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Logique, mathématiques, langue universelle

 | 
Louis Couturat

Première partie: 1893-1900

ARTICLE 11

Sur la définition du continu

Revue de Métaphysique et de Morale, 1900, t. VIII, p. 157-168

Note de l’éditeur

Ce court article prolonge et complète les analyses déjà données par Couturat dans De l’Infini mathématique, en soulevant une incertitude sur l’unité ou la disparité des deux définitions que Cantor a données successivement du continu, l’une métrique, l’autre ordinale.

Texte intégral

  • 1 Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre, ap. Mathematische Annalen, t. 46 (1895) et 49 (...)

1 M. Georg Cantor a exposé récemment sa théorie des ensembles transfinis, en lui donnant des fondements nouveaux1. On sait qu’il est arrivé jadis à la considération des nombres transfinis (cardinaux et ordinaux) par l’étude des ensembles dérivés. Il a repris cette théorie depuis la base, de manière à la rendre indépendante de cette donnée concrète qui lui avait jusqu’ici servi de substratum. Pour cela, il a été amené à faire reposer la théorie des nombres cardinaux sur celle des nombres ordinaux, et par suite à approfondir la notion d’ordre, à l’affranchir et à la purifier de toute considération étrangère, comme celle de la grandeur. Il est déjà fort remarquable que l’idée de puissance ou de nombre cardinal, qui n’implique aucune notion d’ordre, et qui même en fait expressément abstraction, ait besoin de l’idée d’ordre pour se préciser et se développer. Mais ce qui est plus curieux et plus paradoxal encore, c’est que l’idée du continu, qui paraît être un attribut essentiel de la grandeur, puisse se définir au moyen de la seule idée d’ordre. C’est ce que nous nous proposons d’exposer d’abord, conformément aux indications de M. Cantor ; puis nous comparerons cette définition ordinale du continu à l’ancienne définition que M. Cantor en avait donnée, et nous nous demanderons si c’est bien au même continu que s’appliquent les deux définitions.

I

  • 2 Par opposition aux ordres double, triple, etc., c’est-à-dire à deux, trois…, dimensions.
  • 3 Op. cit., § 7.

2Il importe, avant tout, de définir avec précision l’idée d’ordre, en particulier celle d’ordre linéaire ou simple2, qui va seule nous servir. M. Cantor dit qu’un ensemble E est simplement ordonné, quand on a établi entre ses éléments un ordre jouissant des propriétés suivantes : 1Étant donnés deux éléments quelconques, l’un est antérieur ou inférieur à l’autre, et celui-ci est postérieur ou supérieur au premier ; 2Si de trois éléments e1, e2, e3, e1 est inférieur à e2, et e2 à e3, e1 doit être inférieur à e33.

  • 4 Ueber zwei Definitionen der Endlichkeit und G. Cantor’sche Sätze, ap. Abhandlungen der Leop.-Carol (...)

3Pour donner à cette définition plus de rigueur et la purger de l’apparente pétition de principe qu’elle enferme (en employant les mots d’ordre, d’antérieur et de postérieur), nous la compléterons par celle de M. Schröder, qui est plus explicite et a un caractère purement formel4.

4Étant donné un ensemble, on dira qu’il existe un ordre entre des éléments, si l’on a défini entre eux une certaine relation qui s’exprimera par :

5I < j

« i est antérieur à j », et qui jouit des trois propriétés suivantes :

1o Étant donnés deux éléments quelconques i et j de l’ensemble, on a nécessairement :

i < j    ou   j < i.

2o On n’a jamais à la fois :

i < j   et   j < i.

3o h étant un autre élément de l’ensemble, si l’on a à la fois :

i < h       h < j

  • 5 Cette troisième propriété s’exprime en disant que la relation < est transitive dans l’ensemble cons (...)

on doit avoir aussi5 :

i < j.

6M. Schröder fait remarquer qu’il est inutile de spécifier une quatrième propriété essentielle de la relation d’ordre, à savoir, qu’on n’a jamais :

i < i.

7En effet, elle est une conséquence logique de la seconde, car si dans l’énoncé de celle-ci on remplace j par i, il vient : « On n’a jamais à la fois :

i < i    et    i < i, »

  • 6 On peut dire, d’une manière générale et abstraite, que si une relation n’est jamais symétrique (ou (...)

c’est-à-dire qu’on n’a jamais6 :

i < i.

