1On sait que le premier Congrès international de Philosophie, organisé par la Revue de Métaphysique et de Morale, s’est tenu à Paris du 1^er au 5 août. Les promoteurs de ce Congrès s’étaient proposés d’affirmer l’unité de la Philosophie, et de contribuer à en restaurer l’idée véritable et traditionnelle. Pour cela, ils se sont efforcés, d’une part, de la distinguer de certaines sciences spéciales, la Psychologie et la Sociologie, avec lesquelles on la confond encore, parce que, constituées les dernières, elles se sont détachées plus tardivement que les autres « du vieux tronc philosophique » ; et d’autre part, de la rapprocher des sciences positives, surtout de celles qui, par leur certitude, leur précision et leur systématisation plus grandes, fournissent une matière plus ample et plus sûre à la réflexion critique, et permettent d’entrevoir ou de rechercher les lois générales de la nature et de l’esprit.

2En conséquence, ils avaient consacré une des quatre sections du Congrès à la Logique et à l’Histoire des Sciences, et ils avaient convié les savants à prendre part à leurs travaux. Leur appel a été entendu, tant à l’étranger qu’en France ; de nombreux savants, et des plus illustres, ont bien voulu leur accorder leur patronage1, et, qui plus est, leur apporter le fruit de leurs réflexions. Quelques-uns ont fait défaut au dernier moment, par suite d’empêchements imprévus ; parmi ces abstentions forcées, on a particulièrement regretté celles de M. Georg Cantor (de Halle) qui avait annoncé un mémoire sur les Nombres transfinis et la Théorie des ensembles, et de M. Ernst Heckel (d’Iéna) qui devait exposer les Principes de sa philosophie zoologique.

3Malgré ces absences, la section III fut celle qui compta le plus de mémoires et d’assistants2.

4Nous n’avons pas l’intention de rendre compte ici de tous les travaux de la section : les procès-verbaux officiels et complets des séances du Congrès ont paru déjà dans la Revue de Métaphysique et de Morale (n^o de septembre) et le lecteur peut s’y reporter pour plus amples renseignements, en attendant la publication intégrale des mémoires dans le tome III de la Bibliothèque du Congrès (qui paraîtra cet hiver). Nous voulons seulement analyser les mémoires et résumer les discussions les plus propres à intéresser les mathématiciens et les professeurs de Mathématiques.

5L’Histoire des Sciences (que le Congrès n’avait inscrite à son programme que dans la mesure où elle intéresse l’Histoire de la philosophie et en est inséparable) ne fut représentée que par trois mémoires, mais tous trois d’un grand intérêt et d’une profonde érudition. La question des Origines du Calcul infinitésimal a été traitée à la fois par M. Moritz Cantor (de Heidelberg), le savant historien des mathématiques, et par M. Milhaud (de Montpellier), dans un esprit tout différent, ce qui fait que les deux mémoires, loin de se répéter, se complètent à merveille l’un l’autre : M. Cantor insistant surtout sur les origines scientifiques du Calcul infinitésimal et sur la filiation historique des théories et des découvertes ; M. Milhaud s’attachant plutôt à découvrir les racines philosophiques de l’Analyse et cherchant jusque chez les philosophes et géomètres anciens la source des « idées » infinitésimales.

6M. Günther, de Munich, avait envoyé un mémoire extrêmement nourri et documenté sur l’Histoire des origines de la gravitation, où l’on suit également les progrès parallèles et conjoints de la philosophie et de la science, et où l’on voit les savants de la Renaissance dégager peu à peu les principes de la Mécanique céleste, en luttant contre l’influence néfaste d’Aristote et contre la tradition tyrannique de la physique péripatéticienne. L’auteur rappelle en terminant que pour beaucoup de bons esprits (comme Leibniz) l’hypothèse de l’attraction était un retour aux qualités occultes de la scolastique, et constate qu’en tout cas le succès de la théorie newtonienne a fait triompher pendant plus d’un siècle les actions à distance, et a éclipsé les théories cinétiques et élastiques ébauchées par Gassend, Hobbes, Huygens, et remises en honneur de nos jours par Faraday et Maxwell.

