Version classiqueVersion mobile
OpenEdition Books

Logique, mathématiques, langue universelle

 | 
Louis Couturat

Troisième partie: 1906-1917

ARTICLE 28

Pour la Logistique (réponse à M. Poincaré)

Revue de Métaphysique et de Morale, 1906, t. XIV, p. 208-250

Note de l’éditeur

La publication par Couturat de la série d’articles sur « Les Principes des mathématiques » (RMM, XII, Nos 1, 2, 5 et 6, 1904, et XIII, N° 2, 1905), qui étaient un compte-rendu étendu du livre de Bertrand Russell The Principles of Mathematics (London, 1903), se proposait comme une sorte de bilan de tous les apports des nouvelles logiques réunies sous l’appellation de « logistique ». En adhérant avec enthousiasme aux conceptions exposées par Russell, Couturat abandonnait une bonne partie des idées qui avaient été antérieurement les siennes, tout comme d’ailleurs Russell lui-même l’avait fait, l’un et l’autre ayant évolué à la suite de leurs lectures de Whitehead et de Peano. Russell était ainsi arrivé au « logicisme » défini par « la preuve que toutes la mathématique pure s’occupe exclusivement de concepts définissables en termes d’un très petit nombre de concepts logiques fondamentaux, et que toutes ses propositions sont déductibles d’un très petit nombre de principes logiques fondamentaux » (Principles of Mathematics, 1903, Préface, p. xv de la seconde édition, 1937). La première épreuve du programme consistait alors à « montrer comment l’appareil des notions logiques générales suffit, sans de nouveaux indéfinissables ou de nouveaux postulats, à établir toute la théorie des [nombres] entiers cardinaux comme une branche spéciale de la Logique » (§ 107, p. 111), ainsi que Frege l’avait déjà fait dans ses Grundgesetze der Arithmetik (Iena, t. 1, 1893 ; t. 2, 1903).

Les articles de Couturat ont provoqué une réaction d’Henri Poincaré, exposée dans deux articles intitulés « Les Mathématiques et la Logique » (RMM, XIII, 1905, pp. 815-835, et XIV, 1906, pp. 17-34). Le premier point de rupture se situait dans la conception de l’arithmétique, puisque pour Poincaré tant la définition des nombres entiers que les démonstrations arithmétiques reposaient sur l’induction complète, où il voyait un « jugement synthétique a priori » irréductible aux notions et principes purement logiques. Celui qui était en France la plus haute autorité scientifique de l’époque tentait du coup d’établir l’inutilité et les impasses de ce qu’il appelait le « péanien », en avouant que c’était du reste une langue qu’il n’entendait pas. Il ironisait au passage sur l’appellation de « logistique » récemment introduite [voir Article 23, note 5] : alors que le nom de « pasigraphie », d’abord employé par Peano, signifiait exactement ce dont il est question — « l’art d’écrire un traité de mathématiques sans employer un seul mot de la langue usuelle » —, celui de « logistique » annonçait la prétention « à une dignité plus éminente » : « Ce mot est, paraît-il, employé à l’École de Guerre pour désigner l’art du maréchal des logis, l’art de faire marcher et de cantonner les troupes ; mais ici aucune confusion n’est à craindre et on voit tout de suite que ce nom nouveau implique le dessein de révolutionner la logique » (RMM, XIII, 1905, p. 821). En se confrontant, par-dessus Couturat, à Russell et à Hilbert, au prix du reste d’un amalgame que Couturat aura beau jeu de dénoncer, Poincaré présentait le débat contemporain comme la reprise d’une confrontation historique dont les termes étaient connus : « Mais dire que [Russell et Hilbert] ont définitivement tranché le débat entre Kant et Leibnitz et ruiné la théorie kantienne des mathématiques, c’est évidemment inexact. Je ne sais si réellement ils ont cru l’avoir fait, mais s’ils l’ont cru, ils se sont trompés » (RMM, XIV, 1906, p. 34).

Couturat ne cachait pas qu’avec ses articles sur « Les Principes des Mathématiques » il voulait « casser les vitres » et déraciner les lieux communs au sujet de la logique formelle. Il confiait ainsi à Russell, à propos du second article à paraître sur les idées de nombre et d’ordre (RMM, XII, N° 2, 1904) : « Vous verrez … que je réfute en passant Poincaré … Si je m’attaque à si forte partie, c’est encore pour exciter l’attention et piquer la curiosité. Poincaré est un oracle pour les lecteurs de la RMM, et [Pierre] Boutroux aussi [Voir Article 23, note 11]. Or leurs théories sont absolument contraires à la fois à la vraie science et à la saine philosophie. Je veux les miner par la base. Un de mes amis me disait, en parlant de mes articles : “C’est du contrepoison”. Il faisait allusion au nominalisme de Poincaré et à l’agnosticisme mystique de Le Roy » (lettre du 11 février 1904, Bertrand Russell. Correspondance … avec Louis Couturat1, p. 352). Couturat n’hésitait donc pas, tout en estimant la haute valeur de Poincaré comme mathématicien et physicien, à le ranger philosophiquement dans le camp de la « nouvelle philosophie » qu’il abhorrait, et dont Bergson était l’idole. À propos des livres où Poincaré réunissait ses articles philosophiques, Couturat observait : « Ce qui me frappe … c’est le manque d’esprit systématique et d’information philosophique. Ce sont les réflexions d’un homme intelligent qui n’est pas initié aux questions philosophiques, et qui ne sait pas du tout ce qui se fait en ces matières en dehors d’un petit cercle2 » (Lettre à Russell du 7 mai 1905, op. cit., p. 496). Au moment où il met la dernière main à la réunion en livre des articles sur Les principes des mathématiques (Paris, Alcan, 1905), avec des modifications et des compléments, il fait état auprès de Russell de la parution prochaine d’un article de Poincaré dans la RMM de novembre 1905 « contre nos théories ». Il ajoute : « Ce sera curieux ; mais je ne crois pas que M. Poincaré ait la compétence nécessaire pour discuter la Logistique. Ce sera un autre article de P[ierre] Boutroux … moins bête » (Lettre à Russell du 10 novembre 1905, op. cit., p. 546). Après une première lecture sur épreuves de l’article de Poincaré, il en dit : « Il n’est pas bien terrible. Il prouve surtout que M. P[oincaré] ne connaît la logistique que par mes articles, ce qui, tout de même, n’est pas suffisant. ». Il annonce qu’étant le plus visé – « les autres le sont surtout à travers moi et mon commentaire » – il se chargera de répondre, tout en proposant à Russell, comme il l’avait fait à Peano, de répondre eux-mêmes s’ils le souhaitent ou de lui fournir des arguments. Et il ajoute « que, pour répondre à M. Poincaré, dont l’article est très populaire de forme (et d’ailleurs très amusant à lire), il faut employer des arguments populaires aussi, et même un peu gros, pour frapper les lecteurs non-initiés sur lesquels ses arguments et son autorité feront impression … En tout cas, nous pouvons nous féliciter des critiques de M. Poincaré : elles nous font une belle réclame ! » (Lettre à Russell du 24 novembre 1905, op. cit., p. 554-555). Toutefois, reconnaissant que la position philosophique de Poincaré ne se ramène pas à celle du pragmatisme anglo-saxon (en faisant référence aux « pages admirables sur les deux vérités (scientifique et morale) qui forment l’Introduction de La Valeur de la Science [Paris, Flammarion, 1905] »), Couturat s’est proposé d’aller voir Poincaré « pour tâcher de le convaincre, en tête à tête, qu’il s’est trompé sur quelques points au moins. Il serait excellent qu’il le reconnût lui-même, et il est homme à le faire : ce n’est pas un “pragmatiste” » (lettre du 12 décembre 1905, p. 565). La rencontre a bien eu lieu, au début du mois de janvier 1906, mais elle a eu l’effet inverse. D’après la relation de Couturat, Poincaré se serait soustrait à toute discussion, refusant même de regarder le Formulaire de Mathématiques de Peano, « en avouant implicitement qu’il ne lisait pas le “Péanien” » : « Bref, je n’ai rien pu obtenir de lui, même pas l’examen sérieux et consciencieux des doctrines qu’il a critiquées sans les connaître. Il ne nous reste donc plus qu’à lui montrer publiquement ses erreurs, comme il m’y invite. Ma réponse est à peu près prête ; elle est longue, et aussi complète que possible, car je n’ai voulu lui faire grâce d’aucune inexactitude » (lettre du 13 janvier 1906, p. 580). Après la parution de son article, Couturat reviendra auprès de Peano sur cette rencontre avec Poincaré ; en soulignant que celui-ci « ne veut pas lire » le Formulaire, il écrit : « Je me suis contenté de répéter dans mon article ce que je lui avais dit verbalement, à savoir que quand des mathématiciens estimés pour leur conscience et leur rigueur donnent des démonstrations au public, il ne suffit pas, pour en infirmer la valeur, d’émettre des doutes généraux et vagues, et que l’onus probandi incombe à ceux qui croient y découvrir quelque faute logique. J’ajoute que, quand j’ai dit cela à M. Poincaré, il a levé les bras au ciel en s’écriant : “Ah mais non, par exemple !” ce qui signifiait qu’il ne voulait à aucun prix s’infliger le supplice de lire votre Formulaire … tout en prétendant avoir le droit d’en suspecter la valeur ! J’avoue que cette attitude m’a indigné, et décidé à faire ma réponse aussi sévère que possible » (Lettre à Peano du 15 mars 1906, dans Giuseppe Peano – Louis Couturat, Carteggio (1896-1914)3, p. 101. – Même récit dans la lettre à Cesare Burali-Forti du 12 janvier 1906, ibid., p. 221). La suite de la même lettre donne un éclairage très utile sur ce que Couturat s’est proposé dans ce plaidoyer « Pour la Logistique » : il n’a pas voulu poser le problème sur le terrain mathématique « où [Poincaré] a tout l’avantage sur [lui] » : si « au fond, le conflit est purement philosophique », il appelle plutôt, pour s’assurer de la victoire, une réponse proprement logique : « M. P[oincaré] défend une certaine philosophie, fort à la mode (une sorte de kantisme), que les théories de Russell tendent à ruiner. Certains de mes amis auraient voulu que je portasse le débat sur le terrain philosophique … ; mais je m’en suis bien gardé, parce que sur ce terrain tout peut se soutenir avec plus ou moins de vraisemblance, et les discussions n’en finissent pas, attendu qu’on n’a pas de principes ni de règles fixes. … M. P[oincaré] ayant eu l’imprudence de poser la question sur le terrain logique, où il n’est guère fort, et où il prêtait le flanc à nos critiques, c’est sur le même terrain qu’il fallait le combattre et tâcher de le battre. Si nous y réussissons, ce sera une bonne leçon pour une foule de philosophes qui prétendent juger des choses sans les connaître ni les étudier. En outre, ces philosophes se rapportent aveuglément à l’autorité scientifique de M. P[oincaré], et il fallait leur montrer le plus clairement possible que celui-ci commet des erreurs grossières. … Comme je disais à M. Russell, je veux répondre aux arguments superficiels et grossiers de M. P[oincaré] par des arguments de même nature, qui puissent corriger l’impression qu’ils font sur les lecteurs profanes. Le jour où M. P[oincaré] voudra bien traiter la question d’une manière sérieuse et scientifique, et non plus par des plaisanteries et des boutades bonnes à éblouir les gens incompétents, il sera temps pour vous et M. Russell d’entrer en lice » (ibid., p. 102).

À la suite de la publication de « Pour la Logistique », et bien que son second article sur « Les Mathématiques et la Logique » ait été présenté comme « suite et fin », Poincaré est revenu à la charge dans un troisième article publié sous le même titre (RMM, XIV, 1906, pp. 294-317), où il répond à Couturat. Mais il y met surtout en avant l’apport d’une communication récente de Russell (« On some Difficulties in the Theory of Transfinite Numbers and Order Types », Proceedings of the London Mathematical Society, 7 mars 1906). C’est aussi dans cet article de Poincaré que se trouve la célèbre boutade : « La Logistique n’est plus stérile, elle engendre l’antinomie » (p. 316).

Cette fois, Couturat ne répondra pas et laissera la poursuite à Russell, qui publiera une mise au point, avec sa première solution de la contradiction, dans l’article déjà cité sur « Les Paradoxes de la Logique » (RMM, XIV, 1906, p. 627-650). Poincaré en fera finalement un bref commentaire : « À propos de la Logistique » (ibid., pp. 866-868).

Poincaré a repris, avec des modifications, les trois articles « Les Mathématiques et la Logique » parus dans la RMM en 1905 et 1906 dans Science et Méthode, Paris, Flammarion, 1908 (Livre II, chapitres III, IV et V, respectivement intitulés : « Les Mathématiques et la Logique, « Les Logiques nouvelles », « Les derniers efforts des Logisticiens »).

Texte intégral

  • 4 Publiés en volume, avec quelques corrections et additions, sous le titre : Les Principes des Mathém (...)

1Je remercie M. Poincaré de l’honneur qu’il m’a fait en me prenant à partie dans ses articles sur Les Mathématiques et la Logique ; mais je dois déclarer que je ne mérite pas cet honneur, car les idées que j’ai exposées ici ne sont pas de moi, et je crains bien que M. Poincaré ne leur ait fait grand tort en les discutant d’après un travail de seconde main. En effet, comme j’ai eu soin d’en prévenir les lecteurs de la Revue, mes articles4 n’étaient, en principe, qu’un compte rendu du livre de M. Russell ; et si j’ai été amené par la suite à y joindre l’analyse des travaux d’autres logisticiens, je n’ai pas manqué de les citer et de m’y référer. Or il n’est pas d’usage de critiquer des ouvrages de ce genre d’après une simple analyse ; surtout alors que la valeur de ces ouvrages réside dans la rigueur des démonstrations, et que ces démonstrations sont forcément absentes de mon exposition sommaire. Par exemple, j’ai analysé de longs mémoires de MM. Peano, Pieri, Whitehead, en me bornant à énoncer les théorèmes essentiels sans citer une seule démonstration ; il est constamment sous-entendu que le lecteur qui désire la démonstration de tel ou tel théorème n’a qu’à se reporter aux mémoires originaux, et il serait évidemment mal venu à me reprocher de ne pas l’avoir donnée. De même, j’ai cru devoir exposer dans mon livre (pour compléter un de mes articles) la courbe de M. Peano qui remplit un espace, et cela, sous une forme élémentaire et intuitive accessible au premier venu, et sans parler de la démonstration analytique rigoureuse. Que penserait-on d’un mathématicien qui, ne connaissant cette courbe que par mon exposé, se permettrait d’en critiquer la construction, de douter de la justesse de la démonstration, ou même de déclarer que cette démonstration n’existe pas et que la proposition en question repose sur l’intuition ?

2J’avais également prévenu les lecteurs que, dans mon exposé, je sacrifierais la rigueur à la clarté, non pas à cette clarté logique, inséparable de la rigueur, et qu’on ne peut obtenir que par le symbolisme logistique, mais à cette clarté vulgaire qu’on nomme l’intuition, et que M. Poincaré prise si fort. Il faut avouer que je suis assez mal récompensé des concessions que j’ai faites à l’intuition, puisque M. Poincaré en profite pour me reprocher un manque de rigueur. En tout cas, j’ai voulu faire œuvre de commentateur et de vulgarisateur, et composer, à l’usage des profanes, une sorte d’introduction aux œuvres que je résumais. C’est dire que ce n’est pas pour M. Poincaré que j’écrivais, et que je ne prétendais pas lui apprendre quoi que ce soit. Dans tous les cas, un travail de ce genre peut bien servir (je l’espère du moins) pour apprendre les éléments des doctrines en question, mais il ne peut servir de base suffisante pour critiquer celles-ci. Pour être juste et efficace, la critique doit s’adresser aux ouvrages originaux dont je me suis inspiré. Que dirait M. Poincaré, si quelqu’un s’avisait de discuter les Principes de la Géométrie de M. Hilbert d’après l’analyse, si exacte et si complète qu’elle soit, qu’il en a donnée au public français ?

  • 5 [De fait, comme le montrent les correspondances, tant Russell que Peano n’ont pas donné suite à l’o (...)

3Je pourrais m’en tenir à ces remarques préjudicielles, et peut-être le devrais-je ; car, si j’ai déjà compromis les doctrines en question par mon essai de vulgarisation, je risque de les compromettre encore davantage en entreprenant de les défendre contre un adversaire tel que M. Poincaré. Si je m’enhardis à le faire, c’est, d’une part, parce qu’il a plu à M. Poincaré de me substituer aux maîtres de la Logistique, et, d’autre part, parce que ceux-ci ont cru que je suffirais à la tâche et m’ont laissé le soin de les justifier5. Je les remercie de leur confiance ; mais il faut que le lecteur sache bien que, s’il y a quelque chose de bon et de solide dans mon travail, c’est à eux que je le dois ; et que tout ce qu’il y aura de faible et de défectueux vient de moi. Si donc je réussis à justifier la Logistique contre les critiques de M. Poincaré, cela sera tant mieux ; si non, cela sera de ma faute, et ne prouvera rien contre elle.

I

4Avant tout, il convient de ne pas confondre la Logistique avec ce que M. Poincaré appelle « la Logique de M. Hilbert ». Cette confusion, M. Poincaré ne l’a pas faite, mais beaucoup de ses lecteurs pourraient la faire, en le voyant associer ces deux doctrines dans une même discussion et dans une commune condamnation. Or il faut bien savoir que M. Hilbert est complétement étranger à la Logistique, et n’a jamais employé pour ses recherches un calcul logique quelconque. Si donc les critiques que M. Poincaré lui adresse sont justes, elles ne portent aucunement contre la Logistique ; elles tendraient même plutôt à prouver la supériorité de celle-ci sur le raisonnement verbal et de simple bon sens.

  • 6 Ueber den Zahlbegriff, ap. Jahresbericht der deutschen Mathematiker-Vereinigung, t. VIII (1900).

