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Logique, mathématiques, langue universelle

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Louis Couturat

Première partie: 1893-1900

ARTICLE 5.2

Essai critique sur l’hypothèse des atomes dans la science contemporaine par A. Hannequin (2)

Revue de Métaphysique et de Morale, 1897, t. V, p. 87-113

Texte intégral

  • 1 Voir Revue de Métaphysique et de Morale, t. IV, p. 778 (nov. 1896), notre édition, chap. 5.

1L’ouvrage de M. Hannequin1 est un véritable monument : c’est toute une Philosophie des sciences servant de base à toute une Métaphysique ; et le premier mérite de l’auteur est justement d’avoir pensé que la Philosophie de la nature doit reposer sur la critique des Sciences de la nature. En procédant ainsi, il a adopté la méthode de beaucoup la plus longue et la plus ardue, mais aussi la seule légitime et féconde, la seule qui soit conforme à la tradition des grands métaphysiciens dont il s’est inspiré. Ce qui rend son travail particulièrement méritoire, c’est qu’il a donné pour fondement à ses spéculations une étude sérieuse et profonde de la connaissance scientifique dans son état actuel ; or il est incomparablement plus difficile d’être au courant de la science contemporaine à un philosophe de nos jours qu’à un Leibnitz ou même à un Kant. Et quand on sait, d’une part, combien il est pénible de s’initier aux sciences quand on ne peut s’y consacrer tout entier et d’autre part, combien sont rares les loisirs que laisse l’enseignement supérieur à ceux qui le pratiquent avec conscience et avec zèle, on est saisi d’admiration et presque d’effroi à la pensée du labeur surhumain dont ce volume est le produit.

2Nous tenons d’autant plus à rendre ce témoignage à l’auteur, que bien peu de ses lecteurs soupçonneront la peine et le temps que les recherches préliminaires ont dû lui coûter. Assurément, on appréciera l’étendue et la variété de son érudition ; mais on ne se doutera pas de la somme prodigieuse de connaissances que suppose cette revue critique de l’Analyse, de la Géométrie, de la Mécanique, de la Physique et de la Chimie, étudiées non seulement dans leurs principes et leurs éléments, mais dans leurs résultats les plus récents et dans leurs hypothèses les plus élevées. Ce sont des théories tout entières que l’auteur a dû apprendre et s’assimiler lentement, et dont il ne nous donne que la quintessence et les conclusions. Plus la matière scientifique a été élaborée et digérée, plus elle est présentée sous une forme simple et claire, moins on peut se rendre compte du travail de préparation et d’incubation dont nous recueillons les fruits. M. Hannequin a donc rendu un immense service aux philosophes, en les informant des derniers progrès de la science moderne, et en mettant à leur portée une foule de documents nouveaux qui fournissent une ample matière à la réflexion. Il a fait mieux encore : il a rendu à la Logique et à la Théorie de la connaissance leur véritable objet ; il a reconquis à la Philosophie un domaine séculaire de plus en plus délaissé ; enfin il a puissamment contribué à restaurer la Métaphysique en lui fournissant la matière propre de ses spéculations.

3Mais cet ouvrage n’est pas seulement un répertoire des connaissances scientifiques indispensables aux philosophes, bien qu’à ce titre seul il doive leur être extrêmement utile et précieux ; tous ces documents, si intéressants qu’ils soient par eux-mêmes, sont soumis à une critique sévère et pénétrante qui s’efforce d’en déterminer la valeur et d’en dégager l’esprit. L’auteur a su dominer et ordonner cette masse énorme de matériaux, et les faire servir à l’édification d’un vaste système ; par là il a fait œuvre, non plus d’érudit scrupuleux, mais de philosophe original. Les longues et ingrates études par lesquelles il s’est préparé à sa tâche n’ont pas nui à l’ampleur et à la hardiesse de sa construction dogmatique ; et il a prouvé qu’on peut être à la fois un critique subtil et un métaphysicien de haut vol. S’il lui a fallu une rare force de volonté pour acquérir, ou plutôt pour se donner l’instruction scientifique dont nous le félicitons, il lui a fallu aussi une singulière puissance de pensée pour ne pas se perdre dans sa minutieuse enquête à travers tant de sciences diverses, pour en démêler les idées fondamentales, y retrouver certains traits généraux et essentiels et en tirer les conclusions systématiques qui forment sa Théorie de la connaissance.

4Ce sont ces conclusions que nous nous proposons maintenant de discuter. Ce qui fait l’originalité de l’œuvre critique de M. Hannequin, c’est qu’il ne s’est pas contenté d’étudier l’hypothèse des atomes en Chimie et en Physique, et de rechercher pourquoi elle s’y est imposée ; il a voulu prouver la nécessité de cette hypothèse, et pour cela il a bien vu qu’il ne suffisait pas de constater qu’elle était utile, indispensable même aux sciences expérimentales : il a pensé avec raison que cette nécessité ne serait vraiment établie que si elle pouvait se déduire des principes a priori de la connaissance ; et c’est pourquoi il a cru devoir chercher jusque dans les Mathématiques le fondement de l’atomisme. Il faut louer sans réserve la conscience et la hardiesse avec lesquelles il a entrepris de démontrer cette thèse paradoxale ; reste à savoir s’il y a réussi.

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  • 2 Cf. Revue de Métaphysique et de Morale, t. I, [1893], p. 565 [Article 3], et t. IV, [1896], p. 657 (...)

5M. Hannequin s’est efforcé de prouver que « les théories atomistiques sont devenues à notre époque l’expression adéquate du mécanisme scientifique (p. 148) » ; mais il n’a pu y parvenir qu’en partant d’une idée beaucoup trop étroite du mécanisme. Nous remarquons d’abord que, pour lui, « le principe de la conservation de l’énergie ne comporte aucune réserve en mécanique », et qu’« il ne fait que résumer en soi toutes les lois du mouvement (p. 122) ». Nous ne cesserons de répéter2 que ce principe n’est pas la loi suprême et universelle de la Dynamique, mais un simple corollaire de ces lois dans un cas particulier ; et que, même dans ce cas, il ne peut remplacer qu’une seule des équations du mouvement, et par conséquent ne suffit à déterminer le mouvement que dans le cas très spécial où celui-ci ne dépend que d’un paramètre ; dans tous les autres cas, il ne détermine le mouvement qu’avec le concours des autres équations. Un mouvement qui ne vérifierait pas ce principe ne serait donc nullement indéterminé par là même, car il n’en serait pas moins régi par les équations générales de la Dynamique. Il ne faut donc pas dire que « la mécanique ne vaut que ce que vaut le principe de la conservation de l’énergie (p. 122) ».

6Il est vrai, d’autre part, que l’on attribue en Physique une valeur universelle à ce principe ; seulement, c’est à titre d’hypothèse expérimentale qui n’a jamais été démentie jusqu’ici par aucun fait, mais qui n’a aucune nécessité rationnelle. De plus, cette universalité du principe en Physique est due à ce qu’on donne à la notion d’énergie un sens beaucoup plus général et aussi plus vague qu’en Mécanique. À côté des énergies proprement mécaniques (énergie cinétique ou force vive, énergie potentielle ou de position), on admet en Physique d’autres formes de l’énergie (énergie calorifique, énergie électrique, etc.) qui n’ont avec les premières d’autre lien que leur mutuelle équivalence. Au fond, la Physique conçoit autant d’énergies diverses qu’elle a d’ordres de phénomènes à expliquer, et peut-être la généralité du principe de la conservation de l’énergie tient-elle simplement à ce que, dans chaque ordre de phénomènes, on définit l’énergie : ce qui équivaut à un certain travail mécanique. Dès lors, il n’est pas étonnant que ce principe soit constamment confirmé par l’expérience, car le jour où un fait semblerait y échapper, on s’empresserait d’inventer une nouvelle forme d’énergie pour le faire rentrer dans l’ordre et le soumettre à la loi. Mais on n’en peut rien conclure touchant la valeur du principe mécanique, dont celui de la Physique est une extension indéfinie.

  • 3 Voir la réfutation de ce préjugé scolastique par Kant, ap. Principes métaphysiques de la Science de (...)

