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Logique, mathématiques, langue universelle

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Louis Couturat

Première partie: 1893-1900

ARTICLE 1

Compte rendu critique de « L’Année philosophique » de F. Pillon, 2année, 1891 (Paris, Alcan, 1892)

Revue de Métaphysique et de Morale, 1893, t. 1, p. 63-85

Anmerkungen des Autors

François Pillon (1830-1914), de formation médicale et collaborateur de Pierre Larousse, a fondé en 1867 L’Année philosophique, devenue en 1872 une revue hebdomadaire La Critique philosophique. Après l’interruption de celle-ci, il relança L’Année philosophique en 1892. Il fut, par ses comptes rendus d’ouvrages, l’un des introducteurs de Nietzsche en France, conjointement avec son rôle de fidèle disciple de Charles Renouvier (1815-1903), fondateur du « néocriticisme ». Élève de l’École polytechnique, Renouvier renonça à la carrière publique pour se consacrer à la philosophie. L’étude de l’histoire de la philosophie l’amena à une Esquisse d’une classification systématique des doctrines philosophiques (1885) et à une Philosophie analytique de l’histoire (1896) ; il en déduisit sa propre doctrine, présentée finalement comme une Nouvelle Monadologie (1899, en collaboration avec Louis Prat), et où il visait à rénover le criticisme kantien en identifiant Les Dilemmes de la métaphysique pure (1901), débouchant sur une Critique de la doctrine de Kant (1906). Républicain ardent, il a joué un rôle important dans le développement de l’idée républicaine en France.

Le compte rendu du second volume de L’Année philosophique figure dans le premier numéro de la première année de la toute nouvelle Revue de Métaphysique et de Morale, dont Couturat était l’un des fondateurs. L’essentiel en est consacré à l’exposé et à la critique des thèses de philosophie mathématique développées par Renouvier dans son long article « La philosophie de la règle et du compas », portant sur la comparaison entre la géométrie euclidienne et les géométries non euclidiennes.

L’idée cardinale du néocriticisme tient dans ce que Renouvier a appelé « la loi du nombre », qui domine toute la doctrine : le nombre fini s’applique à tous les phénomènes et tout ensemble quelconque d’éléments concrets est fini. Dans sa thèse de doctorat de 1896, De l’infini mathématique, Couturat s’opposera à la loi du nombre au nom d’un infinitisme fondé notamment sur les contributions les plus récentes de Dedekind et de Cantor. Ici, l’arme de ses contestations de l’interprétation donnée par Renouvier des géométries non-euclidienne lui est fournie par Henri Poincaré.

Sur Renouvier, on consultera : Laurent Fedi, Le Problème de la connaissance dans la philosophie de Charles Renouvier, Paris, L’Harmattan, 1998, et Marie-Claude Blais, Au principe de la République. Le cas Renouvier, Paris, Gallimard, 2000.

Volltext

1 Nous n’avons pas besoin de présenter L’Année philosophique au lecteur. Tous les amis de la philosophie ont regretté la disparition de La Critique philosophique, qui a, pendant près de vingt ans, servi de chaire au néocriticisme français, et dont la collection restera comme un monument de la puissance et de la fécondité de pensée de ses auteurs ; tous se sont réjouis de voir renaître L'Année philosophique, destinée à soutenir les mêmes doctrines et à continuer le même enseignement. Si la première publication a eu le mérite de fournir à ses lecteurs un aliment intellectuel incessamment renouvelé, la seconde a l’avantage de permettre aux auteurs de développer avec plus d’ampleur les thèses principales de leur système, et d’en faire ressortir la richesse et la continuité. Et s’il n’est que juste de reconnaître que MM. Renouvier et Pillon ont contribué pour une large part à entretenir en France le goût des hautes spéculations métaphysiques et morales, il faut se féliciter que la pensée philosophique ait conservé de tels maîtres, et souhaiter qu’ils continuent longtemps encore à nous faire profiter de leurs savantes méditations.

2Le deuxième volume de L’Année philosophique se termine par une Revue bibliographique française due à M. Pillon (p. 253-347). Les analyses, d’une clarté et d’une concision remarquables, sont suivies de brèves critiques qui définissent nettement la position que prend l’auteur en présence des œuvres qu’il apprécie. Rien ne prouve mieux la rigueur et la largeur de la doctrine que les jugements sommaires, mais précis et fortement motivés, qu’elle dicte à l’auteur sur les théories les plus diverses et sur les tendances trop souvent incohérentes de la philosophie contemporaine. C’est vraiment un beau spectacle que celui d’un esprit ferme et droit qui s’affirme dans tous les domaines de la pensée, se prononce sur toutes les questions à l’ordre du jour, et qui, retranché dans son système comme dans une forteresse, fait face à toutes sortes d’adversaires et de tous les côtés à la fois. On retrouve dans cette bibliographie l’universalité qui caractérisait La Critique philosophique (politique, scientifique, littéraire), et qui est le privilège des systèmes solidement construits et savamment organisés.

  • 1 [Lionel Dauriac (1847-1923), élève de l’École normale supérieure, a soutenu en 1878 une thèse pour (...)
  • 2 [Les Principles of Psychology de William James (1842-1910) sont parus à New York en 1890.]

3C’est par des qualités toutes différentes que se distingue l’article de M. Dauriac1 sur le Positivisme en psychologie « à propos » des Principes de Psychologie de M. James2 (p. 209-252). On sait quel écrivain spirituel et quel remueur d’idées est M. Dauriac ; il a donné carrière à son « imagination métaphysique » (cf. p. 247, et note) dans cette brillante improvisation, où l’argumentation du criticiste s’appuie sur des métaphores ingénieuses et s’égaie de boutades piquantes. Des esprits pointilleux regretteront peut-être de n’y pas trouver assez d’indications positives sur les idées de M. W. James, et ils s’étonneront que l’auteur n’ait pas pris soin de mieux définir ce qu’il entend lui-même par positivisme, ce qui laisse planer une certaine obscurité sur ses conclusions. Mais il faut prendre cette critique pleine de verve et d’humour pour ce qu’elle est, c’est-à-dire pour la plus amusante des « chroniques » philosophiques. Il est naturel qu’un feu d’ar­tifice qui nous a éblouis laisse après lui que des ténèbres et de la fumée.

4Nous retrouvons l’esprit lucide et pénétrant de M. Pillon dans l’article sur L’évolution historique de l’atomisme (p. 67-208), qui se divise en deux parties. La première, consacrée à l’atomisme envisagé comme hypothèse de cosmologie, montre que cette théorie physique peut s’associer, et même servir d’argument, au spiritualisme théiste et créationniste, car elle repose, comme ce système métaphysique, sur l’impossibilité d’un infini actuellement réalisé. On y voit successivement les atomes corporels de Gassendi, de Cudworth et de Cordemoy triompher avec Newton de la physique infinitiste de Descartes, fondée sur l’hypothèse du plein et du continu ; puis ils se raffinent sous l’influence de la critique à laquelle Locke a soumis l’idée d’espace, dont Leibniz avait montré la relativité ; ils perdent alors l’étendue, incompatible avec leur indivisibilité, et par suite la solidité, devenue inutile pour expliquer le fait de l’impénétrabilité ; ils se réduisent enfin à des points mathématiques, et deviennent les centres de force de Boscovich et de la physique moderne. La seconde partie traite de l’atomisme envisagé comme un système métaphysique, qui exclut le spiritualisme, au moins à l’origine. Les atomes inertes de Démocrite, soumis aux lois purement mécaniques du choc, ont reçu d’Epicure deux principes internes de mouvement : la pesanteur, pour éviter le progrès à l’infini, et le clinamen, pour échapper au déterminisme ; puis, Locke ayant établi la compatibilité de la matière et de la pensée, ils acquirent la sensibilité, l’intelligence et l’activité dans l’atomisme vitaliste et psychique de Maupertuis, de Charles Lemaire et de Mme Clémence Royer. Ainsi la double évolution de l’atomisme scientifique et de l’atomisme métaphysique aboutit à spiritualiser les atomes de deux manières, en les dépouillant de l’étendue et de la figure, qui semblaient en être les caractères essentiels, et en les enrichissant de qualités dynamiques et psychiques qui paraissaient appartenir en propre aux substances spirituelles. « Il suffit de réunir les deux progrès pour passer... de l’atomisme au monadisme. Le monadisme, c’est l’atomisme approfondi, transformé par sa double évolution » (p. 191). Telle est la conclusion de cette étude historique ; elle suffit à en faire deviner l’importance et l’intérêt. Mais ce qu’une sèche et rapide analyse ne peut faire pressentir, c’est la richesse des informations, la vigueur de la discussion, et la logique sévère qui ordonne tant de systèmes et les relie en une composition lumineuse et serrée. On nous excusera de ne pas examiner ce travail solide et nourri ; car si le principal mérite de L’Année philosophique est encore à nos yeux la pensée systématique qui y règne, on comprendra que nous nous attachions surtout à la partie purement dogmatique du livre, où la doctrine néocriticiste s’affirme dans une de ses thèses essentielles.

I

5L’article de M. Renouvier, dont le titre un peu énigmatique : La Philosophie de la règle et du compas, ne révèle pas immédiatement le contenu, comprend deux parties : dans la première (p. 1 à 37) est exposée la théorie criticiste des postulats de la géométrie ; la seconde (p. 37 à 66) est une critique des géométries non euclidiennes. Ces deux questions en apparence distinctes ont entre elles un rapport très étroit, car c’est sur la négation de tel ou tel postulat de la géométrie ordinaire que l’on a construit déductivement les géométries non euclidiennes, de sorte que de la manière dont on comprend les postulats dépend la valeur qu’on attribue à ces géométries. Tel est le sujet de cette étude, dont le sous-titre fait mieux saisir l’unité : Théorie logique du jugement dans ses applications aux idées géométriques et à la méthode des géomètres.