5Il importe aussi de prévenir une erreur historique que pourrait engendrer la phrase suivante de M. Poincaré : « Ce que Hilbert avait fait pour la Géométrie, d’autres ont voulu le faire pour l’Arithmétique et pour l’Analyse » (p. 816-7). On pourrait croire, en lisant cette phrase, que les logisticiens se sont attaqués à l’Arithmétique et à l’Analyse après les travaux de M. Hilbert sur la Géométrie, et à son imitation. Les Grundlagen der Geometrie de M. Hilbert sont de 1899. Or dix ans auparavant (1889) M. Peano avait publié, non seulement ses Arithmetices principia nova methodo exposita, mais aussi I Principi di Geometria logicamente esposti, rédigés tous deux dans le symbolisme qu’il avait inventé l’année précédente. En 1891, il publiait dans la Rivista di matematica (t. I) deux articles Sul concetto di numero, contenant déjà les 5 axiomes fondamentaux de l’Arithmétique ; en 1894, il publiait dans la même Revue (t. IV) le mémoire Sui fondamenti della Geometria que j’ai analysé dans Les Principes des Mathématiques, chap. VI, § C (Géométrie descriptive). Enfin, c’est en 1898 et 1899 que M. Pieri a publié sa reconstruction logique de la Géométrie projective et de la Géométrie métrique dans les Mémoires de l’Académie des Sciences de Turin. Ces dates suffisent à prouver que, si M. Hilbert n’a pas voulu profiter des travaux des logisticiens, ceux-ci n’ont pas pu profiter des siens, et n’ont pas eu besoin de son exemple, non seulement en Arithmétique et en Analyse, mais même en Géométrie. M. Poincaré commet donc une inexactitude historique en attribuant aux « travaux de M. Hilbert » le « triomphe » de la Logistique en Géométrie (p. 30). Je tiens, à ce propos, à constater un fait : en 1900, M. Hilbert a élaboré pour l’Arithmétique un système compliqué de dix-huit axiomes (axiomes de liaison, axiomes de computation, axiomes d’ordination, axiome de continuité, axiome d’intégrité)6, alors que depuis onze ans l’Arithmétique avait été édifiée sur cinq axiomes seulement (que M. Padoa a réduits à quatre en 1902). Enfin, pour rendre à chacun la justice « chronologique » qui lui est due, je dois rappeler que dès 1881 M. Frege exposait, dans ses Grundlagen der Arithmetik, la théorie du nombre entier que M. Russell a adoptée en principe, et entreprenait de prouver que les principes de l’Arithmétique sont purement logiques (analytiques, au sens de Kant).

  • 7 Voir toutes les éditions du Formulaire de Mathématiques, et les Notations de Logique mathématique ( (...)
  • 8 [Jean-Henri Lambert (1728-1777)], Versuche einer Zeichenkunst in der Vernunftlehre, ap. Logische un (...)
  • 9 Ueber Pasigraphie, ihren gegenwärtigen Stand und die pasigraphische Bewegung in Italien (1898), tra (...)
  • 10 Cf. Couturat et Leau, Histoire de la langue universelle, Chap. préliminaire : Les pasigraphies (Par (...)
  • 11 Bulletin des Sciences mathématiques, t. XXV (1901), [Article 16]

6M. Poincaré écrit : « Cette invention de M. Peano s’est appelée d’abord la pasigraphie », et il ajoute : « Ce nom en définissait très exactement la portée » (p. 822). La première phrase contient une erreur de fait : jamais M. Peano n’a appelé pasigraphie son symbolisme logique ; il l’a toujours appelé logique mathématique7. Si nous l’appelons Logistique, c’est d’abord à cause de l’équivoque de l’expression « Logique mathématique » ; c’est ensuite, non pas parce que « ce nom nouveau implique le dessein de révolutionner la logique », mais parce que ce bon vieux mot, par lequel Viète désignait l’Algèbre, indique, par son étymologie même, l’art général de raisonner et de calculer ; et c’est en ce sens qu’il était employé dès le XVIIIsiècle par Lambert pour désigner son propre calcul logique8. C’est Schröder qui l’a appelée pasigraphie dans une communication au 1er Congrès des mathématiciens (Zurich, 1898), et cela probablement dans une intention péjorative9. Or ce mot est tout à fait inexact, quoi qu’en dise M. Poincaré. On appelle pasigraphie toute langue universelle écrite, symbolique ou chiffrée, comme est par exemple le Code international des signaux maritimes10. J’ai moi-même employé autrefois ce mot en parlant du symbolisme de M. Peano, mais en le corrigeant aussitôt : « un système de pasigraphie, ou mieux d’idéographie11 » : cela veut dire que les symboles traduisent, non pas des mots ni des phrases, mais directement des idées. Je concluais le même article en disant : « l’on restreindrait injustement la valeur du symbolisme de M. Peano, si l’on n’y voyait qu’une sorte de sténographie. C’est aussi et surtout un instrument d’analyse logique, de déduction et de vérification » ; et je rappelais à ce propos la Caractéristique universelle de Leibniz. C’est donc méconnaître entièrement la nature et la portée de la Logistique que de n’y voir qu’une pasigraphie.

  • 12 Comme les notations enfantines d’Hérigone, qui écrivait par exemple 5  pour pentagone ou comme n’im (...)
  • 13 Dès 1895 M. Peano écrivait ceci : « La Logique mathématique… ne se réduit pas simplement à une écri (...)

7En général, du reste, M. Poincaré parle de la Logistique sur le ton dont un bel esprit pourrait parler de l’Algèbre ou des mathématiques en général. Il dit par exemple : « L’élément essentiel de ce langage, ce sont certains signes algébriques qui représentent les différentes conjonctions : si, et, ou, donc. Que ces signes soient commodes, c’est possible ; mais qu’ils soient destinés à renouveler toute la philosophie, c’est une autre affaire. Il est difficile d’admettre que le mot si acquiert, quand on l’écrit ⊃, une vertu qu’il n’avait pas quand on l’écrivait si » (p. 822). D’abord, il ne faut pas croire que les symboles logistiques se bornent à traduire littéralement quelques mots12 : le signe ⊃ ne traduit pas plus si que donc, il exprime l’idée d’implication ; le même signe, ⋃, peut traduire et dans certains cas, et ou dans d’autres cas. Inversement, le mot et n’a pas le même sens dans les trois phrases suivantes : « Pierre est riche et heureux », « Pierre et Paul sont riches », « Pierre et Paul sont frères », et par suite il ne se traduira pas par le même symbole logistique. Il est donc tout à fait injuste de considérer « le nouveau langage » comme un simple décalque du langage vulgaire, et par suite comme n’ayant aucune valeur propre et aucune utilité13.

  • 14 [Couturat cite une lettre reçue de Peano. Malheureusement toutes ces lettres ont été perdues et on (...)
  • 15 Cf. son mémoire au 1er Congrès international de Philosophie (Paris, 1900). [G. Peano, « Les définit (...)

8M. Poincaré croit que j’attache à l’emploi des symboles « une importance exagérée, et qui a dû étonner M. Peano lui-même » (p. 822). Je puis le rassurer sur ce point : M. Peano m’écrit à ce propos : « J’ai toujours affirmé l’importance de la notation symbolique dans toute proposition de mathématique, sa grande utilité dans les questions difficiles et délicates, et qu’elle est indispensable dans l’étude des principes. Cela est écrit dans tous les tomes du Formulaire… »14 Partout et toujours, il insiste sur la nécessité d’exprimer entièrement en symboles toute proposition mathématique et toute définition15.

  • 16 Voir La Logique de Leibniz, p. 84-85, avec les textes cités en note ; et l’Appendice III.

9Quoi qu’il en soit, il y a quelqu’un qui avait de l’importance du symbolisme une opinion aussi « exagérée » que M. Peano et que moi : c’est Leibniz ; il allait jusqu’à dire que les découvertes qu’il avait faites en mathématiques venaient uniquement de ce qu’il avait perfectionné l’emploi des symboles, et son invention du Calcul infinitésimal n’était pour lui qu’un échantillon de sa Caractéristique16. Et en effet, on sait qu’il n’a pas inventé les idées infinitésimales ; il a seulement inventé un symbolisme pour les représenter et un algorithme pour les manipuler. On pourrait dire de lui : « Il n’a fait qu’introduire deux signes nouveaux, d et ∫. Que ces signes soient commodes, c’est possible ; mais qu’ils aient pu renouveler toute la mathématique, c’est incroyable. » On pourrait dire aussi de l’Algèbre : « Elle consiste simplement à représenter par des signes les mots plus, moins, multiplié par, divisé par. Mais on ne voit pas en quoi elle constitue un progrès sur l’Arithmétique ; il est difficile d’admettre que le mot plus acquière, quand on l’écrit +, une vertu qu’il n’avait pas quand on l’écrivait plus. » Et pourtant, est-ce avec des mots qu’on aurait pu élaborer la théorie des équations et celle des formes algébriques ?

10M. Poincaré allègue encore que « la pasigraphie ne nous préserve pas de l’erreur » (p. 825). Sans doute, pas plus que les règles du calcul algébrique ou arithmétique ne nous en préservent. S’ensuit-il qu’elles soient fausses, ou qu’on doive s’en défier ? De ce que l’on commet des erreurs d’addition, faut-il condamner les « quatre règles » et même les chiffres, et ne plus compter que sur ses doigts ou avec des boules ? Les erreurs de raisonnement qu’un logisticien pourrait commettre n’infirment pas plus la valeur de la Logistique, que les erreurs de calcul n’ébranlent la certitude de l’Arithmétique. Il suffit que la Logistique permette de raisonner plus facilement et plus sûrement, et de découvrir plus aisément les fautes de raisonnement ; et c’est ce qu’elle fait. En ce sens, elle est, comme disait Leibniz, un art d’infaillibilité : non que les logisticiens soient infaillibles, mais ils sont moins exposés à l’erreur que ceux qui se fient au simple bon sens, c’est-à-dire à l’intuition.

  • 17 [Stanley Jevons (1835-1882), économiste et logicien, après avoir publié Pure Logic or the Logic of (...)

11D’ailleurs, M. Poincaré se fait de la Logistique une idée tout à fait fausse en la considérant comme un mécanisme d’où l’intelligence est à peu près exclue ; et il abuse contre elle d’une comparaison inexacte, en l’assimilant au piano logique de Stanley Jevons (p. 816)17. Il faut d’abord savoir que ce piano logique concerne uniquement la Logique des classes, et qu’il n’effectue que la partie la moins importante, et en effet la plus mécanique, des raisonnements : son office consiste à supprimer les classes élémentaires qui se trouvent annulées en vertu des prémisses données. Mais il laisse à faire presque tout le reste, à savoir, d’une part, la « mise en équations » du problème logique, d’autre part, la combinaison des classes subsistantes de manière à obtenir les conséquences sous la forme qu’on désire. Ainsi l’Algèbre de la Logique elle-même ne se réduit pas à un mécanisme aveugle. Cela est encore bien plus vrai de la Logistique, qui dépasse l’Algèbre de la Logique et qui est bien moins « mécanique » qu’elle.

  • 18 [Russel appelle « constantes logiques » « toutes les notions définissables dans les termes suivants (...)
  • 19 [Voir dans l’Article 29 suivant, la critique de Théodule Ribot (note 9) et d’Édouard Le Roy (note 1 (...)

12Une autre comparaison n’est pas plus heureuse : « Les règles de la parfaite logique sont-elles toute la mathématique ? Autant dire que tout l’art du joueur d’échecs se réduit aux règles de la marche des pièces » (p. 817). Mais personne n’a jamais prétendu que toute la mathématique se réduit matériellement à la logique, c’est-à-dire qu’il n’y a rien de plus dans un traité de mathématique que dans un traité de logique. Nous soutenons seulement que tous les raisonnements mathématiques s’effectuent en vertu des seules règles de la logique, de même que toutes les parties d’échecs qu’on a pu et qu’on pourra jamais jouer s’effectuent suivant les règles du jeu… sans quoi elles ne vaudraient rien. La comparaison se retourne donc contre les adversaires de la Logistique, car elle montre comment un petit nombre d’éléments, combinés suivant quelques lois fixes, peuvent engendrer une variété illimitée de conséquences. On a prétendu que la Logistique mettait des lisières à l’invention, et l’on a revendiqué contre elle les droits imprescriptibles du génie : comment la mathématique pourrait-elle évoluer et progresser sans cesse, si elle est à jamais condamnée à reposer sur un petit nombre de principes et de « constantes logiques »18 ? M. Poincaré n’emploie pas cet argument, et laisse de côté la question de l’invention ; mais on voit bien que la théorie des « constantes logiques » lui inspire une répugnance instinctive, et que toute tentative pour cataloguer les notions premières et les principes des mathématiques lui paraît une prétention insupportable, un attentat à la « liberté » du savant. C’est pour cela qu’il oppose à la raison logique et démonstrative le « sûr instinct » de l’inventeur et la « géométrie plus profonde » qui le guide (p. 817) ; et ce genre de considérations est fort à la mode : il est de bon ton, aujourd’hui, d’opposer à la logique formelle, qu’on qualifie dédaigneusement de « dialectique », « abstraite » et « verbale », la « logique de la nature et de la vie »19.

  • 20 [Littéralement : « Ignorance de la réfutation », ou plus généralement « ignorance du sujet » : soph (...)

13Il y a là une confusion qu’il importe de dissiper. Opposer à la logique le fait psychologique de l’invention, c’est commettre la plus grossière ignoratio elenchi20. La logique n’a ni à inspirer l’invention, ni à l’expliquer : elle se contente de la contrôler et de la vérifier, au sens propre du mot (rendre vrai). Reproche-t-on à la métrique de ne pas donner le génie poétique, ou à la science de l’harmonie de ne pas conférer le génie musical ? Et conclut-on de là que les règles de l’une et de l’autre n’ont aucune valeur et aucune utilité ? Quant à la théorie des « constantes logiques », on ne restreint pas plus la liberté du mathématicien inventeur, en formulant les principes et les notions premières sur lesquels repose toute sa science, qu’on ne restreint la liberté du musicien, du peintre et du poète en leur disant : « Vous vne ferez jamais que combiner, toi, les sept notes de la gamme avec leurs accidents ; toi, les sept couleurs du spectre ; et toi, les 25 lettres de l’alphabet. » Voilà exactement dans quelle mesure la Logistique entrave l’invention et coupe les ailes au génie. Qu’on cesse donc de jeter l’invention à la tête des logiciens, comme si l’invention pouvait être contraire à la logique. D’ailleurs, ce « sûr instinct » et cette « géométrie plus profonde » qui guident l’inventeur ne sont qu’une forme inconsciente de la raison logique, et procèdent suivant les mêmes lois. La raison qui invente est conforme, et au fond identique, à la raison qui démontre, sans quoi celle-ci ne pourrait pas vérifier les trouvailles de celle-là ; et ces trouvailles ne sont des inventions, c’est-à-dire ne sont vraies, qu’à cette condition. C’est donc en définitive la conformité aux lois de la logique « qui seule fait le prix de l’édifice construit » (p. 817).

14M. Poincaré parle de « la logique de Russell » et l’oppose à la logique d’Aristote, comme si M. Russell était le premier qui ait osé dépasser le champ de la logique aristotélicienne, il paraît d’ailleurs avoir une notion inexacte de ce dernier, quand il dit : « la logique des propositions de M. Russell est l’étude des lois suivant lesquelles se combinent les conjonctions si, et, ou et la négation ne pas. C’est une extension considérable de l’ancienne logique » (p. 826). Je puis assurer à M. Poincaré qu’Aristote connaissait déjà, les conjonctions si, et, ou, et la négation, et qu’il en a tenu compte dans sa Logique. Tous les logiciens classiques ont connu et étudié les jugements hypothétiques (où figure si), copulatifs (où figure et), disjonctifs (où figure ou) ; et la Logique classique a toujours admis des jugements négatifs. Que si M. Poincaré veut dire que M. Russell est le premier qui ait traduit ces jugements en symboles et les ait soumis à un algorithme, il se trompe encore d’un demi-siècle au moins : car c’est à Boole (sans parler des précurseurs) que revient cet honneur. Ce n’est donc pas M. Russell qui a « adjoint » à la syllogistique « les conjonctions et et ou », et qui a ainsi « ouvert à la logique un domaine nouveau » (p. 826).

  • 21 [Allusion probable à la phrase de Newton dans la Préface des Philosophiae naturalis Principia mathe (...)

15M. Poincaré croit établir une différence capitale entre les deux logiques en remarquant que « les symboles se sont multipliés et permettent des combinaisons variées qui ne sont plus en nombre limité », et il ajoute : « A-t-on le droit de donner cette extension au sens du mot logique ? » (p. 828). Il semble donc que pour lui la Logique soit caractérisée par le nombre limité des combinaisons qu’elle admet. Mais nous ne voyons pas qu’il y ait là une différence radicale. Dans quel sens, au surplus, l’ancienne Logique n’admettait-elle qu’un nombre limité de combinaisons ? S’agit-il du nombre des modes valables du syllogisme ? Mais la Logique moderne, elle aussi, n’admet qu’un nombre limité de types simples de raisonnement. S’agit-il, au contraire, de la diversité infinie des raisonnements complexes que l’on peut obtenir en combinant ces types ? Mais la Logique classique pouvait, elle aussi, former une infinité de raisonnements en combinant les syllogismes. Dans tous les cas, les deux Logiques ont le même caractère, et ne diffèrent que du plus au moins. Au surplus, en quoi le nombre importe-t-il en cette matière ? Si un principe logique est vrai, que ce soit le principe du syllogisme ou tout autre, n’est-il pas capable de justifier un nombre infini de raisonnements tout aussi bien qu’un nombre fini ? Est-ce que par hasard sa vertu probante s’épuiserait au bout de n applications ? Enfin, que signifie ce reproche adressé à la Logistique, d’admettre un nombre infini de combinaisons, alors qu’on lui reproche d’autre part de n’avoir qu’un nombre très limité de principes ? N’est-ce pas plutôt pour elle, comme pour la Géométrie (suivant une phrase célèbre21), un titre de gloire, de tirer d’un si petit nombre de principes un si grand nombre de conséquences ? En quoi ce fait peut-il scandaliser un mathématicien familiarisé avec la fécondité incroyable de la Combinatoire ?

  • 22 [Kant, Critique de la raison pure, 2e éd. (1787), Préface : « … la logique … depuis Aristote, n’a p (...)

16Quand M. Poincaré oppose entre elles l’ancienne et la nouvelle Logique, et considère celle-ci comme une « extension » énorme et peut-être illégitime de celle-là, il paraît oublier ce fait, que le domaine d’une science peut recevoir une extension, même considérable, sans que la notion et la définition de cette science changent. Autrement, on ne pourrait jamais parler du progrès des sciences : car cela suppose qu’une science reste identique à elle-même en essence à travers son développement historique. Le raisonnement de M. Poincaré pourrait servir à prouver que le calcul infinitésimal ne fait pas partie des mathématiques ; que l’électricité ne relève pas de la physique, et que la théorie des composés organiques n’est pas de la chimie. Or c’est grâce à ce raisonnement que l’extension du « champ » de la logique classique (p. 826) devient une extension du « sens du mot logique » (p. 828). M. Poincaré dit encore : « Il semble qu’il n’y ait rien à écrire de nouveau sur la logique formelle et qu’Aristote en ait vu le fond » (p. 826). S’il veut dire par là (comme Kant22) que la Logique n’a pas fait de progrès depuis Aristote, c’est une simple erreur de fait ; mais s’il entend que la Logique devrait (ou aurait dû) rester confinée dans le domaine défriché par Aristote, il soutient implicitement que la Logique était parfaite et complète en naissant, contrairement à l’analogie de toutes les autres sciences et à la vraisemblance. On n’aurait que des risées pour celui qui prétendrait réduire les mathématiques à ce qu’elles étaient du temps d’Euclide, et la physique à la physique d’Aristote. Comment donc ose-t-on soutenir, ou insinuer, qu’Aristote a dit le dernier mot de la Logique, et qu’il soit interdit de développer cette science au delà des bornes étroites que son fondateur lui assignait ?

