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Logique, mathématiques, langue universelle

 | 
Louis Couturat

Première partie: 1893-1900

ARTICLE 9

Sur une définition logique du nombre

Revue de Métaphysique et de Morale, 1900, t. VIII, p. 24-36

Note de l’éditeur

L’ouvrage de Richard Dedekind (1831-1916) commenté par Couturat, Was sind und was sollen die Zahlen ?, paru en 1887, est un des piliers des mathématiques modernes (traduction française Que sont et à quoi servent les nombres ? dans : Richard Dedekind, La création des nombres, Introduction, traduction et notes par Hourya Benis Sinaceur, Paris, Vrin, 2008, p. 131-219). Couturat l’avait déjà cité et utilisé dans sa thèse De l’Infini mathématique, notamment dans la Note IV « Sur la théorie des ensembles et des nombres infinis », exposant les principaux apports de Georg Cantor.

Texte intégral

  • 1 Algebra der Logik, t. III, § 23 (Leipzig, Teubner, 1893). [Voir Article 8, note @.]
  • 2 Dans la brochure intitulée : Was sind und was sollen die Zahlen ? XVIII-58 p. Braunschweig, Vieweg. (...)

1Dans le troisième volume de son grand ouvrage sur l’Algèbre de la Logique1, M. Schröder reconnaît à M. Dedekind l’honneur d’avoir comblé (au moins en partie) la lacune qui séparait jusqu’ici la Logique des Mathématiques, et d’avoir trouvé les vrais fondements logiques de l’Arithmétique, en définissant logiquement l’idée de nombre entier, et en démontrant logiquement le principe de l’induction complète2. Que cet hommage flatteur soit pleinement mérité par la rigueur et la subtilité des déductions de M. Dedekind, nous ne songeons nullement à le contester, et nous nous y associons bien volontiers ; mais que le savant mathématicien ait réussi à définir le nombre entier logiquement, c’est-à-dire au moyen de purs concepts et de relations abstraites, sans aucun recours à l’intuition, c’est ce dont nous nous permettons de douter. Nous allons exposer les raisons de notre doute en résumant et en discutant la théorie de M. Dedekind. La question vaut la peine d’un examen scrupuleux, car, comme on le verra, il en est peu dont la solution soit plus importante pour la Philosophie des Mathématiques et pour la théorie de la connaissance en général.

2Pour M. Dedekind, la notion de nombre cardinal est extrêmement compliquée, et par conséquent dérivée d’idées plus simples. Parmi celles-ci se trouve la notion de nombre ordinal, qui elle-même est loin d’être primitive, et dépend de l’idée de représentation. M. Dedekind entend par représentation une correspondance uniforme : un ensemble S sera représenté par un ensemble S′, si à chaque élément de S correspond un élément, et un seul, de S′, qu’on nomme son image. L’image d’un élément de S sera commodément désignée par la même lettre accentuée : ainsi x′ sera l’image de x. La représentation est dite semblable, si à des éléments différents a, b de l’ensemble S correspondent des éléments différents a′, b′ de S′. La correspondance est alors biuniforme, c’est-à-dire que la correspondance inverse est également uniforme ; on dit encore qu’elle est univoque et réciproque, puisque l’ensemble S représente l’ensemble S′ aussi bien que S′ représente S. Les deux ensembles S et S′ sont alors dits semblables, ou mieux équivalents (suivant la terminologie de M. G. Cantor).

  • 3 Nous avons modifié la définition originale de la chaîne, pour plus de simplicité et de clarté (en q (...)

3D’autre part, on dit qu’un ensemble est représenté en lui-même s’il contient son image S′, c’est-à-dire si les images de tous ses éléments sont encore de ses éléments. On dit dans ce cas que l’ensemble S′ fait partie de l’ensemble S, ou en est une partie. Considérons alors un élément quelconque x de S. Son image x′ est un autre élément de S ; elle a donc à son tour une image x′′ ; mais celle-ci est aussi un élément de S, et partant a une image x′′′, et ainsi de suite indéfiniment. Ainsi chaque élément x de S engendre une suite illimitée d’images successives qui sont toutes des éléments de S ; on appelle cette suite la chaîne de l’élément x ; et l’on voit que, par construction, elle est contenue tout entière dans l’ensemble S3.

4Cela posé, M. Dedekind définit l’ensemble simplement infini comme suit : c’est un ensemble susceptible d’une représentation semblable en lui-même, de telle sorte qu’il soit la chaîne d’un de ses éléments (appelé 1) qui n’est pas contenu dans son image. En d’autres termes, l’ensemble simplement infini N est caractérisé par les quatre propriétés suivantes :

1o La représentation est semblable, c’est-à-dire que N est semblable à son image N′ ;

2 o L’ensemble N contient son image N′ ;

3 o L’ensemble N est la chaîne de son élément 1 ;

4 o L’élément 1 n’est pas contenu dans N′.