  • 3 Nous appellerons uniformes ou identiques, avec M. Calinon, les espaces qui admettent le mouvement d (...)

6I. — La théorie des postulats repose sur la distinction des jugements analytiques et des jugements synthétiques ; les uns et les autres figurent parmi les principes de la géométrie. Il y a d’abord des jugements analytiques qui ne font que traduire des faits d’intuition. Le premier de ces faits, qui enveloppe tous les autres, est l’espace avec ses trois dimensions indéfinies. Cette intuition primordiale contient les déterminations de droite et de gauche, de dedans et de dehors, qui, indéfinissables en elles-mêmes, servent à définir les parties de l’étendue et le sens des mouvements. Elle implique en outre la possibilité de toutes sortes de figures, de constructions et de mouvements. Les jugements par lesquels nous affirmons ces possibilités ne sauraient être démontrés ; ils sont évidents par intuition, car ils analysent simplement notre idée de l’espace, et en décrivent les caractères irréductibles. Le principal de ces jugements analytiques est la loi de conservation de la figure, que M. Renouvier semble confondre avec le postulat de l’homogénéité de l’espace3, et qui s’énonce : « Toute figure peut se déplacer dans l’espace sans déformation ». Ce jugement constate ou affirme l’identité de nos idées géométriques partout où nous les situons ; il fonde pour ainsi dire la neutralité absolue du lieu, réceptacle amorphe partout identique à lui-même et indifférent à son contenu.

7II. — Les autres jugements analytiques qui se trouvent à la base de la géométrie sont les axiomes ou notions communes d’Euclide ; ce sont, ou des définitions de mots, ou des spécifications du principe d’identité, qui est le fondement et le type des jugements analytiques.

8III. — M. Renouvier commente ingénieusement la définition assez obscure d’Euclide : La ligne droite est celle qui est identiquement placée par rapport à ses points. Il y voit un jugement analytique décrivant l’idée de direction, qui est un élément primitif de notre intuition : c’est l’une quelconque des trois dimensions de l’espace. Des trois demandes d’Euclide : 1D’un point à un autre on peut toujours mener une droite ; 2Une droite finie peut être prolongée continuellement dans sa direction ; 3Deux droites n’enceignent pas un espace, les deux premières sont analytiques, car elles se bornent à rendre explicites les caractères essentiels de l’idée de direction ; elles posent la possibilité de la ligne droite indéfinie, qui est un fait d’intuition. La troisième équivaut à la proposition plus connue des modernes : D’un point à un autre on ne peut mener qu’une droite, qui passe à tort pour un postulat, car elle se déduit analytiquement des deux premières, l’idée d’une direction allant d’un point à un autre impliquant l’unicité de cette direction. Ainsi cette troisième demande ne fait, comme les deux premières, qu’analyser l’idée irréductible de direction, telle qu’elle est donnée dans l’intuition. De même, la possibilité du plan est un fait d’intuition, et par conséquent son affirmation est un jugement analytique.

  • 4 On nous permettra de citer une définition de la convexité qui nous paraît plus claire et plus exact (...)

9IV. — Le véritable postulat de la ligne droite, comme l’a montré Kant, est au contraire ce qui passe vulgairement pour en être la définition : La ligne droite est le plus court chemin d’un point à un autre. Ce postulat de la droite comme distance est manifestement un jugement synthétique, il unit un concept qualitatif, le droit, et un concept quantitatif, le plus court, et celui-ci ne peut évidemment être déduit du premier par aucune analyse, puisqu’ils sont hétérogènes. Si Euclide n’a pas employé ce postulat, c’est qu’il en avait un équivalent, à savoir qu’on peut tracer une circonférence de rayon donné. Dans cette demande, en effet, est impliquée la notion de la droite comme distance, puisque le rayon est pris pour distance du centre à chacun des points de la circonférence. Il faut lui adjoindre le postulat de l’enveloppement, dû aussi à Archimède, et qui peut s’énoncer : De deux lignes convexes du même côté situées dans un même plan et ayant mêmes extrémités l’enveloppante est plus longue que l’enveloppée4. C’est encore la synthèse d’un rapport de figure, à savoir la convexité et l’enveloppement réciproque de deux lignes, et d’un rapport de grandeur, à savoir l’inégalité de leurs longueurs.

10V. — On trouve dans Euclide un autre axiome qui est un exemple frappant de la même synthèse : Tous les angles droits sont égaux entre eux. Comment se fait-il qu’Euclide ait postulé une proposition dont la démonstration paraît si facile aujourd’hui ? C’est qu’Euclide était un criticiste avant la lettre : il a distingué le ποσόν, la quantité fixe de l’angle droit, et le ποιόν, la figure que forme une droite avec une autre qu’elle rencontre perpendiculairement. Il a compris qu’on ne pouvait conclure analytiquement de l’identité de position de tous les angles droits à leur égalité d’ouverture ; et c’est pourquoi il a uni synthétiquement l’idée de la contenance angulaire à celle de perpendicularité ou d’égale inclinaison. Tous ceux qui ont depuis lors cru démontrer l’égalité des angles droits ont confondu deux choses distinctes entre lesquelles toute déduction est impossible : l’identité de position, qui constitue l’égalité géométrique des deux angles adjacents formés par la perpendiculaire, et l’identité de mesure, qui constitue leur égalité arithmétique.

  • 5 Nous avons substitué la rotation d’une droite à celle d’un point, que considère M. Renouvier, et qu (...)

11VI. — Le postulat de perpendicularité que nous venons d’énoncer conduit à formuler celui des parallèles de la manière suivante : La somme des angles décrits par une droite qui tourne toujours dans le même sens autour d’un polygone convexe en s’appliquant successivement sur tous ses côtés et en revenant à sa position initiale est égale à 4 droits5. Sous cette forme, qui parle à l’imagination, le postulat devient aussi évident que possible, par l’analogie qu’il offre avec le théorème connu : La somme des angles formés dans un plan autour d’un point est égale à 4 droits. Ainsi présenté, le postulat de la circonvolution a l’avantage de faire ressortir la synthèse d’une notion de figure (le tour de l’horizon) avec une certaine quantité, à savoir 4 angles droits.

12VII. — Mais le postulat fondamental, le postulat type, pour ainsi dire, est cet axiome d’Euclide : Les figures qui coïncident entre elles sont égales. C’est un véritable jugement synthétique, concluant « de l’identité de figure à l’égalité de mesure numérique. Nulle analyse ne peut nous apprendre que le même de figure est aussi le même de quantité. » Loin d’impliquer l’égalité numérique, qu’on appelle équivalence, l’identité de figure n’en est qu’un cas très particulier : « L’égalité est le genre dont l’identité de figure est une espèce ». Encore faut-il bien remarquer que l’identité de figure ne rentre dans l’égalité que par une synthèse, qui est le postulat de la mesure géométrique. Ce postulat est en quelque sorte la racine des quatre postulats précédemment énumérés, qui définissent : 1la mesure de la distance par la ligne droite ; 2la mesure des longueurs respectives de deux lignes qui s’enveloppent l’une l’autre ; 3la mesure de l’espace angulaire plan autour d’un point par les angles que forment deux droites qui s’y coupent perpendiculairement ; 4la mesure du même espace angulaire plan par la révolution d’une droite sur un contour polygonal.

13Le paragraphe précédent contient des réflexions fort curieuses sur la manière toute géométrique dont les anciens concevaient et prouvaient des égalités que l’on formule aujourd’hui algébriquement ; nous pourrions ajouter aux exemples cités le théorème de Pythagore sur le carré de l’hypoténuse, dont on possède deux démonstrations, l’une géométrique, l’autre arithmétique. Mais nous ne pouvons insister sur ces considérations d’ordre historique, auxquelles M. Renouvier rattache une digression sur la mesure de l’incommensurable et du continu, qu’il juge contradictoire (§ VIII), sur la généralisation du nombre et sur la méthode des limites, qu’il déclare vicieuses (§ IX), et sur la mesure du cercle par Archimède au moyen de cette méthode (§ X). L’auteur y affirme de nouveau les principes bien connus de la critique de l’infini, sur laquelle M. Pillon avait écrit l’an dernier un article magistral. On nous permettra de ne pas nous arrêter sur cette théorie, qui n’est pas essentielle au sujet spécial qui nous occupe ; il faudrait un livre pour examiner et discuter à fond « la viciation de l’idée de nombre » et « la lutte des mathématiques contre l’incommensurable ».

14XI. — M. Renouvier expose ensuite les sophismes de la géométrie générale. Le principe de la géométrie de Lowatchewski est la négation du postulatum d’Euclide : Par un point pris hors d’une droite, on ne peut mener qu’une parallèle à cette droite. Il en résulte que la somme des angles d’un triangle est plus petite que deux droits, et d’autant plus petite que les côtés sont plus grands. L’auteur raille agréablement, les géomètres empiristes qui ont proposé de vérifier le postulatum d’Euclide par des mesures astronomiques, attendu que sur des triangles célestes l’écart entre la somme des angles et deux droits pourrait être sensible en raison de leurs dimensions ; mais il ne montre pas précisément pourquoi une telle vérification expérimentale est impossible.

15XII. — M. Renouvier reproche d’abord aux métagéomètres une erreur en logique formelle : il les accuse de confondre le contradictoire et l’absurde. La négation du postulatum d’Euclide ne contredit pas les autres axiomes et postulats de la géométrie ordinaire, car alors on en pourrait déduire ce postulatum lui-même, et il ne serait plus un postulat ; elle n’est pas non plus contradictoire en soi, sans quoi le postulatum serait un jugement analytique, évident par lui-même. Donc une géométrie fondée sur la négation du postulatum d’Euclide associé aux autres principes de la géométrie euclidienne peut se développer sans contradiction intrinsèque ; ce qui n’empêche pas la négation du postulatum d’être absurde, c’est-à-dire de « contredire les principes régulateurs de l’entendement ». Ainsi l’absence de contradiction interne dans la géométrie de Lowatchewski ne prouve nullement que la négation du postulatum d’Euclide soit légitime, mais seulement que ce postulat est un jugement synthétique et indémontrable.

