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Logique, mathématiques, langue universelle

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Louis Couturat

Première partie: 1893-1900

ARTICLE 8

La logique mathématique de M. Peano

Revue de Métaphysique et de Morale, 1899, t. VII, p. 616-646

Note de l’éditeur

Giuseppe Peano (1858-1932) est une des figures centrales de la profonde réforme de la logique et des mathématiques de la fin du XIXe siècle. Professeur à l’Université et à l’Académie militaire de Turin, il inscrivit ses travaux d’abord en analyse dans la lignée de Weierstrass, puis en géométrie dans celle de Grassmann. Il fut un pionnier de l’axiomatisation de l’arithmétique en même temps que Dedekind (et indépendamment). Enfin, son Formulaire de mathématiques, publié sous sa direction par toute une équipe en cinq volumes réunissant les fascicules d’abord parus dans la Rivista di matematica (1895-1905), est un apport majeur à la création de la logique mathématique et de la logicisation générale des mathématiques pures.

Dans une lettre du 30 octobre 1896, Couturat remercie Peano de l’envoi des cinq premiers fascicules du premier volume du Formulaire et annonce son intention d’en rendre compte dans le Supplément de la RMM (Giuseppe Peano, Louis Couturat, Carteggio (1896-1914), a cura di Erika Luciano e Clara Silvia Roero, Firenze, Olschki, 2005, p. 3). Les charges de l’enseignement à l’Université de Caen retarderont Couturat, mais ce retard aboutira à un article signé beaucoup plus étendu que les notices anonymes du Supplément ; Couturat en annonce la parution prochaine dans une longue lettre à Peano du 12 mai 1899, qui anticipe un certain nombre des questions critiques posées dans l’article (ibid., p. 10 sq.) En fait, Couturat avait très vite formulé son interrogation majeure sur l’entreprise de Peano : « La question que je me pose, et à laquelle je ne prétends pas répondre dès à présent est celle-ci : La Logique mathématique est-elle une simple notation abrégée, une manière abrégée et universelle d’écrire les propositions, ou bien est-elle aussi un algorithme, un calcul logique qui permette de déduire en quelque sorte mécaniquement les théorèmes les uns des autres ? En deux mots, est-ce une sténographie (tachigraphia, comme vous dites) ou une Algèbre ? Sa valeur et son utilité seront évidemment beaucoup plus grandes dans le second cas que dans le premier » (lettre à Peano du 11 mai 1897, ibid., p. 6). On verra dans l’article quelle a été finalement l’appréciation balancée de Couturat, toujours très réticent devant un symbolisme dont l’incommodité ne lui paraît pas toujours utile.

Couturat a étudié Peano bien avant Russell, qui déclare en accusant réception le 9 octobre 1899 de l’article de Couturat, ne l’avoir pas encore lu1.

Texte intégral

  • 2 La Logique mathématique [et sa nouvelle phase de développement dans les écrits de M. J. Peano], ap. (...)
  • 3 Cf. G. Peano, Calcolo geometrico secondo l’Ausdehnunqslehre di H. Grassmann, 1888 : Arithmetices pr (...)

1L’article récent de M. Vailati2 nous dispense presque de tout préambule. Nos lecteurs savent déjà que M. Peano et ses collaborateurs ont en partie réalisé, dans le domaine des mathématiques, le projet grandiose de Leibnitz, qui rêvait de constituer une Encyclopédie, un résumé systématique de toutes les sciences humaines, au moyen d’une notation idéographique qu’il appelait la Caractéristique universelle. Pour donner une idée de l’ampleur de l’œuvre et de son contenu scientifique, il suffira de dire que le tome Ier du Formulaire de Mathématiques, publié par la Rivista di Matematica en 1895, comprend, réduites en formules précises et condensées, la plupart des propositions connues dans les sciences suivantes : Logique, Algèbre, Arithmétique (collaborateurs : MM. Vailati, Castellano, Burali-Forti), Théorie des grandeurs (Burali-Forti), Classes de nombres (Peano), Théorie des ensembles (Vivanti), Théorie des limites (Bettazzi), Théorie des séries (Giudice), Théorie des nombres algébriques (Fano). Une seconde édition, revue, corrigée et considérablement augmentée, a commencé à paraître : le 1er fascicule (1897) contient la Logique ; le 2e (1898) comprend l’Arithmétique3. Comme on le voit, c’est une œuvre immense qu’ont entreprise les mathématiciens italiens ; c’est de plus une œuvre extrêmement ingrate et ardue, qu’ils travaillent sans cesse à compléter et à perfectionner ; aussi convient-il de rendre hommage sans réserve à leur conscience et à leur dévouement.

  • 4 Cf. Notations de Logique mathématique, par G. Peano, Introduction au Formulaire de Mathématique, Tu (...)

2Ce qui intéresse surtout les philosophes dans ce grand travail, c’est la méthode employée, c’est-à-dire la notation et le calcul logiques qui servent à formuler et à démontrer les propositions mathématiques. En général, un symbolisme logique a deux fins distinctes : d’une part, il doit être une sténographie et en même temps une idéographie, c’est-à-dire qu’il doit exprimer sous une forme aussi claire et concise que possible les relations entre les idées, et cela par des signes qui représentent directement les idées, sans l’intermédiaire fallacieux des mots ; d’autre part, il doit être un algorithme (le Calculus ratiocinator de Leibnitz), c’est-à-dire permettre de tirer de prémisses données toutes les conclusions logiques qu’elles comportent, au moyen de règles de transformation de formules, analogues à celles de l’Algèbre, en un mot, de remplacer le raisonnement par le calcul. C’est cette double fin que se sont proposée les inventeurs du Calcul logique dont nous allons exposer successivement les notations et les principes4.

I

  • 5 Excepté M. MacColl, inventeur d’un Calculus of equivalent statements dont nous parlerons plus loin, (...)
  • 6 Algebra der Logik, t. I et II, Leipzig, 1890-91. [Ernst Schröder (1841-1902), professeur de mathéma (...)

3Depuis Boole, le créateur génial de l’Algèbre de la Logique, presque tous les logiciens5 ont adopté sa distinction fondamentale des propositions primaires et des propositions secondaires, ou, comme dit M. Schröder6, du Calcul des classes et du Calcul des propositions. Ces deux calculs emploient les mêmes signes et obéissent (en partie) aux mêmes règles, de sorte que beaucoup de formules leur sont communes et comportent, par suite, deux interprétations différentes. C’est là, semble-t-il, une source de confusions et d’ambiguïtés, mais aussi et surtout un principe de simplicité et de symétrie. Nous allons exposer séparément les deux sens de la notation, et nous les rapprocherons ensuite.

§1

4On désignera par des minuscules italiques des classes, c’est-à-dire des ensembles ou collections d’objets quelconques. Une classe correspond généralement à un concept, dont elle constitue l’extension : ainsi a représente la classe ou l’ensemble des objets qualifiés a ; mais cette condition n’est nullement nécessaire. Lorsque tous les objets (individus ou éléments) de la classe a appartiennent aussi à la classe b, on dit que la classe a est contenue dans la classe b, et l’on écrit :

a  b

5La copule est le signe de la subsomption.

6Lorsque a et b sont des concepts, la formule précédente traduit exactement la proposition universelle affirmative : Tout a est b.

7Deux classes a et b sont dites égales, lorsqu’on a à la fois :

a  b      et      b  a,

c’est-à-dire lorsque tout élément de l’une appartient à l’autre, et vice versa. On écrit alors :

a = b

8Les copules et = expriment les deux relations essentielles de la Logique.

9Nous allons maintenant définir les deux opérations fondamentales du Calcul des classes, qu’on appelle addition et multiplication, en raison des analogies purement formelles qu’elles offrent avec les opérations arithmétiques de même nom.

10La somme logique de deux classes a et b est l’ensemble des objets qui appartiennent à l’une de ces classes, ou à toutes deux (à l’une ou à l’autre). Elle s’écrit :

 b

11Le produit logique de deux classes a et b est l’ensemble des objets qui appartiennent à la fois à ces deux classes (à l’une et à l’autre). Il s’écrit :

 b     ou     ab

  • 7 M. Vailati nous permettra de rectifier, d’après Schröder (op. cit., t. I, p. 283, note), une légère (...)

12Ces deux opérations logiques jouissent de propriétés analogues aux propriétés des opérations arithmétiques correspondantes, et qu’on nomme7 :

131o Loi commutative :

 b =  a      b =  a

142o Loi associative :

( b c ( c)     ( b c ( c)

153o Loi distributive :

a( c)= ab  ac         (bc)= ( b) ( c)

16On remarquera que la seconde loi distributive (à droite) n’a pas d’équivalent en Arithmétique, de sorte que la Logique présente une symétrie, ou, comme on dit, une dualité parfaite que n’offre pas l’Arithmétique.

17Les opérations logiques possèdent en outre une propriété spéciale, remarquée par Boole et par Jevons, et que Schröder appelle la loi de tautologie :

 a = a      a = a

18Il y a une troisième opération logique qui n’est pas, comme les précédentes, une combinaison de deux classes, mais qui porte sur une seule classe : c’est la négation. La classe non-a (qui s’écrit : -a) est l’ensemble des objets qui ne sont pas a (autres que les a).

