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Logique, mathématiques, langue universelle

 | 
Louis Couturat

Troisième partie: 1906-1917

ARTICLE 38

De l’abus de l’intuition dans l’enseignement mathématique

Revue de Métaphysique et de Morale, 1916, t. XXIII, p. 879-884

Editor's note

[De même que l’article précédent traitait d’une application de la théorie du langage au programme d’enseignement des classes de philosophie, la présente étude prolonge la discussion philosophique de l’Article 35 dans l’appréciation de la valeur des méthodes d’enseignement des mathématiques. On remarquera que le sujet discuté en 1916 n’est pas sans rappeler les discussions qui eurent lieu en France, dans les années 1960, lors de l’introduction de ce que l’on appelait les « mathématiques modernes » dans l’enseignement primaire et secondaire. La position à la fois rigoureuse et réaliste défendue par Couturat n’a à cet égard rien perdu de sa pertinence.]

Full text

1On peut distinguer, parmi les mathématiciens, les logiciens et les intuitifs, étudier ces deux sortes d’esprits, discuter leurs qualités et leurs avantages : c’est là un problème purement psychologique, qui ne concerne pas la science, mais seulement les savants.

2On peut rechercher quelle est la place et la part respectives de la logique et de l’intuition dans la constitution de la science mathématique, considérée comme un système de vérités interdépendantes : c’est là le problème proprement philosophique, ou épistémologique.

3On peut enfin se demander la place et l’importance relatives qu’il convient d’attribuer à la logique et à l’intuition dans l’enseignement des mathématiques, et cela, en considérant la fin de tout enseignement, qui est la formation de l’esprit. C’est là le problème pédagogique, que je ne prétends pas traiter, mais simplement poser dans cette note.

  • 1 [Ce que l’on a aussi appelé l’arithmétisation de l’analyse (essentiellement, la construction de tou (...)
  • 2 [La définition logique du nombre entier est due d’abord à Richard Dedekind (1831-1916) et à Gottlob (...)

4La solution de ce dernier problème est relativement indépendante de la solution des deux autres, en particulier de celle du problème épistémologique. Au cours du XIXsiècle, les mathématiques ont été soumises à une révision critique et à une systématisation logique, qui ont abouti d’abord à leur arithmétisation : toutes les vérités mathématiques portent en dernière analyse sur les nombres entiers, et se déduisent de leurs propriétés1. Puis on a analysé et reconstruit la notion de nombre elle-même, en la rattachant, par la théorie des ensembles, aux notions et aux principes de la Logique même. Et l’on a ainsi abouti à la logicisation des mathématiques2. Quoi qu’on pense de la valeur de cette réduction des mathématiques à la logique, et des difficultés qu’elle soulève encore, nul ne peut contester son importance philosophique et méconnaître qu’elle constitue un progrès considérable dans la connaissance de l’esprit.

5Mais, lors même qu’on reconnaîtrait à cette réduction une valeur logique absolue, on pourrait toujours demander s’il est opportun de la faire pénétrer, avec toute sa rigueur, dans l’enseignement, surtout secondaire, ou dans quelle mesure on doit en tenir compte. Il semble qu’on se soit trop hâté (par un souci de rigueur logique qui fait honneur à la conscience des professeurs) d’introduire dans l’enseignement élémentaire des lycées des théories un peu trop abstraites et subtiles : par exemple, la définition des nombres irrationnels comme coupures de l’ensemble des nombres rationnels. Ne vaudrait-il pas mieux les présenter d’abord sous une forme plus intuitive, comme symboles d’une mesure impossible, ou plutôt d’un rapport de grandeurs incommensurable (inexprimable en nombres), en faisant appel au « sentiment » de la continuité, et réserver les définitions rigoureuses et les démonstrations formelles à l’enseignement supérieur, à l’époque (et à l’âge) où l’on peut sans inconvénient se livrer à une révision critique des éléments acquis intuitivement et assimilés par une pratique suffisamment longue ?

6Il semble donc qu’on ait abusé de la logique dans nos classes (il ne s’agit, bien entendu, que d’un abus au point de vue pédagogique ; car nous ne croyons pas qu’on puisse abuser de la logique au point de vue théorique et critique). Il en est résulté une réaction naturelle et fatale (favorisée sans doute par certains courants d’opinion, par ce qu’on pourrait appeler la mode, qui malheureusement règne même en philosophie) ; de sorte qu’il y a lieu à présent de se demander si l’on n’abuse pas, inversement, de l’intuition, et si l’on ne sacrifie pas trop l’élément logique de l’enseignement mathématique.