16XIII. — La négation du postulatum d’Euclide entraîne l’impossibilité de la similitude : dans l’espace de Lowatchewski, deux figures ne peuvent être semblables que si elles sont égales. Il en résulte que la forme d’une figure dépend de sa grandeur : c’est pourquoi la somme des angles d’un triangle est d’autant plus petite que les côtés de ce triangle sont plus grands. Ainsi, dans la géométrie non euclidienne, les grandeurs ont une valeur absolue : tel triangle a tels angles, non seulement, comme dans l’espace euclidien, parce que ses côtés ont telles longueurs relatives, mais parce qu’ils ont telles longueurs absolues. La négation de la similitude ruine enfin le principe d’homogénéité, en vertu duquel les équations de la géométrie analytique restent les mêmes quand on y multiplie toutes les longueurs par un même nombre (les angles restant les mêmes), ce qui revient à transformer les figures par homothétie (similitude de position), ou encore à changer l’unité de mesure des longueurs. Les relations de la géométrie non euclidienne dépendent donc des dimensions absolues des figures, ou du choix de l’unité de longueur. Cette géométrie supprime la relativité de l’étendue, qui est « une grande loi de l’univers », et aboutit à assigner à l’espace lui-même une grandeur déterminée (p. 53), ce qui est le comble de l’absurdité.

17XIV. — La géométrie de Lowatchewski n’est qu’une des innombrables géométries qu’on peut édifier sur la négation des postulats traditionnels. Riemann a posé le principe des géométries non euclidiennes dans toute sa généralité, en appelant espace à n dimensions une multiplicité à n sens, c’est-à-dire une variété continue telle qu’il faut n coordonnées pour en déterminer un point. Un espace en général sera caractérisé par la forme analytique de l’élément linéaire, c’est-à-dire de la différentielle de l’arc de courbe exprimée en fonction des différentielles des coordonnées. Il y aurait ainsi une infinité d’espaces analytiquement possibles, dont l’espace euclidien ne serait qu’un cas très particulier. Mais il est absurde de considérer l’espace dont nous avons l’intuition comme l’espèce du genre : « multiplicité à trois dimensions », que nous ne pouvons représenter que dans cet espace unique, et que nous ne pouvons concevoir que par analogie avec lui. Il est également absurde de prendre arbitrairement une fonction différentielle quelconque pour la définition de l’élément linéaire, sans tenir compte de la forme rectiligne que notre intuition lui impose. M. Helmholtz se flatte en vain de se passer de l’intuition pour constituer une géométrie générale ; on ne peut construire l’espace avec des formules algébriques, et la géométrie analytique ne peut nous servir à concevoir d’autres espaces que celui qui nous est donné, car elle n’a de valeur que pour l’intuition à laquelle elle s’applique. Un espace à plus de trois dimensions n’est rien de plus que l’ensemble d’un certain nombre de variables, qu’il plaît de nommer coor­données d’un point pour leur donner une fausse apparence géométrique ; et les espaces à moins de trois dimensions ne sont que des figures particulières de notre espace total, des abstractions qu’il faut bien se garder de réaliser, car on ne peut les concevoir que dans cet espace. Que si l’on peut attribuer aux surfaces une courbure et une figure propres, parce que ce sont des déterminations de l’espace, on ne peut attribuer une figure et une courbure, encore moins une grandeur absolue, à l’espace lui-même, qui est radicalement informe et indéterminé. Il n’y a rien dans l’espace vide et illimité qui puisse, comme sur une surface, résister au déplacement d’une figure invariable et s’opposer à l’agrandissement d’une figure par similitude. Il est donc bien inutile de supposer, comme M. Helmholtz, que c’est la constatation répétée de faits de ce genre (figures semblables et solides en mouvement) qui a donné lieu à notre conception habituelle de l’espace, et il est faux de dire que les postulats de la géométrie euclidienne sont l’expression de ces faits d’expérience, et traduisent approximativement les propriétés de l’espace réel qu’il nous est donné de percevoir.

  • 6 [Auguste Calinon (1850-1900), polytechnicien, a fait une carrière d’ingénieur. Il a publié, entre a (...)

18XV. — Si l’espace euclidien est une donnée expérimentale, les néogéomètres ont le droit de s’en affranchir, et de construire d’autres espaces en partant d’autres postulats. C’est ainsi que M. de Tilly classe les espaces logiquement possibles par des dichotomies successives, dont chacune laisse le choix entre un des axiomes de la géométrie traditionnelle et sa négation. Les propriétés des divers espaces auxquels conduisent ces alternatives contradictoires dérivent de la définition analytique de la distance de deux points, définition qui est absolument arbitraire, dès qu’on la sépare de l’intuition de la ligne droite. De même, M. Calinon6, rejetant toute donnée soi-disant empirique, définit la ligne droite une ligne telle que par deux points il n’en peut passer qu’une, et sur cette définition de la droite générale (qui est en général une courbe) il fonde une géométrie générale, dont la géométrie euclidienne, avec la ligne droite proprement dite, n’est qu’un cas particulier. Quant à sa prétention de se passer de la notion de ligne droite pour composer la géométrie sphérique, et plus généralement la géométrie des surfaces courbes, elle ne saurait se soutenir, car la ligne droite est impliquée dans le rayon de la sphère et en général dans les rayons de courbure des surfaces, de sorte que l’étude des étendues à deux dimensions suppose, comme M. Liard l’a montré, la considération de l’espace à trois dimensions.

  • 7 [Sur Georges Lechalas, voir Notice de l’Article 2.]

19XVI. — M. Renouvier conclut cette critique des géométries non euclidiennes par un réquisitoire contre les métagéomètres, qu’il accuse d’empirisme, de scepticisme et de mysticisme algébrique. Leur mysticisme consiste à attribuer une sorte de réalité objective et de vertu créatrice aux formules abstraites, et à croire que l’on peut construire des espaces ad libitum avec des symboles analytiques. Ils sont empiristes, puisqu’ils attendent de l’expérience la vérification de l’une des géométries qu’ils déclarent également possibles au point de vue logique. Enfin ils sont sceptiques, attendu qu’ils proposent à la fois plusieurs géométries qui se contredisent et s’excluent, et qu’ils rendent douteuse la vérité des postulats en soutenant la légitimité de leur négation. Ils en arrivent à mettre en question toutes les propriétés de l’espace et même à se demander, comme M. Calinon, si la courbure de l’espace ne varierait pas avec le temps, de sorte que, même en admettant qu’il fût sensiblement homaloïde (sans courbure) aujourd’hui, il pourrait se déformer peu à peu et déformer en même temps tous les corps qu’il contient. L’auteur recueille l’aveu de M. Lechalas7, qui reconnaît que les données intui­tives sont nécessaires à la constitution d’une géométrie quelconque, et il montre que les postulats formulent justement ces hypothèses fondamentales qui sont la matière indispensable du calcul, et dont la géométrie ne saurait se passer. Toutes les tentatives des néogéomètres pour ébranler la certitude des postulats confirment donc la théorie criticiste, à savoir que l’analyse pure, fondée uniquement sur le principe formel de contradiction, ne peut suffire à engendrer les vérités géométriques avec leur contenu concret, et que les formules vides de l’algèbre ne prennent un sens géométrique et pour ainsi dire un corps que grâce aux jugements synthétiques a priori fondés sur l’intuition de l’espace.

II

  • 8 Revue générale des sciences pures et appliquées, 2e année, no 23 (15 déc. 1891). [Cet article est r (...)

20On n’attend pas de nous, assurément, une discussion complète et approfondie de la doctrine que nous venons d’exposer. Sur la question des géométries non euclidiennes, nous ne pouvons mieux faire que de renvoyer le lecteur à l’article substantiel et définitif où M. Poincaré a résumé, avec autant de clarté que de concision, les principes essentiels et les résultats les plus intéressants de ces singulières théories8. Nous nous contenterons du rôle modeste, mais utile, d’interprète du savant mathématicien ; car, de son propre aveu, il affirme plus qu’il ne prouve, et ses affirmations sont tellement condensées, qu’elles ont besoin, croyons-nous, d’un commentaire pour devenir accessibles aux « profanes ». L’auteur commence par établir que le postulatum d’Euclide n’est pas démontrable, puisque l’on peut construire des géométries en prenant pour principe la négation de ce postulat, sans jamais être arrêté par une contradiction. La géométrie de Lowatchewski, par exemple, offre un développement aussi logique et un enchaînement aussi rigoureux que celle d’Euclide. En effet, on peut traduire les théorèmes de Lowatchewski en propositions euclidiennes au moyen d’une sorte de dictionnaire qui établit une correspondance parfaite entre les figures euclidiennes et celles de l’espace non euclidien. « Si deux théorèmes de Lowatchewski étaient contradictoires, il en serait de même des traductions de ces deux théorèmes, faites à l’aide de notre dictionnaire ; mais ces traductions sont des théorèmes de géométrie ordinaire, et personne ne doute que la géométrie ordinaire ne soit exempte de contradiction. » Cela prouve bien que le postulatum d’Euclide ne peut se déduire des autres axiomes de la géométrie euclidienne et, en même temps, qu’il caractérise l’espace euclidien par opposition à une infinité d’autres espaces à trois dimensions.

  • 9 Cf. Paul Tannery, La Géométrie imaginaire et la notion d’espace, ap. Revue philosophique, t. III [1 (...)
  • 10 Revue philosophique, [t. XXXII], octobre 1891 : les Espaces géométriques.
  • 11 Nous parlons ici au point de vue strictement logique, sans méconnaître la valeur des explications m (...)

