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Logique, mathématiques, langue universelle

 | 
Louis Couturat

Troisième partie: 1906-1917

ARTICLE 35.1

Des propositions particulières et de leur portée existentielle

Revue de Métaphysique et de Morale, 1913, t. XXI, pp. 256-259

Nota del editor

L’intérêt de ce bref article, où il critique une conception exposée par S. Ginzberg sur un point très précis d’interprétation de la Logique classique, tient à ce que Couturat y donne une idée très claire de ce que pouvait être sa conception de l’histoire de la Logique en général. Contre Kant et Poincaré, il rejette l’idée que la Logique aurait été constituée une fois pour toutes par Aristote, et n’ait pu par la suite faire aucun progrès [Voir Article 28, note 20, et Article 29, note 2.]. Mais pour autant, Couturat ne tombait pas dans l’illusion selon laquelle les nouveaux systèmes de Frege, Peano, Russell, auraient rendues définitivement obsolètes les étapes antérieures du développement de la logique. Fidèle en cela à l’exemple de Leibniz, il reconnaît une continuité dans le progrès de la logique, comme de toute science, car « le domaine d’une science peut recevoir une extension, même considérable, sans que la notion et la définition de cette science changent. Autrement, on ne pourrait jamais parler du progrès des sciences : car cela suppose qu’une science reste identique à elle-même en essence à travers son développement historique » [Article 28]. Et puisque la logique est bien pour Couturat une science, elle peut avoir progressé à la fois en extension de son domaine et en rigueur de ses méthodes, sans changer de nature. Il peut donc, ici, corriger de fausses interprétations de la Logique classique tout en défendant son « ordonnance et harmonieuse symétrie », notamment contre des innovations inopportunes, dont la théorie de la « quantification du prédicat » de William Hamilton lui donne un exemple.

L’auteur mis en cause par Couturat s’est défendu une lettre à la rédaction de la RMM, publiée l’année suivante. Couturat y a répondu par une brève mise au point. Pour la commodité du lecteur qui pourra mieux suivre la continuité de la discussion, nous reproduisons ici, à la suite de l’article, cette défense et cette réponse.

Texto completo

  • 1 [« Note sur le sens équivoque des propositions particulières », par S. Ginzberg, RMM, t. XXI (1913) (...)

1Le problème soulevé par M. Ginzberg (Revue [de Métaphysique et de Morale] de janvier, p. 1011) a été depuis longtemps résolu par les logisticiens d’une manière qui me semble satisfaisante et définitive. Je voudrais la rappeler brièvement.

  • 2 [Ginzberg proposait d’interpréter le jugement particulier comme signifiant : « Quelques, et rien qu (...)
  • 3 [« Règle des contradictions (A et O, E et I) : Si l’une est vraie, l’autre est fausse ; si l’une e (...)

2Auparavant je remarque que la proposition particulière unique de M. Ginzberg est en réalité double, comme il le reconnaît du reste : elle implique à la fois I et O de la logique classique2 : « Quelque a est b » et « Quelque a n’est pas b ». Par suite elle détruit toute la symétrie de la théorie classique, et les règles des oppositions, en particulier celle des contradictions (M. Ginzberg l’a bien vu, p. 103, ligne 73). Mais il n’y a évidemment aucun avantage à prendre comme type de proposition une proposition qui est double, et qui contient deux propositions simples. Si l’on obtient ainsi une « simplification » de la théorie, ce ne peut être qu’aux dépens de sa généralité.

3On reproche au type classique « Quelques a sont b » d’avoir un sens vague. Ce reproche ne me semble nullement justifié. La particulière affirmative n’est pas plus vague que l’universelle négative dont elle est la contradictoire. Il en est de même, naturellement, pour la particulière négative. Elles ne sont ni plus vagues ni moins précises que les universelles opposées, or on ne trouve rien de vague ou d’équivoque dans ces propositions : « Tout a est b. — Nul a n’est b. »

  • 4 [William Hamilton (1788-1856), après avoir étudié la philosophie allemande, était professeur d’hist (...)