  • 3 On peut soutenir, au point de vue logique, qu’il est indifférent que les propositions premières soi (...)
  • 4 [Cf. la démonstration de « 2 + 2 = 4 » donnée par Leibniz dans les Nouveaux Essais sur l’entendemen (...)
  • 5 [Le principe ou loi d’induction complète stipule que, si un théorème est vrai pour n = 1, et si qua (...)

7M. Russell a fait une remarque fort juste, qui contribuera à éclairer la question. Lorsqu’on s’efforce de réduire les vérités mathématiques à un minimum de propositions premières, on s’aperçoit que ces propositions, qui sont la base logiquement nécessaire et suffisante de toutes les autres, sont fort peu évidentes : elles offrent même parfois à l’esprit une forme subtile, obscure ou compliquée qui le déçoit un peu3. Elles ne s’imposent à l’assentiment que par le fait qu’on en déduit logiquement toutes les autres vérités, y compris celles qu’on était accoutumé à considérer jusqu’alors comme des principes « évidents par eux-mêmes ». Bref, l’évidence naturelle et intuitive appartient, non pas aux propositions premières, mais à certaines propositions dérivées qu’on en déduit logiquement, et que nous appellerons, suivant la tradition, des axiomes. Naturellement, la place de ces axiomes ne peut pas être déterminée avec précision, puisqu’elle dépend d’un « sentiment » tout subjectif, l’évidence. Pour le vulgaire « 2 et 2 font 4 » est un axiome, bien que ce soit un théorème pour l’arithméticien le moins philosophe4. En revanche, pour celui-ci la loi d’induction complète sera un axiome, tandis que pour un logicien elle sera une conséquence de la définition du nombre entier5 : et ainsi de suite. Mais, quels que soient le nombre et la nature de ces axiomes, il semble qu’on doit, dans l’enseignement, partir de ces axiomes pour en déduire logiquement tout le reste, et n’entreprendre la réduction logique de ces axiomes qu’à un stade ultérieur des études, lorsque l’esprit critique est plus développé.

  • 6 [Charles Méray (1835-1911), professeur aux facultés des sciences de Lyon puis de Dijon, Nouveaux Él (...)

8Mais de ce que l’on est obligé (au moins provisoirement et dans l’enseignement) de se contenter d’axiomes intuitifs comme points de départ, il ne s’ensuit pas qu’on doive faire dès lors bon marché de l’enchaînement logique des propositions et remplacer les démonstrations rigoureuses (là où elles sont possibles) par des appels à l’intuition. Prenons pour exemple la géométrie, où l’intuition a le plus de place, en toute hypothèse. On a certes beau jeu à critiquer la méthode d’Euclide, à montrer qu’elle n’est pas rigoureusement logique, et présente souvent comme des raisonnements probants ce qui n’est qu’un appel à l’intuition. (Telles sont, notamment, les démonstrations des fameux cas d’égalité des triangles.) Mais ce n’est pas une raison suffisante, parce que cette méthode déductive est quelquefois en défaut, pour la rejeter complétement. Il fallait la perfectionner, et non l’abandonner ; pour cela, il suffisait de distinguer nettement, dans chaque démonstration, ce qui est appel à l’intuition de ce qui est déduction formelle ; et il fallait, autant que possible, rassembler et formuler ces appels à l’intuition en quelques axiomes clairs et précis. Peu importe que, pour les rendre plus intuitifs, plus frappants pour l’imagination, on leur donne une forme cinématique, en postulant la possibilité de certains mouvements (comme Méray dans ses Éléments de géométrie6). Cela peut être philosophiquement discutable ; mais au point de vue pédagogique cela n’a que des avantages, en donnant aux « notions premières », l’appui large et solide de l’expérience journalière ; une porte tournant sur ses gonds est le type des rotations ; un tiroir est le type des translations. Il y a un avantage manifeste à établir ainsi une connexion intime entre la théorie et la pratique, entre l’abstrait et le concret, entre les constructions idéales et les faits empiriques ; cela donne à l’élève le vif sentiment de la vérité objective des mathématiques (qu’un exposé trop purement logique risque de faire oublier), et le prépare aux applications pratiques de la science, qui en sont en même temps la vérification la plus étendue.

