Version classiqueVersion mobile
OpenEdition Books

Logique, mathématiques, langue universelle

 | 
Louis Couturat

Troisième partie: 1906-1917

ARTICLE 39

Sur les rapports logiques des concepts et des propositions

Revue de Métaphysique et de Morale, 1917, t. XXIV, p. 15-58

Note de l’éditeur

Il s’agit ici de la publication posthume que son éditeur, sans doute André Lalande, présente dans une première note infrapaginale en ces termes : « Ces pages sont extraites du manuscrit d’un Manuel de Logistique, écrit par Couturat vers 1906, mais auquel il paraît avoir apporté ultérieurement quelques corrections. Elles forment la majeure partie du second chapitre, consacré à la logique des concepts. Nous espérons que l’ouvrage entier pourra être publié prochainement. »

La datation « vers 1906 » est vague et inexacte, comme on peut le reconnaître aujourd’hui par les correspondances publiées de Couturat avec G. Peano, B. Russell et le mathématicien français Émile Borel.

Couturat a travaillé à quatre ouvrages sur la nouvelle logique et son histoire, tous restés inédits de son vivant. — Le premier est un Traité de Logique algorithmique, entrepris sans aucun doute à partir du cours professé par Couturat à l’université de Caen en 1898-1899. Il semble en avoir abandonné l’achèvement en janvier 1901, occupé qu’il était alors à son livre sur La Logique de Leibniz. Un chapitre extrait de ce Traité inédit sera publié à titre posthume dans la RMM de 1917. L’éditeur, sans doute toujours André Lalande, précise que « cet article est extrait d’un traité de Logique algorithmique, inachevé, et rédigé par Couturat à une date assez ancienne ; en tout cas avant 1902, et peut-être beaucoup plus tôt » (RMM, XXVI, 1917, p. 291). Une copie manuscrite de ce Traité a été retrouvée en 1903 au CDELI (Centre de documentation et d’étude sur la langue internationale) de La Chaux-de-Fonds en Suisse, et a permis l’édition scientifique du document en 2010 (Traité de Logique algorithmique, Edited by Oliver Schlaudt and Mohsen Sakhri, with an introduction and annotations by Oliver Schlaudt, Basel, Birkhäuser, 2010).

La note de présentation de l’article sur le calcul des probabilités ajoute : « Depuis cette époque, Couturat a renoncé à faire paraître ce traité ; il a remanié de fond en comble sa première rédaction pour en faire un Manuel de Logistique qui, nous l’espérons, sera prochainement publié. » (ibid.) Les choses ont suivi un cours moins simple.

Au début de 1904, Couturat a entrepris de rédiger « un opuscule sur la Logique mathématique », destiné à la collection de vulgarisation Scientia publiée par l’éditeur Naud, et qui exposerait le système de Peano et de Russell (lettres à Russell, 11 février 1904, dans Bertrand Russell. Correspondance … avec Louis Couturat (1897-1913), Paris, Kimé, 2001, p. 350, et à Peano, 7 mai 1904, dans Giuseppe Peano – Louis Couturat. Carteggio (1896 – 1914), Firenze, Leo S. Olschki, 2005. p. 62, voir aussi 14 juillet 1904, p. 69-70). Couturat a interrogé Russell sur diverses difficultés précises, notamment sur le symbolisme, rencontrées dans la rédaction de son ouvrage (cf. par exemple lettre à Russell du 5 juillet 1904, op. cit., p. 411, à laquelle Russell répondra le 5 juillet par l’envoi de Remarques détaillées [cf. ci-dessous notes 24 et 28]). Le manuscrit de cette Logique mathématique a été remis à l’éditeur le 31 août (carte postale à Russell du 30 août, et lettre du 21 septembre, op. cit., p. 437 et 438), mais le 2 octobre, Couturat dit ne pas encore avoir reçu les épreuves (à Peano, op. cit., p. 77).

Sans qu’on n’en trouve nulle part l’explication, cette Logique mathématique n’est jamais parue, et elle a été remplacée par deux autres projets : d’une part, ce qui apparaît comme une autre manière de remplir finalement le contrat avec la collection Scientia, « un volume sur l’Algèbre de la Logique, qui résume le système de Schröder », d’autre part « un opuscule (“Manuel de Logistique”) qui paraîtra au printemps chez Alcan », exposant les théories de Peano, Couturat ajoutant que « c’est le système Peano qui est le plus intéressant pour la Logique des mathématiques. C’est lui qui a mis Russell sur la voie de ses belles théories » (lettre à Émile Borel du 13 décembre 1904, dans Erika Luciano, Giuseppe Peano docente e ricercatore di Analisi 1881-1919, Torino, Dipartimento di Matematica, 2008 (Appendice IX, Il carteggio L. Couturat – E. Borel, 1904-1905, p. 122). Dès le 18 décembre 1904, Couturat déclare avoir terminé L’Algèbre de la Logique, dont il annonce le 7 février 1905 donner les bons à tirer (lettres à Russell, op. cit., p. 453 et p. 474). L’ouvrage paraîtra en effet en 1905.

Dans la lettre à Russell du 18 décembre, Couturat présente le « Manuel de Logistique » comme une remise en chantier de la « Logique mathématique ». Il y travaille tout au long de l’année 1905, en donnant quelques indications sur son intention et son contenu : « Je prépare un Manuel de Logistique (toujours pour éclairer les profanes, “évangéliser les Gentils”) où je résumerai les principales méthodes du calcul logique (Calcul des propositions, calcul des classes, Logique des relations) » (à Christine Ladd-Franklin, 30 juin 1905, inédit). Et encore : « Le 4e et dernier Chapitre sera une Méthodologie dans laquelle je traiterai des définitions et démonstrations, des systèmes de notions indéfinissables et de Pp, de leur irréductibilité, etc., d’après l’usage des « logisticiens ». J’y ferai rentrer, corrigés, mes deux articles de l’Enseignement mathématique [Articles 26 et 27] » (à Peano, 18 juillet 1905 (op. cit., p. 89). En novembre, Couturat se trouve contraint d’interrompre le travail en raison de la charge de la suppléance de Bergson au Collège de France (lettres à Russell du 10 novembre 1905, op. cit., p. 546, et à Peano du 4 octobre 1906, op. cit., p. 120) . Il ne sera plus question dans la suite de ce Manuel, dont nous ne connaissons que le chapitre ici publié après la mort de Couturat. Il est assez vraisemblable que le manuscrit complet était en possession d’André Lalande, mais il n’y en plus de trace.

Cependant, Couturat avait choisi de consacrer son cours de 1905-1906 au Collège de France à l’histoire de la logique formelle. Il y voyait l’occasion de faire avancer une Histoire de la Logistique, autre projet de livre en cours. Sous premier titre d’Histoire de la Logique algorithmique, ce projet datait du cours de 1898-1899 à Caen. En annonçant à Russell l’achèvement de l’Algèbre de la Logique avec la reprise du travail sur le Manuel de Logistique et la publication en volume des Principes des Mathématiques, Couturat ajoutait : « Une fois délivré de ces travaux en cours, je compte me remettre à l’Histoire de la Logistique, dont le chapitre relatif à Boole est déjà fait » (lettre à Russell, 7 février 1905, op. cit., p. 474). Après l’année de cours au Collège de France, il écrira à Russell, le 22 juillet 1906 : « J’ai à rédiger mon cours de cette année, c’est-à-dire mon Histoire de la Logistique ; ce sera un gros volume (500 à 600 p.) » (op. cit., p. 614), et encore à Peano, le 4 octobre 1906 : « Occupé comme je suis, à la fois par la L. I. et par la composition de mon Histoire de la logistique, je n’ai pas pu donner à vos articles l’attention qu’ils méritent » (op. cit., p. 120). Il faut donc penser que l’engagement dans la promotion de la Langue Internationale a prévalu, puisqu’il ne sera plus question par la suite de cette Histoire, dont ne savons rien de plus.

L’article reproduit ici peut illustrer ce que Couturat voulait dire en confiant à Russell, à propos du Manuel dont il est extrait : « Je tâche de concilier la rigueur avec la clarté didactique. Je fais attention à n’employer dans mes démonstrations aucun principe, avant de l’avoir postulé, aucune règle avant de l’avoir prouvée » (lettre du 22 janvier 1905, op. cit., p. 465).

Texte intégral

  • 1 [Ces pages sont extraites du manuscrit d’un Manuel de Logistique, écrit par Couturat vers 1906, mai (...)

11. La logique des propositions1 est absolument générale et homogène : générale, car elle s’applique à toutes les propositions, quelles que soient leur forme et leur structure interne ; homogène, car tous les termes et toutes les combinaisons de termes qui figurent dans ses formules représentent uniquement des propositions, dont chacune est considérée comme un tout non analysé. Si l’on analyse les propositions, on est amené à distinguer parmi elles diverses espèces : certaines portent sur des concepts généraux et abstraits considérés au point de vue de leur inclusion ou de leur exclusion mutuelle ; ce sont celles qu’étudiait presque exclusivement la Logique classique ; elles font l’objet de la Logique des concepts. Mais, tandis que la Logique classique reposait tout entière sur la notion fondamentale de concept, la Logistique considère cette notion comme complexe et dérivée, et, conformément à l’esprit de la Logique moderne, la subordonne à la notion de jugement, qui est beaucoup plus générale et vraiment primordiale. Pour le dire tout de suite, un concept n’est qu’un cas particulier de ce qu’on appelle une fonction propositionnelle. Il importe donc de définir d’abord cette dernière notion, ou plutôt de l’expliquer, car on sera obligé de la prendre pour indéfinissable.

  • 2 [Voir notamment Revue de Métaphysique, [XII], 1904, p. 31 et suivantes. Note de l’éditeur de 1917.] (...)
  • 3 La notion de fonction logique est manifestement analogue à celle de fonction mathématique ; mais el (...)

2Nous avons déjà eu l’occasion d’introduire en Logique la notion de terme variable ou, comme on dit, de variable2. Toute expression logique qui contient (au moins) un terme variable s’appelle une fonction logique ; le sens d’une fonction logique varie en général avec le sens de la variable (ou des variables) qu’elle contient. Par exemple, la fonction logique « la capitale de tel pays » prend les sens ou « valeurs » : Paris, Londres, Berlin…, suivant qu’on y donne à la variable les sens ou « valeurs » : France, Grande-Bretagne, Allemagne3

3Comme en mathématiques, on représente une fonction par une lettre (et, pour éviter toute confusion, par une lettre grecque) qu’on peut faire suivre des variables entre parenthèses, quand on veut indiquer de quelles variables dépend la fonction. On écrira par exemple φ(x) pour une fonction d’une seule variable, χ(x, y) pour une fonction de deux variables, ψ(x, y, z) pour une fonction de trois variables, et ainsi de suite.

4Bien entendu, une même lettre (grecque) représentera la même fonction dans le cours d’un même raisonnement ou d’un même problème ; et des fonctions différentes seront représentées par des lettres différentes.

5Une fonction est un objet individuel, un individu.

  • 4 Russell, The Principles of mathematics, ch. X. [Voir Article 28, notice de présentation, Note sur l (...)

6On peut donc considérer, en Logique, des fonctions variables, c’est-à-dire des variables dont les diverses valeurs soient des fonctions individuelles et déterminées ; et les fonctions de ces variables seront des fonctions de fonctions, ou fonctions de second ordre. Ces fonctions donnent lieu à certaines difficultés et à certains paradoxes qui demandent une étude attentive et des précautions spéciales4 ; mais nous n’aurons pas à les envisager dans ce traité élémentaire.

  • 5 Idée et expression dues à M. Russell. [Principles of Mathematics, London, 1903, Chap. VII.]

72. Une fonction propositionnelle5 est une fonction logique qui devient une proposition toutes les fois qu’on y substitue à toutes les variables des valeurs déterminées. La fonction logique : « la capitale de y » n’est pas une fonction propositionnelle ; mais la fonction logique : « x est la capitale de la France » en est une, car c’est une proposition pour toutes les valeurs attribuées à x (vraie pour x = Paris, fausse pour toutes les autres valeurs). De même la fonction logique : « Paris est la capitale de y » est une fonction propositionnelle (vraie pour y = France, fausse pour toutes les autres valeurs). De même enfin, la fonction logique : « x est la capitale de y » est une fonction propositionnelle (vraie pour les couples de valeurs :

x = Paris.

x = Londres.

x = Berlin.

y = France.

y = Grande-Bretagne.

y = Allemagne.

et fausse pour tous les autres couples de ces mêmes valeurs).

8Comme on voit, une fonction propositionnelle n’est pas, en elle-même, une proposition : car elle n’est ni vraie ni fausse ; c’est une proposition incomplète, qui ne veut rien dire par elle-même ; elle ne devient une proposition vraie ou fausse que lorsqu’on la complète en remplaçant les variables par des termes constants, c’est-à-dire en comblant les lacunes, en remplissant les places vides marquées par ces variables. En un mot, c’est un schème de proposition, ou mieux encore, un moule à propositions.

9Ainsi une fonction propositionnelle est, dans chaque cas particulier, susceptible des deux valeurs : vrai et faux, et de celles-là seulement (comme toute proposition) ; mais elle peut prendre l’une de ces valeurs pour certaines valeurs des variables qu’elle contient, et l’autre de ces valeurs pour les autres. Une fonction propositionnelle n’est donc pas seulement à sens variable ; elle est aussi, en général, à valeur variable. Par suite, étant donné l’ensemble de tous les systèmes de valeurs qu’on peut assigner aux variables qu’elle contient, la fonction propositionnelle le partage en deux ensembles, celui des systèmes de valeurs qui la rendent vraie, et celui des systèmes de valeurs qui la rendent fausse. Ces deux ensembles n’ont aucun élément commun, en vertu du principe de contradiction ; et ils épuisent, réunis, la totalité de l’ensemble des systèmes de valeurs possibles, en vertu du principe du milieu exclu. Ainsi toute fonction propositionnelle définit implicitement deux ensembles, et plus particulièrement l’ensemble des valeurs qui la vérifient (l’autre ensemble étant défini par là même, comme on le verra plus loin en prouvant l’unicité de la négation pour les classes). C’est cet ensemble qu’on appellera l’extension de cette fonction.

  • 6 M. [C.] Burali Forti [Professore nella R. Accademia militare di Torino,] (Logica matematica, [Manua (...)

