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Logique, mathématiques, langue universelle

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Louis Couturat

Première partie: 1893-1900

ARTICLE 12

L’algèbre universelle de M. Whitehead

Revue de métaphysique et de morale, 1900, t. VIII, p. 323-362

Note de l’éditeur

Alfred North Whitehead (1861-1947), fellow et professeur au Trinity College de Cambridge depuis 1884, a consacré ses premiers travaux à la logique et aux mathématiques, avant de s’orienter vers la philosophie de la connaissance et la métaphysique. Son modèle contribua à l’abandon par Russell de ses premières conceptions idéalistes, et les deux collègues écrivirent ensemble les Principia Mathematica (3 volumes, 1910-1913). Dans sa lettre à Russell du 4 mai 1898, Couturat annonce avoir reçu l’Universal Algebra de Whitehead et observe : « Je n’en ai lu que la préface et la table, mais cela a suffi à m’inspirer un vif désir de le lire, et une profonde admiration pour cette œuvre considérable, d’une grande portée logique et philosophique » (Bertand Russell, Correspondance avec Louis Couturat (1897-1913)1, p. 52. – Couturat tenait le livre de Xavier Léon qui l’avait reçu à la RMM). La lecture prendra un certain temps, d’autant que comme Couturat le confie à Russell, à propos justement des préparatifs de son article : « J’ai la sotte habitude de ne rendre compte d’un livre qu’après l’avoir lu tout entier, et celui-ci est long et nourri » (lettre à Russell du 5 septembre 1899, ibid., p. 136). Dans une lettre à Xavier Léon du 21 septembre 1899, Couturat confie encore : « Je suis en train de lire le Whitehead, mais il est long, compact, et assez dur à digérer. » (Correspondance inédite, communiquée par Oliver Schlaudt). – Les références données dans l’article témoignent du considérable travail que Couturat a consacré au cours des mois précédents à la lecture des logiciens modernes, Boole, Venn, Jevons, Schröder, Poretsky, Peirce. À l’Université de Caen, il avait consacré son cours de 1898-1899 à la « Logique algorithmique ».

Texte intégral

  • 2 A Treatise on Universal Algebra, with Applications, by Alfred North Whitehead, M. A., fellow and Le (...)
  • 3 Une analyse de cet ouvrage a été faite au point de vue scientifique par M. J. Tannery dans le Bulle (...)

1Quand on ouvre le Traité d’Algèbre universelle de M. Whitehead2 et qu’on feuillette ce grand in-octavo de 586 pages, qui a coûté des années de travail à son auteur, et qui en a demandé près de deux pour l’impression seulement, on est quelque peu effrayé à la vue de ces pages bourrées de formules et de signes souvent étrangers à l’Algèbre classique. Si l’on parcourt la table des matières, on y trouve réunis, dans un désordre apparent, les sujets les plus divers, tels que la Logique, la Géométrie projective, les Substitutions linéaires (Matrices), les systèmes de forces, la Théorie de la distance, les Géométries non-euclidiennes, la Cinématique, la Théorie des courbes et des surfaces, la Géométrie euclidienne et la théorie des vecteurs. On se demande avec curiosité, avec inquiétude même, quel est le lien entre toutes ces théories hétérogènes, et surtout, ce que viennent faire ces chapitres de Géométrie et de Mécanique dans un traité d’Algèbre. Si, pour trouver la réponse à ces questions, on entreprend patiemment et avec suite la lecture de ce livre, on est bientôt frappé de la lucidité de l’exposition, de la simplicité des notations, de l’enchaînement rigoureux des idées ; on est séduit par l’élégante concision des démonstrations, et on se laisse prendre au charme austère de ce style mathématique sobre et condensé. On est ainsi conduit, graduellement et presque sans s’en douter, des théories les plus élémentaires aux plus élevées, dont quelques-unes sont nouvelles et propres à l’auteur. À chaque pas fait eu avant, la voie s’éclaire et l’horizon s’élargit ; et quand, parvenu à la fin, on se retourne pour contempler le domaine parcouru, on demeure émerveillé des vastes et lumineuses perspectives qu’on découvre. Non seulement on s’est instruit, mais encore et surtout on a acquis de la science mathématique une idée plus large et plus riche, et l’on saisit mieux l’ordre de la connexion de ses diverses branches. En analysant cet ouvrage si nourri, nous nous efforcerons d’en extraire les idées directrices et les principes fondamentaux et de dégager les vues philosophiques qui en font l’unité et le principal intérêt3.

I

2Dans le livre I, l’auteur expose les Principes du symbolisme algébrique. Il cherche d’abord à définir l’Algèbre en général. Un calcul est un art de manipuler et de combiner certains signes substitutifs suivant certaines règles telles que le résultat des opérations, une fois interprété, exprime une proposition concernant les objets signifiés. Il s’en suit que, une fois les règles de calcul posées et connues, on peut les appliquer machinalement sans faire attention au sens des signes, sans même s’inquiéter de savoir s’ils représentent quelque objet. Le résultat des calculs sera exact du moment où il aura été obtenu conformément aux règles formelles, parce que ces règles correspondent à des combinaisons réelles des objets signifiés. On voit que notre auteur se garde de tomber dans le travers symboliste ou nominaliste qui est le péché mignon des mathématiciens purs. Sans doute, concède-t-il, on peut poser des règles absolument arbitraires et manipuler des symboles dépourvus de sens. Mais ce n’est là, selon lui, qu’un jeu frivole, qui n’acquiert une valeur scientifique et ne devient un vrai calcul que lorsque l’on considère ces symboles comme des signes substitutifs de certains objets inconnus, et par suite comme susceptibles d’une interprétation indéterminée.

  • 4 Ce mot est assez mal choisi ; il eût mieux valu employer l’un des termes ensemble, collection, syst (...)
  • 5 En tant du moins que ces relations ne portent que sur la propriété qu’ils possèdent en commun et pa (...)
  • 6 M. Whitehead retrouve ainsi (peut-être à son insu) les principes de la logique et de la métaphysiqu (...)
  • 7 En langage kantien, les propositions de la science seront à la fois analytiques et synthétiques : a (...)

3L’auteur entend par schème4 un ensemble d’objets qui ont en commun une propriété générale (par exemple une grandeur, une qualité, une intensité). On considérera comme équivalents ceux qui possèdent le même mode de cette propriété (la même grandeur, le même état, le même degré). L’équivalence est la relation fondamentale de toute Algèbre, la copule de toute proposition mathématique. Ce qui caractérise les objets équivalents, c’est qu’ils peuvent se remplacer l’un l’autre dans toutes leurs relations5. M. Whitehead insiste beaucoup (et avec raison) sur ce fait que l’équivalence n’est nullement l’identité. C’est bien sans doute une identité partielle, ou plutôt relative à un certain point de vue spécial ; mais cette identité admet et implique une diversité à d’autres points de vue, et même l’équivalence n’est intéressante et instructive qu’à ce prix. Toute équivalence, selon une formule frappante de l’auteur, renferme à la fois un truisme et un paradoxe, car elle affirme à la fois que le même est le même et que le même est l’autre6. C’est sur le truisme que reposent les définitions concrètes de l’équivalence et toutes les règles de calcul (à commencer par le principe de la substitution des équivalents). C’est le paradoxe, au contraire, que développent les théorèmes et qui fait la fécondité de la science déductive7. Seulement, une fois que les conditions réelles de l’équivalence ont été traduites en formules, le critérium de l’équivalence devient abstrait et tout formel, et l’on oublie l’identité qui en est le fondement pour ne plus remarquer que la diversité des objets reconnus équivalents. Il faut donc bien se garder d’affirmer, soit leur identité absolue en négligeant leurs différences réelles, soit leur diversité absolue en oubliant leur identité primitive, et de considérer par suite leur équivalence comme une relation nominale et conventionnelle, en regardant deux termes équivalents, soit comme deux signes d’un même objet, soit comme deux objets représentés par un même signe.

  • 8 Par exemple a, b, c étant des nombres entiers, on a : a + b = a, (+ b) + c = a + (c). Les (...)

4Supposons qu’on ait défini certaines opérations ou combinaisons portant sur les objets d’un schème. Cela veut dire, en somme, qu’à un ensemble de ces objets (en nombre donné et dans un ordre déterminé) correspond un (autre) objet du même schème. Cette opération, qu’elle soit matérielle ou non, est en tout cas représentée par un certain acte de l’esprit ou de l’imagination (addition de longueurs, de poids, etc.) Or il peut se faire que deux objets équivalents, m et m′, soient respectivement le résultat d’opérations différentes effectuées sur deux ensembles d’objets équivalents (abc…) et (a′, b′, c′…). Dans ce cas, les deux opérations ou séries d’opérations sont dites équivalentes8. Les modes par lesquels des opérations peuvent différer sans cesser de donner des résultats équivalents sont les caractéristiques du schème ; en un mot, ces caractéristiques définissent quelles sont les opérations différentes et équivalentes.

  • 9 Tels sont par exemple l’ensemble des nombres réels et l’ensemble continu des grandeurs linéaires.

5Supposons maintenant que deux schèmes dont les éléments se correspondent chacun à chacun aient les mêmes caractéristiques ; au lieu d’effectuer une opération dans l’un d’eux, on pourra l’effectuer sur les éléments correspondants de l’autre, puis remplacer le résultat par son correspondant dans le premier. D’une manière générale, toute opération à effectuer sur le premier pourra se remplacer par une opération analogue (de même forme) effectuée sur le second, moyennant une double traduction : 1o des éléments donnés dans le premier par les éléments correspondants dans le second ; 2o du résultat obtenu dans le second par l’élément correspondant du premier. On dira, en gros, qu’on peut substituer un schème à l’autre (au point de vue du calcul), et on les appellera schèmes substitutifs. Chacun d’eux constitue un système de signes substitutifs par rapport à l’autre9.

  • 10 Par exemple, deux ensembles sont équivalents quand ils ont le même nombre ; mais deux nombres sont (...)

6Cela posé, l’auteur définit les multiplicités, qui sont une espèce de schèmes substitutifs. À tous les objets équivalents d’un schème on fait correspondre un seul et même élément d’une multiplicité. Puisque les objets équivalents sont ceux qui possèdent un même mode de la propriété fondamentale, la multiplicité représente l’ensemble des modes distincts de cette propriété, à l’état abstrait. L’équivalence de deux objets du schème se traduit donc par l’identité de l’élément correspondant de la multiplicité. On ne peut pas dire que deux éléments de la multiplicité sont égaux. S’ils sont égaux, ils sont identiques, ils sont un ; s’ils sont différents, ils sont inégaux10. Aux relations et aux combinaisons des objets du schème correspondent des relations et combinaisons analogues des éléments de la multiplicité. Les caractéristiques du schème deviennent les caractéristiques de la multiplicité, et l’on peut en déduire toutes les relations qui existent nécessairement entre les éléments de celle-ci. Les caractéristiques constituent les lois du calcul, et en même temps les principes de toutes les propositions de l’Algèbre.

7Maintenant, on peut faire abstraction du schème donné, et considérer la multiplicité, non plus comme un schème substitutif (qu’elle est en réalité) mais comme un schème conventionnel ; on regardera ses caractéristiques comme des lois arbitrairement imposées aux éléments, et non plus comme la traduction des caractéristiques des objets concrets. Au lieu de raisonner sur les propriétés réelles de ces objets, on raisonnera sur les propriétés formelles des éléments correspondants, et comme on peut négliger l’interprétation de ceux-ci, on peut les traiter comme de purs symboles, c’est-à-dire comme des signes qui ne signifient plus rien. Pour mieux dire, on les regardera eux-mêmes comme des objets sensibles, des jetons ou des dessins, qu’on peut manipuler suivant certaines conventions, comme les pièces du jeu d’échecs ; le raisonnement sera remplacé par des opérations physiques et matérielles, qui consisteront à combiner ces symboles sur le papier ou sur l’ardoise. Mais s’il est permis d’oublier l’origine concrète de ces symboles sans inconvénient pour la rigueur logique des déductions, cela n’est pas permis au point de vue philosophique, car ces symboles n’ont de sens et de raison d’être que comme signes substitutifs de certains objets au moins possibles et idéaux, et leurs lois de combinaison, en apparence conventionnelles et arbitraires, ont été inventées tout exprès pour pouvoir s’appliquer à un schème concret et en traduire les propriétés et les relations réelles.