5L’ensemble N est en outre ordonné par la représentation en question, si l’on considère l’image de chacun de ses éléments comme l’élément consécutif, en commençant par l’élément 1, qui n’est l’image d’aucun autre :

1,      l′ = 2,      2′ = 3,      3′ = 4,

  • 4 M. Peano a adopté à peu près la même théorie dans ses Arithmetices principia … (1889), dans deux no (...)

et ainsi de suite indéfiniment. L’ensemble N ainsi construit est la suite naturelle des nombres, et toutes les propriétés des nombres doivent et peuvent se déduire de la définition de cet ensemble, qui constitue par suite le fondement unique et suffisant de l’arithmétique4.

6On voit que les nombres sont définis primitivement et uniquement comme nombres ordinaux, ou plutôt comme des signes ordonnés, de simples numéros d’ordre, dont on ne sait rien de plus que leur ordre de succession, et qui sont entièrement déterminés par cet ordre seul. Quant aux nombres cardinaux, voici comment on les fait dériver des nombres ordinaux ; ou plutôt, voici comment on confère à ceux-ci un sens cardinal, en les employant à dénombrer les éléments d’une collection.

7Après avoir défini toutes les opérations arithmétiques pour les nombres ordinaux, on établit qu’à chaque ensemble fini correspond un ensemble, et un seul, de nombres ordinaux pris dans la suite naturelle des nombres à partir de 1, sans en omettre un seul. Cet ensemble est entièrement défini par le dernier des nombres qu’il contient, soit n ; par définition, n sera le nombre (cardinal) de l’ensemble des nombres de 1 à n, et par suite de tout ensemble semblable à celui-là. De cette définition on déduit toutes les propriétés des nombres cardinaux finis.

  • 5 Was sind und was sollen die Zahlen, Préface de la 1re édition, p. VIII.

8En somme, la notion de nombre cardinal repose, comme celle de nombre ordinal, sur l’idée de correspondance univoque et réciproque, ou, pour employer un terme unique, de coordination (Zuordnung) ; et M. Dedekind est amené à voir dans celle-ci une idée primitive de l’esprit, et même l’idée fondamentale, non seulement des Mathématiques, mais de toute pensée : « Sans la faculté qu’a l’esprit de faire correspondre des objets à des objets…, aucune pensée n’est possible en général5 ». Il semble donc que M. Dedekind considère l’idée de coordination comme bien plus simple et plus évidente que celle de nombre ordinal, à plus forte raison que celle du nombre cardinal, et par suite comme logiquement antérieure à toutes deux. Or c’est ce qu’il nous paraît difficile d’admettre, pour les raisons que nous allons exposer.

  • 6 C’est le postulat de l’invariance du nombre, que M. Schröder a découvert, mais que personne, à notr (...)

9Remarquons tout d’abord que cette définition du nombre cardinal est purement nominale. Pourquoi choisit-on le nombre ordinal n pour représenter, ou plutôt pour être le nombre cardinal de la suite des nombres entiers, de 1 à n ? Parce que c’est le dernier, et que, comme la suite commence toujours par 1, il suffit pour la déterminer d’en indiquer le dernier terme. Sans doute ; mais cette raison ne suffirait pas, si par exemple ce nombre n était différent pour deux collections semblables (équivalentes), ou pour la même collection, dénombrée dans un ordre différent. La définition du nombre cardinal par le nombre ordinal implique donc, d’une part, que deux ensembles équivalents à un même troisième sont équivalents entre eux, de sorte que deux ensembles équivalents ont nécessairement le même nombre ; et d’autre part, qu’un ensemble a le même nombre, quel que soit l’ordre dans lequel on dénombre ses éléments, ce qui n’est vrai que pour les ensembles finis6.

10Mais admettons ce double postulat : tout ce qu’on pourra dire, c’est que l’on a un ensemble de collections semblables (équivalentes), parmi lesquelles il y a une collection de nombres ordinaux : ces collections sont unies entre elles deux à deux par une relation, qu’on nomme leur équivalence ; d’où il suit qu’on peut choisir l’une quelconque d’entre elles pour représenter toutes les autres, du moins en tant qu’équivalentes. Que l’on choisisse la collection des nombres ordinaux de 1 à n, parce qu’étant une série de petits signes ordonnés, elle est la plus commode à désigner verbalement ou par écrit, cela se comprend ; mais le nombre ordinal n n’a pas plus le sens de nombre cardinal que ne l’aurait une pomme ou un caillou, si l’on avait adopté une collection de pommes ou de cailloux pour représenter toutes les collections équivalentes. Ce qui donne à ce simple numéro d’ordre n le sens cardinal, c’est cette propriété commune aux diverses collections équivalentes, et sur laquelle repose leur équivalence : or cette propriété est justement leur nombre cardinal, impliqué et présupposé dans le dénombrement.