8Ainsi l’idée d’ordre est définie comme une relation abstraite, au moyen de certaines propriétés formelles qui la caractérisent. Par là même se trouve défini l’ensemble simplement ordonné. Il est clair que chaque ensemble est susceptible d’autant d’ordres différents et déterminés qu’on peut définir entre ses éléments de relations particulières jouissant des propriétés énoncées.

9Si l’on fait abstraction de la nature des éléments de l’ensemble ordonné pour ne considérer que leur ordre, on obtient ce que M. Cantor appelle le type d’ordre de l’ensemble en question. Dans ce type d’ordre, chaque élément de l’ensemble est réduit à (ou remplacé par) une unité abstraite, de sorte que ce type d’ordre a un nombre cardinal, qui est aussi celui de l’ensemble considéré. En somme, le type d’ordre est un schème abstrait, une image ou un décalque idéal de l’ensemble ordonné, qui représente simplement l’ordre relatif de ses éléments.

10Les nombres ordinaux sont une espèce de types d’ordre ; ce sont les types d’ordre des ensembles bien ordonnés, dont nous nous dispenserons de donner ici la définition, car elle est inutile pour la suite de notre exposé.

  • 7 M. Cantor emploie, pour désigner les nombres cardinaux transfinis, la première lettre hébraïque, al (...)

11Rappelons que la suite naturelle des nombres entiers, considérée comme complète (infinie), a pour nombre cardinal x07 et pour nombre ordinal ω. On sait que les nombres ordinaux transfinis qui suivent ω et en dérivent, à savoir :

ω + 1, ω + 2,… ω + n,…
2ω, 2ω + 1,…, 2ω + n,…
3ω,… 4ω,… nω,… nω + n,…
ω2,… ω3,… ωn,…
m0ωn + m1ω– 1 + … + mn − 1ω + mn,…

ont tous le même nombre cardinal (la même puissance) que ω à savoir α0. En général, à un seul et même nombre cardinal correspond une infinité de nombres ordinaux, et a fortiori de types d’ordre différents.

  • 8 Op. cit., § 9.

12Cela posé, considérons l’ensemble R des nombres rationnels (entiers et fractionnaires) compris entre 0 et 1 (exclusivement). On sait qu’il a pour nombre cardinal α0, attendu qu’il peut être rangé en une suite simplement infinie. Mais on va le prendre dans son ordre naturel, c’est-à-dire dans l’ordre d’inégalité de ses éléments ; les nombres rationnels, seront comme on dit, rangés par ordre de grandeur croissante. On remarque alors qu’il n’y a dans l’ensemble R aucun élément qui soit inférieur ou supérieur à tous les autres, c’est-à-dire qu’il n’y a ni un premier, ni un dernier élément. En outre, entre deux de ses éléments il en existe toujours un autre (supérieur au premier et inférieur au second). On exprime cette dernière propriété en disant que l’ensemble R est partout dense8.

13M. Cantor démontre alors que les trois propriétés précédentes suffisent à caractériser le type d’ordre η de l’ensemble R, de sorte que, si un ensemble simplement ordonné quelconque E vérifie les trois conditions suivantes :

  1. E a pour nombre cardinal α0 (c’est-à-dire a la première puissance, ou est dénombrable) ;

  2. E n’a aucun élément qui soit inférieur ou supérieur à tous les autres ;

  3. E est partout dense ;

le type d’ordre de E est identique à η.

  • 9 Op. cit., § 10.

14De la définition du type d’ordre de R on va s’élever à celle du type d’ordre du continu. Mais pour y parvenir, il faut définir d’abord deux concepts très importants : celui de série fondamentale et celui de limite9.

  • 10 Le type inverse d’un type d’ordre se définit par la relation inverse, c’est-à-dire en remplaçant pa (...)

15Dans un ensemble simplement ordonné E, tout ensemble partiel (composé d’éléments choisis dans E) est aussi simplement ordonné. On peut notamment distinguer, au sein de l’ensemble E, des suites simplement infinies semblables à la suite naturelle des nombres, c’est-à-dire ayant pour type d’ordre ω, ou son inverse ω′10. On pourra donc numéroter les éléments de ces suites au moyen des nombres entiers successifs, et les désigner, conformément à l’usage, par :

a1, a2, a3, … an,…

16On appellera ces suites d’éléments (contenues dans E) des séries fondamentales. Une série fondamentale sera ascendante (du type ω) si l’on a :

a1 < a2, < a3 < … < an < …

17Elle sera descendante (du type ω′) si l’on a :

b1 > b2 > b3 > ... > bn > ...