  • 11 Ceci s’applique à la Géométrie analytique, et non à la représentation géométrique des fonctions ima (...)

8Il se présente toutefois une certaine difficulté, lorsque le schème substitutif dépasse et déborde le schème concret donné, de manière à devenir partiellement ininterprétable. C’est ce qui a lieu par exemple avec les symboles imaginaires, qui ne représentent ni des nombres réels ni des grandeurs réelles11. On se demande, non sans raison, quelle valeur logique peut avoir le calcul ; comment un raisonnement algébrique, dont les étapes intermédiaires n’ont pas de sens arithmétique, peut-il aboutir à un résultat arithmétique valable et exact ? C’est que les lois de l’Algèbre et celles de l’Arithmétique sont analogues, et partiellement identiques, et qu’en même temps elles sont indépendantes les unes des autres quant à leur valeur. Toutes les fois qu’un raisonnement algébrique conduit à un résultat numériquement interprétable, ce résultat est juste, lors même qu’on aurait passé par des formes ininterprétables, parce que la liaison logique qui existe entre les prémisses et la conclusion algébriques, en vertu des lois de l’Algèbre, existe nécessairement aussi entre les prémisses et la conclusion arithmétiques, en vertu des lois de l’Arithmétique, homologues des précédentes. Le parallélisme partiel des deux ordres de lois garantit la validité de toute déduction, pourvu que les données et le résultat en soient interprétables en Arithmétique. En un mot, l’Algèbre est indépendante de l’Arithmétique aussi bien que de la Géométrie, parce que la valeur logique d’un calcul ne dépend pas de son interprétabilité. C’est seulement sa valeur objective qui en dépend, et celle-ci est garantie, dans la mesure où ce calcul est susceptible d’une interprétation concrète, par l’analogie formelle des lois du calcul et des caractéristiques du schème correspondant.

9Après ces préliminaires, dont il n’est pas besoin de faire ressortir la portée philosophique, M. Whitehead pose les Principes de l’Algèbre universelle, qui consistent dans les définitions générales de l’addition et de la multiplication, sans lesquelles il n’y a pas de calcul algébrique.

  • 12 C’est-à-dire dont le résultat est unique et bien déterminé.
  • 13 C’est-à-dire qui vérifie les deux égalités suivantes :

10Supposons que dans une multiplicité donnée on puisse définir une certaine combinaison de deux éléments (pris dans un ordre déterminé) qui soit univoque12, commutative et associative13 ; cette combinaison s’appellera addition, parce qu’elle possède les mêmes propriétés formelles que l’addition arithmétique. La multiplicité sera alors dite algébrique, parce que sans cette propriété elle ne serait susceptible d’aucun calcul. Les lois formelles qui définissent l’addition font partie des caractéristiques de cette multiplicité.

11On définit ensuite l’élément nul (ou zéro) de la multiplicité ; ce sera celui qui vérifiera la relation formelle suivante :

a + 0 = a,

quel que soit l’élément a. On définit encore la soustraction comme l’opération inverse de l’addition, en posant :

x = a − b,

si l’équation :

b + x = a

a une solution unique et bien déterminée.

12La soustraction est en conséquence une opération univoque qui vérifie les mêmes lois formelles que la soustraction arithmétique. Enfin, on peut définir ce que M. Whitehead appelle des étapes (steps) en deux sens opposés par rapport au zéro, au moyen des sommes (0 + a) et des différences (0 − a), qu’on écrira simplement + a et − a. On démontre que deux étapes symétriques + a et − a se neutralisent dans l’addition (c’est-à-dire ont pour somme 0) et qu’elles vérifient les lois commutative et associative.

  • 14 C’est-à-dire qu’elle vérifie les lois suivantes (le signe × représentant la nouvelle opération) :

13L’addition peut suffire à la rigueur à fonder un calcul algébrique, comme on le verra plus loin. Mais l’Algèbre universelle comporte une autre opération, qu’on appellera multiplication. Pour la définir d’une manière générale, considérons deux multiplicités algébriques, A et B (dont les éléments seront respectivement des a et des b). Supposons qu’à chaque combinaison d’un a et d’un b (pris dans un ordre déterminé) corresponde un élément c d’une troisième multiplicité C, et que celle-ci soit aussi algébrique. Supposons en outre que cette opération soit distributive par rapport à l’addition14. Dans cette hypothèse, l’opération en question sera la multiplication, définie entre les multiplicités A et B. On dira alors que celles-ci sont intermultiplicatives. Il se peut qu’on puisse définir la multiplication d’une multiplicité par rapport à elle-même, c’est-à-dire de deux éléments appartenant à la même multiplicité. Dans ce cas, cette multiplicité sera dite sui-multiplicative. Les produits de la multiplication peuvent d’ailleurs être, soit des éléments de la même multiplicité, soit des éléments d’une autre multiplicité.

14Soit une multiplicité algébrique sui-multiplicative A, qu’on appellera multiplicité du 1er ordre. Les produits de deux éléments de cette multiplicité formeront une multiplicité B dite du 2e ordre. Les produits de deux éléments pris respectivement dans A et B formeront une multiplicité C, dite du 3e ordre, et ainsi de suite ; en général, les produits de deux éléments pris respectivement dans la multiplicité du he ordre et dans celle du ke ordre formeront une multiplicité du (h + k)e ordre. L’ensemble de ces multiplicités d’ordres successifs engendrées par la multiplication s’appellera un système algébrique complet.

15Si la multiplicité du ne ordre est identique à la multiplicité du 1er ordre, on dit que l’on a une Algèbre du (n − l)e ordre. Une Algèbre du 1er ordre ne comprend donc qu’une multiplicité ; c’est le cas où le produit de deux éléments de la multiplicité du ler ordre est toujours un élément de cette même multiplicité.

16Telles sont les lois générales de toute Algèbre, c’est-à-dire les conditions indispensables d’un calcul algébrique quelconque. L’Algèbre universelle va maintenant se diviser en plusieurs Algèbres spéciales, qui se distingueront par des lois particulières ; celles-ci achèveront de déterminer les opérations dont nous venons de donner les définitions générales ; de sorte qu’on définit les Algèbres spéciales en définissant les additions ou les multiplications propres à ces Algèbres, ou plus exactement, en complétant leur définition générale.

17Considérons d’abord l’addition, qui est l’opération la plus fondamentale. Elle fournit une division primordiale de l’Algèbre en deux genres, suivant qu’on a :

a + a = 2a

ou :

a + a = a

18Le premier genre s’appelle Algèbre non numérique et le second Algèbre numérique : on voit en effet que dans cette dernière les nombres s’introduisent nécessairement comme coefficients, la somme de deux, trois, quatre termes égaux à a étant différente de a, et par suite représentée par 2a, 3a, 4a. Au contraire, dans l’Algèbre non numérique, la somme d’un nombre quelconque de termes égaux est égale à l’un d’eux, de sorte que les nombres n’y interviennent jamais.

19La seule espèce connue d’Algèbre non numérique est l’Algèbre de la logique, qui est du 1er ordre. L’Algèbre numérique se subdivise au contraire en diverses espèces, qui se distinguent par les lois spéciales de la multiplication. Elle comprend des Algèbres de tout ordre, fournies par le Calcul de l’extension de Grassmann. L’auteur étudiera donc successivement l’Algèbre de la Logique, dans le livre II, et le Calcul de l’extension, dans les livres restants.

  • 15 On reconnaît là l’idée directrice de l’Essai de M. Russell sur les Fondements de la Géométrie.

20Mais auparavant, pour montrer que les Algèbres spéciales ont un domaine d’application, il remarque qu’elles sont toutes susceptibles d’une interprétation géométrique qui donne un support intuitif aux propositions abstraites de ces Algèbres. Cette interprétation est si naturelle, qu’on est conduit à donner d’avance des noms géométriques aux diverses entités algébriques et à leurs propriétés, ce qui rend immédiate leur application à l’espace. Mais il en résulte une généralisation de la notion d’espace, parce qu’on est amené, d’une part, à concevoir l’espace à n dimensions sans plus de difficulté que l’espace à 3 dimensions, et d’autre part à étudier les espaces non-euclidiens en même temps que l’espace euclidien, comme diverses espèces d’un même genre de multiplicités, qui dérivent d’un même type, obéissent aux mêmes lois générales (celles de la Géométrie projective) et ne se distinguent que par quelques lois spéciales (celles de la Géométrie métrique, notamment la définition de la distance15.)

21On comprend par là que ce traité d’Algèbre universelle soit en même temps un traité de Géométrie générale, ce qui en double l’intérêt philosophique.

II

22L’Algèbre de la Logique est caractérisée par la loi spéciale de l’addition déjà énoncée :

a + a = a,

et par les lois spéciales de la multiplication qui suivent :

Loi commutative :  ab = ba

Loi associative :  ab. c = a . bc.

Loi de tautologie : aa = a

Loi d’absorption :  a + ab = a.

23À ces lois s’ajoutent quelques définitions fondamentales : le zéro a été défini d’une manière générale par la relation formelle :

a + 0 = a,

vraie quel que soit a. L’Univers i sera défini de même par la relation formelle :

ai = a,

vraie quel que soit a. En d’autres termes, 0 est le module de l’addition, et i le module de la multiplication.

24On définit alors les éléments supplémentaires par les relations formelles simultanées :

a + ā = i,           = 0

(ā est, logiquement parlant, la négation de a ; et réciproquement).

  • 16 Par exemple, l’addition est distributive par rapport à la multiplication, c’est-à-dire qu’on a les (...)

25Cela posé, on peut développer tout le calcul logique et en démontrer toutes les lois. L’auteur fait ressortir la réciprocité remarquable des propriétés de l’addition et de la multiplication logiques, qui se traduit par ce fait que, si dans une formule vraie on échange les signes + et × et les éléments 0 et i, on obtient une formule également vraie16. Il en résulte que tous les théorèmes de cette Algèbre se répartissent en couples de propositions réciproques ou corrélatives, et qu’il suffit de démontrer une seule des deux.

26L’interprétation géométrique de cette Algèbre s’obtient en faisant correspondre les éléments de la multiplicité aux diverses régions de l’espace, c’est-à-dire aux divers ensembles de points qu’on peut y distinguer. Peu importe, d’ailleurs, que ces ensembles soient continus ou discontinus, à une ou à plusieurs dimensions. Deux ensembles seront équivalents, quand ils seront composés exactement des mêmes points (sans en excepter un seul), c’est-à-dire quand ils seront identiques. La somme de deux ou plusieurs ensembles sera l’ensemble des points qu’ils contiennent à eux tous. Le produit de deux ou plusieurs ensembles sera l’ensemble des points communs à tous.

27Pour que cette interprétation soit valable, il suffit qu’elle vérifie les lois fondamentales de l’addition et de la multiplication : c’est ce dont on s’assure aisément. Par exemple, la formule additive :

a + a = a

est vérifiée par une région quelconque de l’espace, car l’ajouter à elle-même, ce n’est pas l’augmenter ni la changer ; appréhender deux fois tous ses points, ce n’est pas en ajouter un seul. De même, la formule multiplicative (réciproque de la précédente) :

aa = a

est vérifiée par toute région de l’espace, car les points communs à une région et à elle-même sont évidemment tous ses points, de sorte que son produit par elle-même est égal à elle-même. Enfin la loi d’absorption :

a + ab = a

se vérifie, si l’on remarque que la région ab est nécessairement contenue dans la région a, de sorte que l’ajouter à a, ce n’est rien ajouter à celle-ci.

  • 17 Cette copule n’est pas celle que M. Whitehead emploie d’après M. Schröder, mais elle a un sens et u (...)

28On est inévitablement amené, comme on vient de le voir, à considérer les rapports d’inclusion entre les différentes régions de l’espace et à les exprimer par une copule spéciale ≤17. On dira que la région a est contenue (incidente) dans la région b, et l’on écrira : a ≤ b, si tous les points (éléments) de la région a appartiennent à la région b. Pour pouvoir déduire algébriquement les propriétés des inclusions de celles des égalités, il faut établir une relation formelle entre les deux copules, qui servira de définition à la dernière. On conviendra donc que, si a ≤ b, a = ab, et réciproquement, c’est-à-dire que ces deux formules sont équivalentes.

