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Logique, mathématiques, langue universelle

 | 
Louis Couturat

Deuxième partie: 1901-1905

ARTICLE 16

Compte rendu critique de Peano,
formulaire de mathématiques

Bulletin des sciences mathématiques, 1901, I, p. 141-159

Note de l’éditeur

Ce compte rendu prolonge et complète celui précédemment publié par Couturat dans la RMM de septembre 1899 (ici même article No 8). S’adressant cette fois davantage à des lecteurs mathématiciens, il a voulu mettre en évidence l’intérêt des nouvelles méthodes logiques introduites par Peano pour les mathématiques elles-mêmes. La seconde partie de l’article, en particulier, présente l’axiomatisation peanienne de l’arithmétique, les extensions du concept de nombres et l’instauration d’un calcul géométrique.

Texte intégral

1PEANO (G.), professeur à l’Université de Turin. — Formulaire de mathématiques. Introduction (1894); t. I (1895); t. II, no 1 (1897); no 2(1898); no 3 (1899); t. III (1901). Turin, Bocca et Clausen.

  • 1 Calcolo geometrico secondo l’Ausdehnungslehre di H. Grassmann, preceduto dalle operazioni della Log (...)
  • 2 Arithmetices principia, nova methodo exposita; I Principii di Geometria, logicamente esposti. Torin (...)
  • 3 Dans la Revue de Mathématiques (Rivista di Matematica), publiée depuis 1891. Le Tome VII a commencé (...)

2Il est bien tard pour rendre compte d’un Ouvrage dont la première édition a paru en 1890 ; et pourtant, il n’est pas trop tard, puisque la troisième édition vient de paraître cette année, et qu’elle nous permet d’apprécier plus complètement cette œuvre originale, monument de patience et d’érudition, qui est d’ailleurs « toujours en construction ». On sait qu’elle consiste à réunir toutes les vérités mathématiques connues, en les classant d’abord dans l’ordre des matières (c’est-à-dire des notions qui y figurent), puis dans l’ordre où elles se déduisent les unes des autres, accompagnées (au moins les principales) de leur démonstration. Pour y parvenir, les auteurs emploient un système de pasigraphie ou mieux d’idéographie inventé par M. G. Peano en 18881, appliqué d’abord par lui à l’Arithmétique et à la Géométrie2, puis développé et perfectionné par lui et ses collaborateurs3.

  • 4 Nous avons étudié la Logique mathématique de M. Peano à un point de vue exclusivement logique dans (...)

3Avant d’analyser le Formulaire lui-même, nous devons étudier la langue dans laquelle il est écrit, et dont les principes forment d’ailleurs la première Partie de ce Formulaire4.

I

  • 5 L’idée logique de classe (dont le symbole est K ou Cls) coïncide exactement avec l’idée mathématiqu (...)
  • 6 Initiale du mot ὲστι.

4Les idées fondamentales du Calcul logique sont celles d’individu et de classe5. La première relation à considérer est donc celle de l’individu à la classe à laquelle il appartient : elle se représente par le symbole ε6 qui se lit : est un.

5Ainsi, soit a le symbole d’une classe, on écrira :

x ε a

pour dire que x est un a, et

x, y, z ε a

  • 7 Par suite une formule telle que x ε a implique ipso facto que a est une classe, selon M. Padoa.

pour dire que x, y, z sont des a7.

6La Logique étudie deux relations fondamentales entre les classes : la contenance ou inclusion, et l’égalité. Une classe a est contenue dans une classe b, si tout a est un b, et l’on écrira alors

  • 8 ⊃ est l’initiale renversée du mot continet : ⊂ a.

a ⊃ b8.

7Une classe a est égale à une classe b, si tout a est un b, et si inversement tout b est un a ; et l’on écrit alors :

a = b.

8 On voit immédiatement que l’égalité

a = b

équivaut aux deux inclusions inverses réunies

a ⊃ b,     b ⊃ a

9Les mêmes relations sont applicables aux propositions. Nous allons d’abord définir leur sens ; nous l’expliquerons et le justifierons ensuite.

10Si p et q désignent des propositions contenant une même lettre variable x, l’inclusion

p . ⊃ x . q

signifie :

11Quel que soit x, de p on déduit q, ou la vérité de p entraîne celle de q ;

ou enfin :

12Si p est vraie, q est vraie.

13L’égalité

. = q

équivaut aux deux inclusions inverses réunies

. ⊃ q,     . ⊃ p.

  • 9 On les appelle alors équivalentes ; mais cela ne veut pas dire qu’elles soient synonymes ; car une (...)

14Elle signifie que, quel que soit x, les deux propositions p et q se déduisent réciproquement l’une de l’autre9.

15Voici maintenant comment on passe de l’un à l’autre sens de ces notations. La proposition catégorique (entre classes) :

16Tout a est b :

a ⊃ b,

équivaut à la proposition hypothétique (entre propositions) :

x ε a . ⊃ . x ε b,

c’est-à-dire :

17Si x est un a, x est un b ;

et cette équivalence peut s’écrire :

  • 10 Notons à ce propos que M. Peano remplace fort avantageusement les parenthèses par des points (suiva (...)

a ⊃ b . = : x ε a . ⊃ . x ε b10

  • 11 Cette notation (qui exprime la relation inverse de la relation ε) traduit ce qu’on appelle en Gramm (...)