7La Logique algorithmique était fort bien représentée au Congrès par les mémoires de MM. MacColl, Johnson et Poretsky, sans compter ceux de MM. Peano et Schröder, qui, sans traiter expressément de la Logique formelle, procèdent des recherches de leurs auteurs dans ce domaine3. Le mémoire de M. MacColl (de Boulogne-sur-Mer) est un exposé sommaire de l’ensemble de son système logique, avec ses deux applications principales, qui sont, d’une part, le Calcul des probabilités, et, d’autre part, le Calcul des limites des intégrales multiples quand on y change l’ordre des intégrations. Cette dernière application recommande particulièrement le système à l’attention des mathématiciens ; c’est elle d’ailleurs qui en a été l’origine et l’occasion.

8M. Johnson (de Cambridge), bien connu par ses travaux sur l’Algèbre de la Logique4, a proposé une généralisation des constituants de Boole. M. Poretsky (de Gorodnia, Russie) a exposé son calcul logique, qui procède de celui de M. Schröder, mais qui se distingue par une méthode originale et un choix tout différent des formules fondamentales. Tandis que le calcul de M. Schröder est orienté tout entier (comme l’Algèbre ordinaire) vers la résolution des équations logiques, celui de M. Poretsky a pour but primordial la recherche de toutes les formes d’une égalité logique, c’est-à-dire de toutes les égalités équivalentes (sous une forme différente) ; puis celle de toutes les conséquences et de toutes les causes d’une égalité donnée. La méthode consiste dans l’énumération complète des classes du discours, et dans la détermination de celles qui sont équivalentes en vertu de l’égalité proposée. Elle aboutit à la construction d’un tableau qui comprend toutes les classes du discours rangées dans un ordre tel qu’on y lit à la fois toutes les formes, toutes les conséquences et toutes les causes de l’égalité donnée.

9M. Schröder (de Karlsruhe), après avoir rappelé les propriétés caractéristiques de la notion d’ordre simple (ou linéaire) que l’Algèbre des Relations lui a permis de formuler avec cinq lettres et deux copules, expose Une extension de l’idée d’ordre, qu’il appelle gradation (Rangstufenfolge) et qui consiste à admettre plusieurs éléments de même rang. Au lieu d’une seule relation, on a à en considérer deux : la relation « de rang inférieur » (ou la relation converse « de rang supérieur ») et la relation « de même rang ». Pour montrer l’importance de ces recherches logico-mathématiques, et en même temps leur difficulté, M. Schröder fait remarquer qu’on ne sait pas encore si l’on peut affirmer que « tout ensemble donné est susceptible d’être rangé dans un ordre simple ». On sait quel est l’intérêt capital de cette question pour la théorie générale des ensembles. M. Schröder espère que l’Algèbre des relations permettra de la résoudre un jour. Ainsi cette science nouvelle forme le lien entre la Logique pure (formelle) et les Mathématiques ; elle englobe déjà en partie la théorie des ensembles (au point de vue de leur contenance et de leur exclusion) et toute la théorie des substitutions5.

10Les précédents auteurs ont apporté de précieuses contributions à ce qu’on pourrait appeler la Mathématique de la Logique ; l’école italienne a donné de remarquables échantillons de ses travaux sur la Logique des Mathématiques. Quoi qu’on pense, en effet, de l’utilité ou de la commodité du symbolisme logique employé par M. Peano et ses collaborateurs à la Revue de Mathématiques et au Formulaire de Mathématiques, il faut reconnaître qu’ils ont fait faire de grands progrès à l’analyse des concepts et des principes fondamentaux des Mathématiques, et que, grâce à ce symbolisme (et surtout à la pénétration des savants qui le manient) ils sont parvenus à des résultats merveilleux de rigueur et de subtilité.

11Les quatre mémoires présentés au Congrès par les mathématiciens italiens offrent un tableau sommaire, mais assez complet, de leurs travaux sur les principales branches des Mathématiques, et rien ne fait plus honneur à l’école italienne et à son chef, M. Peano, que cette entente spontanée de ses collaborateurs, qui ne diminue en rien leur indépendance et leur originalité individuelles.