29Cette équivalence se démontre d’ailleurs intuitivement : si a est contenu dans b, tous les points communs à a et à b appartiennent à a, donc a = ab. Réciproquement, si a = ab, c’est que tous les points de a sont communs à a et à b, donc appartiennent à b, ce qui signifie que  b.

30Le calcul des inclusions (ou subsomptions) est analogue à celui des inégalités dans l’Algèbre ordinaire. On démontre notamment, en partant de la définition précédente, la proposition suivante :

« Si  b et b ≤ c, on a a ≤ c, »

qui n’est autre que le principe du syllogisme. On démontre encore aisément que, si l’on a

a ≤ b et b ≤ a,

il s’ensuit :

a = b,

et réciproquement. Cette proposition permet de décomposer une égalité en deux inclusions, comme la définition formelle énoncée ci-dessus permet de transformer une inclusion en égalité. On peut donc, si l’on veut, supprimer partout la copule = pour lui substituer la copule ≤ (comme Peirce), ou au contraire se passer de la copule ≤ pour employer exclusivement la copule = (comme Boole). Mais il est plus rationnel, plus conforme à la nature des objets de cette Algèbre, de conserver côte à côte les deux copules, quitte à les transformer au besoin l’une dans l’autre, soit que, comme M. Schröder, on subordonne la copule = à la copule ≤, soit que, comme M. Whitehead (et M. Poretsky), on subordonne la copule ≤ à la copule =, en définissant la première par la seconde. Loin de compliquer et d’embrouiller l’Algèbre de la logique, comme on pourrait le craindre, on ne fait ainsi que lui donner plus de souplesse, et surtout faciliter son application pratique et son interprétation intuitive.

  • 18 Voir ses articles sur The Logical Calculus, ap. Mind, New Serie, t. I (1892). [William E. Johnson ( (...)

31M. Whitehead expose ensuite, sans s’attarder aux éléments, la théorie des équations logiques, et traite quelques-uns des problèmes les plus difficiles de cette Algèbre, notamment la résolution symétrique des équations, en s’inspirant de la méthode et des travaux de M. Johnson18, et en apportant sur certains points des solutions originales.

32L’auteur aborde alors une autre théorie, celle des jugements d’existence, qui consistent à affirmer que tel ensemble déterminé n’est pas vide, que telle région définie n’est pas nulle. On sait que, tandis que tous les jugements universels s’expriment par des égalités, qui reviennent en définitive à affirmer la nullité de telles et telles régions, les jugements particuliers s’expriment par des inégalités, qui consistent à nier la nullité de certaines régions, c’est-à-dire à affirmer leur existence. En un mot, les problèmes dont les prémisses sont universelles se traduisent par des équations logiques, et ceux dont les prémisses sont particulières, par ce que nous appellerons des inéquations logiques. Nous venons d’exposer notre propre conception, pour faire mieux comprendre celle de M. Whitehead, et pour préparer la critique que nous serons obligé d’en faire. L’auteur exprime les jugements d’existence par des lettres adjointes à celles qui représentent les régions. Ainsi, xj exprimera que la région x existe (n’est pas nulle) ; et x + ω exprimera la proposition corrélative, à savoir que x n’est pas égale à i (n’est pas tout). C’est ce que nous exprimerions tout aussi simplement et plus clairement, je crois, sous la forme des inégalités :

x ≠ 0,                  x ≠ i.

  • 19 Et en effet, de ce que x et y existent séparément, il ne résulte nullement que xy existe, c’est-à-d (...)

33L’auteur est ensuite obligé d’exposer minutieusement les règles de calcul qui devront être appliquées aux symboles j et ω, et dans le détail desquelles nous ne pouvons pas entrer. D’autant plus que cette notation se complique par l’introduction de lettres ombrales (lettres grecques) correspondant aux lettres qui désignent les différentes régions. Ainsi le produit xα désigne simplement la région x, en y adjoignant l’affirmation que la région xa existe (xa.j) ; et la somme x + ᾱ désigne encore x, en y adjoignant l’affirmation que a existe, c’est-à-dire que x + ā n’est pas tout : (ā + ω). Nous nous contenterons de remarquer les principaux défauts de cette notation. D’abord, les symboles j et ω et les lettres ombrales ne peuvent exister isolés ; ils n’ont de sens que lorsqu’ils accompagnent des lettres réelles et indépendantes, représentant des régions. Les expressions xα, , doivent être traitées comme des touts indivisibles. Ensuite, quoi qu’en dise M. Whitehead, ils n’obéissent pas à toutes les lois du calcul des lettres réelles : par exemple, il remarque lui-même qu’elles font exception aux lois de tautologie : xα . xβ ne signifie pas la même chose que xαβ ; de même que xj yj n’est pas équivalent à xy j19. On a au contraire :

xy . j = xj . yj . j.

34La loi distributive de la multiplication n’est applicable qu’en apparence, et avec restriction, car au lieu d’avoir :

(x + yj = xj + yj,

on a :

(x + yj = xj1 + yj1,

j1 étant une forme atténuée de j, qui exprime seulement que l’une ou l’autre des deux régions x et y existe. Quant à la loi distributive de l’addition, elle est entièrement inapplicable (p. 85). Les mêmes remarques portent sur les inconvénients que présentent dans le calcul le symbole ω et sa forme atténuée ω1. Ce qui est plus grave encore, c’est que la relation d’égalité perd son caractère symétrique, et qu’on est obligé d’adopter un nouveau signe d’égalité pour indiquer que le second membre résulte du premier, mais que le premier ne résulte pas du second : ce n’est plus une égalité, mais une implication. D’autre part, ces symboles ont des lois spéciales de combinaison différentes des lois du calcul logique : par exemple on a :

 + xβ = xα xβ,
xα + β = (x + β) α.

35Enfin :

(α+ β) = xα1 + xβ1

α1 et β1 étant des formes atténuées de α et β.

36Tout cela complique énormément les calculs, et en définitive, en supprime le principal avantage, qui est de remplacer le raisonnement par une manipulation mécanique de signes suivant des règles générales qu’on applique en quelque sorte aveuglément, sans avoir à tenir compte du sens des signes. Par exemple, pour écrire l’égalité :

x + y +ω = (x + η) + (y + ξ),

  • 20 Cette formule signifie, en langage ordinaire : Dire que la somme de x et de y existe (n’est pas nul (...)

il est nécessaire de réfléchir au sens des symboles ω, ξ, η. De même, dans tout le calcul des lettres ombrales, on a constamment besoin de faire attention au sens des expressions qu’on transforme, sans quoi l’on commettrait des erreurs à chaque pas. Enfin, le plus grave reproche qu’on puisse faire à cette méthode, c’est qu’il est tout à fait fâcheux d’employer des lettres pour exprimer des relations, alors que les lettres représentent toujours et uniquement les termes des relations, et que les relations se traduisent au contraire par des copules. Lors même que le calcul des lettres ombrales n’offrirait aucun des inconvénients que nous venons d’énumérer, il nous paraîtrait encore plus simple et plus clair d’écrire les jugements d’existence sous forme d’inégalités. Par exemple, il est bien préférable d’écrire20 :

(x + y ≠ 0) = (x ≠ 0) + (y ≠ 0)

  • 21 C’est ce que fait notamment M. Poretsky. [Platon Poretsky (1846-1907), enseignant à l’Université de (...)

que d’employer le symbole j avec sa forme atténuée j1 pour exprimer l’alternative que contient le second membre, et que traduit parfaitement le signe +. Ajoutons à cela que la copule peut relier deux membres quelconques, tandis que les symboles j et ω ne traduisent que des inégalités dont le second membre est 0 ou i. Or il peut y avoir avantage, au point de vue de la généralité, à traiter les inéquations sous la forme générale21

A ≠ B,

de même que M. Whitehead traite les équations sous la forme générale

A = B,

au lieu de réduire les unes et les autres au second membre zéro. Enfin, si l’on adopte les copules négatives, on pourra employer, concurremment avec la copule ≠ un signe de non-inclusion qui sera la négation de l’inclusion ≤ et dont le rapport à la copule ≠ sera le même que celui de la copule ≤ à la copule =. On pourra transformer les non-inclusions en inégalités (ou inversement) comme on transforme les inclusions en égalités, et suivant les mêmes lois. Cela permettrait de se rapprocher davantage de l’expression verbale des propositions particulières, et faciliterait la mise en équations des problèmes.

37Quelle que soit la valeur théorique de ces réserves, il est un fait qui semble les confirmer, c’est que, si M. Whitehead paraît avoir dépassé M. Schröder dans la théorie des équations, il reste manifestement en retard sur lui dans la théorie des inéquations ; ce qui s’explique sans doute par l’incommodité du symbolisme qu’il emploie. Si nous insistons autant sur ce point, c’est que nous savons quelle est l’importance d’un heureux choix de symboles appropriés et adéquats à la pensée pour le progrès d’une science, surtout d’une science naissante ; et que nous voudrions épargner à M. Whitehead et à ses émules, pendant qu’il en est temps encore, les pertes stériles de temps et de peine que cause l’emploi d’un instrument défectueux et plus gênant qu’utile.

38L’auteur applique enfin son Calcul à la Logique classique, pour vérifier les modes du syllogisme. Sur les 19 modes traditionnels, il n’en trouve que 14 concluants. Il considère les cinq autres, savoir : Darapti, Felapton, Bramantip, Camenos et Fesapo, comme des syllogismes à prémisses trop fortes ou surabondantes (over-strong).

39Nous ne savons pas pourquoi M. Whitehead n’admet que le mode indirect Camenos, au lieu du mode concluant Camenes qui se ramène immédiatement à Camestres. Si nous le laissons de côté, il reste quatre modes qui ont été déjà déclarés non concluants par M. MacColl (1878) et par miss Ladd (1883). Seulement, ces auteurs en trouvaient les prémisses insuffisantes, parce que la conclusion (particulière) implique un jugement d’existence qui ne se trouve pas dans les prémisses (universelles). Ainsi l’accord de fait semble reposer sur un complet désaccord d’idées. Cela vient de ce que notre auteur croit devoir exclure les formes illusoires (nugatory) en transformant les termes des prémisses en expressions existentielles. Ainsi la proposition universelle : « tout a est b », qui se traduit symboliquement par : ≤ b, exclut, suivant lui, le cas où a = 0, et même le cas où b = i. Pour exclure le premier cas, il l’écrit :

aj = bj,

et pour exclure le second, il l’écrit :

a + ω = + ω.

  • 22 Cf. John Venn, Symbolic Logic, chap. VI. (London, Macmillan, 2e édition, 1894.) [John Venn (1834-19 (...)

40C’est une question délicate et fort controversée de savoir quelle est la portée existentielle des jugements affirmatifs et négatifs, c’est-à-dire s’ils impliquent ou non l’existence de leur sujet ou de leur prédicat22. Sans vouloir entrer dans cette discussion, nous dirons, avec M. Venn, que, quel que soit le sens plus ou moins vague et flottant que l’usage et l’association des idées attachent aux formes verbales des jugements, la Logique algorithmique, dans sa précision rigoureuse, ne peut attribuer aucune portée existentielle aux jugements universels ; si l’on veut leur accorder cette portée, il faut absolument la formuler explicitement, en leur adjoignant les jugements d’existence que l’on croit y voir impliqués. Par exemple, pour exclure le cas où a = 0, on devra écrire :

( b) ( 0),

et pour exclure le cas où b = i, on écrira :

( b) ( i)

41On voit par là combien est fallacieuse la notation de M. Whitehead, qui déguise et dissimule une affirmation sous la forme d’un facteur, de sorte qu’un jugement en apparence unique (puisqu’il n’a qu’une copule) peut en envelopper deux ou trois.

42C’est ce qui explique que M. Whitehead trouve les prémisses des quatre modes non concluants trop fortes, alors que M. MacColl les trouve trop faibles. En effet, pour les rendre concluants, il faut adjoindre aux deux prémisses un jugement d’existence, de sorte que trois prémisses sont nécessaires pour justifier la conclusion. Or, comme M. Whitehead implique dans chacune des prémisses un jugement d’existence, cela fait quatre prémisses en tout, et il en a par conséquent une de trop. Il n’a donc pas en réalité justifié les quatre modes en question ; il en a au contraire confirmé indirectement l’invalidité.