18Inversement, si l’on désigne par (x ε p) la classe des x qui vérifient la proposition p11, la proposition hypothétique (entre propositions)

p ⊃ x q

équivaut à la proposition catégorique (entre classes)

x ε p . ⊃ . x ε q,

19c’est-à-dire :

20Les x qui vérifient p font partie des x qui vérifient q,

et cette équivalence s’écrira

21 q . = : x ε p . ⊃ . x ε q.

22Nous connaissons les trois relations ou copules fondamentales du Calcul logique (ε, ⊃, = ). Il reste à définir les trois opérations de ce Calcul.

23Les deux premières sont l’addition et la multiplication logiques.

  • 12 De là vient que le signe traduit souvent (mais pas toujours) la conjonction ou.
  • 13 De là vient que le signe traduit souvent (mais pas toujours) la conjonction et.

24La somme logique de deux classes a et b (a ⋃ b) est l’ensemble des individus contenus dans chacune de ces classes (dans l’une ou dans l’autre)12. Le produit logique de deux classes a et b (a ⋂ b) est l’ensemble des individus contenus à la fois dans les deux (dans l’une et dans l’autre)13.

  • 14 Dans le sens où l’on parle d’un système d’équations simultanées.

25La somme logique de deux propositions est leur alternative, c’est-à-dire l’affirmation que l’une ou l’autre (au moins) est vraie. Le produit logique de deux propositions est leur position simultanée14, c’est-à-dire l’affirmation que l’une et l’autre sont vraies (à la fois).

26Quel est le rapport entre ces deux sens des opérations logiques ? Il est très simple, et s’exprime par les équivalences suivantes

ε a  b .= . x ε a .  . x ε b.

27Dire que x est un « a ou b », c’est dire que, ou bien x est un a, ou bien x est un b.

ε a  b .= . x ε a .  . x ε b.

  • 15 Dans la pratique, le signe de la multiplication logique se sous-entend, comme celui de la multiplic (...)

28Dire que x est un « a et b », c’est dire que x est un a et (en même temps) x est un b15.

29Ces deux équivalences peuvent servir à définir le sens de chacune de ces opérations pour les classes, quand on l’a défini pour les propositions, ou vice versa, par exemple au moyen des formules suivantes

a ⋃ b .= . x ε (x ε a . ⋃ . x ε b),
a ⋂ b .= . x ε (x ε a . ⋂ . x ε b),

que nous laissons ou lecteur le soin de traduire verbalement.

30La troisième opération logique est la négation. Si a est une classe, -a désigne la classe des non-a. Si p est une proposition, -p désigne la négation de p (la proposition contradictoire).

31La liaison entre les deux sens de la négation s’établit par l’équivalence suivante

x ε - a . = . - (x ε a).

32Dire que x est un non-a, c’est dire que x n’est pas un a.

33Cette équivalence peut servir à définir l’un des deux sens de la négation en fonction de l’autre : par exemple, la négation d’une classe au moyen de la négation d’une proposition

a = ε - (ε a).

  • 16 Dans la pratique, la négation d’une proposition s’exprime en mettant le signe - devant sa copule. L (...)

34La classe non-a est l’ensemble des individus x qui ne sont pas des a16.

35On définit encore une classe particulière, la classe nulle ou zéro logique () par la formule suivante

∧= ε (a ε Cls . ⊃ a . x ε a).

36Zéro est la classe x telle que, si a est une classe, x est contenue dans a ;

ou plus simplement :

37Zéro est la classe contenue dans une classe quelconque (dans toutes les classes).

  • 17 Ou défini une autre classe particulière, , qui est la négation de  ; comme concepts, signifie t (...)

38De cette définition formelle on déduit, par des considérations trop longues à exposer ici, que zéro est la classe qui ne contient aucun individu, la classe vide ou nulle17.

39L’idée et le symbole du zéro sont indispensables en Logique pure, mais à peu près inutiles en Logique mathématique. Ils y sont remplacés par le symbole , qui se définit formellement comme suit

∃ a. = . - = ∧.

a s’énonce : il y a des a.

40On a par suite

- ∃ a. = . - = ∧,

ce qui s’énonce : il n’y a pas de a.

  • 18 Initiale du mot ἴσος.

41Enfin, il est souvent utile, en Mathématiques, de considérer un individu comme formant à lui seul une classe ; c’est à cela que sert le signe ι18, qu’on peut lire égal à. La notation ι x désigne la classe qui comprend le seul individu x. On a par définition

ι x = y ɜ (y = x),

42ι x est l’ensemble des y qui sont égaux à x. En renversant cette relation, on trouve

y = x . = . y ε ι x.

43Ainsi le signe d’égalité logique = se trouve décomposé en deux : ε (est un) et ι (égal à).

44Le symbole , inverse du précédent, se définit comme suit :

x = a . = . a = ι x.

45La classe a est « égal à x », c’est-à-dire comprend le seul individu x. Inversement, x est le seul individu de la classe a ; plus brièvement,

x est le a.

  • 19 Voici un exemple qui expliquera ces notations :

46Tel est le sens du nouveau symbole ; il transforme, au rebours, une classe en un individu19.