21Pour faire comprendre cette idée étrange de divers espaces possibles à trois dimensions, qui s’est imposée en vertu de l’analogie à l’esprit des géomètres modernes, rappelons que, dans une courbe, on définit sous le nom de courbure une certaine fonction des coordonnées de chacun de ses points : la courbe de courbure constamment nulle est la droite ; la courbe de courbure constante (dans le plan) est le cercle. De même, dans une surface, on définit sous le nom de courbure totale une fonction analogue des coordonnées de chacun de ses points ; les surfaces dont la courbure totale est constamment nulle sont le plan et les surfaces développables, c’est-à-dire applicables sur un plan. Les surfaces dont la courbure totale est constante et positive sont la sphère et les surfaces applicables sur une sphère. Enfin, parmi les surfaces à courbures opposées, dites à courbure totale négative (telles qu’un paraboloïde hyperbolique ou vulgairement une selle de cheval), celles dont la courbure totale est constante sont les pseudosphériques de Beltrami9. Or, si l’on définit, avec Riemann, un espace quelconque par son élément linéaire, c’est-à-dire par la distance de deux points infiniment voisins, on détermine par là même les lignes géodésiques (les plus courtes) de cet espace ; et si l’on prolonge en lignes géodésiques les éléments linéaires issus d’un point donné et contenus dans un élément superficiel donné, on obtient une surface déterminée qui a en ce point une courbure déterminée. C’est ce que Riemann appelle la courbure de l’espace considéré en ce point et pour cet élément superficiel. On conçoit que cette courbure puisse être la même pour tous les éléments superficiels en tous les points d’un espace à n dimensions ; on dit alors que cet espace lui-même a une courbure constante. L’espace dont la courbure est constamment nulle, étant analogue au plan, sera dit homaloïde ; les espaces à courbure constante, positive ou négative, seront analogues respectivement à la sphère et à la pseudosphère ; et de même qu’il y a une infinité de sphères de courbure différente, caractérisées par la longueur de leur rayon, chaque espace anomaloïde sera défini par un certain paramètre, qu’on appelle son rayon de courbure. L’espace homaloïde, ou euclidien, correspond à une valeur particulière de ce paramètre ; il est intermédiaire entre les espaces à courbure constante positive, auxquels s’applique la géométrie de Riemann, et les espaces à courbure constante négative, auxquels s’applique celle de Lowatchewski. Les uns et les autres jouissent, comme l’espace euclidien, de cette propriété, qu’une figure peut s’y déplacer sans déformation ; de même qu’une portion de surface peut glisser sans déformation sur le plan ou la sphère, et qu’un segment linéaire peut glisser sans déformation le long d’une droite ou d’un cercle. Mais, outre ces espaces à courbure constante, on peut concevoir des espaces à courbure variable (en leurs différents points), analogues aux surfaces à courbure variable, et manquant, comme elles, de la propriété que nous venons d’énoncer. C’est ainsi, pour reprendre un exemple de M. Calinon10, qu’on ne peut appliquer sur le gros bout d’un œuf un fragment de la surface du petit bout « sans déchi­rure ni duplicature », et par suite on ne peut transporter sans déformation une figure quelconque sur une surface ovoïde. De même, dans un espace à courbure variable, ou bien une figure sera invariable et ne pourra s’y mouvoir, ou bien elle s’y déplacera, mais en se déformant. Sans doute, pour pouvoir construire et comparer entre eux ces divers espaces à trois dimensions, il faudrait disposer d’un espace à quatre dimensions, mais il suffit qu’on puisse concevoir ce dernier. Or rien n’empêche de le concevoir, car l’idée d’un espace à quatre dimensions n’est pas plus contradictoire que celle d’un espace à trois dimensions ; tout ce qu’on en peut dire, c’est que nous n’en avons pas l’intuition, et cela ne suffit pas pour qu’une telle considération soit absurde. Que notre intuition soit empirique ou a priori, il n’en est pas moins vrai que le nombre des dimensions de l’espace s’impose à notre esprit à la manière d’un fait donné, et qu’il n’y a pas de raison pour que ce nombre soit 3 plutôt que 2 ou 411. Bien mieux : quel que fût ce nombre n, il y aurait toujours une raison pour concevoir un espace à (+ 1) dimensions, que par hypothèse on ne pourrait imaginer, et cela, pour se rendre compte analytiquement des propriétés de l’espace à n dimensions dont on aurait l’intuition. Nous pouvons, en tout cas, nous figurer les espaces à deux dimensions (plans) de Riemann et de Lowatchewski, car ils sont contenus dans l’espace euclidien et y coexistent : le premier est une surface sphérique, le second une surface pseudosphérique. On peut donc se représenter ce qui équivaut à la géométrie plane dans les géométries de Riemann et de Lowatchewski ; et par là même se trouve vérifiée la possibilité logique de ces deux géométries.

22Ainsi, non seulement les géométries non euclidiennes sont, chacune en elle-même, exemptes de contradiction aussi bien que la géométrie euclidienne, comme le reconnaît du reste M. Renouvier, mais elles ne se contredisent même pas entre elles, car elles pourraient se réconcilier toutes dans un espace à quatre dimensions ; tout comme nous pouvons considérer et distinguer dans l’espace ordinaire, outre le plan et coexistant avec lui, une infinité de sphères de rayons différents et même de surfaces de toutes formes et de toutes courbures. M. Renouvier est donc trop sévère pour la géométrie générale, quand il l’accuse d’être contradictoire et d’engendrer le scepticisme mathématique. Il oublie que les diverses géométries à trois dimensions s’appliquent chacune à un espace différent : par exemple, dans l’espace euclidien, la somme des angles d’un triangle est égale à deux droits ; dans l’espace de Riemann, elle est plus grande que deux droits ; dans l’espace de Lowatchewski, elle est plus petite que deux droits. Ces trois théorèmes, en apparence contradictoires, sont si bien compatibles, qu’ils sont valables respectivement pour le plan, la sphère et la pseudosphère de l’espace euclidien ; le premier est vrai des triangles rectilignes, le second des triangles sphériques, le troisième des triangles pseudosphériques ; en quoi y a-t-il là la moindre contradiction ?

  • 12 M. Poincaré a confirmé cette conclusion en repoussant, dans une note ultérieure, la prétention de M (...)

23Nous espérons que les explications précédentes aideront le lecteur à comprendre la conclusion de M. Poincaré : « Cette question : La géométrie euclidienne est-elle vraie ? n’a aucun sens. Autant vaudrait demander si le système métrique est vrai et les anciennes mesures fausses ; si les coordonnées cartésiennes sont vraies et les coordonnées polaires fausses » ; — ajoutons, pour donner un exemple d’une analogie plus probante : « si la géométrie plane est vraie et la géométrie sphérique fausse ». Il ne faut donc pas croire, comme la plupart des géomètres, que l’expérience seule puisse décider entre toutes ces géométries également valables au point de vue logique. En effet, toute vérification expérimentale est et ne peut être qu’approximative, et par conséquent aucune expérience ne pourra prouver que l’espace réel (en admettant que cette locution ait un sens) est absolument euclidien. Les néogéomètres semblent donc commettre un cercle vicieux quand ils soutiennent, d’une part, que si notre géométrie est euclidienne, c’est parce que l’espace réel est euclidien, et d’autre part, que nous ne pourrons jamais nous assurer que notre espace soit exactement euclidien ; car comment un espace sensiblement euclidien, comme serait nécessairement celui de notre expérience, aurait-il pu nous donner l’idée d’un espace rigoureusement euclidien ? D’ailleurs M. Poincaré lui-même s’est nettement prononcé contre l’empirisme naïf de certains mathématiciens qui s’imaginent que « l’Univers » leur est donné immédiatement dans la perception avec ses lois, et qui croient constater comme des « faits physiques » des relations abstraites comme celle d’égalité : « Si la géométrie était une science expérimentale, elle ne serait pas une science exacte » ; et il en conclut que les postulats ne sont pas des vérités expérimentales12.

24Parmi les raisons qu’il donne à l’appui de cette assertion, il en est une qui nous semble frappante. Certains métagéomètres se sont demandé si par hasard l’espace réel ne serait pas anomaloïde, et pour le vérifier, ils ont proposé de s’adresser à l’astronomie. En effet, comme l’aire d’un triangle sphérique a pour mesure l’excès de la somme de ses trois angles sur deux droits, cet excès sphérique est d’autant plus grand que le triangle lui-même est plus grand ; de sorte que si l’espace était légèrement anomaloïde, on pourrait s’en apercevoir en constatant un excès sphérique dans les triangles astronomiques. M. Poincaré montre péremptoirement que ces présomptions sont tout à fait chimériques, et que l’astronomie ne fournit aucun moyen de vérifier si notre espace est bien homaloïde. En effet, ce qu’on appelle ligne droite en astronomie, c’est simplement la trajectoire du rayon lumineux ; donc, si par impossible on venait à constater un excès sphérique dans un triangle ayant pour sommets des astres et pour côtés les rayons lumineux issus de ces astres, « on aurait le choix entre deux conclusions : ou bien renoncer à la géométrie euclidienne, ou bien modifier les lois de l’optique et admettre que la lumière ne se propage pas rigoureusement en ligne droite. Inutile d’ajouter que tout le monde regarderait cette dernière solution comme plus avantageuse », ou plutôt qu’on ne penserait pas un seul instant à la première. Nous en concluons, avec l’auteur, que toute vérification expérimentale du postulatum d’Euclide est impossible, et que notre géométrie n’a rien à espérer ni à craindre de la part de l’expérience.