4Il y a néanmoins une illusion, très tenace, parce qu’elle est fondée sur les formes du langage, et qui fait croire que dans les propositions classiques le sujet est quantifié (par Tout et Quelque) ; et c’est ce qui a conduit Hamilton4 (le plus mauvais des logiciens) à son idée malencontreuse de quantifier (aussi !) le prédicat. Sans doute, la Logique classique invoquait des considérations de quantité (réduites précisément aux notions de Tout et Quelque) pour justifier les syllogismes. Mais elle admettait, par une conséquence nécessaire, la quantification implicite du prédicat (universel dans les négatives, particulier dans les affirmatives). Et c’est précisément pourquoi l’idée de quantifier le prédicat à part et explicitement est tout à fait saugrenue.

  • 5 M. Ginzberg dit, conformément à une tradition trop répandue : « La quantification du prédicat, néce (...)
  • 6 [Augustus de Morgan (1806-1871) était professeur de mathématiques à l’University College de Londres (...)

5Pour la Logistique, toute quantification disparaît5 (et c’est, soit dit en passant, pourquoi il ne faut pas considérer Hamilton comme un précurseur de la logistique ; il est aux antipodes de la logistique, et c’est ce qu’il a surabondamment prouvé par son incompréhension totale des travaux de De Morgan et sa célèbre polémique avec celui-ci6). « Tout a est b » signifie simplement : La classe a est contenue dans la classe b. « Nul a n’est b » signifie : La classe a est exclue de la classe b. Et les particulières signifient exactement la négation de ces deux faits, de ces deux relations. Elles n’ont rien de vague et d’équivoque ; et elles n’ont rien non plus de quantitatif.

  • 7 C’est précisément pour cela que, repoussant le nom (usité en anglais) de Logique symbolique, nous a (...)

6C’est ce qu’on voit encore mieux quand on transforme les quatre propositions classiques en propositions existentielles. Je ne veux pas employer ici de symboles, bien qu’ils soient plus clairs et plus précis pour les initiés, parce qu’ils peuvent donner aux profanes l’illusion d’un tour de passe-passe algébrique. Illusion commune d’ailleurs aux adversaires de la Logistique et à certains de ses amis, qui semblent attribuer aux symboles un pouvoir mystérieux et magique7. Je désire montrer que, si l’usage des symboles est très utile à la Logistique, il ne lui est nullement essentiel.

7(E) « Nul a n’est b » = Il n’y a pas de ab.

(A) « Tout a est b » = Il n’y a pas de a non-b.

8Par conséquent, les particulières étant la simple négation des universelles :

(I) « Quelque a est b » = Il y a des ab.

(O) « Quelque a n’est pas b » = Il y a des a non b.

  • 8 Par exemple, on voit qu’elle contredit à la fois A et E. Si donc A et E sont considérées comme simp (...)

9Sous cette forme, les quatre propositions sont absolument claires et précises ; et l’on n’y trouve pas trace d’une quantification quelconque. Chacune d’elles est parfaitement simple : elle affirme l’existence ou la non-existence d’une classe bien définie. Sans doute, on peut combiner I et O en une affirmation conjointe, mais on n’obtient ainsi qu’une proposition complexe : « Il y a des ab et des a non-b », dont la « duplicité » reste manifeste8. On ne peut évidemment pas prendre une telle proposition pour base d’un système syllogistique.

10Tout ceci est entièrement conforme à l’esprit de la Logique classique. Mais voici les conséquences qui en résultent, et qui ont conduit à découvrir et à rectifier une erreur de la Logique classique.

  • 9 [« Règle des subalternes (I est subalterne de A, et O subalterne de E) : Si l’universelle est vraie (...)

11Du moment que les particulières sont des existentielles affirmatives, et les universelles des existentielles négatives, on ne peut pas déduire une particulière d’une universelle (ni inversement). Donc la subalternation classique est fausse9. De : « Il n’y a pas de a non-b » on ne peut nullement inférer : « II y a des ab ». Cette inférence n’a pu faire illusion que grâce à la prémisse additionnelle et tacite : « Il y a des a », qui semblait impliquée dans le langage. Car s’il y a des a, et si tous les a sont b, alors (et alors seulement) on peut affirmer qu’il y a des b, et même des ab.

  • 10 [La conversion consiste à déduire d’une proposition une proposition équivalente par interversion du (...)