  • 7 Cf. [Edmund] Husserl, Philosophie der Arithmetik, t. I, 1re partie, ch. VI et VII (Halle, Pfeffer, (...)

11Et en effet, en quoi consiste cette opération du dénombrement ? Elle consiste à faire correspondre un à un les éléments d’une collection concrète, prise dans un ordre déterminé, aux nombres successifs de la suite naturelle, à partir de 1. Qu’est-ce à dire : un à un ? Cela veut dire que chaque élément doit être considéré comme une unité, et que toutes ces unités sont à la fois semblables, en tant qu’unités, et différentes, pour qu’on puisse les distinguer et les dénombrer. Par suite, la collection concrète qu’il s’agit de dénombrer est conçue d’ores et déjà comme une collection d’unités ; or c’est précisément là l’idée du nombre cardinal. D’autre part, la suite des nombres ordinaux de 1 à n n’est pas autre chose qu’une collection de signes concrets, tous différents, mais dont chacun doit être conçu comme un pour pouvoir servir au dénombrement : de sorte que cette suite, elle aussi, doit être conçue au préalable comme une collection d’unités, c’est-à-dire comme un nombre cardinal. Mais, qu’on le remarque bien, la collection de pommes qu’elle sert à dénombrer a autant de titres qu’elle à représenter leur nombre cardinal commun, de sorte qu’il serait aussi légitime de dénombrer les nombres ordinaux avec des pommes que de dénombrer les pommes avec des nombres ordinaux. L’idée de nombre cardinal n’est pas plus inhérente à l’une qu’à l’autre des deux collections que l’on compare ; dans l’une et dans l’autre, elle préexiste au dénombrement, et celui-ci n’a d’autre but et d’autre effet que de trouver le nom du nombre déjà pensé et implicitement déterminé. Il ne faut donc pas croire que l’idée de nombre cardinal naisse, par une sorte de création mystérieuse, du rapprochement et de la coordination de deux collections équivalentes ; il est antérieur à leur coordination, il est le fondement même de leur équivalence. C’est donc un cercle vicieux manifeste que de définir le nombre cardinal par l’équivalence, c’est-à-dire, comme le terme allemand l’indique, par l’égalité de nombre (Gleichzahligkeit) : ce n’est pas parce que deux ensembles sont équivalents qu’ils ont le même nombre ; c’est parce qu’ils ont le même nombre qu’ils sont équivalents, et peuvent être coordonnés7.

12Il ne faut pas non plus concevoir le nombre cardinal comme une notion générale issue par abstraction de la considération de plusieurs collections équivalentes, car, comme nous venons de le montrer, cette idée préexiste dans chacune de ces collections à la coordination qui révèle leur équivalence. Pour que deux collections quelconques puissent être coordonnées, il faut auparavant qu’elles soient conçues comme des collections d’unités, c’est-à-dire réduites d’avance à leur nombre cardinal ; et leur rapprochement ne fait que manifester l’égalité, c’est-à-dire l’identité, des deux nombres cardinaux ainsi obtenus. On voit ce qu’il faut penser de la thèse de M. Dedekind, à savoir que l’idée de correspondance est une idée primitive, bien plus simple que l’idée de nombre, et antérieure à elle. Tout au contraire, c’est l’idée de nombre cardinal qui est plus simple que l’idée de correspondance, puisque l’acte intellectuel de la coordination consiste, en définitive, à comparer et à accoler deux collections d’unités, c’est-à-dire deux nombres cardinaux, et par suite est logiquement postérieur à l’acte qui consiste à penser chacune d’elles, c’est-à-dire à penser un seul nombre cardinal.