10La notion de fonction propositionnelle est bien connue des mathématiciens ; car elle comprend comme cas particulier tout ce qu’on appelle équations. On sait en quoi une équation diffère d’une égalité proprement dite : une équation est une égalité qui n’est vraie que pour certains systèmes de valeurs attribuées aux variables qu’elle contient. En particulier, une équation à une inconnue n’est vraie (en général) que pour certaines valeurs de cette inconnue, qu’on appelle racines de l’équation. Une équation n’est donc pas une proposition, mais une fonction propositionnelle : on ne l’affirme pas, on la considère comme problématique, comme une condition qui peut être ou ne pas être vérifiée6, et qui sert, précisément, à distinguer les valeurs qui la vérifient de celles qui ne la vérifient pas. De même qu’une équation détermine ses racines, une fonction propositionnelle détermine l’ensemble que nous appelons son extension ; et l’on peut dire que les racines d’une équation constituent son extension.

113. Il y a parmi les fonctions propositionnelles deux cas extrêmes à considérer : certaines sont toujours vraies, c’est-à-dire vraies pour tous les systèmes de valeurs assignées aux variables ; et certaines autres sont toujours fausses : telles sont, notamment, les négations des précédentes. Nous avons de nombreux exemples de propositions toujours vraies : ce sont tous les principes de la Logique, et toutes les formules que nous en avons déduites, car toutes sont des fonctions propositionnelles, attendu que les termes qui y figurent représentent n’importe quelle proposition. Par exemple, le principe de simplification :

ab  a

est vrai quelles que soient les propositions désignées par a et par b (pourvu, bien entendu, que la même proposition soit désignée par les deux a qui figurent dans cette formule) ; il en est de même du principe de contraposition, des formules de De Morgan, etc. De même, le principe de composition :

c  a,   c  b,   donc   c  ab

  • 7 [La formule complète du principe de composition, qui a été donnée dans le premier chapitre du Manue (...)

est vrai, quelles que soient les propositions désignées par a, b, c, (pourvu que la même lettre désigne la même proposition dans chaque application qu’on fait de cette formule)7. On est ainsi amené à considérer ces propositions comme formellement vraies, c’est-à-dire comme vraies en vertu de leur forme seule, et indépendamment de leur matière, ou des valeurs qu’on y donne aux variables. Par opposition, les autres propositions vraies sont dites matériellement vraies, parce qu’elles ne sont vraies qu’en vertu de leur matière : telles sont, par exemple, les implications a  b, ab  c, car leur vérité dépend des propositions qu’on y substituera à a, b, c.

12En général, il importe de distinguer avec soin, dans les raisonnements, les vérités matérielles et les vérités formelles : les premières sont dites vraies par hypothèse, ce sont les prémisses du théorème ou les données du problème, et toutes les conséquences logiques qu’on en tire ; les secondes sont les lois logiques, formelles et toutes leurs conséquences. Par exemple, dans la démonstration de la réciproque du principe de composition nous avons formulé le syllogisme suivant :

c  ab ab   .  a.

13Des deux prémisses, la première est une vérité matérielle, à savoir l’hypothèse du théorème ; la seconde est une vérité formelle, à savoir le principe de simplification ; et la conclusion est une vérité matérielle, étant une conséquence d’une vérité matérielle.

  • 8 Par exemple, dans la démonstration que nous venons de citer, on a pu substituer au principe de si (...)

14Nous avons eu souvent l’occasion de faire cette distinction essentielle, notamment pour appliquer les règles du calcul de (a  = a,   = ). En effet, on ne peut substituer ou égaler à une proposition vraie que si elle est toujours vraie, donc formellement vraie8. Dans le cas contraire, si l’on égalait à une vérité matérielle, c’est-à-dire une simple hypothèse, cette hypothèse (identique de forme, mais de sens différent) pourrait être fausse dans d’autres cas, et les conséquences qu’on déduirait de cette égalité ne seraient plus vraies pour ces cas ; elles ne seraient donc pas toujours vraies, ce qui est contraire à l’essence de tout raisonnement : un raisonnement n’a de valeur que s’il est absolument général, donc formellement vrai.

  • 9 Déjà faite par [Ernst] Schröder, [Vorlesungen über die] Algebra der Logik [(Exakte Logik)], [Erster (...)

15La distinction précédente rappelle la distinction classique des jugements analytiques et synthétiques, et peut servir à l’éclaircir, si l’on veut. On pourra appeler analytiques toutes les propositions qui sont vraies en vertu des seules lois logiques (y compris, naturellement, ces lois logiques elles-mêmes) ; et synthétiques toutes les propositions dont la vérité ne résulte pas uniquement des lois logiques, mais suppose quelque prémisse matérielle. Bien entendu, ce n’est là qu’une proposition9 ; et l’on est libre de définir autrement les termes analytique et synthétique ; aussi ne nous en servirons-nous pas ici.

16Les propositions toujours vraies sont ce que les mathématiciens appellent des identités, par opposition, soit aux équations (égalités conditionnelles et problématiques), soit aux égalités singulières comme :

7 + 5 = 3 × 4.

17Voici des exemples d’identités bien connus :

(a + b)2a2 + 2ab + b2,          (a + b) (a − b)= a2 − b2.

  • 10 De même, une inégalité peut être conditionnelle, ce qu’on pourrait appeler une inéquation.
  • 11 Il est vrai que la copule = (la relation d’égalité) est prépondérante en mathématiques ; mais ce n’ (...)

18Ces propositions sont vraies quels que soient les nombres (réels) qu’on substitue à a et b. Mais le mot d’identité est fort mal choisi, car une proposition toujours vraie peut être aussi bien une inégalité qu’une égalité (exemple : x> 0 pour tout x réel)10. Certains auteurs de manuels mathématiques distinguent les « identités » des autres égalités par un signe spécial (≡), et ils ont raison, en principe (surtout au point de vue pédagogique) ; mais la même distinction devrait logiquement s’étendre à toutes les formes de propositions, c’est-à-dire à toutes les copules mathématiques11.

  • 12 Idées et expressions empruntées à M. Russell. [Principles of Mathematics, op. cit., Chap. III.]
  • 13 Nous disons, avec M. Russell, « a n’est pas vrai » plutôt que « a est faux », pour comprendre même (...)

194. On est ainsi amené à distinguer l’implication formelle et l’implication matérielle12. L’implication matérielle est celle que nous connaissons : elle est de la forme a  b, a et b étant deux propositions (à sens constant et bien déterminé), et ne signifie rien de plus que ceci : « Ou a n’est pas vrai13 ou b est vrai ».

20L’implication formelle a pour membres deux fonctions propositionnelles contenant (en général) les mêmes variables. Soient par exemple les deux fonctions propositionnelles φ(x, y), ψ(x, y) ; l’implication formelle :

φ (x, yx, y ψ (xy)

signifie que, pour toutes les valeurs attribuées aux variables x, y, il y a implication matérielle entre les propositions qu’engendrent ces deux fonctions.

  • 14 On peut les supprimer quand il n’y a pas d’ambiguïté à craindre, par exemple, quand les deux membre (...)

21Bien entendu, cela suppose qu’on donne les mêmes valeurs aux variables dans les deux membres ; une implication formelle n’est donc pas une relation entre deux fonctions propositionnelles ; elle est elle-même une fonction propositionnelle des variables qui figurent dans les deux membres ; c’est ce qu’on exprime en mettant les variables en indice au signe (cela indique qu’il s’agit d’une implication formelle)14, mais ce n’est une implication formelle que si cette fonction est toujours vraie. Par suite, sa valeur est indépendante des valeurs assignées aux variables ; et c’est pourquoi on l’énonce : « φ implique ψ quelles que soient les valeurs de x et de y ».

22Il va sans dire qu’une égalité formelle :

φ (x, y) =x, y ψ (xy)

équivaut au produit logique des deux implications formelles inverses :

φ (x, yx, y ψ (xy) . ψ (xyx, y φ (x, y)

et que, lorsqu’on y substitue des termes constants aux variables, elle devient une égalité matérielle. En particulier, les égalités formelles :

φ (x, y) =x, y , φ (x, y) =x, y 

signifient respectivement que la fonction φ(x, y) est vraie ou fausse pour tous les systèmes de valeurs attribuées aux variables. C’est là un nouveau sens des symboles et , qu’on pourrait appeler la vérité et la fausseté formelles, pour les distinguer de la vérité ou fausseté matérielles d’une proposition. Tandis que, pour les propositions, et signifient simplement vrai et faux, pour les fonctions propositionnelles ces symboles signifient toujours vrai et toujours faux. Tandis que, pour les propositions il n’y a pas de milieu entre le vrai et le faux, pour les fonctions propositionnelles il y a un milieu entre le toujours vrai et le toujours faux, à savoir : tantôt vrai, tantôt faux.

  • 15 [G.] Peano [Professeur d’Analyse infinitésimale à l’université de Turin], [Notations de Logique mat (...)

23Voici un exemple qui montre bien le sens d’une implication formelle15.

24Si a, b, c, d sont des nombres réels, on a :

a > b . c >  . ac + bd > ad + bc

a, b, c, d étant variables. C’est la une implication formelle, qui doit valoir pour toutes les valeurs possibles de ces variables. Faisons d’abord :

a = c =2,        b = d = 1
2 > 1 . 2 > 1 .  . 5 > 4.

25Cette implication matérielle est vraie, car l’Hp et la Ts sont toutes deux vraies. Faisons ensuite :

26a = c = l,        b = d = 2
1 > 2 . 1 > 2 .  . 5 > 4.

27Cette implication matérielle est vraie, car l’Hp est fausse et la Ts vraie. Faisons enfin :

a = d = l,        b = c = 2 :
1 > 2 . 2 > 1 .  . 4 > 5.

28Cette implication matérielle est vraie, car l’Hp est fausse (comme contenant encore un facteur faux : 1 > 2), et la Ts aussi est fausse. En résumé, sur les quatre cas qui peuvent se présenter relativement à la vérité ou à la fausseté de l’hypothèse et de la thèse, l’implication n’en exclut qu’un : celui où l’hypothèse est vraie et la thèse fausse. C’est ce qu’exprime d’ailleurs l’équivalence connue :

 b. = . a b = .

29Dans la formule du principe du syllogisme :

a  b .  c .  . a  c

l’implication secondaire que représente la copule principale est une implication formelle ; car elle est vraie quelles que soient les propositions a, b, c ; elle l’est aussi bien quand les prémisses sont fausses que quand elles sont vraies (puisqu’il suffit qu’une des prémisses soit fausse pour que l’implication soit vérifiée dans ce cas). Au contraire, les implications primaires qui constituent tant les prémisses que la conclusion peuvent être, suivant les cas, des implications formelles ou des implications matérielles ; et nous avons justement vu plus haut un exemple de syllogisme dont une prémisse est une implication matérielle et l’autre une implication formelle.

305. On voit que l’implication formelle se définit au moyen de l’implication matérielle (et des notions de variable et de fonction) ; une implication formelle est en quelque sorte une implication générale, c’est-à-dire un ensemble d’implications matérielles (toutes vraies) ; on pourrait dire, plus exactement, que c’est le produit logique des implications matérielles qu’on obtient en substituant aux variables toutes les valeurs possibles. Par suite, d’une implication formelle on peut déduire (par le principe de simplification) l’une quelconque des implications matérielles qu’elle enveloppe (comme facteurs) et qu’elle résume en une formule générale. C’est ce qu’on exprime par la règle pratique suivante (principe de substitution) :

« Dans une implication formelle, on peut substituer aux variables des termes constants quelconques » (sous-entendus : on obtient ainsi une implication matérielle qui est vraie, si l’implication formelle est vraie). Naturellement, on supprime alors les indices au signe , puisque l’implication devient matérielle et qu’elle ne contient plus de variables.

31Il semble que nous venons de déduire le principe de substitution du principe de simplification ; mais c’est là une illusion : car on a toujours besoin du premier pour appliquer le second à chaque cas particulier. D’ailleurs, le raisonnement précédent n’a pas la valeur d’une déduction formelle, et il ne peut pas plus se traduire en formules que le principe de substitution lui-même.

  • 16 Cette explication verbale n’est pas une démonstration : elle ne fait qu’énoncer le principe sous un (...)
  • 17 Il ne faut pas confondre cette seconde forme de substitution avec l’opération classique dite subalt (...)

32Une autre forme du principe de substitution est la suivante : « Dans une fonction propositionnelle toujours vraie, on peut substituer à une variable une variable plus restreinte, c’est-à-dire qui ne soit susceptible que d’une partie des valeurs de la première. » Et, en effet, du moment que, en vertu du principe de substitution (première formule), on peut affirmer la proposition de chacune des valeurs de la variable, on peut l’affirmer de quelques-unes d’entre elles16. En d’autres termes, le premier principe de substitution permet de conclure de tous à un ; le second permet de conclure de tous à quelques, c’est-à-dire à plusieurs uns17.

336. Maintenant que nous avons expliqué ce qu’est une fonction propositionnelle et générale nous pouvons définir le concept.

  • 18 Conception due à M. Frege. [Gottlob Frege, Funktion und Begriff, Iena, 1891, trad. française par Cl (...)
  • 19 Nous avons cité à dessein des propositions de forme négative, pour montrer qu’elles donnent lieu à (...)

34Un concept est une fonction propositionnelle à une variable, et son extension est l’ensemble des individus qui vérifient cette fonction18. Ainsi tout concept détermine un ensemble ou classe qui est son extension ; et par suite toutes les relations des concepts se traduisent par des relations entre les classes correspondantes. On peut vérifier cette définition sur des exemples ; non seulement sur des concepts de classes, pour lesquels elle est évidente (le concept homme équivaut à la fonction propositionnelle : « x est un homme »), mais sur des concepts plus complexes issus de propositions relatives ; par exemple, la fonction « x aime sa patrie » équivaut au concept de patriote ; la fonction « x ne mange pas de viande » équivaut au concept de végétarien. De même dans les sciences abstraites : « Le nombre x divise 24 », ou « 24 est divisible par x » équivaut au concept : « diviseur de 24 » ; « le nombre x n’est divisible par aucun entier, excepté 1 et x » équivaut au concept : « nombre premier19 ». Il ne faut pas s’étonner de voir un concept défini par toute une phrase qui a la forme d’une proposition, et croire qu’on identifie ainsi les concepts aux propositions, puisqu’une fonction propositionnelle n’est pas une proposition. Dire qu’un individu appartient à tel concept, c’est dire qu’il vérifie la fonction propositionnelle correspondante.

35On comprend dès lors que les concepts soient représentés et remplacés, dans le calcul logique, par les classes qui sont leurs extensions, et que la logique des concepts se traduit pratiquement par ce que Schröder appelait le Calcul des classes. Ce n’est pas là un simple schématisme, une fiction commode, mais arbitraire : c’est l’expression d’une relation réelle entre les idées. Dire d’un individu qu’il appartient à tel concept, c’est dire qu’il fait partie de la classe correspondante.