12Si la subalternation est invalide, la conversion partielle l’est aussi, car les deux opérations s’équivalent, ou s’impliquent mutuellement, à cause de la conversion simple de I10. (Quelque a est b = quelque b est a). Il ne reste donc que la conversion simple, qui vaut seulement pour E et I. Et la logistique explique nettement ce fait : c’est que E et I seules sont symétriques par rapport à leurs termes. Dans : « Il n’y a pas de ab » et : « Il y a des ab », rien ne distingue le sujet du prédicat ; la relation des deux termes est symétrique ou réciproque, et c’est pourquoi on peut les permuter. Tandis que de : « Il n’y a pas de a non-b » ou : « Il y a des a non-b » on ne peut évidemment rien inférer (directement et sans prémisse auxiliaire) touchant les classes ab, b non-a, et non-a non-b.

  • 11 [Ce sont là les termes mnémotechniques dont on se servait pour désigner les différents modes du syl (...)

13Enfin, si la conversion partielle est invalide, il faut reconnaître l’invalidité des quatre modes du syllogisme où cette forme de déduction intervient (et où elle est indiquée par la lettre p), savoir : Darapti, Felapton, Bramantip, Fesapo11. Nous retrouvons ainsi la règle formulée par M. Ginzberg : « De deux universelles on ne peut pas conclure une particulière », mais pour de tout autres raisons. Et, qu’on le remarque bien, cette règle vaut pour le syllogisme classique, sans aucune modification de ses principes, et en vertu de ces principes mêmes, qui sont entièrement conservés. En revanche les quinze autres modes classiques sont parfaitement justifiés et reconnus valables par la Logistique.

  • 12 Sans entrer ici dans la discussion des jugements existentiels, qu’il suffise de dire qu’en logistiq (...)

14Du même coup se trouve justifiée la conception de Quelque dans la logique classique, comme signifiant : « Quelques au moins » ; puisque, comme on l’a vu, les particulières équivalent à des affirmations d’existence, et par suite excluent expressément la nullité de la classe correspondante12.

15En revanche, la conception de Hamilton : « Quelques seulement », opposée, non à Nul, mais à Tout, n’a aucune place dans la Logique classique, et ne peut qu’en troubler l’ordonnance et l’harmonieuse symétrie. — Mais, dira-t-on, c’est pourtant une forme de proposition dont on a besoin couramment, et qu’il faut pouvoir exprimer. — Sans doute, mais la Logique classique savait fort bien l’exprimer, et c’est ce que Hamilton n’a pas vu, quand il proposait de la réformer ou de l’enrichir de ses formes baroques, inconséquentes et superflues. Que signifie : « Quelques a seulement sont b » ? Simplement ceci : « Tous les a ne sont pas b », c’est-à-dire : « il est faux que tous les a soient b », donc en définitive : « Quelques a ne sont pas b » (proposition O). Ainsi, tandis que la conception de Quelques au moins est parfaitement nécessaire et justifiée, la conception de Quelques seulement est tout à fait superflue, et son introduction, faisant double emploi avec des formes existantes, ne sert qu’à compliquer et à embrouiller tout le système.

16Quant au jugement complexe : « Quelques a, et quelques a seulement, sont b », il se ramène, d’après ce qui vient d’être dit, aux deux propositions : « Quelques a sont b » et « Quelques a ne sont pas b ». Il peut donc parfaitement rentrer dans le cadre de la Logique classique, et n’y constitue ni une innovation, ni un enrichissement, ni une simplification.

Notas

1 [« Note sur le sens équivoque des propositions particulières », par S. Ginzberg, RMM, t. XXI (1913), pp. 101-106. — Nous n’avons pas réussi à identifier davantage ce personnage, dont nous ne connaissons pas d’autre publication que ce bref article et son encore plus brève réponse aux observations de Couturat.]

2 [Ginzberg proposait d’interpréter le jugement particulier comme signifiant : « Quelques, et rien que quelques S sont P » (art. cit., p. 103). Dans la symbolisation de la logique classique, les lettres I et O désignent respectivement le jugement particulier affirmatif « Quelques S sont P » et négatif « Quelques S ne sont pas P ». De même les lettres A et E désignent le jugement universel affirmatif « Tout les A sont B » et négatif « Aucun A n’est B ».]