13Quant à l’idée de nombre ordinal, nous allons montrer qu’elle aussi est postérieure à la notion de nombre cardinal. Cela paraît évident, si l’on réfléchit qu’elle contient un élément de plus, qui est l’idée d’ordre. En effet, le nombre ordinal se compose, en réalité, d’unités ordonnées ; c’est donc d’abord une collection d’unités, c’est-à-dire un nombre cardinal, avec une donnée en plus, qui est le rangement de ces unités. Le nombre cardinal est donc plus simple que le nombre ordinal, il représente un degré supérieur d’abstraction, comme l’a bien vu M. Cantor. On peut encore prouver la même thèse en remarquant que l’idée de nombre ordinal implique celle de correspondance, et en analysant la définition même de la correspondance univoque et réciproque. Que dit-elle en effet ? Qu’à chaque élément d’un ensemble doit en correspondre un, et un seul, de l’autre ensemble, et qu’à des éléments différents du premier doivent correspondre des éléments différents du second. Or cela suppose, en premier lieu, qu’on sait définir et reconnaître l’unité de tous les éléments de chacun des deux ensembles, et en second lieu, qu’on sait les distinguer, reconnaître leur différence. Or lorsqu’on sait cela, on sait dénombrer séparément chacun des deux ensembles, ou plutôt on les pense déjà comme des collections d’unités, dont le nombre est dès lors déterminé. Mais, d’autre part, on définit le nombre ordinal par une telle correspondance établie entre les éléments d’un ensemble, en y ajoutant des conditions supplémentaires, comme celle-ci, que l’image de l’ensemble ne doit pas contenir un de ses éléments. Nous retrouvons partout et toujours l’idée d’unité, fondement indispensable de l’idée de nombre comme de l’idée de l’ordre, et nous en concluons qu’avant d’ordonner les éléments d’un ensemble, il faut les penser comme des unités, et par conséquent penser cet ensemble lui-même comme une collection d’unités, c’est-à-dire comme un nombre. En résumé, l’idée de nombre entier (cardinal) est antérieure à l’idée de correspondance, à l’idée de l’ordre, et à l’idée de nombre ordinal, et est réellement plus simple que toutes ces idées dont on essaie de la faire dériver.

  • 8  Ueber die selbständige Definition der Mächtigkeiten 0, 1, 2, 3, und die explizite Gleichzahligkeit (...)

14Pour compléter et corroborer cette démonstration, nous voulons faire voir qu’on ne réussit pas plus à définir logiquement le nombre in concreto qu’in abstracto, c’est-à-dire pas plus les nombres entiers (même les premiers) que le nombre entier en général. C’est pourtant ce qu’a tenté M. Schröder, dans un mémoire qui fait suite à son grand ouvrage8. Il a employé l’Algèbre des relations à formuler analytiquement les conditions intrinsèques que doit remplir un ensemble donné pour posséder tel ou tel nombre Nous serons obligé de citer quelques formules de cette algèbre spéciale, dont il serait trop long d’exposer ici les définitions et les principes ; il nous suffira de les traduire en langage ordinaire, aussi exactement que possible, pour faire ressortir la pétition de principe qu’elles nous paraissent toutes envelopper.

15On définit d’abord le nombre 0 par l’équivalence logique suivante :

(Num. a = 0) = (a = 0)

ce qui veut dire : « Le nombre cardinal de l’ensemble a est égal au zéro arithmétique, quand l’ensemble a lui-même est égal au zéro logique, c’est-à-dire est nul ; et réciproquement. » Mais quand dit-on qu’un ensemble est nul ? C’est quand il est vide, c’est-à-dire ne contient aucun élément. Fort bien ; mais, dira peut-être le lecteur, ce n’était pas la peine de recourir à l’algèbre pour exprimer cette proposition banale, qu’un ensemble a pour nombre zéro quand il ne contient aucun élément.

16M. Schröder pourrait répondre : Vous oubliez que le zéro logique a été défini d’une manière toute formelle comme le module de l’addition, c’est-à-dire par la formule :

x + 0 = x,

vraie quel que soit x ; ou encore par la formule :

0 × x = 0,

  • 9 C’est même là la définition primitive de M. Schröder, que traduit la formule 0 ≤ x. (0 est contenu (...)
  • 10 Algebra der Logik, t. I, p 246.

vraie quel que soit x. Sans doute, mais il s’agit de savoir ce que signifient ces formules, quand on les interprète dans la théorie des ensembles, et à quelle condition elles sont vraies, ou plutôt interprétables. La première signifie que 0 est un ensemble tel, qu’il ne change rien aux ensembles auxquels on l’ajoute ; la seconde signifie que 0 est un ensemble tel, que la partie commune qu’il a avec tout autre ensemble est identique à lui-même, c’est-à-dire un ensemble qui est contenu dans tous les autres9. Ces deux conditions reviennent d’ailleurs au même ; elles sont équivalentes. Or, comment M. Schröder s’arrange-t-il pour les satisfaire ? « Pour que les symboles 0 et 1 soient applicables à une multiplicité suivant les règles du calcul », dit-il10, il faut que celte multiplicité se compose exclusivement d’individus séparés, mais sociables ; elle doit être pure, c’est-à-dire ne comprendre comme élément aucune classe contenant d’autres éléments. Il en résulte qu’aucun individu ne peut être commun à toutes les classes possibles, et que, par conséquent, la classe 0 est nécessairement vide. Et M. Schröder montre que, sans ces conditions expresses, l’application du calcul logique à une multiplicité conduirait à des contradictions. Nous en concluons que, si le symbole 0 doit avoir un sens et une application réelle, il ne peut désigner qu’une classe vide ou nulle, c’est-à-dire un ensemble qui ne contient aucun élément.