  • 7 [Voir Article 28, note 19.]

9Mais cela fait, une fois qu’on a pris dans la réalité intuitive et objective une base suffisamment large, on devrait procéder par déductions logiques et s’interdire tout appel à l’intuition ; en un mot, on devrait employer la méthode idéale d’Euclide, celle qu’il croyait et voulait employer. Et cela serait encore vrai, lors même que la méthode intuitive serait plus courte, plus facile et plus « amusante ». Elle pourrait tout au plus convenir à des « primaires » destinés à devenir des ouvriers ou des contremaîtres ; mais l’autre seule convient à la formation scientifique du géomètre, et même à la formation de l’esprit en général. Suivant une parole célèbre, la géométrie se glorifie de tirer du plus petit nombre possible de prémisses le plus grand nombre possible de conséquences7. La méthode géométrique a été pendant des siècles l’idéal de la méthode déductive ; elle a séduit, passionné, enivré les plus grands penseurs ; elle leur a donné une idée sublime (peut-être excessive) du pouvoir de la raison (et c’est sans doute pour cela que l’obscurantisme contemporain la juge suspecte et la considère comme démodée). Mais ces excès ne sont plus à craindre ; personne aujourd’hui (et les logiciens moins que personne) ne rêve, comme Pascal, d’une science où l’on pourrait « tout définir » et « tout démontrer ». En tout cas, c’est un merveilleux exercice de l’esprit, c’est une gymnastique intellectuelle incomparable, et qui développe, non seulement les facultés déductives, mais tout autant les facultés inventives et constructives (car c’est le fait d’une épistémologie bien superficielle que d’opposer l’invention à la déduction). Ce serait une grave erreur et même une faute que de sacrifier cette méthode, sous prétexte qu’elle n’a pas été appliquée assez rigoureusement par Euclide et ses imitateurs, ou sous prétexte qu’elle ne peut pas s’appliquer à tout et qu’on peut en abuser hors du domaine de son application. Certes, les facultés d’intuition, d’observation, toutes les facultés empiriques ont assez d’occasions de s’exercer en d’autres domaines. Raison de plus pour conserver aux facultés rationnelles, les moins « naturelles », les plus difficiles à éduquer et à développer, le champ d’exercice qui leur convient le mieux. Agir autrement serait (nous le disons sans emphase) un véritable crime contre l’esprit.

10On alléguera peut-être que la méthode de démonstration euclidienne s’entoure de formules pédantes et solennelles, qu’elle emploie pour ainsi dire des rites surannés : énoncé, hypothèse, construction, raisonnement par l’absurde, conclusion enfin, suivie du sacramentel C.Q.F.D. On fera remarquer que les autres sciences mathématiques ne s’embarrassent pas de cet appareil scolastique, et n’en font pas moins des raisonnements rigoureux. Mais c’est qu’aussi ces sciences ont d’autres procédés pour aider le raisonnement, et même pour le remplacer ; c’est notamment le calcul arithmétique et le calcul algébrique, qui sans doute incarnent et résument le fruit de déductions antérieures, mais qui ne sont en soi que des manipulations matérielles et quasi automatiques de signes. Le calcul n’est pas un exercice de l’esprit, il le dispense plutôt de tout effort, pour lui permettre de s’appliquer ailleurs, à savoir aux données du problème (les soi-disant problèmes d’arithmétique de nos classes sont bien moins des exercices d’arithmétique que des exercices de raisonnement ou de divination).

11On dira aussi que la géométrie n’est pas une science purement rationnelle, parce qu’elle s’aide de figures qui s’adressent à l’imagination et lui fournissent un support. Mais ici il faut bien distinguer ce qui, dans une figure, n’est que l’illustration du raisonnement, de ce qui constitue un appel à l’intuition. On connaît des sophismes géométriques qui consistent, justement, à s’appuyer sur un détail d’une figure mal tracée. Mais la véritable géométrie consiste, suivant un mot spirituel mais profond, « à raisonner juste sur des figures fausses ». Et le fait même qu’il faut apprendre à se défier de la figure, c’est-à-dire de l’intuition, ou plutôt à s’en passer, et à ne s’appuyer que sur les données du raisonnement, est un excellent exercice intellectuel. On sait d’ailleurs que certaines théories géométriques peuvent être exposées déductivement sans aucune figure ; par exemple la géométrie de position de Von Staudt. Et cela vaut encore mieux, comme exercice de l’esprit et aussi de l’imagination.