  • 20 Le lecteur pourra s’exercer à trouver pour chacune de ces formules son interprétation en concepts ( (...)

47Ce sont là les définitions fondamentales du Calcul logique. Voici maintenant les principes ou propositions premières sur lesquels il repose et qui en constituent les règles20 :

48  Principe d’identité :

 a.

49  Principe du syllogisme :

 b . b  c .  . a  c.

50  Principe de simplification :

ab  a.

51  Principe de composition :

 b . a  c .  a  bc.

52  Principe de contraposition :

a ⊃ b . ⊃ . - b ⊃ - a,

d’où l’on déduit immédiatement cette autre forme

a ⊃ b . = . - b ⊃ - a.

  Principe de transposition :

ab  c .  . a - c  - b.

  Principe de contradiction :

a - a = ∧.

  Principe du milieu exclu :

 - a = ∨.

  Principe de la double négation :

- (- a) = a.

  • 21 Nous n’examinerons pas ici si certains de ces principes ne sont pas superflus, et ne pourraient pas (...)
  • 22 Cela introduit dans le Calcul logique une symétrie et une réciprocité qui ne se trouvent pas dans l (...)

53À ces principes21 il faut joindre les lois commutatives et associatives de la multiplication et de l’addition ; les lois distributives de ces deux opérations l’une par rapport à l’autre22 :

54a (b  c)= ab  ac,           a  bc= (a  c) (b  c),

enfin la loi de tautologie :

aa = a,     a  a = a,

et la loi d’absorption :

( b) = a,     a  ab = a.

  • 23 Cette équivalence n’est valable que pour des propositions à sens constant, et par suite toujours vr (...)

55Il y a un dernier principe qui ne s’applique qu’aux propositions. Soient a, b, c des propositions ; on a l’équivalence23

a ⊃ . b ⊃ c . = . ab ⊃ c.

56Quand on passe du premier membre au second, on importe l’hypothèse a dans l’inférence (b ⊃ c) dont elle est la condition ; quand on passe du second membre au premier, on exporte l’hypothèse a de l’inférence complexe (ab ⊃ c). C’est ce qu’on peut appeler le principe d’exportation et d’importation.

  • 24 Il serait intéressant, de le comparer à l’Algèbre de la Logique de M. Schröder, dont nous avons ren (...)

57Nous n’insisterons pas davantage sur le Calcul logique de M. Peano, qui occupe d’ailleurs relativement peu de place dans son Formulaire24, et nous allons en étudier l’application aux Mathématiques. Il convient toutefois de remarquer que certaines théories mathématiques modernes (notamment la théorie des ensembles) ne sont que des branches du Calcul logique, et gagneraient à être exprimées par le symbolisme correspondant.

II

58Le Formulaire comprend, outre la Logique : l’Arithmétique et la Théorie des nombres (deuxième Partie), la Théorie des fonctions analytiques (troisième Partie), la Théorie des nombres complexes (quatrième Partie) et la Théorie des vecteurs (cinquième Partie).

59Ces théories sont rangées suivant l’ordre dans lequel on introduit des concepts et par suite des symboles nouveaux, de sorte que chaque paragraphe est désigné par le symbole qui s’y trouve introduit. Par là, il est manifeste que les propositions antérieures sont indépendantes des suivantes, et que les propositions où figure un symbole dépendent uniquement de celles qui définissent ce symbole.

  • 25 Voir Burali-Forti, Sur l’égalité et sur l’introduction des éléments dérivés dans la Science, dans L (...)

60M. Peano distingue plusieurs espèces de définitions mathématiques : 1o les définitions nominales, qui consistent à égaler le nouveau symbole à définir à une formule composée de symboles déjà connus ou définis ; 2o les définitions par postulats, qui consistent à définir un système de symboles nouveaux par un système de postulats qui établissent entre eux des relations formelles ; 3o les définitions par abstraction, qui consistent à dire dans quels cas telle idée abstraite sera considérée comme égale ou plutôt identique à elle-même. Cette dernière forme de définitions est fréquente en Mathématiques pures ou appliquées : souvent on ne définit pas telle espèce de grandeurs, mais simplement l’égalité de deux grandeurs de cette espèce25 (exemples : direction de, longueur de, aire de, masse de, température de, etc.).

  • 26 Voir les Mémoires de MM. Peano et Burali-Forti dans la Bibliothèque du Congrès international de Phi (...)

61Le fait que telle idée est ou n’est pas définissable nominalement dépend essentiellement de l’ordre dans lequel on range les idées pour les introduire successivement26. Quand une idée n’est pas définissable nominalement, on l’appelle idée primitive, et on la définit par postulats ou par abstraction.

62Une théorie déductive quelconque repose donc sur un système d’idées primitives et sur un système de propositions premières (postulats). Et comme ces idées primitives ne sont définies que par ces propositions premières, c’est-à-dire par des relations formelles, leur sens est indifférent ; on peut donc les considérer comme des symboles non définis, et regarder les propositions premières comme des conventions arbitraires. Seulement, lorsqu’on voudra appliquer une telle théorie à des objets réels, il faudra donner aux symboles non définis un sens tel qu’ils vérifient les propositions premières. Une même théorie déductive formelle peut d’ailleurs recevoir plusieurs interprétations différentes ; on en a des exemples en Géométrie (principe de dualité) et en Physique.