17D’ailleurs, si « la nouvelle logique est plus riche que la logique classique » (p. 828), ce n’est pas tant par l’extension de son domaine que par l’approfondissement des principes qui ont dirigé de tout temps les raisonnements reconnus justes par cet instinct rationnel auquel M. Poincaré attache un si grand prix. Il semble reprocher aux logisticiens d’« introduire » dans la Logique des notions indéfinissables et des principes indémontrables. Il serait plus juste de dire qu’ils les ont découverts ou reconnus ; tout comme Aristote n’a pas inventé, mais découvert et reconnu le principe du syllogisme. M. Poincaré se hâte trop d’affirmer que ces principes indémontrables « sont des appels à l’intuition, des jugements synthétiques a priori » (p. 829). Peut-être aurait-il été d’un autre avis, s’il avait pris la peine de parcourir l’énumération de ces principes. Pourquoi le principe de composition : « Si a est b, et a est c, a est bc » constituerait-il un appel à l’intuition plutôt que le principe du syllogisme : « Si a est b, et b est c, a est c » ? En quoi le principe de simplification : « ab est a » est-il plus synthétique que le principe d’identité, avec lequel on l’a si souvent confondu ? En tout cas, il a été considéré par Kant comme le type des jugements analytiques. Est-ce de ces principes que M. Poincaré a pu dire : « Nous les regardions comme intuitifs quand nous les rencontrions, plus ou moins explicitement énoncés, dans les traités de mathématiques ; ont-ils changé de caractère parce que le sens du mot logique s’est élargi et que nous les trouvons maintenant dans un livre intitulé Traité de logique » (p. 829) ? Dans quel traité de mathématiques M. Poincaré les a-t-il vus formulés ? Et, pour retourner son argument, lors même qu’ils seraient consignés dans un traité de mathématiques, cela changerait-il leur caractère de principes logiques ? « Ils n’ont pas changé de nature, ils ont seulement changé de place », écrit M. Poincaré en soulignant ; mais c’est lui qui les change de place. Il ne suffit pas qu’ils soient employés dans les raisonnements mathématiques pour qu’on les qualifie de mathématiques, et il ne suffit pas qu’ils ne se trouvent pas dans les traités de Logique classique pour qu’on leur refuse le titre de principes logiques. Autrement, il faudrait dire que les principes logiques sont, par définition, ceux qu’ont découverts et formulés Aristote et les scolastiques ; et que sont intuitifs tous les principes logiques découverts par les logiciens modernes. La distinction du logique et de l’intuitif se réduirait alors à une question de chronologie.

  • 23 [Friedrich Albert Lange (1828-1875) est surtout connu pour sa Geschichte des Materialismus und Krit (...)

18D’ailleurs, on abuse contre les logiciens de ce concept vague d’intuition, surtout quand on ne spécifie pas de quelle intuition l’on parle. Est-ce de l’intuition intellectuelle, qui porte sur les relations des idées, ou de l’intuition sensible, qui revêt nécessairement la forme spatiale ? Ces deux intuitions diffèrent du tout au tout. Tous les logiciens sont prêts à reconnaître que leurs principes procèdent de l’intuition intellectuelle, c’est-à-dire sont objets d’une connaissance immédiate par la raison ; mais bien peu accorderont qu’ils procèdent de l’intuition sensible, et reposent par exemple, comme l’a soutenu Lange23, sur des schèmes spatiaux. Du reste, quelle que soit la solution de cette question « métalogique », tous les principes logiques devront avoir le même sort ; et les principes traditionnels d’identité, de contradiction, etc., seront des « appels à l’intuition » dans le même sens et dans la même mesure que les autres. Il ne faut donc pas accuser les logisticiens d’altérer la Logique en y introduisant l’intuition ; car, si cette accusation a quelque valeur c’est Aristote qui a commencé.

  • 24 « Plus sûrs », car M. Poincaré avoue que dans les raisonnements vivants « il est difficile de ne pa (...)

19En tout cas, il est inexact de dire que les raisonnements « vivants », les seuls « où notre esprit reste actif », soient « ceux où l’intuition joue encore un rôle » (p. 816). Les raisonnements purement logiques exigent plus d’effort d’esprit et d’ingéniosité que ne le croit M. Poincaré, et, même avec le secours (médiocre) du piano logique de Jevons, il faut une certaine habileté pour combiner les résultats bruts du mécanisme et en tirer la conclusion que l’on désire. Au surplus, pourquoi reprocher à la Logistique de rendre les raisonnements plus faciles et plus sûrs24 ? Si, comme l’Algèbre, elle condense en de brèves formules le résultat de raisonnements longs et compliqués, c’est pour décupler les forces et la portée de l’esprit, lui permettre d’embrasser un plus grand nombre de données, et d’en tirer des conclusions plus vastes et plus lointaines. Loin donc de paralyser l’invention ou de la rendre inutile, la Logistique lui prête des échasses ou des ailes. L’esprit inventif trouvera toujours à s’exercer, mais sur des données de plus en plus complexes. C’est ce qui se passe en Analyse, où chaque théorie nouvelle combine des formules qui résument les résultats des théories plus simples et plus élémentaires. Que M. Poincaré se rassure donc : la Logistique n’exclut pas le génie.

  • 25 Pour employer la comparaison favorite de M. Poincaré, que dirait-on d’un joueur d’échecs qui voudra (...)

20M. Poincaré adresse un singulier reproche à la Logistique : « le rôle de l’intelligence se borne à choisir dans un arsenal limité de règles posées d’avance, sans avoir le droit d’en inventer de nouvelles » (p. 825). Si l’on remarque que ces « règles » ne sont pas autre chose que les principes logiques, cette phrase paraît signifier que l’intelligence « a le droit » d’inventer de nouveaux principes logiques. C’est une étrange conception de la Logique, qui la considère comme toujours évoluant et comme jamais achevée25. Elle procède évidemment de la confusion (psychologistique) entre la science et ce que nous en connaissons à un moment donné. On n’« inventera » jamais de « nouvelles » règles logiques ; on en « découvrira » seulement, qui n’avaient pas été remarquées, mais qui étaient tout aussi « anciennes » que les autres, et également « posées d’avance », c’est-à-dire a priori. Et les logisticiens ne font pas autre chose. Mais alors, pourquoi M. Poincaré leur reproche-t-il d’innover ? À propos des neuf notions indéfinissables et des vingt propositions indémontrables de M. Russell, il dit : « je crois bien que… j’en aurais trouvé quelques-unes de plus » (p. 829). Libre à lui : les logisticiens ne demandent pas mieux, et enregistreront avec reconnaissance ses découvertes, ou, s’il préfère, ses inventions. Mais que signifient ces reproches contradictoires, sinon que M. Poincaré revendique pour lui « le droit » d’« inventer » des principes logiques, au moment même où il refuse ce droit aux logisticiens ?

  • 26 M. Peano a publié en outre un manuel classique : Aritmetica generale e algebra elementare, rédigé e (...)

21Au surplus, à quoi bon discuter in abstracto les qualités de la Logistique ? De l’aveu même de M. Poincaré, « la pasigraphie peut nous fournir un critérium pour décider la question qui nous occupe. Si tout traité de mathématiques peut être traduit dans le langage péanien, ce sont les logisticiens qui ont raison » (p. 825). Or les logisticiens ont répondu par avance, et depuis longtemps, à cette ironique invitation. Il y a dix ans que M. Peano a publié la première édition de son Formulaire de Mathématiques, qui est précisément un traité ou manuel entièrement écrit en Logistique ; la quatrième édition (1903-1904) comprend la Logique, l’Arithmétique, la Théorie des nombres, l’Algèbre, la théorie des nombres réels, celle des fonctions définies, le Calcul infinitésimal, la théorie des nombres complexes, celle des fonctions circulaires, le Calcul géométrique (comprenant la théorie des vecteurs et celle des quaternions), enfin la Géométrie différentielle ; les Additions contiennent même des éléments de Cinématique. La cinquième édition du Formulaire est en cours de publication26. Les principaux théorèmes sont accompagnés de leur démonstration logistique. J’ajoute que ce manuel de mathématiques est une œuvre collective, que M. Peano et ses collaborateurs revoient et perfectionnent sans cesse. Par conséquent, la preuve que M. Poincaré exige des logisticiens est faite depuis longtemps, et elle se complète de jour en jour.

22Il est vrai que M. Poincaré semble revenir aussitôt sur son imprudente concession en ajoutant : « Encore convient-il d’examiner de près la traduction. Il ne suffit pas qu’on nous présente une page où il n’y a que des formules et pas un seul mot de la langue vulgaire pour que nous devions nous incliner… Aussi sera-t-il nécessaire, quand on sera en présence d’un raisonnement pasigraphié, même quand ce raisonnement sera correct, d’examiner si un appel à l’intuition n’est pas caché dans quelque coin » (p. 825). Ces réserves sont évidemment fort justes, en tant que conseils de méthode critique. Mais pourquoi M. Poincaré ne s’y conforme-t-il pas ? Il ne suffit pas d’exprimer ces réserves générales, applicables à toute œuvre démonstrative, pour infirmer la valeur de la Logistique, et jeter la défaveur et la suspicion sur l’œuvre des logisticiens. Ceux-ci ont donné au public, non pas « une page », mais plus de 300 pages de formules et de démonstrations logistiques. Que ceux qui ont des doutes sur la valeur de ces démonstrations les « examinent » d’aussi près qu’ils voudront, qu’ils en signalent les lacunes et les erreurs, c’est leur droit et même leur devoir. Mais l’onus probandi leur incombe, et il ne suffit pas, pour s’en décharger, de hocher la tête avec un sourire d’incrédulité.

II

23Je passe aux objections qui visent la Logistique en tant qu’appliquée aux Mathématiques. Ici encore, je dois dire que M. Poincaré lui fait tort en la jugeant uniquement d’après l’exposé « populaire » que j’en ai fait. En effet, les formules logistiques, qui constituent, comme dit M. Poincaré, un « nouveau langage », se suffisent à elles-mêmes et sont intelligibles entièrement par elles-mêmes ; s’il fallait y ajouter un seul mot de la langue vulgaire, c’est qu’elles seraient incomplètes ou défectueuses. De plus, si l’on a inventé ce « nouveau langage », c’est expressément pour éviter les équivoques ou les pétitions de principe impliquées plus ou moins confusément dans la langue vulgaire. Par conséquent, seules les formules logistiques peuvent être exactes, rigoureuses et exemptes des susdits vices logiques. Dès lors, quand un auteur croit devoir les traduire en langue vulgaire, c’est simplement pour les rendre plus accessibles aux « profanes » ; mais il doit être bien entendu que cette traduction verbale est toujours imparfaite, approximative, et ne permet aucunement d’apprécier la valeur logique des formules. Justement parce que le langage ne peut égaler la précision et la rigueur des formules, nous ne nous sommes pas fait scrupule d’introduire dans nos traductions verbales des pétitions de principe apparentes, pour les rendre plus claires et plus « françaises ». Qu’importe une inexactitude de plus ou de moins, du moment que seule la formule logistique compte et fait foi au point de vue logique ? Nous ne pouvions pas nous attendre à ce qu’on jugeât et condamnât ces formules sur la simple inspection de la traduction verbale que nous en donnions à l’usage des novices. Toute traduction est une trahison ; mais cela est encore plus vrai quand la traduction fait précisément évanouir les qualités de l’original sur lesquelles portent l’étude et la discussion. C’est exactement comme si l’on voulait étudier la métrique de Virgile dans une traduction française de l’Énéide.

24Or c’est des traductions verbales, et uniquement des traductions verbales, que M. Poincaré a tenu compte dans ses critiques ; les formules logistiques paraissent être nulles et non avenues à ses yeux : « Græcum est, non legitur. » Il peut donc « s’amuser à compter combien mon exposé contient d’adjectifs numéraux » (p. 830) ou indéfinis ; cela ne prouvera absolument rien contre la « pasigraphie ». Néanmoins, nous voulons examiner ses arguments un à un, pour mieux montrer qu’ils portent tous à faux. Au sujet de la définition logique du zéro, il dit : « Définir zéro par nul, et nul par aucun, c’est vraiment abuser de la richesse de la langue française » (p. 823). Puis il reconnaît que j’ai « introduit un perfectionnement dans ma définition » (double inexactitude, car cette définition n’est pas de moi, et le « perfectionnement » en question est dû à M. Russell) en écrivant :

0 = ι ∧ : φ x = ∧ . ⊃ . ∧ = x ɜ φ x

25« ce qui veut dire en français », suivant M. Poincaré : « zéro est le nombre des objets qui satisfont à une condition qui n’est jamais remplie. Mais comme jamais signifie en aucun cas, je ne vois pas que le progrès soit considérable » (p. 824). Je me bornerai à rappeler ici la traduction verbale que j’ai donnée de cette formule : « Si φx est toujours fausse, ∧ est la classe des x qui vérifient φx ». Cela veut dire, « en français » : ∧ est la classe des objets qui satisfont à une condition qui est toujours fausse, c’est-à-dire fausse pour toutes les valeurs attribuées à x. Où voit-on dans cette formule l’idée du nombre zéro, ou même d’un nombre quelconque ? Et nous reprochera-t-on d’introduire en Logique des notions mathématiques, alors que la Logique classique connaissait les jugements universels et employait le mot tout ? Pour pouvoir nous imputer une pétition de principe (même simplement verbale), M. Poincaré a dû transformer notre traduction en y remplaçant « toujours fausse » par « jamais vraie ». Si donc quelqu’un abuse ici de la langue française, ce n’est pas nous.

  • 27 À propos du pluriel, il convient de remarquer que M. Peano l’a exclu de son Latino sine flexione, s (...)
  • 28 M. Peano disait textuellement au début de la Préface de ses Arithmetices principia (1889) ; « Quæst (...)

26Mais ce reproche est encore plus immérité s’il s’adresse aux logisticiens, qui n’écrivent ni en français, ni en italien, ni en anglais, mais dans un symbolisme constitué tout exprès pour affranchir les notions des implications latentes que le langage y introduit par l’usage. M. Poincaré dit lui-même : « Il est impossible de donner une définition sans énoncer une phrase, et difficile d’énoncer une phrase sans y mettre un nom de nombre, ou au moins le mot plusieurs, ou au moins un mot au pluriel27. Et alors la pente est glissante, et à chaque instant on risque de tomber dans la pétition de principe » (p. 821). Ces réflexions fort justes portent uniquement sur les défauts logiques du langage, et sur les fautes qu’il peut faire commettre. C’est précisément pour éviter ces fautes et remédier à ces défauts que les logisticiens ont inventé leurs signes rigoureusement définis, qui n’ont de sens que celui qu’ils tiennent de leur définition28. En résumé, l’argument de M. Poincaré revient à ceci : « Tous ceux qui raisonnent avec les mots du langage vulgaire sont exposés à commettre des pétitions de principe ; or les logisticiens emploient, non des mots, mais des symboles rigoureusement définis ; donc ils doivent commettre, eux aussi, des pétitions de principe. » Le syllogisme n’est pas concluant, car il a quatre termes. Et lors même qu’il n’en aurait que trois (c’est-à-dire lors même qu’on pourrait légitimement conclure des mots aux symboles), les deux mots que j’ai soulignés le rendraient encore invalide : la majeure dit qu’on peut commettre des erreurs ; la conclusion affirme que certains auteurs en ont nécessairement commis.

  • 29 Au moyen de la formule générale par laquelle on définit n + 1 au moyen de n. V. Les Principes des M (...)

27La critique de la définition du nombre 1 n’est pas plus solide. « Un est le nombre des éléments d’une classe dont deux éléments quelconques sont identiques », telle est la traduction verbale que M. Poincaré donne de cette définition. « Elle est plus satisfaisante… en ce sens que pour définir 1, on ne se sert pas du mot un ; en revanche, on se sert du mot deux » (p. 825) ; et M. Poincaré soupçonne (avec raison) qu’on ne peut définir deux qu’au moyen de un29. Mais il abuse de ce que j’ai employé le mot deux pour faire une phrase « française ». La formule logistique est :

1 = Cls ⋂ u ɜ (u - = ∧ : x ε u . y ε u . ⊃. y . x ≡ y)

  • 30 Ibid., et dont j’ai déduit logistiquement la précédente (p. 60).

ce qui signifie, plus exactement : « 1 est la classe des classes u non nulles telles que, si x est u, et y est u, x est identique à y, quels que soient x et y ». Où y a-t-il, je ne dis pas le mot, mais l’idée de deux dans cette formule ? M. Poincaré dira peut-être qu’on y fait figurer deux éléments (problématiques) x et y de la classe u ; mais le fait qu’ils sont deux n’intervient en aucune manière ; et la preuve en est qu’en réalité ils ne font qu’un : x et y ne sont que deux noms (pardon ! des noms) pour un seul individu. On pourrait en mettre davantage dans la formule sans en changer la signification. Quoi qu’il en soit, cette critique ne porte manifestement pas contre une autre formule équivalente que j’ai donnée30 :

1 = Cls ⋂ u ɜ (u - = ∧ : x ε u . ⊃ . u – ι x ε 0)

  • 31 Voici une définition plus fondamentale que nous communique M. : « Un est la classe des classes u te (...)

28« Un est la classe des classes u non nulles telles que, si x est un u, la classe des u non identiques à x est nulle ». Cela suppose, naturellement, la définition de la classe nulle ; mais, comme on voit, il n’y a plus, même problématiquement, deux éléments de la classe u ; il n’y en a qu’un seul, et l’on se borne à exprimer qu’il n’y en a pas d’autre31.

  • 32 Les Principes des Mathématiques, ch. II, § A (p. 47-48 ; Revue [de Métaphysique et de Morale], t. X (...)