25Bien plus, M. Poincaré donne raison implicitement au criticisme, et apporte à la thèse de l’idéalité de l’espace un argument précieux et, selon nous, décisif. Il soutient que si nous étions brusquement transportés dans un espace anomaloïde ou dans un monde à quatre dimensions, nous n’aurions pas de difficulté à en rapporter les phénomènes à notre espace euclidien. On peut encore rendre compte de ce paradoxe par une analogie. On sait que certaines surfaces peuvent s’appliquer les unes sur les autres, c’est-à-dire que si l’on suppose l’une d’elles flexible et inextensible, elle peut venir coïncider dans toutes ses parties avec une autre, de sorte que les angles et les longueurs des lignes se conservent ; en particulier, les surfaces développables sont ainsi nommées parce qu’elles peuvent se dérouler sur un plan. Il est évident que cette propriété établit une correspondance parfaite entre les points, lignes et figures de deux surfaces applicables l’une sur l’autre, puisqu’on peut les amener à coïncider ; c’est ainsi qu’on peut reproduire en vraie grandeur sur un plan les figures tracées sur un cylindre ou sur un cône. Mais on peut aussi établir entre des surfaces non applicables une correspondance uniforme qui permette de les représenter l’une par l’autre ; bien entendu, les figures sont alors plus ou moins déformées. II y a pourtant certains cas où l’on peut conserver les angles, et par suite assurer la similitude des figures infiniment petites qui se correspondent : par exemple, le problème des cartes géographiques consiste à représenter de cette manière une surface courbe sur un plan. On peut même représenter une surface infinie par une surface finie, et réciproquement, en les faisant correspondre point par point ; ainsi on projettera un plan illimité sur un hémisphère, en faisant correspondre à chaque point du plan le point où la droite qui le joint au centre de la sphère en perce la surface (perspective sphérique). De même, M. Beltrami a représenté dans l’espace euclidien le plan de Lowatchewski par l’aire d’un cercle, et l’espace de Lowatchewski par le volume d’une sphère, de sorte qu’on peut se rendre compte intuitivement des propriétés et des relations de toutes les figures construites dans un espace à courbure constante négative ; et ce n’est pas la seule manière de représenter un tel espace dans l’espace euclidien, comme le prouve le dictionnaire que propose M. Poincaré. Enfin, de même qu’on projette par perspective l’espace à trois dimensions sur une sphère ou sur un plan, il est clair qu’on peut projeter un espace à quatre dimensions dans l’espace euclidien. Ainsi l’espace homaloïde peut servir à représenter toutes sortes d’espaces à trois ou à quatre dimensions, de sorte que si nous étions transportés dans ces espaces, non seulement nous n’aurions pas de peine à nous y recon­naître, mais il nous serait impossible de nous les figurer autrement, aucune expérience ne pouvant contredire notre intuition de l’espace. Toutes ces considérations, loin de réduire l’espace euclidien à un fait de perception confirmé par une expérience héréditaire, font plutôt présumer qu’il fait partie de notre constitution mentale, et qu’il est une condition de toute expérience.

26Nous ne pouvons toutefois oublier que M. Poincaré semble réprouver en propres termes la théorie criticiste des postulats : « Les axiomes géométriques ne sont ni des jugements synthétiques a priori ni des faits expérimentaux ». Mais pourquoi, selon notre auteur, les postulats ne sont-ils pas des jugements synthétiques a priori ? C’est parce que la négation n’en est ni inconcevable ni contradictoire. Or il est manifeste que l’expression a trahi sa pensée : en effet, le critérium du jugement analytique et du jugement synthétique est que la négation du premier implique contradiction, attendu que l’attribut est compris dans le sujet, et que la négation du second n’implique pas contradiction, puisque le sujet et l’attribut sont logiquement indépendants. M. Poincaré nous permettra donc de rectifier une simple erreur de vocabulaire, et d’énoncer sa conclusion sous la forme suivante, qui traduit sa véritable pensée : « Les postulats ne sont ni des jugements analytiques ni des faits expérimentaux ». Rien n’empêche, au contraire, qu’ils soient des jugements synthétiques a priori, ce qui ne contredit nullement la théorie de M. Poincaré, à savoir que ce sont des conventions arbitraires, des définitions déguisées. En effet, les postulats sont arbitraires, en ce sens qu’ils n’ont aucune nécessité logique, et ne relèvent pas du principe de contradiction ; mais l’auteur reconnaît qu’en fait, « notre choix, parmi toutes les conventions possibles, est guidé par des faits expérimentaux » ; à moins qu’ils ne s’imposent à l’esprit par une nécessité d’ordre esthétique, pour parler le langage de Kant, parce qu’ils définissent l’espace euclidien, forme a priori de la sensibilité.

  • 13 [Calinon, Les espaces géométriques], Revue philosophique, t. XXVII, p. 595.
  • 14 [Calinon, Les espaces géométriques, Revue philosophique, t. XXXII], p. 375.

27En somme, M. Poincaré s’accorde avec M. Renouvier pour condamner l’empirisme ou le réalisme des métagéomètres, qui est au fond contradictoire avec leurs propres théories, et qui montre seulement combien les mathématiciens auraient besoin d’une culture philosophique qui leur fait trop souvent défaut. Il est juste pourtant de reconnaître que tous ceux qui ont profondément réfléchi sur leur science, et qui la comprennent, s’affranchissent peu à peu du préjugé vulgaire qui leur fait considérer en général comme des faits expérimentaux et physiquement constatés toutes les données primitives des mathématiques, telles que l’espace, le temps et même le nombre. Par exemple, M. Calinon lui-même, qui soutenait (juin 1889)13 que la notion d’espace homogène est « le résultat d’une très longue expérience », ne croit plus (octobre 1891)14 « que les données premières de la géométrie se réduisent à une simple notion empirique », et il en donne d’excellentes raisons, les mêmes au fond que M. Poincaré. Il y a donc lieu d’espérer que les mathématiciens et les philosophes arriveront à se mettre d’accord sur les principes de la géométrie et en particulier sur la question des postulats ; mais pour cela il faut que les savants renoncent à supprimer ou à trancher trop légèrement les problèmes d’ordre métaphysique qui se trouvent à la base des mathématiques, et que les philosophes ne méconnaissent plus la valeur logique et l’intérêt philosophique des généralisations les plus hardies de la science, telles que les géométries non euclidiennes. Il est dès maintenant établi, par les mathématiciens eux-mêmes, que des postulats sont indispensables à la constitution de toute géométrie, et c’est ainsi que la géométrie générale, qui paraît absurde et extravagante à M. Renouvier, apporte au contraire à sa doctrine une confirmation inattendue.

  • 15 Cf. Rouché et Comberousse, Éléments de géométrie (Gauthier-Villars, 1888).
  • 16 Cf. Houel, Essai critique sur les principes fondamentaux de la géométrie élémentaire, p. 14, 16 et (...)

28Nous allons maintenant examiner quelques-unes des propositions que M. Renouvier considère comme des jugements synthétiques, et demander aux mathématiciens si ce sont des postulats. Ils ont définitivement renoncé à la définition traditionnelle : « La ligne droite est le plus court chemin d’un point à un autre ». M. Renouvier la considère comme un jugement synthétique unissant l’intuition du distant, c’est-à-dire de deux points distincts, avec l’idée du quantum, de leur distance comparée à d’autres, et plus ou moins grande. Or ce prétendu postulat est un théorème démontrable, et même démontré15. On n’a pas à postuler que la ligne droite est le plus court chemin d’un point à un autre, pour l’excellente raison qu’on ne sait pas, au début de la géométrie, ce que c’est que la longueur d’un chemin quelconque. On appelle distance de deux points la ligne droite qui les joint : il n’y a donc pas de « postulat de la droite comme distance » ; c’est une simple convention, ou, si l’on veut, une définition de mot. On définit ensuite l’égalité de deux droites finies, par leur coïncidence ; puis la somme de deux segments rectilignes, par leur contiguïté sur une même droite ; enfin la longueur d’une droite finie, par une suite de superpositions. On démontre alors que dans un triangle un côté quelconque est plus petit que la somme des deux autres (prop. 20 d’Euclide). Cette démonstration, indépendante du postulat des parallèles, suppose seulement la troisième demande d’Euclide : « On peut décrire un cercle d’un point quelconque comme centre avec un rayon quelconque ». Or cette demande n’équivaut nullement au postulat de la droite comme distance ; elle est au contraire un cas particulier de ce postulat de l’uniformité de l’espace, que M. Renouvier refuse d’admettre16. Le théorème précédent s’étend ensuite à une ligne brisée quelconque comparée à une droite ayant mêmes extrémités. Sans doute, cette généralisation fait appel à l’intuition, comme beaucoup d’autres démonstrations géométriques ; mais il suffit, pour qu’elle soit valable, qu’elle ne dépende pas de la figure particulière que l’on considère, et que l’on voie clairement que la construction s’applique également à tous les cas possibles ; sans quoi l’on ne pourrait jamais démontrer aucun théorème sur les polygones d’un nombre quelconque de côtés, ni même sur les triangles en général : car pourquoi affirme-t-on d’un triangle quelconque ce qu’on a prouvé sur un triangle particulier, et d’un polygone de n côtés ce qu’on a démontré pour un polygone de 7 côtés, si ce n’est parce que la démonstration est indépendante du nombre des côtés, et parce qu’il n’y a pas de raison pour que les mêmes constructions et les mêmes raisonnements ne s’appliquent pas à toute autre figure vérifiant les conditions de l’énoncé ? Ainsi l’on peut démontrer au moyen des axiomes de la géométrie élémentaire, et même sans invoquer le postulatum d’Euclide, que la ligne droite est plus courte que toute ligne brisée ayant mêmes extrémités.

  • 17 Cf. Rouché et Comberousse, op. cit., note II.