  • 23 C’est plutôt ceux de b qui doivent faire partie de ceux de a.

43L’auteur termine ce livre en appliquant l’Algèbre de la logique au Calcul des propositions. Le produit correspond au complexe conjonctif de plusieurs propositions (c’est-à-dire à leur affirmation simultanée) ; la somme correspond au complexe disjonctif de plusieurs propositions (c’est-à-dire à leur affirmation alternative). Il nous semble que son interprétation manque de clarté et de précision ; cela est surtout manifeste pour les définitions du zéro et du tout. L’élément nul, est-il dit, correspond au rejet absolu de tous les motifs d’assentiment relatifs à une proposition, et par conséquent au rejet de la validité de cette proposition. L’univers représente la classe des propositions considérées comme valables absolument. Si l’on compare ces deux définitions, on ne sait pas si les éléments de l’Algèbre représentent des ensembles de propositions ou des motifs d’assentiment. Par exemple, deux propositions sont dites équivalentes quand elles ont exactement les mêmes motifs d’assentiment (53). Cette définition n’a guère un caractère mathématique. Nous croyons que la manière la plus simple et la plus claire d’appliquer l’Algèbre aux propositions est de réduire celles-ci à leur extension, c’est-à-dire à leur domaine de validité, soit à l’ensemble des instants où elles sont vraies (comme Boole), soit à l’ensemble des cas où elles sont vraies (comme M. MacColl). On définira par exemple le jugement hypothétique  b en disant que le domaine de validité de la proposition a est contenu dans celui de la proposition b. Cette définition nous paraît autrement précise et mathématique que celle qui consiste à dire que les motifs d’assentiment de la proposition a sont compris parmi ceux de la proposition b23.

  • 24 C’est pourquoi, quoi qu’en dise M. Poretsky, nous considérons la copule d’inclusion ≤ comme essenti (...)
  • 25 D’ailleurs l’interprétation géométrique elle-même comporte plusieurs systèmes différents : cercles (...)

44En somme, et c’est la conclusion philosophique qui ressort de l’exposition même de M. Whitehead, si la Logique est susceptible de traitement mathématique, c’est grâce à la réduction des concepts et des propositions à leur extension. Comme l’a bien montré M. Schröder, la Logique algorithmique est nécessairement une logique de l’extension. Et cela se comprend, car l’extension des concepts et des propositions est représentée par des ensembles ou des multiplicités, et c’est par là qu’elle donne prise au calcul algébrique. L’Algèbre de la logique est au fond la théorie des ensembles, considérés au point de vue de leur inclusion et de leur exclusion mutuelles24 ; et c’est pourquoi le symbolisme logique est susceptible d’une triple interprétation : en concepts, en propositions et en ensembles de points ou domaines spatiaux25. À un point de vue plus général et plus abstrait encore, l’Algèbre de la logique apparaît comme le fondement des mathématiques, ou comme la branche la plus élémentaire des mathématiques, antérieure aux sciences du nombre, de l’ordre et de la grandeur, qui toutes en sont dépendantes et tributaires : c’est la mathématique du tout et de la partie.

III

  • 26 En règle générale, les lettres grecques représentent seules des nombres tandis que les lettres ital (...)

45Passons à l’Algèbre numérique, qui occupe la plus grande partie du volume. L’auteur définit d’abord les multiplicités de positions (livre III). Soient e1, e2,… en, n éléments d’une multiplicité, α1, α2,… αn, n nombres réels quelconques26 ; un élément quelconque de la multiplicité sera défini par :

a = α1 e1 + α2 e2 + … + αn en

et l’on aura tous les éléments de la multiplicité en donnant aux coordonnées α1, α2,... αn toutes les valeurs possibles.

46L’élément a sera équivalent à l’élément :

b = β1 e1 + β2 e2 + … + βn en

si leurs coordonnées sont proportionnelles, c’est-à-dire si :

α1/ β1 = α2/ β2 = … = αn/ βn

47On dit alors qu’ils ne diffèrent que par l’intensité. L’intensité est une propriété secondaire des éléments de la multiplicité ; c’est une grandeur absolue attachée à chacun d’eux et représentée par un nombre réel.

48Quelle sera l’interprétation géométrique de cette théorie ? La multiplicité définie par les n éléments de référence (points) e1, e2,… en en sera représentée par une région de ( 1) dimensions. Dans cette région, k éléments de référence, par exemple e1, e2,… ek et (n) définissent une sous-région de (k − l) dimensions, à savoir l’ensemble des éléments (points) de la forme :

x = ξ1 e1 + ξ1 e1 + …+ ξk ek

49En effet, puisque les éléments dont les coordonnées sont proportionnelles sont équivalents (congruents), les éléments vraiment distincts sont déterminés simplement par les valeurs relatives de leurs coordonnées, c’est-à-dire par les rapports de (k − 1) d’entre elles à la ke ce qui ne fait que (k − 1) variables indépendantes. La ke variable indépendante est alors l’intensité, qui n’a pas de sens géométrique, et dont on verra plus tard l’interprétation physique.

  • 27 Des éléments sont dits dépendants quand il existe une relation linéaire entre leurs coefficients.

50Dans une région de (k − 1) dimensions, on ne peut trouver plus de k éléments indépendants27 quelconques définissant une région de (k − 1) dimensions.

51On peut encore définir, dans la région de (n − 1) dimensions, d’autres ensembles d’éléments appelés lieux. Un lieu est défini par une ou plusieurs équations entre les coordonnées de l’élément variable :

x = ξ1 e1 + ξ2 e2 + …+ ξn en ;

  • 28 C’est-à-dire dont aucune n’est une conséquence des autres.

autrement dit, c’est l’ensemble des éléments dont les coordonnées vérifient ces équations. Un lieu défini par k équations indépendantes28 a ( k − 1) dimensions, c’est-à-dire dimensions de moins que la région complète. Si ces k équations sont linéaires, il est dit lieu plan.

52Un lieu qui a une dimension de moins que la région qui le contient est une surface. Un lieu à une dimension est une ligne ; s’il est plan, c’est une droite.

  • 29 Le lecteur mathématicien aura reconnu le système de coordonnées homogènes, ou, plus généralement, l (...)

53Toutes ces définitions ont, comme on le voit, un sens purement algébrique ; mais les notions ainsi définies ont dans l’espace à ( 1) dimensions une interprétation géométrique immédiate, que leurs noms indiquent suffisamment. Il convient de remarquer que cette interprétation, c’est-à-dire l’application des éléments de notre multiplicité aux points de l’espace, n’implique aucune idée de grandeur ni de mesure. Les coordonnées numériques de chaque point n’ont aucun sens métrique ; ce sont de simples numéros d’ordre29. Ce que nous venons de définir est donc en somme l’Algèbre de la géométrie projective.

54Cela posé, une droite (lieu à 1 dimension) sera définie par deux de ses points, a1, a2, c’est-à-dire qu’elle sera le lieu du point :

x = ξ1 a1 + ξ2 a2,

qui varie avec le rapport de ξ1 à ξ2 coïncide avec a1, quand ξ2 est nul et avec a2 quand ξ1 est nul. Soit un autre point de la même droite :

y = η1 a1 + η2 a2.

55On définit le rapport anharmonique de ces deux points (et des points fixes de référence a1,a2) par la fraction numérique :

1 / ξ2) : 1/ η2) =  (ξ1 η2)/ (ξ2 η1)

  • 30 Quatre points dont le rapport anharmonique est égal à − 1 sont dits former une rangée harmonique. P (...)

56On peut alors définir les rangées homographiques de points sur deux droites différentes (les couples de points homologues ayant le même rapport anharmonique), et par suite la projectivité de deux figures rectilignes30.

  • 31 Dans un espace à 2 dimensions, la figure de référence est un triangle ; dans l’espace à 3 dimension (...)
  • 32 C’est-à-dire sont en alignement rectiligne avec un seul et même point, appelé centre de perspective
  • 33 C’est une généralisation de la propriété bien connue des triangles homologiques. (Voir J. Richard, (...)

57On arrive ainsi à démontrer ce théorème capital de Géométrie projective : Soient deux figures de référence a1, a2,… an et e1, e2,… en (formées en menant les droites qui joignent deux à deux les éléments de référence dans chacune d’elles31.) Si les sommets homologues des deux figures sont tous en perspective32, les arêtes homologues concourent dans un même plan ; et réciproquement33.

58On établit aussi cette proposition très importante en Géométrie projective : Dans une région de (k − 1) dimensions, (k + 1) éléments quelconques vérifient une relation linéaire. Ainsi il existe une équation du 1er degré entre trois points d’une droite, entre quatre points d’un plan, entre cinq points de l’espace à trois dimensions.

59De ces propositions fondamentales on déduit immédiatement, par exemple, les propriétés projectives du quadrangle (quadrilatère complet). En effet, quatre points quelconques a, b, c, d du plan sont unis par l’équation :

α a + β b + γ c + δ d = 0,

α, β, γ, δ étant des nombres-déterminés. On en conclut que (α a + β b) et (γ c + δ d) représentent le même point, lequel, devant appartenir à la fois à ab et à cd, ne peut être que le point d’intersection de ces droites. On en dirait autant des 2 autres couples de droites : ac et bd, bc et ad. Les points d’intersection de ces trois couples sont donc :

e = γ c + α a = − (β b + δ d),

f = α a + β b = − (γ c + δ d),

g = β b + γ c = − (δ d + α a) ;

d’où l’on déduit :

f − g = αa − γ c,

f + g = β b − δ 

60On en conclut, d’abord, que ( g), point d’intersection de fg et de ac, est le conjugué harmonique de e par rapport à a et c ; ensuite, que (f − g), point d’intersection de fg et de bd, est le conjugué harmonique de e par rapport à b et d ; enfin, que (f − g) et (f + g) sont conjugués harmoniques par rapport à f et g (Fig. 1).

Figure 1

Image 1000000000000273000000EDE7AE785F.png

61On voit par cet exemple quelle est la simplicité de ce symbolisme géométrique, et avec quelle facilité il s’applique à l’intuition. On conçoit dès lors qu’on puisse définir dans cette Algèbre les quadriques, c’est-à-dire les surfaces du second degré, les pôles et polaires par rapport à une quadrique, le tout d’une manière purement projective.

62Telles sont les propriétés fondamentales d’une multiplicité de positions, c’est-à-dire de l’espace tel que le conçoit la Géométrie projective. On a pu remarquer qu’elles reposent uniquement sur les propriétés de l’addition. On va (dans le livre IV) entrer dans le Calcul de l’extension en définissant la multiplication. D’une manière générale, soient :

a = ∑αeh = α1e1 + α2e2 + … + αnen,

b = ∑βek = β1e1 + β2e2 + … + βnen,

le produit ab sera par définition :

αβeek

c’est-à-dire la somme des produits partiels (monômes) obtenus en multipliant chaque terme du multiplicande a par chaque terme du multiplicateur b. Chaque produit partiel se compose d’une partie numérique, αβk qui se réduit à un nombre, et du produit de deux éléments de référence ehβk. Le produit ab est donc un élément d’une nouvelle multiplicité (du 2e ordre) dont les éléments de référence sont les produits des éléments de référence de la multiplicité du ler ordre pris deux à deux. De même, le produit de trois éléments du 1er ordre (ou d’un élément du 1er et d’un élément du 2e ordre) est un élément d’une multiplicité du 3e ordre, dont les éléments de référence sont les produits des éléments de référence du 1er ordre pris trois à trois. Et ainsi de suite, indéfiniment.