63M. Padoa a formulé avec rigueur les conditions auxquelles un système de propositions premières est irréductible, et auxquelles un système de symboles non définis est irréductible par rapport à un système de propositions premières donné :

  • 27 Voir le Mémoire de M. Padoa dans la Bibliothèque du Congrès international de Philosophie, t. III. P (...)

Pour qu’un système de propositions premières soit irréductible, il faut et il suffit qu’on puisse trouver, pour chacune d’elles, une interprétation des symboles non définis qui ne la vérifie pas, tout en vérifiant toutes les autres. Pour qu’un système de symboles non définis soit irréductible par rapport au système des propositions premières, il faut et il suffit qu’on puisse trouver, pour chacun de ces symboles, une interprétation du système des symboles non définis qui vérifie le système des propositions premières, et qui continue à le vérifier si l’on change convenablement le sens du seul symbole considéré27.

64Toute l’Arithmétique repose sur trois idées primitives : nombre entier (positif ou nul), zéro et le suivant d’un nombre entier, représentées respectivement par les symboles non définis

N0, 0, a +,

et sur cinq propositions primitives qui sont :

 1o Zéro est un nombre :

0 ε N0 ;

 2o Le suivant d’un nombre est un nombre :

a ε N0 . ⊃ . a + ε N0 ;

 3o Si, s étant une classe, 0 appartient à cette classe, et si, toutes les fois qu’un nombre appartient à cette classe, son suivant lui appartient aussi, tous les nombres appartiennent à cette classe. C’est le principe de l’induction complète :

s ε Cls . 0 ε s : x ε s . ⊃x . x + ε s : ⊃ . N0 ⊃ s ;

 4o Deux nombres suivis du même nombre sont égaux :

a + 1 = b + 1 . ⊃ . a = b ;

 5o Le suivant d’un nombre quelconque n’est jamais 0 :

a ε N0 . ⊃ . a + 1 - = 0.

65On peut prouver l’indépendance absolue de ces cinq propositions primitives, et l’irréductibilité du système des idées primitives par rapport à ce système de propositions. Celui-ci suffit pour démontrer toutes les propriétés des nombres entiers (c’est-à-dire de l’ensemble N0) ; mais il y a une infinité d’ensembles différents qui vérifient ce système de propositions : par exemple, elles sont encore vérifiées, ainsi que toutes leurs conséquences, si l’on remplace 0 par 1 et N0 par N1, (ensemble des nombres entiers positifs non nuls).

  • 28 Voir son Mémoire déjà cité, et son Opuscule : Les propriétés formales des opérations algébriques (R (...)

66L’idée de nombre entier se trouve ainsi définie par postulats. M. Burali-Forti en a donné une définition nominale fondée sur l’idée de grandeur homogène28. Enfin il y a aussi une définition de l’idée de nombre par abstraction, qui se formule comme suit :

a, b ε Cls . Num a= Num b . = .  (b ƒ a) rcp,

c’est-à-dire

67a et b étant des classes (ensembles), on dit que leurs nombres (cardinaux) sont égaux, s’il existe entre elles une correspondance univoque et réciproque.

68Cette définition est, comme on sait, la seule applicable aux nombres infinis (ou puissances). Comme le remarque M. Peano, elle pourrait servir de base à toute l’Arithmétique. Elle nous paraît préférable à l’autre, non seulement en raison de sa généralité, mais aussi parce qu’elle répond mieux à l’idée habituelle du nombre cardinal, et surtout parce qu’elle est indépendante de l’idée d’ordre, qui intervient sans raison dans l’autre (par la notion du suivant d’un nombre). Il nous semble, notamment, que dans l’idée de somme (+) il y a celle de l’addition de deux nombres cardinaux, de deux collections d’unités réunies en une seule, et non pas celle d’une énumération successive des nombres eux-mêmes rangés dans la série naturelle.

  • 29 Conformément aux idées bien connues de M. Méray.
  • 30 Cf. Padé, Premières Leçons d’Algèbre élémentaire, [nombres positifs et négatifs, opérations sur les (...)

69Les nombres entiers négatifs sont définis à propos de la soustraction, et les nombres rationnels à propos de la division, comme symboles opératoires. −a est un symbole d’opération qui, appliqué à un nombre supérieur à a, donne un nombre. La fraction b/a est le symbole de l’opération complexe (× b/a)29. Bien que cette marche soit logiquement irréprochable, nous continuons à préférer la méthode indiquée par M. J. Tannery, surtout pour les nombres négatifs ; car il y a un intérêt (même pédagogique) à prévenir toute confusion entre le signe d’opération − qui unit deux nombres pour en former un troisième, et le signe qualificatif −, qui caractérise le nombre négatif isolé, ou qui, appliqué à un nombre, le transforme en son symétrique30.

