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Logique, mathématiques, langue universelle

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Louis Couturat

Deuxième partie: 1901-1905

ARTICLE 25

Sur l’utilité de la logique algorithmique

Congrès international de philosophie, IIème Session tenue à Genève du 4 au 8 septembre 1904. Rapports et Comptes rendus, Genève, Kündig, 1905, p. 706-713

Note de l’éditeur

On répétera ici ce qui a été dit de l’article précédent : il s’agit encore d’un extrait de la publication officielle des actes du Congrès international de philosophie de 1904, retenu parce qu’il donne le texte complet, rédigé par Couturat, de sa communication sur la logique algorithmique. Comme dans le cas précédent, le compte-rendu fourni par Couturat lui-même dans la RMM [Article 23] est beaucoup plus développé et précis pour ce qui concerne la discussion qui a suivi la présentation du Rapport.

Texte intégral

  • 1 Sens que Cournot a tenté en vain de ressusciter pour l’étendre à ce qu’on appelle aujourd’hui l’Ana (...)

1Avant d’entrer dans mon sujet, je demande la permission de dire deux mots sur le nom même de la Logique algorithmique. Je préfère ce nom à celui de Logique symbolique, qui attache trop d’importance au fait secondaire et superficiel que cette doctrine emploie des symboles ; à celui d’Algèbre de la Logique, qui la présente comme une Algèbre, et non comme une Logique ; à celui de Logique mathématique, qui est équivoque. Néanmoins, je reconnais que ce nom est long, lourd et peu clair. Depuis plusieurs années, j’ai pensé au vieux nom de Logistique, qui a perdu par désuétude son sens traditionnel (art du calcul arithmétique1), et dont l’étymologie implique à la fois les notions de raisonnement et de calcul. Or, tout récemment (5 août), M. Lalande me suggérait le même mot : cette coïncidence m’était déjà fort précieuse. Et voici que M. Itelson, qui parle une autre langue que nous, propose le même nom et pour les mêmes raisons. Je crois que cette triple rencontre, entre esprits indépendants qui ne se sont nullement concertés, suffira à justifier ce mot nouveau, ou plutôt l’emploi de ce mot ancien dans un sens nouveau. et que le Congrès de Genève aura pour résultat le baptême de la Logistique. Mais il ne faut pas que ce nom fasse croire qu’il s’agit d’une science nouvelle et pour ainsi dire hétérodoxe : il n’y a qu’une méthode nouvelle, plus exacte et plus puissante que les méthodes verbales de raisonnement ; la Logistique n’est pas une autre Logique, mais simplement le développement et le perfectionnement de la Logique formelle telle qu’Aristote l’a fondée.

2Ma communication n’a pas pour but d’exposer, même sommairement, les principes de la Logistique, mais de montrer les services que cet instrument de précision peut rendre et a déjà rendus à la Logique générale et à la philosophie des sciences ; et cela, non par des considérations générales et théoriques, mais par deux exemples propres à émouvoir les profanes et les indifférents, s’il s’en rencontre encore, non dans cette section, mais dans le Congrès.

3Le premier exemple montre comment la Logistique précise et rectifie les principes mêmes de la Logique formelle. La plupart des logiciens classiques ont professé que le principe suprême et unique de tout raisonnement était le principe d’identité, ou bien le principe de contradiction, qu’ils identifiaient le plus souvent au précédent. Les plus exacts d’entre eux sont allés jusqu’à admettre, outre ces deux principes, le principe du milieu exclu, et ont considéré ces trois principes réunis comme les « lois de la pensée », c’est-à-dire comme les fondements nécessaires et suffisants de toute déduction. La Logistique a découvert en premier lieu (avec Boole) que chacun de ces trois principes a deux sens distincts, suivant qu’il s’applique aux concepts ou aux propositions :

4Le principe d’identité :  a signifie, pour les concepts : « Tout a est a » et pour les propositions : « a implique a », ou : « Si a est vraie, a est vraie ».

5Le principe de contradiction : a -a =  signifie, pour les concepts : « il n’existe pas de a non -a », et pour les propositions : « Il est impossible que a et non -a soient vraies à la fois ».

6Le principe du milieu exclu :  -a =  signifie, pour les concepts : « Tout est a ou non -a », et pour les propositions : « Ou a est vraie, ou non -a est vraie ».