  • 11 Cette définition coïncide, en somme, avec celle de la limite supérieure (ou inférieure) d’un ensemb (...)

18Une série fondamentale (ascendante, par exemple) S aura pour limite l’élément m, si tous ses éléments sont inférieurs à m, mais si tout élément de E inférieur à m est inférieur à quelque élément de S (et par suite à une infinité de ses éléments). En d’autres termes, l’élément-limite m sera le premier des éléments de E supérieurs à tous les éléments de S, de telle sorte que celle-ci finit par dépasser tout élément de E inférieur à m. On définirait de même la limite d’une série fondamentale descendante, en intervertissant les mots supérieur et inférieur11.

19On appelle éléments principaux de l’ensemble E les éléments-limites des séries fondamentales qui y sont contenues. On dit qu’un ensemble est dense en soi quand tous ses éléments sont des éléments principaux ; on dit qu’il est fermé, si toute série fondamentale contenue en lui a (en lui) un élément-limite. Enfin on dit que l’ensemble est parfait, s’il est à la fois fermé et dense en soi.

  • 12 Op. cit., § 11.

20Cela posé, on peut définir le type d’ordre θ du continu linéaire C, plus précisément, de l’ensemble des nombres réels compris entre 0 et 1 (inclusivement) pris dans leur ordre naturel, c’est-à-dire rangés par ordre de grandeur croissante12. On sait comment l’ensemble C dérive de l’ensemble R défini ci-devant. L’ensemble R est dense en soi, c’est-à-dire que tous ses éléments sont des éléments-limites (par exemple, l’élément 1/2 est la limite de la série fondamentale ascendante :

1/4, 3/8, 7/16, 15/32, ……  (2n-1)/2n+1, …

  • 13 Cf. De l’Infini mathématique, p. 64-68, p. 166 sqq.

mais il n’est pas fermé, car toutes ses séries fondamentales n’ont pas des éléments-limites. On comble cette lacune par la création des nombres irrationnels, qui sont justement définis comme limites des séries fondamentales de R. L’ensemble des nombres rationnels et irrationnels est encore dense en soi (comme R) et de plus fermé (en y comprenant 0 et 1) ; il est donc parfait13.

21Mais cette propriété ne suffit pas à caractériser l’ensemble C : il y a en effet des ensembles parfaits qui ne sont pas ce qu’on appelle des continus. Il faut ajouter une autre propriété, qui consiste en ce fait que l’ensemble C contient l’ensemble R, et cela de telle sorte qu’entre deux éléments quelconques de C il y ait toujours un élément de R. On sait, en effet, qu’entre deux nombres irrationnels, comme entre deux nombres rationnels, il y a toujours un nombre rationnel, et que cela est encore vrai pour deux nombres réels quelconques. Ces deux propriétés réunies caractérisent le type d’ordre θ de l’ensemble continu C ; on établit en effet le théorème suivant :

22« Si un ensemble ordonné D est parfait, et si de plus il contient un ensemble ordonné S ayant pour nombre cardinal α0, et tel qu’entre deux éléments quelconques de D il y ait toujours des éléments de S, l’ensemble D a pour type d’ordre θ ». On démontre, d’ailleurs, que l’ensemble S ainsi caractérisé possède les propriétés essentielles de l’ensemble R, et par suite a pour type d’ordre η. On remarquera que la définition précédente de l’ensemble continu ne contient que des propriétés purement ordinales ; c’est ce qui ressortira d’ailleurs de la discussion qui va suivre. Ainsi un ensemble continu paraît pouvoir se définir uniquement par les relations d’ordre qui existent entre ses éléments.

II

  • 14 Grundlagen einer allgemeinen Mannichfaltigkeitslehre, ap. Mathematische Annalen, t. XXI (Leipzig, T (...)

23Nous allons maintenant comparer cette définition ordinale du continu à celle que M. Cantor en avait donnée autrefois14. On pourrait remarquer, d’abord, que celle-ci était plus générale que la nouvelle, attendu qu’elle s’appliquait aux continus d’un nombre quelconque de dimensions, tandis que la nouvelle ne s’applique qu’au continu linéaire, puisqu’elle repose sur la notion de l’ordre linéaire ou de l’ensemble simplement ordonné. Mais comme cette différence ne tient pas essentiellement aux deux définitions, nous croyons pouvoir la négliger.