19La négation a, elle aussi, ses propriétés spéciales, dont la principale constitue le principe de la double négation :

-(-a) = a

qui signifie que la classe a est l’ensemble des objets qui ne sont pas non-a. En outre, elle établit entre les deux premières opérations logiques une corrélation extrêmement remarquable, découverte par Aug. De Morgan (1858), que traduisent les formules suivantes :

-(ab) = (-a (-b)     -( b) = (-a) (-b)

et qu’on peut exprimer ainsi : « La négation d’un produit est la somme des négations de ses facteurs ; la négation d’une somme est le produit des négations de ses termes ». Ainsi la négation transforme un produit en somme et une somme en produit ; elle établit un lien entre les deux combinaisons logiques, et donne pour ainsi dire la clef de la dualité que nous avons remarquée plus haut. Elle permet de définir, si l’on veut, l’une de ces opérations par l’autre, au moyen d’une des deux formules suivantes :

ab = -[(-a (-b)]      b = -[(-a) (-b)]

20Enfin il convient d’admettre deux classes spéciales, l’une qui est l’ensemble de tous les objets (individus) que l’on peut avoir à considérer dans une question : on l’appellera Tout et on la désignera par ∨ ; l’autre, qui ne contient aucun objet ou élément : c’est la classe vide ou nulle, qu’on appellera Rien et qu’on désignera par ∧. On établit alors les formules suivantes, qui caractérisent la négation :

 (-a) =       (-a) = 

et qui expriment respectivement le principe de contradiction et le principe du milieu exclu. La première signifie, en effet, que les deux classes a et non-a n’ont aucun élément commun, ou que nul objet n’est à la fois a et non-a. La seconde signifie que les deux classes a et non-a, réunies, comprennent tous les individus possibles, ou que tout objet est a ou non-a

§2

21Si nous passons au Calcul des propositions, nous allons retrouver les mêmes formules, avec un sens tout différent. Désormais, les minuscules italiques désigneront des propositions, des affirmations de forme quelconque. L’expression :

a  b

signifie que de la proposition a on déduit la proposition b, ou que « a implique b ». Elle traduit encore le jugement hypothétique : « Si a est vraie, b est vraie. » La copule ⊃ est maintenant le signe de la déduction ou de l’implication (MacColl).

22On dit que deux propositions a et b sont équivalentes, et l’on écrit :

a = b

si elles s’impliquent l’une l’autre. Ainsi l’égalité précédente équivaut aux deux implications réunies :

a  b,         b  a

23On voit que la relation formelle des deux copules et = est exactement la même que dans le Calcul des classes. Les deux symboles et ne peuvent plus désigner des classes, et reçoivent un nouveau sens : l’égalité

a = 

signifie que la proposition a est vraie sans condition (toujours vraie) ; l’égalité

a = 

signifie que la proposition a est fausse (impossible, s’il s’agit d’une équation ; absurde, s’il s’agit d’une identité).

24On peut à présent définir les opérations logiques à effectuer sur les propositions. Le produit  b exprime l’affirmation simultanée des deux propositions a et b, de sorte que l’égalité

 b = 

signifie que a et b sont toutes deux vraies. La somme a ⋃ b exprime l’affirmation alternative des deux propositions a et b, de sorte que l’égalité

 b = 

  • 8 Ceci n’est vrai que pour les propositions à sens constant, qui sont toujours vraies ou toujours fau (...)

signifie que l’une des deux (au moins) est vraie. Enfin la négation de a, -a, représente l’affirmation contradictoire de a. Pratiquement, on remplace l’égalité a = ⋁ par la simple lettre a, l’affirmation d’une proposition étant équivalente à cette proposition même. Par suite, la négation d’une proposition, -a, équivaut à l’affirmation qu’elle est fausse : a = ⋀8.

25On s’assure aisément que les opérations logiques que nous venons de définir pour les propositions jouissent des mêmes propriétés formelles que les opérations correspondantes pour les classes (lois commutative, associative, distributive et de tautologie). Il est intéressant de voir le nouveau sens que prennent les formules relatives à la négation.

26Le principe de la double négation :  -(-a) = a

s’exprime par l’aphorisme connu : Deux négations valent une affirmation.

27Le principe de contradiction :   (-a) = 

signifie qu’une proposition ne peut être à la fois vraie et fausse.

28Le principe du milieu exclu :   (-a) = ∨

signifie qu’une proposition est nécessairement vraie ou fausse (et qu’il n’y a pas de milieu).

29On remarquera, en passant, que c’est grâce à la Logique symbolique que l’on a pu formuler avec précision les principes de la Logique, et distinguer les deux sens bien distincts dont ils sont susceptibles, suivant qu’on les applique aux classes (concepts) ou aux propositions.

30Enfin les formules de De Morgan valent pour les propositions aussi bien que pour les classes ; l’une :

-(ab) = (-a (-b)

signifie que, pour que l’affirmation simultanée de deux propositions soit fausse, il faut et il suffit que l’une d’elles soit fausse. L’autre :

-( b) = (-a) (-b)

signifie que, pour que l’affirmation alternative de deux propositions soit fausse, il faut et il suffit que toutes deux soient fausses. Ces formules peuvent encore s’écrire de la manière suivante, plus appropriée aux applications pratiques :

( b = ) = (a =  (b = )
( b = ) = (a =  (b = )

31Il convient, à ce propos, de faire connaître une notation très commode et très ingénieuse, imaginée par M. Peano. Elle consiste à remplacer les parenthèses par des points, ce qui simplifie et éclaircit beaucoup l’écriture, un point tenant la place d’une parenthèse et souvent même de deux parenthèses accolées )(. Par exemple, les formules précédentes s’écriront comme suit :

ab = . =. a = b = .
 b = . =. a = .b = .

32Lorsqu’il y a plusieurs parenthèses s’enveloppant les unes les autres, on les remplace par autant de points régulièrement juxtaposés. C’est ainsi que l’expression

ab.cd : e . fg  hk . l

équivaut exactement à la suivante :

{[(ab)(cd)][e(fg)]} [(hk)l]

qui est manifestement moins lisible et plus compliquée.

33On voit que les propositions (à copule ou =) peuvent figurer comme termes ou facteurs dans d’autres propositions, que Boole appelle secondaires. Celles-ci peuvent constituer à leur tour les éléments intégrants de propositions tertiaires, et ainsi de suite. Pour discerner la proposition du degré le plus élevé, celle qui, par suite, englobe toutes les autres et qui affirme entre elles une certaine relation, il suffit de chercher quelle est la copule qui est accompagnée du plus grand nombre de points (tant à droite qu’à gauche). C’est celle-là qui représente l’affirmation principale. Pour l’interpréter, on doit d’abord grouper les signes compris entre des points simples, puis combiner ceux de ces groupes qui sont compris entre des points doubles, et ainsi de suite. Deux propositions qui ne sont séparées que par des points doivent être multipliées l’une par l’autre, en vertu de l’usage que les mathématiciens ont de supprimer et de sous-entendre le signe de la multiplication. Cette notation se prête encore à d’autres abréviations qui augmentent la clarté et la simplicité des formules sans engendrer d’ambiguïtés.

  • 9 M. Peirce, et surtout M. MacColl.

34On remarquera que les propositions primaires peuvent s’interpréter dans les deux sens, soit comme relations entre classes, soit comme relations entre propositions ; tandis que les propositions secondaires (tertiaires, etc.) ne peuvent évidemment s’interpréter que comme relations entre propositions. Il y a là, sans doute, un défaut d’homogénéité qui explique que certains logiciens9 aient cru devoir, pour plus d’uniformité, réduire tous les éléments du calcul logique à des propositions. Mais cette équivoque ne peut entraîner aucune erreur, puisque les règles de calcul sont les mêmes pour les classes que pour les propositions, et elle rend au contraire la Logique symbolique plus puissante et plus féconde, en lui fournissant une double interprétation et par suite un double champ d’application.

§3

  • 10 V. MacColl, Symbolical Reasoning, ap. Mind, no 17, janv. 1880, notamment p. 7 et 12 de cet article.

35Il reste à établir un lien et un passage entre les deux interprétations du symbolisme que nous venons d’exposer, afin de justifier l’emploi des mêmes signes dans deux séries d’acceptions différentes. Cette transition peut se faire de deux manières, ou en deux sens contraires : on peut faire dériver la notation des propositions de la notation des classes, ou inversement. Boole avait pris le premier parti, en faisant intervenir la notion du temps, et en représentant chaque proposition par sa durée de validité, c’est-à-dire par l’ensemble des instants où elle est vraie. Dans cette conception, adoptée et développée par M. Schröder, le calcul des propositions rentre dans le calcul des classes à titre d’application ou de cas particulier. M. Peano a opéré la réduction en sens inverse, et ramené le calcul des classes au calcul des propositions. À vrai dire, il n’est pas le premier, et, sans diminuer en rien son mérite, il convient de rappeler que M. MacColl avait déjà trouvé le moyen de transformer les propositions primaires en propositions secondaires, ou, en d’autres termes, les jugements catégoriques en jugements hypothétiques, par son ingénieuse théorie de l’élément représentatif10. Voici, en deux mots, comment M. MacColl effectue cette transformation.

  • 11 Le lecteur mathématicien reconnaîtra là le procédé général qu’emploie la Géométrie analytique pour (...)

