markovien sous-estime les termes non diagonaux de la matrice P(1), puisque ces termes estimés sont proches de la moitié de ceux réellement observés.

IV. Le modèle migrant-sédentaire

71Le modèle précédent supposait que tout individu qui s’installe dans un lieu donné devait, à plus ou moins longue échéance, quitter ce lieu pour un autre. L’observation longitudinale des migrations montre que cette hypothèse n’est pas vérifiée, puisque certains individus s’installent de façon définitive dans un lieu. On voit donc que la probabilité d’émigrer n’est pas la même pour tous. Il existe une sous-population sédentaire, opposée à une sous-population migrante. Cette hypothèse permet d’affiner le modèle précédent et conduit à un modèle qui n’est plus markovien.

72Calculons, sous cette hypothèse, les effectifs de migrations, dernières migrations et migrants que l’on va observer. Il nous faut introduire un nouveau paramètre K, correspondant à la fraction de population qui fait une nouvelle migration, quel que soit le rang de la migration antérieure. Ces effectifs sont donc à calculer sur la fraction de population KN(0), mais avec une matrice de migration égale à , de façon à ce que, sur l’ensemble de la population, on retombe sur la matrice de migration P (1).

73Le nombre de migrations s’écrit :

74de telle sorte que :

75Le nombre de dernières migrations s’écrit :

76de telle sorte que :

77Enfin, le nombre de migrants s’écrit :

78Cette dernière relation s’écrit plus simplement sous forme matricielle, quelle que soit la valeur de t :

79Ce qui, lorsque l’on mesure les migrants sur une période de t années, donne la solution suivante :

80On note que, lorsque K = 1, on retombe bien sur le modèle markovien précédent, lequel permet d’améliorer l’estimation de la matrice des probabilités annuelles de migration. Dans l’exemple donné, où l’on suppose que le coefficient K, connu par une enquête, est égal à 0,6, nous avons les calculs suivants :

81La racine carrée de cette matrice est :

82Ce qui nous donne l’estimation suivante :

83avec une matrice d’erreurs :

84Cette estimation est plus satisfaisante que les précédentes car elle ne comporte pas plus une sous-estimation de tous les flux, certains pouvant même être légèrement surestimés.

85Il est possible de généraliser cette méthode en introduisant plusieurs sous-populations d’intensité de migration différentes (Kitsul et Philipov, 1981). Nous présentons ici un autre type de généralisation.

V. Vers un modèle plus général

86Dans tous les modèles précédents, le processus migratoire est supposé sans mémoire. Une fois qu’un individu est entré dans une zone, il oublie son lieu d’origine et se comporte comme ceux qui ont toujours vécu dans cette zone. On voit comobien cette hypothèse est bien peu vraisemblable. En réalité, comme l’ont montré de nombreuses enquêtes, la probabilité de retour vers la zone d’origine est plus importante que celle d’une migration vers une nouvelle zone.

87En outre, l’introduction d’un temps discret, si elle facilite les calculs, ne permet pas une mesure précise du phénomène migratoire, qui est continu au cours du temps.

88Nous allons donc développer un modèle en temps continu qui permette de tenir compte des migrations multiples et des retours. Voyons d’abord comment traiter la migration vers une zone avant de faire intervenir l’ensemble des flux.

89Nous travaillons sur une zone i pour laquelle nous supposons le flux de migration constant tout au long de la période considérée, de telle sorte que, pendant un court intervalle de temps, d_x, l’immigration vers cette zone sera m_.i d_x , le point en indice représente le reste du territoire, zone i exclue.

90Observons l’avenir de ces m_.i dx individus. Certains effectueront une nouvelle migration hors de i, de telle sorte qu’ils ne seront pas comptés dans les flux d’immigrants ou de dernières migrations vers i.

91Voyons comment ces nouvelles migrations peuvent se produire. Supposons d’abord, comme dans le paragraphe précédent, que seule une part K de ces migrants feront une nouvelle migration et que, pour ces individus, la probabilité instantanée de migration, constante tout au long de la période observée, est égale à k. Les nouvelles migrations qui se produisent au cours d’un intervalle de temps (t, t + dt), dp(t) seront alors proportionnelles à la population soumise au risque, c’est-à-dire (Km_.i dx – p(t)), où p(t) représente toutes les nouvelles migrations des individus ayant antérieurement migré au cours de l’intervalle de temps dx. On peut alors écrire :

92Cette relation s’écrit encore :

93Par intégration par rapport à t, elle donne :

94soit encore :

95Les conditions initiales, lorsque t = x, nous donnent la valeur de la constante C :

96de telle sorte que les nouvelles migrations entreprises par les migrants en dx sont égales à :

97Lorsque l’on fait varier x de 0 à t, on peut ainsi dénombrer toutes les nouvelles émigrations de la zone i :

98Nous obtenons donc l’effectif des individus ayant suivi le trajet (a, i, b)_t.