24On se rappelle que M. Cantor définissait l’ensemble continu comme un ensemble connexe et parfait. Connexe, c’est-à-dire qu’entre deux éléments quelconques de l’ensemble, p0 et p, on peut trouver dans cet ensemble une chaîne d’éléments p1,p2,… pn, en nombre fini, telle que les intervalles de deux éléments consécutifs :

p0p1, p1p2, ........... pnp

soient tous plus petits qu’une quantité donnée ε, aussi petite qu’on veut. Il est clair que c’est là une condition essentiellement métrique, qui implique la notion de grandeur.

  • 15 Cf. De l’Infini mathématique, Note IV, nos 32, 34, 36.
  • 16 Qu’au lieu de la distance, définie par la racine carrée de la somme des carrés des différences des (...)

25L’autre condition l’implique également, bien que l’identité de l’épithète (parfait) puisse faire illusion à cet égard. Qu’était-ce, en effet, qu’un ensemble parfait, pour M. Cantor15 ? C’était un ensemble qui contenait tous ses points-limites, et dont tous les points étaient des points-limites. Or comment définissait-on un point-limite d’un ensemble ? C’était un point dans le voisinage duquel il y a une infinité de points de l’ensemble ; plus exactement, c’était un point m tel que, étant donnée une quantité ε, on peut toujours trouver un point appartenant à l’ensemble et dont la distance à m soit moindre que ε, et cela, si petit que soit ε16. On voit que là encore intervient la considération de la distance ou de l’intervalle, bref, d’une grandeur quelconque. En résumé, les deux attributs essentiels par lesquels on définissait autrefois le continu avaient un caractère éminemment métrique, et n’avaient pas le caractère ordinal qui distingue la nouvelle définition. On peut dire que l’ancien continu ressortissait à la catégorie de grandeur, tandis que le nouveau ressortit à la catégorie d’ordre ; nous les appellerons donc, pour mieux les discerner, le continu métrique et le continu ordinal.

  • 17 Nous ne savons s’il les considère réellement comme identiques ; en tout cas, il n’indique nulle par (...)
  • 18 Cf. notre article Sur les rapports du nombre et de la grandeur, ap. Revue de Métaphysique et de Mor (...)

26La question qui se pose à présent est de savoir si ces deux continus sont identiques, autrement dit, si c’est le même continu que M. Cantor a défini de part et d’autre17. On comprend aisément l’importance capitale de cette question18. En effet, la continuité est un attribut essentiel et caractéristique de l’idée de grandeur ; dès lors, il n’y a rien d’étonnant à ce que, pour la définir, on fasse appel à des considérations de grandeur. Mais s’il était prouvé que le même continu qui nous apparaît comme grandeur peut se définir d’une manière adéquate par de pures relations d’ordre, comme un ensemble ordonné, on serait bien près de ramener l’idée de grandeur elle-même à l’idée d’ordre et de la réduire à un ensemble d’unités rangées d’une certaine manière, suivant un plan de structure spécial qui est justement le type d’ordre θ.

  • 19 La relation de la limite ordinale à la série fondamentale est tout à fait analogue à celle du nombr (...)

27Pour mieux nous rendre compte de la différence des deux notions, comparons les deux définitions de la limite. En vertu de la définition métrique du point-limite, il existe une suite infinie de points p1, p2,… pn,… qui s’approchent indéfiniment du point-limite q, de telle sorte que la distance pq devienne plus petite que toute quantité donnée, pour une valeur suffisamment grande de n. Rien de pareil dans la définition ordinale : l’élément-limite d’une suite fondamentale ascendante e1e2,… en,… est simplement le premier après tous les en ; il n’est pas question de distance ou d’intervalle entre eux et lui ; à plus forte raison, il n’est pas indiqué que cette distance doive décroître indéfiniment19. Il semble donc que cette dernière définition soit plus générale que la première, qu’elle impose à l’existence de la limite moins de conditions restrictives, et que, par conséquent, le continu ordinal ait plus d’extension que le continu métrique.