7M. Hannequin impose au mécanisme une restriction encore plus grave en proscrivant toute action à distance, comme obscure et inintelligible, et en n’admettant que l’action au contact ; il considère les forces comme des « vertus occultes, incompatibles avec le mécanisme » (p. 176), et ne conçoit clairement que la transmission directe du mouvement par le choc (p. 102, 118, 119). Est-ce en vertu de cet axiome métaphysique qu’il cite : « L’être n’agit que là où il est » (p. 334)3 ? Mais, comme il le remarque lui-même, les corps qui se choquent ne se pénètrent pas, de sorte que, même en se touchant, ils agiraient là où ils ne sont pas. Il reconnaît d’ailleurs « les difficultés depuis longtemps aperçues de l’action au contact », qui « reviennent, au fond, à demander comment deux masses, sans se compénétrer, peuvent agir l’une sur l’autre (p. 136) ». La difficulté prétendue étant la même de part et d’autre, l’auteur n’avait qu’à faire bon marché de ses scrupules logiques, et à consulter simplement la science moderne pour savoir laquelle des deux hypothèses elle préfère. Or la Mécanique rationnelle est si loin de bannir la notion de force quelle repose tout entière sur elle : le problème fondamental de la Dynamique consiste en effet à déterminer le mouvement d’un système, connaissant les forces qui agissent sur lui, ou inversement, à déterminer ces forces, connaissant le mouvement. Les forces sont donc un élément essentiel des problèmes de Mécanique, soit comme données, soit comme inconnues ; elles figurent nécessairement dans les équations générales du mouvement, dont elles forment l’un des membres. En un mot, la Mécanique exclut si peu la considération des forces, que supprimer cette considération serait supprimer la Mécanique elle-même.

8On n’a donc pas le droit, sous prétexte de ramener le mécanisme à sa forme la plus claire et la plus rigoureuse, de réduire la Dynamique à la Mécanique du choc. Bien au contraire, c’est la Mécanique du choc qui rentre dans la Dynamique générale comme un cas particulier. On a renoncé depuis longtemps, M. Hannequin le sait et le dit à plusieurs reprises (p. 103, 135), à « la vieille idole des forces instantanées » que l’on concevait comme se développant au contact de deux corps, et qui, faisant varier en un instant leur vitesse d’une quantité finie, auraient été infinies par rapport aux forces ordinaires. On a remplacé cette conception par l’hypothèse plus rationnelle de forces très grandes s’exerçant pendant un laps de temps très court, mais non nul, et produisant sensiblement les mêmes effets, à savoir une brusque variation de vitesse. En d’autres termes, la Mécanique moderne n’admet plus l’action au contact ; elle la considère comme un cas particulier d’action à distance, et l’explique par des forces ayant une très grande intensité à de très petites distances. Par là elle supprime le contact lui-même : car, si l’on admet que deux molécules qui se touchent exercent l’une sur l’autre une répulsion infinie, quelle que soit leur vitesse au moment de leur rencontre, elles devront rebondir avant de se toucher, et par conséquent elles ne se toucheront jamais. Il suffit donc de les concevoir comme centres de forces pour rendre compte de tous les effets de leur choc apparent. Ainsi, bien loin de réduire l’action à distance à l’action au contact, le mécanisme ramène celle-ci à celle-là ; et il exclut si peu l’hypothèse des forces, attractives ou répulsives qu’il ne peut expliquer le choc que par de telles forces.

  • 4 M. Hannequin écrit : « La masse qui se meut est aussi une force (p. 112). » Cela n’est pas exact : (...)

9Le mécanisme n’exige pas davantage la réduction de l’énergie potentielle à l’énergie cinétique (p. 115 sqq.). En effet, l’énergie potentielle d’un système dépend uniquement de la position relative des mobiles qui le composent, lors même qu’ils seraient tous en repos ; l’énergie cinétique, au contraire, dépend uniquement de leurs vitesses respectives, quelles que soient leurs positions. Ces deux formes de l’énergie sont donc irréductibles l’une à l’autre, bien qu’elles soient équivalentes, ou plutôt par cela même qu’elles le sont : car elles varient en sens inverse l’une de l’autre, de sorte que c’est leur somme seule qui reste constante. Pour que l’on pût affirmer la conservation des forces vives dans l’univers, il faudrait que toute son énergie fût cinétique, et par suite qu’il n’y eût que des masses en mouvement ; mais si le mouvement même de ces masses n’est explicable que par leur action à distance, elles possèdent par là même une énergie potentielle irréductible à leur énergie cinétique, c’est-à-dire à leur force vive. En un mot, il n’est pas plus permis de réduire l’énergie potentielle à l’énergie cinétique que de réduire la force au mouvement4.

10Il est vrai que l’énergétique contemporaine prétend se passer de la notion de force et la remplacer par celle d’énergie. Mais, loin de vouloir réduire par là toute énergie à l’énergie cinétique, elle admet au contraire l’irréductibilité des diverses formes de l’énergie, et se contente de constater en fait leur équivalence, c’est-à-dire simplement la constance de leur somme. Elle s’abstient de toute hypothèse sur la nature des diverses énergies, et renonce à expliquer leur équivalence par leur identité. Elle aboutit ainsi à multiplier les énergies potentielles, loin de les réduire à l’énergie cinétique. Elle autorise donc, bien moins encore que la Mécanique classique, à poser en principe la conservation des forces vives, et à expliquer en conséquence la transmission du mouvement par le choc.

  • 5 L’équation générale de la Dynamique : F =(d2e/dt2) n’implique nullement la constance de la force, (...)

11Au surplus, M. Hannequin sait parfaitement tout cela, et il a si bien montré que la force et la masse sont les deux facteurs indispensables de tout mouvement, que l’on s’étonne qu’il essaie ensuite de remplacer la force par la masse en mouvement. Il a même soutenu ce paradoxe, que la Mécanique n’admet que des forces constantes5 (p. 87). Pourtant, il n’ignore pas qu’elle considère aussi des forces variables, par exemple l’attraction newtonienne, qui varie en raison inverse du carré de la distance ; mais il prétend que « nous substituons en réalité autant de forces constantes à la force attractive supposée variable, que nous sommes tenus d’attribuer à celle-ci de positions distinctes (p. 88) ». Sans doute, nous attribuons à la force autant de valeurs différentes que le mobile auquel elle s’applique prend de positions distinctes ; mais c’est justement pour cela qu’elle varie d’une manière continue, comme la distance dont elle est fonction. De ce que la force prend à chaque instant une valeur différente, on ne peut pas en conclure qu’elle ait une valeur constante, même pendant un laps de temps aussi petit qu’on voudra. Et si l’on admet que « dans un temps infiniment petit la force variable se comporte comme une force constante », c’est par une fiction provisoire et commode qui fait partie des procédés généraux de différentiation. M. Hannequin reconnaît lui-même que c’est là une « convention » ; il n’aurait donc pas dû prendre au sérieux « cet artifice qui à la force donne momentanément une valeur constante », et qui tient à la méthode du Calcul infinitésimal, comme nous le montrerons plus loin.

  • 6 On ne peut donc pas dire que « l’équation générale du mouvement postule et détermine la discontinui (...)

12Notre auteur a cru pouvoir soutenir, pour des raisons analogues, que la Dynamique postule des éléments de masse finis. Sans doute la masse est une quantité fixe pour chaque mobile ; mais il ne s’ensuit pas qu’elle soit une quantité finie, et qu’elle ne puisse décroître au-dessous d’une certaine valeur. D’abord, on ne peut pas dire que « la quantité de masse est pour, la mécanique, toujours proportionnelle au volume qu’elle occupe, (p. 91) » ; cela n’est vrai que des corps homogènes, c’est-à-dire de densité uniforme. Mais la Mécanique considère aussi bien des corps hétérogènes, ou de densité variable, et n’est nullement embarrassée pour évaluer leur masse totale, grâce au Calcul infinitésimal. En effet, si dans, un corps homogène la densité ρ peut se définir le rapport de la masse totale au volume total (m : v), dans un corps hétérogène, la densité sera définie en chaque point comme le rapport de la masse élémentaire au volume élémentaire (dm : dv), ou, plus rigoureusement, comme la dérivée de la masse par rapport au volume ; et elle sera fonction de la position de ce point. Cela posé, de même que pour évaluer la masse du corps homogène on a la formule élémentaire : m = ρ v, de même, pour évaluer la masse du corps hétérogène, on devra multiplier la densité de chaque élément par son volume : dm = ρ dv, et faire la somme, ou plutôt l’intégrale de ces produits. On voit ainsi que la masse peut avoir une différentielle, c’est-à-dire être considérée comme infiniment petite dans un volume infiniment petit6. Quant à la fiction par laquelle on considère la densité ρ, variable d’un point à l’autre, comme constante (ou uniforme) dans un élément de volume, de telle sorte que la masse élémentaire soit le produit de cette densité par le volume élémentaire, elle n’a pas plus de valeur que celle qui consiste à considérer une force qui varie à chaque instant comme constante pendant un temps infiniment petit ; c’est ce que nous nous proposons maintenant d’expliquer.