7Cela fait donc en réalité, non pas trois, mais six principes distincts ; on peut sans doute déduire les principes relatifs aux concepts de ceux relatifs aux propositions (ou inversement), mais cela n’est possible qu’au moyen d’autres principes qui établissent un lien entre les concepts et les propositions ; et encore ces principes ne vont-ils pas sans des difficultés spéciales que je n’aborderai pas ici.

8En second lieu, la Logistique a établi que ces trois principes (en nous bornant aux principes relatifs aux propositions) sont indépendants chacun des autres, contrairement à l’opinion de la plupart des logiciens, c’est-à-dire qu’aucun d’eux ne peut se déduire des deux autres. Ou, si cette déduction est possible, ce n’est qu’en s’appuyant sur d’autres principes qui équivalent au fond à ceux qu’on veut démontrer, et qui offrent un énoncé plus complexe et moins évident. Il n’est donc plus permis désormais de confondre le principe de contradiction avec le principe d’identité.

9En troisième lieu, et ce résultat est le plus grave et le plus paradoxal, la Logistique a établi que ces trois principes ne suffisent pas à justifier la plupart des raisonnements logiques admis jusqu’ici, notamment le syllogisme, et qu’il est nécessaire de postuler encore d’autres principes, en particulier le principe du syllogisme, qui comme les précédents, possède deux sens distincts.

10La formule

( b) ( c ( c)

signifie, si a, b, c sont des propositions : « Si a implique b, et si b implique c, a implique c » (principe du syllogisme hypothétique) ; et, si a, b, c sont des concepts : « Si tout a est b et si tout b est c, tout a est c » (principe du syllogisme catégorique).

11Cette formule suffit à justifier tous les modes valides du syllogisme (car la Logistique a prouvé que 4 des modes classiques sont invalides, savoir : Darapti, Felapton, Bramantip et Fesapo) ; mais elle ne peut pas se déduire des trois « lois de la pensée », et par conséquent il est faux de dire, comme on le répète incessamment, que le syllogisme a pour fondement, soit le principe d’identité, soit le principe de contradiction. A fortiori (car le syllogisme n’est qu’un mode de raisonnement parmi beaucoup d’autres qui en sont indépendants), il n’est plus permis de parler de la Logique comme reposant tout entière sur un seul principe, quel que soit d’ailleurs l’énoncé de ce principe.

12Mon second exemple montrera de quelle utilité la Logistique peut être pour la philosophie des sciences et la théorie de la connaissance. C’est un lieu commun d’opposer la mathématique à la Logique, et de soutenir que la méthode mathématique ne peut pas être une méthode purement logique, parce qu’elle comporte des généralisations, tandis que la méthode logique va toujours du général au particulier, ou tout au plus du même au même. Voici exactement en quoi consistent les généralisations mathématiques : on se sert d’un théorème plus ou moins spécial pour démontrer (directement ou indirectement) un théorème plus général, où le premier rentre comme cas particulier, et d’où l’on pourrait, inversement, le déduire (une telle déduction, qui, prise pour une démonstration, constituerait un cercle vicieux, est ce que les mathématiciens appellent une vérification). Par exemple, on établit ce théorème, que la somme des angles d’un triangle est égale à 2 droits ; on en déduit que la somme des angles d’un polygone de n cotés est égale à 2 (n − 2) droits, d’où l’on peut conclure inversement le premier théorème comme cas particulier, en faisant n = 3. On explique couramment ces sortes de généralisations en alléguant que la méthode mathématique est synthétique, et non analytique (c’est-à-dire réductible à des procédés logiques), et que les démonstrations mathématiques s’appuient sur une intuition ; on a même parlé tout récemment d’« expérience » en mathématiques, et l’on a cité comme preuve le fait des généralisations.

13Or voici que, dans le calcul logique le plus élémentaire, on trouve des généralisations du même genre, qui ne peuvent, cette fois, s’expliquer ni par l’expérience ni par un appel à l’intuition. Je vais en donner un exemple, le plus simple, le premier qui s’offre à nous dans les éléments de la Logistique. On admet les trois principes suivants :

  • 2 La copule signifie « implique ».

14Principe de simplification2 :

ab  b (ou ab  b)

15Principe de composition :

( b) ( c ( bc)

16Principe du syllogisme :

( b) ( c ( c)

17Au moyen de ces principes, on peut démontrer ce que Leibniz appelait præclarum theorema, à savoir la formule :

( b) (c (ad  bc)

18En effet, on a les implications suivantes, où le principe de simplification figure comme première prémisse :

[Syll.] (ad  a) ( b (ad  b)

[Syll.] (ad  d) ( c (ad  c)

[Comp.] (ad  b) (ad  c (ad  bc) c. q. f. d.