  • 20 Initiale, du mot ἔστί.

367. Après les explications précédentes, nous pouvons introduire deux notions indéfinissables qui sont fondamentales dans le Calcul des classes, et qui forment la transition entre la Logique des propositions et la Logique des concepts. La première est la relation d’appartenance, c’est-à-dire la relation qui existe entre un individu et une classe à laquelle il appartient (ou dont il fait partie, comme on dit moins exactement). On la représente par la lettre grecque ε20, qu’on lit : « est un ». Ainsi « ε a » signifie : « l’individu x appartient à la classe a », et s’énonce : « x est un a ».

37Dans le langage, on a l’habitude de désigner par le même nom, tantôt un concept, tantôt la classe correspondant à ce concept, tantôt enfin un individu quelconque de cette classe ; ce qui donne lieu à une foule d’équivoques. Dans la Logique des concepts, une lettre qui correspond à un concept représente directement et exactement une classe (l’extension de ce concept), et jamais un individu de cette classe.

  • 21 Quoi qu’en ait dit Leibniz. [Stricto sensu, Leibniz n’a jamais dit que « n’importe quel ensemble d’ (...)

38Remarque. À tout concept correspond une classe ; mais il n’est pas certain21 qu’à toute classe corresponde un concept, c’est-à-dire que n’importe quel ensemble d’objets puisse être subsumé sous une même notion générale. La considération des classes est donc (au moins virtuellement) plus générale que celle des concepts.

39La seconde notion fondamentale est celle (que nous avons déjà expliquée) de la classe correspondant à une fonction propositionnelle, en particulier à un concept. Soit φ(x) une fonction propositionnelle de l’unique variable x ; on désignera par x ɜ φ la classe déterminée par cette fonction, c’est-à-dire l’ensemble des valeurs de x qui la vérifient, l’ensemble des individus qui peuvent être subsumés sous ce concept. Cette expression peut se lire : « les x qui vérifient φ », ou : « les x tels que φ est vraie ». Ainsi le symbole ɜ traduit les mots qui ou tels que, c’est-à-dire ce qu’on appelle en grammaire les relatifs. Ce n’est pas un signe de relation, car l’expression x ɜ φ n’est pas une proposition (ou une fonction propositionnelle) ; c’est un signe de fonction : la classe x ɜ φ est une fonction (logique) de φ. La traduction verbale du signe ɜ peut d’ailleurs varier suivant les cas et les usages. Par exemple, l’expression:

x ɜ (x > 3)

se lira : « les x plus grands que 3 », et l’expression :

ɜ (xpx + q = 0)

se lira : « les racines de l’équation xpx + q = 0 ».

  • 22 Mais il n’en exprime pas la relation converse, qui serait la relation d’une classe à un individu qu (...)
  • 23 De même, en grammaire, les relatifs ont pour effet de transformer une proposition en un concept (un (...)

40On voit que le symbole ɜ est en un certain sens l’inverse du symbole ε22 : celui-ci sert à transformer une classe (a) en une fonction propositionnelle (ε a) ; celui-là transforme une fonction propositionnelle (φ) en une classe (ɜ φ)23.

41Ces deux symboles (ou plus exactement les symboles ε, x ɜ composés au moyen d’eux) se détruisent mutuellement, c’est-à-dire qu’on a :

Pp.                                                 ɜ (x ε a) = a

« La classe des x qui vérifient « x est un a » est la classe a. »

42Pp.                                   ε (x ɜ φ) = φ (x)

« Dire que x est un x qui vérifie φ, c’est affirmer φ (x). »

43Ce sont là deux propositions premières qui régissent le maniement des deux symboles ε et ɜ.

44Dans la formule précédente, x reste une variable, et φ(x) est une fonction. Mais on peut, en vertu du principe de substitution, remplacer x par un individu quelconque k ; on a alors :

ε (x ɜ φ) = φ (k).

45« Si k est un individu de la classe correspondante de φ, φ(k) est vraie. » Cette formule n’est pas un nouveau principe, mais un simple corollaire du principe précédent, en vertu du principe de substitution. Les deux membres de cette égalité ne sont plus des fonctions propositionnelles, mais des propositions (vraies ou fausses à la fois).

46Introduisons tout de suite une abréviation utile :

Df.                                      x, ε . = . ε a . y ε a

qui s’étend naturellement à un nombre quelconque d’individus x, y, z,… Par exemple, pour dire que les lettres a, b, c représentent des classes, on écrira :

a, b, c ε Cls

  • 24 La notion de classe n’est pas indéfinissable ; on peut la définir formellement comme suit :

le symbole Cls représentant l’idée de classe, ou plus exactement la classe des classes24.

478. Nous pouvons à présent formuler quelques axiomes relatifs à la fonction ɜ que nous venons d’introduire comme notion indéfinissable. En premier lieu, il faut postuler l’existence de cette fonction.

48Principe. Quelle que soit la fonction propositionnelle φ, il existe une classe correspondante qu’on désigne par ɜ φ.

49Il faut ensuite postuler l’unicité de cette fonction.

50Principe. Il y a une correspondance uniforme entre chaque fonction propositionnelle et la classe qui en est l’extension. Ce principe peut s’exprimer formellement comme suit :

Pp.                                     φ (x) =x ψ (x) .  . ɜ φ = x ɜ ψ

  • 25 On définira plus loin l’égalité des classes (§ 10).

« Si deux fonctions φ, ψ sont égales (pour toutes les valeurs de x), les classes correspondantes sont égales (c’est-à-dire identiques)25. » En d’autres termes, à des concepts égaux correspondent des classes égales. Cet axiome permet de ramener le Calcul des concepts au Calcul des classes ; c’est lui qui autorise à faire reposer la Logique des concepts sur la considération exclusive de l’extension, sans méconnaître d’ailleurs l’importance, philosophique ou l’intérêt psychologique de la considération de la compréhension.

51Au point de vue du calcul, le principe précédent permet de déduire d’une égalité entre fonctions propositionnelles une égalité entre classes, en « opérant par ɜ », comme on dit, sur les deux membres de la première, c’est-à-dire en passant des fonctions aux classes correspondantes.

  • 26 L’axiome inverse serait :

52Pour effectuer le passage inverse, c’est-à-dire pour pouvoir « opérer par ε » sur deux classes égales pour en conclure l’égalité des fonctions propositionnelles, il faut postuler l’axiome inverse ou du moins un cas particulier26 :

Pp.                                a . x ε a=x x ε b.

  • 27 Voir Russell, The principles of mathematics, chap. X et Appendice A; Frege, Grundgesetze der Arithm (...)

« Si deux classes a, b sont égales, les fonctions propositionnelles correspondantes, x ε a, x ε b sont égales. » Cet axiome, admis sans restriction par M. Frege, donne lieu à certaines difficultés découvertes par M. Russell, si on l’applique dans toute sa généralité, notamment aux fonctions du second ordre27. Mais, comme nous n’aurons pas à l’appliquer à de telles fonctions, nous pourrons nous en servir sans nous inquiéter des difficultés en question. À la vérité, il n’est pas évident que deux concepts de même extension soient égaux ; mais si deux classes sont égales (identiques), il paraît évident que « appartenir à l’une » soit équivalent à « appartenir à l’autre ».

53Il convient d’admettre encore le principe suivant :

x ε a .  . a ε Cls.

  • 28 [A.] Padoa, [Note di Logica matematica], ap. Revue de Mathématiques [Rivista di matematica, publiée (...)

« Si x est un a, a est une classe », qui n’a d’autre but que de simplifier les formules en dispensant d’énoncer l’hypothèse : a ε Cls28.

54Le symbole ɜ n’aurait pas grande utilité, si toutes les fonctions propositionnelles étaient de la forme x ε a, c’est-à-dire consistaient à subsumer un individu sous un concept, à lui attribuer un prédicat (comme le croyait l’ancienne Logique). Mais, au contraire, il y a une foule de fonctions propositionnelles de formes différentes, et qui ne peuvent se ramener à la forme susdite qu’au moyen de la périphrase oiseuse : ε (x ɜ φ) qui équivaut simplement à φ (x). Par exemple, on a :

1, 2 ε . x ɜ (x2 – 3x + 2 = 0)

  • 29 Comme le faisait d’abord M. Peano (Formulaire [de Mathématiques, Tome II, n° 1, Turin,] 1897, p. 13 (...)
  • 30 Formulaire [de Mathématiques, Tome II, n° 2, Turin,] 1899, p. 7.
  • 31 Cf. [A.] Padoa, Note di Logica matematica, ch. II, ap. Revue de Mathématiques, [op. cit.], t. VI, p (...)

« 1 et 2 sont des racines de l’équation x− 3x + 2 = 0 » ; or cet attribut des nombres 1 et 2 ne peut se définir qu’au moyen de l’équation même. Dans tous ces cas (qui sont la majorité), c’est la fonction qui est antérieure à la classe correspondante (le concept est antérieur à son extension), de sorte que le symbole ɜ n’est pas subordonné au symbole ε. C’est pourquoi on ne peut pas le définir au moyen de celui-ci, par exemple en posant29 ɜ (ε a) = a. Sans doute, on peut affirmer « que toute condition en x est réductible à la forme ε a »30, mais c’est à la condition d’admettre au préalable qu’à toute fonction propositionnelle φ correspond une classe (x ɜ φ) qui est son extension. On ne peut donc pas définir ɜ au moyen de ε31.

  • 32 Pour éviter toute confusion avec le sens mathématique du mot réel, on pourrait le remplacer par le (...)
  • 33 Pour préciser, il n’est pas nécessaire que le sens de la formule change chaque fois que celui de la (...)
  • 34 Exemples mathématiques : dans

559. On doit introduire ici une distinction importante, celle des variables réelles et des variables apparentes. Une variable est réelle32, dans une formule, lorsque le sens de cette formule dépend du sens de la variable, c’est-à-dire varie quand celui-ci varie33. On dit qu’elle est apparente dans le cas contraire, c’est-à-dire quand le sens de la formule est indépendant du sens de la variable34.

56En général, une fonction propositionnelle φ x varie avec la variable x ; celle-ci est alors réelle. Mais si l’on a :

φ x x ψ x      ou      φ x =x ψ x

ces deux propositions sont indépendantes de x, puisqu’elles affirment que φx implique ψx ou lui est équivalente, quel que soit x. Dans ce cas, la variable x est apparente. En général, dans une proposition vraie, toutes les variables sont apparentes, sans quoi la proposition ne serait pas toujours vraie.

57De même, dans des propositions comme :

φ x =x ,      φ x  =x 

  • 35 Voir [C.] Burali-Forti, Logica matematica, [op. cit.,] ch. III, § 1, chap. III, § 1.

la variable x est apparente35.

58On remarquera, du reste, que les formules précédentes sont des propositions singulières, portant sur les fonctions φ, ψ considérées comme des individus. Si ces fonctions étaient considérées elles-mêmes comme variables, alors les formules en question deviendraient des fonctions propositionnelles (du second ordre).

59Une expression comme ε a est fonction de x, donc la variable x y est réelle. Mais une expression comme x ɜ φ x n’est plus fonction de x, puisqu’elle désigne une classe déterminée, à savoir le domaine de valabilité de la proposition φ x ; la variable x y est apparente. En revanche, cette expression est fonction de φ, et si cette lettre est variable, c’est une variable réelle. Par exemple, dans la formule établie plus haut :

a ε (x ɜ φ x) .  . φ a

si l’individu a et la fonction φ sont donnés (déterminés), les deux membres, on l’a vu, sont des constantes ; on a donc une implication matérielle. Si la fonction φ est donnée et l’individu a indéterminé, les deux membres seront fonctions de a ; on retombera sur la formule :

x ε (x ɜ φ x) . x . φ x

60Mais, si l’individu a est déterminé, et la fonction φ indéterminée, c’est elle qui sera la variable, et on devra l’inscrire en indice à . Les lettres x et a seront des variables apparentes, et seule la lettre φ sera une variable réelle.

  • 36 Dans toutes les formules de ce chapitre, nous supposerons que les lettres a, b, c,… représentent de (...)

6110. Nous pouvons maintenant définir les relations et opérations de la Logique des concepts au moyen des relations et opérations de la Logique des propositions. Comme il y a une analogie formelle entre ces deux ordres de relations et d’opérations, on les représente par les mêmes symboles. Mais il faut se garder de confondre les deux sens ainsi attribués à chaque symbole. D’ailleurs, pour éviter toute équivoque, il suffit de considérer quelle espèce de termes chaque symbole unit, si ce sont des classes ou des propositions36.

  • 37 Que Schröder appelait subsomption, en considérant les concepts correspondants.

62À l’implication correspond l’inclusion des classes37, qu’on définit comme suit :

Df.                                      a  b .=: x ε a . x . x ε b

« a  b signifie que si un x quelconque est un a, x est aussi un b », ou plus brièvement : « que tout a est un b ». On dit alors que la classe a est contenue dans la classe b, et a  b peut se lire : « a dans b ».

63L’inclusion : a  b traduit donc la proposition universelle affirmative : « Tout a est b ». On voit que cette forme de proposition, que la Logique classique prenait comme fondamentale, est analysée par la Logistique, et équivaut à la fonction propositionnelle vraie pour toutes les valeurs de x : « Si x est un a, x est un b » ; ou encore : « Tout x qui est un a est aussi un ».

64La définition précédente a pour conséquence immédiate une formule importante. Elle entraîne d’abord l’implication suivante :

a  b .  : x ε a . x . x ε b

d’où, par importation :

a  b . x ε a : x . x ε b

« Si tout a est b, et si x est un a, x est un b. »

65C’est la formule du syllogisme singulier. On verra plus loin (§ 15) en quoi il ressemble au syllogisme ordinaire et en quoi il en diffère.

66On remarquera tout de suite la différence des deux relations ε et  ; la première est la relation d’un individu à une espèce ou à un genre quelconque auquel il appartient ; la seconde est la relation d’une espèce à un genre dont elle fait partie. On verra plus loin que ces deux relations ne peuvent être identifiées, et que par suite un individu ne peut être assimilé à une espèce.

67L’égalité des classes se définit exactement comme l’égalité des propositions :

Df.                                      a = b . = : a  b . b  a

« a = b équivaut, par définition, aux deux inclusions inverses : a  b et b  a. » Ainsi a = b signifie que tout a est b et que tout b est a, c’est-à-dire que les deux classes a et b sont composées des mêmes individus, et partant identiques.