28C’est ce qu’un exemple, ou plutôt une image, fera mieux comprendre. L’ensemble des nombres réels compris entre 0 et 2 (inclusivement) est un continu métrique, qu’on peut figurer par un segment rectiligne : on marquera 0 et 2 aux points extrêmes, 1 au point milieu, et tous les autres nombres s’appliqueront aux points dont ils mesurent la distance au point-origine 0 (fig. 1). Coupons maintenant le segment immédiatement avant le point 1, et séparons les deux tronçons : l’un composé de tous les nombres compris entre 0 inclus et 1 exclu, l’autre composé de tous les nombres compris entre

Figure 1

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  • 20 Au sens défini par M. Cantor dans Grundlagen…, § 10.

1 inclus et 2 inclus (fig. 2). Celui-ci sera encore un ensemble continu (au sens métrique) ; l’autre sera un ensemble semi-continu20, car il lui manque un de ses points-limites, à savoir 1. Mais l’ensemble

Figure 2

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des deux segments, une fois séparés, ne sera plus ni continu ni semi-continu ; car il n’est plus connexe, puisqu’entre les points des deux segments qui le composent il y a maintenant une distance finie au-dessous de laquelle ne peut tomber l’intervalle de deux points d’une chaîne qu’on voudrait établir entre eux pour les relier.

29Or, au contraire, l’ensemble en question est encore continu au sens ordinal : car rien n’a été changé à l’ordre relatif de ses éléments. Dans cet ensemble, le nombre (ou point) 1 est toujours le premier après tous les nombres (ou points) du premier segment ; il reste donc leur limite. Toutes les autres propriétés du continu ordinal subsistent de même, et pour la même raison : par exemple, entre deux nombres irrationnels quelconques il y a encore un nombre rationnel. En un mot, le type d’ordre de l’ensemble considéré n’a pas changé, il est toujours celui du continu linéaire C. Il est d’ailleurs manifeste que l’on pourrait imaginer des solutions de continuité (métrique) plus nombreuses et plus compliquées, qui n’empêcheraient pas notre ensemble de rester continu au sens ordinal. Il semble donc que nous ayons trouvé ou construit un ensemble qui soit un continu ordinal sans être un continu métrique, ce qui suffit, logiquement, à prouver que la notion de continu ordinal est plus large que celle de continu métrique.

30Toutefois, si l’on y regarde de plus près, la conclusion précédente paraîtra moins certaine. En effet, qu’avons-nous fait pour couper le segment continu 0-2 et en séparer les deux tronçons ? Nous l’avons préalablement situé dans l’espace, ou du moins sur une ligne droite indéfinie, en tout cas, dans un milieu continu qui lui sert de support. D’ailleurs le déplacement (tout idéal qu’il soit) de l’un des deux tronçons suppose nécessairement un substratum fixe par rapport auquel ce déplacement ait lieu. Or, qu’est-ce que séparer les deux segments considérés, sinon intercaler entre eux un certain ensemble de points, étrangers à l’ensemble donné, et empruntés à l’espace ambiant ? Mais alors on n’envisage plus l’ensemble donné en lui-même et dans sa structure interne ; on le rapporte à un milieu extérieur où l’on marque des points de repère. C’est par rapport à ce milieu continu que l’on peut définir et remarquer la solution de continuité de l’ensemble donné. La continuité qu’on définit ainsi n’est donc qu’une continuité secondaire ou dérivée, qui présuppose donné un continu primordial et absolu.

  • 21 Ce raisonnement rappelle celui par lequel Descartes (identifiant l’espace et la matière) prouvait l (...)

31M. Cantor pourrait donc nous répondre : « Vous n’avez pas le droit de couper le segment continu 0-2 et d’en séparer les tronçons, car une telle opération (même idéale) n’a pas de sens tant qu’on s’enferme dans l’ensemble donné. Elle n’en a un que si l’on en sort pour le « colloquer » dans un autre ensemble, dont les éléments pourront alors s’intercaler entre ceux de l’ensemble donné et y pratiquer des solutions de continuité. Mais au point de vue de la structure interne de l’ensemble, les distances ou intervalles de ses éléments n’importent pas, ou plutôt n’existent pas. Tout ce qui importe, et tout ce qu’on peut savoir, c’est s’il y a des éléments de l’ensemble entre deux éléments donnés ; et le point 1, par exemple, reste dans la fig. 2, la limite de la suite des points : 1/2, 2/3, 3/4 …, (n-1)/n …, du moment que, dans l’ensemble considéré, il est le premier après eux tous21. »

  • 22 Voir De l’Infini mathématique, Note IV, no 32.