70Les nombres irrationnels sont définis au moyen de la notion de limite supérieure, qui est elle-même définie par abstraction : c’est-à-dire que, étant donnés deux ensembles de nombres a et v on définit les trois relations

l′ u = l′ v,    l′ u > l′ v,    l′ u > l′ v

  • 31 Cf. Revue de Mathématiques, t. VI, p. 126-140, où sont exposées et discutées les diverses méthodes (...)

entre leurs limites supérieures. Cela posé, on définit les nombres réels comme limites supérieures (ou inférieures) d’ensembles de nombres rationnels31.

71La théorie des limites est traitée avec beaucoup de soin, et les divers sens du mot limite sont définis avec précision. Étant donnée une classe u de nombres réels, la classe-limite λu est l’ensemble des nombres x tels que la limite inférieure des modules des différences entre x et les nombres de la classe u soit nulle.

72L’ensemble dérivéu est l’ensemble des nombres tels que la limite inférieure des modules des différences entre x et les nombres u non égaux à x soit nulle.

73La limite généraliséeu est la classe-limite λu augmentée de + ∞ ou de − ∞, lorsqu’ils sont la limite supérieure ou inférieure des u.

74Étant donnée une suite infinie x (fonction du nombre entier n), considérons l’ensemble des valeurs de x à partir d’un certain indice m, et formons sa limite généralisée ∧m. Si un nombre a appartient toujours à cette classe, quel que soit le nombre m, il fait partie de la classe-limite Lm x.

  • 32 Cf. Peano, Sur la définition de la limite d’une fonction (American Journal of Mathematics, 1894).

75Cette notion est empruntée à Cauchy, qui considérait, par exemple, Lim [sin (1/x)] comme susceptible de toutes les valeurs réelles comprises entre −1 et +132.

Enfin l’on définit la valeur-limite comme suit

lim x =  Lm x,

c’est-à-dire

76Si la CLASSE-LIMITE d’une suite se réduit à un seul nombre, ce nombre est la valeur-limite de x (lim x).

77D’après cette définition, lim x peut être, ou un nombre réel, ou +∞, ou −∞.

78Sur ces définitions reposent, comme on sait, toute la théorie des suites, séries et produits infinis, celle des fonctions exponentielle et logarithmique, avec la définition des nombres e et C ; enfin celle des fonctions continues, des dérivées et des intégrales indéfinies et définies.

79Vient ensuite la théorie des nombres complexes à n unités. On définit le nombre complexe (ensemble ordonné de n nombres réels), la somme de deux nombres complexes, le zéro complexe (0, 0, …, 0), le symétrique (−x) d’un nombre complexe (x), enfin le produit d’un nombre complexe par un nombre réel.

  • 33 Que M. Peano fait avec raison remonter à Leibniz. (1678). Voir Leibniz, Mathematische Schriften, [é (...)

80À cette théorie sont rattachées celle des déterminants33 et celle des substitutions linéaires. (Les uns et les autres sont représentés par leurs matrices, c’est-à-dire par l’ensemble de n2 nombres réels.) Une substitution est un complexe d’ordre n fonction linéaire d’un complexe d’ordre n ; et une fonction est linéaire, si la fonction d’une somme est la somme des fonctions des éléments, ou si

f (x + y) = f x f y.

81La théorie des substitutions sert de base à la théorie des nombres imaginaires. L’unité imaginaire i est définie comme la substitution représentée par la matrice

Image 10000000000000C8000000C177A1A649.jpg

  • 34 Œuvres, t. III. p. 6; 1799.
  • 35 Géométriquement, un nombre imaginaire est une similitude : multiplier une figure par un nombre imag (...)

82Les nombres imaginaires (x + i y) se présentent alors comme des substitutions des nombres complexes d’ordre 2 ; ils ne doivent pas être confondus avec ceux-ci : on multiplie les substitutions, et non les nombres complexes. Un nombre imaginaire correspond à un couple de nombres réels, mais ne coïncide pas avec lui. M. Peano évite par là d’introduire les imaginaires par des conventions arbitraires, ou, qui pis est, de les présenter comme solutions impossibles des équations algébriques, méthode logiquement vicieuse contre laquelle Gauss protestait déjà34. Cette conception des imaginaires est surtout commode pour leur interprétation et leur application géométriques35.

83On sait comment l’introduction des imaginaires permet d’achever et de généraliser l’Algèbre et l’Analyse, de définir analytiquement les fonctions trigonométriques, le nombre π et les nombres de Bernoulli.

  • 36 Voir les Mémoires de M. Pieri sur la Géométrie de position (Revue de Mathématiques, 1897), sur la G (...)
  • 37 Sur l’avantage de l’Analyse des vecteurs, comparée au Calcul des quaternions, voir le Mémoire de M. (...)

84Toutes les théories qui précèdent appartiennent à l’Analyse pure. Mais le Formulaire va plus loin, et entreprend de réduire la Géométrie en formules. Des travaux récents ont montré qu’on peut réduire les idées primitives de la Géométrie à trois : le point, le segment et la congruence (ou le mouvement) et même à deux (en définissant le segment)36. On obtient ainsi divers systèmes hypothético-déductifs qui correspondent à la Géométrie projective et à la Géométrie métrique. Dans le Formulaire, on a adopté l’Analyse des vecteurs, qui conduit à un Calcul géométrique analogue à celui de Grassmann37.