63Mais on peut admettre certaines relations entre les n2 unités de la multiplicité du 2e ordre, entre les n3 unités de la multiplicité du 3e ordre, etc. Ces relations seront des équations de condition entre les n unités du 1er ordre. Or Grassmann a démontré qu’il n’y a que deux types de multiplication qui aient des équations de condition invariantes (c’est-à-dire les mêmes quels que soient les n éléments de référence de la multiplicité du 1er ordre) ; à savoir : celui qui a pour équation de condition :

ehek = ekeh

64(c’est-à-dire qui obéit à la loi commutative, comme la multiplication arithmétique) ; et celui qui a pour équations de condition :

eheh = 0,  ehek + ekeh = 0

c’est-à-dire où le produit de chaque unité par elle-même est nul, et où le produit de deux unités différentes change de signe quand on change leur ordre ; car on a alors :

ekeh = − ehek.

65Ce second type s’appelle la multiplication combinatoire ; c’est celui qu’on adopte dans le Calcul de l’extension. Des équations de condition il résulte qu’on a, pour des éléments quelconques de la multiplicité du 1er ordre :

aa = 0, ab + ba = 0.

ab = ∑hk (αhβk – αkβhehek.

66Un produit change de signe chaque fois qu’on intervertit deux facteurs voisins. La multiplication est associative, mais non commutative.

67Les multiplicités dérivées se simplifient alors, car, puisque le nombre des combinaisons (produits) des n unités r à r est :

Image 100000000000012C0000004E25E7FA44.jpg

la multiplicité d’ordre r a nr éléments de référence. La multiplicité d’ordre (n − l) en a donc n ; la multiplicité d’ordre n se réduit à un seul élément, qui est le produit e1, e2, e3en. Il n’existe pas de multiplicité d’ordre supérieur, car le produit de plus de n unités en contient au moins une répétée, et par conséquent est nul.

68Maintenant on peut faire rentrer les multiplicités dérivées dans la multiplicité du 1er ordre grâce à la convention suivante. Le produit de r éléments indépendants du 1er ordre est un élément de la multiplicité d’ordre r ; d’autre part, l’ensemble de ces r éléments définit une région de (n − r − 1) dimensions dans la multiplicité du 1er ordre. On convient d’identifier ce produit à cette région ; il la représentera avec une intensité déterminée, qui dépend de l’intensité des éléments du ler ordre qui en sont les facteurs. Les propriétés de la région seront définies par les relations de condition qui existent entre les éléments de la multiplicité d’ordre r à laquelle elle appartient. Cette région ne devra pas être considérée comme un simple agrégat d’éléments du 1er ordre, mais comme un tout simple ayant ses propriétés spéciales, en tant qu’élément de la multiplicité d’ordre r. On l’appellera donc élément régional ou grandeur extensive, et la multiplicité de positions, qui a ainsi absorbé les multiplicités de grandeurs extensives dérivées d’elle-même, sera appelée multiplicité extensive.

69Pour illustrer tout de suite ces définitions abstraites en les appliquant à l’espace, le produit de deux points sera la droite qui les joint ; le produit de trois points (ou d’un point et d’une droite) sera le plan qui les contient ; le produit de quatre points sera une région à trois dimensions, et ainsi de suite. En général, le produit d’un élément du he ordre et d’un élément du ke ordre est un élément du (h + k)e°ordre.

70La multiplication combinatoire est progressive, tant que h + ≤|

71n. Elle n’est pas définie dans le cas où h + n, ou plutôt le produit serait toujours nul dans ce cas. On va donc définir la multiplication régressive, c’est-à-dire le produit de deux éléments du he et du ke ordre, pour le cas où h + n. Pour cela, on définit d’abord le supplément d’une région définie par le produit de r unités : ce sera la région définie par le produit des ( r) unités restantes. Le supplément de la région Er sera désigné par E. On définit en conséquence le supplément d’une région quelconque :

Ar = α Er + α′ E′r + α′′ E′′r + ….

comme étant la région :

Ar = α|Er + α′|E′r + α′′|E′′r + ….

72Cela posé, soit à multiplier deux régions Ah, Ak respectivement d’ordre h et d’ordre k, (h + k) étant supérieur à n : leurs suppléments |Ah |Ak sont d’ordres (n − h), (n − k), dont la somme est inférieure à n : par conséquent leur produit est défini par la multiplication progressive. On pourra donc définir le produit AhAk comme la région dont le supplément est le produit des suppléments de Ah et de Ak autrement dit, par la formule :

|(Ah Ak) = |Ah × |Ak.

  • 34 La théorie des suppléments est une extension de la théorie des figures polaires réciproques. Chaque (...)

73Cette formule est d’ailleurs générale, car elle vaut, par réciprocité, pour un produit progressif, au cas où h + k < n. On établit ensuite les règles de cette nouvelle multiplication, et notamment la règle du facteur médian, qui joue un rôle capital dans le Calcul de l’extension34.

74En résumé, si h + n, le produit progressif AhAk représente la région qui contient les deux régions Ah, Ak, à moins qu’elles n’aient un élément commun, auquel cas il est nul. Si h + n, le produit régressif AhAk représente la région commune aux deux régions Ah, Ak, à moins qu’elles n’aient en commun une région d’ordre supérieur à h + k − n, auquel cas le produit est nul. Enfin, si h + k = n, le produit AhAk se réduit à un nombre (le produit e1e2..., en étant par convention égal à 1).

75Appliquons ces définitions à la Géométrie projective. La condition pour que deux points a et b coïncident est :

ab = 0.

76La condition pour que le point x appartienne à la droite ab, au plan abc, à la région abcd, est respectivement :

abx = 0, abcx = 0, abcdx = 0.

77La première de ces équations exprime donc la condition pour que trois points soient collinéaires (en ligne droite) ; la deuxième exprime la condition pour que quatre points soient coplanaires (dans le même plan).

78La condition pour que deux lignes ab, cd se coupent est :

abcd = 0.

79Le point d’intersection d’un plan P et de la ligne ab est :

P . ab = (Pba − (Pab.

en vertu de la règle du facteur médian. Or si les points a et b sont contenus dans le plan P, on a :

Pa = 0, Pb = 0,

et par suite :

P . ab = 0,

c’est-à-dire que la droite est contenue tout entière dans le plan.

80On appelle points sibinormaux les points qui sont situés dans leur plan supplémentaire, et celui-ci s’appelle un plan sibinormal. Le lieu des points sibinormaux est une quadrique (surface du second ordre), qui est également l’enveloppe des plans sibinormaux. Cette correspondance est analogue à celle des pôles et des plans polaires, avec cette différence, que celle-ci est définie par une quadrique donnée, tandis que celle-là sert à définir la quadrique.

  • 35 C’est à ces constructions que M. Russell se réfère dans son article Sur les axiomes de la Géométrie(...)

81Dans une région à deux dimensions (plan), le produit régressif de deux lignes est leur point d’intersection. Dans une région à trois dimensions (l’espace ordinaire), le produit de deux lignes et celui d’un point et d’un plan sont purement numériques ; le produit régressif d’une ligne et d’un plan est leur point d’intersection ; le produit régressif de deux plans est leur ligne d’intersection. On peut donc représenter algébriquement toutes les constructions géométriques, et effectuer les transformations et déductions de la Géométrie projective en remplaçant les raisonnements par le calcul. On traduit ainsi en formules et l’on justifie la construction du quadrilatère de Staudt et les constructions de Grassmann, qui ont pour but de déterminer sur une droite ab tous les points de la forme a + ξb, et, dans le plan abc, tous les points de la forme a + ξb + ηc ; c’est-à-dire d’obtenir les points correspondant à un système quelconque de coordonnées réelles35. On prouve enfin que le mode le plus général de transformation projective correspond au type le plus général de transformation linéaire en Algèbre.

82L’équation générale d’une conique a la forme suivante :

xaBcBex = 0,

où B et D sont des lignes, de sorte que xaB est un point, xaBc une ligne, xaBcD un point ; l’équation exprime que ce dernier point est sur la droite. Si l’on construit la figure correspondante (fig. 2), on trouve le théorème suivant (généralisé par Grassmann) :

Figure 2

Image 100000000000034700000145518ADA9B.png

83Si les trois côtés d’un triangle pivotent autour de trois points fixes (a, c, e), et si deux des sommets glissent sur deux droites fixes (B, D), le troisième sommet (x) décrit une conique.

84Si l’on pose : B . ce = b, D . ca = d, BD = f, et par suite : c = eb ad, l’équation de la conique prend la forme suivante :

(xa . bf) (eb . ad) (df . ex)0,

  • 36 Ce théorème s’énonce ainsi : soit l’hexagone xadfbex inscrit à une conique, les côtés opposés xa et (...)

ce qui traduit le théorème de Pascal36. Il suffit de prendre les suppléments (dans le plan) pour obtenir l’équation tangentielle de la conique sous une forme qui exprime le théorème de Brianchon. Citons enfin, à titre de curiosité, l’équation générale d’une cubique (courbe plane du troisième degré) sous la forme élégante et simple :

xaA. xbB. xcC = 0,

qui signifie que a, b, c étant des points fixes et A, B, C des droites fixes, les droites xa, xb, xc doivent rencontrer respectivement les droites A, B, C en trois points collinéaires.

85Dans le livre V, l’auteur applique le Calcul de l’extension aux multiplicités extensives à trois dimensions, et développe la théorie purement projective des systèmes de forces, sans impliquer aucune notion métrique, non plus que l’axiome des parallèles ; ce qui est d’autant plus remarquable que la Statique repose sur le parallélogramme des forces. Voici comment s’opère cette réduction, en apparence paradoxale, de la Statique à l’Algèbre.

86Dans une multiplicité extensive à trois dimensions, un élément linéaire (à une dimension) est le produit de deux points, et peut par suite être considéré comme le segment rectiligne déterminé par ces deux points. De plus, il a un sens déterminé, puisque ab = − ba. Enfin, il est doué d’une intensité particulière, qui le distingue de tous les éléments congruents, c’est-à-dire de tous les autres segments appartenant à la même droite. Il a donc toutes les propriétés formelles des forces, qui sont des grandeurs linéaires douées de sens et d’intensité. Voilà pourquoi l’on peut assimiler la théorie des forces à la théorie des grandeurs extensives linéaires. On retrouve par l’Algèbre toutes les propositions fondamentales de la Statique, par exemple la réduction d’un système de forces à deux forces, et la correspondance de Chasles qu’un tel système établit entre les points et les plans de l’espace (foyers et plans focaux). On définit ensuite les groupes de divers ordres (doubles, triples, quadruples et quintuples) que forment les systèmes de forces. Les lignes de moment nul d’un système forment un complexe linéaire, les lignes nulles communes d’un groupe double forment une congruence. Enfin les lignes nulles communes d’un groupe triple sont les génératrices d’une quadrique, que ce groupe sert à définir, et inversement, toute quadrique définit deux groupes triples réciproques l’un de l’autre. On voit par là quelle est l’ampleur et la variété des applications géométriques et mécaniques du Calcul de l’extension.

87Jusqu’ici, 1’Algèbre a été appliquée à la Géométrie projective, et par suite toutes les propositions sont également valables dans l’espace euclidien et dans les espaces non-euclidiens. On va maintenant (livre VI) l’appliquer à la Géométrie métrique, au moyen de la définition de la distance (d’après les théories de Cayley et Klein). Voici les trois axiomes qui servent à définir cette grandeur, fondement de toute la Géométrie métrique :

88Axiome I. — Deux points quelconques définissent une grandeur unique et déterminée, qui mesure leur séparation, et qui s’annule lorsqu’ils coïncident.

  • 37 On a défini précédemment, sur une droite, le segment compris entre deux de ses points, et l’on sait (...)

89Axiome II. — Si a, b, c sont trois points en ligne droite, b étant entre a et c37, on a :

ab + bc = ac.

90Axiome III. — a, b, c étant trois points quelconques, si ab et bc sont finies, ac l’est aussi ; si ab est finie et bc infinie, ac est infinie. Si ab et bc sont réelles, ac l’est aussi.

  • 38 Cf. Russell, art. cité, p. 704.

91Il en résulte que, sur une droite (direction) donnée, il n’y a qu’un point qui soit situé à une distance déterminée, dans un sens déterminé, d’un point donné sur cette droite38.

  • 39 En voici l’énoncé : Si deux rangées de points (sur deux droites différentes) sont congruentes, elle (...)