29Le postulat de l’enveloppement se démontre pour les lignes brisées aussi bien que le postulat de la ligne droite. Euclide l’a établi pour les lignes brisées à deux côtés seulement (prop. 21) ; ce théorème se généralise tout comme la proposition 20, et sans plus de difficulté logique, quoi qu’en dise M. Renouvier. Que si la « construction ne peut jamais atteindre à la généralité de l’énoncé, mais dépend du cas particulier de la figure », c’est là un reproche qui s’adresse en général à toutes les démonstrations géométriques fondées sur l’intuition, et qui surprend de la part d’un auteur qui fait reposer les définitions géométriques sur des faits d’intuition ; les remarques que nous avons faites plus haut sont propres à lever ces scrupules et à justifier les deux théorèmes en question dans leur extension aux lignes brisées. Quant aux lignes courbes, on en définit la longueur dans le calcul intégral, car l’un des objets de ce calcul est précisément l’évaluation des longueurs curvilignes, qui échappe à la géométrie élémentaire. La longueur d’un arc de courbe est la limite vers laquelle tend le périmètre d’une ligne brisée inscrite dans cet arc et dont tous les côtés tendent à s’annuler. On démontre que cette limite existe, et qu’elle est unique17. M. Renouvier semble croire que la longueur d’une courbe existe par elle-même, et est une grandeur distincte de la limite des périmètres des lignes brisées inscrites, qu’on identifie arbitrairement à cette limite. C’est ce que les mathématiciens ne sauraient lui accorder, puisque pour eux cette limite est par définition la longueur de la courbe. Le « passage des lignes polygonales aux lignes courbes » est donc légitime, et par là on achève de démontrer dans sa généralité cette proposition : « La ligne droite est le plus court chemin d’un point à un autre », qui n’a de sens que lorsqu’on a défini la longueur d’une courbe. Voilà pourquoi « Euclide n’a pas comparé sous le rapport de la longueur des lignes droites à des lignes courbes ». Ni lui ni aucun autre géomètre n’a songé à les comparer directement, parce qu’en effet elles sont incomparables. Non seulement la ligne droite est l’étalon de longueur, mais elle est la seule ligne qui ait primitivement une longueur, de sorte que ce qu’on appelle la longueur d’une courbe se réduit à une longueur rectiligne : c’est ce qu’exprime à merveille la locution « rectifier un arc de courbe » par laquelle on désigne en analyse le calcul de la longueur de cet arc.

30Le postulat de perpendicularité n’existe pas plus que le postulat de la droite comme distance, et pour les mêmes raisons. M. Renouvier distingue dans un angle la qualité, c’est-à-dire la configuration, et la quantité, c’est-à-dire l’ouverture, qui devient sensible quand on engendre l’angle par la rotation d’un de ses côtés ; et il discerne dans la proposition : « Tous les angles droits sont égaux » deux sens de l’égalité : l’égalité arithmétique ou de mesure, et l’égalité géométrique ou de position. C’est la synthèse de ces deux égalités hétérogènes qui constituerait le postulat de la mesure de l’angle. Or on n’a pas à faire cette synthèse, car l’égalité arithmétique des angles est logiquement postérieure à leur égalité géométrique, c’est-à-dire à la possibilité de leur superposition ; et c’est justement parce que tous les angles droits sont égaux qu’on peut les prendre pour unité de mesure. La constance de l’angle droit est donc le fondement de la mesure des angles ; et loin de s’ajouter synthétiquement à l’égalité de position, l’égalité de mesure s’en déduit analytiquement. En effet, c’est par des superpositions et additions d’angles droits et de fractions aliquotes d’angle droit qu’on mesure tous les angles : si deux angles ont même mesure, c’est parce qu’ils contiennent un même nombre de fois l’unité, c’est donc qu’ils sont superposables : ils sont égaux numériquement, parce qu’ils sont égaux géométriquement. Quant aux angles droits eux-mêmes, on constate après coup qu’ils sont numériquement égaux, par définition si on les prend pour unités, et par mesure si l’on prend pour unité une partie aliquote de l’angle droit ; car puisque deux angles droits sont superposables, ils contiendront le même nombre d’unités. Ainsi l’égalité arithmétique dérive de l’égalité géométrique, et elle n’a de sens que comme substitut de celle-ci ; la mesure n’étant que la constatation d’un certain nombre de coïncidences, l’identité de mesure est impliquée dans l’identité de position.

  • 18 Nous citons ici une leçon sur la mesure des grandeurs professée par M. Jules Tannery à l’École Norm (...)

31Le postulat précédent n’est qu’une spécification du postulat de la mesure géométrique. Or l’axiome : « Deux figures sont égales quand elles peuvent coïncider entièrement » n’est pas un postulat : c’est la définition de l’égalité géométrique. Il est donc vain d’y chercher une synthèse de la quantité et de la qualité, de l’identité numérique et de l’identité de position. En effet, il faut bien remarquer qu’on ne définit aucune des grandeurs mathématiques simples et irréductibles, telles que les longueurs de droites et les ouvertures d’angles. On définit seulement leur égalité, et cette définition, jointe à celle de leur addition et soumise à certaines conditions, suffit à caractériser chaque espèce de grandeurs ; elle est d’ailleurs nécessaire pour les soumettre à la mesure et les faire entrer dans le calcul : « Pour qu’une grandeur soit mesurable », c’est-à-dire pour qu’on puisse la représenter par un nombre, « il faut qu’on ait préalablement défini l’égalité de deux grandeurs de même espèce18 ». Ainsi la notion de mesure est dérivée de celle d’égalité ; et en effet celle-ci est bien plus simple et plus claire que celle-là. Il ne faut donc pas dire que « l’égalité suppose la mesure » (p. 36), car au contraire c’est la mesure qui suppose l’égalité ; ni que « deux figures superposables sont égales, c’est-à-dire ont même mesure » (ibid.), mais qu’elles ont même mesure parce qu’elles sont égales, c’est-à-dire superposables. D’ailleurs, si « l’égalité est le genre dont l’identité de figure est une espèce », la première peut se déduire analytiquement de la seconde, puisque celle-ci embrasse celle-là dans sa compréhension ; et si l’égalité numérique ou équivalence est plus générale que l’égalité géométrique, c’est parce qu’elle suppose qu’on sait mesurer chaque espèce de grandeurs, et par suite qu’on a défini géométriquement leur égalité. L’inégalité ne suppose pas plus que l’égalité l’idée de la mesure ; bien au contraire, la mesure des grandeurs suppose qu’on a défini leur inégalité. Aussi peut-on comparer entre elles deux grandeurs incommensurables et dire que l’une est plus grande que l’autre : par exemple, de ce qu’on sait que la perpendiculaire est plus courte que toute oblique, on peut déduire que la diagonale du carré est plus longue que le côté, sans qu’une telle proposition implique le moins du monde l’existence d’une commune mesure. On peut donc appliquer valablement à deux grandeurs incommensurables le raisonnement : ni plus grand, ni plus petit, donc égal, que réprouve M. Renouvier. C’est que, pour définir l’inégalité de deux grandeurs, on n’a besoin que d’avoir défini l’égalité et la somme de deux grandeurs de la même espèce, et, loin d’impliquer la possibilité de la mesure, cette définition de l’inégalité est encore une des conditions nécessaires pour qu’une grandeur soit mesurable.

32De tous les postulats énumérés par M. Renouvier, il ne subsiste que le postulat de la circonvolution ; encore faut-il remarquer que cette forme intuitive du postulatum d’Euclide n’est pas la plus simple ni la plus claire. Il vaut mieux, selon nous, l’énoncer comme suit : « Par un point pris hors d’une droite on peut mener une parallèle, et une seule, à cette droite. » Il est vrai que sous cette forme le postulat des parallèles perd son caractère synthétique ; mais il a l’avantage, aux yeux des géomètres, de distinguer nettement l’espace euclidien de l’espace de Riemann, où l’on ne peut mener aucune parallèle à une droite donnée, et de l’espace de Lowatchewski, où l’on peut en mener une infinité.

  • 19 Car M. Renouvier n’admettrait pas, sans doute, que ce point s’éloignât à l’infini.

33En revanche, M. Renouvier considère comme un jugement analytique cette proposition : « Il n’existe qu’une droite passant par deux points donnés » ; et pour le montrer, il invoque l’idée de la direction, qui en implique l'unicité. Or il semble bien que l’idée de direction n’est autre que l’idée de la droite elle-même ; donc, si l’on admet que la direction qui va d’un point à un autre est unique, on suppose précisément ce qui est en question. De plus, en définissant la droite par la direction, on lui donne un sens qui n’est pas un élément essentiel de cette figure ; on lui assigne arbitrairement une origine et un terme, on en fait ce qu’on nomme en géométrie analytique un vecteur ou une quantité dirigée. Outre l’inconvénient logique qu’il y a à compliquer inutilement une notion simple, et à y introduire une détermination qui lui est primitivement étrangère, cette définition, au lieu de supprimer un postulat, en rend nécessaire un autre, qui paraît superflu à M. Renouvier, à savoir que la direction qui va de A en B coïncide avec celle qui va de B en A. Enfin, si l’on définit la droite par son point de départ et son point d’arrivée, on en fait une figure essentiellement limitée, ce qui rend impossible la prolongation indéfinie de la droite dans les deux sens (2e demande d’Euclide). Si au contraire on définit la ligne droite par sa propriété essentielle, la seule qui intervienne dans les démonstrations : « une ligne telle qu’on n’en peut mener qu’une par deux points donnés », on pourra ensuite y distinguer deux sens opposés, et découper sur cette ligne supposée indéfinie des segments limités, ce qui est assurément plus facile que de prolonger une direction au-delà du point qui la termine et la détermine à la fois, et sans lequel elle n’existerait pas19. Pour toutes ces raisons il vaut mieux définir la direction par la droite que la droite par la direction.

  • 20 [Calinon, Les espaces géométriques], Revue philosophique, juin 1889 (tome XXVII).