85Les idées primitives de ce Calcul sont celles de point et de vecteur. Celle-ci est définie formellement comme différence de deux points (a − b), mais elle n’est définie réellement que par abstraction, au moyen de la relation primitive

a − b = c − d,

qui constitue l’égalité de deux vecteurs.

86Elle est caractérisée par les propositions primitives suivantes

a − b = a – b,
a − b = c – d .  . c − d = a − b,
a − b = c – d . c − d = e – f .  . a − b = e – f,
a − b = c – d .  . a − c = b – d,
a − c = b – c .  . a = b,

auxquelles il faut encore joindre celle-ci

∃ pnt ⋂ x ε (x – a = b − c).

87Il existe un point x tel que x – a = b – c.

88Ce sont là autant de règles de calcul qui rendent les équidifférences géométriques analogues aux équidifférences numériques (algébriques).

89On définit le vecteur 0 comme la valeur constante du vecteur (a − a), quel que soit le point a. On en déduit que

a = b . = . a – b = 0.

90On définit ensuite le symétrique (−u) d’un vecteur (u) ; puis le produit d’un vecteur par un nombre réel, qui est un autre vecteur ; enfin le produit intérieur de deux vecteurs, qui est un nombre réel. Interprété mécaniquement, ce produit (× v) est égal au travail d’une force représentée par le vecteur u quand son point d’application se déplace suivant le vecteur v Cette multiplication est commutative et distributive. Elle donne lieu, par exemple, à des identités comme les suivantes, qui expriment des théorèmes de Géométrie :

(u + v )2 + (u – v)2 = 2 (u2 + v2),

91Dans un parallélogramme, la somme des carrés des diagonales est égale à la somme des carrés des quatre côtés ;

(u + v + w)2 + (u + v – w)2 + (u + w – v)2 + (v + w – u)2= 4 (u2 + v2 + w2),

92Dans un parallélépipède, la somme des carrés des quatre diagonales est égale à la somme des carrés des douze arêtes.

93Comme on le voit par ces exemples, la multiplication des vecteurs introduit en Géométrie l’élément métrique. Il suffit de joindre aux principes généraux l’axiome ou postulat des trois dimensions pour retrouver toute la Géométrie ordinaire. On peut définir la droite, le plan et les autres figures élémentaires ; puis les procédés de transformation appelés translation, symétrie, homothétie et rotation. Une rotation (un verseur) est une substitution qui, à deux vecteurs-unités perpendiculaires a et b, fait correspondre les vecteurs b et −a. On voit aussitôt l’analogie d’un verseur avec l’unité imaginaire i et le lien entre ce Calcul géométrique et le Calcul des quaternions.

  • 38 Voir C. Burali-Forti, Introduction à la Géométrie différentielle suivant la méthode de Grassmann. G (...)

94On peut encore définir dans ce Calcul la tangente à une courbe en un point, puis le point oscillateur, la normale principale et la courbure, enfin la longueur d’un arc de courbe. En général, un point mobile, fonction du temps, a des dérivées successives qui sont des vecteurs : sa dérivée première est sa vitesse, sa dérivée seconde est son accélération. Dès lors on peut définir tous les concepts de la Mécanique par des formules du Calcul géométrique. On voit par là quel vaste champ d’applications s’ouvre au Calcul géométrique et plus généralement à la Logique mathématique38.

  • 39 En particulier, le sens des lettres qui figurent dans la formule.

95Tel est, en raccourci, le contenu de cet Ouvrage. Ce contenu suffirait, à lui seul, à le rendre utile et précieux : car il résume en deux cents pages des théories qui remplissent des Traités entiers et de gros Manuels. Grâce à la notation symbolique, chaque théorème est écrit en une ligne, deux au plus, et il est formulé en entier, avec toutes les conditions qui limitent son domaine de validité, ce qui, comme on sait, est extrêmement important, et ce qu’on est souvent tenté d’oublier. Cela tient à ce que les formules algébriques des théorèmes ne constituent presque toujours qu’une partie de la proposition (la thèse), dont le reste (les hypothèses) est énoncé plus ou moins explicitement en langage ordinaire39. Au contraire, les formules de M. Peano sont complètes, et chacune d’elles détermine exactement le sens et la portée du théorème correspondant. Le Formulaire peut donc servir de manuel ou de répertoire. Il est en outre extrêmement instructif par les renseignements historiques et bibliographiques, souvent rares et curieux, contenus dans les notes : par exemple, sur la numération (§ 33), sur les nombres e (§ 76) et π (§ 84), etc. Pour chaque proposition, on a indiqué l’inventeur ou le premier auteur, avec la référence et souvent même la citation du texte original ; de sorte que c’est aussi un mémento d’histoire des Mathématiques.