68En se reportant à la définition de l’inclusion, on peut remplacer a  b et b  a par les implications équivalentes qui les définissent, et l’on obtient :

a = b . = : x ε a . =x . x ε b

  • 38 Cette équivalence résulte d’ailleurs des deux principes fondamentaux énoncés § 8, qui affirment l’u (...)

« Dire qu’a = b, c’est dire que les fonctions ε a et x ε b sont équivalentes38 pour toute valeur de x. »

6911. La multiplication logique des classes se définit au moyen de celle des propositions :

70Df.                                      a  b .= . x ε (ε a . x ε b)

71« Le produit logique des classes a et b est l’ensemble des individus qui sont à la fois des a et des b. » Ce produit s’énonce « a et b » ou simplement « ab ». Cette égalité équivaut à la suivante :

x ε (a  b) . = . ε a . x ε b

  • 39 Comme dans la Logique des propositions, on sous-entend souvent le signe .

« Dire que x est un « a et b », c’est affirmer à la fois que x est un a et que x est un b39. »

72L’addition logique des classes se définit de même au moyen de celle des propositions :

a  b .= . x ɜ (ε a .  . x ε b)

73« La somme logique des classes a et b est l’ensemble des x qui sont a ou b. » Cette somme s’énonce « a ou b ». L’égalité susdite équivaut à la suivante :

x ε (a  b) . = : ε a .. x ε b

  • 40 Il en résulte que le produit logique de deux classes est contenu dans leur somme logique, comme on (...)

74« Dire que x est un « a ou b », c’est dire que, ou x est un a, ou x est un b. » L’addition des propositions n’étant pas disjonctive, c’est-à-dire n’excluant pas le cas où les deux propositions sont vraies à la fois, l’addition des classes ne l’est pas davantage, c’est-à-dire n’exclut pas les individus qui sont à la fois des a et des b40.

  • 41 Formulaire [de Mathématiques, Tome I, Torino,] 1897, p. 15. Cf. [C.] Burali-Forti, Sur quelques pro (...)

75Ces définitions du produit et de la somme des classes peuvent s’étendre progressivement à un nombre quelconque de classes, pourvu que ce nombre soit fini. Quand on considère un nombre infini de classes, il faut recourir aux définitions suivantes, qui ont une valeur absolument générale41 :

76Df.                          u ε Cls’Cls .  . ’ u = x ɜ (y ε u . y . x ε y)

77Df.                          u ε Cls’Cls .  . ’ u = x ɜ [ u  y ɜ (x ε y)]

  • 42 On peut définir formellement le symbole Cls’ u comme suit :
  • 43 Le symbole x (défini plus loin) signifie : il existe des x, c’est-à-dire la classe x n’est pas nul (...)

78« u étant une classe de classes42, le produit logique des classes u est la classe des x qui appartiennent à chaque classe y qui appartient à u ; la somme logique des classes u est la classe des x qui appartiennent à quelque classe y qui appartient à u43. »

  • 44 Nous rappelons que (ε a) est la négation de la proposition : ε a.

79La négation des classes se définit au moyen de la négation des propositions44.

a. =. x ɜ (x ε a)

« La négation de la classe a est la classe des x qui ne sont pas des a. » Cette négation s’énonce « non-a ». De là on déduit, en opérant par xε sur les deux membres :

x ε a . = . x ε a

  • 45 La différence de ces deux assertions consiste en ceci, que dans la première la négation porte sur u (...)

« Dire qu’un individu x est un non-a, c’est dire qu’il n’est pas un a45. »

80Remarque. Nous n’avons pas à postuler l’existence et l’unicité du produit, de la somme et de la négation des classes, car cette existence résulte des deux principes généraux par lesquels nous avons affirmé l’existence et l’unicité de toute classe correspondant à une fonction propositionnelle quelconque (§ 8).

8112. Enfin aux deux termes spéciaux et de la logique des propositions correspondent, deux classes spéciales, qu’on définit comme suit :

82Df.                                      φ (x) =  .  .  = x ɜ φ (x)

« Si la fonction φ(x) est toujours fausse, la classe est l’ensemble des x qui vérifient φ(x). » C’est une classe vide, qui ne contient aucun individu, puisque par hypothèse aucune valeur de x ne vérifie x. On l’appelle la classe nulle, ou simplement zéro. De même :

Df.                                      φ (x) =  .  .  = x ɜ φ (x)

  • 46 C’est ce que Boole appelait l’Univers du discours. [Cf. George Boole (1815-1864) : « Dans tout disc (...)

« Si φ(x) est toujours vraie, la classe est l’ensemble des x qui vérifient φ(x). » C’est la classe qui comprend tous les individus possibles, puisque par hypothèse ils vérifient tous φ(x). On l’appelle la classe totale, ou simplement, tout46.

83Si l’on pose :

x ɜ φ (x) = a,

il vient :

φ (x) =  .  . a = 
φ (x) =  .  . a = 

ce qui précise le sens des égalités a = , a =  pour une classe a. On a en même temps :

φ (x)= x ε a

d’où:

x ε a=  .  . a = 
x ε a =  .  . a = 

84Puisque le faux implique tout, et que le vrai est impliqué par tout, la classe nulle est contenue dans toutes les classes, et la classe totale contient toutes les classes. Cela résulte de la définition de l’inclusion, qui entraîne les équivalences formelles suivantes :

  φ (x) . = .   a
φ (x  . = . a  

  • 47 Schröder prenait ces deux propriétés pour définitions formelles de et de . Mais pour formuler co (...)

et les premiers membres étant vrais quelle que soit la fonction φ(x), les seconds membres sont vrais quelle que soit la classe a qui correspond à φ(x). La propriété un peu paradoxale de la classe nulle s’explique et se justifie par la propriété correspondante du faux47.

85On a d’autre part l’implication :

x ε  . a  = 

86En effet, on a, en vertu du syllogisme singulier :

x ε a =  :  . ε 

87Or, puisque est contenu dans une classe quelconque, il est contenu dans a ; donc :

x ε    a :  . x ε a.

88On a donc l’implication :

x ε a =  .  . x ε a

  • 48 [C’est-à-dire en concluant de la négation de la conclusion à la négation de l’une des prémisses. No (...)

d’où, par transposition48 :

x ε x ε  . a  = 

ou simplement :

  • 49 [G. Peano, Formules de logique mathématique,] Revue de Mathématiques [(Rivista di matematica), Turi (...)

C. q. f. d.49                            x ε  . a  = 

89Pour ne pas confondre le double sens des signes , , , = suivant qu’ils unissent des classes ou des propositions, il importe de se rappeler qu’ils ne peuvent avoir le premier sens (relatif aux classes) que dans les formules primaires, et qu’ils ont nécessairement le second sens (relatif aux propositions) dans les formules secondaires d’ordre supérieur. Par suite, on reconnaîtra ceux qui ont ce dernier sens à ce fait qu’ils sont accompagnés de points. Par exemple, dans la formule du syllogisme :

a  b . b  c .  . a  c

les deux premiers et le dernier peuvent avoir l’un ou l’autre sens, suivant qu’a, b, c sont des classes ou des propositions ; mais le placé entre deux points ne peut avoir que le second sens.

9013. En vertu de la correspondance parfaite établie par les définitions précédentes entre les relations et opérations des classes et les relations et opérations des propositions, on peut affirmer (et on pourrait démontrer en détail) que les principes formels du Calcul des propositions valent aussi pour le Calcul des classes. Nous nous bornerons à les énumérer, en indiquant leur sens nouveau.

91Et d’abord, la multiplication et l’addition possèdent les mêmes propriétés formelles, à savoir :

92Loi commutative :

ab = ba          a  b = b  a.

93Loi associative :

a (bc)= (abc          a  (b  c)= (a  b c.

94Loi distributive :

a (b  c) = ab  ac          a  bc = (a  b) (a  c).

95Loi de tautologie :

a = aa          a = a  a.

96Loi d’absorption :

a  ab = a          a (a  b) = a.

97Principe d’identité :

a  a.

98« Tout a est a » ; d’où la conséquence :

a = a.

99« Une classe quelconque est égale (identique) à elle-même. »

100Principe du syllogisme :

a  b . b  c .  . a  c.

101« Si tout a est b et si tout b est c, tout a est c. » C’est le type du syllogisme catégorique, dont les trois termes sont des concepts de classes, et dont les trois propositions sont des jugements catégoriques.

102Principe de simplification :

ab  a.

a   b.

« Tout ab est a », autrement dit, le produit logique de deux classes est contenu dans chacune d’elles.

« Tout a est a ou b », autrement dit, la somme logique de deux classes contient chacune d’elles.

103De ces deux formules (corrélatives par dualité) on déduit par syllogisme :

ab   b.

104« Le produit de deux classes est contenu dans leur somme. »

105Principe de composition :

c  a . c  b. = . c  ab.

 c . b  c. = . a   c.

« Si tout c est a et si tout c est b, tout c est ab, et réciproquement. »

Autrement dit, toute classe qui est contenue dans deux classes est contenue dans leur produit.

« Si tout a est c et si tout b est c, tout « a ou » est c, et réciproquement. »

Autrement dit, toute classe qui contient deux classes contient leur somme.

106Si, dans les formules du principe de composition, on fait respectivement :

c =           c = 

on obtient les formules suivantes, vraies pour les classes comme pour les propositions :

a =  . b =  . = . a  b = 

a =  . b =  . = . ab = 

« Si les classes a et b sont nulles, leur somme est nulle et réciproquement. »

« Si les classes a et b sont égales au Tout, leur produit est égal au Tout, et réciproquement. »

107Les théorèmes de multiplication et d’addition s’appliquent aux classes comme aux propositions, car ils dérivent des principes ci-dessus énoncés. Il en est de même des formules qui permettent de substituer l’un à l’autre deux termes égaux (ici deux classes égales) comme membres d’une inclusion ou d’une égalité, ou comme facteurs, ou comme sommandes. Celles-ci établissent en même temps l’unicité du produit et de la somme de deux classes.

Principe de contradiction :

Principe du milieu exclu :

a = .

a  a = .

« Le produit d’une classe et de sa négation est nul » ; autrement dit, rien n’est à la fois a et non-a.

« La somme d’une classe et de sa négation est la classe totale » ; autrement dit, tout est a ou non-a.

108Ces deux principes réunis peuvent servir à définir la négation des classes comme suit :

Df.                                   a = x ɜ (ax =  . a  x = ).

109« Non-a est une classe x telle que l’on a à la fois : ax =  et a  x = . » Mais il faut ensuite démontrer que la classe ainsi définie est unique, car le symbole xɜ désigne toujours une classe (et par suite, ici, une classe de classes). Cette démonstration suppose (comme dans la Logique des propositions) le principe de contraposition pour les classes, qui dérive du principe de contraposition pour les propositions :

a  b . = b  a.

« Si tout a est b, tout non-b est non-a, et réciproquement. » En d’autres termes, si une classe est contenue dans une autre, la négation de la seconde est contenue dans la négation de la première, et réciproquement.

110On peut alors démontrer l’unicité de la négation, et la loi de double négation pour les classes :

 (a) = a.

« La négation de la classe non-a est la classe a. »

11114. Toutes les formules du calcul de et de valent pour les classes comme pour les propositions :

a   = .

a  0 = 0.

« La somme d’une classe quelconque et de la classe totale est égale à celle-ci. »

« Le produit d’une classe quelconque et de la classe nulle est égal à celle-ci. »

a   = a.

a   = a.

« Le produit de la classe totale et d’une classe quelconque est égal à celle-ci. »

« La somme de la classe nulle et d’une classe quelconque est égale à celle-ci. »

112Des quatre formules précédentes, valables pour toute classe a, il résulte que les classes et sont la négation l’une de l’autre.

   =              + 

donc :

∼∧ = ,          ∼∨ = .

113Les quatre formules en question sont évidentes pour le simple bon sens, et confirment les formules équivalentes :

 a

a  

quelle que soit la classe a.

114De ces deux formules résulte, par syllogisme, celle-ci :

  .

« La classe nulle est contenue dans la classe totale », qu’il faut bien se garder d’interpréter par cette phrase paradoxale : « Rien est Tout. »

115On a encore les équivalences connues :

a   . = . a = .

  a . = . a = .

« Dire qu’une classe est contenue dans la classe nulle, c’est dire qu’elle lui est égale (qu’elle est nulle). »

« Dire qu’une classe contient la classe totale, c’est dire qu’elle lui est égale. »

116Ces formules sont également évidentes pour le bon sens.

117Les formules de De Morgan sont vraies pour les classes :

(ab) = a  b.

( b) = a b.

« La négation de la classe ab est la somme des classes non-a et non-b » ; autrement dit,

« La négation de la classe « a ou b » est le produit des classes non-a et non-b » ;

x ε (ab) . = : x ε a .  . x ε b.

x ε ( b) . = . x ε a . x ε b.

« Dire qu’un individu x n’est pas un ab, c’est dire qu’il n’est pas un a OU qu’il n’est pas un b », ou encore : « qu’il est un non-a ou un non-b. »

« Dire qu’un individu x n’est pas un « a ou b », c’est dire qu’il n’est pas un a ET qu’il n’est pas un b », ou encore : « qu’il m’est ni a ni b. »

118On peut appliquer aux classes les formules suivantes, qui résultent des principes de composition et du syllogisme :

a  c .  . b  c :  . ab  c.

c  a .  . c  b :  . c  a  b.

« Si c contient a ou contient b, c contient ab. »

« Si c est contenue dans a ou dans b, c est contenue dans a  b. »

119Mais les formules réciproques ne sont pas vraies pour les classes, comme on le verra plus loin.

120On a toujours les formules de transformation des implications en égalités :

a  b . = a = ab.

a  b . = . a  b = b.

« Dire que a est dans b, c’est dire que a est égale au produit de a et de b. »

« Dire que a implique b, c’est dire que b est égale à la somme de a et de b. »

et des implications en égalités normales :

a  b . = . b = .

a  b . = . a  b = .

« Dire que a est dans b, c’est dire que la classe « a non-» est nulle, c’est-à-dire qu’il n’y a pas de a non b. »

« Dire que a est dans b, c’est dire que la classe « non-a ou b » est égale à Tout, c’est-à-dire que Tout est non-a ou b. »

121On a aussi les formules de transformation des égalités en égalités normales, qui dérivent des précédentes :

a = b . = . b  b a = .

a = b . = . (a  b) (b  a) = .