12Que reste-il donc des critiques des novateurs ou réformateurs imprudents de l’enseignement géométrique ? Tout au plus quelques railleries superficielles sur les formes extérieures de la démonstration, sur le style euclidien. Mais ces formules mêmes, héritage de l’esprit subtil et minutieux des Grecs, expriment les précautions qu’on doit prendre, les formes qu’on doit observer pour raisonner correctement ; elles rendent plus sensibles aux novices les démarches de l’esprit, les articulations de la déduction ; elles sont donc éminemment instructives et pédagogiques ; et quand elles ne feraient qu’inspirer à l’élève une sorte de respect pieux pour les lois de la pensée (comme l’appareil des formes judiciaires tend à inspirer le respect des lois civiles), elles ne seraient pas inutiles, il en est de ces formules comme des formes du syllogisme : on peut sans doute raisonner correctement sans elles ; mais il est bon de les avoir pratiquées, pour pouvoir s’en passer plus sûrement ensuite. Dans tous les exercices physiques on commence par une analyse des mouvements à exécuter ; il en est de même dans cet exercice intellectuel qu’est la déduction. Et si l’habitude de mettre des raisonnements en forme contribuait à préserver les élèves de commettre des sophismes ou d’en être dupes, il faut avouer qu’elle ne serait ni vaine, ni ridicule. La raison n’a déjà pas tant d’autorité dans la vie courante et dans la société pour qu’on puisse négliger un moyen quelconque de l’exercer et de la fortifier dans les jeunes gens.

Notes

1 [Ce que l’on a aussi appelé l’arithmétisation de l’analyse (essentiellement, la construction de toutes les classes de nombres à partir des seuls nombres entiers positifs) a été l’œuvre principalement de Karl Weierstrass (1815-1897), Richard Dedekind (1831-1916), Georg Cantor (1845-1918). —On trouvera un bon exposé de vulgarisation dans Jacqueline Boniface, Les Constructions des nombres réels dans le mouvement d’arithmétisation de l’analyse, Paris, Ellipses, 2002.]

2 [La définition logique du nombre entier est due d’abord à Richard Dedekind (1831-1916) et à Gottlob Frege (1848-1925), avant d’être reprise par Bertrand Russell. Voir Article 9]

3 On peut soutenir, au point de vue logique, qu’il est indifférent que les propositions premières soient évidentes ou non, car c’est là un caractère purement psychologique et subjectif, donc individuel et variable, dont on n’a pas à tenir compte dans la construction de la science. Mais ce n’est certainement pas indifférent au point de vue pédagogique, quand ce ne serait que pour l’assimilation plus ou moins facile, rapide et sûre des connaissances élémentaires.

4 [Cf. la démonstration de « 2 + 2 = 4 » donnée par Leibniz dans les Nouveaux Essais sur l’entendement humain, Livre IV, chap. 7, § 10, et sa critique par Frege, Die Grundlagen der Arithmetik (1884), § 6 , (Les Fondements de l’arithmétique, trad. fr. Claude Imbert, Paris, Seuil, 1969, pp. 130-131), puis par Poincaré, « Sur la nature du raisonnement mathématique », chap. 1er de la Ière Partie de La Science et l’Hypothèse, Paris, Flammarion, 1902.]

5 [Le principe ou loi d’induction complète stipule que, si un théorème est vrai pour n = 1, et si quand il est vrai pour n quelconque, il est vrai pour + 1, alors il est vrai pour tous les nombres entiers. Pour Henri Poincaré, cet principe « est le véritable type du jugement synthétique a priori », irréductible aux seules lois logiques (La Science et l’Hypothèse, op. cit., p. 24).]

6 [Charles Méray (1835-1911), professeur aux facultés des sciences de Lyon puis de Dijon, Nouveaux Éléments de géométrie, Paris, Savy, 1874.]

7 [Voir Article 28, note 19.]

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