36Soit à exprimer le jugement catégorique : « Tout a est b » dans le calcul des propositions, où chaque symbole représente, non une classe, mais une proposition. On considérera un élément variable x qui peut prendre toutes les « valeurs » possibles, c’est-à-dire devenir égal (identique) tour à tour à tous les éléments fixes qu’on peut avoir à considérer11. On peut ainsi lui faire parcourir un ensemble quelconque, par exemple la classe a ou la classe b. Cela posé, la proposition précédente signifie ceci : Tous les éléments de la classe a font partie de la classe b. Donc, toutes les fois que x représentera un élément de a, il représentera aussi un élément de b. Ou, plus brièvement : « Si x est un a, x est un b ».

37Dès lors, si l’on représente par α la proposition : « x est un a », par β la proposition : « x est un b », le jugement hypothétique qui précède s’exprimera par l’implication :

α  β

qui équivaut exactement à la subsomption :

 b

et qui, par suite, exprime également le jugement catégorique primitif.

  • 12 Cf. Introduction au Formulaire, § 16.
  • 13 La lettre ε est l’initiale du mot grec ἑστἰ = est.

38C’est un procédé analogue qu’emploie M. Peano pour déduire le Calcul des classes du Calcul des propositions ; avec cette différence, toutefois, qu’au lieu de réduire systématiquement le premier au second, comme M. MacColl, il l’en fait au contraire sortir, et lui accorde une valeur propre12. Il considère comme idées primitives, et partant indéfinissables, l’implication () ou le rapport de conséquence entre deux propositions, leur affirmation simultanée () et la négation d’une proposition, et il s’en sert pour définir la subsomption des concepts ou le rapport de contenance entre deux classes (), leur produit (), et la négation d’une classe. Pour cela, il a recours à une autre idée ou relation primitive, à savoir celle-ci : « x est un individu de la classe a » ; il la traduit par l’expression suivante13 :

  • 14 La majuscule P est l'abréviation du mot proposition.

(P. 2)14                    x ε a

39qu’on peut lire simplement : « x est un a, ». En d’autres termes, il adopte une copule spéciale ε, pour les jugements singuliers (dont le sujet est individuel). Cela posé, voici comment on définit la subsomption, a et b étant des classes :

(P. 12)   a  b. = : x ε a x x ε b

  • 15 L’indice x placé au-dessous du signe de déduction ⊃ veut dire : « quel que soit l’individu variable (...)

ce qui signifie : « Dire que la classe a est contenue dans la classe b, c’est dire que, si x est un a, il est aussi un b15. »

40De même, on définit le produit logique de deux classes au moyen du produit de deux propositions, en écrivant :

(P. 14)   ε ( b).= . ε ε b

ce qui veut dire : « On dit qu’un individu quelconque x appartient à la classe (à définir) ab, s’il appartient à la fois aux classes a et b ».

  • 16 C’est ce qui a lieu dans l’Introduction au Formulaire, § 16, où l’on trouve cette définition de la (...)

41On pourrait de même définir la somme logique de deux classes au moyen de la somme de deux propositions, en postulant comme idée primitive l’affirmation alternative16 ; mais M. Peano suit un ordre inverse, et définit au contraire l’affirmation alternative au moyen de l’addition des classes, et celle-ci au moyen de la négation. Voyons donc comment la négation des classes se déduit de la négation des propositions.

42Soit p une proposition ; −p désigne sa négation (c’est-à-dire sa contradictoire). Si la proposition est explicitement écrite, on fait porter la négation sur sa copule, en l’écrivant immédiatement devant ; par exemple :

- (a = b) = (- = b)        - ( b) = (-  b)

43On peut alors définir la négation d’une classe. Soit a une classe, et x un élément indéterminé, on écrira :

(P. 104)   ε (-a).= . x -ε .= -(ε a)

c’est-à-dire : « x est (par définition) un non-a, toutes les fois qu’il n’est pas un a ». C’est là la définition de la classe : non-a (-a).

44Une fois définie la négation des classes, M. Peano s’en sert pour définir la somme de deux classes par le produit de leurs négations, au moyen de la formule de De Morgan déjà citée :

(P. 201)    b = - [(-a) (-b)]

45Enfin, comme nous l’avons annoncé, il définit la somme de deux propositions au moyen de l’addition des classes, par la formule suivante :

(P. 202)   ε a.ε b.= . ε ( b)

46qui est la corrélative de la formule qui définit le produit des classes, mais qui se lit en quelque sorte en sens inverse, le premier membre étant (comme toujours) défini par le second.

§ 4

47Il convient de présenter ici quelques remarques critiques touchant l’ordre et l’enchaînement des idées fondamentales de ce Calcul logique. En premier lieu, la formule que nous venons d’écrire nous semble manquer de généralité : elle ne définit en effet l’addition que pour des propositions ayant pour copule ε, et, de plus, le même sujet ; en outre, elle ne paraît pas pouvoir s’étendre au cas général de l’affirmation alternative de deux propositions à termes quelconques et à copule quelconque. Par exemple, on trouve le signe d’addition employé dans les propositions 228 et 229 entre des propositions à copule  :

 b   c          c   c

  • 17 Depuis que ces lignes sont écrites, M. Peano nous a indiqué comment on peut formuler correctement c (...)

c’est-à-dire dans un cas pour lequel ce signe n’a pas été défini. Cet exemple montre en même temps que le signe ⋃ ne doit impliquer ni l’identité des sujets ni celle des prédicats17.

48Ce défaut (si c’en est un) provient de la méthode tout à fait détournée par laquelle on a défini l’addition des propositions. On a suivi un long circuit pour aboutir à cette définition, en partant de la multiplication des propositions et en passant par la multiplication des classes, la négation des propositions et celle des classes, enfin l’addition des classes. N’eût-il pas mieux valu définir ou postuler la notion d’affirmation alternative, en même temps que celle d’affirmation simultanée, et ne pas emprunter le secours et l’intermédiaire du Calcul des classes, puisqu’on le subordonne en général au Calcul des propositions ?

49Sans doute, on pourrait définir directement l’addition des propositions au moyen de la multiplication et de la négation, sans passer par le Calcul des classes, en adoptant la formule de De Morgan pour les propositions ; mais c’est encore là, semble-t-il, un moyen bien artificiel et bien détourné. Cela revient, en somme, à dire : « Affirmer que l’une (au moins) des deux propositions a et b est vraie, c’est nier qu’elles puissent être fausses toutes les deux à la fois. »

50D’ailleurs, cette manière de définir l’addition par l’intermédiaire de la négation et de la multiplication prête à une grave objection, qui s’applique également au Calcul des classes et au Calcul des propositions. Elle détruit en effet cette symétrie si remarquable des deux combinaisons fondamentales, et cache leur réciprocité ou leur « dualité », si commode pour soulager la mémoire et l’esprit. Il est vrai que cette dualité, qui règne dans tout le Calcul des classes, disparaît bientôt dans le Calcul des propositions, et que dès lors elle a moins d’importance pour les logiciens qui fondent toute la Logique sur le Calcul des propositions. Mais peut-être ont-ils tort précisément en cela, attendu qu’ils font reposer le calcul le plus général, celui qui offre le plus de régularité et de symétrie, sur un calcul plus spécial qui doit plutôt être regardé comme un cas particulier du précédent.

  • 18 Cette méthode avait été déjà employée par M. Peano dans ses Aritkmetices principia (1889). Il est c (...)

51Enfin, il nous semble préférable de définir séparément et indépendamment les trois opérations fondamentales (addition, multiplication et négation), et de remarquer ensuite leurs curieuses et fécondes connexions. Les formules de De Morgan sont en réalité des théorèmes, qui permettent d’effectuer la négation d’une somme ou d’un produit, et c’est ce qui en fait l’utilité et le prix. Elles perdent tout leur intérêt et presque tout leur sens quand on les pose comme des définitions, ou des conventions arbitraires18.

  • 19 Ces formules (P. 251 et 252 du Formulaire) sont en effet de simples corollaires de la P. 201, qui s (...)

52En tout cas, il est instructif d’observer l’évolution qu’a subie le système logique de M. Peano, et qui n’est peut-être pas un progrès. Dans l’Introduction du Formulaire (dont nous avons suivi à peu près l’ordre dans nos §§1 et 2), la notation des classes se trouve définie avant la notation des propositions, qui paraît en dériver ; et la dualité des formules additives et multiplicatives est mise en évidence. Dans le Formulaire (première édition), les formules relatives aux classes sont systématiquement dérivées des formules relatives aux propositions, et la dualité a déjà disparu, l’addition des propositions étant définie par la formule de De Morgan19 (§ 2, P. 6). Néanmoins, il en subsiste une trace dans les définitions de la somme et du produit des classes, qui sont symétriquement tirées des notions de somme et de produit de propositions (§ 4, P. 3,4). Enfin, la deuxième édition du Formulaire suit l’ordre que nous venons de discuter. Peut-être y aurait-il avantage, pour la clarté et la symétrie de la théorie, à revenir à la première méthode, à faire ressortir la dualité dans le Calcul des classes, et à lui subordonner nettement le Calcul des propositions.

  • 20 Voir, plus loin, les propositions 25 et 26 (II, § 1).
  • 21 Article de M. Vailati, p. 97 de ce volume [cf. supra, n. 1] ; cf. Introduction au Formulaire, § 16.
  • 22 Algebra der Logik, § 47.