3 [« Règle des contradictions (A et O, E et I) : Si l’une est vraie, l’autre est fausse ; si l’une est fausse, l’autre est vraie. En d’autres termes, deux contradictoires ne peuvent être ni vraies ni fausses à la fois » (Couturat, Précis de Logique classique, Appendice I dans La logique de Leibniz, Paris 1901, p. 445). — Au contraire Ginzberg soutient dans le passage cité par Couturat : « Il n’y a pas de contradictoires (ainsi A et O peuvent être faux également si E est vrai, et E et I, si A est vrai. »]

4 [William Hamilton (1788-1856), après avoir étudié la philosophie allemande, était professeur d’histoire à l’Université d’Edinburg. Dans son Essay towards a new analytic of logical form (1846) et dans ses Lectures on Metaphysics and Logic, vol. 2 (1860), il défend la théorie de la quantification du prédicat, par laquelle il prétend corriger la logique d’Aristote. La distinction quantitative des propositions universelles et particulières porte sur le seul sujet (Tous les S, ou Quelques S). Hamilton propose de la combiner avec une distinction quantitative portant sur le prédicat, en distinguant par exemple « Tous les S sont tous les P » de « Tous les S sont quelques P seulement », etc. — Cf. Robert Blanché, La logique et son histoire d’Aristote à Russell, Paris, Armand Colin, 1970, pp. 253-257).]

5 M. Ginzberg dit, conformément à une tradition trop répandue : « La quantification du prédicat, nécessaire pour quiconque veut traduire en équations les jugements… » (p. 103).

6 [Augustus de Morgan (1806-1871) était professeur de mathématiques à l’University College de Londres. Il a publié Formal Logic, or The Calculus of Inference, Necessary and Probable (1847). Hamilton l’avait accusé de plagiat. — Cf. Robert Blanché, La Logique et son histoire, op. cit., pp. 291-295. Le nom de De Morgan reste attaché à une loi logique fondamentale, qui en calcul des classes, se formule : ¬(x y) = ¬x ¬y et ¬(x y) = ¬x ¬y.]

7 C’est précisément pour cela que, repoussant le nom (usité en anglais) de Logique symbolique, nous avons proposé le nom de Logistique. [Voir Article 25, début.]

8 Par exemple, on voit qu’elle contredit à la fois A et E. Si donc A et E sont considérées comme simples, elle ne l’est pas, et ne peut pas leur être opposée dans un système cohérent et complet.

9 [« Règle des subalternes (I est subalterne de A, et O subalterne de E) : Si l’universelle est vraie, la particulière est vraie ; si la particulière est fausse, l’universelle est fausse (il n’y a pas d’inférence possible dans les autres cas ». Couturat ajoute en note : « Cette règle implique évidemment que la particulière est contenue dans l’universelle au point de vue de l’extension, autrement dit, que Tout enveloppe Quelque » (Couturat, Précis de Logique classique, op. cit., p. 445).]

10 [La conversion consiste à déduire d’une proposition une proposition équivalente par interversion du sujet et du prédicat. Il y en a deux formes :» 1° Conversion simple. E et I se convertissent simplement, c’est-à-dire par simple interversion du sujet et du prédicat : Nul S n’est P équivaut à Nul P n’est S, et Quelque S est P à Quelque P est S. En effet, dans E, le prédicat est universel comme le sujet ; dans I, il est particulier comme le sujet. … 2°. Conversion partielle (par accident ou par limitation). A, ayant son sujet universel et son prédicat particulier, ne peut se convertir que partiellement, par limitation de l’extension du prédicat … ; on ne peut donc en déduire que la particulière affirmative (I) : Quelque P est S » (Couturat, Précis de Logique classique, op. cit., p. 446-447). Couturat observait alors que « toute conversion suppose la quantification du prédicat ». Ici, il conclut logiquement du rejet de cette quantification au rejet de la conversion partielle. Mais il sauve la conversion simple en ce que, dans E et I, il y a parfaite symétrie du sujet et du prédicat, et qu’en ce sens la permutation est indifférente.]

11 [Ce sont là les termes mnémotechniques dont on se servait pour désigner les différents modes du syllogisme. Les voyelles désignent la forme des propositions, A, E, I et O. On trouvera leur explication dans le Précis de Logique classique cité.]

12 Sans entrer ici dans la discussion des jugements existentiels, qu’il suffise de dire qu’en logistique ils ne signifient rien de plus que la non-nullité d’une classe, c’est-à-dire le fait qu’elle contient quelques individus (dans l’univers du discours que l’on considère ou admet). [Sur la notion d’« univers du discours », [Voir Article 39, note 46.]

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