19D’autre part, étant posée la définition de l’égalité :

(a = b) = ( b) (b  a) Df

on peut démontrer la loi de tautologie :

a = aa

20En effet, on a d’un côté :

[Simpl.] aa  a

et d’un autre côté, en vertu du principe d’identité :

[Comp.] (a  a) (a  a (a  aa)

21D’où, par la définition de l’égalité :

(aa  a) (a  aa) = (a = aa)

22Cela posé, on peut déduire le principe de composition du præclarum theorema, en faisant dans celui-ci d = a. En effet, il vient alors :

(a  b) (a c (aa  bc)= (a  bc)

en vertu de la loi de tautologie. Ainsi le principe de composition est une conséquence du præclarum theorema qu’il a servi à établir ; il est évidemment plus particulier, puisqu’il ne contient que 3 lettres au lieu de 4, et qu’il correspond au cas particulier où deux de celles-ci sont égales (a = d). Nous avons bien là une généralisation analogue aux généralisations mathématiques, et dont on ne peut dire qu’elle soit obtenue par des procédés extra-logiques, car nous n’avons fait qu’appliquer en quelque sorte automatiquement les principes formels de la Logistique.

23Il est donc faux de dire que la méthode logique (déductive) ne peut aller que du général au particulier ou du même au même ; la déduction peut s’élever du particulier au général, et par conséquent il n’est pas prouvé que la méthode mathématique ne soit pas purement logique (analytique). L’erreur que nous venons de réfuter provient de la fausse conception de la Logique que nous avons dénoncée plus haut, selon laquelle la Logique reposerait sur un seul principe, quel qu’il soit. Au contraire, du moment que la Logique repose sur plusieurs principes (une douzaine au moins), on comprend aisément qu’on puisse, en combinant plusieurs principes dans une déduction, en tirer des propositions nouvelles, qui ne soient impliquées dans aucun d’eux séparément, et par suite plus générales que chacun ou que quelques-uns d’entre eux. Ce n’est pas sans raison que Leibniz désignait l’art d’inventer par le nom de Combinatoire. Dira-t-on que cette Combinatoire est une méthode synthétique ? On le peut, c’est une question de mots ; mais il devra être bien entendu qu’il s’agit là de synthèses purement logiques et intellectuelles, qui ne doivent rien à l’intuition sensible ; ou, si l’on veut encore donner une intuition pour base à cette synthèse, ce ne pourra être qu’une intuition rationnelle.

Discussion

  • 3 [Voir article 23, note 7.]

24M. CHARTIER3 (Paris). — En écoutant et en suivant sur le tableau les démonstrations très simples de M. Couturat, je n’ai pu m’empêcher de penser que tout cela c’était de la Géométrie ; non pas certes de la géométrie ordinaire, dans laquelle les parties de l’espace différentes renferment des parties distinctes de figures suggérées par les objets usuels, mais une Géométrie conventionnelle, dans laquelle les positions sont occupées par des figures conventionnelles, lettres ou signes. J’avais déjà remarqué, dans la théorie algébrique des permutations, des opérations réellement géométriques, comme celle qui consiste à apercevoir trois places distinctes de c dans abc, c’est-à-dire trois créneaux pour deux lettres. Je me demande si nous n’avons pas encore quelque chose du même genre ici. Je ne vois pas de différence radicale entre la synthèse d’intuition qui nous fait combiner une figure géométrique avec une autre, et l’opération qui consiste ici à unir deux lettres qui étaient d’abord séparées. En un mot, je vois dans ces démonstrations un jeu de patience dont les transpositions, réglées par convention, sont plus ou moins compliquées ; et je me demande, puisqu’aussi bien vous ne pouvez vous passer de symboles dans l’espace, si vous ne laissez pas pénétrer dans vos raisonnements quelque chose de la nature de l’espace, et si l’espace n’est pas le lien fondamental de nos raisonnements. En d’autres termes, votre Logique est-elle indépendante, je ne dis pas seulement de telle ou telle forme des signes, mais des propriétés intuitives de la forme spatiale comme : haut et bas, droite et gauche, juxtaposé et séparé ?