12M. Peano a exposé sa théorie des définitions mathématiques. Après avoir analysé, à titre d’exemple, les premières définitions de la Géométrie de Legendre, il remarque que toute définition suppose un ensemble de termes non définis ou antérieurement définis ; de sorte que la question de savoir si telle notion est définissable ou indéfinissable, absolument, n’a pas de sens ; il faut spécifier par rapport à quel ensemble de notions considérées comme antérieures, de sorte qu’une même idée peut être définissable ou indéfinissable, suivant le rang qu’on lui assigne dans l’ordre des notions.

13M. Peano formule ensuite les règles de la définition. Une définition doit être, d’abord, une égalité logique (équivalence) entre le terme (nom ou signe) à définir et une formule composée de termes définis ou admis sans définition. Une définition doit être complète, c’est-à-dire que la formule doit être intelligible par elle-même, sans aucune addition ni explication verbale. Enfin elle doit être homogène, c’est-à-dire que les deux membres doivent contenir les mêmes lettres variables. Par exemple, l’égalité :

0 = a − a

n’est pas une définition complète, parce qu’il faut dire ce qu’est a. La proposition complète :

   « 0 = a – a, a étant un nombre quelconque »

n’est pas une définition homogène, car il entre au second membre la lettre variable a qui ne figure pas dans le premier. Il faut dire :

   « 0 = la valeur constante de l’expression (a − a), quel que soit le nombre a. »

14Dans cette proposition, la lettre a est une variable apparente, car le second membre en est en réalité indépendant.

15Pour montrer la nécessité de l’homogénéité des définitions, M. Peano critique la manière dont on définit d’ordinaire les opérations sur les fractions. Quand on définit la somme de deux fractions par la formule suivante :

(a/b)+(c/d) = (ad+bc)/bd

on viole la règle de l’homogénéité, attendu que le premier membre est une fonction des deux fractions a/b, c/d tandis que le second est une fonction de leurs termes a, b, c, d.

16La méconnaissance de cette règle peut conduire à des absurdités ; en effet, supposons que l’addition des fractions soit définie par la formule suivante (analogue à la formule de multiplication) :

(a/b)+(c/d) = (a+c)/(b+d)

et appliquons-la à deux valeurs différentes de la même fraction ; on trouvera d’une part :

(2/3)+(4/5) = 6/8

et d’autre part :

(4/6)+(4/5) = 8/11

résultats différents, donc contradictoires, étant donnée l’égalité des premiers membres.

17Dans son mémoire Sur les différentes méthodes logiques pour définir le nombre entier, M. Burali-Forti expose une théorie générale des définitions mathématiques, qu’il divise en trois classes : 1^o les définitions nominales (celles que M. Peano a définies ci-dessus) qui consistent à égaler un symbole nouveau à une expression composée de symboles déjà connus ; 2^o les définitions par postulats, qui consistent à caractériser un groupe d’idées par les relations fondamentales qui les unissent ; 3^o les définitions par abstraction, qui consistent à définir une fonction f (dans un certain domaine) en indiquant dans quels cas on a :

fx = fy.

18Cette dernière forme de définition est fréquemment employée, à savoir toutes les fois qu’on ne définit pas une grandeur en elle-même, mais seulement l’égalité de deux grandeurs de même espèce (ex. : la masse, la température). C’est à cette classe qu’appartient la définition du nombre entier, ou plutôt de l’égalité de deux nombres entiers, par l’équivalence (Gleichzahligkeit) de deux ensembles6. On peut définir par postulats le nombre entier en posant comme axiomes les cinq propriétés caractéristiques de l’ensemble des nombres entiers, comprenant le principe d’induction complète7. M. Burali-Forti préfère la définition nominale du nombre entier, qu’il obtient en partant de la notion de grandeur homogène (par rapport à l’addition) et d’où il déduit les cinq propriétés fondamentales qui constituent la définition par postulats8.