29Dira-t-on que, par le seul fait qu’on parle d’un élément, on implique le nombre un ? Mais c’est là une objection que M. Poincaré ne formule pas, et à laquelle j’ai répondu d’avance par le passage suivant : « Il ne faut pas croire que la définition du nombre un constitue un cercle vicieux, car la définition de la classe singulière repose uniquement sur la relation d’identité. S’il est vrai qu’elle implique en un sens l’unité ou plutôt l’individualité de l’élément considéré, cette unité ne peut être identique au nombre un qu’il s’agit de définir : car cette unité est une propriété de chaque élément, tandis que le nombre un est la propriété d’une classe… Donc, dans tous les cas, les unités qui constituent un nombre cardinal sont différentes du nombre un32. »

  • 33 Et aussi M. Méray, donnant ainsi un exemple de logique aux autres mathématiciens. [Charles Méray (1 (...)
  • 34 Remarquer que c’est la grammaire seule qui nous impose le signe du pluriel dans sont éléments ou ap (...)
  • 35 Voici la définition rigoureuse de la proposition « x est un u », que nous communique M. Russell : « (...)

30La confusion qui existe dans beaucoup d’esprits entre ces deux idées vient, croyons-nous, du double sens du mot un, qui est tantôt nom de nombre, et tantôt simple article indéfini. Dans ce dernier sens, il vaut mieux employer quelque, comme le font les logiciens33. Cette équivoque existe en français et en allemand ; elle n’existe pas en anglais (a article indéfini ; one nom de nombre). Si donc quelqu’un est disposé à l’invoquer, qu’il prenne garde d’abuser, non de « la richesse », mais de la pauvreté de la langue française. En résumé, il ne suffit pas de concevoir un objet quelconque pour concevoir le nombre un, ni de penser deux objets ensemble pour avoir ipso facto l’idée du nombre deux. De ce qu’une formule logique contient en fait deux ou plusieurs symboles, il ne faut pas conclure qu’elle implique par là même l’idée de deux ou de quelque autre nombre. Quand on dit : « Pierre et Paul sont sages », on veut dire : « Pierre est sage, et Paul est sage » ; on ne pense pas le nombre deux, et l’on n’a pas besoin de le penser, ni de remarquer que cela fait « deux sages ». De même, quand on dit : « x et y sont éléments de la classe u (ou : appartiennent à la classe u34) », on ne pense pas le nombre deux, et aucune idée de nombre n’est impliquée dans cette proposition35.

31Ces considérations répondent à cette objection de M. Poincaré : « une relation est incompréhensible sans deux termes ; il est impossible d’avoir l’intuition de la relation sans avoir en même temps celle de ses deux termes » (cela ne prouve rien ; aussi M. Poincaré ajoute-t-il :) « et sans remarquer qu’ils sont deux, car pour que la relation soit concevable, il faut qu’ils soient deux, et deux seulement » (p. 830). II ne s’agit pas de savoir (question psychologique) si l’on « remarque » ou non qu’ils sont deux, mais si la notion de la relation implique celle du nombre deux. Or pour cela il faudrait qu’elle impliquât la notion de la classe formée par ses « deux » termes ; ce qui n’a évidemment pas lieu. La proposition : « x est le père de y » n’implique nullement l’idée de la classe formée par x et y. D’ailleurs, il arrive souvent qu’une relation (dite alors réflexive) existe entre un terme et lui-même, ce qu’on écrit : xRx. Soutiendra-t-on alors qu’elle a encore deux termes ? Ce serait dire que x est à la fois un et deux.

32La seule formule logistique que M. Poincaré ait critiquée en elle-même (et non dans sa traduction verbale) est la suivante, de M. Burali-Forti (et encore dois-je avertir le lecteur qu’elle ne fait nullement partie du corps de doctrine « péanien », et que les symboles qui y figurent sont propres à l’auteur et à la théorie en question) :

1 = ℩T’{Ko ⋂ (uh) ɜ (u ε Un)}.

33M. Poincaré dit à ce propos : « J’entends trop mal le Péanien pour oser risquer une critique. » Cet aveu nous désarmerait, si aussitôt après il ne « risquait » cette critique : « je crains bien que cette définition ne contienne une pétition de principe, attendu que j’aperçois 1 en chiffre dans le premier membre et Un en toutes lettres dans le second » (p. 823). M. Poincaré s’en est trop rapporté à son « intuition », et c’est ce qui l’a trompé. Au lieu de « risquer » cette critique sur le simple témoignage de ses yeux, il aurait dû, conformément à la règle fondamentale de la méthode mathématique, substituer le définissant au défini ; et pour s’assurer si vraiment cette définition contient une pétition de principe, il n’avait qu’à se reporter à la définition du symbole « Un ». Cette définition se trouve dans le mémoire Le classi finite, auquel M. Burali-Forti se réfère expressément au début du mémoire cité par M. Poincaré. La voici :

Df      Un = K – ι ∧ ⋂ x ɜ (y ε x . ⊃y . x = ι y)

34« Un est la classe des classes x non nulles telles que, si y appartient à x, x est la classe « égal à y » ». En d’autres termes, Un est la classe des classes singulières, ou, selon la conception de M. Russell, le nombre cardinal Un. Cette définition est équivalente à celle que nous avons donnée plus haut, et elle n’implique pas plus qu’elle l’idée à définir. Quant à la formule que M. Poincaré a critiquée, elle signifie : « 1 est le type d’ordre des classes ordonnées dont le nombre cardinal est Un ». Ainsi elle consiste à définir le nombre ordinal 1 au moyen du nombre cardinal Un, et cette explication suffit à dissiper toute apparence de cercle vicieux. On voit par là combien la critique de M. Poincaré est « risquée ».

35De même, il semble considérer comme insignifiante la formule que M. Burali-Forti déduit de sa définition :

1 ε No

36Il la traduit en effet inexactement : « Un est un nombre » ; et il s’égaie ensuite aux dépens de la pasigraphie, qui « suffit » à « démontrer que un est un nombre » (p. 824). S’il avait lu plus attentivement le mémoire de M. Burali-Forti (même dans la « traduction interlinéaire italienne »), il aurait su que No signifie « nombre ordinal », et peut-être eût-il trouvé moins ridicule une formule qui nous apprend que 1 est un nombre ordinal. Lors même que cette formule n’eût rien « appris » à M. Poincaré, il n’était pas encore fondé à la juger insignifiante, et cela pour deux raisons. D’une part, il suffit de cette formule pour prouver que la classe No existe, et ce résultat n’est pas à dédaigner, puisque M. Poincaré attache tant d’importance aux théorèmes d’existence, et reproche à tort aux logisticiens de les négliger. D’autre part, pour prouver que 2, 3,… tous les nombres entiers finis sont des nombres ordinaux, on est obligé d’employer le principe d’induction, et pour cela de partir du fait que 1 est un tel nombre. Si évident ou si trivial que ce fait puisse paraître à M. Poincaré, il importait de le démontrer, et la formule dont il se moque prouve précisément la conscience et la rigueur des logisticiens. Toutes les fois, du reste, qu’on a à appliquer le principe d’induction, on est obligé de partir du fait que la proposition à démontrer est vraie pour 0 ou pour 1 ; ce fait est en général évident, mais il n’en est pas moins indispensable de le constater ou de le démontrer, car il est le point de départ nécessaire du raisonnement par récurrence. Les plaisanteries de M. Poincaré sont donc tout à fait mal venues en cette circonstance.

  • 36 [Felix] Bernstein, [« Über die Reihe der transfinie Ordnungszahlen »], Math[ematische] Ann[alen], t (...)
  • 37 Rend[iconti del] Circ[olo] Mat[ematico] di Palermo, 1897, pp. 154-164, 260. (Dans l’avant-dernière (...)

37Quant à la contradiction ou au paradoxe découvert par M. Burali-Forti dans la théorie des nombres ordinaux transfinis, et dont M. Poincaré tire argument contre la Logistique, je n’en dirai qu’un mot, à savoir, que cette contradiction n’est nullement imputable à la « pasigraphie », c’est-à-dire à l’emploi des symboles logiques ; et la preuve en est que des mathématiciens totalement étrangers à la Logistique la reconnaissent, la discutent, et se dépensent depuis plusieurs années en vains efforts pour la résoudre36. C’est une difficulté de pure logique, qui réside dans les principes de la Logique des classes (c’est-à-dire de la partie ancienne et traditionnelle de la Logique). Voici du reste comment M. Burali-Forti l’expose dans une lettre qu’il a bien voulu m’écrire à ce sujet : « La réponse à la critique que M. Poincaré vient de m’adresser, est déjà contenue dans mon mémoire Una questione sui numeri transfiniti37. Je rappelle en peu de mots tout ce qui, je crois, suffit à poser clairement la question.

  • 38 Mais quelques-uns de ces derniers peuvent n’être pas contenus dans ma classe No.
  • 39 Il faut bien remarquer : les No, et non « les nombres ordinaux de M. Cantor ».

38« Du groupe des classes bien ordonnées de M. G. Cantor je tire un groupe spécial, celui des classes parfaitement ordonnées (p. 157, prop. 4). Une classe parfaitement ordonnée est aussi une classe bien ordonnée (p. 260) ; il m’est donc permis de considérer, avec M. Cantor, le type d’ordre d’une classe parfaitement ordonnée. J’appelle No l’ensemble des types d’ordre des classes parfaitement ordonnées (p. 161, prop. 25). Chaque No est un nombre ordinal de M. Cantor38. Admettant le théorème de M. Cantor, « si a, b sont des nombres ordinaux, on doit toujours avoir a < b, ou a = b, ou a > b », je démontre que : « Les No39, ordonnés en sens croissant, forment une classe parfaitement ordonnée. »

39« Cela posé, si M. Poincaré veut encore affirmer que Ω existe uniquement parce qu’il m’a plu de poser :

Ω = T’ (No, ε̅ >)

  • 40 [Cette lettre de Burali-Forti n’est connue que par la citation qu’en fait Couturat, puisque l’origi (...)

40« Ω est le nombre ordinal des No ordonnés en sens croissant », il faut : ou qu’il démontre que le théorème que je viens de citer est faux ; ou qu’il dénie aussi à M. Cantor le droit de considérer le nombre ordinal des éléments d’une classe bien ordonnée, c’est-à-dire qu’il nie l’existence des nombres transfinis40. »

  • 41 Voir Russell, On some difficulties in the theory of transfinite numbers and order types, dans les P (...)

41En somme, M. Burali-Forti croit que la contradiction vient des sens différents qu’on donne au mot « nombre ordinal », et qu’elle dépend, au fond, de l’extension et des propriétés qu’on attribue au concept de classe. M. Russell croit qu’on ne peut la résoudre qu’en restreignant ou même en sacrifiant la notion de classe ; en gros, il faut renoncer à ce principe, en apparence évident et clair pour l’intuition, que chaque concept détermine une classe qui en est l’extension41. Que si la Logistique a servi à découvrir cette contradiction, on ne peut que lui en faire un mérite, et non pas un reproche, car cela prouve qu’elle est un instrument de précision pour la pensée. Mais M. Poincaré est plus exigeant : il somme la Logistique de résoudre hic et nunc la contradiction qui est devenue la crux mathematicorum. Il dit de MM. Russell et Whitehead : « S’ils avaient pu… la purger (la théorie des nombres infinis) de toute contradiction, ils nous auraient rendu un service signalé » (p. 29). Les logisticiens ne sont pas obligés de résoudre des difficultés qui arrêtent tous les mathématiciens, y compris M. Poincaré, et, modernes Œdipes, de répondre aux énigmes de tous les sphinx qu’on rencontre aux carrefours de la science ; mais s’ils réussissent là où les autres ont échoué, M. Poincaré voudra bien se rappeler cette phrase, et faire honneur de la solution à la Logistique.

III

42J’arrive aux critiques spéciales que M. Poincaré adresse aux logisticiens au sujet de leur philosophie des mathématiques, en particulier, de leur théorie du nombre entier. Et d’abord, il y a certains arguments qu’on s’étonne de trouver sous sa plume, mais qui sont heureusement peu propres à impressionner des philosophes. Tel est par exemple celui-ci : « Les définitions du nombre sont très nombreuses et très diverses… Si l’une d’elles était satisfaisante, on n’en donnerait plus de nouvelles » (p. 821). On pourrait opposer la même objection, non seulement à toute spéculation philosophique (c’est l’argument vulgaire des sceptiques et des positivistes), mais à toute théorie scientifique : M. Poincaré le sait bien. Si cet argument avait quelque valeur, ce serait la négation de tout progrès, même scientifique. En mathématiques, en particulier, il existe de nombreuses définitions du nombre irrationnel, de la limite, de l’intégrale définie, etc. En a-t-on jamais conclu que toutes ces définitions sont mauvaises ? Non pas, mais simplement que certaines sont meilleures que les autres, sans que celles-ci soient à proprement parler défectueuses ou vicieuses. Du reste, si l’on prenait cet argument au pied de la lettre, il prouverait tout au plus que toutes les définitions proposées sont mauvaises, sauf une, la dernière : par conséquent il ne porte pas contre la définition de M. Russell… tant quelle sera la dernière proposée.

43M. Poincaré s’étonne que les logisticiens définissent l’addition arithmétique au moyen de l’addition logique, qui lui paraît reposer sur un acte d’intuition analogue, mais « plus complexe » (p. 832). Mais d’abord, s’il faut vraiment un acte d’intuition pour l’une ou l’autre de ces opérations, n’est-il pas avantageux et méritoire de définir l’une par l’autre, de manière à réduire au minimum les actes d’intuition ? L’addition logique n’est pas une invention des logisticiens ; elle a existé de tout temps dans tous les esprits ; c’est la combinaison qu’exprime la conjonction et dans les expressions suivantes ; « Les Français et les Anglais », « les philosophes et les mathématiciens ». La Logique, même classique, ne peut pas s’en passer. Ce n’est donc pas arbitrairement, comme semble le croire M. Poincaré, qu’on introduit cette notion « dans le chapitre intitulé Logique » (p. 831). Étant donné qu’elle est indispensable à la Logique, toute la question est de savoir si l’on peut l’employer à définir l’addition arithmétique. Cette idée est trop naturelle pour que MM. Peano et Russell en aient eu l’initiative ; elle se trouve déjà nettement exprimée chez Lambert. Pour la réfuter, M. Poincaré aurait dû montrer comment et pourquoi l’addition arithmétique ne peut pas se définir au moyen de l’addition logique, et par suite critiquer la définition formelle qu’en donne M. Whitehead dans le mémoire que j’ai cité à plusieurs reprises. Ou, s’il croit que la notion d’addition logique est « plus complexe » que celle d’addition arithmétique, qu’il essaie, au rebours des logisticiens, de définir la première au moyen de la seconde. C’est le meilleur moyen qu’il ait de prouver que la Mathématique est indépendante de la Logique. En attendant, qu’il permette aux logisticiens d’observer le précepte classique : Les principes ne doivent pas être multipliés sans nécessité.

  • 42 [Poincaré écrivait en effet dans son premier article : « Stuart Mill disait que toute définition im (...)
  • 43 Euclide dit par exemple (IX, 20) : « Soit δ ε le plus grand des nombres premiers », puis il démontr (...)
  • 44 Les Principes des Mathématiques, p. 39.
  • 45 Par exemple, dans le Formulaire (t. V, P. 53) on définit le plus petit commun multiple de 2 nombres (...)

44M. Poincaré accuse solennellement les logisticiens d’avoir violé deux règles de méthode. La première consiste en ceci : toute définition mathématique suppose l’existence de l’objet défini et n’est valable qu’à cette condition (p. 819 ; cf. p. 833, p. 31). Eh bien ! cette condition n’est nullement une règle nécessaire, et les logisticiens n’avaient pas à la remplir. Il est inutile d’invoquer à ce sujet, en la corrigeant, l’opinion de Stuart Mill, dont l’autorité est plutôt médiocre en logique des mathématiques42. La condition que M. Poincaré prétend imposer aux logiciens est une exigence absolument gratuite, qui est désavouée par l’exemple des mathématiciens les plus rigoureux. Une définition n’est rien de plus qu’une imposition de nom : elle ne suppose nullement l’existence de son objet, et elle n’a pas besoin que cet objet existe pour être légitimée et valable. On peut fort bien définir un objet problématique, et démontrer ensuite, en vertu de sa définition même, qu’il n’existe pas43. On définit la dérivée ou l’intégrale d’une fonction en général ; cela ne suppose pas que toute fonction ait une dérivée ou une intégrale. Ce que M. Poincaré a voulu (ou dû) dire, c’est, tout au contraire : Une définition n’implique pas (n’entraîne pas) l’existence de l’objet défini, et celle-ci doit être démontrée ou postulée, si l’on veut pouvoir l’invoquer dans des raisonnements ultérieurs. C’est ce que nous avons dit nous-même44 ; c’est une règle bien connue de la méthode mathématique, et que les logisticiens observent plus rigoureusement que qui que ce soit. Il suffit de parcourir le Formulaire de M. Peano pour constater que chaque définition est accompagnée, quand il y a lieu, d’un théorème d’existence, qui détermine le plus souvent dans quelles conditions l’objet défini existe45.

  • 46 Chose curieuse, cette conception de l’existence logique ne paraît admissible que dans un panlogisme(...)
  • 47 Aussi, en Logistique, suffit-il qu’on ait une proposition de la forme : x ε u (x est un u) pour qu’ (...)

45Maintenant, en quoi consiste l’existence logique en question ? Selon M. Poincaré, « en mathématiques le mot exister ne peut avoir qu’un sens, il signifie exempt de contradiction » (p. 819). Nous regrettons de le contredire sur un point aussi élémentaire et aussi essentiel : mais l’existence logique (ou mathématique ; c’est tout un) est tout autre chose que l’absence de contradiction46. Elle consiste dans le fait qu’une classe n’est pas vide ; dire : « Il existe des a (au moins un a) » c’est, par définition, affirmer que la classe a n’est pas nulle. C’est justement pour cela que les mathématiciens ont coutume, pour prouver l’existence d’une classe, d’en donner un exemple, c’est-à-dire de montrer un individu qui appartient à cette classe ; et ils n’ont pas d’autre procédé pour démontrer un théorème d’existence (à moins de le ramener à un théorème ou postulat d’existence antérieur)47.

  • 48 Bien entendu, les classes elles-mêmes peuvent être considérées comme des individus (par rapport à d (...)
  • 49 Par exemple, quand nous parlions plus haut de l’existence du plus petit commun multiple ou du maxim (...)
  • 50 Il faut bien remarquer que, si la définition d’une classe n’a pas besoin de justification (cette cl (...)
  • 51 Cf. Russell, The existential import of propositions, ap. Mind, juillet 1905.