32Cette réponse paraît correcte, et elle justifie la définition du continu ordinal. Mais elle ne justifie pas le continu métrique et, au contraire, semble révéler dans la définition de celui-ci une pétition de principe. En effet, cette définition repose sur la notion du point-limite. Or, où trouve-t-on les points-limites d’un ensemble ? Dans l’espace à n dimensions où cet ensemble est plongé22. C’est ce qui ressort avec évidence de la comparaison des deux définitions de la limite. Dans la définition métrique, le point-limite pouvait appartenir ou ne pas appartenir à l’ensemble. Pourquoi ? Parce que cet ensemble était situé et rangé dans l’espace à n dimensions, et c’est dans cet espace continu que l’on découvrait les points-limites de l’ensemble, lors même qu’ils ne faisaient pas partie de celui-ci. Au contraire, la définition ordinale de l’élément-limite est purement intrinsèque : cet élément est le premier après (ou le dernier avant) une série fondamentale, à l’intérieur de l’ensemble, et si une série fondamentale ne possède pas une limite parmi les éléments de l’ensemble, elle n’en possède aucune.

  • 23 V. De l’Infini mathématique, Note IV, no 36.
  • 24 Steligkeit und irrationale Zahlen, §§ 3 et 5. (Braunschweig, Vieweg, 1872) [Trad. française Continu (...)

33Il en résulte une différence notable entre les deux définitions de l’ensemble fermé. Autrefois23, on disait qu’un ensemble est fermé, quand il contient tous ses points-limites. Mais à présent cette définition n’aurait plus de sens, puisque la condition qu’elle implique est toujours vérifiée. C’est pourquoi l’on dit qu’un ensemble est fermé, quand toutes ses séries fondamentales ont des éléments-limites, attendu qu’elles ne peuvent en avoir qu’en lui. Ce changement de définition montre bien que si le continu ordinal est affranchi de toute considération extrinsèque, le continu métrique n’a pu être défini que par référence à un milieu homogène et continu. Mais alors la difficulté recule : car si l’on définit le continu métrique par rapport à un milieu continu, il faudra définir autrement la continuité de ce milieu, sous peine d’être entraîné dans une régression à l’infini. Or comment définissait-on l’espace continu à n dimensions ? C’était l’ensemble des points (x1, x2,… xn) obtenus en donnant à chacune des coordonnées x1, x2,… xn toutes les valeurs réelles. Cela veut dire, en définitive, que l’on fonde la continuité de l’espace sur la continuité de l’ensemble des nombres réels. Mais on sait comment est obtenue, à son tour, cette continuité : c’est grâce à la création des nombres irrationnels en vertu de l’axiome ou du postulat de la continuité, énoncé comme suit par M. Dedekind24 : « Si l’on répartit l’ensemble des nombres rationnels en deux classes telles que tous ceux de la première soient inférieurs à tous ceux de la seconde, il existe un nombre qui est à la fois supérieur à tous ceux de la première et inférieur à tous ceux de la seconde ». On remarquera le caractère purement ordinal de cet axiome, qui sert de définition aux nombres irrationnels. Ainsi, quand on creuse la définition métrique du continu, on trouve comme fondement primordial une définition ordinale du continu. Il semble donc que le continu métrique soit une notion dérivée et relative, puisqu’on ne peut le définir que par rapport à un continu déjà donné ; tandis que le continu ordinal est la notion primitive et absolue, attendu qu’il peut se définir d’une manière intrinsèque, uniquement par l’ordre relatif de ses éléments, c’est-à-dire par l’ensemble des relations internes qui constituent son type d’ordre.

34Voilà, croyons-nous, comment on peut concilier les deux définitions du continu, en subordonnant la définition métrique à la définition ordinale, et résoudre leur apparente incompatibilité. Nous nous dispenserons de tirer de la discussion précédente des conclusions dogmatiques, non qu’elles fussent difficiles à déduire ou de peu d’importance, mais parce que, en raison même de leur gravité, elles seraient peut-être téméraires et prématurées, surtout dans un sujet aussi délicat. Nous nous contentons d’exposer la difficulté, d’en proposer une solution, et de la soumettre aux savants compétents, en particulier au maître dont nous avons essayé d’analyser les subtiles et profondes spéculations.