53On peut encore se demander si la copule ε est bien nécessaire pour distinguer les jugements singuliers. Au premier abord, elle semble faire double emploi avec la copule générale  ; par exemple, elle oblige à dédoubler la formule du syllogisme20, ce qui paraît une complication inutile. On nous dit, il est vrai21, que les copules ε et représentent deux relations bien distinctes, qui possèdent des propriétés différentes. C’est ainsi que les propositions 104 et 202, notamment, ne sont vraies que pour la copule ε, et non pour la copule . Mais cela revient à dire qu’elles ne sont vraies que dans le cas où le sujet x est un individu. Au fond, les deux copules ε et expriment une relation unique, celle d’inclusion ou de subsomption, ce qui explique qu’elles aient en commun la plupart de leurs propriétés ; et les prétendues propriétés spéciales de la copule ε ne sont en réalité que les propriétés caractéristiques de l’individu, telles que les formules M. Schröder22. Elles se réduisent en somme à ce fait, que, étant donnée une classe a quelconque, l’individu ou élément x est contenu nécessairement dans cette classe ou dans sa négation (la classe non-a), ce qui n’est évidemment pas vrai pour une classe x contenant plus d’un élément. Il en résulte que des deux propositions : « x est un a », et : « x est un non-a », l’une est toujours vraie et l’autre fausse. En d’autres termes, l’individu est essentiellement caractérisé par ce fait que, pour lui, les propositions contraires sont en même temps contradictoires ; et voilà pourquoi l’on peut dire que l’une est la négation de l’autre, et écrire :

- ε a. = .x ε (-a).

54On pourrait donc, semble-t-il, se passer de la copule ε et la remplacer par la copule , en adoptant pour l’individu une notation spéciale (lettres grecques, majuscules, etc.), et en tenant compte dans le calcul des propriétés particulières dont il jouit.

55On dira peut-être qu’on a besoin de cette copule spéciale pour définir la somme et le produit des classes. Mais M. Schröder les définit aussi bien (après M. Peirce) au moyen de relations formelles où ne figure que la copule  :

  • 23 Cf. les propositions 14 et 54, -202 et 234 du Formulaire. Voir plus loin, II, § l et 2.

(P. 53)23    ab.= . a. x  b

(P. 213)     x. = .a  x. b  x

  • 24 Algebra der Logik, § 9.

56Il est vrai que M. Peano emploie la copule ε pour définir la copule elle-même entre les classes (voir plus haut la P. 12), tandis que M. Schröder considère cette relation comme une donnée primitive. Cette divergence tient d’abord à ce que M. Peano fonde le Calcul des classes sur le Calcul des propositions, tandis que M. Schröder dérive le second du premier. Mais elle provient surtout de ce que M. Peano fait appel dans sa définition à la considération des éléments constitutifs des classes, tandis que M. Schröder prétend s’en passer pour établir les principes de son calcul. Ce sont là deux méthodes opposées entre lesquelles il ne nous appartient pas de décider. M. Schröder croit pouvoir concevoir le rapport de contenance entre deux classes sans considérer leurs éléments, sans dire par exemple : « Une classe en contient une autre quand elle contient tous les éléments de celle-ci » (ce qui est la traduction verbale de la P. 12). Toutefois, il nous paraît difficile de concevoir une classe, et encore plus la relation d’inclusion ou d’exclusion entre deux classes, sans considérer les individus qui les composent. Et, bien que M. Schröder prétende définir après coup l’individu comme une classe particulière jouissant de la propriété caractéristique énoncée plus haut, nous remarquons que, pour définir l’espèce de multiplicité à laquelle seule peut s’appliquer sans contradiction le calcul logique, il est obligé de faire intervenir la nature individuelle des éléments qui la constituent24. Il faut, en effet, dit-il, que la multiplicité soit consistante, c’est-à-dire que tous ses éléments soient compatibles et associables entre eux ; et qu’elle soit pure, c’est-à-dire qu’aucun élément ne soit une classe composée d’autres éléments de la même multiplicité. Nous nous contentons de signaler cette difficulté à qui de droit, et de faire ressortir la différence entre le système de M. Peano, qui repose sur la considération des individus, et celui de M. Schröder, qui s’efforce d’exclure cette considération. Ainsi s’explique que le premier ait besoin de la copule spéciale ε, dont le second se passe fort bien.

57Mais ce qui justifie surtout l’emploi de cette copule, c’est son utilité dans la notation des propositions mathématiques. En effet, il faut bien spécifier le sens des lettres qui figurent dans chaque formule, pour déterminer les conditions dans lesquelles elle est vraie, autrement dit, son domaine de valabilité. C’est à quoi sert la copule ε ; on écrira par exemple :

a, b, ε n,        a, b, ε r, etc.

pour dire : « Les lettres a, b, c, désignent des nombres entiers, ou des nombres rationnels, etc. » les lettres romaines n, r, etc., étant destinées à désigner des classes déterminées. Il est clair qu’on ne pourrait remplacer ε par ⊃, car alors les lettres a, b, c pourraient désigner des ensembles de nombres, et non des nombres isolés. En résumé, la copule ε nous paraît avoir plutôt une utilité sténographique qu’une raison d’être logique.

II

58En exposant les notations de M. Peano nous avons discuté les définitions et les idées primitives de son système. Nous allons à présent exposer les règles de son calcul logique, ce qui nous fournira l’occasion de discuter les axiomes ou « propositions primitives » sur lesquels il est fondé. Ces axiomes valent à la fois pour le Calcul des classes et le Calcul des propositions, de sorte que ces deux calculs ont les mêmes règles formelles, et que toutes les formules qui vont suivre sont susceptibles d’une double interprétation.

§ 1

59Le premier axiome de la Logique est le principe d’identité, qui s’écrit :

(P. 21)    a

60Si a est une classe, il signifie : « (Tout) a est a. »

61Si a est une proposition, il signifie : « Si a est vraie, a est vraie. » La formule précédente engendre la suivante, qui exprime plus complètement le même principe :

(P. 41)   a = a

62Un second axiome est le principe de simplification :

(P. 23, 24)   ab  a, ab  b

63Pour les classes, il signifie que le produit de deux classes est contenu dans chacune d’elles, ce qui résulte de sa définition même. Pour les propositions, il a une signification encore plus évidente.

64Ce principe permet de simplifier un produit en le remplaçant par un de ses facteurs. C’est le principe de tous les raisonnements a fortiori. On en déduit la formule corrélative par dualité :

(P. 219)     b,   b

déjà connue de Leibnitz.

65Un troisième axiome est le principe de composition, qui permet de réunir en une seule deux propositions de même sujet, en faisant le produit des prédicats :

(P. 27)   a  ba  c a  bc

66Ce principe est dû à M. MacColl (1878), qui a (avec M. Peirce) réintégré dans la Logique la copule (est), alors que Boole et Jevons l’avaient remplacée par la copule = (égale).

  • 25 Au moyen du principe du syllogisme (voir plus-bas).

67De cet axiome et du précédent on déduit25 le théorème déjà cité :

(P. 53)   a  ba  c = a  bc

68Celui-ci engendre à son tour la proposition corrélative, déjà formulée par Leibnitz :

(P. 213)   a  cb  c = a  b  c

et les règles suivantes, dues à M. MacColl, qui permettent d’effectuer l’addition des propositions de même sujet ou de même prédicat, comme les précédentes permettent d’en effectuer la multiplication :

(P. 228)   a  ba  ca  b  c

(P. 229)   a  cb  cab  c

69Ces quatre règles peuvent être considérées comme des règles de composition ou de combinaison des propositions.

  • 26 Cf. Schröder, Algebra der Logik, 21e leçon, § 45.

70Il convient de remarquer que dans les deux dernières on peut remplacer la copule principale par =, mais seulement dans le cas où a, b, c sont des propositions à sens constant (c’est-à-dire nécessairement vraies ou fausses)26.

71Un autre mode de composition dérive du précédent ; il est plus général, en ce qu’il ne suppose l’identité ni des sujets, ni des attributs. Il s’effectue en vertu des formules suivantes :

(P. 34)   a  bc  dac  bd

(P. 209)   a  b. c  da  c  b  d

qui s’énoncent : « De deux (ou plusieurs) propositions (primaires ou secondaires) on peut déduire une nouvelle proposition dont les termes sont respectivement la somme ou le produit des termes correspondants des propositions données ». Ces formules, découvertes par Leibnitz, ont été retrouvées par M. MacColl (1878).

  • 27 Présenté comme axiome dans la première édition du Formulaire (I, § 1, P. 2) ; démontré dans la deux (...)

72Le principe de composition, joint au principe d’identité, engendre encore un autre principe, déjà remarqué par Leibnitz27, que Boole appelait loi de dualité, Jevons loi de simplicité, et qu’il vaut mieux nommer, avec M. Schröder, loi de tautologie : en voici la formule :

(P. 31)    aa

d’où dérive immédiatement la formule complète :

(P. 42)   a = aa

73On peut en déduire la formule corrélative par dualité :

(P. 204)    a = a

également connue de Leibnitz. Ces deux lois de tautologie signifient que la somme ou le produit de deux termes (ou facteurs) égaux équivaut au terme simple ; autrement dit, que la répétition d’un même terme (ou facteur) est inutile.