19M. Padoa a présenté un Essai d’une théorie algébrique des nombres entiers, précédé d’une Introduction logique à une théorie déductive quelconque, qui résume d’une manière lumineuse la logique de l’école italienne. Une théorie déductive est un enchaînement de propositions formelles portant sur un système de symboles non définis et reposant sur un système de principes non démontrés, de sorte que la valeur logique d’une telle théorie est absolument indépendante du sens de ces symboles et de la vérité de ces principes, en un mot de l’interprétation concrète qu’on peut donner de la théorie. Voici les conditions de la perfection logique d’une théorie déductive. Le système des principes non démontrés sera irréductible, s’il n’est pas possible de déduire l’un d’eux de l’ensemble des autres. On reconnaîtra cette irréductibilité en imaginant, pour chacun de ces principes, une interprétation qui ne le vérifie pas tout en vérifiant tous les autres. D’autre part, le système des symboles non définis sera irréductible par rapport au système des principes, lorsque de celui-ci il est impossible de déduire la définition de l’un quelconque de ces symboles au moyen des autres. On prouvera cette irréductibilité en inventant, pour chacun des symboles non définis, deux interprétations différentes qui, jointes à une même interprétation de tous les autres symboles, vérifient également le système des principes. La théorie algébrique (c’est-à-dire formaliste et symboliste) des nombres entiers qualifiés9 repose tout entière sur un système de trois symboles non définis qui peuvent s’énoncer : entier, successif de, symétrique de, et sur un système de sept principes, qui comprennent le principe d’induction complète ; les deux systèmes étant irréductibles au sens qui vient d’être défini.

20M. Pieri a appliqué ces principes et cet esprit à l’étude de la Géométrie envisagée comme un système purement logique. Pour lui, l’idéal de la géométrie est de se vider de tout contenu empirique et intuitif, et de devenir un système hypothético-déductif du type défini par M. Padoa. M. Peano a déjà réduit le système des idées fondamentales (ou plutôt des symboles non définis) à trois : le point, le segment et le mouvement. M. Pieri entreprend de les ramener à deux : le point et le mouvement, en définissant le segment par le mouvement ; et il s’efforce de restreindre au minimum la part du mouvement en le réduisant à une relation entre quatre points (congruence des deux couples AB, CD) et même entre trois (congruence des deux couples AB, AC), Les trois idées fondamentales se trouvent définies par les vingt postulats que M. Pieri énumère et qui constituent les principes logiques de la géométrie.

21À ces importantes contributions de l’école italienne, il convient de joindre le mémoire de M. Vailati (de Syracuse) sur les difficultés qui s’opposent à une classification rationnelle des sciences. Nous ne pouvons que signaler ici ceux de M. Vassilief (de Kasan) sur les principes du calcul des probabilités ; de M. Mac Farlane (de l’Université de Pennsylvanie), sur les idées et principes du calcul géométrique (quaternions et analyse des vecteurs) ; de M. Lechalas (de Rouen), sur la comparabilité des divers espaces (euclidien et non-euclidiens), et de M. Russell (de Cambridge) sur l’idée d’ordre et la position absolue (où l’auteur soutient la thèse paradoxale de l’espace et du temps absolus). Mentionnons également les ingénieuses remarques de M. Hadamard sur l’induction en mathématiques (« non seulement il n’y a pas de raison pour que la généralisation réussisse, mais il y a souvent des raisons pour qu’elle ne réussisse pas ») et les mémoires de M. Kozlowski (de Cracovie) sur la combinaison chimique ; de M. Wald (de Kladno, Bohème), Étude critique sur les principaux concepts fondamentaux de la Chimie ; enfin de M. Houssay sur les théories atomiques en biologie, et arrivons au mémoire de M. Henri Poincaré, sur les principes de la Mécanique, et à l’intéressante discussion à laquelle il a donné lieu.

22Nos lecteurs connaissent déjà les théories philosophiques de M. Poincaré ; il nous suffira donc d’indiquer brièvement les idées essentielles de son mémoire. Analysant tour à tour le principe d’inertie, la loi de l’accélération, le principe de la réaction (égale à l’action), le principe du mouvement relatif et le principe de la conservation de l’énergie10, M. Poincaré conclut que tous ces principes constituent, soit des définitions du temps, de la force, de la masse, soit des axiomes ou postulats : ces postulats ne sont pas des vérités a priori, parce qu’ils ne lui paraissent pas s’imposer d’une manière nécessaire ; et ils ne sont pas non plus des vérités empiriques, car ils sont invérifiables à la rigueur ; ils sont à peu près vrais pour des systèmes mécaniques à peu près isolés, mais on ne peut affirmer qu’ils soient absolument vrais pour des systèmes absolument isolés, non seulement parce que de tels systèmes sont irréalisables, mais parce que les postulats n’ont plus de sens pour de tels systèmes. On ne peut donc même pas dire qu’ils soient vérifiés approximativement (comme la plupart des lois physiques). En somme, ce sont des conventions, non pas arbitraires, mais commodes, c’est-à-dire appropriées et adaptées à l’expérience. Mais le jour où quelque fait viendrait les contredire, on pourrait toujours le concilier avec les principes au moyen d’hypothèses complémentaires. Ainsi l’expérience a pu suggérer ces principes, mais elle ne pourra jamais les démentir et les ruiner.