Notes

1 Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre, ap. Mathematische Annalen, t. 46 (1895) et 49 (1897), traduits par F. Marotte sous le titre : Sur les fondements de la théorie des ensembles transfinis. Paris, Hermann, 1899.

2 Par opposition aux ordres double, triple, etc., c’est-à-dire à deux, trois…, dimensions.

3 Op. cit., § 7.

4 Ueber zwei Definitionen der Endlichkeit und G. Cantor’sche Sätze, ap. Abhandlungen der Leop.-Carol Akademie der Naturforscher, t. LXXI, no 6 (Halle, 1898). La même définition a été donnée antérieurement par M. Burali-Forti : Sulle classi ordinati e i numeri transfiniti, ap. Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, t. VIII (1894).

5 Cette troisième propriété s’exprime en disant que la relation < est transitive dans l’ensemble considéré.

6 On peut dire, d’une manière générale et abstraite, que si une relation n’est jamais symétrique (ou réversible), elle n’est pas non plus réflexive (c’est-à-dire ne peut pas exister entre un élément et lui-même).

7 M. Cantor emploie, pour désigner les nombres cardinaux transfinis, la première lettre hébraïque, aleph, et appelle par suite le nombre en question aleph-zéro.

8 Op. cit., § 9.

9 Op. cit., § 10.

10 Le type inverse d’un type d’ordre se définit par la relation inverse, c’est-à-dire en remplaçant partout inférieur (<) par supérieur (>) et réciproquement.

11 Cette définition coïncide, en somme, avec celle de la limite supérieure (ou inférieure) d’un ensemble de nombres ou de grandeurs. V. J[ules] Tannery, Introduction à l’étude des fonctions d’une variable, [Paris, Hermann, 1880], §§ 16, 17.

12 Op. cit., § 11.

13 Cf. De l’Infini mathématique, p. 64-68, p. 166 sqq.

14 Grundlagen einer allgemeinen Mannichfaltigkeitslehre, ap. Mathematische Annalen, t. XXI (Leipzig, Teubner, 1883) ; traduit dans les Acta mathematica, t. II [1883, pp. 381-408]. Cf. De l’Infini mathématique, Note IV, n° 69.

15 Cf. De l’Infini mathématique, Note IV, nos 32, 34, 36.

16 Qu’au lieu de la distance, définie par la racine carrée de la somme des carrés des différences des coordonnées des deux points, on considère l’écart, c’est-à-dire la somme des valeurs absolues de ces différences, cela n’a pas d’importance pour notre objet, et d’ailleurs revient au même dans un ensemble linéaire.

17 Nous ne savons s’il les considère réellement comme identiques ; en tout cas, il n’indique nulle part qu’il fasse entre eux la moindre différence.

18 Cf. notre article Sur les rapports du nombre et de la grandeur, ap. Revue de Métaphysique et de Morale, t. VI, p. 446 (1898) [article N° 7].

19 La relation de la limite ordinale à la série fondamentale est tout à fait analogue à celle du nombre ω (le premier nombre transfini) à la suite naturelle des nombres finis : ω peut être considéré comme la limite de celle-ci, bien que la différence ω − n ne diminue pas, et reste toujours égale à ω.

20 Au sens défini par M. Cantor dans Grundlagen…, § 10.

21 Ce raisonnement rappelle celui par lequel Descartes (identifiant l’espace et la matière) prouvait l’impossibilité du vide, et soutenait, en conséquence, que, si une chambre était vide (de toute matière), les parois opposées se toucheraient. [Descartes, Les Principes de la philosophie, 2éme Partie, art. 18 : « si on nous demande ce qui arriverait, en cas que Dieu ôtât tout le corps qui est dans un vase, sans qu’il permît qu’il en rentrât d’autre, nous répondrons que les côtés de ce vase se trouveraient si proches qu’ils se toucheraient immédiatement. »]

22 Voir De l’Infini mathématique, Note IV, no 32.

23 V. De l’Infini mathématique, Note IV, no 36.

24 Steligkeit und irrationale Zahlen, §§ 3 et 5. (Braunschweig, Vieweg, 1872) [Trad. française Continuité et nombres irrationnels, dans : Richard Dedekind, La création des nombres, Introduction, traduction et notes par Hourya Benis Sinaceur, Paris, Vrin, 2008, pp. 57-89]. Cf. De l’Infini mathématique, p. 416.

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