« Dire que les classes a et b sont égales, c’est dire que les classes « a non-b » et « b non-a » sont nulles. »

« Dire que les classes a et b sont égales, c’est dire que chacune des classes « non-a ou b », « non b ou a » sont égales à Tout. »

a = b . = . (a  b ) (a  b ) = .

a = b . = . ab  a b = .

« Dire que a égale b, c’est dire que les classes « a ou b » et « non a ou non b » n’ont aucun élément commun ; autrement dit, que rien n’est à la fois a ou b, et non-a ou non-b. »

« Dire que a égale b, c’est dire que les classes « a et b » ou « non a et non-b » réunies sont égales à Tout ; autrement dit, que tout est, soit a et b, soit non-a et non-b. »

122On a par suite les formules de transposition, qui dérivent des formules précédentes :

ab  c . = . a c  b.

« Si tout ab est c, tout a non-c est non-b, et réciproquement. »

ab  c  d. = . a c  b  d.

« Si tout ab est c ou d, tout a non-c est non-b ou d, et réciproquement. »

123On remarquera que les formules du Calcul des classes offrent la dualité que nous avons constatée dans le Calcul des propositions, et cela est naturel, puisque les principes formels sont les mêmes. Cette dualité est même plus parfaite et plus complète dans le Calcul des classes que dans le Calcul des propositions, parce que le premier ne possède pas certains principes du second, qui sont précisément ceux qui font échec à la dualité, comme on va le voir.

12415. Seul de tous les principes du Calcul des propositions, le principe d’assertion ne s’applique pas aux classes. Cela vient de ce qu’il n’est pas homogène. Nous dirons qu’une formule est homogène, quand ses deux membres sont des formules du même ordre (primaires, secondaires, etc.). Or quand, dans les formules secondaires, on considère les termes comme des classes, les formules primaires deviennent des égalités ou inclusions entre classes, tandis que les formules secondaires sont toujours des égalités ou implications entre propositions (puisqu’elles ont pour membres les formules primaires susdites). C’est ce qu’on remarque par exemple sur les principes du syllogisme et de composition :

a  b . b  c .  . a  c
c  a . c  b .  . c  ab.

125Quand a, b, c y représentent des classes, les implications primaires deviennent des inclusions de classes, mais les implications secondaires (principales) restent des implications. Ces principes admettent cette interprétation en classes, parce qu’elles sont homogènes. Mais des formules non homogènes ne l’admettent pas, parce que les formules secondaires se trouvent avoir alors pour membres une classe et une proposition, ce qui n’a pas de sens. Par exemple, le principe d’assertion :

a = (a = )

n’a plus de sens si l’on regarde a comme une classe, car il consisterait à égaler la classe a à une proposition (à l’affirmation que a est la classe totale).

126Toutes les formules qui dérivent du principe d’assertion perdent leur valeur dans le Calcul des classes. Tel est, en premier lieu, le principe d’importation et d’exportation :

a .  b  c : = . ab  c

127Et, en effet, il n’est pas homogène : d’abord, le premier membre est une proposition secondaire, tandis que le second membre est une proposition primaire ; ensuite, l’implication que forme le premier membre a pour membres un terme simple, a, et une proposition,  c. On ne peut donc pas regarder les termes a, b, c comme des classes, car le terme a ne peut être qu’une proposition.

128On ne peut plus affirmer les équivalences :

a  b . = .  (a b)           b . = . a  b

qui résultent du principe d’assertion, car elles ne sont pas homogènes ; le premier membre est nécessairement une proposition, tandis que le second membre serait une classe, si a et b étaient des classes.

129Telles sont encore les formules suivantes :

a . b  ab,      aa  b .  . b,      a  b . b .  . a

qui n’ont plus de sens si a et b y représentent des classes. Pour rendre un sens à ces formules et à toutes leurs analogues, il faut les rendre homogènes, c’est-à-dire faire en sorte que les deux membres de chaque implication ou égalité soient des expressions du même ordre. Pour cela, il suffit d’écrire x =  (ou x = ) à la place de chaque terme x qui se trouve juxtaposé à une proposition explicite. Ainsi le principe d’importation deviendra :

a =  . b  c : ab  c

ce qui signifie simplement :

b  c .  .  b  c

et résulte de la formule :

b =  b.

130De même la formule :

a .  . b  ab

devient :

a =  .  . b .  . ab

ce qui signifie simplement :

b   b.

131La formule :

a . a  b .  . b

devient :

a =  . a  b .  . b = 

c’est-à-dire :

  b . b = 

formule connue ; et la formule :

a  b . b .  . a

devient :

a  b . b =  .  . a = 

c’est-à-dire :

a   .  . a = 

formule connue. En résumé, il suffit d’appliquer le principe d’assertion en sens inverse pour retrouver les formules homogènes d’où sont déduites les formules non homogènes.

132Les formules qui dérivent du principe d’assertion ne sont plus valables pour les classes, lors même qu’elles sont homogènes, parce qu’elles sont déduites d’une formule non homogène. Telles sont notamment les formules :

ab  c .  : a  c .  . b  c

c  a  b .  : c  a .  . c  b

De ce que c contient ab, il ne suit pas que c contienne, soit a, soit b.

De ce que c est contenu dans a  b, il ne suit pas que c soit contenu, soit dans a, soit dans b.

133Il en est de même pour les formules suivantes, qui sont, comme on sait, des cas particuliers des précédentes :

ab =  .  : a =  .  . b = .

a  b =  .  : a =  . b = .

De ce que le produit de deux classes est nul, il ne suit pas que l’une d’elles soit nulle. Et, en effet, deux classes non nulles peuvent n’avoir aucun élément commun (telles sont, par exemple, une classe quelconque et sa négation).

De ce que la somme de deux classes est égale à Tout, il ne suit pas que l’une d’elles soit égale à Tout. En effet, deux classes réunies peuvent former la classe totale sans qu’aucune d’elles lui soit égale. (Telles sont, par exemple, une classe quelconque et sa négation.)

134Toutes ces divergences entre le Calcul des classes et celui des propositions viennent de ce fait que les propositions ne sont susceptibles que des deux valeurs : vrai et faux, tandis que les classes sont (en général) susceptibles d’une foule de valeurs autres que Rien et Tout, et pour ainsi dire intermédiaires entre ces deux valeurs extrêmes.

  • 50 [Voir ci-dessus, note 46.]

13516. Toutefois, cela n’est vrai que moyennant certaines hypothèses sur la constitution de l’Univers du discours50. Et d’abord, si l’univers du discours était vide (ne comprenait aucun individu), Rien et Tout seraient égaux, et par suite toutes les classes auraient la même valeur. Il y a donc lieu de formuler un postulat d’existence que voici :

  = .

136« La classe totale n’est pas égale à la classe nulle » ; en d’autres termes, il existe quelque chose. Ce postulat remplace en quelque sorte, dans la Logique des classes, le principe d’assertion, d’où la formule correspondante se déduit dans la Logique des propositions.

137En second lieu, si l’univers du discours ne comprenait qu’un seul individu, Rien et Tout ne seraient pas égaux, mais il n’y aurait pour classes aucune valeur intermédiaire entre Rien et Tout, car il n’y aurait pour chacune d’elles que deux cas possibles : ou bien elle contiendrait l’élément unique de l’univers du discours, et alors elle serait égale à Tout ; ou bien elle ne le contiendrait pas, et alors elle serait égale à Rien. Dans cette hypothèse particulière, le calcul des classes serait identique au calcul des propositions, du moins quant aux formules homogènes dérivées de principes non homogènes. Par exemple, les formules :

ab  c .  : a  c . b  c

c  a  b .  : c  a .  . c  b

seraient vraies dans cette hypothèse, avec toutes leurs conséquences.

138Ainsi, pour se placer dans le cas général, c’est-à-dire n’affirmer aucune formule qui ne soit généralement vraie quel que soit l’univers du discours, il faut supposer ou postuler que celui-ci contient au moins deux individus. Nous verrons plus tard comment on formule symboliquement ce postulat.

  • 51 [G.] Peano, Formulaire [de Mathématiques,] 1897, P. 215. [Il s’agit bien de la Proposition 215, et (...)

13917. Mais une lacune ou une difficulté se présente dans le Calcul des classes : si le principe d’importation et d’exportation n’y est pas valable, on ne peut plus affirmer la loi distributive directe que nous n’avons démontrée qu’au moyen de ce principe. On peut sans doute la démontrer comme suit, au moyen de la loi de transposition51.

140Prenons pour prémisses le principe d’identité :

141(Transp.)                  ab  ab .  . a (ab b

142(Transp.)                  ac  ac .  . a (ac c

143(Mult.)                      a (ab) . a (ac) :  . b c

144                              a (ab) . (ac) :  . b c

145(Transp.)                  a (b  c)  . ab  ac.

146Mais, ou bien on prend la loi de transposition pour principe (c’est ce que fait M. Peano), ou bien on la démontre au moyen du principe d’importation et d’exportation, ou bien on la démontre (comme nous avons fait) au moyen de la seconde formule de transformation des implications en égalités ; mais, comme celle-ci suppose la loi distributive, on ne peut pas en déduire cette loi sans cercle vicieux. Ainsi la loi distributive ne peut pas être démontrée avec les seuls principes dont dispose le Calcul des classes.

147On est donc obligé de postuler la loi distributive directe (car la démonstration de la loi distributive inverse subsiste) ou quelque formule qui lui soit équivalente ou qui l’implique. Schröder postulait un cas particulier de la loi distributive directe de la multiplication, à savoir :

bc =  .  . a (b  c ab  ac

  • 52 [Ernst] Schröder, [Vorlesungen über die] Algebra der Logik [(Exakte Logik)], t. I [Leipzig, 1890,], (...)

c’est-à-dire le cas où les deux classes b et c n’ont aucun élément commun52. Mais, si l’on remarque que, dans la démonstration de la seconde formule de transformation des implications en égalités, la loi distributive n’est invoquée que sous cette forme particulière :

a  ab  a b

  b = (a  b) (a  b)

on est naturellement conduit, pour réduire le postulat au minimum, à postuler la loi distributive directe sous cette forme, c’est-à-dire à prendre pour principe l’une des deux formules précédentes, puisque l’autre en dérive par dualité. Nous poserons donc comme principe la première (celle qui se rapporte à la multiplication) :

a  = a (b  b) = ab  a b

« La classe a est égale à la somme des classes ab et a non-b », ou plutôt, puisque l’inclusion :

ab  a b  a

est démontrable par les principes de simplification et de composition, nous postulerons seulement l’inclusion inverse :

a  ab  a b.

  • 53 Voir Huntington, op. cit., p. 305, postulat 93. [Edward W. Huntington (1874-1952), mathématicien am (...)

« Tout a est, ou « a et b », ou « a et non-b.53 »

  • 54 Remarque. — La proposition banale : « Tout a est b ou non-b » se traduit par :

148Cette proposition est évidente, et familière au bon sens ; car c’est le fondement de la division dichotomique. Nous appellerons donc cette formule le principe de dichotomie54.

149On remarquera que cette formule est plus restrictive que le postulat de Schröder, car elle équivaut à, celle-ci :

bc =  . b  c =  .  . a (b  c ab  ac

dont l’hypothèse signifie que b et c, sont la négation l’une de l’autre ; or elle diffère du postulat de Schröder par adjonction de l’hypothèse :

b  c = .

150Au moyen du principe de dichotomie, on pourra démontrer l’équivalence :

a  b . = . a b = .

151Puis, au moyen de celle-ci, on démontrera la loi de transposition, et de cette loi on déduira la loi distributive directe sous sa forme générale, comme on l’a montré ci-dessus. Celle-ci peut donc être considérée comme établie dans toute sa généralité.

152Remarque. M. Huntington propose comme postulat, au lieu du principe de dichotomie, la formule suivante :

ab =  .  . a  b.

153Or cette implication est la moitié de l’égalité

a  b = . a b = 

et précisément celle que nous avons démontrée au moyen de la loi distributive directe. Il est clair que, si l’on postule cette implication, il n’y aura plus de cercle vicieux à invoquer la susdite égalité pour démontrer la loi distributive directe.

  • 55 On a longtemps cru qu’Euler était le premier qui eût employé des cercles pour figurer les termes du (...)

15418. On peut illustrer le Calcul des classes au moyen d’images géométriques qui en sont en réalité des applications : car si l’on considère les figures géométriques comme des ensembles de points, elles constituent une espèce particulière de classes. Le schématisme le plus commode consiste à représenter les diverses classes par des régions d’un même plan (par exemple, des cercles, suivant l’exemple, de Leibniz et d’Euler55). La totalité du plan (ou, si l’on préfère, un grand cercle qui enferme tous les autres) représentera l’univers du discours (la classe totale). La négation d’une classe sera alors figurée

Figure 1 et 2

Image 100000000000036B0000012413E9917B.jpg

par la région située en dehors du cercle correspondant (et à l’intérieur de l’univers). La somme de deux classes sera figurée par l’ensemble des deux cercles correspondants (sécants ou non), et leur produit par la partie, commune à ces deux cercles (s’ils ne sont pas sécants, cela signifie que le produit est nul). Cela posé, on peut vérifier par intuition que telles formules valent pour le Calcul des classes, et que telles autres ne sont pas valables. Par exemple, les figures 1 et 2 montrent que ab  c n’entraîne ni a  c ni b  c, et que c   b n’entraîne ni c  a ni c  b.

  • 56 Albert Lange, notamment, a soutenu que le fondement des lois logiques se trouve dans l’intuition sp (...)

155Bien qu’un tel schématisme soit commode, surtout au point de vue pédagogique (comme tous les schématismes), il n’est nullement nécessaire, car nous nous en sommes fort bien passés. Nous avons préféré nous en abstenir complètement dans l’exposé de la Logique des classes, pour ne pas laisser croire au lecteur que cette Logique repose, à un degré quelconque, sur des représentations géométriques, et pour ne pas donner lieu à cette objection de certains philosophes, que la Logique est fondée sur une intuition, spatiale ou autre56. Nous avons pu exposer toute la Logique des classes sans faire appel à aucune image. À plus forte raison la Logique des propositions est-elle indépendante de toute intuition, puisque certaines de ses formules (celles qui ne valent pas pour les classes) sont, comme nous venons de le montrer, contredites par les schèmes géométriques. Les Kantiens, qui veulent à toute force trouver des intuitions jusque dans les principes de la Logique, devront chercher des arguments un peu plus solides.

  • 57 M. Dedekind (Was sind und was sollen die Zahlen, 1887, 2éd., 1893, Braunschweig, Vieweg [Traducti (...)