46Mais, dira-t-on, comment démontre-t-on l’existence de l’individu qu’on emploie comme exemple ? Ne faut-il pas que cette existence soit établie, pour qu’on puisse en déduire l’existence de la classe dont il fait partie ? — Eh bien ! non, si paradoxale que paraisse cette assertion, on ne démontre pas l’existence d’un individu comme tel. Les individus, par cela même qu’ils sont des individus, sont toujours considérés comme existants ; ou plutôt, la question ne se pose pas pour eux, puisque l’existence logique est une propriété des classes, et non des individus48. On n’a jamais à exprimer qu’un individu existe, absolument parlant, mais seulement qu’il existe dans une classe, c’est-à-dire en fait partie comme élément49. Lorsqu’un individu est défini au moyen de termes généraux, son existence se démontre en deux étapes : cet individu étant défini comme LE u (u étant une certaine classe), on démontre que la classe u existe (c’est-à-dire n’est pas nulle), puisqu’elle est singulière (ne contient qu’un seul élément ; voir plus haut la définition de la classe singulière). La définition de l’individu est alors justifiée50. Mais ce qu’on démontre en réalité, ce n’est pas l’existence de l’individu comme tel, c’est l’existence de la classe dont il fait partie51.

  • 52 Après avoir écrit ces lignes, nous retrouvons la même doctrine chez M. Frege, Grundlagen der Arithm (...)

47On le voit, il n’est pas question dans tout cela de contradiction. Quelle est donc la relation entre l’existence d’une classe et l’absence de contradiction dans sa définition ? Elle consiste en ceci, que, si une définition est contradictoire, aucun individu n’en remplit les conditions, et par conséquent la classe correspondante n’existe pas. La contradiction est donc un critérium d’existence purement négatif, elle est le critérium de non-existence. Et réciproquement, si une classe existe, c’est-à-dire contient quelque élément, on pourra en conclure, comme dit M. Poincaré (p. 819), que sa définition n’est pas contradictoire. L’existence apparaît ainsi comme le critérium de la non-contradiction. Mais, remarquons-le bien, la relation entre l’existence et la contradiction est juste l’inverse de celle qu’affirme M. Poincaré : ce n’est pas la non-contradiction qui prouve l’existence, c’est l’existence qui prouve la non-contradiction52.

  • 53 Communication au 2e Congrès int. des mathématiciens (Paris, 1900) ; v. Compte rendu de ce Congrès ; (...)
  • 54 Communication au 3Congrès int. des mathématiciens (Heidelberg, 1904) ; v. L’Enseignement mathémat (...)
  • 55 Le problème n° 2 de M. D. Hilbert, dans L’Enseignement mathématique, t. V, p. 85-91 (1903).
  • 56 Essai d’une théorie algébrique des nombres entiers, dans Bibliothèque du (1er) Congrès int. de Phil (...)

48C’est donc émettre une exigence arbitraire et abusive que de prétendre qu’une définition n’est valable que si l’on prouve d’abord qu’elle n’est pas contradictoire. Au surplus, nous voudrions bien savoir comment on pourrait prouver directement qu’une définition (ou un système de postulats) n’est pas contradictoire. La présence d’une contradiction peut bien se prouver ; mais l’absence de toute contradiction est, comme l’innocence d’un accusé, un fait négatif qui ne peut pas se prouver directement. M. Hilbert a, lui aussi, affirmé (en 1900) qu’on peut trouver une démonstration directe de la compatibilité des axiomes de l’Arithmétique53 ; et c’est en 1904 seulement qu’il a cru trouver une telle démonstration54. Mais cette démonstration n’est pas satisfaisante, de l’avis de M. Poincaré lui-même. Si « M. Hilbert se dérobe » ou a échoué, ce n’est pas « parce que la difficulté est trop grande », mais parce que le problème qu’il s’est proposé paraît insoluble. M. Padoa avait déjà répondu à M. Hilbert55, en rappelant que, dans sa propre théorie des nombres algébriques56, il a démontré, par la méthode exemplaire qui est la seule possible, l’irréductibilité de ses postulats et leur indépendance réciproque. Et il concluait par cette phrase : « Les contradictions ou les dépendances des propositions ne peuvent être démontrées que par des raisonnements déductifs, tandis que les non-contradictions ou les indépendances des propositions ne peuvent être démontrées que par des constatations (on constate que des interprétations convenablement choisies des symboles vérifient ou ne vérifient pas les propositions en question). » En effet, une contradiction ou une dépendance se traduit par une proposition de non-existence ou par une implication ; tandis qu’une non-contradiction ou une indépendance se traduit par une proposition d’existence ou par une non-implication. Et cette différence équivaut à celle des propositions universelles et particulières de la Logique classique. On sait que l’on ne peut établir des propositions vraiment universelles que par démonstration ; au contraire, pour établir une proposition particulière, il suffit de citer un seul cas où elle est vraie ; et généralement on n’a pas d’autre moyen, car on ne peut pas la déduire de prémisses universelles sans l’adjonction de quelque proposition particulière. Or, de même qu’il est impossible de déduire une particulière de prémisses universelles, c’est-à-dire en définitive une négation de plusieurs affirmations, il est impossible de prouver déductivement une existence ou une non-implication en partant de non-existences ou d’implications. Ainsi la méthode directe que MM. Hilbert et Poincaré préconisent est impraticable ; ce dernier n’a donc pas le droit de l’imposer aux logisticiens, et d’exiger d’eux une démonstration que M. Hilbert n’a pas pu fournir. Il pourrait tout aussi bien les convaincre d’impuissance en les sommant de prendre la lune avec les dents.

49À défaut d’une démonstration directe, M. Poincaré suggère une méthode de vérification bien singulière : pour prouver qu’un système de postulats n’est pas contradictoire, il faudrait, selon lui, confronter deux à deux toutes leurs conséquences pour constater qu’« il n’y en a pas deux dont l’une soit la contradictoire de l’autre » (p. 820). Mais, comme il le reconnaît lui-même aussitôt, cette méthode est inapplicable, si les conséquences à examiner sont en nombre infini (comme c’est le cas en Arithmétique). J’ajoute que, en fait, elle n’a jamais été appliquée. On n’a jamais vu un mathématicien perdre son temps à comparer entre elles toutes les propositions d’une théorie pour s’assurer que les définitions dont il est parti ne contiennent pas quelque contradiction, et que par suite les entités définies existent réellement. Où en serait-on, si à chaque définition nouvelle il fallait s’occuper d’une pareille vérification ? — Mais, dira-t-on, c’est tout l’ensemble des mathématiques qui constitue cette vérification : c’est le fait qu’on n’a jamais rencontré de contradiction entre deux propositions quelconques, sans qu’on ait eu besoin pour cela de les confronter deux à deux. — Fort bien : mais cette vérification a posteriori vaut pour la Logistique comme pour les Mathématiques, puisque la Logistique prétend simplement formuler les principes et les définitions premières des Mathématiques. On lui demande, par exemple, si les postulats par lesquels on définit le nombre entier ne sont pas contradictoires. Elle n’a qu’à répondre : J’en déduis tous les théorèmes de l’Arithmétique classique ; vous n’y avez jamais trouvé la moindre contradiction, lorsque vous les faisiez reposer sur de vagues et confuses intuitions ; pourquoi voulez-vous qu’il y en ait davantage aujourd’hui ? Ce sont les mêmes propositions, seulement ramenées déductivement à quelques principes. En tout cas, l’onus probandi incombe à ceux qui croient que ces principes sont contradictoires : mais, encore une fois, on prouve bien la contradiction, mais non la non-contradiction.

50La méthode en question n’est pas seulement pratiquement inapplicable, et inappliquée en fait : elle est logiquement illégitime. En effet, il ne suffit pas de rapprocher deux propositions pour découvrir qu’elles sont contradictoires, à moins que la contradiction ne soit formelle et explicite. Par exemple, il n’y a pas de contradiction formelle entre ces deux propositions : « ABCD est un parallélogramme non rectangle » et « ABCD est un quadrilatère inscriptible dans un cercle » ; la contradiction n’apparaît que lorsque l’on connaît les propriétés du quadrilatère inscriptible, c’est-à-dire lorsqu’on déduit les conséquences de la seconde proposition. Pour rendre manifeste la contradiction implicite et latente de deux postulats, il faudrait donc en déduire toutes les conséquences possibles (en nombre infini). Or cela suppose la définition suivante : « Deux propositions sont contradictoires entre elles, quand elles ont des conséquences contradictoires entre elles. » Mais une telle définition est illogique, car elle constitue, un circulus in definiendo. Ainsi le critérium de non-contradiction que M. Poincaré propose implique, non seulement un progrès à l’infini, mais encore un cercle vicieux.

  • 57 Nous avons déjà donné dans notre article sur La Philosophie des mathématiques de Kant (Revue [de Mé (...)
  • 58 [Note précédente.]

51M. Poincaré sait bien que la méthode qu’il propose est impraticable ; aussi essaie-t-il de la corriger au moyen du principe d’induction : « Peut-être à la rigueur pourrait-on trouver un moyen de montrer qu’un raisonnement nouveau ne pourra pas introduire de contradiction, pourvu que l’on suppose que, dans la suite des raisonnements antérieurs, nous n’en ayons pas rencontré jusqu’ici » (P. 833). On remarquera la forme très dubitative sous laquelle cette hypothèse est émise : c’est qu’en effet c’est une hypothèse en l’air, qui ne s’appuie sur aucun exemple ni aucun précédent, et qui paraît inventée à plaisir, uniquement pour pouvoir imputer aux logisticiens un cercle vicieux. Or non seulement elle n’est pas vraie, c’est-à-dire qu’on n’a jamais employé un mode de raisonnement aussi bizarre, mais elle est invraisemblable. Pour le montrer, précisons-la au moyen des indications de M. Poincaré lui-même. Elle suppose, d’abord, qu’on peut former « une série de syllogismes » en partant des axiomes comme prémisses (p. 32) ; puis que, « quand on a fini le ne syllogisme, on voit qu’on peut en faire encore un autre, et c’est le n + 1e » ; enfin, qu’on peut montrer que, « s’il n’y a pas eu de contradiction au ne syllogisme, il n’y en aura pas davantage au (n + 1e) ». Toutes ces hypothèses sont absolument gratuites, et contraires à toute vraisemblance. D’abord, les raisonnements mathématiques ne consistent pas, en général, en une suite linéaire de syllogismes ; autrement, le type du raisonnement mathématique serait le sorite. Faut-il répéter que le syllogisme n’est nullement le type unique de toute déduction, et qu’il y a bien d’autres principes ou règles logiques qui interviennent dans les raisonnements ? Ensuite, les déductions simples qui composent un raisonnement ne se rangent pas en une suite linéaire et monotone, comme l’imagine M. Poincaré ; elles s’enchaînent, s’unissent, se séparent et s’entre-croisent, de sorte que l’image exacte du raisonnement mathématique n’est pas une chaîne, mais un filet à mailles juxtaposées ou encore un arbre généalogique57. Dès lors, que signifie le nombre des raisonnements qu’on aura faits à un moment donné, si leur ordre linéaire est toujours plus ou moins arbitraire, et provient uniquement de la nécessité pratique de les énoncer successivement dans le discours (parce que le temps n’a qu’une dimension) ? « Le nombre n sert à compter une série d’opérations successives », dit M. Poincaré ; que devient son argument, si ces opérations ne sont pas successives, ou ne le sont que par accident ? Enfin, peut-on même affirmer que ce nombre n existe à chaque instant, et qu’il est bien déterminé ? On comprendrait qu’on pût compter les déductions simples, si elles se réduisaient toutes au type du syllogisme ; mais comment compter des déductions hétérogènes qui procèdent de règles diverses ? Dira-t-on que chaque application d’un principe logique constituera une unité ? Mais, outre que tous les principes n’ont pas la même importance déductive, il peut se faire que plusieurs principes interviennent à la fois dans une déduction élémentaire. C’est ce qui arrive, notamment, lorsque l’un intervient comme prémisse, et l’autre comme règle de déduction (voir la note de la p. 23858). Tout cela prouve, en somme, que le nombre des déductions (syllogistiques ou autres) n’a aucune réalité objective, et que, si l’on veut les numéroter, ce numérotage est arbitraire. Dès lors, comment admettre qu’on puisse établir une proposition dépendant de ce nombre, et concluant de n à n + 1 ? Pas plus que « le temps », le nombre « ne fait rien à l’affaire ». Le fait qu’on n’aura pas trouvé de contradiction au cours des n premières déductions peut-il être considéré comme une propriété du nombre n ou, plus exactement, comme une fonction de ce nombre ? S’il n’en est pas ainsi, on ne peut pas plus conclure des n premières déductions à la (n + l)e, qu’on ne peut prévoir après n tirages au sort quel sera le (n + l)e. En résumé, même dans l’hypothèse chimérique inventée par M. Poincaré pour le besoin de la cause, il n’y aurait pas moyen d’appliquer le principe d’induction, car il ne signifierait rien. Or c’est sur cette hypothèse seule que M. Poincaré se fonde pour attribuer aux logisticiens un cercle vicieux qu’ils n’ont pas commis : « Avec des si, dit le bon sens populaire, on mettrait Paris dans une bouteille. » C’est avec des si que M. Poincaré parvient à imputer un paralogisme aux logisticiens.

  • 59 Cf. p. 829 : « Sans doute on verrait facilement ( ?) qu’une opération nouvelle ne peut introduire d (...)

52Malheureusement, M. Poincaré paraît oublier ailleurs tous ses si, quand il affirme catégoriquement que le principe d’induction est nécessairement invoqué dans toute démonstration de la compatibilité des axiomes de l’Arithmétique (ou d’un système quelconque d’axiomes). Il dit par exemple : « il faut recourir à des procédés de démonstration où en général, on sera forcé d’invoquer ce principe d’induction complète qu’il s’agit précisément de vérifier » (p. 820). Ne croirait-on pas que la méthode fantaisiste qu’il propose est d’un usage courant ? Ailleurs, il la cite comme une des « applications possibles du principe d’induction » (p. 32), comme si cette application avait été réellement faite. Enfin il dit, à propos du théorème de Bernstein : « si jamais on invente une autre démonstration, il faudra encore s’appuyer sur ce principe, puisque les conséquences possibles des axiomes, dont il faut montrer qu’elles ne sont pas contradictoires, sont en nombre infini » (p. 31). Ainsi il suffit qu’on ait affaire à une infinité de propositions (ou d’objets quelconques) pour que, selon M. Poincaré, le principe d’induction intervienne nécessairement59. Il a totalement oublié que l’application de ce principe qu’il a proposée est soumise à des hypothèses extrêmement restrictives.

53Au fond, il paraît confondre l’induction complète ou mathématique avec l’induction pure et simple. Comment en effet concevoir que de l’absence de contradiction dans une suite de raisonnements on puisse inférer l’absence de contradiction dans les raisonnements suivants ? Sans doute, si cette inférence était certaine, et pouvait s’exprimer par la formule précise : « Si l’on n’a pas trouvé de contradiction dans les premiers n raisonnements, on n’en trouvera pas non plus dans les (n + 1) premiers », il y aurait lieu d’appliquer le principe d’induction, et la conclusion serait également certaine. Mais l’inférence en question ne peut être que tout au plus probable, et par suite elle ne constitue qu’une induction vulgaire, et non une induction mathématique. Pour emprunter un exemple à M. Poincaré, la géométrie de Lobatchevsky, ne comprenant qu’un nombre fini de théorèmes, ne prouvait pas absolument que le postulat d’Euclide fût indépendant des autres axiomes géométriques (c’est-à-dire que sa négation fût incompatible avec eux) ; elle ne donnait à cette proposition qu’une probabilité d’autant plus haute que le nombre des théorèmes de la nouvelle géométrie devenait plus grand. Mais il y a toujours un abîme entre une probabilité, si grande qu’elle soit, et la certitude apodictique. Or la probabilité caractérise les résultats de l’induction vulgaire, tandis que l’induction mathématique est un procédé rigoureux qui engendre la certitude. Si donc l’inférence qu’on tire des raisonnements déjà faits aux raisonnements futurs n’a qu’une valeur probable (comme le constate le bon sens, ce « sûr instinct » auquel M. Poincaré se rapporte), elle repose sur une induction pure et simple, et non sur le principe de l’induction mathématique.

IV

  • 60 « J’aurais voulu réfuter la démonstration de MM. Russell et Couturat. Ce qui m’en empêche, c’est qu (...)

54Quoi qu’il en soit de la question générale de savoir si une définition exige ou non la démonstration de l’existence de son objet, et comment on peut ou doit démontrer cette existence, M. Poincaré commet une erreur matérielle, quand il reproche à M. Russell de n’avoir donné aucune démonstration de l’existence des nombres entiers60. Et d’abord, je constate que M. Poincaré a constamment en vue la définition par postulats (qui est celle de M. Peano), et ne tient aucun compte de la définition nominale que M. Russell lui substitue. La phrase de moi qu’il cite à ce sujet : « Cette définition n’assure ni l’existence ni l’unicité de l’objet défini » s’applique uniquement à la définition par postulats ; elle précède et prépare dans mon exposé la définition nominale. J’avoue avoir négligé de montrer que cette dernière permet d’établir l’existence logique des nombres entiers, parce que cette existence me paraissait à peu près évidente. Mais M. Poincaré se trompe en imputant la même négligence à M. Russell, justement parce qu’il croit que je l’ai « suivi pas à pas ». Sans doute, j’aurais mieux fait de suivre pas à pas mon modèle ; mais alors ce n’est plus une analyse, mais une traduction que j’aurais faite ; cela eût peut-être mieux valu pour tout le monde. Quoi qu’il en soit, je vais réparer mon omission (et le tort involontaire que j’ai fait à M. Russell) en citant ou résumant ici les principaux passages où il démontre l’existence des nombres entiers.

  • 61 The Principles of Mathematics, p. IX.

55Car s’il y a un reproche que M. Russell ne mérite pas, d’une manière générale, c’est celui de négliger les théorèmes d’existence. Dès sa Préface, au contraire, ce souci se manifeste expressément : « La nécessité d’établir le théorème d’existence dans chaque cas (c’est-à-dire la preuve qu’il y a des entités de l’espèce en question) m’a conduit à plusieurs définitions qui paraissent très différentes des notions usuellement attachées aux termes en question. Telles sont par exemple les définitions des nombres cardinaux, ordinaux et complexes. Dans les deux premières, et dans plusieurs autres cas, la définition [des nombres] comme classes, dérivée du principe d’abstraction, se recommande principalement par le fait qu’elle ne laisse aucun doute touchant le théorème d’existence61. » Ainsi dans une préface qui révèle (comme d’ordinaire) les idées directrices de tout l’ouvrage, M. Russell attache la plus grande importance aux théorèmes d’existence, puisque c’est pour cela qu’il préfère les définitions nominales aux définitions par postulats.