23M. Painlevé a fait alors ressortir le caractère artificiel et arbitraire que prennent dans cette théorie les principes de la Mécanique. Sans doute, en cas de désaccord entre les principes et les faits, on peut toujours combler l’écart par des hypothèses complémentaires ; mais il est fort remarquable que les faits nouveaux qu’on découvre ou qu’on invente ainsi (faits électriques, magnétiques, etc.) se prêtent à leur tour à une théorie scientifique, se soumettent au principe de causalité et à des lois générales et simples, en un mot apparaissent comme des phénomènes vrais et non comme des fictions. On pourrait dire aussi que la loi de Newton est une convention et la remplacer par une autre loi d’attraction (par exemple proportionnelle à la distance), quitte à corriger la divergence par des hypothèses auxiliaires ; mais on s’engagerait par là dans des complications inextricables, d’où l’on ne pourrait dégager aucune loi simple. Cela prouve que si la loi de Newton est une convention, c’est une convention de choix, qui cadre mieux que toute autre avec les faits. En somme, toute la physique est une méthode d’approximations successives : la convergence de cette méthode n’est nullement nécessaire a priori ; l’accord croissant de nos hypothèses avec les faits prouve (ou constitue) leur vérité ; la divergence et la complication croissante des hypothèses sont un signe de fausseté. Les principes de la Mécanique sont donc vrais, en ce sens qu’ils sont les lois les plus générales du monde physique, imposées et sans cesse vérifiées par l’expérience.

24M. Hadamard objecte d’autre part que si l’expérience ne peut pas vérifier séparément tel ou tel principe, parce que sa vérité dépend des autres principes admis à titre d’hypothèses, elle vérifie néanmoins l’ensemble des principes, conçu comme une hypothèse unique et totale.

25M. Poincaré reconnaît la justesse de cette remarque pour ce qui est des lois physiques : chaque expérience (ou série d’expériences) fournit en quelque sorte une équation entre plusieurs inconnues, de sorte qu’il faut un système d’équations pour déterminer le système des inconnues. Mais il en va autrement pour les principes de la Mécanique et de la Géométrie. Non seulement l’expérience ne nous donne pas assez d’équations pour les déterminer, mais il est absurde de supposer qu’elle puisse jamais nous les donner, et cela parce que les « inconnues » entrent pour ainsi dire dans les problèmes expérimentaux à titre de variables auxiliaires et surérogatoires. Par suite, les hypothèses qu’on peut faire à leur sujet ne sont ni vraies ni fausses.

26La même question a été traitée, à un point de vue plutôt didactique que critique, par M. Blondlot de Nancy dans son Exposé des principes de la Mécanique, inspiré des idées de Kirchhoff et de Mach, dont l’idée maîtresse est la distinction de la Mécanique « rationnelle », construction idéale, et de la Mécanique empirique et positive, à laquelle la première est destinée à s’appliquer moyennant le choix d’un système de repères et d’une horloge convenables.

27C’est encore un problème analogue qu’a traité M. Le Verrier (de Paris), en exposant la genèse et la portée des principes de la thermo-dynamique. D’une part, il considère ces principes comme des définitions des unités thermiques (quantité de chaleur, température absolue) par rapport aux unités mécaniques, définitions qui deviendraient inutiles le jour où l’on connaîtrait les relations réelles entre les phénomènes thermiques et mécaniques, car ce jour-là les unités thermiques se réduiraient aux unités mécaniques. D’autre part, ces principes apparaissent comme des lois expérimentales approximativement vérifiées ; en réalité, ce sont des lois idéales et a priori, qui reposent sur des abstractions irréalisables, mais qui n’en ont pas moins une valeur objective dans la mesure où les faits se rapprochent de ces abstractions (gaz parfaits, phénomènes réversibles, transformations adiabatiques).