156On voit, par ce que nous venons de dire, que les classes ne sont pas autre chose que ce qu’on appelle en Mathématiques les ensembles ou multiplicités ; on peut dire que le Calcul des classes est une partie de la théorie des ensembles, à savoir celle qui les étudie au point de vue de leurs relations d’inclusion ou d’exclusion mutuelles. On comprend dès lors que ce Calcul puisse servir à exposer et à démontrer les éléments de la théorie des ensembles, et soit le fondement indispensable des théories mathématiques qui reposent sur la considération des ensembles (ce qui est à présent le cas de la plupart d’entre elles). Les notions principales du Calcul des classes ont été introduites en Mathématiques par les fondateurs de la théorie des ensembles (notamment par MM. Dedekind et Georg Cantor) qui les ont désignées par divers noms et symboles57. Encore aujourd’hui, elles sont employées par des mathématiciens qui inventent chacun des noms et des symboles différents, et ne paraissent pas se douter qu’elles appartiennent à la Logique, c’est-à-dire à un corps de doctrine définitivement constitué par des mathématiciens tels que M. Peano.

19. Nous n’avons pas fini d’exposer le symbolisme du Calcul des classes.

  • 58 Formulaire [de Mathématiques], t. II, § I, P 400 (1897).

157Pour la commodité de l’idéographie mathématique, M. Peano a introduit un signe exprimant les propositions existentielles58. Ce signe se définit comme suit :

Df.                                      ε Cls .  :  a . = . a  = .

« a étant une classe,  a signifie : la classe a n’est pas nulle » ; autrement dit, il y a des a (ou au moins un a).

158Il importe de se rendre un compte exact de ce qu’on appelle l’existence en logique ; l’existence ne s’applique jamais à un individu, mais à une classe ; et dire qu’une classe existe (n’est pas nulle), c’est dire qu’elle contient au moins un individu.

159Au point de vue théorique, le signe est inutile et pourrait être remplacé par le groupe de signe  =  qui lui sert de définition ; mais au point de vue pratique il est très utile, lorsque la classe a a une expression compliquée, parce qu’il se place avant, et non après. De plus, il ne s’applique qu’aux classes, et non aux propositions. Si l’on veut exprimer qu’une fonction propositionnelle φ x n’est pas toujours fausse (φ x  =x ) on écrit :

 x ɜ φ x.

160« II y a des x tels que φ x est vraie » ou : « il y a des x qui vérifient φ x. » Ici encore, cette notation est bien plus commode que la première, quand φ x a une expression un peu compliquée ; et elle se rapproche de l’ordre naturel du langage.

161On peut appliquer la négation au signe  ; on a par définition :

a ε Cls .   .= . a
φ x .= . ∼∃ x ɜ φ x

162Les règles du calcul du signe dérivent naturellement de celles du signe x. Par exemple, on a :

 a b .  :  a .  b.

163En effet :

a =  .  . b =  :  . ab = 

d’où, par contraposition :

ab  =  .  : a  =  . b  = 

ce qui équivaut à la formule à démontrer.

164De même on a :

 (a  b) . = :  a .  .  b.

165En effet,

a =  . b =  :  . a  b = 

et réciproquement :

a  b =  .  : a =  . b = 

donc :

a  b =  . = : a =  . b = 

d’où l’on déduit, par contraposition :

a  b  =  . = : a  =  . b  = 

  • 59 [Le signe , dans le manuscrit de Couturat est omis entre a =  et b =  ; mais le sens ne paraît (...)

ce qui équivaut à la formule à démontrer59.

166On remarquera que la seconde formule est une égalité, tandis que la première n’est qu’une implication. Cela vient de ce qu’on n’a pas, dans le Calcul des classes, l’implication :

ab =  .  . a =  . . b = 

qui ne vaut que dans le Calcul des propositions. Et, en effet, pour que le produit de deux propositions soit faux, il est nécessaire que l’une d’elles au moins soit fausse ; mais pour que le produit de deux classes soit nul, il n’est pas nécessaire qu’aucune d’elles soit nulle : il suffit qu’elles n’aient aucun élément commun.

167On a néanmoins l’implication :

 a .  b .  .  a  b.

168En effet :

a  b =  .  : a =  . b =    . a =  .  . b = 

d’où, par contraposition des deux membres extrêmes :

a  =  . b  =  :  . a  b  = 

169Enfin on a l’importante implication suivante :

a  b .  a :  .  b.

170En effet, on a :

(Syll)                                a  b . b =  :  . a = 

171On en tire, par transposition :

a  b .  =  :  . b  = 

ce qui équivaut à la formule à démontrer.

  • 60 Il ne faut pas le confondre avec l’opération algébrique que Boole et Schröder appelaient de ce nom. (...)

17220. La notation permet de formuler commodément un procédé logique fort important qu’on nomme l’élimination60. Si dans une implication l’hypothèse contient une ou plusieurs variables qui ne figurent pas dans la thèse, l’implication en réalité est indépendante de ces variables ; on peut alors les éliminer en mettant l’hypothèse sous forme existentielle, comme le montre la formule suivante :

φ (xy) . x,y . ψ (x) : = :  y ɜ φ (xy) . x ψ x.

  • 61 [C.] Burali-Forti, Logica matematica, [op. cit.] p. 95. — Cf. Peano, Notations de Logique mathémati (...)

173« Dire que φ (x, y) implique ψ x, quelles que soient x, y, c’est dire que s’il existe des y qui vérifient φ (x, y), il en résulte ψ x, quelle que soit x. » On a éliminé y de cette implication, car l’hypothèse nouvelle est indépendante de y (y était une variable apparente). Cette transformation est fondée sur le principe d’importation et d’exportation. En effet, on a les équivalences suivantes61 :

φ (xyx,y ψ (x) . = . φ (xyψ (x) =x,y 
= : ψ (x) . x . φ (x, y) = y  : = : φ (x, y =y  . x . ψ x.

174Or :

φ (x, y =y  . = .  y ɜ φ (xy).

175Le nerf de cette déduction consiste dans la transformation par exportation :

φ (x, yψ x =x,y  . = : ψ x . x . φ (xy) =y 

avec le seul indice y au signe =. En effet, du moment que l’implication principale vaut pour tout x, il n’est plus besoin de considérer dans le second nombre la variation de x, et il suffit qu’il soit vrai pour tout y.

176Un exemple court fera mieux comprendre ce procédé logique. Soient x, y, z des nombres réels ; on a la proposition mathématique :

x > y . y > z : x,y,z . x > z.

177« Si x est plus grand que y et y plus grand que z, x est plus grand que z, quels que soient x, y, z. » Le nombre y ne figure pas dans la thèse ; l’implication est donc indépendante de ce nombre ; il suffit qu’il existe, c’est-à-dire que l’hypothèse : x > y, y > z soit vérifiée par quelque y. C’est ce qu’exprime l’implication transformée :

 y ɜ (x > y . y > z) . x,z . x > z

y n’est plus qu’une variable apparente.

178Souvent l’hypothèse se compose de deux parties dont une seule contient la variable surérogatoire. Dans ce cas, la formule d’élimination est la suivante :

φ (xy) . χ x . x,y . ψ x : = : φ (xy) . y . χ x x ψ x.

  • 62 [Le manuscrit de Couturat porte ici le mot Exemple, suivi de quelques lignes en blanc destinées à a (...)

179On exporte l’hypothèse φ (x, y) qui contient la variable surérogatoire y, et la thèse devient une implication relative à la seule variable x62

180Enfin, il peut se faire que l’hypothèse se compose de deux parties dont l’une contienne les mêmes variables que la thèse, et dont l’autre en contienne moins. Dans ce cas, la formule d’élimination est la suivante :

φ x . χ (xy) . x,y . ψ (x, y) : = : φ x . x .  x ɜ χ (x, y  x ɜ ψ (xy).

181En effet, on a d’abord, en vertu du principe d’exportation :

φ x . χ (xy) .     . ψ (xy) : = : φ x . x . χ (xyy ψ (xy).

182Mais l’implication χ ψ étant relative uniquement à la variable y, on peut en éliminer la variable x en transformant les deux membres en propositions existentielles ; on a donc bien :

φ x . x .  x ɜ χ (xyy  x ɜ ψ (xy).

183Exemple. Soit a un nombre entier (N) ; on a la proposition arithmétique :

b ε N × a . c ε N × b .  . c ε N × a.

184« Si b est un multiple de a et c un multiple de b, c est un multiple de a. » L’implication est relative aux trois variables a, b, c ; mais la variable b ne figure pas dans la thèse ; exportons-la :

b ε N × a . a,bc ε N × b . c . c ε N × a.

185On peut maintenant éliminer c, car :

c ε N × b .  . c ε N × a:=: N × b  N × a.

186Il reste donc :

b ε N × a . a,b . N × b  N × a

implication qui ne contient plus que les variables a, b : « Si b est un multiple de a, tout multiple de b est un multiple de a ». Ce dernier mode d’élimination, qui repose sur la définition de l’inclusion, est souvent employé.

  • 63 Dès 1879, dans sa Begriffsschrift, M. Frege établissait une distinction équivalente entre les varia (...)

18721. Nous avons expliqué au début la relation fondamentale d’appartenance (représentée par ε). C’est M. Peano qui a eu le mérite de distinguer cette relation, que tous les logiciens antérieurs (notamment Schröder) avaient négligée, ou confondue avec la relation 63. Cette confusion provient du langage, car le verbe être a, suivant les cas, la signification de ε ou de (il sert même parfois à signifier l’égalité simple, ou encore l’égalité par définition, ce qui fait quatre sens distincts).

  • 64 On sait que la Logique classique assimilait les jugements singuliers aux jugements universels (« So (...)

188Par exemple, dans l’exemple classique de syllogisme : « Tout homme est mortel, Socrate est homme, donc Socrate est mortel », la mineure et la conclusion ont pour copule ε, et non pas (comme la majeure), attendu que Socrate n’est pas une classe, mais un individu64. Les jugements dont il est le sujet sont donc des jugements singuliers (portant sur un seul individu), d’où le nom de syllogisme singulier que nous donnons à ce raisonnement, dont la formule est (voir § 5) :

a  b . x ε a :  . x ε b.

189Au point de vue formel, la relation ε diffère de la relation en ce qu’elle n’est pas transitive : de (a ε b, b ε c) on ne peut pas conclure : a ε c, car si a est un individu de b, et la classe b un individu de c, la classe c sera une classe de classes analogues à b, parmi lesquelles l’individu a ne pourra pas en général figurer.

190Mais on pourra conclure :

a ε ’ c

c’est-à-dire « a est un individu de la somme des classes c », puisqu’il est un individu de la classe b qui est une classe c.

  • 65 La lettre grecque ι est l’initiale du mot ίσος (égal).

191On est donc obligé de distinguer soigneusement les classes des individus, et même une classe singulière de l’individu unique qu’elle contient. Pour marquer cette distinction, si x est un individu, on désignera la classe formée de cet élément unique par ιx qu’on lira : « identique à »65. Inversement, si a est une classe singulière, l’individu unique qui la constitue sera désigné par a, qu’on lira : « le a ». On a ainsi les deux formules équivalentes :

a = ι x           x = a.

  • 66 M. Peano ne distingue pas l’identité des individus de l’égalité des classes ; et pourtant il en don (...)

192Pour définir formellement les symboles ι et , il faut posséder d’abord la définition de l’identité des individus ; cette relation ne doit pas être confondue avec l’égalité des classes, car celle-ci équivaut, par définition, à l’inclusion réciproque ; or deux individus ne peuvent pas être les termes d’une relation d’inclusion, puisque ce ne sont pas des classes66. Nous désignerons cette relation nouvelle par un signe spécial, ≡, et nous la définirons comme suit :

Df.                                   x ≡ y . = . φ x φ φ y.

  • 67 C’est la définition même de Leibniz : « Eadem sunt, quorum unum in alterius locum substitui potest (...)

193« Dire que x et y sont identiques (comme individus), c’est dire que φ x entraîne φ y, quelle que soit la fonction propositionnelle φ » ; en d’autres termes, c’est dire que tout ce qui est vrai de x est vrai de y67. Il est inutile de mettre dans le second membre une égalité : φ x =φ φ y, car l’implication φ x =φ φ y entraîne l’implication inverse :

φ y φ φ x.

194En effet,

(Contrap.)                         φ y φ φ . = . φ y φ . φ x.

195Or φ étant une fonction quelconque, φ est aussi une fonction quelconque, et l’on a :

φ x φ φ y . = . φ y φ φ x.

196On peut donc écrire, non comme définition, mais comme conséquence de la définition précédente :

x ≡ y . = . φ x =φ φ y.

  • 68 Formulaire [de Mathématiques,] 1897, p. 80 ; Formulaire [de Mathématiques,] 1899, p. 15.

197À la fonction φ correspond une classe a qui est son extension ; et l’assertion prend alors la forme x ε a. On peut donc mettre la définition sous la forme suivante, qui en est une conséquence68 :

x ≡ y . = : x ε a a . y ε a.

  • 69 [Comme individu faisant partie de son extension. D’autres logiciens, notamment M. Padoa, appellent (...)

198« Dire que x et y sont identiques, c’est dire que toute classe qui contient x contient aussi y (comme élément69). »

19922. Cela posé, on peut définir le signe ι comme suit :

Df.                                             ι x = y ɜ (y ≡ x)

200« ι x est la classe des y identiques à x », c’est-à-dire la classe composée du seul élément x.

201Corollaire : On a toujours :

x ≡ x

quel que soit x.

202En effet, en vertu du principe d’identité, on a, quels que soient l’individu x et la classe a :

x ε a .  x ε a.

203Scholie. Il peut paraître étrange de démontrer ce qui est, pour le bon sens, le caractère essentiel de l’identité, à savoir qu’un individu quelconque est identique à lui-même. Mais cela est nécessaire au point de vue formel, et d’ailleurs cela montre que la définition formelle de l’identité correspond bien à l’idée commune de l’identité.

  • 70 [De la définition de ce ι*x le corollaire et le scholie ont été ajoutés après coup par Couturat. No (...)

204Si l’on opère par yε sur les deux membres de la formule précédente70, on trouve :

y ε ιx . = . y ≡ x.

205Ainsi l’ensemble des deux symboles ει équivaut au symbole ≡. La relation d’égalité est décomposée en une relation ε et une fonction ι, comme dans le langage : « y égale x » = » y est égal à x ».

206On a donc toujours :

x ε ιx,

mais non pas :

x ε x,

  • 71 On a toutefois des exceptions comme Cls ε Cls, c’est-à-dire : l’ensemble des classes est une classe

car, en général, une classe ne fait pas partie d’elle-même à titre d’individu71. On peut démontrer l’égalité :

x ε a . = . ιx  a

207« Si l’individu x appartient à la classe a, la classe ιx est contenue dans a ; et réciproquement. » On a de même :

x,y ε a . = . ιx  ιy  a.