56Ce même souci apparaît naturellement dans les chapitres où il expose et commente ces définitions. Par exemple, au chapitre 38 (Ordinaux transfinis), il indique comment on peut établir l’existence d’un nombre cardinal fini : 0 étant un nombre cardinal, le nombre des nombres cardinaux de 0 à n est n + 1 ; donc n + 1 existe, et diffère de tous ses prédécesseurs. Si tous les nombres cardinaux finis existent, il existera une classe ayant pour nombre cardinal α0 et pour nombre ordinal ω, ce qui établit l’existence de ces deux nombres (§ 300, p. 322). Au chapitre 44 (sur les nombres complexes), M. Russell critique la définition ordinaire des nombres complexes, parce qu’elle ne montre pas leur existence, et lui substitue une définition en termes de relations, qui établit au contraire cette existence (§ 360, p. 379). Au chapitre 49 (définition de divers espaces), il s’occupe du « théorème d’existence » relatif aux divers espaces projectifs, et il rappelle que ce théorème peut se démontrer en construisant un espace projectif avec des nombres complexes (préalablement définis et démontrés existants) (§ 413, p. 431). Enfin, le dernier paragraphe de son ouvrage (c’est-à-dire celui qui échappe le moins à un lecteur attentif, celui qui contient les conclusions de l’auteur ou les idées auxquelles il tient le plus) commence par les lignes suivantes :

57« Les théorèmes d’existence des mathématiques (c’est-à-dire les démonstrations que les diverses classes définies ne sont pas nulles) sont presque tous tirés de l’Arithmétique. Il est utile de rassembler ici les plus importants d’entre eux. L’existence de zéro dérive du fait que la classe nulle appartient à cette classe ; l’existence de 1, du fait que zéro est une classe singulière (car la classe nulle est son seul élément). Par suite, du fait que, si n est un nombre fini, n + 1 est le nombre des nombres de 0 à n (inclus tous deux), résulte le théorème d’existence pour tous les nombres finis. Puis, de la classe des nombres cardinaux finis eux-mêmes résulte l’existence de α0, le plus petit des nombres cardinaux infinis ; et de la suite des nombres cardinaux finis rangés par ordre de grandeur résulte l’existence de ω, le plus petit des nombres ordinaux infinis… » (§ 474, p. 497). Le reste du paragraphe est consacré à rappeler les autres théorèmes d’existence contenus dans le cours de l’ouvrage. Et il se termine par cette phrase : « Ainsi la chaîne des définitions et des théorèmes d’existence est complète, et la nature purement logique des mathématiques est entièrement établie. » Tel est le dernier mot de l’auteur ; telle est la démonstration dont M. Poincaré affirme et regrette l’absence !

58Pour permettre aux lecteurs d’apprécier cette démonstration, je rappellerai ici la définition nominale du nombre entier, en conservant la mauvaise habitude de l’accompagner d’une « traduction interlinéaire » à l’usage des « profanes » :

Df      0 = ι ∧

59« Zéro est la classe qui comprend la seule classe nulle. »

Df       N = x ɜ (0 ε s : n ε s . n . n + 1 ε s : ⊃s . x ε s)

  • 62 V. Les Principes des Mathématiques, p. 52 ; Revue [de Métaphysique et de Morale], XII, 218.

60« L’ensemble des nombres entiers finis (N) est la classe des x contenus dans toute classe s qui contient 0, et qui contient n + 1 dès qu’elle contient n. » On sait que l’addition arithmétique (des nombres cardinaux en général) a été définie en fonction de l’addition logique62 ; et l’on a vu plus haut la définition nominale du nombre cardinal 1, de sorte que le symbole (n + 1 ) qui figure dans la formule précédente est défini nominalement, comme le symbole 0. On sait aussi que l’implication placée entre parenthèses est la formule du principe d’induction ; et c’est en ce sens que nous soutenons que les nombres entiers finis sont définis au moyen du principe d’induction. Plus exactement, le principe d’induction se traduit par la formule suivante, qui se déduit de la définition précédente par des transformations purement logiques :

ε s : n ε s . n . n + 1 ε s : s . N ⊃ s

61« Si une classe quelconque s contient 0, et si elle contient n + 1 dès qu’elle contient n, elle contient tous les nombres finis (c’est-à-dire la classe N). »

62De cette proposition on déduit enfin celle-ci, toujours par voie logique :

n ε N . ⊃n . n + 1 ε N

  • 63 V. Whitehead, On cardinal numbers, dans American Journal of Mathematics, t. XXIV (1902). On remarqu (...)

63« Si n est un nombre entier fini, n + 1 est un nombre entier fini63. »

64Cela posé, voici comment on établit l’existence des nombres entiers. La classe 0 existe, puisqu’elle contient un élément (la classe nulle). La classe 1 définie comme la classe des Classes singulières existe, puisqu’elle contient un élément (la classe 0, qui est singulière). La classe 2 existe, car il y a une classe de 2 éléments, à savoir celle que forment 0 et 1. De même, généralement, la classe (n + 1) existe, car (n + 1 ) est le nombre des nombres de 0 à n (lesquels sont des classes existantes).

65En un autre sens, les nombres 0, 1, 2, 3…, existent comme individus, c’est-à-dire comme éléments de la classe N ; et cela se traduit, nous l’avons vu, par des formules du type : n ε N. En premier lieu, 0 vérifie le principe d’induction, car on a (en substituant 0 à x) :

ε s : n ε s . n . n + 1 ε s : s . 0 ε s

66ce qui est évident, en vertu du principe de simplification, puisque la thèse (0 ε s) figure en facteur dans l’hypothèse. Ainsi 0 est un nombre entier fini (0 ε N). Dès lors, en vertu de la proposition :

n ε N . ⊃n . n + 1 ε N

67on peut démontrer que la classe N, qui comprend 0, comprend tous les nombres entiers qu’on obtient en ajoutant 1 à 0, à 1, à 2…, à chaque nombre entier déjà obtenu.

68On voit quel est l’avantage de cette définition nominale sur la définition par postulats. M. Poincaré, qui ne considère que celle-ci, pose la question de la compatibilité des postulats, parce qu’on peut en effet se demander si ces postulats ne se contredisent pas entre eux. Mais dans une définition nominale une telle question ne se pose pas, ou tout au moins est singulièrement simplifiée, puisqu’une telle définition est constituée par une seule formule. Il y a entre ces deux sortes de définitions la même différence qu’entre une équation et sa solution : on peut se demander si une équation sous sa forme primitive a des racines réelles ; on n’en peut plus douter lorsqu’on en a tiré la formule de solution.

69À la théorie précédente, qui définit les nombres entiers finis par le principe d’induction, M. Poincaré objecte que ce principe est aussi essentiel à la théorie des nombres infinis qu’à celle des nombres finis, parce qu’il est impliqué dans la démonstration du théorème de Bernstein (p. 27). Mais d’abord, le théorème de Bernstein n’est nullement le « théorème fondamental » de la théorie des nombres infinis : on peut constituer sans lui toute l’Arithmétique des nombres infinis, définir leur addition, leur multiplication, leur élévation aux puissances, leur inégalité, etc. C’est ce que montre l’important mémoire de M. Whitehead, auquel nous nous sommes référé, et que M. Poincaré s’abstient de discuter. C’est également ce qu’a montré un auteur étranger à la Logistique, M. Schönflies, dans son Rapport sur la théorie des ensembles, en définissant les notions susdites dès le chapitre I, alors que le théorème de Schröder-Bernstein n’apparaît qu’au chapitre III. Ensuite, ce théorème ne porte pas, à proprement parler, sur les nombres infinis ; car il s’agit de savoir dans quelles conditions deux ensembles infinis ont le même nombre. C’est une question qui concerne moins l’Arithmétique pure que son application ; de même que la question si difficile et si controversée, de savoir si le nombre cardinal du continu est un des Alephs de G. Cantor, n’entache nullement la théorie arithmétique des Alephs, et porte seulement sur la nature du continu.

  • 64 Par exemple, dans la démonstration du théorème sur la somme des angles d’un triangle, on mène une p (...)
  • 65 V. The Principles of the Mathematics, § 229, p. 240 ; Les Principes des Mathématiques, p. 66 et 78.
  • 66 M. Poincaré dit lui-même : « Nos ensembles An et Bn sont définis par récurrence, et on raisonne sur (...)

70Pour prouver que le principe d’induction n’est pas la définition du nombre fini, M. Poincaré emploie le raisonnement suivant : Dans la démonstration du théorème de Bernstein, « on s’appuie sur le principe d’induction qui, d’après les logisticiens, serait la définition du nombre fini. D’autre part, dans l’énoncé du théorème, il n’est pas question des nombres finis, mais seulement des nombres infinis. Nous devrions donc pouvoir démontrer le théorème sans nous appuyer sur le principe. Or cela est impossible ; c’est donc que ce principe n’est pas la définition de l’entier fini qui figure dans la démonstration, c’est-à-dire de l’indice n de l’ensemble A » (p. 30). D’abord, M. Poincaré n’a pas le droit d’affirmer que « cela est impossible » ; il a simplement constaté qu’une démonstration du théorème de Bernstein invoque le principe d’induction. Ensuite, il oublie que, si les nombres finis ne figurent pas dans l’énoncé, ils figurent dans la démonstration, à, titre d’auxiliaires, comme indices des deux suites d’ensembles, de même que certains éléments de figures entrent « par construction » dans la démonstration d’un théorème de géométrie sans faire partie de son énoncé64 ; et c’est pour cette raison que le principe d’induction intervient. M. Poincaré cherche à échapper à cette conséquence en ajoutant : « et en effet, si nous recherchons de quelle manière on a été amené à parler de cet indice, nous verrons que le principe n’y était pour rien » (p. 30). Pardon ! ce n’est pas le principe qui introduit l’indice, mais au contraire l’indice qui introduit le principe. M. Poincaré veut peut-être dire que les nombres finis n’interviennent que comme nombres ordinaux, comme simples numéros d’ordre. Mais le principe d’induction sert à définir aussi bien les nombres ordinaux finis que les nombres cardinaux finis (avec lesquels ils se confondent) ; plus généralement encore, comme nous l’avons dit après M. Russell, il sert à définir une progression quelconque, c’est-à-dire toute suite semblable à la suite des nombres entiers finis65. C’est parce que la démonstration en question contient une double progression qu’elle invoque le principe d’induction66. On peut donc dire que l’exception confirme la règle, puisque le principe d’induction n’apparaît dans la théorie des nombres infinis que lorsqu’on y fait intervenir les nombres finis. Pour prouver que ce principe n’est pas la définition ou l’essence des nombres finis, il faudrait produire une démonstration qui reposerait nécessairement sur ce principe, sans faire intervenir l’idée de nombre entier fini (cardinal ou ordinal) ni celle de progression.

  • 67 Les Principes des Mathématiques, p. 212.

71M. Poincaré reconnaît que le principe d’induction n’intervient pas en Géométrie, au moins dans une certaine mesure. Sans doute, il y intervient toutes les fois que l’on a à considérer des nombres entiers finis, comme dans la théorie des polygones (n-gones). Encore ici, l’exception confirme la règle. Néanmoins, il soutient que le principe de récurrence est nécessaire même à la Géométrie, parce que les théorèmes d’existence de la Géométrie reposent sur la considération de certains ensembles de nombres (p. 30). Mais cela vient de ce que ces nombres ont pour éléments ultimes les nombres finis ; c’est donc avec et par les nombres finis que le principe d’induction s’introduit en Géométrie. D’ailleurs, j’ai essayé de réduire à sa juste valeur cette intervention de l’idée de nombre en Géométrie, en montrant qu’il ne s’agit que de théorèmes d’existence, et que par suite les nombres ne sont pas appelés à constituer l’espace, mais seulement à en fournir un modèle ou un schéma, c’est-à-dire un ensemble simplement analogue (par ses propriétés formelles et « relationnelles »)67. Donc, dans tous les cas, cela ne permet pas de considérer le principe d’induction comme un postulat de la Géométrie, lors même qu’il serait un postulat de l’Arithmétique.

V

72La seconde faute capitale dont M. Poincaré accuse les logisticiens consiste à changer subrepticement de définition : « Vous donnez du nombre une définition subtile, puis, une fois cette définition donnée, vous n’y pensez plus… et quand le mot nombre se retrouve plus loin sous votre plume, vous y attachez le même sens que le premier venu… Voici un mot dont nous avons donné explicitement une définition A ; nous en faisons ensuite dans le discours un usage qui suppose implicitement une autre définition B » (p. 821). C’est là un reproche très grave, qu’on ne peut pas adresser sans preuve à des logiciens aussi rigoureux et aussi exercés que M. Peano et ses collaborateurs. Or M. Poincaré ne l’accompagne d’aucune preuve, et se borne à l’appuyer sur des réflexions générales de méthode qui s’adressent moins aux logisticiens qu’à tout autre, car il y est sans cesse question de « mots » et de « phrases ». Sans doute, les mathématiciens qui raisonnent avec des mots et des phrases sont exposés à attribuer à un terme, au lieu du sens assigné par la définition, le sens que lui impose l’usage courant. Mais c’est justement pour éviter ces associations et implications illogiques que les logisticiens emploient des symboles, dont le sens est uniquement déterminé par leurs relations formelles, et que l’on manipule en vertu de règles formelles de calcul. M. Poincaré a-t-il donc déjà oublié qu’il reproche aux logisticiens de réduire le raisonnement à un mécanisme aveugle, c’est-à-dire de négliger le sens de leurs symboles ? « Pour démontrer un théorème, il n’est pas nécessaire ni même utile de savoir ce qu’il veut dire » ; « le mathématicien n’a pas besoin de comprendre ce qu’il fait » (p. 816). Les deux reproches sont contradictoires ; que M. Poincaré laisse au moins aux logisticiens l’avantage de « la correction logique des raisonnements » qui en compense le caractère « formel » et presque « inintelligent ». En tout cas, toutes les raisons générales et vagues qu’il allègue à l’appui de sa critique se retournent contre elle, car elles tendent à prouver que les logisticiens sont exempts des causes d’erreur qu’il signale.

73J’ai longtemps cherché dans les articles de M. Poincaré les preuves précises de son accusation ; je crois en avoir trouvé une, et encore n’en suis-je pas bien sûr : M. Poincaré reproche à M. Russell d’employer deux formules différentes du principe d’induction, et de les confondre illégitimement : « Un nombre peut être défini par récurrence ; sur ce nombre on peut raisonner par récurrence : ce sont deux propositions distinctes. Le principe d’induction ne nous apprend pas que la première est vraie, il nous apprend que la première implique la seconde » (p. 835). Il dit encore : « Le principe d’induction ne signifie pas que tout nombre entier peut être obtenu par additions successives ; il signifie que, pour tous les nombres que l’on peut obtenir par additions successives, on peut démontrer une propriété quelconque par voie de récurrence » (ibid.). D’abord, l’expression « additions successives » manque de précision : elle appelle nécessairement la question : « combien d’additions ? » et la réponse est : « un nombre fini » ; mais les nombres finis sont caractérisés par le principe d’induction. Par conséquent, l’énoncé que propose M. Poincaré signifie exactement ceci : « Pour tous les nombres qu’on peut définir par récurrence (ou par induction complète), on peut démontrer une propriété par récurrence. » Or c’est là une proposition tout à fait analytique, et presque une tautologie : « Tous les nombres qui vérifient le principe d’induction vérifient le principe d’induction ». Si telle était la formule du principe d’induction, il serait donc un jugement analytique, et non un jugement synthétique, comme le prétend M. Poincaré.

74Mais ce n’est pas là la vraie formule du principe d’induction ; et l’on ne comprend pas qu’un mathématicien tel que M. Poincaré ait pu commettre une pareille méprise. Ce n’est pourtant pas une assertion en l’air, car il revient sur cette importante question à la fin de son second article, et il précise sa pensée en ces termes : « Un nombre entier est celui qui peut être obtenu par additions successives, c’est celui que l’on peut définir par récurrence… Un nombre entier est celui sur lequel on peut raisonner par récurrence… Les deux définitions ne sont pas identiques ; elles sont équivalentes sans doute, mais elles le sont en vertu d’un jugement synthétique a priori ; on ne peut pas passer de l’une à l’autre par des procédés purement logiques » (p. 32). Or, si l’on veut formuler rigoureusement ces deux définitions, on doit écrire la première comme suit :

N = x ɜ (0 ε s : n ε nn + 1 ε s : s . x ε s)

75« N (classe des nombres entiers finis) est l’ensemble des x tels que, si 0 est un s, et si « n est un s » entraîne « n + 1 est un s », x est un s. » Et la seconde comme suit :

0 ε s : n ε N  s . n . n + 1 ε s : s . N ⊃ s

76« Si 0 est un s, et si, de ce qu’un nombre entier n est un s il suit que n + 1 est un s, tous les nombres entiers sont des s. » Or cette seconde formule (qui n’est pas une définition, comme la première, mais la formule du principe d’induction) dérive de la première par une transformation purement logique. Le passage de l’une à l’autre s’effectue par un procédé aussi analytique que le passage de la proposition : « Pompée est un des x tels que César a vaincu x », à la proposition : « Pompée a été vaincu par César » ou : « César a vaincu Pompée ». On voit si un tel passage constitue un jugement synthétique a priori.

  • 68 Ou du nombre 0 ; cela revient au même.
  • 69 C’est une des traductions verbales que nous en avons données dans Les Principes des Mathématiques, (...)

77Dira-t-on que les logisticiens ont inventé un énoncé nouveau du principe d’induction, qu’ils opposent à l’énoncé classique ? Nullement, ils n’ont fait que traduire en symboles l’énoncé traditionnel. Et ce qu’il y a de plus fort, c’est que M. Poincaré lui-même a cité celui-ci au début de son premier article : « On sait quel est l’énoncé de ce principe. Si une propriété est vraie du nombre 168, et si l’on établit qu’elle est vraie de n + 1 pourvu qu’elle le soit de n, elle sera vraie de tous les nombres entiers » (finis) (p. 815-6). Or c’est là une des traductions verbales de la formule du principe d’induction écrite ci-dessus69. M. Poincaré ne peut donc pas contester l’exactitude de la formule en question. Ainsi il accuse les logisticiens de changer, subrepticement de définition ; et c’est lui-même qui, au cours d’un même article, change la définition, ou plutôt l’énoncé, du principe d’induction ! Pour prouver son accusation, il commet lui-même le paralogisme qu’il leur attribue à tort, et tous ses reproches d’illogisme retombent sur lui seul. Si j’avais l’esprit de M. Poincaré, je dirais que son « aventure » est bien aussi instructive que celle de M. Burali-Forti, et qu’elle doit « avertir » les adversaires de la Logistique « de la nécessité d’être circonspect ».