  • 4 [Voir Article 23, note 8.]

25M. COUTURAT. — Les observations de M. Chartier, en tant qu’elles tendent à montrer la part de l’intuition dans le raisonnement logique, n’ont de valeur que dans la conception nominaliste, qui considère le calcul logique (ainsi que le calcul algébrique) comme un simple jeu de symboles sans signification. Or cette conception, insoutenable au sujet de l’Algèbre, l’est encore plus au sujet de la Logistique ; car si l’on peut, à la rigueur, dépouiller les symboles mathématiques de leur signification sans ruiner les déductions mathématiques, on ne peut pas priver les symboles logiques de leur signification sans enlever aux raisonnements leur valeur et même leur sens. Par exemple, si le signe d’implication n’avait plus le sens d’implication, on ne pourrait plus rien déduire, puisque les prémisses n’impliqueraient plus la conclusion. Pour réfuter le nominalisme, si fréquent chez les mathématiciens, qui assimilent volontiers leurs calculs au jeu d’échecs, il suffit de citer une remarque très simple et très forte de M. le prof. Frege, d’Iéna, un des logiciens les plus rigoureux et les plus profonds de ce temps. La différence entre le calcul et le jeu d’échecs consiste en ceci, que les figures formées par la disposition des pièces sur l’échiquier ne signifient rien, et ne présentent aucune proposition, aucune assertion. Au contraire, quand je combine et manipule de petits signes blancs sur le tableau noir, j’exprime des relations que je pense et que j’affirme entre les objets représentés par ces signes4. Les combinaisons géométriques ne sont donc que les symboles des combinaisons logiques et purement intellectuelles qui s’effectuent dans mon esprit. Dans quelle mesure cette figuration intuitive est-elle commode, utile, nécessaire même au raisonnement ? Autrement dit, dans quelle mesure la raison logique a-t-elle besoin du secours de l’imagination ? C’est là une question psychologique étrangère à la Logique, et l’on peut faire la part aussi large qu’on veut à l’intuition, sans cesser d’être rationaliste, comme le prouve l’exemple de Descartes et de Leibniz.

  • 5 Nous aurions dû ajouter à ce principe le principe de déduction, qui lui aussi est inexprimable en s (...)

26Je tiens à ajouter une remarque importante, qui suffit à écarter toute interprétation nominaliste du Calcul logique : c’est que, à côté des principes logiques que j’ai énoncés et écrits en formules, il y a un principe logique qui ne peut pas se traduire en symboles, parce qu’il régit l’emploi des symboles eux-mêmes : c’est le principe de substitution, en vertu duquel, dans une formule générale (toujours vraie, quel que soit le sens ou la « valeur » attribuée aux lettres qui y figurent) on peut substituer à chaque lettre une « valeur » particulière et déterminée, et obtenir ainsi une formule vraie. Or j’ai fait constamment usage de ce principe dans ma démonstration, en appliquant chacun des principes généraux à une formule particulière. Ce principe signifie, en somme, qu’une formule générale est le cadre ou le moule d’une infinité de vérités particulières de même forme, et que sa valeur universelle est indépendante des symboles particuliers auxquels on l’applique. Il exprime, au fond, le pouvoir de généralisation de la raison, par où elle domine et dépasse infiniment toutes les intuitions spéciales qui lui servent d’instrument ou d’application5.

Notes

1 Sens que Cournot a tenté en vain de ressusciter pour l’étendre à ce qu’on appelle aujourd’hui l’Analyse mathématique. [Cf. Augustin Cournot, De l’Origine et des limites de la correspondance entre l’algèbre et la géométrie, Paris, 1847, § 16. Couturat évoquait ce sens donné par Cournot dans la Préface de sa thèse De l’Infini mathématique, 1896, p. XXI.]

2 La copule signifie « implique ».

3 [Voir article 23, note 7.]

4 [Voir Article 23, note 8.]

5 Nous aurions dû ajouter à ce principe le principe de déduction, qui lui aussi est inexprimable en symboles, et indispensable à tout raisonnement ; il s’énonce ainsi : Quand l’hypothèse d’une implication est vraie, la thèse est vraie, et on peut l’affirmer absolument (séparée de l’hypothèse). De ce principe aussi nous avons fait usage dans notre démonstration ; et l’on peut s’assurer qu’il est impossible de le traduire en formule. Ainsi l’emploi des symboles présuppose nécessairement des principes non symboliques.

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