99Il en résulte que le nombre d’immigrants restant en i sera bien le nombre de dernières migrations que mesure une question sur le dernier changement de résidence. Comme l’ensemble des migrations vers i au cours de la période (0, t) est égal à m_.it, on obtient l’estimation du nombre de dernières migrations vers i en soustrayant l’effectif (a, i, b)_t :

100Pour estimer le nombre d’immigrants vers i, il nous faut poursuivre ce raisonnement. Certains individus faisant une dernière migration vers i peuvent ne pas être comptés comme migrants s’il s’agit d’un retour vers une zone habitée à l’instant t = 0. Nous supposons ici que le nombre de migrants effectuant un retour est proportionnel à la population soumise au risque, c’est-à-dire au nombre des émigrants de la zone i. Et nous supposons que cette proportion est connue, de telle sorte que les retours vers i peuvent s’écrire :

101Nous supposons également, dans ce cas que les paramètres K et k s’appliquent également aux flux d’émigration de la zone i. Il est dès lors possible de calculer le nombre d’immigrants vers i :

102Si l’on considère l’émigration m_i. dx, de la zone i, les retours que l’on vient d’estimer (i,  a, i)t ne doivent pas être pris en compte dans le nombre d’émigrants de cette zone, tout comme les individus ayant migré vers i et sortis à nouveau de cette zone. Il en résulte l’estimation suivante :

103soit encore :

104On vérifie une relation que l’on a déjà mentionnée. La migration nette d’une zone est égale à son nombre net de migrants quand cette zone ne connaît pas de mortalité :

105Pour estimer le nombre de dernières émigrations, il nous faut poursuivre l’analyse. Nous devons en effet connaître le nombre d’émigrations de i suivies d’une nouvelle migration vers une autre zone, la zone i comprise. Ce nombre s’écrit :

106Il en résulte que le nombre de dernières émigrations de i sera :

107Il suffit donc de résoudre les divers systèmes d’équations que nous venons d’écrire pour obtenir les estimations des probabilités instantanées de migration à partir des effectifs de migrants ou de dernières migrations que nous donnent les recensements. On obtient ainsi :

108ou encore :

109Les paramètres K, k et sont généralement estimés à l’aide d’enquêtes rétrospectives.

110Il nous reste maintenant à étendre ce modèle à tous les flux entre zones. Nous considérons donc maintenant deux zones i et j entre lesquelles on observe un flux m_ij dx au cours de l’intervalle de temps (x, x + dx). Nous devons poser des hypothèses supplémentaires pour poursuivre l’estimation des effectifs de migrants ou dernières migrations.

111Supposons que le flux [(i, j, a)_t + (i, j, i)_t] est proportionnel aux flux (i, a, b)_t précédemment estimé. Cela s’écrit :

112On voit que cette hypothèse est vraisemblable, car elle vérifie la relation :

113où est le quotient instantané d’émigration de la zone i. On voit alors que le nombre de dernières migrations de i vers j devient égal à :

114de telle sorte que :

115Pour estimer le nombre de migrants deæ i vers j, il nous faut connaître d’autres types de flux. Le flux [(a, i, j)_t + (j, i, j)_t] peut d’abord être décomposé. Comme (j, i, j)_t est un flux de retour, on peut écrire :

116Pour les autres migrations, qui ne sont pas de retour, nous pouvons écrire :

117Il nous faut également estimer le flux (i, a, j)_t. De nouveau, comme ce flux n’est pas un flux de retour, nous avons :

118Le nombre de migrants entre i et j s’écrit alors :

119Un tel système d’équations pour les flux m_ij vérifie bien les conditions suivantes :