  • 70 Voir p. 830 et 832.

78Je ne relèverai pas la conclusion des articles de M. Poincaré, parce que je ne vois pas l’utilité de porter la discussion sur le terrain historique, où elle se complique de questions d’interprétation. Le débat n’est pas « entre Kant et Leibniz », mais entre M. Poincaré et les logisticiens. En outre, la question, telle que M. Poincaré l’a posée, n’est pas de philosophie générale ou d’épistémologie, mais de logique pure. Admettant leurs principes et leurs notions premières, il a soutenu qu’à partir de ces données ils ne pouvaient pas reconstituer la mathématique tout entière sans autre postulat70 (appel à l’intuition ou jugement synthétique a priori) ; et il a cru découvrir dans leur construction logique des paralogismes (pétitions de principe ou cercles vicieux). Je crois pouvoir conclure de la discussion précédente qu’aucune de ces thèses n’est prouvée, et qu’en particulier les logisticiens n’ont commis aucune des fautes logiques qu’on leur impute à la légère. J’ai une trop haute idée de l’esprit et du caractère de M. Poincaré pour ne pas croire qu’il reviendra à une appréciation plus juste et plus favorable de la Logistique, quand il l’aura étudiée.

Annexes

Note sur la question de la « contradiction »

Il est à remarquer que le compte-rendu étendu que Couturat avait donné des Principles of mathematics ne soufflait mot d’un problème dont l’existence était connue depuis plusieurs années et auquel Russell avait consacré plusieurs passages de son livre : celui de la contradiction découverte au sein de la Théorie des Ensembles et des dangers qu’elle faisait courir à l’entreprise de fondation sur la logique de l’ensemble des mathématiques pures. On a pris aussi, dès cette époque, l’habitude de parler aussi à ce sujet de « paradoxes » ou même, reprenant le terme kantien, d’« antinomies ».

On ne retiendra ici que ce qui éclaire l’attitude prise par Couturat en face de Poincaré. Cesare Burali-Forti avait fait connaître en 1897 une contradiction portant sur le « plus grand nombre ordinal transfini », dans des articles que Couturat connaissait, puisqu’il les mentionne [Article 8, note 42] et que c’est lui qui attirera sur eux l’attention de Russell. Parallèlement, Cantor, qui avait découvert le même paradoxe, en avait établi un autre, celui de l’ensemble de tous les ensembles, bientôt élargi à l’ensemble de tout ce qui est pensable. Mais il n’en avait fait état que dans des correspondances. De sorte que le vrai premier inventeur des antinomies est bien Russell. C’est aussi par une lettre, adressée à Frege le 16 juin 190271, que Russell révéla la contradiction qu’il avait découverte dans le premier volume de ses Grundgesetze der Arithmetik (Iena, 1893), en introduisant, comme les principes frégéens le permettaient, l’ensemble de tous les ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes comme éléments. Frege, qui mettait la dernière main à la publication du second volume, a réagi en insérant un Appendice où il reconnaît que cette contradiction risque de ruiner toute l’entreprise de fondation de l’arithmétique sur la logique. Toute cette situation, les Principles of Mathematics de Russell la font connaître et la discutent (notamment au Chap. X « The Contradiction », § 100sq., p. 101-107, au Chap. XLIII « The Philosophy of the Infinite », § 344sq., p. 362sq., et dans l’Appendix A « The Logical and Arithmatical Doctrines of Frege », § 486sq., p. 513sq.). Or Couturat n’en dit rien dans son compte-rendu. Poincaré avait donc beau jeu d’invoquer les contradictions ou paradoxes comme autant de vices dus à la « logistique », identifiée au projet de réduction des mathématiques à la logique.

Les correspondances permettent de comprendre ce qu’a été l’attitude assez étrange de Couturat à cet égard.

C’est dans une lettre du 29 septembre 1902 que Russell informe Couturat de sa découverte d’une « classe de contradiction », dont la plus simple porte sur la classe w de toutes les classes qui ne sont pas élément d’elles-mêmes : il en résulte que si w est élément d’elle-même, elle n’est pas élément d’elle-même, et qui si elle est élément d’elle-même, elle ne l’est pas. Toutes les solutions essayées ont échoué, alors même qu’il s’agit d’une difficulté qui se propage partout : « On trouve des contradictions de ce genre en appliquant à la classe de tous les individus, ou de toutes les propositions, ou de toutes les relations, la preuve que donne Cantor qu’il n’y a pas de nombre cardinal maximum » (Bertrand Russell. Correspondance … avec Louis Couturat72., p 284-285).

Il faut attendre le 4 juin 1903 pour trouver une réponse de Couturat, à la suite de sa lecture des Principles of Mathematics de Russell. Un peu ironiquement il observe chez Russell « le goût pour la subtilité et le paradoxe », qui le conduit, du fait même de sa familiarité avec le symbolisme de Peano, à jouer de celui-ci « en virtuose » et à « en faire ressortir les parties les plus ardues et les plus scabreuses », renvoyant en cela expressément au Chap. X des Principles sur « la contradiction ». D’où une inquiétude « à un point de vue pratique » : que les lecteurs n’en retirent « une idée défavorable de cette logique nouvelle, dont, avec votre sincérité philosophique si louable, vous ne dissimulez aucune des imperfections ». À contrario, Couturat présente l’intention de son propre travail comme de « présenter … cette Logique de la façon la plus simple, la plus claire, je dirai presque : la plus attrayante, afin d’en faciliter l’étude et la diffusion. C’est un autre point de vue, le point de vue didactique » (p. 295).

En répliquant le 9 juin, Russell, tout en indiquant la possibilité d’une solution de la contradiction par l’élimination de la notion de classe ou d’ensemble, marque la distance qui, désormais, ira en se creusant entre la position de Couturat et la sienne : « Quand vous me dites que vous allez vous placer au point de vue didactique, je crains que ce ne soit l’erreur que vous allez enseigner. Il est toujours plus facile et plus clair de prêcher l’erreur ; la vérité est ardue … Sans doute la simplicité est à désirer ; mais la rigueur est indispensable J’arrive peu à peu à une simplicité nouvelle ; par exemple, on simplifie énormément la logique en se passant des classes. Mais c’est là une simplicité … qui ne paraîtra pas simple du tout à ceux qui ont la coutume de l’ancienne logique symbolique » (p. 297).

Couturat persiste en proposant successivement deux solutions simplificatrices qui permettraient de contourner la difficulté de la contradiction : la première, « la plus naturelle », consisterait « à soutenir qu’une classe ne peut pas être membre d’elle-même » (Lettre du 12 octobre 1903, op. cit., p. 309), – la seconde serait de « ne pas admettre la classe de toutes les classes, ou de toutes les propositions » (Lettre du 31 octobre 1903, op. cit., p. 315). Dans les deux cas, Russell oppose les insuffisances techniques de ces tentatives (Lettres des 20 octobre et 2 novembre 1903, op. cit.). De façon générale, toute la correspondance de cette période, alors que Couturat avance dans la lecture des Principles et prépare la rédaction de ses articles sur « Les Principes des mathématiques », montre l’écart toujours plus grand qui sépare l’attitude du maître et de son épigone rétif.

C’est après la parution des articles sur « Les Principes des Mathématiques » dans la RMM, et alors qu’il prépare leur édition sous forme de livre que Couturat finit par reconnaître que, souhaitant d’apprendre enfin que Russell vienne à bout de la « contradiction », il « n’en parle pas dans [son] livre, pour ne pas embrouiller le lecteur et le rendre sceptique ». Car la contradiction pourrait bien ne venir « que de la généralité et de la complication [des] notations » utilisées par Russell ( !). Et il ajoute cet extraordinaire aveu d’opportunisme théorique : « Je crains, entre nous, qu’un des adversaires de la Logistique, sans se donner la peine d’étudier sérieusement cette doctrine, ne s’empare de la “contradiction” pour la discréditer. J’avoue que je serais assez embarrassé pour répondre à une telle objection, qui serait dangereuse aux yeux du public profane : “Comment, dirait-on voici des gens qui prétendent réformer la Logique classique et lui donner des fondements rigoureux, et ils admettent une contradiction au sein de leurs principes !”. Cette objection éristique me paraît peu sérieuse, mais c’est un peu par un acte de foi dans la raison, ce qui est ennuyeux. Quel échec du rationalisme si cette contradiction était fondamentale et incurable ! et quelle revanche pour Kant, dont les antinomies ne sont que jeu d’enfants à côté » (Lettre du16 avril 1905, op. cit., p. 486).

La réplique de Russell, sous la politesse constante de l’échange, a quelque chose de hautain : continuant de travailler, avec de lents progrès, à venir à bout de la contradiction, il oppose à Couturat tout autre chose qu’un « acte de foi » : « Si on emploie [la contradiction] pour discréditer la logistique, vous n’avez qu’à demander à votre adversaire comment il propose de la résoudre. … La logistique a servi à la découvrir, et servira sans doute à la résoudre ; mais la contradiction ne dépend pas des symboles, puisqu’elle résulte de principes que le sens commun a accepté sans hésitation depuis le temps d’Aristote au plus tard. Je ne crains nullement qu’elle soit “fondamentale et incurable” ; je crains seulement qu’on n’essaie pas de la résoudre, à cause du penchant des philosophes pour tout ce qui est contraire à la raison » (Lettre du 26 avril 1905, op. cit., p. 489).

Pour autant, Russell continue d’informer Couturat de ses propres avancées : le 12 mai 1905, il confie que « les contradictions n’ont rien à faire avec la nature des classes, ni avec l’infini », puisque le « vieux paradoxe grec du menteur en donne un exemple assez simple » ; or, rigoureusement reformulé, ce paradoxe porte sur une classe finie, celle des propositions affirmées par une certaine personne pendant un temps t, et dont au moins une n’est pas vraie. Occasion pour lui d’observer qu’on ne peut pas s’en tirer par des solutions qui aboutiraient à ce qu’on ne puisse rien affirmer de toutes les propositions (par exemple que, pour tout p,  p) ni de tous les êtres (par exemple que, pour tout x, x = x), ce qui « rendrait impossible la logique et la philosophie » (Lettre du 12 mai, 1905, op. cit., pp. 498-499).

Finalement, après avoir communiqué à Couturat son article capital « On Denoting » (paru dans Mind, New Series, V, XIV, 1905), Russell annonce le 7 décembre 1905 qu’il est parvenu par la même méthode d’analyse à une formulation satisfaisante de sa solution de la contradiction (p. 559), celle-là même qu’il exposera dans son article sur « Les Paradoxes de la Logique » (RMM, XIV, 1906, pp. 627-650). À cela, Couturat répond en manifestant son soulagement : « Je suis ravi d’apprendre que vous avez trouvé la solution de la contradiction. Ce sera un succès pour la Logistique, alors que la contradiction pouvait être interprétée injustement comme un défaut ou une preuve d’impuissance » (Lettre du 12 décembre 1905, op. cit., p. 566). Ce satisfecit lui permet de dissimuler qu’au fond, il était toujours resté étranger au vrai et difficile problème qui était soulevé dans toute cette affaire.

Notes

1 [Bertrand Russel, Correspondance sur la Philosophie, la Logique et la Politique avec Louis Couturat (1897-1913). Édition et commentaire par Anne-Françoise Schmid, Paris, Éditions Kimé, 2001.]

2 [Sur le « cercle », on peut lire Mary Jo Nye, « The Boutroux Circle and Poincaré’s Conventionalism », Journal of the History of Ideas, 40, 1979, p. 107-120].

3 [Giusseppe Peano – Louis Couturat, Carteggio (1896-1914), a cura di Erika Luciano e Clara Silvia Roero, Firenze, Olschki, 2005]

4 Publiés en volume, avec quelques corrections et additions, sous le titre : Les Principes des Mathématiques (Paris, Alcan, 1905). Partout où il y aura lieu, je renverrai à la fois à la page de la Revue [de Métaphysique et de Morale] et à la page du volume. Quant aux articles de M. Poincaré, je me bornerai à citer la page (les p. 815-835 appartiennent au t. XIII, [1905], et les p. 17-34 au t. XIV [1906], de la Revue).

5 [De fait, comme le montrent les correspondances, tant Russell que Peano n’ont pas donné suite à l’offre que leur faisait Couturat de répondre eux-mêmes à Poincaré. Mais ils lui ont apporté des éclaircissements dont Couturat a tiré profit dans son article.]

6 Ueber den Zahlbegriff, ap. Jahresbericht der deutschen Mathematiker-Vereinigung, t. VIII (1900).

7 Voir toutes les éditions du Formulaire de Mathématiques, et les Notations de Logique mathématique (1894) qui forment l’introduction à la 1re édition.

8 [Jean-Henri Lambert (1728-1777)], Versuche einer Zeichenkunst in der Vernunftlehre, ap. Logische und philosophische Abhandlungen, édités par Joh. Bernoulli (Berlin, 1782).

9 Ueber Pasigraphie, ihren gegenwärtigen Stand und die pasigraphische Bewegung in Italien (1898), traduit en anglais dans le Monist d’octobre 1898.

10 Cf. Couturat et Leau, Histoire de la langue universelle, Chap. préliminaire : Les pasigraphies (Paris, Hachette, 1903).

11 Bulletin des Sciences mathématiques, t. XXV (1901), [Article 16]

12 Comme les notations enfantines d’Hérigone, qui écrivait par exemple 5 < pour pentagone ou comme n’importe quel système d’abréviations analogues qu’un étudiant en mathématiques peut inventer pour prendre des notes. [Pierre Hérigone (circa 1580-1643) est l’auteur d’un traité en six volumes en latin et en français : Cursus mathematicus, nova, brevi, et clara methodo demonstratus per notas reales et universales, citra usum cujuscunque idiomatis intellectu faciles – Cours mathématique, démontré d'une nouvelle, brieve et claire méthode, par notes réelles et universelles, qui peuvent être entendues facilement sans l'usage d'aucune langue, 1634-1642 ; il cherchait à y exposer les disciplines mathématiques dans un symbolisme généralisant l’algèbre.]

13 Dès 1895 M. Peano écrivait ceci : « La Logique mathématique… ne se réduit pas simplement à une écriture symbolique abrégée, à une espèce de tachygraphie ; elle permet d’étudier les lois de ces signes et les transformations des propositions… Les deux objets de la Logique mathématique, la formation d’une écriture symbolique, et l’étude des formes de transformations ou de raisonnement, sont étroitement liés » (Sur la définition de la limite d’une fonction, dans American Journal of Mathematics, t. XVII). Ce mémoire était destiné (comme le prouve son sous-titre : Exercice de logique mathématique) à faire connaître la nouvelle Logique aux mathématiciens. Ceux-ci seraient donc inexcusables de l’ignorer encore, et doublement inexcusables de la critiquer sans la connaître.

14 [Couturat cite une lettre reçue de Peano. Malheureusement toutes ces lettres ont été perdues et on ne connaît de leur correspondance que les lettres de Couturat.]

15 Cf. son mémoire au 1er Congrès international de Philosophie (Paris, 1900). [G. Peano, « Les définitions mathématiques », dans Bibliothèque du Congrès international de Philosophie, III, Logique et Histoire des sciences, Paris, Armand Colin, 1901, p. 279-288. — Cf. aussi le compte-rendu de Couturat dans RMM, VIII (1900), p. 589sq.]

16 Voir La Logique de Leibniz, p. 84-85, avec les textes cités en note ; et l’Appendice III.

17 [Stanley Jevons (1835-1882), économiste et logicien, après avoir publié Pure Logic or the Logic of Quality apart from Quantity (1863), inspirée de Boole, a présenté en 1870 à la Royal Society de Londres une machine logique, appelée « piano logique », permettant d’obtenir mécaniquement, par un jeu de substitution d’éléments équivalents, les conclusions résultant d’un ensemble de prémisses.]

18 [Russel appelle « constantes logiques » « toutes les notions définissables dans les termes suivants : implication, la relation d’un terme à la classe dont il est un membre, la notion de tel que, la notion de relation, et toutes notions semblables qui peuvent être enveloppées dans la notion générale de propositions » de la forme « “p implique q”, où p et q sont des propositions contenant une ou plusieurs variables, les mêmes dans les deux propositions, et où ni p ni q ne contiennent de constantes à l’exception de constantes logiques ». Pour Russell, l’ensemble des mathématiques pures est constitué exclusivement de telles propositions (Principles of Mathematics, 1903, § 1).]

19 [Voir dans l’Article 29 suivant, la critique de Théodule Ribot (note 9) et d’Édouard Le Roy (note 10).]

20 [Littéralement : « Ignorance de la réfutation », ou plus généralement « ignorance du sujet » : sophisme qui consiste à discuter d’autre chose que ce qui est en question.]

21 [Allusion probable à la phrase de Newton dans la Préface des Philosophiae naturalis Principia mathematica (1687) : « Ac gloriatur geometria quod tam paucis principiis aliunde petitus tam multa praestat (Et la géométrie tire gloire que de si peu de principes tirés d’ailleurs elle obtienne tant de résultats ». Mais on peu aussi penser à Leibniz : « … Geometras laudandos censeo, quod his velut paxillis statuminaverunt scientiam, artemque repererunt progrediendi, atque ex paucis tam multa ducendi (Je pense qu’il faut féliciter les géomètres, parce qu’ils ont étayé la science comme sur des piliers, qu’ils ont inventé l’art de progresser et de tirer de peu de principes tant de conséquences) », Phil., IV, 355]

22 [Kant, Critique de la raison pure, 2e éd. (1787), Préface : « … la logique … depuis Aristote, n’a pas eu besoin de faire un pas en arrière, à moins que l’on ne regarde comme des améliorations le retranchement de quelques subtilités inutiles, ou une plus grande clarté dans l’exposition, toutes choses qui tiennent plutôt à l’élégance qu’à la certitude de la science. Il est aussi digne de remarque que, jusqu’ici, elle n’a pu faire un seul pas en avant, et qu’aussi, selon toute apparence, elle semble arrêtée et achevée » (B VIII).]

23 [Friedrich Albert Lange (1828-1875) est surtout connu pour sa Geschichte des Materialismus und Kritik seiner Bedeutung in der Gegenwart, première édition en 1866, suivie de huit autres jusqu’en 1914, avec, à partir de la sixième (1898) une Introduction et un Supplément critique d’Hermann Cohen (Histoire du Matérialisme et Critique de son importance à notre époque, traduction par B. Pomerol, Paris 1877). – Couturat fait ici allusion à ses Logische Studien, ein Beitrag zur Neubegründung der formalen Logik und Erkenntnistheorie, 1877. Cf. l’exposé critique de Husserl dans ses Logische Untersuchungen, vol. I, Halle, 1900, § 28 (Recherches Logiques, Tome Premier, Prolégomènes à la Logique pure, traduction par Hubert Élie, Paris, PUF, 1959, pp. 100sq.]