34On dira peut-être que l’on fait appel, pour décrire l’intuition indéfinissable de la droite, à l’idée de direction prise dans son sens vague et usuel. Elle ne se confondra plus alors avec l’idée de droite, mais elle n’impliquera plus l’unicité. Par exemple, on parle couramment de la direction suivie par un vaisseau, sur l’océan ; or on sait fort bien qu’il se meut sur une surface sphéroïdale ; on entend donc par direction ce que les géomètres appellent une ligne géodésique de cette surface. Les lignes géodésiques de la sphère sont des grands cercles : on pourra dire, si l’on veut, qu’un grand cercle représente une direction à la surface de la sphère, et cette expression est jusqu’à un certain point légitime, car les lignes géodésiques d’une surface sont les plus courts chemins entre deux points sur cette surface, et elles jouissent des deux propriétés mécaniques qui caractérisent la ligne droite dans l’espace : c’est la figure d’un fil tendu, et c’est la trajectoire d’un point lancé avec une vitesse initiale, quand aucune force n’agit ni sur le point ni sur le fil. De plus, il n’y a en général qu’un grand cercle qui passe par deux points donnés à la surface sphérique ; c’est une analogie de plus avec la droite. Seulement, dans le cas particulier où les deux points sont diamétralement opposés, il y a une infinité de grands cercles qui les joignent, et l’on devra dire qu’il y a une infinité de directions qui mènent de l’un à l’autre. Or c’est justement ce qui arrive dans la géo­métrie de Riemann, qui n’est que la géométrie sphérique étendue à trois dimensions ; et l’on voit en même temps pourquoi il n’y existe pas de parallèles : c’est pour la même raison que deux grands cercles de la sphère se rencontrent toujours. En somme, ou bien l’idée de direction est identique à celle de droite, et alors elle contient déjà implicitement l’unicité de la droite ; ou bien elle est plus générale, et alors la pluralité des directions qui passent par deux points donnés n’est pas contradictoire. De toute façon, la proposition : « Par deux points ne peut passer qu’une droite » définit non seulement la droite, mais la nature de l’espace où cette ligne se trouve ; et elle implique un postulat commun aux espaces d’Euclide et de Lowatchewski, à savoir : « II existe une ligne déterminée par deux de ses points, c’est-à-dire qui reste immobile quand l’espace tourne autour de deux points fixes ; et cette ligne est unique ». Mais la droite générale que nous venons de définir n’appartient pas exclusivement à l’espace euclidien, de sorte que, pour achever de définir la droite euclidienne, il faut, comme l’a montré M. Calinon20, ajouter au postulat précédent le postulatum d’Euclide, qui seul distingue l’espace d’Euclide de celui de Lowatchewski, tandis que le postulat de l’unicité de la ligne droite les distingue tous deux de celui de Riemann.

  • 21 C’est ainsi que nous comprenons cette vue métaphysique de M. Lachelier : « ... La perception réfléc (...)

35Quant au postulat de l’uniformité de l’espace, qui est commun aux trois espaces précédents, et que M. Renouvier rejette comme inutile, il est le fondement nécessaire de la mesure et de toutes les constructions géométriques, qui supposent la possibilité du mouvement d’une figure invariable. Il est d’ailleurs impliqué dans la définition même de l’égalité géométrique : « Deux figures sont égales quand elles sont superposables ». En effet, pour superposer deux figures par hypothèse distinctes dans l’espace, il faut déplacer au moins l’une d’elles ; on postule donc implicitement qu’elle ne change pas de grandeur ni de forme dans ce déplacement : car si elle devenait égale à l’autre au moment où elle coïncide avec elle, elle ne lui serait plus égale dès qu’elle s’en séparerait. Autrement dit, on suppose qu’une figure reste identique à elle-même dans toutes ses positions, et c’est ce qu’on exprime en disant que l’espace est partout identique à lui-même. Disons mieux : lors même que l’espace réel ne serait pas du tout uniforme, cette définition le rendrait uniforme, puisqu’il suffirait que deux figures pussent coïncider une fois pour rester égales, par définition, dans tous leurs mouvements et dans toutes leurs apparentes déformations. À ceux à qui cette notion d’espace non uniforme paraîtrait bizarre, nous répondrons que rien n’est plus naturel ni plus familier, car nous en avons constamment l’expérience : en effet, l’étendue visuelle est une surface diversement colorée, et les figures qui s’y trouvent peintes changent sans cesse de forme et de proportion. Mais nous ne nous contentons pas de cet espace non uniforme à deux dimensions ; et si nous sommes amenés à construire la troisième dimension, qu’aucun sens ne peut atteindre (le toucher étant tout au plus superficiel aussi bien que la vue), c’est probablement en vertu de cet axiome géométrique : « Les corps restent identiques à eux-mêmes dans tous leurs déplacements » qu’on pourrait appeler : principe d’identité géométrique21.

36Il est donc absurde d’expliquer, comme les géomètres empiristes sont tentés de le faire, l’uniformité de notre espace idéal par la constatation de l’invariabilité des corps solides que nous percevons dans l’espace réel. Il est même inutile de supposer, comme M. Calinon, que l’espace réel soit approximativement uniforme, car nous savons qu’il pourrait être tout autre, et néanmoins se représenter par l’espace euclidien. Ici encore, M. Poincaré nous fournit, dans sa réplique à M. Mouret, un argument saisissant. Il imagine un milieu sphérique soumis à une certaine loi de dilatation, de manière que les corps qui s’y meuvent diminuent indéfiniment de volume en allant du centre à la surface ; et il cherche quelle géométrie des êtres intelligents plongés dans ce milieu pourraient tirer de leur expérience. Ils ne pourraient jamais atteindre les limites de leur monde, pourtant fini, car à mesure qu’ils s’approcheraient de la surface de la sphère, ils deviendraient de plus en plus petits sans s’en douter, et feraient des pas de plus en plus petits ; donc ils croiraient leur espace infini. De même ils ne pourraient s’apercevoir, en s’éloignant du centre, de la décroissance proportionnelle de tous les objets, car ils ne pourraient que les comparer entre eux ou à leur propre corps, qui est soumis par hypothèse à la même loi de déformation ; la mesure de tous les corps restant la même, ils leur attribueraient une grandeur constante ; ils concevraient donc leur espace comme uniforme. Ainsi il ressort de cette fiction vraiment « amusante », destinée par son auteur à montrer la part de l’expérience dans la constitution de la géométrie, que ces « êtres intelligents » concevraient un monde tout différent de celui qui leur est donné. Singulière expérience que celle qui, au lieu d’expliquer la conformité de la pensée avec les faits, engendrerait des idées radicalement opposées à la réalité ! Un tel désaccord ne s’explique que par « l’intelligence » que M. Poincaré prête à ses animaux imaginaires, c’est-à-dire précisément par la définition a priori de l’égalité ; et rien ne montre mieux, au contraire, la part de la raison dans la formation des idées géométriques, et en général dans la perception. Si un espace fini et non identique peut être perçu comme identique et infini, c’est qu’apparemment les postulats comme celui de l’uniformité de l’espace ne peuvent être imposés ou démentis par aucune expérience, parce que l’expérience n’est possible qu’en vertu des formes a priori de l’entendement et de la sensibilité. Il ne faut donc pas supposer un espace réel sur lequel se modèlerait en quelque sorte notre espace idéal, car cette hypothèse est à la fois inutile et absurde ; et il est évident, d’après tout ce qui précède, que nous ne constatons pas l’espace ; nous le créons. Ce n’est pas parce que l’espace réel serait sensiblement uniforme que nous avons acquis la notion de l’invariabilité des formes ; c’est au contraire parce que nous posons a priori l’identité des figures géométriques que nous sommes obligés de penser un espace uniforme.

  • 22 Cf. Cournot, Essai sur les fondements de nos connaissances [1851], t. II, p. 55, note ; et M. Paul (...)

37Comment se fait-il, maintenant, que parmi tous les espaces identiques à trois dimensions, nous ayons choisi l’espace euclidien de préférence aux espaces de Riemann et de Lowatchewski ? C’est parce que nous admettons la possibilité de la similitude, qui se traduit, nous l’avons vu, en géométrie par le postulat des parallèles22, et en analyse par le principe de l’homogénéité (I, § XIII). Est-ce à dire que ce soit pour avoir constaté de tout temps la possibilité d’agrandir ou de réduire les figures que nous nous sommes habitués à considérer la similitude comme nécessaire, et qu’elle est devenue une exigence de notre esprit ? Mais il est clair que l’homogénéité de l’espace ne peut pas plus être constatée par expérience que son uniformité ; l’idée de similitude est donc affirmée a priori comme celle d’égalité géométrique. Si notre espace est, homogène, c’est parce qu’il répugne à la raison que la forme des figures dépende de leur grandeur ou de l’unité de mesure, et que l’espace ait des dimensions absolues. Le vrai nom du postulat de la similitude est : principe de relativité de l’espace. Ce principe et celui de l’identité géométrique suffisent à caractériser l’espace euclidien ; réunis, ils en constituent la définition : L’espace euclidien est, parmi les espaces à trois dimensions qui admettent le déplacement d’une figure invariable, le seul qui admette des figures semblables. Ainsi la géométrie repose tout entière sur les définitions, tant de l’espace que des figures particulières, qui lui fournissent sa matière, et sur les axiomes analytiques, qui lui donnent sa forme.

  • 23 Revue philosophique, [t. XXXII] octobre 1891 : les Espaces géométriques.