  • 11 Algebra der Logik, t. II, § 47.

17Passons à la définition analytique du nombre 1. Elle suppose naturellement la définition formelle de l’individu, exposée par M. Schröder dans son grand ouvrage11. Il s’agit d’exprimer les conditions logiques intrinsèques auxquelles une classe se réduit à un individu, c’est-à-dire contient un élément, et un seul. La première de ces conditions est évidente : il faut que cette classe en contienne au moins un, c’est-à-dire qu’elle ne soit pas nulle. En désignant cette classe par i, on traduira cette condition par l’inégalité

i ≠ 0.

18Reste à trouver la propriété caractéristique de l’individu, c’est-à-dire ce qui distingue une classe qui ne contient qu’un élément de celles qui en contiennent plusieurs. Or celles-ci sont divisibles, c’est-à-dire qu’on peut répartir leurs éléments (ne fussent-ils que deux) entre deux classes distinctes et même disjointes, c’est-à-dire n’ayant aucun élément commun. Au contraire, l’individu est (comme son nom l’indique) indivisible ; il est par suite tout entier dans chacune des classes qui le contiennent, et totalement absent ou disjoint de celles qui ne le contiennent pas, de sorte que deux classes disjointes ne peuvent pas le contenir à la fois. C’est ce qu’exprime la formule suivante :

(xy = 0) ≤ [ (ix ≠ 0) (iy ≠ 0) = 0 ]

  • 12 Les produits ix, iy représentent, par définition, les parties communes aux ensembles i et x, i et y(...)

« Si deux classes x, y sont disjointes, il est impossible que la classe i ait à la fois quelque chose de commun avec x et avec y »12.

19Cette formule, jointe à la précédente (i ≠ 0), suffit à définir ou plutôt à caractériser l’individu. Elle est susceptible de diverses formes. En particulier, si l’on prend pour y la négation de x, x1 (la classe des non −x), la relation (xy = 0) sera nécessairement vérifiée (en vertu du principe de contradiction qui s’écrit : xx1 = 0), et la condition précédente se simplifiera ; d’hypothétique elle deviendra catégorique :

(ix ≠ 0) (ixl ≠ 0) = 0

« Il est impossible que la classe i ait à la fois quelque chose de commun avec une classe quelconque x et avec sa négation x1. » De cette formule on déduit (par contraposition) la suivante :

(ix = 0) + (ixl = 0) = 1

« Ou bien i est disjointe de x, ou bien elle est disjointe de x1 » On peut transformer, par des règles connues, les égalités en subsomptions, et écrire la même condition sous la forme suivante :

(i ≤ x1) + (≤ x) = 1

  • 13 Cette proposition, qui est un corollaire du principe du tiers exclu, n’est cependant vraie que pour (...)

« Ou bien i est contenue dans x, ou bien elle est contenue dans x1. » Cette dernière forme est la plus naturelle et la plus intuitive ; elle revient à dire : Si i est un individu, ou bien il est contenu (tout entier) dans une classe quelconque x, ou bien il est contenu (tout entier) dans la classe non -x13.

20Reste à savoir quelle est la valeur philosophique de cette définition de l’individu. Qu’elle serve à le caractériser d’une manière formelle et précise, et que par suite elle ait un grand intérêt logique, nous le reconnaissons volontiers. Mais il est clair que cette définition, comme toutes les définitions mathématiques, suppose nécessairement l’idée à définir et l’invoque implicitement. On part de la notion d’individu, on en tire une propriété essentielle et caractéristique, et on la traduit analytiquement. Cela est parfaitement légitime, pourvu qu’on ne croie pas avoir par là construit de toutes pièces et pour ainsi dire créé l’idée à définir. Car si l’on cédait à cette illusion naturelle et spécieuse, nous serions obligé de rappeler que, pour interpréter les symboles du Calcul logique, on les a fait correspondre à des classes, et que ces classes sont formées par la réunion d’individus appartenant à une multiplicité pure, soumise aux conditions précédemment énoncées. Or, pour concevoir ces diverses classes, et même pour savoir si cette multiplicité est pure, il faut absolument la concevoir comme une collection d’éléments dont on sait reconnaître l’unité et la différence, en un mot, comme une collection d’individus.