92Cela posé, la distance est susceptible de plusieurs définitions différentes compatibles avec ces principes. On définit la distance de deux points d’une droite par le logarithme du rapport anharmonique de ces deux points avec deux points fixes, et M. Klein a prouvé que c’était là la seule définition compatible avec les propositions relatives aux rangées congruentes39. Or cette définition comporte trois cas distincts, suivant que les deux points fixes sont réels, imaginaires ou coïncidents.

  • 40 Cf. Whitehead, The Geodesic Geometry of Surfaces in non-Euclidean Space, ap. Proceedings of the Lon (...)

93L’ensemble des points de référence sur toutes les droites forme une quadrique réelle ou imaginaire, qu’on appelle l’absolue. L’absolue enveloppe l’espace proprement dit, c’est-à-dire la partie de la multiplicité où vaut la définition de la distance pour deux points réels quelconques, et où cette distance est réelle. Dans le cas où l’absolue est réelle, elle est fermée ; et la partie réelle de la multiplicité qui se trouve en dehors s’appelle l’antispace. D’ailleurs, l’absolue est dans tous les cas à une distance infinie de tout point de l’espace. Quand l’absolue est réelle, on a la géométrie hyperbolique : quand elle est imaginaire, on a la géométrie elliptique ; enfin, quand elle se réduit par aplatissement à deux plans coïncidents, on a la géométrie parabolique, c’est-à-dire euclidienne. L’auteur expose successivement les principes métriques propres à ces trois géométries, notamment la définition des distances, des segments et des angles, celle de l’intensité, les formules trigonométriques, enfin la théorie des parallèles, qui a été, comme on sait, l’origine de la découverte de ces diverses formes d’espace. Il en tire notamment cette conclusion philosophique intéressante, que l’espace euclidien ne jouit d’aucun privilège sur les espaces non-euclidiens, et que, s’il peut contenir des surfaces ayant les propriétés des espaces elliptique et hyperbolique, inversement, il existe dans l’espace hyperbolique et même dans l’espace elliptique des surfaces réelles dont la géométrie géodésique est celle du plan euclidien40.

  • 41 Analytiquement, le groupe des déplacements se définit comme le groupe des transformations linéaires (...)
  • 42 Dans l’espace elliptique, il n’y a pas de différence entre les translations et les rotations ; les (...)

94L’auteur étudie ensuite les transformations congruentes, qui ne sont pas autre chose que les déplacements de figures invariables, et développe ainsi une Cinématique à trois dimensions41. Il retrouve la décomposition connue de tout mouvement en translations et rotations42. Puis il applique le Calcul de l’extension à la géométrie infinitésimale, c’est-à-dire à l’étude des courbes et surfaces, que l’on traite d’ordinaire par la géométrie analytique. Pour cela, il suffit de définir la dérivée d’un point. Soit :

x = ξ1 e1 + ξ2 e2 + ξ3 e3 + ξ4 e4

un point rapporté au système d’unités normales (points de référence) e1, e2, e3, e4. Les coordonnées ξ1, ξ2, ξ3, ξ4 étant fonctions d’une variable τ, si l’on désigne par des accents les dérivées par rapport à τ, on aura par définition :

x′ = ξ′1 e1 + ξ′2 e2 + ξ′3 e3 + ξ′4 e4

95Si la variable τ représente le temps, x′ sera le point-vitesse de x, et x′′ (dérivée de x′) sera son point-accélération. Sa vitesse sera le produit (segment linéaire) xx′, et son accélération sera le produit xx′′. La tangente à la courbe décrite par le point x sera donc aussi xx′. Le plan osculateur sera xx′x′′ ; le plan normal, |

96x′. La normale principale (intersection des deux plans précédents) s’exprimera par leur produit xxx′′|

97x′. La binormale (perpendiculaire au plan osculateur) sera : x|

98xxx′′. La ligne polaire est |

99xx′′ ; le centre de courbure (point où elle rencontre le plan osculateur) sera donc leur produit : xx′x′′|x′x′′. On calcule sans peine la courbure et la torsion. La condition pour que la torsion soit nulle, c’est-à-dire pour que la courbe soit plane, est xx′x′′x′′′ = 0. On voit quelle est la simplicité des formules de la géométrie infinitésimale dans cette Algèbre. On démontre aisément, grâce à cet algorithme, les théorèmes classiques d’Euler, de Meunier et de Dupin relatifs aux surfaces. Enfin on passe des géométries elliptique et hyperbolique à la géométrie parabolique (euclidienne) qui est leur cas-limite commun, en réduisant la quadrique absolue à une conique imaginaire dans le plan de l’infini.

100Dans le dernier livre (VII), l’auteur applique directement le Calcul de l’extension à la Géométrie euclidienne, non plus en passant par l’intermédiaire de la Géométrie projective, mais en supposant la Géométrie analytique et en donnant aux coordonnées tétraédriques leur sens métrique ordinaire. Si l’on assigne à tous les points l’intensité 1, l’élément linéaire ab a pour intensité la longueur du segment ab ; l’élément plan abc a pour intensité le double de l’aire du triangle abc ; enfin le produit abcd (quantité numérique) est proportionnel au volume du tétraèdre abcd. Sur la ligne droite xy, un point quelconque est de la forme :

z = μx + λy

et partage le segment xy en segments proportionnels aux nombres λ et μ (pris avec leurs signes). Si λ et μ sont de signes contraires, le point z est extérieur au segment xy. Si λ et μ sont égaux, le point z est le milieu du segment : z = x + y. Si λ et μ sont symétriques, le point z est le point à l’infini sur la droite, attendu qu’on doit avoir : zx = zy ; dans ce cas : z = x  y.

101Un point à l’infini sur une droite est donc la différence de deux points de cette droite ; c’est ce qu’on appelle un vecteur ; son intensité est proportionnelle (égale) à la distance de ces deux points. Or les droites parallèles se rencontrant à l’infini, un point à l’infini est commun à toutes les droites parallèles. Si deux segments ab, cd sont égaux, parallèles et de même sens, leurs vecteurs sont égaux :

b − a = d − c.

102De cette égalité on déduit immédiatement :

c − a = d − b,

ce qui signifie que les segments ac, bd sont aussi égaux et parallèles ; et encore :

a + d = b = c,

ce qui signifie que les deux diagonales ad, bc se coupent en leur milieu. On retrouve ainsi les propriétés essentielles du parallélogramme (Fig. 3).

Figure 3

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103Si l’on pose :

u = b – a = d − c,

on trouve que

a + u = b,  c + u = d.

104Ainsi la somme d’un point et d’un vecteur est un autre point, qu’on obtient en déplaçant le premier suivant ce vecteur. Posons d’autre part :

v = c − a = d – b ;

d’où :

a + v = c, b + v = d.

105On en conclut : a + v +u = a + u + v = d, c’est-à-dire que l’on arrive au même point en ajoutant à a les vecteurs u, puis v, ou les vecteurs v, puis u. Enfin on peut définir la somme des deux vecteurs u et v :

u + v = v + u = d − a.

106C’est la diagonale du parallélogramme. On retrouve ainsi la définition de la somme géométrique de deux vecteurs ou de la résultante de deux forces. Si l’on choisit pour sommets du tétraèdre de référence un point arbitraire e (origine) et 3 points e1e2e3, situés à la distance 1 de e sur trois axes rectangulaires issus de e, un point quelconque sera exprimé par

x = ξe + ξe1 + ξe2 + ξe3.

107Or si l’on pose :

u1 = e1 − e,

u2 = e2 – e

u3 = e3 − e

le point x prendra la forme :

x = e + ξ1 u1 + ξ2 u2 + ξ3 u3

et sera rapporté à l’origine e et aux 3 vecteurs-unités orthogonaux u1, u2, u3 ; les coefficients ξ1, ξ2, ξ3 seront ses coordonnées cartésiennes. Il peut être considéré comme la somme du point-origine et du vecteur :

ξ1 u1 + ξ2 u2 + ξ3 u3

dont les projections sur les 3 axes ont respectivement les longueurs ξ1, ξ2, ξ3.

108Ainsi la Géométrie analytique rentre, à titre de cas particulier, dans le Calcul de l’extension. On voit, d’autre part, que cette Algèbre conserve tous les avantages de la Géométrie projective, en permettant de traiter les éléments à l’infini comme des éléments ordinaires, et de les faire entrer régulièrement dans les calculs tout en leur attribuant une interprétation géométrique vraiment intuitive. Un point à l’infini, c’est un vecteur, c’est-à-dire une longueur associée à une direction ; un segment à l’infini, c’est un bivecteur (produit de 2 vecteurs), c’est-à-dire une aire associée à une orientation (commune à tous les plans parallèles). Enfin un triangle à l’infini, c’est un trivecteur, c’est-à-dire un volume. Dans le fini, chaque segment, chaque triangle et chaque tétraèdre peut être considéré respectivement comme le produit d’un point (son sommet) par un vecteur, un bivecteur ou un trivecteur. En effet :

ab = a (b − a),

abc= a (b−a) (c − a),

  • 43 Parce que tout produit qui contient deux fois le même facteur (a) est nul.

abcd= a (b − a) (c − a) (d − a)43

109Cette théorie des vecteurs trouve son application dans la théorie des forces et de leur composition, dans la théorie des polygones funiculaires, et généralement dans la Statique graphique et la Cinématique.

110Les dérivées d’un point x sont à présent des vecteurs qui représentent à eux seuls sa vitesse x′, son accélération x", etc. Les formules d’une courbe se simplifient si l’on prend pour variable indépendante, au lieu du temps τ, la longueur même de la courbe s, (ce qui revient à supposer que le point x la décrit d’un mouvement uniforme). Si 1/ρ désigne la courbure et 1/k la torsion, on a les formules très simples :

1/p2 = x’’ | x’’,          1/p2k = ex’ x’’ x’’’

111On peut ainsi établir toutes les propriétés des lignes et des surfaces au moyen d’un algorithme commode et intuitif.

  • 44 J. Willard-Gibbs : Elements of Vector Analysis. Le lecteur qui désirerait s’initier au Calcul de l’ (...)

112Enfin, si l’on rapporte tous les vecteurs à la même origine e, et qu’on fasse abstraction de ce point, on obtient des formules purement vectorielles qui sont particulièrement appropriées à la Trigonométrie sphérique et à la Physique mathématique. En effet, d’une part, la Géométrie des vecteurs coïncide formellement avec la Géométrie elliptique à 2 dimensions sous sa forme antipodale, c’est-à-dire avec la Géométrie sphérique ; et l’ensemble des vecteurs de longueur 1 représente l’ensemble des points de la surface d’une sphère. D’autre part, puisque l’on fait abstraction de l’origine commune de tous les vecteurs, chaque vecteur représente le point qui en est l’extrémité, et dont les coordonnées cartésiennes sont les projections de ce vecteur sur les 3 axes, c’est-à-dire ses propres coordonnées ξ1, ξ2, ξ3. En outre, cette Algèbre permet d’associer à chaque point de l’espace des quantités vectorielles (dirigées) telles qu’une vitesse ou une accélération, et des quantités scalaires (non dirigées, purement numériques) telles que la densité, la température, le potentiel, etc. Elle est donc propre à représenter et à calculer, non seulement les mouvements de la matière dans l’espace, mais la distribution continue (et variable avec le temps) d’une matière douée de telle ou telle qualité physique. On peut ainsi écrire sous une forme très simple les équations de l’Hydrodynamique ; le même Calcul a été appliqué par des physiciens44 à l’étude de la chaleur et de l’électricité, dont les équations sont, comme on sait, analogues à celles de l’Hydrodynamique.