13En effet, si M. Hannequin a soutenu que la Mécanique exige des forces constantes et des masses finies, c’est parce qu’il a cru que le Calcul infinitésimal implique des éléments finis, et que les différentielles ne peuvent être considérées comme nulles ; sans quoi, lui semble-t-il, l’existence des dérivées et leur détermination précise seraient incompréhensibles. Nous lui répondrons que, tout au contraire, la dérivée n’existe qu’à la condition que les infiniment petits puissent s’annuler : car tant que les différences ∆x, ∆y ne sont pas nulles, le rapport (∆y : ∆x) est (en général) différent de la dérivée (dy : dx) qui est sa limite quand ∆y et ∆x deviennent rigoureusement nulles. — Mais, nous dit-on, si dy et dx sont identiquement nuls, leur rapport est indéterminé, et par conséquent la dérivée n’existe plus. — C’est ici qu’est l’erreur : la dérivée n’est pas définie comme le rapport des deux différentielles, mais comme la limite du rapport des différences finies ∆y,x quand celles-ci tendent vers zéro. — On nous objecte encore : comment cette limite peut-elle exister, alors que ∆y et ∆x sont nuls, et que, par suite, leur rapport devient indéterminé ? — C’est justement là la vertu propre du calcul des limites, et en général, du principe de continuité, de déterminer la valeur d’une fonction là où elle n’est pas définie, ou du moins n’est pas déterminée.

  • 7 Cf. De l’Infini mathématique, Note II, 9, 10. [pp. 594-596.]

14Pour montrer qu’une grandeur peut être définie par continuité, c’est-à-dire comme limite d’une grandeur variable, là même où celle-ci cesse d’exister7, on peut se servir d’un exemple géométrique qui n’est que la traduction figurée de la dérivée. La tangente à une courbe en un point M est, par définition, la limite d’une sécante qui passe par ce point fixe, quand son autre point de rencontre avec la courbe M′ en se déplaçant d’une manière continue sur le même arc de courbe, vient coïncider avec M. Assurément, les deux points M et M′, confondus en un seul, ne déterminent plus alors une droite ; la tangente n’en est pas moins rigoureusement déterminée connue position-limite de la sécante, au moins dans certains cas très généraux (les mêmes pour lesquels il existe une dérivée au point M). On conçoit donc que la dérivée, dont cette tangente est en quelque sorte l’image, ait une valeur bien déterminée, que l’on peut calculer au moyen de sa définition. Or la définition de la tangente suppose essentiellement que la courbe est continue, et que le point M′ peut venir coïncider avec le point M, c’est-à-dire que leur distance peut s’annuler. De même, l’existence de la dérivée, loin d’impliquer une valeur finie des différentielles, exige au contraire que les infiniment petits qui figurent dans sa définition puissent décroître sans fin et atteindre leur limite zéro. On sait d’ailleurs que, pour qu’une fonction ait une dérivée, il faut (et il ne suffit pas encore) qu’elle soit continue. Ainsi la notion même de dérivée implique la continuité, et non la discontinuité.

  • 8 Lettre à M. Weierstrass, du 16 mai 1887, ap. Zeitschrift für Philosophie und philosophische Kritik, (...)

15Il en est de même pour l’intégrale, qui se définit, non pas comme la somme d’un nombre fini d’éléments finis, mais comme la limite d’une telle somme, quand ces éléments s’annulent et que leur nombre devient infini. Elle n’existe donc que si l’on peut faire décroître indéfiniment ces éléments et faire croître indéfiniment leur nombre ; et, par conséquent, la définition de l’intégrale exclut l’existence d’un élément fini et indivisible, d’un minimum de grandeur, bien loin de la postuler. Pour employer encore un exemple géométrique, le plus simple et le plus connu, l’aire du cercle n’est pas l’aire d’aucun des polygones inscrits ou circonscrits, si grand que soit le nombre de ses côtés, mais bien la limite de cette aire quand le nombre des côtés devient infini et que tous les côtés deviennent nuls, en un mot, quand le contour polygonal brisé est remplacé par la circonférence continue. On le voit clairement à présent : l’assimilation d’une courbe à une ligne brisée, d’un cercle à un polygone n’est qu’un artifice de l’imagination, qui essaie de décomposer le continu en éléments finis pour se figurer la relation qui existe entre ces éléments. Mais cette fiction grossière et toute provisoire est une fausse hypothèse, une erreur voulue qu’on répare en passant à la limite, c’est-à-dire en annulant les infiniment petits et en transformant la relation finie en équation différentielle. Il ne faut pas prendre pour fondement essentiel du Calcul infinitésimal cet expédient préparatoire, ce stade préliminaire dont il ne reste pas trace dans les équations différentielles ; ni être dupe des formes de langage et d’écriture qui semblent présenter les différentielles comme des quantités réelles et finies. La dérivée n’est pas un rapport réel, mais un rapport symbolique, c’est-à-dire la limite d’un rapport ; l’intégrale n’est pas une somme réelle, mais une somme symbolique, c’est-à-dire la limite d’une somme. Il faut bien se garder de réaliser et de fixer les infiniment petits, et de leur attribuer une valeur quelconque, différente de zéro. Cette erreur fut commise par la plupart des mathématiciens infinitistes du XVIIe et du XVIIIsiècles, qui, admettant la grandeur infinie, se croyaient obligés d’admettre, par symétrie, des grandeurs infiniment petites. M. Cantor, logicien plus rigoureux et infinitiste plus conséquent, a prouvé au contraire que l’existence (idéale) des grandeurs infinies exclut l’existence de grandeurs infiniment petites non nulles8. On ne peut donc pas dire que l’Analyse infinitésimale postule au sein du continu géométrique des éléments indivisibles.

  • 9 Voir Renouvier, les Principes de la Nature [troisième partie des Essais de Critique générale, Paris (...)

16Au reste, l’auteur s’est implicitement démenti lui-même dans la suite, en traitant des équations de Cauchy. En effet, après avoir reconnu que les équations différentielles s’établissent en supprimant comme nuls les infiniment petits d’ordre supérieur, c’est-à-dire en supposant les limites atteintes et la continuité rétablie (p. 201), il persiste néanmoins à soutenir que ces mêmes équations impliquent toujours, par elles-mêmes et primitivement, la discontinuité (p. 202, 204). Mais, tout au contraire, si les équations différentielles ne réussissaient pas à expliquer la dispersion, c’est justement parce qu’elles impliquaient la continuité de l’éther ; et si Cauchy a dû les corriger, en y rétablissant les infiniment petits du second ordre, c’est pour y introduire la discontinuité ; et, du même coup, il les transformait en équations aux différences finies. Ce n’est donc pas l’emploi de l’Analyse et l’application du calcul aux phénomènes physiques qui entraîne leur discontinuité puisque c’est, au rebours, de la nécessité de corriger les équations infinitésimales que l’on a conclu cette discontinuité ; et l’on ne peut tirer de là aucun enseignement sur la relation « entre les méthodes algébriques et la conception atomistique du monde (p. 202) ». Bien loin de prouver que l’Analyse introduit nécessairement la discontinuité dans tous les domaines de la Physique où elle pénètre, cet exemple montre à merveille que le Calcul infinitésimal s’applique tout naturellement, d’une manière directe et adéquate, à ce continu que l’on qualifie sans cesse d’inintelligible, et qu’il faut le corriger, le compliquer, lui faire violence en quelque sorte, pour lui faire exprimer la discontinuité. Sans doute, une équation différentielle peut être à la fois géométriquement vraie et physiquement fausse (p. 201) ; mais c’est précisément dans le cas où le phénomène physique rompt la continuité géométrique et échappe aux prises du Calcul infinitésimal. Un tel désaccord entre L’Analyse et la Physique prouve simplement qu’en fait l’hypothèse du discontinu réussit mieux que celle du continu à expliquer tel ou tel phénomène mais non qu’en droit et a priori elle doive nécessairement prévaloir, en vertu de la constitution de notre connaissance : car, l’hypothèse du continu, qui seule permet d’appliquer strictement le Calcul infinitésimal à la nature, est la plus simple et la plus commode pour l’esprit ; et cela est si vrai que, même pour traduire certains phénomènes discontinus, il y a avantage à leur attribuer une continuité fictive, afin de pouvoir les soumettre (approximativement) à l’Analyse ; de sorte que le meilleur moyen d’atteindre le but, c’est de le dépasser9. Il est donc vain de chercher dans l’Analyse un fondement mathématique pour l’atomisme, qu’elle contredit au contraire dans la mesure où elle s’applique aux phénomènes naturels.

  • 10 Cf. Revue de Métaphysique et de Morale, t. I, [1893], p. 77 [Article 1].
  • 11 Par exemple, sur une sphère, le plus court chemin entre deux pôles est l’un quelconque des méridien (...)
  • 12 C’est ainsi que, sur un cylindre circulaire, il y a un nombre infini de « plus courts chemins » (c’ (...)