1. Application à l’exemple simulé

120Comme le système d’équations ci-dessus n’est généralement pas linéaire, on doit utiliser une procédure itérative pour le résoudre et obtenir les estimations des quotients instantanés m_ij (Courgeau, 1982b). Cependant, sur la durée de deux ans, c’est-à-dire t = 2, considérée dans notre exemple, le système est toujours linéaire. Supposons connus – par exemple, grâce à des enquêtes rétrospectives – les paramètres suivants :

121Cela conduit au système de six équations linéaires suivant :

122₁₂ = 3527 = 2 m₁₂ – (m₁₂ + 0,6 m₂₁ + 0,4 m₃₁ – 0,4 m₁₃) 0,211

123₁₃ = 7162 = 2 m₁₃ – (m₁₃ + 0,6 m₃₁ + 0,4 m₂₁ – 0,4 m₁₂) 0,211

124₂₁ = 2440 = 2 m₂₁ – (m₂₁ + 0,6 m₁₂ + 0,4 m₃₂ – 0,4 m₂₃) 0,211

125₂₃ = 5178 = 2 m₂₃ – (m₂₃ + 0,6 m₃₂ + 0,4 m₁₂ – 0,4 m₂₁) 0,211

126₃₁ = 1250 – 2 m₃₁ – (m₃₁ + 0,6 m₁₃ + 0,4 m₂₃ – 0,4 m₃₂) 0,211

127₃₂ = 2090 = 2 m₃₂ – (m₃₂ + 0,6 m₂₃ + 0,4 m₁₃ – 0,4 m₃₁) 0,211

128Ce système s’écrit après simplification :

1293231,6 = 1,7046 m₁₂ – 0,0422 m₂₁

1302355,6 = 1,7046 m₂₁ – 0,0422 m₁₂

1316866,6 = 1,7046 m₁₃ – 0,0422 m₃₁

1321629,8 = 1,7046 m₃₁ – 0,0422 m₁₃

1335093,6 = 1,7046 m₂₃ – 0,0422 m₃₂

1342469,8 = 1,7046 m₃₂ – 0,0422 m₂₃

135Sa résolution donne la matrice des quotients instantanés suivants :

136Ces quotients ne sont plus directement comparables à la matrice des taux annuels. En effet, même au cours d’une année, des migrations multiples et des retours peuvent se produire. On constate qu’ils sont toujours supérieurs aux taux annuels, comme on devait s’y attendre. De toute façon, on peut reconstruire la matrice estimée des taux annuels avec ces taux instantanés pour la comparer à la matrice observée. On obtient dans ce cas la matrice suivante :

137On constate qu’elle est très proche de P(1).

138Il est possible d’améliorer cette méthode en utilisant des paramètres différents pour diverses zones. Dans ce cas, le principal problème consiste d’estimer ces paramètres.

2. Le cas de la France

139À titre d’exemple, nous donnons ici l’estimation des probabilités instantanées de migrer en France. En effet, dans ce pays, on a posé depuis 1962 une question sur le lieu de résidence au 1^er janvier de l’année du recensement antérieur. Comme toutes les périodes intercensitaires sont différentes (1954, 1962, 1968, 1975, 1982), sauf les deux dernières, il devient nécessaire, pour avoir une idée de l’évolution au cours du temps des migrations, d’estimer une probabilité instantanée de migrer au cours de ces diverses périodes. Les paramètres ont été estimés à l’aide d’enquêtes rétrospectives relevant toutes les migrations effectuées dans la vie des enquêtés.

140Nous résumons l’analyse que nous avons effectuée sur les données d’une enquête faite en France en 1967, comparées à des données semblables recueillies en Suède et aux États-Unis (Courgeau, 1973).

141Prenons un individu ayant effectué une migration à une certaine date : a priori, son comportement doit dépendre du rang de cette migration. Mais s’il n’en dépendait pas ou en dépendait peu, le problème s’en trouverait fortement simplifié. Pour voir ce qu’il en est, une analyse longitudinale est nécessaire.

a. Probabilité d’un déplacement supplémentaire

142Laissant d’abord de côté la répartition dans le temps des déplacements supplémentaires pour examiner si la probabilité de faire un nouveau déplacement après un déplacement de rang i dépend peu ou beaucoup de son rang. Le tableau 67 présente ces probabilités pour divers types de migrations et pour les divers rangs.