96Mais ce n’est là que le moindre intérêt de cet Ouvrage, et l’on restreindrait injustement la valeur du symbolisme de M. Peano si l’on n’y voyait qu’une sorte de sténographie. C’est aussi et surtout un instrument d’analyse logique, de déduction et de vérification. D’abord, en n’employant que des symboles d’un sens fixe et bien défini, on évite toutes les équivoques du langage, ainsi que les implications tacites ou fausses auxquelles donnent lieu les associations habituelles d’idées et de mots. De plus, et par suite, on assure la rigueur des raisonnements en les réduisant à des opérations et transformations algébriques, quasi mécaniques, effectuées suivant certaines règles invariables et purement formelles. Par là, on est certain de n’introduire dans les concepts aucun élément étranger à leur définition, et dans les déductions aucune pétition de principe, aucun postulat subreptice. Enfin, on sait exactement de quelles propositions dépend la démonstration (et partant la vérité formelle) de tel théorème, et, en dernière analyse, de quelles propositions premières assumées à titre d’hypothèses. On aboutit ainsi à faire le dénombrement exact et complet, d’une part, des concepts primitifs et indéfinissables ; d’autre part, des propositions premières, indémontrables. Ainsi s’accomplit, grâce à ce symbolisme formel, la reconstruction et la refonte logique du système des vérités mathématiques.

97On voit quelle est l’importance philosophique d’un tel Travail. On ne peut mieux l’apprécier qu’en constatant qu’il réalise, dans le domaine spécial des Mathématiques, le double projet que Leibniz a rêvé toute sa vie d’exécuter, à savoir : la constitution d’une Caractéristique universelle, d’une sorte d’Algèbre logique, qui eût permis de remplacer tous les raisonnements par des calculs ; et l’élaboration d’une Encyclopédie démonstrative, où toutes les vérités connues eussent été rangées dans l’ordre de leur enchaînement déductif, précisément grâce à l’instrument logique fourni par la Caractéristique. C’est d’ailleurs la meilleure, sinon la seule forme à donner à une Encyclopédie, si l’on veut qu’elle ait une autre valeur que celle d’un mémento de baccalauréat. Il faut donc souhaiter que M. Peano et ses dévoués collaborateurs puissent continuer et achever leur œuvre gigantesque, et qu’ils trouvent chez leurs collègues de tous pays le concours nécessaire pour la perfectionner encore et la mener à bonne fin.

Notes

1 Calcolo geometrico secondo l’Ausdehnungslehre di H. Grassmann, preceduto dalle operazioni della Logica deduttiva. Torino, Bocca, 1888.

2 Arithmetices principia, nova methodo exposita; I Principii di Geometria, logicamente esposti. Torino, Bocca, 1889.

3 Dans la Revue de Mathématiques (Rivista di Matematica), publiée depuis 1891. Le Tome VII a commencé en 1900.

4 Nous avons étudié la Logique mathématique de M. Peano à un point de vue exclusivement logique dans la Revue de Métaphysique et de Morale de septembre 1899 (t. VII, p. 616-646) [Article 8]. Ici au contraire, nous nous attacherons surtout aux applications mathématiques de cette Logique, et aux parties mathématiques du Formulaire.

5 L’idée logique de classe (dont le symbole est K ou Cls) coïncide exactement avec l’idée mathématique d’ensemble ; aussi le Calcul logique n’est-il pas autre chose qu’une théorie des ensembles au point de vue de leur inclusion et de leur exclusion mutuelles.

6 Initiale du mot ὲστι.

7 Par suite une formule telle que x ε a implique ipso facto que a est une classe, selon M. Padoa.

8 ⊃ est l’initiale renversée du mot continet : ⊂ a.

9 On les appelle alors équivalentes ; mais cela ne veut pas dire qu’elles soient synonymes ; car une telle équivalence a lieu entre une proposition quelconque et ce qu’on appelle sa condition nécessaire et suffisante.

10 Notons à ce propos que M. Peano remplace fort avantageusement les parenthèses par des points (suivant un usage inspiré de Leibniz). On doit grouper d’abord les formules séparées par un point, puis celles séparées par deux points, et ainsi de suite. La copule principale d’une formule est le signe qui est encadré du plus grand nombre de points (par exemple, le signe = dans la formule ci-dessus). Il va sans dire que le point n’est plus employé comme signe de multiplication, ni les deux points comme signe de division.

11 Cette notation (qui exprime la relation inverse de la relation ε) traduit ce qu’on appelle en Grammaire les pronoms relatifs, et par suite les propositions relatives (les x qui…, les x tels que…). Si l’on a p = ε a, on a, inversement, a = ε p.

12 De là vient que le signe traduit souvent (mais pas toujours) la conjonction ou.

13 De là vient que le signe traduit souvent (mais pas toujours) la conjonction et.

14 Dans le sens où l’on parle d’un système d’équations simultanées.

15 Dans la pratique, le signe de la multiplication logique se sous-entend, comme celui de la multiplication arithmétique ou algébrique, et l’on écrit simplement

ε ab .= . x ε a . x ε b.

16 Dans la pratique, la négation d’une proposition s’exprime en mettant le signe - devant sa copule. Les formules précédentes s’écrivent alors :

ε - a . = . x - ε a,

 - a . = . x ε (- ε a).

Il faut bien remarquer que les formules ne sont valables que si x est un individu : en d’autres termes, pour le signe ε. et non pour le signe .

17 Ou défini une autre classe particulière, , qui est la négation de  ; comme concepts, signifie tout et rien ; comme propositions, signifie vrai et faux.

18 Initiale du mot ἴσος.

19 Voici un exemple qui expliquera ces notations :

Tout nombre premier non égal à 2 est un nombre impair et s’écrit

Np – ι 2  2 N + 1.
Cette formule devient par des transformations de Calcul logique,

x ε Np . - = 2 .  . x ε 2 N + 1

Si x est un nombre premier non égal à 2, x est un nombre impair.

x ε Np .  ε 2 N + 1 . x ι 2.