IV

113On devine par cette analyse quelle est la portée et la généralité de l’Algèbre universelle. Son champ d’application comprend, non seulement la Géométrie et la Cinématique, mais la Mécanique et la Physique mathématique, car elle se prête à la représentation de la matière avec ses diverses qualités, et par suite de tous les phénomènes physiques. Au point de vue mathématique, cette doctrine englobe, avec la logique de Boole et de Schröder, le Calcul barycentrique de Möbius, le Calcul des équipollences de Bellavitis, le Calcul des imaginaires, la Géométrie projective, la Géométrie réglée, et offre une étroite analogie avec le Calcul des quaternions. D’où vient la puissance et la fécondité de cet algorithme ? Simplement de ce qu’il se compose d’opérations appropriées aux faits géométriques qu’il est destiné à symboliser. Au lieu de s’astreindre, comme la Géométrie analytique, à retrouver partout les propriétés de l’addition et de la multiplication des nombres, il s’affranchit de la tutelle de l’Arithmétique, et définit librement de nouvelles combinaisons qui n’ont qu’une analogie formelle et partielle avec les opérations arithmétiques. C’est surtout le cas pour la multiplication progressive et régressive, inventée par Grassmann, et cette invention est certainement un trait de génie comparable à l’invention de la Géométrie analytique ou à celle du Calcul infinitésimal. Au lieu de s’asservir, comme l’Algèbre classique, à manier ses symboles suivant les lois du calcul numérique, l’Algèbre universelle admet des règles de calcul toutes différentes, dont la variété et la souplesse s’accommodent aux diverses applications qu’on a en vue. En Géométrie, notamment, l’avantage de cet algorithme est manifeste : au lieu de traîner partout trois équations parallèles et simultanées (relatives respectivement aux x, aux y et aux z) qui ne font que répéter trois fois le même fait géométrique, la même relation ou la même construction, une seule formule permet d’exprimer le fait unique, non plus démembré en ses projections, et pour ainsi dire écartelé entre les trois axes de coordonnées, mais avec sa nature et sa physionomie propres, sans déformation et sans intervention d’éléments auxiliaires et étrangers. On est débarrassé de cet échafaudage encombrant qui sert, en Géométrie analytique, à analyser le phénomène et à le reconstruire artificiellement ; on est aussi délivré des données arbitraires qu’implique tout système de coordonnées, et qui compliquent et masquent le fait étudié, en faisant dépendre son expression du choix particulier des axes ; on en a une représentation intrinsèque, fondée sur des relations essentielles et internes, et non plus sur des relations extérieures et accidentelles, qu’un changement d’axes peut troubler et dénaturer.

114Ce seul fait de la substitution de formules unitaires et synthétiques aux formules triples de la Géométrie analytique montre la simplicité et la commodité de la nouvelle Algèbre. Mais ce n’est là qu’un avantage extérieur et superficiel, dont il faut chercher les raisons profondes. Il s’agit de bien autre chose que d’un changement de notation ; il faut voir quelles sont les idées que traduisent ces notations, car ce sont ces idées qui permettent et justifient cette simplification d’écritures. Or voici la différence essentielle entre l’Algèbre universelle et la Géométrie analytique : dans celle-ci, les lettres représentent toujours proprement des nombres, et indirectement les grandeurs que mesurent ces nombres ; dans le Calcul de l’extension, au contraire, les lettres représentent directement des éléments géométriques (points, lignes, plans) qui non seulement n’ont rien de commun avec des nombres, mais qui ne sont même pas (au moins primitivement) des grandeurs. C’est ce qui permet à cette Algèbre de s’appliquer à la Géométrie de position, et de traduire fidèlement les constructions projectives, sans y mêler le moins du monde des notions de grandeur ou de mesure. C’est pour la même raison que les formules représentent immédiatement les constructions géométriques : par exemple, l’addition de deux vecteurs s’exprime par l’identité algébrique (formule de Möbius) :

(b − a) + (c − b) = c − a,

et si la Géométrie analytique exprime le même fait par deux ou trois équations simultanées, c’est parce que les règles de l’addition arithmétique ne s’appliquent qu’aux projections sur un même axe et non aux vecteurs eux-mêmes. En un mot, les symboles algébriques ne représentent plus des nombres ni des grandeurs, mais des positions. Sans doute, ces positions, ces entités géométriques ont bien une intensité, traduite par un coefficient numérique ; mais si cette grandeur intensive n’importe pas à la Géométrie, qui en fait abstraction en la supposant toujours égale à 1, en revanche elle est fort utile à la Mécanique et à la Physique, car elle permet de traiter par l’Algèbre des propriétés situées dans l’espace, mais non spatiales, en un mot, de soumettre au calcul la quantité intensive qui traduit telle qualité physique de la matière.

115On voit par là quelle extension cette nouvelle Algèbre confère à la méthode mathématique, en lui conquérant des nouveaux et immenses domaines. L’idée de la Mathématique elle-même en reçoit un merveilleux développement. Comme l’auteur le proclame dans son Introduction toute philosophique, la Mathématique n’est plus simplement la science du nombre et de la grandeur ; elle n’est même plus, à vrai dire, une science spéciale qu’on puisse définir par son objet et dont on puisse circonscrire la compétence dans un domaine limité. C’est, selon les propres termes de notre auteur, la science de tous les types de raisonnement formel, nécessaire et déductif.

  • 45 Cf. G. Vailati, La méthode déductive comme instrument de recherche, ap. Revue de métaphysique [et d (...)

116Et en effet, elle consiste essentiellement à déduire d’un ensemble de lois ou relations formelles toutes les conséquences logiquement nécessaires qui dérivent de leur forme seule. Dès lors, il suffit qu’un certain ensemble d’objets de l’esprit, de nature quelconque, vérifie les principes de telle Algèbre spéciale, pour qu’ils vérifient toutes les propositions de cette Algèbre. Le même mode d’interprétation qui aura servi à trouver dans cet ensemble d’objets les relations et opérations analogues ou homologues à celles de cette Algèbre, servira aussi, inversement, à traduire dans cet ensemble toutes les conséquences qu’on aura formellement déduites des principes. Ces principes peuvent être considérés, au point de vue des applications, comme des hypothèses que l’expérience peut vérifier ou ne pas vérifier ; mais dès qu’elle les vérifie, et dans la mesure où elle les vérifie, elle devra nécessairement en vérifier toutes les conséquences logiques, de sorte que la part de l’expérience se trouve, suivant le vœu de Descartes, réduite au minimum, c’est-à-dire aux données strictement nécessaires et suffisantes45.

117Tel est le fondement de la distinction des Mathématiques pures, qui n’ont qu’une valeur hypothétique, et des Mathématiques appliquées, qui seules ont une portée existentielle, c’est-à-dire supposent l’existence d’objets répondant aux définitions formelles posées a priori par les Mathématiques pures. Ainsi les Mathématiques appliquées ont pour domaine la nature entière, et englobent progressivement toutes les sciences physiques, à mesure que l’enchaînement logique de leurs lois se dégage, et permet de les rattacher toutes à un petit nombre de principes expérimentaux ; tandis que les Mathématiques pures, toutes idéales et formelles, apparaissent comme une méthode générale applicable à toutes les sciences concrètes, comme la science du raisonnement pur et abstrait, en un mot, comme la Logique universelle.

  • 46 Félix Klein, Sur l’Arithmétisation des Mathématiques, discours prononcé à la Société royale des sci (...)

118Ces vues larges et profondes, que M. Whitehead expose avec beaucoup de force et de précision, ne sont pas, à vrai dire, absolument nouvelles. Comme il le remarque lui-même, c’est l’introduction des imaginaires dans l’Analyse à titre de substratum essentiel qui a donné naissance à cette extension de l’idée des Mathématiques. En effet, les symboles imaginaires ne sont, malgré un langage traditionnel et défectueux, ni des nombres ni des quantités, mais de simples substituts logiques pour les entités, quelles qu’elles soient, qui pourront vérifier les principes formels du calcul des imaginaires (par exemple, les vecteurs ou les points dans le plan euclidien). Ainsi, par le fait seul que l’Analyse moderne repose tout entière sur le symbolisme imaginaire, elle dépasse à la fois le domaine du nombre et celui de la grandeur (linéaire), tout en les enveloppant. On voit que cette conception est diamétralement opposée à celle de certains mathématiciens rigoristes et puristes (de l’école de Weierstrass notamment) qui veulent réduire le contenu de l’Analyse, et de toutes les Mathématiques pures, à la seule idée de nombre, et même de nombre entier. Cette tendance, que M. Klein a définie et combattue sous le nom d’Arithmétisation des Mathématiques46, aboutirait à restreindre à l’excès et à dessécher la science, dont l’Arithmétique (au sens le plus général du mot) ne constitue qu’une province, et peut-être la plus étroite.

  • 47 Théorie élémentaire des quantités complexes, 2 vol. Gauthier-Villars, 1867, Première partie, chap.  (...)

119En revanche, il s’est trouvé de tout temps des savants qui ont eu une idée plus juste et plus ample de la portée de la méthode mathématique et de la diversité de ses applications, qui ont entrevu pour elle des horizons plus vastes et qui ont prévu ses développements les plus récents. Tel fut par exemple Hoüel, à qui l’étude des imaginaires, précisément, suggérait les pensées que voici47 :

120« Il ne faut donc pas se représenter l’Algèbre comme opérant uniquement sur des quantités numériques, et ne pouvant traiter les grandeurs concrètes sans passer par l’intermédiaire des nombres. Une formule algébrique peut indiquer immédiatement une construction géométrique ou un mouvement mécanique, sans qu’il soit nécessaire en aucune façon de songer à l’évaluation numérique des données du problème. » Il définissait par suite l’Algèbre en disant qu’elle « s’occupe de la combinaison d’opérations dont les opérations d’arithmétique forment un cas très restreint, et auxquelles on a donné le même nom qu’aux opérations d’arithmétique, parce qu’elles jouissent des propriétés sur lesquelles les combinaisons des opérations d’arithmétique sont fondées », et il ajoutait : « Lorsqu’on aura reconnu qu’une construction géométrique jouit des mêmes propriétés fondamentales qu’une certaine opération arithmétique, rien n’empêchera de lui donner le nom de cette opération, et de la soumettre comme elle aux transformations de l’algèbre ». C’est, comme on voit, l’idée maîtresse de l’Algèbre universelle qu’exprimait Hoüel il y a plus de trente ans.

  • 48 Correspondance entre l’Algèbre et la Géométrie, chap. IV, §§ 29-30, Paris, Hachette, 1847.
  • 49 « It is not of the essence of Mathematics to be conversant with the ideas of number and quantity. » (...)

121Avant lui, Cournot avait déjà exprimé des idées analogues, quoique moins précises, en essayant de justifier le Calcul des imaginaires48. À la même époque, George Boole, dont l’esprit avait une affinité remarquable avec celui de Cournot, découvrait l’analogie formelle des lois de la Logique et des lois de l’Algèbre, et était ainsi amené à attribuer à la méthode mathématique une portée universelle : « La Mathématique, disait-il, n’a pas essentiellement pour objet les idées de nombre et de grandeur49. »

  • 50 Lettre à Huygens, du 8 septembre 1679 [Leibnizens Mathematische Schriften, ed. Gerhardt, t. II, 184 (...)

122Mais si l’on veut retrouver l’origine de cette conception, si moderne en apparence, il faut remonter jusqu’à Leibniz, qui avait déjà conçu un Calcul géométrique destiné à s’appliquer immédiatement aux figures sans l’intermédiaire des nombres, et à « exprimer directement situm, comme l’Algèbre exprime magnitudinem50 ». Cette Analysis situs ou cette Caractéristique géométrique, comme il l’appelle encore, n’était d’ailleurs qu’une branche de la Caractéristique universelle dont Leibniz a rêvé toute sa vie, et qui devait permettre de remplacer par des calculs algébriques tous les raisonnements déductifs, quelle que fût la nature de leurs objets. Ainsi l’inventeur du Calcul infinitésimal apparaît en même temps comme le précurseur de Boole et de Grassmann. Et puisque M. Whitehead a développé et unifié dans une vaste synthèse le Calcul logique de l’un et le Calcul géométrique de l’autre, on peut dire qu’il a pleinement réalisé le rêve grandiose du philosophe, et que son Algèbre universelle n’est pas autre chose que la Caractéristique universelle de Leibniz. Mieux encore, c’est la Mathématique universelle que Descartes voulait substituer à la Logique scolastique, et qui était pour lui la vraie Logique scientifique, la méthode générale d’invention et de démonstration. Ces rêves prophétiques prennent corps en quelque sorte dans l’ouvrage de M. Whitehead ; il fournit un contenu scientifique et des applications positives à ces intuitions divinatrices, qui ont pu longtemps passer pour des chimères de métaphysiciens ; il vient donner raison à ces grands rationalistes, en confirmant et en illustrant l’idée cartésienne de la Mathématique conçue comme la science universelle.