24 « Plus sûrs », car M. Poincaré avoue que dans les raisonnements vivants « il est difficile de ne pas introduire un axiome ou postulat qui passe inaperçu » (p. 816). Faut-il en conclure que la « vie » est incompatible avec la Logique ?

25 Pour employer la comparaison favorite de M. Poincaré, que dirait-on d’un joueur d’échecs qui voudrait inventer une règle nouvelle au cours d’une partie, par exemple, faire faire plusieurs pas à son roi en échec ? Une telle « invention » s’appellerait tricherie, tout simplement.

26 M. Peano a publié en outre un manuel classique : Aritmetica generale e algebra elementare, rédigé en logistique (Turin, Paravia, 1902).

27 À propos du pluriel, il convient de remarquer que M. Peano l’a exclu de son Latino sine flexione, suivant la sentence de Leibniz : « Videtur pluralis inutilis in Lingua rationali » [G.W. Leibniz, Opuscules et frangments inédits … édités par Louis Couturat, Paris, Alcan, 1903, p. 281]. Le pluriel peut être remplacé, soit par des adjectifs numéraux, soit par omnis (tout) ; partout ailleurs, il peut être supprimé sans inconvénient. C’est dire que nos langues en font un grand abus (comme de toutes les autres flexions). [Le Latino sine flexione ou latin sans flexions dues aux déclinaisons et au conjugaison avait été proposé en 1903 par Peano comme langue auxiliaire internationale dans un article de la Rivista di Matematica. Il s’inspirait explicitement des fragments de Leibniz sur la langue universelle publiés par Couturat. Mais Couturat ne s’y est pas rallié, en raison surtout de la difficulté à fixer le vocabulaire. Il écrit par exemple à Peano : « Vous êtes esclave et prisonnier du vocabulaire latin classique. En somme, vous vous heurtez à une contradiction : vous voulez une langue purement logique, et vous en demandez les éléments à une langue souverainement illogique. J’ajoute, au point de vue pratique, que votre latin ne peut plaire, ni à ceux qui savent le latin, ni à ceux qui l’ignorent, pour les uns, il est barbare, pour les autres, il est beaucoup trop difficile » (lettre du 7 mai 1904, dans Giuseppe Peano – Louis Couturat, Carteggio (1896-1914), op. cit. p. 65.]

28 M. Peano disait textuellement au début de la Préface de ses Arithmetices principia (1889) ; « Quæstiones quæ ad matbematicæ fundamenta pertinent… satisfacienti solutione et adhuc carent. Hic difficultas maxime ex sermonis ambiguitate oritur. Quare summi interest verba ipsa, quibus utimur, attente perpendere… [Les questions qui concernent les fondements de la mathématique manquent encore de solution satisfaisante. Cette difficulté provient principalement de l’ambiguïté du langage. C’est pourquoi il est du plus grand intérêt d’examiner attentivement les mots mêmes dont nous nous servons …] » et l’auteur en conclut la nécessité d’employer des symboles logiques.

29 Au moyen de la formule générale par laquelle on définit n + 1 au moyen de n. V. Les Principes des Mathématiques, ch. II, § B, p. 59 ; Revue [de Métaphysique et de Morale], XII, [1904], 222.

30 Ibid., et dont j’ai déduit logistiquement la précédente (p. 60).

31 Voici une définition plus fondamentale que nous communique M. : « Un est la classe des classes u telles que la proposition : « “x est un u” équivaut, pour toutes les valeurs de x, à “x est identique à c” » n’est pas fausse pour toutes les valeurs de c ». On voit que cette définition ne suppose plus la notion de classe nulle. Quant à la formule « x est un u », voir plus bas sa définition. [Couturat se sert de « Notes on Poincaré RMM Nov. ‘05 », en anglais, jointes à la lettre de Russell du 7 décembre 1905 (Bertrand Russell Correspondance … avec Louis Couturat, op. cit. p. 561).]

32 Les Principes des Mathématiques, ch. II, § A (p. 47-48 ; Revue [de Métaphysique et de Morale], t. XII, [1904], p. 214). M. Poincaré semble proposer ou accepter une telle justification, quand, après avoir cité cette phrase de M. Hilbert : « Prenons en considération l’objet 1 », il ajoute : « Remarquons qu’en agissant ainsi nous n’impliquons nullement la notion de nombre, car il est bien entendu que 1 n’est ici qu’un symbole… » (p. 18). Sans doute, mais c’est un symbole, c’est-à-dire un objet. M. Poincaré dira-t-il que cela implique le nombre un ? Ou accordera-t-il aux logisticiens la même liberté qu’à M. Hilbert ?

33 Et aussi M. Méray, donnant ainsi un exemple de logique aux autres mathématiciens. [Charles Méray (1835-1911) avait été professeur à l’université de Dijon. La sympathie que lui manifeste Couturat a pu être encouragée par le fait qu’il était aussi espérantiste.]

34 Remarquer que c’est la grammaire seule qui nous impose le signe du pluriel dans sont éléments ou appartiennent.

35 Voici la définition rigoureuse de la proposition « x est un u », que nous communique M. Russell : « x est un u » signifie : « La proposition : “φ(x) est vraie, et u a à φ la relation d’une classe à la propriété qui la définit” n’est pas fausse pour toutes les valeurs de φ. » [Même source que supra, note 28]. Il n’y a pas là l’ombre de l’idée du nombre 1, mais bien (comme dans notre énoncé) les notions purement logiques de faux, de négation et de tout. Cette définition se trouvait déjà dans G. Frege, Grundgesetze der Arithmetik, t. I, p. 53 ([Iena], 1893).

36 [Felix] Bernstein, [« Über die Reihe der transfinie Ordnungszahlen »], Math[ematische] Ann[alen], t. 60, [1905]; [Philipp] Jourdain, [« On the transfinite cardinal numbers of well-ordered aggregates »; « On the transfinite cardinal numbers of number-classes in general »], Philosophical Magazine, [VI Series, vol. 7], 1904 [pp. 61-75 et 294-303], [« On the transfinite cardinal numbers of the exponential form », VI. Series, vol. 9], 1905 ; [Bertrand] Russell, Mind, 1905 [le volume de Mind de 1905 ne contient pas d’article de Russell sur ce sujet ; Couturat a probablement en tête l’article cité ci-dessous, note 36] ; Hadamard, Borel, Lebesgue, Baire, [« Cinq lettres sur la théorie des ensembles »], Bulletin de la Société Math. de France, [T. 33], 1905, [pp. 261-273] ; Zermelo, Borel, König, Schönflies, Math. Ann., t. 59 [1904], 60 [1905]. [Ernst Zermelo: « Beweis, daß jede Menge wohlgeordnet werden kann », t. 59, pp. 514-516; . Émile Borel : « Quelques remarques sur les principes de la théorie des ensembles », t. 60, pp. 194-195 ; Julius König : « Zum Kontinuum-Problem », t. 60, pp. 177-180 ; Arthur Schoenflies : » Über wohlgeordnete Menge », t. 60, pp. 181-186.]

37 Rend[iconti del] Circ[olo] Mat[ematico] di Palermo, 1897, pp. 154-164, 260. (Dans l’avant-dernière ligne de la p. 260 les deux mots ben, perfettamente, ont été échangés entre eux par une erreur typographique.)

38 Mais quelques-uns de ces derniers peuvent n’être pas contenus dans ma classe No.

39 Il faut bien remarquer : les No, et non « les nombres ordinaux de M. Cantor ».

40 [Cette lettre de Burali-Forti n’est connue que par la citation qu’en fait Couturat, puisque l’original en est perdu (comme toutes les lettres reçues par Couturat, à l’exception de celles de Russell). Burali-Forti répondait, sans doute dès janvier 2006 à la lettre de Couturat du 12 janvier (publiée dans Giuseppe Peano – Louis Couturat, Carteggio (1896-1914), op. cit., p. 221-222).]

41 Voir Russell, On some difficulties in the theory of transfinite numbers and order types, dans les Proceedings of the London Math. Society, 14 déc. 1905 (séries 2, vol. 4, part I, p. 29-53). M. Poincaré conclut hâtivement : « Burali-Forti et Cantor sont arrivés à des conclusions contradictoires ; donc l’un ou l’autre se trompe » (p. 825). On ne peut pas dire que l’un de ces auteurs se soit trompé, s’il s’agit, comme le montre M. Russell, d’une contradiction de principe, d’une sorte d’antinomie. On voit dès lors ce que vaut la conclusion : « Donc la pasigraphie ne nous préserve pas de l’erreur. » Du reste, la Logistique n’est une « méthode d’infaillibilité » (comme disait Leibniz) qu’une fois certaines prémisses posées et accordées ; elle ne peut être rendue responsable d’une contradiction inhérente aux principes mêmes.

42 [Poincaré écrivait en effet dans son premier article : « Stuart Mill disait que toute définition implique un axiome, celui par lequel on affirme l’existence de l’objet défini », tout en déclarant « inadmissible » la restriction du mot existence à un « sens matériel et empirique » (RMM, XIII, 1905, p. 819). Il faisait allusion à la conception exposée par Mill dans son Système de logique déductive et inductive. Exposé des principes de la preuve et des méthodes de la recherche scientifique, traduit de la sixième édition anglaise (1865) par Louis Peisse, Paris, de Ladrage, 1866, Livre I, chap. VIII, §§ 5, 6 et 7.]

43 Euclide dit par exemple (IX, 20) : « Soit δ ε le plus grand des nombres premiers », puis il démontre que δ ε n’existe pas, c’est-à-dire, qu’il existe un nombre premier plus grand que δ ε.

44 Les Principes des Mathématiques, p. 39.

45 Par exemple, dans le Formulaire (t. V, P. 53) on définit le plus petit commun multiple de 2 nombres entiers (P. 1. 0) puis on démontre que ce p. p. c. m. existe, c’est-à-dire est un nombre entier (P. 4. 1). Ensuite (p. 57) on définit le plus petit commun multiple d’une classe de nombres (P. 12. 0), puis on démontre que ce p. p. c. m. existe si la classe en question a un nombre cardinal fini (P. 12. 3). De même (p. 46, P. 1. 0) on définit le maximum d’une classe de nombres, puis (p. 47) on démontre que la condition nécessaire et suffisante pour qu’une classe de nombres entiers ait un maximum est que cette classe ait un nombre cardinal fini (P. 2. 6).

46 Chose curieuse, cette conception de l’existence logique ne paraît admissible que dans un panlogisme analogue à celui de Leibniz, et où l’extension des concepts serait absolument déterminée par leur compréhension. Par exemple, Leibniz et ses disciples croyaient que si « nul homme n’est pierre », c’est-à-dire, s’il n’existe pas d’« hommes-pierres », c’est parce que les concepts homme et pierre contiennent respectivement des éléments contradictoires (tels que vivant et non vivant).

47 Aussi, en Logistique, suffit-il qu’on ait une proposition de la forme : x ε u (x est un u) pour qu’on puisse en déduire aussitôt :  u (la classe u existe, il y a des u).

48 Bien entendu, les classes elles-mêmes peuvent être considérées comme des individus (par rapport à des classes de classes) ; mais alors elles « existent », quand même elles seraient nulles.

49 Par exemple, quand nous parlions plus haut de l’existence du plus petit commun multiple ou du maximum d’une classe de nombres, cette existence signifie ceci : « mlt ε N », « max ε », c’est-à-dire : le p. p. c. m. de la classe u est un nombre entier ; le maximum des u est un u.

M. Poincaré croit nécessaire d’ajouter aux postulats de M. Peano le suivant : « Tout entier a un suivant. » Il n’a pas vu que ce postulat, qu’il croit nouveau, est contenu dans le postulat 3 auquel il veut l’ajouter : « Le suivant d’un entier est un entier », en symboles :

n ε N . n . seq n ε N

En effet, cette formule implique que seq n existe (comme individu de la classe N), et même qu’il est unique (car autrement le signe ε serait remplacé par ).

50 Il faut bien remarquer que, si la définition d’une classe n’a pas besoin de justification (cette classe pouvant être nulle), la définition d’un individu doit être justifiée par la double démonstration de l’existence et de l’unicité. Il n’y a donc là aucune contradiction.

51 Cf. Russell, The existential import of propositions, ap. Mind, juillet 1905.

52 Après avoir écrit ces lignes, nous retrouvons la même doctrine chez M. Frege, Grundlagen der Arithmetik, §§ 94, 95 (1884). Citons-en seulement quelques phrases : « Un concept est admissible, même quand ses marques contiennent une contradiction ; seulement on ne doit pas supposer que quelque chose tombe dans son extension. Mais de cela seul qu’un concept ne contient pas de contradiction, on ne peut pas conclure que quelque chose tombe dans son extension… » (§ 94). « La non-contradiction d’un concept ne peut être rigoureusement établie que si l’on prouve que quelque chose tombe dans son extension. L’inverse serait une faute » (§ 95). [Traduction de Couturat.]

53 Communication au 2e Congrès int. des mathématiciens (Paris, 1900) ; v. Compte rendu de ce Congrès ; Göttinger Nachrichten, 1900 ; Archiv für Mathematik und Physik, 1901, et Bulletin of the American Mathematical Society, 1902.

54 Communication au 3Congrès int. des mathématiciens (Heidelberg, 1904) ; v. L’Enseignement mathématique, 15 mars 1905, et le Monist, juillet 1905.

55 Le problème n° 2 de M. D. Hilbert, dans L’Enseignement mathématique, t. V, p. 85-91 (1903).

56 Essai d’une théorie algébrique des nombres entiers, dans Bibliothèque du (1er) Congrès int. de Philosophie, t. III, p. 309-365 ; Numeri interi relativi, dans Revue de Mathématiques, t. VII, p. 73-84 (1901).

57 Nous avons déjà donné dans notre article sur La Philosophie des mathématiques de Kant (Revue [de Métaphysique et de Morale], XII, [1904], 365 [Article N° 22] ; Les Principes des Mathématiques, p. 286) un exemple de démonstration mathématique, en analysant sa structure. Nous allons citer un autre exemple à l’appui des considérations exposées dans le texte. C’est la démonstration de ce théorème élémentaire de Logique :


Image 10000000000003340000011F7C16A7F4.png

Nous avons numéroté à gauche (de 1 à 11) les déductions élémentaires. Nous inscrivons à droite le principe qui sert de règle ou type de déduction, et à gauche, s’il y a lieu, le principe qui entre comme prémisse dans la déduction (le principe d’identité dans 1, et le principe de simplification dans 2) ; on voit ainsi qu’une seule déduction simple peut reposer sur plusieurs principes logiques. Le nombre 11 n’est pas un maximum, car on pourrait détailler encore quelques déductions ; ainsi dans 1 et 2 on invoque la formule «  x  » qui résulte de la définition de  ; dans 1, 2, 6, 10 on invoque le principe de simplification, en employant la copule au lieu de la copule = que comporte le principe invoqué. La déduction 8 est une double application du principe du syllogisme, c’est-à-dire un sorite ; etc. On remarquera que le syllogisme qu’on emploie en général en mathématiques est le syllogisme hypothétique, et non le syllogisme catégorique, auquel on pense toujours quand on prétend réduire le raisonnement mathématique au syllogisme. On remarquera aussi l’usage du principe de déduction (Ded) qui signifie : « Si l’hypothèse d’une implication est vraie, on peut affirmer séparément la thèse » (Voir Les Principes des Mathématiques, p. 11 ; Revue, XII, 27, où ce principe est appelé à tort principe d’assertion). Enfin, on constatera que l’ordre et l’enchaînement des déductions est figuré par le schème suivant :

Image 10000201000000740000005008F5A65F.png

qui montre la structure ramifiée de la démonstration. C’est ce qui arrive d’ailleurs presque toutes les fois qu’on a à démontrer une égalité logique, qui équivaut à deux implications inverses.

Nous avons choisi à dessein un exemple extrêmement simple, pour que l’analyse n’en fût pas trop longue. On trouvera l’analyse d’autres démonstrations logiques dans Peano, Formulaire IV, 15 ; Revue de Mathématiques, VII, 18 ; et des exemples de démonstrations mathématiques beaucoup plus complexes, où interviennent les règles d’importation, d’exportation, de transposition et d’élimination dans le mémoire déjà cité : Peano, Sur la définition de la limite (1895).

58 [Note précédente.]

59 Cf. p. 829 : « Sans doute on verrait facilement ( ?) qu’une opération nouvelle ne peut introduire de contradiction, s’il ne s’en est pas produit aux étapes précédentes. Mais conclure de là qu’il n’y en aura jamais, ce serait faire de l’induction complète. »

60 « J’aurais voulu réfuter la démonstration de MM. Russell et Couturat. Ce qui m’en empêche, c’est que cette démonstration n’existe pas », déclare catégoriquement M. Poincaré (p. 834).

61 The Principles of Mathematics, p. IX.

62 V. Les Principes des Mathématiques, p. 52 ; Revue [de Métaphysique et de Morale], XII, 218.

63 V. Whitehead, On cardinal numbers, dans American Journal of Mathematics, t. XXIV (1902). On remarquera que cette dernière proposition est un des postulats de Peano, ce qui montre la différence entre la définition nominale et la définition par postulats.

64 Par exemple, dans la démonstration du théorème sur la somme des angles d’un triangle, on mène une parallèle à l’un des côtés, et l’on fait intervenir aussi le postulat d’Euclide, alors qu’il n’est nullement question de parallèles dans l’énoncé.

65 V. The Principles of the Mathematics, § 229, p. 240 ; Les Principes des Mathématiques, p. 66 et 78.

66 M. Poincaré dit lui-même : « Nos ensembles An et Bn sont définis par récurrence, et on raisonne sur eux par récurrence » (p. 29).

67 Les Principes des Mathématiques, p. 212.

68 Ou du nombre 0 ; cela revient au même.

69 C’est une des traductions verbales que nous en avons données dans Les Principes des Mathématiques, p. 55 ; Revue, XII, 221.

70 Voir p. 830 et 832.

71 [Traduction française et Présentation par Philippe de Rouilhan dans Logique et fondements des mathématiques – Anthologie (1850-1914), Paris, Payot, 1992, p. 237sq. avec aussi la réponse de Fege du 22 juin 1902.]

72 [Bertrand Russel, Correspondance sur la Philosophie, la Logique et la Politique avec Louis Couturat (1897-1913). Édition et commentaire par Anne-Françoise Schmid, Paris, Éditions Kimé, 2001.]

© ENS Éditions, 2018

Conditions d’utilisation : http://www.openedition.org/6540

Acheter