208Puisqu’on a toujours :

x ε a . = . ιx 

l’égalité :

a = ιx

équivaut à l’inclusion :

a  ιx.

209L’une et l’autre peuvent être employées pour exprimer le fait que la classe a est singulière.

210D’une manière générale, toutes les fois que l’on veut ajouter un individu à une classe, il faut avoir soin de le transformer en classe par le signe ι, car l’addition ne peut unir que des classes, et non une classe et un individu. Par exemple, si N0 = nombre entier (y compris 0), et N1 = nombre entier non nul, on écrira :

N0 = N1  ι 0,

d’où, en opérant par xε, on tire la formule correcte :

x ε N0 . = x ε N1 .  . x = 0 .

211On peut donner une définition formelle de la classe singulière.

212Une classe a est singulière, si l’on a :

a  =  . x,y ε a :  . x ≡ y,

c’est-à-dire si elle n’est pas nulle, et si, de ce que x et y sont des a, il suit qu’ils sont identiques. Et, en effet, supposons que la classe a soit singulière, et contienne l’individu x ; on aura : a = ιx ; et, si l’on a en outre y ε a, il en résultera :

y ε ιx . = . y ≡ x.

213On peut maintenant définir formellement le signe  :

Df.                               a  =  x,y ε a .  . x ≡ y :  . a = x.

214« Si a est une classe singulière, ιx est l’élément (unique) qui lui appartient. » On a évidemment aussi : a = y ; a est égal à tout terme égal (identique) à x.

215On a encore l’équivalence suivante :

a = ιx . =  x ε a : y ε a . y . y ≡ x.

  • 72 Padoa, [Note di Logica matematica], ap. Revue des Mathématiques, t. VI, p. 117.

216« Dire que a est la classe « égal à x », c’est dire que x est un a, et que tout a est égal x. » On en peut déduire l’équivalence entre l’égalité des individus et celle des classes72 :

x ≡ y . = . ιx = ιy.

217« Dire que x et y sont identiques, c’est dire que les classes « égal à a ; » et « égal à y » sont égales. »

218Dém. : Dans la formule précédente, substituons ιy à a ; il vient :

ιy = ιx . =  x ε ιy : y ε ιy . y . y ≡ x.

219Or y ε ι y . = . y ≡ y est vraie pour tout y ; il reste donc la thèse : y ≡ x, laquelle est identique à l’autre facteur du second membre x ε ι y . = . x ≡ y . On a donc bien la formule à démontrer.

220Ainsi l’identité des individus équivaut à l’égalité des classes dont ils sont les seuls éléments. On a la formule inverse :

a = b . = a ≡ b.

221En raison de ces définitions, on ne peut appliquer le signe ι qu’à un individu (ou à une classe jouant le rôle d’individu dans une classe de classes) ; et on ne peut appliquer le signe  qu’à une classe singulière ; autrement il n’aurait pas de sens. Par conséquent, on ne peut l’employer dans une définition qu’après avoir démontré l’existence et l’unicité de l’objet défini. Par exemple, on définit comme suit la différence de deux nombres entiers a et b :

Df.                                 a,b ε N . a > b .  . a – b N  x ɜ (b + xa)

222« Si a et b étant des nombres entiers, a plus grand que b, la différence ( b) est le nombre qu’il faut ajouter à b pour obtenir a. » Cela suppose qu’il existe un nombre entier, et un seul, qui vérifie l’équation : b + x = a. Sinon, on devrait écrire :

a – b = N  x ɜ (b + x = a),

et la différence (a − b) serait définie comme une classe de nombres, à savoir comme l’ensemble des nombres qui vérifient ladite équation.

22323. — Il est intéressant de montrer ici comment on peut définir logiquement les nombres 0 et 1 comme classes de classes. En effet, un nombre cardinal étant (en compréhension) la propriété commune à toutes les classes qui ont ce nombre, peut être représenté par son extension, c’est-à-dire par l’ensemble de ces classes, de sorte que, si x est une classe et n un nombre entier, « x e n » signifiera : « la classe x a le nombre n d’éléments ». Dans cette conception, le nombre 0 est la classe des classes nulles ; on écrira donc :

a ε Cls .  : a ε 0 . = . a = .

224« Dire que la classe a le nombre 0, c’est dire qu’elle est nulle. » De cette formule on déduit, en opérant par a ɜ, la définition de zéro :

Df.                                                     0 = ι .

  • 73 En effet, si nous avons parlé de la classe des classes nulles, cela n’empêche pas que ces classes s (...)

225« Zéro est la classe qui contient la seule classe nulle73. »

226Le nombre 1 est la classe des classes singulières, que nous avons, définies plus haut ; on écrira donc :

a ε Cls .   a ε 1 . = : a  =  : x,y ε a . x,y . x ≡ y

d’où l’on tirera la définition du nombre 1 :

Df.                              1 = Cls  u ɜ (u  =  : x,y ε u . x,y . x ≡ y).

227« 1 est la classe des classes u non nulles et telles que deux quelconques de leurs éléments sont identiques. »

228On peut définir de même tous les nombres entiers au moyen de la formule récurrente suivante :

Df.                 n ε N .  . n + 1 = Cls  u ɜ (u  =  : x ε u . x . u ιx ε n).

  • 74 Voir Les principes des mathématiques, chap. II, § B. Signalons encore une autre forme de la définit (...)

229« n étant un nombre entier, n + 1 est, par définition, la classe des u non nulles, et telles que, si x est un élément de u, la classe des u non identiques à x a le nombre n. » On tire aisément de cette formule la définition de 1 en fonction de 0, en substituant à n la valeur 074.

Notes

1 [Ces pages sont extraites du manuscrit d’un Manuel de Logistique, écrit par Couturat vers 1906, mais auquel il paraît avoir apporté ultérieurement quelques corrections. Elles forment la majeure partie du second chapitre, consacré à la logique des concepts. Nous espérons que l’ouvrage entier pourra être publié prochainement. Toutes les notes entre crochets sont ajoutées par nous. Les autres sont de Couturat lui-même. Note de l’éditeur de 1917]. [Nous signalerons à chaque fois l’origine de ces notes pour les distinguer de celles de la présente édition.]

2 [Voir notamment Revue de Métaphysique, [XII], 1904, p. 31 et suivantes. Note de l’éditeur de 1917.] [Il s’agit du premier article sur « Les principes des mathématiques », repris dans le livre Les Principes des Mathématiques, Paris, Alcan, 1905, p. 17 pour le loc. cit.]

3 La notion de fonction logique est manifestement analogue à celle de fonction mathématique ; mais elle est beaucoup plus large, car elle comprend, non seulement des termes, mais des propositions (implications, égalités, etc.), comme on va le voir.

4 Russell, The Principles of mathematics, ch. X. [Voir Article 28, notice de présentation, Note sur la question de la « contradiction ». Nous retrouvons ici la répugnance de Couturat à s’avancer trop loin dans l’examen des « paradoxes » ou « antinomies ».]

5 Idée et expression dues à M. Russell. [Principles of Mathematics, London, 1903, Chap. VII.]

6 M. [C.] Burali Forti [Professore nella R. Accademia militare di Torino,] (Logica matematica, [Manuali Hoepli, Milano, 1894,] ch. III, § 1 [p. 68]) emploie dans le même sens l’expression « proposition conditionnelle », qui indique que ce sont des conditions que les variables doivent vérifier. Mais ce terme est équivoque, car d’autres auteurs l’emploient pour désigner, Soit le jugement hypothétique, soit la thèse d’un jugement hypothétique, (c’est-à-dire d’une implication), en tant qu’elle est soumise à l’hypothèse comme à une condition. — On parle souvent en mathématiques d’équation de condition : cette expression n’a pas de sens, à la rigueur, car toute équation est ou formule une condition !

7 [La formule complète du principe de composition, qui a été donnée dans le premier chapitre du Manuel, est la suivante
 a . x  b. = .  ab,
 x . b  x. = . ab  x.
Voir aussi Revue de Métaphysique, [XII] 1904, p. 26. Note de l’éditeur de 1917.] [ = Premier article sur « Les principes des mathématiques », repris dans le livre Les Principes des Mathématiques, Paris, Alcan, 1905, p. 10 pour le loc. cit]

8 Par exemple, dans la démonstration que nous venons de citer, on a pu substituer au principe de simplification (ab  a) ; on n’aurait pas pu le substituer à l’autre prémisse.

9 Déjà faite par [Ernst] Schröder, [Vorlesungen über die] Algebra der Logik [(Exakte Logik)], [Erster Band, Leipzig, 1890], § 20.

10 De même, une inégalité peut être conditionnelle, ce qu’on pourrait appeler une inéquation.

11 Il est vrai que la copule = (la relation d’égalité) est prépondérante en mathématiques ; mais ce n’est pourtant pas la seule. Ces remarques montrent combien les éléments des mathématiques gagneraient à être éclairés par une logique rigoureuse et combien les mathématiciens eux-mêmes auraient besoin d’être un peu plus instruits en Logistique, au lieu de s’en rapporter à la logique instinctive et routinière qu’ils pratiquent inconsciemment.

12 Idées et expressions empruntées à M. Russell. [Principles of Mathematics, op. cit., Chap. III.]

13 Nous disons, avec M. Russell, « a n’est pas vrai » plutôt que « a est faux », pour comprendre même le cas où a ne serait pas une proposition : car dans ce cas a « n’est pas vrai » (sans être faux), et alors l’implication est vraie.

14 On peut les supprimer quand il n’y a pas d’ambiguïté à craindre, par exemple, quand les deux membres d’une implication contiennent explicitement les mêmes variables. Mais il vaut mieux les écrire toujours, pour plus de clarté.

15 [G.] Peano [Professeur d’Analyse infinitésimale à l’université de Turin], [Notations de Logique mathématique], Introduction au Formulaire [de Mathématique, publié par la Rivista di matematica], p. 18 ([Turin,] 1894).

16 Cette explication verbale n’est pas une démonstration : elle ne fait qu’énoncer le principe sous une forme plus familière.

17 Il ne faut pas confondre cette seconde forme de substitution avec l’opération classique dite subalternation, qui est illégitime. La subalternation conclut, elle aussi, de tous à quelques, mais elle suppose que les « tous » existent, alors qu’ils peuvent être « aucun ». Mais la substitution est légitime, parce que la totalité qu’elle envisage dans la prémisse est l’ensemble des valeurs possibles d’une variable quelconque, ensemble qui ne peut pas être « nul ».

18 Conception due à M. Frege. [Gottlob Frege, Funktion und Begriff, Iena, 1891, trad. française par Claude Imbert, « Fonction et concept », dans Frege, Écrits logiques et philosophiques, Paris, Seuil, 1971, pp. 80-101.]

19 Nous avons cité à dessein des propositions de forme négative, pour montrer qu’elles donnent lieu à des concepts qui ne sont nullement négatifs.

20 Initiale, du mot ἔστί.

21 Quoi qu’en ait dit Leibniz. [Stricto sensu, Leibniz n’a jamais dit que « n’importe quel ensemble d’objet » correspondrait à un concept. Se plaçant d’abord au point de vue du concept, il a soutenu plutôt que la relation d’inclusion entre concepts pouvait toujours être interprétée symétriquement ou en compréhension (des idées) ou extension (des individus). Cf. Nouveaux Essais sur l’entendement humain, Liv. IV, chap. 17, § 8 : « Disant : tout homme est animal, je veux dire que tous les hommes sont compris dans tous les animaux ; mais j’entends en même temps que l’idée de l’animal est comprise dans l’idée de l’homme. L’animal comprend plus d’individus que l’homme, mais l’homme comprend plus d’idées ou plus de formalités ; l’un a plus d’exemples, l’autre plus de degrés de réalité ; l’un a plus d’extension, l’autre plus d’intension. Aussi peut-on dire véritablement que toute la doctrine syllogistique pourrait être démontrée par celle de Continente et Contento, du comprenant et du compris, qui est différente de celle du tout et de la partie ; car le tout excède toujours la partie, mais le comprenant et le compris sont quelquefois égaux, comme il arrive dans les propositions réciproques. »]

22 Mais il n’en exprime pas la relation converse, qui serait la relation d’une classe à un individu qui lui appartient.

23 De même, en grammaire, les relatifs ont pour effet de transformer une proposition en un concept (un attribut) : « Pompée fut vaincu à Pharsale », c’est une proposition. Dans « Pompée, qui fut vaincu à Pharsale », la « proposition relative » équivaut à un simple adjectif (« Pompée, vaincu à Pharsale »). On voit par cet exemple combien la grammaire recevrait de lumière de la Logique, et combien, inversement, la Logique tirerait profit de l’analyse grammaticale des formes du discours (comme le proposait déjà Leibniz).

24 La notion de classe n’est pas indéfinissable ; on peut la définir formellement comme suit :

Cls = ɜ [ φ ɜ (u = x ε φ)].          Df.

« On appelle classe tout u tel qu’il existe une fonction φ dont u est l’extension » (définition communiquée à l’auteur par M. Russell). Cette définition contient le symbole d’existence , qu’on définira plus loin. On voit qu’elle repose sur la notion indéfinissable ɜ, qui implique, philosophiquement, la notion de classe, ou même lui est équivalente au fond. [Cf. les Remarques de Russell sur la logique mathématique de M. Couturat, jointes à sa lettre du 5 juillet 1904 : « Je ne vois pas la nécessité de prendre Cls comme indéfinissable. On a Cls = ɜ [ φ ɜ (u = x ε φ)] (Bertrand Russell. Correspondance … avec Louis Couturat (1897-1913), op. cit., p. 428 ; Couturat semble toutefois objecter que cette définition comporte, du point de vue philosophique sinon du point de vue formel, un cercle, puisqu’elle contient le symbole ɜ, qui exprime déjà la notion de classe. Voir ci-dessous note 28]

25 On définira plus loin l’égalité des classes (§ 10).

26 L’axiome inverse serait :

ɜ φ = ɜ ψ .  φ =x ψ                    Pp. 

c’est-à-dire conclurait l’égalité de deux fonctions propositionnelles quelconques de l’égalité de leurs extensions. Le principe que nous formulons dans le texte n’en est qu’un cas particulier, car il correspond au cas où les fonctions propositionnelles sont de la forme ; ε a, ε b, a et b étant des classes qu’on peut connaître indépendamment des fonctions φ et ψ.