74Un quatrième axiome constitue le type du syllogisme en Barbara :

(P. 26)   a  b .b  ca  c

75Si a, b, c sont des classes, on a le syllogisme catégorique : « Tout a est b, tout b est c, donc tout a est c. » Si a, b, c sont des propositions, on a le syllogisme hypothétique (proprement dit) : « Si a est vraie, b est vraie ; or si b est vraie, c est vraie ; donc si a est vraie, c est vraie ».

76À cette formule générale, M. Peano croit devoir en joindre une autre pour le cas où la mineure est un jugement singulier, c’est-à-dire a pour sujet un individu :

(P. 25)    b. x ε a.  x ε b

77La première édition du Formulaire contenait encore un autre axiome, qu’on ne retrouve pas dans la deuxième. C’est le principe du raisonnement hypothétique (modus ponens) :

(I, § 1, P. 12)    b.  b

qui n’a de sens que pour les propositions, et qui s’énonce : « Si a est vraie, b est vraie ; or a est vraie ; donc b est vraie. » Cela vient sans doute de ce que ce principe peut se déduire de l’axiome suivant.

78Ce nouvel axiome est le principe d’importation et d’exportation, dont nous donnerons seulement la formule la plus simple et la plus générale, due à M. Peirce (a, b, c sont des propositions) :

(P. 74)   . b  c : =. ab  c

79Cette formule, en vertu de la définition de l’égalité, comprend les deux suivantes :

(P. 73)   . b  cab  c

  • 28 Cf. première édition du Formulaire, I, § 1, P. 37, 38, 39.

(P. 72)28   ab  c.  :  c

80La première permet d’importer l’hypothèse a dans la déduction  c qui en dépend ; elle signifie en effet ceci : « Quand a est vraie, b implique c ; donc quand a et b sont vraies, c est vraie. » La seconde permet, au contraire d’exporter l’hypothèse a, de la dégager de la déduction où elle figure, pour la poser à part comme condition préalable : elle signifie : « Quand a et b sont vraies, c est vraie ; donc quand a est vraie, on peut déduire c de b. »

81L’axiome précédent permet de démontrer très simplement le principe du raisonnement hypothétique. En effet, si dans la déduction :

a  b. a. b

on exporte l’hypothèse ⊃ b, il vient :

a  b. a  b

qui est une forme du principe d’identité. Inversement, on déduirait de celui-ci la formule précédente en important l’hypothèse.

82On peut remarquer que la formule du syllogisme singulier peut se déduire, en vertu du même principe, de la formule qui établit la correspondance entre les deux sens de la copule  :

(P. 12)   a  b.=ε a. ε b

d’où:

a  b.  : ε a. ε b

  • 29 Cf. Introduction au Formulaire, §16.

83En effet, il suffit d’importer l’hypothèse pour obtenir la formule29 :

(P. 25)   a  b. x ε a. ε b

84On peut donc se dispenser de la prendre pour axiome.

  • 30 À vrai dire, M. Peano déduit cette formule, par exportation, de celle-ci, qu’il prend pour axiome : (...)

85Un dernier axiome est le principe de transport ou mieux de transposition, que M. Peirce a inventé et dont il fait un grand usage dans son calcul. II se traduit par la formule suivante30 :

(P. 108)   ab  c. . a- -b

d’où dérive la formule plus complète du même principe :

(P. 109)   ab  c. = a- -b

86De ce principe M. Peano déduit un principe plus simple, qu’exprime la formule :

(P. 111)   a  b. . - -a

ou encore celle-ci, qui résulte immédiatement de la précédente :

(P. 112)   a  b. = - -a

87Il donne à ce dernier principe le même nom qu’au précédent. Nous préférerions l’appeler, conformément à l’usage classique, principe de contraposition. En effet, quand a et b sont des classes, il signifie : « Si tout a est b, tout non-b est non-b, et réciproquement », ce qui est bien le type de la contraposition. Quand a et b sont des propositions, il signifie : « Si la vérité de a implique celle de b, la fausseté de b implique celle de a, et réciproquement. » Dans ce sens, c’est le principe du raisonnement hypothétique (modus tollens) dont voici la formule :

a  b.-b. .-a

qui se lit : « Si a est vraie, b est vraie ; or b est fausse ; donc a est fausse. » On voit qu’elle se déduit de la P. 111 par l’importation de l’hypothèse.

88Du principe de transposition découlent d’autres formules, également découvertes et employées par M. Peirce (1867) :

(P. 253)   ab  c.=. a  c  -b

(P. 254)   a-b  c.=. a  b  c

(P. 255)   ab  c  d= a- - d

89Ces formules peuvent se résumer dans la règle suivante : On peut, dans une proposition à copule , supprimer un facteur du premier membre et l’ajouter (additionner) au deuxième, en changeant son signe (c’est-à-dire en le niant) ; et inversement. Cette règle comprend comme cas particuliers les règles de transposition et de contraposition, qui s’en déduisent par une double application.

90Pour donner un exemple de l’emploi des principes que nous venons d’énumérer, et notamment du principe de transposition, voici comment M. Peano démontre la deuxième loi distributive (pour la copule ) :

(P. 215)   a (b  c ab  ac

91La démonstration comprend quatre formules que nous traduisons une à une :

ab  ab. Transp. . [-(ab)] -b    (1)

92« Dans l’identité : ab  ab, transposons le facteur b du premier membre et le deuxième membre ab ; il vient :

[-(ab)] -b. »

ac  ac. Transp. . [-(ac)] -c    (2)

93(Même interprétation, en changeant b en c).

(1). (2)    Comp. [-(ab) -(ac)]  (-b)(-c)    (3)

94« Composons les formules (1) et (2) ; il vient, etc. »

(3)    Transp.  P    (4)

95« Dans la formule (3), transposons le deuxième membre et le facteur de a dans le premier ; il vient la proposition à démontrer. » Pour expliquer cette dernière transformation, il convient de rappeler qu’en vertu des formules de De Morgan on a :

-[(-b) (-c)] =  c

-[-(ab) (-ac)] = ab  ac.

96D’où l’on conclut :

[-(ab)-(ac)]  (-b) (-c).=. a(b  c ab  ac.

ce qu’il fallait démontrer.

97On a là, en même temps, un exemple de la forme que prennent les démonstrations de Logique ou de Mathématique. Il suffit de supprimer en imagination les phrases par lesquelles nous avons traduit et commenté les formules, et de rapprocher celles-ci, pour avoir toute la démonstration en quatre lignes. On a ainsi une idée de la simplicité et de la concision extrêmes que ce symbolisme donne aux propositions et aux raisonnements contenus dans le Formulaire de Mathématiques.

§ 2

98Tels sont les principes essentiels du Calcul logique de M. Peano, qu’il nous reste à apprécier brièvement. Au premier abord, on est frappé du grand nombre d’axiomes qui sont admis comme indépendants et irréductibles. Sans doute l’auteur en a déjà supprimé quelques-uns, comme nous l’avons vu en passant ; néanmoins, il en reste encore beaucoup, et peut-être trop. Ce qui le donne à penser, c’est que M. Schröder se contente de trois axiomes pour constituer tout le Calcul des classes et de trois autres pour fonder le Calcul des propositions, avec un axiome spécial destiné à relier entre eux ces deux calculs. Il semble donc que la méthode suivie par M. Schröder soit préférable à celle de M. Peano, puisqu’elle permet de faire une notable économie d’axiomes. À vrai dire, ce n’est pourtant pas celle que nous adopterions pour notre compte. Les trois axiomes admis par M. Schröder pour le Calcul des classes sont :

991o le principe d’identité :

a  a ;

1002o le principe du syllogisme :

a  bb  ca  c ;

1013o la loi distributive inverse (pour la subsomption) :

a ( c)  ab  ac.

102Or ces deux derniers axiomes ne nous paraissent pas suffisamment simples et évidents, et il y aurait avantage à les remplacer par des propositions plus primitives et plus intuitives, s’il est possible. En particulier, le principe du syllogisme est manifestement synthétique, et même assez complexe. Aussi Leibnitz se proposait-il déjà de le démontrer, c’est-à-dire de le réduire à un principe plus simple. Nous serions tenté d’adopter sa méthode. Pour cela, il faut d’abord établir une relation fondamentale entre les deux copules et =, qui permet de transformer une subsomption en une égalité (elle permet aussi la transformation inverse, mais celle-ci a moins d’intérêt et d’utilité). Cette relation, découverte par Leibnitz, se formule comme suit :

(P. 52)   a  b. = . a = ab

ce qui peut se traduire ainsi : « Si a est contenu dans b, a est identique à la partie commune à a et à b. » Cette vérité est presque évidente ; néanmoins, on peut la démontrer, comme M. Schröder, au moyen de la définition formelle de la multiplication, que voici :

103Si l’on a à la fois :

c  a, c  b

on a en même temps, par définition du produit ab :

c  ab

c’est-à-dire : Toutes les fois qu’un ensemble c sera contenu dans chacun des ensembles a et b, on dira qu’il est aussi contenu dans leur produit ab. On prouve que cette proposition suffit à définir le produit d’une manière générale et complète. Elle équivaut d’ailleurs au principe de composition de M. Peano. (P. 27.)

104Cette proposition, comme toute définition, est réciproque, de sorte qu’on a l’équivalence suivante :

(cf. P. 53)   c  ac  b. = c  ab

et qu’on peut déduire aussi bien le premier membre du second que le second du premier.