143La légère baisse de ces probabilités lorsque le rang du déplacement augmente s’explique en partie par l’effet de l’âge : les personnes effectuant leur troisième migration, par exemple, seront en moyenne plus âgées que celles effectuant leur première migration. L’enquête étant rétrospective, la période observée depuis la troisième migration est donc moins importante, et certaines migrations de rang supplémentaire ne sont pas observées – et ce, d’autant plus fortement que le rang de la migration est élevé.

Tableau 67. Probabilité d’un déplacement supplémentaire, France, enquête de 1967

144Des résultats semblables obtenus dans les trois pays considérés permettent de dire que la probabilité d’effectuer un déplacement supplémentaire est à peu près indépendante du rang du déplacement antérieur.

b. Répartition au cours du temps des nouvelles migrations

145Pour étudier cette répartition, demandons-nous d’abord quelle est la population soumise au risque de nouvelle migration, un certain nombre d’années après la migration antérieure de rang i. On a vu précédemment que seule une fraction des individus ayant effectué une migration de rang i fera une migration de rang (i + 1). La population soumise au risque de migration en année t sera donc cette fraction d’où l’on a retiré les individus ayant fait une migration de rang i + 1 jusqu’à l’année (t – 1) incluse.

146Pour éviter une trop forte sous-estimation, prenons les migrations de rang i faites avant l’âge de 25 ans par la cohorte née en 1917 et avant, et cherchons la répartition au cours du temps des migrations de rang (i + 1). La population soumise au risque est alors observée au moins vingt-cinq ans après la migration antérieure : le nombre d’individus effectuant une nouvelle migration après un tel délai doit être faible.

147On constate que ces quotients dépendent peu de la durée de séjour et du rang de la migration, ce qui permet d’estimer un quotient k, à partir de l’ensemble des données. Le tableau 68 donne ces quotients pour divers types de migration et rangs.

148On peut dire que ces quotients dépendent peu de la durée, du rang de la migration antérieure et du découpage géographique sur lequel les migrations sont mesurées.

Tableau 68. Quotients de migration de divers rangs, France, enquête de 1967

149On peut dès lors écrire le modèle théorique suivant :

150où (t) est le nombre de premières migrations mesurées sur t années, m le taux instantané de migration et P la population observée.

c. Étude des retours

151Les retours constituant une faible part des migrations, il paraît préférable de travailler sur des effectifs cumulés. Si l’on suppose que les retours r(t) vont constituer une part constante des migrations de rang supérieur à un, qui se produisent au cours d’une année, cette hypothèse s’écrit :

152où m_i(t) représente les migrations de rang i qui se produisent l’année t. Le tableau 69 donne ces résultats sur une durée de 10 ans.

Tableau 69. Rapport entre retours et migrations multiples, France, enquête de 1967

153On constate que l’hypothèse de constance du paramètre l est bien vérifiée. On peut alors écrire le modèle théorique :

154où (t) est le nombre de migrants mesurés sur t années.

Figure 2. Répartition au cours du temps, pour divers découpages géographiques, des premières migrations et des migrations tous rangs réunis, France, enquête de 1967

d. Estimation des paramètres du modèle à partir des données de l’enquête

155Cette estimation est faite en deux temps. En travaillant sur les  dix années qui précèdent l’enquête, on dispose des migrations des divers rangs qui se produisent au cours de la période. La figure 2 montre la répartition au cours du temps, pour divers découpages géographiques de la France, des premières migrations et des migrations tous rangs réunis.

156La courbe tous rangs réunis indique que l’on peut faire l’hypothèse d’une probabilité de migration constante tout au long de la période. Il est dès lors possible d’estimer, à l’aide de la formule (57), les coefficients k et K donnant la valeur minimum de χ² sous les conditions suivantes :

157– on ne travaille que sur les migrations de rang 1 et 2, les effectifs ayant effectué des migrations de rang supérieur étant très faibles ;

158– le coefficient k est supposé indépendant du découpage géographique ;

159– si le coefficient K peut dépendre du découpage géographique, il est indépendant du rang de la migration pour un même découpage.

160Le tableau 70 compare les distributions théoriques et les distributions réelles pour les valeurs minimum de χ² sous les conditions précédentes.

Tableau 70. Comparaison des migrations observées et des migrations prévues par le modèle (57) avec les valeurs de χ², France, enquête de 1967

161On peut constater un bon accord avec le modèle proposé pour les valeurs des constantes données dans le tableau 71.