27 Voir Russell, The principles of mathematics, chap. X et Appendice A; Frege, Grundgesetze der Arithmetik, t. II, Nachwort (1903). [Voir ci-dessus note 4 et Article 28, notice de présentation, Note sur la question de la « contradiction.] 

28 [A.] Padoa, [Note di Logica matematica], ap. Revue de Mathématiques [Rivista di matematica, publiée par G. Peano ], t. VI, p. 105 (1899). Cf. Formulaire [de Mathématiques, Tome II, n° 2, Turin,] 1899, p. 52 ; Formulaire [de Mathématiques, Tome III, Turin,] 1901, p. 5. [C’est précisément de cette formule que, dans le même passage que celui cité ci-dessus note 24, Russell disait qu’elle « [lui] paraît inutile », pour lui substituer la définition formelle de Cls.]

29 Comme le faisait d’abord M. Peano (Formulaire [de Mathématiques, Tome II, n° 1, Turin,] 1897, p. 13). Cette égalité n’a pas d’ailleurs la forme normale d’une définition.

30 Formulaire [de Mathématiques, Tome II, n° 2, Turin,] 1899, p. 7.

31 Cf. [A.] Padoa, Note di Logica matematica, ch. II, ap. Revue de Mathématiques, [op. cit.], t. VI, p. 112 (1899). Quiconque est un peu familier avec les mathématiques a dû remarquer combien la locution « tel que » est fréquente et utile dans le style mathématique. Cela signifie que les entités mathématiques sont définies ou caractérisées par leurs propriétés ; autrement dit, que les classes sont postérieures aux fonctions propositionnelles.

32 Pour éviter toute confusion avec le sens mathématique du mot réel, on pourrait le remplacer par le mot effectif.

33 Pour préciser, il n’est pas nécessaire que le sens de la formule change chaque fois que celui de la variable change ; il suffit qu’il change pour quelque changement de sens de la variable.

34 Exemples mathématiques : dans

Image 100002010000005F00000050485FD821.png

x est apparente et z réelle ; dans

Image 1000020100000061000000502C44D34D.png

x est apparente, et m réelle.

35 Voir [C.] Burali-Forti, Logica matematica, [op. cit.,] ch. III, § 1, chap. III, § 1.

36 Dans toutes les formules de ce chapitre, nous supposerons que les lettres a, b, c,… représentent des classes, c’est-à-dire que nous sous-entendrons devant chaque formule l’hypothèse, commune : « a, b, c, ε Cls ».

37 Que Schröder appelait subsomption, en considérant les concepts correspondants.

38 Cette équivalence résulte d’ailleurs des deux principes fondamentaux énoncés § 8, qui affirment l’uniformité de la correspondance entre les classes et les fonctions propositionnelles, au moins quand celles-ci sont de la forme : ε a, ε b. On pourrait donc se dispenser de définir l’égalité des classes, à la condition de prendre pour sa définition l’égalité : a = b . = : x ε a . =x . x ε b.

39 Comme dans la Logique des propositions, on sous-entend souvent le signe .

40 Il en résulte que le produit logique de deux classes est contenu dans leur somme logique, comme on le démontrera plus loin.

41 Formulaire [de Mathématiques, Tome I, Torino,] 1897, p. 15. Cf. [C.] Burali-Forti, Sur quelques propriétés des ensembles d’ensembles, ap. Mathematische Annalen, t. XLVII (1895).

42 On peut définir formellement le symbole Cls’ u comme suit :

u ε Cls .  . Cls’u = Cls  x ɜ (x  u)       Df.
« u étant une classe, on appelle « classe de u » toute classe x qui est contenue dans u », et par suite formée d’éléments de u. Par suite, « Cls’Cls » signifie : classe de classes.

43 Le symbole x (défini plus loin) signifie : il existe des x, c’est-à-dire la classe x n’est pas nulle ;  u  ɜ (ε y) signifie donc : « il existe une classe u, appelée y, telle que ε y », ou : « il existe une classe u à laquelle x appartient », ou enfin : « x appartient à quelque classe u ». On remarquera comment ces deux formules traduisent respectivement les expressions verbales tout et quelque.

44 Nous rappelons que (ε a) est la négation de la proposition : ε a.

45 La différence de ces deux assertions consiste en ceci, que dans la première la négation porte sur une classe a, tandis que dans la deuxième elle porte sur la copule ε, c’est-à-dire sur la proposition tout entière.

46 C’est ce que Boole appelait l’Univers du discours. [Cf. George Boole (1815-1864) : « Dans tout discours, que ce soit celui de l’esprit dialoguant avec ses propres pensées ou celui de l’individu dans son commerce avec les autres, il existe une limite, tacite ou exprimée, déterminant les objets sur lesquels ce discours opère. Le discours le plus libre est celui où les mots que nous employons sont compris dans l’acception la plus large possible ; pour de tels mots, les limites du discours sont coextensives à celles de l’univers lui-même. Mais il arrive plus fréquemment que nous nous en tenions à un champ moins vaste. Parfois, en parlant des hommes, nous sous-entendons (sans poser explicitement cette restriction) qu’il s’agit des hommes dans certaines circonstances et sous certaines conditions, par exemple les hommes civilisés, ou dans la force de l’âge, ou les hommes sous quelqu’autre condition ou rapport. Cela posé, quelle que puisse être l’étendue du champ où se rencontrent tous les objets dont nous parlons, il peut être proprement désigné comme l’univers du discours », An Investigation into the Laws of Thought, 1854, p. 42 ; Les lois de la pensée, texte traduit … par Souleymane Bachir Diagne, Paris, Vrin, 1992, pp. 58-59.]

47 Schröder prenait ces deux propriétés pour définitions formelles de et de . Mais pour formuler correctement ces définitions, il faut écrire :

 = x ɜ (a ε Cls . a . x ε a)      Df.

« La classe nulle est l’ensemble des x qui appartiennent à toute classe a. » D’où l’on déduit :

a ε Cls . a .   a

La classe nulle est contenue dans toute classe a » (voir Formulaire [de Mathématiques, Tome III, Torino,] 1901, p. 22).

48 [C’est-à-dire en concluant de la négation de la conclusion à la négation de l’une des prémisses. Note de l’éditeur de 1917.]

49 [G. Peano, Formules de logique mathématique,] Revue de Mathématiques [(Rivista di matematica), Turin,] t. VII, p. 32 (1900).

50 [Voir ci-dessus, note 46.]

51 [G.] Peano, Formulaire [de Mathématiques,] 1897, P. 215. [Il s’agit bien de la Proposition 215, et non de la page, comme le laisserait entendre la typographie de l’original.]

52 [Ernst] Schröder, [Vorlesungen über die] Algebra der Logik [(Exakte Logik)], t. I [Leipzig, 1890,], p. 293 ; postulat 92 de Huntington (voir infra [note suivante]).

53 Voir Huntington, op. cit., p. 305, postulat 93. [Edward W. Huntington (1874-1952), mathématicien américain, après avoir obtenu son doctorat à Strasbourg (alors en Allemagne), a fait toute sa carrière universitaire à Harvard. Couturat cite « A complete set of postulates for the theory of absolute continuus magnitude », Transactions of the American Mathematical Society, 1902.]

54 Remarque. — La proposition banale : « Tout a est b ou non-b » se traduit par :

a  b  b

et équivaut simplement à :

a  .

Elle se transforme en légalité :

a = a (b  b).

Ce n’est pas là le principe de dichotomie ; il consiste à passer de cette formule à celle-ci :

a = ab  a b

c’est-à-dire à affirmer l’inclusion :

a (b  b ab  a b.

55 On a longtemps cru qu’Euler était le premier qui eût employé des cercles pour figurer les termes du syllogisme catégorique, dans ses Lettres à une princesse d’Allemagne (1768-1772) [Leonard Euler (1707-1783), grand mathématicien, membre des Académies des sciences de Saint-Petersbourg et de Berlin, auteur notamment de Mechanica sive motus scientia analytice exposita (1736) et de l’Introductio in Analysin infinitorum (1748). Ses Lettres à une princesse d’Allemagne sur divers sujets de physique et de philosophie ont été rééditées par les Presses Polytechniques et Universitaires Romandes (PPUR) en 2003. Sur sa représentation diagrammatique des figures du syllogisme, voir Robert Blanché, La Logique et son histoire d’Aristote à Russell, Paris, Armand Colin, 1970, pp. 235-237] ; mais Leibniz les avait déjà employés dans ses manuscrits : voir Opuscules et fragments inédits de Leibniz, éd. Couturat (Paris, Alcan, 1903). M. Itelson [Voir Article 23, note 2] nous a appris que ces schémas se trouvaient déjà chez Christophe Sturm [Johann Christop Sturm (1635-1703), professeur de mathématiques et de physique à Altdorf. Dans sa Logique de Leibniz (Paris, 1901, p. 11), Couturat citait son Compendium Universalium seu Metaphysicae Eucldeae, La Haye, 1660.] Ce schématisme suppose que les concepts sont représentés par leurs extensions.

56 Albert Lange, notamment, a soutenu que le fondement des lois logiques se trouve dans l’intuition spatiale, de sorte que les lois logiques seraient en définitive des lois géométriques. (Logische Studien, 1877 ; posthume. [Voir Article 28, note 21]).

57 M. Dedekind (Was sind und was sollen die Zahlen, 1887, 2éd., 1893, Braunschweig, Vieweg [Traduction française Que sont et à quoi servent les nombres ? dans : Richard Dedekind, La création des nombres, Introduction, traduction et notes par Hourya Benis Sinaceur, Paris, Vrin, 2008]) représente l’inclusion des classes par le signe ˂ ; leur égalité par = ; leur somme par M (A, B, C,…) [M (A, B, C,…)] et leur produit (Gemeinheit) par  G (A, B, C,…) [G (A, B, C,…)]. Cet auteur prend la théorie des ensembles pour base de l’Arithmétique, qu’il appelle expressément « une partie de la Logique » (P. 1 de la Préface). — M. Georg Cantor a commencé par appeler le produit logique le plus grand commun diviseur, la somme logique le plus petit commun multiple, et par les désigner par les mêmes symboles : D (A, B, C,…) [D (A, B, C,…)] et M (A, B, C,…) [M (A, B, C,…)]. Toutefois, il employait pour la somme la notation A + B + C… quand les ensembles étaient sans connexion. Il représentait la classe nulle par 0 ; l’égalité des classes (identité) par ≡ ([« Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten », Math. Annalen, [Bd. 17], 1880). Depuis lors, il représente la somme de deux ensembles par le symbole (A, B) et l’appelle Vereinigungsmenge. (Son traducteur l’appelle ensemble-somme). ([« Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre »], Math. Annalen, t. 46, 1895 ; Sur les fondements de la théorie des ensembles transfinis, trad. Marotte, Paris, Hermann, 1899.). [NB. Les lettres gothiques utilisées tant par Dedekind que par Cantor dans leurs formules ne sont pas lisibles dans la version epub de ce livre. Faute de mieux, nous les avons transcrites entre crochets droits en remplaçant les lettres gothiques par les lettres latines correspondantes]

58 Formulaire [de Mathématiques], t. II, § I, P 400 (1897).

59 [Le signe , dans le manuscrit de Couturat est omis entre a =  et b =  ; mais le sens ne paraît pas douteux. Note de l’éditeur de 1917.]

60 Il ne faut pas le confondre avec l’opération algébrique que Boole et Schröder appelaient de ce nom. Voir notre Algèbre de la Logique [§ 30 et 31. Note de l’éditeur de 1917.].

61 [C.] Burali-Forti, Logica matematica, [op. cit.] p. 95. — Cf. Peano, Notations de Logique mathématique, [Introduction au Formulaire de Mathématique, publié par la Rivista di matematica], § 18.

62 [Le manuscrit de Couturat porte ici le mot Exemple, suivi de quelques lignes en blanc destinées à ajouter une illustration mathématique semblable à la précédente et à la suivante. Note de l’éditeur de 1917.]

63 Dès 1879, dans sa Begriffsschrift, M. Frege établissait une distinction équivalente entre les variables et leurs valeurs individuelles ; par suite, entre l’expression générale d’une fonction et la valeur particulière qu’elle prend pour chaque valeur de la variable ; enfin, entre le syllogisme universel et le syllogisme singulier [Gottlob Frege, Begriffschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens, Halle, 1879 (L’idéographie. Un langage formulaire de la pensée pure construit d’après celui de l’arithmétique, traduction de Corinne Besson, Paris, Vrin 1999)].

64 On sait que la Logique classique assimilait les jugements singuliers aux jugements universels (« Socrate est homme » à : « Tous les Athéniens sont des hommes »).

65 La lettre grecque ι est l’initiale du mot ίσος (égal).

66 M. Peano ne distingue pas l’identité des individus de l’égalité des classes ; et pourtant il en donne une définition spéciale, tout en la représentant par le même signe.

67 C’est la définition même de Leibniz : « Eadem sunt, quorum unum in alterius locum substitui potest salva veritate [Sont identiques les termes qui peuvent être substitués l’un à l’autre en préservant la vérité]. » Phi[osiphische] Schriften, éd. Gerhardt, t. VII, [Berlin, 1890,] p. 219.

68 Formulaire [de Mathématiques,] 1897, p. 80 ; Formulaire [de Mathématiques,] 1899, p. 15.

69 [Comme individu faisant partie de son extension. D’autres logiciens, notamment M. Padoa, appellent élément (Elm) toute classe à laquelle appartient un seul individu ; ici la classe a. Voir Revue de Métaphysique, année 1911, p. 861. Note de l’éditeur de 1917.] [L’éditeur renvoie à l’article d’A. Padoa, « La Logique déductive dans sa dernière phase de développement », RMM, XIX, 1911, pp. 828-883.]

70 [De la définition de ce ι*x le corollaire et le scholie ont été ajoutés après coup par Couturat. Note de l’éditeur de 1917.]

71 On a toutefois des exceptions comme Cls ε Cls, c’est-à-dire : l’ensemble des classes est une classe.

72 Padoa, [Note di Logica matematica], ap. Revue des Mathématiques, t. VI, p. 117.

73 En effet, si nous avons parlé de la classe des classes nulles, cela n’empêche pas que ces classes sont toutes égales, donc identiques.

74 Voir Les principes des mathématiques, chap. II, § B. Signalons encore une autre forme de la définition de 1 :

u ε 1 . = : u  =  : x ε u . x . u  ι x. ([C.] Burali-Forti, Logica matematica, [Manuali Hoepli, Milano, 1894,] p. 106.)

© ENS Éditions, 2018

Conditions d’utilisation : http://www.openedition.org/6540

Acheter