105De cette définition il résulte immédiatement que :

ab  a, ab  b.

106En effet, il suffit d’y substituer ab à c : on trouve :

ab  ab. = .ab  aab  b.

107Or le premier membre est vrai, en vertu du principe d’identité. On vient de démontrer le principe de simplification de M. Peano (P. 23, 24).

108Cette même définition permet de démontrer la relation annoncée. En effet, des deux propositions :

a  a, a  b,

dont la première est le principe d’identité, et dont la seconde est vraie par hypothèse, on déduit celle-ci :

a  ab,

et comme on a d’autre part (P. 23) :

ab  a,

il vient en définitive l’égalité à démontrer :

a = ab.

109Réciproquement, de :

a = ab,

ou de :

a  ab

on déduit, en vertu de la définition du produit, les deux subsomptions :

a  a, a  b,

dont la première exprime le principe d’identité, et dont la seconde est la proposition à démontrer. En résumé, on a d’une part :

a  ba = ab,

d’autre part :

a = aba  b,

d’où l’on conclut l’équivalence des deux membres (P. 52).

110Cela posé, on peut démontrer le principe du syllogisme comme suit. Les deux prémisses se transforment en égalités :

a  b.= .aab.

a  c.= .bbc.

111Dans la première égalité, remplaçons b par son égal bc ; il vient :

a = abc,

qui équivaut, en vertu de la relation fondamentale, à

a  bc.

112Or cette subsomption équivaut elle-même, en vertu de la définition du produit, aux deux suivantes :

a  b, a  c,

dont la première est une des prémisses données, et dont la seconde est la conclusion à démontrer. On a ainsi établi la formule générale du syllogisme (en Barbara) :

a  bb  c a  c.

113On peut encore déduire de la même relation fondamentale le principe de transposition et de contraposition posé comme axiome par M. Peano. Pour cela, il convient de mettre cette relation sous une autre forme, encore plus importante que la première. Celle-ci permet déjà de ramener une subsomption à une égalité ; la nouvelle forme permettra de réduire une subsomption à une égalité dont le second membre est nul, c’est-à-dire au type normal des équations algébriques. Voici comment s’effectue cette réduction, découverte par Boole. On peut (cela résulte du principe de composition) multiplier les deux membres d’une subsomption par un même facteur. Dans l’hypothèse :

a  b

multiplions les deux membres par -b ; il vient :

a - b  - b.

114Or :

b - b = .

115Par conséquent :

a - b = .

116On a ainsi l’inférence :

(P. 322)   a  b. - b = .

117La réciproque est aisée à démontrer. On a en général l’identité :

a = a (b  - b) = ab  a - b.

en vertu de la loi distributive ; mais si, par hypothèse, on a :

a - b = ,

il vient simplement :

a = ab. = a  b.

  • 31 M. Peano démontre cette formule au moyen du principe de transposition, dont nous nous passons et qu (...)

118On a donc l’inférence31 :

(P. 323)   b = a  b.

119Ces deux inférences inverses composent l’équivalence à démontrer :

(P. 324)    a  b. = . b = .

120D’où la règle : Pour transformer une subsomption en une égalité à second membre nul, il suffit de multiplier le premier membre par la négation du second.

121De cette règle on peut déduire d’abord le principe de contraposition :

a  b. = . -  a.

122En effet, transformons les deux subsomptions en égalités ; il vient :

a  b. = . a - b = .

-b  - a. = . a - b = .

123Les deux subsomptions sont donc équivalentes, c.q.f.d.

124On peut démontrer de même le principe de transposition, plus général que le précédent. Prenons-le sous sa forme la plus générale :

ab   d. = . a -  - d.

125Transformons les deux subsomptions en égalités :

ab   d. = . ab - ( d) =  . = . ab (- c) (- d) =  .

- c  -  d.= . a (- c) - (- b) (- d)=  .= . ab (- c) (- d)= .

126Les deux subsomptions sont équivalentes, c. q. f. d.

127On voit par ces exemples quelle est l’utilité et la fécondité de la relation qui permet de transformer les subsomptions en égalités. Cela vient de ce que des subsomptions de formes très différentes peuvent être équivalentes à une seule et même égalité, et par suite équivalentes entre elles, ce qu’on ne verrait pas toujours directement. Cette relation fondamentale est le nerf du Calcul logique suivant la méthode de Boole et de Schröder. Aussi est-il regrettable que M. Peano n’en ait pas fait un plus grand usage.

§3

128Nous venons de démontrer presque tous les axiomes admis par M. Peano. Il ne reste plus que le principe d’exportation et d’importation, qui n’a de sens et de valeur que dans le Calcul des propositions.

129Or ce principe peut aussi se démontrer au moyen de l’axiome spécial de M. Schröder. Celui-ci s’exprime par la formule suivante (où a désigne une proposition) :

a = (a = ),

et peut s’énoncer ainsi : « Affirmer la proposition a équivaut à affirmer que la proposition a est vraie. » Cette formule permet de transformer les propositions secondaires en propositions primaires (ou inversement), et notamment de résoudre une proposition secondaire en une somme de propositions primaires.

130En effet, soit la proposition secondaire :

a  b,

a et b sont elles-mêmes des propositions, et qui signifie : « La proposition a, implique la proposition b. » En vertu de la relation fondamentale énoncée ci-dessus (et qui vaut pour, les propositions comme pour les classes), la proposition donnée équivaut à l’égalité :

a - b = ,

qui signifie : « Il est impossible (absurde) d’affirmer a et de nier b en même temps. » Maintenant, prenons les négations des deux membres (en vertu du principe de contraposition) ; il vient :

- a  b = .

131Mais, en vertu de l’axiome spécial, cette affirmation équivaut à l’affirmation alternative :

- a  b,

qui veut dire : « Ou bien a est fausse, ou bien b est vraie » (sans exclure les cas où l’on aurait à la fois a fausse et b vraie). En définitive, on a l’équivalence suivante :

a  b . = . - a  b,

que nous nous proposions de démontrer.

132Une fois établie cette proposition capitale, il est facile d’en déduire le principe d’exportation. Considérons en effet, la double implication (proposition tertiaire) :

a  (b  c).

133Transformons la proposition entre parenthèses :

a  - b  c.

134Réduisons cette subsomption à une égalité ; il vient :

ab (- c) = .

135Or on a d’autre part, toujours en vertu de la même transformation :

ab (- c) = . = . ab  c.

136On obtient en définitive l’équivalence suivante :

(P. 74)   a  . b  c : = . ab  c.

qu’il s’agissait de démontrer, et qui formule le double principe d’importation et d’exportation.

  • 32 The substitution of similars, the true principle of reasoning, derived from a modification of Arist (...)
  • 33 Specimen Calculi universalis, ap. [Philosophische Schriften], éd. Gerhardt, t. VII, [1890], XVIII, (...)

137En résumé, nous avons démontré tous les axiomes de M. Peano (sauf le principe d’identité, bien entendu) en les réduisant à des axiomes plus simples. Le seul, à vrai dire, que nous ayons invoqué (en dehors du principe d’identité), est le suivant : « On peut substituer partout à un terme un terme égal ou équivalent. » C’est le principe de la substitution des semblables (ou plutôt des équivalents) sur lequel Stanley Jevons voulait fonder toute la Logique32. Cette proposition était pour Leibnitz la définition même de l’égalité ou de l’identité : Eadem sunt, quorum unum in alterius locum substitui potest salva veritate33. Mais on ne gagnerait rien à la prendre pour définition, car dans ce cas on serait obligé d’admettre en revanche comme axiome la définition que nous avons adoptée pour l’égalité, à savoir :

a = b . = . a  b . b  a.

  • 34 V. Schröder, Algebra der Logik, § 12, et Appendices 4, 5, 8.

138Reste encore, il est vrai, le troisième axiome de Schröder, qui consiste à admettre la loi distributive inverse, et qui constitue plutôt un postulat. Mais ce postulat (ou un autre équivalent) paraît indispensable, puisqu’on ne peut déduire la loi en question des autres axiomes, et puisqu’il existe un calcul (le Calcul des groupes) qui vérifie ceux-ci, et par suite la loi distributive directe, sans vérifier la loi distributive inverse34.

  • 35 Op. cit., t. I, p. 310, Remarque.
  • 36 Il est vrai qu’il faudrait alors démontrer le principe de transposition sans invoquer la loi distri (...)

139Mais alors, on peut se demander ce que vaut la démonstration de la loi distributive inverse, que nous avons donnée plus haut d’après M. Peano. Il semble que, si cette loi constitue un postulat indispensable, une telle démonstration doive contenir un paralogisme ou une pétition de principe. Il n’en est rien : la démonstration en question s’appuie uniquement sur les principes de composition et de transposition, comme celle de la loi distributive directe (p. 214). D’où vient donc cette divergence entre le système de M. Peano et celui de M. Schröder ? C’est que M. Peano fait intervenir dans sa démonstration la notion de la négation (impliquée dans le principe de transposition). Or M. Schröder reconnaît lui-même la possibilité de démontrer la loi distributive inverse au moyen des propriétés de la négation, attendu que le Calcul des groupes, où cette loi n’est pas valable, ne comporte pas la négation35. D’autre part, M. Peano a remarqué (P. 243) que de la définition de la somme, donnée par M. Schröder (P. 241), on peut bien déduire, sans le secours de la négation, la loi distributive directe (P. 214), mais non la loi distributive inverse et ses corollaires (P. 215-218). Ainsi s’expliquent le désaccord apparent des deux théories et leur accord réel. Du même coup se trouve justifié l’ordre suivi par M. Peano, puisqu’il lui permet de démontrer la loi distributive complète, ce qui est impossible, selon M. Schröder, tant qu’on n’introduit pas l’idée de négation et les principes fondés sur elle (principes de contradiction, de milieu exclu et de double négation)36.