28On le voit : c’est une question essentiellement philosophique qu’ont agitée les savants que nous venons de nommer ; c’est même la question capitale de la philosophie des sciences et de la théorie de la connaissance : il s’agit toujours de savoir quel est le rapport des mathématiques et de la physique, ou des mathématiques pures et des mathématiques appliquées, de la raison et de l’expérience, de l’idée et du fait ; en un mot, il s’agit de la valeur objective de la science rationnelle. Le fait que des savants de profession ont posé et discuté cette question en vrais philosophes a justifié l’initiative des organisateurs du Congrès et réalisé toutes leurs espérances.

29Le succès du Congrès en général et de la section III en particulier a fait prendre la résolution de le renouveler dans quelques années. Dans la séance de clôture, M. Vassilief a exprimé avec l’approbation unanime le vœu qu’on mit à l’ordre du jour du prochain Congrès un petit nombre de questions (par exemple la philosophie de la géométrie) sur lesquelles se concentreraient les travaux et les discussions ; on devrait faire de chacune de ces questions une revue générale qui en exposerait l’état présent et en dresser une bibliographie complète. La commission permanente chargée d’organiser le prochain Congrès tiendra certainement compte de ces vœux. Nous espérons que, pour la section III en particulier, l’intérêt des communications que nous venons de résumer stimulera l’émulation des savants, et qu’ils viendront plus nombreux encore au prochain Congrès de Philosophie.

30P.-S. — Dans une autre section du Congrès a été soulevée une importante question qui intéresse également les mathématiciens et les philosophes : c’est celle de la création d’une langue internationale unique pour faciliter les relations entre les savants de tous les pays civilisés, la publication de leurs travaux et la diffusion de leurs idées. Le Congrès de Philosophie a émis un vœu en faveur « de l’unité du langage philosophique » et a élu le signataire de ces lignes comme délégué en vue de l’adoption d’une langue universelle11. On sait qu’un vœu analogue, présenté par M. Leau et chaudement appuyé par M. Laisant et plusieurs autres membres, a eu moins de succès au Congrès des mathématiciens. Dans la discussion à laquelle il a donné lieu, nous avions invoqué en sa faveur l’autorité de Leibniz. On nous a répondu que la langue universelle rêvée par Leibniz ne faisait qu’un avec sa caractéristique ou son Calculus ratiocinator, et que par suite son projet se trouvait véritablement réalisé, soit par l’Algèbre de la Logique de M. Schröder, soit par le Formulaire de Mathématiques de M. Peano.

31Nous pouvons affirmer, après avoir consulté à Hanovre les manuscrits inédits de Leibniz, que c’est là une erreur complète. On y trouve en effet, à côté de nombreux essais de calcul logique, des projets très développés et très détaillés de langue universelle et de grammaire rationnelle, absolument distincts du susdit calcul12. Il s’agit si bien d’une langue proprement dite, à la fois parlée et écrite, et non d’un symbolisme ou d’un algorithme, que Leibniz a rédigé des opuscules entiers sur l’usage des particules et des flexions, sur la construction des prépositions, des conjonctions, des pronoms, etc., etc.13. Nous en publierons bientôt quelques extraits dans nos Fragments inédits de Leibniz relatifs à la Logique. On y trouvera des idées intéressantes et curieuses sur la constitution d’une langue rationnelle14 dont beaucoup sont déjà réalisées, soit dans l’Espéranto, soit dans la Langue Bleue de M. Léon Bollack (par exemple : les prépositions dispensent des cas, et les conjonctions dispensent des modes). Les projets de langue universelle peuvent donc se réclamer de l’autorité de Leibniz [comme de celle de Descartes]15, aussi bien que les systèmes de logique algorithmique ; les uns et les autres sont d’ailleurs parfaitement compatibles, attendu qu’ils sont radicalement différents en principe et ne sauraient en aucune manière se remplacer.