17Ce fondement se trouve encore bien moins dans la Géométrie pure, qui, comme l’auteur l’avoue, paraît « fournir plus de raisons pour ruiner l’atomisme que pour le fonder (p. 24) ». Il n’a pu soutenir le contraire qu’en affirmant l’immanence du nombre dans la figure, et en réduisant l’intelligibilité du continu géométrique à celle du nombre ; or, cette thèse paradoxale, qui est aussi la racine de son interprétation du Calcul infinitésimal, nous semble bien difficile à prouver. En premier lieu, la considération de la quantité ne s’introduit pas en Géométrie par la définition de la ligne droite, d’abord, parce que la proposition : « La ligne droite est le plus court chemin entre deux de ses points » n’est pas la définition de la droite, mais un théorème démontrable et démontré10 ; et ensuite, parce que, en tout cas, cette propriété de la droite n’intervient dans aucune démonstration de Géométrie élémentaire. En revanche, la propriété caractéristique de la droite, la seule qui soit invoquée dans les raisonnements, à savoir d’être unique entre deux points donnés (qu’elle lui serve ou non de définition), ne peut se déduire de la définition proposée. En effet, de ce que la ligne droite est le plus court chemin entre deux points, il ne résulte pas qu’elle soit unique : car il pourrait y avoir plusieurs « plus courts chemins » égaux, et même une infinité11. Bien plus, il n’y a aucune raison pour que tous les « plus courts chemins » soient égaux entre eux : car, en général, une fonction peut avoir plusieurs maxima ou minima différents12. Ainsi la prétendue définition de la ligne droite ne permet pas de démontrer sa propriété essentielle, et, au contraire, elle se démontre quand on définit la droite par cette propriété ou par une propriété équivalente (telle que l’homogénéité), qui n’implique aucune idée de quantité.

  • 13 De l’Infini mathématique, 1re partie, livre IV, chap. III, notamment l’Appendice (p. 276.)

18D’une manière générale, la considération des grandeurs n’est pas indispensable à la Géométrie pure. Sans doute, M. Hannequin a raison contre Chasles, et triomphe à bon droit de l’aveu que fait celui-ci, à savoir que la Géométrie projective, tout en excluant en général les relations algébriques, fait appel à l’idée de grandeur, ou du moins à une certaine espèce de grandeurs, attendu qu’elle repose tout entière sur la notion du rapport anharmonique (soit des longueurs, soit des angles), et sur l’égalité de tels rapports. Mais ce qui était vrai pour Chasles, au temps où il écrivait son Aperçu historique, ne l’est plus pour nous : car depuis lors Christian von Staudt a affranchi la Géométrie projective de toute considération métrique, en substituant au rapport anharmonique le « jet » (Wurf), c’est-à-dire la figure formée par quatre points d’une droite ou quatre rayons d’un faisceau, et à l’égalité des rapports anharmoniques la projectivité des jets, c’est-à-dire le fait qu’ils peuvent être mis en perspective13. Il réduit ainsi toutes les relations métriques à des relations projectives, les figures se correspondant les unes aux autres par projection ; or, comme nous venons de la montrer, la ligne droite, instrument unique de ces projections, est elle-même pure de toute relation métrique. Grâce à cette conception, la Géométrie de position se trouve constituée avec une rigueur et une unité que Chasles ne connaissait pas. Toute idée de grandeur en est systématiquement bannie, et l’on n’y considère jamais que l’ordre et la position des éléments des figures.

  • 14 Le regretté Delbœuf a fort justement critiqué comme surabondante la définition courante de la simil (...)
  • 15 « Le géomètre part de l’égalité de quantités non mesurées pour soumettre à la mesure… des grandeurs (...)

19M. Hannequin allègue encore que la Géométrie pure procède dans ses démonstrations, sinon par mesures et par calculs, du moins par égalités et par proportions (p. 14, 33). Mais peut-être ces relations ne sont-elles métriques qu’en apparence. D’une part, l’égalité géométrique se ramène, en définitive à la coïncidence, qui est une relation de situation, et non de grandeur ; d’autre part, les proportions que l’on emploie en Géométrie ne font que traduire la similitude des figures, qui est plutôt une relation de forme qu’une relation de grandeur14, et qui pourrait se définir d’une manière purement projective (par l’homothétie, ou par l’égalité de tous les angles). En effet, de ce que deux triangles ont leurs angles égaux, on déduit qu’ils ont leurs côtés proportionnels. Ainsi la relation métrique des côtés dérive de la relation projective des angles, qui suffit à définir la similitude des triangles, et par suite celle des polygones : car deux polygones seront semblables, quand ils seront composés de triangles semblables semblablement placés. Tout cela prouve, en somme, que les relations métriques reposent toujours sur des relations projectives, ce qui veut dire, au fond, que la forme est en Géométrie antérieure à la mesure, et lui sert de fondement. L’auteur le reconnaît lui-même ailleurs, quand il montre que la mesure géométrique suppose l’égalité (c’est-à-dire la coïncidence), au lieu de la fonder15.

  • 16 « Le chemin le plus court » est « le seul qui… sans être mesuré, jouisse du privilège de servir de (...)
  • 17 Il ne faut pas voir dans les concepts construits dans l’intuition de l’Espace « des quantités au se (...)

20Dans tous les cas, lors même que la Géométrie pure ne pourrait se passer de la notion de grandeur et de celle de mesure, on serait encore bien loin de pouvoir soutenir la « présence virtuelle du nombre dans la figure géométrique » ; car le nombre, résultat de la mesure, présuppose, outre la notion des grandeurs à mesurer, les définitions de l’égalité et de l’addition de ces grandeurs, de sorte que leurs relations métriques, postérieures aux relations projectives, sont encore antérieures aux relations numériques par lesquelles on les traduit. Il est vrai que M. Hannequin corrige ou du moins atténue son paradoxe dans le dernier Chapitre, en substituant au nombre la catégorie de quantité. Après avoir exposé une théorie magistrale du nombre, et soumis celle de Kant à une critique qui nous semble décisive (p. 398-400), il oppose la catégorie de quantité, vide et indéterminée, au concept de nombre, précis et déterminé. Cette distinction lui permet de se séparer nettement des néo-criticistes, en affirmant que construire la quantité dans l’intuition de l’espace, ce n’est pas y introduire le nombre, ni faire de toute figure un nombre défini d’unités définies. Il condamne expressément le pythagorisme : il ne s’agit pas pour lui de découvrir dans l’espace des unités même latentes, ni d’énumérer les parties innombrables du continu. Kant a eu tort, selon lui, de croire que la catégorie de quantité ne peut atteindre l’espace et y déterminer les figures que par le schème du nombre, et qu’on ne peut appréhender la grandeur homogène que par l’addition successive de un à un, qui la réduirait à un nombre. Il en résulte que les figures élémentaires que l’on découpe dans l’espace et avec lesquelles on construit toutes les autres ne contiennent aucun nombre ; elles jouent au contraire le rôle d’unités de mesure, et servent de support à l’application ultérieure du nombre au continu. Ainsi « le géomètre n’a point à définir la droite comme un nombre qui serait le plus petit, mais seulement comme la ligne qui est la plus courte ; la tracer…, ce n’est point y découvrir un nombre préexistant de parties intégrantes, c’est la déterminer par un acte de synthèse qui la fait quantité, mais qui, bien loin d’en faire une quantité comptée, en fait… l’origine et la mesure de tout compte ultérieur des parties de l’espace (p. 402)16 ». En somme, la conclusion qui ressort de toute cette théorie si forte et si profonde, c’est l’antériorité de la grandeur sur la mesure, et la supériorité de la catégorie générale de quantité sur le concept spécial du nombre17.

  • 18 « La question est de savoir comment je détermine comme nombre et comme quantité ce qui primitivemen (...)