38On comprend à présent la conclusion paradoxale de M. Poincaré : « Une géométrie ne peut pas être plus vraie qu’une autre ; elle peut seulement être plus commode. Or la géométrie euclidienne est la plus commode, parce qu’elle est la plus simple. » On voit immédiatement que le postulat de l’uniformité et celui de l’homogénéité rendent l’espace euclidien plus commode que tout autre. De plus, selon la remarque de M. Calinon23, de même que tout élément linéaire est rectiligne, et de même que tout élément superficiel est plan, l’élément différentiel de tout espace est euclidien ; en d’autres termes, une portion infiniment petite d’un espace anomaloïde est homaloïde, c’est-à-dire identique et homogène, et une figure infiniment petite de cet espace est semblable à une figure euclidienne : par exemple, la somme des angles d’un triangle sphérique ou pseudosphérique (triangle rectiligne de Riemann ou de Lowatchewski) infiniment petit est égale à deux droits. L’espace euclidien est en quelque sorte le type de l’espace à trois dimensions, comme le plan est le type des surfaces, et la droite le type des longueurs ; il est donc bien, comme le dit M. Poincaré, « le plus simple en soi ». D’autre part, il est impossible de ne pas remarquer le caractère éminemment rationnel des postulats qui le définissent. Les philosophes y reconnaîtront sans peine le principe d’identité et le principe de relativité ; et c’est sans doute parce qu’ils sont des applications de ces deux grandes lois de l’esprit que les postulats sont aussi de « grandes lois de l’univers ». On peut donc présumer qu’entre tous les espaces possibles notre choix n’est pas guidé, comme le croit M. Poincaré, par des faits expérimentaux, ni même, comme le pense M. Renouvier, par une intuition a priori, mais par des principes rationnels. Si cette présomption était justifiée, c’est alors, mais alors seulement, qu’on pourrait qualifier la métagéométrie d’absurde, et l’accuser de « contredire les principes régulateurs de l’entendement ».

  • 24 Ils ressembleraient plutôt à ce que M. Renouvier appelle des jugements analytiques fondés sur l’int (...)
  • 25 M. Paul Tannery, ap. Revue philosophique, t. XXVII [1889], p. 73-74.

39Voici une autre conséquence que les philosophes pourront tirer de la discussion précédente. Puisque, d’une part, presque tous les jugements synthétiques proposés par M. Renouvier comme des postulats se démontrent, et que, d’autre part, il est difficile, sinon impossible, de voir dans les véritables postulats de la géométrie euclidienne des synthèses de la quantité et de la qualité24, il est probable que ces catégories de qualité et de quantité ne peuvent s’appliquer aux idées géométriques, qui semblent être de pures grandeurs. Une telle conclusion, si elle était vraie, suffirait à ruiner la théorie criticiste des postulats ; peut-être même ébranlerait-elle cette fameuse distinction des jugements analytiques et des jugements synthétiques, qui est la pierre angulaire de la critique kantienne. Il faut croire, au surplus, que cette distinction si claire en apparence est bien fallacieuse, puisque son auteur lui-même, de l’aveu de M. Renouvier (p. 11 ; 16, note), s’y est souvent trompé, et que le premier exemple qu’il ait donné d’un jugement synthétique (7 + 5 = 12) paraît être un jugement analytique. Il y a là, avouons-le, de quoi justifier la défiance et les doutes des mathématiciens25. Or si cette distinction n’a pas de sens en mathématiques, c’est peut-être parce que les propositions de cette science ne comportent ni sujet ni attribut ; que, par suite, elles n’établissent aucun rapport d’inclusion entre des concepts, et qu’elles échappent complètement aux règles de la syllogistique aristotélicienne. Nous craignons donc fort que la théorie logique du jugement géométrique ne soit à refaire.

40En résumé, si nous avons été obligé, pour nous conformer aux méthodes rigoureuses et aux résultats les plus certains de la science moderne, d’écarter la plupart des postulats énoncés par M. Renouvier, nous avons essayé de prouver que le criticisme n’a rien à craindre de la géométrie générale, et qu’il n’a pas de raison pour la combattre. Quant aux considérations logiques et métaphysiques que nous venons d’opposer à l’esthétique transcendantale et à la théorie kantienne des postulats, il va sans dire que nous ne prétendons pas le moins du monde les avoir démontrées. Nous nous bornons à les indiquer brièvement au lecteur, et à les soumettre respectueusement au maître dont la pensée les a suscitées ; nous avons cru que la meilleure manière de lui rendre hommage était de discuter sa doctrine en toute liberté. Nous ne saurions trop le louer d’avoir perpétué parmi nous la tradition des grands philosophes qui ont cherché dans l’étude des mathématiques les fondements de leurs systèmes, et le remercier d’avoir appelé notre attention sur ces problèmes de critique scientifique, qui sont à la fois les plus difficiles et les plus attrayants pour le métaphysicien.

Anmerkungen

1 [Lionel Dauriac (1847-1923), élève de l’École normale supérieure, a soutenu en 1878 une thèse pour le doctorat en philosophie portant sur Les Notions de matière et de force dans les sciences de la nature. Professeur à l’Université de Montpellier (1882), il y introduit l’enseignement tout nouveau de la philosophie de la musique.]

2 [Les Principles of Psychology de William James (1842-1910) sont parus à New York en 1890.]

3 Nous appellerons uniformes ou identiques, avec M. Calinon, les espaces qui admettent le mouvement des figures invariables, et nous réservons, avec M. Delbœuf, l’épithète d’homogène à l’espace qui vérifie le principe d’homogénéité (voy. infra, § XIII). [Sur Delbœuf, voir Article 2, note 4.]

4 On nous permettra de citer une définition de la convexité qui nous paraît plus claire et plus exacte que celle que M. Renouvier donne de la concavité (p. 12) : Une ligne est dite convexe quand elle est située tout entière du même côté de l’un quelconque de ses côtés indéfiniment prolongé, si elle est brisée ; ou de l’une quelconque de ses tangentes, si elle est courbe.

5 Nous avons substitué la rotation d’une droite à celle d’un point, que considère M. Renouvier, et qui n’offre aucun sens. — Appliquée au triangle, cette proposition devient le théorème connu : La somme des angles d’un triangle est égale à 2 droits, que Legendre a essayé de démontrer indépendamment du postulatum d’Euclide, pour en déduire ensuite celui-ci. (Géométrie, 14e édition [Adrien-Marie Legendre (1752-1833), ses Éléments de géométrie (1794) connurent 20 éditions de son vivant]).

6 [Auguste Calinon (1850-1900), polytechnicien, a fait une carrière d’ingénieur. Il a publié, entre autres, un article sur « Les espaces géométriques », en deux parties, Revue philosophique, t. XXVIII (1889) et t. XXXII (1891), auquel Couturat fait ici référence.]

7 [Sur Georges Lechalas, voir Notice de l’Article 2.]

8 Revue générale des sciences pures et appliquées, 2e année, no 23 (15 déc. 1891). [Cet article est repris dans Henri Poincaré, La Science et l’Hypothèse, 1902, dont il constitue le chapitre 3. Cet ouvrage classique est constamment réédité].

9 Cf. Paul Tannery, La Géométrie imaginaire et la notion d’espace, ap. Revue philosophique, t. III [1877], p. 553 sqq., où l’on trouvera des explications plus étendues avec la figure des surfaces pseudosphériques.

10 Revue philosophique, [t. XXXII], octobre 1891 : les Espaces géométriques.

11 Nous parlons ici au point de vue strictement logique, sans méconnaître la valeur des explications métaphysiques qu’on a données de ce « fait », et notamment la déduction que M. Lachelier a proposée des trois dimensions de l’espace. (Revue philosophique, mai 1883, Psychologie et métaphysique.)

12 M. Poincaré a confirmé cette conclusion en repoussant, dans une note ultérieure, la prétention de M. Mouret, qui avait essayé mal à propos de détourner au profit de l’empirisme les affirmations pourtant bien précises de notre savant collaborateur (Revue générale des sciences, 3e année, nos  1 et 2, 15 et 30 janvier 1892). [La désignation de Poincaré comme « notre savant collaborateur » s’explique par la présence, dans le même numéro de la RMM d’un article de celui-ci sur Le continu mathématique, aux p. 26-34.]

13 [Calinon, Les espaces géométriques], Revue philosophique, t. XXVII, p. 595.

14 [Calinon, Les espaces géométriques, Revue philosophique, t. XXXII], p. 375.

15 Cf. Rouché et Comberousse, Éléments de géométrie (Gauthier-Villars, 1888).

16 Cf. Houel, Essai critique sur les principes fondamentaux de la géométrie élémentaire, p. 14, 16 et note I (Gauthier-Villars, 1867).

17 Cf. Rouché et Comberousse, op. cit., note II.

18 Nous citons ici une leçon sur la mesure des grandeurs professée par M. Jules Tannery à l’École Normale Supérieure.

19 Car M. Renouvier n’admettrait pas, sans doute, que ce point s’éloignât à l’infini.

20 [Calinon, Les espaces géométriques], Revue philosophique, juin 1889 (tome XXVII).

21 C’est ainsi que nous comprenons cette vue métaphysique de M. Lachelier : « ... La perception réfléchie, par laquelle nous transportons hors de nous les objets étendus, en ajoutant aux deux dimensions de l’étendue visible celle qui n’est que l’affirmation figurée de l’existence, la profondeur. » ([Psychologie et Métaphysique], Revue philosophique, t. XIX, p. 512.)

22 Cf. Cournot, Essai sur les fondements de nos connaissances [1851], t. II, p. 55, note ; et M. Paul Tannery, [La géométrie imaginaire et la notion d’espace], ap. Revue philosophique, t. II [1876], p. 447, note 3.

23 Revue philosophique, [t. XXXII] octobre 1891 : les Espaces géométriques.

24 Ils ressembleraient plutôt à ce que M. Renouvier appelle des jugements analytiques fondés sur l’intuition, car ils analysent notre intuition de l’espace, et en décrivent les propriétés essentielles.

25 M. Paul Tannery, ap. Revue philosophique, t. XXVII [1889], p. 73-74.

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