Notes

1 [Bertrand Russel, Correspondance sur la Philosophie, la Logique et la Politique avec Louis Couturat (1897-1913). Édition et commentaire par Anne-Françoise Schmid, Paris, Éditions Kimé, 2001]

2 A Treatise on Universal Algebra, with Applications, by Alfred North Whitehead, M. A., fellow and Lecturer of Trinity College, vol. I, Cambridge, University Press, 1898.

3 Une analyse de cet ouvrage a été faite au point de vue scientifique par M. J. Tannery dans le Bulletin des Sciences mathématiques, t. XXII, 1re partie, p. 91-112 (1898). D’autre part, M. MacColl en a rendu compte dans le Mind, t. VIII, p. 108 (janvier 1899), mais exclusivement au point de vue de la Logique symbolique.

4 Ce mot est assez mal choisi ; il eût mieux valu employer l’un des termes ensemble, collection, système, etc.

5 En tant du moins que ces relations ne portent que sur la propriété qu’ils possèdent en commun et par rapport à laquelle ils sont regardés comme équivalents.

6 M. Whitehead retrouve ainsi (peut-être à son insu) les principes de la logique et de la métaphysique de Platon.

7 En langage kantien, les propositions de la science seront à la fois analytiques et synthétiques : analytiques par l’identité qu’elles enveloppent ; synthétiques par le divers qu’elles unissent.

8 Par exemple a, b, c étant des nombres entiers, on a : a + b = a, (+ b) + c = a + (c). Les deux membres de chacune de ces égalités représentent les résultats d’opérations différentes, mais équivalentes.

9 Tels sont par exemple l’ensemble des nombres réels et l’ensemble continu des grandeurs linéaires.

10 Par exemple, deux ensembles sont équivalents quand ils ont le même nombre ; mais deux nombres sont égaux quand ils sont identiques. Ainsi l’on peut concilier l’opinion de M. Whitehead exposée plus haut, à savoir qu’équivalence n’est pas synonyme d’identité, avec l’opinion émise et développée par M. Riquier, à savoir que l’égalité (des nombres, en Analyse pure) se réduit à l’identité absolue (Des axiomes mathématiques, ap. Revue de Métaphysique [et de Morale], mai 1895, t. III, p. 269-284). Nous avons établi une distinction analogue entre les grandeurs abstraites et les grandeurs concrètes, c’est-à-dire entre les divers états (essentiellement inégaux) d’une grandeur spécifique, et les objets (corps) qui possèdent ces états de grandeur. Deux objets sont dits égaux (sous un certain rapport) quand ils possèdent le même état de grandeur. (Voir De l’Infini mathématique, 2e partie, livre II, chapitre I, §§ 13 et 15.) [Charles Riquier (1853-1929), élève de l’École normale supérieure, professeur de mathématiques à l’Université de Caen où il fut le collègue de Couturat, a donné plusieurs articles à la RMM.]

11 Ceci s’applique à la Géométrie analytique, et non à la représentation géométrique des fonctions imaginaires, où à chaque nombre imaginaire correspond un point réel du plan.

12 C’est-à-dire dont le résultat est unique et bien déterminé.

13 C’est-à-dire qui vérifie les deux égalités suivantes :

a + b = b + a
(a + b) + c = a + (b + c)

le signe + représentant la combinaison en question. M. Whitehead remarque fort judicieusement que la loi commutative n’a de sens que si la combinaison implique un ordre déterminé entre les éléments combinés ; car autrement elle va de soi.

14 C’est-à-dire qu’elle vérifie les lois suivantes (le signe × représentant la nouvelle opération) :

a1 × (b1 + b2) = (a1 × b1) + (a1 × b2)
b1 × (a1 + a2) = (b1 × a1) + (b1 × a2)
(b1 + b2) × a1 = (b1 × a1) + (b2 × a1)
(a1 + a2) × b1 = (a1 × b1) + (a2 × b1)

15 On reconnaît là l’idée directrice de l’Essai de M. Russell sur les Fondements de la Géométrie.

16 Par exemple, l’addition est distributive par rapport à la multiplication, c’est-à-dire qu’on a les formules (inconnues à l’Arithmétique et à l’Algèbre ordinaire) :

a + bc = (a + b) (a + c),           ab + c = (a + c) (b + c),
ab + cd = (a + c) (a + d) (b + c) (b + d).

17 Cette copule n’est pas celle que M. Whitehead emploie d’après M. Schröder, mais elle a un sens et une forme analogues.

18 Voir ses articles sur The Logical Calculus, ap. Mind, New Serie, t. I (1892). [William E. Johnson (1858-1931), deviendra en 1902 fellow du King’s College de Cambridge. Sa conception du calcul logique comme « économie de l’exercice de l’intelligence » procède de Peirce.]

19 Et en effet, de ce que x et y existent séparément, il ne résulte nullement que xy existe, c’est-à-dire que ces deux régions aient une partie commune.

20 Cette formule signifie, en langage ordinaire : Dire que la somme de x et de y existe (n’est pas nulle), c’est dire que, ou bien x existe, ou bien y existe.

21 C’est ce que fait notamment M. Poretsky. [Platon Poretsky (1846-1907), enseignant à l’Université de Kazan. Il y a publié (en français) Sept lois fondamentales de la théorie des égalités logiques (1899) ; voir aussi son article « Exposé élémentaire de la théorie des égalités logiques à deux termes a et b », RMM, VIII, 1900, pp. 169-188.]

22 Cf. John Venn, Symbolic Logic, chap. VI. (London, Macmillan, 2e édition, 1894.) [John Venn (1834-1923), prêtre anglican, lecturer à Cambridge, auteur d’un traité Symbolic Logic (London, 1881, 2e éd. 1894), est connu pour son usage de la représentation des rapports entre propositions par des diagrammes.]

23 C’est plutôt ceux de b qui doivent faire partie de ceux de a.

24 C’est pourquoi, quoi qu’en dise M. Poretsky, nous considérons la copule d’inclusion ≤ comme essentielle à cette Algèbre. On peut remarquer que la notation logique est tout à fait propre à traduire les théorèmes de la théorie des ensembles, tels que les a formulés M. Georg Cantor : A < B exprimera que l’ensemble A est contenu dans l’ensemble B (en fait partie) ; A = B, que les deux ensembles sont identiques. La somme A + B représentera l’ensemble formé par la réunion des deux, soit M (A, B) ; le produit AB représentera leur partie commune, soit D (A, B) ; et ainsi de suite. (Voir De l’Infini mathématique. Note IV, 35.)

25 D’ailleurs l’interprétation géométrique elle-même comporte plusieurs systèmes différents : cercles d’Euler, diagrammes de Venn, etc. (Voir Venn, Symbolic Logic, chap. V et chap. XX, § II ; 2e éd.).

26 En règle générale, les lettres grecques représentent seules des nombres tandis que les lettres italiques représentent des éléments de la multiplicité.

27 Des éléments sont dits dépendants quand il existe une relation linéaire entre leurs coefficients.

28 C’est-à-dire dont aucune n’est une conséquence des autres.

29 Le lecteur mathématicien aura reconnu le système de coordonnées homogènes, ou, plus généralement, le système des coordonnées triangulaires dans le plan, et tétraédriques dans l’espace à 3 dimensions.

30 Quatre points dont le rapport anharmonique est égal à − 1 sont dits former une rangée harmonique. Par exemple, les points :

x = ξ1 a1 + ξ2 a2
y = ξ1 a – ξ2 a2

forment une rangée harmonique avec les points a1, a2 ; on dit qu’ils sont conjugués harmoniques par rapport à ceux-ci. En particulier, les deux points (a1 + a2) et (a1 − a2) sont conjugués harmoniques par rapport à a1, a2.

31 Dans un espace à 2 dimensions, la figure de référence est un triangle ; dans l’espace à 3 dimensions, c’est un tétraèdre ; d’où les noms donnés dans ces deux cas aux coordonnées homogènes.

32 C’est-à-dire sont en alignement rectiligne avec un seul et même point, appelé centre de perspective.

33 C’est une généralisation de la propriété bien connue des triangles homologiques. (Voir J. Richard, Leçons sur les méthodes de la géométrie moderne, [Paris, 1898], § 22.)

34 La théorie des suppléments est une extension de la théorie des figures polaires réciproques. Chaque point a pour supplément un plan ; une région définie par le produit de r points a pour supplément la région définie par le produit des r plans supplémentaires (c’est-à-dire leur intersection.)

35 C’est à ces constructions que M. Russell se réfère dans son article Sur les axiomes de la Géométrie, ap. Revue [de Métaphysique et de Morale] de novembre 1899 (t. VII, p. 698.)

36 Ce théorème s’énonce ainsi : soit l’hexagone xadfbex inscrit à une conique, les côtés opposés xa et fb, ad et be, df et ex se rencontrent en 3 points collinéaires (g, c, h.) Ce théorème permet de construire une conique dont on connaît cinq points a, b, f, d, e.

37 On a défini précédemment, sur une droite, le segment compris entre deux de ses points, et l’on sait par suite quand un 3e point est compris entre eux.

38 Cf. Russell, art. cité, p. 704.

39 En voici l’énoncé : Si deux rangées de points (sur deux droites différentes) sont congruentes, elles doivent être homographiques. Si deux rangées de points homographiques sont telles que 3 points de l’une sont congruents aux 3 points correspondants de l’autre, elles doivent être (entièrement) congruentes.

40 Cf. Whitehead, The Geodesic Geometry of Surfaces in non-Euclidean Space, ap. Proceedings of the London Mathematical Society, t. XXIX (10 mars 1898).

41 Analytiquement, le groupe des déplacements se définit comme le groupe des transformations linéaires qui transforment l’Absolue en elle-même, et cela se conçoit, puisque toutes les déterminations métriques de l’Espace sont relatives à cette Absolue.

42 Dans l’espace elliptique, il n’y a pas de différence entre les translations et les rotations ; les axes conjugués du déplacement étant tous deux réels, une translation par rapport à l’un est une rotation par rapport à l’autre.

43 Parce que tout produit qui contient deux fois le même facteur (a) est nul.

44 J. Willard-Gibbs : Elements of Vector Analysis. Le lecteur qui désirerait s’initier au Calcul de l’extension pourra consulter, outre les Œuvres complètes de Grassmann, en cours de publication : t. I, 1re partie : Ausdehnungslehre de 1844, 2e partie : Ausdehnungslehre de 1862 (Leipzig, Teubner, 1894-96), les ouvrages suivants : Robert Grassmann : Die Ausdehnungslehre oder die Wissenschaft von den extensiven Grössen in strenger Formel-Entwicklung (Stettin, 1891) ; G. Peano : Calcolo geometrico secondo l’Ausdehnungslehre di H. Grassmann (Turin, 1888) ; C. Burali-Forti : Introduction à la Géométrie différentielle suivant la méthode de H. Grassmann (Paris, Gauthier-Villars, 1897.)

45 Cf. G. Vailati, La méthode déductive comme instrument de recherche, ap. Revue de métaphysique [et de morale] de novembre 1898, t. VI, p. 667-703.

46 Félix Klein, Sur l’Arithmétisation des Mathématiques, discours prononcé à la Société royale des sciences de Gœttingue, ap. Göttinger Nachrichten, 1895 ; trad. par Vassilief et Laugel dans les Nouvelles Annales de Mathématiques (mars 1897.)

47 Théorie élémentaire des quantités complexes, 2 vol. Gauthier-Villars, 1867, Première partie, chap. II, § 1.

48 Correspondance entre l’Algèbre et la Géométrie, chap. IV, §§ 29-30, Paris, Hachette, 1847.

49 « It is not of the essence of Mathematics to be conversant with the ideas of number and quantity. » Laws of Thought, ch. I, p. 12. London-Cambridge, 1854.

50 Lettre à Huygens, du 8 septembre 1679 [Leibnizens Mathematische Schriften, ed. Gerhardt, t. II, 1849, p. 19]. II disait ailleurs : « Datur… analysis geometriæ sublimior per proprios characteres, qua multa pulchrius breviusque quam per Algebram præstantur. » De Scientia universali seu Calculo philosophico (1684) [Die philosophischen Schriften von G.W. Leibniz, ed. Gerhardt, t. VII, 1890, p. 198].

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