21Mais alors, pourquoi avancer que la synthèse de la quantité « définit comme nombres ou comme numérables des objets qui d’abord, comme l’Espace par exemple, répugnent à toute numération (p. 401) » ? Comment peut-on opposer maintenant la quantité à la grandeur, et l’assimiler au nombre18 ? Sans doute, on n’identifie pas absolument le nombre et la quantité : « pour mettre le nombre et ses relations fondamentales dans ce que tout d’abord ma synthèse n’avait fait qu’égal ou inégal », il suffit qu’elle mette « dans la droite, non le nombre lui-même, qu’on pourrait appeler la quantité mesurée, mais… la quantité virtuellement numérique ou simplement la quantité mesurable (p. 404) ». « La quantité construite dans une figure quelconque n’est jamais celle d’un nombre, mais celle d’un numérable (p. 405) ». Mais cette distinction subtile ne résiste pas à l’examen, car un numérable peut, par définition, être nombré, et alors il ne dépend que de nous de le transformer en un nombre véritable. Un numérable doit donc envelopper d’avance un nombre déterminé et par suite des unités latentes. Aussi arrive-t-on sans peine à cette conclusion : « Mettre la quantité dans l’étendue sous la forme en un sens indéfinie et vague de l’égal et de l’inégal » c’est « y préparer, par la possibilité de la mesure, la quantité précise des rapports et du nombre (p. 405) ». Au fond, on aboutit à réintégrer le nombre proprement dit dans la figure géométrique, et à confondre la quantité avec le nombre ; aussi voyons-nous ailleurs le nombre érigé en catégorie (p. 43). Et il le faut bien, si l’on veut justifier l’atomisme et en trouver le fondement dans la Mathématique. En effet, si la catégorie de quantité restait indéterminée et pour ainsi dire indifférente entre le nombre et la grandeur continue, on ne pourrait pas en déduire la nécessité pour l’esprit de trouver ou tout au moins de chercher des éléments discontinus. Bref, ou bien la catégorie de quantité est vraiment universelle et indéterminée, et par suite enveloppe aussi bien la grandeur continue que le nombre discret : mais alors les quantités qu’étudie la Géométrie ne sont ni nombrées, ni même nombrables, et il est vain d’y chercher des éléments ou des unités ; ou bien la catégorie de quantité se réduit à « la virtualité du nombre », de manière à impliquer l’unité, et alors on retombe dans le pythagorisme dont on s’était si heureusement dégagé.

  • 19 (P. 53, note 1.) Il nous semble que M. Hannequin et M. Cantor lui-même se font illusion sur ce poin (...)
  • 20 De l’Infini mathématique, 1re partie, livre III, chap. III, 7-10 [pp. 169-172].

22En fait, c’est vers cette dernière alternative que l’auteur paraît pencher ; car il ne cesse d’opposer « à l’inintelligible continu la parfaite intelligibilité du nombre » (p. 396 ; cf. p. 10, 20, 400, etc.). Selon lui, « le continu, n’étant qu’une grandeur, n’offre de prise, pour entrer dans notre connaissance, qu’à la seule quantité » ; et bientôt, quand il veut préciser la notion de quantité, c’est le nombre qu’il introduit : « le nombre est… le seul moyen, pour la raison, de pénétrer le continu, de le déterminer, en partie tout au moins, et en partie aussi de le comprendre ;… et pour qui sait le voir, l’atomisme a sa nécessité dans cette nécessité première des mathématiques (p. 14-15) ». Ainsi, d’une part, M. Hannequin prétend que « sans le nombre nous ne connaîtrions rien de l’étendue (p. 25) » ; et d’autre part, que nous ne pouvons jamais comprendre qu’en partie le continu, attendu qu’il ne saurait être épuisé au moyen du nombre. Peut-être y a-t-il là quelque inconséquence ; en tout cas, il faut se mettre en garde contre l’équivoque de la dernière assertion, et ne pas confondre deux questions bien distinctes : Peut-on représenter le continu par le nombre d’une manière adéquate ? Peut-on dénombrer les points ou éléments du continu ? Notre auteur répond négativement à la dernière question ; admettons qu’il ait raison contre M. Cantor sur ce point ; il n’en restera pas moins vrai que l’on peut « inventer un continu numérique adéquat au continu géométrique (p. 14) », et même, de l’aveu de l’auteur, plus riche que lui19. En ce sens au moins, on peut donc épuiser le continu par le nombre, c’est-à-dire représenter chaque point du continu linéaire par un nombre différent. Et M. Hannequin ne peut le nier, lui qui, précisément, invoque l’exemple des nombres irrationnels pour prouver que le continu ne devient intelligible que grâce au nombre. Mais pour que cet exemple fût probant, il faudrait que le nombre irrationnel fût le fondement des grandeurs incommensurables ; si, au contraire, comme nous l’avons soutenu20, c’est l’existence des grandeurs incommensurables qui est l’origine de la notion de nombre irrationnel, l’argument se retourne contre la thèse qu’il doit confirmer. M. Hannequin nous objecte : Comment, sans le nombre irrationnel, connaîtrions-nous les grandeurs incommensurables ? Nous lui répondrons : Comment, sans les grandeurs incommensurables, aurions-nous l’idée de nombre irrationnel ? Si l’on peut dire, en un certain sens, que le nombre irrationnel nous révèle l’existence d’une grandeur incommensurable, c’est justement parce que la grandeur préexiste au nombre qui la représente, et est donnée dans le continu géométrique. Sans doute, nous ne savons qu’elle est incommensurable qu’après avoir essayé (en vain) de la mesurer, et le nombre irrationnel qui est censé la mesurer n’exprime, au fond, que l’impossibilité d’une telle mesure. Mais ce n’est pas ce nombre qui rend intelligible le rapport de cette grandeur à l’unité ; c’est bien plutôt ce rapport qui donne un sens au nombre irrationnel. Loin donc de devoir au nombre une intelligibilité d’emprunt, le continu géométrique semble prêter au nombre sa propre intelligibilité.

23En résumé, de deux choses l’une : ou bien le nombre irrationnel est un véritable nombre, intelligible par lui-même, et alors le continu, dont l’ensemble des nombres réels (rationnels et irrationnels) est la représentation adéquate, sera entièrement intelligible ; ou bien le nombre irrationnel n’est qu’un symbole d’impossibilité numérique, et alors il ne faut pas dire qu’un tel nombre permet seul de « connaître rigoureusement, dans un carré, le rapport de la diagonale au côté » (p. 34), et lui communique une intelligibilité dont il est lui-même dépourvu.

24Dans tous les cas, il est dangereux d’invoquer le nombre irrationnel en faveur de l’atomisme. En effet, quelle qu’en soit l’origine, on ne peut pas admettre ce nombre comme symbole d’une grandeur incommensurable, et soutenir en même temps que les figures géométriques se résolvent en « quantités complexes, qui toujours, quoi qu’on fasse, enveloppent l’unité (p. 26) » ; car un nombre irrationnel ne se compose pas d’unités. Dès lors tombe cet argument destiné à introduire dans la Géométrie un germe de discontinuité : « tout ce que nous connaîtrons dans l’étendue… nous paraît envelopper le nombre, et ce sans quoi il n’y aurait point de nombre, ou l’unité (p. 34) ». C’est donc en vain qu’on cherche dans la Géométrie le fondement mathématique de l’atomisme, car le nombre ne peut s’appliquer à la grandeur qu’en renonçant à sa discontinuité primitive, et en sacrifiant son principe, l’unité, qui seul permettrait de trouver dans le continu un rudiment d’atome.

  • 21 Nous croyons devoir faire d’expresses réserves sur cette assertion historique. L’idée claire et dis (...)

25Nous ne pouvons donc souscrire à la conclusion où M. Hannequin a condensé toute sa théorie de la connaissance : « C’est en vertu de sa constitution même… que la science trouve dans l’atomisme l’expression la plus haute à la fois et la plus complète de ses explications : œuvre de l’entendement, qui ne conçoit clairement et distinctement, selon la pensée de Descartes, que le nombre21, elle ne parvient que par le nombre à se rendre maîtresse de l’obscure et confuse variété du réel, qui ne nous est livré qu’en la double intuition de l’étendue et du mouvement… La science n’atteint son but qu’en projetant et multipliant dans la matière étendue et mobile les limites idéales de l’unité, ou, en d’autres termes, la discontinuité essentielle du nombre. Là est… la raison première, le principe théorique d’une conception atomistique des choses, dont la racine plonge au plus profond de notre connaissance (p. 120-121). »

  • 22 « La science par excellence, la science tirée tout entière de l’esprit, éléments et combinaisons, m (...)
  • 23 « C’est par une nécessité de sa nature que notre science humaine réduit tout à l’atome, comme elle (...)
  • 24 « Nécessité d’une part, impossibilité de l’autre : contradiction dès lors au plus profond de notre (...)

26On peut résumer en deux mots toute cette déduction de l’atomisme, ainsi que l’auteur l’a fait dans son Introduction. D’une part, le mécanisme est la forme nécessaire et pour ainsi dire l’idéal des sciences de la nature, car, puisque nous sommes obligés de construire le monde dans l’espace et le temps, nous ne pouvons le concevoir clairement et le comprendre pleinement que comme de l’étendue en mouvement ; or l’étendue et le mouvement sont essentiellement continus. D’autre part, le pythagorisme est l’idéal de l’entendement, car l’arithmétique est la seule science pure et a priori22. Pour expliquer le monde et le rendre intelligible, il faut donc appliquer le nombre au continu du mouvement. Ainsi l’atomisme est la synthèse du mécanisme et du pythagorisme (p. 12)23. De là vient sa nécessité, de là viennent aussi toutes ses contradictions, puisqu’il tente en vain de concilier deux principes contraires, et de soumettre la continuité, imposée à la nature par les formes de notre sensibilité, au nombre et à l’unité qu’exige notre entendement24. Il est naturel que l’atome, « synthèse du nombre et du mouvement, porte le poids de ces contradictions (p. 15-16) ».