21Au surplus, ce qui prouve bien que l’idée d’individu est antérieure à la définition logique qu’on en donne, c’est que l’on ne définit pas à proprement parler l’individu lui-même, mais seulement la classe qui ne contient qu’un individu ; or cette seconde idée est logiquement subordonnée à la première et la présuppose. Aussi toutes les définitions suivantes, qui reposent sur la notion de l’individu, impliquent-elles par cela même l’idée d’unité.

  • 14 Dans tout ce qui suit, les lettres i, j, h, k désigneront exclusivement des individus, au sens défi (...)

22Ces réserves faites, voyons comment on définit le nombre 1. On dira que l’ensemble a a le nombre 1, s’il se réduit à un seul individu ; ce dernier fait pourra se traduire par la formule même qui définit l’individu. Mais il peut s’exprimer aussi de la manière suivante14 ;

Σi (i ≤ aΠj [( i) ≤ ( a)],

ce qui veut dire : « Il y a au moins un individu i qui fait partie de la classe a, mais tout individu j différent de i n’en fait pas partie (en est exclu). » Il est évident que cette définition du nombre 1 contient explicitement l’idée de l’unité.

23Examinons ensuite la définition du nombre 2. Pour découvrir les conditions formelles que vérifie un ensemble composé de deux éléments, on part de la formule suivante :

Σij (i ≠ j) (i + j ≤ aΠh [(h ≠ i) (h ≠ j) ≤ (h  ≤ a)],

qui signifie : « Il y a deux individus différents, i et j, qui font partie de la classe a, mais tout individu h différent de i et de j n’en fait pas partie. » Il est clair que cette définition n’implique pas seulement l’idée d’individu, mais encore l’idée de deux individus, i et j (et même celle d’un troisième individu, h).

24C’est ce qu’on voit mieux encore en analysant la définition du nombre 3. La condition formelle que doit remplir un ensemble composé de trois éléments est celle-ci :

Σijh (i ≠ j) (i ≠ h) (j ≠ h) (i +  a)

Πk [(k ≠ i) (k ≠ j) (k ≠ h) ≤ ( ≤ a)],

ce qui veut dire : « Il y a trois individus différents i, j, h, qui font partie de la classe a, mais tout individu k différent de ceux-là n’en fait pas partie ». Encore un coup, la prétendue définition du nombre 3 implique manifestement l’idée de ce nombre lui-même.

  • 15 En grec, les trois définitions pourraient avoir une forme grammaticale différente, par l’emploi res (...)
  • 16 Telle est par exemple la définition par récurrence ou par induction complète, formulée algébriqueme (...)

25On dira peut-être que nous nous faisons la partie belle en introduisant les mots un, deux, trois dans la traduction verbale de ces définitions ; mais c’est simplement pour faire ressortir les idées correspondantes qui y sont réellement impliquées. Sans doute, on pourrait éviter de s’en servir, et énoncer ainsi les trois définitions : « Étant donné l’élément i contenu dans a, tout autre élément j en est exclu ». « Étant donnés les éléments i, j contenus dans a, tout autre élément h en est exclu ». « Étant donnés les éléments i, j, h, contenus dans a, tout autre élément k en est exclu ». Mais croit-on par ce subterfuge avoir banni de ces définitions l’idée des nombres 1, 2, 3 ? Pas le moins du monde : sans parler de la différence grammaticale qui distingue la première, où l’on dit l’élément au singulier, des deux autres, où l’on dit les éléments au pluriel15, il saute aux yeux qu’en donnant d’abord i, puis i et j, puis i, j et h, on donne implicitement l’idée du nombre à définir, puisqu’on donne une collection d’individus, c’est-à-dire d’unités, ayant précisément ce nombre. Au fond, ces définitions, et toutes les définitions analogues qu’on pourrait inventer16, reviennent simplement à dire : Étant donnée une collection particulière i, j, h,… toute collection équivalente aura le même nombre. Mais alors, au lieu de définir les nombres cardinaux par les ensembles d’individus : (i) ; (i, j) ; (i, j, h) ;…, mieux vaut les définir tout bonnement par des séries de bâtons, et écrire comme les Romains : I, II, III,…

  • 17 À vrai dire, il n’y réussit que pour 0, 1 et 2 ; pour 3, il ne peut exprimer explicitement que la c (...)