  • 37 Par exemple, dans toutes les lois de l’addition et de la multiplication, qui se déroulent parallèle (...)

140Seulement, quand on adopte cet ordre, et qu’on définit l’addition au moyen de la multiplication et de la négation, la formule de De Morgan n’est plus un théorème, mais une définition ou une convention, qui équivaut au fond au postulat de M. Schröder et qui le remplace. On ne fait donc pas, en réalité, l’économie d’un postulat, et l’on a simplement à choisir entre deux ordres logiques équivalents, dont chacun a ses avantages et ses inconvénients. Celui de M. Peano a, encore une fois, le grave inconvénient de détruire la réciprocité parfaite de l’addition et de la multiplication, et de masquer ainsi ce dualisme si remarquable et si élégant que présentent les formules du Calcul des classes. Ou, du moins, ce dualisme résulte après coup de la formule de De Morgan, présentée comme une convention arbitraire, et semble par suite subordonné à l’idée de négation, tandis que, dans Schröder, il apparaît dès le début, bien avant l’introduction de la négation37, et découle de la symétrie même des définitions des deux opérations logiques, entre lesquelles la négation établit plus tard une corrélation exprimée par les formules de De Morgan. Celles-ci se présentent alors comme des conséquences du dualisme initial ; elles en sont en quelque sorte la clef de voûte ou le couronnement.

§ 4

  • 38 Cf. Whitehead, A Treatise on Universal Algebra, Cambridge, 1898. [Voir Article 12.]

141Si maintenant nous jetons un coup d’œil d’ensemble sur ce système pour l’apprécier d’une manière générale, nous constatons que, des deux éléments de tout calcul logique, la notation y est beaucoup plus développée que l’algorithme. Nous ne reprocherons pas à la notation son étrangeté, qui déroute un peu le débutant. Comme cette notation était précisément destinée à s’appliquer aux vérités mathématiques formulées, elles aussi, en signes, M. Peano a dû inventer des signes logiques tout différents des signes mathématiques, pour éviter des équivoques intolérables. Néanmoins, cette notation a l’inconvénient de dissimuler l’analogie formelle si remarquable qui existe entre les formules de la Logique et celles de l’Algèbre ordinaire, analogie qui ressort, au contraire, quand on emploie les signes algébriques pour exprimer les relations logiques38. C’est peut-être une des raisons pour lesquelles l’algorithme est peu développé dans ce système : il est clair que la notation adoptée se prête mal à la traduction et à la manipulation des « équations logiques ».

  • 39 D’autant plus que, conformément à l’usage des mathématiciens, on sous-entend le signe de multiplica (...)

142Un autre défaut contribue encore au même résultat : c’est la notation de la négation. Autant l’emploi des points au lieu de parenthèses nous paraît heureux, pour la clarté et la commodité de l’écriture et de l’impression, autant le choix du signe de négation nous semble malencontreux. En effet, la négation n’est pas une combinaison, comme l’addition et la multiplication, mais une opération unitaire, qui transforme un terme unique en un autre terme unique (a en non-a). Il convient donc que le signe qui la représente porte explicitement sur le terme à nier, et n’ait pas l’air de l’unir au précédent ou au suivant. Or le tiret adopté pour cet office rappelle irrésistiblement (malgré un changement de forme) le signe de la soustraction : a-b ne représente pas à l’imagination le produit de a par non-b, mais la différence : a moins b39. La confusion est d’autant plus inévitable que suivant la formule de Peirce, on a :

a  b  c. = . –  c.

  • 40 Voir par exemple la démonstration des P. 214 et 215 (voir. plus haut, II, § 1, fin).

143Le lecteur familier avec l’Algèbre est tenté de croire qu’on peut retrancher b aux deux membres de la première subsomption pour obtenir la seconde, ce qui serait une erreur complète, car le terme (sommande) b devient le facteur -b en passant du second membre au premier. Même isolé, le symbole (-a) laisse présumer entre la négation logique et les quantités négatives de l’Algèbre une analogie qui est absolument fausse, attendu que la négation est toute différente de la soustraction (dont on peut fort bien se passer en Logique) ; que non-a n’est pas l’analogue de (0 − a), mais bien de (1 − a), comme l’écrivait Boole ; et que a et non-a se détruisent, non par addition (comme + a et − a), mais par multiplication. Enfin, cette notation a un dernier désavantage : elle oblige à recourir aux parenthèses et aux crochets, dont l’emploi a été partout ailleurs évité avec succès, de sorte qu’on perd ainsi le bénéfice de l’usage des points40.

144Il est juste d’indiquer la raison pour laquelle on a adopté ce signe pour la négation : M. Peano a posé comme règle que tous les signes doivent se succéder sur une ligne horizontale, pour faciliter l’impression et la lecture. Cette règle est assurément excellente, en général ; mais peut-être comporterait-elle une exception (unique) en faveur de la négation. Si l’on ne voulait ou ne pouvait pas, comme Boole, Venn et Peirce, surligner le ou les termes sur lesquels porte la négation (ce qui paraît être la meilleure notation, car elle sert en même temps de vinculum et dispense de parenthèses), on pouvait employer, soit l’accent, comme M. MacColl, soit l’indice (ou exposant) 1, comme M. Schröder. Tous ces signes ont l’avantage de porter uniquement sur le terme à nier, et de faire corps pour ainsi dire avec la lettre qui le représente.

  • 41 La note de la P. 237 nous apprend que « la théorie des équations logiques n’est pas encore réduite (...)

145C’est trop discuter sur un détail de notation, pensera-t-on sans doute. Mais ce ne sera peut-être pas l’avis de ceux qui ont pratiqué les divers systèmes de calcul logique. Ceux-là savent de quelle importance est l’heureux choix d’un signe bien approprié à l’idée qu’il s’agit de symboliser. Comme nous l’avons insinué tout à l’heure, c’est peut-être l’incommodité du signe de négation qui a empêché M. Peano d’exposer la théorie des équations logiques, et celle de l’élimination des inconnues. On ne trouve à ce sujet que les deux groupes de formules : P. 270-276 et P. 351-358. C’est peu pour une théorie qui constitue une partie considérable des travaux de Boole et de M. Schröder. Or ces formules, les plus simples de toute cette théorie, sont presque inintelligibles dans la notation employée ; et l’on peut affirmer qu’elles auraient été difficilement découvertes sous cette forme41.

  • 42 Tels sont la copule ε, que nous avons discutée, et bien d’autres signes, qui ne sont employés que d (...)

146Toutefois, pour être équitable, il ne faut pas oublier quel est le but final de l’œuvre de M. Peano, et cette considération est propre à atténuer les critiques précédentes. Les mathématiciens italiens ne se sont pas proposés expressément, comme les logiciens auxquels nous les comparons, de construire un système de Logique complet et cohérent ; ils n’ont inventé leur notation que pour pouvoir écrire en symboles les propositions mathématiques, et ils n’ont développé leur algorithme que dans la mesure où ils en avaient besoin pour analyser et vérifier les démonstrations mathématiques. C’est ce qui explique et justifie, d’une part, la surabondance des symboles, qui, inutiles en Logique, sont commodes ou même nécessaires pour la notation idéographique42 ; d’autre part, le peu de développement donné à l’Algèbre de la Logique, attendu que les raisonnements mathématiques reposent sur les principes les plus simples de la Logique (que nous avons énumérés plus haut) et n’ont nullement besoin de formules logiques plus compliquées.

  • 43 Notamment dans la partie IV : Théorie des grandeurs, due à M. Burali-Forti. [Cesare Burali-Forti (1 (...)

147C’est à ce point de vue en quelque sorte utilitaire qu’il faut se placer pour juger impartialement cette grande entreprise ; seulement, on sort par là du domaine de la Logique pure, et l’on entre dans celui de la Logique appliquée ou de la Méthodologie. À cet égard, le Formulaire est capable de rendre de grands services : il présente un tableau sommaire, presque synoptique, des vérités acquises dans chaque branche des Mathématiques ; elles se trouvent rangées dans leur ordre logique, enchaînées les unes aux autres, souvent accompagnées de leurs démonstrations, et, ce qui est plus utile encore, rattachées aux axiomes dont chacune d’elles dépend43. Ainsi conçu, ce Formulaire sera un guide indispensable pour quiconque veut étudier les méthodes et critiquer les principes des sciences mathématiques. Ce n’est pas seulement un répertoire de formules ou un memento historique et bibliographique à l’usage des mathématiciens de profession ; c’est un instrument de travail précieux pour les philosophes qui cultivent l’Épistémologie. Ajoutons que pour nos compatriotes cet ouvrage offre un intérêt tout particulier : il est écrit en français. Pour reconnaître l’hommage ainsi rendu au caractère international de notre langue, et pour continuer à mériter ce privilège traditionnel, nous avons le devoir, d’abord, de nous initier à cette science nouvelle et d’en répandre la connaissance ; ensuite, d’y collaborer dans la mesure de nos moyens, soit par des contributions positives, soit par de bienveillantes critiques. C’est une collaboration de ce genre que nous désirerions apporter à ces savants, moins en leur signalant les imperfections de leur travail qu’en le faisant connaître aux logiciens et aux mathématiciens français, et en invitant ceux-ci à l’étudier et à le perfectionner.