27Notre critique se résume à son tour en deux mots. Assurément, M. Hannequin a raison de voir dans le conflit du nombre et du continu l’origine de l’atomisme, en même temps que le fondement de l’Analyse ; mais il s’agit de décider lequel des deux l’emporte dans l’un et l’autre cas, et surtout, lequel doit définitivement prévaloir dans l’organisation de notre connaissance. Or, si l’atomisme est évidemment le triomphe du nombre, l’Analyse est le domaine du continu ; et dans la lutte de ces deux principes contraires, c’est le continu qui a et doit avoir le dernier mot, car il est l’objet propre de la Mathématique, il est donc connaissable d’une manière directe et adéquate. Ainsi nous admettons bien la nécessité du mécanisme, au moins à titre d’idéal de l’explication scientifique ; mais nous ne pouvons reconnaître la nécessité du pythagorisme, puisque pour nous le continu est intelligible par lui-même, ni par suite celle de l’atomisme, qu’on essaie d’en dériver. Or, si une déduction mathématique de l’atomisme peut seule permettre d’affirmer qu’il est une hypothèse nécessaire, fondée sur la nature même de notre connaissance, il semble bien que sa nécessité ne puisse pas être établie. Dès lors, on ne peut en tirer aucune conséquence touchant la valeur de la science, ni imputer à celle-ci, comme un vice originel et incurable, les contradictions inhérentes à cette hypothèse contingente et précaire.

* * *

28Resterait à savoir si l’atomisme est vraiment contradictoire, et si les contradictions qu’on lui impute sont insolubles pour la science, de sorte qu’on soit obligé de s’adresser à la Métaphysique pour les résoudre. À vrai dire, nous ne le pensons pas. La première, celle de l’atome étendu, ou de l’indivisible divisible, se résout aisément en concevant l’atome comme inétendu. La seule raison pour laquelle M. Hannequin croit l’étendue nécessaire à l’atome est celle-ci : « il faut qu’il soit volume pour être masse (p. 90). » Or si cela est vrai des corps de dimensions sensibles, cela peut être faux des éléments imperceptibles qui composent ces corps. Il n’y a aucune nécessité, a priori, pour que la masse occupe une étendue quelconque, et il n’y a aucune difficulté à concevoir des points matériels comme doués d’une masse finie. Ainsi, lors même que la Mécanique postulerait des éléments matériels de masse finie (ce que nous contestons), il ne s’ensuivrait pas qu’elle exige des éléments de volume fini, ni par conséquent des atomes étendus.

29La deuxième contradiction qu’on a relevée entre l’élasticité parfaite de l’atome et sa simplicité (insécabilité, impénétrabilité) se résoudrait de la même manière, en concevant l’atome inétendu comme le centre d’une force fonction de la distance. Nous avons vu qu’il n’y a pas de raison pour préférer le choc à l’action à distance comme moyen d’expliquer la transmission du mouvement, et qu’au contraire le choc, selon les idées des mécaniciens modernes, doit être conçu comme un cas particulier d’action à distance. Dès lors, il n’y a plus lieu de concevoir grossièrement l’élasticité de l’atome sur le modèle de l’élasticité des corps solides composés, puisque, comme l’a fort bien montré Lasswitz, celle-ci a pour fondement ultime la répulsion des molécules qui composent ces corps. L’hypothèse des centres de force concilie donc parfaitement l’élasticité de l’atome avec sa simplicité, et rend compte a fortiori des propriétés d’insécabilité et d’impénétrabilité que lui attribue l’atomisme vulgaire. D’ailleurs, il est inutile, nous l’avons vu, de douer les atomes d’une étendue quelconque, puisqu’en vertu de leur mutuelle répulsion ils ne peuvent jamais arriver à se toucher, et que leur action ne s’exerce pas au contact. Cette hypothèse peut sans doute donner lieu à d’autres difficultés et ne pas réussir à expliquer tous les phénomènes mécaniques ; mais du moins on ne peut la condamner a priori comme contradictoire.

30Quant à la troisième contradiction, elle n’est insoluble que pour les logiciens à outrance, et l’on peut la résoudre de bien des manières. Le monde, dit-on, doit être à la fois fini, pour que la loi de la conservation de l’énergie puisse s’y appliquer, et infini, sans quoi il se disperserait dans le vide. Remarquons d’abord que la loi de la conservation de l’énergie suppose simplement un système fermé, c’est-à-dire qui n’est soumis à aucune force extérieure et ne reçoit aucune énergie du dehors. Or, pour que l’Univers constitue un système fermé, il n’est point nécessaire qu’il soit limité et n’occupe qu’une étendue finie.— Mais, dira-t-on, s’il n’est pas limité, comment affirmer qu’il ne reçoit pas d’énergie du dehors ? — Nous répondrons d’abord que, lors même qu’il serait limité, nous ne saurions pas davantage s’il n’échange pas de l’énergie avec l’extérieur, car nous ne serions jamais sûrs qu’il n’y ait pas au dehors une matière quelconque capable d’agir sur lui. C’est au contraire dans le cas où il serait absolument illimité, et alors seulement, qu’on serait certain qu’il ne reçoit du dehors ni matière ni énergie, puisqu’il remplirait l’espace infini. Dans tous les cas, qu’il soit fini ou infini, nous ne pourrions pas nous transporter aux frontières du monde pour nous assurer qu’il est vraiment fermé, et la loi de la conservation de l’énergie restera une hypothèse qu’on ne peut jamais vérifier que partiellement. On ne peut donc rien en conclure touchant la limitation de l’Univers dans l’espace.

31La prétendue contradiction prend alors une autre forme : le nombre des atomes doit être à la fois fini, pour que la loi de la conservation de l’énergie puisse s’y appliquer, et infini, pour que le monde occupe l’espace infini. Mais cette conclusion repose sur plusieurs principes erronés. En premier lieu, de ce que l’énergie totale de l’univers est supposée constante, il ne résulte pas qu’elle doive être finie. Une grandeur infinie peut être constante aussi bien qu’une grandeur finie ; et ceux qui conçoivent (à tort, du reste) l’infini comme un maximum, non susceptible d’augmentation et de diminution (p. 142), devraient être les derniers à le contester. Tout ce qu’on peut dire, c’est que nous ne pouvons pas vérifier la constance d’une grandeur infinie, puisqu’une variation finie la laisse encore infinie. Mais comme, dans le cas où l’énergie de l’univers serait finie, nous ne pourrions pas davantage en faire la somme pour nous assurer de sa constance, c’est là un inconvénient tout théorique, dont on ne saurait d’ailleurs arguer pour trancher une question de fait qui ne dépend nullement de notre commodité.

32En second lieu, lors même que l’énergie de l’univers serait finie, il ne s’ensuivrait pas que sa masse totale le fût également : car on peut concevoir une loi des vitesses telle que, la somme des masses (Σ m) étant infinie, la somme des forces vives (Σ mv2) fût néanmoins finie. Il suffit d’ordonner celle-ci sous la forme d’une série, qui sera convergente pour une certaine loi de décroissance des vitesses : or rien n’empêche de supposer que la plus grande partie de la masse totale est animée de vitesses très petites, ou même est en repos.

33En troisième lieu, lors même que la masse de l’univers serait finie, il ne serait pas encore prouvé que le nombre des atomes doive l’être aussi : car on peut concevoir une loi de décroissance des masses atomiques telle, que les atomes, en nombre infini, aient néanmoins une masse totale finie. C’est l’hypothèse proposée par Wundt pour concilier l’infinité du monde et la « finité » de sa masse. M. Hannequin ne réussit à la réfuter qu’en supposant que tous les atomes ont des masses égales, ce qui ne paraît pas nécessaire.

34Enfin, si l’on refuse d’admettre des atomes de masses inégales et de plus en plus petites, alors, mais alors seulement, on sera obligé de renoncer à l’hypothèse atomique elle-même, et de concevoir la masse de l’univers comme continue, sa densité variant d’un point à l’autre et décroissant indéfiniment, de telle sorte que son intégrale (somme des masses élémentaires) soit finie ; ce qui n’offre aucune difficulté, quoi qu’en pense l’auteur (p. 139).