Tableau 71. Estimation des paramètres du modèle (59)

162Les coefficients trouvés sont cohérents avec ceux mis en évidence lors de l’analyse longitudinale du phénomène. Nous avions vérifié que les retours constituaient, au cours de la même période, une part constante des migrations de rang supérieur à 1 qui se produisent au cours d’une année. À partir du tableau 69, nous pouvons estimer le paramètre en prenant la valeur obtenue pour une durée de séjour de dix ans.

163Nous disposons maintenant des valeurs de tous les paramètres utiles pour estimer le taux annuel de migration à partir des données censitaires. Sous ces conditions, on peut donc construire le tableau 72.

Tableau 72. Nombre de changements de commune et population soumise au risque (en milliers), proportions de migrants et taux annuel (‰), France, 1954-1975

164On voit donc combien l’estimation de la proportion annuelle de migrants obtenue en divisant la proportion de migrants par la durée de la période considérée sous-estime le taux annuel de migration. Même si cette dernière estimation est seulement approchée, elle est beaucoup plus satisfaisante que la proportion annuelle de migrants. L’application de cette méthode aux données censitaires américaines, pour lesquelles les enquêtes annuelles permettent de suivre l’évolution de la mobilité depuis 1948, donne des résultats très satisfaisants (Courgeau, 1982a).

Conclusion

165Nous avons présenté dans ce chapitre des méthodes de plus en plus complexes qui permettent de comparer des effectifs mesurés, lors d’un même recensement, à l’aide de questions soit sur les migrants, soit sur les dernières migrations.

166Nous n’avons pas étendu cette comparaison aux données sur le lieu de naissance, et ce pour plusieurs raisons. En premier lieu, ces statistiques peuvent porter sur de très longues périodes pour les individus âgés. Les hypothèses que nous avons faites supposent une mobilité constante tout au long de la période d’observation. Si cela est à peu près vérifié sur de courtes périodes, cela ne l’est généralement plus dès que la période dépasse dix ans. En second lieu, du fait des naissances en clinique ou en maternité, il faut enregistrer le lieu de résidence habituel de la mère au moment de la naissance. Dans certains pays cela n’est pas fait, ce qui rend ces statistiques peu utilisables. Dans les autres pays, on peut penser que de nombreux individus ignorent le lieu de résidence habituel de leur mère au moment de leur naissance.

167Cependant, lors la comparaison du lieu de naissance et du lieu de résidence antérieure a été tentée en faisant une classification croisant ces deux lieux, de graves erreurs ont pu être observées. Ces erreurs apparaissent lorsque l’on croise l’information sur les individus ayant toujours résidé dans le même lieu avec les données sur le lieu de naissance. Dans certains cas, la proportion de non-natifs classés simultanément comme non-migrants était tellement élevée que les réponses à la question sur le lieu de résidence antérieur n’ont pu être publiées (Arevalo, 1981, p. 11). Ces erreurs peuvent provenir d’une interprétation erronée du lieu de résidence par les individus recensés. Les naissances en clinique ou chez des grands-parents sont, en particulier, des sources d’erreur importantes.

168La relative stabilité, pendant de courtes périodes, des taux annuels de migration a été vérifiée dans de nombreux pays, en particulier dans les pays disposant de registres de population ou dans les pays faisant des enquêtes annuelles sur la migration (États-Unis, par exemple). Cela justifie, dans ces cas précis, l’utilisation des modèles présentés ici. Même s’il existe de faibles variations, liées en particulier aux conditions économiques du moment, elles influent peu sur les estimations. Il est d’ailleurs possible de généraliser ces modèles en faisant intervenir au cours du temps une variation des taux annuels ou instantanés. Si l’on peut supposer une variation linéaire, cette généralisation est très aisée.

169Dans certains pays comme la France, l’utilisation de ces modèles est indispensable pour fournir des mesures comparables d’un recensement au suivant. Cela se produit chaque fois que la période d’observation des migrants change.

170Un nombre croissant de pays – y compris parmi ceux en développement – posent, lors de leurs recensements, plusieurs types de questions tant sur les migrants que sur les dernières migrations. Ils ont également d’autres sources d’informations sur les migrations qui s’y produisent, en particulier par des enquêtes. Les modèles présentés ici sont alors indispensables pour effectuer les comparaisons entre les diverses mesures et, surtout, tester leur cohérence. Bien que ces tests en soient encore à leurs débuts, on peut prévoir un important développement de leur utilisation dans un avenir proche.