26Pour être équitable et complet, il faut ajouter que M. Schröder parvient, par des transformations algébriques, à éliminer de ses formules les individus i, j, h,… et à obtenir des formules explicites, où ne figurent que la classe a et des classes bien définies17. Mais qu’est-ce que cela prouve, du moment que l’idée d’individus donnés en nombre déterminé est expressément enveloppée dans les prémisses ? Toutes les conséquences analytiques qu’on en déduira pourront bien déguiser l’hypothèse initiale, elles ne la supprimeront pas. Est-il besoin d’ajouter que, dans ces conditions, il nous paraît chimérique d’essayer de formuler la condition explicite de l’égalité de nombre de deux ensembles quelconques, en réunissant les conditions explicites de cette égalité pour tous les nombres entiers 1, 2, 3… ? Quant à la condition implicite, qui consiste à dire qu’il existe une correspondance univoque et réciproque entre les deux ensembles, nous en avons apprécié plus haut la portée logique et philosophique. En définitive, on ne peut définir analytiquement, ni le concept de nombre en général, ni les idées des nombres particuliers.

27La conclusion qu’il convient de tirer de ces recherches ingénieuses et subtiles est diamétralement opposée à celle de M. Schröder. Avec M. Dedekind, il considère la notion de nombre comme extraordinairement compliquée, parce que, même avec l’instrument puissant de l’Algèbre des relations, il n’est pas encore parvenu à définir explicitement le nombre 3. La notion de nombre nous paraît beaucoup plus simple, et le fait que l’Algèbre des relations ne réussit pas à en donner une formule explicite milite bien plutôt contre cette Algèbre que contre le nombre lui-même. Il prouve que l’on ne peut pas définir les nombres, même les plus petits, en termes purement conceptuels. Comme on l’a vu, on n’a pas d’autre moyen de définir un nombre entier que de donner une collection particulière qui ait ce nombre ; et tous les efforts faits pour obtenir une définition analytique échouent ou aboutissent à un appel tacite à l’intuition. La tentative de M. Schröder n’en est pas moins intéressante, elle est même instructive par son résultat négatif : car, contrairement à l’intention de son auteur, elle vient confirmer, cette proposition, que le nombre n’est pas un concept, mais une intuition ; en d’autres termes, on ne définit pas un nombre, on ne peut que le montrer.

28Cette thèse, qui pourrait se justifier par bien d’autres raisons encore, est conforme à la doctrine de Kant, selon laquelle les vérités mathématiques, même celles de l’Arithmétique pure, sont des jugements synthétiques a priori. Il n’était peut-être pas sans intérêt de constater que la tendance, d’ailleurs fort légitime, des mathématiciens modernes à réduire les données primitives de leur science à des notions purement logiques, et à restreindre autant que possible la part de l’intuition, en soumettant la théorie kantienne à un contrôle sévère et à une sorte de contre-épreuve, ne fait que la vérifier et la consolider.

Notes

1 Algebra der Logik, t. III, § 23 (Leipzig, Teubner, 1893). [Voir Article 8, note @.]

2 Dans la brochure intitulée : Was sind und was sollen die Zahlen ? XVIII-58 p. Braunschweig, Vieweg. 1re éd. 1887, 2e éd. 1893. Nous ne nous occuperons pas ici de la démonstration du principe de l’induction complète, parce qu’elle nous semble absolument correcte et analytique, surtout sous la forme rigoureuse et précise que M. Schröder lui a donnée en la traduisant dans l’Algèbre des relations (loc. cit.). Nous tenons toutefois à attirer sur elle l’attention de nos lecteurs, car elle paraît contredire la théorie soutenue par M. Poincaré (Sur la nature du raisonnement mathématique, ap. Revue de Métaphysique et de Morale, t. II, [1894], p. 371, juillet 1894), à savoir que le principe de l’induction complète est un axiome essentiellement synthétique, en ce qu’il enveloppe l’infini, et est le fondement de toutes les propositions synthétiques de l’Arithmétique. Comme on le verra, c’est dans l’idée du nombre elle-même que nous croyons trouver l’élément intuitif et synthétique qui rend les jugements arithmétiques réfractaires à la Logique pure et irréductibles à des jugements analytiques. [L’article cité de Poincaré est repris dans La Science et l’hypothèse, chap. 1.]

3 Nous avons modifié la définition originale de la chaîne, pour plus de simplicité et de clarté (en quoi nous n’avons fait que suivre l’exemple de M. Schröder). Nous n’ignorons pas que notre définition, qui implique l’infini, conduirait à un cercle vicieux, s’il s’agissait de démontrer le principe de l’induction complète (cf. Schröder, Algebra der Logik, t. III, p. 356, 361, 363) ; mais nous croyons pouvoir nous en servir sans inconvénient pour définir l’idée de nombre ordinal. En tout cas, qu’il suffise de savoir qu’il existe une autre définition de la chaîne qui n’implique pas le principe de l’induction complète.