Si x est un nombre premier, il est impair ou égal à 2,

Np – (2 N + 1)  ι 2,

Tout nombre premier pair est égal à 2.

2 = Np - (2 N + 1)

2 est le seul nombre premier pair.

20 Le lecteur pourra s’exercer à trouver pour chacune de ces formules son interprétation en concepts (classes) et son interprétation en propositions.

21 Nous n’examinerons pas ici si certains de ces principes ne sont pas superflus, et ne pourraient pas se déduire des autres. (Cf. notre Article précité.)

22 Cela introduit dans le Calcul logique une symétrie et une réciprocité qui ne se trouvent pas dans le Calcul algébrique.

23 Cette équivalence n’est valable que pour des propositions à sens constant, et par suite toujours vraies ou toujours fausses.

24 Il serait intéressant, de le comparer à l’Algèbre de la Logique de M. Schröder, dont nous avons rendu compte ici (mars 1900). [Compte-rendu de : E. Schröder, Vorlesungen über die Algebra der Logik Bd. I et Bd. II. Teil 1., Bulletin des Sciences Mathématiques (2) 24, p. 49-68 et p. 83–102.]

25 Voir Burali-Forti, Sur l’égalité et sur l’introduction des éléments dérivés dans la Science, dans L’Enseignement mathématique, 1re année.

26 Voir les Mémoires de MM. Peano et Burali-Forti dans la Bibliothèque du Congrès international de Philosophie, t. III [Paris, Armand Colin, 1901. – G. Peano, « Les définitions mathématiques », pp. 279-288 ; C. Burali-Forti, « Sur les différentes méthodes logiques pour la définition du nombre réel », pp. 289-308], et Burali-Forti, Logica matematica. Milan, Hoepli, 1894.

27 Voir le Mémoire de M. Padoa dans la Bibliothèque du Congrès international de Philosophie, t. III. Paris, A. Colin, 1901 [« Essai d’une théorie algébrique des nombres entiers, précédé d’une introduction logique à une théorie déductive quelconque », pp. 309-366.].

28 Voir son Mémoire déjà cité, et son Opuscule : Les propriétés formales des opérations algébriques (Revue de Mathématiques, t. VI, p. 141-177).

29 Conformément aux idées bien connues de M. Méray.

30 Cf. Padé, Premières Leçons d’Algèbre élémentaire, [nombres positifs et négatifs, opérations sur les polynômes, avec une préface de Jules Tannery, Paris, Gauthier-Villars, 1892. – Henri Padé (1863-1953), maître de conférences à l’université de Lille puis professeur à celle de Poitiers], et Padoa, Mémoire cité, fin.

31 Cf. Revue de Mathématiques, t. VI, p. 126-140, où sont exposées et discutées les diverses méthodes employées pour définir les nombres irrationnels.

32 Cf. Peano, Sur la définition de la limite d’une fonction (American Journal of Mathematics, 1894).

33 Que M. Peano fait avec raison remonter à Leibniz. (1678). Voir Leibniz, Mathematische Schriften, [éd. Gerhardt], t. VII [1863], p. 5. [Voir aujourd’hui : Der Beginn der Determinantentheorie. Leibniz nachgelassene Studien zum Determinantenkalkül. Éd. par Eberhard Knobloch, Hildesheim. Arbor Scientiarum, 1980.]

34 Œuvres, t. III. p. 6; 1799.

35 Géométriquement, un nombre imaginaire est une similitude : multiplier une figure par un nombre imaginaire, c’est la transformer en une figure semblable.

36 Voir les Mémoires de M. Pieri sur la Géométrie de position (Revue de Mathématiques, 1897), sur la Géométrie ordinaire (Mémoires de l’Académie des Sciences de Turin. 1897 et 1899) et sur la Géométrie envisagée comme un système purement logique (Bibliothèque du Congrès de Philosophie, t. III, [Paris, Armand Colin, 1901, pp. 367-404]).

37 Sur l’avantage de l’Analyse des vecteurs, comparée au Calcul des quaternions, voir le Mémoire de M. Macfarlane sur les Idées et principes du Calcul géométrique (Bibliothèque du Congrès de Philosophie, t. III, [op. cit., pp. 405-424]). On sait que M. Macfarlane est le Secrétaire général de l’International association for promoving the Study of Quaternions and allied Systems. [Alexander Macfarlane (1851-1913), logicien, physicien et mathématicien écossais, a enseigné aux universités d’Edinburgh, de Saint Andrew et du Texas.]

38 Voir C. Burali-Forti, Introduction à la Géométrie différentielle suivant la méthode de Grassmann. Gauthiers-Villars, 1897. — H. Ferr, Application de la méthode vectorielle de Grassmann à la Géométrie infinitésimale. Carré et Nand. 1899 [Henri Ferr (1870-1954), mathématicien suisse, a étudié en France. L’ouvrage cité est sa thèse de doctorat. Il sera ensuite professeur à l’université de Genève].

39 En particulier, le sens des lettres qui figurent dans la formule.

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