Notes

1 [Bertrand Russel, Correspondance sur la Philosophie, la Logique et la Politique avec Louis Couturat (1897-1913). Édition et commentaire par Anne-Françoise Schmid, Paris, Éditions Kimé, 2001, p. 139.]

2 La Logique mathématique [et sa nouvelle phase de développement dans les écrits de M. J. Peano], ap. Revue [de Métaphysique et de Morale, t. VII], de janvier 1899, p. 86-102 de ce volume. [Giovani Vailati (1863-1909), a enseigné l’histoire de la mécanique à l’Université de Turin, avant d’y devenir assistant de Peano, puis de renoncer à toute position universitaire. Ses écrits philosophiques ultérieurs l’orienteront vers une forme de ptagmatisme inspiré de Peirce et de James.]

3 Cf. G. Peano, Calcolo geometrico secondo l’Ausdehnunqslehre di H. Grassmann, 1888 : Arithmetices principia nova methodo exposita, et : Principii di Geometria logicamente esposti, 1889.

4 Cf. Notations de Logique mathématique, par G. Peano, Introduction au Formulaire de Mathématique, Turin, 1894.

5 Excepté M. MacColl, inventeur d’un Calculus of equivalent statements dont nous parlerons plus loin, et qui porte uniquement sur les jugements. [Hugh Mac Coll (1831-1909), mathématicien, logicien et romancier, sans attache universitaire. Ses trois conférences de 1877 et 1878, sous le titre, pour la première, « The Calculus of equivalent statements and integration limits » sont parues dans les Proceedings of the London Mathematical Society, 9 (1878, p. 9-20 et 177-186) et 10 (1879, p. 16-28).]

6 Algebra der Logik, t. I et II, Leipzig, 1890-91. [Ernst Schröder (1841-1902), professeur de mathématiques à la Polytechnische Hochschule de Karlsruhe. Il a d’abord publié Der Operationskreis des Logikkalküls. Leipzig, 1877, puis les trois volumes de ses Vorlesungen über die Algebra der Logik (Exakte Logik), Leipzig, 1890, 1891 et 1895 (une second partie du tome 3 paraîtra en 1905). Couturat publiera un exposé de L’Algèbre de la Logique, Paris, Alcan, 1905.]

7 M. Vailati nous permettra de rectifier, d’après Schröder (op. cit., t. I, p. 283, note), une légère inexactitude historique. Les noms de loi commutative et associative ont été employés pour la première fois par Servois, ap. Annales de Gergonne, t. V. Seule, la dénomination distributive a été inventée par Sir W. R. Hamilton (qu’il ne faut pas confondre avec son homonyme le philosophe logicien). [François-Joseph Servois (1768-1847), « Analise transcendante. Essai sur un nouveau mode d'exposition des principes du calcul differentiel », Annales de Gergonne, 5 (1814-1815), p. 93-140. – William Rowan Hamilton (1805-1865), Lectures on quaternions; containing a systematic statement of a new mathematical method, Dublin, 1853.]

8 Ceci n’est vrai que pour les propositions à sens constant, qui sont toujours vraies ou toujours fausses, mais non pour les propositions à sens variable, qui sont tantôt vraies, tantôt fausses, en d’autres termes, qui sont probables. C’est ce qui explique la divergence entre le Calcul logique que nous exposons ici et le Calcul des jugements équivalents de M. MacColl, fondé sur la considération des probabilités.

9 M. Peirce, et surtout M. MacColl.

10 V. MacColl, Symbolical Reasoning, ap. Mind, no 17, janv. 1880, notamment p. 7 et 12 de cet article.

11 Le lecteur mathématicien reconnaîtra là le procédé général qu’emploie la Géométrie analytique pour représenter une figure (une courbe par ex.) comme le lieu d’un élément variable (point) qui la décrit et l'engendre.

12 Cf. Introduction au Formulaire, § 16.

13 La lettre ε est l’initiale du mot grec ἑστἰ = est.

14 La majuscule P est l'abréviation du mot proposition.

15 L’indice x placé au-dessous du signe de déduction ⊃ veut dire : « quel que soit l’individu variable ou indéterminé x ». Nous ne pouvons entrer dans de plus amples détails au sujet de cette notation, fort utile et fort importante, mais qu’il serait trop long d’expliquer ici.

16 C’est ce qui a lieu dans l’Introduction au Formulaire, § 16, où l’on trouve cette définition de la somme a: xεab .=. xεa..xεb   (3.)

17 Depuis que ces lignes sont écrites, M. Peano nous a indiqué comment on peut formuler correctement cette proposition au moyen de la copule ε, ou plutôt au moyen de la relation inverse ; mais ce détour nous paraît artificiel et compliqué.

18 Cette méthode avait été déjà employée par M. Peano dans ses Aritkmetices principia (1889). Il est curieux de constater que, dans cet opuscule, il interprète la lettre comme initiale du mot conséquence, et par suite, comme signe de déduction, comme dans la deuxième édition du Formulaire (§ 1, p. 26), tandis que dans l’Introduction au Formulaire (p. 7) il la présente comme l’initiale du mot contient (b ⊂ a . = . a ⊃ b.).

19 Ces formules (P. 251 et 252 du Formulaire) sont en effet de simples corollaires de la P. 201, qui sert de définition à la somme des classes.

20 Voir, plus loin, les propositions 25 et 26 (II, § 1).

21 Article de M. Vailati, p. 97 de ce volume [cf. supra, n. 1] ; cf. Introduction au Formulaire, § 16.

22 Algebra der Logik, § 47.

23 Cf. les propositions 14 et 54, -202 et 234 du Formulaire. Voir plus loin, II, § l et 2.

24 Algebra der Logik, § 9.

25 Au moyen du principe du syllogisme (voir plus-bas).

26 Cf. Schröder, Algebra der Logik, 21e leçon, § 45.

27 Présenté comme axiome dans la première édition du Formulaire (I, § 1, P. 2) ; démontré dans la deuxième comme ci-dessus.

28 Cf. première édition du Formulaire, I, § 1, P. 37, 38, 39.

29 Cf. Introduction au Formulaire, §16.

30 À vrai dire, M. Peano déduit cette formule, par exportation, de celle-ci, qu’il prend pour axiome : ab⊃c.xεa.x-εc.⊃.x-εb    (P. 107.)

31 M. Peano démontre cette formule au moyen du principe de transposition, dont nous nous passons et que nous allons au contraire en déduire.

32 The substitution of similars, the true principle of reasoning, derived from a modification of Aristotle’s dictum, [London], 1869. Cf. [Louis] Liard, Les Logiciens anglais contemporains, ch. VI, 1878 [Paris, Librairie Germer Ballière]. [Stanley Jevons (1835-1882), économiste et logicien, qualifié par Liard de « disciple original et indépendant » de George Boole.]

33 Specimen Calculi universalis, ap. [Philosophische Schriften], éd. Gerhardt, t. VII, [1890], XVIII, no 7, [p. 219]. Cf. Non inelegans specimen demonstrandi in abstractis, § XIX, déf. 1, [Ibid. p. 228.]

34 V. Schröder, Algebra der Logik, § 12, et Appendices 4, 5, 8.

35 Op. cit., t. I, p. 310, Remarque.

36 Il est vrai qu’il faudrait alors démontrer le principe de transposition sans invoquer la loi distributive, ce qui ne paraît pas facile à première vue.

37 Par exemple, dans toutes les lois de l’addition et de la multiplication, qui se déroulent parallèlement (voir plus haut, I, § 1).

38 Cf. Whitehead, A Treatise on Universal Algebra, Cambridge, 1898. [Voir Article 12.]

39 D’autant plus que, conformément à l’usage des mathématiciens, on sous-entend le signe de multiplication qui seul unit réellement les deux facteurs.

40 Voir par exemple la démonstration des P. 214 et 215 (voir. plus haut, II, § 1, fin).

41 La note de la P. 237 nous apprend que « la théorie des équations logiques n’est pas encore réduite complètement en symboles », ce qui explique qu’elle ne soit pas développée dans le Formulaire. Mais cela ne tiendrait-il pas à la résistance qu’on éprouve à traduire dans ce symbolisme les nombreuses formules, pourtant si claires dans leur complication, contenues dans l’ouvrage de M. Schröder?

42 Tels sont la copule ε, que nous avons discutée, et bien d’autres signes, qui ne sont employés que dans la partie mathématique du Formulaire.

43 Notamment dans la partie IV : Théorie des grandeurs, due à M. Burali-Forti. [Cesare Burali-Forti (1861-1931), assistant de Peano à Turin, est surtout connu pour ses articles « Una questione sui numeri transfiniti » et « Sulle classi ben ordinate », Rendiconti del Circolo mathematico di Palermo, 11 (pp 154-164 p 260), à l’origine du paradoxe du plus grand nombre ordinal, auquel Russell donnera le nom de Burali-Forti.]

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