35On le voit, toutes les contradictions imputées à l’atomisme proviennent, soit d’une conception archaïque de l’atomisme, qui tend à faire de la physique de Démocrite le dernier mot de la science moderne, soit du préjugé finitiste. De l’aveu même de l’auteur, « l’atome échoue sur un double infini (p. 143) », c’est-à-dire sur la prétendue contradiction de l’infini réalisé ; et il est curieux de voir l’atomisme, né de l’application de la logique formelle aux questions de cosmologie, succomber à cette même logique, ce qui prouve que le finitisme, par un excès de rigueur, ne réussit qu’à se détruire lui-même. Pour montrer à quel point l’esprit de l’auteur est dominé par le préjugé finitiste, il suffira de rappeler que, pour lui, une somme constante ne peut être infinie (p. 120, 112) ; bien plus, « une force qui ne serait point constante… ne serait point finie (p. 87), » ce qui implique évidemment ce principe paradoxal : Toute grandeur finie est constante. D’ailleurs M. Hannequin l’avoue en propres termes : « Une force définie apparaît toujours à notre esprit comme une force constante (p. 111). » C’est pour cela qu’il exige « l’immutabilité de chaque force centrale », sans quoi, selon lui, elle serait « indéterminée » (p. 110). Est-il besoin de remarquer que toutes ces assertions reposent sur la confusion de l’infini actuel avec l’indéfini, ou encore sur celle du fini et du déterminé ? Cette horreur de l’infini va si loin, qu’elle proscrit même l’indéfini, qui n’est pourtant qu’un fini variable, comme si variation excluait détermination. Le finitisme ainsi poussé à l’extrême n’aboutit à rien moins qu’à nier l’intelligibilité d’une variation quelconque, et à ruiner la Mathématique, qui repose tout entière sur l’idée de grandeur variable. Heureusement, la Mathématique ne s’en porte pas plus mal, et proteste, par son existence même, contre cet abus criant du principe de contradiction.

36Toutefois, pour être juste, il faut reconnaître que notre auteur a su se garder des exagérations du néo-criticisme : il restreint notamment la valeur et la portée du principe de contradiction, tant dans la science (p. 17) que dans la métaphysique (p. 324), et le réduit résolument à la portion congrue. Au surplus, il ne paraît pas avoir grande confiance dans les arguments purement logiques par lesquels l’école néo-criticiste se flatte d’établir la nécessité de l’atomisme ; car, après avoir rappelé, par prétérition, « la contradiction flagrante d’un nombre actuel et infini d’unités réelles (p. 137) », il passe outre et cherche dans la Physique des arguments positifs en faveur du nombre fini des atomes. Il est manifeste que l’argument a priori n’a pas à ses yeux une valeur suffisante, et qu’il ne l’invoque ici que « pour la forme ». Mais, ou bien cet argument est valable et irréfragable, comme le croient les néo-criticistes, et alors il suffit à lui tout seul, et il n’est plus besoin de chercher des arguments de fait qui ne seront jamais aussi décisifs ; ou bien il n’a aucune valeur, et alors il ne fallait pas en parler, même en passant, et associer cette « contradiction flagrante » aux difficultés d’ordre empirique que rencontre l’hypothèse d’un nombre infini d’atomes. En un mot, si la contradiction invoquée est réelle, c’est une impossibilité absolue qui prévaut infiniment sur toutes les difficultés physiques de l’atomisme ; si, au contraire, comme nous le pensons, elle n’est pas réelle, elle ne constitue même pas la moindre difficulté. À notre avis, on devrait bannir de la Philosophie de la nature tous ses arguments scolastiques, qui ne servent qu’à masquer les difficultés réelles et à dispenser de les étudier. Félicitons du moins M. Hannequin de n’avoir pas cru qu’on peut démontrer mathématiquement l’atomisme par un raisonnement en forme, et de s’être donné la peine de chercher dans l’étude des sciences et des faits des raisons plus profondes et plus délicates, sinon plus probantes.

37Il n’en est pas moins vrai que toute sa philosophie des mathématiques est imprégnée de l’esprit du néo-criticisme, et ce vice originel frappe de caducité, dès le principe, toute sa déduction de l’atomisme. Par exemple, l’auteur parle, dans les mêmes termes que M. Renouvier, du « saut mortel du passage à la limite (p. 14) », ce qui prouve qu’il a épousé l’étrange prévention de l’école à l’égard de la méthode des limites, la seule qui permette, au contraire, de constituer logiquement l’Analyse infinitésimale sur des bases strictement finitistes. Cette influence profonde et tenace s’explique aisément par ce fait que M. Renouvier a été longtemps le seul en France à traiter avec quelque compétence les questions de Logique scientifique et de Philosophie naturelle : c’est un mérite et un honneur qu’on ne saurait lui contester, et c’est ce qui justifie l’ascendant et presque la contrainte qu’il a exercés sur les esprits les plus indépendants. Néanmoins, et tout en lui rendant pleine justice, il est permis de regretter qu’il ait professé et propagé une philosophie mathématique inexacte, qui s’impose avec une telle force, non seulement aux philosophes qui sont obligés de s’en rapporter à son autorité, mais même à ceux qui ont étudié par eux-mêmes les sciences exactes, seulement sous l’obsession latente, et d’autant plus tyrannique, des théories d’un maître impérieux.

38En résumé, si l’atomisme n’est pas nécessaire, il n’est pas non plus contradictoire. Il ne s’ensuit pas qu’il faille lui attribuer plus de valeur objective que ne lui en concède M. Hannequin, bien au contraire ; car, s’il est exempt des contradictions formelles qu’on lui impute, il n’en est pas moins vrai qu’il se heurte à des difficultés réelles, d’ordre expérimental, ce qui est bien plus grave. Aussi le Chapitre sur l’Atomisme et la Nature, bien que moins concluant en apparence que les précédents, nous semble-t-il beaucoup plus péremptoire. Certes, la superposition et l’emboîtement des divers ordres d’atomes, que la Physique et la Chimie sont conduites à imaginer pour rendre compte des divers ordres de phénomènes, montrent clairement que ces éléments fictifs sont dénués de toute réalité, non seulement absolue, mais même empirique, et n’ont pas plus de valeur scientifique que d’existence métaphysique. Ainsi les conclusions de l’étude critique de M. Hannequin subsistent tout entières ; le procès de l’atomisme est fait, et bien fait. Seulement, si l’hypothèse des atomes n’est pas nécessaire à la science, on ne peut englober la science dans la condamnation de l’atomisme ; en aucun cas, l’échec de l’atomisme ne saurait être un échec pour la science elle-même. Elle en serait quitte pour revenir, encore une fois, à l’hypothèse du continu et du plein ; et en fait, c’est dans ce sens que tendent à la ramener les hypothèses récentes et si originales de Maxwell, à savoir la théorie électromagnétique de la lumière et la théorie élastique de l’électricité. Quelle que soit la valeur de ces hypothèses nouvelles, ou plutôt renouvelées de Descartes, et quelle que puisse être leur fortune, elles prouvent tout au moins que l’atomisme ne doit pas être considéré comme « l’expression la plus haute et comme l’âme de notre science de la nature (p. 1) », et qu’il n’est même pas la forme universelle et nécessaire du mécanisme. En un mot, le sort de la science n’est nullement lié au succès de l’atomisme, ni même à celui du mécanisme, qui dépasse infiniment l’atomisme en valeur et en portée.

  • 25 Voir p. 237 sqq. ce qui est dit de la cristallographie.
  • 26 Cf. Bouasse, De la nature des explications des phénomènes naturels dans les Sciences expérimentales(...)
  • 27 Leibniz disait du vide et des atomes : « C’est ce qui remplit le mieux l’imagination. » (Système no (...)
  • 28 Principes métaphysiques de la Science et de la Nature, chap. II, théorème V, scolie.