4 M. Peano a adopté à peu près la même théorie dans ses Arithmetices principia … (1889), dans deux notes Sul concetto di numero, ap. Rivista di Matematica, t. I (1891), et dans son Formulaire de Mathématiques, t. II, § 2 (1898), et t. II, no3, § 20 (1899). Il admet comme idées primitives, indéfinissables, le zéro, l’idée de nombre entier (positif ou nul), et l’idée du nombre consécutif d’un autre. Il pose ensuite les principes ou axiomes suivants :

« 1o : 0 est un nombre.

2o : Tout nombre est suivi par un nombre.

3o : Deux nombres suivis par le même nombre sont égaux.

4o : 0 ne suit aucun nombre.

5o : Principe de l’induction complète : Si une proposition est vraie pour le nombre 0, et si, étant vraie pour un nombre n, elle est aussi vraie pour le suivant, elle est vraie pour tous les nombres entiers ».

(On peut d’ailleurs remplacer dans ces axiomes 0 par 1 ; on définit alors l’idée de nombre entier positif non nul).

On s’assure aisément que ces axiomes concordent avec ceux de M. Dedekind. Le 2e signifie que la correspondance de chaque nombre au suivant est uniforme ; le 3e, qu’elle est semblable ; le 4e, que 0 (ou 1) est exclu de l’image de l’ensemble N, alors que, en vertu du 2axiome, celle-ci est contenue dans N ; enfin, le 1e et le 3e réunis équivalent à cette proposition : « L’ensemble N est la chaîne de 0 (ou de 1). » La théorie de M. Peano ne diffère de celle de M. Dedekind qu’en ce qu’il admet comme axiome le principe de l’induction complète, que le savant allemand démontre en partant de la notion de chaîne ; et en ce qu’il ne prétend pas définir le nombre entier, mais en énumérer les propriétés caractéristiques, ce qui, selon sa propre remarque, revient au même.

5 Was sind und was sollen die Zahlen, Préface de la 1re édition, p. VIII.

6 C’est le postulat de l’invariance du nombre, que M. Schröder a découvert, mais que personne, à notre connaissance, n’a réussi à démontrer analytiquement, sans appel à l’intuition. Pour la discussion de ce point, voir De l’Infini mathématique, 2e partie, livre I, ch. I et II.

7 Cf. [Edmund] Husserl, Philosophie der Arithmetik, t. I, 1re partie, ch. VI et VII (Halle, Pfeffer, 1891). [trad. française par Jacques English : Philosophie de l’arithmétique, Paris, Presses Universitaires de France, 1972.]

8  Ueber die selbständige Definition der Mächtigkeiten 0, 1, 2, 3, und die explizite Gleichzahligkeitsbedingung, ap. Abhandlungen der kaiserl. Leop.-Carol. Akademie der Naturforscher, t. LXXI, n° 7 (Halle, 1898).

9 C’est même là la définition primitive de M. Schröder, que traduit la formule 0 ≤ x. (0 est contenu dans x) vraie quel que soit x.

10 Algebra der Logik, t. I, p 246.

11 Algebra der Logik, t. II, § 47.

12 Les produits ix, iy représentent, par définition, les parties communes aux ensembles i et x, i et y.

13 Cette proposition, qui est un corollaire du principe du tiers exclu, n’est cependant vraie que pour un individu, mais non pour une classe quelconque : car une classe ordinaire peut se répartir entre les classes x et non -x. Cf. Revue de Métaphysique, t. VII [1899], p. 628-629 [Article 8].

14 Dans tout ce qui suit, les lettres i, j, h, k désigneront exclusivement des individus, au sens défini ci-dessus. Le signe  ≤ représente la négation du signe d’inclusion. Quant aux signes de somme (Σ) et de produit (Π) empruntés aux mathématiques, ils signifient, le premier, qu’il y a au moins un i qui vérifie la proposition suivante : et le second, que tous les j la vérifient. Ils traduisent algébriquement, en somme, les termes logiques « quelque » et « tout ».

15 En grec, les trois définitions pourraient avoir une forme grammaticale différente, par l’emploi respectif du singulier, du duel et du pluriel.

16 Telle est par exemple la définition par récurrence ou par induction complète, formulée algébriquement par M Schröder, et qui exprime que l’ensemble a contient un élément (i) de plus que l’ensemble b. Telles sont également les formules qui expriment que l’ensemble a contient au moins 1, 2, 3,... éléments, et qui, combinées avec celles qui expriment qu’il en contient au plus 1, 2, 3... fournissent encore une définition des nombres 1, 2, 3...

17 À vrai dire, il n’y réussit que pour 0, 1 et 2 ; pour 3, il ne peut exprimer explicitement que la condition : l’ensemble a contient au moins 3 éléments, en partant de la formule : Σijh (i ≠ j) (i ≠ h) (j ≠ h) (i + j + h ≤ a).

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