39À vrai dire, et pour conclure toute cette étude, l’atomisme n’est même pas une hypothèse scientifique, au même titre que le mécanisme par exemple : d’abord, parce que cette hypothèse en elle-même est invérifiable, et que les conséquences, vérifiables par expérience, qu’on en peut tirer, pourraient aussi bien se déduire d’une autre hypothèse ; et ensuite, parce que cette hypothèse n’explique rien, car, comme le montre avec force M. Hannequin, elle ne fait que transporter toutes les propriétés sensibles des corps sur des éléments conçus à leur image, et qui n’en sont que des réductions25. En somme, l’hypothèse atomique est simplement, selon le mot d’un savant contemporain, « un roman de l’invisible ». Elle ne sert qu’à fournir un support intuitif et des symboles imaginaires aux lois mathématiques qui seules ont une valeur scientifique26. L’analogie même, bien qu’un peu forcée, que M. Hannequin découvre entre les différentielles et les atomes, peut nous éclairer sur le rôle de ceux-ci. Nous avons dit que c’est l’imagination qui dote les infiniment petits d’une existence provisoire, en les retenant à un stade fini de leur décroissance indéfinie pour pouvoir appréhender leurs relations. C’est elle aussi qui, pour la même raison, requiert des molécules et des atomes pour figurer d’une manière sensible des relations essentiellement imperceptibles27, en quoi elle ne fait que reculer la difficulté et transporter le problème tel quel dans l’infiniment petit ; c’est pourquoi toute hypothèse atomique est une explication illusoire, qui répond à la question par la question. Mais il ne faut pas prendre les procédés de l’imagination pour des méthodes proprement scientifiques, ni confondre les figures concrètes, par lesquelles on représente les phénomènes, avec leurs lois abstraites et rigoureuses, que seule la raison peut découvrir. Au fond, toute cette figuration empruntée à l’expérience sensible n’est qu’un échafaudage qui sert à édifier ces lois, et qui disparaît une fois la construction achevée ; il faut être imbu de l’esprit empiriste et pratique des Anglais pour croire, comme lord Kelvin, qu’on n’a expliqué un phénomène qu’en le figurant par un système mécanique grossier de cordes, de treuils et de poulies. Ainsi la prétendue nécessité de l’atomisme n’est qu’un besoin de l’imagination, qui essaie de figurer aux yeux des relations idéales entre des termes imperceptibles ; c’est pour cela, par exemple, qu’on se croit obligé de concevoir l’élasticité des atomes sur le modèle de l’élasticité des corps composés. Kant a déjà montré que l’apparente nécessité d’imaginer la transmission du mouvement sous la forme du choc provient uniquement de la nature de notre sensibilité, qui ne nous fait percevoir que les actions au contact28. C’est donc bien, si l’on veut, un besoin de notre nature humaine, en tant que sensible, mais ce n’est à aucun degré une exigence de notre esprit ni une condition de la connaissance scientifique. C’est un cas particulier de la nécessité que nous éprouvons d’illustrer nos idées par des images ou de traduire nos concepts par des schèmes ; c’est même ce qui explique l’analogie et l’affinité de l’atome avec le nombre, dont la nécessité rationnelle et objective n’est pas mieux fondée. En un mot, l’atome n’est qu’une image commode, et non pas un concept nécessaire.

40(À suivre.)

Notes

1 Voir Revue de Métaphysique et de Morale, t. IV, p. 778 (nov. 1896), notre édition, chap. 5.

2 Cf. Revue de Métaphysique et de Morale, t. I, [1893], p. 565 [Article 3], et t. IV, [1896], p. 657 (sept. 1896) [Article 4].

3 Voir la réfutation de ce préjugé scolastique par Kant, ap. Principes métaphysiques de la Science de la Nature, ch. II, théorème VII, scolie I.

4 M. Hannequin écrit : « La masse qui se meut est aussi une force (p. 112). » Cela n’est pas exact : une masse en mouvement a une force vive (mv2), mais on ne peut pas dire qu’elle ait, encore moins qu’elle soit une force (dv/dt).

5 L’équation générale de la Dynamique : F =(d2e/dt2) n’implique nullement la constance de la force, car la force F est en général fonction de la position de son point d’application (x, y, z), de sa vitesse (dx/dt, dy/dt, dz/dt) et du temps lui-même (t). L’équation signifie simplement que l’accélération (d2e/dt2) varie proportionnellement à la force ; de sorte que, s’il n’y avait, que des forces constantes dans le monde, il n’y aurait que des accélérations uniformes, ce qui n’a manifestement pas lieu. Même la pesanteur, ce type des forces constantes, n’est constante que dans un espace très restreint ; et l’on sait que l’accélération de la pesanteur varie d’un lieu à l’autre.

6 On ne peut donc pas dire que « l’équation générale du mouvement postule et détermine la discontinuité des masses (p. 119) », ni espérer qu’elle puisse jamais nous conduire « jusqu’aux atomes indivisibles (p. 120) ».

7 Cf. De l’Infini mathématique, Note II, 9, 10. [pp. 594-596.]

8 Lettre à M. Weierstrass, du 16 mai 1887, ap. Zeitschrift für Philosophie und philosophische Kritik, t. 91.

9 Voir Renouvier, les Principes de la Nature [troisième partie des Essais de Critique générale, Paris, 1864], t. I, p. 36-37 et p. 65 (chap. III et appendice C).

10 Cf. Revue de Métaphysique et de Morale, t. I, [1893], p. 77 [Article 1].

11 Par exemple, sur une sphère, le plus court chemin entre deux pôles est l’un quelconque des méridiens.

12 C’est ainsi que, sur un cylindre circulaire, il y a un nombre infini de « plus courts chemins » (c’est-à-dire de géodésiques) entre deux points donnés, et tous inégaux.

13 De l’Infini mathématique, 1re partie, livre IV, chap. III, notamment l’Appendice (p. 276.)

14 Le regretté Delbœuf a fort justement critiqué comme surabondante la définition courante de la similitude, qu’il définit lui-même par l’identité de la forme (Prolégomènes philosophiques de la Géométrie, [1860], p. 132, 136 sqq.)

15 « Le géomètre part de l’égalité de quantités non mesurées pour soumettre à la mesure… des grandeurs inégales qu’on y peut comparer (p. 404) » ; et plus loin, en parlant des angles droits : « De la nécessité de leur coïncidence, et non pour les avoir d’avance mesurés, je conclus qu’ils sont toujours égaux (p. 405) ». Cf. Revue de Métaphysique et de Morale, t. I, [1893], p. 79 [Article 1].

16 « Le chemin le plus court » est « le seul qui… sans être mesuré, jouisse du privilège de servir de mesure pour toutes les figures possibles dans l’espace (p. 403) ».

17 Il ne faut pas voir dans les concepts construits dans l’intuition de l’Espace « des quantités au sens numérique du mot (p. 405) ».

18 « La question est de savoir comment je détermine comme nombre et comme quantité ce qui primitivement n’était qu’une grandeur (p. 401) ». Ailleurs on considère l’atome « comme le produit de la lutte engagée par la quantité contre la grandeur (p. 143) ».

19 (P. 53, note 1.) Il nous semble que M. Hannequin et M. Cantor lui-même se font illusion sur ce point. S’il est vrai qu’à chaque point correspond une infinité de nombres (fractionnaires), il est bon d’ajouter que tous ces nombres sont égaux, et par conséquent représentent une seule valeur numérique, comme l’a remarqué avec raison M. Riquier, [« Des Axiomes mathématiques »], (Revue de Métaphysique et de Morale, t. III, [1895], p. 274).

20 De l’Infini mathématique, 1re partie, livre III, chap. III, 7-10 [pp. 169-172].

21 Nous croyons devoir faire d’expresses réserves sur cette assertion historique. L’idée claire et distincte par excellence, pour Descartes, n’est pas celle de nombre, mais bien celle de grandeur continue ; et son invention de génie a consisté justement à faire rentrer le nombre, d’une part, et l’étendue, d’autre part, sous cette idée de grandeur qui est l’objet de sa Mathématique universelle, de sorte que les nombres et les figures ne sont que des symboles de grandeurs abstraites, et peuvent par là devenir symboles les uns des autres. Voir Discours de la Méthode, 2partie ; Regulæ [ad directionem ingenii], Règles IV, XIV, XV, XVI (« Nous ne faisons ici pas moins abstraction des nombres, que tout à l’heure des figures de géométrie. ») et début de la Géométrie. Cf. [Louis] Liard, Descartes, [Paris, Germer Baillère, 1882], livre II, chap. I ; et les articles de MM. Gibson [« La “Géométrie“ de Descartes au point de vue de sa méthode »], et Berthet {« La Méthode de Descartes avant le Discours »] sur la méthode de Descartes, ap. Revue de Métaphysique et de Morale, t. IV [1896], (notamment p. 391-393 et 406-407.).

22 « La science par excellence, la science tirée tout entière de l’esprit, éléments et combinaisons, matière et forme, est la science du nombre (p. 10) ».

23 « C’est par une nécessité de sa nature que notre science humaine réduit tout à l’atome, comme elle avait déjà réduit tout au mouvement (p. 10) ».

24 « Nécessité d’une part, impossibilité de l’autre : contradiction dès lors au plus profond de notre science… (p. 15). »

25 Voir p. 237 sqq. ce qui est dit de la cristallographie.

26 Cf. Bouasse, De la nature des explications des phénomènes naturels dans les Sciences expérimentales, § III, ap. Revue de Métaphysique et de Morale, t. II, [1894], p. 311. Nous mettrons seulement le lecteur en garde contre l’expression d’« explication métaphysique », qui, dans le langage de l’auteur, désigne l’interprétation figurative des phénomènes s’adressant à l’imagination (v. p. 315).

27 Leibniz disait du vide et des atomes : « C’est ce qui remplit le mieux l’imagination. » (Système nouveau de la nature et de la communication des substances, § 3.)

28 Principes métaphysiques de la Science et de la Nature, chap. II, théorème V, scolie.

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